浅谈中学数学中若干变形技巧
浅谈初等数学中的变形技巧
浅谈初等数学中的变形技巧
浅谈初等数学中的变形技巧如下：
1一元二次方程的化简
在我们所学的一元二次方程这节内容中，其方程的化简变形我们首先要观察方程式子中各元素的存在关系，我们把题目进行化简就能得到另一种显而易见的题目，而我们这样做的目的就是为了方便我们解题的直观。
2三角函数的变形技巧
在我们学三角函数的同时，我们常常要考虑其求值、解三角函数方程、证明这些问题。
这些问题都包含了如何运用三角变换的解题的方法与技巧。
但是由于三角公式有很多种变换形式，如果能熟练掌握三角恒等变换的技巧，那么我们就能够加深我们对三角公式的记忆，然后将各种三角公式联系起来，发现其中的技巧。
对我们逻辑思维能力的发展，以及提高数学知识的?C合能力都大有益处。
恒等变换在整个初等数学中随处可见，因为常见，所以就成为了中学生常用的解题工具。
3代数式的恒等变形
在中学数学中，我们把某个代数式换成另一个与其恒等的代数式的过程叫做代数式的恒等变形。
恒等变形是我们学初等代数中最基础的知识，但是正因为是基础知识，所以往往容易被很多人忽略。
恒等变形其依据是运算律和数学运算法则，并按各运算法则来进行变形。
数学中的变形技巧
数学中的变形技巧
数学中有许多变形技巧，可以帮助我们更好地理解和解决问题。
以下是一些常见的变形技巧：
1. 代入变量：将问题中的实际值用代入变量的形式表示，可以让问题更简洁和易于分析。
2. 合并相同项：将具有相同变量和指数的项合并在一起，可以简化表达式和方程式。
3. 移项：将一个或多个项从一个位置移动到另一个位置，通过改变方程式的结构来解决问题。
4. 因式分解：将一个多项式分解成一个或多个可以相乘得到原多项式的因式，可以简化计算和分析。
5. 求公因式：找出一个多项式中可以同时被所有项整除的最高次数的因式，可以简化计算和分析。
6. 变量代换：通过引入新的变量或代换来改变问题的形式，使其更易于处理。
7. 对称性：利用图形、方程或函数的对称性来简化问题的分析和解决。
8. 极限转化：将一个复杂的极限转化为另一个较为简单的极限，以便更容易求解。
9. 反证法：通过假设问题的反面来推导出一个矛盾的结论，以证明原始假设是正确的。
10. 递推关系：通过递推关系，将一个问题转化为另一个相似的问题，以便更容易求解。
这些变形技巧在不同的数学领域和问题类型中都有广泛的应用，可以帮助我们更好地理解和解决数学问题。
立体几何中常用变形技巧.doc
【例1】如图1,在棱长为2的正方体ABCD-AiBiGD 】中,0是底面ABCD 的中心,E 、F 分 别是CG 、AD 的中点,那么异面直线0E 和FD 】所 成的角的余弦值等于（）A -tB. Vi oDi,4 C.— 5 D.V155 AcosZG0E= 5 + 3-22V15立体儿何中常用变形技巧立体儿何中常用七种变形或变位的技巧：“移、补、展、割、叠、射、转”.大家要熟 练掌握.1. 移是指将某图形移到适当位凭，使不在同一•平面的元素集中到一个平面内，再利用平面儿何知识进行研究.利用“平移”町实现立体向平面的迅速转化.解析：如图2,取CD 中点G,连结OG 、GE,则ZG0E 为所求角，在AGEO 中, GE=V2 ,GO=V5 ,OE=V3 ,答案：D点评：本题为求异面直线所求的角，由图形可以看出FD/OG,则ZG0E 为所求角.2. 补将儿何体补出适当的部分，变到比较熟悉的，或者比较简单的儿何体，再去进行 求解.“补形”能带来计算上的简便，有时甚至是问题得以解决的惟一途径.【例2】正方体ABCD —的棱长为1 , E 为棱AA 】的中点，直 线1过E 点与异面直线BC 、C.D.分别交于两点，求这两点间距离.解：补体如图3所示：多面体AH- A ! G 是与A C !同样大小的正方体， HiG 】=2招"，GG 】=1,由勾股定理可得GH 】=3,即所求两点间的距离为 3. 图Ai EcB图23.展展开空间图形，是将立体儿何问题转换为平iHi儿何问题的常用方法，应用此法可化折为宜，化曲为直.一般用于求多面体、旋转体的侧面上两点间的最短距离.【例3】如图4,圆台上底半径为1,下底半径为4,母线AB=18,从AB中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到A点。
（1）求绳了的最短长度；（2）求绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离。
分析（1）要求绳子AM绕圆台一周的最短长度，则可沿AB 将圆台的曲面展开，得扇环面（即将曲面问题转化为平面问题），然后求出扇环面上 AM' 间的距离, AM' =V152 +242 -2xl5x24xcos60°= 21,即绳子的最短长度为21.（2）要研究此时上底圆周上的点到绳子的最短距离，则需将扇环补充成扇形，这样将 BB'上的点到AM'的最短距离问题转化为点S到AM'的最短距离（因为点S到BB'上的点的距离等于半径SB）。
爱琴高中数学变形技巧
爱琴高中数学变形技巧
爱琴高中数学变形技巧是爱琴中学的学生在学习数学过程中总结出的一种解题方法。
其主要包括：
1. 配方法：通过将代数式进行配方，使其成为完全平方的形式，从而简化问题。
2. 因式分解法：将代数式分解为几个因式，以便于进行进一步的运算或变形。
3. 换元法：通过引入新的变量或参数，将复杂的问题转化为简单的问题。
4. 参数方程法：通过设定参数方程，将几何图形与代数式结合，便于分析和计算。
5. 反证法：通过假设与结论相反的情况，推导出矛盾，从而证明原命题的正确性。
6. 构造法：根据题目的条件和结论，构造适当的数学模型或函数，以解决问题。
7. 数学归纳法：通过数学归纳法证明与自然数有关的命题。
这些变形技巧是学生在解题过程中应该掌握的基本技能。
掌握这些技巧可以帮助学生更快、更准确地解决数学问题。
利用基本不等式ab2√ab求最值十大变形技巧
当且仅当口２＝虿１＋譬，且口２＋譬＝ｌ，即口＝
譬，６：年时取等号．
故口・／丽的最大值为毛等
点评
练习３
若算＜０，求函数），：一１２＋３茗的最大
件，然后利用基本不等式求最值． 代入 例２ 已知上＋鱼：ｌ（ｍ＞０，ｎ＞０），则ｍｎ （
Ｂ．１ ｃ．８ Ｄ．９ ４
￣／１＋Ｙ２的最大值，并求此时并和Ｙ的值．
拆项 例４ 解
取等号，从而得ｙ＝３—３ｘ一÷≤３—２石，当且仅
≤２×［牮］２－２×。晕）２＿
≤×［——‘』］２＝×（÷）２＝
通过平方变形，创造利用不等式的条 已知正数算，，，满足２ｘ２＋３ｙ２＝９，求膏
当石＝乎时取等号，，故函数），＝３—３茗一÷的最大
值为３—２西，选ｃ
点评 如果变量为负，首先化为正，然后再利 用基本不等式求最值． 练习１ 值．
号，生＋—Ｌ的最小值为（血＋６）２，选ｃ．
点评 通过添项，然后创设利用不等式的条件 求最值，添项时一定要注意保持恒等． 练习５（２００７年山东卷）函数Ｙ＝ｌｏｇ。（髫＋３） 一１（口＞０，口≠１）的图象恒过定点Ａ，若点Ａ在直线 ／＇ｔ＇ｔＸ＋ｎｙ＋１＝０上，其中ｍｔｔ＞０，则上＋三的最小
—２，，＋３ｚ＝０，则Ｌ的最小值为——．
口＋２√考‘等＝（石＋１）２，当且仅当考＝等，即考
＝石时詈“＝”号．由已知不等式（算＋，，）（÷＋号）
≥９对任意正实数ｘ，Ｙ恒成立，则只需（√Ⅱ＋１）２≥
１，求（省＋Ｙ）（Ｙ＋二）的最小值． 解 （髫＋Ｙ）（Ｙ＋ｚ）＝ｘｙ＋船＋），２＋ｙｚ＝影＋
ｙ（Ｘ＋Ｙ＋：）≥２厶万页石丐了万＝２，当且仅当
ｌ戈ｙｚ（菇＋Ｙ＋三）＝，１时取等号，故（髫＋ｙ）（，，＋彳）的
设口≥ｏ，ｂ≥０，且口２＋等＝１，求
浅谈初中数学中的变形技巧
教学研究
浅谈初中数学中的变形技巧
万丽丹
（吉林省长春市长沈路学校，吉林 长春 130000）
摘 要：什么是数学变形，这是一个很模糊的概念，它是为了达到某种目的或需要而采取的一种手段，是化归、转化和联想的准备阶 段。变形技巧在数学解题中是很常用的方法,数学解题中,为了完成论证,求值、化简等的任务,需要对一些式子进行恒等变形。一般情况下, 一个式子往往有多种变形形式,因题而异,技巧性非常强。笔者根据多年的工作经验，主要针对初中数学中的变形技巧进行分析和讨论。
系；ｃ．合理转换。概括起来就是：利用和、差、二倍角等三角公式实行 各种转化，从而达到问题解决的目的。三角变换是运算化简的过程 中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用 三角公式，掌握运算，化简的方法和技能。
三角函数式恒等变形是三角函数最重要的学习内容，无论是研 究三角函数式的性质，或是三角函数式的化简、求值和证明，都需要 对三角函数式进行恒等变形，方法和技巧十分丰富，其中也蕴含着 数形结合、化归、函数与方程、换元、等量代换、图形变换等诸多数学 思想方法，数学思想方法是数学知识在更高层次上的概括，它蕴涵 在数学知识发生、发展和应用的过程中。
４ 代数中的变形技巧 代数恒等变形是数学解题的基石， 变形能力的强弱直接制约着 解题能力的高低。变形实质上是为了达到某种目的而采用的“手 段”，是化归、转化和联想的准备阶段，它属于技能性的知识，需要在 实践中反复操练才能把握，乃至灵活与综合应用。代数学习在中学 数学学习中及其重要，在代数学习中，掌握好变形技巧能够使我们 更好的明确解题方向，简化问题。代数中常见的变形有对数变形，指 数变形等等。 ４．１ 变形技巧在因式分解中的应用。多项式的因式分解， 方法多 样， 技巧性强， 有些多项式乔装打扮， 貌似不能因式分解，但经过适 当变形， 创造条件， 便可以进行因式分解。因式分解的主要方法有 符号变形、加减变形、换元变形、拆项变形、化简变形等， 利用这些 常见的变形方法解决一些具体的因式分解的问题。掌握了这些变形 方法后， 这类因式分解问题就可以迎刃而解了。 ４．２ 变形技巧在不等式中的应用。不等式的成立问题往往蕴藏 着许多内在的数学机理，从机理上分析不等式可以为我们寻找解决 问题的突破口带来便利。从不等式等号成立时各变量取值的状态这 一新视角来调控恒等变形方向。 代数变形的方法与技巧远不止于此，但上述的几种却是最核心 的、最本质的，乃至最常用的变形“技巧”。平时在教与学的过程中， 若能留意用二次以上的变形技巧（就是方法），并能做好长期的积累 与消化工作，对提高分析问题和解决问题的能力必将大有裨益，进 而有助于诸多良好思维品质的形成。 结束语 变形是数学解体活动中最基本而又常用的方法，它既灵活又多 变，一个公式，一个法则，它的表达形式是多种多样的。变形是为了 达到某种目的的或需要而采取的一种手段，是化归、转化和联想的 准备阶段，它属于技能性的知识，当然存在着技巧和方法，也就需要 人们在学习数学的实践中反复操练才能把握，乃至灵活应用。
初中数学学习十大技巧
初中数学学习十大技巧初中数学学习十大技巧1、配方法所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。
通过配方解决数学问题的方法叫配方法。
其中，用的最多的是配成完全平方式。
配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。
2、因式分解法因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。
因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。
因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。
3、换元法换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。
我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。
4、判别式法与韦达定理一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c属于R,a≠0)根的判别，△=b2-4ac,不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。
韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根;已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。
5、待定系数法在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。
它是中学数学中常用的方法之一。
6、构造法在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。
浅谈数学中的变形技巧
浅谈数学中的变形技巧数学中的变形技巧是解决问题的重要方法之一、通过巧妙地变形，可以将一个问题从一个形式转化为另一个形式，从而更容易解决。
在数学中，变形技巧广泛应用于各种数学领域，包括代数、几何、概率等。
下面将对数学中的变形技巧进行浅谈。
首先，代数中的变形技巧是解决代数方程、方程组、不等式等问题的常用方法之一、在解代数方程时，可以通过变形将方程转化为更简单的形式，从而求得方程的解。
比如，对于方程x^2-6x+8=0，可以通过配方变形得到(x-2)(x-4)=0，从而得到方程的解为x=2或x=4、又如，在解方程组时，可以通过变形技巧将方程组转化为更容易求解的形式。
比如，对于方程组2x+y=5和x-3y=4，可以通过高斯消元法将方程组化简为x+y=2和-5y=-6，从而得到方程组的解为x=3，y=-1、变形技巧在解不等式时也是十分有用的。
比如，对于不等式2x+1<5x-2，可以通过变形得到3x>3，从而得到不等式的解为x>1其次，几何中的变形技巧是解决几何问题的重要方法之一、在几何中，常常需要将一个几何图形变形为另一个几何图形，以便更容易研究其性质。
比如，在证明几何定理时，可以通过将一个几何图形变形为另一个几何图形，从而将原问题转化为更容易证明的形式。
又如，在计算几何体的体积、表面积时，常常需通过变形将几何体分解为更容易计算的形状，比如将三棱柱分解为若干个三角形和矩形，从而得到几何体的体积和表面积。
此外，概率中的变形技巧也是解决概率问题的重要方法之一、在概率中，常常需要通过变形将一个复杂的概率问题转化为一个简单的概率问题，从而更容易计算。
比如，在计算事件的概率时，可以通过变形将事件分解为若干个相互独立的事件，从而计算概率。
又如，在计算复杂事件的概率时，可以通过变形将复杂事件转化为多个简单事件的并、交或差，并利用概率的性质计算概率。
在进行数学变形时，需要注意以下几点。
首先，变形的过程中要保持等价性。
因式分解是中学数学中最重要恒等变形之一
因式分解是中学数学中最重要地恒等变形之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题地有力工具．因式分解方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需地,而且对于培养学生地解题技能,发展学生地思维能力,都有着十分独特地作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．而在竞赛上,又有拆项和添项法,待定系数法,双十字相乘法,轮换对称法等．⑴提公因式法①公因式：各项都含有地公共地因式叫做这个多项式各项地～.②提公因式法：一般地,如果多项式地各项有公因式,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积地形式,这种分解因式地方法叫做提公因式法.am＋bm＋cm＝m<a+b+c）③具体方法：当各项系数都是整数时,公因式地系数应取各项系数地最大公约数；字母取各项地相同地字母,而且各字母地指数取次数最低地. 如果多项式地第一项是负地,一般要提出“－”号,使括号内地第一项地系数是正地.⑵运用公式法①平方差公式：. a^2－b^2＝(a＋b>(a－b>②完全平方公式：a^2±2ab＋b^2＝(a±b>^2※能运用完全平方公式分解因式地多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式>地平方和地形式,另一项是这两个数(或式>地积地2倍.③立方和公式：a^3+b^3＝(a+b>(a^2-ab+b^2>.立方差公式：a^3-b^3＝(a-b>(a^2+ab+b^2>.④完全立方公式：a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3＝(a±b>^3⑤a^n-b^n=(a-b>[a^(n-1>+a^(n-2>b+……+b^(n-2>a+b^(n-1>]a^m+b^m=(a+b>[a^(m-1>-a^(m-2>b+……-b^(m-2>a+b^(m-1>](m为奇数>⑶分组分解法分组分解法：把一个多项式分组后,再进行分解因式地方法.分组分解法必须有明确目地,即分组后,可以直接提公因式或运用公式.⑷拆项、补项法拆项、补项法：把多项式地某一项拆开或填补上互为相反数地两项<或几项）,使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解；要注意,必须在与原多项式相等地原则进行变形.⑸十字相乘法①x^2＋<p q）x＋pq型地式子地因式分解这类二次三项式地特点是：二次项地系数是1；常数项是两个数地积；一次项系数是常数项地两个因数地和.因此,可以直接将某些二次项地系数是1地二次三项式因式分解：x^2＋<p q）x＋pq＝<x＋p）<x＋q）②kx^2＋mx＋n型地式子地因式分解如果能够分解成k＝ac,n＝bd,且有ad＋bc＝m 时,那么kx^2＋mx＋n＝<ax b）<cx d）a \-----/b ac＝k bd＝nc /-----\d ad＋bc＝m※多项式因式分解地一般步骤：①如果多项式地各项有公因式,那么先提公因式；②如果各项没有公因式,那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；③如果用上述方法不能分解,那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解；④分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.(6>应用因式定理：如果f<a）=0,则f<x）必含有因式<x-a）.如f<x）=x^2+5x+6,f<-2）=0,则可确定<x+2）是x^2+5x+6地一个因式.经典例题：1.分解因式(1+y>^2-2x^2(1+y^2>+x^4(1-y>^2解：原式=(1+y>^2+2(1+y>x^2(1+y>+x^4(1-y>^2-2(1+y>x^2(1-y>-2x^2(1+y^2>=[(1+y>+x^2(1-y>]^2-2(1+y>x^2(1-y>-2x^2(1+y^2>=[(1+y>+x^2(1-y>]^2-(2x>^2=[(1+y>+x^2(1-y>+2x]·[(1+y>+x^2(1-y>-2x]=(x^2-x^2y+2x+y+1>(x^2-x^2y-2x+y+1>=[(x+1>^2-y(x^2-1>][(x-1>^2-y(x^2-1>]=(x+1>(x+1-xy+y>(x-1>(x-1-xy-y>2.证明：对于任何数x,y,下式地值都不会为33 x^5+3x^4y-5x^3y^2+4xy^4+12y^5解：原式=(x^5+3x^4y>-(5x^3y^2+15x^2y^3>+(4xy^4+12y^5> =x^4(x+3y>-5x^2y^2(x+3y>+4y^4(x+3y>=(x+3y>(x^4-5x^2y^2+4y^4>=(x+3y>(x^2-4y^2>(x^2-y^2>=(x+3y>(x+y>(x-y>(x+2y>(x-2y>当y=0时,原式=x^5不等于33；当y不等于0时,x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互不相同,而33不能分成四个以上不同因数地积,所以原命题成立因式分解地十二种方法把一个多项式化成几个整式地积地形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解地方法多种多样,现总结如下：1、提公因法如果一个多项式地各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积地形式. 例1、分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题> x -2x -x=x(x -2x-1> 2、应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆地关系,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式. 例2、分解因式 a +4ab+4b (2003南通市中考题> 解： a +4ab+4b =<a+2b）3、分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前两项分成一组,并提出公因式a,把它后两项分成一组,并提出公因式b,从而得到a(m+n>+b(m+n>,又可以提出公因式m+n,从而得到(a+b>(m+n>例3、分解因式m +5n-mn-5m 解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n= (m -5m >+(-mn+5n> =m(m-5>-n(m-5>=(m-5>(m-n>4、十字相乘法对于mx +px+q形式地多项式,如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p,则多项式可因式分解为(ax+d>(bx+c>例4、分解因式7x -19x-6 分析： 1 -3 7 2 2-21=-19解：7x -19x-6=<7x+2）(x-3> 5、配方法对于那些不能利用公式法地多项式,有地可以利用将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解. 例5、分解因式x +3x-40 解x +3x-40=x +3x+( > -( > -40 =(x+ > -( > =(x+ + >(x+ - > =(x+8>(x-5>6、拆、添项法可以把多项式拆成若干部分,再用进行因式分解. 例6、分解因式bc(b+c>+ca(c-a>-ab(a+b> 解：bc(b+c>+ca(c-a>-ab(a+b>=bc(c-a+a+b>+ca(c-a>-ab(a+b> =bc(c-a>+ca(c-a>+bc(a+b>-ab(a+b>=c(c-a>(b+a>+b(a+b>(c-a>=(c+b>(c-a>(a+b>7、换元法有时在分解因式时,可以选择多项式中地相同地部分换成另一个未知数,然后进行因式分解,最后再转换回来. 例7、分解因式2x -x -6x -x+2 解：2x -x -6x -x+2=2(x +1>-x(x +1>-6x =x [2(x + >-(x+ >-6 令y=x+ , x [2(x + >-(x+ >-6 = x [2(y -2>-y-6] = x (2y -y-10> =x (y+2>(2y-5> =x (x+ +2>(2x+ -5> = (x +2x+1> (2x -5x+2> =(x+1> (2x-1>(x-2> 8、求根法令多项式f(x>=0,求出其根为x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x>=(x-x >(x-x >(x-x >……(x-x > 例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6 解：令f(x>=2x +7x -2x -13x+6=0通过综合除法可知,f(x>=0根为,-3,-2,1 则2x +7x -2x -13x+6=(2x-1>(x+3>(x+2>(x-1> 9、图象法令y=f(x>,做出函数y=f(x>地图象,找到函数图象与X轴地交点x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x>= f(x>=(x-x >(x-x >(x-x >……(x-x > 例9、因式分解x +2x -5x-6 解：令y= x +2x -5x-6 作出其图象,见右图,与x轴交点为-3,-1,2 则x +2x -5x-6=(x+1>(x+3>(x-2> 10、主元法先选定一个字母为主元,然后把各项按这个字母次数从高到低排列,再进行因式分解. 例10、分解因式 a (b-c>+b (c-a>+c (a-b> 分析：此题可选定a为主元,将其按次数从高到低排列解： a (b-c>+b (c-a>+c (a-b>=a (b-c>-a(b -c >+(b c-c b> =(b-c> [a -a(b+c>+bc] =(b-c>(a-b>(a-c>11、利用特殊值法将2或10代入x,求出数P,将数P分解质因数,将质因数适当地组合,并将组合后地每一个因数写成2或10地和与差地形式,将2或10还原成x,即得因式分解式. 例11、分解因式x +9x +23x+15 解：令x=2,则x +9x +23x+15=8+36+46+15=105 将105分解成3个质因数地积,即105=3×5×7 注意到多项式中最高项地系数为1,而3、5、7分别为x+1,x+3,x+5,在x=2时地值则x +9x +23x+15=<x+1）<x+3）<x+5）12、待定系数法首先判断出分解因式地形式,然后设出相应整式地字母系数,求出字母系数,从而把多项式因式分解. 例12、分解因式x -x -5x -6x-4 分析：易知这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式. 解：设x -x -5x -6x-4=(x +ax+b>(x +cx+d> = x +(a+c>x +(ac+b+d>x +(ad+bc>x+bd 所以解得则x -x -5x -6x-4 =(x +x+1>(x -2x-4>。
【2019年整理】浅谈数学中的变形技巧论文
成绩：学年论文题目：浅谈数学中的变形技巧学院：专业：班级：学号：姓名：指导教师：2012 年12 月20目录1.引言 (3)2.数学变形的概述 (3)3.变形技巧在初等数学中的应用 (3)4.结论 (10)5.参考文献 (11)浅谈数学中的变形技巧摘要：变形是数学解题活动中最基本而又常用的方法，它既灵活又多变，一个公式，一个法则，它的表述形式是多种多样的。
本文主要介绍了变形技巧在初等数学中的一些应用。
掌握好并灵活应用这些技巧，可以很快确定解题方向，减少解题的盲目性，提高解题效率。
关键词：初等数学；代数；变形；技巧1 引言近些年来，在中学数学考试中的考试题目越来越新颖，特别是在中考，高考的试题当中，有些试题的技巧性又非常强，考生一味的在上面钻牛角尖的话，这不但会浪费很多时间，甚至到最后还可能得不到正确的答案。
所以有必要针对有些题研究解题技巧，对有些题作出一些变形。
随着国内外数学工作者对数学变形技巧的研究，使试题变得简单明了，而且还能使我们做起题来得心应手，增加了我们的解题信心，更提高了对数学的兴趣。
本文从先对数学中变形进行概述性介绍，接着主要从变形技巧在初等数学中的一些具体的应用加以阐述说明。
2 数学变形的概述什么是数学变形，这是一个很模糊的概念，总而言之，它是为了达到某种目的或需要而采取的一种手段，是化归、转化和联想的准备阶段。
它属于技能性的知识，所以它存在着技巧和方法，需要人们在学习数学的实践中反复操练才能把握，才能够灵活应用。
在中学数学中的基本方法中大致可以分为三类：1、逻辑学中的方法：例如分析法、综合法、反证法等。
这些方法既要遵循从逻辑学中的基本规律和法则，又因运用于数学之中而具有数学的特色。
2、数学中的一般方法， 3、数学中的特殊方法：例如配方法、待定系数法、加减法、公式法、换元法、拆项补项法、因式分解诸方法，以及平行移动法、翻折法等。
这些方法在解决某些数学问题时起着重要作用。
而变形也是数学中一种重要的方法之一，了解并掌握这些变形技巧不仅能够帮助我们解题，激发我们对于数学的学习兴趣，而且由于变形技巧的灵活多变性，有助于思维的锻炼。
数学归纳法初探
数学归纳法的几种变形宁波市镇海中学贺洪鸣数学归纳法在命题和算法的证明以及算法设计中都有很多的应用，下面是数学归纳法的几种变形。
一．标准的数学归纳法命题M对一切正整数数n成立，只要证明以下二个条件成立：1．当n=1时，命题M成立；2．如果n=k-1(k>=2)时M成立，能得到n=k时M也成立；二．变形1：奇偶归纳命题M对一切正整数数n成立，只要证明以下二个条件成立：1．当n=1和n=2时，命题M成立；2．如果n=k-2(k>=3)时M成立，能得到n=k时M也成立；这个变形是沿着二条路线进行归纳的：由n=1作为归纳基础得到对于所有奇数命题M 成立；由n=2作为归纳基础得到对于所有偶数命题M成立。
三．变形2：2的幂次归纳1．对于带有参数n的命题M，当n=1时M成立；2．如果对每一个n(n>1且n为2的整数幂)，若n/2时命题M成立能推出对n命题M 也能成立；那么，对任意一个2的整数幂的自然数n，命题M都成立。
例1：有n个灯泡排列成环形（灯泡1左边是灯泡n，灯泡2左边是灯泡1，灯泡3左边是灯泡2，…，灯泡n左边是灯泡n-1）。
在时间0时，有的灯泡是亮的，有的是不亮。
灯泡i在时间t+1（t≥0）改变状态（亮→不亮，不亮→亮）当且仅当灯光i左边的灯泡在时间t是亮的。
求在时间m时，每个灯泡的状态（n≤106，m≤109）。
（详见笔者发表于中国计算机学会主编的《NOI专刊》2007年11月期第20-22页）以Y[i]表示某时刻第i个灯泡的状态，0表示暗，1表示亮。
有以下命题：如果t时刻第p个灯状态为Y[p]，则t+2k时刻第p个灯泡状态为：t时刻第p个灯的状态xor t时刻p朝左数2k个灯的状态。
即Y[p] xor Y[(p-2k-1)mod n+1]。
（1）当k=0时，2k=1，结论就是问题的定义，显然成立。
（2）假设当k=r-1（r≥1）时，结论成立。
如果时刻t时，第p个灯为Y[p]。
时刻t+2r-1时灯p状态为：时刻t时灯p的状态xor 时刻t时灯p左数2r-1个灯的状态；时刻t+2r-1时灯p左数2r-1个灯的状态为：时刻t时灯p左数2r-1个灯的状态xor 时刻t 时灯p左数2r个灯的状态;当时刻(t+2r-1)+2r-1时，灯p的状态为：时刻(t+2r-1)时灯p的状态xor时刻(t+2r-1)时灯p 左数2r-1个灯的状态，即：(时刻t时灯p的状态xor 时刻t时灯p左数2r-1个灯的状态) xor (时刻t时灯p左数2r-1个灯的状态xor 时刻t时灯p左数2r个灯的状态)= 时刻t时灯p的状态xor 时刻t时灯p 左数2r个灯的状态。
浅谈数学中的变形技巧
变形过程要保持等 价性，不能改变原 式的意义
变形过程中不能引 入新的元素或结构
变形过程要符合数 学规则和逻辑，不 能出现矛盾或错误
变形过程要清晰明 了，易于理解和掌 握
注意符号的变化：在数学变形中，符号的变化是非常重要的，要时刻注意符号的变化，以免 出现错误。
变形前先判断是否满足条件 变形过程中要注意保持等价 变形后要进行验证和检查 避免出现逻辑错误和计算错误
掌握基本变形方法 理解变形目的和原则 灵活运用不同变形技巧 注意变形过程中的细节和规范
通过大量练习，提高对变形技巧的熟练度 不断尝试新的变形方法，拓宽解题思路 学会总结归纳，将经验转化为自己的知识 与同学、老师交流，共同提高变形技巧水平
微分和积分的变形技巧：利用微分和积分的性质和公式，将复杂的微分和积分表达式转化为简 单的形式
函数图像平移 函数图像伸缩 函数图像对称 函数图像旋转
三角形变换：通过平移、旋转、对称等方式改变三角形的形状和大小
圆形变换：通过平移、旋转、缩放等方式改变圆的位置、大小和形状
多边形变换：通过平移、旋转、缩放等方式改变多边形的形状和大小
避免繁琐计算：通过变形技巧，可 以避免繁琐的计算过程，提高解题 效率
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发现隐含条件：变形技巧可以帮助 我们发现题目中的隐含条件，从而 找到解题思路
拓展解题思路：变形技巧可以拓展 我们的解题思路，让我们能够从多 个角度思考问题
合并同类项
提公因式
运用分配律
平方差公式和完全平方公 式
代数式化简的定义 和目的
代数式化简的基本 技巧和方法
浅谈数学中的变形技巧
浅谈数学中的变形技巧作者：陈程来源：《读写算》2014年第43期【摘要】数学解题变形技巧是我们在数学学习和解题中最常应用的方法，数学学习中学习技巧的应用，是我们在解题中求解、化简和完成论证的一种解题方法。
有时候，同一个解题公式会有多种变形方式，因题而异，在解题中其技巧是非常重要的。
下面主要是对数学学习中函数、不等式、一元二次方程的变形技巧进行介绍，合理掌握灵活运用其变形技巧，使我们在解题中如虎添翼，将问题由繁化简、节约解题时间提高解题效率。
【关键词】数学解题；变形技巧，函数；不等式数学是一个整体，各个环节是相互衔接的，或多或少的存在相互联系，使得我们在数学解题中，逻辑思维、运算能力和空间想象能力，对于我们在学习中起着至关重要，而变形技巧的应用，则可以有助于弥补我们在这方面的不足，是数学解题中最常用的，是解题的关键，灵活的运用变形技巧，则可以使得我们的做题效率大幅度提高。
一、数学中变形概述和常用的基本方法1.1 什么是数学变形数学变形概念较模糊，总的来说就是为达到目的而采用的一种手段，包括转换、联想、和简化，是一种技巧形手段，具有一定的灵活性，同时，又运用公式和定理，其表现形式各不相同，具有一定的技巧性，需要我们反复的练习和总结才可以达到运用自如和灵活。
1.2 在数学中常用到的方法数学中常用的方法：在我们的数学学习中较常用的方法是；有建模法、消元法、代入法等等，另外还有一些是向量法、比较法、同一法，在应用中都较为广泛。
数学中的特殊方法：常见的有；配方法、待定系数法、换元法等等，有时也可用到因式分解，这些方法在我们的数学问题解决中所起的作用是不可忽视的。
二、变形技巧在数学中的运用2.1 在函数变形解题技巧运用关于函数变形解题技巧，针对问题，下面主要是对于三角函数，证明、化简、求值及方程和一些常见的几何问题解决的方法与技巧的应用，而对于三角函数的在解题方法中的应用，三角恒等变换是在解题中最常用的，其具有灵活多变的特点。
高中数学之变形技巧
高中数学中的变形技巧摘要：变形技巧在数学解题活动是一种基本而又常用的方法，为了完成化简、论证、求值等任务，在解题过程中，常需要对一些式子进行恒等变形。
然而，因题目的差异，一个式子往往存在着多种变形方式，技巧性非常强。
本文主要介绍变形技巧在中学数学中的应用，主要包括因式分解、三角函数、不等式、一元二次方程等，通过灵活运用变形技巧，可快速确定解题方向，提高了解题效率。
关键字：中学数学，变形，技巧0 引言近些年来，中学数学的考试题目新颖，技巧性很强，而变形技巧是其中比较常用的，通过恒等变形，使式子变得简单明了，从而减少了解题的盲目性，提高了解题效率，增强了学生的解题信心，进而提高学生对数学的兴趣。
下面我们分别对一元二次方程、不等式、三角函数、因式分解等变形展开讨论。
1 一元二次方程的变形技巧对有些含有（或可转化））一元二次方程的代数问题，如能对方程进行适当变形并施以代换，则常常可使问题化繁为简，下面列举例子说明。
例1：若 a ,b 是一元二次方程0720002=++x x 的两个根，求)82001)(61999(22++++b b a a 的值。
解：由题设得，，07200007200022=++=++b b a a 及72000=-=+ab b a ， ∴)82001)(61999(22++++b b a a=)172000)(172000(22++++--++b b b a a a=199********)()1)(1(=-+-=-+--=++-b a ab b a分析：通过观察要求的结论可知，只要对要求的结论作一下变形，则这道题目便可以轻易解决，不必求出a 和b 的值。
例2：已知m ，n 是方程012=--x x 的根，求n m 34+的值。
解：因为m 是方程012=--x x 的根，那么，10122+==--m m m m ，则2312112)1(224+=+++=++=+=m m m m m m m因此，2)(332334++=++=+n m n m n m又∵ m,n 是方程012=--x x 的两根∴ 12=+n m∴ 534=+n m分析：如果要求出m ，n 的值，那么就很复杂，而且容易出错，在这里通过变形的技巧先从结论出发，可以节省时间，提高解题的效率。
自主招生试题中常用的四种恒等变形——兼论恒等变形在中学数学学习中的基础地位
几厂 ］ 的根 ， （ ＝ ） 再考虑到本题 的结论 ， 可以得出： 若 ）＝ ＋ ＋ （ ≠ ） 则 ） 有根的充要条 ｎ ｃａ ０ ， ＝ 件是尢厂 ］ 有实数根． （ ） ： 当然 ，［ （ ］ 的实数根未必都是ｆ ）＝ 的根 ， ｆｆ ） ＝ （ 因此 ｛ Ｉ（ ｆ ）＝ ｝ ｛ Ｉ ） ｝ ］＝ ．
证 明 注 意到 当 ≥２时 ，
： ＞￣ （ ）＋ （ 一１ （ ＋ ／ 一１ Ｊ ） 一１ ＞０ ． ） ，
于是 ． ＜ １ ．
，
白 √ 一 ＋， 一 ｊ、 ／ １ ｊ
从而
＜ ４－， ｚ ２・ ／－ ｊ ｖ Ｔ￣
＝
２ 一（ 期 （ 古 预目 ）
数学是运算的科学 ， 而运算 的核心是恒等变形． 从某种意义上讲 ， 数学 问题 的解决其本质就是通过恒 等变形进行化简直至导出结论 的过 程． 与高考相 比， 自主招生考试在数学思维与能力上提 出了更高 的要
求． 这种要求体现在运算上 ， 首先知识面要求更宽 ， 除常规的因式分解 、 配方换元、 待定系数等 ， 还要求考生 掌握对称变换 、 裂项相消等变形方式 ； 其次恒等变形 的难度进一步加大 ， 方法与技巧的要求更高 ， 譬如三次 方程的韦达定理 ， 结合表达式的对称性进行均值换元、 通过裂项相消进行恒等变形与不等放缩等．
例 ２ 已知 函数 ）＝ ＋ ＋ （ ≠０ ， ｃ 口 ）且 ） 没有实数根 ， ＝ 试判断尢厂 ］＝ （ ） 是否有实数 根 ？并证 明你 的结论． （０ ８ ２０ 年上海交通大学 自主招生考试试题 ） 解 没有． ） ＝ ＋（ 一 ） ｃ ０无实数根 ， 以 因为 一 ｂ １ ＋ ＝ 所
△＝（ ｂ一１ 一 ａ ＜ ． ） ４ｃ Ｏ
考察
数学中的变形与技巧
数学中的变形与技巧作者：韦金洁来源：《新教育时代·学生版》2017年第14期摘要：目前对于数学变形并没有一个明确的定义，其本质就是通过一定数学手法，借助化归、转化及联想的措施达成某种目的。
在数学解题中变形技巧是一种很常用的方法，经常借助变形完成解题任务。
本文中主要分析变形技巧在初中数学学习与解题中的应用。
关键词：初中数学变形技巧应用分析数学学习中解题是重要的组成部分，它可以让数学学习变得生动有趣，借助解题方法，可以帮助学生快速获得数学技巧。
数学学习与解题过程中通过适当变形，将困难问题简单化，或是抽象问题具体化，降低解题难度，可以节省大量时间，获得真实可靠的答案。
一、不等式中运用不等式的成立往往包含许多内在的数学机制，从机制分析不平等可以帮助我们找到解决问题的突破口。
从不等式等号成立时每个变量的取值的范围来调控恒定变形的方向。
初中数学教学中，基本不等式是学生解决问题的主要工具。
如整体代换思想的应用，就是用固定整体代换式一部分，化难为易，轻松解决问题。
再如，使用消元法，也可以让学生迅速了解问题，但该章节知识点学习时，需要学生大量练习，熟练掌握基本不等式使用规则，形成使用思维，提升学习效果。
例1 已知a+b+c>0，ab+bc+ac>0，且abc>0。
试证明：a>0，b>0，c>0证明：假设a≤0.若a=0，则abc=0，与已知矛盾.若a0.∴a（b+c）+bc0矛盾.由以上证明可知a>0，同理可证b>0，c>0.二、函数中运用初中教师在教学时，要注意对学生自学能力的培养，为学生提供足够的时间和空间，突出学生的主体地位，提高其主观能动性和自主学习能力。
例如，在学习一元二次不等式及其解法时，其主要形式为ax2+bx+c=0（a=0）或ax2+bx+c=0（a≠0）两种，这类方程式的解法先假设方程式等于0，求出两解，再结合一元二次函数图像确定解的实际范围。
数学中的变形技巧及其应用
本科生毕业论文（设计）题目：数学中的变形技巧及其应用院（系）数学与统计系专业班级数学与应用数学XX级X班学生姓名 XXX指导教师（职称） XXX 提交时间二○一三年五月数学中的变形技巧及其应用XXX（安康学院数学与统计系，陕西安康，725000）摘要许多数学问题都有一定难度，解决他们往往需要一定的技巧.为了在有限的时间内快速而准确地解决数学题，我们就必须采取一些方法与技巧.这就要求我们在平时的学习过程中细心观察、认真积累一些经验与方法.本文主要介绍数学中一些常用的变形技巧，给出了这些技巧在解数学问题中的应用.关键词数学变形技巧应用Deformation technique and its application in mathematicsXxx xxx WANG（Department of mathematics and statistics, Ankang University,Ankang Shaanxi, 725000)Abstract Many mathematical problems are difficult to solve, they often need certain skills. In order to solve math problems in the limited time quickly and accurately, we must adopt some methods and skills. Then we must observe carefully and accumulate some experience and methods in the usual learning process. This paper mainly introduces some deformation techniques commonly used in mathematics.Keywords mathematics deformation technique application目录摘要 (I)Abstract........................................................... I I 前言 (1)1.数学中的一般变形技巧 (2)1.1 一元二次方程的变形技巧 (2)1.2 三角函数的变形技巧 (4)1.3 “0”的变形技巧 (7)1.4 “1”的变形技巧 (9)2.最值问题的常用变形技巧 (11)2.1配方法 (12)2.2换元法 (13)2.3判别式法 (13)2.4不等式法 (14)3.运用均值不等式解题的变形技巧 (15)3.1拆项 (15)3.2拆幂 (15)3.3升幂 (16)3.4整体代换 (16)3.5平衡系数 (17)3.6分离取倒数 (17)结束语 (19)参考文献 (20)致谢 (21)前 言数学是一个有机整体，各个部分之间相互联系、相互依存、相互渗透，从而构成了一个个相互交错的立体空间.因此为了培养学生在数学学习中的运算能力、逻辑能力、推理能力、空间想象能力以及综合应用数学知识分析、解决实际问题的能力，我们应该对常用的数学方法和重要的数学思想引起重视，并且有意识地运用一些数学方法去解决问题，这样才能够使学生的数学学习提高到一个新的层次、新的高度 .数学方法，是针对不同的数学知识而定的一种策略.数学中的变形与数学知识一样，是数学发展过程中积累起来的宝贵精神财富.近几年来，中学数学考试中的考题越来越新颖，尤其是在中考，高考的试题中，要使考生在短短的两个小时之内完成所有的试题，这对大部分考生来说是非常困难的，而且有些试题的技巧性非常强，做起来有一定的难度，考生如果用常规的方法解决，这不仅会浪费很多时间，而且最后还可能得不到正确答案 .所以我们有必要针对一些题采取正确的解题技巧，即对它们作一些变形，这不仅能使试题变得简单明了，而且还能使我们做起题来得心应手，同时增加了我们解题的信心，还提高了我们对数学学习的兴趣.针对以上问题，本文主要总结归纳了数学中的一些变形技巧，通过例题的方式给出这些变形技巧及具体应用.1. 数学中的一般变形技巧在数学中什么是变形？它是为了达到某种目的或需要而采取的一种手段，是化归、转化和联想的准备阶段.它属于技能技巧性知识，既灵活又多变，一个公式，一个法则，它的表述形式是多种多样的.也就是说它存在着一定的技巧和方法，只有我们在学习数学的实践中反复操作才能掌握，以至于灵活运用.如勾股定理可表述为222c a b =+，也可表述222222,a c b b c a =-=-为等. 18?8⨯=若问，这显然是一个不屑回答的问题， 1?=但若问就成了最富灵活性的问题， 111=⨯例如或2222sin cos 1,sec tan 1,tan cot 1αααααα+=-==g .可见“变形”确实是一个内涵十分丰富的概念，在一些着名的数学问题解决中，变形技巧的巧妙运用也是非重要的一个环节.有时我们在数学解题中，为了完成论证、求值、化简等任务，常常要对某些式子进行恒等变形，但是恒等变形又无固定的模式或规则，一个式子常常有多种可能的变形，因题而异，技巧性非常强.现在我们来看一下一元二次方程，三角函数，“0”，“1”等的变形应用，希望这几方面的变形应用的介绍，对其他题的变形能起到抛砖引玉的作用.下面我们就来谈谈这几种变形技巧的应用.1.1 一元二次方程的变形技巧对有些含有（或可转化）一元二次方程的代数问题，如能对方程进行适当变形并施以代换，则常常可使问题“化繁为简”.下面举例说明：例1 24,31033.x x αβαβ--=+已知是方程的两根，求的值解：22231031031x x ααααα--=∴--==+Q 是方程的根 即422(31)9619(31)613310ααααααα=+=++=+++=+则，分析：如果,αβ要求出的值，那么就很复杂，而且容易出错，在这里通过变形的技巧先从结论出发，这样可以提高解题的效率，以至于节省时间.例2 2,30070m n x x ++=若是一元二次方程的两个根，求解：由题意得：300,56m n mn +=-=而且 (韦达定理），分析：通过观察要求的结论可知，只要对要求的结论作一下变形，则这道题目便可以轻易解决. .m n 不必求出和的值例3 设实数m n 、分别满足2219991099190m m n n ++=++=，并且1mn ≠， 41.mn m n++求的值 解：由题设可得：2219119m m n n +=+两式相除，得 . 221919mn m m n n +=+由比例的基本性质，得 ，119mn n m ≠=因为 ，所以 ，分析：通过仔细的观察可知只要对已知条件进行变形，再利用比例的基本性质即可解决这道题.总结：在解决一元二次方程的代数问题时,首先要认真仔细地观察题目的已知条件和所求的式子，观察他们之间有什么特点与联系，然后再充分利用已知条 件来解决所求的问题.特别是要灵活运用韦达定理： 12,x x 即若为一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个根，1212,.b c x x x x a a+=-⋅=则在解这类题目时，可以先从已知条件出发，也可以从结论入手，关键是要善于观察所求式子的特点进而合理适当地变形，使所求问题得到解决.以上三道题都是由问题入手，对已知条件做适当的变形，进而应用韦达定理来解决所求问题.1.2 三角函数的变形技巧三角函数是初等函数的重要组成部分，其与二次函数、初等几何的关系十分密切.特别是“给出已知条件，求三角函数的值”的问题，求三角函数的值的关键即合理地进行三角恒等变形，其最基本的思路是“三看”，即一看角、二看函数名称、三看结构特征.除此之外，我们还常常应用代数的变形技巧和构造法，为三角恒等变形创造条件.例4 22tan 56sin 8sin cos 7cos .ααααα=--已知，求的值分析：除了这里的221sin cos αα=+外，还有以下等式也经常用到：22221tan cot ,1sec tan ,1csc cot ,1tan ,1sin ,1cos ,42ππααααααπ==-=-===灵活运用这些等式，能使许多三角函数问题得到简化.例5 ABC ∆在中，已知角A 、B 、C 成等差数列，tan 3tan tan 2222A C A C ++的值. 分析：本例题是正切公式变形的应用.在历年高考题中，曾多次出现两角和与差的正切公式的变形应用，希望读者在学习中一定要总结、体会以至于灵活运用.例6 4A B π+=已知， (1tan )(1tan ).A B ++求的值分析：对于正切和角tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=-公式可正用也可逆用.则其可变形tan tan 1tan tan ,tan tan tan()(1tan tan )tan()αβαβαβαβαβαβ±-=±=±-±为.这里()tan tan tan()(1tan tan )A B A B A B A B T ±±=±-是公式的变形应用.例7 22cos 10cos 50sin 40sin80.+-o o o o 试求的值解： 注意到 2222cos sin 1,cos sin cos 2ααααα+=-=可变形为我们可以通过构造对偶式，以减少三角变换的难度.再观察所求三角函数式， 很容易发现它与余弦定理非常相似，所以我们还可以通过构造三角形，使问题得到解决.2cos 40x y +=-o 则， 从而方法二：原式22sin 80sin 402sin 40sin80cos60=+-⋅o o o o o 构造ABC ∆， 80,40,6021A B C R ∠=∠=∠==o o o 使，外接圆直径则由正玄定理得：sin 80,sin 40,sin 602a b c ====o o o . 又由余弦定理得：2222cos60c a b ab =+-o ，说明：这里通过构造对偶式和三角形来求三角函数式的值是一种较高的变形技巧.总结：三角函数式的恒等变形是学习三角函数和其他数学知识不可缺少的知识.它包括：①化简三角函数式，②求三角函数式的值，③证明三角恒等式.三角函数式恒等变形的理论依据是代数恒等变形的一般方法和法则，三角函数 的变形公式在变形中要注意三角函数的定义域和值域的要求，以及符号的变化.1.3 “0”的变形技巧曾有人指出：“零不只是一个非常确定的数，而且它本身比其他一切被所限定的数都更重要。
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浅谈中学数学中的若干变形技巧-中学数学论文
浅谈中学数学中的若干变形技巧
江苏高邮市三垛中学赵静
变形是数学解题的基石，变形能力的强弱直接制约着解题能力的高低。
变形是为了达到某种目的而采用的“手段”，是化归、转化的准备阶段。
本文旨在通过探讨变形技巧在数列问题、不等式问题、因式分解等问题中的若干应用，来揭示中学数学常见的一些变形技巧，帮助学生掌握变形的一般规律与特点，培养良好的发散性思维与创新精神。
一、掌握变形技巧的意义
在代数运算中变形是用来帮助解答疑难问题时，在原代数式基础之上进行转换的方法。
我们在解题时，由于条件不充分或者不明显，常常需要求助于变形做适当的转换。
变形的意义在于把题目中的已知与求解的有关性质联系起来，从而使题目中分散的元素集中，把问题转化为另一种形式，便于利用有关的定义、公理、定理等达到解题的目的；当题中的条件与结论之间的关系不够明确时，变形还可以把所需的关系揭露出来，使隐蔽的条件显现，把复杂的问题化简，从而找到解决问题的途径。
二、变形技巧在数列中的应用
（一）给定初始条件，数列的递推方程为：an+1=pan+q（p≠1）型
等形式的变形，在不等式中还可以通过变元与消元、增、减项变成“积”一定以及放缩法等形式来变形，在因式分解中还可以通过主元变形等，这里就不再一一叙述。
总之变形是为了便于利用某些理论进行运算架设的桥梁，是把代数式中固有的但不很明显的性质得以明确地显示出来的催化剂。
变形的用途很广，虽然题目千差万别，解题方法多种多样，变形也因题而异．只要我们大胆探索，深入
研究，就会找到其内在的规律。
参考文献：
[1]马永传．递推数列通项公式求法及技巧[J]．六安师专学报，1999.
[2]郭立军．运用基本不等式的变形技巧[J]．数学学习与研究(教研版)，2008.
[3]候有歧.运用均值不等式解题的变形技巧[J].中学数学杂志，2007.
[4]李开丁.在证明不等式中几种常用的等价变形形式[J].高等数学研究，2004.
[5]郭茂华．因式分解中常用的几类变形技巧[J]．时代数学学习，1998.。