电子科技大学随机信号分析课件 第2章 随机信号

C (t1 , t2 ) E X (t1 ) X (t1 ) X (t2 ) X (t2 )
C (t1 , t2 )

C (t , t ) E ( X (t ) X (t )) 2 Var( X (t ))
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( x1 X (t1 ))( x2 X (t2 )) f ( x1 , x2 ; t1 , t2 )dx1dx2
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例 用投币实验产生信号。进行投币实验并规定 正面对应250Hz的余弦波，反面对应250Hz的 正弦波。可见，实验有2种结果波形： x1 (t ) cos(500 t ) 与 x2 (t ) sin(500 t ) ，于 是，该实验产生的是这两种可能波形中的一种， 是一个随机函数。 这样一个信号就是随机信号，记为：
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3、自相关函数 先比较两个具有相同均值函数和方差函数的随 机信号。
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上述的随机信号均值函数和方差函数相同，但 从样本函数看，两者明显不同。X(t)时间变化 慢，不同时刻的两个状态之间依赖性强（相关 性强）。Y(t)随时间变化快，不同时刻的两个 状态之间依赖性弱（相关性弱）。因此，均值 函数和方差函数不能反映随机信号内部变化的 快慢，相关性的强弱。 一般用自相关函数来描述随机信号任意两个状 态之间的相关程度。
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分析投币实验。求 （1）t1=1ms与t2=0.5ms时随机信号的二维联 合概率密度； （2）任意t1和t2时随你信号的二维联合概率密 度函数。 解：X(t1)与X(t2)的取值
cos(500 t1 ) X (t1 ) sin(500 t1 )
cos(500 t2 ) X (t2 ) sin(500 t2 )
第二章 随机信号
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本章的主要内容

随机信号的基本概念 随机信号的概率分布函数 随机信号的概率密度函数 随机信号基本的矩函数 正交 互不相关与统计独立
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几个简单的定义 对接收机的噪声电压作观察
样本函数：x1 (t ), x2 (t ), , xn (t ) 都是时间的函数， 称为样本函数。
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一般性数学定义 给定参量集T与概率空间 , F, P ，若对 于每个 t T ，都有一个定义在 , F, P 上的 实随机变量 X (t ) 与之对应，就称依赖于参量 t 的随机变量族X (t ), t T 为实随机信号或随机 过程。
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二、随机信号的分类 1.按时间参量来分类 时间连续的随机信号：时间t是连续的。 如：正弦随机信号，二进制传 输信号 时间离散的随机信号：时间t是离散的。 如：贝努里随机信号 2.按信号状态取值分类 取值连续的随机信号：X(t)值是连续的 如：正弦随机信号 取值离散的随机信号：X(t)值是离散的 如：贝努里随机信号，二进制传输信号 还有很多的分类方法
f (u1 , u2 ,, un ; t1 , t2 ,, tn ) f (u1; t1 ). f (u2 ; t2 ), , f (un ; tn )
u12 u2 2 un 2 f (u1 , u2 ,, un ; t1 , t2 ,, t n ) exp n A0 (A0 ) 2 1
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0.25 ( x1 sin(500 t1 ), x2 cos(500 t2 ))
0.25 ( x1 sin(500 t1 ), x2 sin(500 t2 ))

而代入t1=0.5ms，t2=1ms
0.25 ( x1 0.707, x2 ) 0.25 ( x1 0.707, x2 1)
p 0.5 p 0.5
p 0.5 p 0.5
f ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) 0.25 ( x1 cos(500 t1 ), x2 cos(500 t2 ))
0.25 ( x1 cos(500 t1 ), x2 sin(500 t2 ))
物理意义：描述了所有样 本函数在各个时刻的摆动 中心。
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2、均方值函数和方差函数 随机信号X(t)在任一时刻t的取值是一个随 机变量X(t)。 X(t)的二阶原点矩称为随机信号 的均方值函数；二阶中心矩称为随机信号的方 差函数。
2 X (t ) VarX (t ) E( X (t ) X (t )) 2
n F ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t 2 , , t n ) f ( x1 , x2 , , xn ; t1 , t 2 , , t n ) x1x2 xn
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例 分析投币实验：正面（记为H）对应250Hz 的频率的余弦波cos(500πt)，反面（记为T） 对应250Hz的正弦波sin(500πt)。求： （1）t=1 ms时随机信号的概率密度函数； （2）任意t时刻随机信号的概率密度函数与均 值。 解： X(0.001)=H=0， p=0.5 X(0.001)=T=1， p=0.5


xyf ( x, y; t1, t2 )dxdy
两个随机信号的互协方差函数定义为
C XY (t1 , t2 ) E X (t1 ) X (t1 ) Y (t2 ) Y (t2 ) RXY (t1 , t2 ) X (t1 )Y (t2 )
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基本数字特征

随机变量的矩函数是确定值；随机信号的矩函 数是确定性时间函数。

对随机信号矩函数的计算方法：先把时间t固定， 再用对随机变量的矩函数计算方法来计算。
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1、均值函数
X (t ) E X (t ) xf ( x; t )dx

显然，X (t )是某个平均函数，随机信号的各样本 函数在它附近起伏变化。
F ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) PX (t1 ) x1; X (t2 ) x2
称为随机信号X(t)的二维概率分布函数。 若 F ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) 对 x1 , x2 的二阶混合偏导 存在，则
2 F ( x1 , x2 ; t1 , t 2 ) f ( x1 , x2 ; t1 , t 2 ) x1x2
f ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) 0.25 ( x1 0.707, x2 ) 0.25 ( x1 0.707, x2 1)
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例1.1 随机信号U(t)的一维概率密度函数为
u2 1 f (u , t ) exp A0 A0
不同时刻的随机变量彼此统计独立，求其n维 概率密度函数。 t 解：1 , t2 ,, tn 时刻，随机变量 X (t1 ), X (t2 ), , X (tn ) 统计独立，则
2 且 X (t ) E X 2 (t ) X (t ) 2
X (t ) E X (t ) x2 f ( x; t )dx
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物理意义：如果 X (t ) 表示噪声电压，则均方值 2 函数 E[ X 2 (t )] 和方差函数 X (t ) 分别表示消耗在 单位电阻上的瞬时功率统计平均值和瞬时交流 功率统计平均值。
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基本概率特性

一、一维概率分布 随机信号 X (t ) 在任意 t T 时刻的取值 X (t ) 是一维随机变量。概率 PX (t ) x 是取值 x ，时 刻 t 的函数，记做
F ( x; t ) PX (t ) x
称为随机信号 X (t ) 的一维概率分布函数。 若有F ( x; t ) 偏导数 ti (i 1,2,) ，X (ti , s ) 都是随机变量，则称 X (t , s) 为随机信号， X (ti , s ) 称 为随机信号在 t ti 时刻的状态。

定义2 ：设随机实验E的样本空间 S ，若对于每个 元素 s S ，总有一个确知的时间函数 X (t , s) 与 它对应，这样，对于所有的 s S ，就可以得到一 簇时间t的函数，称它为随机信号。簇中的每一个 函数称为样本函数。
称为随机信号X(t)的二维概率密度函数。
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n维概率分布 随机信号X(t)在n个时刻t1 , t2 ,tn 的取值 X (t1 ), , X (tn )构成n维随机变量。类似地，可 以定义n维概率分布函数和概率密度函数。
F ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t2 ,, tn ) PX (t1 ) x1; X (t2 ) x2 ;; X (tn ) xn
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自相关函数描述的是随机信号任意两个时刻 的状态之间的内在联系。
R(t1 , t2 ) E X (t1 ) X (t2 )



x1x2 f ( x1 , x2 ; t1, t2 )dx1dx2

4、自协方差函数和相关系数函数 自协方差函数是随机信号任意两个时刻的随机 变量的二阶混合中心矩。反映了任意两时刻 的起伏值之间的相关程度。


相关系数函数定义为
C (t1 , t 2 ) (t1 , t 2 ) C (t1 , t1 )C (t 2 , t 2 )

5、互相关函数和互协方差函数 两个随机信号X(t)和Y(t)的互相关函数定义为
RXY (t1 , t2 ) E X (t1 )Y (t2 )

f X (0.001) ( x) 0.5 ( x) 0.5 ( x 1)
f ( x; t ) 0.5 ( x cos(500 t )) 0.5 ( x sin(500 t ))
E X (t ) 0.5cos(500 t ) 0.5sin(500 t )