3.4《圆周角1》

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圆周角(1)教案

课题：圆周角（1）教学目标（一）知识目标1、掌握圆周角的概念.2、体会圆周角与圆心角关系的探索过程，发现、验证圆周角与圆心角的关系.3、能用圆周角与圆心角的关系进行简单的说理，培养学生合情的推理意识，逐步掌握说理的基本方法，从而提高数学素养.（二）能力目标1、通过学生的探索过程，培养学生的动手操作、自主探索与合作交流的能力.2、培养学生的表达能力，让学生的个性得到充分的展示.（三）情感目标通过操作交流等活动，培养学生互相帮助、团结协作、互相讨论的团队精神，培养学生学习数学的兴趣.教学重点、难点重点：探索圆周角与圆心角的关系.难点：了解圆周角的分类，用化归思路合情推理验证“圆周角与圆心角的关系”. （“分类”、“化归”也是九年级学生的思维难点）.教学课型新授课教学方法为了体现教师为主导，学生为主体，知识为主线，育人为主旨的教学原则，本节课主要采用探究式教学法为主线，多媒体直观演示、启发式设疑诱导为辅的教学方法.学法指导知识是通过学生自己动口、动手、动脑，积极思考、主动探索获得．我将课堂交给学生，让学生自己去探索，发现验证知识.自主探索，研讨发现，得出结论是本节课主要的学习方法.教具准备教师：多媒体、课件、圆规、三角板等学生：圆形硬纸片若干、直尺、圆规、量角器等教学过程教学流程设计创设情境呈现问题合作探究验证猜想简单应用一．情境创设导入新课问题：足球训练场上教练在球门前划了一个圆圈进行无人防守的射门训练如图（1），甲、乙两名运动员分别在C 、D 两处，他们争论不休，都说在自己所在位置对球门AB 的张角大，如果你是教练，请评一评他们两个人谁的位置对球门AB 的张角大？图（1）设计意图：联系生活中喜闻乐见的足球射门，创设具有一定挑战性的问题情境，导入新课.激发学生的探索激情和求知欲望，把学生的注意力尽快地集中到本节课的学习中.二、呈现问题合作探究问题1、图中的∠C 、∠D 与我们前面所学的圆心角有什么区别？(角的顶点在圆上).问题2、你能仿照圆心角的定义给圆周角下个定义吗? 设计意图：1.选择新旧知识的切入点，既复习上节课的内容，又激发学生学习新知识的兴趣，加强各知识点之间的联系.2.让学生给圆周角下定义，提高学生的概括能力.圆周角定义: 顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角. 特征：① 角的顶点在圆上.② 角的两边都与圆相交. 随堂练习：判断下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由.问题3、画弧BC 所对的圆心角，然后再画同弧BC 所对的圆周角，你能画多少个同一条弧所对的圆心角？多少个圆周角？三、合作探究小组讨论交流ABCD四人一小组，根据下面的四个问题互相交流。

北师大版九年级数学下册：3.4《圆周角和圆心角的关系》教案1

北师大版九年级数学下册：3.4《圆周角和圆心角的关系》教案1一. 教材分析《圆周角和圆心角的关系》是北师大版九年级数学下册第3章的内容。

本节课主要通过探究圆周角和圆心角的关系，引导学生发现并证明圆周角定理。

教材通过生活中的实例引入圆周角和圆心角的概念，让学生在实际情境中感受数学与生活的联系。

接着，通过观察和操作活动，引导学生发现圆周角和圆心角之间的数量关系，进而证明圆周角定理。

教材还提供了丰富的练习题，帮助学生巩固所学知识，为后续学习圆的性质和应用打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基本概念和性质，对图形的变换有一定的了解。

然而，对于圆周角和圆心角的关系，他们可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，需要通过生动的实例和生活情境，激发学生的学习兴趣，引导学生积极参与观察、操作和思考。

此外，学生可能对圆的相关概念和性质有一定的了解，但需要进一步引导他们运用这些知识来解决实际问题。

三. 教学目标1.理解圆周角和圆心角的概念，掌握圆周角定理及其推论。

2.能够运用圆周角定理解决实际问题，提高运用数学知识解决问题的能力。

3.培养学生的观察能力、操作能力和逻辑思维能力，提高学生的数学素养。

四. 教学重难点1.圆周角和圆心角的概念及它们之间的关系。

2.圆周角定理的证明及其推论。

3.运用圆周角定理解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例和实际情境，引导学生感受圆周角和圆心角的关系，激发学生的学习兴趣。

2.观察操作法：让学生通过观察、操作和思考，发现圆周角和圆心角之间的数量关系，培养学生的观察能力和操作能力。

3.问题驱动法：设置一系列问题，引导学生逐步深入探讨圆周角和圆心角的关系，培养学生的问题解决能力。

4.合作学习法：学生进行小组讨论和合作交流，分享彼此的想法和成果，提高学生的团队协作能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示圆周角和圆心角的图片、实例和动画效果，帮助学生直观地理解概念和关系。

北师大版数学九年级下册3.4.1圆周角和圆心角的关系优秀教学案例

北师大版数学九年级下册3.4.1圆周角和圆心角的关系优秀教学案例
一、案例背景
北师大版数学九年级下册3.4.1“圆周角和圆心角的关系”是本章节的重要内容，涉及到圆周角定理及其推论。在教学过程中，我以一个生活中的实例为背景，引导学生发现圆周角和圆心角之间的关系，激发学生的学习兴趣和探究欲望。
在案例中，我设计了一个关于自行车轮子的问题：一个自行车轮子上有36个齿，当车轮转过一周时，齿所形成的圆周角是多少度？通过这个问题，学生可以直观地感受到圆周角的概念。接着，我引导学生思考：如果我们知道车轮转过的圆心角，能否计算出对应的圆周角？这时，学生已初步掌握了圆周角定理，能够运用定理解决问题。
2.运用分组讨论、展示等形式，促进学生之间的交流与合作，提高学生的团队协作能力。
3.设计不同难度的练习题，让学生在课后进行巩固，培养学生的自主学习能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣，激发学生探究数学问题的热情。
2.通过圆周角定理的学习，使学生感受到数学在生活中的重要性，提高学生运用数学知识解决实际问题的意识。
（二）问题导向
在教学中，我设计了一系列问题来引导学生思考和探究。例如，当学生了解了圆周角的概念后，我提出问题：如果我们知道车轮转过的圆心角，能否计算出对应的圆周角？这个问题引导学生思考圆周角和圆心角之间的关系，激发他们的探究欲望。通过问题导向，我引导学生积极主动地参与学习，培养他们的思考能力和解决问题的能力。
（三）学生小组讨论
在学生小组讨论环节，我设计了一系列有关圆周角和圆心角的问题，让学生分组讨论和解决问题。例如，我让学生设计一个关于圆周角和圆心角的实例，并展示给其他同学。通过小组讨论，学生能够互相交流、合作，共同解决问题，提高他们的团队协作能力和沟通能力。

3.4课时1圆周角定理及其推论1教学设计2023-2024学年北师大版数学九年级下册

- 设计预习问题：围绕圆周角定理及其推论，设计一系列具有启发性和探究性的问题，引导学生自主思考。
- 监控预习进度：利用平台功能或学生反馈，监控学生的预习进度，确保预习效果。
学生活动：
- 自主阅读预习资料：按照预习要求，自主阅读预习资料，理解圆周角定理及其推论。
- 思考预习问题：针对预习问题，进行独立思考，记录自己的理解和疑问。
作业评价：
1. 作业批改：对学生的课后作业进行认真批改，及时发现学生的问题并进行解答。例如，可以批改学生对圆周角定理及其推论的应用，检查学生是否能够正确运用定理解决实际问题。
2. 作业点评：对学生的作业进行点评，及时反馈学生的学习效果，鼓励学生继续努力。例如，可以对学生的作业进行评分，指出学生的优点和不足，给出改进的建议。
（4）使用数学游戏和软件：学生可以利用课余时间，使用一些数学游戏和软件，如GeoGebra、Desmos等，通过互动式学习，加深对圆周角定理及其推论的理解和掌握。
七、典型例题讲解
例题1：
题目：已知一个圆的半径为6cm，求圆心角为60°的圆周角的大小。
答案：圆心角为60°的圆周角的大小为30°。
例题2：
本节课的核心素养目标包括：
1. 逻辑推理：通过探究圆周角定理及其推论，培养学生的逻辑推理能力，使学生能够从具体的事实和现象中抽象出圆周角与中心角、弧、弦之间的关系，并能够运用逻辑推理证明这一关系。
2. 数学建模：通过解决实际问题，培养学生运用数学知识建立模型的能力，使学生能够将圆周角定理及其推论应用于解决与圆相关的问题，提高学生解决实际问题的能力。
2. 观察评价：通过观察学生的课堂表现，了解学生的学习状态和参与程度，及时发现问题并进行指导。例如，可以观察学生是否认真听讲，是否积极参与课堂讨论，是否能够正确运用圆周角定理及其推论解决实际问题等。

北师大版数学九年级下册3.4《圆周角和圆心角的关系》教案1

北师大版数学九年级下册3.4《圆周角和圆心角的关系》教案1一. 教材分析北师大版数学九年级下册 3.4《圆周角和圆心角的关系》是本节课的主要内容。

通过本节课的学习，让学生理解圆周角和圆心角的关系，掌握圆周角定理，并能运用圆周角定理解决实际问题。

教材通过引入圆周角和圆心角的概念，引导学生探究它们之间的关系，从而发现圆周角定理。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了圆的基本概念，如圆的半径、直径等，对圆有一定的认识。

但学生对圆周角和圆心角的概念可能比较陌生，需要通过实例和探究活动来理解和掌握。

此外，学生需要具备一定的观察和推理能力，通过观察图形和逻辑推理来发现圆周角定理。

三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握圆周角定理，能运用圆周角定理解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过观察、操作、推理等过程，培养学生的观察能力和推理能力。

3.情感态度与价值观目标：让学生体验数学学习的乐趣，培养学生的探究精神和合作意识。

四. 教学重难点1.教学重点：圆周角定理的掌握和运用。

2.教学难点：圆周角定理的证明和理解。

五. 教学方法1.情境教学法：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究。

2.问题驱动法：通过提出问题，引导学生观察、思考和推理，培养学生的问题解决能力。

3.合作学习法：引导学生分组讨论和合作，培养学生的团队合作意识和交流能力。

六. 教学准备1.教学PPT：制作相关的教学PPT，展示圆周角和圆心角的图形和实例。

2.教学素材：准备一些相关的实例和习题，用于引导学生进行探究和练习。

3.教学工具：准备圆规、直尺等绘图工具，方便学生进行绘图和操作。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些实际问题，如自行车轮子的转动、钟表的指针运动等，引导学生观察和思考这些现象与圆周角和圆心角的关系。

2.呈现（10分钟）呈现圆周角和圆心角的定义，引导学生理解它们的概念。

通过PPT展示一些实例，让学生观察和思考圆周角和圆心角之间的关系。

圆周角(一)

圆周角（一）1. 介绍圆周角是指圆的弧所对的圆心角，它是圆周上任意两条弧所对的圆心角的度量。

在几何学中，圆周角是一项基本概念，对于理解和计算与圆相关的问题非常重要。

2. 定义圆周角的定义如下：定义1：圆周角是一个以圆心为顶点的角。

圆周角通常用字母表示，例如A、B、C等。

下图是一个圆周角的示例：B/\\/ \\A/____\\C在上图中，B是圆周角的顶点，弧AC和弧AB是圆周角的两边。

3. 单位圆周角的单位通常有两种：弧度（radian）和度（degree）。

弧度是一种单位，用弧长与半径之比来度量一个圆周角。

一个圆的一周对应的弧长是2πr（其中r是半径），所以一个圆周角所对应的弧长与圆周长之比就是弧度的度量。

度是一种常见的度量角的单位，它将一个圆周平均分为360份，每份称为一度。

一个圆周角等于360度。

4. 圆周角的计算圆周角的计算可以用上述定义和单位来进行。

4.1 弧度的计算如果知道一个圆弧的弧长线段L和半径r，可以通过下式计算弧度：弧度 = 弧长 / r4.2 度的计算如果知道一个圆周角的弧度r，可以通过下式计算度：度= r * 180 / π4.3 示例假设有一个圆的半径r为5，弧长L为12，则可以按以下步骤计算弧度和度数：1.计算弧度：弧度 = 弧长/ r = 12 / 5 ≈2.42.计算度数：度数 = 弧度* 180 / π ≈ 137.5因此，给定半径为5的圆弧，其弧长为12的圆周角，弧度约为2.4弧度，度数约为137.5度。

5. 结论圆周角是圆的弧所对的圆心角，它可以用弧度或度来度量。

弧度是一个圆弧的弧长与半径之比，度是一个圆周角等于360度。

圆周角的计算可以通过弧度和度之间的转换进行。

实际应用中，我们经常需要在弧度和度之间进行转换以满足不同的计算需求。

以上是关于圆周角的基本介绍和计算方法。

在后续的文档中，我们将继续讨论与圆周角相关的更深入的概念和应用。

3.4(1)圆周角

问题3、请你猜测同弧所对的圆周角和圆心角大小由什么关系？（∠BAC= ∠BOC）
问题4、你能证明你的论？
学生讨论并寻求证明思路，有困难时老师可以适当点拨。
分三类情况讨论、证明;
第一种情况：圆心在∠BAC的一边上：
∵OA=OC
∴∠BAC=∠C
∵∠BOC是△AOC的外角
∴∠BOC=∠C+∠BAC=2∠BAC
三、巩固应用
（一）1、已知一条弧所对的圆周角等于50°，则这条弧所对的圆心角为度，这条弧的度数为度。
2、已知一条弧的度数为40°，则这条弧所对的圆心角为度，所对的圆周角为度。
3、一条弧所对的圆心角的度数为96°，则这条弧的度数为度，这条弧所对的圆周角
为度。
小结：圆心角、圆周角、弧的度数关系
4、一条特殊的弧---半圆，它所对的圆周角等于度。
∴∠BAC= ∠BOC
第二种情况：当圆心O在∠BAC的内部时
连结A0 并延长，交⊙O于点D，利用（1）的结果，有∠BAD= ∠BOD，
∠DAC= ∠DOC，
∴∠BAD+∠DAC= （∠BOD+∠DOC）
即∠BAC= ∠BOC
第三种情况：当圆心O在在∠BAC的外部时
连结A0 并延长，交⊙O于点D，利用（1）的结果，有∠BAD= ∠BOD，
1、如图，已知∠AOB=80°，①求弧AB的度数；
②延长AO交⊙O于点C，连结CB，求∠ACB的度数。
2、提问：∠ACB是圆心角吗？（不是）
教师指出：我们把这样的角叫做圆周角，你能模仿圆心角的定义给出圆周角的定义吗？
板书：圆周角的定义：顶点在圆上，两边和圆相交的角叫做圆周角，
练习：（1）练习:判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。

3.4 圆周角和圆心角的关系第1课时(教案)-北师大版数学九年级下册

第4节圆周角和圆心角的关系1.经历探索圆周角和圆心角及其所对弧的关系的过程.2.理解圆周角的概念,了解并证明圆周角定理及其推论.3.理解圆的内接四边形的性质.1.经历探索圆周角和圆心角及其所对弧的关系的过程,培养学生观察、分析、猜想、归纳和逻辑推理的能力.2.通过渗透分类讨论、归纳等数学思想方法,培养学生的探究意识和探索新知识的能力.在经历探索圆周角和圆心角关系的过程中,感受探索的艰辛与喜悦,体验数学活动充满着探索与创造,激发学生的学习欲望.【重点】1.掌握圆周角定理及其证明过程.2.运用圆周角定理及其推论解决相关问题.3.圆的内接四边形的性质及其应用.【难点】1.圆周角定理的证明过程.2.体会分类讨论、归纳等数学思想方法的应用.第1课时圆周角定理及其推论11.理解圆周角的概念,掌握圆周角和圆心角之间的关系(圆周角定理)及其推论1,并会运用它们进行有关的证明和运算.2.理解并掌握圆周角和圆心角之间的关系(圆周角定理)的证明方法.经历探索圆周角和圆心角的关系的过程,学会以特殊情况为基础,通过转化来解决一般性问题的方法,渗透分类的数学思想.通过观察、猜想、验证、推理,培养学生探索数学问题的能力和方法.【重点】掌握圆周角的概念、圆周角定理及推论1及其证明过程.【难点】了解圆周角与圆心的三种位置关系,用化归思想合情推理验证圆周角定理.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】1.复习三角形外角的知识和圆的基础知识.2.圆规和直尺.导入一:课件出示:如图所示,有一只小蚂蚁从C点出发,沿着圆周的方向逆时针爬行,在爬行的过程中,蚂蚁所在的点B与点A,C所组成的∠ABC的度数会发生变化吗?若∠AOC=60°,那么∠ABC的度数可能是多少?学生猜测:∠ABC的度数应该不会发生变化,∠ABC的度数可能是30°.【问题】∠ABC是什么角?圆心角∠AOC和∠ABC之间有什么样的关系?[设计意图]通过活泼的小蚂蚁的运动,让学生初步感知圆周角的基本概念以及圆周角与圆心角的关系,使学生对本节课的探究任务一目了然.导入二:课件出示:同学们,你们喜欢踢足球吗?看了2014年巴西世界杯和2015年加拿大女足世界杯了吗?(投影展示世界杯的精彩片段)【问题】请同学们想一想,球员射中球门的难易与什么有关?【学生活动】学生思考后积极回答,学生的答案可能会五花八门.【引导】射门球员与两个门柱组成的角度会决定球员射中球门的难易程度,相信学完本节课的知识你就可以解决这个问题了.[设计意图]由学生熟知的世界杯为引子,创设问题情境,吸引学生的注意,激发学生的学习兴趣.复习所学过的圆心角,并且引出要学习的圆周角,引导学生在观察图形的基础上进行独立思考,然后再进行合作交流,最后达成共识.课件出示:如图所示,球员射中球门的难易程度与他所处的位置B对球门AC的张角(∠ABC)有关.当球员分别站在B,D,E的位置上射门时,哪个位置进球的可能性大?【学生活动】学生思考后并猜测,可能会有大部分的学生认为在D处进球的可能性大,也有学生认为一样大.【教师活动】教师对于学生的回答,暂时不做评论,教师出示动画效果的视频进行演示,继续引导学生思考下面的问题.【问题】图中的三个角∠ABC,∠ADC,∠AEC,以前见过这种类型的角吗?它们有什么共同特征?【学生活动】生观察后,与同伴交流,代表小结三个角的共同特征:(1)角的顶点在圆上;(2)角在圆的内部;(3)角的两边都与圆相交.【教师点评】我们把具有这样特征的角称为圆周角.圆周角的概念:顶点在圆上,两边分别与圆还有另一个交点,像这样的角,叫做圆周角.【教师强调】理解圆周角的概念的两个特征:(1)角的顶点在圆上;(2)角的两边都与圆相交.[过渡语]同学们了解了圆周角的概念,通过下面的题目,来检测一下同学们对圆周角概念的理解程度.判断下列图中的角是否是圆周角,并说明理由.【学生活动】先让学生观察思考,独立判断,基础差的学生回答,并说明是与不是的理由.[设计意图]让学生学好基础知识、基本概念,识别其内容反映出来的数学思想和方法,培养学生的基本技能及分析问题和解决问题的能力,使学生通过自己的观察与探索,发现、理解并掌握圆周角的定义.课件出示:【做一做】如图所示,∠AOB=80°.问题1请你画出几个所对的圆周角,这几个圆周角有什么关系吗?请与同伴进行交流.教师引导学生动手操作并思考下面的问题:1.你所画出的圆周角的度数之间有什么关系?你是怎么得到这个结论的?2.你能画出多少个圆周角?【师生活动】要求学生动手操作,师巡视,发现学生出现的问题,及时纠正.学生独立完成并与同伴进行交流后,代表发言.1.使用量角器进行测量可得所对的圆周角的度数都相等.2.可以画出无数个相等的圆周角.问题2这些圆周角与圆心角∠AOB的大小有什么关系?你是怎么发现的?与同伴进行交流.【师生活动】学生继续进行操作,师参与其中.【学生活动】学生独立完成并与同伴进行交流后,代表发言.利用量角器得出所对的圆周角都等于40°,都等于所对的圆心角80°的一半.【议一议】如果改变图中的∠AOB的度数,上面的结论还成立吗?【活动方式】分组探究,分别以∠AOB的度数为30°,90°,120°和150°为例,分四组练习,得出结论.再结合各组的结论,总结出圆周角与圆心角之间的关系.【学生活动】学生在小组内交流、汇总,并在全班交流、补充.【教师归纳】圆周角与圆心的位置关系只有三种:(1)圆心在圆周角的一边上(如图(1)所示);(2)圆心在圆周角的内部(如图(2)所示);(3)圆心在圆周角的外部(如图(3)所示).【教师活动】要求学生独立写出已知和求证,并利用图(1)进行证明.教师引导学生思考下面的问题:1.△AOC是什么三角形?2.∠AOB与△AOC有什么关系?代表展示:如图(1)所示,∠ACB是所对的圆周角,∠AOB是所对的圆心角.求证∠C=·∠AOB.证明:圆心O在∠C的一条边上,如图(1)所示.∵∠AOB是△AOC的外角,∴∠AOB=∠A+∠C.∵OA=OC,∴∠A=∠C.∴∠AOB=2∠C,即∠C=∠AOB.【做一做】请你完成其他两种情况的证明.教师引导学生思考下面的问题:1.证明圆周角定理的主要思路是什么?2.我们用推理论证的方法得到了第一种情况结论是成立的.对于第二、三种情况都可以转化成圆心在圆周角的一边上的情况去处理.如何进行转化呢?【师生活动】学生分组讨论,师要参与其中,对有困难的小组进行指点.代表发言:1.主要是利用等腰三角形的外角的知识进行证明.2.可以通过作直径的方法进行转化.【活动方式】分成四组解答,第一、三组利用图(2)进行证明,第二、四组利用图(3)进行证明.【学生活动】学生讨论后,理清了思路,独立解答.找2名学生代表板演展示.【教师活动】师利用多媒体出示证明过程,规范学生的证明步骤.证明:圆心O在圆周角的内部(如图所示).在☉O中作直径CD,由前面的结论可知∠ACD=∠AOD,∠BCD=∠BOD,∴∠ACD+∠BCD=∠AOD+∠BOD.即∠ACB=∠AOB.证明:圆心O在圆周角的外部(如图所示).在☉O中作直径CD,由前面的结论可知∠ACD=∠AOD,∠BCD=∠BOD,∴∠ACD-∠BCD=∠AOD-∠BOD.即∠ACB=∠AOB.[设计意图]通过测量和推理证明两种方式得出圆周角的判定定理,加深了学生对于圆周角定【想一想】在射门游戏中,当球员在B,D,E处射门时,所形成的三个张角∠ABC,∠ADC,∠AEC的大小有什么关系?你能用圆周角定理证明你的结论吗?学生分析:如图所示,因为∠ABC,∠ADC,∠AEC都是同一条所对的圆周角,根据圆周角定理,它们都等于所对的圆心角∠AOC度数的一半,所以这三个角都相等.【问题】根据上述探究的结论,以及三个圆周角的共性,你还能得出什么样的结论?【师生总结】圆周角定理推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等.【想一想】你现在知道球员在哪个位置把球射进球门的可能性大了吗?学生统一了想法:因为∠ABC=∠ADC=∠AEC,所以球员在B,D,E处把球射进球门的可能性是一样大的.[设计意图]利用情境题及时巩固新知,使每个学生都有收获,感受成功的喜悦,充分肯定探索活动的意义,提高学生的积极性和主观能动性.[知识拓展]在同一个圆中,同弦所对的圆周角可能相等也可能互补.如图所示.【教师强调】(1)“同弧”指“同一个圆”.(2)“等弧”指“在同圆或等圆中”.(3)“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦”.1.圆周角的概念.2.圆周角定理.3.圆周角定理的证明方法.4.圆周角定理的推论1.1.(2014·温州中考)如图所示,已知A,B,C在☉O上,为优弧,下列选项中与∠AOB相等的是()A.2∠CB.4∠BC.4∠AD.∠B+∠C解析:由圆周角定理可得∠AOB=2∠C.故选A.2.如图所示,在☉O中,AC∥OB,∠BAO=25°,则∠BOC的度数为()A.25°B.50°C.60°D.80°解析:∵OA=OB,∴∠B=∠BAO=25°,∵AC∥OB,∴∠BAC=∠B=25°,∴∠BOC=2∠BAC=50°.故选B.3.如图所示,☉O的直径CD⊥AB,∠AOC=50°,则∠CDB的大小为.解析:由垂径定理,得=,∴∠CDB=·∠AOC=25°.故填25°.4.如图所示,☉O是△ABC的外接圆,点D为上一点,∠ABC=∠BDC=60°,AC=3cm,求△ABC的周长.解:∵=,∴∠BDC=∠BAC.∵∠ABC=∠BDC=60°,∴∠ABC=∠BAC=60°,∴∠ACB=60°.∴△ABC为等边三角形.∵AC=3cm,∴△ABC的周长为3×3=9(cm).第1课时1.圆周角的概念:顶点在圆上,两边分别与圆还有另一个交点的角.2.圆周角定理:圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.3.圆周角定理的推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等.一、教材作业【必做题】1.教材第80页随堂练习第1,2题.2.教材第80页习题3.4第1,2,3题.【选做题】教材第81页习题3.4第4题.二、课后作业【基础巩固】1.(2014·山西中考)如图所示,☉O是△ABC的外接圆,连接OA,OB,∠OBA=50°,则∠C的度数为()A.30°B.40°C.50°D.80°2.(2014·株洲中考)如图所示,点A,B,C都在圆O上,如果∠AOB+∠ACB=84°,那么∠ACB的大小是.3.如图所示,边长为1的小正方形网格中,☉O的圆心在格点上,则∠AED的余弦值是.【能力提升】4.(2014·齐齐哈尔中考)如图所示,在☉O中,OD⊥BC,∠BOD=60°,则∠CAD的度数等于()A.15°B.20°C.25°D.30°5.如图所示,点E是的中点,点A在☉O上,AE交BC于D.求证BE2=AE·DE.6.如图所示,A,B,C,D是☉O上的四点,AB=AC,AD交BC于点E,AE=2,ED=4,求AB的长.7.如图所示,在半径为5cm的☉O中,直径AB与弦CD相交于点P,∠CAB=50°,∠APD=80°.(1)求∠ABD的大小;(2)求弦BD的长.【拓展探究】8.(2015·安徽中考)在☉O中,直径AB=6,BC是弦,∠ABC=30°,点P在BC上,点Q在☉O上,且OP⊥PQ.(1)如图(1)所示,当PQ∥AB时,求PQ的长度;(2)如图(2)所示,当点P在BC上移动时,求PQ长的最大值.【答案与解析】1.B(解析:∵OA=OB,∠OBA=50°,∴∠OAB=∠OBA=50°,∴∠AOB=180°-50°×2=80°,∴∠C=∠AOB=40°.故选B.)2.28°(解析:∵∠AOB=2∠ACB,∠AOB+∠ACB=84°,∴3∠ACB=84°,∴∠ACB=28°.故填28°.)3.(解析:∵∠AED与∠ABC都对应,∴∠AED=∠ABC,在Rt△ABC中,AB=2,AC=1,根据勾股定理得BC=,则cos∠AED=cos∠ABC==.)4.D(解析:∵在☉O中,OD⊥BC,∴=,∴∠CAD=∠BOD=×60°=30°.故选D.)5.证明:∵点E是的中点,∴=.∴∠BAE=∠CBE,∵∠E=∠E(公共角),∴△BDE∽△ABE,∴BE∶AE=DE∶BE,∴BE2=AE·DE.6.解:∵在☉O中,AB=AC,∴弧AB=弧AC.∴∠ABC=∠D.又∠BAE=∠DAB,∴△ABE∽△ADB.∴=,即AB2=AE·AD=2×6=12.∴AB=2.7.解:(1)∵∠APD是△APC的外角,∠CAB=50°,∠APD=80°,∴∠C=80°-50°=30°,∴∠ABD=∠C=30°.(2)如图所示,过点O作OE⊥BD于点E,则BD=2BE,由(1)知∠ABD=30°,OB=5cm,∴BE=OB·cos30°=3×=(cm),∴BD=2BE=2×=3(cm).8.解:(1)连接OQ,如图(1)所示,∵PQ∥AB,OP⊥PQ,∴OP⊥AB,在Rt△OBP中,∵tan B=,∴OP=3tan30°=,在Rt△OPQ中,∵OP=,OQ=3,∴PQ==.(2)连接OQ,如图(2)所示,在Rt△OPQ中,PQ==,∴当OP的长最小时,PQ的长最大,此时OP⊥BC,则OP=OB=,∴PQ长的最大值为=.本节课教学设计上,一是注重了创设情境,激发学生学习的兴趣、主动性和求知欲望,为下一步教学的顺利展开开个好头;二是注重了引导学生经历探索、验证、论证、应用数学新知的过程,鼓励学生用动手实践、自主探究、合作交流的学习方法进行学习,使学生在数学活动中深刻地理解知识和掌握由特殊到一般的认知方法.探索并证明圆周角和圆心角的关系,学生解决起来是有一定难度的,教学时可以给学生留出充足的时间和空间,让他们进行思考、交流.学生在经历画图、猜想、推理、交流、严格证明等过程后,自己得出了结论,收到了预期的效果.在学生证明圆周角定理时由于引导效果不好,导致有些学生解决问题还有困难,不知如何入手.今后在教学中多训练学生的思维能力,再放手,采取结对子帮扶,充分发挥小组长的示范作用.练习(教材第80页)1.解:∠A=∠BOC=×50°=25°.2.解:∠BDC=∠BAC.相等的角还有:∠ADB=∠ACB,∠DBA=∠DCA,∠CAD=∠CBD.习题3.4(教材第80页)1.解:∠ACB=2∠BAC.∵∠ACB=∠AOB,∠BAC=∠BOC,且∠AOB=2∠BOC,∴∠ACB=2∠BAC.2.解:∵∠C=100°,∴∠BOD(大于180°的)=200°,∴∠BOD(小于180°的)=160°,∴∠A=∠BOD=×160°=80°.3.解:尽量保证同排的人视角相同.4.解:当船位于安全区域时,∠α小于“危险角”.对于圆周角的概念的得出,可以通过对情境题的仔细观察就可以直接得出圆周角的概念,而定理的探索,则需要通过动手操作,利用量角器测量的方法得出圆周角与圆心角之间的关系.对于圆周角定理的证明遵循“由特殊到一般”的方法,对于三种可能性的证明则可以利用“转化”的思想方法进行解决.。

3.4 圆周角课件1(数学浙教版九年级上册)

如图，因为AOB AOB 根据圆心角、弧、弦、弦心距的关系定理可知
AB AB
A
A
⌒
⌒
O
B
B
例2：如图，等边三角形ABC内接于⊙O,连结Ａ OA,OB,OC.
(1)∠AOB、∠COB、∠AOC 的度数分别为__________ 1200 ,1200 ,1200
(2)延长AO，分别交BC于点P，BC于点 D，连结BD、CD.试判断四边形BDCO是哪一种特殊四边形，并说明理由。 (3)若⊙O的半径为r,则等边三角形ABC的边长为_______ 3r
请说出上述三个命题的逆命题是什么？
怎样判定它们的真假性？
1.逆命题 : 在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
zxxk
2.逆命题 : 在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧相等，弦的弦心距相等。 3.逆命题 : 在同圆或等圆中，相等的弦心距对应弦相等,弦所对的圆心角相等，所对的弧相等。
O
A B
想一想：你能设计
出一种方法，使据出 ∴S正方形ABCD=15×15÷2×4=450（cm2）的木材的正方形截面大于上述所得的面积 -2 2 =4.5×10 （m ）吗？小于呢？ ∴V=4.5×10-2×15=0.675（m3）答：锯出木材的体积为0.675 m3
化心动为行动
已知：如图，在⊙Ｏ中，弦ＡＢ＝ＣＤ．求证：ＡＤ＝ＢＣ
证明: 作OM AB , ON CD , 垂足分别为M 、 N 。
MP O NP O OM AB ON C D
AB=CD
B OM=ON P A C M
E
.O
D F

3.4圆周角定理及其推论1(教案)

三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）圆周角定理：理解圆周角定理的概念，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
举例：如图，弧AB所对的圆周角∠ACB与圆心角∠AOB的关系，∠ACB = 1/2∠AOB。
（2）圆周角定理的推论1：掌握直径所对的圆周角是直角。
举例：如图，直径CD所对的ห้องสมุดไป่ตู้周角∠CDB是直角。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解圆周角定理及其推论1的基本概念。圆周角定理指出，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。这个定理对于解决与圆有关的问题具有重要意义。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过分析圆的某个特定情况下圆周角和圆心角的关系，展示圆周角定理在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
（3）应用圆周角定理及其推论1解决实际问题：能运用定理和推论解决与圆有关的问题，如求圆周角、圆心角、弧长等。
2.教学难点
（1）圆周角定理的理解：学生需要理解圆周角与圆心角的关系，特别是“同弧或等弧所对的圆周角相等”这一条件。
（2）圆周角定理的推论1的证明：学生需要掌握直径所对的圆周角是直角的证明过程，理解其中的逻辑推理。
同学们，今天我们将要学习的是《3.4圆周角定理及其推论1》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要求解圆周角或圆心角的情况？”（例如：在修路时，测量员如何确定圆形转角的大小。）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索圆周角定理及其推论1的奥秘。
4.应用圆周角定理及其推论1解决实际问题。

北师大版九年级数学下册第三章圆3.4《圆周角和圆心角的关系(1)》说课稿

圆周角和圆心角的关系（1）(说课稿)3.3 圆周角和圆心角的关系一、教材分析（一）教学内容今天我说课的内容是义务教育课程标准北师大版实验教科书九年级（下）第三章《圆》第3节《圆周角和圆心角的关系》第一课时||。

（二）地位和作用本节课是学生在掌握圆心角的概念以及圆心角、弧、弦的关系的基础上进行学习的||，既是前面圆有关性质的延续||，又是下一节课证明圆周角定理推论的理论依据||。

本节课所渗透的学习内容和学习方法||，在学生今后的学习中应用广泛||，是本章重点内容之一||。

（三）教学目标根据新课程标准的要求以及九年级学生的认知结构与心理特征||，我从以下三方面确定教学目标：知识与技能——理解圆周角的概念和圆周角定理以及证明||。

过程与方法——经历探索圆周角与圆心角的关系的过程||，体会分类、归纳、转化的数学思想方法||。

情感态度与价值观——在推理证明的过程中获得正确的学习方法；在合作交流中培养团结协作的精神；在自主探究中体会成功的喜悦||。

（四）教学重点和难点根据新课程的理念||，经历过程带给学习的能力||，比具体的结果更重要||，结合本课内容||，我认为本节课的教学重点是：经历探索“圆周角与圆心角的关系”的过程||，理解掌握圆周角定理||，难点是：利用化归思想推导证明圆周角定理||。

二、教法学法分析（一）教学方法根据新课程理念的要求||，教师应该是数学学习的组织者、引导者与合作者||，结合本节课的内容及学生的实际情况||，在教法上我主要采用“探究合作||，启发引导”的方法||，同时以多媒体演示为辅助||，使学习的主要内容不是教师直接传授给学生||，而是以问题的形式不断呈现出来||，由学生自己去发现||，然后内化为自己知识结构的一部分||，这样既能唤起学生学习的欲望||，又调动学生学习的积极性和主动性||。

（二）学生学法在学法上||，学生主要采用动手实践、自主探索与合作交流相结合的学习方法||，在教师的引导下从直观感知上升到理性思考||，从自己的实践中获取知识||。

圆周角1

练一练
A
O
B
如图, 如图,点A,B,C,D在 ⊙O , , , 在上,点A,D在B,C所在直 , 在 , 所在直 D 线的同侧,∠BAC=350 线的同侧, 350 (1)∠BDC=_______ ) 理由是: 同弧所对圆周角相等. 理由是: 同弧所对圆周角相等. 700 (2)∠BOC=_______ ) C 理由是: 理由是:
不是
图1
是
图3
不是
图2
不是
图4
不是
图5
一个圆的圆心与圆周角可能有几种关系? 一个圆的圆心与圆周角可能有几种关系? 圆心可能有几种关系
A O B A O C B A O C D B
.
.
.
C
当圆心O在的一边上时, 当圆心在∠BAC的一边上时,圆周角的一边上时与圆心角∠ 之间有怎样的关系? ∠BAC与圆心角∠BOC之间有怎样的关系? 与圆心角之间有怎样的关系你能证明你的结论吗? 你能证明你的结论吗?
A O B
.
C
猜想:_______________
证明: 证明: ∵∠BOC是是 AOC的外角, 的外角, 的外角 ∴ ∠BOC= ∠BAC+ ∠OCA ∵OA=OC ∴ ∠OCA= ∠BAC ∴ ∠BOC=2 ∠BAC,即 ,
∠BAC =
1 2
∠BOC
∠BAC=
1 2
∠BOC
当圆心O在∠BAC的内部或外部时, ∠BAC= 当圆心在的内部或外部时, 的内部或外部时的关系还成立吗?你能证明你的结论吗? 的关系还成立吗?你能证明你的结论吗? A
有什么关系? ∠ADB与∠ACB有什么关系? 与有什么关系
圆周角定理: 圆周角定理

3.4 圆周角和圆心角的关系(1)(数学北师大版九年级下册)

证明：∵点 E 是B︵C的中点，即︵ BE＝︵ CE， ∴∠BAE＝∠CBE. 又∵∠E＝∠E(公共角)，∴△BDE∽△ABE， ∴BE∶AE＝DE∶BE，∴BE2＝AE·DE.
[归纳总结] 对“同弧或等弧所对的圆周角相等”的理解： (1)“同弧”指“在同一个圆中”；(2)“等弧”指“在同圆或等圆中”；(3)“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦”．
∠ABC 与圆心角∠AOC，它们的大小有什么关系？
图 3－4－1
在探讨圆周角与圆心角的大小关系时，首先考虑了一种特
殊情况(圆心在圆周角的一边上)，如图 3－4－1①所示．
∵∠AOC 是△ABO 的外角， ∴∠AOC＝∠ABO＋__∠__O_A_B__．又∵OA＝OB，
∴∠OAB＝__∠__A_B_O____， ∴∠AOC＝_2_∠__A_B_C__，即∠ABC＝21∠AOC. 如果∠ABC 的两边都不经过圆心，如图 3－4－1②、③，那么结论会怎样？请你说明理由．
总结反思
知识点一圆周角圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．由定义可知圆周角具备两个特征：一是顶点必须在圆上，二是角的两边都和圆相交．
知识点二圆周角定理圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的___一__半___．
知识点三圆周角定理推论1 同弧或等弧所对的圆周角__相__等____．
图 3－4－2
[解析] 根据△AOB 是等腰三角形，由∠ABO＝55°，可得∠AOB＝70°，再利用圆周角定理即可求解．
解：∵OA＝OB，∴△AOB 是等腰三角形．又∵∠ABO＝55°， ∴∠AOB＝180°－∠ABO－∠OAB＝180°－ 55°－55°＝70°， ∴∠BCA＝21∠AOB＝12×70°＝35°.

3.4 圆周角和圆心角的关系(1)

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圆周角的定义 4．下列四个图中，∠x 是圆周角的是( C )
A
B
C
D
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圆周角定理
5．【高频】如图，点 A、B、C 是⊙O 上的三点，已知∠ACB＝
50°，那么∠AOB 的度数是( C )
A．90°
B．95°
C．100°
D．120°
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6．如图，∠A＝50°，则∠OBC 的度数为( C )
C．30°
D．50°
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11．如图，CD⊥AB 于点 E，若∠B＝60°，则∠A＝_3_0__°.
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12．淘淘用一把残缺的量角器测量三角形玻璃中∠A 的大小．他将玻璃板按如图所示的方法在量角器上旋转，使点 A 在圆弧上，AB、AC 分别与圆弧交于点 D、E，它们对应的刻度分别为 70°、100°，则∠A 的度数为_1_5_°___.
图1
图2
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∠A＝12∠BOC＝12×120°＝60°. 当△ ABC 为钝角三角形时，如图 2，连接 OB、OC，过点 O 作 OD⊥BC 于点 D. ∠A＝240°÷2＝120°. 综上可知∠A 度数为 60°或 120°.
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20．如图，AB 为⊙O 的直径，CE⊥AB 于点 E，BF∥OC，连接 BC、CF.求证： ∠OCF＝∠ECB.
学透初中
第三章圆
3.4 圆周角和圆心角的关系(1)
目录页
01.抓基础 02.练考点
03.提能力 04.培素养
1．顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做__圆__周__角___. 2．一条弧所对的圆周角的度数等于它所对的圆心角度数的__一__半___. 3．同弧或等弧所对的圆周角__相__等___.