云南省昆明市第一中学2016解高中新课标高三上学期第三次双基检测理科

昆明第一中学2016届高中新课标高三第三次双基检测理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合ln |1x M x y x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭，{|1N y y ==，则M N = （ ） A ．(]0,1B ．()0,1C ．()1,+∞D ．[)1,+∞2．232015i i i i++++=…（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．i3．等比数列{}n a 的前n 项和为 n S ，若23a =，313S =，则33log a 的值为（ ）A ．0B ．2C ．0或2D ．1或24．若20sin a xdx π=⎰，则5(1)(2)ax x +-的展开式中3x 项的系数为（ ）A ．40B ．40-C ．120D ．120-5．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为35S =，那么判断框中应填入的关于n 的条件是（ ）A ．6?n <B ．6?n ≤C ．6?n >D ．6?n ≥6．已知正四棱锥P ABCD -的各顶点在同一个球O ，O 的表面积为（ ）A ．6πB ．8πCD 7．设'()f x 为函数()f x 的导函数，函数'()y xf x =的图象如图，则以下说法错误的是（ ）A ．'(2)'(2)f f =-B ．当2x =-时，函数()f x 取得极小值C ．当2x =时，函数()f x 取得极大值D ．方程'()0xf x =与()0f x =均有3个实根8．已知变量x ，y 满足约束条件20,,,x y y x y x a -≥⎧⎪≥⎨⎪≥-+⎩且2z x y =+的最小值为4，则实数a 的值为（ ）A ．1B ．52C ．83D ．9．某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为2的正方形，则此四面体的体积是（ ）A ．23B ．43C ．83D ．810．设3log 4a =，4log 3b =，3log 2c =，则（ ）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．b c a >>D ．c a b >>11．已知抛物线E ：22y x =的焦点为F ，E 上有四点A ，B ，C ，D 满足0FA FB FC FD +++= ，则||||||||FA FB FC FD +++= （ ）A ．4B ．3C ．2D ．112．在Rt △ABC中，AB AC ==M 为BC 的中点，动点P 满足3PM =，则△ABP 与△ACP 的面积之比的最大值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．在△ABC 中，||||AB AC AB AC +=- ，||2AB = ，||1AC =，D ，E 为线段BC的两个三等分点，则AD AE ⋅=．14．已知函数1()cos()12f x x ωϕ=++（0ω>），若()112f π=，1()42f π=，则ω的最小值为 ．15.从正方体的8个顶点中任取3个点，则以这3个点为顶点能构成正三角形的概率为 ．16．数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知18a =，42a =，且212n n n a a a ++=-（*n N ∈），若n S 的最大值为a ，n nS 的最大值为b ，则a b += ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且222c o s c o s 3s i n s i n1c o sA C A CB +=+． （1）求B ；（2）设函数2()cos cos f x x x x =-（x R ∈），求()f A 的取值范围．18．（本小题满分12分）某工厂在2010年至2014年每年的机器维修费用y （单位：千元）的数据如下表： 年份 2010 2011 2012 2013 2014 年份代号t 1 2 3 4 5 维修费用y 1.8 2.2 2.72.83.5（1）求y 关于t 的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，分析该厂在2010年至2014年每年的机器维修费用的变化情况，并预测该厂在2016年所需的机器维修费用．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为121()()()nii i nii tt y y btt ==--=-∑∑ ， ay bt =-19．（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，A C B C =，1AB AA =，1120ABB ∠=︒．（1）证明：1AB AC ⊥； （2）若平面11A ABB ⊥平面ABC，AB =，AC =111A CC B --的余弦值．20.（本小题满分12分）已知点P 为圆226x y +=上一动点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，点M 满足(12PM PQ =- ．（1）求点M 的轨迹E 的方程；（2）过点(0,2)D -的直线l 与E 交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆N 过坐标原点O ，求圆N 的方程． 21．（本小题满分12分）已知函数()ln()x f x ke x m =-+．（1）若1k m ==，求函数()f x 的极小值； （2）当3k =，3m ≤时，证明：()ln 31f x >-．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号． 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，AB 是圆O 的直径，AC 是弦，直线EF 和圆O 相切于点C ，AD ⊥EF ，垂足为D ，直线EF 交BA 的延长线于点F ．（1）求证：∠BAC =∠DAC ； （2）若2OB =，1AD =，求证：BC AFBF BC=． 23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3,4x m s y s =+⎧⎨=⎩（s 为参数），在以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为cos 24cos ρρθθ=+．（1）求直线l 与曲线C 的普通方程；P（2）设直线l 与x 轴交于点P ，且于曲线C 相交于A ，B 两点，若||AB 是||PA 与||PB 的等比中项，求实数m 的值． 24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()|2|f x x a =+，a R ∈．（1）当1a =-时，求不等式()|1|30f x x ++-≤的解集； （2）若对[]1,2x ∀∈，2()1f x x <+恒成立，求a 的取值范围．昆明市第一中学2016届高三考试参考答案（理科数学）一、选择题BACACBDDCBDA1. 解析：集合|0{M x x =>且1}x ≠，{}|1N y y =≤，所以{}|01M N x x =<<I ，选B ．2. 解析：因为()1230i i i i k k k k k ++++++=∈Z ，所以232015231i i i i i i i +⋅⋅⋅=+++-=++，选A ．3. 解析：因为23a =，313S =，联立化为231030q q -+=，解得13q =或3q =；当13q =时，31a =，33log 0a =，当3q =时，39a =，33log 2a =，选C ．4. 解析：由题意，2200sin (cos )1a xdx x ππ==-=⎰，则5(2)x -展开式中含2x 与3x 的项为232235280T C x x ==，323345240T C x x =-=-，所以5(1)(2)x x +-展开式中3x 项的系数为804040-=，选A.5. 解析：第一次循环，11S =，9n =；第二次循环20S =，8n =；第三次循环，28S =，7n =；第四次循环，35S =，6n =，结束循环，输出35S =，因此n 选C .6. 解析：如图，设点M 为正四棱锥P ABCD -的底面的中心，则PM为四棱锥的高，球心O 必在直线PM 上， 不妨设点O 在线段PM 上，球O 的半径为R ，连接OA ，则OA R =；由条件知13PM =，所以PM =，则2OM R =-，又由条件可求得2AM =，在Rt AOM ∆中，由勾股定理得222)R R =-+得R =O 在线段PM 的延长线上时 求得同样结果，故球O的表面积为248ππ=，选B ． 7. 解析：函数()f x 在(,2)-∞-单调递减，(2,2)-单调递增，(2,)+∞单调递减，所以(2)(2)0f f ''=-=，当2x =-时，函数取得极小值，当2x= 时，函数取得极大值，其图像可如图，所以D 错误，选D ．8. 解析：画出可行域（如图阴影部分所示）和直线0l ：20x y +=，观察图形，知直线2x y z +=过直线y x a =-+和20x y -=的交点2,33a a A ⎛⎫⎪⎝⎭时，z 取得最小值，即22433a a ⨯+=，解得3a =，选D.9. 解析：由于正视图、侧视图、俯视图都是边长为2的正方形，所以此四面体一定可以放在正方体中，所以可以在正方体中寻找四面体，如图所示，四面体ABCD 满足题意，所以此四面体的体积是11884222323-⨯⨯⨯⨯⨯=，选C. 10. 解析：3log 41a b =>>，令()l o g(x f x x =-，()ln(1)log (1)ln x x f x x x-=-=， ()21[ln (1)ln(1)]0(1)ln f x x x x x x x x'=--->-，()f x 在(1,)+∞单调递增，所以()()43f f >，即b c >，所以a b c >>，选B ．11. 解析：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，由+++=0FA FB FC FD得12341111+++=08888y y y y ----，12341+++=2y y y y ，根据抛物线定义有+++=FA FB FC FD12341111+++++++=18888y y y y ，选D ．12. 解析：由1sin sin 2==1sin sin 2ABP ACP AB AP BAPS BAPS CAPAC AP CAP ∆∆⋅⋅⋅∠∠∠⋅⋅⋅∠可知要ABP ∆与ACP ∆的面积之比最大，只需BAP ∠最大，CAP ∠最小，所以当AP 与以M 为圆心，半径为3的圆相切时BAP ∠最大.因为3sin =5MAP ∠，4cos =5MAP ∠，所以ABP ∆与ACP ∆的面积之比的最大值为sin (45+)sin (45)MAP MAP ︒︒∠-∠cos +sin ==7cos sin MAP MAP MAP MAP∠∠∠-∠，选A ． 二、填空题13．10914．315．1716．128 13. 解析：由AB AC AB AC +=-，化简得0AB AC ⋅= ，所以AB AC ⊥，所以ABC ∆为直角三角形. 如图，以AB 所在直线为x轴，以AC 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则()0,0A ，()2,0B ，()0,1C .由D ，E 为线段BC 的两个三等分点知41,33D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22,33E ⎛⎫⎪⎝⎭，41,33AD ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，22,33AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，所以AD AE ⋅= 42121033339⨯+⨯=.14. 解析：由题意可知函数12()cos()1(0)f x x ωϕω=++>的图象的一个对称中心为点,112π⎛⎫⎪⎝⎭，一条对称轴为直线4x π=，所以4412T ππ≤-，即232ππω≤，得3ω≥，所以ω的最小值为3．15. 解析：从正方体的8个顶点中任取3个点有38C 种取法，能构成正三角形的有11ABC ∆，11A DC ∆，11AB D ∆，11CB D ∆，1AB C ∆，1ADC ∆，1ABD ∆，1C BD ∆共8种可能，则所求的概率为81567P ==.16. 解析：因为212()n n n a a a n ++=-∈*N ，所以数列{}n a 为等差数列，由18a =，42a =得2d =-，所以22(1)9818(2)9=224n n n S n n n n -⎛⎫=+-=-+--+ ⎪⎝⎭，可知n S 的最大值20a =； 329n nS n n =-+，由()2318=0n n S n n '=-+，得6n =，可知n nS 的最大值108b =； 所以128a b +=. 三、解答题17．解：（1）由222cos cos sin 1cos A C A C B +=+，得2221sin 1sin sin 2sin A C A C B -+-=-，由正弦定理得：222a cb +-=，于是222cos 2a c b B ac +-==， 所以56B π=． （2）因2()cos cos f x x x x =-cos2122x x +=-1sin(2)62x π=--， 所以1()sin(2)62f A A π=--． 又因为ABC ∆中，56B π=，所以06A π<<，所以2666A πππ-<-<，所以11sin(2)262A π-<-<，即1()0f A -<<，C 1A A1DABCA 1C 1B 1所以()f A 的取值范围是()1,0-． 18．解：（1）由所给数据计算可得1(12345)35t =++++=， 1(1.8 2.2 2.7 2.8 3.5) 2.65y =++++=，521()4101410i i t t =-=++++=∑，51()()(2)(0.8)(1)(0.4)0(0.1)10.220.94iii t t y y =--=-⨯-+-⨯-+⨯-+⨯+⨯=∑，则51521()()40.410()ii i ii tt y y bt t ==--===-∑∑ ， ay bt =- 2.60.43 1.4=-⨯=， 则回归直线方程为 0.4 1.4y t =+．（2）由（1）知，0.40b=> ，故从2010年至2014年每年的机器维修费用在逐年增加，平均每年增加0.4千元，将2016年的年份代号记为7t =，代入（1）中的回归方程得ˆ0.47 1.4 4.2y =⨯+=（千元），故预测该厂在2016年所需的机器维修费用为4.2千元. ……… 12分 17. 解：（Ⅰ）证明：取AB 的中点D ，连接CD ，1A D ，因为1120ABB ∠= ，所以160A AB ∠= ，又1AB AA=， 所以1A AB ∆为正三角形，则11A A A B =，得1AB A D ⊥； 又因为AC BC =，所以AB CD ⊥，因为1A D CD D = ，所以AB ⊥平面1A DC ， 因为1AC ⊂平面1A DC ，所以1AB AC ⊥． （Ⅱ）由（Ⅰ）知1A D AB ⊥，AB CD ⊥，因为平面11A ABB ⊥平面ABC ，交线为AB ， 所以1AD ⊥平面ABC ，则1A D CD ⊥．以D 为原点，分别以DB ，DC ，1DA 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，因为AB =AC =，由（Ⅰ）知11AA A B AB ===， 所以13A D =，CD ；所以(0,0,0)D，(A，B ，1(0,0,3)A，C ，得11CC AA ==，1(0,CA =，(BC =；设(,,)m x y z = 为平面11ACC 的法向量，由1m CC ⊥ ，1m CA ⊥可求得()m =； 设(,,)n x y z = 为平面1BCC的法向量，同理可求得(n =；由cos ,m nm n m n⋅<>=⨯17==， 所以二面角111A CC B --的余弦值为17．18. 解：（Ⅰ）设00(,)P x y ，0(,0)Q x ，(,)M x y，由=1PM PQ ⎛- ⎝⎭得000(,)=1(0,)x x y y y ⎛--- ⎝，0=x x，00=1y y y ⎫-⎪⎪⎭，所以0=x x，0y ，代人220+=6x y 得22+2=6x y ，22+=163x y ．（Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，根据题意直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为=2y kx -，由方程组22=2+2=6y kx x y -⎧⎨⎩消去y ，整理得22(2+1)8+2=0k x kx -，1228+=2+1k x x k ，1222=2+1x x k ，所以121224+=(+)4=2+1y y k x x k --，21212246=(2)(2)=2+1k y y kx kx k ---. ………8分 设点(,)C x y 为圆N 上任意一点，由=0AC BC ⋅得1122(,)(,)=0x x y y x x y y --⋅--，1212()()+()()=0x x x x y y y y ----，2212121212(+)++(+)+=0x x x x x x y y y y y y --，因为圆N 过坐标原点O ，所以1212+=0x x y y ，222246+=02+12+1k k k -，解得=1k ±， ………10分所以圆N的方程为2284++=033x x y y -或2284+++=033x x y y . ………12分19. 解：（Ⅰ）()ln(1)xf x e x =-+，所以()11x f x e x '=-+，……1分观察得()01001f e '=-=且()11xf x e x '=-+在(1,)-+∞上单调递增，所以当(1,0)x ∈-时()0f x '<，当(0,)x ∈+∞时()0f x '>，所以()f x 在(1,0)x ∈-单调递减，()f x 在(0,)x ∈+∞单调递增，故()f x 有极小值()01f =.……5分证明：（Ⅱ）因为3k m =≥，所以()3ln()3ln(3)x x f x e x m e x =-+≥-+，……7分令()3ln(3)x h x e x =-+，1()33xh x e x '=-+，易知1()33xh x e x '=-+在(3,)-+∞单调递增，221(2)331023h e e --'-=-=-<-+，1111(1)330132h e e --'-=-=->-+，设0001()303xh x e x '=-=+，则0(2,1)x ∈--，当0(3,)x x ∈-时，()0h x '<，当0(,)x x ∈+∞时，()0h x '>；所以()h x 在0(3,)x x ∈-上单调递减，0(,)x x ∈+∞上单调递增，……9分所以0m i n 00()()3l n (3)x h x h x e x ==-+，又因为0001()303x h x e x '=-=+，故00133x e x =+， 所以01ln3l nl n 3x e x +=+，即00ln3ln(3)x x +=-+，所以0min 00()()3ln(3)x h x h x e x ==-+001ln 33x x =+++001(3)3ln 33x x =++-++3ln 3≥+ln 31=- 当且仅当00133x x =++，即02x =-或04x =-时等号成立，而0(2,1)x ∈--，所以mi n ()ln 31h x >- 即()ln31h x >-，所以()ln 31f x >-.……12分20.解：（Ⅰ）连接BC ，因为AB 是圆O 的直径，所以90ACB ∠=，所以90B BAC ∠+∠= ，因为AD CE ⊥，所以90ACD DAC ∠=∠= ,因为AC 是弦，且直线CE 和圆O 切于点C ， 所以 ACD B ∠=∠，所以DAC BAC ∠=∠, ………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知ABC ∆∽ACD ∆,所以AC ADAB AC=， 由此得2AC AB AD =⋅， 因为2OB =，1AD =，所以4AB =，且2414AC A B AD =⋅=⨯=，所以2AC =，又1AD =，故2AC AD =，又AD CE ⊥，于是30ACD ∠=，因为ACD B ∠=∠，所以30B ∠=，30BFD ∠=，故BC CF =，因为CF 与圆O 相切，由切割线定理得2CF AF BF =⋅，所以2BC AF BF =⋅，即BC AFBF BC=． 21.解：（Ⅰ）由直线l 的参数方程得：34yx m =+⋅, 所以，直线l 的普通方程为4340x y m --=；由cos 24cos ρρθθ=+得：()2222cos sin 4cos ρρθθρθ=-+，即22y x =，所以，曲线C 的普通方程为22y x =．（Ⅱ）因为()0,m P ，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t m x 5453（t 为参数），将其代入22y x =得：21632255t m t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即2815250t t m --=， 由2258000m ∆=+>得932m >-，12158t t +=，12258mt t =-， 因为AB 是PA 与PB 的等比中项，所以2AB PA PB =⋅，即21212()t t t t -=， 所以2121212()4t t t t t t +-=显然当0m ≥时不满足题意，于是0m <， 所以21212()5t t t t +=，即215255()88m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以940m =-．22.解：(Ⅰ) 当1a =-时，不等式()130f x x ++-≤即为不等式21130x x -++-≤不等式21130x x -++-≤同解于：1330x x <-⎧⎨--≤⎩ 或 11210x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪--≤⎩ 或 12330x x ⎧>⎪⎨⎪-≤⎩， 解得：∅ 或 112x -≤≤或 112x <≤，所以不等式()130f x x ++-≤的解集为[]1,1-.(Ⅱ) 因为[]1,2x ∀∈，2()1f x x <+恒成立，即[]1,2x ∀∈，221x a x +<+恒成立， 而221x a x +<+⇒22121x x a x --<+<+ ⇒222121x x a x x ---<<-+，即[]1,2x ∀∈，222121x x a x x ---<<-+恒成立，设()221g x x x =---，()221h x x x =-+可转化为[]1,2x ∀∈，()()max min g x a h x <<，即40a -<< 所以a 的取值范围是()4,0-.。