选修4-1-2直线与圆的位置关系(人教A版·数学理)
人教A版数学【选修4-1】ppt课件：2-2第二讲-直线与圆的位置关系
任意平行四边形的四个顶点在同一个圆上
平行四边形的四个顶点不一定在同一个圆上，因为
它的对角相等，但不一定互补．当互补时，共圆． 思考探究2 在我们学过的特殊四边形中，有哪些四边形
的四个顶点共圆？ 提示 有矩形、正方形、等腰梯形，因为它们的四个内角
中相对的两个内角互补.Fra bibliotek名师点拨 1.判定四点共圆的方法 (1)如果四个点与一定点的距离相等，那么这四个点共 圆．
【证明】 O.
由A，B，D三点可以确定一个圆，设该圆为⊙
(1)如果点C在⊙O的外部(如图①)，连接BC，与圆相交于 点E. ∵∠1＝∠AEB，∠1＝∠2， ∴∠2＝∠AEB. 而∠AEB>∠2，矛盾，故点C不可能在圆外．
(2)如果点C在⊙O的内部(如图②)． 延长BC与圆相交于点E，连接AE， 则∠1＝∠AEB，而∠1＝∠2， ∴∠2＝∠AEB，与∠2>∠AEB矛盾． ∴点C不可能在圆内． 由(1)、(2)知，点C只能在圆上． ∴A，B，C，D四点共圆．
规律技巧
本例的证明应用了分类讨论的思想和反证法．
变式2
已知：如图，在△ABC中，AD＝DB，DF⊥AB交AC于点 F，AE＝EC，EG⊥AC交AB于点G，求证： (1)D，E，F，G四点共圆； (2)G，B，C，F四点共圆．
证明 GEF＝90° .
(1)连接GF，由DF⊥AB，EG⊥AC，知∠GDF＝∠
规律技巧
本题除了运用圆内接四边形的性质定理，还运
用了垂径定理及圆周角定理的推论2解决问题．
变式1
如图所示，已知⊙O的内接四边形ABCD，AB和DC的延长 线交于点P，AD和BC的延长线交于点Q.如果∠A＝50° ，∠P＝ 30° ，求∠Q的度数．
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选修 1－1 第一章 常用逻辑用语 1．1 命题及其关系 1．2 充分条件与必要条件 1．3 简单的逻辑联结词 1．4 全称量词与存在量词 小结 复习参考题 第二章 圆锥曲线与方程 2．1 椭圆 探究与发现 为什么截口曲线是椭圆 信息技术应用 用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆 2．2 双曲线 2．3 抛物线
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必修 1 第一章 集合与函数概念 1．1 集合 1．2 函数及其表示 1．3 函数的基本性质 第二章 基本初等函数（Ⅰ） 2．1 指数函数 2．2 对数函数 2．3 幂函数 第三章 函数的应用 3．1 函数与方程 3．2 函数模型及其应用 必修 2 第一章 空间几何体 1．1 空间几何体的结构 1．2 空间几何体的三视图和直观图
选修 1－2 第一章 统计案例
1．1 回归分析的基本思想及其初步应用 1．2 独立性检验的基本思想及其初步应用 实习作业 小结 复习参考题 第二章 推理与证明 2．1 合情推理与演绎证明 阅读与思考 科学发现中的推理 2．2 直接证明与间接证明 小结 复习参考题
选修 2-3 第一章 计数原理 1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 探究与发现 子集的个数有多少 1.2 排列与组合
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力根保通据护过生高管产中线工资敷艺料设高试技中卷术资配，料置不试技仅卷术可要是以求指解，机决对组吊电在顶气进层设行配备继置进电不行保规空护范载高与中带资负料荷试下卷高总问中体题资配，料置而试时且卷，可调需保控要障试在各验最类；大管对限路设度习备内题进来到行确位调保。整机在使组管其高路在中敷正资设常料过工试程况卷中下安，与全要过，加度并强工且看作尽护下可关都能于可地管以缩路正小高常故中工障资作高料；中试对资卷于料连继试接电卷管保破口护坏处进范理行围高整，中核或资对者料定对试值某卷，些弯审异扁核常度与高固校中定对资盒图料位纸试置，.卷编保工写护况复层进杂防行设腐自备跨动与接处装地理置线，高弯尤中曲其资半要料径避试标免卷高错调等误试，高方要中案求资，技料编术试5写交卷、重底保电要。护气设管装设备线置备4高敷动调、中设作试电资技，高气料术并中课3试中且资件、卷包拒料中管试含绝试调路验线动卷试敷方槽作技设案、，术技以管来术及架避系等免统多不启项必动方要方式高案，中；为资对解料整决试套高卷启中突动语然过文停程电机中气。高课因中件此资中，料管电试壁力卷薄高电、中气接资设口料备不试进严卷行等保调问护试题装工，置作合调并理试且利技进用术行管，过线要关敷求运设电行技力高术保中。护资线装料缆置试敷做卷设到技原准术则确指：灵导在活。分。对线对于盒于调处差试，动过当保程不护中同装高电置中压高资回中料路资试交料卷叉试技时卷术，调问应试题采技，用术作金是为属指调隔发试板电人进机员行一，隔变需开压要处器在理组事；在前同发掌一生握线内图槽部纸内故资，障料强时、电，设回需备路要制须进造同行厂时外家切部出断电具习源高题高中电中资源资料，料试线试卷缆卷试敷切验设除报完从告毕而与，采相要用关进高技行中术检资资查料料和试，检卷并测主且处要了理保解。护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
第二讲 直线与圆的位置关系 章末复习方案 课件(人教A选修4-1)(2)
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2．利用三角形内(外)角平分线的性质
[例4]
⊙O直径垂直于弦CD，E是
⊙O上任一点，延长EC、AB相交于Q， ED交AQ于P(如图)， 求证：AQ· PB＝AP· BQ.
[证明] 连接 EA、EB. ∵AB⊥CD，又 AB 是直径，
∴ CB ＝ BD ，
∴∠QEB＝∠PEB，则 EB 平分∠PEQ. ∴EP∶EQ＝PB∶BQ. ①
求证：BE· BF＝BC· BD.
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[证明] 连接AE、AC.
∵AD是切线， ∴BA⊥AD. ∵AB是直径， ∴AE⊥BF，AC⊥BD.
∴AD.
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5.利用相交弦定理及切割定理 [例 7] 如图所示，两圆内切于点 T，大
圆的弦 AB 切小圆于点 C，TA、TB 与小圆 分别相交于点 E、F，FE 的延长线交两 圆的公切线 TP 于点 P.
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点击下图进入“阶段质量检测”
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3．利用面积关系 [例 5] Rt△ABC 中，O 是斜边 BC 上一点，以 O 为圆
心的半圆与两直角边相切于 M、 如果两直角边分别为 a、 N， b，半圆的半径为 r. 1 1 1 求证： ＝ ＋ . r a b
[证明] 连接 AO、OM、ON. ∵AB、AC 与半圆相切于 M、N， ∴OM⊥AB，ON⊥AC. 又设 AB＝a，AC＝b， 半圆的半径为 r，
求证：(1) CE ＝ CF ；
(2)AC· PF＝BC· PT.
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[证明]
(1)设小圆的圆心为点 O，
连接 OC.
∵AB 切小圆于点 C， ∴OC⊥AB. ∵∠1＝∠3＝∠2， ∴EF∥AB，∴OC⊥EF，
直线与圆的位置关系(第1课时)(教学课件)高二数学同步备课系列(人教A版2019选择性必修第一册)
所以，直线 l 与圆的两个交点是：
（2，0），（1，3）
因此 =
= 10.
1−2
2
+ 3−0
2
判断直线与圆位置关系的方法：
(1) 代数法：
在平面直角坐标系中, 要判断直线l: Ax+By+C=0与圆C: x2+y2+Dx+Ey+F=0
宋老
的位置关系, 可以联立它们的方程,
人教A版2019选修第一册
宋老
师数
学精
品工 宋老师
作室 数学精
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第 2 章直线和圆的方程
品工作
2.5.1直线与圆的位置关系
室
（第1课时）
目
录
01判断直线与圆的位置关系
02求圆的切线方程
宋老
学习目标
师数
学精
品工 宋老师
1. 能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆的位置关系.
作室 数学精
∴
2+3−3
2 +1
=3,解得 =
4
−3.
品工作
所求直线l的方程为4 + 3 + 21 = 0
室
②当直线l的斜率不存在时， 直线l的方程为x=-3，
此时，圆心到直线l的距离为3，符合题意.
综上所述，所求直线l的方程为:4 + 3 + 21 = 0或 = −3.
y
M
.O .
x
E
F
课本练习
位置关系
新知学习
直线与圆的位置关系:
位置关系
图形
d与r的关系
第二讲 直线与圆的位置关系 知识归纳 课件(人教A选修4-1)
解：(1)证明：连接DE， 则在△ADE和△ACB中， AD×AB＝mn＝AE×AC， AD AE 即AC ＝AB. 又∠DAE＝∠CAB， 从而△ADE∽△ACB. 因此∠ADE＝∠ACB， 所以C，B，D，E四点共圆．
[解]
(1)证明：如图，连接OB.
∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA.
∵PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA. ∴∠OAB＋∠PAB＝ ∠OBA＋∠PBA， 即∠PAO＝∠PBO.
又∵PA是⊙O的切线，∴∠PAO＝90°.
∴∠PBO＝90°.∴OB⊥PB. 又OB是⊙O半径，∴PB是⊙O的切线．
(2)连接OP，交AB于点D.如图． ∵PA＝PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上． ∵OA＝OB，∴点O在线段AB的垂直平分线上． ∴OP垂直平分线段AB. ∴∠PAO＝∠PDA＝90° . 又∵∠APO＝∠OPA，∴△APO∽△DPA. AP PO ∴DP＝ PA .∴AP2＝PO· DP. 1 1 又∵OD＝ BC＝ ，∴PO(PO－OD)＝AP2. 2 2 1 2 即PO － PO＝( 3)2，解得PO＝2. 2 在Rt△APO中，OA＝ PO2－PA2＝1， 即⊙O的半径为1.
近两年高考中，主要考查圆的切线定理，切割线定理，相 交弦定理，圆周角定理以及圆内接四边形的判定与性质等．题目
难度不大，以容易题为主．对于与圆有关的比例线段问题通常要
考虑利用相交弦定理、割线定理、切割线定理、相似三角形的判 定和性质等；弦切角是沟通圆内已知和未知的桥梁，它在解决圆 内有关等角问题中可以大显身手；证明四点共圆也是常见的考查 题型，常见的证明方法有：①到某定点的距离都相等；②如果某
2014年人教A版选修4-1课件 1.圆周角定理
O B E D C
且∠C 与∠E 是同弧所对的圆周角.
例1. 如图, AD 是△ABC 的高, AE 是△ABC 的 外接圆直径. 求证: AB· ACAE· AD.
证明: 连接 BE, ∵AE 是△ABC 外接圆的直径, O ∴∠ABE 是直角, B D 又∵AD 是△ABC 的高, E 在 Rt△ABE和 Rt△ADC 中, ∠E 和∠C 是 AB 弧所对的圆周角, ∴∠E ∠C . ∴ Rt△ABE∽Rt△ADC , 则 AB AE . AD AC 得 AB· ACAE· AD.
问题1. 如图, A、B、C 是圆 O 上的点, ∠BAC 与∠BOC 有什么关系, 能证明你的结论吗? 1 A BAC BOC . 2 证明: 当有两点是直径的端点时 (如图), O ∠BOC∠A+∠C, C ∵OAOC, B ∴∠A∠C, 则∠BOC2∠A. 问: A、B、C 在圆 1 即 BAC BOC . 2 周上任一处都成立吗?
问题1. 如图, A、B、C 是圆 O 上的点, ∠BAC 与∠BOC 有什么关系, 能证明你的结论吗? 1 A BAC BOC . 2 证明: 当 A、B、C 在一直径的 同旁时 (如图), O ∠BOD∠B+∠BAO, C D B ∠COD∠C+∠CAO, ∵OAOBOC, ∴∠B∠BAO, ∠C∠CAO, 问: A、B、C 在圆 ∴∠BOD2∠BAO, 周上任一处都成立吗? ∠COD2∠CAO,
问题1. 如图, A、B、C 是圆 O 上的点, ∠BAC 与∠BOC 有什么关系, 能证明你的结论吗? 1 A BAC BOC . 2 证明: 当 A、B、C 在一直径的 同旁时 (如图), O ∠BOD∠B+∠BAO, C D B ∠COD∠C+∠CAO, ∵OAOBOC, ∴∠B BOC ∠COD -C ∠ ∠ BAO , ∠ BOD ∠CAO, 证明这个问题 2( ∠ CAO ,、 我们进行了分 问:时A B、C 在圆 ∴∠BOD2 ∠ BAO , -∠BAO) 类讨论, 这是数学 周上任一处都成立吗 ? ∠COD2∠BAC CAO,, 中常用的一种方法 . 1 即 BAC BOC . 2
人教版高中数学选修4-1第二讲2.2圆内接四边形的性质与判定定理
第二讲直线与圆的地点关系2.2圆内接四边形的性质与判断定理A 级基础稳固一、选择题1．圆内接平行四边形必定是()A．正方形B．菱形C．等腰梯形D．矩形分析：因为圆内接四边形对角互补，平行四边形的对角相等，所以圆内接平行四边形的各角均为直角，故为矩形．答案： D2．已知 AB，CD 是⊙ O 的两条直径，则四边形 ADBC 必定是 () A．矩形B．菱形C．正方形D．等腰梯形分析： AB，CD 均为⊙O 的直径，故四边形 ADBC 的四个角均为直角，且对角线 AB＝ CD，因此四边形 ADBC 为矩形．答案： A3．四边形 ABCD 内接于圆，∠ A∶∠ B∶∠ C＝7∶6∶3，则∠ D 等于()A．36°B．72°C．144°D．54°分析：由圆内接四边形的性质定理，∠A＋∠C＝180° .又由∠A∶∠ C＝7∶3，设∠A＝7x，∠C＝3x，则 10x＝180°，即 x＝18°，因此∠B＝6x＝108°.故∠D＝180°－∠B＝72°.答案： B4.如下图，四边形ABCD 是⊙ O 的内接四边形， E 为 AB 的延长线上一点，∠ CBE＝40°，则∠ AOC 等于 ()A．20°B．40°C．80°D．100°分析：因为四边形ABCD 是圆内接四边形，且∠ CBE＝ 40°，由圆内接四边形性质知∠D＝∠CBE＝40°，又由圆周角定理知∠AOC＝2∠D＝ 80° .答案： C5．如下图，若AB 是⊙ O 的直径， CD 是⊙ O 的弦，∠ ABD ＝55°，则∠ BCD 的度数为 ()A．35°B．45°C．55°D．75°分析：如下图，连结AD，则△ABD 是直角三角形，∠ ADB ＝90°，则∠DAB＝90°－∠ABD＝35°，依据同弧所对的圆周角相等，∠BCD＝∠DAB＝35°.答案： A二、填空题6.如下图，四边形ABCD 是圆 O 的内接四边形，延伸AB 与BCDC 订交于点 P.若 PB＝1，PD＝3，则AD的值为 ____．分析：因为四边形 ABCD 是圆内接四边形，因此∠BCP＝∠A.又∠P＝∠P，因此△BCP∽△ DAP.BC PB 1因此AD＝PD＝3.1答案：37．如下图，⊙ O1与⊙ O2订交于 A，B 两点， AC 是⊙ O1的直径，延伸 CA，CB，分别交⊙ O2于 D，E，则∠ CDE＝______．分析：连结 AB，因为 AC 是⊙O1的直径，因此∠ABC＝90°.又因为∠ABC＝∠ADE，因此∠ADE＝90°，即∠CDE＝90°.答案： 90°8．如下图，点 A，B，C，D 在同一个圆上， AB，DC 订交于点 P，AD，BC 订交于点 Q，假如∠ A＝50°，∠ P＝30°，那么∠ Q＝________．分析：因为∠A＝50°，∠P＝30°，因此∠QDC＝∠A＋∠P＝80° .又∠QCD＝∠A＝50°，因此∠Q＝180°－ 80°－ 50°＝ 50°.答案： 50°三、解答题9.如下图，四边形 ABCD 是⊙ O 的内接四边形， AB 的延伸线与DC 的延伸线交于点 E，且 CB＝CE.(1)证明：∠ D＝∠ E；(2)设 AD 不是⊙ O 的直径， AD 的中点为 M ，且 MB ＝MC ，证明：△ADE 为等边三角形．证明： (1)由题设知 A，B，C，D 四点共圆，因此∠ D＝∠CBE.由已知得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.(2)设 BC 的中点为 N，连结 MN ，则由 MB＝MC 知 MN ⊥BC，故O在直线 MN 上．又 AD 不是⊙O 的直径， M 为 AD 的中点，故 OM ⊥AD，即 MN⊥ AD.因此 AD∥BC，故∠A＝∠CBE.又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E.由(1)知，∠D＝∠E，因此△ADE 为等边三角形．10.如下图， CD 为△ABC 外接圆的切线， AB 的延伸线交直线 CD于点 D，E，F 分别为弦 AB 与弦 AC 上的点，且 BC·AC＝DC·AF，B，E，F，C 四点共圆．(1)证明： CA 是△ABC 外接圆的直径；(2)若 DB＝BE＝EA，求过 B、E、F、C 四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．(1)证明：因为 CD 为△ ABC 外接圆的切线，因此∠DCB＝∠A，BC DC由题设知FA＝EA，因此△CDB∽△ AEF ，因此∠DBC＝∠EFA.因为 B、E、F、 C 四点共圆，因此∠CFE ＝∠DBC，因此∠EFA＝∠CFE ＝90°，因此∠CBA＝90°，因此 CA 是△ABC 外接圆的直径．(2)解：连结 CE，因为∠CBE＝90°，因此过 B、 E、 F、C 四点的圆的直径为 CE，因为 DB＝ BE， CE＝ DC，又因为 BC2＝DB·BA＝2DB2，因此 CA2＝4DB2＋ BC2＝6DB2，又因为 DC2＝ DB·DA＝ 3DB2，因此 CE2＝3DB2.因此过 B、 E、 F、C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比1值为2.B 级能力提高1.如下图，四边形 ABCD 是⊙ O 的内接四边形，延伸 BC 到 E，已知∠ BCD∶∠ ECD＝3∶2，那么∠ BOD 等于 ()A．120°B．136°C．144°D．150°分析：因为∠BCD∶∠ ECD＝3∶2，且∠BCD＋∠ECD＝180°，因此∠ECD＝72°.由圆内接四边形的性质得∠A＝∠ECD＝72°.又由圆周角定理知∠BOD＝2∠A＝ 2×72°＝ 144°.答案： C2．两圆订交于 A，B，过 A 作两直线分别交两圆于 C，D 和 E，F.若∠ EAB＝∠ DAB，则 CD＝________．分析：因为四边形 ABEC 为圆内接四边形，因此∠2＝∠ CEB.又因为∠1＝∠ECB，且∠1＝∠ 2，因此∠CEB＝∠ECB.因此 BC＝BE.在△CBD 与△ EBF 中，∠ECD＝∠BEF ，∠D＝∠ F，BC＝BE，因此△CBD≌△ EBF ，因此 CD＝EF .答案： EF3.如下图， A，B，C，D 四点在同一圆上， AD 的延伸线与 BC 的延伸线交于 E 点，且 EC＝ED.(1)证明： CD∥AB；(2)延伸 CD 到 F，延伸 DC 到 G，使得 EF ＝EG，证明： A，B，G，F 四点共圆．证明： (1)因为 EC＝ED，因此∠EDC＝∠ECD.因为 A，B，C， D 四点在同一圆上，因此∠EDC＝∠EBA.故∠ECD＝∠EBA.因此 CD∥AB.(2)由(1)知， AE＝BE.因为 EF ＝EG，故∠EFD ＝∠EGC，进而∠FED ＝∠GEC.如图，连结 AF， BG，则△EFA≌△ EGB，故∠FAE＝∠GBE.又 CD∥AB，∠ EDC＝∠ECD，因此∠FAB＝∠ GBA.因此∠AFG＋∠GBA＝180°.故 A，B，G， F 四点共圆．。
2014年人教A版选修4-1课件 2.圆内接四边形的性质与判定定理
C
定理1 圆的内接四边形的对角互补.
问题2. 由定理 1, 你能得到圆内 A 接四边形的一个外角与哪个角相等? 如图, ∠A+∠BCD=180, ∠BCD +∠DCE =180, ∴∠DCE =∠A. 定理2 圆内接四边形的外角等于它的内对角.
B
D
C
E
问题3. 定理 1, 定理 2 是圆内接四边形的性质. 请问, 定理 1, 定理 2 的逆命题成立吗? 为什么?
∴CE//DF.
例 2. 如图, CF 是△ABC 的 AB 边上的高, FP⊥BC, FQ⊥AC. 求证: A、B、P、Q 四点共圆. 分析: 要证A、B、P、Q 四点共圆, 构造四边形ABPQ. 则要证∠A+∠BPQ=180, Q 即∠A+∠FPQ=90,
而∠A与∠ACF 或∠AFQ 互余,
A C
P
F B
∴只需证得∠FPQ 与∠ACF 或∠AFQ 相等即可. 又注意到 FP⊥BC, FQ⊥AC, 则 P、F、Q、C 四点共圆, 于是得∠FPQ 与∠FCQ 是同弧所对的圆周角, 即可得∠FPQ =∠FCQ.
例 2. 如图, CF 是△ABC 的 AB 边上的高, FP⊥BC, FQ⊥AC. 求证: A、B、P、Q 四点共圆. 证明: ∵FP⊥BC, FQ⊥AC, ∴ P、F、Q、C 四点共圆. 连接 PQ, 则∠FPQ =∠FCQ. 在 Rt△AFC 中, ∠A+∠FCQ=90, ∴∠A+∠FPQ=90. 则∠A+∠FPQ+∠FPB=180. 即∠A+∠QPB =180,
∴A、B、P、Q 四点共圆.
C
P Q
A F B
【课时小结】
1. 圆内接四边形的性质
人教A版数学【选修4-1】ppt课件：2-4第二讲-直线与圆的位置关系
(2)图形语言叙述： 如图，AB与⊙O切于点A，则∠BAC＝________.
答 1.相交
圆相切 ∠D
案 2.所夹的弧
思考探究1 提示
弦切角与圆周角有什么异同点？
相同点：两者顶点都在圆上．
不同点：弦切角的一边与圆相交，另一边与圆相切，而圆 周角的两边都与圆相交． 思考探究2 提示 两个 一条弦和一条切线可形成几个弦切角？
(2)证明直线平行 弦切角定理构建了角与角的相等关系，而直线的平行是以 角的关系为基本条件的，因而在圆中我们可以利用弦切角定理 来推理论证直线的平行．如图，若CD切圆于点M，弦AM与弦 BM相等，则由∠CMA＝∠B，∠A＝∠B得到∠CMA＝∠A，从 而CD∥AB.
(3)证明线段相等 借助于弦切角定理和圆的其他性质(如等弧所对的弦相等) 以及三角形有关知识我们可以得到特殊三角形或全等三角形， 从而证得线段相等．
第二讲
直线与圆的位置关系
四
弦切角的性质
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
学习目标 1.理解弦切角的概念．会判断弦切角． 2．掌握弦切角定理的内容，并能利用它解决相关的几何 问题.
课前预习 1.弦切角 顶点在圆上，一边和圆________，另一边和________的角 叫做弦切角． 2．弦切角定理 (1)文字语言叙述： 弦切角等于它________所对的圆周角．
变式1
如图，在两个以O为圆心的同心圆中，大圆的弦
AB，AC和小圆相切于D，E，直线MN切大圆于A. 求证：(1)MN∥BC； 1 (2)DE＝ BC. 2
分析 对于(1)利用弦切角定理可得结果．对于(2)要证明 出点D，E分别为线段AB，AC的中点．
证明 (1)∵AB，AC切小圆于D，E，连接OD，OE， ∴OD＝OE，OD⊥AB，OE⊥AC. 在大圆中，AB＝AC，∠B＝∠C. 又∵MN切大圆于A， ∴∠NAC＝∠B.∴∠NAC＝∠C. ∴MN∥BC.
人教A版数学【选修4-1】ppt课件：《第二讲-直线与圆的位置关系》小结
(2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共边， 得Rt△BCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF. 类似可证，Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF. 又在Rt△AEB中，EF⊥AB，故EF2＝AF· BF， 所以EF2＝AD· BC.
【解】 P运动2 s时，PC＝2×2＝4 cm，AC＝8 cm. ∴P是AC的中点，由勾股定理知， BC＝6 cm，BP＝2 13 cm. 连接OD，∵D为切点，∴OD⊥AC. DP PC 4 2 ∴OD∥BC，∴ ＝ ＝ ＝ . OD BC 6 3 设半径OD为3x，则DP＝2x(x>0)． 由勾股定理可求出OP＝ 3x2＋2x2＝ 13x，
【分析】
如下图所示．
轮船是否有触礁的危险，在于轮船航行所在的直线与以A为圆 心，15海里为半径的圆的位置关系，此题应从直线与圆A相切这一 特殊关系入手，转化为三角函数求解．
【解】 (1)过B作⊙A的切线，切点为D，连接DA，则AD⊥ BD. 在Rt△BDA中，AB＝45，AD＝15， AD 1 ∴sin∠DBA＝ AB ＝3，∴∠DBA≈20° . (2)过C作⊙A的切线，切点为E，连接AE， 则AE⊥CE，在Rt△ACE中， AC＝45－15＝30，AE＝15.
︵
【分析2】 如图②，欲证∠CAE＝∠ACD，连接OC，AC， 得到∠CAO＝∠OCA，因此只需证∠EAO＝∠OCD. ∵CD⊥AB，C为A E 的中点，∴OC⊥AE. ∴∠EAO＋∠COA＝∠OCD＋∠COA. ∴∠EAO＝∠OCD. ︵
【分析3】 如图③，欲证∠CAE＝∠ACD， ︵ ︵ ∵ CE ＝ AC ，∴∠CAE＝∠ABC，故只需证明∠ACD＝∠ ABC，这由∠ACB＝90° ，CD⊥AB可得． 证明略．
人教A版高中数学教材目录(全)
人教A版高中数学目录必修1第一章集合与函数概念1．1 集合1．2 函数及其表示1．3 函数的基本性质第二章基本初等函数（Ⅰ）2．1 指数函数2．2 对数函数2．3 幂函数第三章函数的应用3．1 函数与方程3．2 函数模型及其应用必修2第一章空间几何体1．1 空间几何体的结构1．2 空间几何体的三视图和直观图 1．3 空间几何体的表面积与体积第二章点、直线、平面之间的位置关系2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系2．2 直线、平面平行的判定及其性质2．3 直线、平面垂直的判定及其性质第三章直线与方程3．1 直线的倾斜角与斜率3．2 直线的方程3．3 直线的交点坐标与距离公式必修3第一章算法初步1．1 算法与程序框图1．2 基本算法语句1．3 算法案例阅读与思考割圆术第二章统计2．1 随机抽样阅读与思考一个著名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2．2 用样本估计总体阅读与思考生产过程中的质量控制图2．3 变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱第三章概率3．1 随机事件的概率阅读与思考天气变化的认识过程3．2 古典概型3．3 几何概型必修4第一章三角函数1．1 任意角和弧度制1．2 任意角的三角函数1．3 三角函数的诱导公式1．4 三角函数的图象与性质1．5 函数y=Asin（ωx+ψ）1．6 三角函数模型的简单应用第二章平面向量2．1 平面向量的实际背景及基本概念2．2 平面向量的线性运算2．3 平面向量的基本定理及坐标表示2．4 平面向量的数量积2．5 平面向量应用举例第三章三角恒等变换3．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．2 简单的三角恒等变换必修5第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.2应用举例1.3实习作业第二章数列2.1数列的概念与简单表示法2.2等差数列2.3等差数列的前n项和2.4等比数列2.5等比数列的前n项和第三章不等式3.1不等关系与不等式3.2一元二次不等式及其解法3.3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域3.3.2简单的线性规划问题3.4基本不等式选修1-1第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.2充分条件与必要条件1.3简单的逻辑联结词1.4全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆2.2双曲线2.3抛物线第三章导数及其应用3.1变化率与导数3.2导数的计算3.3导数在研究函数中的应用3.4生活中的优化问题举例选修1-2第一章统计案例1．1回归分析的基本思想及其初步应用1．2独立性检验的基本思想及其初步应用第二章推理与证明2．1 合情推理与演绎证明2．2 直接证明与间接证明第三章数系的扩充与复数的引入3．1数系的扩充和复数的概念3．2复数代数形式的四则运算第四章框图4．1流程图4．2结构图选修2-1第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.2充分条件与必要条件1.3简单的逻辑联结词1.4全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程2.2椭圆2.3双曲线2.4抛物线第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.2立体几何中的向量方法选修2-2第一章导数及其应用1.1变化率与导数1.2导数的计算1.3导数在研究函数中的应用1.4生活中的优化问题举例1.5定积分的概念1.6微积分基本定理1.7定积分的简单应用第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.2直接证明与间接证明2.3数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念3.2复数代数形式的四则运算选修2-3第一章计数原理1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.2排列与组合1.3二项式定理第二章随机变量及其分布2.1离散型随机变量及其分布列2.2二项分布及其应用2.3离散型随机变量的均值与方差2.4正态分布第三章统计案例3.1回归分析的基本思想及其初步应用3.2独立性检验的基本思想及其初步应用选修3-1第一讲早期的算术与几何第二讲古希腊数学第三讲中国古代数学瑰宝第四讲平面解析几何的产生五讲微积分的诞生第六讲近代数学两巨星第七讲千古谜题第八讲对无穷的深入思考第九讲中国现代数学的开拓与发展选修3-2选修3-3第一讲从欧氏几何看球面第二讲球面上的距离和角第三讲球面上的基本图形第四讲球面三角形第五讲球面三角形的全等第六讲球面多边形与欧拉公式第七讲球面三角形的边角关系第八讲欧氏几何与非欧几何选修3-4第一讲平面图形的对称群第二讲代数学中的对称与抽象群的概念第三讲对称与群的故事选修4-1第一讲相似三角形的判定及有关性质第二讲直线与圆的位置关系第三讲圆锥曲线性质的探讨选修4-2第一讲线性变换与二阶矩阵第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法第三讲逆变换与逆矩阵第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量选修4-3选修4-4第一讲坐标系第二讲参数方程选修4-5第一讲不等式和绝对值不等式第二讲证明不等式的基本方法第三讲柯西不等式与排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式选修4-6第一讲整数的整除第二讲同余与同余方程第三讲一次不定方程第四讲数伦在密码中的应用选修4-7第一讲优选法第二讲试验设计初步选修4-8选修4-9第一讲风险与决策的基本概念第二讲决策树方法第三讲风险型决策的敏感性分析第四讲马尔可夫型决策简介高中人教版（B）教材目录介绍必修一第一章集合1．1 集合与集合的表示方法1．2 集合之间的关系与运算第二章函数2．1 函数2．2 一次函数和二次函数2．3 函数的应用（Ⅰ）2．4 函数与方程第三章基本初等函数（Ⅰ）3．1 指数与指数函数3．2 对数与对数函数3．3 幂函数3．4 函数的应用（Ⅱ）必修二第一章立体几何初步1．1 空间几何体1．2 点、线、面之间的位置关系第二章平面解析几何初步2．1 平面真角坐标系中的基本公式 2．2 直线方程2．3 圆的方程2．4 空间直角坐标系必修三第一章算法初步1．1 算法与程序框图1．2 基本算法语句1．3 中国古代数学中的算法案例第二章统计2．1 随机抽样2．2 用样本估计总体2．3 变量的相关性第三章概率3．1 随机现象3．2 古典概型3．3 随机数的含义与应用3．4 概率的应用必修四第一章基本初等函(Ⅱ)1．1 任意角的概念与弧度制1．2 任意角的三角函数 1．3 三角函数的图象与性质第二章平面向量2．1 向量的线性运算2．2 向量的分解与向量的坐标运算2．3 平面向量的数量积2．4 向量的应用第三章三角恒等变换3．1 和角公式3．2 倍角公式和半角公式3．3 三角函数的积化和差与和差化积必修五第一章解直角三角形1．1 正弦定理和余弦定理1．2 应用举例第二章数列2．1 数列2．2 等差数列2．3 等比数列第三章不等式3．1 不等关系与不等式3．2 均值不等式3．3 一元二次不等式及其解法3．4 不等式的实际应用3．5 二元一次不等式（组）与简单线性规划问题选修1－1第一章常用逻辑用语1．1 命题与量词1．2 基本逻辑联结词1．3 充分条件、必要条件与命题的四种形式第二章圆锥曲线与方程2．1 椭圆2．2 双曲线2．3 抛物线第三章导数及其应用3．1 导数3．2 导数的运算3．3 导数的应用选修1－2第一章统计案例第二章推理与证明第三章数系的扩充与复数的引入第四章框图选修4－5第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1．1 不等式的基本性质和一元二次不等式的解法1．2 基本不等式1．3 绝对值不等式的解法1．4 绝对值的三角不等式1．5 不等式证明的基本方法第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2．1 柯西不等式2．2 排序不等式2．3 平均值不等式(选学)2．4 最大值与最小值问题，优化的数学模型第三章数学归纳法与贝努利不等式3．1 数学归纳法原理3．2 用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式。
第二讲 直线与圆的位置关系 知识归纳 课件(人教A选修4-1)
③证明凸四边形的内对角互补(或外角等于它的内对角)等．
1．(2012· 天津高考)如图，已知AB和AC 是圆的两条弦，过点B作圆的切线与 AC的延长线相交于点D.过点C作BD的 平行线与圆相交于点E，与AB相交于 3 点F，AF＝3，FB＝1，EF＝ ， 2 则线段CD的长为________．
圆内接四边形是中学教学的主要研究问题之一， 近几年各地的高考选做题中常涉及圆内接四边形的判 定和性质． [例1] 已知四边形ABCD为平行四边形，过点A和
点B的圆与AD、BC分别交于E、F.
求证：C、D、E、F四点共圆．
[证明] 连接EF，
因为四边形ABCD为平行四边形， 所以∠B＋∠C＝180°. 因为四边形ABFE内接于圆， 所以∠B＋∠AEF＝180°.
又AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠CAD. 则∠CAD＝∠ODA，OD∥AC. ∵DM是⊙O切线，∴OD⊥DM. 则DM⊥AC，DC2＝AC· CM.
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且不与△ABC的顶点重合．已知AE 的长为m，AC的长为n，AD，AB的 长是关于x的方程x2－14x＋mn＝0的两个根． (1)证明：C，B，D，E四点共圆； (2)若∠A＝90°，且m＝4，n＝6， 求C，B，D，E所在圆的半径．
解：(1)证明：连接DE， 则在△ADE和△ACB中， AD×AB＝mn＝AE×AC， AD AE 即AC ＝AB. 又∠DAE＝∠CAB， 从而△ADE∽△ACB. 因此∠ADE＝∠ACB， 所以C，B，D，E四点共圆．
解析：逐个判断：由切线定理得CE＝CF，BD＝BF，所 以AD＋AE＝AB＋BD＋AC＋CE＝AB＋AC＋BC，即① 正确；由切割线定理得AF· AG＝AD2＝AD· AE，即②正确； 因为△ADF∽△AGD，所以③错误． 答案：A
人教版数学高二(新课标人教A版选修4-1)直线与圆的位置关系知识精讲
直线与圆的位置关系（一）一. 教学内容：直线与圆的位置关系（一）二. 重点、难点：1. 圆周角定理2. 圆心角定理3. 圆的内接四边形的对角互补4. 圆的内接四边形的外角等于它的内角的对角5. 圆内接四边形判定定理6. 切线的判定定理7. 切线的性质定理8. 弦切角定理【典型例题】如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC，求证：∠ACB=2∠BAC。
证明：⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∠=∠∠=∠∠=∠BOCAOBBOCBACAOBACB22121BACACB∠=∠⇒2如图，已知：AB是⊙O的直径，CD是弦，AF⊥CD于F，BE⊥CD于E，连结OE、OF。
求证：OE=OF及CE=DF。
证明：延长EO交AF于N点∵BE⊥CD，AF⊥CD ∴EB//AF ∴∠B=∠A 在△BEO与△ANO中，BO=AO ∠B=∠A，∠BOE=∠AON∴ EO=NO ∴ OF=EO=NO过O 作OM ⊥CD 于M ∴ CM=DM EM=MF ∴CE=DF已知：如图所示，AB 是⊙O 的直径，M 是AB 上一点，过M 作弦CD 且MC=MO ，求证：⋂⋂=AC DB 3。
证明：连结CO 且延长交⊙O 于E 点 ∵ MC=MO ∴ ∠MCO=∠MOC ∵ ∠EOB=∠MOC ∴ ∠MCO =∠EOB ∴ ⋂⋂=BE AC ∵∠MCO 是圆周角 ∴ ⋂⋂=BE DE 2 ∴ ⋂⋂=AC DB 3已知：如图AB 是直径，C 是⋂AE 的中点，CD ⊥AB 于D 交AE 于F ，求证：CF=AF 。
证明：连结AC ，CB ∵ C 是AE 的中点 ∴ ∠B=∠CAE ∵ AB 是直径 ∴ ∠ACB=90° ∵ CD ⊥AB∴ ∠ACD=∠B ∴ ∠ACD=∠CAF ∴ CF=AF已知：△ABC 内接于⊙O ，弦AB 的垂直平分线和CA 及BC 的延长线分别交于点D 及E ，交⊙O 于F 两点，求证：ED ·DO=AD ·DC 。
数学 选修4-1第二讲 直线与圆位置关系 二 圆内接四边形性质判定
∴∠QFC与∠QFA互余 与 互余. ∴∠ 互余
A F
B
C
习题2.2 习题 1.AD,BE是△ABC的两条高， 的两条高， 是 的两条高 求证： 求证：∠CED=∠ABC. ∠
A
E D
o
B
2.求证：对角线互相垂直的四边形中，各边中点在同 求证：对角线互相垂直的四边形中， 求证 一个圆周上。 一个圆周上。 3.如图，已知四边形ABCD内接于圆，延长 和DC相 如图，已知四边形 内接于圆， 如图 内接于圆 延长AB和 相 交于E,EG平分∠E,且与 平分∠ 且与 且与BC,AD分别相交于 分别相交于F,G. 交于 平分 分别相交于 求证： 求证： ∠CFG=∠DGF. ∠
O1
A
O2
D
E
B
F
如图， 是 边上的高， ⊥ 例2 如图，CF是△ABC的AB边上的高，FP⊥BC, 的 边上的高 FQ⊥AC.求证：A,B,P,Q四点共圆 ⊥ 求证： 求证 四点共圆
证明：连接 。 证明：连接PQ。 也互余. 而∠A与∠QFA也互余 与 也互余 在四边形QFPC中， 中 在四边形 ∴∠A=∠ ∵FP⊥BC FQ⊥AC. ∴∠ ∠QFC. ⊥ ⊥ ∴∠A=∠ ∴∠ ∠QPC. ∴∠FQA=∠FPC=90º. ∴∠ ∠ ∴A,B,P,Q四点共圆 四点共圆 四点共圆。 ∴Q,F,P,C四点共圆。 四点共圆 C ∴∠QFC=∠QPC. ∴∠ ∠ P 又∵CF⊥AB ⊥
A F G C D B E
如果一个四边形内接于圆,那么它有何特征 如果一个四边形内接于圆 那么它有何特征? 那么它有何特征
1 1 连接OA,OC.则 ∠B= 2 α. ∠D= 2 β 如图 连接 则 0 C
α + β = 360
2.5.1 直线与圆的位置关系(第2课时)高二数学课件(人教A版2019选择性必修第一册)
圆的最值
1
解：（1）x 和 y 满足以(－1，0)为圆心，以 为半径的圆
2
（x－2）2＋（y－3）2表示圆上的点（x,y）到点 M(2，3)的距离，
1
1
因为|CM|＝3 2，因此最大值为 3 2＋ ，最小值为 3 2－ .
2
2
y
（2） 可认为是圆上的点与坐标原点连线的斜率，由图形知当过原点的直线与圆
因为 > 0,所以 =
2
2
= 14.52
+ + 10.5
2
= 14.52 .
14.52 − (−2)2 − 10.5 ≈ 14.36 − 10.5 = 3.86(m).
直线与圆的位置关系应用
例2.一个小岛的周围有环岛暗礁, 暗礁分布在以小岛中心为圆心, 半径为20km的圆形区域内. 已知
小岛中心位于轮船正西40km处, 港口位于小岛中心正北30km处. 如果轮船沿直线返港, 那么它是
离为 1 即可．设圆心(0，0)到直线 12x－5y＋c＝0 的距离为 d，则 r－d>1，所以
|c|
d<r－1＝1.即 <1，解得－13<c<13.
13
圆的最值
总结
当直线与圆相交时，设圆心到直线的距离为 d(d＞0)，圆的半径为 r，则圆上
的点到直线的最大距离为 r＋d，劣弧上的点到直线的最大距离为 r－d.
人教A版2019选修第一册
第 二 章 直线和圆的方程
2.5.1 直线与圆的位置关系
学习目标
1.能正确理解直线与圆的方程，培养数学抽象的核心素养；
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题，培养数学运算、逻辑推
【优化方案】2022高考总复习(人教A版)高中数学 选修4-1 第2讲 直线与圆的位置关系
第2讲直线与圆的位置关系1．圆周角定理、圆心角定理、弦切角定理(1)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．(2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．(3)弦切角定理弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．推论：弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半．2．圆内接四边形的判定定理和性质定理定理(或推论)内容判定定理假如一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆判定定理的推论假如四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆性质定理圆的内接四边形的对角互补圆内接四边形的外角等于它的内角的对角3.圆的切线的性质及判定定理定义、定理及推论内容定义假如一条直线与一个圆有唯一公共点，则这条直线叫做这个圆的切线，公共点叫做切点判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径性质定理的推论经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心4．与圆有关的比例线段定理名称基本图形条件结论应用相交弦定理弦AB、CD相交于圆内点P(1)P A·PB＝PC·PD(2)△CAP∽△BDP(1)在P A、PB、PC、PD四线段中知三求一(2)求弦长及角割线定理P AB、PCD是⊙O的割线(1)P A·PB＝PC·PD(2)△P AC∽△PDB(1)求线段P A、PB、PC、PD(2)应用相像求AC、BD切割线定理P A切⊙O于A，PBC是⊙O的割线(1)P A2＝PB·PC(2)△P AB∽△PCA(1)P A、PB、PC知二可求一(2)求解AB、AC切线长定理P A、PB是⊙O的切线(1)P A＝PB(2)∠OP A＝∠OPB(1)证线段相等，已知P A，求PB(2)求角F考点一__圆周角、圆心角、弦切角和圆的切线问题__(1)(2022·高考江苏卷)如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两点．证明：∠OCB＝∠D.(2)(2021·唐山市统考)如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，点D 在⊙O上，AD⊥AB，AD交BC于点E，点F在DA的延长线上，AF＝AE，求证：BF是⊙O的切线．[证明](1)由于B，C是圆O上的两点，所以OB＝OC.故∠OCB＝∠B.又由于C，D是圆O上位于AB异侧的两点，故∠B，∠D为同弧所对的两个圆周角，所以∠B＝∠D.因此∠OCB＝∠D.(2)连接BD.由于AD⊥AB，所以BD是⊙O的直径．由于AE＝AF，所以∠FBA＝∠EBA.又由于AB＝AC，所以∠FBA＝∠C.又由于∠C＝∠D，∠D＋∠ABD＝90°，所以∠FBA＋∠ABD＝90°，即∠FBD＝90°，所以BF是⊙O的切线．[规律方法](1)圆周角定理、圆心角定理及推论、弦切角定理及推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相像，可求线段或角的大小．(2)判定切线通常有三种方法：①和圆有唯一公共点的直线是圆的切线；②到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；③过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线．1. 如图，已知圆上的弧AC︵＝BD︵，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点．求证：(1)∠ACE＝∠BCD；(2)BC2＝BE·CD.证明：(1)由于AC︵＝BD︵，所以∠BCD＝∠ABC.又由于EC与圆相切于点C，依据弦切角定理知∠ACE＝∠ABC，所以∠ACE＝∠BCD.(2)由于∠ECA等于AC︵所对的圆周角，∠ACB等于AB︵所对的圆周角，所以∠ECB等于CAB︵所对的圆周角，故∠ECB＝∠CDB，又由(1)知∠EBC＝∠BCD，所以△BDC∽△ECB，故BCBE＝CDBC，即BC2＝BE·CD.考点二__圆内接四边形的判定及性质____________(2022·高考课标全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.(1)证明：∠D＝∠E；(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形．[证明](1)由题设知A，B，C，D四点共圆，所以∠D＝∠CBE，由已知CB＝CE，得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.(2)如图，设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC知MN⊥BC，故O在直线MN上．又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD.所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E，由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三角形．[规律方法]证明四点共圆的常用方法：(1)四点到确定点的距离相等；(2)四边形的一组对角互补；(3)四边形的一个外角等于它的内对角；(4)假如两个三角形有公共边，公共边所对的角相等且在公共边的同侧，那么这两个三角形的四个顶点共圆．2.(2021·长春市调研) 如图，AB是圆O的直径，G是AB延长线上的一点，GCD是圆O的割线，过点G作AG的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F，过点G作圆O的切线，切点为H.(1)求证：C，D，E，F四点共圆；(2)若GH＝8，GE＝4，求EF的长．解：(1)证明：连接DB，∵AB是圆O的直径，∴∠ADB＝90°，在Rt△ABD和Rt△AFG中，∠ABD＝∠AFE，又∵∠ABD＝∠ACD，∴∠ACD＝∠AFE，∴C，D，E，F四点共圆．(2)∵C，D，E，F四点共圆，∴GE·GF＝GC·GD.∵GH是圆O的切线，∴GH2＝GC·GD，∴GH2＝GE·GF，又GH＝8，GE＝4，∴GF＝16，∴EF＝GF－GE＝12.考点三__与圆有关的比例线段__________________(2022·高考课标全国卷Ⅱ)如图，P是⊙O外一点，P A是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2P A，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E.证明：(1)BE＝EC；(2)AD·DE＝2PB2.[证明](1)连接AB，AC.由题设知P A＝PD，故∠P AD＝∠PDA.由于∠PDA＝∠DAC＋∠DCA，∠P AD＝∠BAD＋∠P AB，∠DCA＝∠P AB，所以∠DAC＝∠BAD，从而BE︵＝EC︵.因此BE＝EC.(2)由切割线定理得P A2＝PB·PC.由于P A＝PD＝DC，所以DC＝2PB，BD＝PB.由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC，所以AD·DE＝2PB2.[规律方法]相交弦定理为圆中证明等积式和有关计算供应了有力的方法和工具，应用时一方面要熟记定理的等积式的结构特征，另一方面在与定理相关的图形不完整时，要用挂念线补齐相应部分．在实际应用中，见到圆的两条相交弦就要想到相交弦定理，见到两条割线就要想到割线定理，见到切线和割线时就要想到切割线定理．3.(2021·辽宁省五校联考) 如图，A 、B是两圆的交点，AC是小圆的直径，D和E分别是CA和CB的延长线与大圆的交点，已知AC＝4，BE＝10，且BC＝AD，求DE的长．解：设CB＝AD＝x，则由割线定理得：CA·CD＝CB·CE，即4(4＋x)＝x(x＋10)，化简得x2＋6x－16＝0，解得x＝2或x＝－8(舍去)，即CD＝6，CE＝12.连接AB(图略)，由于CA为小圆的直径，所以∠CBA＝90°，即∠ABE＝90°，则由圆的内接四边形对角互补，得∠D＝90°，则CD2＋DE2＝CE2，所以62＋DE2＝122，所以DE ＝6 3.1. 如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，以D为圆心，DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O 交于点F，连接CF并延长交AB于点E.(1)求证：E是AB的中点；(2)求线段BF的长．解：(1)证明：由题意知，AB与圆D和圆O相切，切点分别为A和B，由切割线定理有：EA2＝EF·EC＝EB2，∴EA＝EB，即E为AB的中点．(2)由BC为圆O的直径，易得BF⊥CE，∴S△BEC＝12BF·CE＝12CB·BE，∴BFBE＝CBCE，∴BF＝55a.2．(2021·郑州市质量猜想) 如图，AB为圆O的直径，CD为垂直于AB的一条弦，垂足为E，弦BM与CD交于点F.(1)证明：A、E、F、M四点共圆；(2)若MF＝4BF＝4，求线段BC的长．解：(1)证明：如图，连接AM，由AB为直径可知∠AMB＝90°，又CD⊥AB，所以∠AEF＝∠AMB＝90°，因此A、E、F、M四点共圆．(2)连接AC，由A、E、F、M四点共圆，可知BF·BM＝BE·BA，在Rt△ABC中，BC2＝BE·BA，又由MF＝4BF＝4，知BF＝1，BM＝5，所以BC2＝5，BC＝ 5.3．(2021·山西省四校联考) 如图所示，P A为圆O的切线，A为切点，PO交圆O 于B，C两点，P A＝10，PB＝5，∠BAC的角平分线与BC和圆O分别交于点D和E.(1)求证：ABAC＝P APC；(2)求AD·AE的值．解：(1)证明：∵P A为圆O的切线，∴∠P AB＝∠ACP，又∠P为公共角，∴△P AB∽△PCA，∴ABAC＝P APC.(2)∵P A为圆O的切线，PC是过点O的割线，∴P A2＝PB·PC，∴PC＝20，BC＝15，又∵∠CAB ＝90°，∴AC 2＋AB 2＝BC 2＝225， 又由(1)知AB AC ＝P A PC ＝12， ∴AC ＝65， AB ＝35，连接EC (图略)，则∠CAE ＝∠EAB ， ∴△ACE ∽△ADB ，AB AE ＝ADAC ，∴AD ·AE ＝AB ·AC ＝35×65＝90.4. (2021·河北石家庄质量检测)如图，已知AB 为圆O 的一条直径，以端点B 为圆心的圆交直线AB 于C ，D 两点，交圆O 于E ，F 两点，过点D 作垂直于AD 的直线，交直线AF 于H 点．(1)求证：B ，D ，H ，F 四点共圆；(2)若AC ＝2，AF ＝22，求△BDF 外接圆的半径． 解：(1)证明：由于AB 为圆O 的一条直径， 所以BF ⊥FH .又DH ⊥BD ，故B ，D ，F ，H 四点在以BH 为直径的圆上． 所以，B ，D ，F ，H 四点共圆． (2)由题意得AH 与圆B 相切于点F ， 由切割线定理得AF 2＝AC ·AD ， 即(22)2＝2·AD ，AD ＝4，所以BD ＝12(AD －AC )＝1，BF ＝BD ＝1.又△AFB ∽△ADH ，则DH BF ＝ADAF，得DH ＝ 2.连接BH (图略)，由(1)可知BH 为△BDF 外接圆的直径．BH ＝BD 2＋DH 2＝3，故△BDF 的外接圆半径为32. 5．(2022·高考辽宁卷) 如图，EP 交圆于E 、C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG ＝PD ，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F .(1)求证：AB 为圆的直径； (2)若AC ＝BD ，求证：AB ＝ED .证明：(1)由于PD ＝PG ，所以∠PDG ＝∠PGD . 由于PD 为切线，故∠PDA ＝∠DBA . 又由于∠PGD ＝∠EGA ，故∠DBA ＝∠EGA ， 所以∠DBA ＋∠BAD ＝∠EGA ＋∠BAD ， 从而∠BDA ＝∠PF A .由于AF ⊥EP ，所以∠PF A ＝90°，于是∠BDA ＝90°， 故AB 是直径． (2)连接BC ，DC . 由于AB 是直径， 故∠BDA ＝∠ACB ＝90°.在Rt △BDA 与Rt △ACB 中，AB ＝BA ，AC ＝BD ， 从而Rt △BDA ≌Rt △ACB . 于是∠DAB ＝∠CBA . 又由于∠DCB ＝∠DAB ，所以∠DCB ＝∠CBA ，故DC ∥AB .由于AB ⊥EP ，所以DC ⊥EP ，∠DCE 为直角．于是ED 为直径．由(1)得ED ＝AB .6. (2021·山西省忻州市联考)如图，直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA ＝OB ，CA ＝CB ，⊙O 交直线OB 于E 、D ，连接EC 、CD .(1)求证：直线AB 是⊙O 的切线；(2)若tan ∠CED ＝12，⊙O 的半径为3，求OA 的长．解：(1)证明：如图，连接OC ，∵OA ＝OB ，CA ＝CB ，∴OC ⊥AB . ∵OC 是⊙O 的半径，∴AB 是⊙O 的切线．(2)∵ED 是直径，∴∠ECD ＝90°，∴∠E ＋∠EDC ＝90°，又∠BCD ＋∠OCD ＝90°，∠OCD ＝∠EDC ，∴∠BCD ＝∠E ，又∠CBD ＝∠EBC ， ∴△BCD ∽△BEC ，∴BC BE ＝BDBC ，BC 2＝BD ·BE .∵tan ∠CED ＝CD EC ＝12，△BCD ∽△BEC ，∴BD BC ＝CD EC ＝12， 设BD ＝x ，则BC ＝2x ，∵BC 2＝BD ·BE ，∴(2x )2＝x (x ＋6)，∴BD ＝2，∴OA ＝OB ＝BD ＋OD ＝2＋3＝5.1. (2021·兰州市、张掖市联考)如图，△ABC 是直角三角形，∠ABC ＝90°，以AB 为直径的圆O 交AC 于点E ，点D 是BC 边的中点，连接OD 交圆O 于点M .(1)求证：O 、B 、D 、E 四点共圆； (2)求证：2DE 2＝DM ·AC ＋DM ·AB . 证明：(1)连接BE 、OE (图略)，则BE ⊥EC .又D 是BC 的中点，所以DE ＝BD ， 又OE ＝OB ，OD ＝OD ， 所以△ODE ≌△ODB . 所以∠OED ＝∠OBD ＝90°，所以O 、B 、D 、E 四点共圆． (2)延长DO 交圆O 于点H (图略)．由于DE 2＝DM ·DH ＝DM ·(DO ＋OH )＝DM ·DO ＋DM ·OH ， 所以DE 2＝DM ·(12AC )＋DM ·(12AB )，所以2DE 2＝DM ·AC ＋DM ·AB .2．(2021·云南省第一次统一检测)已知：如图，P 是⊙O 的直径AB 延长线上的一点，割线PCD 交⊙O 于C 、D 两点，弦DF 与直径AB 垂直，H 为垂足，CF 与AB 交于点E .(1)求证：P A ·PB ＝PO ·PE ；(2)若DE ⊥CF ，∠P ＝15°，⊙O 的半径等于2，求弦CF 的长． 解：(1)证明：连接OD .∵AB 是⊙O 的直径，弦DF 与直径AB 垂直，H 为垂足，C 在⊙O 上，∴∠DOA ＝∠DCF ， ∴∠POD ＝∠PCE . 又∵∠DPO ＝∠EPC ， ∴△PDO ∽△PEC ，∴PD PE ＝POPC，即PD ·PC ＝PO ·PE . 由割线定理得P A ·PB ＝PD ·PC ，∴P A ·PB ＝PO ·PE .(2)由已知，直线AB 是弦DF 的垂直平分线， ∴ED ＝EF ，∴∠DEH ＝∠FEH . ∵DE ⊥CF ，∴∠DEH ＝∠FEH ＝45°.由∠PEC ＝∠FEH ＝45°，∠P ＝15°，得∠DCF ＝60°. 由∠DOA ＝∠DCF ，得∠DOA ＝60°.在Rt △DHO 中，OD ＝2，DH ＝OD sin ∠DOH ＝3， ∴DE ＝EF ＝DH sin ∠DEH ＝6，CE ＝DEtan ∠DCE ＝2，∴CF ＝CE ＋EF ＝2＋ 6.3. (2021·沈阳市教学质量监测)如图，已知圆O 1与圆O 2外切于点P ，直线AB 是两圆的外公切线，分别与两圆相切于A 、B 两点，AC 是圆O 1的直径，过C 作圆O 2的切线，切点为D .(1)求证：C 、P 、B 三点共线； (2)求证：CD ＝CA .证明：(1)连接PC ，P A ，PB ，BO 2，∵AC 是圆O 1的直径，∴∠APC ＝90°.连接O 1O 2必过点P ，∵AB 是两圆的外公切线，A ，B 为切点，∴∠BAP ＝∠ACP ＝α，∴∠AO 1P ＝2α.由于O 1A ⊥AB ，O 2B ⊥AB ，∴∠BO 2P ＝π－2α，∴∠O 2BP ＝α. 又∠ABP ＋∠O 2BP ＝90°，∴∠ABP ＋∠BAP ＝90°，∴C 、P 、B 三点共线． (2)∵CD 切圆O 2于点D ，∴CD 2＝CP ·CB . 在△ABC 中，∠CAB ＝90°， 又∵AP ⊥BC ，∴CA 2＝CP ·CB ， 故CD ＝CA .4. 如图，点A 是以线段BC 为直径的⊙O 上一点，AD ⊥BC 于点D ，过点B 作⊙O 的切线，与CA 的延长线相交于点E ，点G 是AD 的中点，连接CG 并延长与BE 相交于点F ，连接AF 并延长与CB 的延长线相交于点P .(1)求证：BF ＝EF ；(2)求证：P A 是⊙O 的切线．证明：(1)∵BE 是⊙O 的切线，∴EB ⊥BC . 又∵AD ⊥BC ，∴AD ∥BE .可以得知△BFC ∽△DGC ，△FEC ∽△GAC ，∴BF DG ＝CF CG ，EF AG ＝CF CG ，∴BF DG ＝EF AG ， 又∵G 是AD 的中点，∴DG ＝AG .∴BF ＝EF .(2)如图，连接AO ，AB .∵BC 是⊙O 的直径，∴∠BAC ＝90°.在Rt △BAE 中，由(1)得知F 是斜边BE 的中点，∴AF＝FB＝EF.∴∠FBA＝∠F AB.又∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO.∵BE是⊙O的切线，∴∠EBO＝90°.∴∠EBO＝∠FBA＋∠ABO＝∠F AB＋∠BAO＝∠F AO＝90°，∴P A是⊙O的切线．。
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【备选习题】 1.如图，从圆 O 外一点 P 作圆 O 的割线 PAB，PCD，AB 是圆 O 的直径，若 PA=4，PC=5，CD=3，则∠ CBD= .
2.如图，在△ABC 中，AB=AC，∠C=72°，⊙O 过 A，B 两点且与 BC 相切于点 B，与 AC 交于点 D，连接 BD， 若 BC= 5 1， 则 AC= .
19.如图所示，已知⊙O 的直径 AB＝5，C 为圆周上一点，BC＝4，过点 C 作⊙O 的切线 l，过点 A 作 l 的垂线 AD，垂足为 D，则 CD＝ .
20.如图所示， 割线 PBC 经过圆心 O， OB＝PB＝1， OB 绕点 O 逆时针旋转 120°到 OD， 连接 PD 交圆 O 于点 E， 则 PE＝______.
∴∠BOC＝180°－∠BAC＝100°， ∴∠BDC＝
1 ∠BOC＝50°. 2
答案：50° 2 2.【解析】由题意 PA =PB·PC， ∴PC=
4 =4. 1
2 2
又∵AC⊥AP，∴AC= 4 2 2 3， ∴R= 3. 答案： 3
3． 【解析】由题意知 OP⊥AB，且 AP=BP＝
3 a， 2
OD AO ＝ ， BC AB
∵BC＝6，AC＝8，∴AB＝10，
5 R， 3 5 15 ∴R＋ R＝10，∴R＝ ， 3 4 5 AD AC 4 ＝ ， AE＝AB－2R＝ ， ＝ ∴AD＝5. 2 OD BC 3 5 答案： 5 2
设 OD＝R，则 AO＝ 4.【解析】∵AC＝2，∠CAB＝30°， ∴AB＝2ACcos 30°＝2×2×
3 7 7
【备选习题】 1.【解析】连接 OC，OD，AD. 由割线定理，可得 PC·PD=PA·PB， 得 PB=
5 5 3 10. 4 1 ∠COD, 2
AB=10-4=6，∴OC=OD=CD=3， ∴∠COD=60°，又∵∠CBD= ∴∠CBD=30°.
答案：30° 2.【解析】由已知得∠C=∠ABC=72°，则∠A=∠ABD=∠DBC=36°，所以 BD=AD=BC， 2 BC =CD·AC=(AC-AD)·AC=(AC-BC)·AC，解得 AC=2. 答案：2 3． 【解析】∵OD⊥AC，BC⊥AC， ∴△ADO∽△ACB，∴
答案：③④ 13.【解析】由题意知∠ABP=∠ACB=∠ABD，又∠A=∠A，所以△ABD∽△ACB, 所以
AD AB ， 所以 AB= ADAC mn. AB AC
答案： mn 14． 【解析】连接 BD，
由题意知，∠ADB＝∠MAB＝35°，∠BDC＝90°，故∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝ 125°. 答案：125° 15． 【解析】连接 OB，OC，AC，
5.如图所示，已知⊙O1 与⊙O2 相交于 A，B 两点，过点 B 作两圆的割线，分别交⊙O1，⊙O2 于点 D，E.过 E 作 CE∥AD 交⊙O2 于 C，连 AC 交 DE 于点 P.若 AD 是⊙O2 的切线，且 PA＝6，PC＝2，BD＝9，则 AD 的长 为 ．
答案解析 1． 【解析】连接 OB，OC，则 OB⊥AB，OC⊥AC，
1 PD·PD， 3
∴PB ＝
2
1 2 6 PD ，∴PB＝ PD. 6 6 BC PB 6 ＝ ＝ . AD PD 6
又∵△PBC∽△PDA，∴
答案：
6 6 AB AE ＝ ， 即 AE·AD＝AB·AC，故③正确；由相交弦定理知④正确． AD AC
12． 【解析】①中仅当∠BAC 为直角时才成立；在②中仅当 BG⊥AE 时才成立；因为∠AEB=∠ACD,所以△AEB ∽△ACD，故
要求 CD 的最大值， 4 OE 2 OD 2，
在 Rt△BPC 中， cos∠ACB=
PC 2 5 . BC 2 5 5
答案：
5 5
6． 【解析】设 PM＝x，则 QN＝x，由相交弦定理可得 PM·MQ＝BM·MA, 即 x·(x＋1)＝1，解得 PM=x＝
5－ 1 . 2
答案：
2
BC AB ＝ ， CD AC 12 . 5
∵AB＝5，BC＝4，∴AC＝3，∴CD＝ 答案：
12 5
2 2
20.【解析】依题意得， PD＝ PO ＋OD －2POODcos 120＝ 7. 又 PE·PD＝PB·PC， 因此 PE＝
PBPC 1 3 3 7 ＝ ＝ . PD 7 7
答案：
7. 如图所示，BD 为⊙O 的直径，AB＝AC，AD 交 BC 于 E，AE＝2，ED＝4.则 AB 的长为
．
8.如图所示，在圆 O 中，直径 AB 与弦 CD 垂直，垂足为 E，EF⊥DB，垂足为 F ，若 AB=6，AE=1，则 DF·DB= .
9.在△ABC 中，∠B=30°，CD⊥AB 于 D，设圆 O 是以 CD 为直径的圆，且此圆交 AC，BC 分别于 E，F 两点， 则∠CEF= .
.
17．如图所示，AB 是⊙O 的直径，CB 切⊙O 于点 B，CD 切⊙O 于点 D，直线 CD 交 AB 于点 E.若 AB＝3，ED ＝2，则 CB 的长为 ．
18.如图所示，⊙O 的直径 AB=6 cm,P 是 AB 的延长线上的一点，过 P 点作⊙O 的切线，切点为 C，连接 AC， 若∠CPA=30°，则 PC= cm.
2a ， 3
4.如图，点 D 在⊙O 的弦 AB 上移动，AB=4，连接 OD，过点 D 作 OD 的垂线交⊙O 于点 C，则 CD 的最大值 为 .
5.如图所示，AC 为⊙O 的直径，弦 BD⊥AC 于点 P，PC=2，PA=8，则 cos∠ACB 的值为
.
6.如图所示，正△ABC 的边长为 2，点 M，N 分别是边 AB，AC 的中点，直线 MN 与△ABC 的外接圆的交点为 P，Q，则线段 PM＝ .
14．如图所示，四边形 ABCD 内接于⊙O，BC 是直径，MN 与⊙O 相切，切点为 A，∠MAB＝35°，则∠ADC ＝ .
15．EB，EC 是⊙O 的两条切线，B，C 是切点，A，D 是⊙O 上的两点，如果∠E＝46°，∠DCF＝32°，那么 ∠BAD＝ .
16.AB 是圆 O 的直径，EF 切圆 O 于点 C，AD⊥EF 于点 D，AD=2，AB=6，则 AC 的长为
2
＝BD ， 10.【解析】因为 AC 所以∠ABC＝∠BCD.
又因为 EC 与圆相切于点 C， 故∠ACE＝∠ABC.所以∠ACE＝∠BCD. 又∠ACE＝35°，因此∠BCD＝35°. 答案：35° 11.【解析】由割线定理知：PB·PA＝PC·PD， 又∵PA＝2PB，PD＝3PC，∴PB·2PB＝
5－ 1 2
7.【解析】∵AB=AC, ∴∠ABC＝∠C， 又∵∠C＝∠D，∴∠ABC＝∠D，又∠BAE＝∠DAB，∴△ABE∽△ADB， ∴AB ＝AE·AD，∴AB＝ 2 3.
2
答案： 2 3 8.【解析】连接 AD,因为 AB=6，AE=1,所以 BE=5, 在 Rt△ABD 中，DE =AE·BE= 2 1×5=5,在 Rt△BDE 中,由射影定理得 DF·DB=DE =5. 答案：5 9.【解析】如图所示，连接 DE，DF， ∵CD⊥AB，∠B=30°， ∴∠BCD=60°,∴∠FED=60°. 又∵DC 是圆 O 的直径， ∴∠CED=90°，∴∠CEF=30°. 答案：30°
根据相交弦定理得 AP ＝CP·PD，∴CP＝ 答案：
2
9 a. 8
9 a 8
2 2
4.【解析】取 AB 的中点为 E，连接 OC，OE，则 CD= OC OD 则点 D 与 E 重合.可知结果为 2. 答案：2 5.【解析】∵AC 是直径, ∴∠ABC=90° ， 2 又 BD⊥AC,BC =PC·AC=2×10， ∴BC= 2 5.
2
答案： 2 3
17． 【解析】由切割线定理得，ED ＝EA·EB，∴4＝EA(EA＋3)， ∴EA＝1.∵CB 是⊙O 的切线，∴EB⊥CB， 2 2 2 ∴EB ＋CB ＝CE ， 又∵CD 是⊙O 的切线，∴CD＝CB， 2 2 2 ∴4 ＋CB ＝(CB＋2) ，∴CB＝3. 答案：3 18.【解析】连结 OC，BC， ∵PC 是⊙O 的切线， ∴OC⊥PC. 又∵OB=OC=3 cm， 2 ∴OP=6 cm，PC =PB·PA=3×9=27. ∴PC= 3 3 cm. 答案： 3 3 19.【解析】∵CD 是⊙O 的切线， ∴∠B=∠ACD， 又 AB 为直径，∴∠ACB＝∠ADC=90°， ∴△ABC∽△ACD，∴
＝BD ， 10.如图所示，已知圆上的 AC 过 C 点的圆的切线与 BA 的延长线交于 E 点，若∠ACE＝35°，
则∠BCD＝ .
11.如图所示，四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形，延长 AB 和 DC 相交于点 P，若 的值为______．
PB 1 PC 1 BC ＝ ， ＝ ， 则 PA 2 PD 3 AD
DP PA 9＋x 6 ＝ ，∴ ＝ PE PC y 2
②，
由①②可得，
12， x＝3 x＝－ 或 (舍去) 1， y＝4， y＝－
∴DE＝9＋x＋y＝16. ∵AD 是⊙O2 的切线，DE 是⊙O2 的割线， 2 ∴AD ＝BD·DE＝9×16，∴AD＝12. 答案：12
3．已知 EB 是半圆 O 的直径，A 是 BE 延长线上一点，AC 切半圆 O 于点 D，BC⊥AC 于点 C，若 BC＝6，AC＝ 8，则 AE＝ ，AD＝ .
4.如图所示，过圆 C 外一点 P 作一条直线与圆 C 交于 A，B 两点，AB＝2AP，PT 与圆 C 相切于 T 点．已知圆 C 的半径为 2，∠CAB＝30°，则 PT＝ .
根据弦切角定理，可得∠BAD＝∠BAC＋∠CAD＝
1 (180°－∠E)＋∠DCF＝67°＋32°＝99°. 2