指派问题的匈牙利解法

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最大化指派问题匈牙利算法

最大化指派问题匈牙利算法匈牙利算法，也称为Kuhn-Munkres算法，是用于解决最大化指派问题（Maximum Bipartite Matching Problem）的经典算法。

最大化指派问题是在一个二分图中，找到一个匹配（即边的集合），使得匹配的边权重之和最大。

下面我将从多个角度全面地介绍匈牙利算法。

1. 算法原理：匈牙利算法基于增广路径的思想，通过不断寻找增广路径来逐步扩展匹配集合，直到无法找到增广路径为止。

算法的基本步骤如下：初始化，将所有顶点的标记值设为0，将匹配集合初始化为空。

寻找增广路径，从未匹配的顶点开始，依次尝试匹配与其相邻的未匹配顶点。

如果找到增广路径，则更新匹配集合；如果无法找到增广路径，则进行下一步。

修改标记值，如果无法找到增广路径，则通过修改标记值的方式，使得下次寻找增广路径时能够扩大匹配集合。

重复步骤2和步骤3，直到无法找到增广路径为止。

2. 算法优势：匈牙利算法具有以下优势：时间复杂度较低，匈牙利算法的时间复杂度为O(V^3)，其中V是顶点的数量。

相比于其他解决最大化指派问题的算法，如线性规划算法，匈牙利算法具有更低的时间复杂度。

可以处理大规模问题，由于时间复杂度较低，匈牙利算法可以处理大规模的最大化指派问题，而不会因为问题规模的增加而导致计算时间大幅增加。

3. 算法应用：匈牙利算法在实际中有广泛的应用，例如：任务分配，在人力资源管理中，可以使用匈牙利算法将任务分配给员工，使得任务与员工之间的匹配最优。

项目分配，在项目管理中，可以使用匈牙利算法将项目分配给团队成员，以最大程度地提高团队成员与项目之间的匹配度。

资源调度，在物流调度中，可以使用匈牙利算法将货物分配给合适的运输车辆，使得货物与运输车辆之间的匹配最优。

4. 算法扩展：匈牙利算法也可以扩展到解决带权的最大化指派问题，即在二分图的边上赋予权重。

在这种情况下，匈牙利算法会寻找一个最优的匹配，使得匹配边的权重之和最大。

指派问题的匈牙利法

变换指派问题的匈牙利法
1、使各行各列中都出现0元素，每行元素都减去该行的最小元素；每列元素中减去该列的最小元素。

2、从只有一个0元素的行开始，给该行中的0元素加圈。

然后划去◎所在列的其它0元素，记作Ø，依次进行到最后一行。

从只有一个0元素的列开始（画Ø的不计在内），给该列中的0元素加圈；然后划去◎所在行的0元素，记作Ø，依次进行到最后一列。

若仍有没有划圈的0元素，且同行(列)的0元素至少有两个，比较这行各0元素所在列中0元素的数目，选择性少的。

然后划掉同行同列的其它0元素。

可反复进行，直到所有0元素都已圈出和划掉为止。

3、对没有◎的行打“√”；对已打“√”的行中所有含Ø元素的列打“√”；再对打有“√”的列中含◎元素的行打“√” 。

4、对没有打√号的行画横线，有打√号的列画纵线，这就得到覆盖所有0元素的最少直线数。

5、在没有被直线通过的所有元素中找出最小值，没有被直线通过的所有元素减去这个最小元素；直线交点处的元素加上这个最小值。

6、再画圈，重复。

匈牙利法的几种特殊情况
1、最大化指派问题
选择最大元素m, 变换效率矩阵为ij ij c m -=b ，最大化问题转化成最小化指派问题。

2、人数和工作数不等
增加虚拟的人或工作。

3、一个人可以做几件工作
把这“一个人”拆成（复制）成“几个人”去处理。

指派问题的匈牙利法

（5）若◎ 元素的数目m 等于矩阵的阶数n，那么这指派问题的最优解已得到。若m < n, 则转入下一步。
第三步：作最少的直线覆盖所有0元素。 (1)对没有◎的行打√号； (2)对已打√号的行中所有含Ø元素的列打√号； (3)再对打有√号的列中含◎ 元素的行打√号；
(4)重复(2)，(3)直到得不出新的打√号的行、列为止； (5)对没有打√号的行画横线，有打√号的列画纵线，这就得到覆盖所有0元素的最少直线数 l 。l 应等于m，若不相等，说明试指派过程有误，回到第二步(4)，另行试指派；若 l＝m < n，须再变换当前的系数矩阵，以找到n个独立的0元素，为此转第四步。
√
l =m=4 < n=5
2 ◎0 4 2 4 2 5 Ø0 3 ◎0 4 1 ◎0 1 3 4 Ø0 3 5 1 ◎0 2 3 0Ø 5
1 0 3 1 3 2 6 0 3 0 4 2 0 1 3 3 0 2 4 0 0 3 3 0 5
1 0 3 1 3 2 6 0 3 0 4 2 0 1 3 3 0 2 4 0 0 3 3 0 5
0Ø ◎0 3 0Ø 3 1 6 0◎ 2 Ø0 3 2 0Ø 0◎ 3 2 Ø0 2 3 ◎0 ◎0 4 4 0Ø 6
28
此问题有多个最优解
0◎ 0Ø 3 0Ø 3 1 6 0Ø 2 ◎0 3 2 0◎ 0Ø 3 2 ◎0 2 3 0Ø 0Ø 4 4 0◎ 6
Ø0 0Ø 3 ◎0 3 1 6 0Ø 2 ◎0 3 2 0◎ 0Ø 3 2 ◎0 2 3 0Ø 0◎ 4 4 0Ø 6
15 14 6 6 10
4 10 7 10 9
减去最小元素
5 0 2 0 2
2
3
0
0

指派问题的匈牙利算法

摘要在企业、公司的运营与管理中，管理者总是希望把人员最佳分派以发挥其最大工作效率，从而降低成本、提高效益。

然而，如果没有科学的方法是很难实现优化管理的，由此我们引入了指派问题。

指派问题多是求项目的工时最少，而很多情况下人们并不关心项目总工时的多少，而只关心项目能否在最短的时间内完成，即历时最少的指派问题。

这类问题研究的是n个人执行n项任务，执行每项任务的人数以及总的指派人项数均有限制，要求最优指派。

在运筹学中求解整数规划的指派问题通常是通过匈牙利算法来求解，但指派问题也可以归结为一个0-1整数规划问题，本文先对指派问题进行陈述，引出对实际问题的求解。

在指派问题的背景、描述中充分理解该问题，先运用匈牙利算法实现指派问题，然后再建立一个0-1整数规划模型，并运用matlab和lingo编译程序对问题进行编译，运用软件解决模型问题，最终实现指派问题在实际问题中的运用。

通过运用匈牙利算法和0-1整数规划同时对指派问题求解，我们发现用0-1整数规划的方法来求解可以更简单，也更方便程序的阅读和理解。

与此同时，我们还对0-1整数规划问题由整数数据深入研究到小数数据。

最后通过实例来说明运用matlab，lingo编译程序来解决整数规划问题的简便和有效性。

关键词：指派问题；匈牙利算法；0-1整数规划；matlab模型；lingo模型AbstractIn business, the company's operations and management, managers always want the best distribution of the staff to maximize their efficiency, reduce costs and improve efficiency. However, if there is no scientific method is difficult to achieve optimal management, which we introduced the assignment problem. Multi-assignment problem is to get the project working hours at least, and in many cases people do not care about how much the total project work, but only care about whether the project can be completed within the shortest possible time, that lasted for at least the assignment problem. Such problems is the n individual execution of tasks n, the number of people to perform each task and assign the total number of items are restricted to two people, requiring the optimal assignment. Integer programming in operations research for solving the assignment problem is usually solved by Hungarian algorithm, but the assignment problem can be reduced to a 0-1 integer programming problem, this paper first to make a statement on the assignment problem, leads to the solution of practical problems. Assignment problem in the background to fully understand the problem description, the first assignment problem using Hungarian algorithm, and then a 0-1 integer programming model and compiler using matlab and the lingo of the problem to be compiled using the software solution model problem Ultimately in the assignment of the application in practical problems. By using the Hungarian algorithm and the 0-1 integer programming to solve assignment problems simultaneously, we found that 0-1 integer programming method to solve a more simple and easier to read and understand the program. At the same time, we also 0-1 integer programming problem in-depth study by the integer data to a decimal data. Finally, an example to illustrate the use of matlab, lingo compiler to solve the integer programming problem is simple and effective.Keywords:assignment problem; Hungarian algorithm; 0-1 integer programming;matlab model; lingo model目录1. 问题陈述 (1)2. 指派问题的背景 (1)3. 指派问题的描述 (1)3.1 指派问题的一般形式 (1)3.2 问题的数学模型一般形式 (2)3.3 目标函数极大化的指派问题 (2)4．指派问题实现 (3)4.1 匈牙利算法 (3)4.1.1 匈牙利算法的理论基础 (3)4.1.2 匈牙利算法的实现步骤 (3)4.1.3 匈牙利算法实现指派问题 (4)4.2 0-1整数规划 (5)4.2.1 模型假设 (6)4.2.2 模型建立 (6)4.2.3 模型求解 (7)5. 问题的深入（0-1整数规划） (10)5.1 模型建立 (10)5.2 模型求解 (11)5.2.1 用matlab求解问题 (11)5.2.2 用lingo求解问题 (12)6. 结论 (14)6.1 总结概论 (14)6.2 具体分工.................................. 错误！未定义书签。

指派问题匈牙利算法最大值

指派问题匈牙利算法最大值
指派问题是一个优化问题，旨在确定如何将 n 个任务分配给 n 个人员，以便完成总成本最小或总利润最大。

匈牙利算法是解决指派问题的经典算法之一，通过寻找增广路径来找到最大权值的匹配。

在指派问题中，我们有一个 n x n 的成本矩阵，其中的每个元素表
示将特定任务分配给特定人员的成本或利润。

问题的目标是找到一种分配方式，使得总成本最小或总利润最大。

匈牙利算法是一种基于图论的算法，它通过构建二分图和寻找增广路径来解决指派问题。

算法的核心思想是通过不断改进当前的匹配，直到找到最优解。

具体来说，匈牙利算法的步骤如下：
1. 初始化一个空的匹配集合。

2. 对于每个任务，找到一个未被分配的人员，并将其分配给该任务。

如果该任务没有未被分配的人员，则考虑将其他任务分配给当前人员，并将当前任务分配给其它人员。

3. 如果存在一个未被匹配的任务，寻找一条从该任务出发的增广路径。

增广路径是一条交替经过匹配边和非匹配边的路径，起点和终点都是未匹配的任务。

4. 如果存在增广路径，则改进当前的匹配，即通过将增广路径上的
非匹配边变为匹配边，并将增广路径上的匹配边变为非匹配边。

5. 重复步骤3和步骤4，直到不存在增广路径为止。

匈牙利算法的运行时间复杂度为 O(n^3)，其中 n 是任务或人员的数量。

该算法可以找到指派问题的最优解，并且在实践中表现良好。

总之，指派问题是一个重要的优化问题，而匈牙利算法是一种解决指派问题的经典算法。

通过构建二分图并寻找增广路径，匈牙利算法可以找到指派问题的最优解。

求解指派问题的匈牙利算法.doc

3.2 求解指派问题的匈牙利算法由于指派问题的特殊性，又存在着由匈牙利数学家D.Konig 提出的更为简便的解法—匈牙利算法。

算法主要依据以下事实：如果系数矩阵)(ij c C =一行（或一列）中每一元素都加上或减去同一个数，得到一个新矩阵)(ij b B = ，则以C 或B 为系数矩阵的指派问题具有相同的最优指派。

利用上述性质，可将原系数阵C 变换为含零元素较多的新系数阵B ，而最优解不变。

若能在B 中找出n 个位于不同行不同列的零元素，令解矩阵中相应位置的元素取值为1，其它元素取值为零，则所得该解是以B 为系数阵的指派问题的最优解，从而也是原问题的最优解。

由C 到B 的转换可通过先让矩阵C 的每行元素均减去其所在行的最小元素得矩阵D ，D 的每列元素再减去其所在列的最小元素得以实现。

下面通过一例子来说明该算法。

例7 求解指派问题，其系数矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=16221917171822241819211722191516C 解将第一行元素减去此行中的最小元素15，同样，第二行元素减去17，第三行元素减去17，最后一行的元素减去16，得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=06310157124074011B 再将第3列元素各减去1，得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=****20531005711407301B 以2B 为系数矩阵的指派问题有最优指派⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛43124321 由等价性，它也是例7的最优指派。

有时问题会稍复杂一些。

例8 求解系数矩阵C 的指派问题⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=61071041066141512141217766698979712C 解：先作等价变换如下∨∨∨⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----- 2636040*08957510*00*0032202*056107104106614151214121776669897971246767 容易看出，从变换后的矩阵中只能选出四个位于不同行不同列的零元素，但5=n ，最优指派还无法看出。

指派问题的匈牙利法

4 0 2 3
5 9 0 1 5 4 0 9 3 7 6 0
4 0 2 3
5 4 0 1 0 4 0 4 3 7 1 0
第二步，试指派：第二步，试指派：
－5
举例说明 1）表上作业法 2）匈牙利法
例有四个工人和四台不同的机床，每位工人在不同的机床上完成给定的任务的工时如表5.12所示，问安排哪位工人操作哪一台机床可使总工时最少？
任务1 工人1 工人2 工人3 工人4 2 15 13 4
任务2 10 4 14 7
任务3 3 14 16 13
任务4 7 8 11 9
0 0 1 0
0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0
例二、例二、有一份中文说明书，需译成英、有一份中文说明书，需译成英、日、德、俄四种
文字，分别记作A、、、。现有甲、文字，分别记作、B、C、D。现有甲、乙、丙、丁四人，他们将中文说明书译成不同语种的说明书所需时间如下表所示，问如何分派任务，可使总时间最少？间如下表所示，问如何分派任务，可使总时间最少？
再看一例
请求解如下矩阵表达的指派问题
12 7 9 7 9 8 9 6 6 6 7 17 12 14 9 15 14 6 6 10 4 10 7 10 9
Байду номын сангаас
减去最小元素
5 0 2 0 2 2 3 0 0 0 0 10 5 7 2 9 8 0 0 10 0 6 3 6 5
√
调整可行解
7 4 0 11 0
0 2 0 3 0 0 8 3 5 8 0 0 4 1 4
2 0 0 10 3

第五节指派问题

第二步：进行试指派，以寻求最优解经过第一步后,矩阵的每行每列都有了0 元素，但我们希望找出n个位于不同行不同列的0 元素，如果能找到，我们就以把这些元素写成1，令其余的元素写成0 ，即得问题的最优解．
0 13 7 6 0 6 LL 0 5 3 0 1 0 0 9 2 0
13
14 16 11
10 9 7
15 13 9
目标函数：
min S 2 x11 15 x12 13 x13 14 x14
10 x21 4 x22 14 x23 15 x24
9 x31 14 x32 16 x33 13 x34
7 x41 8 x42 11 x43 9 x44
0 7 15 13 2 0 10 4 14 15 min 1 6 14 16 13 8 0 9 0 7
0 1 0 0
0 0 0 1
1 0 0 0

（2）出现死循环时灵活处理
例5.7 求解指派问题，系数矩阵为
n
目标函数的系数可以写成矩阵的形式，称为系数矩阵或收益矩阵.
如例1的收益矩阵为
2 15 13 4 10 4 14 15 C 9 14 16 13 8 11 9 7
满足约束条件的可行解也可以写成矩阵形式，称为解矩阵.
如例1的解矩阵有
( x )ij 0 0 0 1 0 1 0 0 或 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 或 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0

指派问题与匈牙利算法

5 11 8 6 3 9 6 14 4 2 10 3 17 5 1 5 11 8 6 3 9 6 14 4 2 10 3 17 5 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
当人数m小于工作数n时，加上n－m个人，例如
7 0 C ′＝ 8 4
0 19 2 8 17 0 7 11 0 0 10 2
0 9 2 8 7 0 7 1 0 0 0 2
1 1 最优解：最优解： X＝ 1 1
即甲安排做第二项工作、乙做第三项、丙做第四项、丁做第三项。总分为：＝＋＋＋＝总分为：Z＝92＋95＋90＋80＝357
§5.5 指派问题 Assignment Problem
Ch5 Integer Programming
2011年5月9日星期一 Page 6 of 12
用匈牙利法求解：
10 3 22 0 8 17 C ′＝ 13 12 16 9 5 15 7 0 C ′＝ 8 4
5 0 5 7
则与
′ m w = ∑∑cij xij in
i j
m z = ∑∑cij xij ax
i j
的最优解相同。
§5.5 指派问题 Assignment Problem
Ch5 Integer Programming
2011年5月9日星期一 Page 5 of 12
【例】某人事部门拟招聘4人任职4项工作，对他们综合考评的例得分如下表（满分100分），如何安排工作使总分最多。
2011年5月9日星期一 Page 4 of 12
求最大值的指派问题匈牙利法的条件是：模型求最小值、效率cij≥0 设C=(cij)m×m 对应的模型是求最大值将其变换为求最小值令

运筹学指派问题的匈牙利法

运筹学课程设计指派问题的匈牙利法专业：姓名：学号：1.算法思想：匈牙利算法的基本思想是修改效益矩阵的行或列，使得每一行或列中至少有一个为零的元素，经过修正后，直至在不同行、不同列中至少有一个零元素，从而得到与这些零元素相对应的一个完全分配方案。

当它用于效益矩阵时，这个完全分配方案就是一个最优分配，它使总的效益为最小。

这种方法总是在有限步內收敛于一个最优解。

该方法的理论基础是：在效益矩阵的任何行或列中，加上或减去一个常数后不会改变最优分配。

2.算法流程或步骤：1.将原始效益矩阵C的每行、每列各元素都依次减去该行、该列的最小元素，使每行、每列都至少出现一个0元素，以构成等价的效益矩阵C’。

2.圈0元素。

在C’中未被直线通过的含0元素最少的行（或列）中圈出一个0元素，通过这个0元素作一条竖（或横）线。

重复此步，若这样能圈出不同行不同列的n个0元素，转第四步，否则转第三步。

3.调整效益矩阵。

在C’中未被直线穿过的数集D中，找出最小的数d，D中所有数都减去d，C’中两条直线相交处的数都加的d。

去掉直线，组成新的等价效益矩阵仍叫C’，返回第二步。

X=0，这就是一种最优分配。

最低总4.令被圈0元素对应位置的X ij=1,其余ij耗费是C中使X=1的各位置上各元素的和。

ij算法流程图：3.算法源程序：#include<iostream.h>typedef struct matrix{float cost[101][101];int zeroelem[101][101];float costforout[101][101];int matrixsize;int personnumber;int jobnumber;}matrix;matrix sb;int result[501][2];void twozero(matrix &sb);void judge(matrix &sb,int result[501][2]);void refresh(matrix &sb);void circlezero(matrix &sb);matrix input();void output(int result[501][2],matrix sb);void zeroout(matrix &sb);matrix input(){matrix sb;int m;int pnumber,jnumber;int i,j;float k;char w;cout<<"指派问题的匈牙利解法:"<<endl;cout<<"求最大值，请输入1;求最小值，请输入0:"<<endl;cin>>m;while(m!=1&&m!=0){cout<<"请输入1或0:"<<endl;cin>>m;}cout<<"请输入人数(人数介于1和100之间):"<<endl;cin>>pnumber;while(pnumber<1||pnumber>100){cout<<"请输入合法数据:"<<endl;cin>>pnumber;}cout<<"请输入工作数(介于1和100之间):"<<endl;cin>>jnumber;while(jnumber<1||jnumber>100){cout<<"请输入合法数据:"<<endl;cin>>jnumber;}cout<<"请输入"<<pnumber<<"行"<<jnumber<<"列的矩阵,同一行内以空格间隔,不同行间以回车分隔,以$结束输入:\n";for(i=1;i<=pnumber;i++)for(j=1;j<=jnumber;j++){cin>>sb.cost[i][j];sb.costforout[i][j]=sb.cost[i][j];}cin>>w;if(jnumber>pnumber)for(i=pnumber+1;i<=jnumber;i++)for(j=1;j<=jnumber;j++){sb.cost[i][j]=0;sb.costforout[i][j]=0;}else{if(pnumber>jnumber)for(i=1;i<=pnumber;i++)for(j=jnumber+1;j<=pnumber;j++){sb.cost[i][j]=0;sb.costforout[i][j]=0;}}sb.matrixsize=pnumber;if(pnumber<jnumber)sb.matrixsize=jnumber;sb.personnumber=pnumber;sb.jobnumber=jnumber;if(m==1){k=0;for(i=1;i<=sb.matrixsize;i++)for(j=1;j<=sb.matrixsize;j++)if(sb.cost[i][j]>k)k=sb.cost[i][j];for(i=1;i<=sb.matrixsize;i++)for(j=1;j<=sb.matrixsize;j++)sb.cost[i][j]=k-sb.cost[i][j];}return sb;}void circlezero(matrix &sb){int i,j;float k;int p;for(i=0;i<=sb.matrixsize;i++)sb.cost[i][0]=0;for(j=1;j<=sb.matrixsize;j++)sb.cost[0][j]=0;for(i=1;i<=sb.matrixsize;i++)for(j=1;j<=sb.matrixsize;j++)if(sb.cost[i][j]==0){sb.cost[i][0]++;sb.cost[0][j]++;sb.cost[0][0]++;}for(i=0;i<=sb.matrixsize;i++)for(j=0;j<=sb.matrixsize;j++)sb.zeroelem[i][j]=0;k=sb.cost[0][0]+1;while(sb.cost[0][0]<k){k=sb.cost[0][0];for(i=1;i<=sb.matrixsize;i++){if(sb.cost[i][0]==1){for(j=1;j<=sb.matrixsize;j++)if(sb.cost[i][j]==0&&sb.zeroelem[i][j]==0)break;sb.zeroelem[i][j]=1;sb.cost[i][0]--;sb.cost[0][j]--;sb.cost[0][0]--;if(sb.cost[0][j]>0)for(p=1;p<=sb.matrixsize;p++)if(sb.cost[p][j]==0&&sb.zeroelem[p][j]==0){sb.zeroelem[p][j]=2;sb.cost[p][0]--;sb.cost[0][j]--;sb.cost[0][0]--;}}}for(j=1;j<=sb.matrixsize;j++){if(sb.cost[0][j]==1){for(i=1;i<=sb.matrixsize;i++)if(sb.cost[i][j]==0&&sb.zeroelem[i][j]==0)break;sb.zeroelem[i][j]=1;sb.cost[i][0]--;sb.cost[0][j]--;sb.cost[0][0]--;if(sb.cost[i][0]>0)for(p=1;p<=sb.matrixsize;p++)if(sb.cost[i][p]==0&&sb.zeroelem[i][p]==0){sb.zeroelem[i][p]=2;sb.cost[i][0]--;sb.cost[0][p]--;sb.cost[0][0]--;}}}}if(sb.cost[0][0]>0)twozero(sb);elsejudge(sb,result);}void twozero(matrix &sb){int i,j;int p,q;int m,n;float k;matrix st;for(i=1;i<=sb.matrixsize;i++)if(sb.cost[i][0]>0)break;if(i<=sb.matrixsize){for(j=1;j<=sb.matrixsize;j++){st=sb;if(sb.cost[i][j]==0&&sb.zeroelem[i][j]==0){sb.zeroelem[i][j]=1;sb.cost[i][0]--;sb.cost[0][j]--;sb.cost[0][0]--;for(q=1;q<=sb.matrixsize;q++)if(sb.cost[i][q]==0&&sb.zeroelem[i][q]==0){sb.zeroelem[i][q]=2;sb.cost[i][0]--;sb.cost[0][q]--;sb.cost[0][0]--;}for(p=1;p<=sb.matrixsize;p++)if(sb.cost[p][j]==0&&sb.zeroelem[p][j]==0){sb.zeroelem[p][j]=2;sb.cost[p][0]--;sb.cost[0][j]--;sb.cost[0][0]--;}k=sb.cost[0][0]+1;while(sb.cost[0][0]<k){k=sb.cost[0][0];for(p=i+1;p<=sb.matrixsize;p++){if(sb.cost[p][0]==1){for(q=1;q<=sb.matrixsize;q++)if(sb.cost[p][q]==0&&sb.zeroelem[p][q]==0)break;sb.zeroelem[p][q]=1;sb.cost[p][0]--;sb.cost[0][q]--;sb.cost[0][0]--;for(m=1;m<=sb.matrixsize;m++)if(sb.cost[m][q]=0&&sb.zeroelem[m][q]==0){sb.zeroelem[m][q]=2;sb.cost[m][0]--;sb.cost[0][q]--;sb.cost[0][0]--;}}}for(q=1;q<=sb.matrixsize;q++){if(sb.cost[0][q]==1){for(p=1;p<=sb.matrixsize;p++)if(sb.cost[p][q]==0&&sb.zeroelem[p][q]==0)break;sb.zeroelem[p][q]=1;sb.cost[p][q]--;sb.cost[0][q]--;sb.cost[0][0]--;for(n=1;n<=sb.matrixsize;n++)if(sb.cost[p][n]==0&&sb.zeroelem[p][n]==0){sb.zeroelem[p][n]=2;sb.cost[p][0]--;sb.cost[0][n]--;sb.cost[0][0]--;}}}}if(sb.cost[0][0]>0)twozero(sb);elsejudge(sb,result);}sb=st;}}}void judge(matrix &sb,int result[501][2]){int i,j;int m;int n;int k;m=0;for(i=1;i<=sb.matrixsize;i++)for(j=1;j<=sb.matrixsize;j++)if(sb.zeroelem[i][j]==1)m++;if(m==sb.matrixsize){k=1;for(n=1;n<=result[0][0];n++){for(i=1;i<=sb.matrixsize;i++){for(j=1;j<=sb.matrixsize;j++)if(sb.zeroelem[i][j]==1)break;if(i<=sb.personnumber&&j<=sb.jobnumber)if(j!=result[k][1])break;k++;}if(i==sb.matrixsize+1)break;elsek=n*sb.matrixsize+1;}if(n>result[0][0]){k=result[0][0]*sb.matrixsize+1;for(i=1;i<=sb.matrixsize;i++)for(j=1;j<=sb.matrixsize;j++)if(sb.zeroelem[i][j]==1){result[k][0]=i;result[k++][1]=j;}result[0][0]++;}}else{refresh(sb);}}void refresh(matrix &sb){int i,j;float k;int p;k=0;for(i=1;i<=sb.matrixsize;i++){for(j=1;j<=sb.matrixsize;j++)if(sb.zeroelem[i][j]==1){sb.zeroelem[i][0]=1;break;}}while(k==0){k=1;for(i=1;i<=sb.matrixsize;i++)if(sb.zeroelem[i][0]==0){sb.zeroelem[i][0]=2;for(j=1;j<=sb.matrixsize;j++)if(sb.zeroelem[i][j]==2){sb.zeroelem[0][j]=1;}}for(j=1;j<=sb.matrixsize;j++){if(sb.zeroelem[0][j]==1){sb.zeroelem[0][j]=2;for(i=1;i<=sb.matrixsize;i++)if(sb.zeroelem[i][j]==1){sb.zeroelem[i][0]=0;k=0;}}}}p=0;k=0;for(i=1;i<=sb.matrixsize;i++){if(sb.zeroelem[i][0]==2){for(j=1;j<=sb.matrixsize;j++){if(sb.zeroelem[0][j]!=2)if(p==0){k=sb.cost[i][j];p=1;}else{if(sb.cost[i][j]<k)k=sb.cost[i][j];}}}}for(i=1;i<=sb.matrixsize;i++){if(sb.zeroelem[i][0]==2)for(j=1;j<=sb.matrixsize;j++)sb.cost[i][j]=sb.cost[i][j]-k;}for(j=1;j<=sb.matrixsize;j++){if(sb.zeroelem[0][j]==2)for(i=1;i<=sb.matrixsize;i++)sb.cost[i][j]=sb.cost[i][j]+k;}for(i=0;i<=sb.matrixsize;i++)for(j=0;j<=sb.matrixsize;j++)sb.zeroelem[i][j]=0;circlezero(sb);}void zeroout(matrix &sb){int i,j;float k;for(i=1;i<=sb.matrixsize;i++){k=sb.cost[i][1];for(j=2;j<=sb.matrixsize;j++)if(sb.cost[i][j]<k)k=sb.cost[i][j];for(j=1;j<=sb.matrixsize;j++)sb.cost[i][j]=sb.cost[i][j]-k;}for(j=1;j<=sb.matrixsize;j++){k=sb.cost[1][j];for(i=2;i<=sb.matrixsize;i++)if(sb.cost[i][j]<k)k=sb.cost[i][j];for(i=1;i<=sb.matrixsize;i++)sb.cost[i][j]=sb.cost[i][j]-k;}}void output(int result[501][2],matrix sb) {int k;int i;int j;int p;char w;float v;v=0;for(i=1;i<=sb.matrixsize;i++){v=v+sb.costforout[i][result[i][1]];}cout<<"最优解的目标函数值为"<<v;k=result[0][0];if(k>5){cout<<"解的个数超过了限制."<<endl;k=5;}for(i=1;i<=k;i++){cout<<"输入任意字符后输出第"<<i<<"种解."<<endl;cin>>w;p=(i-1)*sb.matrixsize+1;for(j=p;j<p+sb.matrixsize;j++)if(result[j][0]<=sb.personnumber&&result[j][1]<=sb.jobnumber)cout<<"第"<<result[j][0]<<"个人做第"<<result[j][1]<<"件工作."<<endl;}}void main(){result[0][0]=0;sb=input();zeroout(sb);circlezero(sb);output(result,sb);}4. 算例和结果：自己运算结果为：->⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡3302102512010321->⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡330110241200032034526635546967562543----⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡可以看出：第1人做第4件工作；第2人做第1件工作；第3人做第3件工作；第4人做第2件工作。

指派问题的匈牙利解法

指派问题的匈牙利解法1、把各行元素分别减去本行元素的最小值；然后在此基础上再把每列元素减去本列中的最小值。

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0 4 3 2 04 0 5 0 01 2 3 2 03 7 7 1 08 11 0 3 06 10 12 9 610 6 14 7 67 8 12 9 61014 17 9 712 15 7 8 4 此时每行及每列中肯定都有0元素了。

2、确定独立零元素，并作标记。

（1）、首先逐行判断是否有含有独立0元素的行，如果有，则按行继续处理；如没有，则要逐列判断是否有含有独立0元素的列，若有，则按列继续处理。

若既没有含有独立0元素的行，也没有含有独立0元素的列，则仍然按行继续处理。

（2）在按行处理时，若某行有独立0元素，把该0元素标记为a ，把该0所在的列中的其余0元素标记为b ；否则，暂时越过本行，处理后面的行。

把所有含有独立0元素的行处理完毕后，再回来处理含有2个以及2个以上的0元素的行：任选一个0做a 标记，再把该0所在行中的其余0元素及所在列中的其余0元素都标记为b 。

（3）在按列处理时，若某列有独立0元素，把该0元素标记为a ，把该0所在的行中的其余0元素标记为b ；否则，暂时越过本列，处理后面的列。

把所有含有独立0元素的列处理完毕后，再回来处理含有2个以及2个以上的0元素的列：任选一个0做a 标记，再把该0所在列中的其余0元素及所在行中的其余0元素都标记为b 。

（4）、重复上述过程，即得到独立零元素（标记a 的“0”）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a b b a b b a 04 3 2 04 05 0 01 2 3 2 037 7 1 08 11 0 3 0a b 3、若独立零元素等于矩阵阶数，则已经得到最优解，若小于矩阵阶数，则继续以下步骤：（1）、对没有标记a 的行作标记c（2）、在已作标记c 的行中，对标记b 所在列作标记c（3）、在已作标记c 的列中，对标记a 所在的行作标记c（4）、对没有标记c 的行划线，对有标记c 的列划线4、在未被直线覆盖的所有元素中找出一个最小元素（Xmin ），未被直线覆盖的行（或列）中所有元素都减去这个数。

指派问题

Step 4、改进 1 、改进C
8 2 5√ 0 5 4 3 0 0 √ 1列中加上；在已打√号的列中加上在已打号的列中加上θ； 13 C2 = 得到一个新矩阵 C2。 4 -2 用 C2 代替 C1，返回步骤 2. 0
8 2 5 0 5 4 3 0 0 11 4 5
0 11 C = 上述步骤可能出现三种情况 1 2 情况一：情况一：矩阵每行都有一个打圈的 0
0 元素。此时得到问题的最优解元素。此时得到问题的最优解.
8 2 5 0 5 4 3 0 0 11 4 5
2 15 C= 13 4
10 9 7 4 14 8 14 16 11 15 13 9
2 4 11 4
0 11 B= 2 0
8 7 5 0 10 4 3 5 0 11 9 5
Step 2、确定 1中线性独立的元素元素. 、确定C 中线性独立的0元素从第一行开始，若该行只有一个元素就对这个0 元素，从第一行开始，若该行只有一个0元素，就对这个元素加圈，然后划去其所在列的其它0元素元素;若该行元素加圈，然后划去其所在列的其它元素若该行没有其它0元素或有两个以上元素（元素或有两个以上0元素没有其它元素或有两个以上元素（已划去的不），转下一行直到最后一行为止。转下一行；计），转下一行；直到最后一行为止。然后,从第一列开始若该列只然后从第一列开始,若该列只从第一列开始 0 有一个0元素就对这个0元素元素,就对这个有一个元素就对这个元素 11 加圈（同样不考虑已划的）加圈（同样不考虑已划的）, 再划去其所在行的其它0元素元素; 1 再划去其所在行的其它元素 C = 2 若该列没有0元素或有两个以若该列没有元素或有两个以元素，上0元素，则转下列直到最后元素 0 一列为止。一列为止。重复上述步骤. 重复上述步骤

指派问题与匈牙利解法

指派问题与匈⽛利解法指派问题概述：实际中，会遇到这样的问题，有n项不同的任务，需要n个⼈分别完成其中的1项，每个⼈完成任务的时间不⼀样。

于是就有⼀个问题，如何分配任务使得花费时间最少。

通俗来讲，就是n*n矩阵中，选取n个元素，每⾏每列各有1个元素，使得和最⼩。

如下图：指派问题性质：指派问题的最优解有这样⼀个性质，若从矩阵的⼀⾏(列)各元素中分别减去该⾏(列)的最⼩元素，得到归约矩阵，其最优解和原矩阵的最优解相同．匈⽛利法：12797989666717121491514661041071091.⾏归约：每⾏元素减去该⾏的最⼩元素502022300001057298004063652.列归约：每列元素减去该列的最⼩元素502022300001057298004063653.试指派：(1)找到未被画线的含0元素最少的⾏列，即，遍历所有未被画线的0元素，看下该0元素所在的⾏列⼀共有多少个0，最终选取最少个数的那个0元素。

(2)找到该⾏列中未被画线的0元素，这就是⼀个独⽴0元素。

对该0元素所在⾏和列画线。

50202230000105729800406365502022300001057298004063655020223000010572980040636550202230000105729800406365(3)暂时不看被线覆盖的元素，重复(1)(2)直到没有线可以画。

(4)根据(2)找到的0元素个数判断，找到n个独⽴0元素则Success，⼩于n个则Fail.（本例⼦中，n=5，可以看到，第⼀次试指派之后，独⽴0元素有4个，不符合）4.画盖0线：⽬标：做最少的直线数覆盖所有0元素，直线数就是独⽴0元素的个数。

注意：这跟3的线不同；不能⽤贪⼼法去画线，⽐如1 0 01 1 01 0 1若先画横的，则得画3条线，实际只需2条；若先画竖的，将矩阵转置后同理。

步骤3得出的独⽴0元素的位置50202230000105729800406365(1)对没有独⽴0元素的⾏打勾、(2)对打勾的⾏所含0元素的列打勾(3)对所有打勾的列中所含独⽴0元素的⾏打勾(4)重复(2)(3)直到没有不能再打勾(5)对打勾的列和没有打勾的⾏画画线，这就是最⼩盖0线。

匈牙利法求解指派问题

然后划去所在的行的其他0元素，记作Ø。
52Ø 2 2 3Ø Ø 10 5 7 2 9 8 Ø 4 Ø 6365
的个数m=4,而n=5, m<n，转下一步。
52Ø 2 2 3Ø Ø 10 5 7 2 9 8 Ø 4 Ø 6365
指派问题（分配问题）
(Assignment Problem)
例5 有一份中文说明书，需翻译成英、日、德、俄四种文字，分别记作E、J、G、R，现有甲、乙、丙、丁四人，他们将中文说明书翻译成英、日、德、俄四种文字所需时间如下，问应该如何分配工作，使所需总时间最少？
任务 E
J
G
R
人员
甲
2
15 13
4
乙 10 4 14 15
丙
9
14 16 13
丁
7
8 11 9
类似有：有n项加工任务，怎样分配到n台机床上分别完成；有n 条航线，怎样指定n艘船分别去航行….. 等。
表中数据称为效益矩阵或系数矩阵，其元素大于零，表示分配第 i人去完成第j 项任务时的效益（或时间、成本等）。
引入0-1变量xij=1分配第i人去完成第j 项任务，xij=0不分配第i人去完
然后划去所在的1 0 0
➢给只有一个0元素的列的0 元素加圈，记。
Ø 13 7 0 6 6 9 5 3 2 Ø 1 0
然后划去所在的行的其他0元素，记作Ø
Ø 13 7 0 6 6 9 5 3 2 Ø 1 Ø
➢给最后一个0元素加圈，记。
任务 E
J
G
R
人员
甲
2
15 13
4
乙 10 4 14 15
丙
9
14 16 13

python的scipy(匈牙利算法)解决教学任务指派问题

python的scipy（匈牙利算法）解决教学任务指派问题python的scipy（匈牙利算法）解决教学任务指派问题参考资料：匈牙利算法求解教学任务指派问题指派问题组合优化理论里的第六章_指派问题的课件问题简介在生活中经常遇到这样的问题，某单位需完成n项任务，恰好有n个人可承担这些任务。

由于每人的专长不同，各人完成任务不同(或所费时间)，效率也不同。

于是产生应指派哪个人去完成哪项任务，使完成n项任务的总效率最高(或所需总时间最小)。

这类问题称为指派问题或分派问题。

教学任务指派问题为指派问题中的一种，考虑教师对课程的擅长程度，教学任务饱满序列和学生对教师的满意度，通过匈牙利算法求得最优课程指派。

算法指派问题一般模型：匈牙利算法：教师与课程一样多把求最大值变为求最小值问题：矩阵C=20-擅长矩阵。

再进行匈牙利算法操作：如果得不到解，则：程序实现：import numpy as npfrom scipy.optimize import linear_sum_assignmentdefprintf(row_ind,col_ind):print("最优教师课程指派：")for i inrange(len(row_ind)):print("教师",row_ind[i],"->课程",col_ind[i],end='; ')print() goodAt=np.array([[18,5,7,16],[10,16,6,5],[11,6,4,7],[13,12,9 ,11]])weakAt=20-goodAtrow_ind,col_ind=linear_sum_assignment(weakAt)print(row _ind)print(col_ind)print(goodAt[row_ind,col_ind])print (goodAt[row_ind,col_ind].sum())printf(row_ind,col_ind)输出结果：教师少与课程多把求最大值变为求最小值问题：矩阵C=10-擅长矩阵。

指派问题的解法

指派问题的解法总结问题引入：在工作的时候，常常需要对一些人进行工作安排，由于某些条件的限制，每个人只能进行一种工作，怎么安排才能使得总工作时间最小。

我们把这一类问题称为指派问题。

在这里，我只对人和工作刚好一对一的指派问题的解法进行总结，而对于不是一对一的，则可以通过文献1中的一些方法进行变换。

目前问题解法的总结。

1：最广泛应用的解法：匈牙利算法。

算法简介：库恩（fW．W．Kuhn)于1955年提出了指派问题的解法．他引用了匈牙利数学家康尼格一个关于矩阵中0元素的定理：系数矩阵中独立0元素的最多个数等于覆盖所有0元素的最少直线数。

这个解法称为匈牙利解法。

匈牙利算法虽是运用最广泛的算法，但其操作过程却过于复杂。

在划0的时候也不方便记忆，对于初学者来说掌握不便。

于是国内很多学者对指派问题给出了几个较简单，方便易记的算法。

2：指派问题新解法——目标值子矩阵法。

算法描述：任取变量矩阵X某一行中的最小元素，为该行元素目标值的最优解(但不一定是系统目标函数的最优解)，应该是系统目标函数满意解中的一个元素，记作a11 划去a11 所在的行和列，取剩下的子矩阵中某一行的最小元素，记作a22。

依次类推，直到最后一个元素a nn．这些元素相加得系统目标函数的一个满意解，此为一次运算．第二次运算取变量矩阵X中含a 以外的任一行，做与上面相同运算，又可以得到系统的第二个满意解．相同地，对于n行做n次运算，共得到系统的n个满意解，系统的最优解即应该是这 n个满意解当中的最小值．若第i的最小元素在前面以被取用过，则在进行第i的运算时，不选取该元素，取该行中未被选用过的元素中最小的一个进行运算。

算法分析：相对于匈牙利算法，此算法简单，方便操作。

但不能给出所有最优解，得出的最优解唯一，若要给出全部最优解，则算法的次数将大大增加。

当矩阵维数较大的时候，可以对矩阵进行划分，以更快计算。

算法举例：对于变量矩阵x；3：递归思想在指派问题中的运用算法描述：对目标函数的解，等于min{a1+A1，a2+A2,a3+A3，…..a n+An}；其中a i为第一行中的第i个元素，A i为除去第i个元素所在行和列的子矩阵。

第6章指派问题与旅行商问题

第6章指派问题与旅行商问题一、指派问题的匈牙利算法1、最小化指派效益矩阵（或费用矩阵）的每一行各元素分别减去该行中的最小元素；→新效益矩阵（或新费用矩阵）的每一列各元素分别减去该列中的最小元素；→判别：如果找出n 个在不同行不同列的0元素，停止运算，最优解即为这些“0”对应位置，否则→标记每一行或列只有一个“0”元素为“*0”，一旦标记，就划去“*0”所在的行或列； →在剩下的矩阵中重复前面步骤。

冲刺模拟试卷（一）第11题冲刺模拟试卷（四）第11题冲刺模拟试卷（五）第11题冲刺模拟试卷（八）第11、12题2、最大化指派在最大化的效益矩阵中，用最大的那个元素分别减去矩阵中的所有元素；→利用上面得“最小化指派”运算即可。

冲刺模拟试卷（三）第11题冲刺模拟试卷（七）第11题二、旅行商问题的匈牙利算法1、问题描述：从点0v 出发经n v v v ,....,,21点各一次，最后返回0v 的路径最短者。

2、求解：利用“最小化指派”运算→读取结果：从0v 开始，从第一行中找出“*0”对应的列i v ，得到i v v →0；从i v 开始，从第二行中找出“*0”对应的列j v ，得到j i v v →；当出现断裂时，选择小集合进行重新调整，选择最短的！冲刺模拟试卷（一）第12题冲刺模拟试卷（二）第7、14题冲刺模拟试卷（四）第12题冲刺模拟试卷（五）第12、13题冲刺模拟试卷（六）第12题冲刺模拟试卷（七）第12题三、哥尼斯堡七桥问题1、欧拉图：联通图中没有奇点存在；联通的非欧拉图：一定会有偶数个奇点。

2、从一般图到最优的欧拉图：相邻的奇点直接增加一条连线；圈上的连线长不过圈的一半；两点之间不能出现重叠（只能有1条或2条连线）。

冲刺模拟试卷（一）第10,、13题冲刺模拟试卷（二）第9、15题冲刺模拟试卷（四）第13题冲刺模拟试卷（六）第10题冲刺模拟试卷（七）第14题冲刺模拟试卷（八）第14题。

8.2指派问题与匈牙利法

0 0 1 0
0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0
（3）判断独立零元素的个数
可能出现三种情况
2.存在未标记过的零元素，但它们所在的行和列中，未被标记过的零元素的个数均至少有两个。 3.不存在未被标记过的零元素，但圈0的个数<n
从某行（列）的两个未被标记过的零元素中任选一个加上圈，然后给同列、同行的其他未被标记的零元素都加/，然后再进行行、列检验，可能出现情况1或3。
0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
1 0 0 1 1
3 0 11 8 0 6 6 2 1 2 1 0 0 5 0 4 2 3 4 0
分配方案为7+9+6+6+6=34
练习. 有一份说明书，要分别翻译成英、日、德、俄四种文字，交甲、乙、丙、丁四个人去完成。因各人专长不同，使这四个人分别完成四项任务总的时间为最小。效率表如下：效率矩阵用[aij] 表示，为
在分配问题中，利用不同资源完成不同计划活动的效率通常用表格形式表示为效率表，表格中数字组成效率矩阵。
例如. 有一份说明书，要分别翻译成英、日、德、俄四种文字，交甲、乙、丙、丁四个人去完成。因各人专长不同，使这四个人分别完成四项任务总的时间为最小。效率表如下：
效率矩阵用[aij] 表示，为
时工作间人员时工作间 C 人员
A
B
A
B
C
甲乙
丙
7 9
8
8 12
5
9 甲 4 乙
4 丙
0 5
4
0 1 7 8
0 1
2 0
0

指派问题的匈牙利解法

最大化指派问题匈牙利算法

指派问题的匈牙利法

指派问题的匈牙利法

指派问题的匈牙利算法

指派问题匈牙利算法最大值

求解指派问题的匈牙利算法.doc

指派问题的匈牙利法

第五节 指派问题

指派问题与匈牙利算法

运筹学指派问题的匈牙利法

指派问题的匈牙利解法

指派问题

指派问题与匈牙利解法

匈牙利法求解指派问题

python的scipy(匈牙利算法)解决教学任务指派问题

指派问题的解法

第6章指派问题与旅行商问题

8.2指派问题与匈牙利法

第五节指派问题