高中数学经典解题技巧

“三角变换与解三角形”的技巧性应用

湖南津市一中 周毅

三角变换与解三角形是高中数学考试的必考内容，而且是这几年考试的热点跟增长点，无论是期中、期末还是会考、高考，都是高中数学的必考内容之一。因此，我们特意针对这两个部分的内容和题型总结归纳了具体的解题技巧和方法，希望能起到抛砖引玉的作用。

一、三角变换及求值

考情聚焦：1．利用两角和差的三角函数公式进行三角变换、求值是高考必考内容。

2．该类问题出题背景选择面广，解答题中易出现与新知识的交汇题。

3．该类题目在选择、填空、解答题中都有可能出现，属中、低档题。

解题技巧： 1．在涉及两角和与差的三角函数公式的应用时，常用到如下变形

（1）21sin (sin cos )22αα

α±=±； （2）角的变换()βααβ=--；

（3

）sin cos )a b θθθϕ+=+。

2．利用两角和与差的三角函数公式可解决求值求角问题，常见有以下三种类型：

（1）“给角求值”，即在不查表的前提下，通过三角恒等变换求三角函数式的值；

（2）“给值求值”，即给出一些三角函数值，求与之有关的其他三角函数式的值；

（3）“给值求角”，即给出三角函数值，求符合条件的角。

例1：已知向量)2,1(),cos ,(sin -==n A A m ,且0=⋅n m

(Ⅰ)求tan A 的值； (Ⅱ)求函数()cos 2tan sin (f x x A x x =+∈R )的值域

解析：（Ⅰ）由题意得m ·n=sinA-2cosA=0,

因为cosA ≠0,所以tanA=2.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知tanA=2得

2213()cos 22sin 12sin 2sin 2(sin ).22f x x x x x x =+=-+=--+

因为x ∈R,所以[]sin 1,1x ∈-.当1sin 2x =

时，f(x)有最大值32，

当sinx=-1时，f(x)有最小值-3

所以所求函数f(x)的值域是33,.2⎡⎤-⎢⎥⎣

⎦ 二、正、余弦定理的应用

解题技巧：1．在三角形中考查三角函数式变换，是近几年高考的热点，它是在新的载体上进行的三角变换，因此要时刻注意它重要性：一是作为三角形问题，它必然要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，及时进行边角转化，有利于发现解决问题的思路；其二，它毕竟是三角形变换，只是角的范围受到了限制，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的，注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，是使问题获得解决的突破口。

2．在解三角形时，三角形内角的正弦值一定为正，但该角不一定是锐角，也可能为钝角（或直角），这往往造成有两解，应注意分类讨论，但三角形内角的余弦为正，该角一定为锐角，且有惟一解，因此，在解三角形中，若有求角问题，应尽量避免求正弦值。

例2：（2010·辽宁高考理科·Ｔ17）在△ABC 中，a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边，且

2sin (2)sin (2)sin .a A a c B c b C =+++

（Ⅰ）求A 的大小；

（Ⅱ）求sin sin B C +的最大值.

【命题立意】考查了正弦定理，余弦定理，考查了三角函数的恒等变换，三角函数的最值。

【思路点拨】（I ）根据正统定理将已知条件中角的正弦化成边，得到边的关系，再由余弦

定理求角

（II ）由（I ）知角C ＝60°-B 代入sinB+sinC 中，看作关于角B 的函数，进而

求出最值

【规范解答】（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得2

2(2)(2)a b c b c b c =+++ 即 222a b c b c =++ 由余弦定理得 2222o s a b c b c A =+- 故

1cos 2

A =-，A=120° （Ⅱ）由（Ⅰ）得： sin sin sin sin(60)

B

C B B +=+︒

-1sin 2

sin(60)

B B B =+=︒+ 故当B ＝30°时，sinB+sin

C 取得最大值1。

【方法技巧】

(1)利用正弦定理，实现角的正弦化为边时只能是用a 替换sinA ，用b 替换sinB,用c 替换sinC 。sinA,sinB,sinC 的次数要相等，各项要同时替换，反之，用角的正弦替换边时也要这样，不能只替换一部分。

(2)以三角形为背景的题目，要注意三角形的内角和定理的使用。象本例中B+C ＝60°

三、三角函数的实际应用

三角函数的实际问题往往可以通过建立三角函数的数学模型，通过对三角函数问题的研究，达到对实际问题解决的目的。我们可以在实际问题中通过对三角形的边角关系的研究得到数学模型。

例3：（2010·江苏高考·Ｔ１7）某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H(单位：m ），如示意图，垂直放置的标杆BC 的高度h=4m ，仰角∠ABE=α，∠ADE=β。

(1)该小组已测得一组α、β的值，算出了tan α=1.24，tan β=1.20，请据

此算出H 的值；

(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d （单

位：m ），使α与β之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为

125m ，试问d 为多少时，α-β最大？ 【命题立意】本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。

【思路点拨】（1）分别利用,,H αβ表示AB 、AD 、BD ，然后利用AD —AB=DB 求解；

（2）利用基本不等式求解.

【规范解答】（1）tan tan H H AD AD ββ

=⇒=，同理：tan H AB α=，tan h BD β=。 AD —AB=DB ，故得tan tan tan H H h βαβ-=，解得：tan 4 1.24124tan tan 1.24 1.20

h H αβα⨯===--。 因此，算出的电视塔的高度H 是124m 。

（2）由题设知d AB =，得tan ,tan H H h H h d AD DB d

αβ-====， 2tan tan tan()()

1tan tan ()1H H h hd h d d H H h H H h d H H h d d d d

αβαβαβ----====--+⋅+-+⋅+