数值分析—龙贝格算法
计算方法-第4章-数值积分与数值微分龙贝格求积公式精品
2019f (x)dx的积分区间[a,b]分割为n等份 a
各节点为 xk a kh , k 0,1,, n
例：p110
2019/8/31
5
§ 4.4.2 龙贝格算法
根据复化梯形公式的余项表达式可知
I
Tn
ba 12
h2
f
(),
(a,b)
I
T2n
ba 12
(h)2 2
f
(
),
(a,b)
假定 f () f ( ) ，则有 I T2n 1 I Tn 4
C2 0.94608307
I 1sin x dx 0x
0.946083070367183
9
将T
1
41
T2n 3 (T2n Tn ) 3 T2n 3 Tn 用于计算 I
1sin x dx 0x
I 0.9460831
T4 0.9445135
2位有效数字
第四章 数值积分
§ 4.4 龙贝格算法
2019/8/31
1
§ 4.4.1 梯形法的递推化
由上节讨论得知加密节点可以提高求积公式的精度，复化 求积方法对提高精度是行之有效的，但必须事先给出合适 的步长（即n的选取），步长取得太大则精度难以保证， 而步长取得太小又会导致计算量的增加。因此，如何确定 适当的n，使近似值和精确值之差在允许的范围，这又是 一个难题。
3 (h) 1
3 ( 2 h)
表4-5 T表
龙贝格算法-数值分析-实验报告
3 / 13
一、任务综述于分析
1.1 任务
1、 根据所掌握龙贝格算法，独立编写程序，实现具体问题的求解等； 2、 自己设计一个多项式，根据设定的代数多项式进行测试，调式程序； 3、 对所设计的程序解决实际问题并分析，撰写分析报告
1.2 分析
1、 首先先明确什么是龙贝格算法，了解他的基本原理，画出流程图，编写程序代码。 2、 自己设计一个多项式，对他利用龙贝格算法求出他的积分。并与真实值比较，检测程序是否有错误。 并进一步修改完善程序。可以多试几个多项式，来判断程序的正确性。 3、 任务三实际上是求平面曲线长的问题。利用弧长微分公式可求得结果。
四、测试 ................................................................................................................................................. 8
主要参考资料
《数值分析简明教程》 《数值分析课程设计》
王能超 陈越、童若锋
高等教育出版社 浙江大学出版社
教研室签字： 年 月 日
院签字： 年 月 日
2 / 13
目录
目录 ......................................................................................................................................................... 3 一、任务综述于分析 ............................................................................................................................. 4
龙贝格积分公式
龙贝格积分公式
龙贝格积分公式，是数学中常见的一种积分方法。
它通过分割区间，将被积函数转化为$Polynomial$（多项式）的形式，并通过加权平均的方式求出积分值。
这种方法被广泛应用于科学计算领域，如物理、化学等。
龙贝格积分公式是从重复使用$Simpson$和$Mid-point$公式推导而来的。
该公式基于分治思想，将整个区间分成若干个子区间，并对每个子区间进行逐层递推，最终得出整个区间的积分值。
在推导龙贝格积分公式时，需要利用“函数逼近”的思想，即将被积函数转化为多项式的形式。
这样可以大大简化计算，减小误差，并提高计算精度。
公式的具体计算过程如下：
假设被积函数为$f(x)$，积分区间为$[a,b]$，将积分区间均分成$2^n$个小区间，在每个小区间上做$Simpson$公式近似积分，得到$S_{2^n}$，即：
$$S_{2^n}=\frac{4^nS_{2^{n-1}}-S_{2^{n-1}}}{4^n-1}$$
其中，$S_{2^n}$为$n$级逼近值，$S_{2^{n-1}}$为$n-1$级逼近值。
根据上式，可得$S_{2^1}$，然后再计算$S_{2^2}$，$S_{2^3}$，以此类推，递归地计算$n$级逼近值，直到计算所得值与精确值的差别小于预先设定的精度要求为止。
龙贝格积分公式没有强制要求$f(x)$连续可微，又由于是基于函数逼近的方式进行积分，精度高且计算速度快，因此被广泛应用。
总之，龙贝格积分公式是一种有效的求解复杂积分问题的方法，在处理高维积分时，具有更大的优势。
数值分析63 复化求积公式龙贝格求积公式讲解
只增加了一个分点
1 xk?1/ 2 ? 2 ( xk ? xk?1)
设hn=(b? a)/n, xk=a+kh n (k=0,1,? ,n),在[xk, xk+1] 上用梯形公式得
T1 ?
hn 2
?f
(
xk
)
?
f ? ( xk ? 1 )
复化求积的基本想法 :
将积分区间 [a, b]n等分, 步长
h?
b
? n
a
,
分点为
xk=a+kh (k=0,1,…,n) , 则由定积分性质知
? ? ? I ?
b
n?1
f ( x )dx ?
xk?1 f ( x )d x
a
k ? 0 xk
每个子区间 上的积分
?xk?1 f ( x )dx xk
用低阶求积公式 , 然后把所有区间的 计算结果求和 ,
注2: 同样也可用 | S4m-S2m |<ε 来控制计算的精度 . 这就是下面要介绍的 龙贝格求 积公式 .
6.4 龙贝格求积公式
6.4.1 梯形公式的递推化
复化求积方法可提高求积精度，实际计算时若
精度不够可将步长逐次分半 . 设将区间 [a, b]分为n等
分，共有 n+1个分点，如果将求积区间再分一次，则 分点增至 2n+1个，我们将二分 前后两个积分值 联系
果T8=0.9456909 只有2位有效数字，而应用复化辛普 森公式计算的结果 S4= 0.9460832 却有6位有效数字 .
注：为了利用余项公式估计误差，要求 f(x)=sin x/x 的高阶导数，由于
龙贝格求积算法
龙贝格求积算法
龙贝格求积算法（Romberg Integration Algorithm）是用于数
值积分的一种高效的迭代方法。
它通过连续的二分、四分、八分等等
区间的方式，逐渐逼近最终的积分值，从而提高计算的精度。
该算法的基本思想是利用Richardson外推技术，结合复合梯形
法则，逐渐缩小区间并增加采样点数，以得到更精确的积分值。
下面
我们来介绍龙贝格求积算法的步骤：
1. 将积分区间[a, b]进行二分，得到初始的两个子区间；
2. 对每个子区间应用复合梯形公式进行数值积分，可以得到初始的近似积分值；
3. 利用Richardson外推技术，对不同精度的积分值进行线性组合，得到更高精度的积分值；
4. 重复步骤2和3，将积分区间不断地二分，并逐步增加采样点数，直到达到所需的精度要求。
龙贝格求积算法的主要优点是在保持高精度的能够有效减少计算量。
该算法还可以通过预先计算一些常见函数在一些固定的点上的值，以进一步提高计算速度。
总结起来，龙贝格求积算法通过利用复合梯形法则和Richardson 外推技术，逐渐逼近积分值的精确结果。
它是一种高效且精确的数值
积分方法，广泛应用于科学计算和工程领域。
数值分析中的龙贝格积分法详解
数值分析中的龙贝格积分法详解数值分析是一门研究数值计算方法和数值计算误差的学科，其在科学计算、工程计算以及金融计算等领域中有着广泛的应用。
而龙贝格积分法则是数值分析中常用的一种数值积分方法。
本文将详细介绍龙贝格积分法的原理、计算步骤以及应用场景。
一、龙贝格积分法的原理龙贝格积分法是一种数值积分方法，用于计算给定函数在一定区间上的积分值。
其基本思想是通过逐步逼近积分值，从而提高计算结果的精度。
具体而言，龙贝格积分法通过构造一系列逼近积分值的数列，并利用数列的收敛性质，最终得到所需的积分值。
二、龙贝格积分法的计算步骤1. 确定积分区间[a, b]以及需要计算积分的函数f(x)。
2. 将积分区间[a, b]等分为n个子区间，其中n为正整数。
即将[a, b]分为[a, x1,x2, ..., xn-1, b]。
3. 计算每个子区间的步长h = (b-a)/n。
4. 利用复化梯形公式计算第一级逼近积分值T(1)：T(1) = (h/2) * [f(a) + f(b) + 2 * (f(x1) + f(x2) + ... + f(xn-1))]5. 构造递推公式，利用已知的逼近积分值T(k-1)计算第k级逼近积分值T(k)：T(k) = (1/2^k) * (4^(k-1) * T(k-1) - T(k-1))6. 判断逼近积分值T(k)的精度是否满足要求，若满足则返回T(k)作为最终的积分值；若不满足，则重复步骤5，计算下一级逼近积分值。
7. 重复步骤5和步骤6，直到满足精度要求或达到迭代次数为止。
三、龙贝格积分法的应用场景龙贝格积分法在数值分析中有着广泛的应用，特别是在科学计算、工程计算以及金融计算等领域中。
以下是一些常见的应用场景：1. 科学计算：龙贝格积分法可以用于计算数学物理模型中的积分，如计算波函数的归一化常数、计算量子力学中的期望值等。
2. 工程计算：在工程领域中，往往需要对曲线或曲面进行积分计算。
数值分析6.3 复化求积公式、龙贝格求积公式讲解
精度不够可将步长逐次分半. 设将区间 [a, b]分为n等
分，共有n+1个分点，如果将求积区间再分一次，则
分点增至2n+1个，我们将二分前后两个积分值联系
起来加以考虑. 注意到每个子区间[xk, xk+1]经过二分
只增加了一个分点
x k 1/ 2
1 ( x k xk 1 ) 2
设hn=(ba)/n, xk=a+khn (k=0,1,,n),在[xk, xk+1]
I f ( x )dx
b a k 0 n 1 xk 1 xk
f ( x )dx
每个子区间[xk, xk+1]上的积分用梯形公式, 得
xk 1 xk
h f ( x )dx [ f ( xk ) f ( xk 1 )] 2
xk 1 xk
I
k 0
6.3 复化求积公式
从求积公式的余项的讨论中我们看到，被积函数
所用的插值多项式次数越高，对函数光滑性的要求也
越高.另一方面，插值节点的增多(n的增大)，在使用
牛顿-柯特斯公式时将导致求积系数出现负数(当n≥8
时, 牛顿-柯特斯求积系数会出现负数)，即牛顿-柯特
斯公式是不稳定的，不可能通过提高阶的方法来提高 求积精度.
b n 1 xk 1 xk a
I f ( x )dx
k 0
f ( x )dx
h n 1 I [ f ( xk ) 4 f ( xk 1/2 ) f ( xk 1 )] 6 k 0
n 1 n 1 h [ f (a ) 4 f ( xk 1/2 ) 2 f ( xk ) f ( b)] 6 k 0 k 1
龙贝格算法及应用
龙贝格算法及应用龙贝格算法是一种数值计算方法，用于计算数值积分的近似解。
它的应用范围广泛，涉及到物理、工程、金融等领域。
在下面的回答中，我将详细介绍龙贝格算法的原理、步骤和一些应用实例。
原理：龙贝格算法是一种基于复化梯形公式的数值积分算法。
它通过不断提高插值点数目，逐步提高数值积分的精度。
步骤：1. 首先，我们选择一个足够小的初始步长h，然后根据复化梯形公式计算积分的近似值I(h)。
2. 接下来，我们将步长h减半，再次计算积分的近似值I(h/2)。
3. 然后，根据复化梯形公式，通过I(h/2)和I(h)计算出一个更高阶的数值积分近似值I(2h)。
4. 重复上述步骤，每次将步长减半，直到达到所需的精度。
应用：龙贝格算法广泛应用于数值积分问题，特别是对于某些复杂函数，无法通过解析方法求得精确解的情况下。
以下是一些具体的应用实例：1. 物理学中的轨道运动描述：龙贝格算法可以用来计算行星围绕太阳的轨道运动，以及其他天体运动的数值积分问题。
2. 工程学中的电路分析：通过对电路中的电流和电压的积分，可以计算电路中的功率、能量等物理量。
3. 金融学中的期权定价：龙贝格算法可以用于计算期权定价模型中的积分，以估计期权的市场价值。
4. 数理统计学中的概率密度函数估计：通过计算概率密度函数的积分，可以对数据的分布进行建模和估计。
5. 计算机图形学中的曲线绘制：龙贝格算法可以用来计算曲线的长度、面积、甚至绘制曲线的插值。
总结：龙贝格算法是一种常用的数值积分算法，通过逐步提高插值点数目，能够对于复杂函数进行积分近似。
它在物理、工程、金融等领域有广泛的应用。
通过应用龙贝格算法，我们可以获得数值计算问题的近似解，从而解决实际问题中的积分计算需求。
龙贝格算法应用及评价
龙贝格算法应用及评价龙贝格算法是一种用于数值积分的自适应算法，它能够有效地应用于一些复杂的数值积分问题上。
主要特点是通过自适应分段求积和Richardson外推方法相结合，可以有效提高数值积分的精度，并且能够适应不规则的积分区间和函数类型。
龙贝格算法的应用主要集中在科学工程领域的数值计算中，比如在物理学、工程学、经济学、金融学等领域都有广泛的应用。
龙贝格算法的主要优点包括：1. 高精度：龙贝格算法采用Richardson外推方法，能够迅速提高数值积分的精度，可以满足对精确度要求较高的数值计算需求。
2. 自适应：龙贝格算法能够根据积分区间的变化自适应地调整分段求积的步长，有效地适应不规则的积分区间，提高了算法的适用性。
3. 高效性：龙贝格算法通过反复外推求解的方式，能够有效地减少计算量，提高了数值积分的计算效率。
4. 广泛适用性：龙贝格算法适用于各种类型的函数积分，不论是光滑函数还是具有间断点的函数，都能够有效地计算积分值。
5. 容错性强：龙贝格算法具有较强的容错性，对于一些数值积分问题，即使在计算过程中出现一些误差，也能够通过外推方法进行修正，保证了积分值的准确性。
值得一提的是，龙贝格算法在实际应用中还需要考虑一些问题。
比如对于一些高维积分问题，由于计算量的急剧增加，龙贝格算法可能会变得不够高效。
另外，对于具有振荡性的函数积分，龙贝格算法也可能会出现一些困难。
因此在实际应用中，需要根据具体问题的特点选择合适的数值积分方法。
总的来说，龙贝格算法是一种在数值积分中具有较为广泛应用的算法，它能够在一定程度上提高数值积分的精度和效率，适用性较强。
然而在实际应用中，还需要根据具体问题的特点进行综合考虑，选择合适的数值积分方法。
随着科学技术的不断发展，相信龙贝格算法在数值计算领域的应用会变得更加广泛和深入。
龙贝格算法matlab程序
龙贝格算法matlab程序一、龙贝格算法简介龙贝格算法是一种数值积分的方法，它可以用来计算函数在给定区间上的定积分。
该算法基于复合梯形公式和复合辛普森公式，通过逐步逼近真实值来得到数值解。
它是一种自适应方法，即在每个子区间上都采用不同的步长以获得更高的精度。
二、龙贝格算法的原理1. 复合梯形公式复合梯形公式是将一个区间分成若干个小区间，在每个小区间上应用梯形公式求出积分值，最后将所有小区间的积分值相加得到整个区间上的积分值。
具体公式如下：$$\int_{a}^{b}f(x)dx \approx \frac{h}{2}(f(a)+2\sum_{i=1}^{n-1}f(a+ih)+f(b))$$其中，h为步长，n为子区间数。
2. 复合辛普森公式复合辛普森公式是将一个区间分成若干个小区间，在每个小区间上应用辛普森公式求出积分值，最后将所有小区间的积分值相加得到整个区间上的积分值。
具体公式如下：$$\int_{a}^{b}f(x)dx \approx \frac{h}{6}(f(a)+4\sum_{i=1}^{n/2-1}f(a+(2i)h)+2\sum_{i=1}^{n/2}f(a+(2i-1)h)+f(b))$$其中，h为步长，n为子区间数。
3. 龙贝格算法龙贝格算法是通过不断加密网格来逼近真实值的方法。
首先，将整个区间分成若干个小区间，并在每个小区间上应用复合梯形公式求出初始积分值T(0,0)，然后将这些积分值相加得到整个区间上的积分值T(0,1)。
接着，在每个小区间上应用复合辛普森公式求出更精确的积分值T(1,0)，并将所有小区间的积分值相加得到整个区间上的积分值T(1,1)。
然后，计算两次结果之差E(1,0)=T(1,1)-T(0,1)，如果E(1,0)小于给定误差限，则直接输出T(1,1)作为积分结果；否则，在每个子区间中再次应用复合辛普森公式求出更精确的积分值，并计算两次结果之差，直到满足误差限为止。
数值分析龙贝格实验报告
实验三 龙贝格方法【实验类型】 验证性【实验学时】 2学时【实验内容】1.理解龙贝格方法的基本思路2.用龙贝格方法设计算法，编程求解一个数值积分的问题。
【实验前的预备知识】1．计算机基础知识2．熟悉编程基本思想3．熟悉常见数学函数；【实验方法或步骤】龙贝格方法的基本思路龙贝格方法是在积分区间逐次二分的过程中，通过对梯形之值进行加速处理，从而获得高精度的积分值。
1． 龙贝格方法的算法步骤1 准备初值()f a 和()f b ，用梯形计算公式计算出积分近似值()()12b a T f a f b -=+⎡⎤⎣⎦ 步骤2 按区间逐次分半计算梯形公式的积分近似值令2i b a h -=，0,1,2,...i =计算12102122n n n i i h T T f x -+=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑，2i n = 步骤3 按下面的公式积分梯形公式：()223n n n n T T S T -=+辛普生公式：()2215n n n n S S C S -=+龙贝格公式：()2263n n n n C C R C -=+步骤4 精度控制 当2n n R R ε-<，（ε为精度）时，终止计算，并取2n R 为近似值否则将步长折半，转步骤2。
[实验程序]#include<iostream.h>#include<math.h># define Precision 0.00001//积分精度要求# define e 2.71828183#define MAXRepeat 10 //最大允许重复double function(double x)//被积函数{double s;s=2*pow(e,-x)/sqrt(3.1415926);return s;}double Romberg(double a,double b,double f(double x)){int m,n,k;double y[MAXRepeat],h,ep,p,xk,s,q;h=b-a;y[0]=h*(f(a)+f(b))/2.0;//计算T`1`(h)=1/2(b-a)(f(a)+f(b)); m=1;n=1;ep=Precision+1;while((ep>=Precision)&&(m<MAXRepeat)){p=0.0;for(k=0;k<n;k++){xk=a+(k+0.5)*h; // n-1p=p+f(xk); //计算∑f(xk+h/2),T} // k=0p=(y[0]+h*p)/2.0; //T`m`(h/2),变步长梯形求积公式s=1.0;for(k=1;k<=m;k++){s=4.0*s;// pow(4,m)q=(s*p-y[k-1])/(s-1.0);//[pow(4,m)T`m`(h/2)-T`m`(h)]/[pow(4,m)-1 ],2m阶牛顿柯斯特公式，即龙贝格公式y[k-1]=p;p=q;}ep=fabs(q-y[m-1]);//前后两步计算结果比较求精度m=m+1;y[m-1]=q;n=n+n; // 2 4 8 16h=h/2.0;//二倍分割区间}return q;}main(){double a,b,Result;cout<<"请输入积分下限:"<<endl;cin>>a;cout<<"请输入积分上限:"<<endl;cin>>b;Result=Romberg( a, b, function);cout<<"龙贝格积分结果："<<Result<<endl; return 0;}。
数值分析龙贝格算法
《数值分析》课程设计报告龙贝格算法专业：班级：学号：姓名：1.实验目的运用龙贝格求积公式，编制龙贝格算法程序，计算积分dxx⎰-21211的近似值，要求误差小于106-。
2.程序流程图<== ≠开始输入a,b,eb-a->h,h/2[f(a)+f(b)]->T1,1->k0->s,a+h/2->xs+f(x)->s x+h->x x<b 1/2T1+h/2s->T2 T2+1/3(T2-T1)->S2k=1k+1->k,h/2->h T2->T1,S2->S1S2+1/15(S2-S1)->C2k=2 C2->C1 C2+1/63(C2-C1)->R23. 程序代码#include "stdio.h" #include "math.h" int main(void) {float f(float); float a,b,e,h,T1=0,T2=0,S1=0,S2=0,C1=0,C2=0,R1=0,R2=0,k,s,x; int i=0;printf("请输入积分的下限："); scanf("%f",&a); printf("\n 请输入积分的上限："); scanf("%f",&b); printf("\n 请输入允许误差："); scanf("%f",&e); k=1; h=b-a;T1=h*(f(a)+f(b))/2;printf("----------------------\n"); printf("k T2 S2 C2 R2\n"); printf("%d %10.7f %10.7f %10.7f %10.7f\n",i,T1,S1,C1,R1); do {s=0; x=a+h/2; while(x<b) { s+=f(x); x+=h; } T2=T1/2+s*h/2; S2=T2+(T2-T1)/3; if (k==1) { k=k+1; h=h/2;k=3 |R2-R1|<e 输出a,b,R2结束 R2->R1T1=T2;S1=S2;}else if (k==2){C2=S2+(S2-S1)/15;C1=C2;k=k+1;h=h/2;T1=T2;S1=S2;}else if (k==3){R2=C2+(C2-C1)/63;C2=S2+(S2-S1)/15;C1=C2;k=k+1;h=h/2;T1=T2;S1=S2;}else{C2=S2+(S2-S1)/15;R2=C2+(C2-C1)/63;if (fabs(R2-R1)<e){printf("%d %10.7f %10.7f %10.7f %10.7f\n",i+1,T2,S2,C2,R2);break;}else{R1=R2;C1=C2;k=k+1;h=h/2;T1=T2;S1=S2;}}i++;printf("%d %10.7f %10.7f %10.7f %10.7f\n",i,T2,S2,C2,R2);}while (1);return 0;}float f(float x){/*float y=0;if(x==0.0)return 1;y=(float)sin(x)/(x);return y;*/float y;y=1/(sqrt(1-x*x));return y;}4 运行结果。
5.3龙贝格(Romberg)算法
|R1-C2|<ε
否 k=4 计算 T
、S2k -1、C2k −2、R2k −3 2
k
输出积分值 I
结束
| R2k −3 − C2k −2 |< ε
否 k=k+1
是
17
龙贝格算法源程序
#include "stdio.h" #include "math.h" main() { double f(double x); double t0fun(int k,double t0[50]);
k −3
if(fabs(t3[k-3]-t2[k-2])<0.000000001) // 若 | R2 { printf("k=%3d,I=%12.9f\n",k,t3[k-3]); break; } } } double f(double x) { double y; y=sqrt(1.0+x*x); return y; }
龙贝格romberg算法等份分割为的积分区间将定积分不变等份而分割为如果将上式称为递推的梯形公式递推梯形公式加上一个控制精度即可成为自动选取步长的复合梯形公式具体的方法请同学们完成思考因此由复合simpson公式的余项可得151615161516自己证明当然同样由复合cotes公式的余项63646364636415166364加速公式以上整个过程称为龙贝格romberg算法1012龙贝格算法可用下表表示
1 b − a n −1 1 b − a n −1 1 = Tn + ∑ f ( x j + 1 ) = 2 Tn + 2 n ∑ f ( a + ( j + 2 )h) 2 2n j =0 j =0 2
龙贝格算法
龙贝格算法龙贝格算法是一种用于求解数值积分的高效算法。
它是由龙格(Richardson)和贝格(Bulirsch)两位数学家发明的，因此得名为龙贝格算法。
算法原理龙贝格算法的核心思想是通过不断迭代、细化步长来逼近积分值。
其具体步骤如下：1.设定初始步长ℎ和阶数k：选择合适的初始步长ℎ和阶数k，通常会根据被积函数的性质和精度要求来确定。
2.计算第一次迭代结果：根据初始步长ℎ和阶数k，计算第一次迭代的积分值。
3.递推计算迭代结果：利用迭代公式，不断调整步长ℎ和次数k，计算更高阶的近似积分值。
4.检查收敛性：根据一定的收敛准则，判断当前近似积分值是否满足精度要求，若满足则停止迭代，否则继续调整步长和次数。
5.输出最终结果：当迭代满足精度要求后，输出最终的数值积分结果。
算法优势龙贝格算法具有以下优势：•高效性：通过迭代细化步长和阶数，可以快速求得较为精确的数值积分结果。
•适用性：对于各种类型的函数，龙贝格算法都有较好的适用性，能够处理不同的积分情况。
•精度控制：通过调整步长和阶数，可以灵活控制算法的精度，满足不同精度要求的积分计算。
算法应用龙贝格算法在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用。
它常用于求解复杂函数的数值积分、积分方程求解、数值微分方程的数值解等问题。
在科学计算、模拟仿真、优化等领域都有着重要的地位。
结语龙贝格算法作为一种经典的数值积分算法，凭借其高效性、适用性和精度控制等优势，为数值计算领域提供了重要的工具。
在实际问题中，合理应用龙贝格算法可以提高计算效率，得到准确的数值结果。
希望本文能够让读者更深入了解龙贝格算法的原理和应用，为相关领域的数值计算工作提供帮助。
龙贝格算法——精选推荐
Romberg 算法一、 算法思路1）梯形法的递推化为了提高求积精度，实际计算时若精度不够可以将步长逐次分半，以此求积分 f (x )ba 的近似值。
首先将[a,b]分为n 等份，共有n+1个分点，注意到每个子区间[x k ,x k +1]经过二分只增加了一个分点：x k +12=12(x k ,+x k +1)。
然后利用复合梯形求积公式可以推导出二分前后的积分值递推关系（h 代表二分前的步长）：T 2n =12T n +ℎ2f (x k +12)n −1k =0。
（1.1） 2）理查森外推加速从梯形公式出发，将区间[a,b]逐次二分可以提高求积公式精度，当[a,b]分为n 等份时，若记T n = T ℎ ，当区间[a,b]分为2n 等份时，则有T 2n =T ℎ2 。
再有泰勒公式展开为：T ℎ =I +α1ℎ2+α2ℎ4+⋯+αl ℎ2l+⋯，然后用h/2代替h 有T ℎ2=I +α1ℎ24+α2ℎ416+⋯+αl ℎ22l+⋯。
再记S ℎ =4T ℎ2−T ℎ3，这将复合梯形公式的的误差阶O(ℎ2)提高到了O(ℎ4)，并且易知S ℎ =S n ，即将[a,b]分为n 等份得到的复合辛普森公式。
与上述做法类似，从S ℎ 出发，当n 在增加一倍，即h 减少一半时得到S ℎ2 ，然后记C ℎ =16S ℎ2−S ℎ3，易知C ℎ =C n ，即将[a,b]分为n 等份得到的复合柯特斯公式……如此继续下去就可以得到龙贝格公式。
我们重新引入记号T 0 ℎ = T ℎ ,T 1 ℎ = S ℎ 等，从而可以将上述公式写成统一的形式：T m ℎ =I +δ1ℎ2(m +1)+δ2ℎ2(m +2)+⋯.上述处理方法就称为理查森外推加速法。
3）龙贝格求积算法设以T 0(k )表示二分k 次后求得的梯形值，且以T m (k )表示序列 T 0(k )的m 次加速值，则依理查森外推加速公式，可以得到：T m(k )=4m 4m −1T m −1(k−1)−14m −1T m −1 k，k =1，2⋯.（1.2）这就是龙贝格求积算法。
龙贝格算法-数值分析-实验报告
五、案例应用 ....................................................................................................................................... 11
5.1 案例分析： ................................................................................................................................. 11 5.2 计算： ......................................................................................................................................... 12 5.3 结果分析： ................................................................................................................................. 13
4.1 测试函数(1)：............................................................................................................................... 8 4.2 测试函数(2):.................................................................................................................................. 9 4.3 测试曲线(3)：............................................................................................................................. 10
辛普森公式 龙贝格算法
辛普森公式龙贝格算法辛普森公式与龙贝格算法 辛普森公式和龙贝格算法是数值计算中常用的数值积分方法。
它们可以用于计算函数的定积分，通过将复杂的定积分问题转化为更简单的求和问题来求解。
下面将介绍辛普森公式和龙贝格算法的原理和应用。
辛普森公式是一种通过将函数划分为多个小区间，并在每个区间内使用二次多项式逼近函数曲线的方法来求解定积分。
该公式的基本思想是将函数曲线近似看作是由一系列抛物线段组成的，然后通过对这些抛物线段的面积进行求和来获取整个函数曲线下的面积。
辛普森公式的推导基于牛顿-科特斯公式，通过将区间划分为偶数个小区间，并在每个小区间内使用二次多项式逼近函数曲线来计算定积分。
这种方法可以大大提高计算的精确性，尤其在对曲线进行高精度逼近时特别有效。
龙贝格算法是一种迭代方法，通过逐步细化区间格点来逼近定积分的方法。
它的基本思想是将区间进行二等分，然后通过递归地对子区间进行步长缩放和函数值计算，以获得更加精确的数值积分结果。
龙贝格算法的核心是通过不断加密区间格点和调整步长来逐渐提高计算精度，直到满足预设的误差要求。
这种方法在计算复杂函数的定积分时非常有用，它能够自适应地调整计算步长，并在迭代过程中逐渐收敛到期望的结果。
辛普森公式和龙贝格算法在数值计算中广泛应用于求解定积分问题。
它们适用于各种类型的函数，包括连续函数、平滑函数和非平滑函数。
通过适当选择区间划分和迭代次数，可以有效地控制计算误差，并获得满足要求的数值积分结果。
这种方法相对于传统的数值积分方法具有更高的精确性和可靠性，能够满足各种实际应用的计算需求。
总之，辛普森公式和龙贝格算法是数值计算中常用的数值积分方法。
它们通过将复杂的定积分问题转化为更简单的求和问题，并利用适当的逼近和迭代方法来提高计算精度。
这些方法在实际应用中具有很高的灵活性和可靠性，可以应对各种类型的函数和积分问题。
通过合理应用辛普森公式和龙贝格算法，我们能够更准确、更快速地求解定积分，为科学研究和工程计算提供有力的支持。
龙贝格算法例题详解
龙贝格算法例题详解
龙贝格算法是数值计算中一种用于近似计算积分的方法。
它通过对区间进行逐步细分，将积分问题转化为一个递归的加权求和过程。
下面我们以一个简单的例题来详细解释龙贝格算法的运算过程。
假设我们要计算函数f(x)在区间[a, b]上的积分，首先将区间[a, b]等分为n个小区间。
定义h = (b - a) / n为每个小区间的宽度。
首先，我们计算f(a)和f(b)，这两个端点的函数值。
然后，我们计算每个小区间的中点的函数值f((a + b) / 2)，并将这些中点的函数值乘以h，得到积分的第一次近似值I1。
接下来，我们计算每个相邻的小区间的中点的函数值f((a + x_i) / 2)，其中x_i表示第i个小区间的起点。
对于每个小区间，我们将左右两个中点的函数值相加，并乘以h/2，得到积分的第二次近似值I2。
重复上述过程，我们可以得到更高阶的近似值I3、I4、I5，直到达到所需的精度或者迭代次数。
最后，我们将这些近似值进行逐次求平均，得到最终的积分近似值。
具体的计算公式如下：
I(k+1) = (4^k I(k) - I(k-1)) / (4^k - 1)
其中，k表示迭代次数，I(k)表示第k次迭代得到的近似值。
龙贝格算法的优点是收敛速度快，可以达到较高的精度。
但对于某些函数，可能会出现数值不稳定或发散的情况。
因此，在使用龙贝
格算法时，需要根据具体问题进行调整和判断，选择合适的参数和判据，以确保计算的准确性和稳定性。
龙贝格算法求数值积分程序说明及流程图
In(k,2)=4*In(k+1,1)/3-In(k,1)/3;
end
flag(2)=i+3;
for k=flag(3)+1:i+2
In(k,3)=16*In(k+1,2)/15-In(k,2)/15;
end
flag(3)=i+2;
for k=flag(4)+1:i+1
end
In(i+5,1)=In(i+5,1)/2^(i+5)+In(i+4,1)/2;
In(i+4,2)=4*In(i+5,1)/3-In(i+4,1)/3;
In(i+3,3)=16*In(i+4,2)/15-In(i+3,2)/15;
In(i+2,4)=64*In(i+3,3)/63-In(i+2,3)/63;
陆韶琦 3110000441
程序说明：本程序计算
数值积分值。
b sinx
a x
dx，程序初始要求输出需要得到的精度，最后输出得到
输入精度 eps，积分上下限 b,a
流程图：
定义函数 f(x)=
1
x=0;
sin(x)/x 其他。
计算 Ti(0<i<5)
T2^(i+1)=T2^i/2+
2j−1 b−a
2^i
j=1 f(
2 i +1
+ )
计算 Si（0<i<4）
Si=4Ti+1/3-Ti/3
计算 Ci(0<i<3)
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数值分析
实
验
报
告
专业：信息与计算科学
班级： 10***班
学号： 1008060**** 姓名： ******
实验目的：
用龙贝格积分算法进行积分计算。
算法要求：
龙贝格积分利用外推方法，提高了计算精度，加快了收敛速度。
1--4R R R R 1-j 1-j 1-k 1-j k 1-j k j k ，，，，+= ，k=2，3，…
对每一个k ，j 从2做到k ，一直做到|R R 1-k 1-k k k -，，| 小于给定控制精
度时停止计算。
其中：
T R h k 1k =，（复化梯形求积公式），2h 1-k k a -b =
程序代码：
#include<stdio.h>
#include<math.h>
#define M 10
static float a, b, T[M], S[M], C[M], R[M];
float f(float x)
{
float y;
if(0.0 == x)
{
x = 0.0000001f;
}
y = (float)1/sqrt(1-x*x);
return y;
}
int p(int n)
{
int i=0,t=1;
while(t!=n)
{
t*=2;
++i;
}
return i;
}
float t(int n)
{
float g,h,q=0;
if(1==n)
{
h = (float)fabs(b-a);
q = (f(a)+f(b))*h/2;
}
else
{
float x = a;
g = 0;
h = (float)fabs(b-a)*2/n;
x = x+h/2;
while(x<b)
{
g += f(x);
x += h;
}
q = t(n/2)/2+g*h/2;
}
return (T[p(n)] = q);
}
float s(int n)
{
return S[p(n)+1] = (float)t(2*n)+(t(2*n)-t(n))/3; }
float c(int n)
{
return C[p(n)+2] = (float)s(2*n)+(s(2*n)-s(n))/15; }
float r(int n)
{
return R[p(n)+3] = (float)c(2*n)+(c(2*n)-c(n))/63;
}
int main(void)
{
float e,r1 ,r2;
int i = 1 ;
printf("请输入a,b,e的值(形如1,2,3)：");
scanf("%f,%f,%f",&a,&b,&e);
do{
if (i==1)
{
r1 = r(i+1);
r2 = r(i);
}
else
{
r1 = r(i+1);
r2 = r(i-1);
}
i += 2;
}
while(fabs(r2-r1)>e);
printf("*************************\n");
i = 0;
while(T[i]!=0.0)
{
printf("%d%10.7f%10.7f%10.7f%10.7f\n",i,T[i],S[i],C[i],R[i]);
++i;
}
return 0;
}
运行结果：。