4-4协方差和相关系数

合集下载

协方差cov与相关系数公式

协方差cov与相关系数公式协方差（covariance）和相关系数（correlation coefficient）是统计中常用于描述两个随机变量之间关系的概念。

协方差度量了两个变量的变动趋势是否一致，而相关系数则更进一步地衡量了两个变量的线性相关程度。

1.协方差:协方差是用来衡量两个随机变量的变动程度是否相似。

假设有两个随机变量X和Y，其协方差定义为：cov(X,Y) = E[(X - E[X])(Y - E[Y])]，其中E[]表示期望值。

协方差的正负号表示了X和Y之间的线性关系的方向，具体解释如下：-当协方差为正时，表示X和Y的变动趋势是一致的，即X增加时Y也增加，或者X减少时Y也减少。

-当协方差为负时，表示X和Y的变动趋势是相反的，即X增加时Y减少，或者X减少时Y增加。

-当协方差接近于0时，表示X和Y之间没有线性关系，即X和Y之间的变动趋势是独立的。

2.相关系数:相关系数是衡量两个随机变量之间线性关系强弱的度量。

相关系数的取值范围是[-1,1]，其定义为：ρ(X,Y) = cov(X,Y) / (σ(X)σ(Y))，其中σ(表示标准差。

相关系数衡量了两个变量之间的线性关系程度，具体解释如下：-当相关系数接近于1时，表示X和Y之间存在强正向线性关系，即X增加时Y也增加，或者X减少时Y也减少。

-当相关系数接近于-1时，表示X和Y之间存在强负向线性关系，即X增加时Y减少，或者X减少时Y增加。

-当相关系数接近于0时，表示X和Y之间没有线性关系，即X和Y 之间的变动趋势是独立的。

相关系数的计算可以通过协方差和标准差来获得。

相关系数是对协方差进行标准化的产物，因此可以消除量纲对结果的影响。

3.协方差和相关系数的关系:相关系数是协方差的一种标准化形式，通过除以两个变量的标准差来消除量纲。

相关系数一定在[-1,1]的范围内取值，而协方差的范围很大，因此相关系数更容易从其值直观地判断两个变量之间的关系。

协方差和相关系数之间的关系可以使用下面的公式表示：ρ(X,Y) = cov(X,Y) / (σ(X)σ(Y)) = cov(X,Y) /(sqrt(var(X))sqrt(var(Y)))，其中var(表示方差。

概率论教学课件第四章4.4协方差与相关系数

1
一、协方差
对于二维随机变量(X,Y),讨论描述X与Y之间相互依赖关系的数字特征.
X与Y相互独立 E[(X EX )(Y EY )] 0
或者：E[(X EX )(Y EY )] 0 X与Y一定不相互独立
定义1. 若E[(X EX )(Y EY )]存在, 则称E[(X EX )(Y EY )]为X与Y的协方差.
(连续型)．
-
3
或者用以下公式计算
Cov(X , Y ) E(XY ) EX EY
Cov (X , Y ) E[(X EX )(Y EY )]
E(XY XEY YEX EXEY ) E(XY ) EX EY EX EY EX EY E(XY ) EX EY
4
定义2* 设 DX 0 , DY 0，称X,Y的标准化随机变量
X , Y 的协方差 Cov ( X , Y ) 为X与Y的相关系数.
记为 XY , 即
XY Cov( X , Y ) E( X Y ) EX EY E( X Y )
E[( X EX )(Y EY )] Cov( X ,Y ) .
其逆命题不真！
注:若Cov X,Y 0,即E XY EXEY,则X与Y不相互独立.
4. D(X Y ) DX DY 2Cov(X , Y ).
5
例4.14 设二维随机变量(X,Y )的联合分布列为
XY 0 1 pi 0 0.2 0.3 0.5 1 0.5 0 0.5
p j 0.7 0.3
1 R
2
R
dx
R
R2 x2
xydy
R2 x2
0，
Cov(X , Y ) E(XY ) EXEY 0 00 0 .
8
Cov(X , Y ) E(XY ) EXEY 0 .

协方差与相关系数

Cov(X,Y)= E(XY)-E(X)E(Y)
• 任意两个随机变量X与Y的和的方差为 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)
协方差的性质
1. C ov(X,X)D (X)
2. C o v(X ,Y ) C o v(Y ,X ) 3. C o v (a X ,b Y ) a b C o v ( Y ,X )a,b是常数
• 性质3:若X与Y相互独立,则ρXY=0.
• 性质1:随机变量X和Y的相关系数满足|ρXY|≤1.
证明则
令 XXE(X) YYE(Y)
D (X)
D (Y)
X 2 Y(E{X [E D((X X))D ]Y([Y )E(Y)]} 2 )
(E {X [E (X )]Y [E (Y )]} 2 [ )E (X * Y *2 )] D (X ) D (Y )
XY
Co(vX,Y) 0 D(X) D(Y)
§2.2 相关系数的含义
• 考虑以X的线性函数a+bX来近似表示Y.以均方误差
e=E{[Y-(a+bX)]2}
=E(Y2)+b2E(X2)+a2-2bE(XY)+2abE(X)-2aE(Y)
来衡量以a+bX近似表达Y的好坏程度.e的值越小表示
a+bX与Y的近似程度越好.为此令
=E{[a(X-E(X))][b(Y-E(Y))]} =abE{[X-E(X)][Y-E(Y)]} =abCov(X,Y)
• 定理:Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z) 证明 Cov(X+Y,Z)
=E{[(X+Y)-E(X+Y)][Z-E(Z)] = E{[(X-E(X))+(Y-E(Y))][Z-E(Z)]} = E{[X-E(X)][Z-E(Z)]

协方差公式相关系数

协方差公式相关系数
协方差(covariance)定义为：
cov（x,x）=var（x）协方差是对x与y之间联动关系的一种测度，即测量x与y的同步性。

当x与y同时出现较大值或者较小值时，cov>0,二者正相关。

若x出现较大值时y出现较小值，cov<0，二者负相关。

该相关关系并不意味着因果关系
计算方式：
e为期望算子，\mu 为总体平均值。

从该式中我们可以发现，cov的大小与x、y的大小有关。

为
了无量纲化，要对其进行标准化。

就有了相关系数的概念。

相关系数定义为：
就是协方差除了xy各自的标准差，这样才能刻画xy之间联动性的强弱。

这里需要注意的是，相关系数应该叫线性相关系数，它只能反映线性关系。

为何只能是线性关系的测度？
证明：
给出一个线性函数，y=a+bx (b \ne0 ,x的方差存在）
则，
所以，当x与y完全线性的时候，总有相关系数为1或者为-1.
扩展到一般线性模型：y=a+bx+ \varepsilon
其中， \varepsilon满足e（\varepsilon）=0，var （\varepsilon）=\sigma^{2}
同理可证，
这里，相关系数与1之间的偏离程度就受
\sigma_{\varepsilon}^{2}/\sigma_{x}^{2} 的影响。

所以它衡量的只是线性关系，绝对值不会超过1。

协方差及相关系数及其性质

3. 说明
(1) X 和 Y 的相关系数又称为标准协方差, 它是一个无量纲的量. (2) 若随机变量 X 和 Y 相互独立 Cov(X ,Y ) E{[X E( X )][Y E(Y )]}
E[X E( X )]E[Y E(Y )] 0. (3) 若随机变量 X 和 Y 相互独立
协方差及相关系数及其性质
一、协方差与相关系数的概念及性质二、相关系数的意义
一、协方差与相关系数的概念及性质
1. 问题的提出
若随机变量 X 和 Y 相互独立,那么 D( X Y ) D( X ) D(Y ).
若随机变量 X 和 Y 不相互独立 D( X Y ) ?
D( X Y ) E( X Y )2 [E( X Y )]2 D( X ) D(Y ) 2E{[X E( X )][Y E(Y )]}. 协方差
例1
设
( X ,Y
)
~
N
(
μ1
,
μ2
,
σ12
,
σ
2 2
,
ρ),
试求
X
与Y
的
相关系数.
解由 f (x, y)
1
2πσ1σ2 1 ρ2
1 exp2(1 ρ2 )
(
x
μ1 )2 σ12
2ρ(
x
μ1)( y σ1σ2
μ2
)
(
y
μ2 σ22
)2
fX (x)
1
e ,
(
x μ1 2σ12
D( X Y ) D( X ) D(Y ) 2E{[ X E( X )][Y E(Y )]}
D( X ) D(Y ) 2Cov( X ,Y ) D( X ) D(Y ).

协方差和相关系数

§4.4 协方差和相关系数随机变量的数字特征，包括数学期望、方差、协方差和相关系数等。

协方差和相关系数是考虑两个随机变量之间的某种关系。

协方差的意义不太直观，它考察两个随机变量(随机向量)与各自均值之差的加权平均值，相关系数则是考虑两个随机变量取值之间的关系。

1. 协方差定义：对两个随机变量X 、Y ，称E X EX Y EY [()()]--为X 与Y 的协方差，记为Cov (X , Y )，即 C o vX Y E X EX Y EY (,)[()()]=-- 2. 相关系数定义：对两个随机变量X 、Y ，称C o vX YD X D Y (,)()()为X 与Y 的相关系数或标准协方差，记为ρXY ，即ρXY Cov X Y D X D Y =(,)()()3. 方差、协方差的运算性质(1) D X Y D X D Y Cov X Y ()()()(,)+=++2 (2) Cov X Y E XY E X E Y (,)()()()=-⋅ 推论：若随机变量X 、Y 独立，则 Cov X Y XY (,)==ρ0Problem ：若Cov X Y XY (,)==ρ0，则X 、Y 是否独立？ (3) Cov X Y Cov Y X (,)(,)= (4) Cov aX bY abCov X Y (,)(,)=(5) Cov X X Y Cov X Y Cov X Y (,)(,)(,)1212+=+Cov X X Y Cov X Y Cov X Y (,)(,)(,)1212-=-4. 相关系数的性质(1) 柯西-许瓦兹(Cauchy-Schwarz)不等式：对任意两个随机变量X 、Y ，若E X E Y ()()22<∞<∞ , ，则 (())()()E XY E X E Y 222≤⋅ 证明：对任意实数t ，有q t E X tY E X t E Y tE XY ()(())()()()=+=++≥222220 因此，二次方程q t ()=0的判别式 440222(())()()E XY E X E Y -⋅≤即(())()()E XY E X E Y 222≤⋅ 证毕。

协方差及相关系数

+∞
=0
ρX X
所以 X 与 X 不相关
( 3 ) 独立性由其定义来判断
对于任意的常数 a > 0 , 事件 ( X < a ) ( X < a ), 且 P ( X < a ) > 0 , P ( X < a ) < 1,因此有 P( X < a, X < a) = P( X < a) P ( X < a)P( X < a) < P( X < a) 所以 P ( X < a , X < a ) ≠ P ( X < a ) P ( X < a ) 故 X 与 X 不独立
Cov ( X , Y ) = E ( XY ) EXEY = pq Cov ( X , Y ) ρ XY = =1 DX DY
例2 设 ( X ,Y ) ~ N ( μ1, σ12,μ2,σ22,ρ), 求 ρXY 解
令 x μ1
Cov ( X ,Y ) = ∫
σ1 y μ2 =t σ2
=s
ξ ,η 为 X , Y的线性组合
所以 ξ ,η 都服从正态分布 N ( 0, + b )σ ) (a
2 2 2
在正态分布中 , 不相关与独立是等价的
所以当 a = b 时, ξ ,η 独立当 a ≠ b 时, ξ ,η 不独立
( 3) 当ξ ,η 相互独立时 , 即a 2 = b 2 , ξ ,η 都服从
例1 已知 X ,Y 的联合分布为 X Y 1 0 p 0 0 q 1 0 0 < p <1 p+q=1
求 Cov (X ,Y ), ρXY 解 X P 1 p 0 q Y P 1 p 0 q XY P 1 p 0 q

协方差矩阵和相关系数矩阵的关系

协方差矩阵和相关系数矩阵的关系
协方差矩阵和相关系数矩阵在统计学中都有着重要的作用，它们之间存在着联系。

重要的是要理解这种联系，对于数据分析来说有着重要的意义。

一、协方差矩阵
协方差矩阵是衡量两组数据之间变化关系的度量，它提供了两个变量之间的变化情况，在数据分析中起着重要作用。

协方差矩阵是一种表示多元变量之间关联程度的矩阵，其中有N×N元素，N为变量的个数。

协方差矩阵的计算公式为：
cov(X,Y)=∑(xx)(yy)/n
其中，x和y分别是X和Y的样本值，x,y分别是X和Y的平均值，n为样本容量。

协方差矩阵可以用于衡量两组数据之间的变化关系，如果两组数据之间的变化一致，协方差矩阵的值将是正的；如果两组数据之间的变化相反，则协方差矩阵的值将为负的；如果两组数据之间没有任何关系，则协方差矩阵的值将为0。

二、相关系数矩阵
相关系数矩阵是用来研究两个或多个变量之间关系的一种统计
度量，它反映了变量之间的线性关系。

它介于-1和1之间，表示当这两个变量发生变化时，系数值越接近1，说明这两个变量之间的相关性越强；系数值越接近-1，说明这两个变量之间的负相关性越强；
如果系数值为0，说明这两个变量之间毫无关系。

相关系数矩阵的计算公式为：
r=cov(X,Y)/σxσy
其中，cov(X,Y)是协方差，σx,σy分别是X和Y的标准差。

总结
综上所述，协方差矩阵和相关系数矩阵之间有着密切的关系，协方差矩阵衡量的是两个变量之间的相关程度，而相关系数矩阵衡量的是两个变量之间的线性关系。

在数据分析中，理解这种联系，可以帮助我们更好地分析数据，提高分析的准确性。

协方差和相关系数

例10. 设A和B是随机试验E的两个事件，且 P ( A) > 0, P ( B ) > 0, 定义随机变量 ξ ,η 如下： ⎧1, ξ =⎨
当A发生 ⎧1, 当B发生 η =⎨ ⎩0, 当A不发生 ⎩0, 当B不发生
验证，若 ξ ,η 不相关，则 ξ ,η 必相互独立。解：设事件 A = {ξ = 1}, 则 A = {ξ = 0}, 事件 B = {η = 1}, 则 B = {η = 0}, 显然 E (ξη ) = P ( AB)
E (ξ ) = P( AB ) + P ( AB) E (η ) = P( A B) + P( AB)
由于 B, B 互逆，所以 P( A) = P( AB) + P( AB ) = E (ξ )
由于 A, A 互逆，所以 P( B) = P( AB) + P( A B) = E (η ) 所以 cov(ξ ,η ) = E (ξη ) − E (ξ ) E (η )
* * * * 又 E (ξ ± η ) = E (ξ ) ± E (η ) = 0
又当 D(ξ ) = 0 时，有 P(ξ = E (ξ )) = 1 ⎪ ⎪ 所以 P ξ * ± η * = 0 = 1 即 P ⎧η − E (η ) = ± ξ − E (ξ ) ⎫ = 1 ⎬ ⎨ σξ ⎪ ⎪ ση ⎭ ⎩
⎧1 ⎪ , x + y ≤1 f ( x , y ) = ⎨π ⎪0 其它 ⎩
2 2
试验证 ξ ,η 不相关却也不相互独立。证明：容易获得
⎧2 ⎪ 1− x , f ξ ( x) = ∫ f ( x, y )dy = ⎨π ⎪ 0, ⎩
2 ∞ −∞
x <1 x ≥1

协方差及相关系数

所以X与Y不独立.
1/8 0 1/8 2/8 1/8 1/8 1/8 3/8 3/8 2/8 3/8 1
若(X,Y) ~ N(1,2 ,12, 22,)，即(X,Y)概率密度函数为
f
( x,
y)
1
2 1 2
1
2
exp{
1
2(1 2 ) [(
x 1 1
)2
2( x 1 )( y 2 ) ( y 2 )2 ]}
(1) 求 Z 的数学期望和方差. (2) 求 X 与 Z 的相关系数.
解 (1)由E( X ) 1, D( X ) 9, E(Y ) 0, D(Y ) 16.
得 E(Z ) E( X Y ) 1 E( X ) 1 E(Y )
32 3
2
1. 3
D(Z ) D( X ) D(Y ) 2Cov( X ,Y )
注：若Y aX b, 则 a<0时,ρXY=-1
例2 (X,Y)的联合分布为:
求相关系数ρXY,并判断X, Y是否相关,是否独立.
解：
E( X ) xi pi 0
i
E(Y ) y j p. j 0
j
X Y -1 0 1 -1 1/8 1/8 1/8 0 1/8 0 1/8 1 1/8 1/8 1/8
3
1
2
( z5)2
e 18 ,
z
契比雪夫不等式
定理设随机变量 X 具有数学期望 E(X ) μ,
方差 D( X ) σ2,则对于任意正数ε, 不等式
P{
X
μ
ε}
σ2 ε2
成立.
证明取连续型随机变量的情况来证明. 设 X 的概率密度为 f ( x),则有

4协方差及相关系数

若 XY 0, 称 X ,Y 不相关.
4.4.2 协方差及相关系数的性质
协方差的性质： (1) Cov ( X ,Y ) Cov (Y , X ) (2) Cov (aX ,bY ) ab Cov (Y , X ) a,b 为常数 (3) Cov ( X1 X2,Y ) Cov ( X1,Y ) Cov ( X2,Y )
, 为X ,Y的线性组合
所以 , 都服从正态分布N(0，(a2 b2 ) 2 )
在正态分布中,不相关与独立是等价的
所以当 a b 时, , 独立
当 a b 时, , 不独立
(3) 当 , 相互独立时,即a 2 b2 , , 都服从
正态分布 N (0,2a 2 2 )
f (s)
1
e
s2 22 a 2
若 X , Y 服从二维正态分布，
X , Y 相互独立
X , Y 不相关
X和Y独立时， =0，但其逆不真.
由于当X和Y独立时，Cov(X,Y)= 0.
故 Cov( X ,Y ) = 0 D( X )D(Y )
但由 0 并不一定能推出X和Y 独立.
请看下例.
例4.4.4 设X服从(-1/2, 1/2)内的均匀分布,而 Y=cos X, 不难求得，
Cov(X,Y)=0，（请课下自行验证）
因而 =0，即X和Y不相关 .
但Y与X有严格的函数关系，
即X和Y不独立 .
又显然 E[(Y E(Y )) t0(X E(X ))] 0
D[(Y E(Y )) t0(X E(X ))] 0
P[(Y E(Y )) t0(X E(X )) 0] 1
P[(Y E(Y )) t0(X E(X )) 0] 1 即

协方差与相关系数的区别

协方差与相关系数的区别协方差和相关系数是统计学中常用的两个概念，用于衡量两个变量之间的关系。

虽然它们都可以用来描述变量之间的相关性，但是它们有着不同的计算方法和解释方式。

本文将详细介绍协方差和相关系数的区别。

一、协方差协方差是用来衡量两个变量之间的总体相关性的统计量。

它的计算公式如下：Cov(X,Y) = E[(X-E(X))(Y-E(Y))]其中，X和Y分别表示两个变量，E(X)和E(Y)分别表示X和Y的期望值。

协方差的值可以为正、负或零，分别表示正相关、负相关和无关。

协方差的绝对值越大，表示两个变量之间的相关性越强。

当协方差为正时，表示两个变量呈正相关关系，即当一个变量增大时，另一个变量也增大；当协方差为负时，表示两个变量呈负相关关系，即当一个变量增大时，另一个变量减小；当协方差为零时，表示两个变量之间没有线性相关关系。

然而，协方差的值受到变量单位的影响，因此无法直接比较不同变量之间的相关性。

为了解决这个问题，引入了相关系数。

二、相关系数相关系数是用来衡量两个变量之间线性相关程度的统计量。

它的计算公式如下：ρ(X,Y) = Cov(X,Y) / (σ(X) * σ(Y))其中，Cov(X,Y)表示X和Y的协方差，σ(X)和σ(Y)分别表示X和Y的标准差。

相关系数的取值范围为-1到1之间。

相关系数的绝对值越接近1，表示两个变量之间的线性相关性越强。

当相关系数为1时，表示两个变量完全正相关；当相关系数为-1时，表示两个变量完全负相关；当相关系数为0时，表示两个变量之间没有线性相关关系。

相比于协方差，相关系数消除了变量单位的影响，可以更准确地衡量两个变量之间的相关性。

相关系数还具有标准化的特点，便于比较不同变量之间的相关性。

三、协方差与相关系数的区别1. 计算方法不同：协方差的计算只需要两个变量的期望值，而相关系数的计算需要除以两个变量的标准差。

2. 解释方式不同：协方差的值没有具体的范围，无法直接比较不同变量之间的相关性；相关系数的值在-1到1之间，可以直观地表示两个变量之间的线性相关程度。

统计学中的相关系数和协方差

统计学中的相关系数和协方差统计学是一门研究收集、整理、分析和解释数据的学科。

在统计学中，相关系数和协方差是两个重要的概念，用于衡量两个变量之间的关系和变量之间的变化程度。

本文将介绍相关系数和协方差的定义、计算方法以及它们在实际应用中的意义。

一、相关系数相关系数用于衡量两个变量之间的线性关系强度和方向。

相关系数的取值范围在-1到1之间，其中-1表示完全负相关，1表示完全正相关，0表示无相关性。

计算相关系数的方法有多种，最常用的是皮尔逊相关系数。

它的计算公式为：r = Cov(X, Y) / (σX* σY)其中，Cov(X, Y)表示变量X和Y的协方差，σX和σY分别表示变量X和Y的标准差。

通过计算相关系数，我们可以得到两个变量之间的关系强度。

如果相关系数接近1或-1，说明两个变量之间存在较强的线性关系；如果相关系数接近0，则说明两个变量之间没有线性关系。

相关系数在实际应用中具有重要的作用。

例如，在金融领域，研究人员可以使用相关系数来衡量不同股票价格的关联程度；在医学研究中，相关系数可以用于分析不同变量之间的关系，如身高和体重之间的关系。

二、协方差协方差用于衡量两个变量之间的总体变化趋势。

协方差的取值范围是无限的，因此无法直接比较不同样本之间的协方差。

协方差的计算公式为：Cov(X, Y) = Σ((Xi - X) * (Yi - Ȳ)) / n其中，Xi表示变量X的第i个观测值，X表示变量X的平均值，Yi表示变量Y的第i个观测值，Ȳ表示变量Y的平均值，n表示样本容量。

协方差的符号表示变量之间的变化趋势，正值表示变量具有正向变动趋势，负值表示变量具有负向变动趋势。

然而，由于协方差的数值大小不可比较，因此无法衡量变量之间的关系强度。

为了解决这个问题，我们可以使用相关系数来标准化协方差。

相关系数不仅表示变量之间的关系强度，还考虑了变量的尺度。

因此，相关系数比协方差更常用。

相关系数和协方差在统计学中扮演着重要的角色。

协方差与相关系数的区别

协方差与相关系数的区别在统计学和数据分析中，协方差和相关系数是两种重要的概念，广泛应用于大数据分析、金融投资、市场研究等多个领域。

尽管这两者常常被提及且在某些方面具有相似性，但它们在定义、计算方法以及解释上的差异却非常显著。

本篇文章将深入探讨协方差与相关系数的区别，为读者提供清晰的理解。

一、定义1.1 协方差协方差是用于衡量两个随机变量之间的关系强度和方向的统计量。

具体而言，它表征了两个变量共同变动的趋势。

协方差的值可以为负、零或正：正协方差：当一个变量增加时，另一个变量也倾向于增加，表示两变量趋于同向。

负协方差：当一个变量增加时，另一个变量倾向于减少，表示两变量趋于反向。

零协方差：表示两个变量没有任何线性关系。

协方差的计算公式为：[ (X, Y) = _{i=1}^{n} (X_i - {X})(Y_i - {Y}) ]其中 (X) 和 (Y) 为两个随机变量，({X}) 和 ({Y}) 分别为其均值，(n) 为样本大小。

1.2 相关系数相关系数是标准化的协方差，用于量化两个随机变量之间线性关系的强度和方向。

最常用的相关系数是皮尔逊相关系数，其取值范围在-1到1之间：1 表示完全正相关；-1 表示完全负相关；0 表示没有线性关系。

皮尔逊相关系数的计算公式为：[ r = ]其中 (_X) 和 (_Y) 分别为随机变量 (X) 和 (Y) 的标准差。

二、单位和范围两者的单位完全不同，且这一点也是协方差与相关系数之间一个显著的区别。

2.1 协方差的单位由于协方差是两个变量乘积的平均值，其单位由两个变量的单位决定。

例如，如果 (X) 的单位是米，(Y) 的单位是秒，那么其协方差的单位就是米·秒。

这也使得协方差难以进行直接比较，因为不同数据集中的单位不一致很可能导致不同的结果。

2.2 相关系数的范围与协方差不同，相关系数是一种无量纲的统计量，经过标准化，所以其值始终位于[-1, 1]区间之内。

4-4协方差和相关系数

协方差cov与相关系数公式

概率论教学课件第四章4.4协方差与相关系数

协方差与相关系数

协方差公式相关系数

协方差及相关系数及其性质

协方差和相关系数

相关系数与协方差的关系

协方差及相关系数

协方差矩阵和相关系数矩阵的关系

协方差和相关系数

协方差及相关系数

4协方差及相关系数

协方差与相关系数的区别

统计学中的相关系数和协方差

相关系数与协方差

协方差与相关系数的区别

相关系数与协方差

相关系数与协方差

4-4协方差和相关系数

协方差cov与相关系数公式

概率论教学课件第四章4.4协方差与相关系数

协方差与相关系数

协方差公式 相关系数

协方差及相关系数及其性质

协方差和相关系数

相关系数与协方差的关系

协方差及相关系数

协方差矩阵和相关系数矩阵的关系

协方差和相关系数

协方差及相关系数

4协方差及相关系数

协方差与相关系数的区别

统计学中的相关系数和协方差

相关系数与协方差

协方差与相关系数的区别

相关系数与协方差

相关系数与协方差

协方差公式相关系数