高中数学圆的方程综合应用知识点与解题规律技巧典型例题讲解及答案解析
高中数学圆的方程 经典例题(含详细解析)
高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为222)(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点．∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-22224)3(16)1(ra r a 解之得：1-=a ，202=r ． 所以所求圆的方程为20)1(22=++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为13124-=--=AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ．又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(22=++==AC r ．故所求圆的方程为20)1(22=++y x ．又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为r PC d >=++==254)12(22．∴点P 在圆外．例2 求半径为4，与圆042422=---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程． 解：则题意，设所求圆的方程为圆222)()(r b y a x C =-+-：．圆C 与直线0=y 相切，且半径为4，则圆心C 的坐标为)4,(1a C 或)4,(2-a C ． 又已知圆042422=---+y x y x 的圆心A 的坐标为)1,2(，半径为3． 若两圆相切，则734=+=CA 或134=-=CA ．(1)当)4,(1a C 时，2227)14()2(=-+-a ，或2221)14()2(=-+-a (无解)，故可得1022±=a ．∴所求圆方程为2224)4()1022(=-+--y x ，或2224)4()1022(=-++-y x ． (2)当)4,(2-a C 时，2227)14()2(=--+-a ，或2221)14()2(=--+-a (无解)，故622±=a ．∴所求圆的方程为2224)4()622(=++--y x ，或2224)4()622(=+++-y x ． 例3 求经过点)5,0(A ，且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程．分析：欲确定圆的方程．需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点A ，故只需确定圆心坐标．又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上．解：∵圆和直线02=-y x 与02=+y x 相切，∴圆心C 在这两条直线的交角平分线上， 又圆心到两直线02=-y x 和02=+y x 的距离相等．∴5252y x y x +=-．∴两直线交角的平分线方程是03=+y x 或03=-y x ．又∵圆过点)5,0(A ，∴圆心C 只能在直线03=-y x 上． 设圆心)3,(t t C∵C 到直线02=+y x 的距离等于AC ，∴22)53(532-+=+t t t t ．化简整理得0562=+-t t ．解得：1=t 或5=t∴圆心是)3,1(，半径为5或圆心是)15,5(，半径为55． ∴所求圆的方程为5)3()1(22=-+-y x 或125)15()5(22=-+-y x ．例4、 设圆满足：(1)截y 轴所得弦长为2；(2)被x 轴分成两段弧，其弧长的比为1:3，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线02=-y x l ：的距离最小的圆的方程．分析：只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程．满足两个条件的圆有无数个，其圆心的集合可看作动点的轨迹，若能求出这轨迹的方程，便可利用点到直线的距离公式，通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标，进而确定圆的半径，求出圆的方程．解法一：设圆心为),(b a P ，半径为r ．则P 到x 轴、y 轴的距离分别为b 和a ． 由题设知：圆截x 轴所得劣弧所对的圆心角为︒90，故圆截x 轴所得弦长为r 2．∴222b r =又圆截y 轴所得弦长为2．∴122+=a r ． 又∵),(b a P 到直线02=-y x 的距离为52b a d -=∴2225b a d -=abb a 4422-+=)(242222b a b a +-+≥1222=-=a b当且仅当b a =时取“=”号，此时55min =d ． 这时有⎩⎨⎧=-=1222a b b a ∴⎩⎨⎧==11b a 或⎩⎨⎧-=-=11b a 又2222==b r 故所求圆的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x 解法二：同解法一，得52b a d -=．∴d b a 52±=-．∴2225544d bd b a +±=．将1222-=b a 代入上式得：01554222=++±d bd b ．上述方程有实根，故0)15(82≥-=∆d ，∴55≥d ． 将55=d 代入方程得1±=b ． 又1222+=a b ∴1±=a ．由12=-b a 知a 、b 同号．故所求圆的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x ． 类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例5 已知圆422=+y x O ：，求过点()42，P 与圆O 相切的切线．解：∵点()42，P 不在圆O 上， ∴切线PT 的直线方程可设为()42+-=x k y 根据r d =∴21422=++-kk解得 43=k 所以 ()4243+-=x y即 01043=+-y x 因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为2=x ．说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解．本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决（也要注意漏解）．还可以运用200r y y x x =+，求出切点坐标0x 、0y 的值来解决，此时没有漏解．例 6 两圆0111221=++++F y E x D y x C ：与0222222=++++F y E x D y x C ：相交于A 、B 两点，求它们的公共弦AB 所在直线的方程．分析：首先求A 、B 两点的坐标，再用两点式求直线AB 的方程，但是求两圆交点坐标的过程太繁．为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧．解：设两圆1C 、2C 的任一交点坐标为),(00y x ，则有：0101012020=++++F y E x D y x ① 0202022020=++++F y E x D y x ②①－②得：0)()(21021021=-+-+-F F y E E x D D ．∵A 、B 的坐标满足方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ． ∴方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D 是过A 、B 两点的直线方程． 又过A 、B 两点的直线是唯一的．∴两圆1C 、2C 的公共弦AB 所在直线的方程为0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ． 练习：1．求过点(3,1)M ，且与圆22(1)4x y -+=相切的直线l 的方程． 解：设切线方程为1(3)y k x -=-，即310kx y k --+=， ∵圆心(1,0)到切线l 的距离等于半径2， ∴()22|31|21k k k -+=+-，解得34k =-，∴切线方程为31(3)4y x -=--，即34130x y +-=， 当过点M 的直线的斜率不存在时，其方程为3x =，圆心(1,0)到此直线的距离等于半径2， 故直线3x =也适合题意。
高中数学教师备课必备系列圆与方程专题八 圆系方程及其应用 含解析
圆系方程及其应用一．常见的圆系方程有如下几种：222??0)?)(x?a)??(y?b(),b(a为圆心的同心圆系方程：．以12222?0??+Dx?Ey?F?0xEyx??yy+Dx?与圆同心的圆系方程为：220??F+DxC:x??yEy0?l:ax?by?c交点的圆系方程为：与圆2．过直线22??）R?）?0+（（ax?byx??yc+Dx?Ey?FABClB,A为公共弦的一系列相交圆，其圆心在（1）当直线交于与圆两点时，圆系中的所有圆是以AB的垂直平分线上；公共弦??b??aED),?M(?ACl时，这时圆系的圆心与圆，切于点（2）当直线22?????bEaE?abD?D),b?(a?(?,?)?CM?OM?OC?(?,?)?(?,?)2222222?n?CM=CMn l)b(a,n?，∴，∴而直线∥的法向量2l?CM ACl的过点，且直线的切线．为圆因此，CMCACA?l与重合．又∵（过切点的半径与切线垂直），∴ACCl圆心都，直线外）与圆内切或外切于点是它们的公切线，由此可知，圆系中的所有圆（除圆CA在直线上．22220??FDx?Ey?F?0C:x?yC:x+?yE+Dx?y交点的圆系方程为：．过两圆与322112112????2222??1?0?Dx?Ey?y+Dx?Ey?F??xF?y?x+．221121??E??DED2211),?M(?,可知，圆心??)?)2(12(1?????(E?E)E?(D?DDDE?)ED1111211222)?(?,?)CM(??,?OM?OC?(??,?)11????)2(1??)?2(12(1)2(1?2)2???EDED2211)]?(OC?OC,?)?C[(??,C)?(??2112?????1122221?M,C,CCC M上．因此，点共线，即圆系的所有圆的圆心都在已知两圆的连心线2112CAB?CC AB C BA,为所有两点时，则，且弦（即连心线与公共弦垂直）（1）当圆与圆相交于2211圆的公共弦；CCCC AAM上，圆系的所有圆都与已（2）当圆与圆内切或外切于的连心线点时，则在过切点2121CC A处内切或外切．及圆知的圆在点21注意：22+Dx?EyxC:??yF?0； 1）此圆系不含圆（2222CC和两圆公共弦所在直线交点的圆，可等价转化为过圆（2）为了避免利用上述圆系方程时讨论圆2122?[(D?D)x?(E?E)y?Dx?Ey?F?(F?F)]?x?y0? :系方程211112211???1??*0F)?)y?(F??(D?D)x?(EE称为根轴方程．时，上述方程（3）特别地，当222111根轴的特点：位于已知两圆外的根轴上的任意一点向圆系的所有圆所作的切线的长都相等．CC ABBA,(*)所在直线的方程；与圆两点时，方程于表示公共弦①当两已知圆21C AA C(*)的公切线方程．②当圆点时，方程与圆内切或外切于表示过（内或外）公切点21A外，公切线上的所有点均具有根轴的性质．这时，除点二．圆系方程在解题中的应用2222?2x?yy?1??y?2?03x0x??y3?3x交点和坐标原点的圆的方程．．求经过两圆和例122020?x?2y?x?y?4(2,0)3)BA(?1,?，且过点例2．求与圆切于点的圆的方程．222222?0?3)]?(y200x?y?4x?2y???[(x?1)?(x?1)?(y3)?3)A(??1,，构造圆系为点圆解一：视点422??7x?7y?4x?18y?20?0(2,0)B，∴所求的圆的方程为，可得代入点3A(?1,?3)3x?4y?15?0，与已知圆构造圆系解二：过点的已知圆的切线方程为22?(3x?4y??15)?x0?yy?4x?2?20822??7x?7y?4x?18y?20?0(2,0)B代入点，∴所求的圆的方程为，可得7220?1?y??2x4yxC:?0??2:x?y4l的交点且面积最小的圆的方程．求经过直线与圆Ｃ： 3.例??22?0?4?x?y2x?y?1+?2xy?4解一：设圆的方程为，即22???)?0?(1?x)?(4?4)xy?y+2(1+，则1584??2222???????()4144r??(41)?(?)?(?)，5544．8222??r?26x?12y?5x37?5y?0. 最小，从而圆的面积最小，故所求圆的方程为：∴当时，5作业：222?x?y4)?B(?1,A(1,1) 1.求与圆的圆的方程．切于点，且过点22220x?y?x?4x?y?10x?3y?6?的交点，且与直线2.求过两圆和相切的圆的方程．221)??R,k?k?10)y10k?20?0(kx??y2?kx?(4中，任意两个圆的位置关系如何？3.圆系一．常见的圆系方程有如下几种：222??0)(???x?a)?(yb)()b(a, 1．以为圆心的同心圆系方程：2222?0??+Dx?EyxDxx?y+?Ey?F?0?y同心的圆系方程为：与圆220?c?axl:?by0?EyC:x?y+Dx??F交点的圆系方程为：与圆2．过直线22??）0?（R???x?y+Dx?EyF+（ax?byc）ABClB,A为公共弦的一系列相交圆，其圆心在两点时，圆系中的所有圆是以与圆交于）当直线（1AB公共弦的垂直平分线上；??b??aED,?M(?)ACl，2（时，这时圆系的圆心切于点）当直线与圆22．?????b?abDD?EaE,?)?((??,?)?(?,?)??(a,b)CM?OM?OC?2222222?n?CM=CMn l)bn?(a,，∴，∴而直线∥的法向量2CM?l ACl的切线．，且直线因此，的过点为圆CA?lCACM重合．与（过切点的半径与切线垂直）又∵，∴CCAl是它们的公切线，外）与圆内切或外切于点圆心都由此可知，圆系中的所有圆（除圆，直线CA上．在直线2222+Dx?Ey?F?0C:x?:xy?y+Dx?Ey?F?0C交点的圆系方程为：．过两圆与311222121????2222??10??Eyy?F??Fx??y?+Dxx?yD+x?E．211122??EE??DD2211,M(??),可知，圆心??)??)2(12(1????(E?E)(D?D?DDE?)EDE1111222211)?(?,?)CM(??,?OM?OC?(?,?)?11????)2(122(1??2(1?2(1)?))2???EDDE2211)]?(OC?OC)?)?(??,?[(?C,?C2121????12211??22M,C,CCC M上．共线，即圆系的所有圆的圆心因此，点都在已知两圆的连心线2211CAB?CCC ABB,A为所有（即连心线与公共弦垂直）相交于两点时，则（1）当圆，且弦与圆2211圆的公共弦；CCCC AAM上，圆系的所有圆都与已内切或外切于在过切点与圆点时，则）当圆（2的连心线2121CC A处内切或外切．及圆知的圆在点21注意：22+Dx?Ey?FC:x??y0；1）此圆系不含圆（2222CC和两圆公共弦所在直线交点的圆）为了避免利用上述圆系方程时讨论圆，可等价转化为过圆（22122?[(D?D)x?(E?E)y?Dx?EyF??(F?F)]?0x?y? :系方程221211111???1??*)F?0)E?Ey?(F?x?(DD)?(称为根轴方程．3（）特别地，当时，上述方程211221根轴的特点：位于已知两圆外的根轴上的任意一点向圆系的所有圆所作的切线的长都相等．CC ABBA,(*)所在直线的方程；表示公共弦两点时，方程①当两已知圆与圆于21C AA C(*)的公切线方程．内切或外切于点时，方程表示过（内或外）公切点与圆②当圆21A外，公切线上的所有点均具有根轴的性质．这时，除点二、圆系方程在解题中的应用：2222?2x?y3y?1?3x?y?2?03xx0?y??交点和坐标原点的圆的方程．例1 和．求经过两圆22?4x?2y?20?x0?y A(?1,?3)B(2,0)的圆的方程．，且过点切于点例2．求与圆222222?]?3)0?(?20?y[(x?1)?(y?3)1)?0x??y?4x?2y(x?3)1,A(??视点解一：为点圆，构造圆系422??(2,0)B?4x?18yx??7y20?07，可得，∴所求的圆的方程为代入点3A(?1,?3)3x?4y?15?0，与已知圆构造圆系的已知圆的切线方程为解二：过点22?(3x?4y??20?15)?x0?y??4x2y822??7x?7y?4x?18y?20?0(2,0)B，可得代入点，∴所求的圆的方程为72201?y2?x?C:x4?y?0x4??y?l:2的交点且面积最小的圆的方程．与圆Ｃ：例3.求经过直线??22?02x?1+y?4??x?xy?2?4y，即解一：设圆的方程为22???)??40?4)yx??y(1+2(1+)x?(，则1584??2222???????4)r??()(41?)1?(?4)?4(，55448222??r5x?5y?26x?12y?37?0. 最小，从而圆的面积最小，故所求圆的方程为：∴当时，5练习：22?yx2?A(1,1)B(?1,?4)的圆的方程．，且过点切于点1.求与圆2222??2)?1)??y(x(x?1)0?(y?解：设所求的圆方程为29????+29=0154???1,yB(?1,?4)x?，，解得代入，得，将∵圆过点15822???15x?15y?447x??7y0将代回圆系方程，得所求的圆方程为522220?4yxx?y??1x?0?x?3y?6 2.求过两圆相切的圆的方程．和的交点，且与直线?14??222222?x??x?y?00x?y?1?x?y?4x?，即解：设所求的圆的方程为????1122?????1441?12?????4?r???(,0)，半径圆心?????????1||1??21?1?????2?6||??|?|232??1?d?(,0)0?y?6x?3圆心的距离到直线??||1?2?13?12???8??3|41|2??rd?0?y?6x?3????相切，∴，即∵所求圆与直线??|?11|1?|1|28??2222220xx?y?yx??1??40?x?y?311?323x∴所求的圆的方程为，??222,0?2?d?r0x?4??xy0y3?6?x?的距离又圆的圆心到直线即11|2?6|3?1220x??xy?4∴圆也符合题意，22220??x??32y?3x3?x110y4x?.∴所求的圆的方程为或22?2kx?(4k?10)y?10k?20?0(k?R,xk?y??1)中，任意两个圆的位置关系如何？3.圆系22?10y?20?2k(x?4y?5)?x0?y解：圆系方程可化为：2x?4y?10?0x?2y?5?0??k?R，k??1∵，??2250,C?0?10?2l:x?4y?5)?x5?(y的半径，故直线∴，即??2222x?y?10y?20?0x?(y?5)?5??到直线易知圆心的距离恰等于圆22?5y?5)(x?02xl:?y??5相切，即上述方程组有且只有一个解，从而圆系方程所表示的与圆任意两个圆有且只有一个公共点，故它们的关系是外切或内切．。
高中圆与方程的总结知识点
高中圆与方程的总结知识点一、圆的基本概念1.1. 定义：圆是平面上与一个给定点的距离等于一个常数的点的集合。
1.2. 圆的要素：圆心、半径，圆的圆心记为O，圆的半径记作r。
1.3. 圆的直径：过圆心的两个点之间的线段称为圆的直径，它的长度等于圆的半径的两倍。
1.4. 圆的线段：圆上的一段弧称为圆的线段。
1.5. 圆的弧长：圆的线段的长度。
1.6. 圆的圆周角：圆上的一段的圆弧，其两端点为圆上的两点，则弧所对的圆心角称为圆的圆周角，当圆周角的弧的度数是360度时，这个角也叫圆的周角。
二、圆方程的基本概念2.1. 圆的标准方程：以点(h,k)为圆心,r为半径的圆方程为：(x-h)²+(y-k)²=r²。
2.2. 圆的一般方程：圆的一般方程的一般形式为x²+y²+ax+by+c=0。
三、圆与直线的方程3.1. 圆与坐标轴的交点：圆与x轴的交点（a，0）和与y轴的交点（0，b）。
3.2. 圆与直线的位置关系：圆可能与直线相切、相交或者不相交。
3.3. 圆的切线方程：圆的切线方程要求切点在圆上，与圆的切线垂直于和直径的直线相。
四、圆与圆的方程4.1. 圆的位置关系：两个圆可能相离、外切、内切、相交或者包含。
4.2. 圆的位置关系对应的方程：通过分析圆心之间的距离与半径之间的关系，可以确定两个圆的位置关系。
五、圆的参数化方程5.1. 参数化方程的定义：参数是指由一个或几个变化的量组成的多元函数。
5.2. 圆的参数化方程：圆可以用参数方程表示为：x=r*cos(t)，y=r*sin(t)。
六、解题技巧6.1. 圆方程与圆心、半径的关系：根据圆的标准方程，可以直接读出圆心的坐标和半径的值。
6.2. 圆的切线方程：根据圆的切线要求即切点在圆上，利用斜率的关系求出切线的斜率，然后代入切点的坐标得出切线方程。
6.3. 圆与直线的位置关系：通过解方程组，可以得出圆与直线的交点坐标，从而分析它们的位置关系。
圆的方程知识点总结和典型例题
圆的方程知识点总结和经典例题(1)求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程．(2)对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时易忽视D2＋E2－4F＞0这一条件．2．点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.3．直线与圆的位置关系（1）直线与圆的位置关系的判断方法设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.2．代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．3．直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．（2）过一点的圆的切线方程的求法1．当点在圆上时，圆心与该点的连线与切线垂直，从而求得切线的斜率，用直线的点斜式方程可求得圆的切线方程．2．若点在圆外时，过这点的切线有两条，但在用设斜率来解题时可能求出的切线只有一条，这是因为有一条过这点的切线的斜率不存在．（3）求弦长常用的三种方法1．利用圆的半径r ，圆心到直线的距离d ，弦长l 之间的关系r 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22解题．2．利用交点坐标若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长．3．利用弦长公式设直线l ：y ＝kx ＋b ，与圆的两交点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长l ＝1＋k 2| x 1－x 2 ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2].4. 圆与圆的位置关系（1）圆与圆位置关系的判断方法设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)， 222两圆相切问题易忽视分两圆内切与外切两种情形．1．判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤：(1)化成圆的标准方程，写出圆心和半径；(2)计算两圆圆心的距离d ；(3)通过d ，r 1＋r 2， r 1－r 2 的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合．2．应用几何法判定两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系．（2）两圆相交有关问题1．圆系方程一般地过圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0交点的圆的方程可设为：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＋λ(x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2)＝0(λ≠－1)，然后再由其他条件求出λ，即可得圆的方程．2．两圆相交时，公共弦所在的直线方程若圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋F 1－F 2＝0.3．公共弦长的求法(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．5. 对称问题(1)点关于点成中心对称通常利用中点坐标公式点|P （x ，y ）关于Q （a ，b ）的对称点为P'（2a －x ，2b －y ）.||(2)点关于直线成轴对称(3)曲线关于点、曲线关于直线成中心对称或轴对称6. 与圆有关的最值问题的常见解法(1)形如μ＝y －b x －a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题． (2)形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．(3)形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题． |7. 典型例题1. 直线3x ＋4y －5＝0与圆x 2＋y 2＝1的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法判断【解析】 圆心(0,0)到直线3x ＋4y －5＝0的距离d ＝ －5 32＋42＝1，又圆x 2＋y 2＝1的半径r ＝1，∴d ＝r ，故直线与圆相切．2. 直线3x ＋4y ＋12＝0与圆(x －1)2＋(y ＋1)2＝9的位置关系是( )A ．过圆心B ．相切C ．相离D ．相交但不过圆心【解析】 圆心(1，－1)到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离d ＝3×1＋4×(－1)＋1232＋4211＝5＜r.【答案】D3.求过点(1，－7)且与圆x2＋y2＝25相切的直线方程．【解析】由题意知切线斜率存在，设切线的斜率为k，则切线方程为y＋7＝k(x－1)，即kx－y－k－7＝0.∴－k－7k2＋1＝5，解得k＝43或k＝－34.∴所求切线方程为y＋7＝43(x－1)或y＋7＝－34(x－1)，即4x－3y－25＝0或3x＋4y＋25＝0.4.过点A(4，－3)作圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线的方程.|【解析】因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17＞1，所以点A在圆外．(1)若所求切线的斜率存在，设切线斜率为k，则切线方程为y＋3＝k(x－4)．因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径，半径为1，所以 3k－1－3－4kk2＋1＝1，即k＋4 ＝k2＋1，所以k2＋8k＋16＝k2＋1，解得k＝－15 8.所以切线方程为y＋3＝－158(x－4)，即15x＋8y－36＝0.(2)若直线斜率不存在，圆心C(3,1)到直线x＝4的距离也为1，这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x＝4.综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4.5.求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长．【解析】圆C：x2＋y2－2y－4＝0可化为x2＋(y－1)2＝5，其圆心坐标为(0,1)，半径r＝ 5.点(0,1)到直线l的距离为d＝ 3×0＋1－632＋12＝102，l＝2r2－d2＝10，所以截得的弦长为10.6.直线x＋2y－5＋5＝0被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为()A．1B．2C．4D．46【解析】圆的方程可化为C：(x－1)2＋(y－2)2＝5，其圆心为C(1,2)，半径r ＝ 5.如图所示，取弦AB 的中点P ，连接CP ，则CP ⊥AB ，圆心C 到直线AB 的距离d ＝ CP ＝ 1＋4－5＋ 5 12＋22＝1.在Rt △ACP 中， AP ＝r 2－d 2＝2，故直线被圆截得的弦长 AB ＝4.7. 两圆x 2＋y 2＝9和x 2＋y 2－8x ＋6y ＋9＝0的位置关系是( )A ．外离B ．相交C ．内切D ．外切【解析】 两圆x 2＋y 2＝9和x 2＋y 2－8x ＋6y ＋9＝0的圆心分别为(0,0)和(4，－3)，半径分别为3和4.所以两圆的圆心距d ＝42＋(－3)2＝5.又4－3<5<3＋4，故两圆相交．8. 圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系为( )A ．外离B ．相交C ．外切D ．内切【解析】 圆O 1的圆心坐标为(1,0)，半径长r 1＝1；圆O 2的圆心坐标为(0,2)，半径长r 2＝2；1＝r 2－r 1＜ O 1O 2 ＝5＜r 1＋r 2＝3，即两圆相交．9. 求两圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0和x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0的公共弦所在直线的方程及公共弦长．【解析】 联立两圆的方程得方程组⎩⎨⎧ x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，两式相减得x －2y ＋4＝0，此为两圆公共弦所在直线的方程．法一：设两圆相交于点A ，B ，则A ，B 两点满足方程组⎩⎨⎧ x －2y ＋4＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝－4，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2.所以 AB ＝(－4－0)2＋(0－2)2＝25，即公共弦长为2 5.法二：由x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，得(x －1)2＋(y ＋5)2＝50，其圆心坐标为(1，－5)，半径长r ＝52，圆心到直线x －2y ＋4＝0的距离为d ＝ 1－2×(－5)＋4 1＋(－2)2＝3 5.设公共弦长为2l ，由勾股定理得r 2＝d 2＋l 2，即50＝(35)2＋l 2，解得l ＝5，故公共弦长2l ＝2 5.10.求圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦所在直线被圆C3：(x －1)2＋(y －1)2＝254所截得的弦长． 【精彩点拨】 联立圆C 1、C 2的方程――→作差得公共弦所在的直线―→圆心C 3到公共弦的距离d ―→圆的半径r ―→弦长＝2r 2－d 2【解析】设两圆的交点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 的坐标是方程组⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的解，两式相减得x ＋y －1＝0. 因为A ，B 两点的坐标满足|x ＋y －1＝0，所以AB 所在直线方程为x ＋y －1＝0，即C 1，C 2的公共弦所在直线方程为x ＋y －1＝0，圆C 3的圆心为(1,1)，其到直线AB 的距离d ＝12，由条件知r 2－d 2＝254－12＝234，所以直线AB 被圆C 3截得弦长为2×232＝23.11. 已知圆C 与圆(x －1)2＋y 2＝1关于直线y ＝－x 对称，则圆C 的方程为( )A ．(x ＋1)2＋y 2＝1B ．x 2＋y 2＝1C ．x 2＋(y ＋1)2＝1D ．x 2＋(y －1)2＝1【解析】 由已知圆(x －1)2＋y 2＝1得圆心C 1(1,0)，半径长r 1＝1.设圆心C 1(1,0关于直线y ＝－x 对称的点为(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧ b a －1·(－1)＝－1，－a ＋12＝b 2，解得⎩⎨⎧a ＝0，b ＝－1.所以圆C 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝1. 12. 当动点P 在圆x 2＋y 2＝2上运动时，它与定点A (3,1)连线中点Q 的轨迹方程为________．【解析】 设Q (x ，y )，P (a ，b )，由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a ＋32，y ＝b ＋12，所以⎩⎨⎧a ＝2x －3，b ＝2y －1. 点P (2x －3,2y －1)满足圆x 2＋y 2＝2的方程，所以(2x －3)2＋(2y －1)2＝2，化简得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝12，即为点Q 的轨迹方程． 13. （1）△ABC 的顶点坐标分别是A （5，1），B （7，﹣3），C （2，﹣8），求它的外接圆的方程；（2）△ABC的顶点坐标分别是A（0，0），B（5，0），C（0，12），求它的内切圆的方程．【解答】解：（1）设所求圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，①因为A（5，1），B（7，﹣3），C（2，﹣8）都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①，于是，可解得a=2，b=﹣3，r=25，所以△ABC的外接圆的方程是（x﹣2）2+（y+3）2=25．（2）∵△ABC三个顶点坐标分别为A（0，0），B（5，0），C（0，12），∴AB⊥AC，AB=5，AC=12，BC=13，∴△ABC内切圆的半径r==2，圆心（2，2），∴△ABC内切圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=4．14.已知圆C：x2+（y+1）2=5，直线l：mx﹣y+1=0（m∈R）（1）判断直线l与圆C的位置关系；（2）设直线l与圆C交于A、B两点，若直线l的倾斜角为120°，求弦AB 的长．【解答】解：（1）由于直线l的方程是mx﹣y+1=0，即y﹣1=mx，经过定点H（0，1），而点H到圆心C（0，﹣1）的距离为2，小于半径，故点H在圆的内部，故直线l与圆C相交，故直线和圆恒有两个交点．如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!（2）直线l的倾斜角为120°，直线l：﹣x﹣y+1=0，圆心到直线的距离d==1，∴|AB|=2=4．15.过点(－1，－2)的直线l被圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦长为2，求直线l的方程．【解】由题意，直线与圆要相交，斜率必须存在，设为k.设直线l的方程为y＋2＝k(x＋1)．又圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心为(1,1)，半径为1，所以圆心到直线的距离d＝ 2k－1－21＋k2＝12－⎝⎛⎭⎪⎫222＝22.解得k＝1或177.所以直线l的方程为y＋2＝x＋1或y＋2＝177(x＋1)，即x－y－1＝0或17x－7y＋3＝0.（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。
高中数学圆的方程典型例题及详细解答
新课标高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为222)(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点．∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-22224)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202=r ．所以所求圆的方程为20)1(22=++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为13124-=--=AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ．又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(22=++==AC r ．故所求圆的方程为20)1(22=++y x ． 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为r PC d >=++==254)12(22．∴点P 在圆外．说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？例2 求半径为4，与圆042422=---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程．分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解．解：则题意，设所求圆的方程为圆222)()(r b y a x C =-+-：．圆C 与直线0=y 相切，且半径为4，则圆心C 的坐标为)4,(1a C 或)4,(2-a C ． 又已知圆042422=---+y x y x 的圆心A 的坐标为)1,2(，半径为3． 若两圆相切，则734=+=CA 或134=-=CA ．(1)当)4,(1a C 时，2227)14()2(=-+-a ，或2221)14()2(=-+-a (无解)，故可得1022±=a ．∴所求圆方程为2224)4()1022(=-+--y x ，或2224)4()1022(=-++-y x ． (2)当)4,(2-a C 时，2227)14()2(=--+-a ，或2221)14()2(=--+-a (无解)，故622±=a ．∴所求圆的方程为2224)4()622(=++--y x ，或2224)4()622(=+++-y x ． 说明：对本题，易发生以下误解：由题意，所求圆与直线0=y 相切且半径为4，则圆心坐标为)4,(a C ，且方程形如2224)4()(=-+-y a x ．又圆042422=---+y x y x ，即2223)1()2(=-+-y x ，其圆心为)1,2(A ，半径为3．若两圆相切，则34+=CA ．故2227)14()2(=-+-a ，解之得1022±=a ．所以欲求圆的方程为2224)4()1022(=-+--y x ，或2224)4()1022(=-++-y x ． 上述误解只考虑了圆心在直线0=y 上方的情形，而疏漏了圆心在直线0=y 下方的情形．另外，误解中没有考虑两圆内切的情况．也是不全面的．例3 求经过点)5,0(A ，且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程．分析：欲确定圆的方程．需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点A ，故只需确定圆心坐标．又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上．解：∵圆和直线02=-y x 与02=+y x 相切， ∴圆心C 在这两条直线的交角平分线上，又圆心到两直线02=-y x 和02=+y x 的距离相等．∴5252y x y x +=-．∴两直线交角的平分线方程是03=+y x 或03=-y x ． 又∵圆过点)5,0(A ，∴圆心C 只能在直线03=-y x 上． 设圆心)3,(t t C∵C 到直线02=+y x 的距离等于AC ，∴22)53(532-+=+t t t t ．化简整理得0562=+-t t ．解得：1=t 或5=t∴圆心是)3,1(，半径为5或圆心是)15,5(，半径为55． ∴所求圆的方程为5)3()1(22=-+-y x 或125)15()5(22=-+-y x ．说明：本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到圆的方程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法．例4、 设圆满足：(1)截y 轴所得弦长为2；(2)被x 轴分成两段弧，其弧长的比为1:3，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线02=-y x l ：的距离最小的圆的方程．分析：要求圆的方程，只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程．满足两个条件的圆有无数个，其圆心的集合可看作动点的轨迹，若能求出这轨迹的方程，便可利用点到直线的距离公式，通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标，进而确定圆的半径，求出圆的方程．解法一：设圆心为),(b a P ，半径为r ． 则P 到x 轴、y 轴的距离分别为b 和a ．由题设知：圆截x 轴所得劣弧所对的圆心角为︒90，故圆截x 轴所得弦长为r 2．∴222b r =又圆截y 轴所得弦长为2．∴122+=a r ．又∵),(b a P 到直线02=-y x 的距离为52b a d -=∴2225b a d -=ab b a 4422-+=)(242222b a b a +-+≥ 1222=-=a b当且仅当b a =时取“=”号，此时55min =d ． 这时有⎩⎨⎧=-=1222a b b a ∴⎩⎨⎧==11b a 或⎩⎨⎧-=-=11b a 又2222==b r故所求圆的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x 解法二：同解法一，得52b a d -=．∴d b a 52±=-．∴2225544d bd b a +±=．将1222-=b a 代入上式得：01554222=++±d bd b ．上述方程有实根，故0)15(82≥-=∆d ，∴55≥d ． 将55=d 代入方程得1±=b ． 又1222+=a b ∴1±=a ．由12=-b a 知a 、b 同号．故所求圆的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x ． 说明：本题是求点到直线距离最小时的圆的方程，若变换为求面积最小呢？类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例5 已知圆422=+y x O ：，求过点()42，P 与圆O 相切的切线． 解：∵点()42，P 不在圆O 上，∴切线PT 的直线方程可设为()42+-=x k y 根据r d =∴21422=++-kk解得 43=k 所以 ()4243+-=x y即 01043=+-y x因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为2=x ．说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解．本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决（也要注意漏解）．还可以运用200r y y x x =+，求出切点坐标0x 、0y 的值来解决，此时没有漏解．例 6 两圆0111221=++++F y E x D y x C ：与0222222=++++F y E x D y x C ：相交于A 、B 两点，求它们的公共弦AB 所在直线的方程．分析：首先求A 、B 两点的坐标，再用两点式求直线AB 的方程，但是求两圆交点坐标的过程太繁．为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧．解：设两圆1C 、2C 的任一交点坐标为),(00y x ，则有：0101012020=++++F y E x D y x ① 0202022020=++++F y E x D y x ②①－②得：0)()(21021021=-+-+-F F y E E x D D ．∵A 、B 的坐标满足方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ． ∴方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D 是过A 、B 两点的直线方程．又过A 、B 两点的直线是唯一的．∴两圆1C 、2C 的公共弦AB 所在直线的方程为0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ． 说明：上述解法中，巧妙地避开了求A 、B 两点的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没有去求它，而是利用曲线与方程的概念达到了目标．从解题的角度上说，这是一种“设而不求”的技巧，从知识内容的角度上说，还体现了对曲线与方程的关系的深刻理解以及对直线方程是一次方程的本质认识．它的应用很广泛．例7、过圆122=+y x 外一点)3,2(M ，作这个圆的两条切线MA 、MB ，切点分别是A 、B ，求直线AB 的方程。
高一数学必修二《圆与方程》知识点整理(后附答案)
高一数学必修二《圆与方程》知识点整理（后附答案）一、标准方程()()222x a y b r -+-=1.求标准方程的方法——关键是求出圆心(),a b 和半径r①待定系数：往往已知圆上三点坐标，例如教材119P 例2②利用平面几何性质往往涉及到直线与圆的位置关系，特别是：相切和相交相切：利用到圆心与切点的连线垂直直线相交：利用到点到直线的距离公式及垂径定理二、一般方程()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+->2.求圆的一般方程一般可采用待定系数法：三、点与圆的位置关系1.判断方法：点到圆心的距离d 与半径r 的大小关系d r <⇒点在圆内；d r =⇒点在圆上；d r >⇒点在圆外2.涉及最值：（1）圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB 的最值min PB BN BC r ==-max PB BM BC r ==+（2）圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值min PA AN r AC ==-max PA AM r AC ==+思考：过此A 点作最短的弦？（此弦垂直AC ）四、直线与圆的位置关系1.判断方法（d 为圆心到直线的距离）（1）相离⇔没有公共点⇔0d r ∆<⇔>（2）相切⇔只有一个公共点⇔0d r ∆=⇔=（3）相交⇔有两个公共点⇔0d r ∆>⇔<2.直线与圆相切（1）知识要点①基本图形②主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等问题：直线l 与圆C 相切意味着什么？圆心C 到直线l 的距离恰好等于半径r（2）常见题型——求过定点的切线方程①切线条数点在圆外——两条；点在圆上——一条；点在圆内——无②求切线方程的方法及注意点．．．i ）点在圆外如定点()00,P x y ，圆：()()222x a y b r -+-=，[()()22200x a y b r -+->] 第一步：设切线l 方程()00y y k x x -=-第二步：通过d r =k ⇒，从而得到切线方程特别注意：以上解题步骤仅对k 存在有效，当k 不存在时，应补上——千万不要漏了！ 如：过点()1,1P 作圆2246120x y x y +--+=的切线，求切线方程. 答案：3410x y -+=和1x =③求切线长：利用基本图形，222AP CP r AP =-⇒=求切点坐标：利用两个关系列出两个方程1AC AP AC r k k ⎧=⎨⋅=-⎩ 3.直线与圆相交（1）求弦长及弦长的应用问题垂径定理．．．．及勾股定理——常用4.直线与圆相离六、最值问题方法主要有三种：（1）数形结合；（2）代换；（3）参数方程1.已知实数x ，y 满足方程22410x y x +-+=，求：（1）5yx -的最大值和最小值；——看作斜率（2）y x -的最小值；——截距（线性规划）（3）22x y +的最大值和最小值.——两点间的距离的平方九、圆与圆的位置关系1.判断方法：几何法（d 为圆心距） （1）12d r r >+⇔外离（2）12d r r =+⇔外切 （3）1212r r d r r -<<+⇔相交 （4）12d r r =-⇔内切 （5）12d r r <-⇔内含。
【精品】高中数学 必修2_圆的方程_讲义 知识点讲解+巩固练习(含答案)基础
圆的方程【学习目标】1.掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程.2.掌握圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．【要点梳理】【高清课堂：圆的方程370891 知识要点】 要点一：圆的标准方程222()()x a y b r -+-=，其中()a b ，为圆心，r 为半径.要点诠释：(1)如果圆心在坐标原点，这时00a b ==，，圆的方程就是222x y r +=.有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x 轴上：b=0；圆与y 轴相切时：||a r =；圆与x 轴相切时：||b r =；与坐标轴相切时：||||a b r ==；过原点：222a b r +=(2)圆的标准方程222()()x a y b r -+-=⇔圆心为()a b ，，半径为r ，它显现了圆的几何特点.(3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a 、b 、r 这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法.要点二：点和圆的位置关系如果圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，圆心为()C a b ，，半径为r ，则有 (1)若点()00M x y ，在圆上()()22200||CM r x a y b r ⇔=⇔-+-= (2)若点()00M x y ，在圆外()()22200||CM r x a y b r ⇔>⇔-+-> (3)若点()00M x y ，在圆内()()22200||CM r x a y b r ⇔<⇔-+-< 要点三：圆的一般方程当2240D E F +->时，方程220x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程.,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为圆心，为半径. 要点诠释：由方程220x y Dx Ey F ++++=得22224224D E D E F x y +-⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)当2240D E F +-=时，方程只有实数解,22D E x y =-=-.它表示一个点(,)22D E--. (2)当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．(3)当2240D E F +->时，可以看出方程表示以,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为半径的圆.要点四：几种特殊位置的圆的方程要点五：用待定系数法求圆的方程的步骤求圆的方程常用“待定系数法”.用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程.(2)根据已知条件，建立关于a b r 、、或D E F 、、的方程组.(3)解方程组，求出a b r、、或D E F、、的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程.要点六：轨迹方程求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量,x y之间的方程．1．当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）．2．求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等．3．求轨迹方程的步骤：（1）建立适当的直角坐标系，用(,)x y表示轨迹（曲线）上任一点M的坐标；（2）列出关于,x y的方程；（3）把方程化为最简形式；（4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）；（5）作答．【典型例题】类型一：圆的标准方程例1．求满足下列条件的各圆的方程：（1）圆心在原点，半径是3；（2）圆心在点C（3，4（3）经过点P（5，1），圆心在点C（8，―3）上．【思路点拨】根据题设条件，可利用圆的标准方程解决．【答案】（1）x2+y2=9 （2）(x―3)2+(y―4)2=5（3）(x―8)2+(y+3)2=25【解析】（1）x2+y2=9；（2）(x―3)2+(y―4)2=5；（3）解法一：∵圆的半径||5===，圆心在点C（8，―3）．r CP∴圆的方程是(x―8)2+(y+3)2=25．解法二：∵圆心为C（8，―3），故设圆的方程为(x―8)2+(y+3)2=r2．又∵点P（5，1）在圆上，∴(5―8)2+(1+3)2=r2，∴r2=25，∴所求圆的方程是(x―8)2+(y+3)2=25．【总结升华】确定圆的标准方程只需确定圆心的坐标和圆的半径即可，因此圆心和半径被称为圆的两要素．确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于a、b、r的方程组，求a、b、r或直接求出圆心（a，b）和半径r，一般步骤为：（1）根据题意，设所求的圆的标准方程为(x―a)2+(y―b)2=r2；（2）根据已知条件，建立关于a、b、r的方程组；（3）解方程组，求出a、b、r的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程．举一反三：【变式1】圆心是（4，―1），且过点（5，2）的圆的标准方程是（）A．(x―4)2+(y+1)2=10 B．(x+4)2+(y―1)2=10C．(x―4)2+(y+1)2=100 D．22-++=x y(4)(1)【答案】A例2．写出下列方程表示的圆的圆心和半径．（1）x2+y2=2；（2）(x―3)2+y2=a2（a≠0）；（3）(x+2)2+(y+1)2=b2（b≠0）．【答案】（1）（0，0）（2）（3，0），|a|（3）（―2，―1），|b|【解析】（1）圆心（0，0）；（2）圆心（3，0），半径为|a|；（3）圆心（―2，―1），半径为|b|．【总结升华】（2）、（3）两题中a2、b2仅为半径的平方，没有给定a＞0，b＞0，∴半径r=|a|、|b|．例3．求圆心在直线y=―x上，且过两点A（2，0），B（0，―4）的圆的方程．【思路点拨】先写出线段AB的中垂线方程，然后求出中垂线与直线y=―x的交点，这个点就是圆心，进一步求出圆的方程。
高中数学圆的方程典型例题(含答案)
高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为222)(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点．∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-22224)3(16)1(ra r a解之得：1-=a ，202=r ．所以所求圆的方程为20)1(22=++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为13124-=--=AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ．又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(22=++==AC r ．故所求圆的方程为20)1(22=++y x ． 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为r PC d >=++==254)12(22．∴点P 在圆外．例2 求半径为4，与圆042422=---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程．分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解．解：则题意，设所求圆的方程为圆222)()(r b y a x C =-+-：． 圆C 与直线0=y 相切，且半径为4，则圆心C 的坐标为)4,(1a C 或)4,(2-a C ． 又已知圆042422=---+y x y x 的圆心A 的坐标为)1,2(，半径为3．若两圆相切，则734=+=CA 或134=-=CA ．(1)当)4,(1a C 时，2227)14()2(=-+-a ，或2221)14()2(=-+-a (无解)，故可得1022±=a ． ∴所求圆方程为2224)4()1022(=-+--y x ，或2224)4()1022(=-++-y x ．(2)当)4,(2-a C 时，2227)14()2(=--+-a ，或2221)14()2(=--+-a (无解)，故622±=a ． ∴所求圆的方程为2224)4()622(=++--y x ，或2224)4()622(=+++-y x ．说明：对本题，易发生以下误解：由题意，所求圆与直线0=y 相切且半径为4，则圆心坐标为)4,(a C ，且方程形如2224)4()(=-+-y a x ．又圆042422=---+y x y x ，即2223)1()2(=-+-y x ，其圆心为)1,2(A ，半径为3．若两圆相切，则34+=CA ．故2227)14()2(=-+-a ，解之得1022±=a ．所以欲求圆的方程为2224)4()1022(=-+--y x ，或2224)4()1022(=-++-y x ．上述误解只考虑了圆心在直线0=y 上方的情形，而疏漏了圆心在直线0=y 下方的情形．另外，误解中没有考虑两圆内切的情况．也是不全面的．例3 求经过点)5,0(A ，且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程．分析：欲确定圆的方程．需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点A ，故只需确定圆心坐标．又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上．解：∵圆和直线02=-y x 与02=+y x 相切， ∴圆心C 在这两条直线的交角平分线上，又圆心到两直线02=-y x 和02=+y x 的距离相等．∴5252y x y x +=-．∴两直线交角的平分线方程是03=+y x 或03=-y x ． 又∵圆过点)5,0(A ，∴圆心C 只能在直线03=-y x 上． 设圆心)3,(t t C∵C 到直线02=+y x 的距离等于AC ，∴22)53(532-+=+t t t t ．化简整理得0562=+-t t ．解得：1=t 或5=t∴圆心是)3,1(，半径为5或圆心是)15,5(，半径为55． ∴所求圆的方程为5)3()1(22=-+-y x 或125)15()5(22=-+-y x ．说明：本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到圆的方程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法．例4、 设圆满足：(1)截y 轴所得弦长为2；(2)被x 轴分成两段弧，其弧长的比为1:3，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线02=-y x l ：的距离最小的圆的方程．分析：要求圆的方程，只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程．满足两个条件的圆有无数个，其圆心的集合可看作动点的轨迹，若能求出这轨迹的方程，便可利用点到直线的距离公式，通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标，进而确定圆的半径，求出圆的方程．解法一：设圆心为),(b a P ，半径为r ． 则P 到x 轴、y 轴的距离分别为b 和a ．由题设知：圆截x 轴所得劣弧所对的圆心角为︒90，故圆截x 轴所得弦长为r 2． ∴222b r =又圆截y 轴所得弦长为2． ∴122+=a r ．又∵),(b a P 到直线02=-y x 的距离为52b a d -=∴2225b a d -=ab b a 4422-+= )(242222b a b a +-+≥ 1222=-=a b当且仅当b a =时取“=”号，此时55min =d ． 这时有⎩⎨⎧=-=1222a b b a ∴⎩⎨⎧==11b a 或⎩⎨⎧-=-=11b a 又2222==b r故所求圆的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x 解法二：同解法一，得52b a d -=．∴d b a 52±=-．∴2225544d bd b a +±=． 将1222-=b a 代入上式得：01554222=++±d bd b ．上述方程有实根，故0)15(82≥-=∆d ，∴55≥d ． 将55=d 代入方程得1±=b ． 又1222+=a b ∴1±=a ． 由12=-b a 知a 、b 同号．故所求圆的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x ． 说明：本题是求点到直线距离最小时的圆的方程，若变换为求面积最小呢？类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例5 已知圆422=+y x O ：，求过点()42，P 与圆O 相切的切线． 解：∵点()42，P 不在圆O 上， ∴切线PT 的直线方程可设为()42+-=x k y 根据r d =∴21422=++-kk解得 43=k 所以 ()4243+-=x y即 01043=+-y x因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为2=x ．说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解．本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决（也要注意漏解）．还可以运用200r y y x x =+，求出切点坐标0x 、0y 的值来解决，此时没有漏解．例6 两圆0111221=++++F y E x D y x C ：与0222222=++++F y E x D y x C ：相交于A 、B 两点，求它们的公共弦AB 所在直线的方程．分析：首先求A 、B 两点的坐标，再用两点式求直线AB 的方程，但是求两圆交点坐标的过程太繁．为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧．解：设两圆1C 、2C 的任一交点坐标为),(00y x ，则有：0101012020=++++F y E x D y x ① 0202022020=++++F y E x D y x ②①－②得：0)()(21021021=-+-+-F F y E E x D D ．∵A 、B 的坐标满足方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ． ∴方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D 是过A 、B 两点的直线方程． 又过A 、B 两点的直线是唯一的．∴两圆1C 、2C 的公共弦AB 所在直线的方程为0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ．说明：上述解法中，巧妙地避开了求A 、B 两点的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没有去求它，而是利用曲线与方程的概念达到了目标．从解题的角度上说，这是一种“设而不求”的技巧，从知识内容的角度上说，还体现了对曲线与方程的关系的深刻理解以及对直线方程是一次方程的本质认识．它的应用很广泛．例7、过圆122=+y x 外一点)3,2(M ，作这个圆的两条切线MA 、MB ，切点分别是A 、B ，求直线AB 的方程。
圆的方程考点与题型归纳
圆的方程考点与题型归纳一、基础知识1．圆的定义及方程❶标准方程强调圆心坐标为(a ，b )，半径为r .❷(1)当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程表示一个点⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2； (2)当D 2＋E 2－4F ＜0时，方程不表示任何图形． 2．点与圆的位置关系点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系： (1)若M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2. (2)若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. (3)若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2.二、常用结论(1)二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF ＞0.(2)以A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为直径端点的圆的方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.考点一 求圆的方程[典例] (1)圆心在y 轴上，半径长为1，且过点A (1,2)的圆的方程是( ) A ．x 2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1 D ．x 2＋(y －3)2＝4(2)圆心在直线x －2y －3＝0上，且过点A (2，－3)，B (－2，－5)的圆的方程为________． [解析] (1)根据题意可设圆的方程为x 2＋(y －b )2＝1，因为圆过点A (1,2)，所以12＋(2－b )2＝1，解得b ＝2，所以所求圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.(2)法一：几何法设点C 为圆心，因为点C 在直线x －2y －3＝0上，所以可设点C 的坐标为(2a ＋3，a )． 又该圆经过A ，B 两点，所以|CA |＝|CB |， 即(2a ＋3－2)2＋(a ＋3)2＝(2a ＋3＋2)2＋(a ＋5)2，解得a ＝－2，所以圆心C 的坐标为(－1，－2)，半径r ＝10， 故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10. 法二：待定系数法设所求圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )2＋(－3－b )2＝r 2，(－2－a )2＋(－5－b )2＝r 2，a －2b －3＝0，解得a ＝－1，b ＝－2，r 2＝10， 故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10. 法三：待定系数法设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 则圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E2，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－D2－2×⎝⎛⎭⎫－E2－3＝0，4＋9＋2D －3E ＋F ＝0，4＋25－2D －5E ＋F ＝0，解得D ＝2，E ＝4，F ＝－5.故所求圆的方程为x 2＋y 2＋2x ＋4y －5＝0. [答案] (1)A (2)x 2＋y 2＋2x ＋4y －5＝0[题组训练]1．已知圆E 经过三点A (0,1)，B (2,0)，C (0，－1)，且圆心在x 轴的正半轴上，则圆E 的标准方程为( )A.⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254 B.⎝⎛⎭⎫x ＋342＋y 2＝2516 C.⎝⎛⎭⎫x －342＋y 2＝2516D.⎝⎛⎭⎫x －342＋y 2＝254解析：选C 法一：根据题意，设圆E 的圆心坐标为(a,0)(a ＞0)，半径为r ，则圆E 的标准方程为(x －a )2＋y 2＝r 2(a ＞0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋12＝r 2，(2－a )2＝r 2，a 2＋(－1)2＝r 2，解得⎩⎨⎧a ＝34，r 2＝2516，所以圆E 的标准方程为⎝⎛⎭⎫x －342＋y 2＝2516. 法二：设圆E 的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1＋E ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，1－E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－32，E ＝0，F ＝－1，所以圆E 的一般方程为x 2＋y 2－32x －1＝0，即⎝⎛⎭⎫x －342＋y 2＝2516. 法三：因为圆E 经过点A (0,1)，B (2,0)，所以圆E 的圆心在线段AB 的垂直平分线y －12＝2(x －1)上．又圆E 的圆心在x 轴的正半轴上，所以圆E 的圆心坐标为⎝⎛⎭⎫34，0. 则圆E 的半径为|EB |＝⎝⎛⎭⎫2－342＋(0－0)2＝54，所以圆E 的标准方程为⎝⎛⎭⎫x －342＋y 2＝2516. 2．已知圆心在直线y ＝－4x 上，且圆与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)，则该圆的方程是________________．解析：过切点且与x ＋y －1＝0垂直的直线方程为x －y －5＝0，与y ＝－4x 联立可求得圆心为(1，－4)．所以半径r ＝(3－1)2＋(－2＋4)2＝22，故所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8. 答案：(x －1)2＋(y ＋4)2＝83．已知圆C 经过P (－2,4)，Q (3，－1)两点，且在x 轴上截得的弦长等于6，则圆C 的方程为________________．解析：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)， 将P ，Q 两点的坐标分别代入得⎩⎪⎨⎪⎧ 2D －4E －F ＝20，3D －E ＋F ＝－10.①②又令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0.③ 设x 1，x 2是方程③的两根， 由|x 1－x 2|＝6，得D 2－4F ＝36，④联立①②④，解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8，或D ＝－6，E ＝－8，F ＝0. 故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0. 答案：x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0 考点二 与圆有关的轨迹问题[典例] (1)点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任意一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1(2)已知圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝9，过点A (2,3)作圆C 的任意弦，则这些弦的中点P 的轨迹方程为________．[解析](1)设圆上任意一点为(x 1，y 1)，中点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋42，y ＝y 1－22，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x －4，y 1＝2y ＋2，代入x 2＋y 2＝4，得(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.(2)设P (x ，y )，圆心C (1,1)．因为P 点是过点A 的弦的中点，所以P A ―→⊥PC ―→. 又因为P A ―→＝(2－x,3－y )，PC ―→＝(1－x,1－y )． 所以(2－x )·(1－x )＋(3－y )·(1－y )＝0. 所以点P 的轨迹方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋(y －2)2＝54. [答案] (1)A (2)⎝⎛⎭⎫x －322＋(y －2)2＝54[变透练清]1.(变条件)若将本例(2)中点A (2,3)换成圆上的点B (1,4)，其他条件不变，则这些弦的中点P 的轨迹方程为________．解析：设P (x ，y )，圆心C (1,1)．当点P 与点B 不重合时，因为P 点是过点B 的弦的中点，所以PB ―→⊥PC ―→.又因为PB ―→＝(1－x,4－y )，PC ―→＝(1－x,1－y )． 所以(1－x )·(1－x )＋(4－y )·(1－y )＝0. 所以点P 的轨迹方程为(x －1)2＋⎝⎛⎭⎫y －522＝94； 当点P 与点B 重合时，点P 满足上述方程． 综上所述，点P 的轨迹方程为(x －1)2＋⎝⎛⎭⎫y －522＝94.答案：(x －1)2＋⎝⎛⎭⎫y －522＝942．已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点． (1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PB Q ＝90°，求线段P Q 中点的轨迹方程．解：(1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2,2y )． 因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上， 所以(2x －2)2＋(2y )2＝4.故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)设P Q 的中点为N (x ，y )． 在Rt △PB Q 中，|PN |＝|BN |，设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥P Q ， 所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2， 所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段P Q 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.[课时跟踪检测]A 级1．以线段AB ：x ＋y －2＝0(0≤x ≤2)为直径的圆的方程为( ) A ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 B ．(x －1)2＋(y －1)2＝2 C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝8D ．(x －1)2＋(y －1)2＝8解析：选B 直径的两端点分别为(0,2)，(2,0)，所以圆心为(1,1)，半径为2，故圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.2．若圆x 2＋y 2＋2ax －b 2＝0的半径为2，则点(a ，b )到原点的距离为( ) A ．1 B ．2 C. 2D ．4解析：选B 由半径r ＝12D 2＋E 2－4F ＝124a 2＋4b 2＝2，得a 2＋b 2＝2.∴点(a ，b )到原点的距离d ＝a 2＋b 2＝2，故选B.3．以(a,1)为圆心，且与两条直线2x －y ＋4＝0与2x －y －6＝0同时相切的圆的标准方程为( )A ．(x －1)2＋(y －1)2＝5B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝5C ．(x －1)2＋y 2＝5D ．x 2＋(y －1)2＝5解析：选A 由题意知，圆心到这两条直线的距离相等，即圆心到直线2x －y ＋4＝0的距离d ＝|2a －1＋4|5＝|2a －1－6|5，解得a ＝1，d ＝5，∵直线与圆相切，∴r ＝d ＝5， ∴圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝5.4．(2019·银川模拟)方程|y |－1＝1－(x －1)2表示的曲线是( ) A ．一个椭圆 B ．一个圆 C ．两个圆D ．两个半圆解析：选D 由题意知|y |－1≥0，则y ≥1或y ≤－1，当y ≥1时，原方程可化为(x －1)2＋(y －1)2＝1(y ≥1)，其表示以(1，1)为圆心、1为半径、直线y ＝1上方的半圆；当y ≤－1时，原方程可化为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1(y ≤－1)，其表示以(1，－1)为圆心、1为半径、直线y ＝－1下方的半圆．所以方程|y |－1＝1－(x －1)2表示的曲线是两个半圆，选D.5．已知a ∈R ，若方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则此圆的圆心坐标为( )A ．(－2，－4)B.⎝⎛⎭⎫－12，－1 C ．(－2，－4)或⎝⎛⎭⎫－12，－1 D ．不确定解析：选A ∵方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，∴a 2＝a ＋2≠0，解得a ＝－1或a ＝2.当a ＝－1时，方程化为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0.配方，得(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，所得圆的圆心坐标为(－2，－4)，半径为5.当a ＝2时，方程化为x 2＋y 2＋x ＋2y ＋52＝0，此时方程不表示圆．故选A.6．已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程为( )A ．(x ＋1)2＋y 2＝2B ．(x ＋1)2＋y 2＝8C ．(x －1)2＋y 2＝2D ．(x －1)2＋y 2＝8解析：选A 直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点(－1,0)． 根据题意，圆C 的圆心坐标为(－1,0)．因为圆与直线x ＋y ＋3＝0相切，所以半径为圆心到切线的距离， 即r ＝d ＝|－1＋0＋3|12＋12＝2，则圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2.7．圆C 的直径的两个端点分别是A (－1,2)，B (1,4)，则圆C 的标准方程为________． 解析：设圆心C 的坐标为(a ，b )，则a ＝－1＋12＝0，b ＝2＋42＝3，故圆心C (0,3)．半径r ＝12|AB |＝12[1－(－1)]2＋(4－2)2＝ 2.∴圆C 的标准方程为x 2＋(y －3)2＝2. 答案：x 2＋(y －3)2＝28．已知圆C 的圆心在x 轴上，并且经过点A (－1,1)，B (1,3)，若M (m ，6)在圆C 内，则m 的取值范围为________．解析：设圆心为C (a,0)，由|CA |＝|CB |， 得(a ＋1)2＋12＝(a －1)2＋32，解得a ＝2. 半径r ＝|CA |＝(2＋1)2＋12＝10.故圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10. 由题意知(m －2)2＋(6)2＜10， 解得0＜m ＜4. 答案：(0,4)9．若一个圆的圆心是抛物线x 2＝4y 的焦点，且该圆与直线y ＝x ＋3相切，则该圆的标准方程是________________．解析：抛物线x 2＝4y 的焦点为(0,1)，即圆心为(0,1)，设该圆的标准方程是x 2＋(y －1)2＝r 2(r >0)，因为该圆与直线y ＝x ＋3相切，所以r ＝d ＝|－1＋3|2＝2，故该圆的标准方程是x 2＋(y －1)2＝2.答案：x 2＋(y －1)2＝210．(2019·德州模拟)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的标准方程为________________． 解析：因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a,0)，且a ＞0，所以圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝2a 5＝455，解得a ＝2，所以圆C 的半径r ＝|CM |＝4＋5＝3，所以圆C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝9.答案：(x －2)2＋y 2＝911．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410.(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．解：(1)直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1,2)． 所以直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)， 即x ＋y －3＝0.(2)设圆心P (a ，b )，则由P 在CD 上得a ＋b －3＝0.① 又直径|CD |＝410， 所以|P A |＝210. 所以(a ＋1)2＋b 2＝40.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2，所以圆心P (－3,6)或P (5，－2)，所以圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40. 12．已知Rt △ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0)．求： (1)直角顶点C 的轨迹方程；(2)直角边BC 的中点M 的轨迹方程．解：(1)法一：设C (x ，y )，因为A ，B ，C 三点不共线， 所以y ≠0.因为AC ⊥BC ，所以k AC ·k BC ＝－1， 又k AC ＝y x ＋1，k BC ＝yx －3，所以y x ＋1·yx －3＝－1，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(y ≠0)．法二：设AB 的中点为D ，由中点坐标公式得D (1,0)，由直角三角形的性质知|CD |＝12|AB |＝2.由圆的定义知，动点C 的轨迹是以D (1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点)．所以直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)．(2)设M (x ，y )，C (x 0，y 0)，因为B (3,0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式得x ＝x 0＋32，y ＝y 0＋02，所以x 0＝2x －3，y 0＝2y . 由(1)知，点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)，将x 0＝2x －3，y 0＝2y 代入得(2x －4)2＋(2y )2＝4，即(x －2)2＋y 2＝1.因此动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0)．B 级1．(2019·伊春三校联考)已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1解析：选B 圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆心C 1为(－1,1)，半径为1.易知点C 1(－1,1)关于直线x －y －1＝0对称的点为C 2，设C 2(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧ b －1a ＋1＝－1，a －12－b ＋12－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－2，所以C 2(2，－2)，所以圆C 2的圆心为C 2(2，－2)，半径为1，所以圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1.故选B.2．在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________________．解析：因为直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )恒过点(2，－1)，所以当点(2，－1)为切点时，半径最大，此时半径r ＝2，故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.答案：(x －1)2＋y 2＝23．已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B .(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程．解：(1)把圆C 1的方程化为标准方程得(x －3)2＋y 2＝4，∴圆C 1的圆心坐标为C 1(3,0)．(2)设M (x ，y )，∵A ，B 为过原点的直线l 与圆C 1的交点，且M 为AB 的中点，∴由圆的性质知：MC 1⊥MO ，∴MC 1―→·MO ―→＝0.又∵MC 1―→＝(3－x ，－y )，MO ―→＝(－x ，－y )，∴x 2－3x ＋y 2＝0.易知直线l 的斜率存在，故设直线l 的方程为y ＝mx ，当直线l 与圆C 1相切时，圆心到直线l 的距离d ＝|3m －0|m 2＋1＝2， 解得m ＝±255. 把相切时直线l 的方程代入圆C 1的方程化简得9x2－30x＋25＝0，解得x＝5 3.当直线l经过圆C1的圆心时，M的坐标为(3,0)．又∵直线l与圆C1交于A，B两点，M为AB的中点，∴53<x≤3.∴点M的轨迹C的方程为x2－3x＋y2＝0，其中53<x≤3，其轨迹为一段圆弧．。
高中数学圆的方程知识点及习题(含答案)
圆的方程【考纲要求】1.掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，2.能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程.3.掌握圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；4.能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程． 【知识网络】【考点梳理】考点一：圆的标准方程222()()x a y b r -+-=，其中()a b ，为圆心，r 为半径.要点诠释：(1)如果圆心在坐标原点，这时00a b ==，，圆的方程就是222x y r +=.有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x 轴上：b=0；圆与y 轴相切时：||a r =；圆与x 轴相切时：||b r =；与坐标轴相切时：||||a b r ==；过原点：222a b r +=.(2)圆的标准方程222()()x a y b r -+-=⇔圆心为()a b ，，半径为r ，它显现了圆的几何特点.(3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a 、b 、r 这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法.考点二：圆的一般方程当2240D E F +->时，方程220x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程.,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为圆心，为半径. 要点诠释：由方程220x y Dx Ey F ++++=得22224224D E D E F x y +-⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)当2240D E F +-=时，方程只有实数解,22D E x y =-=-.它表示一个点(,)22D E --. 圆的方程圆的一般方程简单应用圆的标准方程点与圆的关系(2)当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．(3)当2240D E F +->时，可以看出方程表示以,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为半径的圆. 考点三：点和圆的位置关系如果圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，圆心为()C a b ，，半径为r ，则有(1)若点()00M x y ，在圆上()()22200||CM r x a y b r ⇔=⇔-+-=(2)若点()00M x y ，在圆外()()22200||CM r x a y b r ⇔>⇔-+->(3)若点()00M x y ，在圆内()()22200||CM r x a y b r ⇔<⇔-+-<圆的标准方程与一般方程的转化：标准方程垐垐?噲垐?展开配方一般方程. 【典型例题】类型一：圆的标准方程例1. 已知圆与y 轴相切，圆心在直线x-3y=0，且这个圆经过点A(6，1)，求该圆的方程.【思路点拨】已知圆与y 轴相切，圆心在直线x-3y=0，因此可设圆的标准方程，利用待定系数法解决问题.解析：设圆心为||3a a r a ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，，()2226133111a a a a a ⎛⎫∴-+-= ⎪⎝⎭∴==或 ∴圆心为(3，1)(111，37)∴圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9或(x-111)2+(y-37)2=1112. 总结升华：圆心或半径的几何意义明显，则可设标准方程. 举一反三：【变式1】若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是（ ）A. 22(2)(1)1x y -+-= B.22(2)(1)1x y -++=C. 22(2)(1)1x y ++-= D. 22(3)(1)1x y -+-=解析：依题意，设圆心坐标为(,1)a ，其中0a >，则有|43|15a -=，由此解得2a =，因此所求圆的方程是22(2)(1)1x y -+-=，选A.类型二：圆的一般方程例2.求过三点A(1，12)，B(7，10)，C(-9，2)的圆的方程，并求出圆的圆心与半径，作出图形. 【思路点拨】因为圆过三个定点，故可以设圆的一般方程来求圆的方程. 解:设所求的圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，依题意有⎪⎩⎪⎨⎧=++-+=++++=++++.029481,010710049,0121441F E D F E D F E D解得D=-2，E=-4，F=-95.于是所求圆的方程为x 2+y 2-2x-4y-95=0. 将上述方程配方得(x-1)2+(y-2)2=100.于是，圆的圆心D 的坐标为(1，2)，半径为10，图形如图所示.总结升华：求过三个定点的圆的方程往往采用待定系数法来求解.利用圆经过不在同一直线上的三点的条件，由待定系数法求出圆的一般式方程，并由此讨论圆的几何性质，这是解题的捷径.对于由一般式给出的圆的方程，研究其几何性质(圆心与半径等)时，常可用配方法或公式法加以求解.如由公式可得2221(2)(4)(4)4(95)102r=-+-+---=.举一反三：【变式1】圆与y轴相切，圆心P在直线30x y-=上，且直线y x=截圆所得弦长为27，求此圆的方程。
第3节 圆的方程--2025年高考数学复习讲义及练习解析
第三节圆的方程1．圆的定义及圆的方程＝D 2＋E 2－4F2的圆；当D 2＋E 2－4F ＝0时，－D 2，D2＋E 2－4F <0时，不表示任何图形．2．点与圆的位置关系平面上的一点M (x 0，y 0)与圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2或x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0之间存在着下列关系：位置关系判断方法几何法代数法(标准方程)代数法(一般方程)点在圆上|MC |＝r (x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F ＝0点在圆外|MC |>r (x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F >0点在圆内|MC |<r(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F <01．确定圆的方程时，常用到的圆的两个性质(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．(2)圆心在任一弦的中垂线上．2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)圆x2＋y2＝a2的半径为a.()(2)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.()(3)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F>0.()答案(1)×(2)√(3)√2．小题热身(1)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标和半径分别是()A．(2，3)，3B．(－2，3)，3C．(－2，－3)，13D．(2，－3)，13答案D解析圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)，半径r＝13.故选D.(2)(人教A选择性必修第一册2.4.1练习T1改编)圆心为(1，1)且过原点的圆的标准方程是________________．答案(x－1)2＋(y－1)2＝2解析因为圆心为(1，1)且过原点，所以该圆的半径r＝12＋12＝2，则该圆的标准方程为(x －1)2＋(y－1)2＝2.(3)(人教A选择性必修第一册复习参考题2T7改编)若圆C：x2＋y2－2(m－1)x＋2(m－1)y＋2m2－6m＋4＝0过坐标原点，则实数m的值为________．答案2解析∵x2＋y2－2(m－1)x＋2(m－1)y＋2m2－6m＋4＝0表示圆，∴[－2(m－1)]2＋[2(m－1)]2－4(2m2－6m＋4)>0，∴m>1.又圆C过原点，∴2m2－6m＋4＝0，∴m＝2或m＝1(舍去)，∴m＝2.(4)(人教A选择性必修第一册复习参考题2T6改编)圆心在直线x＋y＝0上，且过点(0，2)，(－4，0)的圆的标准方程为________________．答案(x＋3)2＋(y－3)2＝10解析点(0，2)与点(－4，0)确定直线的斜率为k＝2－00－（－4）＝12，其中点为(－2，1)，所以线段的中垂线方程为y－1＝－2(x＋2)，即2x＋y＋3＝0，又圆心在直线x＋y＝0上，由x＋y＋3＝0，＋y＝0，＝－3，＝3，所以圆心为(－3，3)，r＝（－3）2＋（3－2）2＝10，所以圆的标准方程为(x＋3)2＋(y－3)2＝10.考点探究——提素养考点一求圆的方程例1(1)已知圆的圆心为(－2，1)，其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的一般方程是________________．答案x2＋y2＋4x－2y＝0解析设直径的两个端点分别为A(a，0)，B(0，b)，圆心C为点(－2，1)，由中点坐标公式，得a＋02＝－2，0＋b2＝1，解得a＝－4，b＝2.∴半径r＝（－2＋4）2＋（1－0）2＝5，∴圆的方程是(x＋2)2＋(y－1)2＝5，即x2＋y2＋4x－2y＝0.(2)(2024·江苏南京一中月考)已知△ABC的顶点A(0，0)，B(0，2)，C(－2，2)，则其外接圆的标准方程为________________．答案(x＋1)2＋(y－1)2＝2解析设△ABC的外接圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，因为△ABC的顶点A(0，0)，B(0，2)，C(－2，2)，2＋b2＝r2，2＋（2－b）2＝r2，2－a）2＋（2－b）2＝r2，＝－1，＝1，＝2，因此(x＋1)2＋(y－1)2＝2即为所求圆的方程．【通性通法】(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程．(2)待定系数法①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；②若已知条件没有明确给出圆心和半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．【巩固迁移】1．(2024·河北邯郸模拟)已知三点A(3，2)，B(5，－3)，C(－1，3)，以P(2，－1)为圆心作一个圆，使得A，B，C三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，则这个圆的标准方程为________________．答案(x－2)2＋(y＋1)2＝13解析由题设知，|PA|＝10，|PB|＝13，|PC|＝5，∴|PA|<|PB|<|PC|，要使A，B，C三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，则圆以|PB|为半径，故圆的标准方程为(x －2)2＋(y＋1)2＝13.2．已知圆的圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)，则圆的一般方程为________________．答案x2＋y2＋2x＋4y－5＝0解析解法一：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由题意，得2－a）2＋（－3－b）2＝r2，2－a）2＋（－5－b）2＝r2，－2b－3＝0，＝－1，＝－2，2＝10，故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10，即x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.解法二：线段AB的垂直平分线方程为2x＋y＋4＝0，x＋y＋4＝0，－2y－3＝0，解得交点坐标C(－1，－2)，又点C到点A的距离d＝10，所以所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10，即x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.考点二与圆有关的轨迹问题例2(2024·山东枣庄八中月考)已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)．求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．解(1)解法一：设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.因为AC⊥BC，且直线AC，BC的斜率均存在，所以k AC k BC＝－1，又k AC＝yx＋1，k BC＝yx－3，所以yx＋1·yx－3＝－1，化简，得x2＋y2－2x－3＝0.因此直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．解法二：设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1，0)，由直角三角形的性质知|CD|＝12|AB|＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．(2)设M (x ，y )，C (x 0，y 0)，因为B (3，0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式，得x ＝x 0＋32，y ＝y 0＋02，所以x 0＝2x －3，y 0＝2y .由(1)，知点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)，将x 0＝2x －3，y 0＝2y 代入，得(2x －4)2＋(2y )2＝4，即(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0)．所以直角边BC 的中点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0)．【通性通法】求与圆有关的轨迹问题的方法(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．(3)几何法：利用圆的几何性质列方程．(4)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解．【巩固迁移】3．已知两点A (－5，0)，B (5，0)，动点P 到点A 的距离是它到点B 的距离的3倍，则点P 的轨迹方程为________________．答案x 2＋y 2－252x ＋25＝0解析设P (x ，y )，由题意可知|PA |＝3|PB |，由两点间距离公式，可得（x ＋5）2＋y 2＝3（x －5）2＋y 2，化简，得x 2＋y 2－252x ＋25＝0.4．(2023·江苏淮安一模)已知点A (2，0)是圆x 2＋y 2＝4上一点，点B (1，1)是圆内一点，P ，Q 为圆上的动点．(1)求线段AP 的中点M 的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 的中点N 的轨迹方程．解(1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，点P 的坐标为(2x －2，2y )．因为点P在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x －2)2＋(2y )2＝4.故线段AP 的中点M 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)如图，设PQ 的中点N (x ，y )，在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |，设O 为坐标原点，则ON ⊥PQ ，所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2，所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 的中点N 的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.考点三与圆有关的最值问题(多考向探究)考向1借助几何性质求最值例3已知M(x，y)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2，3)．(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)求y－3x＋2的最大值和最小值；(3)求y－x的最大值和最小值．解(1)由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，所以圆心C的坐标为(2，7)，半径r＝2 2.又|QC|＝（2＋2）2＋（7－3）2＝42，所以|MQ|max＝42＋22＝62，|MQ|min＝42－22＝22.(2)可知y－3x＋2表示直线MQ的斜率k.设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0.因为直线MQ与圆C有交点，所以|2k－7＋2k＋3|k2＋1≤22，解得2－3≤k≤2＋3，所以y－3x＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3.(3)设y－x＝b，则x－y＋b＝0.当直线x－y＋b＝0与圆C相切时，截距b取到最值，所以|2－7＋b|12＋（－1）2＝22，解得b＝9或b＝1，所以y－x的最大值为9，最小值为1.【通性通法】借助几何性质求最值的常见形式及求解方法(1)形如μ＝y －bx －a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．(2)形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．(3)形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．【巩固迁移】5．已知半径为1的圆经过点(3，4)，则其圆心到原点的距离的最小值为()A ．4B ．5C ．6D ．7答案A解析设圆心为C (x ，y )，则（x －3）2＋（y －4）2＝1，化简得(x －3)2＋(y －4)2＝1，所以圆心C 的轨迹是以M (3，4)为圆心，1为半径的圆，如图．所以|OC |＋1≥|OM |＝32＋42＝5，所以|OC |≥5－1＝4，当且仅当C 在线段OM 上时取得等号．故选A.6．已知A (－2，0)，B (2，0)，点P 是圆C ：(x －3)2＋(y －7)2＝1上的动点，则|AP |2＋|BP |2的最大值为()A ．40B ．46C ．48D ．58答案D解析设O 为坐标原点，P (x ，y )，则|AP |2＋|BP |2＝(x ＋2)2＋y 2＋(x －2)2＋y 2＝2(x 2＋y 2)＋8＝2|PO |2＋8.圆C 的圆心为C (3，7)，半径为r ＝1，|OC |＝4，所以|PO |2的最大值为(|OC |＋r )2＝(4＋1)2＝25，所以|AP |2＋|BP |2的最大值为58.考向2构建目标函数求最值例4(2023·湘潭质检)设点P (x ，y )是圆x 2＋(y －3)2＝1上的动点，定点A (2，0)，B (－2，0)，则PA →·PB →的最大值为________．答案12解析由题意，得PA →＝(2－x ，－y )，PB →＝(－2－x ，－y )，所以PA →·PB →＝x 2＋y 2－4，由于点P (x ，y )是圆上的点，故其坐标满足方程x 2＋(y －3)2＝1，故x 2＝－(y －3)2＋1，所以PA →·PB →＝－(y －3)2＋1＋y 2－4＝6y －12.易知2≤y ≤4，所以当y ＝4时，PA →·PB →的值最大，最大值为6×4－12＝12.【通性通法】建立函数关系式求最值时，首先根据已知条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值．【巩固迁移】7．等边三角形ABC 的面积为93，且△ABC 的内心为M ，若平面内的点N 满足|MN |＝1，则NA →·NB →的最小值为()A ．－5－23B ．－5－43C ．－6－23D ．－6－43答案A解析设等边三角形ABC 的边长为a ，则面积S ＝34a 2＝93，解得a ＝6.以AB 所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系．由M 为△ABC 的内心，则M 在OC 上，且|OM |＝13|OC |，则A (－3，0)，B (3，0)，C (0，33)，M (0，3)，由|MN |＝1，则点N 在以M 为圆心，1为半径的圆上．设N (x ，y )，则x 2＋(y －3)2＝1，即x 2＋y 2－23y ＋2＝0，且3－1≤y ≤1＋3，又NA →＝(－3－x ，－y )，NB →＝(3－x ，－y )，所以NA →·NB →＝(x ＋3)(x －3)＋y 2＝x 2＋y 2－9＝23y －11≥23×(3－1)－11＝－5－2 3.考向3利用对称性求最值例5一束光线，从点A (－2，2)出发，经x 轴反射到圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝1上的最短路径的长度是()A ．52－1B ．52＋1C ．32＋1D ．32－1答案A解析如图，依题意知，圆C 的圆心C (3，3)，半径r ＝1，点A (－2，2)关于x 轴的对称点为A ′(－2，－2)，连接A ′C 交x 轴于点O ，交圆C 于点B ，圆外一点与圆上的点的距离的最小值是圆外这点到圆心的距离减去圆的半径，于是得点A ′与圆C 上的点的距离的最小值为|A ′B |＝|A ′C |－r ＝（－2－3）2＋（－2－3）2－1＝52－1.在x 轴上任取点P ，连接AP ，A ′P ，PC ，PC交圆C于点B′，而|AO|＝|A′O|，|AP|＝|A′P|，|AO|＋|OB|＝|A′O|＋|OB|＝|A′B|＝|A′C|－r≤|A′P|＋|PC|－r＝|AP|＋|PB′|，当且仅当点P与点O重合时取“＝”，所以最短路径的长度是52－1.故选A.【通性通法】求解形如|PA|＋|PB|且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：(1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；(2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．【巩固迁移】8．(2024·浙江金华模拟)已知圆C：x2＋(y－2)2＝1上一动点A和定点B(6，2)，点P为x轴上一动点，则|PA|＋|PB|的最小值为________．答案213－1解析根据题意画出圆C：x2＋(y－2)2＝1，以及点B(6，2)的图象如图，作B关于x轴的对称点B′，连接B′C，则当A，P分别是B′C与圆和x轴的交点时，|PA|＋|PB|最小，最小值|AB′|为点C(0，2)到点B′(6，－2)的距离减去圆的半径，即|AB′|＝（6－0）2＋（－2－2）2－1＝213－1.课时作业一、单项选择题1．(2023·甘肃酒泉模拟)已知点(1，1)在圆x2＋y2＋ax＋a＝0外，则实数a的取值范围为() A．(－1，＋∞)B．(－1，0)C．(－1，0)∪(4，＋∞)D．(－∞，0)∪(4，＋∞)答案C解析∵点(1，1)在圆x2＋y2＋ax＋a＝0外，∴a2－4a＞0，且12＋12＋a＋a＞0，解得－1＜a ＜0或a＞4.∴实数a的取值范围为(－1，0)∪(4，＋∞)．故选C.2．(2023·重庆九龙坡期中)在平面直角坐标系xOy中，已知P(－2，4)，Q(2，6)两点，若圆M 以PQ为直径，则圆M的标准方程为()A．x2＋(y＋5)2＝5B．x2＋(y－5)2＝5C．x2＋(y＋5)2＝25D．x2＋(y－5)2＝25答案B解析因为圆M以PQ为直径，所以圆心M的坐标为(0，5)，半径为|MQ|＝（0－2）2＋（5－6）2＝5，所以圆M的标准方程为x2＋(y－5)2＝5.故选B. 3．(2024·河南洛阳阶段考试)方程x2＋y2＋2x－m＝0表示一个圆，则m的取值范围是() A．(－1，＋∞)B．(－∞，－1)C．[－1，＋∞)D．(－∞，－1]答案A解析由方程x2＋y2＋2x－m＝0，可化为(x＋1)2＋y2＝m＋1，要使得方程x2＋y2＋2x－m＝0表示一个圆，则满足m＋1>0，解得m>－1，所以m的取值范围为(－1，＋∞)．故选A. 4．(2024·山东淄博淄川区期末)圆(x＋2)2＋(y－12)2＝4关于直线x－y＋6＝0对称的圆的方程为()A．(x＋6)2＋(y＋4)2＝4B．(x－4)2＋(y＋6)2＝4C．(x－4)2＋(y－6)2＝4D．(x－6)2＋(y－4)2＝4答案D解析由圆的方程(x＋2)2＋(y－12)2＝4可得，圆心坐标为(－2，12)，半径为2，由题意可得关于直线x－y＋6＝0对称的圆的圆心为(－2，12)关于直线对称的点，半径为2，设所求圆的圆心为(a，b)，－b＋122＋6＝0，1，解得a＝6，b＝4，故圆的方程为(x－6)2＋(y－4)2＝4.故选D.5．点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，|PA|＝1，则点P的轨迹方程是() A．(x－1)2＋y2＝4B．(x－1)2＋y2＝2C．y2＝2x D．y2＝－2x答案B解析∵|PA |＝1，∴点P 和圆心的距离恒为2，又圆心坐标为(1，0)，设P (x ，y )，∴由两点间的距离公式，得(x －1)2＋y 2＝2.故选B.6．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m ，0)，B (m ，0)(m >0)．若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为()A ．7B ．6C ．5D ．4答案B解析∵在Rt △APB 中，原点O 为斜边中点，|AB |＝2m (m >0)，∴|OC |－r ≤m ＝|OP |≤|OC |＋r ，又C (3，4)，r ＝1，∴4≤|OP |≤6，即4≤m ≤6.故选B.7．若点P 为圆x 2＋y 2＝1上的一个动点，A (－1，0)，B (1，0)为两个定点，则|PA |＋|PB |的最大值为()A ．2B ．22C ．42D ．4答案B解析由已知，得线段AB 为圆的直径．所以|PA |2＋|PB |2＝4，由基本不等式，得≤|PA |2＋|PB |22＝2，所以|PA |＋|PB |≤22，当且仅当|PA |＝|PB |＝2时，等号成立．故选B.8．(2023·内蒙古赤峰模拟)已知圆O ：x 2＋y 2＝1，点P (x 0，y 0)是直线l ：3x ＋2y －4＝0上的动点，若在圆O 上总存在不同的两点A ，B ，使得直线AB 垂直平分OP ，则y 0的取值范围为()AB ，2413C－1013，D．－1013，答案C解析在圆O 上总存在不同的两点A ，B 使得AB 垂直平分OP .若P 为直线l 与y 轴的交点，得P (0，2)，此时圆O 上不存在不同的两点A ，B 满足条件；若P为直线l 与x 轴的交点，得此时直线AB 的方程为x ＝23，满足条件，y 0＝0；当直线AB 的斜率存在且不为0时，∵AB ⊥OP ，k OP ＝y 0x 0，∴k AB ＝－x 0y 0，∴直线AB 的方程为y －y 02＝－化为2x 0x ＋2y 0y－x 20－y 20＝0，由圆心到直线AB 的距离d ＝x 20＋y 202<1，得x 20＋y 20<4，又3x 0＋2y 0－4＝0，化为13y 20－16y 0－20<0，解得－1013<y 0<2，∴y 0－1013，故选C.二、多项选择题9．已知△ABC 的三个顶点为A (－1，2)，B (2，1)，C (3，4)，则下列关于△ABC 的外接圆圆M 的说法正确的是()A ．圆M 的圆心坐标为(1，3)B ．圆M 的半径为5C ．圆M 关于直线x ＋y ＝0对称D ．点(2，3)在圆M 内答案ABD解析设△ABC 的外接圆圆M 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，＋4－D ＋2E ＋F ＝0，＋1＋2D ＋E ＋F ＝0，＋16＋3D ＋4E ＋F ＝0，＝－2，＝－6，＝5.所以△ABC 的外接圆圆M 的方程为x 2＋y 2－2x －6y ＋5＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝5.故圆M 的圆心坐标为(1，3)，圆M 的半径为5，因为直线x ＋y ＝0不经过圆M 的圆心(1，3)，所以圆M 不关于直线x ＋y ＝0对称．因为(2－1)2＋(3－3)2＝1<5，故点(2，3)在圆M 内．故选ABD.10．设有一组圆C k ：(x －k )2＋(y －k )2＝4(k ∈R )，下列命题正确的是()A ．不论k 如何变化，圆心C 始终在一条直线上B ．所有圆C k 均不经过点(3，0)C ．经过点(2，2)的圆C k 有且只有一个D ．所有圆的面积均为4π答案ABD解析圆心C 的坐标为(k ，k )，在直线y ＝x 上，故A 正确；令(3－k )2＋(0－k )2＝4，化简，得2k 2－6k ＋5＝0，∵Δ＝36－40＝－4<0，∴2k 2－6k ＋5＝0无实数根，故B 正确；由(2－k )2＋(2－k )2＝4，化简，得k 2－4k ＋2＝0，∵Δ＝16－8＝8>0，有两个不相等实根，∴经过点(2，2)的圆C k 有两个，故C 错误；由圆的半径为2，得圆的面积为4π，故D 正确．故选ABD.三、填空题11．(2024·安徽蚌埠模拟)已知定点A (4，0)，P 是圆x 2＋y 2＝4上的一动点，Q 是AP 的中点，则点Q 的轨迹方程是________．答案(x －2)2＋y 2＝1解析如图所示，设P (x 0，y 0)，Q (x ，y )，则x 20＋y 20＝4①，因为Q 为AP 的中点，所以x ，y 0＝2x －4，0＝2y②，所以由①②得，(2x －4)2＋(2y )2＝4，即(x －2)2＋y 2＝1，所以点Q 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1.12．(2023·广东湛江三模)已知圆C 过点A (－2，0)，B (2，4)，当圆心C 到原点O 的距离最小时，圆C 的标准方程为________．答案(x －1)2＋(y －1)2＝10解析由A (－2，0)，B (2，4)，可得线段AB 中点的坐标为(0，2)，又k AB ＝4－02－（－2）＝1，所以AB 垂直平分线的方程为y ＝－x ＋2，则圆心C 在线段AB 的垂直平分线y ＝－x ＋2上，当圆心C 到原点O 的距离最小时，则OC 垂直于直线y ＝－x ＋2，则OC ∥AB ，所以直线OC的方程为y ＝x ，＝x ，＝－x ＋2＝1，＝1，所以圆心C (1，1)，又半径r 2＝|AC |2＝(－2－1)2＋(0－1)2＝10，所以圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝10.13．(2024·福建泉州期中)已知点P (m ，n )在圆C ：(x －2)2＋(y －2)2＝9上运动，则(m ＋2)2＋(n ＋1)2的最大值为________．答案64解析由题意得，圆心C (2，2)，半径r ＝3.(m ＋2)2＋(n ＋1)2表示圆C 上的点P 到点M (－2，－1)的距离的平方，因为|CM |＝5，所以|PM |max ＝5＋3＝8，即(m ＋2)2＋(n ＋1)2的最大值为64.14．已知A (0，2)，点P 在直线x ＋y ＋2＝0上，点Q 在圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0上，则|PA |＋|PQ |的最小值是________．答案25解析因为圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0，故圆C 是以C (2，1)为圆心，半径r ＝5的圆．设点A (0，2)关于直线x ＋y ＋2＝0的对称点为A ′(m ，n )，＋n ＋22＋2＝0，1，＝－4，＝－2，故A ′(－4，－2)．由对称性可知|PA |＋|PQ |＝|A ′P |＋|PQ |≥|A ′Q |≥|A ′C |－r ＝2 5.四、解答题15．(2023·广东佛山期中)已知圆C 过点A (4，0)，B (0，4)，且圆心C 在直线l ：x ＋y －6＝0上．(1)求圆C 的方程；(2)若从点M (4，1)发出的光线经过直线y ＝－x 反射，反射光线l 1恰好平分圆C 的圆周，求反射光线l 1的一般方程．解(1)由A (4，0)，B (0，4)，得直线AB 的斜率为k AB ＝0－44－0＝－1，线段AB 的中点D (2，2)，所以k CD ＝1，直线CD 的方程为y －2＝x －2，即y ＝x ，＋y －6＝0，＝x ，＝3，＝3，即C (3，3)，所以半径r ＝|AC |＝（4－3）2＋（0－3）2＝10，所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －3)2＝10.(2)由l 1恰好平分圆C 的圆周，得l1经过圆心C (3，3)，设点M 关于直线y ＝－x 的对称点N (x ，y )，则直线MN 与直线y ＝－x 垂直，且线段MNy ＝－x 上，则有（－1）＝－1，＝－x ＋42，＝－1，＝－4，所以N (－1，－4)，所以直线CN 即为直线l 1，且k l 1＝k CN ＝3－（－4）3－（－1）＝74，反射光线l 1的方程为y －3＝74(x －3)，即7x －4y －9＝0.16．在平面直角坐标系xOy 中，曲线Γ：y ＝x 2－mx ＋2m (m ∈R )与x 轴交于不同的两点A ，B ，曲线Γ与y 轴交于点C .(1)是否存在以AB 为直径的圆过点C ？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由；(2)求证：过A ，B ，C 三点的圆过定点．解由曲线Γ：y ＝x 2－mx ＋2m (m ∈R )，令y ＝0，得x 2－mx ＋2m ＝0.设A (x 1，0)，B (x 2，0)，由题意可得Δ＝m 2－8m >0.则m <0或m >8，x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝2m .令x ＝0，得y ＝2m ，即C (0，2m )．(1)若存在以AB 为直径的圆过点C ，则AC →·BC →＝0，得x 1x 2＋4m 2＝0，即2m ＋4m 2＝0，所以m ＝0(舍去)或m ＝－12.此时C (0，－1)，AB 的中点M －14，，半径r ＝|CM |＝174，＋y 2＝1716.(2)证明：设过A ，B 两点的圆的方程为x 2＋y 2－mx ＋Ey ＋2m ＝0，将点C (0，2m )代入可得E ＝－1－2m ，所以过A ，B ，C 三点的圆的方程为x 2＋y 2－mx －(1＋2m )y ＋2m ＝0，整理，得x 2＋y 2－y －m (x ＋2y －2)＝0.2＋y 2－y ＝0，＋2y －2＝0，＝0，＝1＝25，＝45.故过A ，B ，C 三点的圆过定点(0，1)17．(多选)已知圆C 过点M (1，－2)且与两坐标轴均相切，则下列叙述正确的是()A ．满足条件的圆C 的圆心在一条直线上B ．满足条件的圆C 有且只有一个C ．点(2，－1)在满足条件的圆C 上D ．满足条件的圆C 有且只有两个，它们的圆心距为42答案ACD解析因为圆C 和两个坐标轴都相切，且过点M (1，－2)，所以设圆心坐标为(a ，－a )(a >0)，故圆心在直线y ＝－x 上，故A 正确；圆C 的方程为(x －a )2＋(y ＋a )2＝a 2，把点M 的坐标代入可得a 2－6a ＋5＝0，解得a ＝1或a ＝5，则圆心坐标为(1，－1)或(5，－5)，所以满足条件的圆C 有且只有两个，故B 错误；圆C 的方程分别为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1，(x －5)2＋(y ＋5)2＝25，将点(2，－1)代入这两个方程可知其在圆C 上，故C 正确；由C 项知，它们的圆心距为（5－1）2＋（－5＋1）2＝42，D 正确．故选ACD.18．(多选)(2023·浙江温州期末)已知圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1，点M (4，2)，点P 在圆C 上，O 为原点，则下列命题正确的是()A ．M 在圆上B ．线段MP 的长度的最大值为5＋1C ．当直线MP 与圆C 相切时，|MP |＝2D ．MO →·MP →的最大值为25＋6答案BCD解析将M (4，2)代入圆的方程，(4－2)2＋(2－3)2＝5>1，所以M 在圆外，A 错误；线段MP的长度的最大值为|MC |＋1＝（4－2）2＋（2－3）2＋1＝5＋1，B 正确；当直线MP 与圆C 相切时，|MC |2＝|MP |2＋1＝[（4－2）2＋（2－3）2]2，∴|MP |＝2，C 正确；设动点P (x ，y )，点P 的轨迹是圆心为(2，3)，半径为1的圆，x ＝2＋cos θ，y ＝3＋sin θ，又M (4，2)，所以MO →·MP →＝(－4，－2)·(x －4，y －2)＝－4(x －4)＋(－2)·(y －2)＝－4x －2y ＋20，因为x ＝2＋cos θ，y ＝3＋sin θ，所以MO →·MP →＝－4cos θ－2sin θ＋6＝25sin(θ＋φ)＋6，θ∈[0，2π)，且sin φ＝－255，cos φ＝－55，则MO →·MP →的最大值为25＋6，D 正确．故选BCD.。
高考数学复习考点知识与结论专题讲解51 圆的方程
高考数学复习考点知识与结论专题讲解高考数学复习考点知识与结论专题讲解第51讲 圆的方程圆的方程通关一通关一、、圆的标准方程与一般方程圆的标准方程与一般方程通关二通关二、、几种几种特殊特殊特殊圆的标准方程圆的标准方程圆的标准方程（ｒ＞（ｒ＞（ｒ＞００）特殊条件特殊条件 圆的方程圆的方程 圆心在坐标原点 222x y r +=圆心在x 轴上()222x a y r −+=结论一结论一、、圆的一般方程般方程已知方程220x y Dx Ey F ++++=１.当2240D E F +−>时,方程220x y Dx Ey F ++++=表示以,22D E −−为圆心，以为半径的圆；２．当2240D E F +−=时,方程220x y Dx Ey F ++++=表示一个点,22D E−− ； ３.当2240D E F +−<时,方程220x y Dx Ey F ++++=没有意义,不表示任何图形． 【例1】方程22 4250x y mx y m ++−+=表示圆的充要条件是()A.14<m <1B.m >１C.m < 14D.m <14或m >１ 【答案答案】】D【解析解析】】此方程表示圆的充要条件是2240D E F +−>，即()()2242450m m +−−×>， 解得m <14或m >1.故选D. 【变式】如果圆的方程为22220y kx x y k ++++=，那么当圆面积最大时,圆心坐标为（） A.(-1,1)B.(1,-1)C.(-1,0)D.(0,-1)圆心在y 轴上 ()222x y b r +−=过原点 ()()2222x a y b a b −+−=+（a,b 不同时为０） 与x 轴相切 ()()222(0)x a y b b b −+−=≠ 与y 轴相切 ()()222(0)x a y b a a −+−=≠ 与两坐标轴都相切()()222(a 0)x a y a a −+−=≠或()()222(0)x a y a a a ++−=≠以()()1122,,,A x y B x y 为直径端点()()()()12120x x x x y y y y −−+−−=【解析解析】】化为圆的标准方程: ()2223()2114y k x k ++=−+，圆的面积最大等价于2314k −最大,此时k =0,圆心坐标为(0,-1).故选D．结论二结论二、、求圆的方程的两种方法求圆的方程的两种方法１.直接法：根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程； ２.待定系数法：①若已知条件与圆心(a,b)和半径r 有关,则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于ａ，ｂ，ｒ的方程组,从而求出ａ，ｂ，ｒ的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径,则选择设圆的一般方程,依据已知条件设出圆的一般方程：220x y Dx Ey F ++++=，列出关于D，E，F 的方程组，进而求出D，E，F 的值【例2】过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y 轴于M,N 两点,则|MN|=（）B.8C.D.10【答案答案】】C【解析解析】】设过A,B,C 三点的圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，则3100422007500D E F D E F D E F +++=+++= −++=，解得D=-2,E=4,F=-20,所求圆的方程为2224200x y x y +−+−=．令x =0,得2y +4y -20=0.设12(0,),(0,)M y N y ，则12124,20y y y y +=−=−i ，所以12MN y y =−==．故选C．【变式】若圆心在x 的圆O 位于y 轴左侧,且与直线x +2y =0相切,则圆O 的方程是（） (22.5A x y+=(22.5B x y ++=()22.55C x y −+=()22.55D x y ++=【解析】设圆心O (a ,0)(a <0),则=，即|a |=5,解得a =-5,所以圆O 的方程为225(5)x y +=+．故选D．结论三结论三、、点与圆的位置关系点与圆的位置关系１.根据点到圆心的距离d 与圆的半径r 的大小判断:d>r ⇔点在圆外；d=r ⇔点在圆上；d r <⇔点在圆内．２.根据点00(,)M x y 的坐标与圆的方程222()()x a y b r −+=−的关系判断；()()22200x a y b r −+−>⇔点在圆外； ()()22200x a y b r −+−=⇔点在圆上； ()()22200x a y b r −+−<⇔点在圆内．【例3】已知点M (a ,b )在圆O :221x y +=外,则直线ax +by =1与圆O 的位置关系是（） A.相切B.相交C．相离D.不确定 【答案答案】】B【解析解析】】点M(a ,b )在圆221x y +=外，所以221a b +>，圆O(0,0)到直线ax +by =１的距离d<1,所以直线与圆相交.故选B【变式】已知() ),0(M a b ab ≠是圆222:x y O r +=内一点,现有以M 为中点的弦所在直线m 和直线2:l ax by r +=,则（）.A.//m l ,且l 与圆相交B.m l ⊥,且l 与圆相交C.//m l ,且l 与圆相离D.m l ⊥,且l 与圆相离 【答案】C【解析】由圆的性质可知中点弦与OM 垂直,所以斜率OM1kk =−=−,中点弦m 的方程为:22()ay b x a ax by a b b−=−−⇒+=+,可得//m l.另一方面,2o l d −=,因为(,)M a b 在r <,所以20l d r −=>,直线l 与圆相离.故选C.结论四结论四、、与圆有半的与圆有半的对称问题对称问题对称问题1.圆关于点对称(1)求已知圆关于某点对称的圆,只需确定所求圆的圆心位置; (2 两圆关于某点对称,则此点为两圆圆心连线的中点. 2.圆关于直线对称(1)求已知圆关于某条直线对称的圆,只需确定所求圆的圆心位置; (2)两圆关于某条直线对称,则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线.【例4】已知圆221:(1)(1)1C x y ++−=,圆2C 与圆1C 关于直线10x y −−=对称,则圆2C 的方程为（） .A. 22(2)(2)1x y ++−=B.22(2)(2)1x y −++=C. 22(2)(2)1x y +++=D. 22(2)(2)1x y −+−= 【答案】B【解析】设圆2C 的圆心为(,)a b ,则依题意有111022111a b b a −+ −−=− =− +,解得22a b = =− ,对称圆的半径不变为1.故选B.【变式】若直线220(,0)ax by a b −+=>始终平分圆222410x y x y ++−+=的周长,则11a b+的最小值为____________.【答案】 4【解析】直线平分圆的周长,即直线过圆心(1,2)−, 从而有1a b +=, 所以11a b+=2224a b a b a b a b b a +++=+++=…,当且仅当12a b ==时取等号.故11a b +的最小值 为4.结论五结论五、、确定圆心位置的方法确定圆心位置的方法(1) 圆心在过切点且与切线垂直的直线上; (2) 圆心在圆的任意弦的垂直平分线上; (3) 两圆相协时,协点与两圆圆心共线.【例5】若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线23x y −−0=的距离为( ).【答案】B【解析】由于圆上的点(2,1)在第一象限,若圆心不在第一象限,则圆至少与一条坐标轴相交, 不合乎题意,所以圆心必在第一象限.设圆心的坐标为(,)a a ,则圆的半径为a ,圆的标准方程为222()()x a y a a −+−=.由题意可得222(2)(1)a a a −+−=,可得2650a a −+=,解得1a =或5a =,所以圆心的坐标为(1,1)或(5,5),圆心到直线230x y −−=的距离均为d =.故选B .【变式】若直线y kx =与圆22(2)1x y −+=的两个交点关于直线20x y b ++=对称,则点(,)k b 所在的圆为（）.A. 221(5)12x y −++=B. 221(5)12x y−+−=C. 221(5)12x y ++−=D. 221(5)12x y+++=【答案】A【解析】由题意知直线y kx =与直线20x y b ++=互相垂直, 所以12k =.又圆上两点关于直线20x y b ++=对称,故直线20x y b ++=过圆心(2,0),所以4b =−,结合选项可知,点1,42−在圆221(5)12x y−++=上,故选A .结论六结论六、、圆的参数方程圆的参数方程已知圆心为()00,x y ,半径为r 的圆()()22200x x y y r −+−=的参数方程为:00cos sin x x r y y r θθ=+=+（θ是参数，θ∈[)0,2π）；特别地，当圆心在原点时，其参数方程为cos sin x r y r θθ= = （θ是参数）. 【例6】若直线1x ya b+=通过点(cos ,sin )M αα,则( ) A.221a b +… B.221a b +…C.22111a b +… D. 22111a b+… 【答案】D【解析】解法一因为1OM =, 故原点到直线1x ya b+=的距离不大于11…, 从而22111a b+…. 故选D . 解法二由题意知cos sin 1a bαα+=,即cos sin )b a ab αααϕ+==+,故1, 得到222222111a b a b a b +=+…. 故选D .解法三222222cos sin 1111111cos sin 122a b a b a bαααα +=+++⇒+ 剠.故选D . 【变式】在平面直角坐标系中,记d 为点(cos ,sin )P θθ到直线20x my −−=的距离,当,m θ变化时,d 的最大值为 ( ) A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】C【解析】解法一由题意可得d ===其中cos ϕϕ ==, 因为1sin()1θϕ−−剟d1=+, 所以当0m =时, d 取得最大值3 . 故选C. 解法二由题意知点(cos ,sin )P θθ的轨迹方程是221x y +=,所以圆心(0,0)O 到直线20x my −−=的距离2d ′=, 所以13d d =′+…,故选C.。
高中数学一轮复习微专题第18季圆：第4节 圆的方程综合应用
第4节 圆的方程综合应用【基础知识】1. 圆的标准方程为：222()()x a y b r -+-=2．圆的一般方程．：220x y Dx Ey F ++++=（2240D E F +->）.3.点000(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离：d【规律技巧】1.确定圆的方程常用待定系数法，其步骤为：一根据题意选择标准方程或一般方程；二是根据题设条件列出方程组；三是由方程组求出待定的系数，代入所设的圆的方程；2.在求圆的方程时，常用到圆的以下几个性质：一是圆心在过切点且与切线垂直的直线上；二是圆心在任一弦的中垂线上；3．解方程组时，把所求的值代入检验一下是否正确.【典例讲解】例1、已知a ，b 是方程220x x -=的两个不等的实数根，则点(,)P a b 与圆C ：228x y +=的位置关系是（ ）A ．点P 在圆C 内B ．点P 在圆C 外 C ．点P 在圆C 上D ．无法确定【答案】A【解析】∵22a b +=2()2a b ab +-=21+=1+8，∴点(,)P a b 在圆C:228x y +=内． 例2、一束光线从点(1,1)A -出发，经x 轴反射到圆22:(2)(3)1C x y -+-=上的最短路径是 .【答案】4【解析】先作出已知圆C 关于x 轴对称的圆'C ，问题转化为求点A 到圆'C 上的点的最短路径.结合图形可知，最短距离为点A 到圆心C '的距离与半径之差，即|'|14AC -=．【针对训练】1、P(x y)，在圆22C (x 1)(y 1)1：－＋－＝上移动，试求22x y ＋的最小值．【答案】3-【解析】由已知C(11)，得OC ＝，则min OP 1，即)min 1.所以22x y ＋的最小值为21)3=-.2、设圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长之比为3：1；③圆心到直线:20l x y -= 【答案】22(1)(1)2x y -+-=或22(1)(1)2x y +++=3、求圆心在直线2x ﹣y ﹣3=0上，且过点A （5，2）和点B （3，2）的圆的方程．【答案】()()105422=-+-y x .【综合点评】在圆的综合性问题中，往往需要利用圆的方程来确定圆心坐标和半径，根据图形应用圆的几何性质.应用距离公式及基本不等式等，解决最值问题.【巩固提升】1．求适合下列条件的圆的方程：(1)圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)；(2)过三点A (1，12)，B (7，10)，C (－9，2)．2、设曲线x y e =在点（0,1）处的切线与曲线1(0)y x x=>上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为 ．【答案】()1,13、一条光线从点()2,3--射出，经y 轴反射后与圆()()22321x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）（A ）53-或35- （B ）32- 或23- （C ）54-或45- （D ）43-或34- 【答案】D【解析】由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点()2,3- ，设反射光线所在直线的斜率为k ，则反身光线所在直线方程为：()32y k x +=- ，即：230kx y k ---=. 又因为光线与圆相切，()()22321x y ++-=, 整理：21225120k k ++= ，解得：43k =-，或34k =- ,故选D ．4、若圆C 的半径为1，其圆心与点)0,1(关于直线x y =对称，则圆C 的标准方程为_______.【答案】22(1)1x y +-=【解析】因为圆心与点)0,1(关于直线x y =对称，所以圆心坐标为(0,1).故所求圆的标准方程为22(1)1x y +-=.5、一条直线过点3(3,)2P --，且圆2522=+y x 的圆心到该直线的距离为3，则该直线的方程为（ ）A.3-=xB.233-=-=y x 或 C.015433=++-=y x x 或 D.01543=++y x 易错分析：忽视斜率不存在而致误．正确解析：圆2522=+y x 的圆心为原点，显然原点到直线3x =-的距离为3.当直线的斜率存在时，设直线的方程为：3(3)2y k x +=+即3302kx y k -+-=.由点到直3，平方得：34k =-，所以直线的方程为33(3)24y x +=-+即34150x x ++=.综上知，选C. 温馨提醒：求解过定点的直线问题，首先要检验斜率不存在的直线是否符合题意，这是非常容易遗漏的问题．在处理相关问题时，也可根据图形判断所求直线的条数，进而避免此类失误．6、椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率e ＝22，过左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A ，A′两点，|AA′|＝4.(1)求该椭圆的标准方程；(2)取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P，P′，过P，P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外，若PQ⊥P′Q，求圆Q的标准方程．。
高中数学《圆的方程》微课精讲+知识点+教案课件+习题
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▼知识点：
考点：
1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。
2、圆的方程
(1)标准方程，
圆心，半径为r;
(2)一般方程
当时，方程表示圆，此时圆心为，半径为
当时，表示一个点;当时，方程不表示任何图形。
(3)求圆方程的方法：
一般都采用待定系数法：先设后求。
确定一个圆需要三个独立条件，
若利用圆的标准方程，需求出a，b，r;若利用一般方程，需要求出D，E，F;
另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。
教案：
课件：
练习：。
高二数学圆与方程知识点总结与经典题型
圆与方程教学目标1.会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标准方程的特点，会根据已知条件求圆的标准方程.2.正确理解圆的方程的形式及特点，会在不同条件下求圆的一般方程，以及由一般式求圆心和半径.3.能准确判断点与圆的位置关系.类型一求圆的标准方程(基础)例1.求下列圆的标准方程．(1)圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4)；(2)求过点A(1，－1)，B(－1，1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的标准方程．(3)求经过点A(1，－1)，B(－1，1)面积最小的圆的标准方程.类型二点与圆的位置关系的判断(基础)例2-1.已知两点P1(4，9)和P2(6，3)．(1)求以P1P2为直径的圆C的方程；(2)试判断点M(6，9)、N(3，3)、Q(5，3)是在圆C上，在圆C内，还是在圆C外？(基础)例2-2.已知点A(1，2)不在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，求实数a的取值范围.类型三利用圆的定义与标准方程求最值(提升)例3.已知x，y∈R，且圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝4，(1)求(x＋2)2＋(y－2)2的最大值与最小值．(2)求yx－4的最大值与最小值．类型四圆的一般方程的定义(基础)例4.判断方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径．类型五求圆的一般方程(基础)例5.已知∈ABC的三个顶点为A(1，4)，B(－2，3)，C(4，－5)，求∈ABC的外接圆方程、圆心坐标和外接圆半径.类型六求动点的轨迹方程(提升)例6.已知Rt∈ABC中，A(－1，0)，B(3，0)．求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．知识点一圆的定义及圆的标准方程1.圆的定义平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆.其中定点是圆的圆心；定长是圆的半径. 2.圆的标准方程设圆心坐标为(a，b)，半径为r，则圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2．特别地，当圆心在坐标原点时，圆的标准方程为x2＋y2＝r2．知识点二点与圆的位置关系点与圆有三种位置关系，即点在圆外、点在圆上、点在圆内，判断点与圆的位置关系有两种方法：(1)几何法：将所给的点M与圆心C的距离跟半径r比较：若|CM|＝r，则点M在圆上；若|CM|>r，则点M在圆外；若|CM|<r，则点M在圆内.(2)代数法：可利用圆C的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2来确定：点M (m ，n )在圆C 上∈(m －a )2＋(n －b )2＝r 2；点M (m ，n )在圆C 外∈(m －a )2＋(n －b )2>r 2；点M (m ，n )在圆C 内∈(m －a )2＋(n －b )2<r 2.知识点三 圆的一般方程的定义1.当D 2＋E 2－4F >0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0叫做圆的一般方程，其圆心为⎪⎭⎫ ⎝⎛--22E D ，，半径为2422F E D -+. 2.当D 2＋E 2－4F =0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示点⎪⎭⎫ ⎝⎛--22E D ，. 3.当D 2＋E 2－4F<0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0不表示任何图形.知识点四 由圆的一般方程判断点与圆的位置关系已知点M (x 0，y 0)和圆的方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0).则其位置关系如下表： 位置关系代数关系 点M 在圆外x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F >0 点M 在圆上x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0 点M 在圆内x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F <0【拓展】有关圆的最值问题，常借助于图形性质，利用数形结合求解．一般地，①形如k ＝y －b x －a的最值问题可转化为求动直线斜率的最值问题； ②形如t ＝ax ＋by 的最值问题转化为动直线截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2的最值问题转化为圆上一动点到定点(a ，b )的最值问题．类型一 求圆的标准方程(基础)【变式1】已知∈ABC 的三个顶点坐标分别为A (0，5)，B (1，－2)，C (－3，－4)，求该三角形的外接圆的方程．类型二 点与圆的位置关系的判断(基础)【变式2】点P (5a ＋1，12a )在圆(x －1)2＋y 2＝1的内部，则a 的取值范围是( )A ．－1<a <1B ．a <113C ．－15<a <15D ．－113<a <113类型三 利用圆的定义与标准方程求最值(基础)【变式3】已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1，点A (0，－1)，B (0，1)，设P 是圆C 上的动点，令d ＝|P A |2＋|PB |2，求d 的最大值及最小值．类型四 圆的一般方程的定义(基础)【变式4】若方程x 2＋y 2＋2mx －2y ＋m 2＋5m ＝0表示圆，求：(1)实数m 的取值范围；(2)圆心坐标和半径．类型五 求圆的一般方程(基础)【变式5】已知一圆过P (4，－2)，Q (－1，3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43，求圆的方程．类型六 求动点的轨迹方程(提升)【变式6-1】已知线段AB 的端点B 的坐标是(5，3)，端点A 在圆(x －1)2＋y 2＝2上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹．(基础)【变式6-2】求到点O (0，0)的距离是到点A (3，0)的距离的21的点的轨迹方程.总结优化1.已知圆的圆心在x 轴上，半径长为5，且截y 轴所得的线段长为8，求该圆的标准方程. 标准方程 圆的方程一般方程 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0) x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)(基础)1．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝0(基础)2．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于原点(0，0)对称的圆的方程为( )A ．(x －2)2＋y 2＝5B ．x 2＋(y －3)2＝5C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝5D ．x 2＋(y ＋2)2＝5(基础)3．圆(x －1)2＋(y －1)2＝1上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值是( )A ．2B ．1＋2C ．2＋22 D ．1＋22 (基础)4．已知方程x 2＋y 2－2x ＋2k ＋3＝0表示圆，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(3，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+-，23 (提升)5．若实数x ，y 满足(x ＋5)2＋(y －12)2＝142，则x 2＋y 2的最小值为________． (提升)6．如果直线l 将圆(x －1)2＋(y －2)2＝5平分且不通过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是__________．(基础)7．已知点P是圆C：x2＋y2＋4x＋ay－5＝0上任意一点，P点关于直线2x＋y－1＝0的对称点也在圆C上，则实数a＝________．(基础)8．已知圆C过点A(4，7)，B(－3，6)，且圆心C在直线l：2x＋y－5＝0上，求圆C 的方程．(提升)9．设定点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．(基础)10．方程|x |－1＝()211--y 所表示的曲线是( ) A ．一个圆 B ．两个圆 C ．半个圆 D ．两个半圆(基础)11．已知两点A (－1，0)，B (0，2)，点P 是圆(x －1)2＋y 2＝1上任意一点，则△P AB 面积的最大值与最小值分别是( )A ．2，12(4－5)B ．12(4＋5)，12(4－5) C ．5，4－ 5 D ．12(5＋2)，12(5－2)(基础)12．若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为( )A ． 5B ．5C ．2 5D ．10(提升)13．若圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋m ＝0与y 轴交于A 、B 两点，且∠ACB ＝90°(其中C 为已知圆的圆心)，则实数m 等于________．(提升)14．已知平面上两点A (－2，0)，B (2，0)，在圆C ：(x －1)2＋(y ＋1)2＝4上取一点P ，求使|P A |2＋|PB |2取得最小值时点P 的坐标，取得最大值时点P 的坐标，并求出最大、最小值．(提升)15．在平面直角坐标系xOy 中，设二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b (x ∈R )的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C．(1)求实数b的取值范围；(2)求圆C的方程；(3)问圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)？请证明你的结论．11。
高中数学《2、1圆的方程》知识点+教案课件+习题
知识点：圆的标准方程圆心和半径可以确定一个圆，设圆心为点A，符合上述条件的圆的集合为：即平方后得若点M(x,y)在圆上，由前面讨论可知，点M的坐标适合方程；反之，若点M(x,y)的坐标适合方程，这就说明点 M与圆心的距离是r ，即点M在圆心为A(a,b)，半径为r的圆上．把这个方程称为以A(a,b)为圆心，以r为半径长的圆的方程把它叫做圆的标准方程（standardequation of circle）.表示圆心在坐标原点，半径长为r 的圆。
视频教学：练习：1．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()A．(x－1)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－1)2＝22．(2020·西城二模)圆x2＋y2＋4x－2y＋1＝0截x轴所得弦的长度等于()A．2 B．23C．25 D．43．(2020·北京高考)已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为()A．4 B．5C．6 D．74．(多选)若P是圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝1上任一点，则点P到直线y＝kx－1距离的值可以为()A．4 B．6C．32＋1 D．85．动点A在圆x2＋y2＝1上移动时，它与定点B(3,0)连线的中点的轨迹方程是()A．(x＋3)2＋y2＝4 B．(x－3)2＋y2＝4C．(2x－3)2＋4y2＝1 D．as4alco1(x＋(32))2＋y2＝126．(多选)(2020·山东青岛检测)已知圆C过点M(1，－2)且与两坐标轴均相切，则下列叙述正确的是() A．满足条件的圆C的圆心在一条直线上B．满足条件的圆C有且只有一个C．点(2，－1)在满足条件的圆C上D．满足条件的圆C有且只有两个，它们的圆心距为42课件：教案：。