绝对值
绝对值的意义及应用
绝对值的意义及应用绝对值是初中代数中的一个重要概念，应用较为广泛．在解与绝对值有关的问题时，首先必须弄清绝对值的意义和性质。
对于数x而言，它的绝对值表示为：|x|.一. 绝对值的实质：正实数与零的绝对值是其自身，负实数的绝对值是它的相反数，即也就是说，|x|表示数轴上坐标为x的点与原点的距离。
总之，任何实数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，请牢牢记住这一点。
二. 绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。
例1. 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简结果为( )A．2a+3b-c B．3b-c C．b+c D．c-b(第二届“希望杯”数学邀请赛初一试题)解：由图形可知a＜0，c＞b＞0，且|c|＞|b|＞|a|，则a+b＞0，b-c＜0．所以原式＝-a+b+a+b-b+c＝b+c，故应选(C)．三. 绝对值的性质：1. 有理数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，绝对值最小的数是零。
2. 任何有理数都有唯一的绝对值，并且任何一个有理数都不大于它的绝对值，即x≤|x|。
3. 已知一个数的绝对值，那么它所对应的是两个互为相反数的数。
4. 若两个数的绝对值相等，则这两个数不一定相等(显然如|6|＝|-6|，但6≠-6)，只有这两个数同号，且这两个数的绝对值相等时，这两个数才相等。
四. 含绝对值问题的有效处理方法1. 运用绝对值概念。
即根据题设条件或隐含条件，确定绝对值里代数式的正负，再利用绝对值定义去掉绝对值的符号进行运算。
例2. 已知：|x-2|+x-2＝0，求：(1)x+2的最大值；(2)6-x的最小值。
解：∵|x-2|+x-2＝0，∴|x-2|＝-(x-2)根据绝对值的概念，一个数的绝对值等于它的相反数时，这个数为负数或零，∴x-2≤0，即x≤2，这表示x的最大值为2(1)当x＝2时，x+2得最大值2+2＝4；(2)当x＝2时，6-x得最小值6-2＝42. 用绝对值为零时的值分段讨论．即对于含绝对值代数式的字母没有条件限制或限制不确切的，就需先求零点，再分区间定性质，最后去掉绝对值符号。
绝对值的几何意义公式(二)
绝对值的几何意义公式(二)绝对值的几何意义公式绝对值在数学中是一个重要的概念，它表示一个数与零之间的距离。
在几何意义上，绝对值可以表示为一条有向线段的长度。
本文将列举一些与绝对值相关的公式，并给出解释和示例。
绝对值的定义绝对值是一个数的非负值，表示该数离零的距离。
绝对值的定义如下：|x| = x，如果x ≥ 0 |x| = -x，如果x < 0绝对值的几何意义公式1. 绝对值的定义表示根据绝对值的定义，可以将绝对值表示为一条线段的长度。
公式： |x| = AB，其中A是原点，B是点x的坐标位置示例：考虑点A(0, 0)和点B(3, 0)，则|3| = AB = 3。
2. 绝对值的线段平移绝对值函数|x - a|表示点x距离a的距离。
公式： |x - a| = PA，其中P是点a的坐标位置示例：考虑点P(2, 0)，点Q(5, 0)，则|Q - 2| = PQ = 3。
3. 绝对值的线段缩放绝对值函数|kx|表示点x与原点的距离缩放到原来的k倍。
公式： |kx| = k * |x|示例：对于点A(2, 0)，如果k = 3，则|3x| = 6.4. 绝对值的线段合并绝对值函数|x - a| + |x - b|表示点x到a，b两点的距离之和。
公式： |x - a| + |x - b| = PA + PB示例：对于点A(2, 0)和点B(6, 0)，则|5x - 16| + |3x - 8| = PA + PB。
5. 绝对值的线段交换绝对值函数|a - x| = |b - x|表示点x与a，b两点的距离相等。
公式： |a - x| = |b - x|示例：对于点A(2, 0)和点B(6, 0)，则|2 - x| = |6 - x|。
总结绝对值的几何意义公式在解决各种几何问题中起到了重要的作用。
通过几何意义公式，我们可以更好地理解绝对值的概念，并将其运用于实际问题中。
这些公式包括绝对值的定义表示、线段平移、线段缩放、线段合并和线段交换。
绝对值的意义及应用
绝对值的意义及应用绝对值是初中代数中的一个重要概念，应用较为广泛．在解与绝对值有关的问题时，首先必须弄清绝对值的意义和性质。
对于数x而言，它的绝对值表示为：|x|.一. 绝对值的实质：正实数与零的绝对值是其自身，负实数的绝对值是它的相反数，即也就是说，|x|表示数轴上坐标为x的点与原点的距离。
总之，任何实数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，请牢牢记住这一点。
二. 绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。
例1. 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简结果为( )A．2a+3b-c B．3b-c C．b+c D．c-b(第二届“希望杯”数学邀请赛初一试题)解：由图形可知a＜0，c＞b＞0，且|c|＞|b|＞|a|，则a+b＞0，b-c＜0．所以原式＝-a+b+a+b-b+c＝b+c，故应选(C)．三. 绝对值的性质：1. 有理数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，绝对值最小的数是零。
2. 任何有理数都有唯一的绝对值，并且任何一个有理数都不大于它的绝对值，即x≤|x|。
3. 已知一个数的绝对值，那么它所对应的是两个互为相反数的数。
4. 若两个数的绝对值相等，则这两个数不一定相等(显然如|6|＝|-6|，但6≠-6)，只有这两个数同号，且这两个数的绝对值相等时，这两个数才相等。
四. 含绝对值问题的有效处理方法1. 运用绝对值概念。
即根据题设条件或隐含条件，确定绝对值里代数式的正负，再利用绝对值定义去掉绝对值的符号进行运算。
例2. 已知：|x-2|+x-2＝0，求：(1)x+2的最大值；(2)6-x的最小值。
解：∵|x-2|+x-2＝0，∴|x-2|＝-(x-2)根据绝对值的概念，一个数的绝对值等于它的相反数时，这个数为负数或零，∴x-2≤0，即x≤2，这表示x的最大值为2(1)当x＝2时，x+2得最大值2+2＝4；(2)当x＝2时，6-x得最小值6-2＝42. 用绝对值为零时的值分段讨论．即对于含绝对值代数式的字母没有条件限制或限制不确切的，就需先求零点，再分区间定性质，最后去掉绝对值符号。
绝对值知识讲解及经典例题
第三讲绝对值【解析】原点两侧各有一个点到原点的距离为3，分别是表示3和－3的点．故选D．【答案】D．【例2】若|a＋1|＝3，则a－3的值为（）．A．－1 B．－7 C．－7或－1 D．2或－4【解析】（方法1）因为|a＋1|＝3，由绝对值的几何意义可得，数轴上表示数(a＋1)的点与原点的距离是3．故a＋1＝±3．所以a＝3－1＝2或a＝－3－1＝－4．所以a－3＝2－3＝－1或－4－3＝－7．故选C．（方法2）由|a＋1|＝3，得|a－3＋4|＝3．所以a－3＋4＝±3．将a－3看作一个整体，得a－3＝－3＋4＝－1或a－3＝－3－4=－7．故选C．【答案】C．【例3】若|a|＝2，|b|＝6，a＞0＞b，则a＋b＝________．【解析】由|a|＝2，a＞0可得a＝2．由|b|＝6，b＜0可得b＝－6．所以a＋b＝2＋（－6）＝－4．【答案】－4．知识点2 有理数比较大小（1）利用有理数的性质比较大小①法则：正数大于0,0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小.②比较两个负数大小的步骤：a.分别求出这两个负数的绝对值；b.比较这两个绝对值的大小；c.根据“两个负数，绝对值大的反而小”作出正确判断．（2）利用数轴比较大小数轴上不同的两个点表示的数，左边的点表示的数总比右边的点表示的数小．【注意】比较两个数大小时，在比较两个数的绝对值的大小后，不要忘记比较问题中原数的大小．【例5】在，0，－2，，2这五个数中，最小的数为（）．A．0 B．C．－2 D．【解析】（方法一）正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小．由此可得－2最小．（方法二）把这几个数在数轴上表示出来，然后根据最左边的点所对应的数最小得出结论．【答案】C．【例6】把表示下列各数的点画在数轴上，再按从小到大的顺序，用“＜”号把这些数连接起来：2，－0.5，0，1.5，－2.5．【解析】先把数2，－0.5，0，1.5，－2.5分别在数轴上表示出来，然后根据数轴上左边的点表示的数小于右边的点表示的数得出结论．【答案】由数轴可得，－2.5＜－0.5＜0＜1.5＜2 ．【例7】 已知a ＞0，b ＞0，且|a|＞|b|，则a ，－a ，b ，－b 的大小关系是_______（用“＜”号连接）．【解析】由a ＞0，b ＞0，且|a|＞|b|，可以得到a ＞b ＞0．由此再得到－a ＜－b ＜0，所以a ，－a ，b ，－b 的大小关系是－a ＜－b ＜b ＜a ．【答案】－a ＜－b ＜b ＜a ．1.互为相反数的两个数的绝对值_____.2.一个数的绝对值越小，则该数在数轴上所对应的点，离原点越_____.3.－32的绝对值是_____. 4.绝对值最小的数是_____.5.绝对值等于5的数是_____，它们互为_____.6.若b ＜0且a =|b |，则a 与b 的关系是______.7.一个数大于另一个数的绝对值，则这两个数的和一定_____0（填“＞”或“＜”）.8.如果|a |＞a ，那么a 是_____. 9.绝对值大于2.5小于7.2的所有负整数为_____.10.将下列各数由小到大排列顺序是_____.－32，51 ，|－21|，0，|－5.1| 11.如果－|a |=|a |，那么a =_____.12.已知|a |+|b |+|c |=0，则a =_____，b =_____，c =_____.13.比较大小（填写“＞”或“＜”号）（1）－53_____|－21|（2）|－51|_____0（3）|－56|_____|－34| 14.计算（1）|－2|×(－2)=_____ （2）|－21|×5.2=_____ （3）|－21|－21=_____ （4）－3－|－5.3|=_____ 15.任何一个有理数的绝对值一定（ ）A.大于0B.小于0C.不大于0D.不小于0 16.若a ＞0，b ＜0，且|a |＜|b |，则a +b 一定是（ ）A.正数B.负数C.非负数D.非正数17.下列说法正确的是（ ）A.一个有理数的绝对值一定大于它本身B.只有正数的绝对值等于它本身C.负数的绝对值是它的相反数D.一个数的绝对值是它的相反数，则这个数一定是负数18.下列结论正确的是（ ）A.若|x |=|y |，则x =－yB.若x =－y ，则|x |=|y |C.若|a |＜|b |，则a ＜bD.若a ＜b ，则|a |＜|b |19.某班举办“迎七一”知识竞赛，规定答对一题得10分，不答得0分，答错一题扣10分，今有甲、乙、丙、丁四名同学所得分数，分别为+50，+20，0，－30，请问哪个同学分数最高，哪个最低，为什么？最高分高出最低分多少？1．在数轴上看，零 一切负数，零 一切正数；两个数，右边的数 左边的数，原点左侧的点所代表的数越向左越 ，即离原点越远，表示的数越 ，所以两个负数比较大小，绝对值大的反而 。
绝对值不等式
绝对值不等式绝对值不等式是数学中常见的一类不等式，它与绝对值的性质和运算相关。
通过研究绝对值不等式，我们可以解决许多实际问题，同时也提升了我们的数学思维和解题能力。
一、绝对值的定义绝对值是表示一个数离原点的距离。
对于一个实数x，它的绝对值记作|x|，定义如下：当x≥0时，|x|=x；当x<0时，|x|=-x。
例如，|5|=5，|-3|=3。
二、绝对值不等式的性质1. 绝对值的非负性质：对于任意实数x，有|x|≥0。
2. 绝对值的等价性：若|x|=0，则x=0。
3. 绝对值的三角不等式：对于任意实数x和y，有|x+y|≤|x|+|y|。
三、一元绝对值不等式的求解方法当我们遇到一元绝对值不等式时，可以采用以下两种方法求解：1. 列举法：根据不等式的性质及绝对值的定义，列举出满足不等式条件的数。
例题1：|x-2|<3根据绝对值的定义，可以得到以下两个不等式：x-2<3 ==> x<5；-(x-2)<3 ==> -x+2<3 ==> 2-x<3 ==> x>-1。
综合以上两个不等式的解，得到-1<x<5。
2. 分类讨论法：将绝对值拆分成正负两种情况，分别求解。
例题2：|2x-3|>4当2x-3>0时，可以得到以下不等式：2x-3>4 ===> 2x>7 ===> x>3.5。
当2x-3<0时，可以得到以下不等式：-(2x-3)>4 ===> -2x+3>4 ===> -2x>1 ===> x<-0.5。
综合以上两个情况的解，得到x>3.5或x<-0.5。
四、二元绝对值不等式的求解方法对于二元绝对值不等式，我们需要分别对两个变量进行分类讨论，并结合不等式的特点进行求解。
例题3：|x-2|+|y+1|<5当x-2>0且y+1>0时，可以得到以下不等式：x-2+y+1<5 ==> x+y<6。
绝对值的意义及应用
绝对值的意义及应用绝对值是初中代数中的一个重要概念，应用较为广泛．在解与绝对值有关的问题时，首先必须弄清绝对值的意义和性质。
对于数x而言，它的绝对值表示为：|x|.一. 绝对值的实质：正实数与零的绝对值是其自身，负实数的绝对值是它的相反数，即也就是说，|x|表示数轴上坐标为x的点与原点的距离。
总之，任何实数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，请牢牢记住这一点。
二. 绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。
例1. 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简结果为( )A．2a+3b-c B．3b-c C．b+c D．c-b(第二届“希望杯”数学邀请赛初一试题)解：由图形可知a＜0，c＞b＞0，且|c|＞|b|＞|a|，则a+b＞0，b-c＜0．所以原式＝-a+b+a+b-b+c＝b+c，故应选(C)．三. 绝对值的性质：1. 有理数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，绝对值最小的数是零。
2. 任何有理数都有唯一的绝对值，并且任何一个有理数都不大于它的绝对值，即x≤|x|。
3. 已知一个数的绝对值，那么它所对应的是两个互为相反数的数。
4. 若两个数的绝对值相等，则这两个数不一定相等(显然如|6|＝|-6|，但6≠-6)，只有这两个数同号，且这两个数的绝对值相等时，这两个数才相等。
四. 含绝对值问题的有效处理方法1. 运用绝对值概念。
即根据题设条件或隐含条件，确定绝对值里代数式的正负，再利用绝对值定义去掉绝对值的符号进行运算。
例2. 已知：|x-2|+x-2＝0，求：(1)x+2的最大值；(2)6-x的最小值。
解：∵|x-2|+x-2＝0，∴|x-2|＝-(x-2)根据绝对值的概念，一个数的绝对值等于它的相反数时，这个数为负数或零，∴x-2≤0，即x≤2，这表示x的最大值为2(1)当x＝2时，x+2得最大值2+2＝4；(2)当x＝2时，6-x得最小值6-2＝42. 用绝对值为零时的值分段讨论．即对于含绝对值代数式的字母没有条件限制或限制不确切的，就需先求零点，再分区间定性质，最后去掉绝对值符号。
绝对值与绝对值不等式
绝对值与绝对值不等式绝对值是数学中常见的一个概念，它用来表示一个数离0点的距离。
在数学中，绝对值的定义通常如下：若a是一个实数，那么(|a|)的值满足以下两个条件之一：当a≥0时，|a|=a；当a<0时，|a|= -a。
绝对值不等式则是对含有绝对值的不等式进行推导和求解。
关于绝对值不等式，我们可以分为以下几个方面进行讨论。
一、绝对值不等式的基本性质在研究绝对值不等式时，我们首先需要了解绝对值不等式的一些基本性质，以便于后续的推导和求解。
1. 非负性：对于任意实数a，有|a|≥0。
2. 正定性：对于任意实数a，有当且仅当a=0时，|a|=0。
3. 反对称性：对于任意实数a，有当且仅当a=0时，|-a|=|a|。
4. 三角不等式：对于任意实数a和b，有|a+b|≤|a|+|b|。
二、绝对值与绝对值不等式的运算接下来，我们来研究绝对值与绝对值不等式的运算规则。
在推导和求解绝对值不等式时，我们经常需要运用到以下两个常用的运算法则：1. 绝对值的开放性质：对于任意实数a和b，有|ab|=|a||b|。
2. 绝对值的分割性质：对于任意实数a和b，如果|a|<b，那么-a<b<a。
三、绝对值不等式的求解方法在实际求解绝对值不等式的过程中，我们可以根据不等式的形式进行分类讨论与推导。
下面，我们举例介绍两种常见的绝对值不等式及其求解方法。
1. 不等式形式：|x-a|<b，其中a和b为已知实数，x为未知数。
解法：根据绝对值不等式的定义，我们可以得到两个方程组。
当a≥0时，得到 -b<x-a<b；当a<0时，得到 -b<a-x<b。
综合以上两种情况，我们可以得到 -b<x-a<b，即|x-a|<b。
所以，不等式|x-a|<b的解集为(a-b,a+b)。
2. 不等式形式：|ax+b|≥c，其中a、b和c为已知实数，x为未知数。
解法：根据绝对值不等式的定义，我们可以分别得到两个方程组。
初中数学-绝对值知识要点总结
答案不唯一。
绝对值知识总结
以上的知识总结务必深刻理解和熟记！
只有在这个前提下才可能灵活运用对付
各种题型。
绝对值知识总结
二、绝对值概念的十个易错点
1. 一个数的绝对值等于本身，则这个数一定是正数。
正确的说法是：一个数的绝对值等于本身，这个数是非负数。
分析：正数的绝对值等于其本身，但0的绝对值也等于其本身，
（1）0点分段法
1、若含有奇数个绝对值，处于中间的零点值/界点可以使代数式取最小值；
（2）固定法则法
2、若含有偶数个绝对值，处于中间2个零点值/界点之间的任意一个数
（包含零点值）都可以使代数式取最小值
绝对值知识总结
一、绝对值运用技术
4、大数、小数、相反数
无论大数和小数是正数还是负数，(大数-小数)永远为正，（小数-大数）永远为负
绝对值知识总结
一、绝对值运用技术
4、大数、小数、相反数
-a
相
反
数
问题：
1、-a 和a 哪个数大？
2、-a 读作“负a”，哪么它就是
一个小于等于0的非正数吗？
-1、-2是负数，而-a 却是正负数都有可能。
从这个分析我们看出来，负号“-”不仅仅可以表达一个数是负数；它还可以表达一
个数的相反数，而从这个意义上讲，它只表明是相反方向，而表明不了正负
|2a-b|去号后为：-(2a-b)
b为正c为负，b-c必然大于0
|b-c|去号后为：(b-c)
c到a的距离与a到0的距离差不多，c-3a明显是大数-小数， |c-3a|去号后为：(c-3a)
原式= -(2a-b)+(b-c)-(c-3a)
=-2a+b+b-c-c+3a
绝对值的运算法则及公式
绝对值的运算法则及公式
绝对值的运算法则及公式是一种重要的数学概念，它涉及到求出
未知数的绝对值在运算中扮演着重要的作用。
绝对值是实数或复数的
一种计算方法，即不考虑数的符号，只考虑数的大小。
如果a表示一个实数，可表示为绝对值的形式：
| a | = a (实数)
如果z是一个复数，可以用复平面上的模量表示为绝对值的形式：| z | = √(x² + y² ) (复数)
绝对值的运算规则有以下三条：
1、绝对值的加法法则：
| a + b | = |a| + |b|
2、绝对值的乘法法则：
| a × b | = |a| × |b|
3、绝对值的减法法则：
| a - b |≤|a| + |b|
此外，绝对值还有三个基本性质：
1、不等式性质：对任意实数a，都有0 ≤ | a | 。
2、加法性质：对任意实数a，都有| a + b |≤|a| + |b| 。
3、乘法性质：对任意实数a，都有| a × b |=|a| × |b| 。
以上就是绝对值的运算规则及公式，它们不但在数学中有着广泛
的应用，而且在日常生活中也是重要的数学知识。
因此，了解绝对值
运算的基本规则和公式，对我们的数学学习和生活有着重要的意义。
绝对值的几何意义公式(一)
绝对值的几何意义公式(一)
绝对值的几何意义公式
1. 基本公式
•绝对值的定义：对于任意实数x，其绝对值记作| x | ，表示x 与原点之间的距离。
•绝对值的几何意义：绝对值表示一个数到原点的距离。
2. 几何意义公式
数轴上的绝对值公式
•公式1：对于任意实数x，有| x |=x或者|x |=- x 。
–解释：若x≥0，则x与原点之间的距离为x本身；若x<0，则x与原点之间的距离为-x，即与x绝对值相等。
平面直角坐标系中的绝对值公式
•公式2：对于平面直角坐标系中的两点A(a, b)与B(c, d)，有| AB |=√(c-a)^2+ (d-b)^2。
–解释：两点A(a, b)和B(c, d)之间的距离就是线段AB的长度，而绝对值| AB |表示线段AB的长度。
三维空间中的绝对值公式
•公式3：对于三维空间中的两点A(x1, y1, z1)与B(x2, y2, z2)，有| AB |=√(x2-x1)^2+ (y2-y1)^2+ (z2-z1)^2。
–举例：设点A(1, 2, 3)和点B(4, 5, 6)，计算| AB |的值。
–解答：根据公式3，计算得到| AB |=√(4-1)^2+ (5-
2)^2+ (6-3)^2=√27≈。
3. 结论
•绝对值的几何意义公式包括数轴上的绝对值公式、平面直角坐标系中的绝对值公式和三维空间中的绝对值公式。
这些公式用于计
算点之间的距离，并在几何学中具有重要的应用价值。
绝对值的性质
• 不等式中含有绝对值符号的不等式称为绝对值不等式
• 不等式中的绝对值符号内为单个变量的不等式称为简单
绝对值不等式
• 不等式中的绝对值符号内为多个变量的不等式称为复合
绝对值不等式
绝对值不等式的求解方法
简单绝对值不等式的求解方法
• 可以通过绝对值的性质化简不等式，然后求解
复合绝对值不等式的求解方法
• 可以通过绝对值的性质拆分不等式，然后求解
绝对值不等式的求解技巧
• 可以使用图像法求解绝对值不等式
• 可以使用对数法求解绝对值不等式
绝对值不等式的性质与证明
绝对值不等式的性质
• 绝对值不等式中的等号成立的条件是绝对值内的表达式相等
• 绝对值不等式中的不等号方向由绝对值内的表达式的正负性决定
绝对值不等式的证明
• 可以通过绝对值的性质进行证明
分析绝对值函数的性质
• 例如：分析函数 y = |x| 的奇偶性、单调性等性质，可以通过绝对值的性质进行分
析
利用绝对值函数解决实际问题
• 例如：利用函数 y = |x| 解决实际问题，如计算物体的位移、速度等
04
绝对值不等式的求解与性质
绝对值不等式的定义与分类
绝对值不等式的定义
绝对值不等式的分类
• 例如：|a + b| = |a| - |b|，如果 a 和 b 的符号相反
绝对值与值的几何性质
• 数轴上的一个数 a 的绝对值 |a| 表示为 a 到数轴原点的
• |a| = |-a|，因为绝对值不区分正负数
距离
• |a + b| = |a| + |b|，如果 a 和 b 的符号相同
• |a + b| = |a| - |b|，如果 a 和 b 的符号相反
什么是绝对值
什么是绝对值
绝对值就是在数轴上任意一个点到原点的距离，用符号“∥”表示。
比如：数字3在数轴上距离原点为3个单位，那么3的绝对值便为3，用数学符号表示为，3，＝3，数字－6在数轴上距离原点为6个单位，所
以－6的绝对值为6，表示为，－6，＝6，特殊数字0距离原点为0，所
以0的绝对值还是为0，具体表示为，0，＝0。
绝对值有关性质：
（1）任何有理数的绝对值都是大于或等于0的数，这是绝对值的非
负性。
（2）绝对值等于0的数只有一个，就是0。
（3）绝对值等于同一个正数的数有两个，这两个数互为相反数或相等。
（4）互为相反数的两个数的绝对值相等。
绝对值等式、不等式：
（1），a，b，=，ab，。
（2），a，、，b，=，a、b，（b≠0）。
（3）a^2=，a，^2。
绝对值(教师版)
3．乘积的绝对值等于绝对值的乘积，商的绝对值等于绝对值的商．
即对于任意实数a、b， ， ．
4．绝对值内的非负因数或因式可以直接提到绝对值号外面．
例如： ， ．
题模一：非负性
例1.1.1已知一个数的绝对值是4，则这个数是．
【答案】±4
【解析】绝对值是4的数有两个，4或﹣4．
A．﹣1
B．1
C．3
D．﹣3
【答案】B
【解析】当1＜a＜2时，
|a﹣2|+|1﹣a|=2﹣a+a﹣1=1．
例1.1.4若|m-n|=n-m，且|m|=4，|n|=3，则（m+n）2=____或____（按从小到大顺序填写）．
【答案】1；49
【解析】根据已知条件，结合绝对值的性质得到m，n的值，再根据乘方的意义进行计算．
∵|m-n|=n-m，∴m-n≤0，即m≤n．
又|m|=4，|n|=3，
∴m=-4，n=3或m=-4，n=-3．
∴当m=-4，n=3时，（m+n）2=（-1）2=1；
当m=-4，n=-3时，（m+n）2=（-7）2=49．
例1.1.5已知 ，求 、 、 的值.
【答案】 ， ， ．
【解析】由绝对值的非负ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ知， ．
D．原点或原点右侧
【答案】B
【解析】∵|a|=﹣a，
∴a一定是非正数，
∴实数a在数轴上的对应点一定在原点或原点左侧．
随练1.2若（a-2）2+|b-1|=0，则（b-a）2012的值是（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．2012
【答案】C
绝对值
第三节 绝对值知识点：1、绝对值的定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值，例如+2的绝对值等于2，记作22+=，-3的绝对值等于3，记作33-=2、绝对值的一般规律：（1）正数的绝对值是它本身； （2）负数的绝对值是它的相反数（3）0的绝对值是0。
（4）两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
3．绝对值的非负性：由绝对值的定义可知：不论有理数a 取何值，它的绝对值总是正数或0(通常也称非负数)，绝对值具有非负性，即|a|≥0。
考试要求：1．初步理解绝对值的概念。
2．明确绝对值的代数定义和几何意义；会求一个已知数的绝对值；会在已知一个数的绝对值条件下求这个数。
3．了解用数形结合思想解决问题，渗透分类讨论的数学思想。
A 类：例1、求下列各数的绝对值：217-，101，―4.75，10.5。
例2、计算：（1）|0.32|+|0.3|； （2）|–4.2|–|4.2|；例3、绝对值不大于5的整数中，最大的整数是_______,最小的正整数是______;一个负数在增大时，它的绝对值在________。
例4、已知a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，化简|a|+|c-b|+|a-c|+|b-a|B 类：例1、如果一个数的绝对值大于另一个数的绝对值，那么下列说法中正确的是（ ） A.这个数必须大于另一个数 B. 这个数必须小于另一个数 C.这两个数的符号相反 D.无法确定这两个数的大小 例2、如果0,,a b c a b c ++=>>则下列说法中可能成立的是（ ）A. ,a b 为正数，c 为负数B. ,a c 为正数，b 为负数C. ,b c 为正数，a 为负数D.,a c为负数，b 为正数例3、表示负数的点都在原点的_____侧；绝对值越大的负数，表示它的点离原点越______.因此，两个负数，绝对值大的反而________。
例4、（05天津中考）已知14,2x y ==，且0xy <，则xy 的值等于_______。
绝对值
绝对值复习1、什么叫绝对值？在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值．例如+5的绝对值等于5，记作|+5|=5；-3的绝对值等于3，记作|-3|=3．2、绝对值的特点有哪些？（1）一个正数的绝对值是它本身；例如，|4|＝4，|＋7.1| ＝ 7.1 （2）一个负数的绝对值是它的相反数；例如，|－2|＝2，|－5.2|＝5.2 （3）0的绝对值是0．容易看出，两个互为相反数的数的绝对值相等．如|-5|=|+5|=5．若用a 表示一个数，当a 是正数时可以表示成a ＞0，当a 是负数时可以表示成a ＜0，这样，上面的绝对值的特点可用用符号语言可表示为：(1) 如果a ＞0，那么|a|＝a ； (2) 如果a ＜0，那么|a|＝－a ； (3) 如果a ＝0，那么|a|＝0。
3、绝对值在本节课中的应用——比较两个负数的大小由于绝对值是表示数的点到原点的距离，则离原点越远的点表示的数的绝对值越大．负数的绝对值越大，表示这个数的点就越靠左边，因此，两个负数比较，绝对值大的反而小．一、含有一个绝对值符号的化简题1. 已知未知数的取值或取值范围进行化简。
例1． 当x >2时化简||23x x -+（根据绝对值的意义直接化简） 解：原式=-+=-2333x x x 。
拓展： 设 化简 的结果是（ ）。
（A ）（B ）（C ）（D ）思路分析 由 可知可化去第一层绝对值符号，第二次绝对值符号待合并整理后再用同样方法化去．解∴ 应选（B ）．归纳点评 只要知道绝对值将合内的代数式是正是负或是零，就能根据绝对值意义顺利去掉绝对值符号，这是解答这类问题的常规思路．2. 没有告诉未知数的取值或取值范围进行化简。
例2. 化简||x x -+52（必须进行讨论）我们把使绝对值符号内的代数式为0的未知数的值叫做界值，显然绝对值符号内代数式是x -5，使x -=50的未知数的值是5，所以我们把5叫做此题的界值，确定了界值后，我们就把它分成三种情况进行讨论。
绝对值的基础知识
绝对值的基础知识绝对值是数学中的一个概念，用来表示一个数距离零点的远近，而不考虑它的正负。
绝对值的定义非常简单，对于任意实数x，它的绝对值记作| x |，定义如下：当x大于等于零时，| x |等于x本身；当x小于零时，| x |等于-x。
绝对值有着广泛的应用，不仅在数学中常常被用到，而且在物理、经济、计算机等领域也有着重要的作用。
在数学中，绝对值的运算有一些基本的性质。
首先，绝对值永远是非负数，即| x |大于等于零。
其次，绝对值满足一个重要的性质，即对于任意实数x和y，有| x · y |等于| x |乘以| y |。
这个性质在解决一些数学问题时经常被用到。
绝对值的概念在不等式中也起到了重要的作用。
例如，当我们需要解决一个关于x的不等式时，可以通过求出x的绝对值来化简问题。
对于一个不等式| x - a |小于等于b，我们可以将其转化为两个简单的不等式，即x - a小于等于b，以及x - a大于等于-b。
通过求解这两个不等式，我们可以得到原不等式的解集。
绝对值还可以用来表示距离。
例如，当我们要计算两个点在数轴上的距离时，可以通过求它们的坐标的差的绝对值来得到。
这个概念在几何学中有着广泛的应用。
在物理学中，绝对值常常被用来表示物理量的大小。
例如，速度的绝对值表示物体在单位时间内所覆盖的距离，而不考虑其运动的方向。
这在描述物体的运动时非常重要。
在经济学中，绝对值可以表示收入、成本、利润等重要的经济指标。
通过计算这些指标的绝对值，我们可以对经济状况进行评估和比较。
在计算机科学中，绝对值也有着广泛的应用。
例如，在编写程序时，我们经常需要计算两个数之间的差的绝对值，以判断它们的大小关系。
另外，绝对值还可以用来处理图像处理、数据压缩等问题。
绝对值是数学中一个重要的概念，它不仅在数学中有着广泛的应用，而且在物理、经济、计算机等领域也发挥着重要的作用。
对于任意实数x，它的绝对值表示了它距离零点的远近，而不考虑其正负。
绝对值及性质及化简
绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a . 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号.②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. ③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5.求字母a 的绝对值： ①(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩②(0)(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ③(0)(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩ 利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0. 例如：若0a b c ++=，则0a =，0b =，0c =绝对值的其它重要性质：（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a ≥，且a a ≥-；（2）若a b =，则a b =或a b =-；（3）ab a b =⋅；a ab b =(0)b ≠； （4）222||||a a a ==；（5）a b a b a b -≤+≤+， 对于a b a b +≤+，等号当且仅当a 、b 同号或a 、b 中至少有一个0时，等号成立； 对于a b a b -≤+，等号当且仅当a 、b 异号或a 、b 中至少有一个0时，等号成立．绝对值几何意义当x a =时，0x a -=，此时a 是x a -的零点值．零点分段讨论的一般步骤：找零点、分区间、定符号、去绝对值符号．即先令各绝对值式子为零，求得若干个绝对值为零的点，在数轴上把这些点标出来，这些点把数轴分成若干部分，再在各部分内化简求值．a 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．a b -的几何意义：在数轴上，表示数a 、b 对应数轴上两点间的距离．例题精讲 绝对值的性质及化简一、绝对值的概念【例1】 ⑴m n -的几何意义是数轴上表示m 的点与表示n 的点之间的距离．x 的几何意义是数轴上表示 的点与 之间的距离；x 0-（>，=，<）； ⑵21-的几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离；则21-= ； ⑶3x -的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若31x -=，则x = ． ⑷2x +的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若22x +=，则 x = ．二、绝对值的性质【例2】 填空：若a b a b +=+，则a ，b 满足的关系 ．【巩固】 填空：若a b a b -=-，则a ，b 满足的关系 ．【例3】 填空：已知a 、b 是有理数，1a ≤，2b ≤，且3a b -=，则a b += ．【巩固】 若ab ab <，则下列结论正确的是 ( )A. 00a b <<，B. 00a b ><，C. 00a b <>，D. 0ab <【例4】 下列各组判断中，正确的是 ( )A ．若a b =，则一定有a b =B ．若a b >，则一定有a b >C. 若a b >，则一定有a b > D ．若a b =，则一定有()22a b =-【例5】 如果2a ＞2b ，则 ( )A．a b< D a＜b>B．a＞b C．a b【例6】（4级）若a b<，则下列说法正确的是（）>且a bA．a一定是正数 B．a一定是负数 C．b一定是正数 D．b一定是负数【巩固】下列式子中正确的是 ( )A．a a≥-≤- D．a a<- C．a a>- B．a am-，下列结论正确的是 ( )【例7】对于1A．1||m m≥ D．1||1≤----m mm m-≥ B．1||m m-≤ C．1||1【例8】已知2332-=-，求x的取值范围x x【例9】下列说法中正确的个数是( )①当一个数由小变大时，它的绝对值也由小变大；②没有最大的非负数，也没有最小的非负数；③不相等的两个数，它们的绝对值一定也不相等；④只有负数的绝对值等于它的相反数．A．0 B．1 C．2 D．3【例10】绝对值等于5的整数有个，绝对值小于5的整数有个【例11】绝对值小于3.1的整数有哪些？它们的和为多少？【例12】 已知：52a b ==，，且a b <；则____________a b ==，.【巩固】 非零整数m n ，满足50m n +-=，所有这样的整数组()m n ，共有【例13】 已知123a b c ===，，，且a b c >>，那么a b c +-=【例14】 如右图所示，若a 的绝对值是b 的绝对值的3倍，则数轴的原点在 点．（填“A ”“B ”“C ”或“D ”）【例15】 如果1a b -=，1b c +=，2a c +=，求2a b c ++的值．【例16】 已知a 、b 、c 、d 都是整数，且2a b b c c d d a +++++++=，则a d += ．【例17】 已知a 、b 、c 、d 是有理数，9a b -≤，16c d -≤， 且25a b c d --+=，则b a d c ---= ．【巩固】 有理数a 、b 、c 、d 各自对应着数轴上X 、Y 、Z 、R 四个点，且（1）b d -比a b -，a c -、a d -、b c -、c d -都大；（2）d a a c d c -+-=-；（3）c 是a 、b 、c 、d 中第二大的数.则点X 、Y 、Z 、R 从左到右依次是【例18】 I f 3x ≤,1y ≤,4z ≤,and 29x y z -+=,then 246x y z = ．【例19】 如果1,11,a a a x a =+-=-那么____x a x a +--=。
绝对值的概念,去绝对值符号的技巧,绝对值的非负性
绝对值的概念，去绝对值符号的技巧，绝对值的非负性绝对值是初中代数里的一个重要概念。
掌握好绝对值的概念性质和去绝对值的符号的技巧，对于以后的绝对值方程，绝对值不等式的学习也是非常有帮助的。
一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零。
下面是最基本的去绝对值符号的法则:|a|=a(a>0)|a|=-a(a<0)|a|=0(a=0)所以去绝对值符号，先确定绝对值符号内的正负。
今天主要介绍一下去绝对值符号的技巧(多层绝对值，多个绝对值)，绝对值的非负性。
多层绝对值符号(例如||x|-1|),通常是从里面开始去绝对值符号。
例题1:方程||2x-1|-x|=3的所有解的和是多少。
由于是双层绝对值，所以先从里面着手。
当x>0.5时|2x-1|=2x-1，原方程化简成|x-1|=3x-1=±3，解得x=4，x=-2(舍)当x=0.5时|2x-1|=0，原方程化简成0.5=3，即无解当x<0.5时|2x-1|=1-2x，原方程化简成|1-3x|=31-3x=±3解得x=4/3(舍)，x=-2/3综上，方程的解为x=4，x=-2/3。
所以所有解的和是10/3。
多个绝对值(零点分段法)例题2:化简|x-1|+|x-5|先把每个绝对值的零点找到，即x=1，x=5然后根据这些零点在数轴上分区间，在各区间内化简即可:x<1时，原式=1-x+5-x =9-3x1≤x<5时，原式=x-1+5-x =4x≥5时，原式=x-1+x-5 =2x-6绝对值的非负性一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离，所以任何数的绝对值都是非负数。
例题3:若|x-1|与|y+2|互为相反数，求(x+y)³的值。
根据相反数的定义可知，|x-1|+|y+2|=0根据绝对值的非负性，|x-1|=0，|y+2|=0解得x=1，y=-2所以(x+y)³=(-1)³=-1。
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绝对值
在数轴上表示3的点与原点的距离是3，所以3的绝对值是3. |a|=0（a=0）意义一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，（注：相反数为正负号的转变）
几何意义：在数轴上，一个数与原点的距离叫做该数的绝对值（absolute value）。
代数意义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0 。
互为相反数的两个数的绝对值相等。
绝对值用“|a |”表示．读作“绝对值”。
如：|－2|读作－2的绝对值。
数学概念绝对值
•1定义
•2应用
•3有关性质
•4不等式
•5关于绝对值的争议
•绝对值的应用举例
1定义
数轴上一个数所对应的点与原点（O点）的距离叫做该数绝对值。
绝对值只能为非负数。
代数定义：
a =a（a>0）
a =-a（a<0）
a =0（a=0）意义一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，（注：相反数为正负号的转变）
几何意义
在数轴上，一个数到原点的距离叫做该数的绝对值．如：指在数轴上表示的点与原点的距离，这个距离是5，所以的绝对值是5.
代数意义
正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数.
互为相反数的两个数的绝对值相等
a的绝对值用“ a ”表示．读作“a的绝对值”．
2应用
正数的绝对值是它本身。
负数的绝对值是它的相反数。
任何有理数的绝对值都是非负数，也就是说任何有理数的绝对值都≥0。
0的绝对值还是0。
特殊的零的绝对值既是他的本身又是他的相反数,写作 0 =0
3 =3 = -3 =3
当a≥0时， a =a
当a<0时， a =-a
存在 a-b = b-a
两个负数比较大小，绝对值大的反而小
比如:若 2(x—1）—3 + 2(y—4） =0，则x=___,y=____。
（是绝对值）。
答案:
2(X-1)-3=0
X=5/2
2Y-8=0
Y=4
一对相反数的绝对值相等：
例+2的绝对值等于—2的绝对值(因为在数轴上他们离原点的单位长度相等)
计算机语言实现
计算机语言中，正数的二进制首位（即符号位）为0，负数的二进制首位为1。
32位系统下，4字节数，求绝对值表达式：
abs(x) = (x >> 31) ^ x - (x >> 31)
代码中一般用宏实现：
#define ABS(x) (((x) >> 31) ^ (x)) - ((x) >> 31)
注：" >> "与" ^ "为位运算符，" >> " 左移，" ^ " 异或。
3有关性质
无论是绝对值的代数意义还是几何意义，都揭示了绝对值的以下有关性质：
（1）任何有理数的绝对值都是大于或等于0的数，这是绝对值的非负性。
（2）绝对值等于0的数只有一个，就是0。
（3）绝对值等于同一个正数的数有两个，这两个数互为相反数。
（4）互为相反数的两个数的绝对值相等。
绝对值等式、不等式：
（1） a * b = ab
（2） a / b = a/b （b≠0）
（3）a^2= a ^2
这个性质一般用在含绝对值的一元二次方程中，例：x^2-3 x +2=0，可以变成
x ^2-3 x +2=0,( x -1)( x -2)=0， x =1或2，x=±1或±2
（4） x - y <= x+y <= x + y
由此可以得出推论 x - y <= x-y <= x + y ，因为 x - -y <= x+(-y) <= x + -y
4不等式
（1）解绝对值不等式必须设法化去式中的绝对值符号，转化为一般代数式类型来解；
（2）证明绝对值不等式主要有两种方法：
A）去掉绝对值符号转化为一般的不等式证明：换元法、讨论法、平方法；
B）利用不等式： a - b ≦ a+b ≦ a + b ，用这个方法要对绝对值内的式子进行分拆组合、添项减项、使要证的式子与已知的式子联系起来
5关于绝对值的争议
如果把向南走1公里记为+1，把向北走1公里记为-1，对-1求绝对值，结果就成了向南走了1公里？！显然这里是有问题的。
问题在于无论是正数还是负数都是相对数，不是绝对数，所以相对数求绝对值后得到的应是无符号的数，而不是正数。
所以，无符号的数不只是一个零，应该还有其他的无符号数！
所以有， -1 = +1 =1，这里1不是正数，而是与0一样的无符号数！
关于无符号数的可能的计算方法：
如果把三个女性记为-3，把四个男性记为+4，问：一共有几个人，计算方法是两个数的绝对值相加，也就是7个人。
如果问男女差是多少，计算方法是相对数相加，是+1。
如果把向南走1公里记为+1，把向北走2公里记为-2，问：一共走了多少公里，计算方法是两个数的绝对值相加，也就是3公里。
如果问相对走了多少公里，计算方法是相对数相加，是-1。
如果把向零上的10度记为+10，把零下5度记为-5，问：一共上下差多少度，计算方法是两个数的绝对值相加，也就是15度。
如果问温的和是多少度，计算方法就是相对数相加，是+5。
如果题中没有说什么是正，如：邮递员送信先向南10米，再向北5米，做题前必须写：记什么为正，一般不用写另一个，因为不是正就是负，知道一个就行了。
所以对于绝对值的概念也是有争议的。
有人并不认为绝对值就一定是正数。
这说明数学也是在不断发展之中的。
而我们的见到的数学只是历史的过程中的一个阶段之一，没有影响到正常的学习。
绝对值为无符号数
当阴阳平衡的时候，事物既不表现出阴，也不表现出阳，也就是零的状态（零的确代表着无，其实也代表着平衡，（-1）+（+1）=0，这不就是平衡嘛！）。
所以，所谓（-1）+（+3）=+2，其意思是阴阳的不平衡，阳比阴多两个，所以是+2。
而所谓（+1）+（-3）=-2，道理是一样的，只是这时阴占了多数，阴比阳多了两个。
男女、雌雄的道理也是一样的。
三个男性（+3）加两个女性（-2）就不平衡，所以也就有了（+3）+（-2）=+1，男性比女性多出一个来。
电荷也是如此，如果我们用绸子摩擦玻璃棒，玻璃棒上的电荷就会不平衡，玻璃棒也就会表现出电性。
比如说（0）-（-2）=+2，也就是在平衡下减去阴，结果就为阳了，这里就是+2。
那么绝对值是什么呢？绝对值就是无符号的数。
比如说三个人，我们不说男性，也不说女性，我们只说人，那么我们用什么符号来表示呢？显然不可以用符号来表示，这里的3只可以是无符号的数，假如我们记为3（注意，这里的3与+3是不同的，+3是有符号的数，而3是无符号的数）。
这样，当我们问，三个男性（假设记为+3）加三个女性（假设记为-3），一共有几个人的时候，我们就必须用绝对值相加，也就是 +3 + -3 =6，也就是六个人。
这里的6就是无符号数。
如果按照以往的数学观念，我们把这里的6理解为正数就不对了，因为这样就变成了六个男性了。
绝对值的应用举例
0的绝对值既是他的本身又是他的相反数(0的相反数就是他本身，但（-0）是不存在的），写作|0|=0。
|3|=3 =|-3|
当a≥0时，|a|=a
当a<0时，|a|=-a
存在|a-b|=|b-a|
两个负数比较大小，绝对值大的反而小
比如:若 |2(x-1)-3|+|2(y-4)|=0，则x=___,y=____。
答案:
2(X-1)-3=0 ，且2Y-8=0，因为把括号去掉后，括号内的数要乘以二（|2(y-4)|）。