苏州市2010届高三第一学期期末调研测试(2)

苏州市2010届高三第一学期期末调研测试1. {1}2. 假3. 24. 25. -26.34 [解析]从4个线段中任取3条线段有4种取法,能够成三角形的取法有(2,3,4),(2,4,5),(3,4,5)，共3种. ∴ P =34.7. 8 8.43-[解析]∵ta nx -13,tan 2x=∴2tan 13,tan 2x x-=∴22tan 41tan 3x x=--,即ta n 2x =43-.9. -10 10. y 2=-6x [解析]双曲线23x-y 2=1的右准线为x =32,∴ 抛物线的准线为x =2p =32,∴ p =3,抛物线方程为y 2=-6x .11. ③④ 12. 5 [解析]设圆C :(x -a )2+(y -b )2=r 2.由题意知14,13222(2),222(1)(1),ba ab r a b r -⎧=-⎪--⎪--+=⎨⎪--+-=⎪⎩解得2,3,5.a b r =⎧⎪=-⎨=⎪⎩13. [解析]设AB 的中点为D ,则()0AB AC AB C B AB C B AC ⋅=⋅⇒-=20.AB CD ⇒⋅= ∴ CA =CB .又|AB |·|A C|cos A =4,且cos A =2,||A BA C ∴2||42AB =，即||A B =14. 1 [解析]F (a ,b )=12(a +b -|a -b |)=,,,.b a b a a b ≥⎧⎨<⎩ 如下图,F (F (f (x ),g(x )),h (x ))=1(),21(),1,2(), 1.g x x f x x h x x ⎧≤-⎪⎪⎪-<<⎨⎪≥⎪⎪⎩∴ 其最大值为1.15. (1) f (x )=2cos x sin 3x π⎛⎫+⎪⎝⎭2x +sin x cos x =2cosx 1sin 2x x ⎛⎫⎪⎪⎝⎭2x +sin x cos x =2sin x cos x+(cos 2x -sin 2x )2分=sin2xx =2sin2.3x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 5分 ∴ f (x )的最小正周期为π. 7分（2） 由2k π -2π≤2x +3π≤2k π+2π，解得k π-512π≤x ≤k π+12π,∴ f (x )的单调递增区间为()5,.1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 10分（3） ∵ x ∈0,,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦∴ 2x +3π∈5,,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 12分 则sin 12,1,32x π⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ∴ f (x )的值域为［1,2］.14分 16. （1） ∵ Q 为AD 的中点，△PAD 为正三角形，∴ PQ ⊥AD . ∵ 平面PAD ⊥平面ABCD ，∴ PQ ⊥平面ABCD .3分∵ AD =4，∴ PQ∴ 四棱锥P -ABCD 的体积V =13S ABCD ·PQ=21433⨯⨯=5分（2） 连接AC 交BD 于点O ，连接MO . 由正方形ABCD 知点O 为AC 的中点.∵ M 为PC 的中点，∴ MO ∥PA . 7分 ∵ MO ⊂平面MBD ，PA ⊄平面MBD ， ∴ PA ∥平面MBD . 9分 （3） 存在点N ，当N 为AB 中点时，平面PQB ⊥平面PNC . 10分∵ 四边形ABCD 是正方形，Q 为AD 的中点，∴ BQ ⊥NC . 11分 由（1）知PQ ⊥平面ABCD ，NC ⊂平面ABCD ，∴ PQ ⊥NC . 又BQ PQ =Q ，∴ NC ⊥平面PQB . 13分 ∵ NC ⊂平面PNC ，∴ 平面PCN ⊥平面PQB . 14分17. （1） 由题意知c =4,F 1(-4,0),F 2(4,0).2分 ∵ sin ∠AF 1F 2=21118,,5AF D H D H D F AF ==DF 1=6,又∵2120,AF F F ⋅=∴ AF 2=2ba,AF 1=2a -2ba.4分 ∴22185.62ba ba a=-则a 2=24.3b 6分 由b 2+c 2=a 2，得b 2+16=24.3b∴ b 2=48,a 2=64. ∴ 椭圆E 的方程为221.6448xy+=8分 （2）设点P （x ,y ），则2216448xy+=,即y 2=48-234x. ∵1P F=（-4-x ，-y ）,PD=(2-x ,-y ),∴1P F ·PD =x 2+y 2+2x -8 10分 =214x +2x +40=14(x +4)2+36. 12分 ∵ -8≤x ≤8,∴1P F·PD的取值范围是［36,72］.14分18. （1） ∵ {a n }是等差数列，a 1=1,a 2=a ,∴ a n =1+(n -1)(a -1).1分又b 3=12,∴ a 3a 4=12，即(2a -1)·(3a -2)=12.3分 解得a =2或a =-56. 4分∵ a >0,∴ a =2.从而a n =n .5分 (2) ∵ 数列{a n }是等比数列，a 1=1,a 2=a (a >0),∴ a n =a n -1.则b n =a n a n +1=a 2n -1. 7分 ∵21,n nb a b +=∴ 数列{b n }是首项为a ，公比为a 2的等比数列.当a =1时，S n =n ; 8分 当a ≠1时，S n =22122(1).11n n a aaaa a +--=-- 10分 （3） 数列{a n }不能为等比数列. 11分 ∵ b n =a n a n +1,∴11221.n n n n nn n nb a a a b a a a +++++==则2n na a +=a -1.∴ a 3=a -1. 13分 假设数列{a n }能为等比数列.由a 1=1,a 2=a ，得a 3=a 2. 14分 ∴ a 2=a -1.∵ 此方程无解，∴ 数列{a n }一定不能为等比数列. 16分19. （1） 连接OP ，设∠AOP =α，则3π≤α≤2.3π 2分 在△AOP 中，由余弦定理得x 2=12+22-2×1×2×cos α=5-4cos α. 4分 在△BOP 中，由余弦定理得BP 2=12+22-2×1×2×cos(π-α)=5+4cos α. 6分 ∴ BP 2=10-x 2. 则y =22221414.10A PB Pxx+=+-8分∵2,33ππα≤≤∴ -12≤cos α≤12, ∴ 3≤5-4cos α≤7.x≤. ∴ y =2214,10xx+-定义域为{x|x}. 10分（2） 解法一：由（1）得y =221410xx+-=11422[(10)]221010x x x x ⎛⎫++- ⎪ ⎪-⎝⎭=2211045221010x x x x ⎛⎫- ⎪++⎪-⎝⎭12分195.1010⎛ ≥+= ⎝ 14分当且仅当2222104,10x xxx-=- 即x 2=103时取等号，此时x=3.答：当AP3km 时，“总噪音影响度”最小. 16分解法二：令t =x 2，则y =1410tt+-(3≤t ≤7),∴ y ′=22214(2)(10)(10)(310).22222(10)(10)(10)t t t t t t t t t t ---+-+==-⋅-⋅-由y ′=0，得t =103或t =-10(舍). 12分 当t ∈103,3⎛⎫ ⎪⎝⎭时，y ′<0，函数在103,3⎛⎫⎪⎝⎭上是单调减函数；当t ∈10,73⎛⎫ ⎪⎝⎭，y ′>0，函数在10,73⎛⎫⎪⎝⎭上是单调增函数.14分 ∴ 当t =103,即x3y 有最小值. 答：当AP3时，“总噪音影响度”最小. 16分20. （1） 当m =1时，f （x ）=x -1x-2l n x , f ′(x )=1+212xx-=22(1).x x- 2分 对∀x ∈(1,+∞),有f ′(x )>0. ∴ f (x )在（1，+∞）为单调增函数. 3分（又f (x )在［1,+∞)上的图象不间断）∴ 当x >1时，f (x )>f (1)=0. 5分 （2） 解法一：对任意x ∈［,（因f (x )在［1］上的图象不间断）∴ f (x )<2恒成立等价于f (x ) max <2(x ∈［).（*） 6分 ① 当m =0时，∵ f ′(x )=-2x<0, ∴ f (x )在［1］上是减函数.∴ f (x )max =f (1)=0<2，即（*）式成立.7分 ② 当m <0时，对任意x ∈［1,］，f ′(x )=2220.m x x mx-+<同①知（*）式成立. 9分③ 当m >0时，f ′(x )=222mx x mx-+.(a ) 当4-4m 2≤0，即m ≥1时，f ′(x )>0对于任意的x ∈)恒成立，∴ f (x )在［1.∴ f (x )max =f1⎛⎝.由m 1⎛-⎝，解得m).∴ 1≤m(1+ln3). 11分（b ） 当4-4m 2>0，即0<m <1时，令f ′（x ）=0，得x 1=11m-<（舍去），x 2=1m+>1.令1m-m2.1) 当0<m2时，x 2=1m+≥+=又f (x )在(1,x 2)上是减函数，∴ f (x )在［1,.∴ f (x )max =f (1)=0<2，即(*)式成立. 13分2）当2<m <1时，x 2=1m<则f (x )在(1,x 2)上是减函数，在（x 2.∴ 当x =1或x时，f (x )取得最大值.要使（*）式成立，只需(1)2,2,f f <⎧⎪⎨<⎪⎩即m).∴2<m <1. 15分 综上，m 的取值范围是（-∞)）.16分解法二：对于x ∈［1,］，f (x )<2恒成立，即mx -m x-2ln x <2恒成立，即m <222ln 1x x xx +-恒成立.8分令g(x )=222ln 1x x xx +-,则g ′(x )=2(42ln )(1)(22ln )222(1)x x x x x xx +⋅--+⋅-=22ln 2ln 4.22(1)x x x x ++--11分∵ x ∈(1,)时,g ′(x )<0恒成立, 13分∴ g(x )在［1, . 14分则g(x )min15分∴ 当mm <222ln 1x x xx +-恒成立. 16分则f (x )<2恒成立.。