浙教版九年级数学上册同步习题：4.4 两个三角形相似的判定

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浙教版数学九年级上册4.4.两个三角形相似的判定(一)

4.4.两个三角形相似的判定（一）一．选择题1.已知下列命题：①含有o 30角的直角三角形都相似；②所有等腰直角三角形都相似；③有一个角是o 60的等腰三角形都相似；④有一个角是o 45的等腰三角形都相似.其中真命题有（）A. 1个B.2个C.3个D.4个2．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=o 90,BC=3，AC=4，AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长线于点E,则CE 的长为( )A. 23B. 67C. 625 D. 2 3．点Ｅ是□ABCD 的边BC 延长线上的一个点，AE 与CD 相交于G ，则图中相似三角形共有（）A. 2对B. 3对C. 4对D. 5对4.如图，在△ABC 中，∠ABC=o 90，BD ⊥AC, DE ⊥BC,垂足分别为D,E,则图中与△ABC 相似的三角形共有（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个(第2题) (第3题) (第4题)5．如图，已知点E,F 分别是△ABC 中AC,AB 边的中点，BE,CF 相交于点G,FG=2，则CF 的长为（）A. 4B. 4.5C. 5D. 6二．填空题6.已知，如图四边形ABCD 是平行四边形，则图中相似三角形有_________对7. 如图，在锐角△ABC 中，高CE 和BF 相交于点D,请写出图中的两对相似三角形：_______________________(用相似符号连结)(第5题) (第6题) (第7题)8.如图，∠DAB=∠CAE,请补充一个条件：________________,使△ABC ∽△ADE9．如图，∠BAC=o 90，AD ⊥BC,则△ABC ∽________∽_________10.如图，点D 和E 分别在△ABC 的边AB 和AC 上，且∠AED=∠ABC,若DE=3，BC=6，AB=8，则AE 的长为__________,(第8题) (第9题) (第10题)三．解答题11.如图，已知□ABCD 中，EF//AB,DE:EA=2：3，EF=4，求CD 的长12.如图，△PMN 是等边三角形，∠APB=o 120，求证：AP PN PM AM ∙=∙13. 如图，在△ABC 中，AD 是中线，EF//BC,EF 交AD 于H,求证：EH=FH14.如图，M 为线段AB 的中点，AE 于BD 交于C, ∠DME=∠A=∠B,且DM 交AC 于F,ME 交BC 于G,写出图中三对相似三角形，并证明其中一对。

4.4 两个三角形相似的判定浙教版九年级数学上册同步练习(含答案)

4.4 两个三角形相似的判定一、选择题（共9小题）1. 如图所示，如果 ∠BAD =∠CAE ，那么添加下列一个条件后，仍不能判定 △ABC ∽△ADE 的是 ( )A. ∠B =∠DB. ∠C =∠AEDC. AB AD =DEBCD. AB AD =ACAE2. 如图所示，在方格纸中，△ABC 和 △EPD 的顶点均在格点上，要使 △ABC ∽△EPD ，则点 P 所在的格点为 ( )A. P 1B. P 2C. P 3D. P 43. 如图所示，在正方形 ABCD 中，E 是 CD 的中点，点 F 在 BC 上，且 FC =14BC ，则图中的相似三角形共有 ( )A. 4 对B. 3 对C. 2 对D. 1 对4. 如图所示，在等边三角形 ABC 中，点 D ，E 分别在 AC ，AB 上，且 ADAC =13，AE =BE ，则有 ( )A. △AED∽△BEDB. △AED∽△CBDC. △AED∽△ABDD. △BAD∽△BCD5. 如图所示，已知正方形ABCD，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件中不能推出△ABP与△ECP相似的是( )A. ∠APB=∠EPCB. ∠APE=90∘C. P是BC的中点D. BP:BC=2:36. 如图所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90∘，AB=8，AD=3，BC=4，P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7. 如图所示，已知P是边长为5的正方形ABCD内一点，且PB=3，BF⊥BP于点B，若在射线BF上找一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，BM的值为( )A. 3B. 253C. 3或5 D. 3或2538. 如图所示，△ABC≌△ADE且∠ABC=∠ADE，∠ACB=∠AED，BC，DE交于点O．下列四个结论：①∠1=∠2；②BC=DE；③△ABD∽△ACE；④A，O，C，E四点在同一个圆上．一定成立的结论有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个9. 如图所示，AB是半圆O的直径，D，E是半圆上任意两点，连接AD，DE，AE与BD交于点C，要使△ADC与△ABD相似，可以添加一个条件．下列添加的条件中，错误的是( )A. ∠ACD=∠DABB. AD=DEC. AD2=BD⋅CDD. CD⋅AB=AC⋅BD二、填空题（共5小题）10. 如图所示，在边长为1的正方形网格中有点P，A，B，C，则图中所形成的三角形中，相似的三角形是．11. 如图所示，在两个直角三角形中，∠ACB=∠ADC=90∘，AC=6，AD=2，当AB=时，这两个直角三角形相似．12. 如图所示，已知，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠DEC，且E为AB边中点，则图中有对相似三角形．13. 如图所示，平行四边形ABCD中，AB=4，AD=6，∠ABC=60∘，P是射线AD上的一个动点（与点A不重合），BP与AC交于点E，设AP=x，当x=时，△ABP与△EBC相似．14. 如图所示，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB=12，AC=8，AD=6，当AP的长度为时，△ADP和△ABC相似．三、解答题（共7小题）15. 如图所示，在△ABC中，AB=AC，D为CB延长线上一点，E为BC延长线上一点，且AB2=DB⋅CE．求证：△ADB∽△EAC．16. 如图所示，在△ABC和△ADE中，∠BAD=∠CAE，∠ABC=∠ADE．（1）写出图中两对相似三角形（不得添加字母和线）；（2）请分别说明两对三角形相似的理由．17. 如图所示，AB=3AC，BD=3AE，BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上．（1）求证：△ABD∽△CAE．（2）如果AC=BD，AD=22BD，设BD=a，求BC的长．18. 如图所示，已知△ABC，△DCE，△FEG是三个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG在同一条直线上，且AB=3，BC=1，连接BF分别交AC，DC，DE于点P，Q，R．（1）求证：△BFG∽△FEG，并求出BF的长．（2）观察图形，请你提出一个与点P相关的问题，并进行解答．19. △ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90∘，△DEF的顶点E位于边BC的中点上．（1）如图1所示，DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE；（2）如图2所示，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，除（1）中的一对相似三角形外，再找出一对相似三角形并证明你的结论．20. 如图所示，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC，BD交于点E，DC2=CE⋅CA．（1）求证：BC=CD．（2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，若PB=OB，CD=22，求DF的长．21. 如图所示，在矩形ABCD中，AB=12 cm，BC=8 cm．点E，F，G分别从点A，B，C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方问移动．点E，G的速度均为2 cm/s，点F的速度为4 cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t(s)时，△EFG的面积为S(cm2)．（1）当t=1(s)时，S的值是多少?（2）写出S关于t的函数表达式，并指出自变量t的取值范围．（3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E，B，F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似?请说明理由．答案1. C2. C3. B4. B5. C6. C7. D8. D9. D10. △APB∽△CPA11. 3或3212. 313. 814. 4或915. ∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∴∠ABD=∠ACE．∵AB2=DB⋅CE，∴ABCE =DBAB．∴ABCE =DBAC．∴△ADB∽△EAC．16. （1）△ABC∽△ADE，△ABD∽△ACE．（2）∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，即∠BAC=∠DAE．∵∠ABC=∠ADE，∴△ABC∽△ADE．∴ABAD =ACAE．∵∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽△ACE．17. （1）因为BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上，因为 ABAC =BDAE =3，所以 △ABD ∽△CAE ．（2）因为 AB =3AC =3BD ，AD =22BD ，所以 AD 2+BD 2=8BD 2+BD 2=9BD 2=AB 2．所以 ∠D =90∘．因为 △ABD ∽△CAE ，所以 ∠E =∠D =90∘．因为 AE =13BD ，EC =13AD =232BD ，AB =3BD ，所以BC 2=(AB +AE )2+EC 2=3BD +13BD2+BD 2=12BD 2=12a 2.所以 BC =23a ．18. （1） ∵ △ABC ≌△DCE ≌△FEG ，∴ BC =CE =EG =13BG =1，FG =AB =3．∴ BG =3． ∴ FGEG =BGFG =33=3．∵ ∠BGF =∠FGE ， ∴ △BFG ∽△FEG ． ∵ △FEG 是等腰三角形， ∴ △BFG 是等腰三角形． ∴ BF =BG =3．（2）问题：求证 BP =PR ．证明：∵ ∠ACB =∠REB ， ∴ AC ∥DE ．又 ∴ BC =CE ， ∴ BP =PR ．19. （1） ∵ △ABC 是等腰直角三角形， ∴ ∠MBE =45∘．∴ ∠BME +∠MEB =135∘． ∵ △DEF 是等腰直角三角形， ∴ ∠DEF =45∘．∴ ∠NEC +∠MEB =135∘．∵ ∠B =∠C =45∘， ∴ △BEM ∽△CNE ．（2） △ECN ∽△MEN ．证明：与（1）同理得 △BEM ∽△CNE ， ∴ BECN =EMNE ． ∵ BE =EC ， ∴ ECCN =EMNE ．∵ ∠ECN =∠MEN =45∘， ∴ △ECN ∽△MEN ．20. （1）因为 DC 2=CE ⋅CA ，所以 DCCE =CADC ．所以 △CDE ∽△CAD ．所以 ∠CDB =∠DAC ．所以 BC =CD ．所以 BC =CD ．（2）如图所示，连接 OC ，过点 O 作 OG ⊥CD 于点 G ．因为 BC =CD ，所以 ∠BAD =∠BOC ．所以 OC ∥AD ．所以 △PCO ∽△PDA ．所以 PCPD =POPA ．因为 PB =OB ，CD =22，所以 PCPC +22=23．所以 PC =42．因为 OG ∥AF ，所以 △PGO ∽△PFA ．所以 PGPF =POPA ．所以 PC PD =PGPF ．所以 4242+22=42+242+22+DF，解得 DF =322．21. （1）当 t =1(s) 时，AE =2(cm)，EB =10(cm)，BF =4(cm)，FC =4(cm)，CG =2(cm)，S =S 梯形GCBE ―S △EBF ―S △FCG=12(EB +CG )×BC ―12EB ×BF ―12FC ×CG =12×(10+2)×8―12×10×4―12×4×2=24(cm 2). （2） ①如图1所示，当 0 s ≤t ≤2 s 时，点 E ，F ，G 分别在边 AB ，BC ，CD 上移动，此时 AE =2t (cm)，EB =(12―2t )(cm)，BF =4t (cm)，FC =(8―4t )(cm)，CG =2t (cm)， S =S 梯形GCBE ―S △EBF ―S △FCG=12(EB +CG )×BC ―12EB ×BF ―12FC ×CG =12×8×(12―2t +2t )―12×4t (12―2t )―12×2t (8―4t )=8t 2―32t +48. ②当点 F 追上点 G 时，4t =2t +8，解得 t =4(s)．如图2所示，当 2 s <t ≤4 s 时，点 E 在边 AB 上移动，点 F ，G 都在边 CD 上移动，此时 CF =(4t ―8)(cm)，CG =2t (cm)，FG =CG ―CF =2t ―(4t ―8)=8―2t (cm)，S =12FG ×BC =12(8―2t )×8=―8t +32.∴S =8t 2―32t +48,0≤t≤2―8t +32.2<t ≤4．（3）如图1所示，当点F在矩形BC上移动时，0≤t≤2．在△EBF和△FCG中，∠B=∠C=90∘．①若EBFC =BFCG，即12―2t8―4t =4t2t，解得t=23．当t=23时，△EBF∽△FCG．②若EBGC =BFCF，即12―2t2t =4t8―4t，解得t=32．当t=32时，△EBF∽△GCF．综上所述，当t=23或t=32时，以点E，B，F为顶点的三角形与以F，C，G为顶点的三角形相似．。

【最新】浙教版九年级上册同步习题：4.4 两个三角形相似的判定

新浙教版九年级上册同步习题：4.4 两个三角形相似的判定一、选择题（共10小题；共50分）1. 如图，四边形错误！未找到引用源。

的对角线错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

相交于错误！未找到引用源。

，且将这个四边形分成①②③④四个三角形．若错误！未找到引用源。

，则下列结论中一定正确的是错误！未找到引用源。

A. ①和②相似B. ①和③相似C. ①和④相似D. ②和④相似2. 下列判断中，不正确的是错误！未找到引用源。

A. 两直角边长分别是错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

和错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

的两个直角三角形相似B. 斜边和一直角边长分别是错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

和错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

的两个直角三角形相似C. 两条边长分别是错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

和错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

的两个直角三角形相似D. 两个等腰直角三角形相似3. 如图所示，有点光源错误！未找到引用源。

在平面镜上方，若点错误！未找到引用源。

恰好在点光源错误！未找到引用源。

的反射光线上，并测得错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，且错误！未找到引用源。

，则点光源错误！未找到引用源。

到平面镜的距离错误！未找到引用源。

的长度为错误！未找到引用源。

A. 错误！未找到引用源。

B. 错误！未找到引用源。

C. 错误！未找到引用源。

D. 错误！未找到引用源。

4. 如图，在正方形网格上有错误！未找到引用源。

个三角形：① 错误！未找到引用源。

；② 错误！未找到引用源。

；③ 错误！未找到引用源。

；④ 错误！未找到引用源。

；⑤ 错误！未找到引用源。

；⑥ 错误！未找到引用源。

．② 错误！未找到引用源。

⑥中与①相似的是错误！未找到引用源。

A. ②③④B. ③④⑤C. ④⑤⑥D. ②③⑥5. 下列错误！未找到引用源。

的正方形网格中，小正方形的边长均为错误！未找到引用源。

新浙教版九年级数学上册课后练习：4.4 两个三角形相似的判定

新浙教版九年级数学上册课后练习：4．4两个三角形相似的判定(第1题)1. 如图，四边形ABCD是平行四边形，则图中与△DEF相似的三角形共有(B)A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2．如图，M是Rt△ABC的斜边BC上异于B，C的一个定点，过点M作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有(C)A．1条 B．2条C．3条 D．4条,(第2题)) ,(第3题)) 3．如图，点A，B，C，D，E，F，G，H，O都是5×7方格中的格点，为使△DEM∽△ACB，则点M应是F，G，H，O四点中的点(C)A．F B．GC．H D．O4．下列叙述中，不正确的是(C)A．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝20°，在Rt△A′B′C′中，∠C′＝90°，∠A′＝20°，则△ABC与△A′B′C′相似B．△ABC的两个角分别是35°和100°，△A′B′C′的两个角分别是45°和35°，则这两个三角形相似C．等腰△ABC和等腰△A′B′C′都有一个角为25°，则△ABC与△A′B′C′相似D．等腰△ABC和等腰△A′B′C′都有一个角为105 °，则△ABC与A′B′C′相似(第5题)5．如图，已知∠1＝∠2，可补充条件__∠E＝∠C或∠D＝∠B(不唯一)__(写出一个即可)，使△ADE∽△ABC.6. 已知△ABC∽△A′B′C′，AB＝2 cm，BC＝3 c m，AC＝4 cm，A′B′＝5 cm，则△A ′B ′C ′的周长是__22.5__cm(第7题)7．如图，已知AC⊥CD，垂足为C ，BD ⊥CD ，垂足为D ，AB 与CD 交于点O.若AC ＝1，BD ＝2，CD ＝4，则AB ＝__5__．8. 如图，BE ，CF 是△ABC 的中线且交于点G .求证：BG ＝2EG .(第8题)【解】连结EF.∵BE ，CF 为△ABC 的中线， ∴EF 为△ABC 的中位线， ∴EF∥BC，∴△EGF ∽△BGC ， ∴EG BG ＝EF BC ＝12， ∴BG ＝2EG.9．如图，为了测量一个大峡谷的宽度，地质勘探人员在对面的岩石上观察到一个特别明显的标志点O ，再在他们所在的同一侧选点A ，B ，D 使得AB⊥AO，DB ⊥AB ，然后确定DO 和AB 的交点C.测得AC ＝120m ，CB ＝60m ，BD ＝50m ，你能帮助他们算出大峡谷的宽AO 吗？(第9题)【解】 ∵AB⊥AO，DB ⊥AB ， ∴∠A ＝∠B＝90°. 又∵∠OCA ＝∠DCB ， ∴△ACO ∽△BCD ，∴AC BC ＝AO BD ，即12060＝AO 50， ∴AO ＝100(m)．(第10题)10．如图，△ABC 内接于⊙O，∠BAC 的平分线分别交⊙O，BC 于点D ，E ，连结BD ，则图中相似三角形有(C )A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对【解】 ∵∠D＝∠C，∠CAD ＝∠DB E ， ∴△BDE ∽△ACE.∵AD 平分∠BAC，∴∠BAD ＝∠CAD. 又∵∠D＝∠C， ∴△AB D∽△AEC.∵∠DBC ＝∠CAD＝∠BA D ，∠D ＝∠D， ∴△BDE ∽△ADB.∴共有3对相似三角形．11．如图，点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，AC ⊥BD 于点E ，过点O 作OF⊥BC 于点F.求证：(第11题)(1)△AEB∽△OFC； (2)AD ＝2OF.【解】 (1)连结OB ，则∠BAE＝12∠BOC.∵OB ＝OC ，OF ⊥BC ， ∴∠COF ＝12∠BOC.∴∠BAE ＝∠COF. ∵AC ⊥BD ，OF ⊥BC ， ∴∠OFC ＝∠AEB＝90°， ∴△AEB ∽△OFC . (2)∵△AEB ∽△OFC ， ∴AE BE ＝OF CF.由圆周角定理，得∠D ＝∠BCE ，∠DAE ＝∠CBE ， ∴△ADE ∽△BCE ，∴AD BC ＝AE BE，∴OF CF ＝ADBC.∵OB ＝OC ，OF ⊥BC ，∴BC ＝2CF ， ∴AD ＝BC CF·OF ＝2OF ，即AD ＝2OF .12．如图，在⊙O 上，位于直径AB 的异侧有一个定点C 和一个动点P ，AC ＝12AB ，点P在半圆弧AB 上运动(不与A ，B 两点重合)，过点C 作直线PB 的垂线CD 交PB 于点D .(1)如图①，求证：△PCD ∽△ABC ；(2)当点P 运动到什么位置时，△PCD ≌△ABC ？请在图②中画出此时的△PCD ，并说明理由．(第12题)【解】 (1)∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°.∵PD ⊥CD ，∴∠D ＝90°， ∴∠D ＝∠ACB .∵∠A 与∠P 是BC ︵所对的圆周角，∴∠A ＝∠P ， ∴△PCD ∽△ABC .(2)如图②，当PC 是⊙O 的直径时(此时B ，D 两点重合)，△PCD ≌△ABC .理由如下： ∵AB ，PC 是⊙O 的直径，∴∠PDC ＝∠ACB ＝90°，AB ＝PC . 又∵∠A ＝∠P ， ∴△PCD ≌△ABC .(第13题)13．如图，M 为线段AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，∠DME ＝∠A＝∠B＝α，且DM 交AC 于F ，ME 交BC 于点G ，连结FG.(1)写出图中两对相似三角形，并证明其中的一对；(2)如果α＝45°，AB ＝4 2，AF ＝3，求FG 的长．【解】 (1)△AMF ∽△BGM ，△DMG ∽△DBM ，△EMF ∽△EAM 等．下面证明△AMF ∽△BGM ：∵∠A ＝∠B ＝∠DME ＝α，∠AFM ＝∠DME ＋∠E ，又∵∠BMG ＝∠A ＋∠E ，∴∠AFM ＝∠BMG ， ∴△AMF ∽△BGM .(2)由α＝45°，可知AC ⊥BC 且AC ＝BC . ∵M 为AB 的中点，AB ＝4 2， ∴AM ＝BM ＝2 2，AC ＝BC ＝4. ∵△AMF ∽△BGM ，∴AF BM ＝AMBG，即32 2＝2 2BG ，∴BG ＝83.∵AC ＝BC ＝4，∴CG ＝4－83＝43，CF ＝1，∴在Rt△CFG 中，FG ＝CG 2＋CF 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫432＋12＝53.14．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4.点Q 是线段AC 上的一个动点，过点Q 作AC 的垂线交线段AB (如图①)或线段AB 的延长线(如图②)于点P .(1)当点P 在线段AB 上时，求证：△AQP ∽△ABC ； (2)当△PQB 为等腰三角形时，求AP 的长．,(第14题))【解】 (1)∵PQ⊥AC，∠ABC ＝90°， ∴∠AQP ＝∠ABC . 又∵∠A ＝∠A ， ∴△AQP ∽△ABC .(2)在Rt△ABC 中，AB ＝3，BC ＝4，由勾股定理，得AC ＝AB 2＋BC 2＝5.当△PQB 为等腰三角形时，分情况讨论： ①当点P 在线段AB 上时，如图①. ∵∠QPB 为钝角，∴当△PQB 为等腰三角形时，只可能是PB ＝PQ . 由(1)，得△AQP ∽△ABC ，∴AP AC ＝QP BC ，即3－PB 5＝PB 4，解得PB ＝43，∴AP ＝AB －PB ＝3－43＝53.②当点P 在线段AB 的延长线上时，如图②. ∵∠QBP 为钝角，∴当△PQB 为等腰三角形时，只可能是PB ＝BQ . ∵BP ＝BQ ，∴∠BQP ＝∠P .∵∠BQP ＋∠AQB ＝90°，∠A ＋∠P ＝90°， ∴∠AQB ＝∠A ， ∴BQ ＝AB ， ∴BP ＝AB ，∴AP ＝2AB ＝2×3＝6.综上所述，当△PQB 为等腰三角形时，AP 的长为53或6.。

浙教版九年级数学上册同步练习(PDF版) 4.4 两个三角形相似的判定

4.4 两个三角形相似的判定一、选择题（共10小题；共50分）1. 如图所示，有点光源S在平面镜上方，若点P恰好在点光源S的反射光线上，并测得AB=10cm，BC=20cm，PC⊥AC，且PC=12cm，则点光源S到平面镜的距离SA的长度为( )A. 4cmB. 5cmC. 6cmD. 8cm2. 下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是( )A. B.C. D.3. 如图所示，D是△ABC边AB上一点，则下列四个条件不能单独判定△ABC∽△ACD的是 ( )A. ∠B=∠ACDB. ∠ADC=∠ACBC. ACCD =ABBCD. AC2=AD⋅AB4. 如图，在△ABC中，点P在边AC上，连接BP．下列条件中，能说△ABC∽△APB的条件是( )A. ABAP =BCABB. ABAP=BPBCC. ABAP=ACABD. ABAP=BPAB5. 如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是 ( )A. B.C. D.6. 如图，如果△ABC与△DEF都是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），那么△DEF与△ABC的周长比为 ( )A. 4:1B. 3:1C. 2:1D. √2:17. 如图，给出下列条件：①∠B=∠ACD；①∠ADC=∠ACB；①ACCD =ABBC；①AC2=AD⋅AB．其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 48. 如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF=14CD，下列结论：① ∠BAE=30∘；② △ABE∽△AEF；③ AE⊥EF；④ △ADF∽△ECF，其中正确的个数为( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个9. 如图，D是△ABC的边BC上一点，AB=4，AD=2，∠DAC=∠B．如果△ABD的面积为15，那么△ACD的面积为( )A. 15B. 10C. 152D. 510. 如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是( )A. ∠ABD=∠ACBB. ∠ADB=∠ABCC. AB2=AD⋅ACD. ADAB =ABBC二、填空题（共10小题；共50分）11. 如图，点D在边AB上，已知∠ACD=∠B，则△ACD∽△．12. 如图所示，在△ABC中D是AB边上一点，连接CD，要使△ADC与△ABC相似，应添加的条件是．13. 如图，点D为△ABC外一点，AD与BC边的交点为E，AE=3，DE=5，BE=4，要使△BDE∽△ACE，且点B，D的对应点分别为A，C，那么线段CE的长应等于．14. △ABC的三边长分别为2，√2，√10，△A1B1C1的两边长分别为1，√5，当△A1B1C1的第三边长为时，△ABC∽△A1B1C1．15. 如图，在平面直角坐标系中，点D为x轴上的一点，且点D坐标为(4,0)，过点D的直线l⊥x轴，点A为直线l上的一动点，连接OA，OB⊥OA交直线于点B，则1OA +1OB的值为．16. 如下图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=6，点P是边BC上的动点．现将纸片折叠，使点A与点P重合，折痕与矩形边的交点分别为E，F．（1）当点P恰好为BC的中点时，折痕EF的长度为；（2）设BP=x，要使折痕始终与边AB，AD有交点，x的取值范围是．17. 已知△ABC的三边长分别为√，√6，2，△A①B①C①的两边长分别为1和√3，要判定△ABC∽△A①B①C①，那么△A①B①C①的第三边长应为．18. 在△ABC中，∠B=25∘，AD是BC边上的高，并且AD2=BD⋅DC，则∠BCA的度数为．19. 如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，⋯，M n分别为边B1B2，B2B3，B3B4，⋯，B n B n+1的中点，△B1C1M1的面积为S1，△B2C2M2的面积为S2，⋯△B n C n M n的面积为S n，则S n=．（用含n的式子表示）20. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90º，AC=10，BC=30，动点P从点B开始沿边BC向点C以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CA向点A以每秒1个单位长度的速度运动，连接PQ，点P，Q分别从点B，C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．（1）当t=秒时，点P，C，Q所构成的三角形与Rt△ABC相似．（2）在整个运动过程中，线段PQ的中点所经过的路程长为．三、解答题（共3小题；共39分）21. 如图，已知△ABC，∠BAC=90∘．请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似三角形．（保留作图痕迹，不写作法）22. 已知：如图，在Rt△ABC和Rt△A①B①C①中，∠C=∠C①=90∘，ABA①B①=ACA①C①．求证：Rt△ABC∽Rt△A①B①C①．23. 如图①，△ABC，∠ACB=90∘，∠ABC=α，将△ABC绕点A顺时针旋转得△AB①C①，设旋转的角度是β．Ⅰ 如图②，当β=（用含α的代数式表示）时，点B①恰好落在CA的延长线上；Ⅱ 如图③，连接BB①，CC①，CC①的延长线交斜边AB于点E，交BB①于点F．请写出图中两对相似三角形，．（不含全等三角形，用现有字母表示）．答案第一部分1. C2. B3. C4. C5. A6. D7. C8. B9. D 10. D第二部分11. ABC12. ∠ACD=∠B或∠ADC=∠ACB或ADAC =ACAB．13. 15414. √15. 11616. （1）12524；（2）6−2√5≤x≤417. √218. 65∘19. 14(2n−1)20. 6；5√5第三部分21. 如图，直线AD即为所作．22. 设ABA①B①=ACA①C①=k，则AB=kA①B①，AC=kA①C①．∵BC=√AB2−AC2=√k2A①B①2−k2A①C①2=k√A①B①2−A①C①2=kB①C①,，∴ABA①B①=ACA①C①=BCB①C①=k．∴Rt△ABC∽Rt△A①B①C①．23. （1）∠90∘+α（2）① △ACC①∽△ABB①，② △BEF∽△CEA．。

4.4 两个三角形相似的判定第2课三角形相似的判定定理2(练习题2022学年浙教版九年级数学上

4.4 两个三角形相似的判定第2课时三角形相似的判定定理2(利用两边及夹角关系)【基础练习】知识点两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似1.如图,点D ,E 分别在△ABC 的边AB ,AC 上,且DE 与BC 不平行.下列条件中,能判定△ADE ∽△ACB 的是 ( )A .AD AC =AEABB .AD AE =ABACC .DE BC =AEABD .DE BC =ADAC2.对于△ABC 与△DEF ,可由∠A=∠D 和下列某一个条件推得△ABC ∽△DEF ,这个条件是 ( )A .AB DE =BCEFB .AB DE =DFACC .AB AC =DEEFD .AB AC =DEDF3.下列图形不一定相似的是( )A .有一个角是120°的两个等腰三角形B .有一个角是60°的两个等腰三角形C .两个等腰直角三角形D .有一个角是45°的两个等腰三角形4.如图,∠ACB=∠BDC=90°,要使△ABC ∽△BCD ,给出下列需要添加的条件:①AB ∥CD ;②BC 2=AC ·CD ;③AC BC =BDCD,其中正确的有 (填序号).5.如图,要测量一池塘两端A ,B 之间的距离,可先在平地上取一个可以直接到达A 和B 的点C ,连结AC 并延长到点D ,使CD=12CA ,连结BC 并延长到点E ,使CE=12CB ,连结DE.如果量出DE的长为25 m,那么池塘两端A ,B 之间的距离为 m .6.根据下列条件,判断△ABC 与△A'B'C'是否相似,并说明理由. ∠A=100°,AB=7 cm,AC=14 cm,∠A'=100°,A'B'=3 cm,A'C'=6 cm .7.如图,在四边形ABCD 中,AC 平分∠BAD ,AC 2=AB ·AD.求证:△ABC ∽△ACD.8.如图,已知∠BAD=∠CAE 且AD AB =AE AC =12,若DE=5,求BC 的长.【能力提升】9.如图,四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ,且OAOC =OBOD ,有下列结论:①△AOB ∽△COD ;②△AOD ∽△BOC.下列关于①②的判断正确的是 ( )A .①②都正确B .①正确,②错误C .①错误,②正确D .①②都错误10.已知:在△ABC 中,∠A=78°,AB=4,AC=6,下列阴影部分的三角形与原△ABC 不相似的是( )11.如图,点B ,D ,E 在一条直线上,BE 交AC 于点F ,AB AD =AC AE,且∠BAD=∠CAE. 求证:(1)△ABC ∽△ADE ; (2)△AEF ∽△BCF .12.如图,AC 是☉O 的直径,弦BD 交AC 于点E. (1)求证:△ADE ∽△BCE ;(2)如果AD 2=AE ·AC ,求证:CD=CB.13.如图,在△ABC中,AB=AC=1,BC=√5-1,在AC边上截取AD=BC,连结BD.2(1)通过计算,判断AD2与AC·CD的大小关系;(2)求∠ABD的度数.答案1.A [解析] 在△ADE 与△ACB 中, ∵AD AC=AEAB ,且∠A=∠A ,∴△ADE ∽△ACB. 故选A .2.D3.D4.①③5.50 [解析] ∵CD=12CA ,CE=12CB ,∴CD CA =CE CB =12. 又∵∠DCE=∠ACB , ∴△ECD ∽△BCA ,∴DE AB =CD CA =12.∵DE=25 m,∴AB=2DE=50 m . 6.解:△ABC ∽△A'B'C'.理由如下: ∵AB A 'B '=73,ACA 'C '=146=73,∴ABA 'B '=ACA 'C '.又∵∠A=∠A',∴△ABC ∽△A'B'C'. 7.证明:∵AC 平分∠BAD ,∴∠BAC=∠CAD. ∵AC 2=AB ·AD ,∴AB AC =ACAD ,∴△ABC ∽△ACD. 8.解:∵∠BAD=∠CAE ,∴∠BAD+∠BAE=∠CAE+∠BAE , 即∠DAE=∠BAC. 又∵AD AB =AE AC =12,∴△ADE ∽△ABC , ∴AD AB =DEBC ,即12=5BC , ∴BC=10. 9.B 10.C11.证明:(1)∵∠BAD=∠CAE , ∴∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD ,即∠BAC=∠DAE.在△ABC和△ADE中,∵ABAD =ACAE,∠BAC=∠DAE,∴△ABC∽△ADE.(2)∵△ABC∽△ADE,∴∠C=∠E.在△AEF和△BCF中,∵∠E=∠C,∠AFE=∠BFC,∴△AEF∽△BCF.12.证明:(1)∵∠A与∠B都是CD⏜所对的圆周角,∴∠A=∠B.又∵∠AED=∠BEC,∴△ADE∽△BCE.(2)∵AD2=AE·AC,∴AEAD =AD AC.又∵∠A=∠A,∴△ADE∽△ACD,∴∠AED=∠ADC.∵AC是☉O的直径,∴∠ADC=90°,∴∠AED=90°,∴直径AC⊥弦BD,∴CD⏜=CB⏜,∴CD=CB.13.解:(1)∵AD=BC=√5-12,∴AD2=(√5-12)2=3-√52.∵AC=1,∴CD=1-√5-12=3-√52,∴AC·CD=3-√52,∴AD2=AC·CD. (2)∵AD2=AC·CD,∴BC2=AC·CD,∴BCCD =AC BC.又∵∠C=∠C,∴△ABC∽△BDC,∴ABBD =AC BC.又∵AB=AC,∴BD=BC=AD,∴∠A=∠ABD,∠ABC=∠C=∠BDC.设∠A=∠ABD=x,则∠BDC=∠A+∠ABD=2x,∴∠ABC=∠C=∠BDC=2x.∵∠A+∠ABC+∠C=180°,∴x+2x+2x=180°,解得x=36°,∴∠ABD=36°.。

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4.4 两个三角形相似的判定(二)1．如图，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(C)(第1题) (第2题)2．下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是(B)3．如图，在方格纸中，△ABC和△PED的顶点均在格点上，要使△ABC∽△PED，则点P所在的格点为(C)A. P1B. P2C. P3D. P4(第3题)4．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，有下列条件：①∠AED ＝∠B ；②AD AC ＝AE AB ；③DE BC ＝ADAC.其中能够判断△ADE 与△ACB 相似的有(A)A.①②B.①③C.①②③D.①(第4题) (第5题)5．如图，点P 在△ABC 的边AC 上，要判断△ABP ∽△ACB ，添加一个条件，不正确的是(D)A. ∠ABP ＝∠CB. ∠APB ＝∠ABCC. AP AB ＝AB ACD. AB BP ＝AC CB6．如图，在平面直角坐标系中，有两点A(4，0)，B(0，2)，点C在x轴上(点C 与点A不重合)．当点C的坐标为(1，0)或(－1，0)或(－4，0)时，以B，O，C为顶点的三角形与△AOB相似(至少写出两个满足条件的点的坐标)．(第6题)7．根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由．∠A＝100°，AB＝7cm，AC＝14cm，∠A′＝100°，A′B′＝3cm，A′C′＝6cm.【解】△ABC∽△A′B′C′.理由如下：∵ABA′B′＝73，ACA′C′＝146＝73，∴ABA′B′＝ACA′C′.又∵∠A＝∠A′，∴△ABC∽△A′B′C′.(第8题)8．如图，AB·AD＝AC·AE.求证：△ABC∽△AED. 【解】∵AB·AD＝AC·AE，∴AB AE ＝AC AD. 又∵∠BAC ＝∠EAD ， ∴△ABC ∽△AED.9．在△ABC 中，E 是AB 上一点，AE ＝2，BE ＝3，AC ＝4.在AC 上取一点D ，使△ADE 与△ABC 相似，则AD 的值是(C)A. 85B. 52C. 85或52D. 85或25(第9题解)【解】如解图．①当△ADE ∽△ABC 时，有AD AE ＝AB AC.∵AE ＝2，BE ＝3，∴AB ＝5. ∴AD 2＝54，∴AD ＝52.②当△AED ∽△ABC 时，有AE AD ＝ABAC，∴2AD ＝54，∴AD ＝85. 10．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠D ＝90°，AD ＝2，BC ＝5，DC ＝8.若DC 边上有一点P ，使△PAD 与△PBC 相似，则符合条件的点P 有(C)(第10题)A.1个B.2个C.3个D.4个【解】设PD ＝x ，则PC ＝8－x. 在△PAD 与△PBC 中，∠D ＝∠C ＝90°.①若△PAD ∽△PBC ，则AD BC ＝PD PC ，即25＝x 8－x，解得x ＝167，符合题意．②若△PAD ∽△BPC ，则AD PC ＝PD BC ，即28－x ＝x5，解得x ＝4±6，均符合题意．综上所述，符合条件的点P 有3个．(第11题)11．如图，在正方形ABCD 中，E 是CD 的中点，点F 在BC 上，且FC ＝14BC ，那么图中相似的三角形共有多少对？并证明．【解】图中相似三角形共有3对．证明如下： ∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠D ＝∠C ＝90°，AD ＝DC ＝CB.∵DE ＝EC ，FC ＝14BC ，∴EC ＝12BC ＝2CF ，∴AD DE ＝ECCF＝2，∴△ADE ∽△ECF ， ∴AE EF ＝ADEC，∠DAE ＝∠CEF ， ∴AE EF ＝AD DE ，即AD AE ＝DE EF. ∵∠DAE ＋∠AED ＝90°， ∴∠CEF ＋∠AED ＝90°， ∴∠AEF ＝90°，∴∠D ＝∠AEF ，∴△ADE∽△AEF.由相似三角形的传递性，得△AEF∽△ADE∽△ECF，即△ADE∽△ECF，△ADE∽△AEF，△AEF∽△ECF.12．如图①，△ABC与△CDE是等腰直角三角形，直角边AC，CD在同一条直线上，M，N分别是斜边AB，DE的中点，P是AD的中点，连结AE，BD，PM，PN.(1)猜想PM与PN的数量关系及位置关系，请直接写出结论．(2)现将图①中的△CDE绕点C顺时针旋转α(0°＜α＜90°)，得到图②，AE与MP，BD，BC分别交于点G，H，O.请判断(1)中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．(3)若图②中的等腰直角三角形变成直角三角形，使BC＝kAC，CD＝kCE，如图③，写出PM与PN的数量关系，并加以证明．(第12题)【解】(1)PM＝PN，PM⊥PN.理由如下：∵△ABC和△CDE是等腰直角三角形，∴AC＝BC，EC＝CD，∠ACB＝∠ECD＝90°.在△ACE 和△BCD 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BC ，∠ACE ＝∠BCD ＝90°，CE ＝CD ，∴△ACE ≌△BCD(SAS)． ∴AE ＝BD ，∠EAC ＝∠CBD.∵M ，N 分别是斜边AB ，DE 的中点，P 是AD 的中点，∴PM ＝12BD ，PN ＝12AE ，∴PM ＝PN.易得∠NPD ＝∠EAC ，∠MPA ＝∠BDC ，∠EAC ＋∠BDC ＝90°，∴∠MPA ＋∠NPD ＝90°， ∴∠MPN ＝180°－90°＝90°，即PM ⊥PN. (2)成立．证明如下：同(1)可得△ACE ≌△BCD(SAS)， ∴AE ＝BD ，∠CAE ＝∠CBD. 又∵∠AOC ＝∠BOE ， ∴∠BHO ＝∠ACO ＝90°.∵P ，M ，N 分别是AD ，AB ，DE 的中点， ∴PM ＝12BD ，PN ＝12AE ，∴PM ＝PN.易得PM ∥BD ，PN ∥AE. ∴∠MGE ＋∠BHA ＝180°. ∴∠MGE ＝∠BHO ＝90°. ∴∠MPN ＝∠MGE ＝90°. ∴PM ⊥PN.(3)PM ＝kPN.证明如下： ∵△ABC 和△CDE 是直角三角形， ∴∠ACB ＝∠ECD ＝90°.∴∠ACB ＋∠BCE ＝∠ECD ＋∠BCE. ∴∠ACE ＝∠BCD. ∵BC ＝kAC ，CD ＝kCE ， ∴BC AC ＝CDCE＝k ，∴△BCD ∽△ACE ， ∴BD ＝kAE.∵P ，M ，N 分别是AD ，AB ，DE 的中点， ∴PM ＝12BD ，PN ＝12AE.∴PM ＝kPN.。

浙教版九年级数学上册4.4 两个三角形相似的判定

浙教版九年级数学上册4.4 两个三角形相似的判定姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题1 . 要使与相似，，，，则的度数为（）A．50°B．70°C．60°D．50°或70°2 . 如图，点 A、B 分别在第二象限和第一象限，AB 与 x 轴平行，∠AOB=90°，OA=4，OB=3，函数y=（x ＜0）和 y=（x＞0）的图象分别经过点 A、B，则=（）A．B．﹣C．D．﹣3 . 下列命题中，假命题的是（）A．两个等边三角形一定相似；B．两个全等三角形一定相似；C．有一个锐角相等的两个直角三角形一定相似；D．有一个锐角相等的两个等腰三角形一定相似．4 . 正方形的一条对角线长为6，则正方形的面积是（）A．3B．9C．18D．365 . 如图，直线，P是直线AB上的动点，当点P的位置变化时，三角形PCD的面积将A．变小B．变大C．不变D．变大变小要看点P向左还是向右移动6 . 如图，要使平行四边形ABCD成为菱形，需添加的条件是（）A．AC=BD B．∠1=∠2C．∠ABC=90°D．∠1=90°7 . 如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动，记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．8 . 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍然无法判定的是（）C．D．A．B．二、填空题9 . 如图，在中，是边上的中线，点在上，且，连接并延长交于，则__________．10 . 如图，等边三角形ABC中，AB=3，点D在直线BC上，点E在直线AC上，且∠BAD=∠CBE，当BD=1时，则AE的长为______．11 . 当______时，边长为3、4、6和边长为8、12、的两三角形相似.12 . 如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，对角线AC，BE相交于点M．若AB=1，则BM的长为__________．13 . 如图，在中，是上一点，连接．要使，则必须有________或________或________．14 . 如图，在5×5的正方形网格中，以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，且另外两条边长均为无理数，满足这样条件的点C共__个．15 . 如图，DF∥AC，若∠1＝∠2，则DE与AH的位置关系是_____．16 . 已知△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4.D是AB的中点，P是平面上的一点，且DP＝1，连接BP、CP，将点B绕点P顺时针旋转90°得到点B′，连CB′，CB′的最大值是_____.三、解答题17 . 解下列方程：（1）；（2）18 . 如图，已知∠ABC＝180°﹣∠A，BD⊥CD于D，EF⊥CD于F（1）求证：AD∥BC；（2）若∠1＝36°，求∠2的度数．如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA长为半径的与AD，AC分别交于点E，F，∠ACB="∠DCE" ．19 . 请判断直线CE与的位置关系，并证明你的结论；20 . 若 DE:EC=1：,，求⊙O的半径．21 . 如图，AA．BC相交于点E，且AE=54cm，ED=36cm，CE=30cm，BE＝45cm，∠B=78o.(1)△AEB与△DEC相似吗？(2)求∠C的度数.22 . 解方程：（1）x2+8x=9（2）（x-1）2=2x（1-x）23 . 如图和相交于点，，．（1）如果的周长是9，求的周长；（2）连结，如果的面积是16，求的面积．参考答案一、单选题1、2、3、4、5、6、7、8、二、填空题1、2、3、4、5、6、7、8、三、解答题1、2、3、4、5、6、。

4.4 两个相似三角形的判定浙教版九年级数学上册解答题专题训练(含答案)

∴∠BAE＝∠CAD， ∵BE＝BD， ∴∠E＝∠BDE， ∵∠ADC＝∠BDE， ∴∠E＝∠ADC， ∴△ABE∽△ACD；
（1）DE 是⊙O 的切线吗？请说明理由；（2）求证：AC2＝CD•BE．
16．如图，在△ABC 中．AB＝AC，AD⊥BC 于 D，作 DE⊥AC 于 E，F 是 AB 中点，连 EF 交 AD 于点 G．若 AB＝3，AE＝2，求的值．
17．如图，在菱形 ABCD 中，G 是 BD 上一点，连接 CG 并延长交 BA 的延长线于点 F，交 AD 于点 E．（1）求证：AG＝CG；（2）求证：AG2＝GE•GF．
参考答案
1．解：∵∠BAC＝90°， ∴∠ABC+∠C＝90°，∠DFC+∠C＝90°， ∴∠ABC＝∠DFC， ∵BC 的垂直平分线交 BC 于点 F，∠BAC＝90°． ∴DA＝BD， ∴∠ABC＝∠BAD， ∴∠DFC＝∠BAD， ∵∠EDA＝∠ADF， ∴△ADE∽△FDA． ∴＝． ∴AD2＝DE•DF．
3．如图，已知 ED∥BC，∠EAB＝∠BCF．求证：（1）四边形 ABCD 为平行四边形；（2）OB2＝OE•OF；
4．已知：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC 交 BC 于 D，点 E 在 AD 的延长线上，BE＝ BD．（1）求证：△ABE∽△ACD；（2）过点 C 作 CF∥BE 交 AE 于点 F，求证：AD2＝AE•AF．
2．（1）证明：∵BA•BD＝BC•BE． ∴＝， ∵∠B＝∠B， ∴△BDE∽△BCA．（2）证明：∵BA•BD＝BC•BE． ∴＝， ∵∠B＝∠B， ∴△BAE∽△BCD， ∴∠BAE＝∠BCD，
∵AE＝AC， ∴∠AEC＝∠ACE， ∵∠AEC＝∠B+∠BAE，∠ACE＝∠ACD+∠BCD， ∴∠B＝∠ACD， ∵∠BAC＝∠BAC， ∴△ADC∽△ACB， ∴＝，

浙教版九年级上数学4.4两个三角形相似的判定(1)同步导学练(含答案)

4.4 两个三角形相似的判定（1）（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.（2）有两个角对应相等的两个三角形相似．1.下列条件中，能判定两个等腰三角形相似的是(C ).A.都含有一个30°的内角B.都含有一个45°的内角C.都含有一个60°的内角D.都含有一个80°的内角2.如ABCD 中，E 是AD 延长线上一点，BE 交AC,DC 于点F ，G ，则下列结论中，错误的是(D ).A.△ABE ∽△DGEB.△CGB ∽△DGEC.△BCF ∽△EAFD.△ACD ∽△GCF（第2题）（第3题）（第4题）3.如图所示，F 是△ABC 的边BC 上一点，DE∥BC 交AF 于点G ，若ADDB=34，则CF GE 等于(A ).A. 73B. 74C. 43D. 34 4.如ABCD 中，F 是CD 上一点，BF 交AD 的延长线于点G ，则图中的相似三角形有(B ).A.8对B.6对C.4对D.2对5.如图所示，在矩形ABCD 中，点E 在AD 上，EF⊥BE，交CD 于点F ，连结BF ，则图中与△ABE 一定相似的三角形是(B ).A.△EFBB.△DEFC.△CFBD.△EFB 和△DEF（第5题）（第6题）（第7题）（第8题） 6.如图所示，E 是的边AD 上一点，AE=21ED ，CE 与BD 相交于点F ，BD=10，则DF= 4 . 7.如图所示，已知△ABC 与△DEF 均为等边三角形，则图中的相似三角形有 3 对．8.如图所示，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，∠ADE=∠B，若AE=4，AB=5，则AD= 25 .9.如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，BD=CD ，CE⊥AB 于点E.求证：△ABD ∽△CBE ．（第9题）【答案】在△ABC 中，∵AB=AC，BD=CD ，∴AD⊥BC.∵CE⊥AB，∴∠ADB=∠CEB=90°.∵∠B=∠B，∴△ABD ∽△CBE.10.如图所示，CD 为⊙O 的直径，弦AB 交CD 于点E ，连结BD ，OB.（1）求证：△AEC ∽△DEB.（2）若CD⊥AB，AB=8，DE=2，求⊙O 的半径.（第10题）【答案】(1)∵∠AEC=∠DEB，∠ACE=∠DBE，∴△AEC ∽△DEB.(2)设⊙O 的半径为r ，则CE=2r-2.∵CD⊥AB，AB=8，∴AE=BE=21AB=4.∵△AEC ∽△DEB ， ∴DE AE =BE CE ，即24=42r ，解得r=5. 11.如图所示，点D 在等边△ABC 的BC 边上，△ADE 为等边三角形，DE 与AC 交于点F ．（第11题）（1）求证：△ABD ∽△DCF ．（2）除了△ABD ∽△DCF 外，请写出图中其他所有的相似三角形．【答案】(1)∵△ABC ，△ADE 为等边三角形，∴∠B=∠C=∠ADE=60°.∵∠BDA+∠ADE=∠DFC+∠C,∴∠BDA=∠DFC.∴△ABD ∽△DCF.(2)△AEF ∽△DCF ，△ABD ∽△AEF ，△ABC ∽△ADE ，△ADF ∽△ACD.12.如图所示，在锐角三角形ABC 中，∠A=60°，BE⊥AC 于点E ，CD⊥AB 于点D ，则DE ∶BC 等于(C )．A.2∶3B.1∶3C.1∶2D.3∶2（第12题）（第13题）（第14题）13.如图所示，点E ，F 分别在菱形ABCD 的边AB ，AD 上，且AE=DF ，BF 交DE 于点G ，延长BF 交CD 的延长线于点H ，若DF AF =2，则BGHF 的值为(B ). A. 32 B. 127 C. 21 D. 125 14.如图所示，在正方形ABCD 中，E 为AB 边的中点，G ，F 分别为AD ，BC 边上的点，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，则GF 的长为(A ).A.3B.4C.5D.615.如图所示，在矩形ABCD 中，BE⊥AC 分别交AC ，AD 于点F ，E ，若AD=1，AB=CF ，则AE=215 . （第15题）（第16题） 16.如ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，在BA 的延长线上取一点E ，连结OE 交AD 于点F.若CD=5，BC=8，AE=2，则AF= 916 . 17.如图所示，在正方形ABCD 中，H 为CD 的中点，延长AH 至点F ，使AH=3FH ，过点F 作FG⊥CD，垂足为点G ，过点F 作BC 的垂线交BC 的延长线于点E.求证：（1）△ADH ∽△FGH.（2）四边形CEFG 是正方形.（第17题）【答案】(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ADH=90°，AD=DC.∵FG⊥CD，∴∠FGH=90°. ∴∠ADH=∠FGH.又∠AHD=∠FHG，∴△ADH ∽△FGH.(2)∵FG⊥CD，DC⊥BE，FE⊥BE，∴四边形CEFG 是矩形.∵△ADH ∽△FGH ，∴GF AD =GH DH =FHAH .∵AH=3FH，∴GF AD =GH DH =3.∴GF=31AD.又∵DH=CH，∴CG=2GH.∴CD=6GH.∴CG=31CD.∴GF=CG.∴矩形CEFG 是正方形.（第18题）18.如图所示，△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，CD 平分∠ACB 交⊙O 于点D ，交AB 于点F ，弦AE⊥CD 于点H ，连结CE ，OH ．（1）求证：△ACE ∽△CFB ．（2）若AC=6，BC=4，求OH 的长．（第18题答图）【答案】(1)∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°.∵CD 平分∠ACB，∴∠ACD=∠FCB=45°.∵AE⊥CD，∴∠CAE=45°=∠FCB.∵∠E=∠ABC，∴△ACE ∽△CFB.(2)如答图所示，延长AE ，CB 交于点M.∵∠FCB=45°，∠CHM=90°，∴∠M=45°=∠CAE. ∴HA=HC=HM，CM=CA=6.∵CB=4，∴BM=6-4=2.∵OA=OB，HA=HM ，∴OH 是△ABM 的中位线.∴OH=21BM=1.19.【泰安】如图所示，在正方形ABCD 中，M 为BC 上一点，ME⊥AM，ME 交AD 的延长线于点E.若AB=12，BM=5，则DE 的长为(B ).A.18B. 5109 C 596 D. 325 （第19题）（第20题）20.【锦州】如图所示，E ABCD 的边AB 延长线上的一点，且BE ∶AB=2∶3，连结DE 交BC 于点F ，则CF ∶AD= 3∶5 .21.如图所示，Rt△AB′C′是由Rt△ABC 绕点A 顺时针旋转得到的，连结CC′交斜边于点E ，CC′的延长线交BB′于点F ．（1）求证：△ACE ∽△FBE ．（2）设∠ABC=α，∠CAC′=β，试探索α，β满足什么关系时，△ACE ≌△FBE ，请说明理由．（第21题）【答案】(1)∵Rt△AB′C′是由Rt△ABC 绕点A 顺时针旋转得到的，∴AC=AC′，AB=AB′，∠CAB=∠C′AB′.∴∠CAB+∠BAC′=∠C′AB′+∠BAC′，即∠CAC′=∠BAB′.∴∠ACC′=∠ABB′.∵∠AEC=∠FEB，∴△ACE ∽△FBE.(2)当β=2α时，△ACE ≌△FBE.∵AC=AC′，∴∠ACC′==2180β-︒=90°-α. ∵∠ACC′+∠BCE=90°，即90°-α+∠BCE=90°，∴∠BCE=α.∵∠ABC=α，∴∠ABC=∠BCE.∴CE=BE.∵△ACE ∽△FBE ，∴∠BEF=∠CEA，∠FBE=∠ACE.∵CE=BE，∴△ACE ≌△FBE.。

浙教版数学九年级上4.4两个三角形相似的判定同步练习含答案

4.4.两个三角形相似的判定（二）一．选择题1.如图，A,B 两点被池塘隔开，在AB 外任选一点C ，连结AC,BC,分别取其三等分点M,N,量得MN=38m ，则AB 的长（）A.152mB. 114mC. 76mD.104m2．△ABC 中，D,E 分别是AB,AC 上的点，若AD=2，BD=4，AE=3，EC=1，则下列结论错误的是 ( ) A. DE=31BC B. △ABC ∽△AED C. ∠ADE=∠C D. ∠AED=∠B(第1题) (第2题) (第3题)3. 已知△ABC ，则下列三角形中于△ABC 相似的是（）A. B. C. D.4.如图，已知△ABC 中，P 为AB 上一点，在下列四个条件中：①∠ACP=∠B;②∠APC= ∠ACB;③AB AP AC •=2;④CB AP CP AB •=•能满足△APC 和△ACB 相似的条件是（）A. ①②④B. ①③④C. ②③④D. ①②③5．如图，等边三角形ABC 的边长为3，点P 为BC 边上一点，且BP=1，点D 为AC 边上的一点，若∠APD=o 60，则CD 的长为（） A.21 B. 32 C. 43 D.1(第4题) (第5题) (第6题)二．填空题6.如图，已知AB=2AD,A C=2AE, ∠BAD=∠CAE,则DE:BC=_________7.有一个角为_________度的两个等腰三角形相似（填写一个适当的数据）8.如图，D,E 分别是△ABC 的边AB,AC 上的点，则使△ABC ∽△AED 得条件是____________9．如图，边长为a 的三个正方形拼成一个矩形AEDF, △ABC 与△DBA 相似吗？_________,∠1+∠2的度数是__________(第8 题) (第9题)三．解答10.根据下列各组条件判定△ABC 与△DEF 相似，并说明理由（1）∠A=o 60，AB=3，AC=4，∠D=o 60，DF=10，DE=7.5（2）∠B=o 75，BA=3，BC=4，∠E=o 70，ED=15，EF=1811. 如图，AD,BC 交于点O,BO CO DO AO •=•,求证：△ABO ∽△CDO12.已知：如图，在边长为a 的正方形ABCD 中，M 是边AD 的中点，能否在边AB 上找到点N(不含A,B),使得△CDM 与△MAN 相似？若能请给出证明；若不能，请说明理由.13.如图，在：△ABC 中，AB=8cm ，BC=16cm,点P 从点A 出发沿AB 边向 B B 以2cm/s 的速度移动，Q 从点B 出发沿BC 边向点C 以4cm/s 的速度移动（有一点到达后即停止移动），如果P,Q 同时，经过几秒后△BPQ 和△ABC相似？14.正方形ABCD 的边长为4，M,N 分别是BC,CD 上的两个动点，当点M 在BC 上运动时，保持AM 和MN 垂直.(1)证明：Rt △ABM ∽Rt △MCN(2)当点M 运动到什么位置时，Rt △ABM ∽Rt △AMN?求BM 的值.4.4.两个三角形相似的判定（二）1—5 BACDB6. 1:27. 60或不小于90且小于180的任何度数8. 略9. 相似，45度10.略 11. 略 12. AN=a 41，理由略 13. 0.8s 或2s 14. （1）略（2）BM=2。

新浙教版九年级上册同步测试：4.4 两个三角形相似的判定

新浙教版九年级上册同步测试：4.4 两个三角形相似的判定一、选择题1．如图，△ABC 中，DE ∥BC ，DE=1，AD=2，DB=3，则BC 的长是（）A ．B ．C ．D ．2．如图，在△ABC 中，BC ＞AC ，点D 在BC 上，且DC=AC ，∠ACB 的平分线CE 交AD 于E ，点F 是AB 的中点，则S △AEF ：S 四边形BDEF 为（）A ．3：4B ．1：2C ．2：3D ．1：33．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在AD 上，连接CE 并延长与BA 的延长线交于点F ，若AE=2ED ，CD=3cm ，则AF 的长为（）A ．5cmB ．6cmC ．7cmD ．8cm4．如图，AB ∥CD ， =，则△AOB 的周长与△DOC 的周长比是（）A ．B ．C ．D ．5．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且，则S △ADE ：S 四边形BCED 的值为（）A ．1：B ．1：2C ．1：3D ．1：46．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 相交于O ，AD=1，BC=4，则△AOD 与△BOC 的面积比等于（）A ．B ．C ．D ．7．如图，∠BAC=∠DAF=90°，AB=AC ，AD=AF ，点D 、E 为BC 边上的两点，且∠DAE=45°，连接EF 、BF ，则下列结论：①△AED ≌△AEF ；②△ABE ∽△ACD ；③BE +DC ＞DE ；④BE 2+DC 2=DE 2，其中正确的有（）个．A ．1B ．2C ．3D ．48．如图，在▱ABCD 中，E 为CD 上一点，连接AE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ，S △DEF ：S △ABF =4：25，则DE ：EC=（）A．2：5 B．2：3 C．3：5 D．3：29．如图，Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于点D，若BD：CD=3：2，则tanB=（）A．B．C．D．10．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s 的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜6），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为（）A．2 B．2.5或3.5 C．3.5或4.5 D．2或3.5或4.511．已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻的两条平行直线间的距离均为h，矩形ABCD的四个顶点分别在这四条直线上，放置方式如图所示，AB=4，BC=6，则tanα的值等于（）A．B．C．D．12．如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C=∠E，AD=4，BC=8，BD：DC=5：3，则DE的长等于（）A ．B ．C ．D ．13．如图，边长为2的正方形ABCD 中，P 是CD 的中点，连接AP 并延长，交BC 的延长线于点F ，作△CPF 的外接圆⊙O ，连接BP 并延长交⊙O 于点E ，连接EF ，则EF 的长为（）A ．B ．C ．D ．14．如图所示，在矩形ABCD 中，F 是DC 上一点，AE 平分∠BAF 交BC 于点E ，且DE ⊥AF ，垂足为点M ，BE=3，AE=2，则MF 的长是（）A ．B ．C ．1D ．15．如图，△ABC 中，D 、E 两点分别在BC 、AD 上，且AD 为∠BAC 的角平分线．若∠ABE=∠C ，AE ：ED=2：1，则△BDE 与△ABC 的面积比为何？（）A ．1：6B ．1：9C ．2：13D ．2：15二、填空题 16．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD=1，AB=3，DE=2，则BC= ．17．△ABC中，D、E分别是边AB与AC的中点，BC=4，下面四个结论：①DE=2；②△ADE∽△ABC；③△ADE的面积与△ABC的面积之比为1：4；④△ADE的周长与△ABC的周长之比为1：4；其中正确的有．（只填序号）18．如图，在△ABC中，点D，点E分别是边AB，AC的中点，则△ADE和△ABC的周长之比等于．19．如图，在△ABC中，EF∥BC，=，S四边形BCFE =15，则S△ABC=．20．将一副三角尺如图所示叠放在一起，则的值是．21．DE是△ABC的中位线，则△ADE与△ABC的面积之比是．22．如图，AC⊥CD，垂足为点C，BD⊥CD，垂足为点D，AB与CD交于点O．若AC=1，BD=2，CD=4，则AB=．23．在平行四边形ABCD中，E在DC上，若DE：EC=1：2，则BF：BE=．24．如图，在△ABC中，4AB=5AC，AD为△ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，EF⊥AD于点F，点G在AF上，FG=FD，连接EG交AC于点H．若点H是AC的中点，则的值为．三、解答题25．如图，点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，连接DP并延长DP交边AB于点E，连接BP 并延长交边AD于点F，交CD的延长线于点G．（1）求证：△APB≌△APD；（2）已知DF：FA=1：2，设线段DP的长为x，线段PF的长为y．①求y与x的函数关系式；②当x=6时，求线段FG的长．26．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点E．若AE=4，CE=8，DE=3，梯形ABCD的高是，面积是54．求证：AC⊥BD．27．如图，在等腰梯形ABCD中，DC∥AB，E是DC延长线上的点，连接AE，交BC于点F．（1）求证：△ABF∽△ECF；（2）如果AD=5cm，AB=8cm，CF=2cm，求CE的长．28．如图所示，AB是半圆O的直径，AB=8，以AB为一直角边的直角三角形ABC中，∠CAB=30°，AC与半圆交于点D，过点D作BC的垂线DE，垂足为E．（1）求DE的长；（2）过点C作AB的平行线l，l与BD的延长线交于点F，求的值．29．如图l，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AO⊥BC于点0，F是线段AO上的点（与A，0不重合），∠EAF=90°，AE=AF，连结FE，FC，BE，BF．（1）求证：BE=BF；（2）如图2，若将△AEF绕点A旋转，使边AF在∠BAC的内部，延长CF交AB于点G，交BE 于点K．①求证：△AGC∽△KGB；②当△BEF为等腰直角三角形时，请你直接写出AB：BF的值．30．如图，正方形ABCD的边长为1，AB边上有一动点P，连接PD，线段PD绕点P顺时针旋转90°后，得到线段PE，且PE交BC于F，连接DF，过点E作EQ⊥AB的延长线于点Q．（1）求线段PQ的长；（2）问：点P在何处时，△PFD∽△BFP，并说明理由．。

浙教版数学(九上)同步提高第4章 4.4 两个三角形相似的判定(原卷版)有答案

如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。

——高斯两个三角形相似的判定知识讲解1.判定三角形相似的预备定理平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

2.三角形相似的判定定理：定理一：有两个角对应相等的两个三角形相似；2.1基本图形：(1)如图①(“A”形图)，若DE①BC，则①ADE①①ABC.(2)如图①(“X”形图)，若AC①DB，则①AOC①①BOD.2.2常见图形：(1)如图，若①AED=①B，则①AED①①ACB(2)如图，若①ACD＝①B，则①ACD①①ABC.(3)如图，若①BAC＝90°，AD①BC，则①ABC①①DBA①①DAC.(4)如图，若①B＝①ADE＝①C，则①ABD①①DCE.(5)如图，若①B＝①ACE＝①D＝90°，则①ABC①①CDE.定理二：两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似；(两边对应成比例，且一边的对角对应相等)定理三：三边对应成比例的两个三角形相似。

典型例题例1：(2018·南京)如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，连结DE.过点A作AF①DE，垂足为F，①O经过点C，D，F，与AD交于点G，连结CF，FG.(1)求证：①AFG①①DFC.(2)若正方形ABCD的边长为4，AE＝1，求①O的半径．例2：如图，已知AB①BD，CD①BD.(1)若AB＝9，CD＝4，BD＝10，请问：在BD上是否存在点P，使以P，A，B为顶点的三角形与以P，C，D为顶点的三角形相似？若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由．(2)若AB＝9，CD＝4，BD＝12，请问：在BD上存在几个点P，使以P，A，B为顶点的三角形与以P，C，D为顶点的三角形相似？并求出BP的长．例3：如图，①O＝90°，OA＝OB＝BC＝CD.请找出图中的相似三角形，并说明理由．一、选择题1．如图，在①ABC 中，①A ＝78°，AB ＝4，AC ＝6.将①ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原来三角形不相似的是 ( )2．下列说法中，错误的是( )A. 有一个角是30°的两个等腰三角形相似B. 有一个角是60°的两个等腰三角形相似C. 有一个角是90°的两个等腰三角形相似D. 有一个角是120°的两个等腰三角形相似3．有下列命题：①三边对应成比例的两个三角形相似；①两边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形相似；①一个锐角对应相等的两个直角三角形相似；①一个角对应相等的两个等腰三角形相似．其中正确的命题是( ) A. ①①B. ①①C. ①①①D. ①①①4．下列四组三角形中，相似的一组是( )A ．在Rt①ABC 中，直角边AC ＝6，斜边AB ＝10；在Rt①A ′B ′C ′中，两条直角边A ′C ′＝16，B ′C ′＝12 B ．在①ABC 中，①A ＝42°，①B ＝118°；在①A ′B ′C ′中，①A ′＝118°，①B ′＝15°C ．在①ABC 中，AB ＝18，AC ＝4，①A ＝105°；在①A ′B ′C ′中，A ′B ′＝16，B ′C ′＝4，①A ′＝100°D ．在①ABC 中，AB ＝18，BC ＝20，CA ＝35；在①A ′B ′C ′中，A ′B ′＝36，B ′C ′＝40，C ′A ′＝75同步练习5. 如图，已知AB ①CD ，AD 与BC 相交于点P ，AB ＝4，CD ＝7，AD ＝10，则AP 的长为( )A.4011B.407C.7011D.7046．[2018·永州]如图，在①ABC 中，点D 是边AB 上的一点，①ADC ＝①ACB ，AD ＝2，BD ＝6，则边AC 的长为( )A ．2B ．4C ．6D ．87．如图，AB 是①O 的直径，D ，E 是半圆上任意两点，连结AD ，DE ，AE 与BD 相交于点C ，要使①DAC 与①DBA 相似，可以添加一个条件．下列添加的条件中错误的是( )A ．①ACD ＝①DABB ．AD ＝DEC ．AD ·AB ＝CD ·BDD ．AD 2＝BD ·CD8．如图，在正方形网格上，若要使①ABC①①PBD ，则点P 应在( )A ．点P 1处B ．点P 2处C ．点P 3处D ．点P 4处9．在①ABC 中，E 是AB 上一点，AE ＝2，BE ＝3，AC ＝4.在AC 上取一点D ，使①ADE 与①ABC 相似，则AD 的值是( )A. 85B. 52C. 85或52D. 85或2510．如图，在矩形ABCD 中，①ADC 的平分线与AB 相交于点E ，点F 在DE 的延长线上，①BFE ＝90°，连结AF ，CF ，CF 与AB 相交于点G.有以下结论：①AE ＝BC ；①AF ＝CF ；①BF 2＝FG·FC ；①EG·AE ＝BG·AB.其中正确的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题1．[2018·北京]如图，在矩形ABCD 中，E 是边AB 的中点，连结DE 交对角线AC 于点F ，若AB ＝4，AD ＝3，则CF 的长为____．2．如图，在平面直角坐标系中，有两点A(4，0)，B(0，2)，点C 在x 轴上(点C 与点A 不重合)．当点C 的坐标为时，以B ，O ，C 为顶点的三角形与①AOB 相似(至少写出两个满足条件的点的坐标)．3. 如图，P 是Rt①ABC 的斜边BC 上异于B ，C 的一点．过点P 作直线截①ABC ，使截得的三角形与①ABC 相似，则满足这样条件的直线共有____条．4. 已知在①ABCD 中，点E 在直线AD 上，AE ＝13AD ，连结CE 交BD 于点F ，则EF①CF 的值是．（第6题）（第7题）（第10题）（第10题解）5.现要做两个形状为三角形的框架，其中甲三角形框架的三边长分别为4，5，6，乙三角形框架的一边长为2.若要使这两个三角形相似，则乙三角形框架的另外两边长可以是．三、解答题1．如图，在①ABCD中，过点A作AE①BC，垂足为E，连结DE，F为线段DE上一点，且①AFE＝①B.(1)求证：①ADF①①DEC；(2)若AB＝8，AD＝63，AF＝43，求AE的长．2. 如图，四边形ABCD，DCFE，EFGH是三个正方形．求①1＋①2＋①3的度数．3.如图，在①ABC中，AB＝AC＝1，BC＝5－12，在AC边上截取AD＝BC，连结BD.(1)通过计算，判断AD2与AC·CD的大小关系；(2)求①ABD的度数．4.如图，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连结CF.(1)求证：①DAE①①DCF.(2)求证：①ABG①①CFG.5.如图，在Rt①ACB中，AC＝8 cm，BC＝6 cm，点P，Q从C，B两点同时出发分别沿CA，BC向点A，C匀速移动，它们的速度分别是2 cm/s，1 cm/s，问：几秒后①PCQ与①ACB相似？6.如图，在Rt①ABC中，①ACB＝90°，AC＝5 cm，①BAC＝60°，动点M从点B出发，在BA边上以2 cm/s的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以 3 cm/s的速度向点B匀速运动，设运动时间为t(s)(0≤t≤5)，连结MN.(1)若BM＝BN，求t的值．(2)若以M，B，N为顶点的三角形与①ABC相似，求t的值．(3)当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值．。

浙教版九年级数学上册同步练习：4.4 两个三角形相似的判定

4.4 两个三角形相似的判定一．填空题1．如图，若∠B＝∠DAC，则△ABC∽△．2．如图，∠ABC＝∠D＝90°，AC＝9cm，BC＝6cm，则当BD＝cm时，△ABC∽△CDB．3．（2018秋•赣榆区期末）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝8，点P是AB边的中点，点Q是BC边上一个动点，当BQ＝时，△BPQ与△BAC相似．4．（2018秋•秀屿区校级月考）如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝8m，AB＝10m，点P从B点出发，沿BC方向以2m/s的速度移动，点Q从C出发，沿CA方向以1m/s的速度移动．若P、Q同时分别从B、C出发，经过秒，△CPQ∽△CBA．5．（2019•泰兴市一模）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AB＝1，CD＝2，BC＝m，点P是边BC上一动点，若△PAB与△PCD相似，且满足条件的点P恰有2个，则m的值为．6．（2019春•海淀区校级月考）如图，在▱ABCD中，E是DC上一点，连接AE．F为AE上一点，且∠BFE＝∠C 求证：△ABF∽△EAD．二.选择题7．（2018秋•丹东期末）如图，正方形ABCD中，E为AB中点，BC＝4BF，那么图中与△ADE相似的三角形有（）A．△CDF B．△BEF C．△BEF、△DCF D．△BEF，△EDF8．（2018秋•槐荫区期末）如图，下列四个选项不一定成立的是（）A．△COD∽△AOB B．△AOC∽△BOD C．△DCA∽△BAC D．△PCA∽△PBD9．（2019•庆云县一模）如图，AB是半圆O的直径，D，E是半圆上任意两点，连结AD，DE，AE与BD相交于点C，要使△ADC与△ABD相似，可以添加一个条件．下列添加的条件其中错误的是（）A．∠ACD＝∠DAB B．AD＝DEC．AD2＝BD•CD D．AD•AB＝AC•BD10．（2018春•梁子湖区期中）如图，△ABC中，∠A＝60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，BM，CN交于点O，连接MN．下列结论：①∠AMN＝∠ABC；②图中共有8对相似三角形；③BC＝2MN．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．0个11．（2019•宽城区校级模拟）下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（）A．B．C．D．12．（2019春•潍城区期末）如图，在△ABC中，点P为AB上一点连接CP．若再添加一个条件使△APC与△ACB相似，则下列选项中不能作为添加条件的是（）A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACBC．AP：AC＝AC：AB D．AP：AB＝PC：BC13．（2019•玉林）如图，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF与AC交于点G，则是相似三角形共有（）A．3对B．5对C．6对D．8对14．（2018秋•昌图县期末）已知△ABC的三边长分别为7.5，9和10.5，△DEF的一边长为5，当△DEF的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似（）A．4，5 B．5，6 C．6，7 D．7，815．（2019•海港区一模）已知△ABC，D是AC上一点，尺规在AB上确定一点E，使△ADE∽△ABC，则符合要求的作图痕迹是（）A．B．C．D．16．（2019•黔东南州一模）如图，在△ABC中，AB＝7cm，AC＝4cm，点D从B点以每秒2cm的速度向点A移动，（）点E从A点以每秒1cm的速度向点C移动，若D、E同时出发，同时停止．则经过多少时间△ADE与△ABC相似．A．（s）B．（s）C．（s）或（s）D．（s）或（s）三.解答题17．（2018秋•兰山区期末）如图，已知∠BAE＝∠CAD，AB＝18，AC＝48，AE＝15，AD＝40．求证：△ABC∽△AED．18．（2018秋•宜宾县期中）已知如图所示，AF⊥BC，CE⊥AB，垂足分别是F、E，试证明：（1）△BAF∽△BCE．（2）△BEF∽△BCA．19．（2018秋•姜堰区校级月考）如图，点B、D、E在一条直线上，BE与AC相交于点F，＝＝．（1）求证：∠BAD＝∠CAE；（2）若∠BAD＝21°，求∠EBC的度数：（3）若连接EC，求证：△ABD∽△ACE．20．（2017秋•望江县期末）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点，（1）求证：AC2＝AB•AD；（2）求证：△AFD∽△CFE．21．如图，点C，D在线段AB上，且△PCD是等边三角形．（1）当AC，CD，DB满足怎样的数量关系时，△ACP∽△PDB，说明你的理由．（2）当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数．22．如图所示，Rt△ABC中，已知∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不能到达点B，C），过点D作∠ADE=45°，DE交AC于点E．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．参考答案一.填空题1．如图，若∠B＝∠DAC，则△ABC∽△DAC．【思路点拨】需根据已知按对应关系将其填写完整即可．【答案】解：在△ABC和△DAC中，因为∠C＝∠C，∠B＝∠DAC所以△ABC∽△DAC．【点睛】考查学生对相似三角形的判定的运用，注意边的对应和角的对应．2．如图，∠ABC＝∠D＝90°，AC＝9cm，BC＝6cm，则当BD＝4cm时，△ABC∽△CDB．【思路点拨】△ABC和△CDB中，已知了∠ABC＝∠D＝90°，如果两三角形相似，那么两三角形的直角边应该对应成比例，据此可求出BD的长．【答案】解：∵∠ABC＝∠D＝90°，∴当时，△ABC∽△CDB；即BD＝＝＝4cm．【点睛】此题主要考查相似三角形的判定的运用，注意边的对应．3．（2018秋•赣榆区期末）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝8，点P是AB边的中点，点Q是BC边上一个动点，当BQ＝1或4时，△BPQ与△BAC相似．【思路点拨】直接利用△BPQ∽△BAC或△BPQ∽△BCA，分别得出答案．【答案】解：当△BPQ∽△BAC时，则＝，∵AB＝4，BC＝8，点P是AB边的中点，∴BP＝2，故＝，解得：BQ＝4；当△BPQ∽△BCA时，则＝，∵AB＝4，BC＝8，点P是AB边的中点，∴BP＝2，故＝，解得：BQ＝1，综上所述：当BQ＝1或4时，△BPQ与△BAC相似．故答案为：1或4．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，正确分类讨论是解题关键．4．（2018秋•秀屿区校级月考）如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝8m，AB＝10m，点P从B点出发，沿BC方向以2m/s的速度移动，点Q从C出发，沿CA方向以1m/s的速度移动．若P、Q同时分别从B、C出发，经过 2.4秒，△CPQ∽△CBA．【思路点拨】设经过t秒时，△CPQ∽△CBA，根据相似三角形的性质得到CP：CB＝CQ：CA，解方程即可得到结论．【答案】解：设经过t秒时，△CPQ∽△CBA，∵如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝8m，AB＝10m，∴由勾股定理求得：AC＝＝＝6（m）．∵△CPQ∽△CBA，∴CP：CB＝CQ：CA，即（8﹣2t）：8＝t：6．∴t＝2.4．故答案是：2.4．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，关键是知道哪些线段对应成比例时两个三角形相似．5．（2019•泰兴市一模）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AB＝1，CD＝2，BC＝m，点P是边BC上一动点，若△PAB与△PCD相似，且满足条件的点P恰有2个，则m的值为3或2．【思路点拨】由平行线得出∠C＝90°，当∠BAP＝∠CDP时，△PAB∽△PDC，得出＝，得出PC＝2PB①，当∠BAP＝∠CPD时，△PAB∽△DPC，得出＝，即PB×PC＝1×2＝2②，由①②得：PB＝1，得出PC＝2，BC＝3；设BP＝x，则＝m﹣x，得出x：2＝1：（m﹣x），整理得：x2﹣mx+2＝0，方程有唯一解时，△＝m2﹣8＝0，解得：m＝±2（负值舍去），得出m＝2；即可得出结论．【答案】解：∵AB∥CD，∠B＝90°，∴∠C+∠B＝180°，∴∠C＝90°，当∠BAP＝∠CDP时，△PAB∽△PDC，∴＝，即＝，∴PC＝2PB①，当∠BAP＝∠CPD时，△PAB∽△DPC，∴＝，即PB×PC＝1×2＝2②，由①②得：2PB2＝2，解得：PB＝1，∴PC＝2，∴BC＝3；设BP＝x，则＝m﹣x，∴x：2＝1：（m﹣x），整理得：x2﹣mx+2＝0，方程有唯一解时，△＝m2﹣8＝0，解得：m＝±2（负值舍去），∴m＝2；综上所述，若△PAB与△PCD相似，且满足条件的点P恰有2个，则m的值为3或2；故答案为：3或2．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的性质、分类讨论；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．二、选择题6．（2019•黔东南州一模）如图，在△ABC中，AB＝7cm，AC＝4cm，点D从B点以每秒2cm的速度向点A移动，点E从A点以每秒1cm的速度向点C移动，若D、E同时出发，同时停止．则经过多少时间△ADE与△ABC相似．（）A．（s）B．（s）C．（s）或（s）D．（s）或（s）【思路点拨】分两种情况：①当△ADE∽△ABC时；②当△AED∽△ABC时；由三角形相似得出对应边成比例，即可求出t的值．【答案】解：设经过t秒△ADE与△ABC相似．∵点D从B点以每秒2cm的速度向点A移动，点E从A点以每秒1cm的速度向点C移动，D、E同时出发，同时停止，∴BD＝2t，AE＝t，∵AB＝7，∴AD＝AB﹣BD＝7﹣2t．分两种情况：①当△ADE∽△ABC时，＝，即＝，解得：t＝；②当△AED∽△ABC时，＝，即＝，解得：t＝．综上所述，经过秒或秒时，△ADE与△ABC相似．故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，进行分类讨论是解题的关键．7．（2018秋•丹东期末）如图，正方形ABCD中，E为AB中点，BC＝4BF，那么图中与△ADE相似的三角形有（）A．△CDF B．△BEF C．△BEF、△DCF D．△BEF，△EDF【思路点拨】根据正方形的性质得设BC＝4a，则BF＝a，AE＝BE＝2a，CF＝3a，利用勾股定理计算出DE＝2a，EF＝a，DF＝5a，然后根据三组对应边的比相等的两个三角形相似可判断△AED∽△BFE，△AED∽△EFD．【答案】解：设BC＝4a，则BF＝a，AE＝BE＝2a，CF＝3a，在Rt△AED中，DE＝＝2a，在Rt△BEF中，EF＝＝a，在Rt△DFC中，DF＝＝5a，∵＝2，＝2，＝2，∴＝＝，∴△AED∽△BFE，同理可得△AED∽△EFD．故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定：三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．也考查了正方形的性质．8．（2018秋•槐荫区期末）如图，下列四个选项不一定成立的是（）A．△COD∽△AOB B．△AOC∽△BOD C．△DCA∽△BAC D．△PCA∽△PBD【思路点拨】利用圆周角定理、园内接四边形的性质一一判断即可；【答案】解：∵∠OCD＝∠OAB，∠COD＝∠AOB，∴△COD∽△AOB．同法可证：△AOC∽△BOD．∵∠PCA+∠ACD＝180°，∠ACD+∠ABD＝180°，∴∠PCA＝∠PBD，∵∠P＝∠P，∴△PCA∽△PBD，故选：C．【点睛】本题考查相似三角形的判定、圆周角定理、圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．9．（2019•庆云县一模）如图，AB是半圆O的直径，D，E是半圆上任意两点，连结AD，DE，AE与BD相交于点C，要使△ADC与△ABD相似，可以添加一个条件．下列添加的条件其中错误的是（）A．∠ACD＝∠DAB B．AD＝DEC．AD2＝BD•CD D．AD•AB＝AC•BD【思路点拨】利用有两组角对应相等的两个三角形相似可对A进行判定；先利用等腰三角形的性质和圆周角定理得到∠DAC＝∠B，然后利用有两组角对应相等的两个三角形相似可对B进行判定；利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对C、D进行判定．【答案】解：A、因为∠ADC＝∠BDA，∠ACD＝∠DAB，所以△DAC∽△DBA，所以A选项添加的条件正确；B、由AD＝DE得∠DAC＝∠E，而∠B＝∠E，所以∠DAC＝∠B，加上∠ADC＝∠BDA，所以△DAC∽△DBA，所以B选项添加的条件正确；C、由AD2＝DB•CD，即AD：DB＝DC：DA，加上∠ADC＝∠BDA，所以△DAC∽△DBA，所以C选项添加的条件正确；D、由AD•AB＝AC•BD得＝，而不能确定∠ABD＝∠DAC，即不能确定点D为弧AE的中点，所以不能判定△DAC∽△DBA，所以D选项添加的条件错误．故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定：三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了圆周角定理．10．（2018春•梁子湖区期中）如图，△ABC中，∠A＝60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，BM，CN交于点O，连接MN．下列结论：①∠AMN＝∠ABC；②图中共有8对相似三角形；③BC＝2MN．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．0个【思路点拨】依据△ABM∽△ACN，即可得出△AMN∽△ABC，进而得到∠AMN＝∠ABC；依据△ABM∽△ACN∽△OBN∽△OCM，△AMN∽△ABC，△BCO∽△NMO，可得图中共有8对相似三角形；依据AN＝AC，△AMN ∽△ABC，即可得到，即BC＝2MN．【答案】解：∵BM⊥AC，CN⊥AB，∴∠ANC＝∠AMB＝90°，又∵∠A＝∠A，∴△ABM∽△ACN，∴，即，又∵∠A＝∠A，∴△AMN∽△ABC，∴∠AMN＝∠ABC，故①正确；由题可得，△ABM∽△ACN∽△OBN∽△OCM，△AMN∽△ABC，△BCO∽△NMO，∴图中共有8对相似三角形，故②正确；∵Rt△ACN中，∠A＝60°，∴∠ACN＝30°，∴AN＝AC，又∵△AMN∽△ABC，∴，即BC＝2MN，故③正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质的综合运用，仔细分析图形并熟练掌握性质是解题的关键．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．11．（2019•宽城区校级模拟）下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（）A．B．C．D．【思路点拨】可利用正方形的边把对应的线段表示出来，利用三边对应成比例两个三角形相似，分别计算各边的长度即可解题．【答案】解：根据勾股定理，AC＝＝2，BC＝，所以，夹直角的两边的比为＝2，观各选项，只有C选项三角形符合，与所给图形的三角形相似．故选：C．【点睛】此题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，三角形对应边比值相等判定三角形相似的方法，本题中根据勾股定理计算三角形的三边长是解题的关键．12．（2019春•潍城区期末）如图，在△ABC中，点P为AB上一点连接CP．若再添加一个条件使△APC与△ACB相似，则下列选项中不能作为添加条件的是（）A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACBC．AP：AC＝AC：AB D．AP：AB＝PC：BC【思路点拨】利用相似三角形的判定可求解．【答案】解：A、当∠ACP＝∠B，∠A＝∠A，可得△APC∽△ACB，故该选项不符合题意；B、当∠APC＝∠ACB，∠A＝∠A，可得△APC∽△ACB，故该选项不符合题意；C、当AP：AC＝AC：AB，∠A＝∠A，可得△APC∽△ACB，故该选项不符合题意；D、当AP：AB＝PC：BC，∠A＝∠A，无法证明△APC∽△ACB，故该选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是本题的关键．13．（2019•玉林）如图，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF与AC交于点G，则是相似三角形共有（）A．3对B．5对C．6对D．8对【思路点拨】图中三角形有：△AEG，△ADC，△CFG，△CBA，因为AB∥EF∥DC，AD∥BC，所以△AEG∽△ADC ∽△CFG∽△CBA，有6种组合【答案】解：图中三角形有：△AEG，△ADC，CFG，△CBA，∵AB∥EF∥DC，AD∥BC∴△AEG∽△ADC∽△CFG∽△CBA共有6个组合分别为：∴△AEG∽△ADC，△AEG∽△CFG，△AEG∽△CBA，△ADC∽CFG，△ADC∽△CBA，△CFG ∽△CBA故选：C．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定．14．（2018秋•昌图县期末）已知△ABC的三边长分别为7.5，9和10.5，△DEF的一边长为5，当△DEF的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似（）A．4，5 B．5，6 C．6，7 D．7，8【思路点拨】先计算出ABC的三边比为5：6：7，然后根据三组对应边的比相等的两个三角形相似进行判断．【答案】解：△ABC的三边长分别为7.5，9和10.5，三边的比为7.5：9：10.5＝5：6：7，而△DEF的一边长为5，所以当△DEF的另两边长分别为6、7时，这两个三角形相似．故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的性质：三组对应边的比相等的两个三角形相似．15．（2019•海港区一模）已知△ABC，D是AC上一点，尺规在AB上确定一点E，使△ADE∽△ABC，则符合要求的作图痕迹是（）A．B．C．D．【思路点拨】以DA为边、点D为顶点在△ABC内部作一个角等于∠B，角的另一边与AB的交点即为所求作的点．【答案】解：如图，点E即为所求作的点．故选：A．【点睛】本题主要考查作图﹣相似变换，根据相似三角形的判定明确过点D作一角等于∠B或∠C，并熟练掌握做一个角等于已知角的作法式解题的关键．三.解答题16．（2019春•海淀区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，E是DC上一点，连接AE．F为AE上一点，且∠BFE ＝∠C求证：△ABF∽△EAD．【思路点拨】由四边形ABCD是平行四边形可以得出AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC，可以得出∠D＝∠AFB，可以得出△ABF∽△EAD．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC，∴∠D+∠C＝180°．∵∠AFE+∠BFE＝180°且∠BFE＝∠C．∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠AED，∴△ABF∽△EAD．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，关键是根据平行四边形的性质和相似三角形的判定的运用解答．17．（2018秋•兰山区期末）如图，已知∠BAE＝∠CAD，AB＝18，AC＝48，AE＝15，AD＝40．求证：△ABC∽△AED．【思路点拨】由∠BAE＝∠CAD知∠BAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，即∠BAC＝∠EAD，再根据线段的长得出＝＝，据此即可得证．【答案】解：∵∠BAE＝∠CAD，∴∠BAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，即∠BAC＝∠EAD，∵AB＝18，AC＝48，AE＝15，AD＝40，∴＝＝，∴△ABC∽△AED．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．18．（2018秋•宜宾县期中）已知如图所示，AF⊥BC，CE⊥AB，垂足分别是F、E，试证明：（1）△BAF∽△BCE．（2）△BEF∽△BCA．【思路点拨】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似即可判断；（2）根据两边成比例夹角相等的两个三角形相似即可证明；【答案】解：（1）∵AF⊥BC，CE⊥AB，∴∠AFB＝∠CEB＝90°，∵∠B＝∠B，（2）∵△BAF∽△BCE，∴＝，∴＝，∵∠B＝∠B，∴△BEF∽△BCA．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，属于中考常考题型．19．（2018秋•姜堰区校级月考）如图，点B、D、E在一条直线上，BE与AC相交于点F，＝＝．（1）求证：∠BAD＝∠CAE；（2）若∠BAD＝21°，求∠EBC的度数：（3）若连接EC，求证：△ABD∽△ACE．【思路点拨】（1）根据相似三角形的性质定理得到∠BAC＝∠DAE，结合图形，证明即可；（2）根据相似三角形的性质即可得到结论；（3）根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【答案】（1）证明：∵＝＝．∴△ABC～△ADE；∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAF＝∠DAE﹣∠DAF，即∠BAD＝∠CAE；（2）解：∵△ABC～△ADE，∴∠ABC＝∠ADE，∵∠ABC＝∠ABE+∠EBC，∠ADE＝∠ABE+∠BAD，∴∠EBC＝∠BAD＝21°；（3）证明：连接CE，∵△ABC～△ADE，∴∠BAC﹣∠DAF＝∠DAE﹣∠DAF，即∠BAD＝∠CAE，∵＝．∴△ABD∽△ACE．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．20．（2017秋•望江县期末）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点，（1）求证：AC2＝AB•AD；（2）求证：△AFD∽△CFE．【思路点拨】（1）根据两组对角对应相等的两个三角形相似证明即可；（2）根据直角三角形的性质得到CE＝BE＝AE，根据等腰三角形的性质得到∠EAC＝∠ECA，推出AD∥CE即可解决问题；【答案】（1）证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB，∵∠ADC＝∠ACB＝90°，∴△ADC∽△ACB，∴AD：AC＝AC：AB，∴AC2＝AB•AD；（2）证明：∵E为AB的中点，∴CE＝BE＝AE，∴∠EAC＝∠ECA，∵∠DAC＝∠CAB，∴∠DAC＝∠ECA，∴CE∥AD，∴△AFD∽△CFE．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行线的判定，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．21．如图，点C，D在线段AB上，且△PCD是等边三角形．（1）当AC，CD，DB满足怎样的数量关系时，△ACP∽△PDB，说明你的理由．（2）当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数．【思路点拨】（1）根据等边三角形的性质得到∠PCD=∠PDC=60°，PC=CD=PD，根据外角的性质得到∠ACP=∠PDB=120°，然后根据相似三角形的判定即可得到结论；（2）根据相似三角形的性质得到∠APC=∠PBD，根据外角的性质得到∠DPB+∠DBP=60°，于是得到结论．【答案】解：（1）当CD2=AC•DB时，△ACP∽△PDB，∵△PCD是等边三角形，∴∠PCD=∠PDC=60°，PC=CD=PD，∴∠ACP=∠PDB=120°，∵CD2=AC•DB，∴=，即=，∴△ACP∽△PDB；（2）∵△ACP∽△PDB，∴∠APC=∠PBD，∵∠PDB=120°，∴∠DPB+∠DBP=60°，∴∠APC+∠BPD=60°，∴∠APB=∠CPD+∠APC+∠BPD=120°．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．22．如图所示，Rt△ABC中，已知∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不能到达点B，C），过点D作∠ADE=45°，DE交AC于点E．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．【思路点拨】（1）首先根据等腰直角三角形的两个底角都是45°，得到一对对应角相等；再根据三角形的外角的性质得到∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD，从而证明∠EDC=∠BAD，根据两个角对应相等，得到两个三角形相似；（2）根据等腰三角形的定义，此题要分三种情况进行分析讨论．根据等腰三角形的性质进行计算．【答案】（1）证明：Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，∴∠B=∠C=45°．∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADC=∠ADE+∠EDC，∴∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD．又∵∠ADE=45°，∴45°+∠EDC=45°+∠BAD．∴∠EDC=∠BAD．∴△ABD∽△DCE．（2）解：讨论：①若AD=AE时，∠DAE=90°，此时D点与点B重合，不合题意．②若AD=DE时，△ABD与△DCE的相似比为1，此时△ABD≌△DCE，于是AB=AC=2，BC=2，AE=AC﹣EC=2﹣BD=2﹣（2﹣2）=4﹣2③若AE=DE，此时∠DAE=∠ADE=45°，如下图所示易知AD⊥BC，DE⊥AC，且AD=DC．由等腰三角形的三线合一可知：AE=CE=AC=1．【点睛】熟练运用等腰直角三角形的性质，特别注意第二问要分情况进行讨论解题．。

浙教版数学九年级上册同步测试：4.4 两个三角形相似的判定 .docx

浙教版九年级数学上册同步测试：4.4 两个三角形相似的判定一、选择题1．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，直径AC=6，对角线AC、BD交于E点，且AB=BD，EC=1，则AD的长为（）A．B．C．D．32．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠ACD=90°，AB=2，DC=3，则△ABC与△DCA的面积比为（）A．2：3 B．2：5 C．4：9 D．：3．如图，△ABC中，AD、BE是两条中线，则S△EDC ：S△ABC=（）A．1：2 B．2：3 C．1：3 D．1：44．如图，在△ABC中，两条中线BE、CD相交于点O，则S△DOE ：S△COB=（）A．1：4 B．2：3 C．1：3 D．1：25．如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，BD=2AD ，DE ∥BC 交AC 于点E ，若线段DE=5，则线段BC 的长为（）A ．7.5B ．10C ．15D ．206．如图，△ABC 中，AE 交BC 于点D ，∠C=∠E ，AD ：DE=3：5，AE=8，BD=4，则DC 的长等于（）A ．B ．C ．D ．7．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 上，DE ∥BC ，AD=CE ．若AB ：AC=3：2，BC=10，则DE 的长为（）A ．3B ．4C ．5D ．68．如图，四边形ABCD 、CEFG 都是正方形，点G 在线段CD 上，连接BG 、DE ，DE 和FG 相交于点O ，设AB=a ，CG=b （a ＞b ）．下列结论：①△BCG ≌△DCE ；②BG ⊥DE ；③=；④（a ﹣b ）2•S △EFO =b 2•S △DGO ．其中结论正确的个数是（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个9．如图：把△ABC 沿AB 边平移到△A ′B ′C ′的位置，它们的重叠部分（即图中阴影部分）的面积是△ABC 面积的一半，若AB=，则此三角形移动的距离AA ′是（）A ．﹣1B ．C ．1D ．10．如图，在△ABC 中，AB=BC ，∠ABC=90°，BM 是AC 边中线，点D ，E 分别在边AC 和BC 上，DB=DE ，EF ⊥AC 于点F ，以下结论：（1）∠DBM=∠CDE ；（2）S △BDE ＜S 四边形BMFE ；（3）CD •EN=BN •BD ；（4）AC=2DF ．其中正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题11．如图，AE ，BD 交于点C ，BA ⊥AE 于点A ，ED ⊥BD 于点D ，若AC=4，AB=3，CD=2，则CE= ．12．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，DE ∥BC ．若AD=4，DB=2，则的值为．13．如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆⊙O的直径，且AB=4，AC=5，AD=4，则⊙O的直径AE=．14．如图，△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，则△ADE与△ABC的面积比为．15．如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等，则=．16．如图，在△ABC中，DE∥BC，=，△ADE的面积是8，则△ABC的面积为．17．如图，在直角坐标系xOy中，点A在第一象限，点B在x轴的正半轴上，△AOB为正三角形，P n=2n 射线OC⊥AB，在OC上依次截取点P1，P2，P3，…，P n，使OP1=1，P1P2=3，P2P3=5，…，P n﹣1﹣1（n为正整数），分别过点P1，P2，P3，…，P n向射线OA作垂线段，垂足分别为点Q1，Q2，Q3，…，Q n，则点Q n的坐标为．18．如图，在△ABC中，AB=AC=15，点D是BC边上的一动点（不与B，C重合），∠ADE=∠B=∠α，DE交AB于点E，且tan∠α=，有以下的结论：①△ADE∽△ACD；②当CD=9时，△ACD与△DBE全等；③△BDE为直角三角形时，BD为12或；④0＜BE≤，其中正确的结论是（填入正确结论的序号）19．如图，在平面直角坐标系中，等腰△OBC的边OB在x轴上，OB=CB，OB边上的高CA与OC边上的高BE相交于点D，连接OD，AB=，∠CBO=45°，在直线BE上求点M，使△BMC与△ODC相似，则点M的坐标是．20．如图，△ABC，∠C=90°，AC=BC=a，在△ABC中截出一个正方形A1B1C1D1，使点A1，D1分别在AC，BC边上，边B1C1在AB边上；在△BC1D1在截出第二个正方形A2B2C2D2，使点A2，D2分别在BC1，D1C1边上，边B2C2在BD1边上；…，依此方法作下去，则第n个正方形的边长为．21．如图，已知△ABC中，AB=5，AC=3，点D在边AB上，且∠ACD=∠B，则线段AD的长为．22．如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=90°，直线l1∥l2∥l3，l1与l2之间距离是1，l2与l3之间距离是2，且l1，l2，l3分别经过点A，B，C，则边AC的长为．23．将一副三角板按图叠放，则△AOB与△DOC的面积之比等于．一、选择题1．A；2．C；3．D；4．A；5．C；6．A；7．B；8．B；9．A；10．C；二、填空题11．；12．；13．5；14．1：4；15．；16．18；17．（n2，n2）；18．②③；19．（1，-1）或（-，）；20．（）n a；21．；22．；23．1：3；初中数学试卷鼎尚图文**整理制作。

2019秋浙教版数学九年级上册同步测试试题：4.4 两个三角形相似的判定

4．4 两个三角形相似的判定第1课时两个三角形相似的判定(一)知识点．相似三角形的判定定理11．下列条件中，能判定两个等腰三角形相似的是(C)A．都含有一个30°的内角B．都含有一个45°的内角C．都含有一个60°的内角D．都含有一个80°的内角【解析】有一个60°的内角的等腰三角形是等边三角形，所有的等边三角形相似，故C正确．2．如图1，BC∥FG∥ED，若每两个三角形相似，构成一组相似三角形，那么图中相似的三角形的组数是(C)图1A．1 B．2C．3 D．4【解析】∵BC∥FG∥ED，∴△ABC∽△AFG，△AFG∽△ADE，△ABC∽△ADE，∴图中相似的三角形的组数是3组．3．如图2，如果∠B＝∠C，那么__△BAE__∽__△CAD__，__△BOD__∽__△COE__．图2【解析】∵∠BAE＝∠CAD，∠B＝∠C，∴△BAE∽△CAD；∵∠BOD＝∠COE，∠B＝∠C，∴△BOD∽△COE.4．[2018·武汉模拟]如图3，AB∥DE，AC∥DF，点B，E，C，F在一条直线上，求证：△ABC∽△DEF.图3证明：∵AB∥DE，AC∥DF，∴∠B＝∠DEF，∠F＝∠ACB，∴△ABC∽△DEF.5．如图4，D是AC上一点，DE∥AB，∠B＝∠DAE.求证：△ABC∽△DAE.图4证明：∵DE∥AB，∴∠CAB＝∠EDA.又∵∠B＝∠DAE，∴△ABC∽△DAE.6．如图5，在正方形ABCD中，P是BC边上与B，C不重合的任意点，DQ⊥AP 于Q.证明：△DQA∽△ABP.图5证明：∵DQ⊥AP，∴∠AQD＝90°，∴∠QDA＋∠DAQ＝90°，∵在正方形ABCD中，∠BAD＝90°，∴∠BAP＋∠DAQ＝90°，∴∠BAP＝∠QDA，又∵∠B＝∠AQD＝90°，∴△DQA∽△ABP.易错点：用“两角分别相等的两个三角形相似”判定时忽视隐含条件．7．结合图6及所给条件，无相似三角形的是(C)图6A．如图①，∠ADE＝∠CB．如图②，∠ACD＝∠BC．如图③，∠B＝∠AEBD．如图④，AB∥DE第2课时两个三角形相似的判定(二)知识点1.相似三角形的判定定理21．如图1，已知正方形ABCD的边长AD＝4，PC＝1，CQ＝DQ＝2.求证：△ADQ∽△QCP.图1证明：∵PCDQ＝12，CQAD＝24＝12，∴PCDQ＝CQAD，又∵∠D＝∠C＝90°，∴△ADQ∽△QCP.2．如图2，AB＝3AC，BD＝3AE，BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上．求证：△ABD∽△CAE.图2证明：∵BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上，∴∠B＝∠CAE，又∵ABAC ＝BDAE＝3，∴△ABD∽△CAE.3．如图3，直线EF分别交AB，AC于F，E，交BC延长线于D，已知AB·BF ＝DB·BC.求证：AE·CE＝DE·EF.图3证明：∵AB·BF＝DB·BC，∴AB∶BC＝DB∶BF.∵∠B为公共角，∴△BAC∽△BDF，∴∠A＝∠D.又∵∠AEF＝∠DEC，∴△AEF∽△DEC，∴AE∶EF＝DE∶CE.∴AE·CE＝DE·EF.知识点2.相似三角形的判定定理34．△ABC三条边的长分别为2，3，4，△A′B′C′的两边长分别为1，1.5，要使△ABC∽△A′B′C′，那么△A′B′C′中的第三边长应该是(A)A．2 B.2C．4 D．225．△ABC的三边长分别为6，8，12，△A1B1C1的三边长分别为2，3，2.5，△A2B2C2的三边长分别为6，3，4，则__△ABC__与__△A2B2C2__相似．【解析】∵6∶3＝2，8∶4＝2，12∶6＝2，三边对应成比例，∴△ABC与△A2B2C2相似．6. 如图4，四边形ABCD ，DCFE ，EFGH 是三个正方形．求∠1＋∠2＋∠3的度数．图4解：设正方形的边长是1，∵AB ＝BC ＝CF ＝FG ＝1，∴BF ＝2，BG ＝3，由勾股定理得AC ＝2，AF ＝5，AG ＝10，∴CF AC ＝12＝22，AC CG ＝22，AF AG ＝510＝22， ∴CF AC ＝AC CG ＝AF AG ，∴△ACF ∽△GCA ，∴∠1＝∠F AC ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠3＝45°，∴∠2＋∠F AC ＝∠3＝45°，∴∠1＋∠2＝45°，∴∠1＋∠2＋∠3＝90°.易错点：计算对应边的比时，找错对应关系．7．如图5，在4×4的正方形方格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．图5(1)填空：∠DEF ＝__135°__，DE ＝；(2)判断△ABC 与△DEF 是否相似，并证明你的结论．解：(2)相似．证明：在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝22＋22＝22，AC ＝42＋22＝25，在△DEF 中，EF ＝2，DE ＝2，DF ＝12＋32＝10， ∵AB DE ＝22＝2，BC EF ＝222＝2，AC DF ＝2510＝2， ∴AB DE ＝BC EF ＝AC DF ，∴△ABC ∽△DEF .。

度浙教新版九年级数学上第4章相似三角形 4.4两个三角形相似的判定同步练习(有答案)

浙教新版数学九年级上学期《4.4两个三角形相似的判定》同步练习一．选择题（共12小题）1．如图，10×2网格中有一个△ABC，图中与△ABC相似的三角形的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（）A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABC C．AB2=AD•AC D．=3．如图，点P在△ABC的边AC上，如果添加一个条件后可以得到△ABP∽△ACB，那么以下添加的条件中，不正确的是（）A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C．AB2=AP•AC D．4．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC平分∠DAB，且∠DAC=∠DBC，那么下列结论不一定正确的是（）A．△AOD∽△BOC B．△AOB∽△DOC C．CD=BC D．BC•CD=AC•OA 5．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，且∠AED=∠B，再将下列四个选项中的一个作为条件，不一定能使得△ADE和△BDF相似的是（）A．B．C．D．．6．下列说法：①所有等腰三角形都相似；②有一个底角相等的两个等腰三角形相似；③有一个角相等的等腰三角形相似；④有一个角为60°的两个直角三角形相似，其中正确的说法是（）A．②④B．①③C．①②④D．②③④7．如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的（）A．=B．=C．=D．=8．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC=∠A，BC=，AC=3，则CD 的长为（）A．1B．C．2D．9．如图，△ABC中，AD是中线，BC=4，∠B=∠DAC，则线段AC的长为（）A．B．2C．3D．10．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且==，则S△ADE：S四边形BCED的值为（）A．1：B．1：3C．1：8D．1：911．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A．3：4B．9：16C．9：1D．3：112．如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP=1，D为AC上一点，若∠APD=60°，则CD的长是（）A．B．C．D．二．填空题（共8小题）13．在△ABC中，AB=9，AC=6．点M在边AB上，且AM=3，点N在AC边上．当AN=时，△AMN与原三角形相似．14．如图，已知：∠ACB=∠ADC=90°，AD=2，CD=2，当AB的长为时，△ACB与△ADC相似．15．如图，要使△ABC∽△ACD，需补充的条件是．（只要写出一种）16．如图，在平面直角坐标系中有两点A（4，0）、B（0，2），如果点C在x轴上（C与A不重合），当点C的坐标为或时，使得由点B、O、C组成的三角形与△AOB相似（至少找出两个满足条件的点的坐标）．17．如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=5，P为CD边上的动点，当△ADP与△BCP 相似时，DP=．18．如图，在▱ABCD中，AC是一条对角线，EF∥BC，且EF与AB相交于点E，与AC相交于点F，3AE=2EB，连接DF．若S△AEF=1，则S△ADF的值为．19．如图，平行四边形ABCD中，E为AD的中点，已知△DEF的面积为1，则平行四边形ABCD的面积为．20．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，若BD=1，AD=3，则CD=．三．解答题（共8小题）21．如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=6cm，CD=4cm，BD=14cm，点P在BD上由点B向点D方向移动，当点P移到离点B多远时，△APB和△CPD相似？22．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，（1）求证：AC2=AB•AD；（2）求证：△AFD∽△CFE．23．如图，在矩形ABCD中，已知AB=24，BC=12，点E沿BC边从点B开始向点C以每秒2个单位长度的速度运动；点F沿CD边从点C开始向点D以每秒4个单位长度的速度运动，如果E、F同时出发，用t（0≤t≤6）秒表示运动的时间，当t为何值时，以点E、C、F为顶点的三角形与△ACD相似？24．如图，在平面直角坐标系中，已知OA=12厘米，点P从点O开始沿OA边向点A以1厘米/秒的速度移动．：点Q从点B开始沿BO边向点O以1厘米/秒的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0≤t≤6），那么，当t为何值时，△POQ与△AOB相似？25．如图，△ABC中，AB=8厘米，AC=16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是多少？26．如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且BD=CE，AD与BE相交于点F．（1）试说明△ABD≌△BCE；（2）△EAF与△EBA相似吗？说说你的理由．27．如图，在矩形ABCD中，AD=6，AB=8，M是AD的中点，N，E是BC的三等分点，P是AB上一动点．（1）当MP∥BD时，求MP的长；（2）是否存在点P，满足△AMP与一点B，N，P为顶点的三角形相似？若存在，求出AP的长；若不存在，说明理由．28．已知：在△ABC中∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，点E在AC上，BE交CD于点G，EF⊥BE交AB于点F．如图甲，当AC=BC时，且CE=EA时，则有EF=EG；（1）如图乙①，当AC=2BC时，且CE=EA时，则线段EF与EG的数量关系是：EF EG；（2）如图乙②，当AC=2BC时，且CE=2EA时，请探究线段EF与EG的数量关系，并证明你的结论；（3）当AC=mBC时且CE=nEA时，则线段EF与EG的数量关系，并直接写出你的结论（不用证明）．参考答案一．选择题1．C．2．D．3．D．4．D．5．C．6．A．7．C．8．C．9．A．10．C．11．B．12．C．二．填空题13．2或4.5．14．4．15．∠ACD=∠B或∠ADC=∠ACB或AD：AC=AC：AB时16．﹣1，0）；（1，0）．17．1或4或2.5．18．．19．12．20．9三．解答题21．解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠B=∠D=90°，∴当或时，△PAB与△PCD是相似三角形，∵AB=6，CD=4，BD=14，∴或，解得：BP=2或12或，即PB=2或12或时，△PAB与△PCD是相似三角形．22．（1）证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∵∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，∴AD：AC=AC：AB，∴AC2=AB•AD；（2）证明：∵E为AB的中点，∴CE=BE=AE，∴∠EAC=∠ECA，∵∠DAC=∠CAB，∴∠DAC=∠ECA，∴CE∥AD，∴△AFD∽△CFE．23．解：根据题意，可分为两种情况：①若△EFC∽△ACD，则=，所以=，解得t=3，即当t=3时，△EFC∽△ACD．②若△FEC∽△ACD，则=，所以=，解得t=1.2，即当t=1.2时，△FEC∽△ACD．因此，当t为3或1.2时，以点E，C，F为顶点的三角形与△ACD相似．24．解：①若△POQ∽△AOB时，=，即=，整理得：12﹣2t=t，解得：t=4．②若△POQ∽△BOA时，=，即=，整理得：6﹣t=2t，解得：t=2．∵0≤t≤6，∴t=4和t=2均符合题意，∴当t=4或t=2时，△POQ与△AOB相似．25．解：设运动了ts，根据题意得：AP=2tcm，CQ=3tcm，则AQ=AC﹣CQ=16﹣3t（cm），当△APQ∽△ABC时，，即，解得：t=；当△APQ∽△ACB时，，即，解得：t=4；故当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是：s或4s．26．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠ABD=∠BCE=∠BAC，又∵BD=CE，∴△ABD≌△BCE；（2）答：相似；理由如下：∵△ABD≌△BCE，∴∠BAD=∠CBE，∴∠BAC﹣∠BAD=∠CBA﹣∠CBE，∴∠EAF=∠EBA，又∵∠AEF=∠BEA，∴△EAF∽△EBA．27．解：（1）∵PM∥BD，AM=MD，∴AP=PB，∴PM=BD，∵BD==10，∴PM=5．（2）存在点P使得两三角形相似．∵BN=4，设AP=x，则PB=8﹣x，当△MAP∽△NBP时，解得x=．当△MAP∽△PBN时，解得x=2或6，∴存在点P使得两三角形相似，此时AP的长为或2或4．28．图甲：连接DE，∵AC=BC，CD⊥AB，∴AD=BD，∠ACD=45°，∴CD=AD=AB，∵AE=EC，∴DE=AE=EC=AC，∴∠EDC=45°，DE⊥AC，∵∠A=45°，∴∠A=∠EDG，∵EF⊥BE，∵∠AEF+∠FED=∠EFD+∠DEG=90°，∴∠AEF=∠DEG，∴△AEF≌△DEG（ASA），∴EF=EG．（1）EF=EG；（2）解：EF=EG．证明：作EM⊥AB于点M，EN⊥CD于点N，∵EM∥CD，∴△AEM∽△ACD，即EM=CD，同理可得，EN=AD，∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴tanA=，又∵EM⊥AB，EN⊥CD，∴∠EMF=∠ENG=90°，∵EF⊥BE，∴∠FEM=∠GEN，∴△EFM∽△EGN，即EF=EG；（3）由（1）当AC=2BC时，且CE=EA时，EF=EG，当AC=2BC时，且CE=2EA时，EF=EG，可以得出：当AC=mBC时且CE=nEA时，EF=EG．。

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