2020高考终极大杀招之最可能考的88道小题-78-88线性规划与函数(解析版)

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(文科数学)2020高考数学复习专题03+线性规划与三角函数小题-冲刺高考最后一个月(文科数学)名师押题高端

专题03 线性规划与三角函数（文）一.线性规划小题（一）命题特点和预测：分析近8年的高考试题发现，线性规划8年8考，每年1题，主要考查利用数形结合思想解简单的线性规划问题，是基础题，少数年份考线性规划应用题和含参数得线性规划问题，难度较大.2019年仍将重点考查目标函数为线性的规划问题，也可能考查含参数的线性规划问题和线性规划应用题，要做好这方面问题的复习和训练．（二）历年试题比较：年份题目答案2018年（14）若，满足约束条件，则的最大值为_____________．6 2017年（7）设x ，y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则z =x +y 的最大值为A ．0B ．1C ．2D ．3D2016年（16）某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元。

该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为元.2160002015年（15）若x ,y 满足约束条件,则z =3x +y 的最大值为．42014年(11)设,x y ，y 满足约束条件1x y ax y +≥⎧⎨-≤-⎩，且z x ay =+的最小值为7，则aA.-5B.3C.-5或3D.5或-3B2013年（14）设x ，y 满足约束条件则z ＝2x －y 的最大值为______．32012年（5）已知正三角形ABC 的顶点A(1,1)，B (1,3)，顶点C 在第一象限，若点（x ，y ）在△ABC 内部，则z x y =-+的取值范围是（A ）(1－3，2) （B ）(0，2)（C ）(3－1，2) （D ）(0，1+3)2011年（14）若变量,x y 满足约束条件,则2z x y =+的最小值为 .-6【解析与点睛】（2018年）【解析】根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：由可得，画出直线，将其上下移动，结合的几何意义，可知当直线过点B 时，z 取得最大值，由，解得，此时，故答案为6.（2017年）【解析】如图，作出不等式组表示的可行域，则目标函数z x y =+经过(3,0)A 时z 取得最大值，故，故选D ．【名师点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数的最值取法或值域范围．（2016年）【解析】设生产产品A 、产品B 分别为x 、y 件，利润之和为z 元，那么由题意得约束条件即目标函数.作出二元一次不等式组①表示的平面区域，即可行域，如图中阴影部分所示.将变形，得，作直线：73y x =-并平移，当直线经过点M 时，z 取得最大值.解方程组，得M 的坐标为(60,100).所以当60x =，100y =时，.故生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为216000元.（2015年）【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线0l ：30x y +=，平移直线0l ，当直线l :z =3x +y 过点A 时，z 取最大值，由解得A （1,1），∴z =3x +y 的最大值为4.（2014年）【解析】当a ＞0时，作出可行域如图1中阴影部分所示，作出直线0l ：0x ay +=，平移直线0l ，由图知，l ：z x ay =+过点A 时，z x ay =+取最小值；当a ＜0时，作出可行域如图2中阴影部分所示，作出直线0l ：0x ay +=，平移直线0l ，由图知，z x ay=+无最小值；由1x y a x y +=⎧⎨-=-⎩解得A （12a -，12a +），故=7，解得a =-5（舍）或a =3,故选 B.（2013年）【解析】画出可行域如图所示．画出直线2x －y ＝0，并平移，当直线经过点A (3,3)时，z 取最大值，且最大值为z ＝2×3－3＝3. （2012年）【解析】由题设知C(1+3,2)，作出直线0l ：0x y -+=，平移直线0l ，有图像知，直线过B 点时，max z =2，过C 时，min z =13-，∴z x y =-+取值范围为(1－3，2)，故选A.（2011年）【解析】作出可行域与目标函数，由图知，目标函数过A 点时，2z x y =+取最小值，解239x y x y +=⎧⎨-=⎩得A(4，－5)， =－6.（三）命题专家押题题号试题1. 若，满足约束条件，则的最大值为（）A．2 B．3 C．4 D．52. 设，满足约束条件，则的最小值是__________．3 若满足，则的取值范围为______．4 若变量，满足约束条件，则的最大值是（）A．1 B．2 C．3 D．45 已知实数满足，则的取值范围是（）A．B．C．D．6 已知实数满足则的取值范围为( )A．B．C．D．7 设m为实数，若，则m的最大值是____．8 若，满足不等式组，则成立的概率为A．B．C．D．9 某企业生产甲、乙两种产品均需要，两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）甲乙原料限额（吨） 3 2 10（吨） 1 2 6A．10万元B．12万元C．13万元D．14万元10 若变量，满足约束条件，且最小值为7，则的值为（）A．1 B．2 C．-2 D．-1【详细解析】1.【答案】D【解析】由题意，作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，目标函数，可化为直线，当经过点A时，直线在y轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值，又由，解得，即，所以目标函数的的最大值为，故选D.2.【答案】4【解析】画出可行域如图（阴影部分），由得，平移直线，由图象可知当直线经过点A时，直线在y轴的截距最小，此时z最小．由，解得，即A（1，2），代入目标函数得z=2×1+2=4．即目标函数的最小值为4．3.【答案】[1，2]【解析】作出可行域如下图阴影部分所示，令，则，可知的取值范围即为直线在轴截距的取值范围由平移可知如图，当直线经过点时，截距最小；当与重合时，截距最大，，，4.【答案】D【解析】作可行域，如图，则直线过点A(-1,-1)时取最小值-4，过点时取最大值2，因此的最大值是4,选D.5.【答案】B【解析】画出可行域如下图所示，表示可行域内点到原点距离的平方，由图可知，最短距离平方为，最大距离平方为，故取值范围是，故选B.6.【答案】D【解析】作出不等式组对应的平面区域,如图阴影部分所示：z表示动点P（x，y）与定点A（3，1）连线的斜率．当连线经过B时斜率最大，此时,解B(8,5)则z，当连线经过C时斜率最小，此时,解C(8,-1)，则z，故的取值范围为，故选D7.【答案】【解析】设，，显然点集表示以原点为圆心，5为半径的圆及圆的内部，点集是二元一次不等式组表示的平面区域，如图所示，作图可知，边界交圆于点，边界恒过原点，要求的最大值，故直线必须单调递减，因为，所以当过图中B点时，取得最大，联立方程组，解得，故，即。

数学线性规划试题答案及解析

数学线性规划试题答案及解析1.在平面直角坐标系中，为不等式组所表示的区域上一动点，则直线斜率的最小值为 .【答案】【解析】不等式组表示的区域如图，当取得点时，直线斜率取得最小，最小值为．故选C．2.若实数满足其中，若使得取得最小值的解有无穷多个，则等于．【答案】2．【解析】表达式可看成是定点与动点连线斜率（点在所给不等式组表示的平面区域内），如图，动直线过定点，为使满足题意的点有无穷多个，此时直线应过，从而【考点】本题考查含参数的二元一次不等式组表示平面区域等知识，意在考查画图、用图及计算能力.3.设实数满足条件，则的最大值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】画出可行域，如图所示，目标函数变形为，直线经过可行域，尽可能地向下平移经过点时取到最大值，即的最大值为.【考点】本题考查线性规划等基础知识，意在考查学生数形结合思想的运用能力和基本运算能力．4.已知实数满足：，则的最小值为 .【答案】【解析】画出可行域及直线..，如图所示.平移直线，当经过点时，直线的纵截距最大，所以，．【考点】本题考查简单线性规划的应用等知识，意在考查作图、识图、用图的能力及数形结合思想．5.某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z＝ () A．4 650元B．4 700元C．4 900元D．5 000元【答案】C【解析】设派用甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，则，目标函数z＝450x＋350y，画出可行域如图，当目标函数经过A(7,5)时，利润z最大，为4 900元6.若x，y满足约束条件则z＝3x－y的最小值为________．【答案】－1【解析】本小题主要考查线性规划最优解的应用，解题的突破口是正确作出可行域和平移目标函数曲线．利用不等式组，作出可行域，则目标函数直线过(0,1)时，z取最小值－1.7.已知变量满足约束条件，若的最大值为，则实数 .【答案】或（对1个得3分，对2个得5分）【解析】利用线性规划的知识画出不等式组表示的可行域如下图所示:其中点,根据线性规划的知识可得目标函数的最优解在只能是,当目标函数在点A处取得最优解时,有符合题意,当目标函数在点B处取得最优解时, 符合题意,当目标函数在C点取得最优解时, 无解,所以或,故填或.8.已知点满足约束条件，为坐标原点，则的最大值为．【答案】5【解析】作出可行域，得到当位于时，最大，其值为5.9.浙江理）设，其中实数满足，若的最大值为12，则实数________。

数学线性规划试题答案及解析

数学线性规划试题答案及解析1.若变量满足则点表示区域面积为．【答案】1.【解析】令，则代入原不等式组可得点满足的不等式组画出图形可得点表示的区域为图中的，由得，在中分别令得．【考点】本题考查二元一次不等式组表示平面区域知识，意在考查画图、用图及计算能力.2.已知实数x，y满足若，则的最大值为时，的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】画出可行域，如图所示，，表示可行域内的点到原点距离的平方，由图可知，点B到原点的距离最大，故，解得（舍去）或．【命题意图】本题考查线性规划等基础知识，意在考查学生数形结合思想的运用能力和基本运算能力．3.设实数满足条件，则的最大值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】画出可行域，如图所示，目标函数变形为，直线经过可行域，尽可能地向下平移经过点时取到最大值，即的最大值为.【考点】本题考查线性规划等基础知识，意在考查学生数形结合思想的运用能力和基本运算能力．4.已知实数满足则的取值范围为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】，表示可行域内的点和定点连线的斜率，可行域如下图所示，点，点，故，故斜率范围是，故的取值范围是．【命题意图】本题考查线性规划等基础知识，意在考查学生数形结合思想的运用能力和基本运算能力．5.已知实数满足：，则的最小值为 .【答案】【解析】画出可行域及直线..，如图所示.平移直线，当经过点时，直线的纵截距最大，所以，．【考点】本题考查简单线性规划的应用等知识，意在考查作图、识图、用图的能力及数形结合思想．6.设实数满足不等式组若为整数，则的最小值是A．14B．16C．17D．19【答案】 B【解析】作出可行域，，为整数，所以，故选.7.设变量x、y满足约束条件，则目标函数的最小值为（）A．1B． 6C．12D．3【答案】D【解析】根据画出可行域及直线（如图），平移直线，当直线经过点A（1,1）时，的最小值为3，故选D.8.若实数满足，则的值域是 .【答案】[1,9]【解析】首先画出可行域（如图），直线，平移直线知，过时，最小值为0，过点时，的最大值为2；根据指数函数是单调增函数，即可得到的值域为[1,9].9.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨。

2020届高考数学考前预测线性规划与函数(原卷版)

线性规划与函数78-88（解析版）15、线性规划小题★★★★十年考情：全国卷线性规划题考的比较基础，一般不与其它知识结合，不象部分省区的高考向量题侧重于与其它知识交汇，如和平面向量、基本不等式、解析几何等交汇．这种组合式交汇意义不大，不利于考查基本功．由于线性规划的运算量相对较大，难度不宜太大，不过为了避免很多同学解出交点代入的情况估计会加大“形’的考察力度，有可能通过目标函数的最值作为条件反求可行域内的参数问题(但近几年全国卷未出现此类题型，感觉今年出现的可能性也不大），或者利用一些含有几何意义的目标函数（斜率、距离等），如2015 年新课标1卷15 题。

三大常见考法：截距型（热点）、斜率型（2015年1卷出现过1次）、距离型（新课标全国卷没出现过）；斜率型注意范围是取中间还是取两边；距离型最小值注意是点点距离最小还是点线距离最小。

2020高考预测：78．若,x y满足约束条件10,20,220,x yx yx y-+⎧⎪-⎨⎪+-⎩≥≤≤，则z x y=+的最大值为__．79．设满足约束条件，则的最大值为___．80．若,x y满足约束条件,2,220,y xx yx y≥⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，则2z x y=+的最小值为__．,x y13,10xx y≤≤⎧⎨-≤-≤⎩2z x y=-81．若,x y 满足约束条件10040x x y x y -⎧⎪-⎨⎪+-⎩≥≤≤，则y x 的最大值为． 82．若,x y 满足约束条件240220330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则22x y +的取值范围是．16、函数小题★★★★★十年考情：这是必考内容。

主要考查：定义域、最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性、平移、导数、切线、定积分、零点等，分段函数是重要载体！绝对值函数也是重要载体！函数已经不是值得学生“恐惧”的了吧？零点问题数形结合是必须的。

牢记周期性和对称性的结论；注意单调性和奇偶性的关系；学会用特殊点巧解；隐藏性质：奇函数在原点处有定义时，；常见奇偶函数的特殊形式（总结过的）；比较大小单调性和中间变量相结合。

2020年高考终极大杀招之最可能考的88道小题-36-44数列与框图(解析版)

数列与框图36-44（解析版）7、数列小题★★★★★十年考情：全国III 理数的数列解答题和三角函数解答题每年只考一个，考察解答题时一般不再考小题，不考解答题时，就考两个小题，一般等差数列和等比数列各一个．难度上看，一般会有一个比较难的小题，如 2013 年的 16 题，2015 年 16 题，它们都是压轴题。

但2017年、2019年的两道数列小题都不是很难，没出现在压轴题的位置。

理科数学III 卷2014、2016、2018考查数列解答题，2012、2013、2015、2017、2019考察解斜三角问题。

数列与斜三角几乎都是隔年出现。

等差等比用通项公式和前n 项公式，等比问题学会作比值化简；累加法、累乘法、构造法要掌握类型特点；特别注意S n ,和a n ,的关系,11,1,2nn n S n a S S n ,两个方向都可以转化;分组求和、裂项相消法和错位相减法要看清通项的形式;1,,,n n a d q a S ，等基本量的求解很重要,多解问题要多次验证进行取舍。

2020高考预测：36.已知等差数列{a n }中，a 2=﹣1，前5项和S 5=﹣15，则数列{a n }的公差为（）A ．﹣3B ．−52C ．﹣2D ．﹣1【解析】选C.{a 2=a 1+d =−1S 5=5a 1+10d =−15,解得a 1=1，d =−2.37．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，22a =，728S =，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为（）A ．20202021B ．20182020C ．20182019D ．20212020【解析】选A.{a 2=a 1+d =2S 7=7a 1+21d =28,解得a 1=1，d =1，所以a n =n ,所以1an a n+1=1n (n+1)=1n −1n+1数列{1an a n+1}的前2020项和T 2020=1−12+12−13+⋯+12020−12021=1−12021=20202021.38．已知等比数列{}n a 满足：17269,8a a a a +==，且1n n a a +<，则10a 等于（） A． B ．16 C． D ．8【解析】选A.由17269,8a a a a +==，且1n n a a +<，得a 1=1,q =√2所以a 10=a 1q 9=16√239．设S n 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且=+=45917,2-a S S a a 则______. 【解析】填18.由题意1-2d a ,91541193618185103S a dd S a a d a dd.40.设S n 是数列{}n a 的前n 项和，且 ==-=++n n n n S S S a a 则,2,1111_______ 【解析】填112n 1-112-1-12-,21111111===∴=∴=+++++a S S S S S S S S S a n n n n n n n n n ，，数列1n S 是以-2为公差，-1为首项的等差数列，所以11+1212nn nS ，所以112nS n .41．设等比数列{}n a 满足1310a a +=，245a a +=，则12n a a a ⋅⋅⋅的最大值为 .【解析】填32.由题意，118,2a q ，()21722121=2n n n n n n a a a a q --⋅⋅⋅=，当2n ，12na a a ⋅⋅⋅的最大值为32.8、框图小题★★★★十年考情：2018年没有考，2011 -2017和2019年每年1题!考含有循环体的较多，都比较简单，考查填写循环语句也较多，一般与数列求和联系较多，难度不大。

线性规划题及答案

线性规划题及答案引言概述：线性规划是一种常见的数学建模方法，用于解决优化问题。

它在工程、经济学、运筹学等领域中得到了广泛应用。

本文将介绍线性规划题的基本概念和解题方法，并给出相应的答案。

一、线性规划的基本概念1.1 目标函数：线性规划的目标是最大化或者最小化一个线性函数，称为目标函数。

目标函数通常表示为Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn，其中ci为系数，xi为决策变量。

1.2 约束条件：线性规划的决策变量必须满足一系列约束条件，这些条件通常表示为一组线性不等式或者等式。

例如，Ax ≤ b，其中A为系数矩阵，x为决策变量向量，b为常数向量。

1.3 可行解：满足所有约束条件的决策变量取值称为可行解。

可行解的集合称为可行域。

二、线性规划问题的解题方法2.1 图形法：对于二维线性规划问题，可以使用图形法求解。

首先绘制可行域的图形，然后通过挪移目标函数的等高线来确定最优解。

最优解通常浮现在可行域的顶点处。

2.2 单纯形法：对于高维线性规划问题，可以使用单纯形法求解。

该方法通过迭代计算，逐步接近最优解。

单纯形法的基本思想是通过交换基本变量和非基本变量来改变目标函数值，直到找到最优解。

2.3 整数规划法：当决策变量需要取整数值时，可以使用整数规划法求解。

整数规划问题通常比线性规划问题更难解决，因为整数解的集合通常是离散的。

三、线性规划题的实例分析3.1 生产计划问题：某工厂生产两种产品A和B，每单位产品A需要3小时的生产时间，每单位产品B需要2小时的生产时间。

工厂每天有8小时的生产时间，且产品A和B的利润分别为10元和8元。

求工厂每天应生产多少单位的产品A和B，才干最大化利润。

3.2 运输问题：某物流公司有3个仓库和4个配送点，每一个仓库的库存和每一个配送点的需求如下表所示。

每单位产品的运输成本如下表所示。

求如何安排运输，使得总运输成本最低。

仓库 | 库存----|----A | 50B | 80C | 70配送点 | 需求------|-----D | 30E | 40F | 50G | 60运输成本 | 仓库A | 仓库B | 仓库C--------|------|------|------配送点D | 10 | 12 | 15配送点E | 14 | 8 | 11配送点F | 7 | 16 | 9配送点G | 13 | 10 | 63.3 资源分配问题：某公司有3个项目需要分配资源，每一个项目的利润和资源需求如下表所示。

线性规划全部题型和解析

线性规划什么是线性规划？线性规划的题一般都是大括号下面三个式子，把三条线画出来，然后找到一个区域，然后再找到一条直线，去平移，求一个点的坐标，带进去，求最值。

那么，大括号里面的式子我们叫做约束条件，在高中阶段学习的线性的约束条件，也就是所有的约束条件都是一次的，都是直线。

形成的区域叫做可行域。

Z=几x+几y 叫做目标函数，一般线性规划问题都是线性目标函数。

要解决目标函数的最大值和最小值，就是最值问题。

所以线性规划问题的完成表述就是线性规划条件形成可行域内目标函数的最值问题。

取到最值得x 和y 叫做最优解。

考点1：典型的线性规划问题（可行域和目标函数都是线性的）关键：如何把一个不等式转化为可行域上的一个区域。

方法一：把直线转化为斜截式处理。

3260x y +-≥，化成斜截式，332y x ≥-+，直线画出来大于等于，可行域取直线上面。

缺点：转化为斜截式比较麻烦。

优点：大于等于在上面小于等于在下面不会错方法二：一般式（截距）直线。

3260x y +-≥，与x 轴y 轴的交点分别是(2,0)和(0,3)。

然后判断（0,0）是不是满足不等式，判断可行域取直线上面还是下面。

分析目标函数：目标函数得到的直线靠上好还是靠下好。

例如222x zz x y y =+⇒=-+，截距越大，z 越大，条直线越靠上越好。

如果222x zz x y y =-+⇒=+，还是越靠上越好。

所以直线靠上还是靠下，取决于y 前面的正负。

例题1：若变量,x y ，满足约束条件11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≤-⎩，且2z x y =+的最大值和最小值分别为M 和m ，则M-m=？解析：正常可以画出可行域，通过直线的平移来解决此类问题。

但是针对这道题有简单的方法计算，这三条直线围成的区域围成的是三角形，如果是三角形的话那么一定在三个顶点的位置取得最大值和最小值。

所以只需要求出三个顶点的值最大的是最大值，最小的是最小值。

1）y x =和1x y +=的交点(0.5,0.5)， 1.5z =。

线性规划专题含答案

线性规划专题（含答案）1. 设，满足约束条件则的最大值是．2. 设，满足约束条件则的最大值是．3. 设，满足约束条件则的最大值为．4. 在约束条件下，目标函数的最大值为．5. 已知实数，满足约束条件，则的最小值为．6. 若，则目标函数的取值范围是．7. 已知实数，满足不等式组那么目标函数的最大值是．8. 已知满足条件则目标函数的最大值为．9. 若实数，满足不等式组则的最小值是．10. 已知，满足约束条件则的最小值为．11. 若，满足约束条件则的最大值为．12. 已知，满足则的最大值为．13. 设、满足约束条件则的最小值为．14. 在约束条件下，目标函数的最小值是．15. 设变量、满足约束条件：则的最小值为．16. 已知实数，满足则的最大值为．17. 若，满足约束条件，则的最小值为．18. 若实数，满足条件则的最大值为．19. 已知实数，满足条件则的取值范围是．20. 设变量，满足约束条件则目标函数的最大值为．21. 已知是坐标原点，点，若点为平面区域上的一个动点，则的取值范围是．22. 若圆关于直线对称，动点在不等式组表示的平面区域内部及边界上运动，则的取值范围是．23. 若，满足约束条件则的最大值为．24. 设实数，满足，，且，则的最大值为．25. 实数，满足不等式组则的取值范围是．26. 在平面直角坐标系中，已知点，，，点为边界及内部的任意一点，则的最大值为．27. 已知实数，满足且的最大值为．28. 已知实数，满足则的取值范围是．29. 若实数，满足不等式组则目标函数的最大值为．30. 设，满足约束条件则目标函数的最大值为．31. 若变量，满足约束条件，则的最大值是．32. 已知，满足若目标函数的最大值为，则展开式的常数项为．33. 若，满足约束条件则的最小值为．34. 设，满足约束条件则的取值范围是．35. 已知实数，满足约束条件则的最大值为．36. 已知变量，满足约束条件若使取得最小值的最优解有无穷多个，则实数．37. 已知，，满足约束条件若的最大值为，则．38. 若实数，满足约束条件则的最大值为．39. 若，满足约束条件则的最大值为．40. 设实数，满足则的最大值为．41. 如果实数，满足约束条件则的最大值为．42. 已知实数满足条件则的最小值为．43. 若，满足约束条件则的最大值为．44. 已知实数，满足则的最小值为．45. 设实数，满足则的取值范围是．46. 记不等式组所表示的平面区域为，若直线与有公共点，则的取值范围是．47. 已知变量，满足约束条件则的最小值是．48. 若实数，满足条件则的最小值为．49. 设，满足约束条件，则的最大值为，则的值为．50. 若，满足约束条件则的最小值是．51. 如果实数，满足条件则的最大值为．52. 设实数，满足向量，．若，则实数的最大值为．53. 如果实数，满足约束条件那么目标函数的最小值为．54. 设，满足约束条件向量，，且，则的最小值为．55. 设，满足约束条件若目标函数的最大值为，则的最小值为．56. 设为坐标原点，点，点满足则的取值范围为．57. 若实数满足且的最小值为，则．58. 已知，满足约束条件则的最大值．59. 已知点的坐标满足条件那么点到直线的距离的最小值为．60. 已知，满足则的最小值为．61. 已知点的坐标满足条件那么的取值范围为．62. 若变量，满足约束条件则的最大值为．63. 设实数，满足则的最小值为．64. 若，满足约束条件则的取值范围是．65. 已知点，是坐标原点，点的坐标满足，则的取值范围是．66. 已知平面区域夹在两条斜率为的平行直线之间，且这两条平行直线间的最短距离为，若点，且的最小值为，的最大值为，则等于．67. 已知整数，满足不等式，则的最大值是；的最小值是．68. 设实数，满足则动点所形成区域的面积为，的取值范围是．69. 若点满足线性约束条件则的最小值是；的取值范围是．70. 已知，满足约束条件则的最小值为．71. 已知实数，满足则的最小值为．72. 若，满足且的最大值为，则．73. 已知，满足若有最大值，则实数的值为．74. 若直线上存在点满足约束条件则实数的取值范围是．75. 已知变量，满足约束条件则目标函数的取值范围是．76. 已知实数，满足则的最小值为．77. 设，满足则的最大值为．78. 若点位于曲线与所围成的封闭区域内（包含边界），则的最小值为．79. 若实数，满足则的取值范围是，的取值范围是．80. 已知，满足约束条件若的最大值为，则．81. 已知实数，满足则的最大值为．82. 已知实数，满足不等式组则的最大值为．83. 若实数，满足且的最小值为，则．84. 若，满足约束条件则的最大值为．85. 设，满足约束条件则的最大值是．86. 设实数，满足约束条件若目标函数的最大值为，则的最小值为．87. 设，满足约束条件则的最小值是．88. 若，满足条件则的最大值是．89. 设变量，满足约束条件则目标函数的最小值为．90. 已知实数，满足则的取值范围为．91. 不等式组的解集记作，实数，满足如下两个条件：①，；②，．则实数的取值范围为．92. 设为不等式表示的平面区域，直线与区域有公共点，则的取值范围是．93. 若，满足约束条件则的最小值是．94. 已知实数，满足则的最大值是．95. 设，满足不等式组若的最大值为，最小值为，则实数的取值范围为．96. 在等差数列中，已知首项，公差．若，，则的最大值为．97. 设实数，满足约束条件若目标函数的最大值为，则的最小值为．98. 已知实数，满足则的取值范围为．99. 若，满足若的最大值为，则实数．100. 已知正数满足：，，则的取值范围是．答案第一部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.【解析】先作出不等式对应的区域，由图形可知直线过时，目标函数取得最大值，由解得即，．12.13.【解析】画出可行域：由图可知，当直线过点时，取得最小值为．14.15.【解析】不等式组对应的平面区域如图所示．平移直线，当直线经过点时，直线的截距最大，此时最小为．16.17.【解析】由图知最小值在点处取到，最小值为．18.【解析】满足约束条件的可行域如下图所示：令，由可得，直线经过时，取得最大值：；此时的最大值为．19.【解析】由约束条件作出可行域如图，联立解得．的几何意义为可行域内的动点与定点连线的斜率，因为．所以则的取值范围是．20.【解析】，画出可行域如图中阴影部分所示，的最小值为，所以．21.【解析】作出可行域，如图所示，由题意．设，作，易知，过点时有最小值，；过点时有最大值，，所以的取值范围是．22.【解析】圆关于直线对称，所以圆心在直线上，，表示的平面区域如图，表示区域内点与点连线的斜率．，，所以的取值范围是．23.【解析】由变形为，纵截距为，当直线过点时最大，所以．24.【解析】，即为，所以顶点坐标为，设目标函数，则当目标函数经过点，的值最大，即，故的最大值为．25.【解析】的取值范围是可行域中的点与点连线的斜率的取值范围．平面区域如图：所以斜率最小值为，无最大值，当区域中的点的横纵坐标都趋于无穷大时，斜率趋近于．26.27.【解析】由约束条件作出可行域如图，设，可行域内的动点，则．．其几何意义为向量与向量夹角的余弦值的倍，所以当与重合时，有最大值为．28.29.【解析】画出约束条件所表示的平面区域，如图中阴影部分所示．由图可知：当直线经过点时最大，由解得，所以的最大值为．30.【解析】作出不等式组表示的平面区域，得到如图的四边形，其中，，，为原点．设为区域内一个动点，则表示点到原点的距离，所以，可得当到原点距离最远时达到最大值，因此，运动点使它与点重合时，达到最大值，．所以最大值31.【解析】变量，满足的约束条件对应的平面区域是以点，和为顶点的三角形区域（包括边界），当经过点时，取得最大值．32.【解析】由约束条件，满足作出可行域如图，联立解得，化目标函数为，由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最大，有最大值为．则．由．令得．所以则展开式的常数项为．33.【解析】因为线性约束条件所决定的可行域为非封闭区域且目标函数为线性的，最值一定在边界点处取得．分别将点，代入目标函数，求得：，，所以最小值为．34.35.36.37.【解析】先作出不等式组对应的区域，若的最大值为，则，直线过定点，则直线与相交于，得，同时也在直线上，即，得．38.【解析】作出所对应可行域（如图），变形目标函数可得，平移直线可得当直线经过点时，直线的截距最小，取最大值，代值计算可得最大值为：．39.【解析】画出表示的平面区域如图所示，由，得，画出，并平移经过时，．40.【解析】不等式组对应的平面区域如图，设，当此直线经过图中时，在轴的截距最小，即最大，所以的最大值为．41.【解析】由约束条件作出可行域如图联立解得，化目标函数为，由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最大，有最大值为．42.【解析】画出的可行域如图阴影区域：由得，目标函数可看做斜率为的动直线，由图数形结合可知：当过点时，最小为．43.【解析】44.【解析】由约束条件作出可行域如图，化目标函数为，由解得，由图可知，当直线过时直线在轴上的截距最大，有最小值，等于．45.【解析】由约束条件作出可行域如图，，联立解得．的几何意义为可行域内的动点与定点连线的斜率，因为，．所以的取值范围是．46.【解析】画出可行域，如图中区域．又直线恒过定点，是直线的斜率，当直线经过点与点这两个边界点时，对应的分别为与，故的范围为．47.【解析】画出约束条件表示的平面区域如图中阴影部分所示，则直线经过点时最小，由得，所以．48.【解析】根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，则当，时，取得最小值．49.【解析】由得，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时也最大，由，解得，即，将代入目标函数，得．解得．50.【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：的几何意义是平面区域内的点到原点的距离，由图象得到直线的距离最小，此时最小值，则的最小值是．51.【解析】，根据约束条件画出可行域，可判断当，时，取得最小值，则的最大值为．52.【解析】因为，所以，即．由已知，画出可行域如下图阴影部分．所以当直线过点时取到最大值．53.【解析】由已知画图如下．当目标函数经过点时，截距取到最大值，也就是取到最小值．54.【解析】由向量，，且，得，根据约束条件画出可行域，设，将最小值转化为轴上的截距的最大值，当直线经过点时，最小，最小值是：．55.【解析】由题，可行域图象如下：结合目标函数中，，可知其经过时，取得最大值，故有，即，又，所以．56.【解析】设．画出可行域，如图所示：当直线过点时，取最大值；当直线过点时，取最小值．所以的取值范围为．57.【解析】画出可行域，当目标函数表示的直线平移到经过点时，取得最小值，然后将坐标代入即可．58.【解析】由约束条件得到可行域如图：直线经过图中点时，直线在轴的截距最小，此时最大，且，所以的最大值为；59.【解析】依题意画图如下．为图中三角形（包括边界）中的点，显然点到直线的距离最小，为．60.【解析】作出不等式组对应的平面区域，如下图中三角形，将直线进行平移，可得当直线经过点时，取得最小值，由解得时，取得最小值，所以．61.【解析】表示的平面区域如图，表示区域内点与点的距离的平方，由图知：最大；到直线的距离的平方最小．由于不取等号，所以不是最小值．62.【解析】由约束条件作出可行域如图，联立解得，化目标函数为，由图可知，当直线过点时，直线在轴上的截距最小，有最大值为．63.【解析】不等式组对应的平面区域如图，设，当此直线经过图中时，在轴的截距最大，即最小，所以的最小值为．64.65.【解析】不等式组所表示的平面区域如图所示：为阴影部分中的点，其中，，所以与平面的夹角的范围为．．所以的取值范围是．66.67. ，68. ，69. ，【解析】画出满足条件的平面区域，如图所示：，表示过平面区域的点由得：，当直线过时，最小，最小值与的直线的斜率，显然直线过时，，直线过时，．70.71.【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由得，平移直线，由图象可知当直线过点时，直线的截距最大，此时最小．由解得即，代入目标函数得，即的最小值为．72.73.74.【解析】由题意，由可求得交点坐标为，要使直线上存在点满足约束条件如图所示．可得，则实数的取值范围．75.76.【解析】如图阴影部分为的可行域，平行移动直线，过点时取得最小值，．77.78.79. ，80.【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，则，．显然直线过时不能取得最大值，若直线过点时取得最大值，则，解得，此时，目标函数为，作出直线，平移该直线，当直线经过点时，截距最小，此时，的最大值为，满足条件．81.82.【解析】作出不等式组所对应的可行域（如图阴影），变形目标函数可得，由可得平移直线可知，当直线经过点时，取最大值，代值计算可得的最大值为．83.【解析】实数，满足约束条件的可行域如图所示，的最小值为，可知目标函数的最优解过点，由解得，所以，解得．84.【解析】作出不等式组约束条件表示的平面区域，得到如图的及其内部，其中，，，设，将直线进行平移，当经过点时，目标函数达到最大值，．所以最大值85.86.【解析】由得，作出可行域如图：因为，，所以直线的斜率为负，且截距最大时，也最大．平移直线，由图象可知当经过点时，直线的截距最大，此时也最大．由解得即．此时，即，即在直线上，的几何意义为直线上点到原点的距离的平方，则原点到直线的距离，则的最小值为．87.88.89.90.【解析】作出不等式组对应的平面区域如图，的几何意义是区域内的点与原点连线的斜率，由图象知的斜率最小，的斜率最大，由得即，此时斜率，由得即，此时斜率，则的取值范围为．91.【解析】作出不等式组对应的平面区域如图，即，由图象可得，．因为①，，当时，恒成立，当时，过点时斜率最小，即，所以，综上所述的范围为．因为②，，所以直线一定在点的下方或过点，所以，综上所述的范围为．92.93.【解析】，满足约束条件的可行域如图：则的几何意义是可行域的点到坐标原点距离，由图形可知的距离最小，直线的斜率为，所以．94.【解析】实数，满足作图：易知可行域为一个三角形，平移，可知，当直线经过时，目标函数取得最大值，由解得，最大值为．95.【解析】由得，直线是斜率为，轴上的截距为的直线，作出不等式组对应的平面区域如图：则，，因为的最大值为，最小值为，所以直线过点时，取得最大值为，经过点时取得最小值为，若，则，此时满足条件，若，则目标函数斜率，要使目标函数在处取得最小值，在处取得最大值，则目标函数的斜率满足，即，若，则目标函数斜率，要使目标函数在处取得最小值，在处取得最大值，则目标函数的斜率满足，即，综上．96.【解析】由，得，将看作自变量，看作因变量，可得可行域如图所示：由图象知，在取得最大值，此最大值为．97.【解析】根据不等式组，画出平面区域如图所示．所以由平移基准线的位置可知，在处，目标函数，即．又由，，解得：，所以的最小值为．98.99.【解析】提示：如图，画出可行域．分别将、、代入验证知，只有当直线经过点时，符合题意，此时．100.【解析】根据条件得到不等式组和目标函数，利用线性规划求解．由已知，得令则问题转化为：求的取值范围．画出可行域，如图，由于，则的最大值为．设曲线在点处的切线方程为，将原点的坐标代入，解得，从而切点为．而切点在曲线上的点、之间，所以的最小值为．故的取值范围是．。

(完整版)高考线性规划必考题型(非常全)

线性规划专题一、命题规律讲解1、求线性（非线性）目标函数最值题2、求可行域的面积题3、求目标函数中参数取值范围题4、求约束条件中参数取值范围题5、利用线性规划解答应用题一、线性约束条件下线性函数的最值问题线性约束条件下线性函数的最值问题即简单线性规划问题，它的线性约束条件是一个二元一次不等式组，目标函数是一个二元一次函数，可行域就是线性约束条件中不等式所对应的方程所表示的直线所围成的区域，区域内的各点的点坐标x,y即简单线性规划的可行解，在可行解中的使得目标函数取得最大值和最小值的点的坐标x, y即简单线性规划的最优解。

x 4y3例1 已知3x 5y25，z 2x y，求z的最大值和最小值x 1x y 1例2已知x,y满足2x 4y 1 ,求z= x 5y的最大值和最小值x 2y 6二、非线性约束条件下线性函数的最值问题高中数学中的最值问题很多可以转化为非线性约束条件下线性函数的最值问题。

它们的约束条件是个二元不等式组，目标函数是一个二元一次函数，可行域是直线或曲线所围成的图形（或一条曲线段）区域内的各点的点坐标x,y即可行解，在可行解中的使得目标函数取得最大值和最小值的点的坐标x,y即最优解。

2 2例3 已知x, y满足，x y 4，求3x 2y的最大值和最小值例4 求函数y1,5的最大值和最小值。

三、线性约束条件下非线性函数的最值问题这类问题也是高中数学中常见的问题，它也可以用线性规划的思想来进行解决。

元一次不等式组，目标函数是一个二元函数，可行域是直线所围成的图形（或一条线段），区域内的各点的点坐标 x, y 即可行解，在可行解中的使得目标函数取得最大值和最小值的点的坐标 x, y 即最优解。

x y 12 2x y 1 0，求x y 4x 4y 8的最小值。

y 1y 0 y 1实数x,y 满足不等式组 x y 0 ，求的最小值x 12x y 2四、非线性约束条件下非线性函数的最值问题在高中数学中还有一些常见的问题也可以用线性规划的思想来解决，它的约束条件是一个二元不等式组，目标函数也是一个二元函数，可行域是由曲线或直线所围成的图形（或一条曲线段），区域内的各点的点坐标 x, y 即可行解，在可行解中的使得目标函数取得最大值和最小值的点的坐标x, y 即最优解。

高三数学线性规划试题答案及解析

高三数学线性规划试题答案及解析1.在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为()A．2B．1C．D．【答案】C【解析】不等式组为如图所表示的阴影区域．由图可知当M与C重合时，直线OM 斜率最小．解不等式组得C(3，－1)，∴直线OM斜率的最小值为2.设z=kx+y，其中实数x，y满足若z的最大值为12，则实数k=．【答案】2【解析】作出可行域(如图)，其中A(4，4)，B(0，2)，C(2，0)过原点作出直线kx+y=0② k=0时，y=0，目标函数z=y在点A处取得最大值4，与题意不符②即时，直线kx+y=0即y=－kx经过一、三象限，平移直线y=－kx可知，目标函数z=kx+y在点A处取得最大值，即，此时k=2与不符;③－k>即k<－时，直线kx+y=0即y=－kx经过一、三象限，平移直线y=－kx可知，目标函数z=kx+y在点B处取得最大值，即，此式不成立④－k<0即k>0时，直线kx+y=0即y=－kx经过二、四象限，平移直线y=－kx可知，目标函数z=kx+y在点A处取得最大值，即，此时k=2与k>0相符，所以k=23.某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1kg、B原料2kg；生产乙产品1桶需耗A原料2kg，B原料1kg.每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12kg.通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是多少？【答案】2800元【解析】设公司每天生产甲种产品x桶，乙种产品y桶，公司共可获得利润为z元/天，则由已知，得z＝300x＋400y，且画可行域如图所示，目标函数z＝300x＋400y可变形为y＝－x＋，这是随z变化的一簇平行直线，解方程组∴即A(4，4)，∴z＝1200＋1600＝2800(元)．max故公司每天生产甲产品4桶、生产乙产品4桶时，可获得最大利润为2800元．4.设变量x、y满足则2x＋3y的最大值是________．【答案】55【解析】由得A(5，15)，且A为最大解，∴z＝2×5＋3×15＝55max5.已知变量满足约束条件，则的最大值是．【答案】【解析】作出可行域如图所示，直线.平移直线，当其经过点时，直线的纵截距最大，即最大，最大值为.【考点】简单线性规划6.设x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)的最小值为2，则ab的最大值为 ()．A．1B．C．D．【答案】D【解析】由z＝ax＋by(a>0，b>0)得y＝－x＋，可知斜率为－<0，作出可行域如图，由图象可知当直线y＝－x＋经过点D时，直线y＝－x＋的截距最小，此时z最小为2，由得即D(2,3)，代入直线ax＋by＝2得2a＋3b＝2，又2＝2a＋3b≥2，所以ab≤，当且仅当2a＝3b＝1，即a＝，b＝时取等号，所以ab的最大值为.7.已知实数满足则的最大值为_________.【答案】16【解析】如图实数满足满足的可行域是三角形OAB的阴影部分. 由可化为.所以求z的最大值即求出的最小值.目标函数，如图所示.过点B即为m所求的最小值.因为B（-2,0）所以m=-4.所以.故填16.【考点】1.线性规划问题.2.指数函数的运算.8.已知变量x，y满足约束条件则z=4x·2y的最大值为。

高考数学线性规划题型总结

线性规划常见题型及解法一、已知线性约束条件,探求线性目标关系最值问题例1、设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ,则y x z 32+=的最大值为 ;解析：如图1,画出可行域,得在直线2x-y=2与直线x-y=-1的交点A3,4处,目标函数z 最大值为18点评：本题主要考查线性规划问题,由线性约束条件画出可行域,然后求出目标函数的最大值.,是一道较为简单的送分题;数形结合是数学思想的重要手段之一;习题1、若x 、y 满足约束条件222x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩,则z=x+2y 的取值范围是A 、2,6B 、2,5C 、3,6D 、3,5解：如图,作出可行域,作直线l ：x+2y ＝0,将l 向右上方平移,过点A2,0时,有最小值2,过点B2,2时,有最大值6,故选A二、已知线性约束条件,探求非线性目标关系最值问题例2、已知1,10,220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩则22x y +的最小值是 .解析：如图2,只要画出满足约束条件的可行域,而22x y +表示可行域内一点到原点的距离的平方;由图易知A1,2是满足条件的最优解;22x y +的最小值是为5;点评：本题属非线性规划最优解问题;求解关键是在挖掘目标关系几何意义的前提下,作出可行域,寻求最优解; 习题2、已知x 、y 满足以下约束条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩,则z=x 2+y 2的最大值和最小值分别是 A 、13,1 B 、13,2C 、13,45D 、13,255图2x y O2 2 x=2y =2 x + y =2BA 2x + y - 2= 0= 5x – 2y + 4 = 3x – y – 3 =Oyx A解：如图,作出可行域,x 2+y 2是点x,y 到原点的距离的平方,故最大值为点A2,3到原点的距离的平方,即|AO|2=13,最小值为原点到直线2x ＋y －2=0的距离的平方,即为45,选 C 练习2、已知x ,y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥≥≤-+0320,1052y x y x y x ,则xy 的最大值为___________,最小值为____________． 2,0三、设计线性规划,探求平面区域的面积问题例3、在平面直角坐标系中,不等式组20200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域的面积是A 42 B4 C 22 D2解析：如图６,作出可行域,易知不等式组20200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域是一个三角形;容易求三角形的三个顶点坐标为Ａ０,２,B2,0,C-2,0.于是三角形的面积为：11||||42 4.22S BC AO =⋅=⨯⨯=从而选Ｂ; 点评：有关平面区域的面积问题,首先作出可行域,探求平面区域图形的性质；其次利用面积公式整体或部分求解是关键;习题3、不等式组260302x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为A 、4B 、1C 、5D 、无穷大解：如图,作出可行域,△ABC 的面积即为所求,由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC 的面积即可,选B四、已知平面区域,逆向考查约束条件;例4、已知双曲线224x y -=的两条渐近线与直线3x =围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是2x + y – 6= 0 = 5x ＋y – 3 =Oyx A BC M y =2A 0003x y x y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩B 0003x y x y x -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤≤⎩C 0003x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≤≤⎩D 0003x y x y x -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩解析：双曲线224x y -=的两条渐近线方程为y x =±,与直线3x =围成一个三角形区域如图4所示时有0003x y x y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩;点评：本题考查双曲线的渐近线方程以及线性规划问题;验证法或排除法是最效的方法;习题4、如图所示,表示阴影部分的二元一次不等式组是A 232600y x y x ≥-⎧⎪-+>⎨⎪<⎩B 232600y x y x >-⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩C 232600y x y x >-⎧⎪-+>⎨⎪≤⎩D ．232600y x y x >-⎧⎪-+<⎨⎪<⎩C五、约束条件设计参数形式,考查目标函数最值范围问题;例5、在约束条件024x y y x s y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩下,当35s ≤≤时,目标函数32z x y =+的最大值的变化范围是A.[6,15]B. [7,15]C. [6,8]D. [7,8]解析：画出可行域如图3所示,当34s ≤<时, 目标函数32z x y =+在(4,24)B s s --处取得最大值, 即max 3(4)2(24)4[7,8)z s s s =-+-=+∈;当45s ≤≤时, 目标函数32z x y =+在点(0,4)E 处取得最大值,即max 30248z =⨯+⨯=,故[7,8]z ∈,从而选D; 点评：本题设计有新意,作出可行域,寻求最优解条件,然后转化为目标函数Z 关于S 的函数关系是求解的关键;六、求约束条件中参数的取值范围例6、已知|2x －y ＋m|＜3表示的平面区域包含点0,0和－1,1,则m 的取值范围是 A 、-3,6 B 、0,6 C 、0,3 D 、-3,3解：|2x －y ＋m|＜3等价于230230x y m x y m -++>⎧⎨-+-<⎩由右图可知3330m m +>⎧⎨-<⎩ ,故0＜m ＜3,选CCO2x – y =y2x – y + 3 = 0习题6、不等式3|2|<++m y x 表示的平面区域包含点)0,0(和点),1,1(-则m 的取值范围是A ．32<<-mB ．60<<mC ．63<<-mD ．30<<mA七、已知最优解成立条件,探求目标函数参数范围问题;例7、已知变量x ,y 满足约束条件1422x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩;若目标函数z ax y =+其中0a >仅在点(3,1)处取得最大值,则a 的取值范围为 ;解析：如图5作出可行域,由z ax y y ax z =+⇒=-+其表示为斜率为a -,纵截距为ｚ的平行直线系, 要使目标函数z ax y =+其中0a >仅在点(3,1)处取得最大值;则直线y ax z =-+过Ａ点且在直线4,3x y x +==不含界线之间;即1 1.a a -<-⇒>则a 的取值范围为(1,)+∞;点评：本题通过作出可行域,在挖掘a z -与的几何意义的条件下,借助用数形结合利用各直线间的斜率变化关系,建立满足题设条件的a 的不等式组即可求解;求解本题需要较强的基本功,同时对几何动态问题的能力要求较高;习题7、已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩,使z=x+aya>0取得最小值的最优解有无数个,则a 的值为A 、－3B 、3C 、－1D 、1解：如图,作出可行域,作直线l ：x+ay ＝0,要使目标函数z=x+aya>0取得最小值的最优解有无数个,则将l 向右上方平移后与直线x+y ＝5重合,故a=1,选D八、研究线性规划中的整点最优解问题例8、某公司招收男职员x 名,女职员y 名,x 和y 须满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-.112,932,22115x y x y x 则1010z x y =+的最大值是A80 B 85 C 90 D95解析：如图７,作出可行域,由101010zz x y y x =+⇒=-+,它表示为斜率为1-,纵截距为x + y = 5x – y + 5 =Oyxx=310z 的平行直线系,要使1010z x y =+最得最大值;当直线1010z x y =+通过119(,)22A z 取得最大值;因为,x y N ∈,故Ａ点不是最优整数解;于是考虑可行域内Ａ点附近整点Ｂ５,４,Ｃ４,４,经检验直线经过Ｂ点时,max 90.Z =点评：在解决简单线性规划中的最优整数解时,可在去掉限制条件求得的最优解的基础上,调整优解法,通过分类讨论获得最优整数解;九、求可行域中整点个数例9、满足|x|＋|y|≤2的点x,y 中整点横纵坐标都是整数有 A 、9个 B 、10个 C 、13个 D 、14个解：|x|＋|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0)2(0,0)x y x y x y x y x y x y x y xy+≤≥≥⎧⎪-≤≥⎪⎨-+≤≥⎪⎪--≤⎩作出可行域如右图,是正方形内部包括边界,容易得到整点个数为13个,选C 习题9、不等式3<+y x 表示的平面区域内的整点个数为A ． 13个B ． 10个C ． 14个D ． 17个 AxyO。

2020年高考数学(理)总复习：不等式、线性规划(解析版)

2020 年高考数学（理）总复习：不等式、线性规划题型一不等式的解法【题型重点】解不等式的常有策略(1) 解一元二次不等式，一是图象法：利用“三个二次 ”之间的关系，借助相应二次函数图象，确立一元二次不等式的解集；二是因式分解法：利用“同号得正，异号得负 ”这一符号法例，转变为一元一次不等式组求解．(2)解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是把他们等价转变为整式不等式(一般为一元二次不等式 )求解．(3)解含 “f ”的函数不等式，第一要确立 f(x)的单一性，而后依据函数的单一性去掉“f ”转化为往常的不等式求解．(4) 解决含参数不等式的难点在于对参数的合适分类，重点是找到对参数进行议论的原由，确立好分类标准，有理有据、层次清楚地求解．x －12e ， x<1【例 1】已知函数 f(x)＝，则 f(f(x))<2 的解集为 ()x 3 ＋x ， x ≥1A ． (1－ ln 2，＋ ∞)B ． (－ ∞， 1－ ln 2)C ．(1－ ln 2,1)D ． (1,1＋ ln 2)【分析】由于当3x－1等x ≥1时， f(x)＝ x ＋ x ≥2，当 x<1 时， f(x)＝ 2e <2，所以 f(f(x))<2x －1<1 ，解得 x<1－ ln 2，所以 f(f(x))<2 的解集为 (－∞，1－ ln 2) ，应选 B.价于 f( x)<1 ，即 2e【答案】B－ x 2＋ 2x ， x ≤0，【例 2】．已知函数 f(x)＝若|f(x)| ≥ax ，则 a 的取值范围是 ()ln x ＋ 1 ， x ＞ 0.A ．(－∞，0]B ． (－ ∞， 1]C ．[ －2,1]D ． [－ 2,0]【分析】当 x ≤0时，f(x) ＝－ x 2＋ 2x ＝－ (x － 1) 2＋ 1≤0，所以 |f(x)| ≥ax 化简为 x 2－2x ≥ax ，即 x2≥(a＋ 2)x，由于所以 |f( x)| ≥ax 化简为式|f(x)| ≥ax 恒成立．x≤0，所以 a＋ 2≥x 恒成立，所以 a≥－ 2；当 x＞ 0 时，f(x)＝ ln(x＋ 1)＞0， ln( x＋ 1) ≥ax 恒成立，由函数图象可知 a≤0，综上，当－ 2≤a≤0时，不等【答案】 D题组训练一不等式的解法1．若不等式ax2－ bx＋ c>0 的解集是1 ,2 ，则以下结论中：①a>0；②b<0；③c>0；2④a＋ b＋ c>0；⑤ a－ b＋c>0，正确的选项是 ()A ．①②⑤B．①③⑤C．②③⑤D．③④⑤【分析】ax2－ bx＋ c>0 的解集是1,2 ，故 a<0，且 ax2－ bx＋c＝ 0 的两根为－1，2 22.由根与系数的关系得2－1＝b>0,2 × 1 ＝c<0，故 b<0，c>0. 所以，②③正确，①错误．设2 a 2 af(x)＝ ax2－ bx＋ c，依据 f(－ 1)<0，f(1)>0 ，可知 a＋ b＋ c<0 ，a－ b＋ c>0 ，故④错误，⑤正确．【答案】 C2．已知 f(x)是定义在R上的奇函数，且 f(x－ 2)＝ f(x＋ 2)，当 0＜ x＜ 2 时，f(x)＝1－ log2(x ＋1)，则当 0 ＜x＜ 4 时，不等式 (x－ 2)f(x) ＞0 的解集是 ( )A ． (0,1) ∪ (2,3) B． (0,1)∪ (3,4)C．(1,2) ∪(3,4) D． (1,2)∪ (2,3)【分析】当 0＜ x＜ 2 时，x－ 2＜ 0，不等式可化为x－ 2＜ 0，x－ 2＜ 0，即1－ log2 x＋1 <0 ，f x ＜ 0，解得 1＜ x＜2，x－ 2＞0，当 2＜x＜ 4 时， x－ 2＞ 0，不等式可化为f x ＞ 0，由函数 f(x)是奇函数，得f(－ x)＝－ f(x) ，又 f(x－ 2)＝ f(x＋2) ，则 f(x) ＝f(x－ 2＋2) ＝f(x－ 2－ 2)＝－ f(4－ x)，由于 0＜ 4－ x＜ 2，不等式可化为x－ 2＞ 0，，解得 2＜ x＜ 3，－1＋ log2 5－ x ＞0则原不等式的解集为(1,2)∪ (2,3)，应选 D.【答案】 D题型二简单的线性规划问题【题型重点】线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求地区面积；三是知最优解状况或可行域状况确立参数的值或取值范围．解决线性规划问题应特别关注以下三点：(1)第一要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，找到目标函数达到最值时可行域的极点 (或界限上的点 )，但要注意作图必定要正确，整点问题要考证解决．(2)画可行域时应注意地区能否包括界限．(3)对目标函数z＝ Ax＋ By 中 B 的符号，必定要注意 B 的正负与z 的最值的对应，要结合图形剖析．x＋y≤4【例 3】已知 P(x， y)为不等式组x－y≤0表示的平面地区M 内随意一点，若目标函x－a≥0数 z＝ 5x＋ 3y 的最大值等于平面地区M 的面积，则a＝ ________.【分析】作出不等式组对应的平面地区如图：由 z ＝ 5x ＋3y 得 y ＝－ 5x ＋ z，3 35z平移直线 y ＝－ 3x ＋ 3，由图象知当直线 y ＝－5 z z 最大，x ＋，经过点 A 时，直线的截距最大，此时33x ＋y ＝ 4 由，解得 x ＝ y ＝2，即 A(2,2)，x －y ＝ 0此时 z ＝5×2＋ 3×2＝ 16，x ＋y ＝ 4 由.解得 x ＝ a ，y ＝ 4－ a ，即 B(a,4－a)，x ＝ax －y ＝ 0由，解得 x ＝ y ＝a ，即 C(a ， a)，x ＝a∴ BC ＝ 4－a － a ＝ 4－2a ， △ ABC 的高为 2－ a ，1 2∴ S △ABC ＝ 2×(2－ a)(4－ 2a)＝ (2－ a) ＝ 16，解得 a ＝－ 2， a ＝ 6(舍去 )，【答案】－ 2x ≥0，则x ＋2y ＋ 3的取值范围是 ()【例 4】．设 x ， y 知足拘束条件 y ≥x ，4x ＋ 3y ≤ 12， x ＋ 1A ． [1,5]B ． [2,6]C ．[3,10]D ． [3,11]【分析】依据拘束条件画出可行域如图暗影部分所示．∵x ＋2y ＋ 3＝ 1＋2 y ＋1，令 k ＝y ＋1，即为可行域中的随意点(x ，x ＋ 1 x ＋ 1 x ＋1y)与点 ( －1，－ 1)连线的斜率．由图象可知，当点 (x ，y)为 A(0,4)时， k最大，此时 x ＋ 2y ＋ 3的最大值为 11，当点 (x ，y)在线段 OB 上时， k 最x ＋ 1小，此时x ＋ 2y ＋ 3的最小值为 3.应选 D.x ＋ 1【答案】D题组训练二简单的线性规划问题y ≤x － 1，则 x 21．已知实数 x 、y 知足 x ≤3的最小值是 () x ＋5y ≥4yA ． 1B ． 2C ．3D ． 4【分析】作出不等式组所对应的平面地区：2由图象可知 x ＞ 0，y ＞ 0，设 z ＝ x，则 x 2＝ zy ，对应y的曲线为抛物线，由图象可知当直线y ＝ x － 1 与抛物线相切时，此时 z 获得最小值，将 y ＝ x － 1 代入抛物线 x2＝ z y ，得 x 2－ zx ＋ z ＝ 0，由＝ 0? z ＝ 4， z ＝ 0(舍 )所以选择 D.【答案】 Dx ≥0，2．已知点 P(x ， y)知足条件 y ≤x ，若 z ＝ x ＋3y 的最大值为 8，则实数 k ＝2x ＋ y ＋ k ≤0，________.【分析】依题意 k<0 且不等式组表示的平面地区如下图．易得，Bkk113 , 3 .目标函数 z ＝x ＋ 3y 可看作直线 y ＝－ 3x ＋ 3z 在 y 轴上的截距的 3倍，明显当直线过点B 时截距最大，此时 z 获得最大值．所以 z max ＝－ k3＋ 3×k＝－4k3＝ 8，解得 k ＝－ 6.3【答案】－ 6题型三基本不等式的应用【题型重点】利用基本不等式求函数或代数式的最值应关注的三个方面(1)形式：一般地，分子、分母有一个一次、一个二次的分式构造的函数以及含有两个变量的函数，特别适适用基本不等式求最值．(2)条件：利用基本不等式求最值需知足“正”(即条件要求中字母为正数 )、“定”(不等式的另一边一定为定值 )、“等”(等号获得的条件 )的条件才能应用，不然会出现错误．(3) 方法：使用基本不等式时，一般经过“拆、拼、凑”的技巧把求最值的函数或代数式b化为ax＋x(ab＞0) 的形式，常用的方法是变量分别法和配凑法．【例 5】已知二次函数f(x)＝ ax2＋ bx＋c 的导数为 f′(x)， f′(0)＞ 0，对于随意的实数x 都有 f(x) ≥0，则f 1的取值范围是 ()f′0A. 3 , B． [2，＋∞)2C. 5 , D． [3，＋∞)2【分析】∵ f′(x)＝ 2ax＋ b，∴ f′(0)＝b＞ 0.又∵对于随意的实数x 都有 f(x) ≥0，∴ a＞0 且 b2－ 4ac≤0，∴ b2≤4ac，∴ c＞ 0，∴f 1 ＝f′0a＋ b＋ c a＋ c 2 acb ＝ b ＋ 1≥b＋ 1≥2.【答案】 B1＋2＝ 1，则 2 ＋1的最小值为 ()2．若正数 a， b 知足：a b a－ 1 b－ 23 2A ． 2 B. 253 2C.2D ．1＋ 4【分析】由 a ，b 为正数，且 1＋ 2＝ 1，得 b ＝2a2 ＋ 1a ba － 1>0，所以 a － 1>0，所以 a － 1b － 2＝ 2 ＋ 1 ＝ 2 ＋ a －1 2a － 1＝2，当且仅当 2 ＝ a － 1和1＋ 2＝ 1 同时成 a － 1 2a － 2 a － 1 2 ≥2 a － 1 · 2 a － 1 2a b a － 1立，即 a ＝b ＝ 3 时等号成立，所以2 ＋ 1的最小值为 2，应选 A.a － 1b － 2【答案】 A题组训练三基本不等式的应用1．若直线 l ： ax ＋ by ＋ 1＝0(a ＞ 0，b ＞ 0)把圆 C ： (x ＋ 4)2＋ (y ＋ 1)2＝ 16 分红面积相等的两部分，则当 ab 获得最大值时，坐标原点到直线l 的距离是 ( )A ． 4B ．8 178 17 C ．2D. 17【分析】由题意，圆心 (－4，－ 1)代入直线 l ： ax ＋by ＋ 1＝ 0，可得 4a ＋ b ＝ 1,4a ＋ b＝1≥4ab ，∴ ab ≤1 ，当且仅当 a ＝ 1，b ＝1时， ab 获得最大值，坐标原点到直线 l 的距离16 82是1＝8 17，应选 D.641＋1417【答案】D2．设正实数1，不等式 4x 2y 2≥m 恒成立，则 m 的最大值为 ()x ，y 知足 x> ，y>1＋2y － 1 2x － 1A ．2 2B ． 4 2C ．8D ． 162222【分析】依题意得， 2x － 1>0 ， y － 1>0，4x＋ y ＝ [ 2x － 1 ＋ 1] ＋ [ y －1 ＋1]y － 1 2x － 1 y － 12x － 14 2x－ 1 4 y－ 1 2x－ 1 y－ 1 2 2＝8，即4x ＋y ≥8，当且仅当≥＋≥ 4×2×y－1 2x－ 1 y－ 1 2x－ 1 y－ 1 2x－12x－ 1＝ 1y－ 1＝1 x＝ 1 2 2时，取等号，所以4x ＋y 的最小值是8， m≤8，m 的最，即2x－ 1 y－ 1 y＝ 2 y－ 1 2x－1y－ 1 ＝2x－ 1大值是8，选 C.【答案】 C题型四“点”定乾坤求解与线性规划相关的问题【题型重点】线性规划求目标函数的最值时，常用方法是数形联合判断所过的定点，也能够把界限端点的坐标代入目标函数，找寻最值，研究可行域与其余函数的关系时，可用界限端点确立出答案．x≥0，【例 7】记不等式组x＋ 3y≥4，所表示的平面地区为D，若直线 y＝ a(x＋ 1)与 D 有3x＋ y≤4公共点，则 a 的取值范围是________．3x＋ y＝ 4，【分析】法一：作出可行域，利用可行域的上下界，成立的不等式，由x＝ 0得(0,4) ，x＋3y＝ 4，由得 (1,1)．3x＋ y＝ 4地区 D 的上界为 (0,4)，下界为 (1,1)，∴ y＝ a(x＋ 1)与 D 有公共点，则有2a≥1，a≤41∴2≤a≤ 4.法二：直线y＝ a(x＋ 1)为经过定点P(－ 1,0)且斜率为a，作出可行域后数形联合可知．不等式组所表示的平面地区 D 为如下图暗影部分(含界限 )，且 A(1,1)，B(0,4) ，C4，0,31直线 y＝a(x＋ 1)恒过定点 P(－ 1,0)且斜率为a，由斜率公式可知k BP＝ 4， k AP＝2，若直线 y ＝a(x＋1)知地区 D 有公共点，数形联合可得12≤a≤ 4.【答案】1 ,4 2题组训练四“点”定乾坤求解与线性规划相关的问题3x＋ 4y－ 10≥0，已知不等式组x≤4，表示地区D，过地区 D 中随意一点P 作圆 x2＋y2＝1 的两y≤3条切线且切点分别为A， B，当∠ PAB 最小时， cos∠ PAB＝ ()3 B.1A. 2 23D．－1C．－2 23x＋ 4y－ 10≥0，【分析】作出不等式组x≤4，表示的平面地区D，如下图：y≤3要使∠ APB 最大，则∠ OPB 最大．∵sin∠ OPB＝|OB|＝1，|OP| |OP |∴只需 OP 最小即可，即点 P 到圆心 O 的距离最小即可．由图象可知当|OP|垂直于直线3x－ 4y－ 10＝0，|－ 10|此时 |OP|＝＝2，|OA|＝1.2 23 ＋ 4αα OA 1，设∠ APB＝α，则∠ APO＝，即 sin ＝＝2 2 OP 22 α此时 cos α＝ 1－ 2sin2＝1－2×122＝1－12＝12，即 cos∠ APB＝1，∴∠ APB＝60°， 21∴△ PAB 为等边三角形，此时对应的∠PAB＝ 60°为最小，且cos∠PAB＝2.应选 B.【答案】 B【专题训练】一、选择题1．已知一元二次不等式f(x) ＜ 0 的解集为x x1 1或 x3A ． { x|x＜－ 1 或 x＞－ ln 3} B．{ x|－ 1＜ x＜－ ln 3} C．{ x|x＞－ ln 3}D． { x|x＜－ ln 3}x的解集为 ()，则 f(e )＞ 01【分析】f(x)＞0 的解集为x1x3xx1则由 f(e )＞ 0 得－ 1＜ e ＜，解得 x ＜－ ln 3 ，即 f(e x )＞ 0 的解集为 { x|x ＜－ ln 3} ．【答案】 D2＋ 1＝ 1， x ＋ 2y ＞m 2－ 2m 恒成立，则 m 的取值范围是 ()2．已知 x ＞ 0， y ＞0， x y 3A ． [－ 6,4]B ． [－ 4,6]C ．( －4,6)D ． (－ 6,4)2 12 1 2 【分析】∵ x ＋ y ≥2 xy ，即3≥2xy，解得 xy ≥72，∵ 2＋ 1＝ 1，∴ 6＋ 3＝ 1，xy 3x y1即 3x ＋6y ＝ xy ，∴ x ＋2y ＝ 3xy ≥ 24，∴ m 2－ 2m ＜24 恒成立，解不等式 m 2－2m －24＜ 0得－ 4＜ m ＜ 6.应选 C.【答案】 C3．设 x ， y 知足拘束条件x ＋ y ≥a 7，则 a ＝ ()，且 z ＝ x ＋ ay 的最小值为x － y ≤－1A ．－ 5B ． 3C ．－5或 3D ．5 或－ 3【分析】依据拘束条件画出可行域如图中暗影部分所示：可知可行域为张口向上的V 字型．在极点处 z 有最小值，极点为 a 1 , a 1 ，则 a－ 12 2 2＋a a 1＝7，解得 a＝ 3 或 a＝－ 5.当 a＝－ 5 时，如图 2，2图 2虚线向上挪动时 z 减小，故 z→－∞，没有最小值，故只有a＝ 3 知足题意．选 B. 【答案】 B4．已知 g(x)是R上的奇函数，当 x＜ 0x3， x≤0，时，g(x) ＝－ ln(1 － x)，函数 f(x)＝g x ，x＞0，若 f(2－ x2)＞ f(x)，则实数 x 的取值范围是 ( )A．(－∞，1)∪(2，＋∞ ) B． (－∞，－ 2)∪ (1，＋∞)C．(1,2) D． (－ 2,1)【分析】设 x＞0，则－ x＜ 0，所以 g(－ x)＝－ ln(1 ＋ x)，由于 g(x)是R上的奇函数，x3， x≤0，易知 f(x)是R上的单一递所以 g(x)＝－ g(－x)＝ln(1 ＋ x)，所以 f(x)＝ln 1＋ x ， x＞ 0，增函数，所以原不等式等价于2－ x2＞ x，解得－ 2＜ x＜ 1.应选 D.【答案】 D2x－ y≤0，5．已知实数x， y 知足x＋ y－ 5≥0，若不等式a(x2＋ y2) ≥(x＋ y)2恒成立，则实数a 的y－ 4≤0，最小值是 ________．【分析】可行域为一个三角形ABC 及其内部 (图略 )，此中 A(2,4)，B(1,4)，C5 ,10，3 3所以 y∈ [k OA ， k OB ] ＝ [2,4] ，由于 y ＋ x在 [2,4] 上单一递加，所以y ＋ x ∈5 ,17，不等式 a(x 2xxyx y2 422x y 299＋y ) ≥(x ＋ y) 恒成立等价于 a ≥ x2y 2 5? a min ＝ 5.max【答案】9 52x －y － 2≥06．已知实数 x ，y 知足 x ＋y － 1≤0 ，z ＝ mx ＋ y 的最大值为 3，则实数m 的值是 ( )y ＋ 1≥0A ．－ 2B ． 3C ．8D ． 22x － y － 2≥0【分析】由实数 x ， y 知足 x ＋ y － 1≤0 作出可行域如图，y ＋ 1≥02x － y － 2＝0 ，解得A1, 1，联立y ＋ 1＝ 0 22x － y － 2＝0，解得 B(1,0)，同理 C(2，－ 1)联立x ＋ y － 2＝0化目标函数 z ＝ mx ＋ y 为 y ＝－ mx ＋ z ，当直线 z ＝ mx ＋ y 经过 C 点时，获得最大值3；∴ 3＝ 2m － 1，解得 m ＝ 2.应选 D.【答案】 D1＋ 4的最小值为 ()7．已知函数 f(x) ＝cos πx(0<x<2)，若 a ≠b ，且 f(a)＝ f(b)，则 a b 9A. 2 B ． 9【分析】函数 f( x)＝ cosπx(0< x<2) ，轴为 x＝ 1，若 a≠b，且 f(a)＝ f( b)，所以 a＋ b＝ 2131 4＝1 4 1 1 b 4a所以＋a b (a＋ b) ×＝25ba b 2 a 1 9 2 4 1 ≥ (5＋ 4)＝，当 a＝，b＝时取等号，故a 2 2 3 3＋4b的最小值为92，应选 A.【答案】 A2x－ y＋ 6≥08．已知实数 x，y 知足 x＋ y≥0，若目标函数 z＝－ mx＋ y 的最大值为－ 2m＋ 10，x≤2最小值为－ 2m－ 2，则实数 m 的取值不行能是 ( )A ． 3 B． 2C．0 D．－ 12x－ y＋ 6≥0【分析】由拘束条件x＋ y≥0作出可行域如图，x≤2联立方程组求得A(－ 2,2)， B(2，－ 2)， C(2,10) ，化目标函数z＝－ mx＋ y 为 y＝ mx＋ z，若 m≥0，则目标函数的最大值为 2m＋ 2，最小值为－ 2m－2，－2m＋ 10＝2m＋2由，可知 m＝ 2；－2m－ 2＝－ 2m－ 2若 m＝ 0，则目标函数的最大值为 10，最小值为－ 2，切合题意；若 m＝－ 1，则目标函数的最大值为－ 2m＋ 10，最小值为－ 2m－ 2，切合题意．∴实数 m 的取值不行能是 3.应选 A.【答案】 A－ ln x－x， x＞ 0，1 ＜ ln 1－ 2 的解集为9．已知函数f(x)＝则对于 m 的不等式 f－ ln －x ＋ x， x＜ 0. m 2()A. 0,1B ． (0,2)2C.1,0 ∪ 0,1D ． (－ 2,0)∪ (0,2)22【分析】函数 f(x)的定义域 ( －∞， 0)∪ (0，＋ ∞)对于原点对称，∵ x ＞ 0 时，－ x ＜ 0，f(－ x)＝－ ln x － x ＝ f(x)，同理： x<0 时， f(－ x)＝ f(x) ，∴ f(x)为偶函数．∵ f(x)在(0 ，＋ ∞)上为减函数，且 f(2) ＝－ ln 2 － 2＝ ln 1 －2.2∴当 m ＞ 0 时，由 f1＜ ln 1－ 2，得 f 1 ＜ f(2)，m2m∴ 11m ＜0 时，得－1 ＞ 2，解得 0＜ m ＜ .依据偶函数的性质知当＜ m ＜ 0.m 22【答案】Cx ≥2，时，z ＝ x ＋ y10．已知 x ，y 知足 y ≥2， (a ≥b ＞ 0)的最大值为 2，则 a ＋ b 的最小值为 ()x ＋ y ≤8 a bA ．4＋2 3B ．4－2 3C ．9D ． 8x ≥2，【分析】由拘束条件y ≥2，作出可行域如图，x ＋ y ≤8x ＝ 2，联立，x ＋ y ＝ 8解得 A(2,6)，化目标函数 x y bz ＝＋为 y ＝－ x ＋ bz ，a b ab由图可知，当直线y＝－a x＋ bz 过点 A 时，2 6直线在 y 轴上的截距最大，z 有最大值为＋＝2，即1＋3＝1. a b所以 a＋ b＝ (a＋ b) 1 3a bb ＋3a b 3a＝ 4＋b ≥4＋ 2 ·＝4＋2 3.a a b1＋3＝ 1，当且仅当 a b 即 a＝ 3＋ 1， b＝ 3＋3时取等号．b＝3a，【答案】 A11．若函数 f(x)＝ x4＋ 4x3＋ ax2－ 4x＋ 1 的图象恒在 x 轴上方，则实数 a 的取值范围是 () A．(2，＋∞ ) B． (1，＋∞)C．( 3－1，＋∞) D． (2－ 1，＋∞)2 2【分析】x4＋ 4x3＋ ax2－ 4x＋ 1>0 恒成立，当x＝ 0 时， a∈R，当 x≠0时， a> －x4＋ 4x3－ 4x＋ 1 2 4 1 2 2 1 x2 ＝－ (x ＋4x－x＋x2)＝－ (t ＋ 4t＋ 2) ＝－ (t＋ 2) ＋ 2，此中t＝ x－x∈R，由于－( t＋ 2)2＋ 2≤2，进而 a>2，所以实数 a 的取值范围是 (2，＋∞)，选 A.【答案】 A二、填空题2x＋ y－ 4≥012．已知点 M 的坐标 (x，y)知足不等式x－ y－ 2≤0，N为直线y＝－2x＋2上任一点，y－ 3≤0则|MN|的最小值是 ()5 2 5A. 5B. 5C. 5D. 5 102x ＋ y － 4≥0【分析】点 M 的坐标 ( x ， y)知足不等式组 x － y － 2≤0 的可行y －3≤0域如图： N 为直线 y ＝－ 2x ＋2 上任一点，则 |MN |的最小值，就是两条|－ 2＋4|25 平行线 y ＝－ 2x ＋ 2 与 2x ＋ y － 4＝0 之间的距离： d ＝＝，故选 B.【答案】Ba ba13．设 a>b>c>0 ，若不等式 log2018＋ log 2018 ≥dlog2018 对全部知足题设的 a ，b ， cbcc均成立，则实数 d 的最大值为 ____________．a b a lg2018 lg2018 lg2018【分析】log b 2018＋ log c 2018 ≥dlog c 2018?a ＋b ≥d a ，由于 a>b>c>0 ，lg b lg clg ca ba ab a 1 1)(x ＋ y)的最小值，所以 lg >0 ，lg>0，lg >0 ，设 x ＝ lg ，y ＝ lg ，则 lg＝ x ＋ y ，所以 d ≤(＋bccbccx y1 1 y x y xd ≤4，即实数 d 的而( ＋ )( x ＋ y)＝ 2＋＋ ≥2＋2·＝ 4，当且仅当 x ＝ y 时取等号，进而x y x yx y最大值为 4.【答案】 4x ＋y ≥2，14．已知点 O 是坐标原点，点A(－ 1，－ 2)，若点 M(x ， y)是平面地区 x ≤1，上y ≤2，→ → →1的一个动点， OA ·(OA －MA )＋ m ≤0恒成立，则实数 m 的取值范围是 ________．【分析】→ →由于 OA ＝ ( －1，－ 2)，OM ＝ (x ， y)，→ → → → →所以 OA ·(OA － MA )＝ OA ·OM ＝－ x － 2y.→ → → 1 1 1恒成立．所以不等式 OA ·(OA － MA )＋ ≤0恒成立等价于－ x － 2y ＋m≤0，即 ≤x ＋ 2ym m设 z ＝ x ＋ 2y ，作出不等式组表示的可行域如下图，当目标函数 z ＝ x ＋ 2y 表示的直线经过点 D(1,1)时获得最小值，最小值为 1＋ 2×1＝3；当目标函数 z ＝ x ＋ 2y 表示的直线经过点B(1,2)时获得最大值，最大值1＋ 2×2＝ 5.1所以 x ＋2y ∈ [3,5] ，于是要使 m ≤x ＋ 2y 恒成立，只需 11m 的取值范围是 (－ ∞， 0)∪ 1≤3，解得m ≥ 或 m ＜0，即实数 ,m33【答案】 (－∞，0)∪1,3。

高考线性规划知识点

高考线性规划知识点高考是对学生综合能力的一次全面考查，其中数学是不可避免的一项内容。

而线性规划作为数学中的一个重要章节，也广泛出现在高考中。

本文将围绕高考线性规划知识点展开讨论。

一、线性规划的定义和基本思想线性规划是一种数学优化方法，用于在一组线性约束条件下，求解一个线性目标函数的最大值或最小值。

其基本思想是将求解问题转化为求解函数的最值问题。

二、线性规划的基本要素1. 决策变量：表示问题中需要决策的量或者参数，常用字母表示。

2. 目标函数：表示问题的优化目标，通常是一个线性函数。

3. 约束条件：表示问题的限制条件，常常是一组线性不等式或等式。

4. 可行解集：满足所有约束条件的解的集合。

5. 最优解：在可行解集中使得目标函数取得最大或最小值的解。

三、线性规划的图形解法对于线性规划问题，我们可以通过图形解法快速找到最优解。

具体步骤如下：1. 根据约束条件，将可行解集用直线或者线段表示出来；2. 根据目标函数的方向，确定最优解在可行解集中的位置；3. 在可行解集与目标函数的交点中，寻找最优解。

四、单纯形法除了图形解法外，线性规划还可以通过单纯形法求解。

单纯形法是一种基于表格的算法，通过迭代计算不断逼近最优解。

具体步骤如下：1. 构造初始单纯形表格，包括决策变量、目标函数系数、约束条件等；2. 计算单纯形表格中的各个元素；3. 判断是否达到最优解，若未达到则进行下一次迭代；4. 重复上述步骤，直到获得最优解。

五、常见题型及解题方法在高考中，线性规划题目的形式多样，其中常见题型包括：1. 单纯形表格的构造与迭代计算；2. 最大最小值的求解；3. 边界条件下的最优解；4. 多目标线性规划等。

针对不同题型，我们需要选择合适的解题方法。

对于单纯形表格，按照步骤计算即可。

对于最大最小值的求解，可以使用图形解法或者单纯形法。

对于边界条件下的最优解，需要利用线性规划的基本性质进行推导。

对于多目标线性规划，可以通过目标函数的线性组合转化为单一目标的线性规划等。

线性规划高考试题精选(一)

线性规划高考试题精选<一>一．选择题〔共15小题〕1．设x,y满足约束条件,如此z=2x+y的最小值是〔〕A．﹣15B．﹣9C．1D．92．假如x,y满足,如此x+2y的最大值为〔〕A．1B．3C．5D．93．设x,y满足约束条件,如此z=x+y的最大值为〔〕A．0B．1C．2D．34．x,y满足约束条件如此z=x+2y的最大值是〔〕A．﹣3B．﹣1C．1D．35．假如x、y满足约束条件,如此z=x+2y的取值X围是〔〕A．[0,6]B．[0,4]C．[6,+∞〕D．[4,+∞〕6．设x,y满足约束条件如此z=x﹣y的取值X围是〔〕A．[﹣3,0]B．[﹣3,2]C．[0,2]D．[0,3]7．x,y满足约束条件,如此z=x+2y的最大值是〔〕A．0B．2C．5D．68．设变量x,y满足约束条件,如此目标函数z=x+y的最大值为〔〕A．B．1C．D．39．变量x,y满足约束条件,如此4x+2y的取值X围是〔〕A．[0,10]B．[0,12]C．[2,10]D．[2,12]10．不等式组,表示的平面区域的面积为〔〕A．48B．24C．16D．1211．变量x、y满足条件,如此〔x﹣2〕2+y2的最小值为〔〕A．B．C．5D．12．假如变量x,y满足约束条件且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n,如此m﹣n等于〔〕A．8B．7C．6D．513．设x,y满足约束条件,当且仅当x=y=4时,z=ax﹣y取得最小值,如此实数a的取值X围是〔〕A．[﹣1,1]B．〔﹣∞,1〕C．〔0,1〕D．〔﹣∞,1〕∪〔1,+∞〕14．实数x,y满足,假如z=2x+y的最大值为9,如此实数m的值为〔〕A．1B．2C．3D．415．平面区域的面积是〔〕A．B．C．D．二．选择题〔共25小题〕16．设x,y满足约束条件,如此z=3x﹣2y的最小值为．17．假如x,y满足约束条件,如此z=3x﹣4y的最小值为．18．x,y满足约束条件,如此z=5x+3y的最大值为．19．假如实数x,y满足,如果目标函数z=x﹣y的最小值为﹣2,如此实数m=．20．a＞0,x,y满足约束条件假如z=2x+y的最小值为1,如此a=．21．设z=x+y其中x,y满足,假如z的最大值为6,如此z的最小值为．22．点x,y满足不等式组,假如ax+y≤3恒成立,如此实数a的取值X 围是．23．设实数x,y满足约束条件,假如目标函数z=ax+by〔a＞0,b＞0〕的最大值为10,如此a2+b2的最小值为．24．实数x,y满足,如此的最小值为．25．假如变量x,y满足,如此x2+y2的最大值是．26．设变量x,y满足约束条件,如此的取值X围是．27．在平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定,假如M〔x,y〕为D上的动点,点A的坐标为〔2,1〕,如此的最大值为．28．动点P〔x,y〕满足：,如此x2+y2﹣6x的最小值为．29．实数x,y满足,如此的最小值是．30．设实数x,y满足,如此2y﹣x的最大值为．31．设x、y满足约束条件,如此目标函数z=x2+y2的最大值为．32．x,y满足约束条件,假如z=ax+y的最大值为4,如此a=．33．假如x,y满足约束条件,如此的最小值是．34．假如x,y满足约束条件,如此的X围是．35．实数x,y满足：,z=2x﹣2y﹣1,如此z的取值X围是．36．假如实数x,y满足不等式组,目标函数z=kx﹣y的最大值为12,最小值为0,如此实数k=．37．假如实数x、y满足不等式组,且z=y﹣2x的最小值等于﹣2,如此实数m的值等于．38．设x,y满足不等式组,假如z=ax+y的最大值为2a+4,最小值为a+1,如此实数a的取值X围为．39．不等式组表示的平面区域的面积为,如此实数k=．40．变量x,y满足的约束条件,假如x+2y≥﹣5恒成立,如此实数a的取值X围为．线性规划高考试题精选<一>参考答案与试题解析一．选择题〔共15小题〕1．〔2017•新课标Ⅱ〕设x,y满足约束条件,如此z=2x+y的最小值是〔〕A．﹣15B．﹣9C．1D．9[解答]解：x、y满足约束条件的可行域如图：z=2x+y 经过可行域的A时,目标函数取得最小值,由解得A〔﹣6,﹣3〕,如此z=2x+y 的最小值是：﹣15．应当选：A．2．〔2017•〕假如x,y满足,如此x+2y的最大值为〔〕A．1B．3C．5D．9[解答]解：x,y满足的可行域如图：由可行域可知目标函数z=x+2y经过可行域的A时,取得最大值,由,可得A 〔3,3〕,目标函数的最大值为：3+2×3=9．应当选：D．3．〔2017•新课标Ⅰ〕设x,y满足约束条件,如此z=x+y的最大值为〔〕A．0B．1C．2D．3[解答]解：x,y满足约束条件的可行域如图：,如此z=x+y经过可行域的A时,目标函数取得最大值,由解得A〔3,0〕,所以z=x+y 的最大值为：3．应当选：D．4．〔2017•某某〕x,y满足约束条件如此z=x+2y的最大值是〔〕A．﹣3B．﹣1C．1D．3[解答]解：x,y满足约束条件的可行域如图：目标函数z=x+2y经过可行域的A时,目标函数取得最大值,由：解得A〔﹣1,2〕,目标函数的最大值为：﹣1+2×2=3．应当选：D．5．〔2017•某某〕假如x、y满足约束条件,如此z=x+2y的取值X围是〔〕A．[0,6]B．[0,4]C．[6,+∞〕D．[4,+∞〕[解答]解：x、y满足约束条件,表示的可行域如图：目标函数z=x+2y经过C点时,函数取得最小值,由解得C〔2,1〕,目标函数的最小值为：4目标函数的X围是[4,+∞〕．应当选：D．6．〔2017•新课标Ⅲ〕设x,y满足约束条件如此z=x﹣y的取值X围是〔〕A．[﹣3,0]B．[﹣3,2]C．[0,2]D．[0,3][解答]解：x,y满足约束条件的可行域如图：目标函数z=x﹣y,经过可行域的A,B时,目标函数取得最值,由解得A〔0,3〕,由解得B〔2,0〕,目标函数的最大值为：2,最小值为：﹣3,目标函数的取值X围：[﹣3,2]．应当选：B．7．〔2017•某某〕x,y满足约束条件,如此z=x+2y的最大值是〔〕A．0B．2C．5D．6[解答]解：画出约束条件表示的平面区域,如以下图；由解得A〔﹣3,4〕,此时直线y=﹣x+z在y轴上的截距最大,所以目标函数z=x+2y的最大值为=﹣3+2×4=5．zmax应当选：C．8．〔2017•某某〕设变量x,y满足约束条件,如此目标函数z=x+y的最大值为〔〕A．B．1C．D．3[解答]解：变量x,y满足约束条件的可行域如图：目标函数z=x+y结果可行域的A点时,目标函数取得最大值,由可得A〔0,3〕,目标函数z=x+y的最大值为：3．应当选：D．9．〔2017•某某三模〕变量x,y满足约束条件,如此4x+2y的取值X 围是〔〕A．[0,10]B．[0,12]C．[2,10]D．[2,12][解答]解：法1：作出不等式组表示的平面区域,得到如图的四边形与其内部,其中A〔2,1〕,B〔0,1〕,设z=F〔x,y〕=4x+2y,将直线l：z=4x+2y进展平移,可得当l经过点A时,目标函数z达到最大值,z=F〔2,1〕=10,最大值=F〔0,1〕=2当l经过点B时,目标函数z达到最小值,z最小值因此,z=4x+2y的取值X围是[2,10]．法2：令4x+2y=μ〔x+y〕+λ〔x﹣y〕,如此,解得μ=3,λ=1,故4x+2y=3〔x+y〕+〔x﹣y〕,又1≤x+y≤3,故3≤3〔x+y〕≤10,又﹣1≤x﹣y≤1,所以4x+2y∈[2,10]．应当选C．10．〔2017•某某二模〕不等式组,表示的平面区域的面积为〔〕A．48B．24C．16D．12[解答]解：画出不等式组表示的平面区域如图阴影所示,如此点A〔﹣2,2〕、B〔2,﹣2〕、C〔2,10〕,=|BC|•h=×〔10+2〕×〔2+2〕=24．所以平面区域面积为S△ABC应当选：B．11．〔2017•某某二模〕变量x、y满足条件,如此〔x﹣2〕2+y2的最小值为〔〕A．B．C．5D．[解答]解：作出不等式组对应的平面区域,设z=〔x﹣2〕2+y2,如此z的几何意义为区域内的点到定点D〔2,0〕的距离的平方,由图象知CD的距离最小,此时z最小．由得,即C〔0,1〕,此时z=〔x﹣2〕2+y2=4+1=5,应当选：C．12．〔2017•林芝县校级三模〕假如变量x,y满足约束条件且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n,如此m﹣n等于〔〕A．8B．7C．6D．5[解答]解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y,得y=﹣2x+z,平移直线y=﹣2x+z,由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C时,直线y=﹣2x+z的截距最大,此时z最大,由,解得,即C〔2,﹣1〕,此时最大值z=2×2﹣1=3,当直线y=﹣2x+z经过点B时,直线y=﹣2x+z的截距最小,此时z最小,由,解得,即B〔﹣1,﹣1〕,最小值为z=﹣2﹣1=﹣3,故最大值m=3,最小值为n=﹣3,如此m﹣n=3﹣〔﹣3〕=6,应当选：C13．〔2017•瑞安市校级模拟〕设x,y满足约束条件,当且仅当x=y=4时,z=ax﹣y取得最小值,如此实数a的取值X围是〔〕A．[﹣1,1]B．〔﹣∞,1〕C．〔0,1〕D．〔﹣∞,1〕∪〔1,+∞〕[解答]解：作出约束条件所对应的可行域〔如图阴影〕,变形目标函数可得y=ax﹣z,其中直线斜率为a,截距为﹣z,∵z=ax﹣y取得最小值的最优解仅为点A〔4,4〕,∴直线的斜率a＜1,即实数a的取值X围为〔﹣∞,1〕应当选：B．14．〔2017•某某一模〕实数x,y满足,假如z=2x+y的最大值为9,如此实数m的值为〔〕A．1B．2C．3D．4[解答]解：作出不等式组对应的平面区域如图：〔阴影局部〕．由z=2x+y得y=﹣2x+z,平移直线y=﹣2x+z,由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B时,直线y=﹣2x+z的截距最大,此时z最大,此时2x+y=9．由,解得,即B〔4,1〕,∵B在直线y=m上,∴m=1,应当选：A15．〔2017•五模拟〕平面区域的面积是〔〕A．B．C．D．[解答]解：作出不等式组对应的平面区域如图,如此区域是圆心角是是扇形,故面积是．应当选：A．二．选择题〔共25小题〕16．〔2017•新课标Ⅰ〕设x,y满足约束条件,如此z=3x﹣2y的最小值为﹣5 ．[解答]解：由x,y满足约束条件作出可行域如图,由图可知,目标函数的最优解为A,联立,解得A〔﹣1,1〕．∴z=3x﹣2y的最小值为﹣3×1﹣2×1=﹣5．故答案为：﹣5．17．〔2017•新课标Ⅲ〕假如x,y满足约束条件,如此z=3x﹣4y的最小值为﹣1 ．[解答]解：由z=3x﹣4y,得y=x﹣,作出不等式对应的可行域〔阴影局部〕,平移直线y=x﹣,由平移可知当直线y=x﹣,经过点B〔1,1〕时,直线y=x﹣的截距最大,此时z取得最小值,将B的坐标代入z=3x﹣4y=3﹣4=﹣1,即目标函数z=3x﹣4y的最小值为﹣1．故答案为：﹣1．18．〔2017•明山区校级学业考试〕x,y满足约束条件,如此z=5x+3y的最大值为35 ．[解答]解：不等式组对应的平面区域如图：由z=5x+3y得y=﹣,平移直线y=﹣,如此由图象可知当直线y=﹣经过点B时直线y=﹣的截距最大,此时z最大,由,解得,即B〔4,5〕,此时M=z=5×4+3×5=35,故答案为：3519．〔2017•某某模拟〕假如实数x,y满足,如果目标函数z=x﹣y的最小值为﹣2,如此实数m= 8 ．[解答]解：画出x,y满足的可行域如如下图：可得直线y=2x﹣1与直线x+y=m的交点使目标函数z=x﹣y取得最小值,故,解得x=,y=,代入x﹣y=﹣2得﹣=﹣2⇒m=8故答案为：8．20．〔2017•某某三模〕a＞0,x,y满足约束条件假如z=2x+y的最小值为1,如此a=．[解答]解：先根据约束条件画出可行域,设z=2x+y,将最大值转化为y轴上的截距,当直线z=2x+y经过点B时,z最小,由得：,代入直线y=a〔x﹣3〕得,a=；故答案为：21．〔2017•某某模拟〕设z=x+y其中x,y满足,假如z的最大值为6,如此z的最小值为﹣3 ．[解答]解：作出可行域如图：直线x+y=6过点A〔k,k〕时,z=x+y取最大,∴k=3,z=x+y过点B处取得最小值,B点在直线x+2y=0上,∴B〔﹣6,3〕,∴z的最小值为=﹣6+3=﹣3．故填：﹣3．22．〔2017•黄冈模拟〕点x,y满足不等式组,假如ax+y≤3恒成立,如此实数a的取值X围是〔﹣∞,3]．[解答]解：满足不等式组的平面区域如右图所示,由于对任意的实数x、y,不等式ax+y≤3恒成立,==﹣3,根据图形,可得斜率﹣a≥0或﹣a＞kAB解得：a≤3,如此实数a的取值X围是〔﹣∞,3]．故答案为：〔﹣∞,3]．23．〔2017•某某模拟〕设实数x,y满足约束条件,假如目标函数z=ax+by〔a＞0,b＞0〕的最大值为10,如此a2+b2的最小值为．[解答]解：由z=ax+by〔a＞0,b＞0〕得y=,作出可行域如图：∵a＞0,b＞0,∴直线y=的斜率为负,且截距最大时,z也最大．平移直线y=,由图象可知当y=经过点A时,直线的截距最大,此时z也最大．由,解得,即A〔4,6〕．此时z=4a+6b=10,即2a+3b﹣5=0,即〔a,b〕在直线2x+3y﹣5=0上,a2+b2的几何意义为直线上点到原点的距离的平方,如此原点到直线的距离d=,如此a2+b2的最小值为d2=,故答案为：．24．〔2017•历下区校级三模〕实数x,y满足,如此的最小值为．[解答]解：作出不等式组对应的平面区域如图,的几何意义是区域内的点与点E〔3,0〕的斜率,由图象知AE的斜率最小,由得,即A〔0,1〕,此时的最小值为=,故答案为：．25．〔2017•平遥县模拟〕假如变量x,y满足,如此x2+y2的最大值是10 ．[解答]解：由约束条件作出可行域如图,联立,解得B〔3,﹣1〕,x2+y2的几何意义为可行域内动点与原点距离的平方,其最大值|OB|2=32+〔﹣1〕2=10,故答案为：10．26．〔2017•某某模拟〕设变量x,y满足约束条件,如此的取值X围是．[解答]解：不等式组表示的区域如图,的几何意义是可行域内的点与点〔﹣1,﹣1〕构成的直线的斜率问题．当取得点A〔0,1〕时,取值为2,当取得点C〔1,0〕时,取值为,故答案为：27．〔2017•某某一模〕在平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定,假如M〔x,y〕为D上的动点,点A的坐标为〔2,1〕,如此的最大值为7 ．[解答]解：由约束条件作出可行域如图,令z==2x+y,化为y=﹣2x+z,由图可知,当直线y=﹣2x+z过B〔2,3〕时,z有最大值为2×2+3=7．故答案为：7．28．〔2017•某某二模〕动点P〔x,y〕满足：,如此x2+y2﹣6x的最小值为．[解答]解：由,∵y+＞y+|y|≥0,∴,∵函数f〔x〕=是减函数,∴x≤y,∴原不等式组化为．该不等式组表示的平面区域如如下图：∵x2+y2﹣6x=〔x﹣3〕2+y2﹣9．由点到直线的距离公式可得,P〔3,0〕区域中A〔〕的距离最小,所以x2+y2﹣6x的最小值为．故答案为：﹣．29．〔2017•某某一模〕实数x,y满足,如此的最小值是．[解答]解：作出不等式组所表示的平面区域如以下图：由于可以看做平面区域内的点与原点的连线的斜率,结合图形可知,当直线过OA时斜率最小．由于可得A〔4,3〕,此时k=．故答案为：．30．〔2017•和平区校级模拟〕设实数x,y满足,如此2y﹣x的最大值为5 ．[解答]解：画出,的可行域如图：将z=2y﹣x变形为y=x+z作直线y=x将其平移至A时,直线的纵截距最大,z 最大,由可得A〔﹣1,2〕,z的最大值为：5．故答案为：5．31．〔2017•某某二模〕设x、y满足约束条件,如此目标函数z=x2+y2的最大值为52 ．[解答]解：作出不等式组表示的平面区域,得到如图的四边形OABC,其中A〔0,2〕,B〔4,6〕,C〔2,0〕,O为原点设P〔x,y〕为区域内一个动点,如此|OP|=表示点P到原点O的距离∴z=x2+y2=|OP|2,可得当P到原点距离最远时z达到最大值因此,运动点P使它与点B重合时,z达到最大值=42+62=52∴z最大值故答案为：5232．〔2017•某某模拟〕x,y满足约束条件,假如z=ax+y的最大值为4,如此a= 2 ．[解答]解：作出不等式组对应的平面区域如图：〔阴影局部〕．如此A〔2,0〕,B〔1,1〕,假如z=ax+y过A时取得最大值为4,如此2a=4,解得a=2,此时,目标函数为z=2x+y,即y=﹣2x+z,平移直线y=﹣2x+z,当直线经过A〔2,0〕时,截距最大,此时z最大为4,满足条件,假如z=ax+y过B时取得最大值为4,如此a+1=4,解得a=3,此时,目标函数为z=3x+y,即y=﹣3x+z,平移直线y=﹣3x+z,当直线经过A〔2,0〕时,截距最大,此时z最大为6,不满足条件,故a=2；故答案为：2．33．〔2017•南雄市二模〕假如x,y满足约束条件,如此的最小值是．[解答]解：x,y满足约束条件的可行域如图：如此的几何意义是可行域的点到坐标原点距离,由图形可知OP的距离最小,直线x+y﹣2=0的斜率为1,所以|OP|=．故答案为：．34．〔2017•清城区校级一模〕假如x,y满足约束条件,如此的X 围是．[解答]解：作出不等式组对应的平面区域如图：的几何意义是区域内的点到定点D〔﹣1,0〕的斜率,由图象知CD的斜率最小,由得C〔,〕,如此CD的斜率z==,即z=的取值X围是〔0,],故答案为：．35．〔2017•梅河口市校级一模〕实数x,y满足：,z=2x﹣2y﹣1,如此z的取值X围是[﹣,5〕．[解答]解：不等式对应的平面区域如图：〔阴影局部〕．由z=2x﹣2y﹣1得y=x﹣,平移直线y=x﹣,由平移可知当直线y=x﹣,经过点C时,直线y=x﹣的截距最小,此时z取得最大值,由,解得,即C〔2,﹣1〕,此时z=2x﹣2y﹣1=4+2﹣1=5,可知当直线y=x﹣,经过点A时,直线y=y=x﹣的截距最大,此时z取得最小值,由,得,即A〔,〕代入z=2x﹣2y﹣1得z=2×﹣2×﹣1=﹣,故z∈[﹣,5〕．故答案为：[﹣,5〕．36．〔2017•某某一模〕假如实数x,y满足不等式组,目标函数z=kx﹣y的最大值为12,最小值为0,如此实数k= 3 ．[解答]解：实数x,y满足不等式组的可行域如图：得：A〔1,3〕,B〔1,﹣2〕,C〔4,0〕．①当k=0时,目标函数z=kx﹣y的最大值为12,最小值为0,不满足题意．②当k＞0时,目标函数z=kx﹣y的最大值为12,最小值为0,当直线z=kx﹣y过C 〔4,0〕时,Z取得最大值12．当直线z=kx﹣y过A〔1,3〕时,Z取得最小值0．可得k=3,满足题意．③当k＜0时,目标函数z=kx﹣y的最大值为12,最小值为0,当直线z=kx﹣y过C 〔4,0〕时,Z取得最大值12．可得k=﹣3,当直线z=kx﹣y过,B〔1,﹣2〕时,Z取得最小值0．可得k=﹣2,无解．综上k=3故答案为：3．37．〔2017•夏邑县校级模拟〕假如实数x、y满足不等式组,且z=y﹣2x的最小值等于﹣2,如此实数m的值等于﹣1 ．[解答]﹣1解：由z=y﹣2x,得y=2x+z,作出不等式对应的可行域,平移直线y=2x+z,由平移可知当直线y=2x+z经过点A〔1,0〕时,直线y=2x+z的截距最小,此时z取得最小值为﹣2,即y﹣2x=﹣2,点A也在直线x+y+m=0上,如此m=﹣1,故答案为：﹣138．〔2017•阳山县校级一模〕设x,y满足不等式组,假如z=ax+y的最大值为2a+4,最小值为a+1,如此实数a的取值X围为[﹣2,1]．[解答]解：由z=ax+y得y=﹣ax+z,直线y=﹣ax+z是斜率为﹣a,y轴上的截距为z的直线,作出不等式组对应的平面区域如图：如此A〔1,1〕,B〔2,4〕,∵z=ax+y的最大值为2a+4,最小值为a+1,∴直线z=ax+y过点B时,取得最大值为2a+4,经过点A时取得最小值为a+1,假如a=0,如此y=z,此时满足条件,假如a＞0,如此目标函数斜率k=﹣a＜0,要使目标函数在A处取得最小值,在B处取得最大值,=﹣1,如此目标函数的斜率满足﹣a≥kBC即0＜a≤1,假如a＜0,如此目标函数斜率k=﹣a＞0,要使目标函数在A处取得最小值,在B处取得最大值,如此目标函数的斜率满足﹣a≤k=2,AC即﹣2≤a＜0,综上﹣2≤a≤1,故答案为：[﹣2,1]．39．〔2017•某某三模〕不等式组表示的平面区域的面积为,如此实数k= 4 ．[解答]解：画出不等式组表示的平面区域,如以下图,由题意可知k＞0,可行域的三个顶点为A〔0,0〕,B〔,〕,C〔,〕,∵AB⊥BC,|AB|=k,点C到直线AB的距离为k,=AB•BC=×k×k=,∴S△ABC解得k=4,故答案为：4．40．〔2017•某某区校级一模〕变量x,y满足的约束条件,假如x+2y≥﹣5恒成立,如此实数a的取值X围为[﹣1,1]．[解答]解：由题意作出其平面区域,如此x+2y≥﹣5恒成立可化为图象中的阴影局部在直线x+2y=﹣5的上方,如此实数a的取值X围为[﹣1,1]．故答案为：[﹣1,1]．。

高中数学线性规划考点解析及例题辅导.docx

简单的线性规划及实际应用高考要求1了解二元一次不等式表示平面区域2了解线性规划的意义并会简单的应用知识点归纳1 二元一次不等式表示平面区域:在平面直角坐标系中，已知直线Ax+By+C=0，坐标平面内的点P（ x0， y0）B＞ 0 时，① Ax0+By0+C＞ 0，则点 P（x0，y0）在直线的上方；② Ax0+By0+C＜0，则点 P（ x0，y0）在直线的下方对于任意的二元一次不等式 Ax+By+C＞0（或＜ 0），无论 B 为正值还是负值，我们都可以把 y 项的系数变形为正数当 B＞ 0 时，① Ax+By+C＞0 表示直线 Ax+By+C=0 上方的区域；② Ax+By+C＜ 0 表示直线Ax+By+C=0 下方的区域2 线性规划 :求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题满足线性约束条件的解（x，y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域（类似函数的定义域）；使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题线性规划问题一般用图解法，其步骤如下：（ 1）根据题意，设出变量x、 y；（ 2）找出线性约束条件；（ 3）确定线性目标函数z=f（ x，y）；（ 4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；（ 5）利用线性目标函数作平行直线系f（ x， y） =t（t 为参数）；（6）观察图形，找到直线 f（x， y） =t 在可行域上使 t 取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案题型讲解例 1 求不等式｜ x － 1｜ +｜ y － 1｜≤ 2 表示的平面区域的面积分析：依据条件画出所表达的区域，再根据区域的特点求其面积解：｜ x － 1｜ +｜ y － 1｜≤ 2 可化为x 1 x 1 x 1x 1 y 1 或 y 1 或 y 1或 y 1x y 4xy 2x y 2xy 0其平面区域如图∴面积 S= 1×4× 4=82点评：画平面区域时作图要尽量准确，要注意边界例 2某人上午 7 时，乘摩托艇以匀速 v n mi le/h （ 4≤ v ≤ 20）从 A 港出发到距 50 n mi le的 B 港去，然后乘汽车以匀速w km/h （30≤ w ≤ 100）自 B 港向距 300 km 的 C 市驶去应该在同一天下午 4 至 9 点到达 C 市设乘汽车、摩托艇去所需要的时间分别是x h 、 y h（ 1）作图表示满足上述条件的x 、y 范围；（ 2）如果已知所需的经费 p=100+3×（ 5－ x ） +2×（ 8－ y ）（元），那么 v 、w 分别是多少时走得最经济 ?此时需花费多少元 ?分析：由 p=100+3 ×（ 5－x ） +2 ×（ 8－ y ）可知影响花费的是 3x+2y 的取值范围解：（ 1）依题意得 v=50， w=300， 4≤v ≤ 20， 30≤ w ≤100yx∴ 3≤ x ≤ 10， 5 ≤ y ≤25①22y由于乘汽车、摩托艇所需的时间和 x+y 应在149至14个小时之间，9即 9≤x+y ≤ 14②因此，满足①②的点（ x ，y ）的存在范围是2.5图中阴影部分（包括边界）o 39 10 14 x（ 2）∵ p=100+3 ·（ 5－ x ）+2·（ 8－y ），∴ 3x+2y=131－ p设 131－ p=k ，那么当 k 最大时， p 最小在通过图中的阴影部分区域（包括边界）且斜率为－ 3的直线 3x+2y=k 中，使 k 值最大的直线必通过点（10，4），即当 x=10，y=4 时， p 最小2此时， v=12 5， w=30 ， p 的最小值为 93 元点评：线性规划问题首先要根据实际问题列出表达约束条件的不等式然后分析要求量的几何意义例 3 某矿山车队有 4 辆载重量为 10 t 的甲型卡车和 7 辆载重量为 6 t 的乙型卡车，有9 名驾驶员此车队每天至少要运 360 t 矿石至冶炼厂已知甲型卡车每辆每天可往返 6 次，乙型卡车每辆每天可往返 8次甲型卡车每辆每天的成本费为252 元，乙型卡车每辆每天的成本费为 160 元问每天派出甲型车与乙型车各多少辆，车队所花成本费最低?分析：弄清题意，明确与运输成本有关的变量的各型车的辆数，找出它们的约束条件，列出目标函数，用图解法求其整数最优解解：设每天派出甲型车x 辆、乙型车 y 辆，车队所花成本费为z 元，那么x y 9y106x 6 8 y 360x4, x N7y7, y Nz=252x+160y，作出不等式组所表示的平面区域，如图作出直线l 0：252x+160y=0，把直线 l 移，使其经过可行域上的整点，且使在距最小观察图形，可见当直线5x+4y=30即可行域，x+y=9向右上方平o4xy 轴上的截252x+160y=t 经过点（ 2， 5）时，满足上述要求此时， z=252 x+160 y 取得最小值，即x=2， y=5 时， z min=252× 2+160 ×5=1304答：每天派出甲型车 2 辆，乙型车 5 辆，车队所用成本费最低点评：用图解法解线性规划题时，求整数最优解是个难点，对作图精度要求较高，平行直线系 f（x， y） =t 的斜率要画准，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法”先作出可行域中的各整点4 x y6例 4设z2x y ，式中变量x, y 满足条件2 x y4求 z 的最大值和最小值解：由已知，变量x, y 满足的每个不等式都表示一个平面区域，因此①所表示的区域为如图中的四边形ABCD当 z2x y 过点C时，z 取最小值，当 z 2 x y 过点 A 时，z取最大值即当 x3, y1时， z min7 ，当 x 5, y 1时， z max11例 5某糖果公司得一条流水线不论生产与否每天都要支付3000 元的固定费用，它生产 1 千克糖果的成本是 10 元，而销售价是每千克 15 元，试问：每天应生产并销售多少糖果，才能使收支平衡，即它的盈亏平衡点是多少？解：设生产x 千克的糖果的成本函数为y( x) 3000 10x ，销售 x 千克的糖果的收益函数为 R(x)15x ，在同一坐标系中画出它们的图像，交点的横坐标就是反映盈亏平衡的产销量，令 y( x) R( x) ，得 3000 10x 15x得 x600. ，即每天必须生产并销售600 千克糖果，这条流水线才能做到盈亏平衡，从图中可以看出，当x600 时，R( x) y( x)，表示有盈利，反之则表示亏本例6某人有楼房一幢，室内面积共180m2，拟分隔成两类房间作为旅游客房，大房间每间面积为18，可住游客 5 名，每名游客每天住宿费为40 元，小房间每间面积为15，可住游客 3 名，每名游客每天住宿费为50 元，装修大房间每间需要1000 元，装修小房间每间需要 600 元，如果他们只能筹 8000 元用于装修，且游客能住满客房，它应隔出大房间和小房间各多少间，能获最大利益？解：设应隔出大房间x 间和小房间y 间，则18 x15 y180 且 1000 x600 y8000，x, y Ny目标函数为z 5 40x 350 y ，10作出约束条件可行域：5根据目标函数z 200x150 y ，作出一组平行线200x150 y to5x 当此线经过直线18x15 y 180和直线 1000 x 600 y8000的交点 C(20,60) ，77此直线方程为 200x150y 13000，7由于 ( 20,60) 不是整数，所以经过整点（3，8）时，才是他们的最优解，同时经过整点(0,12) 7 7也是最优解即应隔大房间 3 间，小房间8 间，或者隔大房间0 间，小房间12 间，所获利益最大如果考虑到不同客人的需要，应隔大房间 3 间，小房间8 间小结：简单的线性规划在实际生产生活中应用非常广泛，主要解决的问题是：在资源的限制下，如何使用资源来完成最多的生产任务；或是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的资源来完成如常见的任务安排问题、配料问题、下料问题、布局问题、库存问题，通常解法是将实际问题转化为数学模型，归结为线性规划，使用图解法解决图解法解决线性规划问题时，根据约束条件画出可行域是关键的一步一般地，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的非封闭平面区域第二是画好线性目标函数对应的平行直线系，特别是其斜率与可行域边界直线斜率的大小关系要判断准确通常最优解在可行域的顶点（即边界线的交点）处取得，但最优整数解不一定是顶点坐标的近似值它应是目标函数所对应的直线平移进入可行域最先或最后经过的那一整点的坐标学生练习1下列命题中正确的是A 点（ 0，0）在区域x+y≥ 0 内B 点（ 0， 0）在区域x+y+1<0 内C 点（ 1， 0）在区域 y>2x 内D 点（ 0， 1）在区域 x－ y+1>0 内解析：将（ 0， 0）代入 x+y≥ 0，成立答案： A2 设动点坐标（ x， y）满足（x－y+1）（x+y－ 4）≥ 0，x≥3，则x2+y2的最小值为A 5B10C 17D 10 2解析：数形结合可知当x=3， y=1 时， x2+y2的最小值为 10答案： D3 不等式组 2 x－y+1≥ 0，x－ 2y－1≤0， x+y≤1表示的平面区域为A 在第一象限内的一个无界区域B 等腰三角形及其内部C 不包含第一象限内的点的一个有界区域D 正三角形及其内部答案： B4 点（－ 2， t）在直线2x－ 3y+6=0 的上方，则 t 的取值范围是 ______解析：（－ 2，t）在 2x－3y+6=0 的上方，则2×（－ 2）－ 3t+6＜0，解得 t＞2答案： t＞2 33x0,5 不等式组y0,表示的平面区域内的整点（横坐标和纵坐标都是整数的点）共有4x 3 y12____________个解析：（ 1，1），（ 1，2），（ 2，1），共 3 个答案： 36 （ x－1）2+（ y－ 1）2=1 是｜ x－ 1｜ +｜ y－ 1｜≤ 1 的__________ 条件A 充分而不必要B 必要而不充分C 充分且必要D 既不充分也不必要答案： B7（ x+2y+1）（x－ y+4 ）≤ 0 表示的平面区域为A B C D答案： B8 画出以 A（ 3，－ 1）、 B（－ 1， 1）、 C（1， 3）为顶点的△ ABC 的区域（包括各边），写出该区域所表示的二元一次不等式组，并求以该区域为可行域的目标函数z=3x－ 2y 的最大值和最小值分析：本例含三个问题：①画指定区域；②写所画区域的代数表达式——不等式组；③求以所写不等式组为约束条件的给定目标函数的最值解：如图，连结点A、B、 C，则直线AB 、BC、 CA 所围成的区域为所求△ABC 区域直线 AB 的方程为x+2y－ 1=0 ， BC 及 CA 的直线方程分别为x－y+2=0 ， 2x+y－ 5=0在△ ABC 内取一点P（ 1， 1），分别代入 x+2y－ 1， x－ y+2， 2x+y－ 5得 x+2y －1>0 ， x －y+2>0， 2x+y － 5<0因此所求区域的不等式组为x+2y － 1≥0， x － y+2≥ 0， 2x+y － 5≤ 0作平行于直线 3x －2y=0 的直线系 3x － 2y=t （ t 为参数），即平移直线 y=3x ，观察图形2可知：当直线 y= 3x － 1 t 过 A （ 3，－ 1）时，纵截距－1 t 最小此时 t 最大， t max =3× 3－ 222 2× （－ 1） =11；当直线 y=3x － 1 t 经过点 B （－ 1， 1）时，纵截距－ 1 t 最大，此时 t 有最小值为 t min =2223×（－ 1）－ 2× 1=－5因此，函数 z=3x － 2y 在约束条件x+2y － 1≥0， x － y+2≥ 0， 2x+y － 5≤ 0 下的最大值为 11，最小值为－ 59 某校伙食长期以面粉和大米为主食，面食每100 g 含蛋白质 6 个单位，含淀粉 4 个单位，售价 0 5 元，米食每 100 g 含蛋白质 3 个单位，含淀粉 7 个单位，售价 0 4 元，学校要求给学生配制盒饭，每盒盒饭至少有 8 个单位的蛋白质和 10个单位的淀粉，问应如何配制盒饭，才既科学又费用最少 ?解：设每盒盒饭需要面食x （百克），米食 y （百克），所需费用为 S=0 5x+0 4y ，且 x 、 y 满足 6x+3y ≥ 8， 4x+7 y ≥ 10， x ≥ 0，y ≥ 0，由图可知，直线 y=－ 5x+ 5 S 过 A （ 13，14 ）时，纵421515截距5S 最小，即 S 最小2故每盒盒饭为面食13百克，米食14百克时既科学又费用最少151510 配制 A 、B 两种药剂，需要甲、乙两种原料，已知配一剂 A 种药需甲料 3 mg ，乙料 5mg ；配一剂 B 种药需甲料 5 mg ，乙料 4 mg 今有甲料 20 mg ，乙料 25 mg ，若 A 、 B 两种药至少各配一剂，问共有多少种配制方法?解：设 A 、 B 两种药分别配 x 、y 剂（ x 、 y ∈N ），则x ≥ 1，y ≥ 1， 3x+5 y ≤ 20， 5x+4y ≤ 25上述不等式组的解集是以直线x=1 ，y=1， 3x+5y=20 及 5x+4y=25 为边界所围成的区域，这个区域内的整点为（1，1）、（1，2）、（ 1，3）、（ 2，1）、（ 2，2）、（ 3，1）、（ 3，2）、（4， 1）所以，在至少各配一剂的情况下，共有8 种不同的配制方法．11 某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如下表：资金单位产品所需资金（百元）月资金供应量（百元）空调机洗衣机成本30 20 300劳动力（工资）5 10 110单位利润68试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少 ?解：设空调机、洗衣机的月供应量分别是x 、 y 台，总利润是 P ，则 P=6x+8 y ，由题意有30x+20y ≤ 300， 5x+10y ≤110，x ≥ 0， y ≥0， x 、 y 均为整数由图知直线 y=－ 3 x+ 1P 过 M （ 4，9）时，纵截距最大这时 P 也取最大值 P max =6× 4+848×9=96 （百元）故当月供应量为空调机4 台，洗衣机 9 台时，可获得最大利润 9600 元12 实系数方程 f （ x ）=x 2 +ax+2b=0 的一个根在（0，1）内，另一个根在（ 1， 2）内，求：（ 1）b 2的值域；a 1 （ 2）（ a － 1） 2+（b － 2） 2 的值域；（ 3） a +b －3 的值域解：由题意知f （ 0）＞ 0， f （ 1）＜ 0， f （ 2）＞ 0 b ＞0， a+b+1＜ 0， a+b+2＞ 0 如图所示A （－ 3， 1）、B （－ 2， 0）、C （－ 1， 0）又由所要求的量的几何意义知，值域分别为（1）（1 ， 1）；（ 2）（ 8， 17）；（ 3）（－ 5，4－4）。

高考数学线性规划常见题型及解法

高考数学线性规划常见题型及解法线性规划问题是高考的重点，也是常考题型，属于中等偏简单题，易得分，高考中要求会从实际问题中建立一格二元线性规划的模型，使实际问题得到解决。

现就常见题型及解决方法总结如下：一、求线性目标函数的最值；例题：(2012年广东文5)已知变量,x y 满足条件1110x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值为 A.3 B.1 C.-5 D.-6解析:利用线性规划知识求解。

可行域如图阴影所示，先画出直线0:2l y x =-，平移直线0l ,当直线过点A 时，2z x y =+的值最小，得110,x x y =-⎧⎨--=⎩12,x y =-⎧⎨=-⎩min (1,2),12(2)5A z ∴--∴=-+⨯-=- 探究提高：本题主要考查线性规划求最值,同时考查学生的作图能力，数形结合思想及运算求解能力，难度适中。

二、求目标函数的取值范围；例题：(2012山东文6)设变量,x y 满足约束条件2224,41x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩则目标函数3z x y =-的取值范围是线30x y -=，并向解析：作出不等式组表示的区域，如图阴影部分所示，作直上、向下平移，由图可得，当直线过点C 时，目标函数取得最大值，当直线过点A 是，目标函数取得最小值，由210,(2,0)240x y A x y ++=⎧⎨+-=⎩得;由4101,(,3)2402x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得Bmax min 133206,3322z z ∴=⨯-==⨯-=-，33-62z x y ⎡⎤∴=-⎢⎥⎣⎦的取值范围是，探究提高：本题设计有新意，作出可行域，寻求最优解条条件，取得目标函数的最大（小）值，进一步确定取值范围三、求约束条件中参数的取值；例题：(2012福建文10)若直线2xy =上存在点(,)x y 满足条件-30-2-30,x y x y x m +≥⎧⎪≤⎨⎪≥⎩则实数m 的最大值为（）解析：在同一直角坐标系中函数2xy =的图像及30230x y x y +-≤⎧⎨--≤⎩，所表示的平面区域图阴影部分所示。

高三数学线性规划试题答案及解析

高三数学线性规划试题答案及解析1.已知满足约束条件，当目标函数在该约束条件下取到最小值时，的最小值为（）A．5B．4C．D．2【答案】B【解析】画出可行域（如图所示），由于，所以，经过直线与直线的交点时，取得最小值，即，代人得，，所以，时，，选B.【考点】简单线性规划的应用，二次函数的图象和性质.2.若、满足，且的最小值为，则的值为（）A．2B．C．D．【答案】D【解析】若，没有最小值，不合题意；若，则不等式组表示的平面区域如图阴影部分，由图可知，直线在点处取得最小值，所以，解得.故选D.【考点】不等式组表示的平面区域，求目标函数的最小值，容易题.3.若变量x，y满足约束条件，则z＝2x＋y－4的最大值为()A．－4B．－1C．1D．5【答案】C【解析】画出不等式组表示的平面区域(如图中的阴影部分所示)及直线2x＋y＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点(2,1)(该点是直线x＋y－3＝0与y＝1的交点)时，相应直线在y 轴上的截距最大，此时z＝2x＋y－4取得最大值，最大值为z＝2×2＋1－4＝1，因此选C.max4.（3分）（2011•重庆）设m，k为整数，方程mx2﹣kx+2=0在区间（0，1）内有两个不同的根，则m+k的最小值为（）A．﹣8B．8C．12D．13【答案】D【解析】将一元二次方程的根的分布转化为确定相应的二次函数的图象来处理，根据图象可得到关于m和k的不等式组，此时不妨考虑利用不等式所表示的平面区域来解决，但须注意这不是线性规划问题，同时注意取整点．解：设f（x）=mx2﹣kx+2，由f（0）=2，易知f（x）的图象恒过定点（0，2），因此要使已知方程在区间（0，1）内两个不同的根，即f（x）的图象在区间（0，1）内与x轴有两个不同的交点即由题意可以得到：必有，即，在直角坐标系mok中作出满足不等式平面区域，如图所示，设z=m+k，则直线m+k﹣z=0经过图中的阴影中的整点（6，7）时，=13．z=m+k取得最小值，即zmin故选D．点评：此题考查了二次函数与二次方程之间的联系，解答要注意几个关键点：（1）将一元二次方程根的分布转化一元二次函数的图象与x轴的交点来处理；（2）将根据不等式组求两个变量的最值问题处理为规划问题；（3）作出不等式表示的平面区域时注意各个不等式表示的公共区域；（4）不可忽视求得最优解是整点．5.变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝3x－y的取值范围是()A．[－，6]B．[－，－1]C．[－1,6]D．[－6，]【答案】A【解析】作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示，作直线3x－y＝0，并向上、下平移，由图可得，当直线过点A时，z＝3x－y取最大值；当直线过点B时，z＝3x－y取最小值．由，解得A(2,0)；由，解得B(，3)．∴zmax ＝3×2－0＝6，zmin＝3×－3＝－.∴z＝3x－y的取值范围是[－，6]．6.已知x，y，满足，x≥1，则的最大值为．【答案】【解析】因为，又因为构成一个三角形ABC及其内部的可行域,其中而表示可行域内的点到定点连线的斜率，其范围为，所以当时，取最大值为【考点】线性规划，函数最值7.已知点与点在直线的两侧，且，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由已知，，画出可行域，如图所示.表示可行域内的点与定点连线的斜率，观察图形可知的斜率最大为，故选.【考点】简单线性规划的应用，直线的斜率计算公式.8.给定区域：,令点集在上取得最大值或最小值的点,则中的点共确定______个不同的三角形.【答案】25【解析】把给定的区域:画成线性区域如图：，则满足条件的点在直线上有5个，在直线上有2个，能组成不同三角形的个数为.【考点】线性规划、组合问题.9.已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定. 若为D上的动点，点A的坐标为，则的最大值为（）A．3B．4C．D．【答案】B【解析】画出区域D如图所示，则为图中阴影部分对应的四边形上及其内部的点，又,所以当目标线过点时，,故选B.【考点】线性规划10.设是定义在上的增函数，且对于任意的都有恒成立.如果实数满足不等式,那么的取值范围是【答案】(9,49)【解析】是定义在上的增函数，且对于任意的都有恒成立.所以可得函数为奇函数.由可得，..满足m,n如图所示.令.所以的取值范围表示以原点O为圆心，半径平方的范围，即过点A,B两点分别为最小值，最大值，即9和49.【考点】1.线性规划的问题.2.函数的单调性.3.函数的奇偶性.4.恒成立的问题.11.设变量x，y满足约束条件,则目标函数z＝2y－3x的最大值为( ) A．－3B．2C．4D．5【答案】C【解析】满足约束条件的可行域如图所示．因为函数z＝2y－3x，所以zA ＝－3，zB＝2，zC＝4，即目标函数z＝2y－3x的最大值为4，故选C. [【考点】线性规划.12.如图,已知可行域为及其内部,若目标函数当且仅当在点处取得最大值,则的取值范围是______.【答案】【解析】根据线性规划的知识,可知目标函数的最优解都是在可行域的端点,所以根据题意,故填【考点】线性规划13.设实数x、y满足，则的最大值是_____________.【答案】9【解析】由可行域知,当时,【考点】线性规划14.若点(x，y)位于曲线y＝|x|与y＝2所围成的封闭区域，则2x－y的最小值是()A．－6B．－2C．0D．2【答案】A【解析】曲线y ＝|x|与y ＝2所围成的封闭区域如图阴影部分所示，当直线l ：y ＝2x 向左平移时，(2x －y)的值在逐渐变小，当l 通过点A(－2,2)时，(2x －y)min ＝－6.15. 已知x,y 满足条件则的取值范围是( )A ．[,9]B ．(-∞,)∪(9,+∞)C ．(0,9)D ．[-9,-]【答案】A【解析】画出不等式组表示的平面区域(如图),其中A(4,1),B(-1,-6),C(-3,2).表示区域内的点与点(-4,-7)连线的斜率.由图可知,连线与直线BD 重合时,倾斜角最小且为锐角;连线与直线CD 重合时,倾斜角最大且为锐角.k BD =,k CD =9,所以的取值范围为[,9].16. 已知正数a ，b ，c 满足：5c －3a≤b≤4c －a ，cln b≥a ＋cln c ，则的取值范围是________．【答案】[e,7] 【解析】由题意知作出可行域(如图所示)．由得a ＝，b ＝ c. 此时max＝7. 由得a ＝，b ＝.此时＝＝e.所以∈[e,7]．min17.已知,满足约束条件,若的最小值为,则（）A．B．C．D．【答案】Ａ【解析】先根据约束条件画出可行域，设，将最值转化为轴上的截距，当直线经过点B时，最小，由得：，代入直线得，故选Ａ．【考点】简单线性规划．18.已知实数、满足约束条件，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】作出不等式组所表示的可行域如下图的阴影部分所示，联立得点，联立得点，作直线，则为直线在轴上截距的倍，当直线经过可行域上点时，此时直线在轴上的截距最小，此时取最小值，即；当直线经过可行域上的点时，此时直线在轴上的截距最大，此时取最大值，即，故的取值范围是，故选D.【考点】简单的线性规划问题19.设变量满足约束条件,则的最大值为( )A．6B．3C．D．1【答案】A【解析】这是线性规划的应用.目标函数是线性约束条件所确定的三角形区域内一点与原点的连线的斜率.先画出三条直线所围成的三角形区域，可知，直线与直线的交点坐标(1,6)代入计算得.【考点】线性规划的应用.20.已知是由不等式组所确定的平面区域，则圆在区域内的弧长为________．【答案】【解析】作出可行域及圆如图所示，图中阴影部分所在圆心角所对的弧长即为所求．易知图中两直线的斜率分别是，得，，得得弧长 (为圆半径)．【考点】1.线性规划；2.两角和的正切公式；3.弧长公式.21.设变量x,y满足约束条件其中k(I)当k=1时，的最大值为______；(II)若的最大值为1，则实数k的取值范围是_____.【答案】1，．【解析】目标函数的可行域如图所示：不妨设（由可行域可知，），即，它表示一条开口向上的抛物线，且a的值越大，抛物线的开口就越小． (I)当时，由图象可知当抛物线图象经过点时，有最大值1； (II)表示一条经过点且斜率为k的直线及直线下方的区域，结合(I)可知，当抛物线经过点A时，有最大值1．从而可知，要使有最大值1，抛物线在变化过程中必先经过可行域内的点A，考虑临界状态，即直线与抛物线相切于点，此时，切线斜率，从而有k的取值范围是．【考点】线性规划．22.设满足约束条件，则的最大值为____________.【答案】6【解析】如图所示，在线性规划区域内，斜率为的直线经过该区域并取最大值时，该直线应过点，因此的最大值为6.【考点】线性规划的目标函数最值23.已知实数x，y满足且不等式axy恒成立，则实数a的最小值是．【答案】.【解析】由画出如图所示平面区域,因为区域中,恒成立得恒成立, 令则，函数在上是减函数，在上是增函数所以函数最大值为要使恒成立只要，所以的最小值是.【考点】线性规划,不等式及函数极值.24.已知x，y满足，则的最小值是（）A．0B．C．D．2【答案】B【解析】因为，x，y满足，所以，，画出可行域，表示A(-1,-1)到可行域内的点距离的平方，所以，其最小值为A到直线=0的距离的平方，=。

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