数据库第5章

堆构建的时间代价分析
堆 二叉查找树
移动一层 不需移动
最坏时间复杂度：Θ(n) 平均时间复杂度：
Θ(n2) Θ(nlogn)
堆中最大元素的删除
当移去最大元素（根结点）后，将最后一个元素移到根结 点，再调 整为堆。 删除最大元素的平均时间代价和最差时间代价：Θ(logn)
5.6 Huffman编码树
n0 = n2 + 1
代入（2)式得：
(3)
m = n0 + n2 + 1 +n1
=n+1
5.1.2 二叉树的抽象数据类型
Elem& val() { return it; } void setVal(const Elem& e) { it = e; } inline BinNode<Elem>* left() const { return lc; } void setLeft(BinNode<Elem>* b) { lc = (BinNodePtr*)b; } inline BinNode<Elem>* right() const { return rc; } void setRight(BinNode<Elem>* b) { rc = (BinNodePtr*)b; } bool isLeaf() { return (lc == NULL) && (rc == NULL); } }；
5.3 二叉树的实现
5.3.1 使用指针实现二叉树
★ 每个结点包含一个数据区和两个指向子结点的指针。
这种方式常称为二叉链表（二重链表）。每个结点包括： 1、值域。2、左指针域（指向左子树）。3、右指针域（指向 右子树）。
Lchild L(i) Value V(i) Rchild R(i)
5.3.2 空间代价
数据结构与算法分析
A Practical Introduction to Data Structures and Algorithm Analysis
陈 星
第5章 二叉树
非线性结构和树
祖先
例:家中的族谱
B
A
能否用线性表来表示?
C D E F G
H
I
J
树: 一种简单的非线性结构,数据元素之间具有层次特性 。
1、LDR：中序遍历（中根遍历， Inorder ）。左－根－右
2、LRD：后序遍历（后根遍历， Preorder ）。左－右－根 3、DLR：前序遍历（前根遍历， Postorder ）。根－左－右
Tree traversals using “flags”
The order in which the nodes are visited during a tree traversal can be easily determined by imagining there is a “flag” attached to each node, as follows:
5.2 周游二叉树
按照一定顺序访问二叉树的结点，称为一次周游或遍历。对 每个结点都进行一次访问并将其列出，称为二叉树的枚举。 二叉树遍历（ Traversals ）的算法是树形结构中其它算法的基
础，实际上是将非线性结构的二叉树转化为线性序列。
遍历一个二叉树就是不重复地访问二叉树中的所有结点。 若加以“先左后右”的限制，二叉树的遍历有三种：
二叉查找树：对二叉树中任意一个值为K的结点，其左子树中任
意一个结点的值都小于K，而右子树中任意一个结点的值都
大于或等于K。 特点：将二叉查找树的中序遍历（周游）序列是一个从小到大排
列的有序序列。
课堂练习：列出以上二叉查找树中序遍历序列。
二叉查找树的基本操作：
数据查找、结点插入、二叉查找树构建、结点删除 结点查找：从根结点开始，在二叉查找树中检索值K。若结 点值为K，则检索结束；若K小于结点值，则在左子树中 检索；若K大于结点值，则在右子树中检索。以此类推，
堆的构建
关键操作：假设二叉树根结点的左右子树已是堆，调整该二叉 树为堆。 1、将根结点与其左、右儿子结点比较，若不满足堆的条件， 则根结点与左右儿子结点中大者进行交换。即根结点不断
地向下层移动。
2、对交换后的左或右子树重复过程1。 3、直到满足堆的条件或调整到叶结点为止。 堆的构建：对一个二叉完全树，从最后一个分支结点开始， 到根结点，逐个结点地应用上述操作。
二叉树特点：(1)、非空二叉树只有一个根结点。 (2)、每个结点最多有两棵子树。
二叉树的一些概念
结点、根结点
父结点、子结点、兄弟结点、表兄弟结点 子树、左子树、右子树 路径、路径的长度 祖先、子孙 结点的深度、层数、树的高度 叶结点、分支结点（或称内部结点）
满二叉树和完全二叉树
满二叉树：每一个结点或者是一个分支结点，并恰
文件存储时，文件中每个字符必须做二进制编码，如何 通过编码压缩文件的存储空间？
固定长度编码方法 ： 如：ASCII码 － 每个字符用8位二进制编码。 特点：如果每个字符使用频率相等，则固定长度编码是 空间效率最高的方法。 变长编码法： 如：Huffman编码 － 出现频率高的字符用较短的编码， 而出现频率低的字符用较长的编码。
？
堆与二叉查找树的比较：？
堆
二叉查找树
堆与二叉查找树的比较：？
二叉查找树实现了结点的完全排序，而堆只实现了
局部排序。
堆
二叉查找树
堆结构和构造过程的非唯一性。
(a) (4-2) (4-1) (2-1) (5-2) (5-4) (6-3) (6-5) (7-5) (7-6) (b) (5-2), (7-3), (7-1), (6-1)
结构性开销：为实现数据结构而花费的空间，即那些不用
来存储数据记录的空间。
如果n个结点的二叉树，一个指针所占空间为p，而一个数据 值所占空间为d，则整个二叉树的结构开销为2pn。因此结构性
开销所占比例为：
2p / ( 2p + d ) 对此基于指针的二叉树（二叉链表），有一半的指针被浪费 在存储NULL值上。 如果只是叶结点存储数据，那么结构性开销在全部开销中的 比较取决于二叉树是否“满”。对非满二叉树，结构性开销将 占 很大比例。
大（最小）值问题。 优先队列：按重要性或优先级来组织的队列。 堆： ① 一棵完全二叉树。 用数组来实现和存储。 ② 最大值堆：任意一个结点的值大于或等于其任意一个子 结点的值。即堆中最大值在根结点。 最小堆：任意一个结点的值小于或等于其任意一个子结 点的值。即堆中最小值在根结点。 堆与二叉查找树的比较：二叉排序树实现了结点的完全排序，而 堆只实现了局部排序。
A
E
B
C
D
F
G
H
I
J
课堂练习
1. 对于下图所示的二叉树，它有多少个分支结点，高 度为多少，写出它的前序周游和后序周游序列。
A B D F G H K I J C E
2. 若某二叉树的前序周游序列为（ A B D E C F G ） ，中序周游序列为（ D B E A F C G ），请画出该二 叉树。
--
2
--
4
--
6
--
8
-- 10
--
--
5.4 二叉查找树
无序表进行数据查找的检索时间为Θ（n），数据量大时太慢。
而有序顺序表可以将数据检索时间缩短为Θ（logn），但数据插
入和删除操作时间代价大。
？能否找到一种记录插入和检索操作都很快的数据结构呢？
答案：二叉查找树（又称二叉排序树、二叉检索树）
5.6.1 建立Huffman编码树
Huffman树是一种满二叉树，每个叶结点对应于一个字符， 叶结点的权重是字符出现的频率。Huffman树建立的原则是建 立具有最小外部路径权重(minimum external path weight)的二叉
有两个非空子结点；或者是叶结点。（即二叉树中不存在
只有一个子结点的结点） 完全二叉树：从根结点起每一层从左到右填充。（即
一棵高度为ｄ的完全二叉树除d-1层外，每一层都是满的，
且底层叶结点集中在左边的若干位置上）
满二叉树（非完全二叉树）
完全二叉树（非满二叉树）
5.1.1 满二叉树定理
定理5.1 满二叉树定理：非空满二叉树的叶结点数等于其分支结 点数加1。
定理5.2 一棵非空二叉树空子树的数目等于其结点数目加1。
证明：设非空二叉树中，结点为n个，其中子结点数为0,1,2的 结点分别为n0, n1, n2，有：
n= n0 + n1 + n2
(1)
对二叉树，叶子结点有两个空子树，子结点为1的结点 有1个空子树，因此二叉树空子树的数目m应有： m = 2*n0 + n1 根据满二叉树定理可得： （2）
如果二叉树完全不平衡，即成一个链表形状，高度为n，操
的时间代价为Θ（n）。 创建一棵平衡二叉查找树的时间代价为Θ（nlogn），而创 建一棵完全不平衡二叉树的时间代价为Θ（n2）。 不论二叉树的形状如何，周游二叉树的时间代价为Θ(n) 。
5.5 堆与优先队列
应用中，常需要找出“最重要”目标。数学上就是查找队列中最
Position
Parent Left Child Right Child Left Sibling
0
-1 2 --
1wenku.baidu.com
0 3 4 --
2
0 5 6 1
3
1 7
4
1 9
5
2
6
2
7
3
8
3
9
4 ----
10 11
4 --9 5 ----
11 -- -- ----- -- -5 -7
8 10 -3
Right Sibling
任意二叉树，叶结点数等于有两个子结点的分支结点数加1。
5.1.1 满二叉树定理
定理5.1 满二叉树定理：非空满二叉树的叶结点数等于其分支结 点数加1。
任意二叉树，叶结点数等于有两个子结点的分支结点数加1。
证明：设非空二叉树中，结点为n个（子结点数为0,1,2的结点分别为n0,
n1, n2）,分支（边）数为m n= n0 + n1 + n2 (1) 考虑每个结点对应的进入分支，除根结点外，每个结点都有且 只有一个父结点，对应一个分支，故有： m=n-1 (2) 考虑每个结点对应的射出分支。每个结点对应的分支数等其子 结点个数，故有： m= n1 +2 n2 (3) 联立（1）（2）（3）式求解得：n0 ＝n2＋1
普通树的结构太复杂,难以计算机实现。因此应用中常限制树 的每个结点只能有最多两个子结点，称为二叉树。
5.1 定义及主要特性
二叉树：由结点的有限集合组成，这个集合或者为空，或者
由一个根结点及两棵不相交的二叉树组成，这两棵二叉树分别称
为这个根的左子树和右子树。这两棵子树的根称为此二叉树根结 点的子结点。
一直到K被找到或检索到叶结点为止。
结点插入：采用结点查找方法在二叉查找树中找到新结点的 插入位置。
二叉查找树构建：用结点插入方法将所有元素插入到二叉查
找树。
二叉查找树的结点删除
首先通过结点查找找到欲删除的结点。如果该结点：
1. 2. 3. 没有子结点：直接删除（其父结点指向它的指针改为NULL）。 有一个子结点：其父结点指向它的指针改为指向其子结点。 有两个子结点：用其右子树中最小值代替该结点。 即从欲删除结点出发至右子树，沿左边的链不断下移，直到没有
左边的链可继续下移为止，此时结点即为值最小的结点(记为S)，
用S的值代替欲删除结点的值，再删除结点S。 ？ ①为什么用右子树中最小值，而不用左子树中最大值代替欲删除结 点的值？ ②如何删除结点S？
二叉查找树的效率分析：
查找、插入、删除的时间代价都取决于树的高度。
当二叉树平衡（即除最后一层外的每层结点数量尽可能为 满，且每个结点的左右子树高度尽可能相同）时，树的高度最 小，约为logn。平衡二叉查找树的查找、插入和删除操作的平 均时间代价为Θ（logn）。
5.3.3 使用数组实现完全二叉树
完全二叉树，每一层（除底层）是满的，且最底层的结点是
从左到右填充。
对完全二叉树的结点，可以从上到下，从左到右地编号，结 点的位置可以完全由其序号确定。即可以由序号推导出结点在 二叉树中位置。 因此可以用n个元素的数组来保存n个结点的完全二叉树， 不存在结构性开销。 对完全二叉树，若某结点的序号为r，则 其父结点的序号为 (r-1)/2 其左、右子结点的序号分别为：2r＋1、2r+2
preorder
inorder
postorder
To traverse the tree, collect the flags:
A
B D E F C G D
A
A C
B G D E F C G
B
E F
ABDECFG
DBEAFCG
DEBFGCA
课堂练习
写出下列二叉树进行前序、中序和后序遍历后得到的 结点序列：