高考第一轮复习数学：1.1 集合的概念与运算

第一章集合与简易逻辑●网络体系总览

简易逻辑

命题

四种命题及其关系

充分必要条件

逻辑联结词

简单命题与复合命题

●考点目标定位

1.理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解属于、包含、相等关系的意义.

2.掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合.

3.理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；理解四种命题及其相互关系；掌握充要条件的意义.

4.学会运用数形结合、分类讨论的思想方法分析和解决有关集合的问题，形成良好的思维品质.

●复习方略指南

本章内容在高考中以考查空集与全集的概念，元素与集合、集合与集合之间的关系，集合的交、并、补运算为重点，以上内容又以集合的运算为重点考查内容.逻辑联结词与充要条件这部分，以充要条件为重点考查内容.

本章内容概念性强，考题大都为容易的选择题，因此复习中应注意：

1.复习集合，可以从两个方面入手，一方面是集合的概念之间的区别与联系，另一方面是对集合知识的应用.

2.主要是把握集合与元素、集合与集合之间的关系，弄清有关的术语和符号，特别是对集合中的元素的属性要分清楚.

3.要注意逻辑联结词“或”“且”“非”与集合中的“并”“交”“补”是相关的，二者相互对照可加深对双方的认识和理解.

4.复习逻辑知识时，要抓住所学的几个知识点，通过解决一些简单的问题达到理解、掌握逻辑知识的目的.

5.集合多与函数、方程、不等式有关，要注意知识的融会贯通.

1.1 集合的概念与运算

●知识梳理

1.集合的有关概念

2.元素与集合、集合与集合之间的关系

（1）元素与集合：“∈”或“∉”.

（2）集合与集合之间的关系：包含关系、相等关系.

3.集合的运算

（1）交集：由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集，记为A∩B，即A∩B={x|x∈A且x∈B}.

（2）并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与集合B的并集，记为A∪B，即A∪B={x|x∈A或x∈B}.

（3）补集：一般地，设S是一个集合，A是S的一个子集（即A⊆S），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做子集A在全集S中的补集（或余集），记为S A，即S A={x|x∈S且

x∉A}.

●点击双基

1.（2004年全国Ⅱ，1）已知集合M={x|x2＜4}，N={x|x2－2x－3＜0}，则集合M∩N 等于

A.{x|x＜－2}

B.{x|x＞3}

C.{x|－1＜x＜2}

D.{x|2＜x＜3}

解析：M={x|x2＜4}={x|－2＜x＜2}，N={x|x2－2x－3＜0}={x|－1＜x＜3}，结合数轴，

∴M∩N={x|－1＜x＜2}.

答案：C

2.（2005年北京西城区抽样测试题）已知集合A={x∈R|x＜5－2}，B={1，2，3，4}，

则（R A）∩B等于

A.{1，2，3，4}

B.{2，3，4}

C.{3，4}

D.{4}

解析：R A={x∈R|x≥5－2}，而5－2∈（3，4），∴（R A）∩B={4}.

答案：D

3.（2004年天津，1）设集合P={1，2，3，4，5，6}，Q={x∈R|2≤x≤6}，那么下列结论正确的是

A.P∩Q=P

B.P∩Q Q

C.P∪Q=Q

D.P∩Q P

解析：P∩Q={2，3，4，5，6}，∴P∩Q P.

答案：D

4.设U是全集，非空集合P、Q满足P Q U，若求含P、Q的一个集合运算表达式，使运算结果为空集∅，则这个运算表达式可以是_______________.

解析：构造满足条件的集合，实例论证.

U =｛1，2，3｝，P =｛1｝，Q =｛1，2｝

，则（U Q ）=｛3｝，

（U P ）={2，3}，易见

（

U Q ）∩P =

∅.

答案：（

U Q ）∩P

5.已知集合A ＝｛0，1｝，B ＝｛x ｜x ∈A ，x ∈Ｎ*｝，C ＝｛x ｜x ⊆A ｝，则A 、B 、C 之间的关系是___________________.

解析：用列举法表示出B ＝｛1｝，C ＝｛∅，｛1｝，｛0｝，A ｝，易见其关系.这里A 、B 、C 是不同层次的集合，C 以A 的子集为元素，同一层次的集合可有包含关系，不同层次的集合之间只能是从属关系.

答案：B A ，A ∈C ，B ∈C ●典例剖析

【例1】 （2004年北京，8）函数f （x ）=⎩⎨

⎧∈-∈,

,M x x

P x x

其中P 、M 为实数集R 的两

个非空子集，又规定f （P ）={y |y =f （x ），x ∈P }，f （M ）={y |y =f （x ），x ∈M }.给出下列四个判断，其中正确判断有

①若P ∩M =∅，则f （P ）∩f （M ）=∅ ②若P ∩M ≠∅，则f （P ）∩f （M ）≠∅ ③若P ∪M =R ，则f （P ）∪f （M ）=R ④若P ∪M ≠R ，则f （P ）∪f （M ）≠R

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个 剖析：由题意知函数f （P ）、f （M ）的图象如下图所示

.

设P =［x 2，+∞），M =（－∞，x 1］，∵|x 2|＜|x 1|，f （P ）=［f （x 2），+∞），f （M ）=［f （x 1），+∞），则P ∩M =∅.

而f （P ）∩f （M ）=［f （x 1），+∞）≠∅，故①错误.同理可知②正确.设P =［x 1，+∞），M =（－∞，x 2］，∵|x 2|＜|x 1|，则P ∪M =R .

f （P ）=［f （x 1），+∞），f （M ）=［f （x 2），+∞）， f （P ）∪f （M ）=［f （x 1），+∞）≠R ，故③错误.同理可知④正确. 答案：B

【例2】 已知A ={x |x 3＋3x 2＋2x ＞0}，B ={x |x 2＋ax ＋b ≤0}且A ∩B ={x |0＜x ≤2}，A ∪B ＝｛x ｜x ＞－2｝，求a 、b 的值.

解：A ={x |－2＜x ＜－1或x ＞0}， 设B =［x 1，x 2］，由A ∩B =（0，2］知x 2＝2， 且－1≤x 1≤0，