河南省洛阳市2020届高三第一次统一考试数学(理)试卷(有答案)
2020届河南省洛阳市高三上学期统一考试数学（理）试题（解析版）
2020届河南省洛阳市高三上学期第一次统一考试（1月）数学（理）试题一、单选题1．已知集合(){}20|M x x x =-<，{}2,1,0,1,2N =--，则M N =（ ）A ．{}0,1B ．{}2,1--C ．{}1D ．{}0,1,2【答案】C【解析】解一元二次不等式求得集合M ，由此求得两个集合的交集. 【详解】由()20x x -<，解得{}|02M x x =<<，所以M N ={}1.故选：C 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题. 2．已知复数z 在复平面中对应的点(),x y 满足()2211x y -+=，则1z -=（ ）A ．0B ．1CD ．2【答案】B【解析】根据复数对应点的坐标以及复数模的几何意义，判断出正确选项. 【详解】由于复数z 在复平面中对应的点(),x y 满足()2211x y -+=，即复数z 对应点在圆心为()1,0，半径为1的圆上，1z -表示复数对应的点到()1,0的距离，也即圆上的点到圆心的距离，所以11z -=. 故选：B 【点睛】本小题主要考查复数对应点的坐标以及复数模的几何意义，考查圆的方程，属于基础题. 3．为了节能减排，发展低碳经济，我国政府从2001年起就通过相关政策推动新能源汽车产业发展.下面的图表反映了该产业发展的相关信息:根据上述图表信息，下列结论错误的是（ ） A ．2017年3月份我国新能源汽车的产量不超过3.4万辆 B ．2017年我国新能源汽车总销量超过70万辆 C ．2018年8月份我国新能源汽车的销量高于产量D ．2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量低于2万辆 【答案】D【解析】根据图表对选项逐一分析，由此确定结论错误的选项. 【详解】对于A 选项，2017年3月份我国新能源汽车的产量 6.8 6.83.32 3.41 1.05 2.05=≈<+，故A选项结论正确.对于B 选项，2017年我国新能源汽车总销量125.6125.677.677010.617 1.617=≈>+，故B 选项结论正确.对于C 选项，2018年8月份我国新能源汽车的销量10.1万量，高于产量9.9万量，故C 选项结论正确.对于D 选项，2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量9.60.25 2.42⨯=>，故D 选项结论错误. 故选：D 【点睛】本小题主要考查图表数据分析，考查阅读与理解能力，属于基础题.4．已知正项等比数列{}n a 中，354a a =，且467,1,a a a +成等差数列，则该数列公比qA ．14B ．12C ．2D ．4【答案】C【解析】结合等差中项的性质，将已知条件转化为1,a q 的形式，由此求得q 的值. 【详解】由于467,1,a a a +成等差数列，所以()64721a a a +=+，所以()64735214a a a a a ⎧+=+⎨=⎩，即()5361112411214a q a q a q a q a q ⎧+=+⎪⎨⋅=⎪⎩，解得11,24a q ==. 故选：C 【点睛】本小题主要考查等比数列基本量的计算，考查等差中项的性质，属于基础题.5．我国数学家陈最润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就.哥德巴赫猜想简述为“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”(注:如果一个大于1的整数除了1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数)，如40337=+.在不超过40的素数，随机选取2个不同的数，这两个数的和等于40的概率是（ ） A ．126B ．122C ．117D ．115【答案】B【解析】先求得40以内的素数的个数，然后根据古典概型概率计算公式，计算出所求的概率. 【详解】40以内的素数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37共12个，任选两个的方法数有21212116621C ⨯==⨯种，和为40的有33740,112940,172340+=+=+=共3种，所以不超过40的素数，随机选取2个不同的数，这两个数的和等于40的概率是316622=. 故选：B 【点睛】选本小题主要考查古典概型的计算，考查组合数的计算，考查素数的知识，属于基础题.6．圆22 2410x y x y +-++=关于直线()300,0ax by a b --=>>对称，则12a b+的最小值是（ ） A ．1B ．3C ．5D ．9【解析】求得圆心，代入直线30ax by --=，利用基本不等式求得12a b+的最小值. 【详解】圆222410x y x y +-++=的圆心为()1,2-，由于圆关于直线30ax by --=对称，圆心坐标满足直线方程，所以23a b +=，所以12a b +()1122123253b a a b b b a a +⎛⎫⎛⎫=⋅⋅+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()12215254333b a a b ⎛⎫≥+⋅=+= ⎪ ⎪⎝⎭，当且仅当22,1b aa b a b===时等号成立. 故选：B 【点睛】本小题主要考查圆的几何性质，考查基本不等式求最小值. 7．函数()()23xx e e cos x f x x-⋅-=（e 为自然对数的底数）的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据函数的奇偶性和特殊值，排除错误选项，由此得出正确选项. 【详解】由于()()f x f x -=-，所以()f x 为奇函数，图像关于原点对称，由此排除B,D 两个选项. 当0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x >，由此排除A 选项. 故选：C 【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性，属于基础题.8．正三棱锥的三视图如下图所示，则该正三棱锥的表面积为（ ）A ．33033+B ．3309+C ．123D ．991022+ 【答案】A【解析】通过三视图还原出立体图，通过条件可求得底面正三角形边长为23，则底面积为33，侧棱长为13，则可求侧面积为330，所以可得表面积. 【详解】如图所示，底面正三角的高AD=3，所以223AH AD ==，AB=AC=BC=333ABCS=,又SH 为侧视图中的高，所以SH=3，则22223213AS AH SH +=+则在等腰SAB 中12310302SABS=⨯=所以侧面积为330所以表面积为33033故选 A. 【点睛】本题考查已知三视图求几何体的表面积，准确的还原出立体图是解题的关键，属中档题.9．已知点12,F F 分别是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左，右焦点，O 为坐标原点，点P 在双曲线C 的右支上，且满足1221 2,4F F OP tan PF F =∠=，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．5B ．5C ．173D ．179【答案】C【解析】根据12 2F F OP =判断出三角形12F F P 是直角三角形，利用214tan PF F ∠=、双曲线的定义和勾股定理列方程组，化简后求得离心率. 【详解】由于12 22F F OP c ==，所以三角形12F F P 是直角三角形.所以12121222221212424PF tan PF F PF PF PF a PF PF F F c ⎧∠==⎪⎪⎪-=⎨⎪+==⎪⎪⎩，化简得22179c a =，即3c e a ==. 故选：C 【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法，考查双曲线的定义，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.10．设()f x 是定义在R 上的函数，满足条件()()11f x f x +=-+，且当1x ≤时，()3xf x e -=-，则()27a f log =，()2 1.533,3b f c f --⎛⎫⎪⎝⎭==的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c b a >>【答案】B【解析】利用已知条件将()27a f log =转换为247a f log ⎛=⎫⎪⎝⎭，根据1x ≤时()f x 的单调性，比较出,,a b c 的大小关系. 【详解】依题意()()11f x f x +=-+，所以()22277log 1log 1227a f log f f ⎛⎫⎛⎫=+=-+ ⎪ ⎝⎭⎝=⎪⎭24log 7f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.因为21.5324log 03317--<<<<，且当(],1x ∈-∞时，()3x f x e -=-为减函数，所以a cb >>.故选：B 【点睛】本小题主要考查利用函数的单调性比较大小，考查对数运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.11．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 为棱1CC 的中点.下列结论:①线段BD 上存在点F ，使得//CF 平面1AD E ；②线段BD 上存在点F ，使CF ⊥得平面1AD E ；③平面1AD E 把正方体分成两部分，较小部分的体积为724，其中所有正确的序号是（ ） A ．① B ．③C ．①③D ．①②③【答案】C【解析】利用线面平行的判定定理，作出F 点的位置，判断①正确.利用面面垂直的判定定理，判断②错误.计算较小部分的体积，判断③正确. 【详解】设1A D 交1AD 于P ，过P 作PQ AD ⊥，交AD 于Q ，连接CQ 交BD 于F ，由于//,PQ CE PQ CE =，所以四边形PQCE 为平行四边形，所以//CQ EP ，所以//CQ 平面1AED .故线段BD 上存在点F ，使得//CF 平面1AD E ，即①正确.若CF ⊥平面1AD E ，CF ⊂平面ABCD ，则平面1AD E ⊥平面ABCD ，这不成立，所以②错误.延展平面1AD E 为1AMED 如图所示，其中M 是BC 的中点.根据正方体的几何性质可知，1,,D E AM DC 相交于一点，1CEM DD A ∆∆,所以多面体1CEM DD A -是棱台.且体积为(113CEM DD A S S CD ∆∆⋅+⋅1117138224⎛=⋅++⋅= ⎝.故③正确.综上所述，正确的序号为①③. 故选：C【点睛】本小题主要考查空间线面平行、线面垂直有关定理，考查台体体积计算，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.12．已知正项数列{}n a 的前n 项和为1,1n S a >，且2632n n n S a a =++.若对于任意实数[]2,2a ∈-.不等式2*1()211n a t at n N n +<+-∈+恒成立，则实数t 的取值范围为（ ）A ．][(),22,⋃∞-+∞-B ．,21,(][)∞⋃+∞--C ．,12[),(]-∞⋃+∞-D ．[]22-,【答案】A 【解析】求得11n a n ++的范围，转化主参变量列不等式组，解不等式组求得t 的取值范围. 【详解】由2632n n n S a a =++①.当1n =时，2111632a a a =++，解得12a =.当2n ≥时，2111632n n n S a a ---=++②，①-②得2211633n n n n n a a a a a --=-+-，()()1130n n n n a a a a --+--=，所以13n n a a --=，所以数列{}n a 是首项为12a =，公差为3d =的等差数列，所以31n a n =-，所以()1311133111n n a n n n ++-==-<+++，所以2213t at +-≥恒成立，即2240t at +-≥，转换为2240ta t +-≥，在[]2,2a ∈-恒成立，所以2222402240t t t t ⎧-+-≥⎨+-≥⎩，解得][,2()2,t ∈⋃∞-+∞-.故选：A 【点睛】本小题主要考查已知n S 求n a ，考查不等式恒成立问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.二、填空题13．平面向量a 与b 的夹角为60，且()3,0a =，1b =，则2a b += __________．【解析】利用()222a b a b +=+来求得2a b +.【详解】 依题意()222a b a b +=+224494a ab b =+⋅+=+=【点睛】本小题主要考查平面向量模的运算，考查平面向量数量积的运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.14．若实数,x y 满足约束条件,4, 3,y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =+的最小值是__________．【答案】9-【解析】画出可行域，平移基准直线20x y +=到可行域边界位置，由此求得z 的最小值. 【详解】画出可行域如下图所示，平移基准直线20x y +=到可行域边界点()3,3A --位置，此时z 取得最小值为()2339⨯--=-. 故答案为：9-【点睛】本小题主要考查线性规划求最小值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.15．已知椭圆()2222:10,x y C a b A a b +=>>为右顶点.过坐标原点O 的直线交椭圆C 于,P Q 两点，线段AP 的中点为M ，直线QM 交x 轴于()2,0N ，椭圆C 的离心率为23，则椭圆C 的标准方程为__________．【答案】2213620x y += 【解析】设出,P Q 两点的坐标，求得M 点坐标，由,,Q M N 三点共线列方程，结合椭圆的离心率求得,a b 的值，进而求得椭圆的标准方程. 【详解】设()()0000,,,P x y Q x y --，(),0A a ，所以00,22a x y M +⎛⎫⎪⎝⎭，由于,,Q N N 三点共线，所以0002222y y a x x =++-，解得6a =.由于椭圆离心率23c a =，所以4c =，所以22220,b a c b =-==所以椭圆方程为2213620x y +=.故答案为：2213620x y += 【点睛】本小题主要考查根据椭圆的离心率求椭圆标准方程，考查运算求解能力，属于基础题. 16．已知函数()()12,f lnx ax a x g x x=+=-，且()()0f x g x ≤在定义域内恒成立，则实数a 的取值范围为__________． 【答案】{2|a a e =或12a e ⎫≤-⎬⎭【解析】先求得()()f x g x 的定义域，然后对()f x 和()g x 的符合进行分类讨论，由此求得实数a 的取值范围. 【详解】依题意()()()1ln 2f x g x x ax a x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭，定义域为()0,∞+. 由于()()0f x g x ≤在定义域内恒成立，则①，1ln 20,0x ax a x +≤-≥恒成立，即ln 12,x a a x x≤-≤在()0,∞+恒成立.令()ln x h x x =-，()'ln 1x h x x-=，故()h x 在()0,e 上递减，在(),e +∞上递增，故()()1h x h e e ≥=-.所以，由ln 12,x a a x x ≤-≤可得12,0a a e ≤-≤，即12a e ≤-.②，1ln 20,0x ax a x +≥-≤恒成立，即ln 12,x a a x x≥-≥在()0,∞+恒成立，不存在这样的a .③，当0a >时，由于()f x 在()0,∞+上递增，()g x 在()0,∞+上递减，要使()()0f x g x ≤在定义域内恒成立，则需()f x 和()g x 有相同的零点.由ln 2010x ax a x+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得22,a e x e -==. 综上所述，实数a 的取值范围是{2|a a e =或12a e ⎫≤-⎬⎭. 故答案为：{2|a a e =或12a e ⎫≤-⎬⎭【点睛】本小题主要考查不等式恒成立问题的求解策略，考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.三、解答题17．在ABC 中，角,,A B C 对应边分别为,,a b c .(1)若ABC 的面积S 满足222,4c a b c a +=+==且b c >，求b 的值；(2)若3a A π==且ABC 为锐角三角形.求ABC 周长的范围.【答案】（1）b =（2）3(+【解析】（1）结合三角形面积公式和余弦定理，求得tan C 的值，由此求得C 的大小，利用余弦定理列方程求得b 的值.（2）利用正弦定理表示出,b c ，用三角形内角和定理和三角恒等变换求得b c +的取值范围，由此求得a b c ++即三角形ABC 周长的取值范围. 【详解】(1)由条件和三角形的面积公式得2222c c a b +=+=+，即222a b c =+-. 将余弦定理2222a b c abcosC +-=.cosC =，即3tanC =，因为(0,)C π∈，所以6C π=将4,6c a C π===，代入2222c a b abcosC =+-，得290b -+=结合条件b c >得b =(2)由正弦定理得2sin sin sin a b cA B C=== 所以()2b c sinB sinC +=+()22233sinB sin B sinB sin B πππ⎡⎡⎤⎛⎫=--+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎤=⎢⎥⎣⎦⎦+32(6)2sinB B π⎛⎫ ⎪ ⎪⎭==+⎝+ 因为A B C π++=，且3A π=及锐角三角形得0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且20,32B ππ⎛⎫⎛⎫-∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以62B ππ<<，所以2363B πππ<+<，即3sin 126B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，所以(3,23]b c +∈ 所以周长a b c ++范围是3 3 (],33+. 【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查三角恒等变换，考查运算求解能力，属于中档题.18．如图，已知四边形ABCD 为等腰梯形，BDEF 为正方形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，//,1AD BC AD AB ==，60ABC ∠=︒.(1)求证:平面CDE ⊥平面BDEF ；(2)点M 为线段EF 上一动点，求BD 与平面BCM 所成角正弦值的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）512⎤⎥⎣⎦【解析】（1）利用等腰梯形的性质证得BD CD ⊥，由面面垂直的性质定理证得CD ⊥平面BDEF ，由此证得平面CDE ⊥平面BDEF .（2）建立空间直角坐标系，设出EM 的长，利用直线BD 的方向向量和平面BCM 的法向量，求得BD 与平面BCM 所成角正弦值的表达式，进而求得BD 与平面BCM 所成角正弦值的取值范围. 【详解】在等腰梯形ABCD 中，// ,1AD BC AD AB ==， 60ABC ∠=︒，120,30BAD CDA ADB ∴∠=∠=︒∠=︒，90CDB ∠=︒. 即.BD CD ⊥2221203BD AB AD AB AD cos =+-⋅⋅︒=，2BC =.又平面BDEF ⊥平面ABCD ，平面BDEF ⋂平面,ABCD BD CD =⊂平面ABCD ，∴CD ⊥平面BDEFCD ⊂平面CDE ，∴平面CDE ⊥平面BDEF（2）解:由(1)知，分别以直线,,DB DC DE 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 设03()EM m m =≤≤，则()()3,0,0,0,1,0,000),(,B C D ，(()3,3,1,0M m BC =-，()3,0,3,3,0,()0BM m DB =-=设平面BMC 的法向量为(),,n x y x =00n BC n BM ⎧⋅=∴⎨⋅=⎩，即(130330x y m x z ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩令3x =，则3,3y z m ==，平面BMC 的一个法向量为3,3,3()n m =. 设BD 与平面BCM 所成角为θ，,sin cos n BD θ∴=<>()2,3312n BD n BDm ==-+∴当0m =53m 时取最大值12故BD 与平面BCM 所成角正弦值的取值范围为51,52⎤⎥⎣⎦. 【点睛】本小题主要考查面面垂直的判定定理和性质定理，考查向量法计算线面角正弦值的取值范围，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题. 19．过点()0,2P 的直线与抛物线2:4C x y =相交于,A B 两点. (1)若2AP PB =，且点A 在第一象限，求直线AB 的方程；(2)若,A B 在直线2y =-上的射影分别为11,A B ，线段11A B 的中点为Q ， 求证1//BQ PA .【答案】（1）240x y -+=.（2）证明见解析【解析】（1）设出直线AB 的方程，联立直线AB 的方程和抛物线方程，化简后写出韦达定理，利用2AP PB =，结合平面向量相等的坐标运算、韦达定理，求得直线AB 的斜率，进而求得直线AB 的方程.（2）由（1）求得11,,A B Q 的坐标，通过计算10BQ PA k k -=，证得1//BQ PA . 【详解】(1)设AB 方程为()20y kx k =+>，()()11221,,,,0A x y B x y x > ，联立方程24 2.x y y kx ⎧=⎨=+⎩，，消去y 得:2480x kx --=，216320k =+>，121248x x kx x +=⎧⎨⋅=-⎩① 又()1122(),2,,2AP x y PB x y =--=- 由2AP PB =得:122x x =- 代人①解得12k =∴直线AB 的方程为:122y x =+，即240x y -+=. (2)由(1)得，()111122,2,,2(()2),,2x A x B x Q x +--- 114PA k x =-， ()22221221228422BQx x k x x x x x ++==+-- ()()()122121212211121888422BQ PA x x x x x x k k x x x x x x ++-+-=+=-- ()()()221212212112188022x x x x x x x x x x x x ++===--1BQ PA k k ∴=1//PA BQ ∴【点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查向量的坐标运算，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题. 20．设函数()()3211232xf x ex kx kx =--+.(1)若1k =，求()f x 的单调区间；(2)若()f x 存在三个极值点123,,x x x ，且123x x x <<，求k 的取值范围，并证明:1 3 22x x x >+.【答案】（1）单调减区间为(,1)-∞，单调增区间为(1,)+∞.（2）k e >，证明见解析 【解析】（1）当1k =时，利用导数求得()f x 的单调区间. （2）先求得()f x 的导函数()()()'1x e x fx kx --=，则()x g x e kx =-有两个不同的零点，且都不是1.对k 分成0,0k k ≤>两种情况分类讨论，利用导数研究()g x 的单调性和零点，由此求得k 的取值范围. 由上述分析可得12301x x x <<=<，利用导数证得312313131ln ln 221x x x x x x x x x -=>=-++，从而证得1 3 22x x x >+.【详解】(1)()32()11232xf x e x x x =--+ ()()() 1x f x e x x '∴=--.令()(),'1xxh x e x h x e =-=-，()'0h x >得0x >，()'0h x <得0x <， ()h x 在(,0)-∞上递减，在(0,)+∞上递增.()()010h x h ∴≥=>即0x e x ->，∴解()'0f x >得1x >，解()'0f x <得1x <，()f x ∴的单调减区间为(,1)-∞，单调增区间为(1,)+∞.(2)()()()()2'21xx x f x ex e kx kx e kx x =-+-+=--，()f x 有三个极值点，∴方程0-=x e kx 有两个不等根，且都不是1，令()xg x e kx =-，0k ≤时，()g x 单调递增，()0g x =至多有一根，0k ∴>解()'0g x >得x lnk >，解()'0g x <得x lnk <. ()g x ∴在(n ),l k -∞上递减，在(ln ,)k +∞上递增，()()ln 10,k g lnk e klnk k lnk k e =-=-<>∴此时，()010g =>，()1,10lnk g e k >=-<，x →+∞时()g x →+∞.k e ∴>时，()'0f x =有三个根123,,x x x ，且12301x x x <<=<，由11xe kx =得11x lnk lnx =+，由33x e kx =得33x lnk lnx =+，3131ln ln 1x x x x -∴=-下面证明:313131ln ln 2x x x x x x ->-+，可变形为331311121x x x lnx x x ->+ 令311x t x =>，()()21ln 1t x t t ϕ-=-+ ()()()()222114011t x t t t t ϕ-'=-=>++，()x ϕ∴在(1)+∞，上递增， ()()10t ϕϕ∴>=∴313131ln ln 21x x x x x x -=>-+，3122.x x x ∴+>【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求解函数极值有关问题，考查利用导数证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于难题.21．“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求.“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用.每次考试过后，考生最关心的问题是:自己的考试名次是多少?自已能否被录取?能获得什么样的职位? 某单位准备通过考试(按照高分优先录取的原则)录用300名，其中275个高薪职位和25个普薪职位.实际报名人数为2000名，考试满分为400分.(一般地，对于一次成功的考试来说，考试成绩应服从正态分布. )考试后考试成绩的部分统计结果如下: 考试平均成绩是180分，360分及其以上的高分考生30名. (1)最低录取分数是多少?(结果保留为整数)(2)考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位?若不能被录取，请说明理由.参考资料:(1)当2~(,)X N μσ时，令X Y μσ-=，则()~0,1Y N .(2)当()~0,1Y N 时， 2.17()0.985P Y ≤≈，1.280.900, 1.()09()0.863P Y P Y ≤≈≤≈， 1.04()0.85P Y ≤≈.【答案】（1）266分或267分.（2）能获得高薪职位.见解析【解析】（1）利用考试的平均成绩、高分考生的人数，以及题目所给正态分布的参考资料，求得考生成绩X 的分布()~180,832X N ，利用录取率3002000列方程，由此求得最低录取分数线.（2）计算出不低于考生甲的成绩的人数约为200，由此判断出甲能获得高薪职位. 【详解】(1)设考生成绩为X ，则依题意X 应服从正态分布，即()2~180,X N σ.令180X Y σ-=，则()~0,1Y N .由360分及其以上的高分考生30名可得()303602000P X ≥= 即()3036010.9852000P X <=-≈，亦即3601800.985P Y σ-⎛⎫<≈ ⎪⎝⎭.则3601802.17σ-=，解得()83180,832N σ≈∴，， 设最低录取分数线为o x ，则0180300832(0)00o x P X x P Y -⎛⎫≥=≥=⎪⎝⎭ 则018030010.85832000x P Y -⎛⎫<=-≈ ⎪⎝⎭，01801.0483x -∴= 266.32o x ∴≈.即最低录取分数线为266分或267分. (2)考生甲的成绩286267>，所以能被录取.()()286180()286 1.280.9083P X P Y P Y -<=<=<≈， 表明不低于考生甲的成绩的人数约为总人数的10.900.10,20000.1200-=⨯≈， 即考生甲大约排在第200名，排在275名之前，所以他能获得高薪职位. 【点睛】本小题主要考查正态分布在实际生活中的应用，考查化归与转化的数学思想方法，考查阅读理解能力，属于中档题.22．在极坐标系中，已知圆的圆心6,3C π⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径3r =，Q 点在圆C 上运动.以极点为直角坐标系原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系. （1）求圆C 的参数方程；（2）若P 点在线段OQ 上，且:2:3OP PQ =，求动点P 轨迹的极坐标方程.【答案】（1）33cos 3sin x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）；（2）225120sin 10806πρρθ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭【解析】（1）已知得，圆心6,3C π⎛⎫⎪⎝⎭的直角坐标为(C ，3r =，则可求得圆的标准方程；（2）结合（1）得，圆C 的极坐标方程为212sin 276πρρθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，再设(),P ρθ，()1,Q ρθ，则1:2:5ρρ=，将152ρρ=代入C 的极坐标方程即可得解. 【详解】（1）由已知得，圆心6,3C π⎛⎫⎪⎝⎭的直角坐标为(C ，3r =， 所以C 的直角坐标方程为()(2239x y -+-=，所以圆C的参数方程为33cos 3sin x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）．（2）由（1）得，圆C的极坐标方程为()26cos 270ρρθθ-+=，即212sin 276πρρθ⎛⎫=+-⎪⎝⎭． 设(),P ρθ，()1,Q ρθ，根据:2:3OP PQ =，可得1:2:5ρρ=， 将152ρρ=代入C 的极坐标方程，得225120sin 10806πρρθ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，即动点p 轨迹的极坐标方程为225120sin 10806πρρθ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了直角坐标方程、极坐标方程及参数方程的互化，重点考查了运算能力，属基础题.23．设函数()211f x x x =-++.(1)画出()y f x =的图象；(2)若不等式()1f x a x >-+对x ∈R 成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）见解析（2）(,3)-∞【解析】（1）利用零点分段法将()f x 表示为分段函数的形式，由此画出()f x 的图形. （2）将不等式() 1f x a x >-+转化为21 22a x x -++>.利用绝对值不等式求得21 22x x -++的最小值，由此求得a 的取值范围.【详解】(1)根据绝对值的定义，可得()3,112,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩所以() y f x =的图象如图所示:(2)() 1f x a x >-+， 即21 22a x x -++>|21 2 2 2122|3x x x x -++≥---=，3a ∴<，即实数a 的取值范围是(,3)-∞.【点睛】本小题主要考查分段函数的图像，考查含有绝对值的不等式恒成立问题的求解，属于基础题.。
河南省洛阳市高三数学第一次统一考试试题 理(含解析)
数学试卷（理A ）【试卷综析】试题在重视基础，突出能力，体现课改，着眼稳定，实现了新课标高考数学试题与老高考试题的尝试性对接.纵观新课标高考数学试题，体现数学本质，凸显数学思想，强化思维量，控制运算量，突出综合性，无论是在试卷的结构安排方面，还是试题背景的设计方面以全新的面貌来诠释新课改的理念.【题文】第I 卷（选择题，共60分）【题文】一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【题文】 l.集合 {}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,|,A B C z z xy x A y B ====∈∈且，则集合C 中的元素个数为A.3 B ．4 C ．11 D ．12【知识点】集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性. A1 【答案】【解析】C 解析：{1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,15}C =，故选C. 【思路点拨】利用已知求得集合C 即可.【题文】 2．已知i 为虚数单位，复数123,12z ai z i =-=+，若12z z 复平面内对应的点在第四象限，则实数a 的取值范围为 A. {}|6a a <- B ． 3|62a a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭ C ．3|2a a ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭ D ． 3|62a a a ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或 【知识点】复数的运算；复数的几何意义. L4 【答案】【解析】B 解析：12z z ()()()()312332612121255ai i ai a a i i i i ----+===-++-，因为12zz 复平面内对应的点在第四象限，所以32036602a a a ->⎧⇒-<<⎨+>⎩，故选 B.【思路点拨】先把复数z 化为最简形式，在利用复数的几何意义求解.【题文】3．已知θ为第二象限角， sin ,cos θθ是关于x 的方程22x R)∈ 的两根，则 sin -cos θθ的等于 A ．12+ B ．12- C ．．【知识点】已知三角函数式的值，求另一个三角函数式的值. C7【答案】【解析】A 解析：由已知得1sin cos 2θθ+=2sin cos 2θθ⇒=-又θ为第二象限角，所以sin -cos θθ=，故选 A.【思路点拨】由已知得sin cos θθ+=2sin cos θθ⇒=θ为第二象限角，所以sin -cos θθ=. 【题文】4.下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是A ．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π丌是无理数；结论：π是无限不循环小数B ．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提： π是无限不循环小数；结论： π是无理数C.大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论： π是无理数D.大前提： π是无限不循环小数；小前提： π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数 【知识点】演绎推理的定义及特点. M1【答案】【解析】B 解析：A ：小前提不正确；C 、D 都不是由一般性命题到特殊性命题的推理，所以A 、C 、D 都不正确，只有B 正确，故选 B.【思路点拨】演绎推理是由一般性命题到特殊性命题的推理，及其推理的一般模式---“三段论”，由三段论的含义得出正确选项.【题文】5．某几何体的三视图如图所示，图中三个正方形的边长均为2，则该几何体的体积为 A ．38 B ． 82π- C ． 43π D ． 283π-【知识点】几何体的三视图；几何体的结构. G1 G2【答案】【解析】D 解析：由三视图可知此几何体是：棱长为2 的正方体挖去了一个圆锥而形成的新几何体，其体积为3212212833ππ-⨯⨯⨯=-，故选 D. 【思路点拨】由几何体的三视图得此几何体的结构，从而求得此几何体的体积.【题文】6．已知 ()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在(],0-∞上单调递增，设333(sin )(cos ),(tan )555a fb fc f πππ===，则a,b,c 的大小关系是，A ．a<b<cB ．b<a<cC ．c<a<bD ．a<c<b【知识点】函数奇偶性，单调性的应用. B3 B4【答案】【解析】C 解析：∵()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在(],0-∞上单调递增， ∴()f x 在[)0,+∞上单调递减，且22coscos 55b f f ππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 22tantan 55c f f ππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，又∵2sin 5a f π⎛⎫=⎪⎝⎭，且2220cos sin tan 555πππ<<<，∴ c<a<b ，故选 C.【思路点拨】由已知得函数()f x 在[)0,+∞上单调递减，而2sin5a f π⎛⎫= ⎪⎝⎭， 22coscos 55b f f ππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，22tan tan 55c f f ππ⎛⎫⎛⎫=-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以只需比较 222cos,sin ,tan 555πππ的大小关系即可. 【题文】7.执行如图的程序，则输出的结果等于 A ．9950 B ．200101 C ．14950 D ． 15050【知识点】对程序框图描述意义的理解. L1【答案】【解析】A 解析：根据框图中的循环结构知，此程序是求下式的值：1111136104950T =+++++222222612209900=+++++1111212233499100⎛⎫=++++⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭1111111212233499100⎛⎫=-+-+-++- ⎪⎝⎭1992110050⎛⎫=-=⎪⎝⎭，故选A. 【思路点拨】由程序框图得其描述的算法意义.【题文】 8．在△ABC 中，D 为AC 的中点，3BC BE =，BD 与 AE 交于点F ，若 AF AE λ=，则实数λ的值为 A ．12 B ． 23 C ． 34 D ． 45【知识点】平面向量的线性运算. F1 【答案】【解析】C 解析：作EFAC 交BD 于G ，因为13BE BC =,所以13EG DC =，因为 D 为AC 的中点，所以13EG AD =，所以1334EF AF AE FA =⇒=，故选C.【思路点拨】画出几何图形，利用平行线分线段成比例定理求得结论.【题文】9．设 12,F F 分别为双曲线 221x y -=的左，右焦点，P 是双曲线上在x 轴上方的点， 1F PF ∠为直角，则 12sin PF F ∠的所有可能取值之和为A ．83 B ．2 C ．．【知识点】双曲线的性质. H6【答案】【解析】D 解析：设P 是第一象限点，且12,PF m PF n ==，则222181m n m m n n ⎧-==⎧⎪⇒⎨⎨+==⎩⎪⎩，所以所求= 2m n c +== D. 【思路点拨】根据双曲线的定义及勾股定理，求得P 到两焦点的距离，这两距离和与焦距的比值为所求. 【题文】10.曲线 1(0)y x x=>在点 00(,)P x y 处的切线为 l ．若直线l 与x ，y 轴的交点分别为A ，B ，则△OAB 的 周长的最小值为A. 4+5+【知识点】导数的几何意义；基本不等式求最值. B11 E6 【答案】【解析】A 解析：∵21y x '=-，∴00201:()l y y x x x -=--即20020x x y x +-=， 可得A(02x ,0)，B(0,02x )，∴△OAB的周长00224l x x =++当01x =时等号成立.故选 A.【思路点拨】由导数的几何意义得直线l 的方程，从而求得A 、B 的坐标，进而用0x 表示△OAB 的周长，再用基本不等式求得周长的最小值.【题文】11．若直线(31)(1)660x y λλλ++-+-= 与不等式组 70,310,350.x y x y x y +-<⎧⎪-+<⎨⎪-->⎩，表示的平 面区域有公共点，则实数λ的取值范围是 A ． 13(,)(9,)7-∞-+∞ B ． 13(,1)(9,)7-+∞ C ．(1，9) D ． 13(,)7-∞-【知识点】简单的线性规划. E5【答案】【解析】A 解析：画出可行域，求得可行域的三个顶点A(2,1)，B(5,2)，C(3,4) 而直线(31)(1)660x y λλλ++-+-=恒过定点P(0,-6),且斜率为311λλ+-，因为 7810,,253PA PB PC k k k ===,所以由8317512λλ+<<-得λ∈13(,)(9,)7-∞-+∞，故选A.【思路点拨】：画出可行域，求得可行域的三个顶点, 确定直线过定点P(0,-6)，求得直线PA 、PB 、PC 的斜率，其中最小值85，最大值72，则由8317512λλ+<<-得λ的取值范围. 【题文】12．在平面直角坐标系中，点P 是直线 1:2l x =-上一动点，点 1(,0)2F ，点Q 为PF 的 中点，点M 满MQ ⊥PF ，且 ()MP OF R λλ=∈.过点M 作圆 22(3)2x y -+= 的切线，切点分别为S ，T ，则 ST 的最小值为A ．5． 5C ． 72 D. 52【知识点】曲线与方程；距离最值问题. H9 【答案】【解析】A 解析：设M(x,y)，1(,2)2P b -，则Q(0,b),由QM ⊥FP 得 (,)(1,2)02()0x y b b x b y b -⋅-=⇒-+-=.由()MP OF R λλ=∈得y=2b,所以点M 的轨迹方程为22y x =，M 到圆心距离=d 去最小ST 取最小值，此时MT ==，由三角形面积公式得：11222ST ST ==5,故选A. 【思路点拨】先求得点M 的轨迹方程22y x =，分析可知当M 到圆心距离最小时ST 最小，所以求M 到圆心距离d 得最小值，再用三角形面积公式求得ST 的最小值.【题文】 第Ⅱ卷（非选择题，共90分），【题文】二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 【题文】13.设随机变量 2(,)N ξμσ，且 (1)(1),(2)0.3P P P ξξξ<-=>>=，则(20)P ξ-<<= _____________．【知识点】正态分布的意义. I3【答案】【解析】0.2 解析：因为(1)(1)P P ξξ<-=>，所以正态分布曲线关于y 轴对称， 又因为(2)0.3P ξ>=，所以(20)P ξ-<<=120.30.22-⨯= 【思路点拨】根据正态分布的性质求解.【题文】14.若正四梭锥P- ABCD 的底面边长及高均为2，刚此四棱锥内切球的表面积为_______．【知识点】组合体的意义；几何体的结构. G1【答案】【解析】2(3π 解析：根据题意得正四梭锥的底面面积为4，一个侧面面积为R ，则由等体积法得，()111442332R R =⨯⨯⇒=,所以球的表面积为2(3π.【思路点拨】由等体积法求得此四棱锥内切球的半径，再由球的表面积公式求得结论. 【题文】15．将函数 ()sin()223y sin x x ωωπ=+的图象向右平移3π个单位，所得图象关于y 轴对称，则正数 ω的最小值为________．【知识点】sin()y A x ωϕ=+的图像与性质. C4 【答案】【解析】 1 解析：函数()sin()223y sin x x ωωπ=+=1sin()sin())2222x x x ωωω⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭=21sin ()sin()cos()2222x x x ωωω+=11sin()264x πω-+，向右平移3π个单位后为：1111sin[()]sin 23642364y x x πππωπωω⎡⎤⎛⎫=--+=-++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，这时图像关于y 轴对称，所以31362k k πωπππω+=+⇒=+，k Z ∈,所以正数 ω的最小值为1.【思路点拨】先利用两角和与差的三角函数，二倍角公式，把已知函数化为： y=11sin()264x πω-+,再由其平移后关于y 轴对称得31k ω=+，k Z ∈，所以正数 ω的最小值为1.【题文】 16．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若b=l ，a= 2c ，则当C 取最大值时，△ABC 的面积为________．【知识点】余弦定理；三角形的面积公式. C8【答案】【解析】6解析：当C 取最大值时，cosC 最小，由22223111cos 32442a b c c C c ab c c +-+⎛⎫===+≥⎪⎝⎭得，当且仅当C 最大，且此时 sinC=12，所以△ABC的面积为111sin 21222ab C c =⨯⨯⨯=【思路点拨】由余弦定理求得C 最大的条件，再由三角形面积公式求解.【题文】三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【题文】17．（本小题满分10分） 已知 {}{},n n a b 均为等差数列，前n 项和分别为 ,n n S T ．(1)若平面内三个不共线向量 ,,OA OB OC 满足 315OC a OA a OB =+，且A ，B ，C 三点共线．是否存在正整数n ，使 n S 为定值？若存在，请求出此定值；若不存在，请说明理由。
2020年河南省洛阳市高考数学一模试卷(理科)
2020年河南省洛阳市高考数学一模试卷（理科）学校:________ 班级:________ 姓名:________ 学号:________一、单选题（共12小题）1.已知集合M＝{x|x（x﹣2）＜0}，N＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则M∩N＝（）A．{0，1，2} B．{﹣2，﹣1} C．{1} D．{﹣2，﹣1，0，2}2.已知复数z在复平面中对应的点（x，y）满足（x﹣1）2+y2＝1，则|z﹣1|＝（）A．0 B．1 C ．D．23.为了节能减排，发展低碳经济，我国政府从2001年起就通过相关政策推动新能源汽车产业发展．下面的图表反映了该产业发展的相关信息：中国新能源汽车产销情况一览表新能源汽车产量新能源汽车销量产量（万辆）比上年同期增长（%）销量（万辆）比上年同期增长（%）2018年3月 6.8105 6.8117.4 4月8.1117.78.2138.4 5月9.685.610.2125.6 6月8.631.78.442.9 7月953.68.447.7 8月9.93910.149.5 9月12.764.412.154.810月14.658.113.85111月17.336.916.937.61﹣﹣12月12759.9125.661.72019年1月9.11139.61382月 5.950.9 5.353.6根据上述图表信息，下列结论错误的是（）A．2017年3月份我国新能源汽车的产量不超过3.4万辆B．2017年我国新能源汽车总销量超过70万辆C．2018年8月份我国新能源汽车的销量高于产量D．2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量低于2万辆4.已知正项等比数列{a n}中，a3a5＝4，且a4，a6+1，a7成等差数列，则该数列公比q为（）A．B．C．2 D．45.我国数学家陈最润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就．哥德巴赫猜想简述为“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”（注：如果一个大于1的整数除了1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数），如40＝3+37．在不超过40的素数，随机选取2个不同的数，这两个数的和等于40的概率是（）A．B．C．D．6.圆x2+y2﹣2x+4y+1＝0关于直线ax﹣by﹣3＝0（a＞0，b＞0）对称，则的最小值是（）A．1 B．3 C．5 D．97.函数（e为自然对数的底数）的大致图象为（）A．B．C．D．8.正三棱锥的三视图如，图所示，则该正三棱锥的表面积为（）A．B．C．D．9.已知点F1，F2分别是双曲线的左，右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C的右支上，且满足|F1F2|＝2|OP|，tan∠PF2F1＝4，则双曲线C的离心率为（）A．B．5 C．D．10.设f（x）是定义在R上的函数，满足条件f（x+1）＝f（﹣x+1），且当x≤1时，f（x）＝e﹣x﹣3，则a＝f（log27），的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a11.正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点E为棱CC1的中点．下列结论：①线段BD上存在点F，使得CF∥平面AD1E；②线段BD上存在点F，使CF⊥得平面AD1E；③平面AD1E把正方体分成两部分，较小部分的体积为，其中所有正确的序号是（）A．①B．③C．①③D．①②③12.已知正项数列{a n}的前n项和为S n，a1＞1，且6S n＝a n2+3a n+2．若对于任意实数a∈[﹣2，2]．不等式恒成立，则实数t的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）D．[﹣2，2]二、填空题（共4小题）13.平面向量与的夹角为60°，且，，则＝．14.若实数x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最小值是﹣．15.已知椭圆为右顶点．过坐标原点O的直线交椭圆C于P，Q两点，线段AP的中点为M，直线QM交x轴于N（2，0），椭圆C的离心率为，则椭圆C的标准方程为．16.已知函数，且f（x）g（x）≤0在定义域内恒成立，则实数a的取值范围为≤﹣．三、解答题（共7小题）17.在△ABC中，角A，B，C对应边分别为a，b，c．（1）若△ABC的面积S满足且b＞c，求b的值；（2）若且△ABC为锐角三角形．求△ABC周长的范围．18.如图，已知四边形ABCD为等腰梯形，BDEF为正方形，平面BDEF⊥平面ABCD，AD∥BC，AD＝AB＝1，∠ABC＝60°（1）求证：平面CDE⊥平面BDEF；（2）点M为线段EF上一动点，求BD与平面BCM所成角正弦值的取值范围．19.过点P（0，2）的直线与抛物线C：x2＝4y相交于A，B两点．（1）若，且点A在第一象限，求直线AB的方程；（2）若A，B在直线y＝﹣2上的射影分别为A1，B1，线段A1B1的中点为Q，求证BQ∥P A1．20.设函数．（1）若k＝1，求f（x）的单调区间；（2）若f（x）存在三个极值点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，求k的取值范围，并证明：x1+x3＞2x2．21.“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求．“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用．每次考试过后，考生最关心的问题是：自己的考试名次是多少？自已能否被录取？能获得什么样的职位？某单位准备通过考试（按照高分优先录取的原则）录用300名，其中275个高薪职位和25个普薪职位．实际报名人数为2000名，考试满分为400分．（一般地，对于一次成功的考试来说，考试成绩应服从正态分布．）考试后考试成绩的部分统计结果如下：考试平均成绩是180分，360分及其以上的高分考生30名．（1）最低录取分数是多少？（结果保留为整数）（2）考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？若不能被录取，请说明理由．参考资料：（1）当X～N（μ，σ2）时，令Y＝，则Y～N（0，1）．（2）当Y～N（0，1）时，P（Y≤2.17）≈0.985，P（Y≤1.28）≈0.900，P（Y≤1.09）≈0.863，P（Y ≤1.04）≈0.85．22.在极坐标系中，已知圆的圆心，半径r＝3，Q点在圆C上运动，以极点为直角坐标系原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．（1）求圆C的参数方程；（2）若P点在线段OQ上，且|OP|：|PQ|＝2：3，求动点P轨迹的极坐标方程．23.设函数f（x）＝|2x﹣1|+|x+1|．（1）画出y＝f（x）的图象；（2）若不等式f（x）＞a﹣|x+1|对x∈R成立，求实数a的取值范围．2020年河南省洛阳市高考数学一模试卷（理科）参考答案一、单选题（共12小题）1.【分析】可以求出集合M，然后进行交集的运算即可．【解答】解：∵M＝{x|0＜x＜2}，N＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，∴M∩N＝{1}．故选：C．【知识点】交集及其运算2.【分析】由于（x﹣1）2+y2＝1，表示以C（1，0）为圆心，1为半径的圆．即可得出|z﹣1|．【解答】解：（x﹣1）2+y2＝1，表示以C（1，0）为圆心，1为半径的圆．则|z﹣1|＝1．故选：B．【知识点】复数求模3.【分析】由图表信息中2018年的信息，根据增长量即可算出2017年的信息，判断出A，B正确，2018年8月份信息直接从表中可查到，2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量结合扇形图即可求出．【解答】解：由图表信息可知，2017年3月份我国新能源汽车的产量为：，所以选项A正确；由图表信息可知，2017年我国新能源汽车总销量为：，所以选项B正确；由图表信息可知，2018年8月份我国新能源汽车的销量为10.1，产量为9.9，所以选项C正确；由图表信息可知，2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量为：9.6×0.25＝2.4，所以选项D错误，故选：D．【知识点】进行简单的合情推理4.【分析】运用等比数列的性质和通项公式，等差数列的中项性质，解方程可得所求公比．【解答】解：正项等比数列{a n}中，a3a5＝4，可得q＞0，a42＝a3a5＝4，即a4＝2，a4，a6+1，a7成等差数列，可得a4+a7＝2a6+2，即2+2q3＝4q2+2，解得q＝2，故选：C．【知识点】等差数列与等比数列的综合、等比数列的通项公式5.【分析】不超过40的素数有12个，随机选取2个不同的数，基本事件总数n＝＝66，利用列举法求出这两个数的和等于40包含的基本事件有3个，由此能求出这两个数的和等于40的概率．【解答】解：不超过40的素数有：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，共12个，随机选取2个不同的数，基本事件总数n＝＝66，这两个数的和等于40包含的基本事件有：（3，37），（11，29），（17，23），共3个，∴这两个数的和等于40的概率是p＝＝．故选：B．【知识点】古典概型及其概率计算公式6.【分析】由已知可得a+2b＝3，即，则＝（）（），展开后利用基本不等式求最值．【解答】解：圆x2+y2﹣2x+4y+1＝0的圆心坐标为（1，﹣2），由圆x2+y2﹣2x+4y+1＝0关于直线ax﹣by﹣3＝0（a＞0，b＞0）对称，∴a+2b＝3，即，则＝（）（）＝+．当且仅当，即a＝，b＝时上式取等号．∴的最小值是3．故选：B．【知识点】直线与圆的位置关系7.【分析】根据题意，由排除法分析：先分析函数的奇偶性排除B、D，再分析可得当0＜x＜时，f（x）＞0，排除A；即可得答案．【解答】解：根据题意，函数，其定义域为{x|x≠0}，有﹣（）＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，排除B、D；又由当0＜x＜时，f（x）＞0，排除A，故选：C．【知识点】函数图象的作法8.【分析】利用三视图求出三棱锥的底面边长以及侧棱长，然后求解表面积．【解答】解：应用可知三棱锥的高为：3，底面三角形的高为：3，则底面正三角形的边长为：a；所以，解得a＝2．斜高为：＝，该三棱锥的表面积为：3×+＝3+3．故选：A．【知识点】由三视图求面积、体积9.【分析】点P在双曲线C的右支上，且满足|F1F2|＝2|OP|，即有O为△PF1F2外接圆的圆心，即有∠F1PF2＝90°，运用勾股定理和双曲线的定义，化简整理，结合离心率公式计算即可得到．【解答】解：点P在双曲线C的右支上，且满足|F1F2|＝2|OP|，即有O为△PF1F2外接圆的圆心，即有∠F1PF2＝90°，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|＝2a，∵tan∠PF2F1＝4，所以|PF1|＝4|PF2|，则|PF1|＝a，|PF2|＝a，由|PF1|2+|PF2|2＝|F1F2|2，即（）2+（）2＝4c2，即有c2＝a2，e＝，故选：C．【知识点】双曲线的简单性质10.【分析】由已知可得函数的图象关于x＝1对称，又x＞1时函数图象单调递增，距离对称轴越远，函数值越大，【解答】解：由f（x+1）＝f（﹣x+1）可得函数的图象关于x＝1对称，又当x≤1时，f（x）＝e﹣x﹣3单调递减，故x＞1时函数图象单调递增，距离对称轴越远，函数值越大，∵log27∈（2，3），，3﹣1.5，故a＞c＞b．故选：B．【知识点】不等关系与不等式、奇偶函数图象的对称性11.【分析】由题意建立空间直角坐标系，求出平面AD1E的一个法向量，利用空间向量分析①②；找出平面AD1E截正方体所得截面，求解体积判断③．【解答】解：建立如图所示空间直角坐标系，A（1，0，0），D1（0，0，1），E（0，1，），C（0，1，0），设F（t，t，0）（0≤t≤1），则，，＝（t，t﹣1，0）．设平面AD1E的一个法向量为，由，取z＝1，则．由，解得t＝∈[0，1]，故①正确；由＝（t，t﹣1，0），，知与不共线，故②错误；平面AD1E把正方体分成两部分如图，正方体体积为1，三棱台ECH﹣D1DA的体积V＝，∴平面AD1E把正方体分成两部分，较小部分的体积为，故③正确．∴①③正确．故选：C．【知识点】命题的真假判断与应用12.【分析】根据a n与S n的关系，求得a n的通项公式，消元，利用一元函数的根的分布问题，即可求得t取值范围．【解答】解：由6S n＝a n2+3a n+2，当n＝1时，6a1＝a12+3a1+2．解得a1＝2，当n≥2时，6S n﹣1＝a n﹣12+3a n﹣1+2，两式相减得6a n＝a n2+3a n﹣（a n﹣12+3a n﹣1），整理得（a n+a n）（a n﹣a n﹣1﹣3）＝0，﹣1由a n＞0，所以a n+a n﹣1＞0，所以a n﹣a n﹣1＝3，所以数列{a n}是以2为首项，3为公差的等差数列，所以a n+1＝2+3（n+1﹣1）＝3n+2，所以＝＝3﹣＜3，因此原不等式转化为2t2+at﹣1≥3对于任意的a∈[﹣2，2]，n∈N*恒成立，化为：2t2+at﹣4≥0，设f（a）＝2t2+at﹣4，a∈[﹣2，2]，可得f（2）≥0且f（﹣2）≥0，即有，即，可得t≥2或t≤﹣2，则实数t的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．故选：A．【知识点】数列与不等式的综合、数列递推式二、填空题（共4小题）13.【分析】由已知求得||，然后求出，开方得答案．【解答】解：∵，∴，又与的夹角为60°，，∴＝9+4×3×1×cos60°+4＝19．∴＝故答案为：．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算律14.【分析】作出平面区域，结合Z最小，截距最小平移直线2x+y＝0确定最小值即可．【解答】解：作出不等式组件所表示的平面区域，作出直线2x+y＝0，对该直线进行平移，结合Z最小，直线的截距最小；可以发现经过点C（﹣3，﹣3）时Z取得最小值﹣9；故答案为：﹣9．【知识点】简单线性规划15.【分析】设出P点坐标，表示出M的坐标，由Q，N，M三点共线，k MN＝k NQ可计算出a，从而解决问题；【解答】解：设P（x，y），则由A（a，0）；线段AP的中点为M，则M（，）；由题意，Q，N，M三点共线，k MN＝k NQ；即＝；可得x+a﹣4＝2+x；所以a＝6，由椭圆C的离心率为，得c＝4，b2＝20；故椭圆C的标准方程为：．故答案为：．【知识点】椭圆的简单性质16.【分析】通过讨论f（x）的符号，结合函数的单调性判断出a的范围即可．【解答】解：若f（x）g（x）≤0在定义域内恒成立，考虑以下情形：①当f（x）≤0，g（x）≥0同时恒成立时，由f（x）＝lnx+2ax≤0，即﹣2a≥恒成立，设h（x）＝，h′（x）＝，当x＞e时，h′（x）＜0，h（x）递减，当0＜x＜e时，h′（x）＞0，h（x）递增，可得x＝e处h（x）取得极大值，且为最大值，可得﹣2a≥，即a≤﹣；∵由g（x）≥0，即﹣a≥0恒成立得a≤0．∴a≤﹣；②当f（x）≥0，g（x）≤0同时恒成立时，a不存在；③当a＞0时，∵f（x）＝lnx+2ax为增函数，g（x）＝﹣a为减函数，若它们有共同零点，则f（x）•g（x）≤0恒成立，由f（x）＝lnx+2ax＝0，g（x）＝﹣a＝0，联立方程组解得：a＝e2．综上可得a≤﹣或a＝e2．故答案为：a≤﹣或a＝e2．【知识点】函数恒成立问题三、解答题（共7小题）17.【分析】（1）由已知结合余弦定理及三角形的面积公式可求tan C，进而可求C，然后再由余弦定理即可求解b，（2）由已知结合正弦定理可表示b，c，然后根据和差角公式及辅助角公式进行化简后结合正弦函数的性质可求．【解答】解：（1）∵4，所以，即tan C＝，又因为0＜C＜π，所以C＝，因为c＝，a＝4，由余弦定理可得cos＝，解可得，b＝3或b＝，因为b＞c＝，所以，b＝3；（2），由正弦定理可得，＝，故b＝2sin B，c＝2sin C＝2sin（），由题意可知，，解可得，，则△ABC周长为2sin（）+2sin B＝，＝，因为，所以，故＜sin（B+）≤1，因此三角形的周长的范围（3+，3]．【知识点】余弦定理18.【分析】（1）先求出BD⊥DC，再证明CD⊥平面BDEF，再根据面面垂直的判断定理求出即可；（2）根据题意，建立空间直角坐标系，求出平面BCM的法向量，BD的方向向量，利用夹角公式，结合函数的最值，求出即可．【解答】解：（1）等腰梯形ABCD，AD＝AB＝1，由∠ABC＝60°，∠BAD＝120°，BD＝＝，BC＝1+＝2，所以BC2＝CD2+BD2，BD⊥DC，由平面BDEF⊥平面ABCD，BD＝平面BDEF∩平面ABCD，所以CD⊥平面BDEF，又CD⊂平面CDE，所以平面CDE⊥平面BDEF；（2）根据题意，以D为圆心，以DB，DC，DE分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设EM＝m∈[0，]则B（，0，0），C（0，1，0），D（0，0，0），M（m，0，），，，设平面BMC的法向量为，由，令x＝，y＝3，z＝，故，设BD与平面BCM的夹角为θ，所以sinθ＝|cos＜＞|＝，m∈[0，]，所以当m＝0时取最小值，m＝取最大值，故BD与平面BCM所成角正弦值的取值范围为[]．【知识点】直线与平面所成的角、平面与平面垂直的判定19.【分析】本题第（1）题由题意，设过点P（0，2）的直线l的斜率为k，则l：y＝kx+2．然后由，根据定比分点的知识，可得＝2，＝0．将y1＝kx1+2，y2＝kx2+2代入最终可得到k的值，则即可求出直线AB的方程；第（2）题先联立直线l与抛物线方程，整理得到一元二次方程，根据韦达定理有x1+x2＝4k，x1•x2＝﹣8．再根据题意写出∴＝（﹣x2，﹣2﹣y2），＝（x1，﹣4）．再根据平行向量的坐标公式x1y2﹣x2y1＝0进行代入计算即可证明BQ∥P A1．【解答】（1）解：由题意，设过点P（0，2）的直线l的斜率为k，则l：y＝kx+2．设A（x1，y1），B（x2，y2）．∵，∴根据定比分点的知识，有＝2，＝0．∴x1+2x2＝6，y1+2y2＝0．∵y1+2y2＝kx1+2+2（kx2+2）＝＝k（x1+2x2）+6＝6k+6＝0，解得k＝﹣1．∴直线AB的方程为y＝﹣x+2．（2）证明：根据（1），联立直线l与抛物线方程，得，整理，得x2﹣4kx﹣8＝0．则x1+x2＝4k，x1•x2＝﹣8．∵A1（x1，﹣2），B1（x2，﹣2）．∴Q（，﹣2）．∴＝（﹣x2，﹣2﹣y2），＝（x1，﹣4）．∵（﹣x2）•（﹣4）﹣x1•（﹣2﹣y2）＝4•+x1•（y2+2）＝2x2﹣2x1+x1y2+2x1＝2x2+x1y2＝2x2+x1•＝2x2+•x1•x2＝2x2+•（﹣8）＝0．∴BQ∥P A1．【知识点】抛物线的简单性质20.【分析】（1）将k＝1代入f（x）中，然后利用导数求得f（x）的单调区间．（2）先求得f（x）的导函数f′（x）＝（e x﹣kx）（x﹣1），则g（x）＝e x﹣kx有两个不同的零点，且都不是1，然后对k分成k≤0，k＞0两种情况分类讨论，利用导数研究g（x）的单调性和零点，由此求得k的取值范围．进一步证明x1+x3＞2x2．【解答】解：（1）当k＝1时，，∴f'（x）＝（e x﹣x）（x﹣1）．令h（x）＝e x﹣x，则h'（x）＝e x﹣1，∴由h'（x）＞0得x＞0，h'（x）＜0得x＜0，∴h（x）在（﹣∞，0）上递减，在（0，+∞）上递增．∴h（x）≥h（0）＝1＞0即e x﹣x＞0，∴解f'（x）＞0得x＞1，解f'（x）＜0得x＜1，∴f（x）的单调减区间为（﹣∞，1），单调增区间为（1，+∞）．（2）f'（x）＝e x（x﹣2）+e x﹣kx2+kx＝（e x﹣kx）（x﹣1），∵f（x）有三个极值点，∴方程e x﹣kx＝0有两个不等根，且都不是1，令g（x）＝e x﹣kx，当k≤0时，g（x）单调递增，g（x）＝0至多有一根，∴当k＞0时，解g'（x）＞0得x＞lnk，解g'（x）＜0得x＜lnk．∴g（x）在（﹣∞，lnk）上递减，在（lnk，+∞）上递增，∴g（lnk）＝e lnk﹣klnk＝k（1﹣lnk）＜0，k＞e，此时，g（0）＝1＞0，lnk＞1，g（1）＝e﹣k＜0，x→+∞时g（x）→+∞．∴k＞e时，f'（x）＝0有三个根x1，x2，x3，且0＜x1＜1＝x2＜x3，由得x1＝lnk+lnx1，由得x3＝lnk+lnx3，∴．下面证明：，可变形为令，，，∴φ（x）在（1，+∞）上递增，∴φ（t）＞φ（1）＝0，∴，∴x3+x1＞2x2．【知识点】利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值21.【分析】（1）利用考试的平均成绩、高分考生的人数，以及题目所给正态分布的参考资料，求得考生成绩X的分布X～N（180，832），利用录取率列方程，由此求得最低录取分数线；（2）计算出不低于考生甲的成绩的人数约为200，由此判断出甲能获得高薪职位．【解答】解：（1）设考生的成绩为X，则由题意可得X应服从正态分布，即X～N（180，σ2），令Y＝，则Y～N（0，1）．由360分及以上高分考生30名可得P（X≥360）＝，即P（X＜360）＝1﹣＝0.985，即有P（X＜）＝0.985，则≈2.17，可得σ≈83，可得N（180，832），设最低录取分数线为x0，则P（X≥x0）＝P（Y≥）＝，即有P（Y＜）＝1﹣＝0.85，即有＝1.04，可得x0≈266.32，即最低录取分数线为266到267分之间；（2）考生甲的成绩286＞267，所以能被录取，P（X＜286）＝P（Y＜）＝P（Y＜1.28）≈0.90，表明不低于考生甲的成绩的人数大约为总人数的1﹣0.90＝0.10，2000×0.10＝200，即考生甲大约排在第200名，排在前275名之前，所以能被录取为高薪职位．【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义22.【分析】（1）直接利用转换关系式的应用把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用极径的应用和关系式的转换的应用求出结果．【解答】解：（1）由已知得，圆心的直角坐标为，r＝3，所以C的直角坐标方程为，所以圆C的参数方程为（θ为参数）．（2）由（1）得，圆C的极坐标方程为，即．设P（ρ，θ），Q（ρ1，θ），根据|OP|：|PQ|＝2：3，可得ρ：ρ1＝2：5，将代入C的极坐标方程得，即动点P轨迹的极坐标方程为．【知识点】简单曲线的极坐标方程23.【分析】（1）利用分段函数表示f（x），画出y＝f（x）的图象即可；（2）不等式f（x）＞a﹣|x+1|对x∈R成立，化为|2x﹣1|+2|x+1|＞a对x∈R成立；设g（x）＝|2x﹣1|+2|x+1|，求出g（x）的最小值，从而求得a的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）＝|2x﹣1|+|x+1|＝；画出y＝f（x）的图象，如图所示；（2）不等式f（x）＞a﹣|x+1|对x∈R成立，即|2x﹣1|+2|x+1|＞a对x∈R成立；设g（x）＝|2x﹣1|+2|x+1|，则g（x）＝|2x﹣1|+|2x+2|≥|（2x﹣1）﹣（2x+2）|＝3，当且仅当﹣1≤x≤时取等号；所以实数a的取值范围是a＜3．【知识点】函数图象的作法、不等式恒成立的问题。
河南省洛阳市2020届高三数学上学期尖子生第一次联考试题理(含解析)
河南省洛阳市2020届高三数学上学期尖子生第一次联考试题 理（含解析）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合合题目要求的.1.全集U =R ，{}2019|log (1)A x y x ==-，{|B y y ==，则()U A C B =I （ ） A. ()1,2 B. (]1,2C. [)1,2D. []1,2【答案】A 【解析】 【分析】分别解出集合A 和B ，再结合交集的概念和补集的概念得到结果.【详解】{{}||2B y y y y ===={}|2U C B y y =<，{}{}2019|log (1)|1A x y x x x ==-=> ()()1,2.U A C B =I故答案为：A.【点睛】这个题目考查了集合的交集和补集的概念，属于基础题.2.已知复数z 满足(1+2)34i z i =-+，则z =（ ）B. 5【答案】C 【解析】()()()()34i 12i 510i 12i,12i 12i 12i 5z -+-+===++=+-故选C .3.已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与直线3y x =重合，且sin 0α<，又()P m n ,是角α终边上一点，且OP =O 为坐标原点)，则m n -等于（ ） A. 2 B. 2-C. 4D. 4-【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得0,3m n m <=，根据OP =,m n 的值，即可求解m n -得值，得到答案.【详解】由题意，角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与直线3y x =重合，且sin 0α<，所以α为第三象限角.又()P m n ,是角α终边上一点，所以0,3m n m <=，再根据OP m ===（O 为坐标原点）， 所以1,3m n =-=-，则2m n -=， 故选A.【点睛】本题主要考查了三角函数的定义及其应用，其中解答熟练应用三角函数的定义，列出方程求得m 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4.已知等比数列{}n a 中，2854a a a ⋅=，等差数列{}n b 中，465b b a +=，则数列{}n b 的前9项和9S 等于（ ） A. 9 B. 18 C. 36D. 72【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列的性质可得2825a a a ⋅=，求得54a =，得到464b b +=，再由等差数列的前n 项和，即可求解，得到答案.【详解】在等比数列{}n a 中，满足2854a a a ⋅=，由等比数列的性质可得2825a a a ⋅=，即2554a a ⋅=，所以54a =，又由465b b a +=，所以464b b += 所以数列{}n b 的前9项和194699()9()9418222b b b b S ++⨯====， 故选B.【点睛】本题主要考查了等差数列、等比数列的性质，以及等差数列的前n 项和公式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5.已知()f x 为偶函数，当0x >时，()ln 3f x x x =-，则曲线() y f x =在点()1,3--处的切线与两坐标轴围成图形的面积等于（ ） A. 1 B.34C.14D.12【答案】C 【解析】 【分析】由偶函数的定义求得当0x <时，()ln()3f x x x =-+，利用导数的几何意义求得切线的斜率和切线方程，令0,0x y ==，可得切线与两坐标轴的交点，再由三角形的面积公式计算，即可求解.【详解】由题意，函数()f x 为偶函数，当0x >时，()ln 3f x x x =-， 当0x <时，可得()()ln()3f x f x x x =-=-+， 则()13f x x'=+，则曲线() y f x =在点()1,3--处的切线斜率为()12f '-=， 可得切线的方程为32(1)y x +=+， 令0x =，可得1y =-，令0y =，可得12x =， 所以切线与两坐标轴围成的图形的面积为1111224S =⨯⨯=，故选C. 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，以及导数的几何意义的应用，其中解答中正确求解函数的解析式，合理利用导数的几何意义求得切线的方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6.在[6,9]-内任取一个实数m ，设2()f x x mx m =-++，则函数()f x 的图象与x 轴有公共点的概率等于（ ） A.215B.715C.35D.1115【答案】D 【解析】()2f x x mx m =-++Q图象与x 轴有公共点，240,4m mm ∴∆=+>∴<-或0,m >∴在[]6,9-内取一个实数m ，函数()f x 的图象与x 轴有公共点的概率等于()()4690119615-++-=+，故选D.7.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,,F F P 为双曲线上一点，且122PF PF =，若12sin F PF ∠= ）B. 2或2或【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的定义和题设条件，求得124,2PF a PF a ==，再在12PF F ∆中，由余弦定理，化简整理得224c a =或226c a=，即可求解，得到答案.【详解】由题意，根据双曲线的定义可得122PF PF a -=，又因为122PF PF =， 可得124,2PF a PF a ==，又由12sin F PF ∠=121cos 4F PF ∠=±，在12PF F ∆中，由余弦定理可得2222221212122111co 6442s 2244PF PF F F a a c PF P P a a F F F +-+-=⨯⨯=±=∠，解得224c a =或226c a=，所以2c e a ==，故选C.【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，以及双曲线的离心率的求解，其中解答中合理利用双曲线的定义，以及在12PF F ∆中，利用余弦定理求得22c a的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.8.若向量a b c ⋅⋅v v v 满足1a b ==r r ，1,2a b a c ⋅=-<-r r r r ，3b c π->=r r ，c r 的最大值为（ ）A.2B.12C. 1D. 2【答案】D 【解析】 【分析】构造,,,120,60AB a AD b AC c BAD BCD ===∠=∠=o o u u u r r u u u r r u u u r r，得到,,,A B C D 四点共圆，结合图形，得到当线段AC 为圆的直径时，此时c r最大，即可求解.【详解】如图所示，构造,,,120,60AB a AD b AC c BAD BCD ===∠=∠=o o u u u r r u u u r r u u u r r，因为180BAD BCD ∠+∠=o ，所以,,,A B C D 四点共圆，所以当线段AC 为圆的直径时，此时c r最大，由余弦定理可得2222212cos12011211()32BD AB AD AB AD =+-⋅=+-⨯⨯⨯-=o，所以BD =22sin120BDR ==o，即cr 的最大值2，故选D.【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算，正弦定理和余弦定理，以及四点共圆的应用，其中解答中构造出,,,A B C D 四点共圆，结合图形求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，构造思想的应用，属于中档试题.9.某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为（ ） A. 16 B. 18C. 24D. 32【答案】C 【解析】 【分析】 把剩余的4个车位看成一个元素，且只有一种排法，再加上有3辆不同型号的车，共有四个不同的元素，利用排列数公式，即可求解.【详解】由题意知，剩余的4个车位连在一起，把剩余的4个车位看成一个元素，且只有一种排法，再加上有3辆不同型号的车，所有共有四个不同的元素，其中四个元素的排列共有4424A =种，故选C.【点睛】本题主要考查了排列的应用，其中解答中把剩余的4个车位看成一个元素，共有四个不同的元素，利用排列数公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.10.已知函数2()43f x x x =-+.若方程2[()]()0f x bf x c ++=恰有七个不相同的实根，则实数b 的取值范围是（ ） A. ()2,0- B. ()2,1-- C. ()0,1 D. ()0,2【答案】B 【解析】 【分析】画出函数()f x 的图象，根据方程2[()]()0f x bf x c ++=恰有七个不同的实根，得到方程20t bt c ++=的其中一个根为1，另一根在(0,1)内，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】由题意，画出函数2()43f x x x =-+的图象，如图所示， 可得()(1)(3)0,(2)1,0f f f f x ===≥，因为方程2[()]()0f x bf x c ++=恰有七个不同的实根， 则方程20t bt c ++=的其中一个根为1，另一根在(0,1)内， 设()2g t t bt c =++，则满足(1)0g =且(0)0g >且()02b g -<且012b<-<， 即10b c ++=且0c >且2()()022b b bc -+⋅-+<且012b<-<， 解得21b -<<-，即实数b 的取值范围是()2,1--，故选B.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中把方程2[()]()0f x bf x c ++=恰有七个不同的实根，转化为20t bt c ++=的其中一个根为1，另一根在(0,1)内，结合二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及数形结合思想的应用，属于中档试题.11.定义在R 上的函数()f x 导函数为()f x '，若对任意实数x ，有()()f x f x '>，且()2019f x +为奇函数，则不等式()2019e 0x f x +<的解集为（ ）A. (),0-∞B. ()0,∞+C. 1(,)e-∞D. 1(,)e+∞【答案】B 【解析】 【分析】 构造新函数()()x f x g x e=，利用导数求得函数()g x 在R 上单调递减，再根据()2019f x +为奇函数，求得()02019g =-，得出不等式()20190xf x e +<等价与()()0g x g <，即可求解.【详解】由题意，构造新函数()()xf xg x e =，则()()()x f x f x g x e '-'=，因为()()f x f x '>，所以()0g x '<，所以函数()g x 在R 上单调递减，又因为()2019f x +为奇函数，所以()020190f +=， 所以()02019f =-，则()02019g =-，所以不等式()20190xf x e +<等价与()()0g x g <，即0x >，所以不等式()2019e 0xf x +<的解集为()0,∞+，故选B.【点睛】本题主要考查了函数的单调性、奇偶性的应用，以及利用导数研究函数的单调性及其应用，其中解答中构造新函数，合理利用函数的单调性和奇偶性是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.12.已知三棱锥—P ABC 的四个顶点均在同一个球面上，底面ABC ∆满足BA BC ==π2ABC ∠=，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为（ ）A. 8πB. 16πC.16π3D.32π3【答案】D 【解析】因为ABC ∆是等腰直角三角形，所以外接圆的半径是11232r ==是R ，球心O 到该底面的距离d ，如图，则163,32ABC S BD ∆=⨯==116336ABC V S h h ∆==⨯=最大体积对应的高为3SD h ==，故223R d =+，即22(3)3R R =-+，解之得2R =，所以外接球的体积是343233R ππ=，应选答案D 。
河南省洛阳市2019-2020学年高三上学期第一次统一考试(1月)数学(理)试题(解析版)
洛阳市2019--2020学年高中三年级第一次统一考试数学试卷(理)第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合(){}20|M x x x =-<，{}2,1,0,1,2N =--，则MN =（ ）A. {}0,1B. {}2,1--C. {}1D. {}0,1,2【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式求得集合M ，由此求得两个集合的交集. 【详解】由()20x x -<，解得{}|02M x x =<<，所以M N ={}1.故选：C【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题.2.已知复数z 在复平面中对应的点(),x y 满足()2211x y -+=，则1z -=（ ）A. 0B. 1C.D. 2【答案】B 【解析】 【分析】根据复数对应点的坐标以及复数模的几何意义，判断出正确选项. 【详解】由于复数z 在复平面中对应点(),x y 满足()2211x y -+=，即复数z 对应点在圆心为()1,0，半径为1的圆上，1z -表示复数对应的点到()1,0的距离，也即圆上的点到圆心的距离，所以11z -=. 故选：B【点睛】本小题主要考查复数对应点的坐标以及复数模的几何意义，考查圆的方程，属于基础题.3.为了节能减排，发展低碳经济，我国政府从2001年起就通过相关政策推动新能源汽车产业发展.下面的图表反映了该产业发展的相关信息:根据上述图表信息，下列结论错误的是（）A. 2017年3月份我国新能源汽车的产量不超过3.4万辆B. 2017年我国新能源汽车总销量超过70万辆C. 2018年8月份我国新能源汽车的销量高于产量D. 2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量低于2万辆【答案】D【解析】【分析】根据图表对选项逐一分析，由此确定结论错误的选项.【详解】对于A选项，2017年3月份我国新能源汽车的产量6.8 6.83.32 3.41 1.05 2.05=≈<+，故A选项结论正确.对于B选项，2017年我国新能源汽车总销量125.6125.677.677010.617 1.617=≈>+，故B选项结论正确.对于C选项，2018年8月份我国新能源汽车的销量10.1万量，高于产量9.9万量，故C选项结论正确.对于D 选项，2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量9.60.25 2.42⨯=>，故D 选项结论错误. 故选：D【点睛】本小题主要考查图表数据分析，考查阅读与理解能力，属于基础题.4.已知正项等比数列{}n a 中，354a a =，且467,1,a a a +成等差数列，则该数列公比q 为（ ） A.14B.12C. 2D. 4【答案】C 【解析】 【分析】结合等差中项的性质，将已知条件转化为1,a q 的形式，由此求得q 的值.【详解】由于467,1,a a a +成等差数列，所以()64721a a a +=+，所以()64735214a a a a a ⎧+=+⎨=⎩，即()5361112411214a q a q a q a q a q ⎧+=+⎪⎨⋅=⎪⎩，解得11,24a q ==. 故选：C【点睛】本小题主要考查等比数列基本量的计算，考查等差中项的性质，属于基础题.5.我国数学家陈最润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就.哥德巴赫猜想简述为“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”(注:如果一个大于1的整数除了1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数)，如40337=+.在不超过40的素数，随机选取2个不同的数，这两个数的和等于40的概率是（ ） A.126B.122C.117D.115【答案】B 【解析】 【分析】先求得40以内的素数的个数，然后根据古典概型概率计算公式，计算出所求的概率.【详解】40以内的素数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37共12个，任选两个的方法数有21212116621C ⨯==⨯种，和为40的有33740,112940,172340+=+=+=共3种，所以不超过40的素数，随机选取2个不同的数，这两个数的和等于40的概率是316622=. 故选：B【点睛】选本小题主要考查古典概型的计算，考查组合数的计算，考查素数的知识，属于基础题. 6.圆222410x y x y +-++=关于直线()300,0ax by a b --=>>对称，则12a b+的最小值是（ ） A. 1 B. 3 C. 5D. 9【答案】B 【解析】 【分析】求得圆心，代入直线30ax by --=，利用基本不等式求得12a b+的最小值. 【详解】圆222410x y x y +-++=的圆心为()1,2-，由于圆关于直线30ax by --=对称，圆心坐标满足直线方程，所以23a b +=，所以12a b +()1122123253b a a b b b a a +⎛⎫⎛⎫=⋅⋅+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()11554333⎛≥+=+= ⎝，当且仅当22,1b aa b a b===时等号成立. 故选：B【点睛】本小题主要考查圆的几何性质，考查基本不等式求最小值.7.函数()()23xx e e cos x f x x-⋅-=（e 为自然对数的底数）的大致图象为（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和特殊值，排除错误选项，由此得出正确选项.【详解】由于()()f x f x -=-，所以()f x 为奇函数，图像关于原点对称，由此排除B,D 两个选项. 当0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x >，由此排除A 选项. 故选：C【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性，属于基础题. 8.正三棱锥的三视图如下图所示，则该正三棱锥的表面积为（ ）A. B. 9 C. D.92【答案】A 【解析】 【分析】通过三视图还原出立体图，通过条件可求得底面正三角形边长为则可求侧面积为.【详解】如图所示，底面正三角的高AD=3，所以223AH AD==，AB=AC=BC=ABCS =又SH为侧视图中的高，所以SH=3，则AS=,则在等腰SAB中12SABS=⨯=所以侧面积为A.【点睛】本题考查已知三视图求几何体的表面积，准确的还原出立体图是解题的关键，属中档题.9.已知点12,F F分别是双曲线()2222:10,0x yC a ba b-=>>的左，右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C的右支上，且满足12212,4F F OP tan PF F=∠=，则双曲线C的离心率为（）B. 5D.179【答案】C【解析】【分析】根据122F F OP=判断出三角形12F F P是直角三角形，利用214tan PF F∠=、双曲线的定义和勾股定理列方程组，化简后求得离心率.【详解】由于1222F F OP c==，所以三角形12F F P是直角三角形.所以12121222221212424PFtan PF FPFPF PF aPF PF F F c⎧∠==⎪⎪⎪-=⎨⎪+==⎪⎪⎩，化简得22179ca=，即cea==故选：C【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法，考查双曲线的定义，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.10.设()f x 是定义在R 上函数，满足条件()()11f x f x +=-+，且当1x ≤时，()3xf x e-=-，则()27a f log =，()2 1.533,3b f c f --⎛⎫⎪⎝⎭==的大小关系是（ ）A. a b c >>B. a c b >>C. b a c >>D. c b a >>【答案】B 【解析】 【分析】利用已知条件将()27a f log =转换为247a f log ⎛=⎫⎪⎝⎭，根据1x ≤时()f x 的单调性，比较出,,a b c 的大小关系.【详解】依题意()()11f x f x +=-+，所以()22277log 1log 1227a f log f f ⎛⎫⎛⎫=+=-+ ⎪ ⎝⎭⎝=⎪⎭24l o g 7f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.因为21.5324log 03317--<<<<，且当(],1x ∈-∞时，()3x f x e -=-为减函数，所以a cb >>.故选：B【点睛】本小题主要考查利用函数的单调性比较大小，考查对数运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.11.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 为棱1CC 的中点.下列结论:①线段BD 上存在点F ，使得//CF 平面1AD E ；②线段BD 上存在点F ，使CF ⊥得平面1AD E ；③平面1AD E 把正方体分成两部分，较小部分的体积为724，其中所有正确的序号是（ ） A. ① B. ③C. ①③D. ①②③【答案】C 【解析】的【分析】利用线面平行的判定定理，作出F 点的位置，判断①正确.利用面面垂直的判定定理，判断②错误.计算较小部分的体积，判断③正确.【详解】设1A D 交1AD 于P ，过P 作PQ AD ⊥，交AD 于Q ，连接CQ 交BD 于F ，由于//,PQ CE PQ CE =，所以四边形PQCE 为平行四边形，所以//CQ EP ，所以//CQ 平面1AED .故线段BD 上存在点F ，使得//CF 平面1AD E ，即①正确.若CF ⊥平面1AD E ，CF ⊂平面ABCD ，则平面1AD E ⊥平面ABCD ，这不成立，所以②错误. 延展平面1AD E 为1AMED 如图所示，其中M 是BC 的中点.根据正方体的几何性质可知，1,,D E AM DC 相交于一点， 1CEMDD A ∆∆,所以多面体1CEM DD A -是棱台.且体积为(113CEM DD A S S CD ∆∆⋅+⋅1117138224⎛=⋅++⋅= ⎝.故③正确. 综上所述，正确的序号为①③. 故选：C【点睛】本小题主要考查空间线面平行、线面垂直有关定理，考查台体体积计算，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.12.已知正项数列{}n a 的前n 项和为1,1n S a >，且2632n n n S a a =++.若对于任意实数[]2,2a ∈-.不等式2*1()211n a t at n N n +<+-∈+恒成立，则实数t 的取值范围为（ ） A. ][(),22,⋃∞-+∞- B. ,21,(][)∞⋃+∞--C. ,12[),(]-∞⋃+∞-D. []22-,【答案】A 【解析】 【分析】 求得11n a n ++的范围，转化主参变量列不等式组，解不等式组求得t 的取值范围. 【详解】由2632n n n S a a =++①.当1n =时，2111632a a a =++，解得12a =.当2n ≥时，2111632n n n S a a ---=++②，①-②得2211633n n n n n a a a a a --=-+-，()()1130n n n n a a a a --+--=，所以13n n a a --=，所以数列{}n a 是首项为12a =，公差为3d =的等差数列，所以31n a n =-，所以()1311133111n n a n n n ++-==-<+++，所以2213t at +-≥恒成立，即2240t at +-≥，转换为2240ta t +-≥，在[]2,2a ∈-恒成立，所以2222402240t t t t ⎧-+-≥⎨+-≥⎩，解得][,2()2,t ∈⋃∞-+∞-. 故选：A【点睛】本小题主要考查已知n S 求n a ，考查不等式恒成立问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.平面向量a 与b 的夹角为60，且()3,0a =，1b =，则2a b += __________．【解析】 【分析】利用()222a b a b +=+来求得2a b +.【详解】依题意()222a b a b+=+224494a ab b =+⋅+=+=【点睛】本小题主要考查平面向量模的运算，考查平面向量数量积的运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.14.若实数,x y 满足约束条件,4, 3,y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =+的最小值是__________．【答案】9- 【解析】 【分析】画出可行域，平移基准直线20x y +=到可行域边界位置，由此求得z 的最小值.【详解】画出可行域如下图所示，平移基准直线20x y +=到可行域边界点()3,3A --位置，此时z 取得最小值为()2339⨯--=-. 故答案为：9-【点睛】本小题主要考查线性规划求最小值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.15.已知椭圆()2222:10,x y C a b A a b+=>>为右顶点.过坐标原点O 的直线交椭圆C 于,P Q 两点，线段AP 的中点为M ，直线QM 交x 轴于()2,0N ，椭圆C 的离心率为23，则椭圆C 的标准方程为__________． 【答案】2213620x y += 【解析】【分析】设出,P Q 两点的坐标，求得M 点坐标，由,,Q M N 三点共线列方程，结合椭圆的离心率求得,a b 的值，进而求得椭圆的标准方程.【详解】设()()0000,,,P x y Q x y --，(),0A a ，所以00,22a x y M +⎛⎫ ⎪⎝⎭，由于,,Q M N 三点共线，所以00002222y y a x x =++-，解得6a =.由于椭圆离心率23c a =，所以4c =，所以22220,b a c b =-==.所以椭圆方程为2213620x y +=. 故答案为：2213620x y += 【点睛】本小题主要考查根据椭圆的离心率求椭圆标准方程，考查运算求解能力，属于基础题. 16.已知函数()()12,f lnx ax a x g x x=+=-，且()()0f x g x ≤在定义域内恒成立，则实数a 的取值范围为__________． 【答案】{2|a a e =或12a e ⎫≤-⎬⎭【解析】分析】 先求得()()f x g x 的定义域，然后对()f x 和()g x 的符合进行分类讨论，由此求得实数a 的取值范围.【详解】依题意()()()1ln 2f x g x x ax a x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，定义域为()0,∞+. 由于()()0f x g x ≤在定义域内恒成立，则 ①，1ln 20,0x ax a x +≤-≥恒成立，即ln 12,x a a x x ≤-≤在()0,∞+恒成立.令()ln x h x x=-，()'ln 1x h x x -=，故()h x 在()0,e 上递减，在(),e +∞上递增，故()()1h x h e e≥=-.所以，由ln 12,x a a x x ≤-≤可得12,0a a e ≤-≤，即12a e≤-. ②，1ln 20,0x ax a x +≥-≤恒成立，即ln 12,x a a x x≥-≥在()0,∞+恒成立，不存在这样的a . ③，当0a >时，由于()f x 在()0,∞+上递增，()g x 在()0,∞+上递减，要使()()0f x g x ≤在定义域内恒成立，则需()f x 和()g x 有相同的零点.由ln 2010x ax a x+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得22,a e x e -==. 综上所述，实数a 的取值范围是{2|a a e =或12a e ⎫≤-⎬⎭. 【故答案为：{2|a a e =或12a e ⎫≤-⎬⎭【点睛】本小题主要考查不等式恒成立问题的求解策略，考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在ABC 中，角,,A B C 对应边分别为,,a b c .(1)若ABC 的面积S 满足222,4c a b c a +=+==且b c >，求b 的值；(2)若3a A π==且ABC 为锐角三角形.求ABC 周长的范围.【答案】（1）b =（2）3(+【解析】【分析】（1）结合三角形面积公式和余弦定理，求得tan C 的值，由此求得C 的大小，利用余弦定理列方程求得b 的值.（2）利用正弦定理表示出,b c ，用三角形内角和定理和三角恒等变换求得b c +的取值范围，由此求得a b c ++即三角形ABC 周长的取值范围.【详解】(1)由条件和三角形的面积公式得2222c c a b +=+=+，即222a b c =+-.将余弦定理2222a b c abcosC +-=.cosC =，即tanC =，因为(0,)C π∈，所以6C π=将4,6c a C π===，代入2222c a b abcosC =+-，得290b -+=结合条件b c >得b =(2)由正弦定理得2sin sin sin a b c A B C=== 所以()2b c sinB sinC +=+()22233sinB sin B sinB sin B πππ⎡⎡⎤⎛⎫=--+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎤=⎢⎥⎣⎦⎦+322(6)2sinB cosB B π⎛⎫ ⎪ ⎪⎭==+⎝+ 因为A B C π++=，且3A π=及锐角三角形得0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且20,32B ππ⎛⎫⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以62B ππ<<，所以2363B πππ<+<，即sin 126B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，所以(3,b c +∈所以周长a b c ++范围是3(+.【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查三角恒等变换，考查运算求解能力，属于中档题.18.如图，已知四边形ABCD 为等腰梯形，BDEF 为正方形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，//,1AD BC AD AB ==，60ABC ∠=︒.(1)求证:平面CDE ⊥平面BDEF ；(2)点M 为线段EF 上一动点，求BD 与平面BCM 所成角正弦值的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）12⎤⎥⎣⎦ 【解析】【分析】（1）利用等腰梯形的性质证得BD CD ⊥，由面面垂直的性质定理证得CD ⊥平面BDEF ，由此证得平面CDE ⊥平面BDEF .（2）建立空间直角坐标系，设出EM 的长，利用直线BD 的方向向量和平面BCM 的法向量，求得BD 与平面BCM 所成角正弦值的表达式，进而求得BD 与平面BCM 所成角正弦值的取值范围.【详解】在等腰梯形ABCD 中，// ,1AD BC AD AB ==， 60ABC ∠=︒，120,30BAD CDA ADB ∴∠=∠=︒∠=︒，90CDB ∠=︒. 即.BD CD⊥BD =2BC =. 又平面BDEF ⊥平面ABCD ，平面BDEF ⋂平面,ABCD BD CD =⊂平面ABCD ，∴CD ⊥平面BDEFCD ⊂平面CDE ，∴平面CDE ⊥平面BDEF（2）解:由(1)知，分别以直线,,DB DC DE 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设0(EM m m =≤≤，则()(),0,1,0,000),,B C D，((),3,1,0M m BC =-，()3,0,3,3,0,()0BM m DB =-=设平面BMC 的法向量为(),,n x y x = 00n BC n BM ⎧⋅=∴⎨⋅=⎩，即(10y m x ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩令3x =，则3,y z m ==，平面BMC 的一个法向量为3,3,()n m =.设BD 与平面BCM 所成角为θ，,sin cos n BD θ∴=<>(,n BDn BD m ==∴当0m =m 时取最大值12故BD 与平面BCM 所成角正弦值的取值范围为12⎤⎥⎣⎦. 【点睛】本小题主要考查面面垂直的判定定理和性质定理，考查向量法计算线面角正弦值的取值范围，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19.过点()0,2P 的直线与抛物线2:4C x y =相交于,A B 两点. (1)若2AP PB =，且点A 在第一象限，求直线AB 的方程；(2)若,A B 在直线2y =-上的射影分别为11,A B ，线段11A B 的中点为Q ， 求证1//BQ PA .【答案】（1）240x y -+=.（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设出直线AB 的方程，联立直线AB 的方程和抛物线方程，化简后写出韦达定理，利用2AP PB =，结合平面向量相等的坐标运算、韦达定理，求得直线AB 的斜率，进而求得直线AB 的方程.（2）由（1）求得11,,A B Q 的坐标，通过计算10BQ PA k k -=，证得1//BQ PA .【详解】(1)设AB 方程为()20y kx k =+>，()()11221,,,,0A x y B x y x > ，联立方程24 2.x y y kx ⎧=⎨=+⎩，，消去y 得:2480x kx --=，216320k =+>，121248x x k x x +=⎧⎨⋅=-⎩① 又()1122(),2,,2AP x y PB x y =--=- 由2AP PB =得:122x x =-代人①解得12k = ∴直线AB 的方程为:122y x =+，即240x y -+=.(2)由(1)得，()111122,2,,2(()2),,2x A x B x Q x +--- 114PA k x =-， ()22221221228422BQ x x k x x x x x ++==+-- ()()()122121212211121888422BQ PA x x x x x x k k x x x x x x ++-+-=+=-- ()()()221212************x x x x x x x x x x x x ++===-- 1BQ PA k k ∴=1//PA BQ ∴【点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查向量的坐标运算，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.20.设函数()()3211232x f x e x kx kx =--+. (1)若1k =，求()f x 的单调区间；(2)若()f x 存在三个极值点123,,x x x ，且123x x x <<，求k 的取值范围，并证明:1 3 22x x x >+.【答案】（1）单调减区间为(,1)-∞，单调增区间为(1,)+∞.（2）k e >，证明见解析【解析】【分析】（1）当1k =时，利用导数求得()f x 的单调区间.（2）先求得()f x 的导函数()()()'1x e x f x kx --=，则()x g x e kx =-有两个不同的零点，且都不是1.对k 分成0,0k k ≤>两种情况分类讨论，利用导数研究()g x 的单调性和零点，由此求得k 的取值范围. 由上述分析可得12301x x x <<=<，利用导数证得312313131ln ln 221x x x x x x x x x -=>=-++，从而证得1 3 22x x x >+.【详解】(1)()32()11232x f x e x x x =--+()()() 1x f x e x x '∴=--.令()(),'1x x h x e x h x e =-=-，()'0h x >得0x >，()'0h x <得0x <，()h x 在(,0)-∞上递减，在(0,)+∞上递增.()()010h x h ∴≥=>即0x e x ->，∴解()'0f x >得1x >，解()'0f x <得1x <，()f x ∴的单调减区间为(,1)-∞，单调增区间为(1,)+∞.(2)()()()()2'21x x x f x e x e kx kx e kx x =-+-+=--，()f x 有三个极值点，∴方程0-=x e kx 有两个不等根，且都不是1，令()x g x e kx =-，0k ≤时，()g x 单调递增，()0g x =至多有一根，0k ∴>解()'0g x >得x lnk >，解()'0g x <得x lnk <.()g x ∴在(n ),l k -∞上递减，在(ln ,)k +∞上递增，()()ln 10,k g lnk e klnk k lnk k e =-=-<>∴此时，()010g =>，()1,10lnk g e k >=-<，x →+∞时()g x →+∞.k e ∴>时，()'0f x =有三个根123,,x x x ，且12301x x x <<=<，由11x e kx =得11x lnk lnx =+，由33xe kx =得33x lnk lnx =+，3131ln ln 1x x x x -∴=-下面证明:313131ln ln 2x x x x x x ->-+，可变形为331311121x x x ln x x x ->+ 令311x t x =>，()()21ln 1t x t t ϕ-=-+ ()()()()222114011t x t t t t ϕ-'=-=>++，()x ϕ∴在(1)+∞，上递增， ()()10t ϕϕ∴>= ∴313131ln ln 21x x x x x x -=>-+，3122.x x x ∴+> 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求解函数极值有关问题，考查利用导数证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于难题.21.“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求.“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用.每次考试过后，考生最关心的问题是:自己的考试名次是多少?自已能否被录取?能获得什么样的职位? 某单位准备通过考试(按照高分优先录取的原则)录用300名，其中275个高薪职位和25个普薪职位.实际报名人数为2000名，考试满分为400分.(一般地，对于一次成功的考试来说，考试成绩应服从正态分布. )考试后考试成绩的部分统计结果如下:考试平均成绩是180分，360分及其以上的高分考生30名.(1)最低录取分数是多少?(结果保留为整数)(2)考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位?若不能被录取，请说明理由.参考资料:(1)当2~(,)X N μσ时，令X Y μσ-=，则()~0,1Y N .(2)当()~0,1Y N 时， 2.17()0.985P Y ≤≈， 1.280.900, 1.()09()0.863P Y P Y ≤≈≤≈，1.04()0.85P Y ≤≈.【答案】（1）266分或267分.（2）能获得高薪职位.见解析【解析】【分析】（1）利用考试的平均成绩、高分考生的人数，以及题目所给正态分布的参考资料，求得考生成绩X 的分布()~180,832X N ，利用录取率3002000列方程，由此求得最低录取分数线. （2）计算出不低于考生甲的成绩的人数约为200，由此判断出甲能获得高薪职位.【详解】(1)设考生成绩为X ，则依题意X 应服从正态分布，即()2~180,X N σ. 令180X Y σ-=，则()~0,1Y N .由360分及其以上的高分考生30名可得()303602000P X ≥=即()3036010.9852000P X <=-≈，亦即3601800.985P Y σ-⎛⎫<≈ ⎪⎝⎭. 则3601802.17σ-=，解得()83180,832N σ≈∴，， 设最低录取分数线为o x ，则0180300832(0)00o x P X x P Y -⎛⎫≥=≥= ⎪⎝⎭ 则018030010.85832000x P Y -⎛⎫<=-≈ ⎪⎝⎭，0180 1.0483x -∴= 266.32o x ∴≈.即最低录取分数线为266分或267分.(2)考生甲的成绩286267>，所以能被录取.()()286180()286 1.280.9083P X P Y P Y -<=<=<≈， 表明不低于考生甲的成绩的人数约为总人数的10.900.10,20000.1200-=⨯≈，即考生甲大约排在第200名，排在275名之前，所以他能获得高薪职位.【点睛】本小题主要考查正态分布在实际生活中的应用，考查化归与转化的数学思想方法，考查阅读理解能力，属于中档题.请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用2B 铅笔在答题卡.上把所选题目对应的题号后的方框涂黑.22.在极坐标系中，已知圆的圆心6,3C π⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径3r =，Q 点在圆C 上运动.以极点为直角坐标系原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系.（1）求圆C 参数方程；（2）若P 点在线段OQ 上，且:2:3OP PQ =，求动点P 轨迹的极坐标方程.【答案】（1）33cos 3sin x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）；（2）225120sin 10806πρρθ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭【解析】分析】（1）已知得，圆心6,3C π⎛⎫⎪⎝⎭的直角坐标为(C ，3r =，则可求得圆的标准方程；（2）结合（1）得，圆C 的极坐标方程为212sin 276πρρθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，再设(),P ρθ，()1,Q ρθ，则1:2:5ρρ=，将152ρρ=代入C 的极坐标方程即可得解.【详解】（1）由已知得，圆心6,3C π⎛⎫⎪⎝⎭的直角坐标为(C ，3r =，所以C 的直角坐标方程为()(2239x y -+-=，所以圆C 的参数方程为33cos 3sin x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）．（2）由（1）得，圆C的极坐标方程为()26cos 270ρρθθ-+=， 即212sin 276πρρθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．设(),P ρθ，()1,Q ρθ，根据:2:3OP PQ =，可得1:2:5ρρ=， 将152ρρ=代入C 的极坐标方程，得225120sin 10806πρρθ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，即动点p 轨迹的极坐标方程为225120sin 10806πρρθ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了直角坐标方程、极坐标方程及参数方程的互化，重点考查了运算能力，属基础题. 23.设函数()211f x x x =-++.【(1)画出()y f x =的图象；(2)若不等式()1f x a x >-+对x ∈R 成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）见解析（2）(,3)-∞【解析】【分析】（1）利用零点分段法将()f x 表示为分段函数的形式，由此画出()f x 的图形.（2）将不等式() 1f x a x >-+转化为21 22a x x -++>.利用绝对值不等式求得21 22x x -++的最小值，由此求得a 的取值范围.【详解】(1)根据绝对值的定义，可得()3,112,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩所以() y f x =的图象如图所示:(2)() 1f x a x >-+，即21 22a x x -++>|21 2 2 2122|3x x x x -++≥---=，3a ∴<，即实数a 的取值范围是(,3)-∞.【点睛】本小题主要考查分段函数的图像，考查含有绝对值的不等式恒成立问题的求解，属于基础题.。
2020年河南省洛阳市高三第一次统考 理科数学试卷
A. 2017 年 3 月份我国新能源汽车的产量不超过 3.4 万辆
B. 2017 年我国新能源汽车总销量超过 70 万辆
C. 2018 年 8 月份我国新能源汽车的销量高于产量
1
A.
4
1
B.
2
C. 2
D. 4
5.我国数学家陈最润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就.哥德巴赫猜想简述为“每个大于 2 的偶
数可以表示为两个素数的和”(注:如果一个大于1的整数除了1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素
数)，如 40= 3 + 37 .在不超过 40 的素数，随机选取 2 个不同的数，这两个数的和等于 40 的概率是（ ）
A. {0,1}
B. {-2, −1}
C. {1}
D. {0,1, 2}
2.已知复数 z 在复平面中对应的点 ( x, y) 满足 ( x −1)2 + y2 = 1，则 z −1 =（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 2
3.为了节能减排，发展低碳经济，我国政府从 2001 年起就通过相关政策推动新能源汽车产业发展.下面的图 表反映了该产业发展的相关信息:
洛阳市 2019--2020 学年高中三年级第一次统一考试
数学试卷(理)
第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.
{ } 1.已知集合= M x | x ( x − 2) < 0 ， N ={−2, −1,0,1, 2} ，则 M N = （ ）
）
A.
B.
C.
D.
8.正三棱锥的三视图如下图所示，则该正三棱锥的表面积为（ ）
河南省洛阳市2020—2021学年高中三年级第一次统一考试 数学(理)试题
洛阳市2020—2021学年高中三年级第一次统一考试数学试卷（理）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分．第Ⅰ卷1至2页， 第Ⅱ卷3至4页．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上． 2．考试结束，将答题卡交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若复数z ＝（1＋i ）（1＋2i ），则其共轭复数z 在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．已知集合A ＝{x ｜x ＞0}，B ＝{x ｜x 2＋2x －3≤0}，则集合A ∪B ＝ A ．{x ｜－3≤x ≤1} B ．{x ｜－3≤x ＜0} C ．{x ｜0＜x ≤1} D ．{x ｜x ≥－3} 3．下列说法正确的是 A ．“f （0）＝0”是“函数f （x ）是奇函数”的充要条件 B ．“若6πα＝，则1sin 2α＝”的否命题是“若6πα≠，则1sin 2α≠” C ．“向量a ，b ，c ，若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c ”是真命题D ．命题“x ∀∈R ，x 2＋2x ＋1＞0”的否定是“0x ∃∈R ，使得20021x x ＋＋＞0” 4．在各项均为正数的等比数列{n a }中，2a ＝2，35a a ＝64，则数列{n a }的前10项和等于 A ．511 B ．512 C ．1023 D ．1024 5．设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是 A ．若a 平行于α内的无数条直线，则a ∥αB ．若a ∥α，a ∥b ，则b 平行于α内的无数条直线C ．若α⊥β，a ⊂α，b ⊂β，则a ⊥bD ．若a ∥α，α⊥β，则a ⊥β6．为得到函数f （x ）＝sin2x ＋cos2x 的图象，只需将函数g （x ）＝sin2x －cos2x 的图象A ．向左平移4π个单位长度 B ．向左平移2π个单位长度 C ．向右平移4π个单位长度 D ．向右平移2π个单位长度7．为创建全国文明城市，学校计划从4男3女共7名教师中随机派出4名教师参加志愿服务工作，则至多有一名女教师参加的概率是 A ．1235 B ．1335 C ．1835 D ．19358．已知点F 为双曲线22221x y a b－＝（a ＞0，b ＞0）的左焦点，直线l ：y ＝－x 与双曲线的左支交于点P ，且｜OP ｜＝｜PF ｜（O 为坐标原点），则此双曲线的离心率为A B C D 9．已知P ，Q 是圆O ：x 2＋y 2＝8上的两个动点，且｜OP －OQ ｜＝4，S 是线段PQ 的中点，若OT ＝32OQ －12OP ，则OS ·OT 的值为A ．8＋B ．8－C ．8D ．410．设函数()3211232f x x ax bx c ＝＋＋＋在（0，1）上取得极大值，在（1，2）上取得极小值，则a ＋3b 的取值范围是 A ．（－2，－1） B ．（－2，0） C ．（－1，0） D ．（－1，1）11．已知F 1，F 2是椭圆2212516x y ＋＝的左，右焦点，P 是椭圆上任意一点，过F 1引∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，垂足为Q ，则Q 与短轴端点的最近距离为 A ．5 B ．4 C ．2 D ．1 12．已知奇函数f （x ）的定义域为（－2π，2π），其图象是一段连续不断的曲线，当－2π＜x ＜0时，有()()cos sin f x x f x x '＋＞0成立，则关于x 的不等式f （x ）＜2cos 3f x π⎛⎫⎪⎝⎭的解集为 A ．（－2π，3π） B ．（－2π，－3π） C ．（－2π，－3π）∪（3π，2π） D ．（－3π，0）∪（3π，2π）第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a ＝（k ，3）与b ＝（2，－1），若b ⊥（a ＋b ），则实数k 的值为__________． 14．已知1tan 43πα⎛⎫⎪⎝⎭－＝－，则sin cos αα的值是__________．15．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________． 16．设数列{n a }满足1a ＝25，且1n a ＋＝n a ＋2n a ，n N *∈，设122020111111S a a a ＝＋＋…＋＋＋＋，若S ∈（t ，t ＋1），则整数t ＝__________．三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知bsinB ＋csinC ＝23sin sin b C a A ⎛⎫⎪⎝⎭＋． （1）求角A ；（2）若D 是AB 的中点，且CD ＝1，求b ＋c 的最大值． 18．（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C ⊥底面ABC ，∠C 1CA ＝60°，AB ⊥ AC ，AC ＝AB ＝AA 1＝2． （1）求证：CA 1⊥BC 1；（2）设点E 在直线AA 1上，记AE ＝1AA λ，是否存在实数λ，使CE 与A 1BC 平面所成的角的正弦值为25，若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．19．（本小题满分12分）设抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，点P （4，m ）是抛物线C 上一点，且｜PF ｜ ＝5．（1）求抛物线C 的方程；（2）设直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，若｜AF ｜＋｜BF ｜＝6．求证：直线l 的垂直平分线过定点． 20．（本小题满分12分）核酸检测是诊断新冠肺炎的重要依据，首先取病人的唾液或咽拭子的样本，再提取唾液 或咽拭子样本里的遗传物质，如果有病毒，样本检测会呈现阳性，否则为阴性．多个样 本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要有 病毒，则混合样本化验结果就会呈阳性，若混合样本呈阳性，则将该组中各个样本再逐 个化验；若混合样本呈阴性，则该组各个样本均为阴性．根据统计发现，疑似病例核酸 检测呈阳性的慨率为p （0＜p ＜1）．现有4例疑似病例，对其核酸检测有以下三种方案： 方案一：逐个化验；方案二：四个样本混在一起化验； 方案三：平均分成两组化验． （1）若p ＝14，求2个疑似病例的混合样本化验结果为阳性的概率； （2）在新冠肺炎爆发初期，由于检查能力不足，化检次数的期望值越小，则方案越“优”．若p ＝14，现将该4例疑似病例样本进行化验，请问：方案一、二中哪个更“优”? （3）若p ＝12，求方案三检测次数的分布列． 21．（木小题满分12分）已知函数()()1xe f x a x e x＝＋－－．（1）当a ＝0叫，求函数f （x ）的极值；（2）若函数f （x ）在区问（0，1）内存在零点，求实数a 的取值范围．选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4—4：极坐标与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为2x ty ⎧⎪⎨⎪⎩＝－＝－（t 为参数）．以坐标原点O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ＝． （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）已知点P，0），过点P 作直线l 的垂线交曲线C 于D ，E 两点（D 在x 轴上方），求11PD PE－的值．23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲（1）已知a ，b ，c 是正数，且满足ab ＋bc ＋ac ＝1，求证：a ＋b ＋c； （2）已知a ，b 是正数，且满足a ＋b ＝12．。
2020年高考模拟河南省洛阳市高考数学一模试卷(理科) 含解析
2020年高考数学一模试卷（理科）一、选择题1．已知集合M＝{x|x（x﹣2）＜0}，N＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则M∩N＝（）A．{0，1，2} B．{﹣2，﹣1} C．{1} D．{﹣2，﹣1，0，2} 2．已知复数z在复平面中对应的点（x，y）满足（x﹣1）2+y2＝1，则|z﹣1|＝（）A．0 B．1 C．D．23．为了节能减排，发展低碳经济，我国政府从2001年起就通过相关政策推动新能源汽车产业发展．下面的图表反映了该产业发展的相关信息：中国新能源汽车产销情况一览表新能源汽车产量新能源汽车销量产量（万辆）比上年同期增长（%）销量（万辆）比上年同期增长（%）2018年3月 6.8 105 6.8 117.4 4月8.1 117.7 8.2 138.45月9.6 85.6 10.2 125.66月8.6 31.7 8.4 42.97月9 53.6 8.4 47.78月9.9 39 10.1 49.59月12.7 64.4 12.1 54.810月14.6 58.1 13.8 5111月17.3 36.9 16.9 37.6 1﹣﹣12月127 59.9 125.6 61.72019年1月9.1 113 9.6 138 2月 5.9 50.9 5.3 53.6 根据上述图表信息，下列结论错误的是（）A．2017年3月份我国新能源汽车的产量不超过3.4万辆B．2017年我国新能源汽车总销量超过70万辆C．2018年8月份我国新能源汽车的销量高于产量D．2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量低于2万辆4．已知正项等比数列{a n}中，a3a5＝4，且a4，a6+1，a7成等差数列，则该数列公比q为（）A．B．C．2 D．45．我国数学家陈最润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就．哥德巴赫猜想简述为“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”（注：如果一个大于1的整数除了1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数），如40＝3+37．在不超过40的素数，随机选取2个不同的数，这两个数的和等于40的概率是（）A．B．C．D．6．圆x2+y2﹣2x+4y+1＝0关于直线ax﹣by﹣3＝0（a＞0，b＞0）对称，则的最小值是（）A．1 B．3 C．5 D．97．函数（e为自然对数的底数）的大致图象为（）A．B．C．D．8．正三棱锥的三视图如，图所示，则该正三棱锥的表面积为（）A．B．C．D．9．已知点F1，F2分别是双曲线的左，右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C的右支上，且满足|F1F2|＝2|OP|，tan∠PF2F1＝4，则双曲线C的离心率为（）A．B．5 C．D．10．设f（x）是定义在R上的函数，满足条件f（x+1）＝f（﹣x+1），且当x≤1时，f（x）＝e﹣x﹣3，则a＝f（log27），的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a11．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点E为棱CC1的中点．下列结论：①线段BD上存在点F，使得CF∥平面AD1E；②线段BD上存在点F，使CF⊥得平面AD1E；③平面AD1E把正方体分成两部分，较小部分的体积为，其中所有正确的序号是（）A．①B．③C．①③D．①②③12．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，a1＞1，且6S n＝a n2+3a n+2．若对于任意实数a∈[﹣2，2]．不等式恒成立，则实数t的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）D．[﹣2，2]二、填空题13．平面向量与的夹角为60°，且，，则＝．14．若实数x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最小值是．15．已知椭圆为右顶点．过坐标原点O的直线交椭圆C于P，Q两点，线段AP的中点为M，直线QM交x轴于N（2，0），椭圆C的离心率为，则椭圆C的标准方程为．16．已知函数，且f（x）g（x）≤0在定义域内恒成立，则实数a的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A，B，C对应边分别为a，b，c．（1）若△ABC的面积S满足且b＞c，求b的值；（2）若且△ABC为锐角三角形．求△ABC周长的范围．18．如图，已知四边形ABCD为等腰梯形，BDEF为正方形，平面BDEF⊥平面ABCD，AD∥BC，AD＝AB＝1，∠ABC＝60°（1）求证：平面CDE⊥平面BDEF；（2）点M为线段EF上一动点，求BD与平面BCM所成角正弦值的取值范围．19．过点P（0，2）的直线与抛物线C：x2＝4y相交于A，B两点．（1）若，且点A在第一象限，求直线AB的方程；（2）若A，B在直线y＝﹣2上的射影分别为A1，B1，线段A1B1的中点为Q，求证BQ∥PA1．20．设函数．（1）若k＝1，求f（x）的单调区间；（2）若f（x）存在三个极值点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，求k的取值范围，并证明：x1+x3＞2x2．21．“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求．“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用．每次考试过后，考生最关心的问题是：自己的考试名次是多少？自已能否被录取？能获得什么样的职位？某单位准备通过考试（按照高分优先录取的原则）录用300名，其中275个高薪职位和25个普薪职位．实际报名人数为2000名，考试满分为400分．（一般地，对于一次成功的考试来说，考试成绩应服从正态分布．）考试后考试成绩的部分统计结果如下：考试平均成绩是180分，360分及其以上的高分考生30名．（1）最低录取分数是多少？（结果保留为整数）（2）考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？若不能被录取，请说明理由．参考资料：（1）当X～N（μ，σ2）时，令Y＝，则Y～N（0，1）．（2）当Y～N（0，1）时，P（Y≤2.17）≈0.985，P（Y≤1.28）≈0.900，P（Y≤1.09）≈0.863，P（Y≤1.04）≈0.85．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B 铅笔在答题卡.上把所选题目对应的题号后的方框涂黑.22．在极坐标系中，已知圆的圆心，半径r＝3，Q点在圆C上运动，以极点为直角坐标系原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．（1）求圆C的参数方程；（2）若P点在线段OQ上，且|OP|：|PQ|＝2：3，求动点P轨迹的极坐标方程．23．设函数f（x）＝|2x﹣1|+|x+1|．（1）画出y＝f（x）的图象；（2）若不等式f（x）＞a﹣|x+1|对x∈R成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M＝{x|x（x﹣2）＜0}，N＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则M∩N＝（）A．{0，1，2} B．{﹣2，﹣1} C．{1} D．{﹣2，﹣1，0，2} 【分析】可以求出集合M，然后进行交集的运算即可．解：∵M＝{x|0＜x＜2}，N＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，∴M∩N＝{1}．故选：C．2．已知复数z在复平面中对应的点（x，y）满足（x﹣1）2+y2＝1，则|z﹣1|＝（）A．0 B．1 C．D．2【分析】由于（x﹣1）2+y2＝1，表示以C（1，0）为圆心，1为半径的圆．即可得出|z ﹣1|．解：（x﹣1）2+y2＝1，表示以C（1，0）为圆心，1为半径的圆．则|z﹣1|＝1．故选：B．3．为了节能减排，发展低碳经济，我国政府从2001年起就通过相关政策推动新能源汽车产业发展．下面的图表反映了该产业发展的相关信息：中国新能源汽车产销情况一览表新能源汽车产量新能源汽车销量产量（万辆）比上年同期增长（%）销量（万辆）比上年同期增长（%）2018年3月 6.8 105 6.8 117.4 4月8.1 117.7 8.2 138.45月9.6 85.6 10.2 125.66月8.6 31.7 8.4 42.97月9 53.6 8.4 47.78月9.9 39 10.1 49.59月12.7 64.4 12.1 54.810月14.6 58.1 13.8 5111月17.3 36.9 16.9 37.61﹣﹣12月127 59.9 125.6 61.72019年1月9.1 113 9.6 138 2月 5.9 50.9 5.3 53.6根据上述图表信息，下列结论错误的是（）A．2017年3月份我国新能源汽车的产量不超过3.4万辆B．2017年我国新能源汽车总销量超过70万辆C．2018年8月份我国新能源汽车的销量高于产量D．2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量低于2万辆【分析】由图表信息中2018年的信息，根据增长量即可算出2017年的信息，判断出A，B正确，2018年8月份信息直接从表中可查到，2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量结合扇形图即可求出．解：由图表信息可知，2017年3月份我国新能源汽车的产量为：，所以选项A正确；由图表信息可知，2017年我国新能源汽车总销量为：，所以选项B 正确；由图表信息可知，2018年8月份我国新能源汽车的销量为10.1，产量为9.9，所以选项C正确；由图表信息可知，2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量为：9.6×0.25＝2.4，所以选项D错误，故选：D．4．已知正项等比数列{a n}中，a3a5＝4，且a4，a6+1，a7成等差数列，则该数列公比q为（）A．B．C．2 D．4【分析】运用等比数列的性质和通项公式，等差数列的中项性质，解方程可得所求公比．解：正项等比数列{a n}中，a3a5＝4，可得q＞0，a42＝a3a5＝4，即a4＝2，a4，a6+1，a7成等差数列，可得a4+a7＝2a6+2，即2+2q3＝4q2+2，解得q＝2，故选：C．5．我国数学家陈最润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就．哥德巴赫猜想简述为“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”（注：如果一个大于1的整数除了1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数），如40＝3+37．在不超过40的素数，随机选取2个不同的数，这两个数的和等于40的概率是（）A．B．C．D．【分析】不超过40的素数有12个，随机选取2个不同的数，基本事件总数n＝＝66，利用列举法求出这两个数的和等于40包含的基本事件有3个，由此能求出这两个数的和等于40的概率．解：不超过40的素数有：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，共12个，随机选取2个不同的数，基本事件总数n＝＝66，这两个数的和等于40包含的基本事件有：（3，37），（11，29），（17，23），共3个，∴这两个数的和等于40的概率是p＝＝．故选：B．6．圆x2+y2﹣2x+4y+1＝0关于直线ax﹣by﹣3＝0（a＞0，b＞0）对称，则的最小值是（）A．1 B．3 C．5 D．9【分析】由已知可得a+2b＝3，即，则＝（）（），展开后利用基本不等式求最值．解：圆x2+y2﹣2x+4y+1＝0的圆心坐标为（1，﹣2），由圆x2+y2﹣2x+4y+1＝0关于直线ax﹣by﹣3＝0（a＞0，b＞0）对称，∴a+2b＝3，即，则＝（）（）＝+．当且仅当，即a＝，b＝时上式取等号．∴的最小值是3．故选：B．7．函数（e为自然对数的底数）的大致图象为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，由排除法分析：先分析函数的奇偶性排除B、D，再分析可得当0＜x ＜时，f（x）＞0，排除A；即可得答案．解：根据题意，函数，其定义域为{x|x≠0}，有﹣（）＝﹣f（x），即函数f （x）为奇函数，排除B、D；又由当0＜x＜时，f（x）＞0，排除A，故选：C．8．正三棱锥的三视图如，图所示，则该正三棱锥的表面积为（）A．B．C．D．【分析】利用三视图求出三棱锥的底面边长以及侧棱长，然后求解表面积．解：应用可知三棱锥的高为：3，底面三角形的高为：3，则底面正三角形的边长为：a；所以，解得a＝2．斜高为：＝，该三棱锥的表面积为：3×+＝3+3．故选：A．9．已知点F1，F2分别是双曲线的左，右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C的右支上，且满足|F1F2|＝2|OP|，tan∠PF2F1＝4，则双曲线C的离心率为（）A．B．5 C．D．【分析】点P在双曲线C的右支上，且满足|F1F2|＝2|OP|，即有O为△PF1F2外接圆的圆心，即有∠F1PF2＝90°，运用勾股定理和双曲线的定义，化简整理，结合离心率公式计算即可得到．解：点P在双曲线C的右支上，且满足|F1F2|＝2|OP|，即有O为△PF1F2外接圆的圆心，即有∠F1PF2＝90°，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|＝2a，∵tan∠PF2F1＝4，所以|PF1|＝4|PF2|，则|PF1|＝a，|PF2|＝a，由|PF1|2+|PF2|2＝|F1F2|2，即（）2+（）2＝4c2，即有c2＝a2，e＝，故选：C．10．设f（x）是定义在R上的函数，满足条件f（x+1）＝f（﹣x+1），且当x≤1时，f（x）＝e﹣x﹣3，则a＝f（log27），的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a【分析】由已知可得函数的图象关于x＝1对称，又x＞1时函数图象单调递增，距离对称轴越远，函数值越大，解：由f（x+1）＝f（﹣x+1）可得函数的图象关于x＝1对称，又当x≤1时，f（x）＝e﹣x﹣3单调递减，故x＞1时函数图象单调递增，距离对称轴越远，函数值越大，∵log27∈（2，3），，3﹣1.5，故a＞b＞c．故选：A．11．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点E为棱CC1的中点．下列结论：①线段BD上存在点F，使得CF∥平面AD1E；②线段BD上存在点F，使CF⊥得平面AD1E；③平面AD1E把正方体分成两部分，较小部分的体积为，其中所有正确的序号是（）A．①B．③C．①③D．①②③【分析】由题意建立空间直角坐标系，求出平面AD1E的一个法向量，利用空间向量分析①②；找出平面AD1E截正方体所得截面，求解体积判断③．解：建立如图所示空间直角坐标系，A（1，0，0），D1（0，0，1），E（0，1，），C（0，1，0），设F（t，t，0）（0≤t≤1），则，，＝（t，t﹣1，0）．设平面AD1E的一个法向量为，由，取z＝1，则．由，解得t＝∈[0，1]，故①正确；由＝（t，t﹣1，0），，知与不共线，故②错误；平面AD1E把正方体分成两部分如图，正方体体积为1，三棱台ECH﹣D1DA的体积V＝，∴平面AD1E把正方体分成两部分，较小部分的体积为，故③正确．∴①③正确．故选：C．12．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，a1＞1，且6S n＝a n2+3a n+2．若对于任意实数a∈[﹣2，2]．不等式恒成立，则实数t的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）D．[﹣2，2]【分析】根据a n与S n的关系，求得a n的通项公式，消元，利用一元函数的根的分布问题，即可求得t取值范围．解：由6S n＝a n2+3a n+2，当n＝1时，6a1＝a12+3a1+2．解得a1＝2，当n≥2时，6S n﹣1＝a n﹣12+3a n﹣1+2，两式相减得6a n＝a n2+3a n﹣（a n﹣12+3a n﹣1），整理得（a n+a n）（a n﹣a n﹣1﹣3）＝0，﹣1由a n＞0，所以a n+a n﹣1＞0，所以a n﹣a n﹣1＝3，所以数列{a n}是以2为首项，3为公差的等差数列，所以a n+1＝2+3（n+1﹣1）＝3n+2，所以＝＝3﹣＜3，因此原不等式转化为2t2+at﹣1≥3对于任意的a∈[﹣2，2]，n∈N*恒成立，化为：2t2+at﹣4≥0，设f（a）＝2t2+at﹣4，a∈[﹣2，2]，可得f（2）≥0且f（﹣2）≥0，即有，即，可得t≥2或t≤﹣2，则实数t的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．平面向量与的夹角为60°，且，，则＝．【分析】由已知求得||，然后求出，开方得答案．解：∵，∴，又与的夹角为60°，，∴＝9+4×3×1×cos60°+4＝19．∴＝故答案为：．14．若实数x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最小值是﹣9 ．【分析】作出平面区域，结合Z最小，截距最小平移直线2x+y＝0确定最小值即可．解：作出不等式组件所表示的平面区域，作出直线2x+y＝0，对该直线进行平移，结合Z最小，直线的截距最小；可以发现经过点C（﹣3，﹣3）时Z取得最小值﹣9；故答案为：﹣9．15．已知椭圆为右顶点．过坐标原点O的直线交椭圆C于P，Q两点，线段AP的中点为M，直线QM交x轴于N（2，0），椭圆C的离心率为，则椭圆C的标准方程为．【分析】设出P点坐标，表示出M的坐标，由Q，N，M三点共线，k MN＝k NQ可计算出a，从而解决问题；解：设P（x，y），则由A（a，0）；线段AP的中点为M，则M（，）；由题意，Q，N，M三点共线，k MN＝k NQ；即＝；可得x+a﹣4＝2+x；所以a＝6，由椭圆C的离心率为，得c＝4，b2＝20；故椭圆C的标准方程为：．故答案为：．16．已知函数，且f（x）g（x）≤0在定义域内恒成立，则实数a的取值范围为a≤﹣或a＝e2．【分析】通过讨论f（x）的符号，结合函数的单调性判断出a的范围即可．解：若f（x）g（x）≤0在定义域内恒成立，考虑以下情形：①当f（x）≤0，g（x）≥0同时恒成立时，由f（x）＝lnx+2ax≤0，即﹣2a≥恒成立，设h（x）＝，h′（x）＝，当x＞e时，h′（x）＜0，h（x）递减，当0＜x＜e时，h′（x）＞0，h（x）递增，可得x＝e处h（x）取得极大值，且为最大值，可得﹣2a≥，即a≤﹣；∵由g（x）≥0，即﹣a≥0恒成立得a≤0．∴a≤﹣；②当f（x）≥0，g（x）≤0同时恒成立时，a不存在；③当a＞0时，∵f（x）＝lnx+2ax为增函数，g（x）＝﹣a为减函数，若它们有共同零点，则f（x）•g（x）≤0恒成立，由f（x）＝lnx+2ax＝0，g（x）＝﹣a＝0，联立方程组解得：a＝e2．综上可得a≤﹣或a＝e2．故答案为：a≤﹣或a＝e2．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A，B，C对应边分别为a，b，c．（1）若△ABC的面积S满足且b＞c，求b的值；（2）若且△ABC为锐角三角形．求△ABC周长的范围．【分析】（1）由已知结合余弦定理及三角形的面积公式可求tan C，进而可求C，然后再由余弦定理即可求解b，（2）由已知结合正弦定理可表示b，c，然后根据和差角公式及辅助角公式进行化简后结合正弦函数的性质可求．解：（1）∵4，所以，即tan C＝，又因为0＜C＜π，所以C＝，因为c＝，a＝4，由余弦定理可得cos＝，解可得，b＝3或b＝，因为b＞c＝，所以，b＝3；（2），由正弦定理可得，＝，故b＝2sin B，c＝2sin C＝2sin（），由题意可知，，解可得，，则△ABC周长为2sin（）+2sin B＝，＝，因为，所以，故＜sin（B+）≤1，因此三角形的周长的范围（3+，3]．18．如图，已知四边形ABCD为等腰梯形，BDEF为正方形，平面BDEF⊥平面ABCD，AD∥BC，AD＝AB＝1，∠ABC＝60°（1）求证：平面CDE⊥平面BDEF；（2）点M为线段EF上一动点，求BD与平面BCM所成角正弦值的取值范围．【分析】（1）先求出BD⊥DC，再证明CD⊥平面BDEF，再根据面面垂直的判断定理求出即可；（2）根据题意，建立空间直角坐标系，求出平面BCM的法向量，BD的方向向量，利用夹角公式，结合函数的最值，求出即可．解：（1）等腰梯形ABCD，AD＝AB＝1，由∠ABC＝60°，∠BAD＝120°，BD＝＝，BC＝1+＝2，所以BC2＝CD2+BD2，BD⊥DC，由平面BDEF⊥平面ABCD，BD＝平面BDEF∩平面ABCD，所以CD⊥平面BDEF，又CD⊂平面CDE，所以平面CDE⊥平面BDEF；（2）根据题意，以D为圆心，以DB，DC，DE分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设EM＝m∈[0，]则B（，0，0），C（0，1，0），D（0，0，0），M（m，0，），，，设平面BMC的法向量为，由，令x＝，y＝3，z＝，故，设BD与平面BCM的夹角为θ，所以sinθ＝|cos＜＞|＝，m∈[0，]，所以当m＝0时取最小值，m＝取最大值，故BD与平面BCM所成角正弦值的取值范围为[]．19．过点P（0，2）的直线与抛物线C：x2＝4y相交于A，B两点．（1）若，且点A在第一象限，求直线AB的方程；（2）若A，B在直线y＝﹣2上的射影分别为A1，B1，线段A1B1的中点为Q，求证BQ∥PA1．【分析】本题第（1）题由题意，设过点P（0，2）的直线l的斜率为k，则l：y＝kx+2．然后由，根据定比分点的知识，可得＝2，＝0．将y1＝kx1+2，y2＝kx2+2代入最终可得到k的值，则即可求出直线AB的方程；第（2）题先联立直线l 与抛物线方程，整理得到一元二次方程，根据韦达定理有x1+x2＝4k，x1•x2＝﹣8．再根据题意写出∴＝（﹣x2，﹣2﹣y2），＝（x1，﹣4）．再根据平行向量的坐标公式x1y2﹣x2y1＝0进行代入计算即可证明BQ∥PA1．【解答】（1）解：由题意，设过点P（0，2）的直线l的斜率为k，则l：y＝kx+2．设A（x1，y1），B（x2，y2）．∵，∴根据定比分点的知识，有＝2，＝0．∴x1+2x2＝6，y1+2y2＝0．∵y1+2y2＝kx1+2+2（kx2+2）＝＝k（x1+2x2）+6＝6k+6＝0，解得k＝﹣1．∴直线AB的方程为y＝﹣x+2．（2）证明：根据（1），联立直线l与抛物线方程，得，整理，得x2﹣4kx﹣8＝0．则x1+x2＝4k，x1•x2＝﹣8．∵A1（x1，﹣2），B1（x2，﹣2）．∴Q（，﹣2）．∴＝（﹣x2，﹣2﹣y2），＝（x1，﹣4）．∵（﹣x2）•（﹣4）﹣x1•（﹣2﹣y2）＝4•+x1•（y2+2）＝2x2﹣2x1+x1y2+2x1＝2x2+x1y2＝2x2+x1•＝2x2+•x1•x2＝2x2+•（﹣8）＝0．∴BQ∥PA1．20．设函数．（1）若k＝1，求f（x）的单调区间；（2）若f（x）存在三个极值点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，求k的取值范围，并证明：x1+x3＞2x2．【分析】（1）将k＝1代入f（x）中，然后利用导数求得f（x）的单调区间．（2）先求得f（x）的导函数f′（x）＝（e x﹣kx）（x﹣1），则g（x）＝e x﹣kx有两个不同的零点，且都不是1，然后对k分成k≤0，k＞0两种情况分类讨论，利用导数研究g（x）的单调性和零点，由此求得k的取值范围．进一步证明x1+x3＞2x2．解：（1）当k＝1时，，∴f'（x）＝（e x﹣x）（x﹣1）．令h（x）＝e x﹣x，则h'（x）＝e x﹣1，∴由h'（x）＞0得x＞0，h'（x）＜0得x＜0，∴h（x）在（﹣∞，0）上递减，在（0，+∞）上递增．∴h（x）≥h（0）＝1＞0即e x﹣x＞0，∴解f'（x）＞0得x＞1，解f'（x）＜0得x＜1，∴f（x）的单调减区间为（﹣∞，1），单调增区间为（1，+∞）．（2）f'（x）＝e x（x﹣2）+e x﹣kx2+kx＝（e x﹣kx）（x﹣1），∵f（x）有三个极值点，∴方程e x﹣kx＝0有两个不等根，且都不是1，令g（x）＝e x﹣kx，当k≤0时，g（x）单调递增，g（x）＝0至多有一根，∴当k＞0时，解g'（x）＞0得x＞lnk，解g'（x）＜0得x＜lnk．∴g（x）在（﹣∞，lnk）上递减，在（lnk，+∞）上递增，∴g（lnk）＝e lnk﹣klnk＝k（1﹣lnk）＜0，k＞e，此时，g（0）＝1＞0，lnk＞1，g（1）＝e﹣k＜0，x→+∞时g（x）→+∞．∴k＞e时，f'（x）＝0有三个根x1，x2，x3，且0＜x1＜1＝x2＜x3，由得x1＝lnk+lnx1，由得x3＝lnk+lnx3，∴．下面证明：，可变形为令，，，∴φ（x）在（1，+∞）上递增，∴φ（t）＞φ（1）＝0，∴，∴x3+x1＞2x2．21．“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求．“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用．每次考试过后，考生最关心的问题是：自己的考试名次是多少？自已能否被录取？能获得什么样的职位？某单位准备通过考试（按照高分优先录取的原则）录用300名，其中275个高薪职位和25个普薪职位．实际报名人数为2000名，考试满分为400分．（一般地，对于一次成功的考试来说，考试成绩应服从正态分布．）考试后考试成绩的部分统计结果如下：考试平均成绩是180分，360分及其以上的高分考生30名．（1）最低录取分数是多少？（结果保留为整数）（2）考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？若不能被录取，请说明理由．参考资料：（1）当X～N（μ，σ2）时，令Y＝，则Y～N（0，1）．（2）当Y～N（0，1）时，P（Y≤2.17）≈0.985，P（Y≤1.28）≈0.900，P（Y≤1.09）≈0.863，P（Y≤1.04）≈0.85．【分析】（1）利用考试的平均成绩、高分考生的人数，以及题目所给正态分布的参考资料，求得考生成绩X的分布X～N（180，832），利用录取率列方程，由此求得最低录取分数线；（2）计算出不低于考生甲的成绩的人数约为200，由此判断出甲能获得高薪职位．解：（1）设考生的成绩为X，则由题意可得X应服从正态分布，即X～N（180，σ2），令Y＝，则Y～N（0，1）．由360分及以上高分考生30名可得P（X≥360）＝，即P（X＜360）＝1﹣＝0.985，即有P（X＜）＝0.985，则≈2.17，可得σ≈83，可得N（180，832），设最低录取分数线为x0，则P（X≥x0）＝P（Y≥）＝，即有P（Y＜）＝1﹣＝0.85，即有＝1.04，可得x0≈266.32，即最低录取分数线为266到267分之间；（2）考生甲的成绩286＞267，所以能被录取，P（X＜286）＝P（Y＜）＝P（Y＜1.28）≈0.90，表明不低于考生甲的成绩的人数大约为总人数的1﹣0.90＝0.10，2000×0.10＝200，即考生甲大约排在第200名，排在前275名之前，所以能被录取为高薪职位．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B 铅笔在答题卡.上把所选题目对应的题号后的方框涂黑.22．在极坐标系中，已知圆的圆心，半径r＝3，Q点在圆C上运动，以极点为直角坐标系原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．（1）求圆C的参数方程；（2）若P点在线段OQ上，且|OP|：|PQ|＝2：3，求动点P轨迹的极坐标方程．【分析】（1）直接利用转换关系式的应用把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用极径的应用和关系式的转换的应用求出结果．解：（1）由已知得，圆心的直角坐标为，r＝3，所以C的直角坐标方程为，所以圆C的参数方程为（θ为参数）．（2）由（1）得，圆C的极坐标方程为，即．设P（ρ，θ），Q（ρ1，θ），根据|OP|：|PQ|＝2：3，可得ρ：ρ1＝2：5，将代入C的极坐标方程得，即动点P轨迹的极坐标方程为．23．设函数f（x）＝|2x﹣1|+|x+1|．（1）画出y＝f（x）的图象；（2）若不等式f（x）＞a﹣|x+1|对x∈R成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）利用分段函数表示f（x），画出y＝f（x）的图象即可；（2）不等式f（x）＞a﹣|x+1|对x∈R成立，化为|2x﹣1|+2|x+1|＞a对x∈R成立；设g（x）＝|2x﹣1|+2|x+1|，求出g（x）的最小值，从而求得a的取值范围．解：（1）函数f（x）＝|2x﹣1|+|x+1|＝；画出y＝f（x）的图象，如图所示；（2）不等式f（x）＞a﹣|x+1|对x∈R成立，即|2x﹣1|+2|x+1|＞a对x∈R成立；设g（x）＝|2x﹣1|+2|x+1|，则g（x）＝|2x﹣1|+|2x+2|≥|（2x﹣1）﹣（2x+2）|＝3，当且仅当﹣1≤x≤时取等号；所以实数a的取值范围是a≤3．。
河南省洛阳市2019-2020学年高三上学期第一次统一考试(1月)数学(理)试题(教师版)
洛阳市2019--2020学年高中三年级第一次统一考试数学试卷(理)第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合(){}20|M x x x =-<，{}2,1,0,1,2N =--，则M N =（ ）A. {}0,1B. {}2,1--C. {}1D. {}0,1,2【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式求得集合M ，由此求得两个集合的交集. 【详解】由()20x x -<，解得{}|02M x x =<<，所以M N ={}1.故选：C【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题. 2.已知复数z 在复平面中对应的点(),x y 满足()2211x y -+=，则1z -=（ ）A. 0B. 1D. 2【答案】B 【解析】 【分析】根据复数对应点的坐标以及复数模的几何意义，判断出正确选项.【详解】由于复数z 在复平面中对应点(),x y 满足()2211x y -+=，即复数z 对应点在圆心为()1,0，半径为1的圆上，1z -表示复数对应的点到()1,0的距离，也即圆上的点到圆心的距离，所以11z -=. 故选：B【点睛】本小题主要考查复数对应点的坐标以及复数模的几何意义，考查圆的方程，属于基础题. 3.为了节能减排，发展低碳经济，我国政府从2001年起就通过相关政策推动新能源汽车产业发展.下面的图表反映了该产业发展的相关信息:根据上述图表信息，下列结论错误的是（ ） A. 2017年3月份我国新能源汽车的产量不超过3.4万辆 B. 2017年我国新能源汽车总销量超过70万辆 C. 2018年8月份我国新能源汽车的销量高于产量D. 2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量低于2万辆 【答案】D 【解析】 【分析】根据图表对选项逐一分析，由此确定结论错误的选项. 【详解】对于A 选项，2017年3月份我国新能源汽车的产量 6.8 6.83.32 3.41 1.05 2.05=≈<+，故A 选项结论正确.对于B 选项，2017年我国新能源汽车总销量125.6125.677.677010.617 1.617=≈>+，故B 选项结论正确.对于C 选项，2018年8月份我国新能源汽车的销量10.1万量，高于产量9.9万量，故C 选项结论正确. 对于D 选项，2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量9.60.25 2.42⨯=>，故D 选项结论错误. 故选：D【点睛】本小题主要考查图表数据分析，考查阅读与理解能力，属于基础题.4.已知正项等比数列{}n a 中，354a a =，且467,1,a a a +成等差数列，则该数列公比q 为（ ） A.14B.12C. 2D. 4【解析】 【分析】结合等差中项的性质，将已知条件转化为1,a q 的形式，由此求得q 的值. 【详解】由于467,1,a a a +成等差数列，所以()64721a a a +=+，所以()64735214a a a a a ⎧+=+⎨=⎩，即()5361112411214a q a q a q a q a q ⎧+=+⎪⎨⋅=⎪⎩，解得11,24a q ==. 故选：C【点睛】本小题主要考查等比数列基本量的计算，考查等差中项的性质，属于基础题.5.我国数学家陈最润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就.哥德巴赫猜想简述为“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”(注:如果一个大于1的整数除了1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数)，如40337=+.在不超过40的素数，随机选取2个不同的数，这两个数的和等于40的概率是（ ）A.126 B.122C.117D.115【答案】B 【解析】 【分析】先求得40以内的素数的个数，然后根据古典概型概率计算公式，计算出所求的概率.【详解】40以内的素数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37共12个，任选两个的方法数有21212116621C ⨯==⨯种，和为40的有33740,112940,172340+=+=+=共3种，所以不超过40的素数，随机选取2个不同的数，这两个数的和等于40的概率是316622=. 故选：B【点睛】选本小题主要考查古典概型的计算，考查组合数的计算，考查素数的知识，属于基础题. 6.圆222410x y x y +-++=关于直线()300,0ax by a b --=>>对称，则12a b+的最小值是（ ） A. 1 B. 3 C. 5D. 9【答案】B 【解析】求得圆心，代入直线30ax by --=，利用基本不等式求得12a b+的最小值. 【详解】圆222410x y x y +-++=的圆心为()1,2-，由于圆关于直线30ax by --=对称，圆心坐标满足直线方程，所以23a b +=，所以12a b +()1122123253b a a b b b a a +⎛⎫⎛⎫=⋅⋅+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()11554333⎛≥+=+= ⎝，当且仅当22,1b a a b a b===时等号成立. 故选：B【点睛】本小题主要考查圆的几何性质，考查基本不等式求最小值. 7.函数()()23xx e e cos x f x x-⋅-=（e 为自然对数的底数）的大致图象为（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和特殊值，排除错误选项，由此得出正确选项.【详解】由于()()f x f x -=-，所以()f x 为奇函数，图像关于原点对称，由此排除B,D 两个选项. 当0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x >，由此排除A 选项. 故选：C【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性，属于基础题.8.正三棱锥的三视图如下图所示，则该正三棱锥的表面积为（ ）A. B. 9 C. 92【答案】A 【解析】 【分析】通过三视图还原出立体图，通过条件可求得底面正三角形边长为则可求侧面积为.【详解】如图所示，底面正三角的高AD=3，所以223AH AD ==，AB=AC=BC=ABCS =又SH 为侧视图中的高，所以SH=3，则AS =则在等腰SAB 中12SABS=⨯=所以侧面积为 A. 【点睛】本题考查已知三视图求几何体的表面积，准确的还原出立体图是解题的关键，属中档题.9.已知点12,F F 分别是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左，右焦点，O 为坐标原点，点P 在双曲线C的右支上，且满足1221 2,4F F OP tan PF F =∠=，则双曲线C 的离心率为（ ）B. 5D.179【解析】 【分析】根据12 2F F OP =判断出三角形12F F P 是直角三角形，利用214tan PF F ∠=、双曲线的定义和勾股定理列方程组，化简后求得离心率.【详解】由于12 22F F OP c ==，所以三角形12F F P 是直角三角形.所以12121222221212424PF tan PF F PF PF PF a PF PF F F c ⎧∠==⎪⎪⎪-=⎨⎪+==⎪⎪⎩，化简得22179c a =，即c e a ==故选：C【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法，考查双曲线的定义，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.10.设()f x 是定义在R 上的函数，满足条件()()11f x f x +=-+，且当1x ≤时，()3xf x e-=-，则()27a f log =，()2 1.533,3b f c f --⎛⎫⎪⎝⎭==的大小关系是（ ）A. a b c >>B. a c b >>C. b a c >>D. c b a >>【答案】B 【解析】 【分析】利用已知条件将()27a f log =转换为247a f log ⎛=⎫⎪⎝⎭，根据1x ≤时()f x 的单调性，比较出,,a b c 的大小关系. 【详解】依题意()()11f x f x +=-+，所以()22277log 1log 1227a f log f f ⎛⎫⎛⎫=+=-+ ⎪ ⎝⎭⎝=⎪⎭24log 7f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.因为21.5324log 03317--<<<<，且当(],1x ∈-∞时，()3x f x e -=-为减函数，所以a c b >>.【点睛】本小题主要考查利用函数的单调性比较大小，考查对数运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.11.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 为棱1CC 的中点.下列结论:①线段BD 上存在点F ，使得//CF 平面1AD E ；②线段BD 上存在点F ，使CF ⊥得平面1AD E ；③平面1AD E 把正方体分成两部分，较小部分的体积为724，其中所有正确的序号是（ ） A. ① B. ③C. ①③D. ①②③【答案】C 【解析】 【分析】利用线面平行的判定定理，作出F 点的位置，判断①正确.利用面面垂直的判定定理，判断②错误.计算较小部分的体积，判断③正确.【详解】设1A D 交1AD 于P ，过P 作PQ AD ⊥，交AD 于Q ，连接CQ 交BD 于F ，由于//,PQ CE PQ CE =，所以四边形PQCE 为平行四边形，所以//CQ EP ，所以//CQ 平面1AED .故线段BD 上存在点F ，使得//CF 平面1AD E ，即①正确.若CF ⊥平面1AD E ，CF ⊂平面ABCD ，则平面1AD E ⊥平面ABCD ，这不成立，所以②错误.延展平面1AD E 为1AMED 如图所示，其中M 是BC 的中点.根据正方体的几何性质可知，1,,D E AM DC 相交于一点， 1CEMDD A ∆∆,所以多面体1CEM DD A -是棱台.且体积为(113CEM DD A S S CD ∆∆⋅+⋅1117138224⎛=⋅++⋅= ⎝.故③正确. 综上所述，正确的序号为①③. 故选：C【点睛】本小题主要考查空间线面平行、线面垂直有关定理，考查台体体积计算，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.12.已知正项数列{}n a 的前n 项和为1,1n S a >，且2632n n n S a a =++.若对于任意实数[]2,2a ∈-.不等式2*1()211n a t at n N n +<+-∈+恒成立，则实数t 的取值范围为（ ） A. ][(),22,⋃∞-+∞- B. ,21,(][)∞⋃+∞--C. ,12[),(]-∞⋃+∞-D. []22-,【答案】A 【解析】 【分析】 求得11n a n ++的范围，转化主参变量列不等式组，解不等式组求得t 的取值范围. 【详解】由2632n n n S a a =++①.当1n =时，2111632a a a =++，解得12a =.当2n ≥时，2111632n n n S a a ---=++②，①-②得2211633n n n n n a a a a a --=-+-，()()1130n n n n a a a a --+--=，所以13n n a a --=，所以数列{}n a 是首项为12a =，公差为3d =的等差数列，所以31n a n =-，所以()1311133111n n a n n n ++-==-<+++，所以2213t a t +-≥恒成立，即2240t a t +-≥，转换为2240ta t +-≥，在[]2,2a ∈-恒成立，所以2222402240t t t t ⎧-+-≥⎨+-≥⎩，解得][,2()2,t ∈⋃∞-+∞-. 故选：A【点睛】本小题主要考查已知n S 求n a ，考查不等式恒成立问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.平面向量a 与b 的夹角为60，且()3,0a =，1b =，则2a b += __________．【解析】 【分析】 利用()222a b a b+=+来求得2a b +.【详解】依题意()222a b a b+=+224494a ab b =+⋅+=+=【点睛】本小题主要考查平面向量模的运算，考查平面向量数量积的运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.14.若实数,x y 满足约束条件,4, 3,y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =+的最小值是__________．【答案】9- 【解析】 【分析】画出可行域，平移基准直线20x y +=到可行域边界位置，由此求得z 的最小值.【详解】画出可行域如下图所示，平移基准直线20x y +=到可行域边界点()3,3A --位置，此时z 取得最小值为()2339⨯--=-. 故答案为：9-【点睛】本小题主要考查线性规划求最小值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.15.已知椭圆()2222:10,x y C a b A a b+=>>为右顶点.过坐标原点O 的直线交椭圆C 于,P Q 两点，线段AP的中点为M ，直线QM 交x 轴于()2,0N ，椭圆C 的离心率为23，则椭圆C 的标准方程为__________． 【答案】2213620x y += 【解析】 【分析】设出,P Q 两点的坐标，求得M 点坐标，由,,Q M N 三点共线列方程，结合椭圆的离心率求得,a b 的值，进而求得椭圆的标准方程.【详解】设()()0000,,,P x y Q x y --，(),0A a ，所以00,22a x y M +⎛⎫⎪⎝⎭，由于,,Q M N 三点共线，所以00002222y y a x x =++-，解得6a =.由于椭圆离心率23c a =，所以4c =，所以22220,b a c b =-==所以椭圆方程为2213620x y +=. 故答案为：2213620x y += 【点睛】本小题主要考查根据椭圆的离心率求椭圆标准方程，考查运算求解能力，属于基础题.16.已知函数()()12,f lnx ax a x g x x =+=-，且()()0f x g x ≤在定义域内恒成立，则实数a 的取值范围为__________．【答案】{2|a a e =或12a e ⎫≤-⎬⎭【解析】【分析】先求得()()f x g x 的定义域，然后对()f x 和()g x 的符合进行分类讨论，由此求得实数a 的取值范围. 【详解】依题意()()()1ln 2f x g x x ax a x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，定义域为()0,∞+. 由于()()0f x g x ≤在定义域内恒成立，则 ①，1ln 20,0x ax a x +≤-≥恒成立，即ln 12,x a a x x ≤-≤在()0,∞+恒成立.令()ln x h x x=-，()'ln 1x h x x -=，故()h x 在()0,e 上递减，在(),e +∞上递增，故()()1h x h e e≥=-.所以，由ln 12,x a a x x ≤-≤可得12,0a a e ≤-≤，即12a e≤-. ②，1ln 20,0x ax a x +≥-≤恒成立，即ln 12,x a a x x≥-≥在()0,∞+恒成立，不存在这样的a . ③，当0a >时，由于()f x 在()0,∞+上递增，()g x 在()0,∞+上递减，要使()()0f x g x ≤在定义域内恒成立，则需()f x 和()g x 有相同的零点.由ln 2010x ax a x+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得22,a e x e -==. 综上所述，实数a 的取值范围是{2|a a e =或12a e ⎫≤-⎬⎭.故答案为：{2|a a e =或12a e ⎫≤-⎬⎭【点睛】本小题主要考查不等式恒成立问题的求解策略，考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC 中，角,,A B C 对应边分别为,,a b c .(1)若ABC 的面积S 满足222,4c a b c a +=+==且b c >，求b 的值；(2)若3a A π==且ABC 为锐角三角形.求ABC 周长的范围.【答案】（1）b =（2）3(+【解析】【分析】（1）结合三角形面积公式和余弦定理，求得tan C 的值，由此求得C 的大小，利用余弦定理列方程求得b 的值.（2）利用正弦定理表示出,b c ，用三角形内角和定理和三角恒等变换求得b c +的取值范围，由此求得a b c ++即三角形ABC 周长的取值范围.【详解】(1)由条件和三角形的面积公式得2222c c a b +=+=+，即222a b c =+-.将余弦定理2222a b c abcosC +-=.cosC =，即3tanC =，因为(0,)C π∈，所以6C π=将4,6c a C π===，代入2222c a b abcosC =+-，得290b -+=结合条件b c >得b =(2)由正弦定理得2sin sin sin a b c A B C=== 所以()2b c sinB sinC +=+()22233sinB sin B sinB sin B πππ⎡⎡⎤⎛⎫=--+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎤=⎢⎥⎣⎦⎦+32(6)2sinB B π⎛⎫ ⎪ ⎪⎭==+⎝+ 因为A B C π++=，且3A π=及锐角三角形得0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且20,32B ππ⎛⎫⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以62B ππ<<，所以2363B πππ<+<sin 16B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，所以(3,b c +∈所以周长a b c ++范围是3(+.【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查三角恒等变换，考查运算求解能力，属于中档题.18.如图，已知四边形ABCD 为等腰梯形，BDEF 为正方形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，//,1AD BC AD AB ==，60ABC ∠=︒.(1)求证:平面CDE ⊥平面BDEF ；(2)点M 为线段EF 上一动点，求BD 与平面BCM 所成角正弦值的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）1,52⎤⎥⎣⎦ 【解析】【分析】（1）利用等腰梯形的性质证得BD CD ⊥，由面面垂直的性质定理证得CD ⊥平面BDEF ，由此证得平面CDE ⊥平面BDEF .（2）建立空间直角坐标系，设出EM 的长，利用直线BD 的方向向量和平面BCM 的法向量，求得BD 与平面BCM 所成角正弦值的表达式，进而求得BD 与平面BCM 所成角正弦值的取值范围.【详解】在等腰梯形ABCD 中，// ,1AD BC AD AB ==， 60ABC ∠=︒，120,30BAD CDA ADB ∴∠=∠=︒∠=︒，90CDB ∠=︒. 即.BD CD⊥BD =，2BC =. 又平面BDEF ⊥平面ABCD ，平面BDEF ⋂平面,ABCD BD CD =⊂平面ABCD ，∴CD ⊥平面BDEFCD ⊂平面CDE ，∴平面CDE ⊥平面BDEF（2）解:由(1)知，分别以直线,,DB DC DE 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设0(EM m m =≤≤，则()(),0,1,0,000),,B C D，((),3,1,0M m BC =-，()3,0,3,3,0,()0BM m DB =-=设平面BMC 的法向量为(),,n x y x = 00n BC n BM ⎧⋅=∴⎨⋅=⎩，即(100y m x ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩ 令3x =，则3,y z m ==，平面BMC 的一个法向量为3,3,()n m =.设BD 与平面BCM 所成角为θ，,sin cos n BD θ∴=<>(,nBDn BD m ==∴当0m =m 时取最大值12故BD 与平面BCM 所成角正弦值的取值范围为12⎤⎥⎣⎦. 【点睛】本小题主要考查面面垂直的判定定理和性质定理，考查向量法计算线面角正弦值的取值范围，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19.过点()0,2P 的直线与抛物线2:4C x y =相交于,A B 两点. (1)若2AP PB =，且点A 在第一象限，求直线AB 的方程；(2)若,A B 在直线2y =-上的射影分别为11,A B ，线段11A B 的中点为Q ， 求证1//BQ PA .【答案】（1）240x y -+=.（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设出直线AB 的方程，联立直线AB 的方程和抛物线方程，化简后写出韦达定理，利用2AP PB =，结合平面向量相等的坐标运算、韦达定理，求得直线AB 的斜率，进而求得直线AB 的方程.（2）由（1）求得11,,A B Q 的坐标，通过计算10BQ PA k k -=，证得1//BQ PA .【详解】(1)设AB 方程为()20y kx k =+>，()()11221,,,,0A x y B x y x > ，联立方程24 2.x y y kx ⎧=⎨=+⎩，，消去y 得:2480x kx --=，216320k =+>，121248x x k x x +=⎧⎨⋅=-⎩① 又()1122(),2,,2AP x y PB x y =--=-由2AP PB =得:122x x =-代人①解得12k = ∴直线AB 的方程为:122y x =+，即240x y -+=. (2)由(1)得，()111122,2,,2(()2),,2x A x B x Q x +---114PA k x =-， ()22221221228422BQ x x k x x x x x ++==+-- ()()()122121212211121888422BQ PA x x x x x x k k x x x x x x ++-+-=+=-- ()()()221212************x x x x x x x x x x x x ++===-- 1BQ PA k k ∴=1//PA BQ ∴【点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查向量的坐标运算，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.20.设函数()()3211232x f x e x kx kx =--+. (1)若1k =，求()f x 的单调区间；(2)若()f x 存在三个极值点123,,x x x ，且123x x x <<，求k 的取值范围，并证明:1 3 22x x x >+.【答案】（1）单调减区间为(,1)-∞，单调增区间为(1,)+∞.（2）k e >，证明见解析【解析】【分析】（1）当1k =时，利用导数求得()f x 的单调区间.（2）先求得()f x 的导函数()()()'1x e x f x kx --=，则()x g x e kx =-有两个不同的零点，且都不是1.对k 分成0,0k k ≤>两种情况分类讨论，利用导数研究()g x 的单调性和零点，由此求得k 的取值范围. 由上述分析可得12301x x x <<=<，利用导数证得312313131ln ln 221x x x x x x x x x -=>=-++，从而证得1 3 22x x x >+.【详解】(1)()32()11 232x f x e x x x =--+()()() 1x f x e x x '∴=--.令()(),'1x xh x e x h x e =-=-， ()'0h x >得0x >，()'0h x <得0x <，()h x 在(,0)-∞上递减，在(0,)+∞上递增.()()010h x h ∴≥=>即0x e x ->，∴解()'0f x >得1x >，解()'0f x <得1x <，()f x ∴的单调减区间为(,1)-∞，单调增区间为(1,)+∞.(2)()()()()2'21x x x f x e x e kx kx e kx x =-+-+=--，()f x 有三个极值点，∴方程0-=x e kx 有两个不等根，且都不是1，令()xg x e kx =-， 0k ≤时，()g x 单调递增，()0g x =至多有一根，0k ∴>解()'0g x >得x lnk >，解()'0g x <得x lnk <.()g x ∴在(n ),l k -∞上递减，在(ln ,)k +∞上递增，()()ln 10,k g lnk e klnk k lnk k e =-=-<>∴此时，()010g =>，()1,10lnk g e k >=-<，x →+∞时()g x →+∞.k e ∴>时，()'0f x =有三个根123,,x x x ，且12301x x x <<=<，由11x e kx =得11x lnk lnx =+，由33x e kx =得33x lnk lnx =+，3131ln ln 1x x x x -∴=- 下面证明:313131ln ln 2x x x x x x ->-+，可变形为331311121x x x ln x x x ->+令311x t x =>，()()21ln 1t x t t ϕ-=-+ ()()()()222114011t x t t t t ϕ-'=-=>++，()x ϕ∴在(1)+∞，上递增， ()()10t ϕϕ∴>= ∴313131ln ln 21x x x x x x -=>-+，3122.x x x ∴+> 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求解函数极值有关问题，考查利用导数证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于难题.21.“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求.“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用.每次考试过后，考生最关心的问题是:自己的考试名次是多少?自已能否被录取?能获得什么样的职位? 某单位准备通过考试(按照高分优先录取的原则)录用300名，其中275个高薪职位和25个普薪职位.实际报名人数为2000名，考试满分为400分.(一般地，对于一次成功的考试来说，考试成绩应服从正态分布. )考试后考试成绩的部分统计结果如下:考试平均成绩是180分，360分及其以上的高分考生30名.(1)最低录取分数是多少?(结果保留为整数)(2)考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位?若不能被录取，请说明理由.参考资料:(1)当2~(,)X N μσ时，令X Y μσ-=，则()~0,1Y N .(2)当()~0,1Y N 时， 2.17()0.985P Y ≤≈， 1.280.900, 1.()09()0.863P Y P Y ≤≈≤≈，1.04()0.85P Y ≤≈.【答案】（1）266分或267分.（2）能获得高薪职位.见解析【解析】【分析】（1）利用考试的平均成绩、高分考生的人数，以及题目所给正态分布的参考资料，求得考生成绩X 的分布()~180,832X N ，利用录取率3002000列方程，由此求得最低录取分数线. （2）计算出不低于考生甲的成绩的人数约为200，由此判断出甲能获得高薪职位.【详解】(1)设考生成绩为X ，则依题意X 应服从正态分布，即()2~180,X N σ.令180X Y σ-=，则()~0,1Y N .由360分及其以上的高分考生30名可得()303602000P X ≥=即()3036010.9852000P X <=-≈，亦即3601800.985P Y σ-⎛⎫<≈ ⎪⎝⎭. 则3601802.17σ-=，解得()83180,832N σ≈∴，， 设最低录取分数线为o x ，则0180300832(0)00o x P X x P Y -⎛⎫≥=≥= ⎪⎝⎭ 则018030010.85832000x P Y -⎛⎫<=-≈ ⎪⎝⎭，0180 1.0483x -∴= 266.32o x ∴≈.即最低录取分数线为266分或267分.(2)考生甲的成绩286267>，所以能被录取.()()286180()286 1.280.9083P X P Y P Y -<=<=<≈， 表明不低于考生甲的成绩的人数约为总人数的10.900.10,20000.1200-=⨯≈，即考生甲大约排在第200名，排在275名之前，所以他能获得高薪职位.【点睛】本小题主要考查正态分布在实际生活中的应用，考查化归与转化的数学思想方法，考查阅读理解能力，属于中档题.请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用2B 铅笔在答题卡.上把所选题目对应的题号后的方框涂黑.22.在极坐标系中，已知圆的圆心6,3C π⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径3r =，Q 点在圆C 上运动.以极点为直角坐标系原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系.（1）求圆C 参数方程； （2）若P 点在线段OQ 上，且:2:3OP PQ =，求动点P 轨迹的极坐标方程.【答案】（1）33cos 3sin x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）；（2）225120sin 10806πρρθ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭ 【解析】【分析】（1）已知得，圆心6,3C π⎛⎫ ⎪⎝⎭的直角坐标为(C ，3r =，则可求得圆的标准方程；（2）结合（1）得，圆C 的极坐标方程为212sin 276πρρθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，再设(),P ρθ，()1,Q ρθ，则1:2:5ρρ=，将152ρρ=代入C 的极坐标方程即可得解. 【详解】（1）由已知得，圆心6,3C π⎛⎫ ⎪⎝⎭的直角坐标为(C ，3r =， 所以C 的直角坐标方程为()(2239x y -+-=，所以圆C 的参数方程为33cos 3sin x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）． （2）由（1）得，圆C 的极坐标方程为()26cos 270ρρθθ-+=，即212sin 276πρρθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭． 设(),P ρθ，()1,Q ρθ，根据:2:3OP PQ =，可得1:2:5ρρ=，将152ρρ=代入C 的极坐标方程，得225120sin 10806πρρθ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭， 即动点p 轨迹的极坐标方程为225120sin 10806πρρθ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了直角坐标方程、极坐标方程及参数方程的互化，重点考查了运算能力，属基础题.23.设函数()211f x x x =-++.(1)画出()y f x =的图象；(2)若不等式()1f x a x >-+对x ∈R 成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）见解析（2）(,3)-∞【解析】【分析】（1）利用零点分段法将()f x 表示为分段函数的形式，由此画出()f x 的图形.（2）将不等式() 1f x a x >-+转化为21 22a x x -++>.利用绝对值不等式求得21 22x x -++的最小值，由此求得a 的取值范围.【详解】(1)根据绝对值的定义，可得()3,112,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩所以() y f x =的图象如图所示:(2)() 1f x a x >-+，即21 22a x x -++>|21 2 2 2122|3x x x x -++≥---=，3a ∴<，即实数a 的取值范围是(,3)-∞.【点睛】本小题主要考查分段函数的图像，考查含有绝对值的不等式恒成立问题的求解，属于基础题.。
河南省洛阳市2020-2021学年第一学期高三第一次统一考试理数试题
洛阳市2020—2021学年高中三年级第一次统一考试数学试卷（理）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数()()112z i i =++，则其共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限C根据复数的乘法运算，化简复数z ，从而得出共轭复数z ，再根据复数在复平面上的点的表示，可得选项.∵()()21121+3+21+3i z i i i i =++==-，∴13z i =--，则z 在复平面内对应的点的坐标为（13--，），位于第三象限．故选：C ．2. 已知集合{}0A x x =>，{}2230B x x x =+-≤，则集合A B =（ ）A. {}31x x -≤≤B. {}30x x -≤<C. {}01x x <≤D. {}3x x ≥-D先利用一元二次不等式的解法化简集合B ，再利用并集的运算求解.因为集合{}0A x x =>，{}{}223031B x x x x x =+-≤=-≤≤，所以A B ={}3x x ≥-，故选：D 3. 下列说法正确的是（ ）A. “()00f =”是“函数()f x 是奇函数”的充要条件B. “若π6α=，则1sin 2α=”的否命题是“若π6α≠，则1sin 2α≠”C. “向量a ，b ，c ，若a b a c ⋅=⋅，则b c =”是真命题D. 命题“x ∀∈R ，2210x x ++>”的否定是“0x ∃∈R ，使得200210x x ++>”B选项A 举例当()2f x x x =-满足()00f =，但不是奇函数,可判断；选项B 写出命题的否命题,可判断；选项C 当0a =时，a b a c ⋅=⋅成立，但b c =不一定成立,可判断，选项D 写出命题的否定,可判断.选项A. 函数()2f x x x =-满足()00f =，但不是奇函数，故A 不正确.选项B. “若π6α=，则1sin 2α=”的否命题是“若π6α≠，则1sin 2α≠”,故B 正确.选项C. 当0a =时，a b a c ⋅=⋅成立，但b c =不一定成立，故C 不正确.选项D. 命题“x ∀∈R ，2210x x ++>”的否定是“0x ∃∈R ，使得200210x x ++≤”,故D 不正确.故选：B4. 在各项均为正数的等比数列{}n a 中，22a =，3564a a =，则数列{}n a 的前10项和等于（ ） A. 511 B. 512 C. 1023 D. 1024C由条件求出11,2a q ==，然后可得答案.因为212a a q ==，2635164a a a q ==，且{}n a 的各项为正数所以可解得11,2a q ==，所以101012102312S -==-故选：C 5. 设a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若a 平行于α内的无数条直线，则//a α B. 若//a α，//a b ，则b 平行于α内的无数条直线 C. 若αβ⊥，a α⊂，b β⊂，则a b ⊥ D. 若//a α，αβ⊥，则a β⊥ B根据空间线面间平行与垂直的位置关系判断． 当a α⊂时，α内也有无数条直线与a 平行，A 错；//a α，则α内有无数条直线与a 平行，而//a b ，那么这无数条直线中最多有一条与b 重合，其它的都与b 平行，B 正确；αβ⊥，a α⊂，b β⊂，a 与b 可能平行可能垂直，C 错；//a α，αβ⊥，则也可能有//a β，D 错误．故选：B ．6. 为了得到函数sin 2cos2y x x =+的图像，只需把函数sin 2cos 2y x x =-的图像（ ）A. 向左平移4π个长度单位B. 向右平移4π个单位长度 C. 向左平移2π个单位长度D. 向右平移2π个单位长度Ay sin2x cos2x =+可化为)4y x π=+，同理y sin2x cos2x =-可化为)4y x π=-，所以把)4y x π=-的图象向左平移4π个单位，可得到)4y x π=+的图像．选A.7. 为创建全国文明城市，学校计划从4男3女共7名教师中随机派出4名教师参加志愿服务工作，则至多有一名女教师参加的概率是（ ） A. 1235B.1335C.1835D.1935B由条件可得至多有一名女教师参加的概率为43144347C C C C +，算出即可.至多有一名女教师参加的概率为431443471335C C C C +=故选：B 8. 已知点F 为双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）的左焦点．直线l ：y x =-与双曲线的左支交于点P ，且OP PF =（O 为坐标原点），则此双曲线的离心率为（ ）A.B.C.D. A首先根据条件求出点P 的坐标，然后根据双曲线的定义可建立方程求解.因为OP PF =，直线l ：y x =-，所以45PFO POF ∠=∠=︒因为OF c =，所以可得,22c c P ⎛⎫-⎪⎝⎭，22PF = 设双曲线的右焦点为1F ，由双曲线的定义可得12PF PF a -=222222c c c a ⎛⎫⎛⎫--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10222a -= 所以1022102cae ==-=故选：A 9. 已知P ，Q 是圆O ：228x y +=上的两个动点，且4OP OQ -=，S 是线段PQ 的中点，若3122OT OQ OP =-，则OS OT ⋅的值为（ ）A. 822+B. 822-C. 8D. 4D根据222OP OQ PQ +=，建立平面直角坐标系，分别求得向量,OS OT 的坐标，然后利用平面向量的数量积运算求解.因为P ，Q 是圆O ：228x y +=上的两个动点，且4OP OQ -=， 所以222OP OQ PQ +=，建立如图所示直角坐标系：不妨设()(22,0,0,22,2,2P Q S ，所以()2,2OS =，(312,3222OT OQ OP =-=-，所以3122322422OS OQ OT OP =-=-⨯=⋅，故选：D10. 设函数()3211232x b f ax x c x =+++在0,1上取得极大值，在1,2上取得极小值，则3a b+的取值范围是（ ） A. ()2,1-- B. ()2,0-C.1,0D. ()1,1-B因为函数()3211232x b f ax x c x =+++在0,1上取得极大值，在1,2上取得极小值， 所以'''(0)20(1)120(2)4220f b f a b f a b ⎧=>⎪=++<⎨⎪=++>⎩，然后画出变量,a b 表示的可行域如图所示，利用线性规划可求得结果由()3211232x b f ax x c x =+++，得'2()2f x x ax b =++，因为函数()3211232x b f ax x c x =+++在0,1上取得极大值，在1,2上取得极小值，所以'''(0)20(1)120(2)4220f b f a b f a b ⎧=>⎪=++<⎨⎪=++>⎩，所以变量,a b 表示的可行域如图所示设3z a b =+，则1133b a z =-+，作直线13b a =-，平移过点(2,0)A -和点C 时，可求得3z a b=+取值范围，由1204220a b a b ++=⎧⎨++=⎩，解得31a b =-⎧⎨=⎩，即(3,1)C -，所以203331z -+⨯<<-+⨯，即20z -<< 所以3a b +的取值范围为()2,0-，故选：B11. 已知1F ，2F 是椭圆2212516x y +=的左、右焦点，P 是椭圆上任意一点，过1F 引12F PF ∠的外角平分线的垂线，垂足为Q ，则Q 与短轴端点的最近距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 5A根据角平分线的性质和椭圆的定义可得OQ 是12F F M △的中位线， ||5OQ a ==，可得Q 点的轨迹是以O 为圆心，以5为半径的圆，由此可得选项.因为P 是焦点为1F ，2F 的椭圆2212516x y +=上的一点，PQ 为12F PF ∠的外角平分线，1QF PQ ⊥，设1F Q 的延长线交2F P 的延长线于点M ，所以1||||PM PF =，12212210,PF PF a MF PF PF +==∴=+，所以由题意得OQ 是12F F M △的中位线，所以||5OQ a ==，所以Q 点的轨迹是以O 为圆心，以5为半径的圆，所以当点Q 与y 轴重合时，Q 与短轴端点取最近距离54 1.d =-=故选：A.12. 已知奇函数()f x 的定义域为ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，其图象是一段连续不断的曲线，当π02x -<<时，有()()cos sin 0f x x f x x '+>成立，则关于x 的不等式()π2cos 3f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为（ ）A. ππ23⎛⎫- ⎪⎝⎭，B. ππ23⎛⎫-- ⎪⎝⎭， C. ππππ2332⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，， D. πππ0332⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，， A 设()()cos f x g x x=，则()()()2cos sin cos f x x f x xg x x'+'=,由条件可得()()cos f x g x x =在02π⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递增，进一步可得()()cos f x g x x =在02，上单调递增，将()π2cos 3f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭可化为()π3πcos cos 3f f x x ⎛⎫⎪⎝⎭<，即()3g x g π⎛⎫< ⎪⎝⎭，由单调性可得答案.设()()cos f x g x x= ，则()()()2cos sin cos f x x f x xg x x'+'=当π02x -<<时，有()()cos sin 0f x x f x x '+>成立，此时()0g x '> 所以()()cos f x g x x =在02π⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递增. 又()f x 为奇函数，则()00f =，则()()cos f x g x x=为奇函数，又()00g =则()()cos f x g x x =在02，上单调递增，所以()g x 在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增.当ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，恒有cos 0x >()π2cos 3f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭可化为()π3πcos cos 3f f x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭<，即()3g x g π⎛⎫< ⎪⎝⎭，由()()cos f x g x x =在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，所以23x ππ-<<故选：A第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题13. 已知向量(),3k =a 与()2,1b =-，若()b a b ⊥+，则实数k 的值为______．1-首先算出a b +的坐标，然后由()b a b ⊥+建立方程求解即可. 因为(),3k =a ，()2,1b =-，所以()2,2a b k +=+ 因为()b a b ⊥+，所以2420k +-=，解得1k =- 故答案为：1-14. 已知π1tan 43α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则sin cos αα的值是______．25由π1tan 43α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭可得cos sin 1cos sin 3αααα-=-+，两边平方可解出答案. 由π1tan 43α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得sin 11tan cos sin 1cos sin 1tan cos sin 31cos αααααααααα---===-+++ 由cos sin 1cos sin 3αααα-=-+两边平方可得：12cos sin 112cos sin 9αααα-=+ 解得2sin cos 5αα=故答案为：2515. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______．53根据三视图画出几何体的直观图，再由几何体的构成分别求体积即可.几何体的直观图如下:由三视图得1153+=132+3223V V V=⨯⨯柱锥.故答案为:53【注意点点睛】观察三视图并将其“翻译”成直观图；注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”；注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响；对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，再根据正视图和侧视图，确定几何体的形状.16. 设数列{}n a满足125a=，且21n n na a a+=+，n*∈N，设122020111111Sa a a=++⋅⋅⋅++++，若(),1S t t∈+，则整数t=______．2先求出+11111n n na a a=-+，再裂项相消得到(2,3)S∈，即得t值.因为21n n n a a a +=+，所以+11111=(1)1n n n n n a a a a a =-++， 所以+11111n n n a a a =-+， 所以122020122320202021111111111111S a a a a a a a a a =++⋅⋅⋅+=-+-++-+++所以202151522S a =-<. 又21n n n a a a +=+，所以1n n a a +>， 由题得223424141414546639366,(),,525252525625390625a a a =+==+==，因为12341111525625390625+++211117391171639366a a a a +=++>++++， 所以(2,3),2S t∈∴=. 故答案为：2三、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知sin sin sin sin b B c C C a A ⎫+=+⎪⎪⎝⎭．（1）求角A ；（2）若D 是AB 的中点，且1CD =，求b c +的最大值．（1）3A π=；（2）3. （1）利用正余弦定理将sin sin sin sin b B c C C a A ⎫+=+⎪⎪⎝⎭进行边角互化可得答案；（2）在ADC 中，设ACD α∠=，ADC β=，则23παβ+=，然后由正弦定理可得sin sin sinAC AD CD A βα===，然后)()222sin 4sin 2sin 4sin 3333b c AC AD πβααα⎡⎤⎛⎫+=+=+=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，利用三角函数的知识可求得答案.（1）因为23sin sin sin sin 3b B c C b C a A ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭所以由正弦定理可得2223sin b c b C a a ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭，即22223sin 3b c a ab C +-= 所以由余弦定理可得232cos sin bc A ab C =，所以3sin cos sin sin C A A C = 因为sin 0C ≠，所以3cos sin A A =，即tan 3A = 因为()0,A π∈，所以3A π=（2）在ADC 中，设ACD α∠=，ADC β=，则23παβ+=所以23sin sin sin AC AD CD A βα=== 所以)()333222sin 4sin 2sin 4sin 3333b c AC AD πβααα⎡⎤⎛⎫+=+=+=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦)()32215sin 333αααϕ==+（其中3tan 5ϕ=） 因为20,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()221221sin 33b c αϕ+=+≤，即b c +22118. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA C C ⊥底面ABC ，160C CA ∠=︒，AB AC ⊥，12AC AB AA ===．（1）求证：11CA BC ⊥；（2）设点E 在直线1AA 上，记1AE AA λ=，是否存在实数λ，使CE 与1A BC 平面所成的角的正25，若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由． （1）证明见解析 （2）存在 1λ=-(1) 连接1AC ,得11AC AC ⊥，由条件可得AB ⊥面11AAC C ，从而有1AB A C ⊥，则可证明1A C ⊥面1ABC ，从而可证明结论.(2) 由（1）可知四边形11AAC C 为菱形，又160C CA ∠=︒，则1CC A △为等边三角形.取AC 的中点N ，连接1C N ，则1C N AC ⊥,且13C N =由侧面11AA C C ⊥底面ABC ，则1C N ⊥面ABC ,以,AC AB 分别为,x y 轴，过A 作1C N 的平行线为z 轴，建立空间直角坐标系,用向量法求解. (1)连接1AC由侧面11AA C C ⊥底面ABC ，且面11AAC C底面ABC AC =,AB AC ⊥, AB 面ABC ,所以AB ⊥面11AAC C又1AC ⊂面11AAC C ,所以1AB A C ⊥ 在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AAC C 为平行四边形，又2AC AB ==， 所以四边形11AAC C 为菱形，则11AC AC ⊥,且1AC AB A =所以1A C ⊥面1ABC ,由1BC ⊂面1ABC ,所以11CA BC ⊥（2）由（1）可知四边形11AAC C 为菱形，又160C CA ∠=︒，则1CC A △为等边三角形. 取AC 的中点N ，连接1C N ，则1C N AC ⊥,且13C N = 由侧面11AA C C ⊥底面ABC ，则1C N ⊥面ABC以,AC AB 分别为,x y 轴，过A 作1C N 的平行线为z 轴，如图建立空间直角坐标系.则()()()()10,0,0,2,0,0,0,2,0,1,0,3A C B A - 由()1,0,3AE AA λλλ==-，则()()()2,0,0,0,32,0,3CE CA AE λλλλ=+=-+-=--()2,2,0BC =-,()11,2,3BA =-- 设面1A BC 的一个法向量为(),,n x y z =则100n BC n BA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ,即220230x y x y z -+=⎧⎪⎨--+=⎪⎩ ，取()1,1,3n = 设CE 与1A BC 平面所成的角为θ，则25sin cos ,n CE n CE n CEθ⋅===⋅ 即()222225552++3λλλ-=⋅，化简得2210λλ++=，所以1λ=- 所以存在1λ=-满足条件.19. 设抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点为F ，点()4,P m 是抛物线C 上一点，且5PF =． （1）求抛物线C 的方程；（2）设直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，若6AF BF +=，求证：线段AB 的垂直平分线过定点．（1）24y x =；（2）证明见解析. （1）由条件可得542pPF ==+，解出即可； （2）当直线l 的斜率存在时，设:l y kx m =+，()()1122,,,A x y B x y ，联立直线与抛物线的方程联立消元，然后韦达定理可得12242kmx x k-+=，由6AF BF +=可得12242242km x m k kkx -+==⇒=-，然后表示出线段AB 的垂直平分线方程可得答案. （1）由抛物线的焦半径公式可得542pPF ==+，解得2p = 即抛物线C 的方程为24y x =（2）当直线l 的斜率存在时，设:l y kx m =+，()()1122,,,A x y B x y由24y x y kx m ⎧=⎨=+⎩可得()222240k x km x m +-+= 所以0k ≠，()2222440km k m ∆=-->，即1km <12242kmx x k -+=因为6AF BF +=，所以1226x x ++=，所以12242242km x m k k kx -+==⇒=- 所以线段AB 的中点坐标为()2,2k m +所以线段AB 的垂直平分线方程为()122x ky k m ---=-， 即()1214124x k m x x k k k k ky +++=+=--=--，所以过定点()4,0当直线l 的斜率不存在时也满足综上：线段AB 的垂直平分线过定点()4,020. 核酸检测是诊断新冠肺炎的重要依据，首先取病人的唾液或咽拭子的样本，再提取唾液或咽拭子样本里的遗传物质，如果有病毒，样本检测会呈现阳性，否则为阴性．多个样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要有病毒，则混合样本化验结果就会呈阳性，若混合样本呈阳性，则将该组中各个样本再逐个化验；若混合样本呈阴性，则该组各个样本均为阴性．根据统计发现，疑似病例核酸检测呈阳性的概率为p （01p <<）．现有4例疑似病例，对其核酸检测有以下三种方案： 方案一：逐个化验；方案二：四个样本混在一起化验； 方案三：平均分成两组化验．（1）若14p =，求2个疑似病例的混合样本化验结果为阳性的概率；（2）在新冠肺炎爆发初期，由于检查能力不足，化检次数的期望值越小，则方案越“优”．若14p =，现将该4例疑似病例样本进行化验．请问：方案一、二中哪个更“优”？（3）若12p =，求方案三检测次数的分布列．（1）716；（2）方案二更“优”；（3）分布列见解析.（1）根据题意直接可得答案；（2）方案二：检测次数为X ，X 的可能取值为1，5，算出其期望，然后与4作比较即可； （3）首先算出每组检测的次数及其概率，然后可得方案三的检测次数为Y ，Y 的可能取值为2，4，6，算出对应的概率，然后可得分布列.（1）该混合样本呈阳性的概率是：2371416⎛⎫-= ⎪⎝⎭；（2）方案一：逐个检测，检测次数为4 方案二：检测次数为X ，X 的可能取值为1，5()()()418117511,5114256256P X P X P X ⎛⎫==-===-==⎪⎝⎭ 所以()811752391525625664E X =⨯+⨯= 由于239464>，所以方案二更“优” （3）方案三，每组两个样本检测时，若呈阴性，则检验次数为1，概率为21124⎛⎫= ⎪⎝⎭若呈阳性，则检验次数为3，概率为13144-= 故方案三的检测次数为Y ，Y 的可能取值为2，4，6()()()2211133392,42,3416448416P Y P Y P Y ⎛⎫⎛⎫=====⨯⨯==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以随机变量Y分布列为21. 已知函数()()e 1e xf x a x x=+--（1）当0a =时，求函数()f x 的极值；（2）若函数()f x 在区间()0,1内存在零点，求实数a 的取值范围． （1）()f x 的极小值为()10f =，无极大值；（2）()0,∞+.（1）当0a =时，()e e xf x x=-，利用导数求出其单调性即可；（2）()()()()2e 1e=0=e 0xx f x a x g x ax a e x x=+--⇔+-+=，()f x 在区间()0,1上的零点即()g x 在区间()0,1上的零点，然后分0a =、0a >、0a <三种情况讨论，每种情况下结合()g x 的单调性和函数值的符号可得答案.（1）当0a =时，()e e xf x x =-，()f x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞()()2e 1x xf x x-'= 由()0f x '>得1x >，由()0f x '<得1x <且0x ≠所以()f x 在(),0-∞，()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增 所以()f x 的极小值为()10f =，无极大值（2）当()0,1x ∈时，()()()2e 1e=0e 0xx f x a x ax a e x x=+--⇔+-+=令()()2=e x g x ax a e x +-+，则()f x 在区间()0,1上的零点即()g x 在区间()0,1上的零点()=e 2x g x ax a e '+--令()()=e 2x h x g x ax a e '=+--，则()=e 2xh x a '+①当0a =时，()=e 0xh x '>，()h x 单调递增，即()g x '单调递增又()1=0g '，所以当()0,1x ∈时()0g x '<，()g x 在()0,1上单调递减， 又()1=0g ，()g x 在区间()0,1上没有零点②当0a >时，()0h x '>，故()()h x g x '=在()0,1上单调递增 又()()()()0010,110h g a e h g a ''==--<==>所以存在()00,1x ∈，使得()()000h x g x '== 即当()00,x x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减 当()0,1x x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增又因为()01g =，()1=0g ，所以()g x 在区间()0,1上存在零点③当0a <，()0,1x ∈时，令()x x e ex ϕ=-，则()xx e e ϕ'=-因为在()0,1上，()0x ϕ'<，()x ϕ是减函数，所以()()10xx e ex ϕϕ=->= 所以x e ex >，所以()()()()222=e 0x g x ax a e x ex ax a e x a x x +-+>+-+=->所以()g x 在区间()0,1上没有零点综上：要使函数()f x 在区间()0,1内存在零点，则a 的取值范围是()0,∞+选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑． 选修4—4：极坐标与参数方程22. 在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为2x ty ⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=． （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）已知点P的直角坐标为)，过点P 作直线l 的垂线交曲线C 于D 、E 两点（D 在x 轴上方），求11PD PE-的值． （170y -+=；24y x =；（2（1）利用直线参数方程消去参数即得直线的普通方程，曲线极坐标方程两边同时乘以ρ，利用cos x ρθ=，cos y ρθ=即得曲线的直角坐标方程；（2）根据点P 坐标写直线DE 的参数方程，代入曲线C 的直角坐标方程得关于t 的一元二次方程，利用韦达定理求11PD PE-的值即可.解：（1）由2x ty ⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩，消去参数t70y -+=，即直线l70y -+=； 由2sin 4cos ρθθ=得22sin 4cos ρθρθ=， ∵cos x ρθ=，cos y ρθ=，∴24y x =， 即曲线C 的直角坐标方程24y x =；（2）依题意，设直线DE的参数方程为212x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）， 代入24y x =得20t +-=，设点D 对应的参数为1t ，点E 对应的参数为2t，则12t t +=-12t t =-，且D 在x 轴上方，有10t >，20t <．故121212*********t t PD PE t t t t t t +-=-=+===， 即11PD PE -的值为4. 选修4—5：不等式选讲23. （1）已知a 、b 、c 是正数，且满足1ab bc ac ++=，求证a b c ++≥ （2）已知a 、b 是正数，且满足1a b +=2． （1）证明见解析；（2）证明见解析.（1）本题可通过基本不等式得出222a b c ab bc ac ++≥++，进而得出()()23a b c ab bc ac ++≥++，最后根据1ab bc ac ++=即可证得不等式成立；（2）本题可通过柯西不等式证得不等式成立（1）因为222a b ab +≥，222b c bc +≥，222a c ac +≥，所以()2222222a b c ab bc ac ++≥++，当且仅当a b c ==时取等号，则222a b c ab bc ac ++≥++，()()23a b c ab bc ac ++≥++，因为1ab bc ac ++=，所以()23a b c ++≥，a b c ++≥. （2）因为1a b +=，所以由柯西不等式得()2111122a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫≤++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()214a b =++=（当且仅当12a b ==时取等号），2.。
【解析】河南省洛阳市2020届高三上学期尖子生第一次联考数学(理)试题
洛阳市2019-2020学年上学期尖子生第一次联考高三数学试题(理科) 第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合合题目要求的.1.全集U =R ，{}2019|log (1)A x y x ==-，{|B y y ==，则()U A C B =I （ ） A. ()1,2 B. (]1,2C. [)1,2D. []1,2【答案】A 【分析】分别解出集合A 和B ，再结合交集的概念和补集的概念得到结果.【详解】{{}||2B y y y y ===={}|2U C B y y =<，{}{}2019|log (1)|1A x y x x x ==-=> ()()1,2.U A C B =I故答案为：A.【点睛】这个题目考查了集合的交集和补集的概念，属于基础题.2.已知复数z 满足(1+2)34i z i =-+，则z =（ ）B. 5【答案】C()()()()34i 12i 510i 12i,12i 12i 12i 5z -+-+===++=+-故选C .3.已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与直线3y x =重合，且sin 0α<，又()P m n ,是角α终边上一点，且OP =O 为坐标原点)，则m n -等于（ ） A. 2 B. 2-C. 4D. 4-【答案】A 【分析】由题意可得0,3m n m <=，根据OP =,m n 的值，即可求解m n -得值，得到答案.【详解】由题意，角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与直线3y x =重合，且sin 0α<，所以α为第三象限角.又()P m n ,是角α终边上一点，所以0,3m n m <=，再根据OP m ===（O 为坐标原点）， 所以1,3m n =-=-，则2m n -=， 故选A.【点睛】本题主要考查了三角函数的定义及其应用，其中解答熟练应用三角函数的定义，列出方程求得m 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4.已知等比数列{}n a 中，2854a a a ⋅=，等差数列{}n b 中，465b b a +=，则数列{}n b 的前9项和9S 等于（ ） A. 9 B. 18 C. 36D. 72【答案】B 【分析】由等比数列的性质可得2825a a a ⋅=，求得54a =，得到464b b +=，再由等差数列的前n 项和，即可求解，得到答案.【详解】在等比数列{}n a 中，满足2854a a a ⋅=，由等比数列的性质可得2825a a a ⋅=，即2554a a ⋅=，所以54a =，又由465b b a +=，所以464b b += 所以数列{}n b 的前9项和194699()9()9418222b b b b S ++⨯====， 故选B.【点睛】本题主要考查了等差数列、等比数列的性质，以及等差数列的前n 项和公式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5.已知()f x 为偶函数，当0x >时，()ln 3f x x x =-，则曲线() y f x =在点()1,3--处的切线与两坐标轴围成图形的面积等于（ ） A. 1 B.34C.14D.12【答案】C 【分析】由偶函数的定义求得当0x <时，()ln()3f x x x =-+，利用导数的几何意义求得切线的斜率和切线方程，令0,0x y ==，可得切线与两坐标轴的交点，再由三角形的面积公式计算，即可求解.【详解】由题意，函数()f x 为偶函数，当0x >时，()ln 3f x x x =-， 当0x <时，可得()()ln()3f x f x x x =-=-+， 则()13f x x'=+，则曲线() y f x =在点()1,3--处的切线斜率为()12f '-=， 可得切线的方程为32(1)y x +=+， 令0x =，可得1y =-，令0y =，可得12x =， 所以切线与两坐标轴围成的图形的面积为1111224S =⨯⨯=，故选C. 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，以及导数的几何意义的应用，其中解答中正确求解函数的解+析式，合理利用导数的几何意义求得切线的方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6.在[6,9]-内任取一个实数m ，设2()f x x mx m =-++，则函数()f x 的图象与x 轴有公共点的概率等于（ ） A.215B.715C.35D.1115【答案】D()2f x x mx m =-++Q图象与x 轴有公共点，240,4m m m∴∆=+>∴<-或0,m >∴在[]6,9-内取一个实数m ，函数()f x 的图象与x 轴有公共点的概率等于()()4690119615-++-=+，故选D.7.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,,F F P 为双曲线上一点，且122PF PF =，若12sin F PF ∠= ）B. 2或2或【答案】C 【分析】根据双曲线的定义和题设条件，求得124,2PF a PF a ==，再在12PF F ∆中，由余弦定理，化简整理得224c a =或226c a=，即可求解，得到答案.【详解】由题意，根据双曲线的定义可得122PF PF a -=，又因为122PF PF =， 可得124,2PF a PF a ==， 又由12sin 4F PF ∠=，可得121cos 4F PF ∠=±，在12PF F ∆中，由余弦定理可得2222221212122111co 6442s 2244PF PF F F a a c PF P P a a F F F +-+-=⨯⨯=±=∠，解得224c a =或226c a=，所以2c e a ==，故选C.【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，以及双曲线的离心率的求解，其中解答中合理利用双曲线的定义，以及在12PF F ∆中，利用余弦定理求得22c a的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.8.若向量a b c ⋅⋅v v v 满足1a b ==r r ，1,2a b a c ⋅=-<-r r r r ，3b c π->=r r ，c r 的最大值为（ ）A.2B.12C. 1D. 2【答案】D 【分析】构造,,,120,60AB a AD b AC c BAD BCD ===∠=∠=o o u u u r r u u u r r u u u r r，得到,,,A B C D 四点共圆，结合图形，得到当线段AC 为圆的直径时，此时c r最大，即可求解.【详解】如图所示，构造,,,120,60AB a AD b AC c BAD BCD ===∠=∠=o o u u u r r u u u r r u u u r r，因为180BAD BCD ∠+∠=o ，所以,,,A B C D 四点共圆，所以当线段AC 为圆的直径时，此时c r最大，由余弦定理可得2222212cos12011211()32BD AB AD AB AD =+-⋅=+-⨯⨯⨯-=o，所以BD =22sin120BDR ==o，即c r 的最大值2，故选D.【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算，正弦定理和余弦定理，以及四点共圆的应用，其中解答中构造出,,,A B C D 四点共圆，结合图形求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，构造思想的应用，属于中档试题.9.某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为（ ） A. 16 B. 18C. 24D. 32【答案】C 【分析】 把剩余的4个车位看成一个元素，且只有一种排法，再加上有3辆不同型号的车，共有四个不同的元素，利用排列数公式，即可求解.【详解】由题意知，剩余的4个车位连在一起，把剩余的4个车位看成一个元素，且只有一种排法，再加上有3辆不同型号的车，所有共有四个不同的元素，其中四个元素的排列共有4424A =种，故选C.【点睛】本题主要考查了排列的应用，其中解答中把剩余的4个车位看成一个元素，共有四个不同的元素，利用排列数公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.10.已知函数2()43f x x x =-+.若方程2[()]()0f x bf x c ++=恰有七个不相同的实根，则实数b 的取值范围是（ ） A. ()2,0-B. ()2,1--C. ()0,1D. ()0,2【答案】B 【分析】画出函数()f x 的图象，根据方程2[()]()0f x bf x c ++=恰有七个不同的实根，得到方程20t bt c ++=的其中一个根为1，另一根在(0,1)内，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】由题意，画出函数2()43f x x x =-+的图象，如图所示， 可得()(1)(3)0,(2)1,0f f f f x ===≥，因为方程2[()]()0f x bf x c ++=恰有七个不同的实根， 则方程20t bt c ++=的其中一个根为1，另一根在(0,1)内， 设()2g t t bt c =++，则满足(1)0g =且(0)0g >且()02b g -<且012b<-<， 即10b c ++=且0c >且2()()022b b bc -+⋅-+<且012b<-<， 解得21b -<<-，即实数b 的取值范围是()2,1--，故选B.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中把方程2[()]()0f x bf x c ++=恰有七个不同的实根，转化为20t bt c ++=的其中一个根为1，另一根在(0,1)内，结合二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及数形结合思想的应用，属于中档试题.11.定义在R 上的函数()f x 导函数为()f x '，若对任意实数x ，有()()f x f x '>，且()2019f x +为奇函数，则不等式()2019e 0x f x +<的解集为（ ）A. (),0-∞B. ()0,∞+C. 1(,)e-∞D. 1(,)e+∞【答案】B 【分析】 构造新函数()()x f x g x e=，利用导数求得函数()g x 在R 上单调递减，再根据()2019f x +为奇函数，求得()02019g =-，得出不等式()20190xf x e +<等价与()()0g x g <，即可求解.【详解】由题意，构造新函数()()xf xg x e=，则()()()x f x f x g x e '-'=， 因为()()f x f x '>，所以()0g x '<，所以函数()g x 在R 上单调递减， 又因为()2019f x +为奇函数，所以()020190f +=， 所以()02019f =-，则()02019g =-，所以不等式()20190xf x e +<等价与()()0g x g <，即0x >，所以不等式()2019e 0xf x +<的解集为()0,∞+，故选B.【点睛】本题主要考查了函数的单调性、奇偶性的应用，以及利用导数研究函数的单调性及其应用，其中解答中构造新函数，合理利用函数的单调性和奇偶性是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.12.已知三棱锥—P ABC 的四个顶点均在同一个球面上，底面ABC ∆满足BA BC ==π2ABC ∠=，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为（ ） A. 8πB. 16πC. 16π3D.32π3【答案】D因为ABC ∆是等腰直角三角形，所以外接圆的半径是11232r ==是R ，球心O 到该底面的距离d ，如图，则163,32ABC S BD ∆=⨯==116336ABC V S h h ∆==⨯=最大体积对应的高为3SD h ==，故223R d =+，即22(3)3R R =-+，解之得2R =，所以外接球的体积是343233R ππ=，应选答案D 。
洛阳市2020-2021学年高中三年级第一次统一考试理数答案
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