高中数学 第2章 第19课时 平面向量的正交分解及坐标表示、平面向量的坐标运算课件 新人教A版必修4
高中数学第二章平面向量2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算课件新人教A版必修4 (2)
变式训练1
在平面直角坐标系中 ,|a|= 4,且 a 如图所示,则 a 的坐标为 ( A.(2√3,2) B.(2,- 2√3) C.(-2,2√3) D.(2√3,-2)
)
解析:设 a=(x,y),则 x=|a|cos y=-|a|sin 30°=-4× =-2. 故 a=(2√3,-2). 答案:D
做一做 2 已知������������=(2,-3),则点 A 的坐标为( ) A.(2,3) B.(2,-3) C.(-3,2) D.(3,-2) 解析:������������的起点为原点 O,则������������的坐标与终点 A 的坐标相同. 答案:B
4.平面向量的坐标运算 设向量 a=(x1,y1),b=(x2,y 2),λ∈R,则有下表: 文字描述 两个向量和的坐标分别等于这两 加法 个向量相应坐标的和 两个向量差的坐标分别等于这两 减法 个向量相应坐标的差 实数与向量的积的坐标等于用这 数乘 个实数乘原来向量的相应坐标 一个向量的坐标等于表示此向量 向量坐 的有向线段的终点的坐标减去始 标公式 点的坐标 符号表示 a+b=(x1+x2,y 1+y2) a-b=(x1-x2,y 1-y2) λa=(λx1,λy1) 已知 A(x1,y1),B(x2,y2),则 ������������ =(x2-x1,y2-y 1)
2 1
√3 30°=4× =2√3, 2
探究二平面向量的坐标运算 【例 2】 (1)已知平面上三个点 A(4,6),B(7,5),C(1,8),求������������ , ������������ , ������������ + 1 ������������ , ������������ − ������������ ,2������������ + ������������ ; (2)已知 a=(1,2),b=(-3,4),求向量 a+b,a-b,3a-4b 的坐标. 分析:(1)先计算出������������ , ������������ 的坐标,再进行向量的线性运算; (2)直接利用向量的坐标运算.
平面向量的正交分解及坐标运算
混合积的坐标运算
$overset{longrightarrow}{AB} cdot (overset{longrightarrow}{AC} times overset{longrightarrow}{BC}) = (x_{2}x_{1})(y_{3}-y_{1}) - (x_{3}-x_{1})(y_{2}-
以另一个向量的模。
03 平面向量的坐标运算
向量的加法运算
总结词
向量加法是向量运算中的基本运算之一，其结果仍为向量，且满足平行四边形法则。
详细描述
向量加法是指将两个向量首尾相接，以第一个向量的起点为起点，以第二个向量的终点为终点的向量。向量加法 满足平行四边形法则，即以两个不共线的向量为邻边作平行四边形，其对角线所表示的向量即为这两个向量的和。
向量的模
表示向量大小的长度，记作$|overrightarrow{a}|$ 或$a$，计算公式为$a = sqrt{x^2 + y^2}$。
数乘
实数与向量的乘法，表示为$lambda overrightarrow{a}$，其中$lambda$为实数，表 示将向量$overrightarrow{a}$按比例放大或缩小。
04 平面向量的向量积运算
向量积的定义
向量积的定义
向量积是一个向量运算，其结果为一个向量，记作$vec{A} times vec{B}$。它垂直于作为运算对象的两 个向量$vec{A}$和$vec{B}$，并且其模长为$|vec{A} times vec{B}| = |A||B|sintheta$，其中$theta$为 $vec{A}$和$vec{B}$之间的夹角。
未来发展方向和挑战
算法优化
随着计算技术的发展，平面向量的正 交分解及坐标运算的算法优化成为研 究热点，以提高运算效率和精度。
平面向量的正交分解及坐标表示、平面向量的坐标运算 课件
3．在基底确定的条件下，给定一个向量．它的坐标是 唯一的一对实数，给定一对实数，它表示的向量是否唯一？
提示：不唯一，以这对实数为坐标的向量有无穷多个， 这些向量都是相等向量．
4．向量可以平移，平移前后它的坐标发生变化吗？ 提示：不发生变化。向量确定以后，它的坐标就被唯 一确定，所以向量在平移前后，其坐标不变．
(2)设 c＝(x，y)，则 f(c)＝(y,2y－x)＝(4,5)， ∴y2＝y－4，x＝5， 解得xy＝＝43，， 即 c＝(3,4).
若向量|a|＝|b|＝1，且a＋b＝(1,0)，求a与b的坐标．
[解] 法一：设 a＝(m，n)，b＝(p，q)，则有
m2＋n2＝1， p2＋q2＝1， m＋p＝1， n＋q＝0，
[通一类] 1．已知 O 是坐标原点，点 A 在第一象限，|OA|＝4 3，
∠xOA＝60°， (1)求向量OA的坐标； (2)若 B( 3，－1)，求 BA的坐标． 解：(1)设点 A(x，y)，则 x＝4 3cos 60°＝2 3， y＝4 3sin 60°＝6，即 A(2 3，6)，OA＝(2 3，6)． (2) BA＝(2 3，6)－( 3，－1)＝( 3，7).
[点评] 法一利用模的概念和向量的坐标运算，通 过解方程组来求解，思路自然严谨；法二利用了“三角换 元”，借助三角公式简化了运算；法三利用了数形结合， 解法直观，简洁明了．
[小问题·大思维] 1．与坐标轴平行的向量的坐标有什么特点？ 提示：与x轴平行的向量的纵坐标为0，即a＝(x,0)；与y 轴平行的向量的横坐标为0，即b＝(0，y)． 2．已知向量 OM ＝(－1，－2)，M点的坐标与 OM 的 坐标有什么关系？ 提示：坐标相同但写法不同；OM ＝(－1，－2)，而 M(－1，－2)．
高中数学第二章平面向量2.3.2_2.3.3平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的坐标运算课件新人
AB
1.平面向量坐标的相关概念
【思考】 (1)正交分解与平面向量基本定理有何联系? 提示:正交分解是平面向量基本定理的特殊形式(基底垂直时). (2)向量的坐标就是其终点的坐标吗? 提示:不一定,以坐标原点O为始点的向量坐标就是该向量的终点坐标,如果向量 不是以坐标原点为始点,则向量坐标就跟终点坐标不同,而对同一向量或相等向 量(向量坐标相同),若选择不同的始点坐标,则终点坐标也不同.
【拓展延伸】
线段定比分点坐标公式如图所示,若点P是线段P1P2上不同于P1(x1,y1),P2(x2,y2)
的点,且满足 | P 1 P |
|PP2 |
=λ,即 P 1 P
=λP P 2
,则点P的坐标为(x1＋x2， y1＋y2).
1＋ 1＋
【拓展训练】 证明上述命题的正确性.
【补偿训练】 已知A(2,1),B(3,-1)及直线l:y=4x-5,直线AB与l相交于P点,求P点分 A B 的比 λ的值.
3.在平面直角坐标系xOy中,向量a,b,c的方向如图所示,且|a|=2,|b|=3,|c|=4, 分别计算出它们的坐标.
【解题策略】 求向量坐标的方法
(1)平移法:把向量的起点移至坐标原点,终点坐标即为向量的坐标. (2)求差法:先求出这个向量的始点、终点坐标,再运用终点坐标减去始点坐标 即得该向量的坐标.
【题组训练】 1.(2020·济宁高一检测)已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10).若 A P ＝ A B ＋ A C
(λ∈R),试求λ为何值时, (1)点P在一、三象限角平分线上. (2)点P在第三象限内.
2.已知点O(0,0),A(1,2),B(4,5),及 O P ＝ O A ＋ tA B .是否存在t值,使四边形OABP 为平行四边形?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
高中数学第二章平面向量2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算课件3新人教A版必修4
=(2,1).
(2)设点A(x,y)，则x＝ | OA | cos 60＝4 3cos 60＝2 3，
y＝ OA sin 60＝4 3sin 60＝6， 即 A 2 3,6 ， 所以
OA＝ 2 3,6 .
【方法技巧】平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进 行. (2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的 坐标运算. (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.
(x1+x2，y1+y2)； ①a+b= _______________ (x1-x2，y1-y2) ； ②a-b= _____________ (λx1，λy1) ③λa= ____________.
(2)重要结论：已知向量 y2)，则 的起点A(x1，y1)，终点B(x2，
(x2-x1，y2-y1) = _____________.
=(x-5,2-y+2)=(4,6)，解得x=9,
2.已知四边形ABCD为平行四边形，O为对角线AC,BD的交点， =(3,7), =(－2,1)．求 的坐标．
【解析】因为 DB AB －AD =(－2,1)－(3,7)=(－5,－6)，
1 5 所以 OB DB (－ ,－3). 2 2
(2)定义坐标：对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理 (x_______ ，y) xi+yj 则有序数对 知，有且只有一对实数x，y，使得a=_____. 叫做向量a的坐标. (3)特殊向量的坐标：i=(1，0)，j=(0，1)，0=(0，0).
3.平面向量的坐标运算
高中数学 第二章 平面向量 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3 平面向量的坐标运算1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.(难点)2.理解向量坐标的概念，掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.(重点)3.向量的坐标与平面内点的坐标的区别与联系.(易混点)[基础·初探]教材整理1 平面向量的正交分解及坐标表示 阅读教材P 94～P 95内容，完成下列问题. 1.平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. 2.平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.对于平面内的一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j ，我们把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y )，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，a ＝(x ，y )叫做向量的坐标表示.显然，i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，0＝(0,0).判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若OA →＝(2，－1)，则点A 的坐标为(2，－1).( )(2)若点A 的坐标为(2，－1)，则以A 为终点的向量的坐标为(2，－1).( ) (3)平面内的一个向量a ，其坐标是唯一的.( )【解析】 (1)正确.对于从原点出发的向量，其终点坐标与向量的坐标表示相同. (2)错误.以A 为终点的向量有无数个，它们不一定全相等. (3)正确.由平面向量坐标的概念可知. 【答案】 (1)√ (2)× (3)√ 教材整理2 平面向量的坐标运算阅读教材P 96“思考”以下至P 97例4以上内容，完成下列问题.1.若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和.2.若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差.3.若a ＝(x ，y )，λ∈R ，则λa ＝(λx ，λy )，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.4.向量坐标的几何意义：图2313在平面直角坐标系中，若A (x ，y )，则OA →＝(x ，y )，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1).如图2313所示.1.已知a ＝(2,1)，b ＝(3，－2)，则3a －2b 的坐标是( ) A.(0，－7) B.(0,7) C.(－1,3)D.(12，－1)【解析】 3a －2b ＝3(2,1)－2(3，－2) ＝(6,3)－(6，－4)＝(0,7). 【答案】 B2.已知A (3,1)，B (2，－1)，则BA →的坐标是( ) A.(－2，－1) B.(2,1) C.(1,2)D.(－1，－2) 【解析】 BA →＝(3,1)－(2，－1)＝(1,2). 【答案】 C[小组合作型]平面向量的坐标表示(1)已知AB →＝(1,3)，且点A (－2,5)，则点B 的坐标为( )A.(1,8)B.(－1,8)C.(3,2)D.(－3,2)(2)如图2314，在正方形ABCD 中，O 为中心，且OA →＝(－1，－1)，则OB →＝________；OC →＝________；OD →＝________.图2314图2315(3)如图2315，已知在边长为1的正方形ABCD 中，AB 与x 轴正半轴成30°角，求点B 和点D 的坐标和AB →与AD →的坐标.【精彩点拨】 表示出各点的坐标→用终点坐标减去起点坐标→得相应向量的坐标 【自主解答】 (1)设B 的坐标为(x ，y )，AB →＝(x ，y )－(－2,5)＝(x ＋2，y －5)＝(1,3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝1，y －5＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝8，所以点B 的坐标为(－1,8).(2)如题干图，OC →＝－OA →＝－(－1，－1)＝(1,1)， 由正方形的对称性可知，B (1，－1)，所以OB →＝(1，－1)， 同理OD →＝(－1,1).【答案】 (1)B (2)(1，－1) (1,1) (－1,1)(3)由题意知B, D 分别是30°，120°角的终边与以点O 为圆心的单位圆的交点.设B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2).由三角函数的定义，得x 1＝cos 30°＝32，y 1＝sin 30°＝12， 所以B ⎝⎛⎭⎪⎫32，12. x 2＝cos 120°＝－12，y 2＝sin 120°＝32， 所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.所以AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.求点、向量坐标的常用方法：(1)求一个点的坐标：可利用已知条件，先求出该点相对应坐标原点的位置向量的坐标，该坐标就等于相应点的坐标.(2)求一个向量的坐标：首先求出这个向量的始点、终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标.[再练一题]1.已知边长为2的正三角形ABC ，顶点A 在坐标原点，AB 边在x 轴上，C 在第一象限，D 为AC 的中点，分别求向量AB →，AC →，BC →，BD →的坐标. 【导学号：00680048】【解】 如图，正三角形ABC 的边长为2，则顶点A (0,0)，B (2,0)，C (2cos 60°，2sin 60°)， ∴C (1，3)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，∴AB →＝(2,0)，AC →＝(1，3)， BC →＝(1－2，3－0)＝(－1，3)， BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2，32－0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32.平面向量的坐标运算(1)设AB →＝(2,3)，BC →＝(m ，n )，CD →＝(－1,4)，则DA →等于( ) A.(1＋m,7＋n ) B.(－1－m ，－7－n )C.(1－m,7－n )D.(－1＋m ，－7＋n )(2)已知向量OA →＝(3，－2)，OB →＝(－5，－1)，则向量12AB →的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－4，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫4，－12C.⎝⎛⎭⎪⎫－1，－32 D.(8,1)(3)若A ，B ，C 三点的坐标分别为(2，－4)，(0,6)，(－8,10)，求AB →＋2BC →，BC →－12AC →的坐标.【精彩点拨】 (1)可利用向量加法的三角形法则将DA →分解为DC →＋CB →＋BA →来求解. (2)可借助AB →＝OB →－OA →来求12AB →坐标.(3)可利用AB →＝(x B －x A ，y B －y A )来求解. 【自主解答】 (1)DA →＝DC →＋CB →＋BA →＝－CD →－BC →－AB →＝－(－1,4)－(m ，n )－(2,3) ＝(－1－m ，－7－n ). (2)12A B →＝12(OB →－OA →) ＝12[]－5，－－，－＝12(－8,1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，12，∴12AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，12. 【答案】 (1)B (2)A(3)∵AB →＝(－2,10)，BC →＝(－8,4)，AC →＝(－10,14)， ∴AB →＋2BC →＝(－2,10)＋2(－8,4) ＝(－2,10)＋(－16,8) ＝(－18,18)， BC →－12AC →＝(－8,4)－12(－10,14)＝(－8,4)－(－5,7) ＝(－3，－3).平面向量坐标的线性运算的方法：若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行.若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算.向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.[再练一题]2.已知a ＝(－1,2)，b ＝(2,1)，求： (1)2a ＋3b ；(2)a －3b ；(3)12a －13b .【解】 (1)2a ＋3b ＝2(－1,2)＋3(2,1) ＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7).(2)a －3b ＝(－1,2)－3(2,1)＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1). (3)12a －13b ＝12(－1,2)－13(2,1) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23，13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－76，23. [探究共研型]向量坐标运算的综合应用探究1 已知点O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)，及OP →＝OA →＋tAB →.当t 为何值时，点P 在x 轴上？点P 在y 轴上？点P 在第二象限？【提示】 ∵OP →＝OA →＋tAB →＝(1,2)＋t (3,3)＝(1＋3t,2＋3t ). 若点P 在x 轴上，则2＋3t ＝0， ∴t ＝－23.若点P 在y 轴上，则1＋3t ＝0， ∴t ＝－13.若点P 在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t <0，2＋3t >0，∴－23<t <－13.探究2 对于探究1条件不变，四边形OABP 能为平行四边形吗？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由.【提示】 ∵OA →＝(1,2)，PB →＝(3－3t,3－3t ). 若四边形OABP 为平行四边形， 则OA →＝PB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－3t ＝1，3－3t ＝2，该方程组无解.故四边形不能成为平行四边形.已知点A (2,3)，B (5,4)，C (7,10).若A P →＝A B →＋λA C →(λ∈R )，试求λ为何值时，(1)点P 在一、三象限角平分线上；(2)点P 在第三象限内. 【导学号：70512032】【精彩点拨】 解答本题可先用λ表示点P 的横、纵坐标，再根据条件列方程或不等式求解.【自主解答】 设点P 的坐标为(x ，y )， 则A P →＝(x ，y )－(2,3)＝(x －2，y －3)，A B →＋λ·A C →＝(5,4)－(2,3)＋λ[(7,10)－(2,3)]＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ). ∵A P →＝A B →＋λA C →， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝3＋5λ，y －3＝1＋7λ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋5λ，y ＝4＋7λ.(1)若P 在一、三象限角平分线上， 则5＋5λ＝4＋7λ，∴λ＝12，∴λ＝12时，点P 在一、三象限角平分线上.(2)若P 在第三象限内，则⎩⎪⎨⎪⎧5＋5λ<0，4＋7λ<0，∴λ<－1.当λ<－1时，点P 在第三象限内.1.解答本题可用待定系数法.此法是最基本的数学方法之一，实质是先将未知量设出来，建立方程(组)求出未知数的值，是待定系数法的基本形式，也是方程思想的一种基本应用.2.坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量.由此可建立相等关系求某些参数的值.[再练一题]3.向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图2316所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝________.图2316【解析】 以向量a 的终点为原点，过该点的水平和竖直的网格线所在直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，设一个小正方形网格的边长为1，则a ＝(－1,1)，b ＝(6,2)，c ＝(－1，－3).由c ＝λa ＋μb ，即(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，得－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，故λ＝－2，μ＝－12，则λμ＝4.【答案】 41.已知OA →＝(4,8)，OB →＝(－7，－2)，则3AB →＝( ) A.(－9,18) B.(9，－18) C.(－33，－30)D.(33,30)【解析】 3AB →＝3(OB →－OA →)＝3[(－7，－2)－(4,8)]＝(－33，－30). 【答案】 C2.若a ＝(2,1)，b ＝(1,0)，则3a ＋2b 的坐标是( ) A.(5,3) B.(4,3) C.(8,3)D.(0，－1)【解析】 3a ＋2b ＝3(2,1)＋2(1,0)＝(8,3). 【答案】 C3.若向量AB →＝(1,2)，BC →＝(3,4)，则AC →等于( ) A.(4,6) B.(－4，－6) C.(－2，－2)D.(2,2)【解析】 由AC →＝AB →＋BC →＝(1,2)＋(3,4)＝(4,6).故选A. 【答案】 A4.已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为________.【导学号：00680049】【解析】 AB →＝(3，－4)，则与AB →同方向的单位向量为AB →|AB →|＝15(3，－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－455.已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，CM →＝3CA →，CN →＝2CB →，求MN →的坐标. 【解】 因为A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，所以CA →＝(－2＋3,4＋4)＝(1,8)， CB →＝(3＋3，－1＋4)＝(6,3)，所以CM →＝3CA →＝(3,24)，CN →＝2CB →＝(12,6).设M (x ，y )，则CM →＝(x ＋3，y ＋4)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝3，y ＋4＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝20，所以M (0,20)，同理可得N (9,2)， 所以MN →＝(9－0,2－20)＝(9，－18).。
高中数学 第2章 第19课时 平面向量的正交分解及坐标表示、平面向量的坐标运算课件 新人教A版必修4
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分析：题目(1)中给出了点的坐标，可运用终点坐标减去起点坐 标得到相应向量的坐标，然后再进行运算；题目(2)中分别给出了两 向量的坐标，欲求 a，b 的和，差或数乘向量的坐标，可根据向量 的直角坐标运算法则进行．
正交分解．
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【练习 1】 如图所示，在矩形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O， 下列是正交分解的是( )
A.A→B＝O→B－O→A B.B→D＝A→D－A→B C.A→D＝A→B＋B→D D.A→B＝A→C＋C→B
答案：B
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知识点二 平面向量的坐标表示
阅读教材 P95“思考”及以下内容，完成下列问题． 在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个
(2)已知 A(x1，y1)，B(x2，y2)则A→B＝O→B－O→A＝(x2，y2)－(x1，y1)
＝(x2－x1，y2－y1)，即一个向量的坐标等于该向量的 终点 的坐标
减去始点的坐标．
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【练习 3】 (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．( × ) (2)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐 标．( √ ) (3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关．( × )
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3 新课堂·互动探究 考点一 平面向量的坐标表示 例 1 在直角坐标系 xOy 中，向量 a，b，c 的方向如图所示，且 |a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，分别计算出它们的坐标．
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人教版高中数学2平面向量的正交分解及坐标表示-运算 (共21张PPT)教育课件
CD2i 3j
y
yj a 分别取与x轴、y轴方向相同的两
个单位向量i、j作为基底.
j Oi
xi
x
任作一个向量a,由平面向量基本 定理知,有且只有一对实数x、 y,
使得
a= x i+y j 把(x,y)叫做向量a的坐标，记作
a = ( x, y ) 其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫 做a在y轴上的坐标
凡 事都 是多棱 镜， 不同 的角 度会
凡 事都是 多棱 镜， 不同 的角度 会看 到不 同的 结果 。若 能把一 些事 看淡 了， 就会 有个好 心境 ，若 把很 多事 看开 了 ，就会 有个 好心 情。 让聚散 离合 犹如 月缺 月圆 那样 寻常， 让得 失利 弊犹 如花 开花谢 那样 自然 ，不 计较 ，也 不 刻意执 着； 让生 命中 各种的 喜怒 哀乐 ，就 像风 儿一 样，来 了， 不管 是清 风拂 面，还 是寒 风凛 冽， 都报 以自 然 的微笑 ，坦 然的 接受 命运的 馈赠 ，把 是非 曲折 ，都 当作是 人生 的
: 其实兴趣真的那么重要吗？很多事情我 们提不 起兴趣 可能就 是运维 我们没 有做好 。想想 看，如 果一件 事情你 能做好 ，至少 做到比 大多数 人好， 你可能 没有办 法岁那 件事情 没有兴 趣。再 想想看 ，一个 刚来到 人世的 小孩， 白纸一 张，开 始什么 都不会 ，当然 对事情 开始的 时候也 没有 兴趣这 一说了 ，随着 年龄的 增长， 慢慢的 开始做 一些事 情，也 逐渐开 始对一 些事情 有兴趣 。通过 观察小 孩的兴 趣，我 们可以 发现一 个规律 ，往往 不是有 了兴趣 才能做 好，而 是做好 了才有 了兴趣 。人们 总是搞 错顺序 ，并对 错误豪 布知晓 。尽管 并不绝 对是这 样，但 大多数 事情都 需要熟 能生巧 。做得 多了， 自然就 擅长了 ；擅长 了，就 自然比 别人做 得好； 做得比 别人好 ，兴趣 就大起 来，而 后就更 喜欢做 ，更擅 长，更 。。更 良性循 环。教 育小孩 也是如 此，并 不是说 买来一 架钢琴 ，或者 买本书 给孩子 就可以 。事实 上，要 花更多 的时间 根据孩 子的情 况，选 出孩子 最可能 比别人 做得好 的事情 ，然后 挤破脑 袋想出 来怎样 能让孩 子学会 并做到 很好， 比一般 人更好 ，做到 比谁都 好，然 后兴趣 就自然 出现了 。
9高中数学“平面向量正交分解与坐标表示”知识点全解析
高中数学“平面向量正交分解与坐标表示”知识点全解析一、引言平面向量的正交分解与坐标表示是向量运算的重要组成部分，对于理解向量的本质和性质，以及解决向量相关问题具有重要意义。
本文将详细解析“平面向量正交分解与坐标表示”相关知识点，帮助同学们更好地掌握这一内容。
二、正交分解定理在平面内，一个向量可以按照两个相互垂直的方向进行分解，这种分解称为正交分解。
根据平面向量基本定理，平面内的任意向量都可以由两个不共线的向量线性表示。
特别地，如果选取的两个向量相互垂直，那么这种表示就是正交分解。
正交分解定理：如果e1、e2是同一平面内的两个相互垂直的单位向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数x、y，使得a = x e1 + y e2。
其中，x、y分别称为向量a在e1、e2方向上的投影或坐标。
三、坐标表示法在平面直角坐标系中，我们可以选择两个坐标轴上的单位向量i和j作为基底，则平面内任意向量a可以表示为a = xi + yj，其中x和y分别为向量a在x轴和y轴上的投影长度，也称为向量a的坐标。
这种表示方法称为向量的坐标表示法。
通过坐标表示法，我们可以方便地进行向量的加减、数乘和数量积等运算。
例如，设有两个向量a = (x1, y1)和b = (x2, y2)，则它们的加法运算可以表示为a + b = (x1 + x2, y1 + y2)，数乘运算可以表示为λa = (λx1, λy1)，数量积可以表示为a·b = x1x2 + y1y2。
四、正交分解与坐标表示的关系正交分解与坐标表示之间存在密切关系。
实际上，正交分解是坐标表示的基础，而坐标表示是正交分解的具体实现。
在平面直角坐标系中，我们可以选择两个相互垂直的坐标轴作为基底，将任意向量表示为两个分量的线性组合，即实现了向量的正交分解。
同时，这两个分量恰好就是向量在坐标轴上的投影长度，即向量的坐标。
因此，正交分解与坐标表示是相互依存、相互促进的两个概念。
(2021年整理)平面向量的正交分解和坐标表示及运算
平面向量的正交分解和坐标表示及运算编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（平面向量的正交分解和坐标表示及运算）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为平面向量的正交分解和坐标表示及运算的全部内容。
平面向量的正交分解和坐标表示及运算教学目的：(1）理解平面向量的坐标的概念; （2）掌握平面向量的坐标运算；(3）会根据向量的坐标,判断向量是否共线。
教学重点:平面向量的坐标运算教学难点:向量的坐标表示的理解及运算的准确性. 教学过程： 一、复习引入:1．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e（1）我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； （2）基底不惟一，关键是不共线;(3）由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (4）基底给定时,分解形式惟一。
λ1,λ2是被a，1e ,2e 唯一确定的数量二、讲解新课:同学们,我们知道，向量的概念是从物理中抽象出来的，人们最初对向量的研究是从几何的的角度来进行的,但是随着问题的不断深入，我们发现用图形来研究向量有一些不便之处,那么，有没有一种更简洁的方式可以来表示向量呢？我国著名数学家华罗庚先生说过:“数无形，少直观；形无数，难入微。
"图形关系往往与某些数量关系密切联系在一起，数与形是互相依赖的，所以我们想到了用数来表示向量。
思路一：用一个数能否表示向量？(请学生回答） （不能，因为向量既有大小，又有方向）思路二：用两个数能否表示向量？（引导学生思考）在平面直角坐标系内，一个点和一对有序实数对之间有一一对应的关系,那么,向量是否也能找到与之对应的实数呢？让我们先来探讨这样一个问题:探究一:如图，,i j 为互相垂直的单位向量，请用,i j 表示图中的向量,,,.a b c d请学生动手完成并回答：根据向量加法的几何意义，我们只要把a 分解在,i j 的方向上,就可得到：33a i j =+，同理可得2b i j =-+33c i j =+ 42d i j =-我们用,i j 来表示a 的这种形式是否唯一？根据是什么？(提问学生）由此复习平面向量基本定理:如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数12λλ，，使1122=a e e λλ+，其中的1e ,2e 称为平面的一组基底.强调:基底不唯一，只要不共线,就可作为基底，而一旦基底选定,任一向量在基底方向的分解形式就是唯一的.二、理解概念，加深认识。
平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量的坐标运算 平面向量共线的坐标表示 课件(19张)
第二章 平面向量
题点知识巩固
数学 必修4 A
第二章 平面向量
知识点一 平面向量的正交分解及坐标表示
1．如果用 i，j 分别表示 x 轴和 y 轴正方向上的单位向量，
且 A(2,3)，B(4,2)，则A→B可以表示为( )
A．2i＋3j
B．4i＋2j
C．2i－j
D．－2i＋j
解析：选 C 记 O 为坐标原点，则O→A＝2i＋3j，O→B＝4i＋
故选 D.数学 必修4 A第 Nhomakorabea章 平面向量
4．(2019·重庆八中高一期末)在▱ABCD 中，A＝(1,2)，B＝
(3,5)，A→D＝(－1,2)，则A→C＋B→D＝( )
A．(－2,4)
B．(4,6)
C．(－6，－2)
D．(－1,9)
解析：选 A 在▱ABCD 中，因为 A＝(1,2)，B＝(3,5)，所以
又 A，B，C 三点共线， 所以A→B∥A→C，所以(4－k)(k－12)＋7(10－k)＝0， 解得 k＝－2 或 k＝11. 所以当 k＝－2 或 11 时，A，B，C 三点共线．
数学 必修4 A
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知识点三 平面向量共线的坐标表示
6．已知点 A(1,1)，B(4,2)和向量 a＝(2，λ)，若 a∥A→B，则
实数 λ 的值为( )
A．－23
B．32
2 C.3
D．－23
解析：选 C 根据 A，B 两点的坐标，可得A→B＝(3,1)，
∵a∥A→B，∴2×1－3λ＝0，解得 λ＝32，故选 C.
数学 必修4 A
为( )
A.2，72 C．(3,2)
B．2，－12 D．(1,3)
课件8：2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示~2.3.3平面向量的坐标运算
跟踪训练
2．已知 A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且C→M＝3C→A， C→N＝2C→B，求 M、N 的坐标和M→N的坐标．
解：因为 A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，所以C→A＝(1,8)，C→B＝(6,3)． 设 M＝(x，y)，则C→M＝(x＋3，y＋4)．由C→M＝3C→A得(x＋3，y＋4)＝3(1,8)， 即xy＋＋34＝＝32，4， 解得xy＝＝02，0， 即 M(0,20)． 同理可得 N(9,2)，所以M→N＝(9，－18).
∴xy－＋34＝＝－4－2－2y，2x，
解得 x＝13， y＝0，
∴P 点的坐标为13，0.
【正确解答】由|A→P|＝2|P→B|知A→P＝2P→B或A→P＝－2P→B.设 P 点的坐标为(x，y)．
当A→P＝2P→B时，得(x－3，y＋4)＝2(－1－x,2－y)，
∴xy－＋34＝＝－4－2－2y，2x，
基础梳理
一、平面向量的坐标表示 1．向量的正交分解：把一个向量分解为两个 互相垂直单位向量 的向量， 叫做把向量正交分解． 2．向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个 i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y使得a＝__xi_＋__y_j __， 则有序数对 (x，y) 叫做向量a的坐标，记作a＝ (x，y) ，其中x叫做a在x轴上的坐标， y叫做a在y轴上的坐标．
(2)在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点 坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．
(3)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．
【特别提醒】(1)进行平面向量坐标运算前，先要分清向量坐标与向量起点、 终点的关系． (2)要注意用坐标求向量的模与用两点间距离公式求有向线段的长度是一样的． (3)要清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关， 只与其相对位置有关．
高中数学第2章平面向量2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算
【跟踪训练 2】 (1)已知 a＝(1,2)，b＝(－3,4)，求向量 a＋b，a－b,3a－4b 的坐标；
(2)已知 A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且C→M＝3C→A， C→N＝2C→B，求 M，N 及M→N的坐标．
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解 (1)a＋b＝(1,2)＋(－3,4)＝(－2,6)， a－b＝(1,2)－(－3,4)＝(4，－2) 3a－4b＝3(1,2)－4(－3,4)＝(3,6)－(－12,16)＝(15，－ 10)． (2)解法一：由 A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)， 可得C→A＝(－2,4)－(－3，－4)＝(1,8)，C→B＝(3，－1)－ (－3，－4)＝(6,3)，
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解 由题知 B，D 分别是 30°，120°角的终边与单位圆
的交点．设 B(x1，y1)，D(x2，y2)．由三角函数的定义，得
x1＝cos30°＝ 23，y1＝sin30°＝12，∴B 23，12.
x2＝cos120°＝－12，y2＝sin120°＝ 23，
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∵A→P＝A→B＋λA→C， ∴xy－ －23＝ ＝31＋ ＋57λλ， ， ∴xy＝ ＝54＋ ＋57λλ，. (1)若 P 在一、三象限角平分线上，则 5＋5λ＝4＋7λ. ∴λ＝12.
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(2)若 P 在第三象限内，则54＋ ＋57λλ<<00， ， ∴λ<－1. ∴λ＝12时，点 P 在第一、三象限角平分线上；λ<－1 时， 点 P 在第三象限内．
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高中数学第二章平面向量平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的坐标运算平面向量共线的坐标表示课件新人教
2．归纳总结，核心必记 (1)平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正
交分解． (2)平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两
法二：假设 a，b 不共线，则由(a＋2b)∥(2a－2b)可得 a ＋2b＝μ(2a－2b)，从而12＝＝2－μ，2μ，方程组显然无解，即 a＋ 2b 与 2a－2b 不共线，这与(a＋2b)∥(2a－2b)矛盾，从而假设 不成立，故应有 a，b 共线，所以1λ＝21，即 λ＝12.
∴(4－k，－7)＝λ(10－k，k－12)， 即4－－7k＝＝λ（λ（k－10－ 12k）），，解得 k＝－2 或 k＝11. ∴当 k＝－2 或 11 时，A、B、C 三点共线．
讲一讲
2．(1)已知向量 a，b 的坐标分别是(－1，2)，(3，－5)，
求 a＋b，a－b，3a，2a＋3b 的坐标；
(2)已知 A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且
，
，求 M，N 及 的坐标．
[尝试解答] (1)a＋b＝(－1，2)＋(3，－5)＝(2，－3)， a－b＝(－1，2)－(3，－5)＝(－4，7)， 3a＝3(－1，2)＝(－3，6)， 2a＋3b＝2(－1，2)＋3(3，－5) ＝(－2，4)＋(9，－15) ＝(7，－11)．
个单位向量i、j 作为基底．对于平面内的一个向量 a，有且只 有一对实数 x、y，使得 a＝xi＋yj，则 (x，y)叫做向量 a 的 坐标，记作 a＝(x，y) ，此式叫做向量的坐标表示．
(3)向量 i，j，0 的坐标表示
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＝(x2－x1，y2－y1)，即一个向量的坐标等于该向量的 终点 的坐标
减去始点的坐标．
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【练习 3】 (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．( × ) (2)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐 标．( √ ) (3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关．( × )
(2)已知点 O 是坐标原点，点 A 在第一象限，|O→A|＝4 3，∠xOA ＝60°，求向量O→A的坐标．
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解析：(1)O→C＝－O→A＝(－1)×(－1，－1)＝(1,1)．
由正方形的对称性得 B(1，－1)，
∴O→B＝(1，－1)，同理O→D＝(－1,1)．
(2)如图所示，利用三角函数的定义，可得：
正交分解．
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3
【练习 1】 如图所示，在矩形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O， 下列是正交分解的是( )
A.A→B＝O→B－O→A B.B→D＝A→D－A→B C.A→D＝A→B＋B→D D.A→B＝A→C＋C→B
答案：B
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知识点二 平面向量的坐标表示
阅读教材 P95“思考”及以下内容，完成下列问题． 在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个
(2)两向量相等的等价条件是它们对应的坐标相等． (3)要把点的坐标与向量的坐标区别开来，相等的向量的坐标是 相同的，但起点和终点的坐标却可以不同． (4)符号(x，y)在直角坐标系中有两重意义，它既可以表示一个 固定的点，又可以表示一个向量，为了加以区分，在叙述中，就常 说点(x，y)或向量(x，y).
形式，然后写出其相应的坐标．
解析：设 a＝(x1，y1)， 则 x1＝2·cos45°＝ 2，y1＝2·sin45°＝ 2， ∴a＝( 2， 2)．
设 b＝(x2，y2)，
则 x2＝3·cos120°＝－32，y2＝3·sin120°＝323，
∴b＝－32，3 2 3. 设 c＝(x3，y3)，
x3＝4·cos330°＝2 3，y3＝4·sin330°＝－2， ∴c＝(2 3，－2)．
答案：i＝(1,0)，j＝(0,1)，O＝(0,0)．与 x 轴平行的向量的纵坐 标为 0，与 y 轴平行的向量横坐标为 0.
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知识点三 平面向量的坐标运算
阅读教材 P96～P97，完成下列问题． (1)已知向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)和实数 λ，那么 a＋b
＝(x1＋x2，y1＋y2) ；a－b＝(x1－x2，y1－y2) ；λa＝(λx1，λy1) ．
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1
目标导航 1．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．(重点) 2．会利用平面向量的坐标进行向量的加法、减法与数乘运算．(难 点)
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2
1 新知识·预习探究 知识点一 平面向量的正交分解
阅读教材 P94 最后一段～P95“思考”以上内容，完成下列问题．
把一个向量分解为 两个互相垂直 的向量，叫做把向量
(4)点的坐标与向量的坐标相同．( × )
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8
2 新视点·名师博客 对平面向量坐标的几点认识：
(1)设O→A＝xi＋yj(O 为坐标原点)，则向量O→A的坐标(x，y)就是 终点 A 的坐标；反过来，终点 A 的坐标就是向量O→A的坐标(x，y)．因 此，在直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一个有序实数对唯 一表示，即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的．
(2)设向量 a，b 的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，求 a＋b，a－ b,3a,2a＋3b 的坐标．
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分析：题目(1)中给出了点的坐标，可运用终点坐标减去起点坐 标得到相应向量的坐标，然后再进行运算；题目(2)中分别给出了两 向量的坐标，欲求 a，b 的和，差或数乘向量的坐标，可根据向量 的直角坐标运算法则进行．
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解析：(1)由题知A→B＝(3,1)，B→C＝(1，－4)， ∴A→D＝2A→B－3B→C＝2(3,1)－3(1，－4)＝(3,14)． 又∵A→D＝O→D－O→A， ∴O→D＝A→D＋O→A＝(3,14)＋(－1,2)＝(2,16)． 即点 D 的坐标为(2,16)． (2)a＋b＝(－1,2)＋(3，－5)＝(－1＋3,2－5)＝(2，－3)； a－b＝(－1,2)－(3，－5)＝(－1－3,2＋5)＝(－4，7)； 3a＝3(－1,2)＝(－3,6)； 2a＋3b＝2(－1,2)＋3(3，－5)＝(－2,4)＋(9，－15)＝(－2＋9,4 －15)＝(7，－11)．
sin60°＝
y →
，cos60°＝
x →
，
|OA|
|OA|
所以 y＝|O→A|·sin60°＝4 3× 23＝6，
x＝|O→A|·cos60°＝4 3×12＝2 3，
∴A(2 3，6)，
∴O→A＝(2 3，6)．
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考点二 平面向量的坐标运算
例 2 (1)已知 A(－1,2)，B(2,3)，C(3，－1)，且A→D＝2A→B－3B→C， 求点 D 的坐标；
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3 新课堂·互动探究 考点一 平面向量的坐标表示 例 1 在直角坐标系 xOy 中，向量 a，b，c 的方向如图所示，且 |a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，分别计算出它们的坐标．
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分析：题目中给出了向量 a、b、c 的模以及与坐标轴的夹角，
要求向量的坐标，先将向量正交分解，把它们分解为横、纵坐标的
单位向量 i，j 作为基底，对于平面内的一个向量 a，有且只有一对
实数 x，y 使 a＝xi＋yj，我们把有序实数对 (x，y)叫做向量 a 的坐 标，记作 a＝(x，y) ，其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标，y 叫做 a 在 y
轴上的坐标．完整版ppt来自5【练习 2】 i，j，O 的坐标分别是什么？与坐标轴平行的向 量的坐标有什么特点？
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点评：向量的坐标表示是向量的另一种表示方法，从以下两个 方面考虑：一是相等向量的坐标相同，二是当向量的始点在原点时， 终点坐标即为向量的坐标．
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变式探究 1 (1)如图所示，在正方形 ABCD 中，O 为中心， 且O→A＝(－1，－1)，试求O→B、O→C、O→D的坐标．