【同步练习】2017-2018学年高中数学必修5 等比数列的前n项和双基达标作业本(含答案)

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【人教A版】高中数学必修5教学同步讲练第二章《等比数列前n项和的示解》练习题(含答案)

第二章数列2.5 等比数列的前n 项和第1课时等比数列前n 项和的示解A 级基础巩固一、选择题1．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }前7项的和为( )A ．63B ．64C ．127D ．1282．已知等比数列{a n }中，a n ＝2×3n －1，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n 项和S n 的值为( )A ．3n －1B ．3(3n －1) C.9n －14D.3（9n －1）43．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是( )A ．190B ．191C ．192D ．1934．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于( )A ．－6(1－3－10) B.19(1－3－10) C ．3(1－3－10)D ．3(1＋3－10)5．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A ．－15B ．－5C ．5 D.15二、填空题6．在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝30，a 3＋a 4＝60，则a 7＋a 8＝________． 7．设数列{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，则a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝________．8．(2016·浙江卷)设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝________，S 5＝________．三、解答题9．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和．10．数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，n ∈N *.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列；(2)设b n ＝3n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .B级能力提升1．在等比数列{a n}中，a1＋a2＋…＋a n＝2n－1(n∈N*)，则a21＋a22＋…＋a2n等于()A．(2n－1)2 B.13(2n－1)2C．4n－1 D.13(4n－1)2．设等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，若S n＋1，S n，S n＋2成等差数列，则q的值为________．3．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知对任意的n∈N*，点(n，S n)均在函数y＝b x＋r(b＞0且b≠1，b，r均为常数)的图象上．(1)求r的值；(2)当b＝2时，记b n＝n＋14a n(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和T n.第二章数列2.5 等比数列的前n 项和第1课时等比数列前n 项和的示解（参考答案）一、选择题1．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }前7项的和为( )A ．63B ．64C ．127D ．128解析：设数列{a n }的公比为q (q ＞0)，则有a 5＝a 1q 4＝16，所以q ＝2，数列的前7项和为S 7＝a 1（1－q 7）1－q ＝1－271－2＝127. 答案：C2．已知等比数列{a n }中，a n ＝2×3n －1，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n 项和S n 的值为( )A ．3n －1B ．3(3n －1) C.9n －14D.3（9n －1）4解析：因为a n ＝2×3n －1，则数列{a n }是以2为首项，3为公比的等比数列，由此数列的偶数项所组成的新数列是以6为首项，以9为公比的等比数列，则前n 项和为S n ＝6（1－9n ）1－9＝3（9n －1）4.答案：D3．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是( )A ．190B ．191C ．192D ．193解析：设最下面一层灯的盏数为a 1，则公比q ＝12，n ＝7，由a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1271－12＝381，解得a 1＝192.答案：C4．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于( )A ．－6(1－3－10) B.19(1－3－10) C ．3(1－3－10)D ．3(1＋3－10)解析：因为3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43≠0，所以a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝－13，所以数列{a n }是以－13为公比的等比数列．因为a 2＝－43，所以a 1＝4，所以S 10＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13101－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝3(1－3－10)．答案：C5．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A ．－15B ．－5C ．5 D.15解析：由log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，得log 3a n ＋1－log 3a n ＝1且a n >0，即log 3a n ＋1a n ＝1，解得a n ＋1a n ＝3，所以数列{a n }是公比为3的等比数列．因为a 5＋a 7＋a 9＝(a 2＋a 4＋a 6)q 3，所以a 5＋a 7＋a 9＝9×33＝35.所以log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝log 1335＝－log 335＝－5.答案：B 二、填空题6．在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝30，a 3＋a 4＝60，则a 7＋a 8＝________．解析：因为a 1＋a 2＝a 1(1＋q )＝30，a 3＋a 4＝a 1q 2(1＋q )＝60，所以q 2＝2，所以a 7＋a 8＝a 1q 6(1＋q )＝[a 1(1＋q )]·(q 2)3＝30×8＝240.答案：2407．设数列{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，则a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝________．解析：法一：a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝1＋|1×(－2)|＋1×(－2)2＋|1×(－2)3|＝15. 法二：因为a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|，数列{|a n |}是首项为1，公比为2的等比数列，故所求代数式的值为1－241－2＝15.答案：158．(2016·浙江卷)设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝________，S 5＝________．解析：a 1＋a 2＝4，a 2＝2a 1＋1⇒a 1＝1，a 2＝3，再由a n ＋1＝2S n ＋1，a n ＝2S n －1＋1(n ≥2)⇒a n ＋1－a n ＝2a n ⇒a n ＋1＝3a n (n ≥2)，又a 2＝3a 1，所以a n ＋1＝3a n (n ≥1)，S 5＝1－351－3＝121.答案：1 121 三、解答题9．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件可得 ⎩⎨⎧a 1＋d ＝0，2a 1＋12d ＝－10，解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝－1. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n .(2)设数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和为S n ，即S n ＝a 1＋a 22＋…＋a n 2n －1，故S 1＝1，S n2＝a 12＋a 24＋…＋a n2n . 所以，当n ＞1时，S n2＝a 1＋a 2－a 12＋…＋a n －a n －12n －1－a n 2n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋14＋…＋12n －1－2－n 2n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －1－2－n 2n ＝n 2n ，所以S n ＝n2n －1，综上，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和S n ＝n2n －1.10．数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，n ∈N *.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列；(2)设b n ＝3n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . (1)证明：由已知可得a n ＋1n ＋1＝a nn＋1，即a n ＋1n ＋1－a nn＝1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝1为首项，1为公差的等差数列．(2)解：由(1)得a nn ＝1＋(n －1)·1＝n ，所以a n ＝n 2.从而b n ＝n ·3n 。

2017-2018学年高一数学必修5课时作业13 等比数列的前n项和

课时作业(十三) 等比数列的前n 项和A 组 (限时：10分钟)1．已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么前10项的和等于( ) A ．31 B ．33 C ．35 D ．37 解析：∵S 5＝1，∴a 1－251－2＝1，即a 1＝131.∴S 10＝a 1－2101－2＝33.答案：B2．设首项为1，公比为23的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则( )A ．S n ＝2a n －1B ．S n ＝3a n －2C ．S n ＝4－3a nD ．S n ＝3－2a n解析：S n ＝a 1－q n1－q＝a 1－a n q1－q ＝1－23a n1－23＝3－2a n ，故选D. 答案：D3．一个等比数列的前7项和为48，前14项和为60，则前21项和为( ) A ．180 B ．108 C ．75 D ．63解析：由性质可得S 7，S 14－S 7，S 21－S 14成等比数列，故(S 14－S 7)2＝S 7·(S 21－S 14)．又∵S 7＝48，S 14＝60，∴S 21＝63. 答案：D4．已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和．若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝________.解析：x 2－5x ＋4＝0的两根为1和4，又数列递增，所以a 1＝1，a 3＝4，q ＝2. 所以S 6＝－261－2＝63.答案：635．在等比数列{a n }中，已知a 1＝2，q ＝3，若S n ＝26，求n . 解：a 1＝2，q ＝3，S n ＝26，∴代入公式S n ＝a 1－q n1－q，得26＝－3n1－3.整理得3n＝27，∴n ＝3.B 组 (限时：30分钟)1．在等比数列{a n }中，公比q ＝－2，S 5＝44，则a 1的值为( ) A ．4 B ．－4 C ．2 D ．－2 解析：∵S 5＝a 1[1－－5]1－－＝33a 13＝11a 1＝44.∴a 1＝4，∴选A. 答案：A2．在等比数列{a n }中，若a 1＝1，a 4＝18，则该数列前10项和为( )A ．2－128B ．2－129C ．2－1210 D ．2－1211 解析：设公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 1q 3＝18，解得q ＝12，则该数列的前10项和为S 10＝a 1－q101－q＝1－12101－12＝2－129.答案：B3．在等比数列{a n }中a 3＝7，前3项和S 3＝21，则公比q 的值为( ) A ．1 B ．－12C ．1或－12D ．－1或12解析：由7q 2＋7q＋7＝21，得2q 2－q －1＝0，解得：q ＝1或q ＝－12，∴选C.答案：C4．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知3S 3＝a 4－2,3S 2＝a 3－2，则公比q 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：由题意，得3S 3－3S 2＝(a 4－2)－(a 3－2)，则3a 3＝a 4－a 3，则a 4＝4a 3，∴q ＝a 4a 3＝4.答案：B5．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 2等于( ) A ．2 B ．4 C.152 D.172解析：S 4＝a 1－241－2＝15a 1，a 2＝a 1q ＝2a 1，∴S 4a 2＝152. 答案：C6．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( )A.152B.314C.334 D.172解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ·a 1q 3＝1，a 1－q 31－q＝7，解得a 1＝4，q ＝12，所以S 5＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1251－12＝314.答案：B7．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝________. 解析：∵1－q 61－q ＝4·1－q 31－q ，∴1＋q 3＝4，∴q 3＝3，∴a 4＝a 1·q 3＝3. 答案：38．今年，某公司投入资金500万元，由于坚持改革、大胆创新，以后每年投入资金比上一年增加30%，那么7年后该公司共有资金________万元．解析：设第n 年投入的资金为a n 万元，则a n ＋1＝a n ＋a n ×30%＝1.3a n ，则a n ＋1a n＝1.3，所以数列{a n }是首项为500，公比为 1.3的等比数列，所以7年后该公司共有资金S 7＝a 1－q 71－q＝－1.371－1.3＝50003(1.37－1)万元．答案：7－39．若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________；前n 项和S n ＝________.解析：由题意知q ＝a 3＋a 5a 2＋a 4＝4020＝2. 由a 2＋a 4＝a 2(1＋q 2)＝a 1q (1＋q 2)＝20， ∴a 1＝2.∴S n ＝－2n1－2＝2n ＋1－2.答案：2 2n ＋1－210．在等比数列{a n }中，S 3＝139，S 6＝3649，求a n . 解：由已知S 6≠2S 3，则q ≠1.又S 3＝139，S 6＝3649，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1－q 31－q＝139①a 1－q61－q ＝3649②)②÷①，得1＋q 3＝28，∴q ＝3.可求得a 1＝19.因此a n ＝a 1qn －1＝3n －3.11．某工厂去年1月份的产值为a 元，月平均增长率为p ，求这个工厂去年全年产值的总和．解：该工厂去年2月份的产值为a (1＋p )元，3月、4月、…的产值分别为a (1＋p )2、a (1＋p )3、…，去年12个月的产值组成以a 为首项，(1＋p )为公比的等比数列．因此，该厂去年全年的总产值为S 12＝a [1－＋p 12]1－＋p＝a ＋p12－1]p .即该工厂去年全年的总产值为a＋p12－1]p元．12．已知等比数列{a n }的公比q ＝－12.(1)若a 3＝14，求数列{a n }的前n 项和；(2)证明：对任意k ∈N *，a k ，a k ＋2，a k ＋1成等差数列．解：(1)由a 3＝a 1q 2＝14及q ＝－12，得a 1＝1，所以数列{a n }的前n 项和S n ＝1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －13.(2)证明：对任意k ∈N *， 2a k ＋2－(a k ＋a k ＋1)＝2a 1qk ＋1－(a 1qk －1＋a 1q k )＝a 1qk －1(2q 2－q －1)，由q ＝－12得2q 2－q －1＝0，故2a k ＋2－(a k ＋a k ＋1)＝0.所以，对任意k ∈N *，a k ，a k ＋2，a k ＋1成等差数列．。

人教A版高中数学必修五2.5等比数列前n和同步检测.docx

2.5等比数列前n 和同步检测一、选择题1．已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，a 5＝－2，a 8＝16，则S 6等于( )A.218 B ．218- C. 178 D ．178- 答案：A解析：解答：设公比为q ，首项1a ，因为a 5＝－2，a 8＝16，所以4171=-2,16,a q a q ⎧⎪⎨=⎪⎩解得q ＝－2，a 1＝－18.所以S 6＝()6112118a q q -=-.选A.分析：根据等比数列的通项公式求出首项和公比，根代入等比数列的前n 项和公式即可． 2．在等比数列{a n }中，公比q ＝－2，S 5＝44，则a 1的值为( )A ．4B ．－4C ．2D ．－2 答案：A解析：解答：设首项1a ，因为S 5＝()5111a q q--，所以()()()511-2=441-2a --，解得a 1＝4，故选A.分析：根据等比数列的等比数列的前n 项和公式，代入即可． 3．已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝t ·5n －2－15，则实数t 的值为( )． A ．4 B ．5C. 45D.15答案：B解析：解答：设公比为q ，首项1a ，当n=1时，a 1＝S 1＝15t －15，a 2＝S 2－S 1＝45t ， a 3＝S 3－S 2＝4t ，∴由{a n }是等比数列知2411555t t ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭·4t ，显然t ≠0，所以t ＝5.故选B.分析：根据等比中项的性质m +n =2p ，则a m a n =a p a p ，，代入即可． 4.已知等比数列｛a n ｝的公比q=31，且a 1+a 3+a 5+…+a 99=60，则a 1+a 2+a 3+a 4+…+a 100等于( ) A.100B.90C.60D.40答案：B解析：解答：设公比为q ，首项1a ，因为a 1+a 3+a 5+…+a 99=60，则a 2 +a 4+…+a 100=q （a 1+a 3+a 5+…+a 99）=160302⨯=, a 1+a 2+a 3+a 4+…+a 100=90,故选B.分析：根据数列的连续的奇数项与偶数项的关系，即可解此题．5．已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝( ) A ．35 B ．33 C ．31 D ．29答案：B解析：解答：设数列{a n }的公比为q ，首项1a ，则a 2·a 3＝a 21·q 3＝a 1·a 4＝2a 1⇒a 4＝2，a 4＋2a 7＝a 4＋2a 4q 3＝2＋4q 3＝2×54⇒q ＝12，故a 1＝43a q ＝16，S 5＝()511311a q q-=-.故选：C分析：根据等比数列的通项公式求出首项和公比，根代入等比数列的前n 项和公式即可． 6、若a ，4，3a 为等差数列的连续三项，则a 0+a 1+a 2+…+a 9的值为（） A 、2047 B 、1062 C 、1023 D 、531答案：B解析：解答：解：由于a+3a=4a=2×4，解得a=2，故a 0+a 1+a 2+…+a 9=20+21+22+…+29=()()101011121023112a q q--==--．故选C ．故选：C分析：根据等比数列的通项公式求出首项和公比，根代入等比数列的前n 项和公式即可． 7、等比数列{a n }的前n 项之和为S n ，公比为q ，若S 3=16且112819a q =-，则S 6=（） A 、14 B 、18 C 、102D 、144答案：A解析：解答：因为S 3=16，112819a q =-则()311161a q q-=-，将()112819a q =-代入()311161a q q-=-，化简得3918q -=，解得,1643a =12q =-，所以6664113214112S ⎛⎫⎛⎫⨯-- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==⎛⎫-- ⎪⎝⎭,故选A分析：根据等比数列的通项公式求出首项和公比，根代入等比数列的前n 项和公式即可． 8.已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列{1na }的前5项和为( )A.158或5 B. 3116或5 C. 3116D.158答案：A解析：解答：若q ＝1，则由9S 3＝S 6得9×3a 1＝6a 1，则a 1＝0，不满足题意，故q ≠1. 由9S 3＝S 6得()()361111911a q a q qq--⨯=--，解得q ＝2.故a n ＝a 1q n －1＝2n －1，1112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭所以数列{1na }是以1为首项，12为公比的等比数列，其前5项和为5511123111612s ⎛⎫⎛⎫⨯- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==-.故选C. 分析：根据等比数列的通项公式求出首项和公比，根代入等比数列的前n 项和公式即可． 9、已知{a n }是等比数列，2512,,4a a ==则1223341n n a a a a a a a a +++++=……（） A.16（n --41） B. 16（n --21） C.332（n --41） D. 332（n --21）答案：C解析：解答：由33255212,,24a a a a q q ====，解得12q =，数列{}1n n a a +仍是等比数列：其首项是128,a a =公比为14，所以1223341n n a a a a a a a a +++++=……()181432141314n n -⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=--．.故选C.分析：根据等比数列的通项公式求出首项和公比，根代入等比数列的前n 项和公式即可． 10、在等比数列{a n }中，前7项和S 7=16，又a 12+a 22+…+a 72=128，则a 1﹣a 2+a 3﹣a 4+a 5﹣a 6+a 7=（） A 、8B 、132C 、6D 、72答案：A解析：解答：∵S 7=()711161a q q-=-，∴a 12+a 22+…+a 72=()2141211a q q --=()()77111111a q a q q q--⋅--=128，即()71181a q q-=-则a 1﹣a 2+a 3﹣a 4+a 5﹣a 6+a 7=（a 1﹣a 2）+（a 3﹣a 4）+（a 5﹣a 6）+a 7 =a 1（1﹣q ）+a 1q 2（1﹣q ）+a 1q 4（1﹣q ）+a 1q 6=()()612111a q q q ---+a 1q 6=()71181+a q q+=；故选A分析：把已知的前7项和S 7=16利用等比数列的求和公式化简，由数列{a n 2}是首项为a 1，公比为q 2的等比数列，故利用等比数列的求和公式化简a 12+a 22+…+a 72=128，变形后把第一个等式的化简结果代入求出()7111+a q q+的值，最后把所求式子先利用等比数列的通项公式化简，把前六项两两结合后，发现前三项为等比数列，故用等比数列的求和公式化简，与最后一项合并后，将求出()7111+a q q+的值代入即可求出值．11、设s n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2+a 5=0则52S S =（）A 、﹣11B 、﹣8C 、5D 、11答案：A解析：解答：设公比为q ，由8a 2+a 5=0，得8a 2+a 2q 3=0，解得q=﹣2，所以5521111S q S q-==--．故选A ．分析：根据等比数列的通项公式求出首项和公比，根代入等比数列的前n 项和公式即可． 12、设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若633,S S =则96SS =（） A 、2 B 、73 C 、83D 、3答案：B解析：解答：设公比为q ，则63633111S q q S q-==+-=3所以q 3=2，所以93962611271123S q S q --===--．故选B ．分析：首先由等比数列的前n 项和公式列方程，并解得q 3，然后再次利用等比数列的前n 项和公式则求得答案．13、在等比数列{a n }（n ∈N *）中，若1411,8a a ==，则该数列的前10项和为（） A 、8122-B 、9122-C 、10122-D 、11122-答案：B解析：解答：设公比为q ，由314411111,,,882a a a a q ====则所以q=，所以10109111221212s ⎛⎫- ⎪⎝⎭==--．故选B ．分析：先由等比数列的通项公式求出公比q ，再根据等比数列的前n 项和公式求前10项和即可．14、在等比数列{a n }中，a 1=2，前n 项和为s n ，若数列{a n +1}也是等比数列，则s n 等于（） A 、2n+1﹣2B 、3n 2C 、2nD 、3n ﹣1答案：C解析：解答：因数列{a n }为等比，则a n =2qn ﹣1，因数列{a n +1}也是等比数列，则（a n+1+1）2=（a n +1）（a n+2+1） ∴a n+12+2a n+1=a n a n+2+a n +a n+2∴a n +a n+2=2a n+1∴a n （1+q 2﹣2q ）=0 ∴q=1,即a n =2，所以s n =2n ，故选C ．分析：根据数列{a n }为等比可设出a n 的通项公式，因数列{a n +1}也是等比数列，进而根据等比性质求得公比q ，进而根据等比数列的求和公式求出s n ．15．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝5，S m ＝－11，S m ＋1＝21，则m ＝( )A ．3 B.4 C ．5 D.6 答案：C解析：解答：由已知得，S m －S m －1＝a m ＝－16，S m ＋1－S m ＝a m ＋1＝32，故公比q ＝+1m m a a ＝－2，又S m ＝11m a a q q--＝－11，故a 1＝－1，又a m ＝a 1·q m －1＝－16，故(－1)×(－2)m －1＝－16，求得m ＝5.故选C ．分析：先由等比数列的通项公式求出公比q ，再根据等比数列的前n 项和公式，反求出m 即可．二、填空题16．已知等比数列{a n }中，a 1＋a 3＝10，前4项和为40.求数列{a n }的通项公式：答案：a n ＝3n －1解析：解答：解：设等比数列{a n }的公比为q ，a 1＋a 3＝10，前4项和为40，则211231111+10,40,a a q a a q a q a q ⎧=⎪⎨+++=⎪⎩解得11,3,a q =⎧⎨=⎩∴a n ＝a 1q n －1＝3n －1. ∴等比数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1.分析：先根据等比数列的前n 项和公式，再由等比数列的通项公式求出公比q ，求出a n 即可． 17．等比数列的公比为2，前4项之和等于10，则前8项之和等于________．答案：170解析：解答：S 8－S 4＝q 4·S 4＝24·10＝160，S 8＝170.答案：170 分析：先根据等比数列的前n 项和“片段和”的性质，即可求出s 8即可18．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1＝2，a 2＋a 3＝12，则该数列的前4项和为__________．答案：30解析：解答：设等比数列{a n }的公比为q ，由a 1＝2，a 2＋a 3＝12，则a 1q ＋a 1q 2＝12，解得q＝2，故S 4＝421212⨯--＝30.答案：30分析：先由等比数列的通项公式求出公比q ，再根据等比数列的前n 项和公式即可 19、已知等比数列()n a 中21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是．答案：(][),13,-∞-+∞U解析：解答：∵等比数列()n a 中21a = ∴312321111S a a a a q q q q⎛⎫=++=++=++ ⎪⎝⎭ ∴当公比0q >时，31113S q q =++≥+=；当公比0q <时，31111S q q ⎛⎫=---≤-=- ⎪⎝⎭ ∴(][)3,13,S ∈-∞-+∞U 故答案(][),13,-∞-+∞U ；分析：先由等比数列的通项公式求出公比q ，再根据等比数列的前n 项和公式即可20、等差数列{a n }前n 项和S n ，a 1=2，S 10=110，若()*12=log nn a b n N ∈，则数列{b n }的前n 项和为．答案： 11134n⎛⎫-⎪⎝⎭解析：解答：∵等差数列{a n }中，a 1=2，S 10=110，∴1091021102d ⨯⨯+=，解得d=2，∴a n =2+（n ﹣1）×2=2n ，∵()*12=log n n a b n N ∈，21111,,2444n nn b b q ⎛⎫⎛⎫∴==∴== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭公比 ∴数列{b n }的前n 项和11144114nn T ⎛⎫-⎪⎝⎭=-=11134n⎛⎫-⎪⎝⎭．故答案为：11134n ⎛⎫-⎪⎝⎭．分析：本题考查等差数列和等比数列的通项公式，解题时要认真审题，注意对数性质的灵活运用．21．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，S 3，S 2成等差数列． (1)求{a n }的公比q ；答案：依题意有a 1＋(a 1＋a 1q )＝2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)．由于a 1≠0，故2q 2＋q ＝0.又q ≠0，从而q ＝－12(2)若a 1－a 3＝3，求S n .答案：由已知可得a 1－a 1(－12)2＝3，故a 1＝4. 从而S n ＝11281=1--13212n n⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+ 解析：分析：本题考查等差数列和等比数列的通项公式，解题时要认真审题，注意对数性质的灵活运用．22.已知等比数列{a n }满足38312,,8a a ==记其前n 项和为.n S （1）求数列{a n }的通项公式a n ；答案：设等比数列{a n }的公比为q ，因为38312,,8a a ==则2117112,148,32,8a q a q a q ⎧=⎪==⎨=⎪⎩解得，所以1111482n n n a a q --⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭（2）若93,n s n =求答案：93n s =Q ，()1148112196111212n n nna q s q ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪-⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦===-⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎣⎦- 由196193,52n n s n ⎡⎤⎛⎫=-==⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦解得解析：分析：本题考查等比数列的通项公式，求前n 项和，解题时要认真审题，注意对数性质的灵活运用．23．已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3＝a 4＋6，且a 1，a 4，a 13 成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；答案：设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)．因为S 3＝a 4＋6，所以3a 1＋322d⨯＝a 1＋3d ＋6. 所以a 1＝3.因为a 1，a 4，a 13成等比数列，所以a 1(a 1＋12d )＝(a 1＋3d )2，即3(3＋12d )＝(3＋3d )2. 解得d ＝2. 所以a n ＝2n ＋1(2)设b n ＝2a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．答案：由题意b n ＝22n ＋1＋1，设数列{b n }的前n 项和为T n ，c n ＝22n ＋1，21+112122n n n n c c +++=＝4(n ∈N *)，所以数列{c n }为以8为首项，4为公比的等比数列．所以T n ＝81414n --（）＋n ＝232-83n +＋n .解析：分析：本题考查等差数列和等比数列的通项公式，解题时要认真审题，注意对数性质的灵活运用．24. 已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=．（1）求{}n a 的通项公式；答案：设等差数列{}n a 的公差为d.因为432a a -=，所以2d =. 又因为1210a a +=，所以1210a d +=，故14a =. 所以42(1)22n a n n =+-=+ (1,2,)n =L（2）设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =，问：6b 与数列{}n a 的第几项相等？答案：设等比数列{}n b 的公比为q .因为238b a ==，3716b a ==，所以2q =，14b =.所以61642128b -=⨯=.由12822n =+，得63n =.所以6b 与数列{}n a 的第63项相等解析：分析：本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用等差数列的通项公式，将1234,,,a a a a 转化成1a 和d ，解方程得到1a 和d 的值，直接写出等差数列的通项公式即可；第二问，先利用第一问的结论得到2b 和3b 的值，再利用等比数列的通项公式，将2b 和3b 转化为1b 和q ，解出1b 和q 的值，得到6b 的值，再代入到上一问等差数列的通项公式中，解出n 的值，即项数.25、已知数列},{n a 定义倒均数是*,11121N n na a a V nn ∈+++=Λ （1）若数列}{n a 的倒均数是21+=n V n ，求数列的通项公式n a 答案：21+=n V n ， 2111121+=+++∴n n a a a n Λ当2≥n 时2)1()1(1112121-+-=+++-n n a a a n Λ即2111221nn a a a n +=++++ΛΛ n a n =∴1 ，11111===∴a n na n 时*)(111N n na a n ∈=∴=∴ （2）若等比数列,,211}{n n V q b 其倒数为公比为的首项为=-问是否存在正整数m ，使得当16,-<≥n V m n 时恒成立，若存在，求出m 的最小值；若不存在，说明理由. 答案：∵2111=-=q b }1{nb ∴是首项为－1，公比为2的等比数列nn n b b b V n n n n 2121)21(111121-=---=+++=∴Λ 不等式162116-<--<n V nn 即n n 1612>-∴令1)1(162)1(1162)(1-+-=+--=+n n f n n f n n则162)()1(-=-+nn f n f& 鑫达捷致力于精品文档精心制作仅供参考 &鑫达捷当)()1(4n f n f n ≤+≤时即0)1()2()3()4()5(<<<<=f f f f f当Λ<<<>+≥)7()6()5()()1(5f f f n f n f n 时又033)6(<-=f 015)7(>=f故当7≥n 时有0)(>n f即1612>-n 恒成立，因此存在正整数m ，使得*)(N n m n ∈≥时16-<n V 恒成立且m 的最小值为7.解析：分析：本题考查数列的通项公式，等比数列前n 和的综合应用，解题时要认真审题，注意对数性质的灵活运用．。

【同步练习】2017-2018学年高中数学必修5 等比数列的前n项和课时作业本一(含答案)

2017-2018学年高中数学必修5 等比数列的前n 项和课时作业本一、填空题：1.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5=0，则25S S =________. 2.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=1，S 6=4S 3，则a 4=________. 3.记等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3=2，S 6=18，则510S S =________. 4.设等比数列{a n }的公比q=2，前n 项和为S n ，则24a S =________. 5.设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和，若{S n }是等差数列，则q=________.6.若等比数列{a n }中，a 1=1，a n =－512，前n 项和为S n =－341，则n 的值是________.7.在等比数列{a n }中，公比q 是整数，a 1＋a 4=18，a 2＋a 3=12，则此数列的前8项和为________.8.设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2a 4=1，S 3=7，则S 5=____________.9.如果数列{a n }的前n 项和S n =2a n －1，则此数列的通项公式a n =________.10.在数列{a n }中，a n ＋1=ca n (c 为非零常数)，且前n 项和为S n =3n －1＋k ，则实数k 的值为________.二、解答题:11.在等比数列{a n }中，a 1＋a n =66，a 3a n －2=128，S n =126，求n 和q.12.求和：S n=x＋2x2＋3x3＋…＋nx n (x≠0).13.已知等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别为S n，S2n，S3n，求证：S2n＋S22n=S n(S2n＋S3n).14.已知数列{a n}的前n项和S n=2n＋2－4.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=a n·log2a n，求数列{b n}的前n项和T n.答案1.－11；解析：由8a 2＋a 5=0得8a 1q ＋a 1q 4=0，∴q=－2.2.3；解析：S 6=4S 3⇒q q a --1)1(16=qq a --1)1(431⇒q 3=3(q 3=1不合题意，舍去). ∴a 4=a 1·q 3=1×3=3.3.33；解析：由题意知公比q ≠1，36S S ==1＋q 3=9，∴q=2，510S S ==1＋q 5=1＋25=33. 4.215；解析：由等比数列的定义，S 4=a 1＋a 2＋a 3＋a 4=q a 2＋a 2＋a 2q ＋a 2q 2，得=24a S q1＋1＋q ＋q 2=215. 5.1；解析：∵a n 是等比数列，∴a n =a 1q n －1，∵{S n }是等差数列.∴2S 2=S 1＋S 3.即2a 1q ＋2a 1=a 1＋a 1＋a 1q ＋a 1q 2，化简得q 2－q=0，q ≠0，∴q=1.6.10；解析：S n =111--q a a n ，∴－341=qq -+15121， ∴q=－2，又∵a n =a 1q n －1，∴－512=(－2)n －1，∴n=10.7.510；解析：由a 1＋a 4=18和a 2＋a 3=12，得方程组a 1+a 1q 3=18,a 1q+a 1q 2=12，解得a 1=2,q=2或a 1=16,q=0.5.∵q 为整数，∴q=2，a 1=2，S 8=29－2=510. 8.431；解析：∵{a n }是由正数组成的等比数列，且a 2a 4=1，∴设{a n }的公比为q ，则q>0，且a 23=1，即a 3=1.∵S 3=7，∴a 1＋a 2＋a 3=21q ＋q1＋1=7，即6q 2－q －1=0. 故q=21或q=－31(舍去)，∴a 1=21q =4.∴S 5==8(1－521)=431. 9.2n －1；解析：当n=1时，S 1=2a 1－1，∴a 1=2a 1－1，∴a 1=1.当n ≥2时，a n =S n －S n －1=(2a n －1)－(2a n －1－1)∴a n =2a n －1，∴{a n }是等比数列，∴a n =2n －1，n ∈N *.10.－31；解析：当n=1时，a 1=S 1=1＋k ，当n ≥2时，a n =S n －S n －1=(3n －1＋k)－(3n －2＋k)=3n －1－3n －2=2·3n －2.由题意知{a n }为等比数列，所以a 1=1＋k=32，∴k=－31. 11.解：∵a 3a n －2=a 1a n ，∴a 1a n =128，解方程组a1an=128,a1+an=66,得a1=64,an=2①或a1=2,an=64②将①代入S n =qq a a n --11，可得q=21，由a n =a 1q n －1可解得n=6. 将②代入S n =qq a a n --11，可得q=2，由a n =a 1q n －1可解得n=6. 故n=6，q=21或2. 12.解:分x=1和x ≠1两种情况.(1)当x=1时，S n =1＋2＋3＋…＋n=2)1(+n n . (2)当x ≠1时，S n =x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n ，xS n =x 2＋2x 3＋3x 4＋…＋(n －1)x n ＋nx n ＋1，∴(1－x)S n =x ＋x 2＋x 3＋…＋x n －nx n ＋1=x x x n --1)1(－nx n ＋1.∴S n =2)1()1(x x x n --－x nx n -+11. 综上可得S n =2)1(+n n (x=1)；S n =2)1()1(x x x n --－xnx n -+11.（x ≠1且x ≠0）. 13.证明:设此等比数列的公比为q ，首项为a 1，当q=1时，则S n =na 1，S 2n =2na 1，S 3n =3na 1，S 2n ＋S 22n =n 2a 21＋4n 2a 21=5n 2a 21，S n (S 2n ＋S 3n )=na 1(2na 1＋3na 1)=5n 2a 21， ∴S 2n ＋S 22n =S n (S 2n ＋S 3n ).当q ≠1时，则S n =)1(11n q q a --，S 2n =)1(121n q q a --，S 3n =)1(131n q qa --， ∴S 2n ＋S 22n =21)1(q a -·[(1－q n )2＋(1－q 2n )2]=21)1(qa -·(1－q n )2·(2＋2q n ＋q 2n ). 又S n (S 2n ＋S 3n )=21)1(q a -·(1－q n )2·(2＋2q n ＋q 2n )，∴S 2n ＋S 22n =S n (S 2n ＋S 3n ). 14.解:(1)由题意，S n =2n ＋2－4，n ≥2时，a n =S n －S n －1=2n ＋2－2n ＋1=2n ＋1，当n=1时，a 1=S 1=23－4=4，也适合上式，∴数列{a n }的通项公式为a n =2n ＋1，n ∈N *.(2)∵b n =a n log 2a n =(n ＋1)·2n ＋1，∴T n =2·22＋3·23＋4·24＋…＋n ·2n ＋(n ＋1)·2n ＋1，①2T n =2·23＋3·24＋4·25＋…＋n ·2n ＋1＋(n ＋1)·2n ＋2.②②－①得，T n =－23－23－24－25－…－2n ＋1＋(n ＋1)·2n ＋2 =－23－21)21(213---n ＋(n ＋1)·2n ＋2 =－23－23(2n －1－1)＋(n ＋1)·2n ＋2=(n ＋1)·2n ＋2－23·2n －1=(n ＋1)·2n ＋2－2n ＋2=n ·2n ＋2.。

高中数学新人教A版必修5习题 2.5 等比数列的前n项和2

等比数列的综合应用A 组基础巩固1．已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么前10项和等于( ) A ．31 B ．33 C ．35 D ．37解析：根据等比数列性质得S 10－S 5S 5＝q 5， ∴S 10－11＝25，∴S 10＝33.答案：B2．在等比数列{a n }中，S 4＝1，S 8＝3，则a 17＋a 18＋a 19＋a 20的值是( ) A ．14 B ．16 C ．18 D ．20解析：S 4＝1，S 8＝3.∴S 8－S 4＝2，∵S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12，S 20－S 16，…，成等比数列，且公比为2， ∴a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝S 20－S 16＝1·24＝16. 答案：B3．如果一个项数为偶数的等比数列，它的偶数项和是奇数项和的2倍，又它的首项为1，且中间两项的和为96，则此等比数列的项数为( )A ．12B ．10C ．8D ．6解析：设等比数列为{a n }，其项数为2n ，公比为q ，则a 1＝1，a n ＋a n ＋1＝96.S 偶＝a 21－q 2n 1－q 2，S 奇＝a 11－q 2n1－q2. 由S 偶＝2S 奇，得a 2＝2a 1＝2.∴q ＝2. 由a n ＋a n ＋1＝96，得2n －1＋2n＝96.∴3·2n －1＝96，即2n －1＝32，∴n ＝6,2n ＝12. 答案：A4．在等比数列中，已知a 1a 38a 15＝243，则a 39a 11的值为( )A ．3B ．9C ．27D ．81 解析：∵a 1a 15＝a 28， ∴a 58＝243＝35，∴a 8＝3，答案：T 8T 4T 12T 88．在等比数列{a n }中，a 1＝3，a 4＝81，若数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和S n ＝________.解析：∵a 1＝3，a 4＝81，∴3q 3＝81， ∴q ＝3，a n ＝3×3n －1＝3n， ∴b n ＝log 33n＝n ，1b n b n ＋1＝1n n ＋1， ∴S n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋1b 3b 4＋…＋1b n －1b n＋1b n b n ＋1＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n －1n＋1n n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 答案：nn ＋19．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，.a 6＋a 8＝－10. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝0，2a 1＋12d ＝－10.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝－1.故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n . (2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和为S n ，即S n ＝a 1＋a 22＋…＋a n2n －1.故S 1＝1，S n 2＝a 12＋a 24＋…＋a n2n . 所以，当n >1时，S n2＝a 1＋a 2－a 12＋…＋a n －a n －12n －1－a n2n＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋14＋…＋12n －1－2－n 2n＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －1－2－n 2n ＝n 2n .所以S n ＝n2n －1.当n ＝1时，S 1符合此式．综上，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和S n ＝n2n －1.10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n 2＋n ，n ∈N *，数列{b n }满足a n ＝4log 2b n ＋3，n ∈N *.(1)求a n ，b n ；(2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .解：(1)由S n ＝2n 2＋n ，得当n ＝1时，a 1＝S 1＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n －1，当n ＝1时也适合，所以a n ＝4n －1，n ∈N *. 由4n －1＝a n ＝4log 2b n ＋3，得b n ＝2n －1，n ∈N *.(2)由(1)知a n ·b n ＝(4n －1)·2n －1，n ∈N *，所以T n ＝3＋7×2＋11×22＋…＋(4n －1)·2n －1，2T n ＝3×2＋7×22＋…＋(4n －5)·2n －1＋(4n －1)·2n，所以2T n －T n ＝(4n －1)·2n－＝(4n －5)·2n＋5. 故T n ＝(4n －5)·2n＋5，n ∈N *.B 组能力提升11．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若8a 2＋a 5＝0，则下列式子中数值不能确定的是( )A.a 5a 3 B.S 5S 3C.a n ＋1a n D.S n ＋1S n解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则8a 1q ＋a 1q 4＝0，得q ＝－2，∴a 5a 3＝q 2＝4；a n ＋1a n ＝q ＝－2；S 5S 3＝1－q 51－q 3＝113；而S n ＋1S n ＝1－q n ＋11－qn ，由于n 未知，故无法确定其值．答案：D12．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比不为1.若a 1＝1，且对任意的n ∈N *都有a n ＋2＋a n＋1－2a n ＝0，则S 5＝________.解析：由a n ＋2＋a n ＋1－2a n ＝0，得a n q 2＋a n q －2a n ＝0，显然a n ≠0，所以q 2＋q －2＝0.又q ≠1，解得q ＝－2.又a 1＝1，所以S 5＝1×[1－－25]1－－2＝11.答案：1113．设数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n 2，数列{b n }为等比数列，且a 1＝b 1，b 2(a 2－a 1)＝b 1. (1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)设c n ＝a nb n，求数列{c n }的前n 项和T n . 解：(1)∵当n ＝1时，a 1＝S 1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－2(n －1)2＝4n －2，故{a n }的通项公式为a n ＝4n －2，即{a n }是a 1＝2，公差d ＝4的等差数列．设{b n }的公比为q ，则b 1qd ＝b 1， ∴q ＝14.故b n ＝b 1q n －1＝2×14n －1.即{b n }的通项公式为b n ＝24n －1.(2)∵c n ＝a n b n ＝4n －224n －1＝(2n －1)4n －1，∴T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝1＋3×41＋5×42＋…＋(2n －1)4n －1，4T n ＝1×4＋3×42＋5×43＋…＋(2n －3)4n －1＋(2n －1)4n.两式相减，得3T n ＝－1－2(41＋42＋43＋…＋4n －1)＋(2n －1)4n＝13，∴T n ＝19．14．将各项均为正数的数列{a n }中的所有项按每一行比上一行多一项的规律排成数表，如下表．记表中各行的第一个数a 1，a 2，a 4，a 7，…构成的数列为{b n }，各行的最后一个数a 1，a 3，a 6，a 10，…构成的数列为{c n }，第n 行所有数的和为s n (n ＝1,2,3,4，…)．已知数列{b n }是公差为d 的等差数列，从第二行起，每一行中的数按照从左到右的顺序每一个数与它前面一个数的比是常数q ，且a 1＝a 13＝1，a 31＝53.a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10… … … … … … … …(1)求数列{c n }，{s n }的通项公式； (2)记d n ＝2n －1s n ＋c n ＋2n ＋1s n ＋1(n ∈N *)，求证：d 1＋d 2＋d 3＋…＋d n >4n 3－29. 解析：(1)由题意得b n ＝dn －d ＋1. 前n 行共有1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12个数．∵13＝4×52＋3，∴a 13＝b 5×q 2，即(4d ＋1)q 2＝1.又∵31＝7×82＋3，∴a 31＝b 8×q 2，即(7d ＋1)q 2＝53，解得d ＝2，q ＝13，∴b n ＝2n －1，c n ＝b n ⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝2n －13n －1，s n ＝2n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n 1－13＝32(2n －1)·3n－13n .(2)证明：d n ＝2n －1s n ＋c n ＋2n ＋1s n ＋1＝2n －1322n －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤3n －13n ＋23n ＋2n ＋1322n ＋1·3n ＋1－13n ＋1 ＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤3n3n ＋1＋3n ＋13n ＋1－1＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋13n ＋1－1－13n ＋1＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－23n－13n ＋1－13n ＋1. 又∵23n－13n ＋1－13n＋1<23n－13n ＋1－33n ＋1＝233n ＋1<23n ＋1，∴d 1＋d 2＋d 3＋…＋d n > 23⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n －2⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋133＋…＋13n ＋1 ＝4n 3－29＋23n ＋2>4n 3－29.。

【同步练习】人教A版2018年高中数学必修5 等差数列前n项和同步练习(含答案解析)

2018年高中数学必修5 等差数列前n项和同步练习基本公式：【例1】已知等差数列的前项和为，若，，求：（1）数列的通项公式；（2）.【例2】已知公差不为0的等差数列的前n项和成等差数列，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若成等比数列，求n及此等比数列的公比.【例3】在数列中，，且．求数列的通项公式；【例4】已知n为数列{a n}的前n项和，已知a n＞0，a n2+2a n=4S n+3（I）求{a n}的通项公式：（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和．等差数列前n 项和公式 [A 组基础巩固]1．等差数列{a n }中，d=2，a n =11，S n =35，则a 1等于( ) A ．5或7 B ．3或5 C ．7或－1 D ．3或－12．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2=4，S 4=20，则该数列的公差d 为( ) A ．7 B ．6 C ．3 D ．23．已知等差数列{a n }满足a 2＋a 4=4，a 3＋a 5=10，则它的前10项的和S 10等于( ) A ．138 B ．135 C ．95 D ．234．若等差数列{a n }的前5项和S 5=25，且a 2=3，则a 7等于( ) A ．12 B ．13 C ．14 D ．155．已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2－9n ，第k 项满足5＜a k ＜8，则k 等于( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．66．已知数列{a n }中，a 1=1，a n =a n －1＋12(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于________．7．等差数列{a n }中，若a 10=10，a 19=100，前n 项和S n =0，则n=________. 8．等差数列{a n }中，a 2＋a 7＋a 12=24，则S 13=________. 9．在等差数列{a n }中：(1)已知a 5＋a 10=58，a 4＋a 9=50，求S 10； (2)已知S 7=42，S n =510，a n －3=45，求n.10．在等差数列{a n }中，a 10=18，前5项的和S 5=－15， (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前n 项和的最小值，并指出何时取得最小值．[B 组能力提升]1．S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 3＋a 6＋a 12为一个常数，则下列也是常数的是( ) A ．S 17 B ．S 15 C ．S 13 D ．S 72．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1=－2，S m =0，S m ＋1=3，则m=( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．63．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3=59，则S 9S 5等于________．4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知前6项和为36，最后6项和为180，S n =324(n>6)，则数列的项数n=________，a 9＋a 10=________.5．等差数列{a n }的前n 项和S n =－32n 2＋2052n ，求数列{|a n |}的前n 项和T n .6．设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7=7，S 15=75，T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和，求T n .等差数列前n 项和公式性质与应用[课时作业] [A 组基础巩固]1．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5=3，则S 5=( ) A ．5 B ．7 C ．9 D ．112．数列{a n }为等差数列，若a 1=1，d=2，S k ＋2－S k =24，则k=( ) A ．8 B ．7 C ．6 D ．53．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=12，S 4=20，则S 6=( )A ．16B ．24C ．36D ． 484．设{a n }是等差数列，若a 2=3，a 7=13，则数列{a n }的前8项和为( ) A ．128 B ．80 C ．64 D ．565．数列{a n }是等差数列，a 1＋a 2＋a 3=－24，a 18＋a 19＋a 20=78，则此数列的前20项和等于( ) A ．160 B ．180 C ．200 D ．2206．有两个等差数列{a n }，{b n }，它们的前n 项和分别为S n 和T n .若S n T n =2n ＋1n ＋2，则a 8b 7等于________．7．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5=105，a 2＋a 4＋a 6=99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是________．8．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为________．9．设正项数列{a n }的前n 项和为S n ，并且对于任意n ∈N *，a n 与1的等差中项等于S n ，求数列{a n }的通项公式．10．已知等差数列{a n }中，a 1=1，a 3=－3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k =－35，求k 的值．[B 组能力提升]1．若一个等差数列的前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有( ) A ．13项 B ．12项 C ．11项 D ．10项2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a 2m =0，S 2m －1=38，则m=( ) A ．38 B ．20 C ．10 D ．93．已知等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为A n ，B n ，且满足A n B n =2n n ＋3，则a 1＋a 2＋a 12b 2＋b 4＋b 9=________.4．数列{a n }的通项公式a n =ncos n π2，其前n 项和为S n ，则S 2 016等于________．5．已知数列{a n }，a n ∈N *，S n 是其前n 项和，S n =18(a n ＋2)2.(1)求证{a n }是等差数列；(2)设b n =12a n －30，求数列{b n }的前n 项和的最小值．参考答案【例1】解：（1）（2）【例2】解：(1)设数列的公差为d 由题意可知，整理得，即，所以；（2）由（1）知，又，公比.【例3】解:，，即().【例4】解：（I ）由a n 2+2a n =4S n +3，可知a n+12+2a n+1=4S n+1+3两式相减得a n+12﹣a n 2+2（a n+1﹣a n ）=4a n+1，即2（a n+1+a n ）=a n+12﹣a n 2=（a n+1+a n ）（a n+1﹣a n ）， ∵a n ＞0，∴a n+1﹣a n =2，∵a 12+2a 1=4a 1+3，∴a 1=﹣1（舍）或a 1=3，则{a n }是首项为3，公差d=2的等差数列，∴{a n }的通项公式a n =3+2（n ﹣1）=2n+1：（Ⅱ）∵a n =2n+1，∴b n ===（﹣），∴数列{b n }的前n 项和T n =（﹣+…+﹣）=（﹣）=．等差数列前n 项和公式 [A 组基础巩固]1．解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝11，S n ＝35，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2n －111，na 1＋n n －12×2＝35.解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝5，a 1＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧n ＝7，a 1＝－1.答案：D2．解析：由S 2=4，S 4=20，得2a 1＋d=4,4a 1＋6d=20，解得d=3. 答案：C3．解析：由a 2＋a 4=4，a 3＋a 5=10，可知d=3，a 1=－4.∴S 10=－40＋10×92×3=95.答案：C4．解析：由S 5=5a 3=25，∴a 3=5.∴d=a 3－a 2=5－3=2.∴a 7=a 2＋5d=3＋10=13. 答案：B5．解析：当n=1时，a 1=S 1=－8；当n ≥2时，a n =S n －S n －1=(n 2－9n)－[(n －1) 2－9(n －1)]=2n －10. 综上可得数列{a n }的通项公式a n =2n －10.所以a k =2k －10.令5＜2k －10＜8，解得k=8. 答案：B6．解析：∵n ≥2时，a n =a n －1＋12，且a 1=1，所以数列{a n }是以1为首项，以12为公差的等差数列，所以S 9=9×1＋9×82×12=9＋18=27.答案：277．解析：⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝10a 1＋18d ＝100，∴d=10，a 1=－80.∴S n =－80n ＋n n －12×10=0，∴－80n ＋5n(n －1)=0，n=17.答案：178．解析：因为a 1＋a 13=a 2＋a 12=2a 7，又a 2＋a 7＋a 12=24，所以a 7=8.所以S 13=13a 1＋a 132=13×8=104.答案：1049．解：(1)由已知条件得：⎩⎪⎨⎪⎧a 5＋a 10＝2a 1＋13d ＝58，a 4＋a 9＝2a 1＋11d ＝50，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝4.∴S 10=10a 1＋10×10－12d=10×3＋10×92×4=210.(2)S 7=7a 1＋a 72=7a 4=42，∴a 4=6.∴S n =n a 1＋a n 2=n a 4＋a n －32=n 6＋452=510.∴n=20. 10．解：(1)设{a n }的首项，公差分别为a 1，d.则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝18，5a 1＋52×4×d ＝－15，解得a 1=－9，d=3，∴a n =3n －12.(2)S n =n a 1＋a n 2=12(3n 2－21n)=32⎝ ⎛⎭⎪⎫n －722－1478，∴当n=3或4时，前n 项的和取得最小值为－18.[B 组能力提升]1．解析：∵a 3＋a 6＋a 12为常数，∴a 2＋a 7＋a 12=3a 7为常数，∴a 7为常数．又S 13=13a 7，∴S 13为常数．答案：C2．解析：a m =S m －S m －1=2，a m ＋1=S m ＋1－S m =3，∴d=a m ＋1－a m =1，由S m =a 1＋a m m2=0，知a 1=－a m =－2，a m =－2＋(m －1)=2，解得m=5.答案：C3．解析：由等差数列的性质，a 5a 3=2a 52a 3=a 1＋a 9a 1＋a 5=59，∴S 9S 5=92a 1＋a 952a 1＋a 5=95×59=1.答案：14．解析：由题意，可知a 1＋a 2＋…＋a 6=36 ①，a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a n －5=180 ②，由①＋②，得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a 6＋a n －5)=6(a 1＋a n )=216，∴a 1＋a n =36.又S n =n a 1＋a n2=324，∴18n=324，∴n=18，∴a 1＋a 18=36，∴a 9＋a 10=a 1＋a 18=36.答案：18 365．解：a 1=S 1=101，当n ≥2时，a n =S n －S n －1=－32n 2＋2052n －⎣⎢⎡ －32n －12＋⎦⎥⎤2052n －1=－3n ＋104，a 1=S 1=101也适合上式，所以a n =－3n ＋104，令a n =0，n=3423，故n ≥35时，a n <0，n ≤34时，a n >0，所以对数列{|a n |}，n ≤34时，T n =|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |=a 1＋a 2＋…＋a n =－32n 2＋2052n ，当n ≥35时，T n =|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 34|＋|a 35|＋…＋|a n |=a 1＋a 2＋…＋a 34－a 35－…－a n=2(a 1＋a 2＋…＋a 34)－(a 1＋a 2＋…＋a n )=2S 34－S n =32n 2－2052n ＋3 502，所以T n=⎩⎪⎨⎪⎧－32n 2＋2052n n ≤34，32n 2－2052n ＋3 502n ≥35.6．解：设等差数列{a n }的公差为d ，则S n =na 1＋12n(n －1)d ，∵S 7=7，S 15=75，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 7a 1＋21d ＝7，15a 1＋105d ＝75，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋3d ＝1，a 1＋7d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝1，∴S n n =a 1＋12(n －1)d=－2＋12(n －1)，∵S n ＋1n ＋1－S n n =12， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，其首项为－2，公差为12，∴T n =n ×(－2)＋n ·n －12×12=14n 2－94n.等差数列前n 项和公式性质与应用[课时作业] [A 组基础巩固] 1．解析：a 1＋a 3＋a 5=3a 3=3⇒a 3=1，S 5=5a 1＋a 52=5a 3=5.答案：A2．解析：∵S k ＋2－S k =a k ＋1＋a k ＋2=a 1＋kd ＋a 1＋(k ＋1)d=2a 1＋(2k ＋1)d=2×1＋(2k ＋1)×2=4k ＋4=24，∴k=5. 答案：D3．解析：设数列{a n }的公差为d ，则S n =n 2＋n n －12d ，∴S 4=2＋6d=20，∴d=3，∴S 6=3＋15d=48.答案：D4．解析：设数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 8=8a 1＋a 82=8a 2＋a 72=83＋132=64.答案：C5．解析：∵{a n }是等差数列，∴a 1＋a 20=a 2＋a 19=a 3＋a 18.又a 1＋a 2＋a 3=－24，a 18＋a 19＋a 20=78，∴a 1＋a 20＋a 2＋a 19＋a 3＋a 18=54.∴3(a 1＋a 20)=54.∴a 1＋a 20=18.∴S 20=20a 1＋a 202=180.答案：B6．解析：由{a n }，{b n }是等差数列，S n T n =2n ＋1n ＋2，不妨设S n =kn(2n ＋1)，T n =kn(n ＋2)(k ≠0)，则a n =3k ＋4k(n －1)=4kn －k ，b n =3k ＋2k(n －1)=2kn ＋k.所以a 8b 7=32k －k 14k ＋k =3115.答案：31157．解析：由已知得3a 3=105,3a 4=99，∴a 3=35，a 4=33，∴d=－2，a n =a 4＋(n －4)(－2)=41－2n ，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0a n ＋1<0，得n=20.答案：20 8．解析：S 奇=a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9=15，S 偶=a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10=30，∴S 偶－S 奇=5d=15，∴d=3. 答案：39．解：由题意知，S n =a n ＋12，得：S n =a n ＋124，∴a 1=S 1=1，又∵a n ＋1=S n ＋1－S n =14[(a n ＋1＋1)2－(a n ＋1)2]，∴(a n ＋1－1)2－(a n ＋1)2=0.即(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －2)=0，∵a n ＞0，∴a n ＋1－a n =2，∴{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列．∴a n =2n －1.10．解：(1)设等差数列{}a n 的公差为d ，则a n =a 1＋(n －1)d.由a 1=1，a 3=－3可得1＋2d=－3，解得d=－2.从而a n =1＋(n －1)×(－2)=3－2n.(2)由(1)可知a n =3－2n.所以S n =n[13－2n ]2=2n －n 2.进而由S k =－35可得2k －k 2=－35，即k 2－2k －35=0.解得k=7或k=－5.又k ∈N *，故k=7为所求结果．[B 组能力提升]1．解析：∵a 1＋a 2＋a 3=34，①a n ＋a n －1＋a n －2=146，②又∵a 1＋a n =a 2＋a n －1=a 3＋a n －2，∴①＋②得3(a 1＋a n )=180，∴a 1＋a n =60.③S n =a 1＋a n n 2=390.④将③代入④中得n=13.答案：A2．解析：由等差数列的性质，得a m －1＋a m ＋1=2a m ，∴2a m =a 2m .由题意得a m ≠0，∴a m =2.又S 2m －1=2m －1a 1＋a 2m －12=2a m 2m －12=2(2m －1)=38，∴m=10.答案：C3．解析：a 1＋a 2＋a 12b 2＋b 4＋b 9=3a 1＋12d 13b 1＋12d 2=a 5b 5=a 1＋a 92b 1＋b 92=9×a 1＋a 929×b 1＋b 92=A 9B 9=2×99＋3=32.答案：324．解析：由题意知，a 1＋a 2＋a 3＋a 4=2，a 5＋a 6＋a 7＋a 8=2，…，a 4k ＋1＋a 4k ＋2＋a 4k ＋3＋a 4k ＋4=2，k ∈N ，故S 2 016=504×2=1 008.答案：1 0085．解：(1)证明：当n=1时，a 1=S 1=18(a 1＋2)2，解得a 1=2.当n ≥2时，a n =S n －S n －1=18(a n ＋2)2－18(a n －1＋2)2，即8a n =(a n ＋2)2－(a n －1＋2)2，整理得，(a n －2)2－(a n －1＋2)2=0，即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－4)=0.∵a n ∈N *，∴a n ＋a n －1>0，∴a n －a n －1－4=0，即a n －a n －1=4(n ≥2)．故{a n }是以2为首项，4为公差的等差数列． (2)设{b n }的前n 项和为T n ，∵b n =12a n －30，且由(1)知a n =2＋(n －1)×4=4n －2，∴b n =12(4n －2)－30=2n －31，故数列{b n }是单调递增的等差数列．令2n －31=0，得n=1512，∵n ∈N *，∴当n ≤15时，b n <0；当n ≥16时，b n >0，即b 1<b 2<…<b 15<0<b 16<b 17<…，当n=15时，T n 取得最小值，最小值为T 15=－29－12×15=－225.。

人教A版高中数学必修五2.5等比数列的前n项和练习.doc

一、本节学习目标1.掌握等比数列的前n 项和公式及公式证明方法；2.灵活应用等比数列的前n 项和公式解决有关问题；二、重难点指引重点：等比数列的前n 项和公式推导和应用；难点：等比数列的前n 项和公式灵活应用及将实际问题转化为数学问题（数学建模）．三、学法指导1．由等比数列的结构特点推导出前n 项和公式，注意推导方法“错位相减法”落实；2．重视分类讨论的数学思想方法的指导作用.四、教材多维研读▲ 一读教材1．前n 项和公式的推导方法：_________________2．设等比数列{}n a ，它的前n 项和12...n n s a a a =+++，公比为q ≠0.(1)当1=q 时则1na s n =(2)当1≠q 时，若已知1a 和q ，则用公式_________=n S 较好；若已知n a 和q ，则用公式_________=n S 较好.3．若等比数列{}n a 的前n 项和n S 满足{}n S 是等差数列，则{}n a 的公比q ＝．4．当1≠q 时，=--=q q a S n n 1)1(1n q q a -11qa --11，可以看做___________函数与_________函数的复合函数.5．{}n a 是___________数列B Aq S n n +=⇔其中____B A ____q ,A =+≠；0.6．n S 是等比数列{}n a 的前n 项和且0≠n S ，则n n n n n S S S S S 232,,--成数列． ▲ 二读教材1．在等比数列{}n a 中，若14a =-，12q =，则10S =________；若11a =，243k a =，3q =，则k S =_________．2．若等比数列{}n a 的前n 项之和3n n S a =+，则常数a 的值等于（）若等比数列{}n a 的前n 项和为a 31n n +=+S ，则常数a 的值等于（）A ．13-B ．1-C ．13D ．3- 3．已知等比数列{}n a 中，12340a a a ++=，45620a a a ++=，则前9项之和等于（） A ．50 B ．70 C ．80 D ．904．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若633S S =，则96S S =( ) A ．2 B ．73 C ．83D ．3 5．已知数列{}n a 是等比数列，16,252==a a ，则______13221=++++n n a a a a a a Λ. ▲ 三读教材1．求数列11111,2,3,,,2482n n ++++L L 的前n 项和． (2)求和：1321-+++++n aa a a Λ五、典型例析例1 在等比数列{}n a 中，661=+n a a ， 12821=⋅-a a n ， 126=n S ，求项数n 和公比q 的值．例2 设等比数列{}n a 的公比为q (q >0)，它的前n 项和为40，前2n 项和为3280，且前n 项中数值最大项为27，求首项、公比q 及项数n ．例3 设{}n a 是等比数列，求证：n n n n n S S S S S 232,,--成等比数列．例4 某人从2004年初向银行申请个人住房公积金贷款20万元用于购房，贷款的月利率为3.375%，并按复利计算，每月等额还贷一次，并从贷款后的次月开始归还．如果10年还清，那么每月应还贷多少元？说明：对于分期付款，银行有如下的规定：（1）分期付款按复利计息，每期所付款额相同，在期末付款；（2）到最后一次付款时，各期所付的款额的本利和等于商品售价的本利和．六、课后自测◆ 基础知识自测1. 数列1，a ，2a ，3a ，…，1n a -，…的前n 项和为（）. A. 11n a a -- B. 111n a a+-- C. 211n a a +-- D. 以上都不对 2. 在14与78之间插入n 个数组成等比数列，若各项和为778，则数列的项数为（） A.4 B.5 C .6 D .73．一个等比数列的前7项和为48，前14项和为60，则前21项和为（）A ．180 B.10 C.75 D.634. 等比数列{}n a 中，a 4=21，a 9=16则S 5的值为_______ 5.已知数列)}({*∈N n a n 是等比数列，公比为q ，如果有,18321=++a a aqa a a a --=++1,91432那么的值是 . ◆ 能力提升自测 1.等比数列{}n a 共2n 项,其和为-240,且奇数项的和比偶数项的和大80,则公比q = .2.若等比数列{}n a 的前n 项和为,13-=n n S 求2232221...n a a a a ++++=___________ 3．等比数列{}n a 中，)0(109≠=+a a a a ，b a a =+2019，则=+10099a a .4. 各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S 为，若2n S =，143=n S ，则4n S 等于（）A ．80B ．30C ．26D ．16 ◆ 智能拓展训练1. 已知函数()()21-=x x f ，数列{}n a 是公差为d 的等差数列，数列{}n b 是公比为q 的等比数列(1≠q )，若()()()()1,1,1,13131+=-=+=-=q f b q f b d f a d f a(1) 求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2) 设数列{}n c 对任意的自然数n 均有： ()122111++=+++n n n a n b cb c b c Λ，求数列{}n c 前n 项和S n ．。

2017-2018学年北师大必修5《等差数列的前n项和》习题精选含答案

第1课时等差数列的前n项和课后篇巩固探究A组1.设S n是等差数列{a n}的前n项和,已知a2=3,a6=11,则S7等于()A.13B.35C.49D.63解析:S7==49.答案:C2.设S n是等差数列{a n}的前n项和,S5=10,则a3的值为 ()A. B.1 C.2 D.3解析:∵S5==5a3,∴a3=S5=×10=2.答案:C3.已知数列{a n}的通项公式为a n=2n-37,则S n取最小值时n的值为()A.17B.18C.19D.20解析:由≤n≤.∵n∈N+,∴n=18.∴S18最小,此时n=18.答案:B4.等差数列{a n}的前n项和为S n(n=1,2,3,…),若当首项a1和公差d变化时,a5+a8+a11是一个定值,则下列选项中为定值的是()A.S17B.S18C.S15D.S14解析:由a5+a8+a11=3a8是定值,可知a8是定值,所以S15==15a8是定值.答案:C5.若两个等差数列{a n},{b n}的前n项和分别为A n与B n,且满足(n∈N+),则的值是()A. B. C. D.解析:因为,所以.答案:C6.已知{a n}是等差数列,S n为其前n项和,n∈N+.若a3=16,S20=20,则S10的值为.解析:设等差数列{a n}的首项为a1,公差为d.∵a3=a1+2d=16,S20=20a1+d=20,∴解得d=-2,a1=20,∴S10=10a1+d=200-90=110.答案:1107.在等差数列{a n}中,前n项和为S n,若a9=3a5,则=.解析:S17=17a9,S9=9a5,于是×3=.答案:8.已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差等于.解析:设公差为d,则有5d=S偶-S奇=30-15=15,于是d=3.答案:39.若等差数列{a n}的公差d<0,且a2·a4=12,a2+a4=8.(1)求数列{a n}的首项a1和公差d;(2)求数列{a n}的前10项和S10的值.解(1)由题意知(a1+d)(a1+3d)=12,(a1+d)+(a1+3d)=8,且d<0,解得a1=8,d=-2.(2)S10=10×a1+d=-10.10.导学号33194010已知数列{a n}是首项为23,公差为整数的等差数列,且前6项均为正,从第7项开始变为负.求:(1)此等差数列的公差d;(2)设前n项和为S n,求S n的最大值;(3)当S n是正数时,求n的最大值.解(1)∵数列{a n}首项为23,前6项均为正,从第7项开始变为负,∴a6=a1+5d=23+5d>0,a7=a1+6d=23+6d<0,解得-<d<-,又d∈Z,∴d=-4.(2)∵d<0,∴{a n}是递减数列.又a6>0,a7<0,∴当n=6时,S n取得最大值,即S6=6×23+×(-4)=78.(3)S n=23n+×(-4)>0,整理得n(25-2n)>0,∴0<n<,又n∈N+,∴n的最大值为12.B组1.设数列{a n}为等差数列,公差d=-2,S n为其前n项和,若S10=S11,则a1=()A.18B.20C.22D.24解析:因为S11-S10=a11=0,a11=a1+10d=a1+10×(-2)=0,所以a1=20.答案:B2.(2019全国1高考)记S n为等差数列{a n}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{a n}的公差为()A.1B.2C.4D.8解析:设首项为a1,公差为d,则a4+a5=a1+3d+a1+4d=24,S6=6a1+d=48,联立可得①×3-②,得(21-15)d=24,即6d=24,所以d=4.答案:C3.等差数列{a n}的前n项和记为S n,若a2+a4+a15的值为一个确定的常数,则下列各数中也是常数的是()A.S7B.S8C.S13D.S15解析:∵a2+a4+a15=3a1+18d=3(a1+6d)=3a7为常数,∴S13==13a7为常数.答案:C4.导学号33194011若等差数列{a n}的通项公式是a n=1-2n,其前n项和为S n,则数列的前11项和为() A.-45 B.-50 C.-55 D.-66解析:∵S n=,∴=-n,∴的前11项和为-(1+2+3+…+11)=-66.故选D.答案:D5.已知等差数列{a n}前9项的和等于前4项的和.若a1=1,a k+a4=0,则k=.解析:设等差数列{a n}的公差为d,则a n=1+(n-1)d,∵S4=S9,∴a5+a6+a7+a8+a9=0.∴a7=0,∴1+6d=0,d=-.又a4=1+3×,a k=1+(k-1)d,由a k+a4=0,得+1+(k-1)d=0,将d=-代入,可得k=10.答案:106.已知数列{a n}为等差数列,其前n项和为S n,且1+<0.若S n存在最大值,则满足S n>0的n的最大值为.解析:因为S n有最大值,所以数列{a n}单调递减,又<-1,所以a10>0,a11<0,且a10+a11<0.所以S19=19×=19a10>0,S20=20×=10(a10+a11)<0,故满足S n>0的n的最大值为19.答案:197.导学号33194012在等差数列{a n}中,a1=-60,a17=-12,求数列{|a n|}的前n项和.解数列{a n}的公差d==3,∴a n=a1+(n-1)d=-60+(n-1)×3=3n-63.由a n<0得3n-63<0,解得n<21.∴数列{a n}的前20项是负数,第20项以后的项都为非负数.设S n,S n'分别表示数列{a n}和{|a n|}的前n项和,当n≤20时,S n'=-S n=-=-n2+n;当n>20时,S n'=-S20+(S n-S20)=S n-2S20=-60n+×3-2×n2-n+1 260.∴数列{|a n|}的前n项和S n'=8.导学号33194013设等差数列{a n}的前n项和为S n,且a5+a13=34,S3=9.(1)求数列{a n}的通项公式及前n项和公式;(2)设数列{b n}的通项公式为b n=,问:是否存在正整数t,使得b1,b2,b m(m≥3,m∈N)成等差数列?若存在,求出t和m的值;若不存在,请说明理由.解(1)设等差数列{a n}的公差为d,因为a5+a13=34,S3=9,所以整理得解得所以a n=1+(n-1)×2=2n-1,S n=n×1+×2=n2.(2)由(1)知b n=,所以b1=,b2=,b m=.若b1,b2,b m(m≥3,m∈N)成等差数列,则2b2=b1+b m,所以,即6(1+t)(2m-1+t)=(3+t)(2m-1+t)+(2m-1)(1+t)(3+t),整理得(m-3)t2-(m+1)t=0,因为t是正整数,所以(m-3)t-(m+1)=0,m=3时显然不成立,所以t==1+.又因为m≥3,m∈N,所以m=4或5或7,当m=4时,t=5;当m=5时,t=3;当m=7时,t=2.所以存在正整数t,使得b1,b2,b m(m≥3,m∈N)成等差数列.。

人教版数学高二人教B版必修5课后练习(十一) 等比数列的前n项和作业

课时跟踪检测（十一）等比数列的前n 项和层级一学业水平达标1．设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和，若{S n }是等差数列，则q 等于( ) A ．1 B ．0 C ．1或0D ．－1解析：选A 因为S n －S n －1＝a n ，又{S n }是等差数列，所以a n 为定值，即数列{a n }为常数列，所以q ＝a na n －1＝1.2．已知数列{a n }是公比为3的等比数列，其前n 项和S n ＝3n ＋k (n ∈N ＋)，则实数k 为( )A ．0B ．1C ．－1D ．2解析：选C 由数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ＋k (n ∈N ＋)，当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋k ；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋k －(3n －1＋k ) ＝2×3n －1.因为数列{a n }是公比为3的等比数列，所以a 1＝2×31－1＝3＋k ，解得k ＝－1. 3．已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么前10项和等于( ) A ．31 B ．33 C ．35D ．37解析：选B 根据等比数列性质得S 10－S 5S 5＝q 5，∴S 10－11＝25，∴S 10＝33.4．在等比数列{a n }中，a 3＝32，其前三项的和S 3＝92，则数列{a n }的公比q ＝( )A ．－12B.12 C ．－12或1D.12或1 解析：选C 由题意，可得a 1q 2＝32，a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝92，两式相除，得1＋q ＋q 2q 2＝3，解得q ＝－12或1.5．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 5＝2，S 10＝6，则a 16＋a 17＋a 18＋a 19＋a 20等于( ) A ．8 B ．12 C ．16D ．24解析：选C 设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 2n －S n ＝q n S n ，所以S 10－S 5＝q 5S 5，所以6－2＝2q 5，所以q 5＝2，所以a 16＋a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝a 1q 15＋a 2q 15＋a 3q 15＋a 4q 15＋a 5q 15＝q 15(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)＝q 15S 5＝23×2＝16.6．等比数列{a n }共有2n 项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q ＝________.解析：设{a n }的公比为q ，则奇数项也构成等比数列，其公比为q 2，首项为a 1，偶数项之和与奇数项之和分别为S 偶，S 奇，由题意S 偶＋S 奇＝3S 奇，即S 偶＝2S 奇，因为数列{a n }的项数为偶数，所以q ＝S 偶S 奇＝2.答案：27．等比数列{a n }中，若a 1＋a 3＋…＋a 99＝150，且公比q ＝2，则数列{a n }的前100项和为________．解析：由a 2＋a 4＋…＋a 100a 1＋a 3＋…＋a 99＝q ，q ＝2，得a 2＋a 4＋…＋a 100150＝2⇒a 2＋a 4＋…＋a 100＝300，则数列{a n }的前100项的和S 100＝(a 1＋a 3＋…＋a 99)＋(a 2＋a 4＋…＋a 100)＝150＋300＝450.答案：4508．设等比数列{a n }的公比q ＝12，前n 项和为S n ，则S 4a 4＝________.解析：∵S 4＝a 1(1－q 4)1－q ，a 4＝a 1q 3，∴S 4a 4＝1－q 4q 3(1－q )＝15. 答案：159．设等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 2＝6,6a 1＋a 3＝30，求a n 和S n .解：设{a n }的公比为q ，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝6，6a 1＋a 1q 2＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝3，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝3.当a 1＝3，q ＝2时，a n ＝3×2n －1，S n ＝3(2n －1)；当a 1＝2，q ＝3时，a n ＝2×3n －1，S n ＝3n －1. 10．已知等比数列{a n }中，a 1＝13，公比q ＝13.(1)S n 为数列{a n }的前n 项和，证明：S n ＝1－a n2； (2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{b n }的通项公式．解：(1)证明：因为a n ＝13×⎝⎛⎭⎫13n －1＝13n ，S n ＝13⎝⎛⎭⎫1－13n 1－13＝1－13n2，所以S n ＝1－a n2.(2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋…＋n )＝－n (n ＋1)2.所以{b n }的通项公式为b n ＝－n (n ＋1)2.层级二应试能力达标1．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，且8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2等于( )A ．11B ．5C ．－8D ．－11解析：选D 设{a n }的公比为q .因为8a 2＋a 5＝0. 所以8a 2＋a 2·q 3＝0.所以a 2(8＋q 3)＝0. 因为a 2≠0，所以q 3＝－8.所以q ＝－2.所以S 5S 2＝a 1(1－q 5)1－q a 1(1－q 2)1－q＝1－q 51－q 2＝1＋321－4＝33－3＝－11.故选D.2．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为( )A.158或5 B.3116或5 C.3116D.158解析：选C 由题意，q ≠1，由9S 3＝S 6，得9×a 1(1－q 3)1－q ＝a 1(1－q 6)1－q ，解得q ＝2，故a n ＝a 1q n －1＝2n －1，1a n ＝⎝⎛⎭⎫12n －1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公比的等比数列，其前5项和为1×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫1251－12＝3116.3．在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝( )A ．(2n －1)2 B.13(4n －1) C.13(2n －1) D ．4n －1解析：选B 由a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，得a 1＝1，a 2＝2，所以{a n }是以1为首项，2为公比的等比数列，所以{a 2n }是以1为首项，4为公比的等比数列，所以a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1×(1－4n )1－4＝13(4n －1)． 4．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是( )A ．190B ．191C ．192D ．193解析：选C 设最下面一层灯的盏数为a 1，则公比q ＝12，n ＝7，由a 1⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫1271－12＝381，解得a 1＝192.5．设数列{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，则a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝________. 解析：依题意得a 1＝1，a 2＝－2，a 3＝4，a 4＝－8，所以a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝15. 答案：156．设数列{a n }的前n 项和为S n ，点⎝⎛⎭⎫n ，S n n (n ∈N ＋)均在直线y ＝x ＋12上．若b n ＝3a n ＋12，则数列{b n }的前n 项和T n ＝________.解析：依题意得S n n ＝n ＋12，即S n ＝n 2＋12n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝⎛⎭⎫n 2＋12n －[(n －1)2＋12(n －1)]＝2n －12；当n ＝1时，a 1＝S 1＝32，符合a n ＝2n －12，所以a n ＝2n －12(n ∈N ＋)，则b n ＝3a n ＋12＝32n ，由b n ＋1b n ＝32(n ＋1)32n ＝32＝9，可知{b n }为等比数列，b 1＝32×1＝9，故T n ＝9(1－9n )1－9＝9n ＋1－98.答案：9n ＋1－987．已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝1，且a 1，a 3，a 9成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{2a n }的前n 项和S n . 解：(1)由题设，知公差d ≠0，由a 1＝1，a 1，a 3，a 9成等比数列，得1＋2d 1＝1＋8d 1＋2d，解得d ＝1，或d ＝0(舍去)．故{a n }的通项a n ＝1＋(n －1)×1＝n .(2)由(1)，知2a n ＝2n，由等比数列前n 项和公式，得S n ＝2＋22＋23＋…＋2n ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2.8．某地本年度旅游业收入估计为400万元，由于该地出台了一系列措施，进一步发展旅游业，预计今后旅游业的收入每年会比上一年增加14.(1)求n 年内旅游业的总收入；(2)试估计大约几年后，旅游业的总收入超过8 000万元．解：(1)设第n 年的旅游业收入估计为a n 万元，则a 1＝400，a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫1＋14a n ＝54a n ， ∴a n ＋1a n＝54，∴数列{a n }是公比为54的等比数列，∴S n ＝a 1(1－q n)1－q ＝400⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫54n 1－54＝1 600⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫54n －1，即n 年内旅游业总收入为1 600⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫54n －1万元． (2)由(1)知S n ＝1 600⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫54n －1，令S n >8 000，即1 600⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫54n －1>8 000， ∴⎝⎛⎭⎫54n >6，∴lg ⎝⎛⎭⎫54n >lg 6， ∴n >lg 6lg 54≈8.029 6.∴大约第9年后，旅游业总收入超过8 000万元．。

人教版高中数学必修5同步练习,等比数列的前n项和(二)

人教版高中数学同步练习§2.5 等比数列的前n 项和(二)课时目标1．熟练应用等比数列前n 项和公式的有关性质解题． 2．能用等比数列的前n 项和公式解决实际问题．1．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，当公比q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q；当q ＝1时，S n ＝na 1.2n 项和的性质：(1)连续m 项的和(如S m 、S 2m －S m 、S 3m －S 2m )，仍构成等比数列．(注意：q ≠－1或m 为奇数)(2)S m ＋n ＝S m ＋q m S n (q 为数列{a n }的公比)．(3)若{a n }是项数为偶数、公比为q 的等比数列，则S 偶S 奇＝q .3．解决等比数列的前n 项和的实际应用问题，关键是在实际问题中建立等比数列模型．一、选择题1．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前3项和为21，则a 3＋a 4＋a 5等于( )A ．33B ．72C ．84D ．189 答案 C解析由S 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝21且a 1＝3，得q ＋q 2－6＝0.∵q >0，∴q ＝2.∴a 3＋a 4＋a 5＝q 2(a 1＋a 2＋a 3)＝22·S 3＝84.2．某厂去年产值为a ，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为( )A ．1.14aB ．1.15aC ．10a (1.15－1)D ．11a (1.15－1) 答案 D解析注意去年产值为a ，今年起5年内各年的产值分别为1.1a,1.12a,1.13a,1.14a,1.15a . ∴1.1a ＋1.12a ＋1.13a ＋1.14a ＋1.15a ＝11a (1.15－1)．3．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列{1a n}的前5项和为( )A.158或5B.3116或5C.3116D.158 答案 C解析若q ＝1，则由9S 3＝S 6得9×3a 1＝6a 1，则a 1＝0，不满足题意，故q ≠1.由9S 3＝S 6得9×a 1(1－q 3)1－q ＝a 1(1－q 6)1－q，解得q ＝2.故a n ＝a 1q n －1＝2n －1， 1a n ＝(12)n －1.所以数列{1a n }是以1为首项，12为公比的等比数列，其前5项和为S 5＝1×[1－(12)5]1－12＝3116.4．一弹性球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)( )A ．300米B ．299米C ．199米D ．166米答案 A解析小球10次着地共经过的路程为100＋100＋50＋…＋100×⎝⎛⎭⎫128＝2993964≈300(米)．5．在等比数列中，S 30＝13S 10，S 10＋S 30＝140，则S 20等于( ) A ．90 B ．70 C ．40 D ．30 答案 C解析 q ≠1 (否则S 30＝3S 10)，由⎩⎪⎨⎪⎧ S 30＝13S 10S 10＋S 30＝140，∴⎩⎪⎨⎪⎧S 10＝10S 30＝130， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q 10)1－q＝10a 1(1－q 30)1－q＝130，∴q 20＋q 10－12＝0.∴q 10＝3，∴S 20＝a 1(1－q 20)1－q＝S 10(1＋q 10)＝10×(1＋3)＝40.6．某企业在今年年初贷款a 万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还( )A.a (1＋γ)(1＋γ)5－1万元B.aγ(1＋γ)5(1＋γ)5－1万元C.aγ(1＋γ)5(1＋γ)4－1万元 D.aγ(1＋γ)5万元答案 B解析设每年偿还x 万元，则：x ＋x (1＋γ)＋x (1＋γ)2＋x (1＋γ)3＋x (1＋γ)4＝a (1＋γ)5，∴x ＝aγ(1＋γ)5(1＋γ)5－1.二、填空题 7．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则{a n }的公比为________．答案 13解析由已知4S 2＝S 1＋3S 3，即4(a 1＋a 2)＝a 1＋3(a 1＋a 2＋a 3)． ∴a 2＝3a 3，∴{a n }的公比q ＝a 3a 2＝13.8．在等比数列{a n }中，已知S 4＝48，S 8＝60，则S 12＝________________________________________________________________________. 答案 63解析方法一 ∵S 8≠2S 4，∴q ≠1，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q 4)1－q＝48 ①a 1(1－q 8)1－q ＝60 ②由②÷①得1＋q 4＝54，∴q 4＝14③将③代入①得a 11－q ＝64，∴S 12＝a 1(1－q 12)1－q＝64(1－143)＝63.方法二因为{a n }为等比数列，所以S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 也成等比数列，所以(S 2n －S n )2＝S n (S 3n －S 2n )，所以S 3n ＝(S 2n －S n )2S n ＋S 2n ，所以S 12＝(S 8－S 4)2S 4＋S 8＝(60－48)248＋60＝63.9．一个蜂巢里有一只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了2个伙伴；第2天，3只蜜蜂飞出去，各自找回了2个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有________只蜜蜂．答案 729解析每天蜜蜂归巢后的数目组成一个等比数列，a 1＝3，q ＝3，∴第6天所有蜜蜂归巢后，蜜蜂总数为a 6＝36＝729(只)．10．某工厂月生产总值的平均增长率为q ，则该工厂的年平均增长率为________．答案 (1＋q )12－1解析设第一年第1个月的生产总值为1，公比为(1＋q )，该厂第一年的生产总值为S 1＝1＋(1＋q )＋(1＋q )2＋…＋(1＋q )11.则第2年第1个月的生产总值为(1＋q )12，第2年全年生产总值S 2＝(1＋q )12＋(1＋q )13＋…＋(1＋q )23＝(1＋q )12S 1，∴该厂生产总值的平均增长率为S 2－S 1S 1＝S 2S 1－1＝(1＋q )12－1.三、解答题11．为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2010年开始出口，当年出口a 吨，以后每年出口量均比上一年减少10%.(1)以2010年为第一年，设第n 年出口量为a n 吨，试求a n 的表达式；(2)因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2010年最多出口多少吨？(保留一位小数)参考数据：0.910≈0.35.解 (1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a 1＝a ，公比q ＝1－10%＝0.9，∴a n ＝a ·0.9n －1 (n ≥1)．(2)10年的出口总量S 10＝a (1－0.910)1－0.9＝10a (1－0.910)．∵S 10≤80，∴10a (1－0.910)≤80，即a ≤81－0.910，∴a ≤12.3.故2010年最多出口12.3吨． 12．某市2008年共有1万辆燃油型公交车，有关部门计划于2009年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问：(1)该市在2015年应该投入多少辆电力型公交车？(2)到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的13？(lg 657＝2.82，lg 2＝0.30，lg 3＝0.48)解 (1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列{a n }，其中a 1＝128，q ＝1.5，则在2015年应该投入的电力型公交车为a 7＝a 1·q 6＝128×1.56＝1 458(辆)．(2)记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，依据题意，得S n 10 000＋S n >13，于是S n ＝128(1－1.5n )1－1.5>5 000(辆)，即1.5n >65732.两边取常用对数，则n ·lg 1.5>lg 65732，即n >lg 657－5lg 2lg 3－lg 2≈7.3，又n ∈N ＋，因此n ≥8.所以到2016年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的13.能力提升13．有纯酒精a L(a >1)，从中取出1 L ，再用水加满，然后再取出1 L ，再用水加满，如此反复进行，则第九次和第十次共倒出纯酒精________L.答案 ⎝⎛⎭⎫1－1a 8⎝⎛⎭⎫2－1a 解析用{a n }表示每次取出的纯酒精，a 1＝1，加水后浓度为a －1a ＝1－1a ，a 2＝1－1a，加水后浓度为⎝⎛⎭⎫1－1a ⎝⎛⎭⎫a －1a ＝⎝⎛⎭⎫1－1a 2，a 3＝⎝⎛⎭⎫1－1a 2，依次类推：a 9＝⎝⎛⎭⎫1－1a 8，a 10＝⎝⎛⎭⎫1－1a 9. ∴⎝⎛⎭⎫1－1a 8＋⎝⎛⎭⎫1－1a 9＝⎝⎛⎭⎫1－1a 8⎝⎛⎭⎫2－1a . 14．现在有某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元，两方案使用期都是10年，到期后一次性归还本息，若银行贷款利息均按本息10%的复利计算，试比较两种方案谁获利更多？(精确到千元，数据1.110≈2.594,1.310≈13.79)解甲方案10年中每年获利数组成首项为1，公比为1＋30%的等比数列，其和为1＋(1＋30%)＋(1＋30%)2＋…＋(1＋30%)9＝1.310－11.3－1≈42.63(万元)，到期时银行贷款的本息为10(1＋0.1)10≈10×2.594＝25.94(万元)， ∴甲方案扣除贷款本息后，净获利约为 42．63－25.94≈16.7(万元)．乙方案10年中逐年获利数组成等差数列， 1＋1.5＋…＋(1＋9×0.5) ＝10(1＋5.5)2＝32.50(万元)，而贷款本利和为1．1×[1＋(1＋10%)＋…＋(1＋10%)9]＝1.1×1.110－11.1－1≈17.53(万元)．∴乙方案扣除贷款本息后，净获利约为32．50－17.53≈15.0(万元)，比较得，甲方案净获利多于乙方案净获利．1．准确理解等比数列的性质，熟悉它们的推导过程是记忆的关键．用好其性质也会降低解题的运算量，从而减少错误．2．利用等比数列解决实际问题，关键是构建等比数列模型．要确定a1与项数n的实际含义，同时要搞清是求a n还是求S n的问题．。

高一数学《数列》同步训练(共7份)含答案必修5

必修5《数列》同步训练（共7份）含答案2．1 数列的概念与简单表示法一、选择题：1．下列解析式中不．是数列1，-1，1，-1，1，-1…，的通项公式的是（） A.(1)n n a =- B.1(1)n n a +=- C.1(1)n n a -=- D.{11n n a n =-，为奇数，为偶数2，的一个通项公式是（）A. n aB. n a =C. n a =D.n a =3．已知数列{}n a ，1()(2)n a n N n n +=∈+，那么1120是这个数列的第（）项. A. 9 B. 10 C. 11 D. 124．数列{}n a ，()n a f n =是一个函数，则它的定义域为（）A. 非负整数集B. 正整数集C. 正整数集或其子集D. 正整数集或{}1,2,3,4,,n5．已知数列{}n a ，22103n a n n =-+，它的最小项是（）A. 第一项B. 第二项C. 第三项D. 第二项或第三项6．已知数列{}n a ，13a =，26a =，且21n n n a a a ++=-，则数列的第五项为（）A. 6B. 3-C. 12-D. 6-二.填空题：7、观察下面数列的特点，用适当的数填空（1），14，19，116，；（2）32，54，，1716，3332，。

8.已知数列{}n a ，85,11n a kn a =-=且，则17a =.9.根据下列数列的前几项的值，写出它的一个通项公式。

（1）数列0.7,0.77,0.777,0.7777,…的一个通项公式为.（2）数列4,0,4,0,4,0,…的一个通项公式为.（3）数列1524354863,,,,,,25101726的一个通项公式为.10.已知数列{}n a 满足12a =-，1221n n na a a +=+-，则4a =.三.解答题11.已知数列{}n a 中，13a =，1021a =，通项n a 是项数n 的一次函数，①求{}n a 的通项公式，并求2005a ；②若{}n b 是由2468,,,,,a a a a 组成，试归纳{}n b 的一个通项公式.12.已知{}n a 满足13a =，121n n a a +=+，试写出该数列的前5项，并用观察法写出这个数列的一个通项公式.2.2等差数列一.选择题：1、等差数列｛a n ｝中，a 1=60,a n+1=a n+3则a 10为………………………………（） A 、-600 B 、-120 C 、60 D 、-602、若等差数列中，a 1=4,a 3=3,则此数列的第一个负数项是……………………（）A 、a 9B 、a 10C 、a 11D 、a 12 3.若数列{}n a 的通项公式为25n a n =+，则此数列是（）A.公差为2的等差数列B. 公差为5的等差数列C.首项为5的等差数列D. 公差为n 的等差数列4.已知｛a n ｝是等差数列，a 7+a 13=20，则a 9+a 10+a 11=……………………（） A 、36 B 、30 C 、24 D 、185.等差数列3,7,11,,---的一个通项公式为（）A.47n -B.47n --C.41n +D.41n -+6.若{}n a 是等差数列，则123a a a ++，456a a a ++，789a a a ++，，32313n n n a a a --++，是（）A.一定不是等差数列B.一定是递增数列C.一定是等差数列D.一定是递减数列二.填空题：7.等差数列{}n a 中，350a =，530a =，则7a =.8.等差数列{}n a 中，3524a a +=，23a =，则6a =.9.已知等差数列{}n a 中，26a a 与的等差中项为5，37a a 与的等差中项为7，则n a =.10.若｛a n ｝是等差数列，a 3,a 10是方程x 2-3x-5=0的两根，则a 5+a 8=.三.解答题11.判断数52，27()k k N ++∈是否是等差数列{}n a :5,3,1,1,,---中的项，若是，是第几项？12.等差数列｛a n｝中，a1=23，公差d为整数，若a6>0,a7<0.（1）求公差d的值;（2）求通项a n.13、若三个数a-4,a+2,26-2a，适当排列后构成递增等差数列，求a的值和相应的数列.2.3等差数列的前n 项和一.选择题：1.等差数列{}n a 中，10120S =，那么110a a += （）A.12B.24C.36D.482.从前180个正偶数的和中减去前180个正奇数的和，其差为（）A.0B.90C.180D.3603.已知等差数列{}n a ，219n a n =-，那么这个数列的前n 项和n s （）A.有最小值且是整数B.有最小值且是分数C.有最大值且是整数D.有最大值且是分数4.等差数列{}n a 的前m 项的和为30，前2m 项的和为100，则它的前3m 项的和为( )A.130B.170C.210D.2605.在等差数列{}n a 和{}n b 中，125a =，175b =，100100100a b +=，则数列{}n n a b +的前100项和为（）A.0B.100C.1000D.100006.若关于x 的方程20x x a -+=和20x x b -+=()a b ≠的四个根组成首项为14的等差数列，则a b += （） A.38B.1124C.1324D.3172二.填空题：本大题共4小题，每小题 4分，共16分，把正确答案写在题中横线上.7.等差数列{}n a 中，若638a a a =+，则9s =.8.等差数列{}n a 中，若232n S n n =+，则公差d =.9.有一个凸n 边形，各内角的度数成等差数列，公差是100，最小角为1000，则边数n=.10.若两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且满足733n n S n T n +=+，则88a b =. 三.解答题11.在等差数列{}n a 中，40.8a =，11 2.2a =，求515280a a a +++.12.已知等差数列｛a n｝的项数为奇数，且奇数项的和为44，偶数项的和为33，求此数列的中间项及项数。

数学人教B版必修5同步训练：2.3.2等比数列的前N项和

2.3.2 等比数列的前n 项和5分钟训练(预习类训练,可用于课前) 1.在等比数列{a n }中，S n =65，n=4，q=32，则a 1=_____________. 解析：S n =321])32(1[1)1(411--=--a qq a n =65，即：a 1=27. 答案：272.等比数列{a n }中，a 1=3,q=2，则S 6=_____________.解析：S 6=21)21(36--=189.答案：1893.求和：x+x 2+x 3+…+x n =_____________.解析：当n=1时，S n =n;当n=0时，S n =0，当x≠1,0时，S n =xx x n --1)1(，当x=0时也满足.故x+x 2+…x n =⎪⎩⎪⎨⎧≠--=)1(,1)1()1(,x xx x n n n答案：n(x=1)或)1(1)1(≠--x xx x n 4.等比数列｛a n ｝的各项都是正数，若a 1=81,a 5=16,则它的前5项和是_____________. 解析：设等比数列｛a n ｝的公比为q ，a 1=81,a 5=16，得q=±32,又等比数列的各项都是正数，则其公比q=32，所以S 5=qq a --1)1(51=211，即S 5=211.或利用S 5=qqa a --151=211.答案：21110分钟训练(强化类训练，可用于课中) 1.计算：1+33+3+…+381的值是( )A.3242-B.3161242+C.341121+D.3121121+解析：此数列是以1为首项，3为公比的等比数列，而381=1×(3)n-1=(3)9, ∴n=10， ∴S 10=312112131)3(110+=--.故选D.答案：D2.在等比数列{a n }中,a 1=2,前n 项和为S n ,若数列{a n +1}也是等比数列,则S n 等于( ) A.2n+1-2 B.3n C.2n D.3n -1 解析：因数列{a n }为等比数列，则a n =2q n-1，因数列{a n +1}也是等比数列，则(a n+1+1)2=(a n +1)(a n+2+1) ⇒a n+12+2a n+1=a n a n+2+a n +a n+2⇒a n +a n+2=2a n+1⇒a n (1+q 2-2q)=0⇒ q=1.即a n =2，所以S n =2n. 答案：C3.某人为了观看2008年奥运会，从2001年起，每年5月10日到银行存入a 元定期储蓄，若年利率为p 且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2008年将所有的存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数（元）为( ) A.a(1+p)7 B.a(1+p)8 C.p a ［(1+p)7-(1+p)］ D.pa［(1+p)8-(1+p)］解析：2001年存入的a 元到2008年所得的本息和为a(1+p)7，2002年存入的a 元到2008年所得的本息和为a(1+p)6，依此类推，则2007年存入的a 元到2008年的本息和为a(1+p)，每年所得的本息和构成一个以a(1+p)为首项，1+p 为公比的等比数列，则到2008年取回的总额为a(1+p)+a(1+p)2+…+a(1+p)7=pap p p a =+-+-+)1(1])1(1)[1(7［(1+p)8-(1+p)］.答案：D4.数列{a n }中，a n+1=522-n na a ，已知该数列既是等差数列又是等比数列，则该数列的前20项和S 20=_______________.解析：设数列中的每一项为a ，代入到已知等式中，得：a=522-a a ，求出a=5,a=0（舍去）.S 20=20×5=100. 答案：1005.求等比数列1，2，4，…从第5项到第10项的和.解：由a 1=1,a 2=2得q=2,∴S 4=21)21(1,1521)21(110104--⨯==--⨯S =1 023.从第5项到第10项的和为S 10-S 4=1 008.6.在等比数列{a n }中S 3=4,S 6=36，求a n . 解：∵6363S S ≠,∴q≠1, ∴S 3=qq a S q q a --==--1)1(,41)1(61631=36, 两式相除得1+q 3=9,∴q=2.将q=2代入S 3=4，得a 1=74， ∴a n =74×2n-1=71×2n+1. 30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.一条信息，若一人得知后用一天时间将信息传给2人，这2人每人又用一天时间传给未知此信息的另外2人，如此继续下去，要传遍100万人口的城市，所需时间大约是( ) A.3个月 B.1个月 C.10天 D.20天解析：本题即为求等比数列1,2,22,23,…,2n-1，…的前n 项和为100万时n 为多少的问题.于是2121--n =106，∴2n =106+1，两边取对数得：nlg2=lg106,n=3.062lg 6=≈20.答案：D2.等比数列{a n }中，已知a 1=1，且共有偶数项，若其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则公比q=__________,项数共有____________项.解析：设项数为2k(k ∈N *)，则(a 1+a 3+a 5+…+a 2k-1)·q=a 2+a 4+a 6+…+a 2k. ∴q=85170=2.又∵a 1=1,∴S n =2n -1.又∵S n =170+85=255,∴n=8.即共有8项. 答案：2 83.设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n+1、S n 、S n+2成等差数列，则q 的值为____________.解析：S n =q q a n --1)1(1,2S n =S n+1+S n+2，则有2·q q a n --1)1(1=qq a q q a n n --+--++1)1(1)1(2111， ∴q 2+q-2=0,∴q=-2.答案：-24.有一座七层塔，每层所点灯的盏数都是上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数为____________.解析：要求底层点灯的盏数，所以设底层为a 1盏，作为数列的首项.共381盏灯，列出前n项和.即：S 7=211)211(71--a =381⇒a 1=192.答案：1925.已知数列{a n }是等比数列，且a 1+a n =66，a 2a n-1=128，且前n 项和S n =126，求n 及公比q. 解：∵a 1a n =a 2a n-1=128,a 1+a n =66,∴a 1、a n 可看作方程x 2-66x+128=0的两根，解得x 1=2,x 2=64.∴a 1=2,a n =64或a 1=64,a n =2.若a 1=2,a n =64,显然q≠1，由q qa a n --11=126,得2-64q=126-126q,∴q=2.由a n =a 1q n-1，得2n-1=32,∴n=6. 若a 1=64,a n =2，同理可求得q=21,n=6. 综上述可知，n 的值为6，公比q 为2或21. 6.已知数列{a n }的通项公式为a n =n·a n (a ＞0且a≠1)，求S n . 解：S n =a+2a 2+3a 3+…+n·a n ① ①×a 得：aS n =a 2+2a 3+…+(n-1)a n +na n+1 ②①-②得：(1-a)S n =a+a 2+a 3+…+a n-n·a n+1=11)1(+∙---n n a n aa a . ∴S n =a a n a a a n n -∙---+1)1()1(12. 7.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 4=1,S 8=17,求{a n }的通项公式.解：设{a n }的公比为q ，由S 4=1,S 8=17知q≠1,所以得1)1(41--q q a =1. ①1)1(81--q q a =17,②由①②式整理得1148--q q =17,解得q 4=16.所以q=2或q=-2.将q=2代入①式得a 1=151，所以a=1521-n .将q=-2代入①式得a 1=51-，所以a n =52)1(1-⨯-n n .8.某工厂去年的产值是100万元，计划今后3年内一年比一年产值增长10%，从今年起的第三年，这个工厂的年产值是多少万元？这三年的总产值是多少万元？（精确到万元，1.13≈1.33）解：设去年的产值为a 1万元，今年的产值以及以后各年的产值依次为a 2万元，a 3万元……由于a n+1=a n (1+0.1)，故数列{a n }是等比数列，则第三年该厂的年产值为a 4=a 1q 3=100×1.13≈133（万元）.这三年的总产值为S 4-a 1=1.11)1.11(1001)1(4141--=---a q q a -100≈364（万元）.9.数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1,a n+1=31S n ，n=1,2,3, …,求: （1）a 2，a 3，a 4的值及数列{a n }的通项公式；（2）a 2+a 4+a 6+…+a 2n 的值.解：（1）由a 1=1，a n+1=31S n ，n=1，2，3，…，得 a 2=31S 1=31a 1=31，a 3=31S 2=31(a 1+a 2)=94，a 4=31S 3=31(a 1+a 2+a 3)=2716，由a n+1-a n =31(S n -S n-1)= 31a n （n≥2），得a n+1=34a n （n≥2）.又a 2=31，所以a n =31(34)n-2(n≥2)，∴数列{a n }的通项公式为a n =⎪⎩⎪⎨⎧≥=-.2,)34(31,1,12n n n（2）由（Ⅰ）可知a 2,a 4, …，a 2n 是首项为31，公比为(34)2，项数为n 的等比数列， ∴a 2+a 4+a 6+…+a 2n =31·]1)34[(73)3(1)34(1222-=--n n .10.某市2004年底有住房面积1 200万平方米，计划从2005年起，每年拆除20万平方米的旧住房.假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的5%. （1）分别求2005年底和2006年底的住房面积；（2）求2024年底的住房面积.（计算结果以万平方米为单位，且精确到0.01）解：（1）2005年底的住房面积为： 1 200（1+5%）-20=1 240（万平方米），2006年底的住房面积为：1 200（1+5%）2-20（1+5%）-20=1 282（万平方米）， ∴2005年底的住房面积为1 240万平方米，2006年底的住房面积为1 282万平方米.（2）2024年底的住房面积为：1 200（1+5%）20-20（1+5%）19-20（1+5%）18-…-20（1+5%）-20=1 200（1+5%）20-20×05.0105.120-≈2 522.64（万平方米）∴2024年底的住房面积约为2 522.64万平方米.。

2017-2018学年人教A版数学必修五课时达标检测十二等

课时达标检测（十二）等比数列的前n 项和一、选择题1．等比数列1，a ，a 2，a 3，…(a ≠0)的前n 项和S n 等于( ) A.1－a n1－a B.1－an －11－aC.⎩⎪⎨⎪⎧1－a n 1－aa n a＝D.⎩⎪⎨⎪⎧1－a n －11－a a n a＝解析：选C 注意对公比a 是否为1进行分类讨论，易知选C.2．在等比数列{a n }中，如果a 1＋a 2＝40，a 3＋a 4＝60，那么a 7＋a 8等于( ) A ．135 B ．100 C ．95D ．80解析：选A 由等比数列的性质知，a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6， a 7＋a 8成等比数列，其首项为40，公比为6040＝32.∴a 7＋a 8＝40×⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝135.3．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为( )A.158或5 B.3116或5 C.3116D.158解析：选C 易知公比q ≠1. 由9S 3＝S 6，得9·a 1－q 31－q＝a 1－q 61－q，解得q ＝2.∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公比为12的等比数列．∴其前5项和为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝3116.4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n 等于( ) A ．2n －1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1D.12n －1解析：选B 由S n ＝2a n ＋1＝2(S n ＋1－S n )得S n ＋1＝32S n ，所以{S n }是以S 1＝a 1＝1为首项，32为公比的等比数列，所以S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.5．等比数列{a n }的公比q ＜0，已知a 2＝1，a n ＋2＝a n ＋1＋2a n ，则{a n }的前2 016项和等于( )A ．2 016B ．－1C ．1D ．0解析：选D 由a n ＋2＝a n ＋1＋2a n 得qn ＋1＝q n ＋2qn －1，即q 2－q －2＝0，又q ＜0，解得q ＝－1，又a 2＝1，∴a 1＝－1， S 2 016＝－1×[1－－2 016]1－－＝0.二、填空题6．设等比数列{a n }的公比q ＝12，前n 项和为S n ，则S 4a 4＝________.解析：∵S 4＝a 1－q41－q，a 4＝a 1q 3，∴S 4a 4＝1－q 4q 3－q＝15. 答案：157．等比数列{a n }共有2n 项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q ＝________.解析：设{a n }的公比为q ，则奇数项也构成等比数列，其公比为q 2，首项为a 1，S 2n ＝a 1－q2n1－q，S 奇＝a 1[]1－q2n1－q 2.由题意得a 1－q 2n1－q＝3a 1－q 2n1－q，∴1＋q ＝3，∴q ＝2. 答案：28．已知等比数列的前10项中，所有奇数项之和为8514，所有偶数项之和为17012，则S＝a 3＋a 6＋a 9＋a 12的值为________．解析：设公比为q ，由⎩⎪⎨⎪⎧S 偶S 奇＝q ＝2，S奇＝a 1[]1－q 251－q2＝8514，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝14，q ＝2.∴S ＝a 3＋a 6＋a 9＋a 12＝a 3(1＋q 3＋q 6＋q 9) ＝a 1q 2·1－q121－q3＝585.答案：585 三、解答题9．设等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 2＝6,6a 1＋a 3＝30，求a n 和S n .解：设{a n }的公比为q ，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝6，6a 1＋a 1q 2＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝3.当a 1＝3，q ＝2时，a n ＝3×2n －1，S n ＝3(2n－1)；当a 1＝2，q ＝3时，a n ＝2×3n －1，S n ＝3n－1.10．已知等差数列{a n }满足：a 4＝6，a 6＝10. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设等比数列{b n }的各项均为正数，T n 为其前n 项和，若b 1＝1，b 3＝a 3，求T n . 解：(1)∵等差数列{a n }，∴设公差为d ，a 6－a 4＝2d ⇒2d ＝4⇒d ＝2，a n ＝a 4＋(n －4)d ＝2n －2(n ∈N *)．(2)由(1)可知b 3＝a 3＝2×3－2＝4，又∵正项等比数列{b n }，∴q 2＝b 3b 1＝4⇒q ＝2， ∴T n ＝－2n1－2＝2n－1.11．已知等比数列{a n }中，a 1＝13，公比q ＝13.(1)S n 为数列{a n }的前n 项和，证明：S n ＝1－a n2；(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{b n }的通项公式．解：(1)证明：因为a n ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝13n ，S n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n 1－13＝1－13n 2，所以S n ＝1－a n2. (2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋…＋n )＝－n n ＋2.所以{b n }的通项公式为b n ＝－n n ＋2.12．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝2S 9求数列的公比q .解：法一：若q ＝1，则有S 3＝3a 1，S 6＝6a 1，S 9＝9a 1，但a 1≠0，即S 3＋S 6≠2S 9，与题设矛盾，故q ≠1.同理可得q ≠－1，依题意S 3＋S 6＝2S 9.∴a 1－q 31－q＋a 1－q 61－q＝2×a 1－q 91－q.整理，得q 3(2q 6－q 3－1)＝0，由于q ≠0，得2q 6－q 3－1＝0. ∵q ≠－1，∴q 3≠－1，∴q 3＝－12，∴q ＝－342.法二：S 3＋S 6＝2S 9，∴S 3，S 9，S 6成等差数列． ∴S 9－S 3＝S 6－S 9，∴a 1q 3＋a 1q 4＋…＋a 1q 8＝－a 1q 6－a 1q 7－a 1q 8， ∴a 1q 3(1＋q ＋q 2)(2q 3＋1)＝0. ∵a 1≠0，q ≠0,1＋q ＋q 2≠0， ∴2q 3＋1＝0，q ＝－312＝－342.法三：∵S 3＋S 6＝2S 9，又S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列．∴由⎩⎪⎨⎪⎧S 3＋S 6＝2S 9，S 3S 9－S 6＝S 6－S 32.消去S 9，得S 3＝2S 6，又由法一知q ≠1，∴q 3＝S 6－S 3S 3＝－12，∴q ＝－342.。

2018学年高中数学新课标人教A版必修5同步学案：2.5第2

2.5第二课时等比数列的前n 项和的应用一、课前准备1.课时目标：搞清等比数列求和公式的应用，能够利用等比数列求和公式解决实际问题，用等比数列和的性质解决问题，熟练掌握等比数列的性质，遇到等比数列求和问题首先考虑应用等比数列的性质去解，培养学生分析问题解决问题的能力.2.基础预探（1）等比数列{}n a ，前n 项和为n S ，则232,,n n n n n S S S S S --仍成______. （2）若{}n a 是公比为q 的等比数列，则______n m n S S +=+m S . （3）在等比数列中，若项数为()*2n n N∈，SS 偶奇与分别为偶数项和奇数项的和，则._______S S ÷=偶奇，（4）一般等比数列的前n 项和1(1)(1)1n n a q S q q -=≠-可以变形为111(1)111n n n a q a a q S q q q-==----的形式，设____A =，则上式可以写为n n S A Aq =-，由此可以看出，对于数列的前n 项的和n n S aq b =+，当且仅当满足0,1a b q =-≠≠时，该数列是等比数列，否则不是.二、基本知识习题化1.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,33S =,627S =，则此等比数列的公比q 等于（）A ．2B ．2-C ．21 D ．12- 2、在等比数列}{n a 中，已知676=⋅a a ，5103=+a a ，则2128a a 等于（） A 、32 B 、23 C 、32或23 D 、23 3. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则4S ，84S S -，128S S -，1612S S -成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{}n b 的前n 项积为n T ，则4T ，，，1612T T 成等比数列．4. 已知等差数列{}n a 中，28a =，前10项和10185S =；（1）求通项；（2）若从数列{}n a 中依次取第2项、第4项、第8项、…、第2n项、……按原来的顺序组成一个新的数列{}n b ，求数列{}n b 的前n 项和n T ；三、学习引领①等比数列的前n 项和的公式可以求数列的和，在求数列的和时注意应用等比数列和的性质来解题，这样简化解题的步骤，注意确定首项，公比与项数来解题. ②利用等比数列的前等比数列前n 项和可以解决应用问题，首先审清题意，搞清已知量与未知量的关系，将实际问题转化为数学问题，试题中常见的数列模型有构造等差或等比数列再求解；再就是先求出联系的前几项，再归纳推理出n a ，再用数学知识解题③遇到数列的前n 项和n S 与通项n a 之间的关系一般要把n S 转化为n a 求解，不是等差与等比数列的问题，可以转化为等差与等比数列求和. 四、典例导析变式练习题型一已知数列{}n a 中，123,,,,,n a a a a L L 构成一个新数列：1211,(),,(),,n n a a a a a ---L L 此数列是首项为1，公比为13的等比数列. （1）求数列{}n a 的通项；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S .思路导析：观察新数列的各项不难发现这样一个事实，新数列的前n 项和恰为n a ，这样既可将问题转化为首项为1，公比为13的等比数列的前n 项和，数列{}n a 的通项公式求出以后，计算其前n 项和n S ，就容易多了. 解：（1）2112132111131()()()1133323n nn n n a a a a a a a a --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++-=++++=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L L （2）2212331313131111112323232333n nn n S a a a a n ⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=-+-++-=-+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭L L L()1331311121243443n n n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 规律总结：本题思路新颖，方法独特，注意思路的灵活性. 变式训练1成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{}n b 中的b 、b 、b ．（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）数列{}n b 的前n 项和为nS，求证：数列54n S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列．题型二等差数列与等比数列的综合应用设数列{}n a 的前n 项和为()*1144n n S n N -=-∈，数列{}n b 为等差数列，且()112211,b a a b b a =-=.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T .思路导析：对于等差与等比数列的综合问题，可以转化为等差或等比数列求解. 解：（1）数列{}n a 的前n 项和为1144n n S -=-， ()1121113442444n n n n n n a S S n ----∴=-=--+=≥，又()114131a S n ==-==，也适合上式，()*1113,34n n a n N b a -∴=∈==，()()22112133,4a b b a b b -=⇒-= 214,b b ∴-=数列{}n b 为等差数列，()11441n b b n n ∴=+-=-.（2）设()13414n n n n n c a b --==， ()()2134534133371444n n n n n T ----⨯⨯∴=++++ ， ①()()13234534133373114411444n n n n n T ----⨯⨯⨯=⨯+++++ ， ② ②-①，得()132134111113493414444n n n n n T ----⎛⎫=⨯+⨯++++- ⎪⎝⎭ ， 524852334n nn T +∴=-⋅.规律总结：遇到等差与等比综合问题，要先求数列的通项，等差与等比数列积的问题求和可以应用错位相减求和.变式训练 2等比数列{}n a 中前n 项和为n S ,42S =,86S =,求17181920a a a a +++的值. 题型3 应用问题例3 某商场今年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约几年可使总销售量达到30000台？（结果保留到个位）思路导析：根据题意，从中发现等比关系，从中抽象出等比数列的模型，并明确这是一个已知30000n S =求n 的问题.本来的解答应先根据等比数列的前n 项的和公式列方程，再用对数的知识解方程.解：根据题意，每年的销售量比上一年的销售量增加的百分率相同，所以，从今年起，每年的销售量组成一个等比数列{}n a ，其中15000,110% 1.1,30000n a q S ==+==，于是得到()50001 1.1300001 1.1n -=-，整理得1.1 1.6n =，两边取对数，得lg1.1lg1.6n =，用计算器算得lg1.65lg1.1n =≈（年）答：大约5年可使总销售量达到30000台.规律总结：本例是一道关于等比数列模型的应用题，需要从实际问题中抽象出等比数列模型.从时间背景的角度讲，本例的设计一方面是想让学生了解计算机日益普及，其销量越来越大；另一方面，对于一个商场来讲，为实现一定的商品销售目标而制定计划也是一件自然的事情. 变式训练3某市2015年有1万辆燃油型公交车.有关部门计划于2016年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问：（1）该市在2022年应该投入多少辆电力型公交车？（2）到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的13？五、随堂练习1. 设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知342332,32S a S a =-=-，则公比()q =. A.3 B.4 C.5 D.62.已知数列{}n a 的通项公式是()()11nn a n =-+，则12310()a a a a ++++= .A. 5- 5B. 5-C.5D.5 53.已知方程()()22220x mx xnx -+-+=的四个根组成一个首项为12的等比数列，则m n -=（）A ．1B ．32C ．52D ．92、4.在等比数列{a n }中，若a 9·a 11=4，则数列｛n a 21log ｝前19项之和为______5.在等比数列{}n a 中，34151211-=-==n n S a a ，，，则=q ______________，=n _____________.6.等比数列{n a }的前n 项和为n s ，已知1S ,3S ,2S 成等差数列（1）求{n a }的公比q ；（2）求1a －3a ＝3，求ns六、课后作业1.已知{}n a 是等比数列，41252==a a ，，则13221++++n n a a a a a a =（） A. 16（n--41） B. 16（n--21）C.332（n --41） D. 332（n--21） 2.在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列,则n S 等于( ) A.122n +- B. 3n C. 2n D.31n -3.等比数列｝｛n a 的公比为q ，前n 项的积为n T ，并且满足 ()01)1(,01,120102009201020091<-->-⋅>a a a a a ，给出下列结论①10<<q ；②120112009<⋅a a ；③2010T 是n T 中最大的；④使得1>n T 成立的最大的自然数n 是4018.其中正确结论的序号为（将你认为正确的全部填上）. 4.在等比数列{}n a 中，212,24n n S S ==，那么3____.n S =5.设数列{}n a 满足211233333n n n a a a a -++++=…，a ∈*N ．（1）求数列{}n a 的通项；（2）设n nnb a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 6.某教师购买安居工程集资房722m ，单价为1000元2/m ，一次性国家财政补贴28800元，学校补贴14400元，余款由个人负担.房地产开发公司对教师实行分期付款，每期为1年，等额付款.签订购房合同后，1年付款1次，再过1年又付款1次等等，共付10次，10年后还清.如果按年利率7.5%，每年复利1次计算，那么每年应付多少元？（计算结果精确到白元.下列数据供参考：210111.075 1.921,1.0752.065,1.075 2.221≈≈≈）参考答案一、2.基础预探（1）【等比数列】（2）【nnm nm S S qS +=+】（3）【q 】（4）11a q- 二、基本知识习题化1. 答案：A 解：363611363(1)(1),19211S a q a q S S q q q q S --==⇒=+=⇒=--，选A.2. 答案：C 解析：由已知及等比数列性质知⎩⎨⎧=⋅=⋅=+6576103103a a a a a a 解得⎩⎨⎧==32103a a 或⎩⎨⎧==23103a a 所以==3107a a q 32或23，所以2128a a ==7q 32或23，故选C.3. 答案：.,81248T T T T 4. 解：（1）设{}n a 公差为d ，有⎪⎩⎪⎨⎧=⨯+=+185291010811d a d a ，解得15,3a d ==，∴()1132n a a n d n =+-=+ （2）∵2322n nn b a ==⋅+∴()()()1212322322322nn n T b b b =+++=⨯++⨯+++⨯+()2322226226n n n n =++++=⋅+-四、典例导析变式练习1. 解：（1）设成等差数列的三个正数分别为,,a d a a d -+依题意，得15, 5.a d a a d a -+++==解得所以{}n b 中的345,,b b b 依次为7,10,18.d d -+依题意，有(7)(18)100,213d d d d -+===-解得或（舍去）故{}n b 的第3项为5，公比为2．由22311152,52,.4b b b b =⋅=⋅=即解得所以{}n b 是以54为首项，2为以比的等比数列，其通项公式为1352524n n n b --=⋅=⋅-------------6分（2）数列{}n b 的前n 项和25(12)5452124n n n S --==⋅--，即22545-⋅=+n n S所以1112555524, 2.542524n n n n S S S -+-+⋅+===⋅+因此55{}42n S +是以为首项，公比为2的等比数列．2. 解：∵等比数列中k S ,2k k S S -,32k k S S -,……仍成等比数列,∴4S ,84S S -,128S S -,……也成等比数列,而17181920a a a a +++则是这个等比数列中的第5项,由42S =,86S =得844S S -=∴这个等比数列即是:2,4,8,16,32,……,∴1718192032a a a a +++=.3. 解：（1）该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列{}n a ，其中1128, 1.5a q == ，则在2022年应该投入电力型公交车为6671128 1.51458a a q =⋅=⨯=（辆）. （2）记12n n S a a a =+++L ，依据题意，得1100003n n S S >+.于是6571.532n >，则有657lg327.5lg1.5n >≈，因此8n ≥.所以，到2023年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的13.五、随堂练习 1.答案：B 解析： 342332,32,S a S a =-⎧⎨=-⎩①②①-②得43433433,4,4a a a a a a q a =-===.故选B.2. 答案：C 解析： ()()1231011,231011nn a n a a a a =-+∴++++=-+--+()()()()()234567891011111115=-++-++-++-++-+=++++=，故选C.3. 答案：B 解析：不妨设这四个根为1234,,,x x x x ，其所有可能的值为12，12p ，212p ，312p ，由12342,2,x x x x =⎧⎨=⎩得12344x x x x =，即2311114,2222p p p ⋅⋅⋅=则6642p p =⇒=±。

2018学年高中数学新课标人教A版必修5同步学案：2.5第1课时等比数列的前n项和公式含答案

2.5第一课时等比数列的前n 项和公式一、课前准备 1.课时目标搞清等比数列前n 项和的公式的推导过程，记住等比数列求和公式是由两种情况，在不能确定等比数列的公比时，要进行讨论，应用等比数列求和公式时，注意确定首项，公比与项数. 特别注意的是不能确定公比q 是否为1的情况，要对公比进行讨论.等比数列求和公式的推导是数列求和的一种方略. 2.基础预探（1）等比数列的前n 项和公式有两种即________和________.（2）等比数列前n 项和公式的推导过程就是数列求和的一种方法即________.（3）等比数列的前n 项和公式1111(1)11n n n a S q a q a q qq ==-----可以看作一个常数列与一个________的差。

（4）当等比数列的公比1q ≠时，前n 项和公式有两种，当已知1,a q 时，则用公式____较好，当已知n a 时，应用公式____较好. 二、基础知识习题化1.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2580a a +=，则下列式子中，数值不能确定的是（）．Ａ．53a a Ｂ．35S S Ｃ．1n n a a + Ｄ．1n nSS + 2. 设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，若12,,n n n S S S ++成等差数列，则q 的值为______.3. 已知正项数列{}n a 为等比数列且25a 是4a 与33a 的等差中项，若22a =，则该数列的前5项的和为（） A.3312B.31C. 314 D.以上都不正确4.设等比数列{}n a 的公比为q =2，前n 项和为n S ，则42()S a =A.2B.4C. 152D. 172.三、学法指导①等比数列的求和公式的推导过程是数列求和的一种方法叫做错位相减法，注意掌握解题的指导思想遇到等差与等比数列积求和一般采用上述的解法.②对于等比数列求和注意要进行讨论，在没有确定等比数列的公比时，注意分两种情况即当1q =时，1,n S na =当1q ≠时，1(1)1n n a S qq -=-分别求解.③等比数列求和公式涉及到五个量，1,,,,n a q n d S 已知其中的三个量就可以求出另外的两个量，注意灵活应用公式求解，对于等比数列的前n 和可以变形为n n S Aq A =-+的形式，一般满足上述结果的是等比数列. 四、典例导析变式练习题型1 等比数列求和公式例 1 求下列等比数列的前8项的和：（1）111,,,;248L （2）19127,,0243a a q ==<. 思路导析：本题目是让学生熟悉公式，第（1）小题是对等比数列的前n 项的和公式的直接应用；第（2）小题已知127,8a n ==，还缺少一个已知条件，由题意显然可以通过解方程求得公比q .题目中要求0q <，一方面是为了简化计算，另一方面是想提醒学生q 既可为正数，又可为负数.本题中，由条件可得891124327a q a ==⨯，再由0q <可得13q =-.将所得的值代入公式就可以了.解：（1）111,,22a q ==∴Q 当8n =时，8811122255125612S ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==-.（2）由19127,243a a ==，可得891124327a q a ==⨯，又由0q <，可得13q =-，于是当8n =时，8127116402432718113S ⎛⎫- ⎪⨯⎝⎭==⎛⎫-- ⎪⎝⎭.规律总结：通过本题让学生熟悉方程思想，再次让学生明确，等比数列的通项公式与前n 项的和公式中共5个量：1,,,,n n a q a n S 5个量中已知任意三个就可以求出其余的两个，其中1,a q 为最基本得两个量.同时提醒学生注意，由于等比数列涉及到指数问题，有时解题计算会很繁琐，要注意计算化简中的技巧，灵活运用性质. 变式训练1.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3692S S S +=，求数列的公比q .题型2 错位相减求和2.求数列()2311,3,5,7,,21n a a a n a--L 的前n 项和.思路导析：观察数列的特点，其形式是{}n n a b ⋅型数列，且{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列.根据等比数列求和公式的推导方法，可采用错位相减进行求和. 解：当1a =时，数列变为()1,3,5,7,,21n -L ，则()21212n n n S n +-⎡⎤⎣⎦==.当1a ≠时，有()231135721n n S a a a n a-=+++++-L ， ①()23435721n n aS a a a a n a =+++++-L ， ②①-②，得()2311222221n n n n S aS a a a an a --=+++++--L ，()()()12311(1)1212()12121n n n n n a a a S n a a a a a n a a----=--+++++=--+⨯-L()()21211n n a a n a a-=--+-.又10a -≠，()()221211(1)nn n a a n a S a a ---∴=+--.规律总结：通过本例，在解题时要善于识别题目类型，善于分类讨论.在应用错位相减时，写出的“n S ”与“n qS ”的表达式应特别注意将两式“同相对齐”，以便于下一步准确写出“n n S qS -”的表达式.，注意对a 进行讨论. 变式训练2.求数列234567891,,,,a a a a a a a a a ++++++的前n 项和.题型3 等比数列中奇数项与偶数项问题例3 设等比数列{}n a 的各项均为正数，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项和的4倍，且第二项与第四项的积是第三项与第四项和的9倍，问数列{}lg n a 的前多少项和最大？()lg20.3,lg30.4==.思路导析：利用等比数列的前n 项的和，求出首项与公比，再求最值解：设公比为q ，项数为*,m n N ∈，依题意有()()()221123231111(1)4(1)119m m a q a q q q q a q a q a q a q ⎧--=⎪--⎨⎪⋅=+⎩，化简，得()2141191q q a q q ⎧=⎪+⎨⎪=+⎩，解得11,3108.q a ⎧=⎪⎨⎪=⎩设数列{}lg n a 的前n 项和为n S ，则()()12121111111lg lg lg lg lg 1lg 2n n n n S a a q a q a q n a n n q +++--=+++=⋅=+-⋅()()21lg372lg 23lg31lg32lg 2lg3222n n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--⋅=-⋅++⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 可见，当72lg 2lg 32lg 3n +=时，n S 最大. 而72lg 2lg 340.370.425lg 320.4+⨯+⨯==⨯，故数列{}lg n a 的前5项和最大.规律总结：在等比数列的奇数项与偶数项分别组成等比数列，利用等差与等比数列的性质解题可以简化解题方法. 变式训练3等比数列{n a }的公比0q >, 已知2a =1，216n n n a a a +++=，则{n a }的前4项和4S = 五、随堂练习1. 设公差不为零的等差数列，12a =，且1513,,a a a 成等比数列，则数列{}n a 的前n 项和()n S =.Ａ．2744n n + Ｂ．2533n n + Ｃ．2324n n+ Ｄ．2n n + 2. 等差数列{}n a 中，264,12a a ==，那么数列 12n n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和等于（）. A. 222n n +-B. 112n n ++C. 12n n+ D. ()112n n n +- 3. 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1234,2,a a a 成等差数列，若11a =，则4()S =.A.7B.8C.15D.164.在等比数列}{n a 中，已知对于任意*∈N n ，有1221-=+++n n a a a ，则=+++22221n a a a ________.5.已知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >=，且25252(3)n n a a n -⋅=≥，则当1n ≥时，2123221log log log n a a a -+++=______.6. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3155,225a S ==. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设22n an b n =+，求数列{}n b 的前n 项和n T六、课时作业1.若数列}{n a 的前n 项的和32n n S =-，那么这个数列的通项公式为（）．（A ）13()2n n a -=（B ）113()2n n a -=⨯（C ）32n a n =- （D ）11,123,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩ 2. 等比数列{}n a 的公比为31，前n 项和为S n ，*N n ∈，如S 2，4624,S S S S --成等比数列，则其公比为（）A ．231⎪⎭⎫ ⎝⎛B ．631⎪⎭⎫⎝⎛ C ．31 D ．323.在数列n a {}中，11=a ，22=a 且*)()1(12N n a a n n n ∈-+=-+，则=100S ______。

高二数学必修5《等比数列的前n项和》练习卷

高二数学必修5《等比数列的前n 项和》练习卷知识点：1、等比数列{}n a 的前n 项和的公式：()()()11111111n n n na q S a q a a q q qq =⎧⎪=-⎨-=≠⎪--⎩．2、等比数列的前n 项和的性质：①若项数为()*2n n ∈N ，则S q S =偶奇．②nn m n m S S q S +=+⋅．③n S ，2n n S S -，32n n S S -成等比数列．同步练习：1、数列1，a ，2a ，…，1n a -，…的前n 项和是（）A ．11na a-- B ．111n a a +-- C ．211n a a +-- D ．以上均不正确2、若数列的前n 项和为()10nn S a a =-≠，则这个数列是（）A ．等比数列B ．等差数列C ．等比或等差数列D ．非等差数列 3、等比数列{}n a 的首项为1，公比为q ，前n 项和为S ，由原数列各项的倒数组成一个新数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，则1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项之和是（） A ．1SB ．1n q SC ．1n S q-D ．nq S4、已知数列{}n a 的前n 项的和是n S ，若12n n n S S a +-=，则{}n a 是（） A ．递增的等比数列B ．递减的等比数列C ．摆动的等比数列D ．常数列5、某工厂去年产值为a ，计划5年内每年比上一年产值增长10％，从今年起五年内这个工厂的总产值是（）A ．41.1aB ．51.1a C ．()5101.11a - D ．()2111.11a -6、等比数列前n 项和为54，前2n 项和为60，则前3n 项和为（） A ．54B ．64C ．2663 D ．26037、在等比数列中，301013S S =，1030140S S +=，则20S =（）A ．90B ．70C ．40D ．308、等比数列{}n a 中，29a =，5243a =，则{}n a 的前4项和为（）A ．81B ．120C ．168D ．192 9、一个等比数列的前7项和为48，前14项和为60，则前21项和为（） A ．180 B ．108C ．75D ．6310、在14与78之间插入n 个数组成等比数列，若各项总和为778，则此数列的项数是（） A ．4B ．5C ．6D ．711、数列1，12+，2122++，…，（2122+++…12n -+），…的前n 项和等于（） A ．12n n +-B ．122n n +--C ．2n n -D ．2n12、首项为a 的数列{}n a 既是等差数列，又是等比数列，则这个数列前n 项和为（） A ．1n a -B ．naC ．n aD ．()1n a -13、设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项的倒数之和为n T ，则nnS T 的值为（） A ．1n a a B ．1n a a C ．1n nn a a D ．1nn a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭14、某林厂年初有森林木材存量S 3m ，木材以每年25％的增长率生长，而每年末要砍伐固定的木材量x 3m ，为实现经过两年砍伐后的木材的存量增加50％，则x 的值是（） A ．32SB ．34S C ．36S D ．38S 15、已知数列{}n a 的前n 项和为()20,0nn S b a a b =⨯+≠≠．若数列{}n a 是等比数列，则a 、b 应满足的条件为（）A ．0a b -=B ．0a b -≠C ．0a b +=D ．0a b +≠16、在正项等差比数列{}n a 中，若27S =，691S =，则4S 的值为（） A ．28B ．32C ．35D ．4917、等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132log log a a ++…310log a +=（） A ．12B ．10C ．8D ．32log 5+18、等比数列的前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别为A ，B ，C ，则（）A ．C A+B = B ．2C B =AC ．2C A +B -=BD ．()22C A +B =A B+19、一个等比数列{}n a 共有21n +项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则1n a +为（）A ．65 B ．56C ．20D ．110 20、已知等比数列{}n a 的公比为13q =，且135a a a +++…9960a +=，则1234a a a a ++++…100a +=（）A ．100B ．80C ．60D ．4021、若等比数列{}n a 的前n 项之和3nn S a =+，则a =（）A ．3B ．1C ．0D ．1- 22、数列12，14，18，…的前10项和等于____________________． 23、在等比数列{}n a 中，1220a a +=，3440a a +=，则6S =________． 24、在等比数列{}n a 中，设11a =-，前n 项和为n S ，若1053132S S =，则n S =_____________． 25、若数列{}n a 满足：11a =，12n n a a +=，1n =，2，3…，则12a a ++…n a +=________． 26、在等比数列{}n a 中，332a =，392S =，则1a =___________． 27、等比数列{}n a 中，若166n a a +=，21128n a a -⋅=，126n S =，则q =________． 28、一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数．29、等比数列{}n a 中前n 项和为n S ，42S =，86S =，求17181920a a a a +++的值．30、等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若510S =，1050S =，求15S ．31、等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知41S =，817S =，求{}n a 的通项公式．。

高中数学1.3.2等比数列的前n项和同步精练北师大版必修5

高中数学 1.3.2 等比数列的前n 项和同步精练北师大版必修5基础巩固1等比数列{a n }中，如果公比q ＞1，那么等比数列{a n }是( ) A ．递增数列 B ．递减数列C ．常数列D ．无法确定数列的增减性2在等比数列{a n }(n ∈N ＋)中，若a 1＝1，a 4＝18，则该数列的前10项和为( )A ．2－128B ．2－129C ．2－1210 D ．2－1211 3在等比数列{a n }中，S n 表示前n 项和，若a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1，则公比q 等于( ) A ．3 B ．－3 C ．－1 D ．14等比数列{a n }的公比q ＞0.已知a 2＝1，a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，则{a n }的前4项和S 4＝__________.5设等比数列{a n }的公比q ＝12，前n 项和为S n ，则S 4a 4＝__________.6某工厂去年1月份的产值为a 元，月平均增长率为p ，求这个工厂去年全年产值的总和．7等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，S 2，S 3成等差数列． (1)求{a n }的公比q ； (2)若a 1－a 3＝3，求S n .8(2009高考全国卷Ⅱ，文13)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝__________.综合过关9在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n 等于( ) A ．2n ＋1－2 B ．3nC ．2nD ．3n－110令f (n )＝log (n ＋1)(n ＋2)(n ∈N ＋)，如果对k (k ∈N ＋)，满足f (1)f (2)…f (k )为整数，则称k 为“好数”，那么区间[1,2 010]内所有“好数”的和M ＝______.11求和：9＋99＋999＋…＋999…99n 个9. 12设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 是其前n 项和．求证：log 0.5S n ＋log 0.5S n ＋22＞log 0.5S n＋1. 能力提升13“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．怎样用学过的知识来说明它？参考答案1答案：D2解析：设公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 1q 3＝18，解得q ＝12.则该数列的前10项和为S 10＝a 11－q101－q＝1－12101－12＝2－129.答案：B3解析：两等式相减得a 4－a 3＝2a 3，从而求得a 4a 3＝3＝q . 答案：A4解析：a n ＋2＋a n ＋1＝a n q 2＋a n q ＝6a n ，所以q 2＋q ＝6，解得q ＝2或q ＝－3(舍去)，所以a 1＝a 2q ＝12，所以S 4＝121－241－2＝152. 答案：1525解析：S 4a 4＝a 1[1－124]1－12[a 1123]＝15.答案：156解：该工厂去年2月份的产值为a (1＋p )元，3月、4月、…的产值分别为a (1＋p )2、a (1＋p )3、…，去年12个月的产值组成以a 为首项，(1＋p )为公比的等比数列．因此，该厂去年全年的总产值为S 12＝a [1－1＋p 12]1－1＋p＝a [1＋p12－1]p，即该工厂去年全年的总产值为a [1＋p12－1]p元．7解：(1)依题意有，a 1＋(a 1＋a 1q )＝2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)由于a 1≠0，故2q 2＋q ＝0，又q ≠0，从而q ＝－12.(2)由已知可得a 1－a 1(－12)2＝3，解得a 1＝4，从而S n ＝4[1－－12n]1－－12＝83[1－(－12)n]． 8解析：设等比数列{a n }的公比为q ，很明显q ≠1，则1－q 61－q ＝41－q 31－q ，解得q 3＝3，所以a 4＝a 1q 3＝3.答案：39解析：设等比数列{a n }的公比为q ， (a 2＋1)2＝(a 1＋1)(a 3＋1)，则 (a 1q ＋1)2＝(a 1＋1)(a 1q 2＋1)，即(2q ＋1)2＝3(2q 2＋1)，解得q ＝1，则S n ＝2n . 答案：C10解析：设f (1)f (2)…f (k )＝log 23log 34…log (k ＋1)(k ＋2)＝log 2(k ＋2)＝m ，则k ＝2m－2，又k ∈[1,2 010]，则m ∈N ＋且1＜m ＜11，所以M ＝(22－2)＋(23－2)＋…＋(210－2)＝(22＋23＋…＋210)－2×9＝221－291－2－18＝2026.答案：2 02611分析：数列9,99,999，…不是等比数列，不能用公式求和，但将它转化成10－1,100－1,1 000－1，…就容易解决了．解：原式＝(10－1)＋(102－1)＋…＋(10n－1) ＝(10＋102＋ (10))－n ＝1010n －110－1－n＝109(10n－1)－n . 12分析：对公比q 是否等于1分类讨论．证明：设{a n }的公比为q ，由题设，知a 1＞0，q ＞0. (1)当q ＝1时，S n ＝na 1，则S n ·S n ＋2－S 2n ＋1＝na 1·(n ＋2)a 1－(n ＋1)2a 21 ＝－a 21＜0.(2)当q ≠1时，S n ＝a 11－q n 1－q，从而S n ·S n ＋2－S 2n ＋1 ＝a 211－q n1－qn ＋21－q2－a 211－q n ＋121－q2＝－a 21q n＜0.由(1)和(2)得S n ·S n ＋2＜S 2n ＋1.根据对数函数的单调性，得log 0.5(S n ·S n ＋2)＞log 0.5S 2n ＋1，即log 0.5S n ＋log 0.5S n ＋22＞log 0.5S n ＋1.13解：这句古话用现代文叙述是：一尺长的木棒，每天取它的一半，永远也取不完．如果将每天取出的木棒长度排成一个数列，则得到一个首项a 1＝12，公比q ＝12的等比数列，它的前n 项和为S n ＝12×[1－12n]1－12＝1－(12)n.不论n 为何值，1－(12)n总小于1，这说明一尺长的木棒按上述方法永远也取不完．。

高中数学(人教版必修5)配套练习：2.5 等比数列的前n项和第2课时

第二章 2.5 第2课时一、选择题1．数列112，314，518，7116，…的前n 项和S n 为( )A ．n 2＋1－12nB ．n 2＋1－12n－1C ．n 2＋2－12nD ．n 2＋2－12n －1[答案] A[解析] 由题设知，数列的通项为a n ＝2n －1＋12n ，显然数列的各项为等差数列{2n －1}和等比数列{12n }相应项的和，从而S n ＝[1＋3＋…＋(2n －1)]＋(12＋14＋…＋12n )＝n 2＋1－12n .2．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项和为10，则项数n 为( ) A ．11 B ．99 C ．120 D ．121[答案] C [解析] 因为a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，所以S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n )＝n ＋1－1＝10，解得n ＝120.3．已知等比数列的前n 项和S n ＝4n ＋a ，则a 的值等于( ) A ．－4 B ．－1 C ．0 D ．1[答案] B[解析] a 1＝S 1＝4＋a ， a 2＝S 2－S 1＝42＋a －4－a ＝12， a 3＝S 3－S 2＝43＋a －42－a ＝48，由已知得a 22＝a 1a 3， ∴144＝48(4＋a )， ∴a ＝－1.4．数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于( )A ．200B ．－200C ．400D ．－400[答案] B[解析] S 100＝1－5＋9－13＋…＋(4×99－3)－(4×100－3)＝50×(－4)＝－200. 5．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1n (n ＋1)，则S 5等于( )A ．1B ．56C ．16D ．130[答案] B[解析] a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴S 5＝1－12＋12－13＋13－14＋14－15＋15－16＝1－16＝56.6．数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n 等于( )A ．(3n －1)2B ．12(9n －1)C ．9n －1D ．14(3n －1)[答案] B[解析] ∵a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1， ∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝3n －1－1(n ≥2)，两式相减得a n ＝3n －3n －1＝2·3n －1，又a 1＝2满足上式， ∴a n ＝2·3n －1.∴a 2n ＝4·32n －2＝4·9n －1， ∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝4(1＋9＋92＋…＋9n －1) ＝4(1－9n )1－9＝12(9n －1)．二、填空题7．数列22，422，623， (2)2n ，…前n 项的和为________．[答案] 4－n ＋22n －1[解析] 设S n ＝22＋422＋623＋ (2)2n① 12S n ＝222＋423＋624＋ (2)2n ＋1②①－②得(1－12)S n ＝22＋222＋223＋224＋…＋22n －2n 2n ＋1＝2－12n －1－2n 2n ＋1.∴S n ＝4－n ＋22n －1.8．已知数列a 1＋2，a 2＋4，…，a k ＋2k ，…，a 10＋20共有10项，其和为240，则a 1＋a 2＋…＋a k ＋…＋a 10＝________.[答案] 130[解析] 由题意，得a 1＋a 2＋…＋a k ＋…＋a 10＝240－(2＋4＋…＋2k ＋…＋20)＝240－110＝130.三、解答题9．求数列1,3a,5a 2,7a 3，…，(2n －1)a n－1的前n 项和．[解析] 当a ＝1时，数列变为1,3,5,7，…，(2n －1)，则S n ＝n [1＋(2n －1)]2＝n 2，当a ≠1时，有S n ＝1＋3a ＋5a 2＋7a 3＋…＋(2n －1)a n －1， ① aS n ＝a ＋3a 2＋5a 3＋7a 4＋…＋(2n －1)a n ，②①－②得：S n －aS n ＝1＋2a ＋2a 2＋2a 3＋…＋2a n －1－(2n －1)a n ， (1－a )S n ＝1－(2n －1)a n ＋2(a ＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n －1)＝1－(2n －1)a n ＋2·a (1－a n －1)1－a＝1－(2n －1)a n＋2(a －a n)1－a.又1－a ≠0，所以S n ＝1－(2n －1)a n 1－a ＋2(a －a n )(1－a )2.10．(2014·全国大纲文，17)数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－a n ，证明{b n }是等差数列； (2)求{a n }的通项公式．[解析] (1)证明：由a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2得 a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＋2. 即b n ＋1＝b n ＋2. 又b 1＝a 2－a 1＝1.所以{b n }是首项为1，公差为2的等差数列． (2)由(1)得b n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，即a n ＋1－a n ＝2n －1.于是∑k ＝1n(a k ＋1－a k )＝∑k ＝1n(2k －1)，所以a n ＋1－a 1＝n 2，即a n ＋1＝n 2＋a 1.又a 1＝1，所以{a n }的通项公式为a n ＝n 2－2n ＋2.一、选择题1．已知等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝7n ＋1n ＋3，则a 2＋a 5＋a 17＋a 22b 8＋b 10＋b 12＋b 16＝( )A ．315B ．325C ．6D ．7[答案] A[解析] ∵a 2＋a 5＋a 17＋a 22b 8＋b 10＋b 12＋b 16＝(a 2＋a 22)＋(a 5＋a 17)(b 8＋b 16)＋(b 10＋b 12)＝2a 12＋2a 112b 12＋2b 11＝a 11＋a 12b 11＋b 12＝a 1＋a 22b 1＋b 22，又∵S 22T 22＝(a 1＋a 22)×22(b 1＋b 22)×22＝a 1＋a 22b 1＋b 22，∴a 1＋a 22b 1＋b 22＝7×22＋122＋3＝315.∴a 2＋a 5＋a 17＋a 22b 8＋b 10＋b 12＋b 16＝315. 2．数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为( ) A ．3690 B ．3660 C ．1845 D ．1830[答案] D[解析] 不妨令a 1＝1，则a 2＝2，a 3＝a 5＝a 7＝…＝1，a 4＝6，a 6＝10，…，所以当n 为奇数时，a n ＝1；当n 为偶数时，各项构成以2为首项，4为公差的等差数列，所以前60项的和为30＋2×30＋30×(30－1)2×4＝1830.3．数列{a n }的通项公式是a n ＝2sin(n π2＋π4)，设其前n 项和为S n ，则S 12的值为( ) A ．0 B ． 2 C ．－ 2 D ．1 [答案] A[解析] a 1＝2sin(π2＋π4)＝1，a 2＝2sin(π＋π4)＝－1，a 3＝2sin(3π2＋π4)＝－1， a 4＝2sin(2π＋π4)＝1，同理，a 5＝1，a 6＝－1， a 7＝－1，a 8＝1，a 9＝1，a 10＝－1，a 11＝－1，a 12＝1， ∴S 12＝0.4．已知等差数列{a n }满足a 5＋a 2n －5＝2n (n ≥3)，则当n ≥1时，2a 1＋2a 3＋…＋2a 2n －1＝( )A ．22n －23B ．22n ＋1－23C ．2n －23D ．2n ＋1－23[答案] B[解析] 由a 5＋a 2n －5＝2n (n ≥3)，得2a n ＝2n ， ∴a n ＝n .∴2a 1＋2a 3＋…＋2a 2n －1＝2＋23＋25＋…＋22n －1 ＝2(1－4n )1－4＝22n ＋1－23.二、填空题5．设f (x )＝12x ＋2，利用课本中推导等差数列前n 项和的方法，可求得f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值为________．[答案] 3 2[解析] f (0)＋f (1)＝11＋2＋12＋2＝22，f (x )＋f (1－x )＝12x ＋2＋121－x ＋2＝22(2x ＋2)＋2x 2(2＋2x )＝22， ∴f (－5)＋f (－4)＋…＋f (5)＋f (6) ＝12[(f (－5)＋f (6))＋(f (－4)＋f (5))＋…＋(f (6)]＋f (－5))＝12×12×(f (0)＋f (1))＝3 2.6．求和1＋(1＋3)＋(1＋3＋32)＋(1＋3＋32＋32)＋…＋(1＋3＋…＋3n －1)＝________.[答案] 34(3n －1)－n2[解析] a 1＝1，a 2＝1＋3，a 3＝1＋3＋32，……a n ＝1＋3＋32＋…＋3n －1＝12(3n －1)，∴原式＝12(31－1)＋12(32－1)＋……＋12(3n －1)＝12[(3＋32＋…＋3n )－n ]＝34(3n －1)－n2.三、解答题7．(2013·浙江理，18)在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1,2a 2＋2,5a 3成等比数列．(1)求d ，a n ；(2)若d <0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |.[解析] (1)由题意得a 1·5a 3＝(2a 2＋2)2，a 1＝10，即d 2－3d －4＝0. 故d ＝1或d ＝4.所以a n ＝－n ＋11，n ∈N *或a n ＝4n ＋6，n ∈N *.(2)设数列{a n }的前n 项和为S n .因为d <0，由(1)得d ＝－1，a n ＝－n ＋11.则当n ≤11时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝S n ＝－12n 2＋212n .当n ≥12时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝－S n ＋2S 11＝12n 2－212n ＋110.综上所述，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n|＝⎩⎨⎧－12n 2＋212n ， n ≤11，12n 2－212n ＋110，n ≥12.8．已知数列{a n }和{b n }中，数列{a n }的前n 项和为S n .若点(n ，S n )在函数y ＝－x 2＋4x 的图象上，点(n ，b n )在函数y ＝2x 的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n b n }的前n 项和T n . [解析] (1)由已知得S n ＝－n 2＋4n ， ∵当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－2n ＋5，又当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，符合上式． ∴a n ＝－2n ＋5.(2)由已知得b n ＝2n ，a n b n ＝(－2n ＋5)·2n .T n ＝3×21＋1×22＋(－1)×23＋…＋(－2n ＋5)×2n ，2T n＝3×22＋1×23＋…＋(－2n＋7)×2n＋(－2n＋5)×2n＋1. 两式相减得T n＝－6＋(23＋24＋…＋2n＋1)＋(－2n＋5)×2n＋1＝23(1－2n－1)1－2＋(－2n＋5)×2n＋1－6＝(7－2n)·2n＋1－14.。