随机信号分析常建平,李林海课后习题答案第二章习题讲解

2-1 已知随机过程0()cos X t A t ω=，其中0ω为常数，随机变量A 服从标准高斯分布。求000,3,2t πωπω=三个时刻()X t 的一维概率密度？

解：2

2

1

~(0,1)..........()A a A N f a -

=

(离散型随机变量分布律)

2-2 如图2.23所示，已知随机过程()X t 仅由四条样本函数组

成，出现的概率为1131

,,,8484。

图2.23 习题2-2

在1

t 和2

t

求 1212[()],[E X t E X ()()(){}

1

2

1212121122[()()],,X k k E X t X t R t t k k p X t k X t k ====∑∑

2－23 [][]12()cos (0,1)(;),()()(,)X X X t A t XH A U f x t E X t D X t R t t =+~随机过程，其中（均匀分布）。

求,,？

()()

()()22cos 0

22~,322cos 022

~,cos 0()2

1

22,cos 2cos cos cos c 2

1322,(;)cos o 2

s 2X k t k t t

X t U XH XH k t k t t X t U XH XH t k t X t XH

k t k XH x XH t k t k XH x XH f x t t x X t t t t π

π

πππ

π

πππ

πππππππππδ-

+<<

+>+<<+<=

+==-+<<+<<-++<<+<+++<=-对某一固定时刻对某一固定时刻概率密度用冲激函数表示

()

,20

H t k x XH else π

π⎧⎪⎪

⎪⎪

⎨⎪=+=⎪⎪

⎪⎩

2-4 已知随机过程()X t A Bt =+，其中,A B 皆为随机变量。①求随机过程的期望[()]E X t 和自相关函数12(,)X R t t ？②若已知随机变量相互独立，它们的概率密度分别为()A f a 和()B f b ，求()X t 的一

维概率密度(;)X f x t

第②问

方法一：用雅克比做（求随机变量函数的分布） 步骤：

t 时刻，()X t A Bt =+为两个随机变量的函数 ①设二维的随机矢量

12X A Bt X A

=+⎧⎨

=⎩（题目要求的）（自己设的量,可以是其它量）

②求反函数

③求雅克比行列式J ，得到|J| ④利用公式1

2

X X 12(,)(,)AB x x f b J f a =⋅

⑤由联合概率密度求边缘概率密度()1

X f x ⑥t 为变量，则得到(;)X f x t

方法二： 用特征函数定义和性质（独立变量和的特征函数等于各特征函数的乘积）做

（特征函数和概率密度一一对应）

,A B

()()()()()()()()()()()()()()()()()(),;;;;;ju juX t ju A Bt ju a bt

X AB ju a b A B x

X X ju A B j A B ux

X t B X x A f a f b Q u t E e

E e e f a b dadb

e

dadb

x Q u t e d db

e

dx

f bt f Q u b f x t t f x t e dx

f x bt f b d f x b f b x x b

t b d ++∞

+∞

++-∞

-∞

+∞+∞

+-∞

-∞+∞+∞

-∞

-∞

+∞

-∞

-∞

+∞

+-∞∞

∞∞

-⎡⎤

⎡⎤

===⎣⎦⎣

⎦

====--=-⎰

⎰⎰

⎰⎰⎰

⎰⎰⎰⎰

取a=-bt

2-5 已知()X t 为平稳过程，随机变量0()Y X t =。判断随机过程()()Z t X t Y =+的平稳性？ 随机过程()()Z t X t Y =+非平稳

2-6 已知随机过程0()()cos()Y t X t t ω=+Φ，其中随机过程()X t 宽平稳，表示幅度；角频率0ω为常数；随机相位Φ服从(,)ππ-的均匀分布，且与过程()X t 相互独立。①求随机过程()Y t 的期望和自相关函数？②判断随机过程()Y t 是否宽平稳？ ①Φ与过程()X t 相互独立

2-8 已知平稳过程()X t 的自相关函数为 ()4cos cos3X R e

τ

τπτπτ

-=+，

求过程的均方值和方差？

()X t

2-10 已知过程

()cos sin X t A t B t

=-和

()cos sin Y t B t A t =+，其中随机变量,A B 独立，均值都

为0，方差都为5。①证明()X t 和()Y t 各自平稳且联合平稳；②求两个过程的互相关函数？

① []()[]2

()0,5cos ()5X E X t R t t E X t X t ττ⎡⎤=+==<∞

⎣⎦⇒平稳