2017年高考数学文黄金易错点：专题07-三角变换及解三角形含答案

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2017年高考数学(四海八荒易错集)专题07 三角变换及解三角形文

专题07 三角变换及解三角形1．若tan α＝34，则cos 2α＋2sin2α等于( )A.6425B.4825 C ．1 D.1625 答案 A解析 tan α＝34，则cos 2α＋2sin2α＝cos 2α＋2sin2αcos 2α＋sin 2α ＝1＋4tan α1＋tan 2α＝6425. 2．在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，∠C ＝120°，则AC 等于( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 A解析由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ，即13＝AC 2＋9－2AC ×3×cos120°，化简得AC 2＋3AC －4＝0，解得AC ＝1或AC ＝－4(舍去)．故选A.3．方程3sin x ＝1＋cos2x 在区间[0,2π]上的解为__________．答案π6，5π6解析 3sin x ＝2－2sin 2x ，即2sin 2x ＋3sin x －2＝0， ∴(2sin x －1)(sin x ＋2)＝0，∴sin x ＝12，∴x ＝π6，5π6.4．在锐角三角形ABC 中，若sin A ＝2sin B sin C ，则tan A tan B tan C 的最小值是________．答案 8解析在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π， sin A ＝sin[π－(B ＋C )]＝sin(B ＋C )，由已知，sin A ＝2sin B sin C ， ∴sin(B ＋C )＝2sin B sin C .∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B sin C ，A ，B ，C 全为锐角，两边同时除以cos B cos C 得：tan B ＋tan C ＝2tan B tan C .又tan A ＝－tan(B ＋C )＝－tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝tan B ＋tan Ctan B tan C －1.∴tan A (tan B tan C －1)＝tan B ＋tan C . 则tan A tan B tan C －tan A ＝tan B ＋tan C ， ∴tan A tan B tan C ＝tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ＋ 2tan B tan C ≥22tan A tan B tan C ， ∴tan A tan B tan C ≥22， ∴tan A tan B tan C ≥8.5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A ＝23，sin B ＝5cos C ，并且a ＝2，则△ABC 的面积为________．答案526．若α∈(0，π2)，则sin2αsin 2α＋4cos 2α的最大值为________．答案 12解析 ∵α∈(0，π2)，∴sin2αsin 2α＋4cos 2α＝2sin αcos αsin 2α＋4cos 2α＝2tan αtan 2α＋4且tan α>0，∴2tan αtan 2α＋4＝2tan α＋4tan α≤224＝12(当且仅当tan α＝2时等号成立)，故sin2αsin 2α＋4cos 2α的最大值为12. 7．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600m 后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m.答案 100 6解析在△ABC 中，AB ＝600，∠BAC ＝30°，∠ACB ＝75°－30°＝45°，由正弦定理得BCsin∠BAC＝ABsin∠ACB，即BCsin30°＝600sin45°，所以BC ＝300 2.在Rt△BCD 中，∠CBD ＝30°，CD ＝BC tan∠CBD ＝3002·tan30°＝100 6.8．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(a ＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )·sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．答案3解析 ∵a sin A ＝b sin B ＝csin C，a ＝2，又(a ＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )·sin C ，可化为(a ＋b )(a －b )＝(c －b )·c ， ∴a 2－b 2＝c 2－bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc .∴b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12＝cos A ，∴A ＝60°.∵△ABC 中，4＝a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos60°＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc (“＝”当且仅当b ＝c 时取得)， ∴S △ABC ＝12·bc ·sin A ≤12×4×32＝ 3.9．已知函数f (x )＝3sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为2π3.(1)求ω的值；(2)在△ABC 中，sin B ，sin A ，sin C 成等比数列，求此时f (A )的值域．(2)由(1)知f (x )＝sin(3x －π6)－12，易得f (A )＝sin(3A －π6)－12.因为sin B ，sin A ，sin C 成等比数列，所以sin 2A ＝sinB sinC ，所以a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－bc 2bc ≥2bc －bc2bc＝12(当且仅当b ＝c 时取等号)，因为0<A <π，所以0<A ≤π3，所以－π6<3A －π6≤5π6，所以－12<sin(3A －π6)≤1，所以－1<sin(3A －π6)－12≤12，所以函数f (A )的值域为(－1，12]．易错起源1、三角恒等变换例1、(1)已知α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＝________. (2)已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于( ) A.5π12B.π3C.π4 D.π6答案 (1)2425(2)C解析 (1)因为α为锐角，cos(α＋π6)＝35>0，所以α＋π6为锐角，sin(α＋π6)＝45，则sin(2α＋π3)＝2sin(α＋π6)cos(α＋π6)＝2×45×35＝2425.又cos(2α－π6)＝sin(2α＋π3)，所以cos(2α－π6)＝2425.【变式探究】(1)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝7210，cos2α＝725，则sin α等于( )A.45 B ．－45 C ．－35 D.35 (2)3cos10°－1s in170°等于( ) A ．4 B ．2 C ．－2D ．－4答案 (1)D (2)D解析 (1)由sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝7210，得sin αcos π4－cos αsin π4＝7210，即sin α－cos α＝75，①又cos2α＝725，所以cos 2α－sin 2α＝725，即(cos α＋sin α)·(cos α－sin α)＝725，因此cos α＋sin α＝－15.②由①②得sin α＝35，故选D.(2)3cos10°－1sin170°＝3cos10°－1sin10°＝3sin10°－cos10°sin10°cos10°＝－312sin20°＝－2sin20°12sin20°＝－4，故选D. 【名师点睛】(1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现张冠李戴的情况．(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解．【锦囊妙计，战胜自我】 1．三角求值“三大类型”“给角求值”、“给值求值”、“给值求角”． 2．三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan45°等；(2)项的分拆与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α，α＝(α－β)＋β等； (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次； (4)弦、切互化：一般是切化弦．易错起源2、正弦定理、余弦定理例2、(1)(2016·课标全国丙)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A 等于( )A.31010 B.1010C ．－1010D ．－31010(2)(2015·北京)在△ABC 中，a ＝3，b ＝6，A ＝2π3，则B ＝________.答案 (1)C (2)π4(2)由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝6sin2π33＝22，因为A 为钝角，所以B ＝π4.【变式探究】如图，在△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍．(1)求sin B sin C ；(2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长．解 (1)S △ABD ＝12AB ·AD sin∠BAD ，S △ADC ＝12AC ·AD sin∠CAD .因为S △ABD ＝2S △ADC ， ∠BAD ＝∠CAD ，所以AB ＝2AC . 由正弦定理可得 sin B sin C ＝AC AB ＝12. (2)因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ，所以BD ＝ 2. 在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理知AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos∠ADB ， AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos∠ADC .故AB 2＋2AC 2＝3AD 2＋BD 2＋2DC 2＝6，由(1)知AB ＝2AC ，所以AC ＝1. 【名师点睛】关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．【锦囊妙计，战胜自我】1．正弦定理：在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．变形：a ＝2R sin A ，sin A＝a2R，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶s in C 等． 2．余弦定理：在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc.易错起源3、解三角形与三角函数的综合问题例3 (2015·山东)设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4. (1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值．解 (1)由题意知f (x )＝sin2x 2－1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π22＝sin2x 2－1－sin2x 2＝sin2x －12.由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z ，可得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π，k ∈Z ；由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z ，可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )；单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z )．【变式探究】已知函数f (x )＝cos 2x ＋23sin x cos x －sin 2x . (1)求f (x )的最小正周期和值域；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若f (A2)＝2且a 2＝bc ，试判断△ABC 的形状．解 (1)f (x )＝cos 2x ＋23sin x cos x －sin 2x ＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π6)，所以T ＝π，f (x )∈[－2,2]．(2)因为f (A 2)＝2sin(A ＋π6)＝2，所以sin(A ＋π6)＝1.因为0<A <π，所以A ＋π6＝π2，所以A ＝π3.由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 及a 2＝bc ，得(b －c )2＝0，所以b ＝c ，所以B ＝C ＝π3.所以△ABC 为等边三角形. 【名师点睛】解三角形与三角函数的综合题，要优先考虑角的范围和角之间的关系；对最值或范围问题，可以转化为三角函数的值域来求．【锦囊妙计，战胜自我】解三角形与三角函数的综合是近几年高考的热点，主要考查三角形的基本量，三角形的面积或判断三角形的形状．1．已知α为锐角，cos α＝35，tan(α－β)＝－13，则tan β的值为( )A.13 B ．3 C.913D.139答案 B解析由α为锐角，cos α＝35，得sin α＝45，∴tan α＝43，∵tan(α－β)＝－13，∴tan β＝tan[α－(α－β)]＝tan α－α－β1＋tan αα－β＝3.2．tan70°＋tan50°－3tan70°tan50°的值等于( ) A. 3 B.33C ．－33D ．－ 3答案 D解析因为tan120°＝tan70°＋tan50°1－tan70°·tan50°＝－3，即tan70°＋tan50°－3tan70°tan50°＝－ 3.3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b ＝2c cos A ，c ＝2b cos A ，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形答案 C解析由已知可得，b ＝c2cos A＝2c cos A ， ∴cos 2A ＝14，易知cos A >0，∴cos A ＝12. 又∵0°<A <180°，∴A ＝60°，由b ＝2c ·b 2＋c 2－a 22bc得a 2－c 2＝0， ∴a ＝c .因此，△ABC 为等边三角形，故选C.4．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2b cos A ，B ＝π3，c ＝1，则△ABC 的面积等于( ) A.38 B.36 C.34 D.32 答案 C5．若sin2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，则α＋β的值是( ) A.7π4B.9π4C.5π4或7π4D.5π4或9π4答案 A解析 ∵sin2α＝55，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π， ∴cos2α＝－255且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，又∵sin(β－α)＝1010，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2， ∴cos(β－α)＝－31010， ∴sin(α＋β)＝sin[(β－α)＋2α]＝sin(β－α)cos2α＋cos(β－α)sin2α＝1010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010×55＝－22， cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α]＝cos(β－α)cos2α－sin(β－α)sin2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255－1010×55＝22，又α＋β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，2π，∴α＋β＝7π4，故选A. 6．已知tan α＝4，则1＋cos2α＋4sin 2αsin2α的值为________．答案 334解析 1＋cos2α＋4sin 2αsin2α＝2cos 2α＋4sin 2α2sin αcos α＝1＋2tan 2αtan α＝1＋2×164＝334. 7．在△AB C 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为________．答案 8解析 ∵cos A ＝－14，0＜A ＜π，∴sin A ＝154， S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ×154＝315，∴bc ＝24，又b －c ＝2，∴b 2－2bc ＋c 2＝4，b 2＋c 2＝52，由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A＝52－2×24×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝64， ∴a ＝8.8．如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100m ，则山高MN ＝________m.答案 1509．在△ABC 中，内角A ,B ,C 所对的边分别为a ，b ，c ，b ≠c ，且sin 2C －sin 2B ＝3sin B cos B －3sin C cos C .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝3，sin C ＝34，求△ABC 的面积．解 (1)由题意得1－cos2C 2－1－cos2B 2＝32sin2B －32sin2C ，整理得32sin2B －12cos2B ＝32sin2C －12cos2C ，即sin(2B －π6)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2C －π6，由b ≠c ，得B ≠C ，又B ＋C ∈(0，π)，得2B －π6＋2C －π6＝π，即B ＋C ＝23π，所以A ＝π3.(2)因为a ＝3，sin C ＝34，由正弦定理asin A ＝c sin C ，得c ＝32.由c <a ，得C <A ，从而co s C ＝74，故sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝32×74＋12×34＝3＋218.所以△ABC 的面积为S ＝12ac sin B ＝12×32×3×3＋218＝932(3＋7)．10．已知函数f (x )＝3sin x 4cos x 4＋cos 2x4.(1)若f (x )＝1，求cos(2π3－x )的值；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足a cos C ＋12c ＝b ，求f (B )的取值范围．解 (1)f (x )＝3sin x 4cos x 4＋cos 2x 4 ＝32sin x2＋12cos x 2＋12＝sin(x 2＋π6)＋12.由f (x )＝1，可得sin(x2＋π6)＝12.令θ＝x2＋π6，则x ＝2θ－π3，cos(2π3－x )＝cos(π－2θ)＝－cos2θ＝2sin 2θ－1＝－12.(2)由a cos C ＋12c ＝b ，得a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋12c ＝b ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3，B ＋C ＝2π3，所以0＜B ＜2π3，所以π6＜B 2＋π6＜π2，所以f (B )＝sin(B 2＋π6)＋12∈(1，32)．所以f (B )的取值范围是(1，32)．。

高三数学《三角恒等变换与解三角形》专题复习题含答案

《三角恒等变换与解三角形》专题复习题含答案一、选择题1．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，2sin2α＝cos2α＋1，则sin α＝( ) A ．15 B ．55 C ．33 D ．2552．若tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－3，则sin2α－cos 2α＝( ) A ．35 B ．－25 C ．－1 D ．33．已知3sin x ＋cos x ＝22，则cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝( ) A ．12 B ．24 C ．23 D ．34答案 B4．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若2cos B ＝ac ，则该三角形一定是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形5．已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则log 5⎝⎛⎭⎫tan αtan β2等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 6．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( )A ．518B ．34C ．32D ．787．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且a 2＝c 2＋ac －bc ，则cb sin B ＝( ) A ．32 B ．233 C ．33D ． 3 8．设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，B ＝2A ，则b 的取值范围为( )A ．(0．4)B ．(2．23)C ．(22，23)D ．(22，4) 9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝4，则B ＝( )A ．B ＝30°或B ＝150° B ．B ＝150°C ．B ＝30°D ．B ＝60°或B ＝150°10．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知ab sin C ＝20sin B ，a 2＋c 2＝41，且8cos B ＝1，则b ＝( )A ．6B ．4 2C ．3 5D ．711．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，已知C ＝45°，c ＝2，a ＝x ，若满足条件的三角形有两个，则x 的取值范围是( )A ．2<x <1B ．2<x <2C ．1<x <2D ．1<x < 2 12．若sin2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2，则α＋β的值是( ) A ．7π4 B ．9π4 C ．5π4或7π4 D ．5π4或9π4二、填空题13．已知sin10°＋m cos10°＝－2cos40°，则m ＝________.14．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为m ＝2sin18°.若m 2＋n ＝4，则m ＋nsin63°＝________.15．已知点(3，a )和(2a ．4)分别在角β和角β－45°的终边上，则实数a 的值是________． 16．在△ABC 中，a ，b ，c 为∠A ，∠B ，∠C 的对边，a ，b ，c 成等比数列，a ＋c ＝3，cos B ＝34，则AB →·BC →＝________. 三、解答题17．已知△ABC 中，A ＝π4，cos B ＝35，AC ＝8.(1)求△ABC 的面积；(2)求AB 边上的中线CD 的长．18．在△ABC 中，AB ＝23，AC ＝3，AD 为△ABC 的内角平分线，AD ＝2.(1)求BDDC的值；(2)求角A 的大小．19．在△ABC 中，3sin A ＝2sin B ，tan C ＝2 2.(1)证明：△ABC 为等腰三角形；(2)若△ABC 的面积为22，D 为AC 边上一点，且BD ＝3CD ，求线段CD 的长．20．如图所示，锐角△ABC 中，AC ＝52，点D 在线段BC 上，且CD ＝32，△ACD 的面积为66，延长BA 至E ，使得EC ⊥BC .(1)求AD 的值；(2)若sin ∠BEC ＝23，求AE 的值．三角恒等变换与解三角形专题复习题含答案参考答案：一、选择题 1、答案 B解析由2sin2α＝cos2α＋1，得4sin αcos α＝2cos 2α.又∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴tan α＝12，∴sin α＝55.故选B. 2、答案 A解析因为tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－3⇒tan α＋tanπ41－tan α·tanπ4＝－3⇒tan α＝2，所以sin2α－cos 2α＝sin2α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α－11＋tan 2α＝35，故选A.3、答案 B解析由3sin x ＋cos x ＝22，得2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝22，所以cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝24，故选B. 4、答案 A解析由2cos B ＝ac 得2×a 2＋c 2－b 22ac ＝a c ，即c 2＝b 2，∴b ＝c ，∴△ABC 为等腰三角形，故选A.5、答案 C解析因为sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，所以sin αcos β＋cos αsin β＝12，sin αcos β－cos αsin β＝13，所以sin αcos β＝512，cos αsin β＝112，所以tan αtan β＝5，所以log5⎝⎛⎭⎫tan αtan β2＝log552＝4.故选C.6、答案 D解析根据题意可设此三角形的三边长分别为2t ．2t ，t ，由余弦定理得它的顶角的余弦值为222(2)(2)(2)(2)t t t t t t+-⨯⨯＝78. 7、答案 B解析由a ，b ，c 成等比数列得b 2＝ac ，则有a 2＝c 2＋b 2－bc ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc2bc＝12，故A ＝π3，对于b 2＝ac ， sin 2B ＝sin A sin C ＝32·sin C ，c b sin B ＝sin C sin 2B ＝sin C 32sin C ＝233. 8、答案 C解析 ∵a ＝2，B ＝2A ，∴0<2A <π2，A ＋B ＝3A ，∴π2<3A <π，∴π6<A <π3，又0<A <π4，∴22<cos A <32，由正弦定理得b a ＝12b ＝2cos A ，即b ＝4cos A ，∴22<4cos A <23，则b 的取值范围为(22，23)，故选C. 9、答案 C解析 ∵A ＝60°，a ＝43，b ＝4，∴sin B ＝b sin A a ＝4×sin60°43＝12，∵a >b ，∴B <60°，∴B ＝30°，故选C. 10、答案 A解析因为ab sin C ＝20sin B ，所以由正弦定理得abc ＝20b ，所以ac ＝20，又因为a 2＋c 2＝41，cos B ＝18，所以由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝41－2×20×18＝36，所以b ＝6. 11、答案 B解析在△ABC 中，由正弦定理得a sin A ＝c sin C ，即x sin A ＝2sin45°，可得sin A ＝12x ，由题意得当A ∈⎝⎛⎭⎫0，3π4时，满足条件的△ABC 有两个，所以22<12x <1，解得2<x <2，则a 的取值范围是(2，2)，故选B. 12、答案 A解析因为α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，所以2α∈⎣⎡⎦⎤π2，2π，又sin2α＝55，所以2α∈⎣⎡⎦⎤π2，π，α∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，所以cos2α＝－255.又β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2，所以β－α∈⎣⎡⎦⎤π2，5π4，故cos(β－α)＝－31010，所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos2αcos(β－α)－sin2αsin(β－α)＝－255×⎝⎛⎭⎫－31010－55×1010＝22，又α＋β∈⎣⎡⎦⎤5π4，2π，故α＋β＝7π4，选A. 二、填空题 13、答案－ 3解析由sin10°＋m cos10°＝－2cos40°得sin10°＋m cos10°＝－2cos(10°＋30°)＝－2⎣⎡⎦⎤32cos10°－12sin10°，所以m ＝－ 3.14、答案 2 2解析因为m ＝2sin18°，m 2＋n ＝4，所以n ＝4－m 2＝4－4sin 218°＝4cos 218°，所以m ＋n sin63°＝2sin18°＋2cos18°sin63°＝sin(1845)sin 63+＝2 2.15、答案 6解析由题得tan β＝a 3，tan(β－45°)＝tan β－11＋tan β＝a3－11＋a 3＝42a ，所以a 2－5a －6＝0，解得a ＝6或－1，当a ＝－1时，两个点分别在第四象限和第二象限，不符合题意，舍去，所以a ＝6. 16、答案－32解析因为a ，b ，c 成等比数列，所以b 2＝ac .又因为a ＋c ＝3，cos B ＝34.根据余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ，所以ac ＝32－2ac －32ac ，解得ac ＝2，所以AB →·BC →＝c ·a cos(π－B )＝－ac cos B ＝－2×34＝－32.三、解答题17、解 (1)∵cos B ＝35，且B ∈(0，π)，∴sin B ＝1－cos 2B ＝45，∴sin C ＝sin(π－A －B )＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝22×35＋22×45＝7210，在△ABC 中，由正弦定理，得AC sin B ＝AB sin C ，即845＝AB7210，解得AB ＝7 2.∴△ABC 的面积为S ＝12AB ·AC ·sin A ＝12×72×8×22＝28.(2)解法一：在△ACD 中，AD ＝722，∴由余弦定理得CD 2＝82＋⎝⎛⎭⎫7222－2×8×722×22＝652，∴CD ＝1302.解法二：∵cos B ＝35<22，∴B >π4，∵A ＝π4，∴C 为锐角，故cos C ＝1－sin 2C ＝210∵CA →＋CB →＝2CD →，∴4|CD →|2＝(CA →＋CB →)2＝|CA →|2＋2CA →·CB →＋|CB →|2＝64＋2×8×52×210＋50＝130，∴CD ＝1302. 18、解 (1)在△ABD 中，由正弦定理，得BD sin A 2＝ABsin ∠ADB ，在△ACD 中，由正弦定理，得CD sin A 2＝ACsin ∠ADC ，∵sin ∠ADB ＝sin ∠ADC ，AC ＝3，AB ＝23，∴BD DC ＝ABAC＝2. (2)在△ABD 中，由余弦定理，得BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A 2＝16－83×cos A2，在△ACD 中，由余弦定理，得CD 2＝AC 2＋AD 2－2AC ·AD cos A 2＝7－43cos A2，所以16－83cosA27－43cosA2＝4，解得cos A 2＝32，又A 2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴A 2＝π6，即A ＝π3. 19、解 (1)证明：∵3sin A ＝2sin B ，∴3a ＝2b ，∵tan C ＝22，∴cos C ＝13，设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－2a ×3a2cos C ＝b 2，即b ＝c ，则△ABC 为等腰三角形．(2)∵tan C ＝22，∴sin C ＝223，则△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×32a 2×223＝22，解得a ＝2.设CD ＝x ，则BD ＝3x ，由余弦定理可得(3x )2＝x 2＋22－4x ×13，解得x ＝－1＋7312(负根舍去)，从而线段CD 的长为－1＋7312.20、解 (1)在△ACD 中，S △ACD ＝12AC ·CD sin ∠ACD ＝12×52×32×sin ∠ACD ＝66，所以sin ∠ACD ＝265，因为0°<∠ACD <90°，所以cos ∠ACD ＝1－⎝⎛⎭⎫2652＝15. 由余弦定理得，AD 2＝CD 2＋CA 2－2·CD ·CA ·cos ∠ACD ＝56，得AD ＝214. (2)因为EC ⊥BC ，所以sin ∠ACE ＝sin(90°－∠ACD )＝cos ∠ACD ＝15.在△AEC 中，由正弦定理得，AE sin ∠ACE ＝AC sin ∠AEC，即AE 15＝5223，所以AE ＝322。

高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析

高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析1.若tan=3，则的值等于A．2B．3C．4D．6【答案】解析：，选D。

【解析】略2.设函数的导函数最大值为，则函数图象的对称轴方程为A．B．C．D．【答案】C【解析】略3.（本小题满分12分）已知向量，若函数（1）求的最小正周期；（2）若，求的单调减区间．【答案】（1）；（2）．【解析】第一问根据向量的数量积的坐标运算式，求得函数解析式，利用倍角公式和辅助角公式将解析式化简，利用三角函数的性质，求得函数的最小正周期，第二问利用函数的性质求得函数的单调区间，给整数赋上相应的值，与题中所给的区间求公共部分，从而求得函数的单调区间．试题解析：【考点】向量的数量积坐标运算式，倍角公式，辅助角公式，三角函数的性质．4.（本小题满分12分）某同学用五点法画函数在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：（1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数的解析式；（2）若函数的图像向左平移个单位后对应的函数为，求的图像离原点最近的对称中心．【答案】（1）；（2）．【解析】第一问结合三角函数的性质，确定出对应的值，完善表格，从而确定出函数解析式，第二问利用图形的平移变换，将函数的解析式求出来，利用函数的性质，找出函数图像的对称中心，给赋值，比较从而确定出离原点最近的对称中心．试题解析：（1）根据表中已知数据，解得数据补全如下表：050-50函数表达式为（2）函数图像向左平移个单位后对应的函数是，其对称中心的横坐标满足，所以离原点最近的对称中心是．【考点】三角函数的性质，图像的变换．5.函数的最小值为（）A．-1B．C．-2D．【答案】B【解析】由题根据所给三角函数式子通过平方关系转化然后通过换元，利用导数研究其单调性解决其最值问题即可．令，易知其在和上单调递减，在上单调递增，所以，故选B．【考点】三角函数最值6.在中，已知，则三角形的面积为（）A．B．C．或D．或【答案】D【解析】或，故选D．【考点】正弦定理的应用7.已知（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵，，∴，∴，∴．【考点】平方关系、倍角关系．8.（本小题满分12分）设向量，其中，，已知函数的最小正周期为．（1）求的对称中心；（2）若是关于的方程的根，且，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）先利用两角和与差的正弦化简函数的解析式，再根据函数最小正周期求得函数的解析式，由此求得函数的对称中心；（2）先根据方程根的概念求得的值，再由的范围求得的值，从而代入函数解析式中求得的值．试题解析：（1）又，得所以对称中心为（2）由得或即或，又所以，得，故【考点】1、两角两角和与差的正弦；2、三角函数的周期；3、特殊三角形函数的值．【规律点睛】平面向量与三角函数的综合，通常利用平面向量的垂直、平行、数量积公式等知识将向量问题转化为三角函数问题，再结合三角知识求解．而求三角函数的最值（值域）、单调性、奇偶性、对称性，通常要将函数的解析式转化为的形式，然后利用整体思想求解．9.中，，，则的周长为A．B．C．D．【答案】D【解析】在中，应用正弦定理知，即，所以，故应选．【考点】1、正弦定理及其应用；2、三角恒等变换．【思路点睛】本题考查正弦定理及其在解三角形中的应用和三角恒等变换，属中档题．其解题的基本思路为：在中，由于已知一边、一角的大小，运用正弦定理可得出边与角的正弦之间的关系，然后运用等式的性质可求出的周长的表达式，再运用三角恒等变换将其变换为只含有角的表达式，进而得出所求的选项答案即可．10.已知函数．（1）求函数的单调递增区间；（2）内角的对边长分别为，若，且试求和．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）将函数中的两角差余弦先展开，再合并同类项，利用和角公式化简求出函数解析式，由三角函数性质即可求函数的单调递增区间；（2）将代入函数解析式可得，可求，再由正弦定理求出，求得或，再求，且，舍去不符合题意的解即可．试题解析：（1）∴故函数的递增区间为（2），．即．由正弦定理得：，，，或．当时，；当时，．（舍）所以．【考点】1．两角和与差公式；2．三解函数的单调性；3．正、余弦定理．11.已知向量且A、B、C分别为△ABC的三边a、b、c所对的角．（1）求角C的大小；（2）若成等差数列，且，求c边的长．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）先利用数量积公式得：，化简得：，再有二倍角公式化简即可；（2）由（1）可得，由得：，得：，利用余弦定理可得的值．试题解析：（1）对于，又，（2）由成等差数列，得，由正弦定理得，即由余弦弦定理，，【考点】1、数量积公式；2、等差中项；3、正弦定理；4、两角和正弦公式、二倍角正弦公式；5、余弦定理．12.（本小题满分12分）在中，角，，所对的边为，，，且满足．（1）求角的值；（2）若且，求的取值范围．【答案】（1）或（2）【解析】（1）先根据二倍角公式、两角和与差余弦公式化简条件：,即，化简得，再由三角形得或．（2）先由正弦定理将边化为角，并利用配角公式化为基本三角函数：．最后利用基本三角函数性质求取值范围.试题解析：解：（1）由已知，，得，化简得，故或．（5分）（2）由，得．由正弦定理，得，，故．（8分）因为，所以，，（10分）所以．（12分）【考点】二倍角公式、两角和与差余弦公式，正弦定理【名师】正弦定理的应用技巧(1)求边:利用公式或其他相应变形公式求解.(2)求角:先求出正弦值,再求角,即利用公式sinA= sinB= sinC= 或其他相应变形公式求解.(3)相同的元素归到等号的一边:即可应用这些公式解决边或角的比例关系问题.13.已知函数，，（1）求实数a的值；（2）求函数在的值域。

高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析

高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析1.已知函数的图象上关于轴对称的点至少有3对，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】原函数在轴左侧是一段正弦型函数图象，在轴右侧是一条对数函数的图象，要使得图象上关于轴对称的点至少有对，可将左侧的图象对称到轴右侧，即，应该与原来轴右侧的图象至少有个公共点如图，不能满足条件，只有此时，只需在时，的纵坐标大于，即，得．【考点】分段函数，函数图象，正弦型函数，对数函数2.若，则函数的最大值是___________．【答案】【解析】由题意因为，所以，所以函数的最大值是．【考点】求最大值．3.已知，，则下列不等式一定成立的是A．B．C．D．【答案】D【解析】,【考点】三角函数的性质4.若，且为第二象限角，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由得又为第二象限角，所以，选B．【考点】两角差余弦公式5.设函数对任意的，都有，若函数，则的值是（）A．1B．-5或3C．-2D．【答案】C【解析】根据题意有是函数图像的对称轴，从而有，所以有，故选C．【考点】三角函数的性质．6.设的最小值为，则．【答案】【解析】，根据题意，结合二次函数在某个区间上的最值问题，对参数进行讨论，当时，其最小值为，所以不合题意，当时，其最小值为，解得，当时，其最小值为，无解，所以．【考点】倍角公式，二次函数在给定区间上的最值问题．7.设函数对任意的，都有，若函数，则的值是（）A．1B．-5或3C．D．-2【答案】D【解析】根据题意有是函数图像的对称轴，从而有，所以有，故选D．【考点】三角函数的性质．8.下列函数中，以为最小正周期的偶函数是（）A．y=sin2x+cos2xB．y=sin2xcos2xC．y=cos（4x+）D．y=sin22x﹣cos22x【答案】D【解析】因为A项为非奇非偶函数，B项是奇函数，C项是奇函数，只有D项是符合题意的，故选D．【考点】诱导公式，倍角公式，三角函数的奇偶性和周期．9.函数的最大值为．【答案】【解析】解析式表示过的直线的斜率，由几何意义，即过定点（4，3）与单位圆相切时的切线斜率为最值．所以设切线得斜率为k，则直线方程为，即 ,【考点】三角函数最值【方法点睛】本题主要考查三角函数最值问题及转化的思想，解决问题的根据是根据所给函数式子转化为直线与圆的位置关系问题，即将所给式子看做定点与单位圆上点的连线的斜率的范围问题，通过模型转化使问题定点巧妙解决，属于经典试题．10.（本题满分12分）如图，在中，边上的中线长为3，且，．（1）求的值；（2）求边的长．【答案】（1）（2）4【解析】（1）利用角的关系，再结合两角差正弦公式展开就可求解（2）先在三角形ABD中，由正弦定理解出BD长，即CD长：由正弦定理，得，即，解得…故；再在三角形ADC中由余弦定理解出AC：；AC= 4试题解析：（1）（2）在中，由正弦定理，得，即，解得…故，从而在中，由余弦定理，得；AC= 4 ；【考点】正余弦定理11.中，，则的最大值为．【答案】【解析】设，由余弦定理的推论，所以，设，代入上式得，，故，当时，此时，符合题意，因此最大值为，故答案为：．【考点】解三角形．【思路点睛】首先假设，然后再根据余弦定理的推论，可得，找到与的关系，再设，代入上式得，利用根的判别式，进而求出结果．本题的关键是利用余弦定理的推论．12.已知函数的部分图象如图所示．（1）求函数的解析式；（2）若，求函数在区间上的单调减区间．【答案】（1）；（2），．【解析】（1）由图象中的最高点和最低点的纵坐标得到关于的方程组求得，再利用图象得到函数的周期，进而得到值，最后代入最低点坐标或最高点坐标结合的范围求出，即得到函数的解析式；（2）先求出，利用两角和差的正弦公式将其化为的形式，再利用整体思想求其单调递减区间．试题解析：（1）由图知，解得，又，所以，所以，将点代入，得，再由，得，所以；（2）因为由，解得；又，故所求的单调减区间为，．【考点】1.三角函数的图象与性质；2.三角恒等变形．13.已知角的终边经过点（-4，3），则= ，= ；【答案】;【解析】由题意可得.【考点】任意角三角函数的定义.14.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若，求△ABC的面积．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）在解三角形的背景下，考查正弦定理，余弦定理，知值求值．（Ⅱ）综合余弦定理，求三角形的面积公式，需要把作为整体求之．试题解析：（Ⅰ）由正弦定理得将上式代入已知即，即．∵∵∵B为三角形的内角，∴．（Ⅱ）由余弦定理得，结合，可得，所以△ABC的面积．【考点】正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式．15.在△中，角，，所对的边分别为，，，表示△的面积，若，，则．【答案】【解析】∵，∴，∴，∴，．∵，∴，∴，∴，∴．【考点】解三角形．【思路点睛】先利用余弦定理和三角形的面积公式可得，可得，再用正弦定理把中的边换成角的正弦，利用两角和公式化简整理可求得，最后根据三角形内角和，进而求得．16.中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若的面积，则 .【答案】【解析】由余弦定理，，又，，，即，，．【考点】1、余弦定理；2、同角三角函数的基本关系；3、三角形面积公式.【思路点睛】本题主要考查的是余弦定理、同角三角函数基本关系、三角形的面积公式，属于容易题.因为题目求，且的面积，边的平方的形式一般想到余弦定理，面积展开后利用余弦定理即可求得与的关系，从而利用同角三角函数的基本关系求得.17.（2012•安徽）设△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，且有2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若b=2，c=1，D为BC的中点，求AD的长．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）根据2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC，可得2sinBcosA=sin（A+C），从而可得2sinBcosA=sinB，由此可求求角A的大小；（Ⅱ）利用b=2，c=1，A=，可求a的值，进而可求B=，利用D为BC的中点，可求AD的长．解：（Ⅰ）∵2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC∴2sinBcosA=sin（A+C）∵A+C=π﹣B∴sin（A+C）=sinB＞0∴2sinBcosA=sinB∴cosA=∵A∈（0，π）∴A=；（Ⅱ）∵b=2，c=1，A=∴a2=b2+c2﹣2bccosA=3∴b2=a2+c2∴B=∵D为BC的中点，∴AD=．【考点】余弦定理；三角函数的恒等变换及化简求值．18.在中，已知．（Ⅰ）求sinA与角B的值；（Ⅱ）若角A,B,C的对边分别为的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），．【解析】（I）给出了关于角的两个三角函数值，利用诱导公式和同角三角函数的基本关系式可求得其正弦、余弦，再根据三角形的性质可求得的值；（II）在第一问的基础上，利用正弦定理可求得边，再由余弦定理求边，注意利用三角形基本性质舍解．试题解析：（Ⅰ）∵，，又∵，．∵，且，．（Ⅱ）由正弦定理得，，另由得，解得或（舍去），，．【考点】三角函数的诱导公式，同角三角函数的基本关系式及利用正、余弦定理在解三角形．19.已知，则的值为．【答案】．【解析】，故填：．【考点】三角恒等变形．20.在中，角A，B，C的对边分别为，，，若，则角的值为（）A．或B．或C．D．【答案】A．【解析】，，∴或，故选A．【考点】余弦定理．【思路点睛】由已知条件，可先将切化弦，再结合正弦定理，将该恒等式的边都化为角，然后进行三角函数式的恒等变形，找出角之间的关系；或将角都化成边，然后进行代数恒等变形，可一题多解，多角度思考问题，从而达到对知识的熟练掌握．21.为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点（）A．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变B．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变D．纵坐标缩短到原来的2倍，横坐标不变【答案】A【解析】这是一个三角函数的图象变换问题，一般的为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的横坐标伸长（）或缩短（）到原来的倍（纵坐标不变）即可，因此为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，故选A.【考点】三角函数的图象变换．【方法点睛】本题是一个三角函数的图象变换问题，属于容易题.一般的要得到函数（其中）的图像可按以下步骤进行：先把的图象向左（）或向右（）平移个单位，再将所得函数的图象上各点的横坐标扩大（）或缩小（）为原来的（纵坐标不变），再把所得函数图象上各点的纵坐标扩大（）或缩小（）为原来的倍（横坐标不变），最后再将所得图像向上（）或向下（）平移个单位，即可得到函数的图象.22.如图，在中，，，点在边上，且，.（I）求；（II）求的长.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），.【解析】（Ⅰ）由图可知，所以，又，所以，再由两角差的正弦公式可求得；（Ⅱ）由题意可用正弦定理、余弦定理即可求出、的长，在中，有，又从而可求得；在中，由余弦定理得，，从而可求出.试题解析：（Ⅰ）在中，因为，所以，所以（Ⅱ）在中，由正弦定理得，在中，由余弦定理得，所以【考点】1.解三角形；2.两角差的正弦公式.23.设的内角对边分别为，已知，且.（1）求角的大小；（2）若向量与共线，求的值.【答案】(1);(2)。

高考数学文科解三角形最全讲解含答案解析

第六单元解三角形教材复习课“解三角形”相关基础知识一课过1．正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：(1)a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin_B ∶sin_C ； (2)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . 2．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ， b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C .余弦定理可以变形：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab .[小题速通]1．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝2 3，cos A ＝32，且b ＜c ，则b ＝( )A ．3B ．2 2C ．2D. 3解析：选C 由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得4＝b 2＋12－6b ，解得b ＝2或4，∵b ＜c ，∴b ＝2.2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2＋c 2－a 2＝bc ，则角A 的大小为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：选B 由余弦定理可得b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，又因为b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝12，则A ＝60°.3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a sin A ＋b sin B <c sin C ，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定解析：选C 根据正弦定理可得a 2＋b 2<c 2.由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <0，所以角C 是钝角，故选C.4．(2018·郑州质量预测)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且(b －c )(sin B ＋sin C )＝(a －3c )sin A ，则角B 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°解析：选A 由正弦定理及(b －c )(sin B ＋sin C )＝(a －3c )·sin A ，得(b －c )(b ＋c )＝(a －3c )a ，即b 2－c 2＝a 2－3ac ，所以a 2＋c 2－b 2＝3ac ，又因为cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，所以cos B ＝32，所以B ＝30°. 5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b cos C ＋3b sin C －a ＝0，则B ＝________.解析：由正弦定理可得sin B cos C ＋3sin B sin C ＝sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋sin C cos B ，则3sin B sin C ＝sin C cos B ，又sin C ≠0，所以tan B ＝33，则B ＝30°. 答案：30°[清易错]1．由正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角时易忽视解的判断．2．利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制． 1．在△ABC 中，若a ＝18，b ＝24，A ＝45°，则此三角形解的情况是( ) A ．无解 B ．两解 C ．一解D ．不确定解析：选B ∵a sin A ＝b sin B ，∴sin B ＝b a sin A ＝2418sin 45°＝223.又∵a <b ，∴B 有两个解，即此三角形有两解．2．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b＝________.解析：在△ABC 中，∵sin B ＝12，0<B <π，∴B ＝π6或B ＝5π6.又∵B ＋C <π，C ＝π6，∴B ＝π6，∴A ＝2π3.∵a sin A ＝b sin B ，∴b ＝a sin B sin A＝1. 答案：13．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝7，b ＝8，c ＝13，则角C 的大小为________．解析：∵在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，c ＝13，∴由余弦定理可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝72＋82－1322×7×8＝－12，∵C ∈(0，π)，∴C ＝2π3. 答案：2π3设△ABC 的边为a ，b ，c ，所对的三个角为A ，B ，C ，其面积为S . (1)S ＝12ah (h 表示边a 上的高)．(2)S ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C .(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为△ABC 内切圆的半径)．[小题速通]1．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若a ＝1，b ＝3，B ＝60°，则△ABC 的面积为( )A.12B.32C ．1D. 3解析：选B 在△ABC 中，由正弦定理可得sin A ＝a sin B b ＝12，则A ＝30°，所以C ＝90°，则△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×1×3×1＝32.2．在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积为32，则BC 的长为( ) A.32B. 3 C ．2 3D ．2解析：选B 由题意S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin A ＝32，则AC ＝1，由余弦定理可得BC ＝4＋1－2×2×1×cos 60°＝ 3.3．在△ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为________．解析：由余弦定理知72＝52＋BC 2－2×5×BC ×cos 120°，即49＝25＋BC 2＋5BC ，解得BC ＝3.故S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12×5×3×32＝1534.答案：15344．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为________．解析：由cos A ＝－14，得sin A ＝154，所以△ABC 的面积为12bc sin A ＝12bc ×154＝315，解得bc ＝24，又b －c ＝2，所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b －c )2＋2bc －2bc cos A ＝22＋2×24－2×24×⎝⎛⎭⎫－14＝64，解得a ＝8. 答案：8[清易错]应用三角形面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A 时，注意公式中的角应为两边的夹角．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，c ＝23，A ＝30°，则△ABC 的面积为________．解析：∵a ＝2，c ＝23，A ＝30°， ∴由正弦定理得sin C ＝c ·sin A a ＝32，∴C ＝60°或120°， ∴B ＝90°或30°，则S △ABC ＝12ac sin B ＝23或 3.答案：23或 31．仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．2．方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图②)． 3．方向角相对于某一正方向的水平角．(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)； (2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向； (3)南偏西等其他方向角类似．4．坡角与坡度(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角(如图④，角θ为坡角)；(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i 为坡度)．坡度又称为坡比． [小题速通]1．(2018·潍坊调研)海面上有A ，B ，C 三个灯塔，AB ＝10 n mile ，从A 望C 和B 成60°视角，从B 望C 和A 成75°视角，则BC ＝( )A ．10 3 n mile B.1063 n mileC ．5 2 n mileD ．5 6 n mile解析：选D 如图，在△ABC 中，C ＝180°－60°－75°＝45°，又A ＝60°，由正弦定理，得AB sin C ＝BC sin A ，即10sin 45°＝BC sin 60°，解得BC ＝5 6. 2．江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.解析：如图，OM ＝AO ·tan 45°＝30(m)， ON ＝AO ·tan 30°＝33×30＝103(m)，在△MON 中，由余弦定理得， MN ＝900＋300－2×30×103×32＝300＝103(m)．答案：10 33.如图，一艘船上午9：30在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°的方向，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°的方向，且与它相距8 2 n mile.则此船的航速是________n mile/h.解析：设航速为v n mile/h ，在△ABS 中AB ＝12v ，BS ＝82，∠BSA ＝45°，由正弦定理得82sin 30°＝12v sin 45°，则v ＝32.答案：32[清易错]易混淆方位角与方向角概念：方位角是指北方向线按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角，而方向角是正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角．若点A 在点C 的北偏东30°，点B 在点C 的南偏东60°，且AC ＝BC ，则点A 在点B 的( )A ．北偏东15°B ．北偏西15°C ．北偏东10°D ．北偏西10°解析：选B 如图所示，∠ACB ＝90°，又AC ＝BC ， ∴∠CBA ＝45°，而β＝30°，∴α＝90°－45°－30°＝15°. ∴点A 在点B 的北偏西15°.一、选择题1．已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶1∶3，则此三角形的最大内角为( ) A ．60° B ．90° C ．120°D ．135°解析：选C ∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶1∶3， ∴a ∶b ∶c ＝1∶1∶3，设a ＝m ，则b ＝m ，c ＝3m . ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝m 2＋m 2－3m 22m 2＝－12， ∴C ＝120°.2．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定解析：选C 由正弦定理得b sin B ＝c sin C， ∴sin B ＝b sin Cc ＝40×3220＝3>1.∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝2a ，b ＝4，cos B ＝14.则c 的值为( )A ．4B ．2C ．5D ．6解析：选A ∵c ＝2a ，b ＝4，cos B ＝14，∴由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即16＝14c 2＋c 2－14c 2＝c 2，解得c ＝4.4．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，若A ＝π3，b ＝2a cos B ，c ＝1，则△ABC 的面积等于( )A.32B.34C.36D.38解析：选B 由正弦定理得sin B ＝2sin A cos B ，故tan B ＝2sin A ＝2sin π3＝3，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3，又A ＝B ＝π3，则△ABC 是正三角形，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×1×1×32＝34.5．(2018·湖南四校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(a 2＋b 2－c 2)tan C ＝ab ，则角C 的大小为( )A.π6或5π6B.π3或2π3C.π6D.2π3解析：选A 由题意知，a 2＋b 2－c 22ab ＝12tan C ⇒cos C ＝cos C 2sin C ，sin C ＝12，又C ∈(0，π)，∴C ＝π6或5π6.6．已知A ，B 两地间的距离为10 km ，B ，C 两地间的距离为20 km ，现测得∠ABC ＝120°，则A ，C 两地间的距离为( )A ．10 kmB ．10 3 kmC ．10 5 kmD ．107 km解析：选D 如图所示，由余弦定理可得，AC 2＝100＋400－2×10×20×cos 120°＝700，∴AC ＝107(km)．7．(2018·贵州质检)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3 B.932 C.332D ．3 3解析：选C ∵c 2＝(a －b )2＋6， ∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.①∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .②由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6. ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.8．一艘海轮从A 处出发，以每小时40 n mile 的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是( )A ．10 2 n mileB ．10 3 n mileC ．20 3 n mileD ．20 2 n mile解析：选A 画出示意图如图所示，易知，在△ABC 中，AB ＝20，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°，根据正弦定理得BC sin 30°＝ABsin 45°，解得BC ＝10 2.故B ，C 两点间的距离是10 2 n mile. 二、填空题9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A＝2sin B ，则c ＝________.解析：因为3sin A ＝2sin B ，所以由正弦定理可得3a ＝2b ，则b ＝3，由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋9－2×2×3×⎝⎛⎭⎫－14＝16，则c ＝4. 答案：410．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若角A ，B ，C 成等差数列，且边a ，b ，c 成等比数列，则△ABC 的形状为________．解析：∵在△ABC 中，角A ，B ，C 成等差数列， ∴2B ＝A ＋C ，由三角形内角和定理，可得B ＝π3，又∵边a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac ，由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， ∴ac ＝a 2＋c 2－ac ，即a 2＋c 2－2ac ＝0，故(a －c )2＝0，可得a ＝c ，所以△ABC 的形状为等边三角形．答案：等边三角形11．已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝x ，b ＝2，B ＝45°，若三角形有两解，则x 的取值范围为________．解析：由AC ＝b ＝2，要使三角形有两解，就是要使以C 为圆心，以2为半径的圆与AB 有两个交点，当A ＝90°时，圆与AB 相切，只有一解；当A ＝45°时，交于B 点，也就是只有一解，所以要使三角形有两解，需满足45°<A <90°，即22<sin A <1，由正弦定理可得a ＝x ＝b sin Asin B＝22sin A ，所以2<x <2 2. 答案：(2,22)12．如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10 000 m ，速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420 s 后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度为________m ．(取2＝1.4，3＝1.7)解析：如图，作CD 垂直于AB 的延长线于点D ，由题意知∠A ＝15°，∠DBC ＝45°，∴∠ACB ＝30°，AB ＝50×420＝21 000(m)．又在△ABC 中，BC sin A ＝ABsin ∠ACB ，∴BC ＝21 00012×sin 15°＝10 500(6－2)．∵CD ⊥AD ，∴CD ＝BC ·sin ∠DBC ＝10 500(6－2)×22＝10 500(3－1)＝7 350. 故山顶的海拔高度h ＝10 000－7 350＝2 650(m)．答案：2 650 三、解答题13．(2017·山东高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b ＝3，AB ―→AC ―→＝－6，S △ABC ＝3，求A 和a .解：因为AB ―→·AC ―→＝－6，所以bc cos A ＝－6，又S △ABC ＝3，所以bc sin A ＝6，因此tan A ＝－1，又0＜A ＜π，所以A ＝3π4. 又b ＝3，所以c ＝2 2.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝9＋8－2×3×22×⎝⎛⎭⎫－22＝29，所以a ＝29.14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b cos C ＝a cos C ＋c cos A . (1)求角C 的大小；(2)若b ＝2，c ＝7，求a 及△ABC 的面积．解：(1)∵2b cos C ＝a cos C ＋c cos A ，∴由正弦定理可得2sin B cos C ＝sin A cos C ＋cos A sin C ，即2sin B cos C ＝sin(A ＋C )＝sin B.又sin B ≠0，∴cos C ＝12，C ＝π3.(2)∵b ＝2，c ＝7，C ＝π3，∴由余弦定理可得7＝a 2＋4－2×a ×2×12，即a 2－2a －3＝0，解得a ＝3或－1(舍去)，∴△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×3×2×32＝332.高考研究课(一)正、余弦定理的3个基础点——边角、形状和面积 [全国卷5年命题分析][典例] ，b ，c .已知a >b ，a ＝5，c ＝6，sin B ＝35.(1)求b 和sin A 的值； (2)求sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π4的值． [解] (1)在△ABC 中，因为a >b ，故由sin B ＝35，可得cos B ＝45.由已知及余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13，所以b ＝13.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝a sin B b ＝31313.所以b 的值为13，sin A 的值为31313. (2)由(1)及a <c ，得cos A ＝21313，所以sin 2A ＝2sin A cos A ＝1213，cos 2A ＝1－2sin 2A ＝－513. 故sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π4＝sin 2A cos π4＋cos 2A sin π4＝22×⎝⎛⎭⎫1213－513＝7226. [方法技巧]应用正、余弦定理的解题策略(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．[即时演练]1．(2017·山东高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 为锐角三角形，且满足sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，则下列等式成立的是( )A ．a ＝2bB ．b ＝2aC ．A ＝2BD ．B ＝2A解析：选A 由题意可知sin B ＋2sin B cos C ＝sin A cos C ＋sin(A ＋C )，即2sin B cos C ＝sin A cos C ，又cos C ≠0，故2sin B ＝sin A ，由正弦定理可知a ＝2b .2．(2017·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，则B ＝________.解析：法一：由2b cos B ＝a cos C ＋c cos A 及正弦定理，得 2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ＞0，因此cos B ＝12.又0＜B ＜π，所以B ＝π3.法二：由2b cos B ＝a cos C ＋c cos A 及余弦定理，得 2b ·a 2＋c 2－b 22ac ＝a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc ，整理得，a 2＋c 2－b 2＝ac ，所以2ac cos B ＝ac ＞0，cos B ＝12.又0＜B ＜π，所以B ＝π3.答案：π33.(2018·成都二诊)如图，在平面四边形ABCD 中，已知A ＝π2，B ＝2π3，AB ＝6.在AB 边上取点E ，使得BE ＝1，连接EC ，ED .若∠CED ＝2π3，EC ＝7.(1)求sin ∠BCE 的值； (2)求CD 的长．解：(1)在△BEC 中，由正弦定理，知BE sin ∠BCE ＝CEsin B .∵B ＝2π3，BE ＝1，CE ＝7，∴sin ∠BCE ＝BE ·sin B CE ＝327＝2114.(2)∵∠CED ＝B ＝2π3，∴∠DEA ＝∠BCE ，∴cos ∠DEA ＝1－sin 2∠DEA ＝1－sin 2∠BCE ＝1－328＝5714.∵A ＝π2，∴△AED 为直角三角形，又AE ＝5，∴ED ＝AE cos ∠DEA ＝55714＝27.在△CED 中，CD 2＝CE 2＝＋DE 2－2CE ·DE ·cos ∠CED ＝7＋28－2×7×27×⎝⎛⎭⎫－12＝49.∴CD ＝7.＋b )sin(A －B )＝(a －b )·sin(A ＋B )”，试判断三角形的形状．[解] ∵(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )， ∴b 2[sin(A ＋B )＋sin(A －B )]＝a 2[sin(A ＋B )－sin(A －B )]， ∴2sin A cos B ·b 2＝2cos A sin B ·a 2，即a 2cos A sin B ＝b 2sin A cos B. 法一：用“边化角”解题由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ， ∴sin 2A cos A sin B ＝sin 2B sin A cos B ，又sin A ·sin B ≠0，∴sin A cos A ＝sin B cos B ， ∴sin 2A ＝sin 2B .在△ABC 中，0＜2A ＜2π，0＜2B ＜2π， ∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，∴A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．法二：用“角化边”解题由正弦定理、余弦定理得：a 2b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a ·a 2＋c 2－b 22ac ， ∴a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)， ∴(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0， ∴a 2－b 2＝0或a 2＋b 2－c 2＝0. 即a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形． [方法技巧]判断三角形形状的2种方法(1)“边化角”利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论．(2)“角化边”利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．[提醒] 在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．[即时演练]1．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定解析：选B 依据题设条件的特点，由正弦定理，得sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin 2A ，有sin(B ＋C )＝sin 2A ，从而sin(B ＋C )＝sin A ＝sin 2A ，解得sin A ＝1， ∴A ＝π2，∴△ABC 是直角三角形．2．在△ABC 中，“2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C ，且sin B ＋sin C ＝1”，试判断△ABC 的形状．解：由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc ，由余弦定理得，cos A ＝－12，sin A ＝32，则sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C . 又sin B ＋sin C ＝1，所以sin B sin C ＝14，解得sin B ＝sin C ＝12.因为0<B <π2，0<C <π2，故B ＝C ＝π6，所以△ABC 是等腰钝角三角形．[典例] (2017·a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B2.(1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b .[解] (1)由题设及A ＋B ＋C ＝π得sin B ＝8sin 2B2，即sin B ＝4(1－cos B )，故17cos 2B －32cos B ＋15＝0，解得cos B ＝1517或cos B ＝1(舍去)．(2)由cos B ＝1517，得sin B ＝817，故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac .又S △ABC ＝2，则ac ＝172. 由余弦定理及a ＋c ＝6得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )＝36－2×172×⎝⎛⎭⎫1＋1517＝4. 所以b ＝2. [方法技巧]三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化． [即时演练]1．(2018·太原一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则c 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D ∵S △ABC ＝12bc sin A ，∴3＝12×1×c ×32，∴c ＝4.2．(2018·陕西四校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝13. (1)求cos 2B ＋C2＋cos 2A 的值；(2)若a ＝3，求△ABC 面积的最大值．解：(1)cos 2B ＋C2＋cos 2A ＝1＋cos (B ＋C )2＋2cos 2A －1＝12－cos A 2＋2cos 2A －1 ＝12－12×13＋2×⎝⎛⎭⎫132－1 ＝－49.(2)由余弦定理可得(3)2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－23bc ≥2bc －23bc ＝43bc ，所以bc ≤94，当且仅当b ＝c ＝32时，bc 有最大值94.又cos A ＝13，A ∈(0，π)，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝⎛⎭⎫132＝223，于是△ABC 面积的最大值为12×94×223＝324.1．(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A ＝( )A.31010B.1010 C ．－1010D ．－31010解析：选C 法一：设△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则由题意得S △ABC ＝12a ·13a ＝12ac sin B ，∴c ＝23a .由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋29a 2－2×a ×23a ×22＝59a 2，∴b ＝53a .∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝59a 2＋29a 2－a 22×53a ×23a＝－1010.法二：如图，AD 为△ABC 中BC 边上的高．设BC ＝a ，由题意知AD ＝13BC ＝13a ，B ＝π4，易知BD ＝AD ＝13a ，DC ＝23a .在Rt △ABD 中，由勾股定理得， AB ＝⎝⎛⎭⎫13a 2＋⎝⎛⎭⎫13a 2＝23a .同理，在Rt △ACD 中，AC ＝ ⎝⎛⎭⎫13a 2＋⎝⎛⎭⎫23a 2＝53a . ∴cos A ＝59a 2＋29a 2－a 22×53a ×23a＝－1010.2．(2017·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________.解析：由正弦定理，得sin B ＝b sin Cc ＝6sin 60°3＝22，因为0°＜B ＜180°，所以B ＝45°或135°. 因为b ＜c ，所以B ＜C ，故B ＝45°，所以A ＝180°－60°－45°＝75°.答案：75°3．(2016·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C＝513，a ＝1，则b ＝________. 解析：因为A ，C 为△ABC 的内角，且cos A ＝45，cos C ＝513，所以sin A ＝35，sin C ＝1213，所以sin B ＝sin(π－A －C )＝sin(A ＋C ) ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝35×513＋45×1213＝6365.又a ＝1，所以由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝6365×53＝2113.答案：21134．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为a 23sin A. (1)求sin B sin C ；(2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长．解：(1)由题设得12ac sin B ＝a 23sin A ，即12c sin B ＝a 3sin A. 由正弦定理得12sin C sin B ＝sin A 3sin A .故sin B sin C ＝23.(2)由题设及(1)得cos B cos C －sin B sin C ＝－12，即cos(B ＋C )＝－12.所以B ＋C ＝2π3，故A ＝π3.由题设得12bc sin A ＝a 23sin A，即bc ＝8.由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝9，即(b ＋c )2－3bc ＝9，得b ＋c ＝33.故△ABC 的周长为3＋33.5．(2017·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin A ＋3cos A＝0，a ＝27，b ＝2.(1)求c ；(2)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积．解：(1)由已知可得tan A ＝－3，所以A ＝2π3.在△ABC 中，由余弦定理得28＝4＋c 2－4c cos 2π3，即c 2＋2c －24＝0. 解得c ＝4(负值舍去)． (2)由题设可得∠CAD ＝π2，所以∠BAD ＝∠BAC －∠CAD ＝π6.故△ABD 的面积与△ACD 的面积的比值为 12AB ·AD ·sin π612AC ·AD ＝1.又△ABC 的面积为12×4×2×sin 2π3＝23，所以△ABD 的面积为 3.6．(2016·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c .(1)求C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长．解：(1)由已知及正弦定理得2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C ，即2cos C sin(A ＋B )＝sin C ，故2sin C cos C ＝sin C .因为sin C ≠0，可得cos C ＝12，所以C ＝π3.(2)由已知得12ab sin C ＝332.又C ＝π3，所以ab ＝6.由已知及余弦定理得a 2＋b 2－2ab cos C ＝7，故a 2＋b 2＝13，从而(a ＋b )2＝25. 所以△ABC 的周长为5＋7.7．(2015·全国卷Ⅱ)△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，BD ＝2DC . (1)求sin Bsin C； (2)若∠BAC ＝60°，求B . 解：(1)由正弦定理，得AD sin B ＝BD sin ∠BAD ，AD sin C ＝DCsin ∠CAD . 因为AD 平分∠BAC ，BD ＝2DC ，所以sin B sin C ＝DC BD ＝12.(2)因为C ＝180°－(∠BAC ＋B )，∠BAC ＝60°，所以sin C ＝sin(∠BAC ＋B )＝32cos B ＋12sin B. 由(1)知2sin B ＝sin C ，所以tan B ＝33，所以B ＝30°.8．(2013·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋c sin B.(1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值．解：(1)由已知及正弦定理得sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B ． ① 又A ＝π－(B ＋C )，故sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ． ② 由①②和C ∈(0，π)得sin B ＝cos B. 又B ∈(0，π)，所以B ＝π4.(2)△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝24ac .由已知及余弦定理得4＝a 2＋c 2－2ac cos π4.又a 2＋c 2≥2ac ，故ac ≤42－2，当且仅当a ＝c 时，等号成立．因此△ABC 面积的最大值为24×42－2＝2＋1.一、选择题1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝1，b ＝3，A ＝30°，若B 为锐角，则A ∶B ∶C ＝( )A ．1∶1∶3B ．1∶2∶3C ．1∶3∶2D ．1∶4∶1解析：选B 因为a ＝1，b ＝3，A ＝30°，B 为锐角，所以由正弦定理可得sin B ＝b sin Aa ＝32，则B ＝60°，所以C ＝90°，则A ∶B ∶C ＝1∶2∶3. 2．如果将直角三角形三边增加相同的长度，则新三角形一定是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形D ．根据增加的长度确定三角形的形状解析：选A 设原来直角三角形的三边长是a ，b ，c 且a 2＝b 2＋c 2，在原来的三角形三条边长的基础上都加上相同的长度，设为d ，原来的斜边仍然是最长的边，故cos A ＝(b ＋d )2＋(c ＋d )2－(a ＋d )22(b ＋d )(c ＋d )＝2bd ＋2cd ＋d 2－2ad2(b ＋d )(c ＋d )>0，所以新三角形中最大的角是一个锐角，故选A.3．(2018·太原模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b 2＋c 2－a 2＝3bc ，且b ＝3a ，则下列关系一定不成立的是( )A ．a ＝cB ．b ＝cC ．2a ＝cD ．a 2＋b 2＝c 2解析：选B 由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝3bc 2bc ＝32，则A ＝30°.又b ＝3a ，由正弦定理得sin B ＝3sin A ＝3sin 30°＝32，所以B ＝60°或120°.当B ＝60°时，△ABC 为直角三角形，且2a ＝c ，可知C 、D 成立；当B ＝120°时，C ＝30°，所以A ＝C ，即a ＝c ，可知A 成立，故选B.4．在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ABC ＝90°，AB ＝2BC ＝2CD ，则cos ∠DAC ＝( )A.1010 B.31010C.55D.255解析：选B 如图所示，设CD ＝a ，则易知AC ＝5a ，AD ＝2a ，在△ACD 中，CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ×AC ×cos ∠DAC ，∴a 2＝(2a )2＋(5a )2－2×2a ×5a ×cos ∠DAC ，∴cos ∠DAC ＝31010. 5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且2S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C 等于( )A.34B.43 C ．－43D ．－34解析：选C 因为2S ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ，则由面积公式与余弦定理，得ab sin C ＝2ab cos C ＋2ab ，即sin C －2cos C ＝2，所以(sin C －2cos C )2＝4，即sin 2C －4sin C cos C ＋4cos 2C sin 2C ＋cos 2C ＝4，所以tan 2C －4tan C ＋4tan 2C ＋1＝4，解得tan C ＝－43或tan C ＝0(舍去)．6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足b 2＋c 2－a 2＝bc ，AB ―→·BC ―→>0，a ＝32，则b ＋c 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫1，32 B.⎝⎛⎭⎫32，32C.⎝⎛⎭⎫12，32D.⎝⎛⎦⎤12，32解析：选B 在△ABC 中，b 2＋c 2－a 2＝bc ，由余弦定理可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，∵A 是△ABC 的内角，∴A ＝60°. ∵a ＝32， ∴由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝c sin (120°－B )＝1， ∴b ＋c ＝sin B ＋sin(120°－B )＝32sin B ＋32cos B＝3sin(B ＋30°)．∵AB ―→·BC ―→＝|AB ―→|·|BC ―→|·cos(π－B )>0， ∴cos B <0，B 为钝角，∴90°<B <120°，120°<B ＋30°<150°，故sin(B ＋30°)∈⎝⎛⎭⎫12，32， ∴b ＋c ＝3sin(B ＋30°)∈⎝⎛⎭⎫32，32. 二、填空题7．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2c cos B ＝2a ＋b ，若△ABC 的面积S ＝32c ，则ab 的最小值为________．解析：将2c cos B ＝2a ＋b 中的边化为角可得2sin C cos B ＝2sin A ＋sin B ＝2sin C cos B ＋2sin B cos C ＋sin B ．则2sin B cos C ＋sin B ＝0，因为sin B ≠0，所以cos C ＝－12，则C ＝120°，所以S ＝12ab sin 120°＝32c ，则c ＝12ab .由余弦定理可得⎝⎛⎭⎫12ab 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ≥3ab ，则ab ≥12，当且仅当a ＝b ＝23时取等号，所以ab 的最小值为12.答案：128．(2017·浙江高考)已知△ABC ，AB ＝AC ＝4，BC ＝2.点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连接CD ，则△BDC 的面积是________，cos ∠BDC ＝________.解析：在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，BC ＝2，由余弦定理得cos ∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝42＋22－422×4×2＝14，则sin ∠ABC ＝sin ∠CBD ＝154，所以S △BDC ＝12BD ·BC sin ∠CBD ＝12×2×2×154＝152.因为BD ＝BC ＝2，所以∠CDB ＝12∠ABC ，则cos ∠CDB ＝ cos ∠ABC ＋12＝104.答案：1521049．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．解析：因为a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，所以(a ＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C . 由正弦定理得b 2＋c 2－bc ＝4，又因为b 2＋c 2≥2bc ，所以bc ≤4，当且仅当b ＝c ＝2时取等号，此时三角形为等边三角形，所以S ＝12bc sin 60°≤12×4×32＝3，故△ABC 的面积的最大值为 3. 答案： 3 三、解答题10．(2017·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a sin A ＝4b sin B ，ac ＝5(a 2－b 2－c 2)．(1)求cos A 的值； (2)求sin(2B －A )的值．解：(1)由a sin A ＝4b sin B ，及a sin A ＝bsin B，得a ＝2b . 由ac ＝5(a 2－b 2－c 2)及余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－55ac ac ＝－55.(2)由(1)，可得sin A ＝255，代入a sin A ＝4b sin B ，得sin B ＝a sin A 4b ＝55. 由(1)知，A 为钝角，所以cos B ＝1－sin 2B ＝255. 于是sin 2B ＝2sin B cos B ＝45，cos 2B ＝1－2sin 2B ＝35，故sin(2B －A )＝sin 2B cos A －cos2B sin A＝45×⎝⎛⎭⎫－55－35×255＝－255. 11．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a sin B ＝3b cos A . (1)求角A 的大小；(2)若a ＝7，b ＝2，求△ABC 的面积．解：(1)因为a sin B ＝3b cos A ，由正弦定理得sin A sin B ＝3sin B cos A . 又sin B ≠0，从而tan A ＝ 3. 由于0<A <π，所以A ＝π3.(2)法一：由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，及a ＝7，b ＝2，A ＝π3，得7＝4＋c 2－2c ，即c 2－2c －3＝0. 因为c >0，所以c ＝3.故△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝332.法二：由正弦定理，得7sinπ3＝2sin B ，从而sin B ＝217，又由a >b ，知A >B ，所以cos B ＝277. 故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝sin B cos π3＋cos B sin π3＝32114. 所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝332.12．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin B ·(a cos B ＋b cos A )＝3c cos B.(1)求B ；(2)若b ＝23，△ABC 的面积为23，求△ABC 的周长．解：(1)由正弦定理得，sin B (sin A cos B ＋sin B cos A )＝3sin C cos B ， ∴sin B sin(A ＋B )＝3sin C cos B ， ∴sin B sin C ＝3sin C cos B.∵sin C ≠0，∴sin B ＝3cos B ，即tan B ＝ 3. ∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3.(2)∵S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ＝23，∴ac ＝8.根据余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， ∴12＝a 2＋c 2－8，即a 2＋c 2＝20， ∴a ＋c ＝(a ＋c )2＝a 2＋2ac ＋c 2＝6， ∴△ABC 的周长为6＋2 3.1．在平面五边形ABCDE 中，已知∠A ＝120°，∠B ＝90°，∠C ＝120°，∠E ＝90°，AB ＝3，AE ＝3，当五边形ABCDE 的面积S ∈⎣⎡⎭⎫63，3334时，则BC 的取值范围为________．解析：因为AB ＝3，AE ＝3，且∠A ＝120°，由余弦定理可得BE ＝AB 2＋AE 2－2AB ·AE ·cos A ＝33，且∠ABE ＝∠AEB ＝30°. 又∠B ＝90°，∠E ＝90°，所以∠DEB ＝∠EBC ＝60°. 又∠C ＝120°，所以四边形BCDE 是等腰梯形．易得三角形ABE 的面积为934，所以四边形BCDE 的面积的取值范围是⎣⎡⎭⎫1534，63. 在等腰梯形BCDE 中，令BC ＝x ，则CD ＝33－x ，且梯形的高为3x2，故梯形BCDE 的面积为12·(33＋33－x )·3x 2，即15≤(63－x )x <24，解得3≤x <23或43<x ≤5 3. 答案：[3，23)∪(43，53]2.如图，有一直径为8 m 的半圆形空地，现计划种植果树，但需要有辅助光照．半圆周上的C 处恰有一可旋转光源满足果树生长的需要，该光源照射范围是∠ECF ＝π6，点E ，F 在直径AB 上，且∠ABC ＝π6.(1)若CE ＝13，求AE 的长；(2)设∠ACE ＝α，求该空地种植果树的最大面积．解：(1)由已知得△ABC 为直角三角形，因为AB ＝8，∠ABC ＝π6，所以∠BAC ＝π3，AC ＝4.在△ACE 中，由余弦定理得，CE 2＝AC 2＋AE 2－2AC ·AE cos A ，且CE ＝13，所以13＝16＋AE 2－4AE ，解得AE ＝1或AE ＝3.(2)因为∠ACB ＝π2，∠ECF ＝π6，所以∠ACE ＝α∈⎣⎡⎦⎤0，π3，所以∠AFC ＝π－∠BAC －∠ACF ＝π－π3－⎝⎛⎭⎫α＋π6＝π2－α，在△ACF 中，由正弦定理得CF sin ∠BAC ＝AC sin ∠AFC ＝AC sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝AC cos α，所以CF ＝23cos α，在△ACE 中，由正弦定理得CE sin ∠BAC ＝AC sin ∠AEC ＝ACsin ⎝⎛⎭⎫π3＋α，所以CE ＝23sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α，所以S △ECF ＝12CE ·CF sin ∠ECF ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π3＋αcos α＝122sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＋3.因为α∈⎣⎡⎦⎤0，π3，所以π3≤2α＋π3≤π，所以0≤sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3≤1，所以当sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝0，即α＝π3时，S △ECF 取得最大值为4 3. 即该空地种植果树的最大面积为4 3 m 2. 高考研究课(二)正、余弦定理的3个应用点——高度、距离和角度 [全国卷5年命题分析]考点考查频度考查角度高度问题 5年1考测量山高问题距离问题未考查角度问题未考查测量高度问题[典例] 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m.[解析] 由题意，在△ABC 中，∠BAC ＝30°， ∠ABC ＝180°－75°＝105°，故∠ACB ＝45°. 又AB ＝600 m ，故由正弦定理得600sin 45°＝BC sin 30°，解得BC ＝300 2 m. 在Rt △BCD 中， CD ＝BC ·tan 30°＝3002×33＝100 6(m)． [答案] 100 6 [方法技巧]利用正、余弦定理求解高度问题应注意的3个方面(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键．(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题． [即时演练]1.要测量底部不能到达的电视塔AB 的高度，在C 点测得塔顶A 的仰角是45°，在D 点测得塔顶A 的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD ＝120°，CD ＝40 m ，则电视塔的高度为( )A ．10 2 mB ．20 mC ．20 3 mD ．40 m解析：选D 设电视塔的高度为x m ，则BC ＝x ，BD ＝3x .在△BCD 中，根据余弦定理得3x 2＝x 2＋402－2×40x ×cos 120°，即x 2－20x －800＝0，解得x ＝40或x ＝－20(舍去)．故电视塔的高度为40 m.2.如图，为测得河岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10 m 到位置D ，测得∠BDC ＝45°，则塔AB 的高是________m.解析：在△BCD 中，CD ＝10，∠BDC ＝45°， ∠BCD ＝15°＋90°＝105°，∠DBC ＝30°，由正弦定理得，BC sin 45°＝CDsin 30°，所以BC ＝CD sin 45°sin 30°＝10 2.在Rt △ABC 中，tan 60°＝ABBC ，AB ＝BC tan 60°＝106(m)．答案：10 6测量距离问题[典例]侧，且B 点不可到达，要测出A ，B 的距离，其方法在A 所在的岸边选定一点C ，可以测出A ，C 的距离m ，再借助仪器，测出∠ACB ＝α，∠CAB ＝β，在△ABC 中，运用正弦定理就可以求出AB .若测出AC ＝60 m ，∠BAC ＝75°，∠BCA ＝45°，则A ，B 两点间的距离为________m. [解析] ∵∠ABC ＝180°－75°－45°＝60°， ∴由正弦定理得，AB sin C ＝ACsin B，∴AB ＝AC ·sin C sin B ＝60×sin 45°sin 60°＝206(m)．即A ，B 两点间的距离为20 6 m. [答案] 20 6 [方法技巧]求距离问题的2个注意事项(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理． [即时演练]1.如图所示，要测量一水塘两侧A ，B 两点间的距离，其方法先选定适当的位置C ，用经纬仪测出角α，再分别测出AC ，BC 的长b ，a ，则可求出A ，B 两点间的距离．即AB ＝a 2＋b 2－2ab cos α.若测得CA ＝400 m ，CB ＝600 m ，∠ACB ＝60°，则AB 的长为________m. 解析：在△ABC 中，由余弦定理得 AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos ∠ACB ，∴AB 2＝4002＋6002－2×400×600cos 60°＝280 000. ∴AB ＝200 7 (m)．即A ，B 两点间的距离为200 7 m. 答案：200 72.隔河看两目标A 与B ，但不能到达，在岸边选取相距 3 km 的C ，D 两点，同时，测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°(A ，B ，C ，D 在同一平面内)，求两目标A ，B 之间的距离．解：在△ACD 中，∠ACD ＝120°， ∠CAD ＝∠ADC ＝30°，所以AC ＝CD ＝ 3.在△BCD 中，∠BCD ＝45°，∠BDC ＝75°，∠CBD ＝60°，由正弦定理知BC ＝3sin 75°sin 60°＝6＋22. 在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos ∠ACB ＝(3)2＋⎝⎛⎭⎪⎫6＋222－2×3×6＋22×cos 75°＝3＋2＋3－3＝5，所以AB ＝ 5 ，所以A ，B 两目标之间的距离为 5 km.角度问题[典例] (2018·南昌模拟)如图所示，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C 处的乙船，乙船立即朝北偏东θ＋30°角的方向沿直线前往B 处营救，则sin θ的值为( )A.217 B.22C.32D.5714[解析] 如图，连接BC ，在△ABC 中，AC ＝10，AB ＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AB ·AC ·cos 120°＝700，∴BC ＝107，再由正弦定理，得BC sin ∠BAC ＝ABsin θ，∴sin θ＝217. [答案] A [方法技巧]解决测量角度问题的3个注意点(1)明确方向角的含义．(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步．(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用． [即时演练]1.如图，两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站南偏西40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东80°D ．南偏西80°解析：选D 由条件及图可知，∠A ＝∠B ＝40°，又∠BCD ＝60°，所以∠CBD ＝30°，所以∠DBA ＝10°，因此灯塔A 在灯塔B 南偏西80°.2.如图，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，求cos θ的值．。

新高考数学(理)之三角函数与解三角形专题07 三角函数的最值与综合应用(解析版)

新高考数学（理）三角函数与平面向量07 三角函数的最值与综合应用一、具体目标：会求正弦函数、正弦型函数的值域与最值，会求余弦函数、余弦型函数的值域与最值，会求正切函数的值域与最值，会利用三角函数的性质与最值求待定参数的值域. 二、知识概述：1.正弦函数的图象与性质：性质sin y x =图象定义域 R值域 []1,1-最值当()22x k k Z ππ=+∈时，max 1y =；当()22x k k Z ππ=-∈时，min 1y =-．周期性 2π奇偶性()sin sin x x -=-,奇函数单调性在()2,222k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上是增函数；在()32,222k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦上是减函数．对称性对称中心()(),0k k Z π∈对称轴()2x k k Z ππ=+∈，既是中心对称又是轴对称图形。

余弦函数的图象与性质：性质cos y x =【考点讲解】图象定义域 R值域 []1,1-最值当()2x k k Z π=∈时，max 1y =；当()2x k k Z ππ=+∈时，min 1y =-．周期性 2π奇偶性 ()cos cos x x -=偶函数单调性在[]()2,2k k k Z πππ-∈上是增函数；在π[]()2,2k k k Z πππ+∈上是减函数．对称性对称中心(),02k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭.对称轴()x k k Z π=∈，既是中心对称又是轴对称图形。

正切函数：性质 tan y x =图象定义域 ,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭值域 R最值既无最大值，也无最小值周期性 π奇偶性()tan tan x x -=-奇函数单调性在(),22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭上是增函数．对称性对称中心(),02k k Z π⎛⎫∈⎪⎝⎭无对称轴，是中心对称但不是轴对称图形。

2017届高三数学-解三角形-专题练习-答案

2）因为3⋅=，BA BC=）可知cos Bac2017届高三数学专题练习解三角形解析【重点把关】1．解析：由正弦定理可得sin A===．因为a=<b=，所以0<A<，所以A=，故选B．2．解析：已知等式利用正弦定理化简得=，即c2-b2=ac-a2，所以a2+c2-b2=ac，所以cos B==，因为B为三角形的内角，所以B=．故选C．3．解析：因为bcos B=acos A，所以sin Bcos B=sin Acos A，所以sin 2A=sin 2B，所以A=B或2A+2B=180°，即A=B或A+B=90°，即△ABC为等腰或直角三角形，故选C．4．解析：因为△ABC中，asin Asin B+bcos2A=a，所以根据正弦定理，得sin2Asin B+sin Bcos2A=sin A，可得sin B(sin2A+cos2A)=sin A，因为sin2A+cos2A=1，所以sin B=sin A，可得=．故选C．5．解析：因为在锐角△ABC中，sin A=，S△ABC=，所以bcsin A=bc×=，所以bc=3，①又a=2，A是锐角，所以cos A==，由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A，即(b+c)2=a2+2bc(1+cos A)=4+6(1+)=12，所以b+c=2，②由①②得解得b=c=．故选A．6．解析：因为b2+c2+bc-a2=0，所以cos A==-，所以A=120°．由正弦定理可得====．故选B．7．解析：因为82+52-2×8×5×cos(π-D)=32+52-2×3×5×cos D⇒cos D=-，所以AC==7．答案：78．解析：因为∠A=60°，所以∠BOC=120°．又·=-，设△ABC外接圆半径为R，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，所以·=R2·cos∠BOC=-．所以R=1．由正弦定理得，=2R，所以a=2×sin 60°=．由余弦定理得，a2=b2+c2-2bccos A，即3=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc≥(b+c)2-3×()2，所以b+c≤2，所以a+b+c≤3，即三角形ABC周长的最大值为3．答案：39．【能力提升】10．解析：依题意可知1-cos Acos B-cos2=0，因为cos2===，所以1-cos Acos B-=0，整理得cos(A-B)=1，所以A=B，所以三角形为等腰三角形．故选B．11．解析：因为BD=2DC，所以设CD=x，AD=y，则BD=2x，因为cos ∠DAC=，cos C=，所以sin ∠DAC=，sin C=，则由正弦定理得=，即=，即y=x，sin ∠ADB=sin(∠DAC+∠C)=×+×=，则∠ADB=，∠ADC=，在△ABD中，AB2=BD2+AD2-2AD·BDcos ，即2=4x2+2x2-2×2x×x×=2x2，即x2=1，解得x=1，即BD=2，CD=1，AD=，在△ACD中，AC2=AD2+CD2-2AD·CDcos =2+1-2××(-)=5，即AC=．答案：。

高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析

高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析1.已知函数。

(Ⅰ)求的最小正周期;(Ⅱ)把的图像向右平移个单位后，在是增函数，当最小时，求的值【答案】（I)…………………4分∴…………………6分(II) …………………8分单调递增区间为周期为，则，，…………………10分当最小时，。

【解析】略2.若函数的图像向右平移个单位后所的图像关于轴对称，则的值可以是（）A．7B．8C．9D．10【答案】B【解析】化简后得，向右平移个单位后得到的函数是，关于轴对称，所以当时，函数取得最值，所以，那么，所以时，．【考点】1．三角函数的化简；2．三角函数的性质；3三角函数的图像变换．3.已知函数的图象与y轴交于P，与x轴的相邻两个交点记为A，B，若△PAB的面积等于π，则ω＝________．【答案】【解析】由题意得：，因此【考点】三角函数性质4.把函数图象上各点向右平移个单位，得到函数的图象，则的最小值为．【答案】【解析】，平移后的解析式为，所以，故有的最小值为．【考点】函数图像的平移，倍角公式，辅助角公式．5.已知，，且，，则的值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据，可知，所以，结合，从而求得，根据和角公式，可知，所以有，从而有，从而得到只有符合题意，故选C．【考点】已知函数值求角．6.若函数f（x）＝sin（φ∈[0，2π]）是偶函数，则φ＝（）A．B．C．D．【答案】C【解析】函数f（x）是偶函数，所以f（0）=1或-1，所以．又因φ∈[0，2π]，所以，k=0时，．故选C．【考点】由函数的奇偶性求参数值．7.若，，则的值为．【解析】把已知条件的等式两边都乘以，得到关于的方程，求出方程的解，根据的范围即可得到满足题意的值，然后把所求的式子利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，再利用同角三角函数间的基本关系把分母中“1”化为正弦与余弦函数的平方和的形式，分子利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，然后给分子分母都除以，变为关于的关系式，把求出的的值，然后根据条件计算即可．或，，．【考点】两角和的正弦函数公式；同角三角函数间的基本关系化简求值；二倍角8.（本题满分12分）已知，,函数．（1）求的最小正周期，并求其图像对称中心的坐标；（2）当时，求函数的值域．【答案】（1）的最小正周期为，其对称中心的坐标为（）（）；（2）的值域为．【解析】（1）先用降幂公式和辅助角公式，将进行化简整理得到，然后根据正弦函数的周期公式可得函数的最小正周期，进而求出函数的零点，即为函数的图像对称中心的坐标；（2）根据可得到，最后结合正弦函数的图像与性质可得函数的值域．试题解析：（1）因为=，所以的最小正周期为，令，得，∴故所求对称中心的坐标为（）（）．（2）∵，∴，∴，即的值域为．【考点】1、三角函数中的恒等变换；2、三角函数的周期性及其求法；3、正弦函数的图像及其性质．【方法点晴】本题考查了三角函数中的恒等变换、三角函数的周期性及其求法和正弦函数的图像及其性质，重点考查学生对三角函数的基本概念、基本性质和基本原理，属中档题．解决这类问题最关键的一步是运用降幂公式、倍角公式及三角函数的和差公式等将函数的表达式化简为同角的正弦或余弦形式．因此需要大家应熟练掌握相关公式并结合三角函数的图像及其性质进行求解．9.在△ABC中，内角的对边分别为，已知，且，角为锐角．（1）求角的大小；（2）若，且△ABC的面积为，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）首先运用正弦定理即可将已知等式转化为只函数角的正弦和余弦的形式，然后运用两角和或差的正弦和余弦公式即可得到，再结合三角形的内角和为即可得出，最后结合已知即可得出角的大小；（2）由（1）并结合三角形的面积公式可得出的值，再由余弦定理的计算公式即可得出的值．试题解析：（1）由正弦定理得，即，即有，即, 又，所以，因为角为锐角，所以．（2）由（1）得，所以，所以，又，由余弦定理可得：，所以．【考点】1、正弦定理的应用；2、余弦定理的应用．【方法点睛】本题以三角形为背景，主要考查三角恒等变形、正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，属中档题．对于第一问的解题的关键是能够熟练运用正弦定理将已知的边角等式关系转化为角角关系或边边关系；对于第二问的解题的关键是应注意三角形的面积公式的正确使用．10.已知，则＝_______________．【答案】【解析】由余弦函数的周期性知函数的周期为4，且，所以…＝．【考点】周期函数．11.对于函数，现有下列命题：①函数是奇函数；②函数的最小正周期是；③点是函数的图象的一个对称中心；④函数在区间上单调递增，其中是真命题的为（）A．②④B．①④C．②③D．①③【答案】B【解析】因为，所以函数是奇函数，故①正确；因为，，，故②错；因为，，，故③错；因为，当时，，，所以，所以函数在区间上单调递增，故④正确，故选B．【考点】1、命题真假的判定；2、函数的奇偶性；3、利用导数研究函数的单调性；4、函数的图象与性质．12.将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】将函数的图象沿轴向左平移个单位得，又是一个偶函数，所以，根据选项可知的一个可能取值为，故选B.【考点】三角函数的图像.13.已知函数f（x）＝sin＋sin－2cos2x．（1）求函数f（x）的值域及最小正周期；（2）求函数y＝f（x）的单调增区间．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）根据两角和差的正弦公式及二倍角公式的变形可得：，再根据辅助角公式得：，所以可得函数值域及周期；（2）根据正弦型函数的性质，令，可解得函数单增区间．试题解析：（1）f（x）＝sin2x＋cos2x＋sin2x－cos2x－（cos2x＋1）＝2－1＝2sin－1．由－1≤sin≤1得，－3≤2sin－1≤1．可知函数f（x）的值域为[－3，1]．且函数f（x）的最小正周期为π．（2）由2kπ－≤2x－≤2kπ＋（k∈Z）解得，kπ－≤x≤kπ＋（k∈Z）．所以y＝f（x）的单调增区间为[kπ－，kπ＋]（k∈Z）．【考点】1、正弦定理；2、三角形的面积公式；3、两角差的正弦公式．14.（2014•朝阳区校级一模）函数是（）A．非奇非偶函数B．仅有最小值的奇函数C．仅有最大值的偶函数D．既有最大值又有最小值的偶函数【答案】D【解析】利用函数的奇偶性的定义判断后，再利用升幂公式，将f（x）化为f（x）=2﹣，利用余弦函数的性质与二次函数的性质即可求得答案．解：∵f（x）=cos2x+cosx，f（﹣x）=cos（﹣2x）+cos（﹣x）=cos2x+cosx=f（x），∴f（x）=cos2x+cosx是偶函数；又f（x）=cos2x+cosx=2cos2x+cosx﹣1=2﹣，当cosx=1时，f（x）取得最大值2；当cosx=﹣时，f（x）取得最小值﹣；故选：D．【考点】三角函数中的恒等变换应用．15.（2015秋•锦州校级期中）在△ABC中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，若，则角C的值为（）A．B．C．或D．或【答案】A【解析】利用余弦定理表示出cosC，将已知等式代入求出cosC的值，即可确定出C的度数．解：∵△ABC中，a2+b2﹣c2=ab，∴cosC==，则C=，故选：A．【考点】余弦定理．16.已知函数的最小正周期为，且，则的一个对称中心坐标是A．B．C．D．【答案】A【解析】由的最小正周期为，得．因为，所以，由，得，故．令，得，故的对称中心为，当时，的对称中心为，故选A．【考点】三角函数的图像与性质．17.已知直线与圆相交于，两点，设，分别是以，为终边的角，则（）A．B．C．D．【答案】D．【解析】作直线的中垂线，交圆于，两点，再将轴关于直线对称，交圆于点，则，如图所示，，而，故，故选D．【考点】1．直线与圆的位置关系；2．三角恒等变形．18.已知，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，，解得：，从而．故选C．【考点】1．三角函数的和角公式；2．倍角公式；3．同角三角函数的基本关系式．19.的内角所对的边分别为，已知，.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】（1）由正弦定理，将条件转化为边的关系，又，有，再利用余弦定理得的值（2）首先由同角三角函数关系得，再利用二倍角公式得，，最后根据两角差的余弦公式得的值.试题解析：解：（1）在三角形中，由及，可得，又，有，所以.（2）在三角形中，由，可得，于是，，所以.【考点】正余弦定理，同角三角函数关系，二倍角公式20.已知函数的最小正周期为，把的图象向左平移个单位，得到函数的图象．则的解析式为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，因为最小正周期，，把的图象向左平移个单位，得到函数，故选C.【考点】三角函数的图象与性质.21.如图，在梯形中，已知，，，，.求：（1）的长；（2）的面积.【答案】（1）（2）【解析】（1）在三角形ADC中，已知两角和一边，求一边，应用正弦定理求解：先利用三角形内角和为，以及两角和正弦公式求CD对应角的正弦值，再根据正弦定理解出CD（2）在三角形BDC中，已知BD，CD，以及由平行条件得的正切值，进而可求其余弦值，再由余弦定理得BC，最后根据三角形面积公式得试题解析：（1）因为，所以．所以，在△中，由正弦定理得．（2）因为，所以．在△中，由余弦定理，得，解得，所以.【考点】正余弦定理22.在中，角所对的边分别为.若，且，则的最大值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由得，又，由，得，所以，，所以当时，取得最大值，且为.【考点】正弦定理、诱导公式、二倍角公式、二次函数最值．【思路点睛】本题主要考查正弦定理、三角函数恒等变换及二次函数的应用，综合性较强.通过边角互化，将转化为，可得，由诱导公式，结合，可进而得出，故，由知，当时，取得最大值，且为.23.已知函数的定义域为，值域为，则的值不可能是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】当函数在是单调函数时有最小值，当函数在不是单调函数时有最大值，所以的取值范围为.故选A.【考点】1、三角函数的图象和性质；2、三角函数的最值.24.选修4-1：几何证明选讲中，，，，，点在上，且．求证：（I）；（II）．【答案】（I）详见解析（II）详见解析【解析】（I）条件为比例关系时，多往三角形相似上化简：易得，因此，从而．（II）同（I）条件为比例关系时，多往三角形相似上化简：易得，因此，从而试题解析：证明：设，则，．（I），．又为公共角，故，由，，．（II）由（I）得，故，，．，，．【考点】三角形相似25.为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气候仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气候观测，如图所示，三地位于同一水平面上，这种仪器在地进行弹射实验，观测点两地相距100米，，在地听到弹射声音的时间比地晚秒，在地测得该仪器至最高点处的仰角为.（1）求两地的距离；（2）求这种仪器的垂直弹射高度（已知声音的传播速度为340米/秒）.【答案】（1）420米；（2）米．【解析】（1）先利用在地听到弹射声音的时间比地晚秒设出和AC，再利用余弦定理进行求解；（2）利用是直角三角形和正弦定理进行求解．试题解析：（Ⅰ）设，由条件可知在中，由余弦定理，可得，即，解得所以（米）故两地的距离为420米．（Ⅱ）在中，米，由正弦定理，可得，即所以（米），故这种仪器的垂直弹射高度为米．【考点】1.正弦定理；2.余弦定理；3.解直角三角形．26.在中，角的对边分别为，若成等差数列，且.（1）求角；（2）求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用三角形内角和为可将化为只有角与角的式子，进而利用两角和的正弦公式化简得到角；（2）利用成等差数列及正弦定理可得三角形三边的关系，再利用第一问中的角和余弦定理即可得到的值.试题解析：（1）由可得，由可得，又，所以，所以；（6分）（2）由成等差数列及正弦定理可得，所以①由余弦定理可得，所以②把①代入②并整理可得，又,∴，即.（12分）【考点】两角和与差三角恒等变换公式、正余弦定理的应用、等差数列的概念．27.已知函数，将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，则函数的一个单调递增区间为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得，再将所得函数图象向右平移个单位，得，，，得，，所以符合．故应选B．【考点】1、三角函数的平移变换；2、正弦函数的单调性.28.如图,在四边形中,.（1）求；（2）求及的长.【答案】（1）（2），【解析】（1）因为，所以利用二倍角余弦公式得，解得（2）在等腰中，由余弦定理得,或利用直角三角形为与交点.在中，利用正弦定理得,而，利用两角和正弦公式可得试题解析：（1）.（2）,由正弦定理得：,在等腰中,,由余弦定理得：,即（负根舍去）,（或由亦可求得）.【考点】二倍角公式，正余弦定理【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.29.函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图，则其解析式为__________________．【答案】【解析】由图象可知：A=1，…可得：T=2×（﹣）=π=，∴解得：ω=2，…∵函数的图象经过（，1），∴1=sin（2×+φ），∵φ=2kπ+，|φ|＜，∴φ=…∴函数的解析式y=sin（2x+）．30.将函数的图象向左平移个单位,再将所有点的横坐标伸长到原来的倍,得到函数的图象,则函数的图象与直线轴围成的图形面积为（）A．B．C．D．以上都不对【答案】C【解析】的图象向左平移个单位得到的图象，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数g（x）=2sinx的图象，所以函数g（x）=2sinx与直线,x轴所围成的图形面积为S=.【考点】三角函数的图象变换，微积分基本定理．31.若，，则角的终边在______象限.【答案】第四【解析】，所以为第四象限角.【考点】三角恒等变换．【思路点晴】要判断一个角终边所在象限，需要我们判断其正弦值和余弦值的正负.本题中，知道了半角的三角函数值，我们就利用半角的函数值求出单倍角的函数值，由单倍角的函数值我们就可以判断出角的终边所在的象限了.在利用二倍角公式的过程中，有，也可以有，只要角的倍数是两倍的关系就可以.32.若函数的最小正周期为，则的值是 .【答案】【解析】【考点】三角函数周期【方法点睛】已知函数的图象求解析式(1).(2)由函数的周期求(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.33.若函数的部分图象如图所示，则关于描述中正确的是（）A．在上是减函数B．在上是减函数C．在上是增函数D．在上是增函数【答案】C.【解析】由题意得，，，又∵过最高点，∴，，不妨取，∴，∴，从而可知C正确，故选C.【考点】三角函数的图象和性质.34.的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，化简得，即.【考点】三角恒等变换．35.已知中，分别是角所对的边，若，则角的大小为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由已知和正弦定理得展开化简得，由于为三角形内角，所以,所以，，选C.【考点】1.正弦定理；2.两角和的正弦公式；3.已知三角函数值求角.36.已知函数的三个零点成等比数列，则．【答案】【解析】设函数在区间上的三个零点从小到大位次为，又因为三个零点成等比数列，则，解之得，，，所以，．【考点】三角函数的图象与性质，等比数列的性质，对数运算．【名师】本题考查三角函数的图象与性质、等比数列的性质、对数运算法则，属中档题．把等比数列与三角函数的零点有机地结合在一起，命题立意新，同时考查数形结合基本思想以及学生的运算能力、应用新知识解决问题的能力，是一道优质题．37.（原创）已知，其导函数的部分图象如图所示，则下列对的说法正确的是（）A．最大值为4且关于直线对称B．最大值为4且在上单调递增C．最大值为2且关于点中心对称D．最大值为2且在上单调递减【答案】A【解析】由，得，由图可得，，即，得，，将点代入得，得，故最大值为，故关于直线对称，故选A．【考点】（1）三角函数的图象；（2）三角函数的性质．38.已知中，分别为内角所对的边长，且，则的面积为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题设可得,则,所以．由余弦定理可得,即,解之得,所以,故应选C．【考点】1．三角变换公式；2．余弦定理的应用；3．三角形的面积公式．【方法点晴】本题设置的目的是考查三角变换中两角和的正切公式,余弦定理,三角形的面积公式等基础知识和基本方法．解答时先依据题设中的求出,继而求出和,再运用余弦定理求出边,最后应用三角形的面积公式求该三角形的面积为．39.在中，内角对应的边分别为，若，则角等于（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°【答案】C【解析】由于，故为.【考点】解三角形．40.已知顶点在单位圆上的△，角，，所对的边分别是，，，且．（1）求的值；（2）若，求的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由正弦定理可得：；（2）由，由，．试题解析：（1）因为，由正弦得，，所以．因为，且，所以．（2）由，得，由，得，，所以．因为，所以，即，所以．【考点】1、解三角形；2、三角恒等变换．41.已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，是角终边上的一点，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为是角终边上的一点，所以，所以＝，故选C.【考点】1、任意角的三角函数的定义；2、两角和的正切函数.42.若，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由得，故，故选C.【考点】（1）诱导公式；（2）两角差的正弦.43.在中，，，，则的角平分线的长为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由余弦定理得，再由角平分线定理得,最后根据余弦定理得,选C.【考点】余弦定理44.在中，角所对的边分别为，已知，，为的外接圆圆心. （1）若，求的面积；（2）若点为边上的任意一点，，求的值.【答案】（1）（2）【解析】（1）根据三角形面积公式，只需由求，这只需根据同角三角函数关系及三角形内角范围可求，（2）根据向量减法由得，再根据向量投影得，因此由得，即，最后根据正弦定理得试题解析：(1)由得，∴．(2)由，可得，于是，即，①又O为△ABC的的外接圆圆心，则，=，②将①代入②得到解得．由正弦定理得，可解得．【考点】向量投影，正弦定理【思路点睛】三角函数和平面向量是高中数学的两个重要分支，内容繁杂，且平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题，都会出现交汇问题中的难点，对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解.45.的部分图象如图所示，把的图象向右平移个单位长度得到的图象，则的单调递增区间为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析:由题设所提供的图象信息可得，即，将代入可得，即，则，所以，向右平移后可得，由可得，即,故函数的单调递增区间是，应选C.【考点】正弦函数的图象和性质及综合运用.【易错点晴】三角函数的图象和性质是中学数学中的重要内容和工具,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.本题以函数的解析式所对应的图象为背景,考查的是正弦函数的图象和性质及数形结合的数学思想等有关知识和方法的综合运用.解答本题时要充分利用题设中提供的条件信息和图形信息,求出,进而确定函数解析式,然后借助平移求出,然后确定其单调递增区间,从而使得问题获解.46.在中，角，，的对边分别为，，，已知，，且．（1）求角的大小；（2）求的面积．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由，化简题设条件得，求得，即可求解角的值；(2)由余弦定理得，得到，再由条件，可化简求得，即可求解三角形的面积．试题解析：（1）∵，由，得，∴，整理得，解得，∵，∴．（2）由余弦定理得，即，∴，由条件，得，解得，∴．【考点】余弦定理及三角恒等变换．47.已知为锐角，若，则．【答案】【解析】试题分析:由于,因为锐角，若,故,所以,故应填答案.【考点】诱导公式及正弦二倍角公式的综合运用．【易错点晴】三角变换是高中数学的重要内容之一,也是高考必考的重要考点.本题以锐角满足的等式为背景,考查的是诱导公式和三角变换中的变角的技巧.变角是三角变换的精髓,也解决问题的难点,本题先用诱导公式将化为,进而运用倍角公式化为,从而使得问题巧妙获解,体现了角变换的要义.48.已知中，角，，的对边分别为，，，且.（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）的取值范围是.【解析】（1）由正弦定理化简已知，整理可得：，由余弦定理可得，结合范围即可得解的值.（2）由正弦定理可得，，又，则求得的范围即可得解的取值范围试题解析：（Ⅰ）根据正弦定理可得，即，即，根据余弦定理得，所以.（Ⅱ）根据正弦定理，所以，,又,所以，因为，所以，所以，所以，即的取值范围是.【考点】正弦定理，余弦定理49.已知，且，则．【答案】【解析】由题可知，因为所以，则，故，则，故答案为.【考点】1、同角三角函数之间的关系；2、两角和的正切公式及二倍角的正切公式.50.在△中，角，，的对边分别为，，，且满足条件，，则△的周长为．【答案】【解析】中，即又，解得，其中为外接圆半径；，解得，，，的周长为，故答案为.【考点】1、正弦定理和余弦定理；2、诱导公式及两角和的余弦公式.【方法点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理、诱导公式及两角和的余弦公式，属于难题.以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．51.函数的图象可由函数的图象至少向右平移个单位长度得到．【答案】【解析】,故应至少向右平移个单位.【考点】1、三角恒等变换；2、图象的平移.52.在中，角所对边分别为，已知向量，且．（1）求角的大小；（2）若，求的周长的最大值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）；（2）由（1）及的周长的最大值．试题解析：（1）因为，所以，即，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分故．．．．．．．．．．．．．．．．．4分又，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）由（1）及，得，所以，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分所以，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分故的周长的最大值．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分【考点】1、解三角形；2、基本不等式.53.在中，分别为角的对边，已知且，则__________．【答案】1【解析】由射影定理,可得a=2b=2,解得b=1【点睛】对于解三角形问题，一般利用正余弦定理，统一边或统一角做，同时要注意使用身影定理。

三角函数、三角恒等变换、解三角形(含答案)

三角函数、三角恒等变换、解三角形学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．已知1sin 2α=，则cos()2πα-=（）A. 2-B. 12-C. 12D. 2 2．200︒是（）A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角3．已知()1cos 03ϕϕπ=-<<，则sin 2ϕ=（）A.9B.9-C.9D.9-4．函数 )321sin(π+=x y 的图像可由函数x y 21sin =的图像（） A ．向左平移32π个单位得到 B ．向右平移3π个单位得到C ．向左平移6π个单位得到 D ．向左平移3π个单位得到5．函数5sin(2)2y x π=+图像的一条对称轴方程是（） A ．2π-=x B ． 4π-=x C ． 8π=x D ．45π=x6．函数())24x f x π=-,x R ∈的最小正周期为（）A ．2πB ．πC ．2πD ．4π7．给出以下命题：①若α、β均为第一象限角，且βα>，且βαsin sin >；②若函数⎪⎭⎫⎝⎛-=3cos 2πax y 的最小正周期是π4，则21=a ； ③函数1sin sin sin 2--=x xx y 是奇函数；④函数1|sin |2y x =-的周期是π； ⑤函数||sin sin x x y +=的值域是]2,0[. 其中正确命题的个数为（）A ． 3B ． 2C ． 1D ． 0 8．函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图像如图示，则将()y f x =的图像向右平移6π个单位后，得到的图像解析式为（）A ．x y 2sin = B.x y 2cos = C.)322sin(π+=x y D.)62sin(π-=x y 9．函数()sin 2f x x =的最小正周期是．10．300tan 480sin +的值为________.11．在ABC ∆中，已知内角3A π=，边BC =，则ABC ∆的面积S 的最大值为．12．比较大小：sin1 cos1(用“>”,“<”或“=”连接).13．已知角α的顶点在坐标原点，始边在x 轴的正半轴，终边经过点(1,,则cos ____.α=14．已知3cos()(,)41024x x πππ-=∈. （Ⅰ）求sin x 的值；（Ⅱ）求sin(2)3x π+的值.15．已知x x x x x f 424cos 3)cos (sin sin 3)(-++=.（1）求()f x 的最小值及取最小值时x 的集合；（2）求()f x 在[0,]2x π∈时的值域；（3）在给出的直角坐标系中，请画出()f x 在区间[,]22ππ-上的图像（要求列表，描点）．16．已知3cos()(,)424x x πππ-=∈. （1）求sin x 的值；（2）求sin(2)3x π+的值.17．（1）化简：︒--︒︒︒-20sin 1160sin 20cos 20sin 212；（2）已知α为第二象限角，化简ααααααcos 1cos 1sin sin 1sin 1cos +-++-.18．函数（其中）的图象如图所示，把函数)(x f 的图像向右平移4π个单位，再向下平移1个单位，得到函数)(x g y =的图像.（1）若直线m y =与函数)(x g 图像在]2,0[π∈x 时有两个公共点，其横坐标分别为21,x x ，求)(21x x g +的值；（2）已知ABC ∆内角AB C 、、的对边分别为a b c 、、，且0)(,3==C g c .若向量(1,sin )m A = 与(2,sin )n B =共线，求a b 、的值．19．已知函数()4cos sin()16f x x x π=+-.（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间[,]64ππ-上的最大值与最小值.参考答案1．C 【解析】试题分析：由1cos()sin 22παα-==，故选C. 考点：诱导公式. 2．C 【解析】试题分析：因为第一象限角α的范围为36036090,k k k z α⋅<<⋅+∈ ; 第二象限角α的范围为36090360180,k k k z α⋅+<<⋅+∈ ; 第三象限角α的范围为360180360270,k k k z α⋅+<<⋅+∈ ; 第四象限角α的范围为360270360360,k k k z α⋅+<<⋅+∈ ；200∴︒是第三象限角，故选C.考点：象限角的概念. 3．D 【解析】试题分析：0ϕπ<< ，sin 0ϕ∴>，故sin ϕ===，因此sin 2ϕ=12sin cos 2339ϕϕ⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭，故选D. 考点：1.同角三角函数的基本关系；2.二倍角公式4．A 【解析】试题分析：因为1sin()23y x π=+可化为12sin ()23y x π=+.所以将x y 21sin =向左平移32π.可得到12sin ()23y x π=+.故选 A.本小题关键是考查1ω≠的三角函数的平移，将0x ωϕ+=时的x 的值，与0x =是对比.即可知道是向左还是向右，同时也可以知道移了多少单位.考点：1.三角函数的平移.2.类比的思想. 5．A 【解析】试题分析：5sin(2)sin(22)sin(2)cos 2222y x x x x ππππ=+=++=+= ，由c o s y x =的对称轴()x k k Z π=∈可知，所求函数图像的对称轴满足2()x k k Z π=∈即()2k x k Z π=∈，当1k =-时，2x π=-，故选A. 考点：1.三角函数图像与性质中的余弦函数的对称性；2.诱导公式. 6．C 【解析】试题分析：这是三角函数图像与性质中的最小正周期问题，只要熟悉三角函数的最小正周期的计算公式即可求出，如sin(),cos()y A x k y A x k ωϕωϕ=++=++的最小正周期为2||T πω=，而t a n ()y A x k ωϕ=++的最小正周期为||T πω=，故函数()tan()24x f x π=-的最小正周期为212T ππ==，故选C.考点：三角函数的图像与性质. 7．D 【解析】试题分析：对于①来说，取390,60αβ=︒=︒，均为第一象限，而1sin 60390sin 3022=︒=︒=，故s i n s i n αβ<；对于②，由三角函数的最小正周期公式214||2T a a ππ==⇒=±；对于③，该函数的定义域为{}|s i n 10|2,2x x x x k k Zππ⎧⎫-≠=≠+∈⎨⎬⎩⎭，定义域不关于原点对称，没有奇偶性；对于④，记1()|sin |2f x x =-，若T π=，则有()()22f f ππ-=，而1()|1| 1.522f π-=--=，1()|1|0.522f π=-=，显然不相等；对于⑤，0sin sin ||2sin y x x x ⎧=+=⎨⎩(0)(0)x x <≥，而当()2sin (0)f x x x =≥时，22sin 2x -≤≤，故函数sin sin ||y x x =+的值域为[2,2]-；综上可知①②③④⑤均错误，故选D.考点：1.命题真假的判断；2.三角函数的单调性与最小正周期；3.函数的奇偶性；4.函数的值域. 8．D 【解析】试题分析：通过观察图像可得1A =，311341264T πππ=-=，所以T π=，所以222T ππωπ===，又因为函数()f x 过点(,1)6π，所以s i n ()12()332k k Z πππϕϕπ+=⇒+=+∈，而||2πϕ<，所以当0k =时，6πϕ=满足要求，所以函数()sin(2)6f x x π=+，将函数向右平移6π个单位，可得()s i n [2()]s i n (2)666f x x x πππ=-+=-，故选D.考点：1.正弦函数图像的性质.2.正弦函数图像的平移.3.待定系数确定函数的解析式. 9．π 【解析】试题分析：直接利用求周期公式2T πω=求得.考点：周期公式.10．【解析】试题分析：sin 480tan 300sin(120360)tan(36060)sin120tan 60sin 60tan 60+=︒+︒+︒-︒=︒-︒=︒-︒，故sin 480tan 300+==考点：1.诱导公式；2.三角恒等变换.11．【解析】试题分析：∵2222cos a b c bc A =+-，∴2212b c bc =+-，∵222b c bc +≥，∴122b c b c +≥，∴12bc ≤，∴1sin 2S bc A ∆==≤ 考点：1.余弦定理；2.基本不等式；3.三角形面积.12．＞. 【解析】试题分析：在单位圆中，做出锐角1的正切线、正弦线、余弦线，观察他们的长度，发现正切线最长，余弦线最短，故有 tan1＞sin1＞cos1＞0. 考点：三角函数线．13．-12. 【解析】试题分析：由题意可得 x=-1，r 2=x 2+y 2=4,r=2,故cos =x r =-12. 考点：任意角的三角函数的定义．14．（1）45；（2）2450+-.【解析】试题分析：（1）先判断4x π-的取值范围，然后应用同角三角函数的基本关系式求出sin()4x π-，将所求进行变形sin sin[()]44x x ππ=-+，最后由两角和的正弦公式进行计算即可；（2）结合（1）的结果与x 的取值范围，确定cos x 的取值，再由正、余弦的二倍角公式计算出sin 2x 、cos2x ，最后应用两角和的正弦公式进行展开计算即可.试题解析：（1）因为3(,)24x ππ∈，所以(,)442x πππ-∈，于是sin()410x π-==sin sin[()]sin()cos cos()sin444444x x x x ππππππ=-+=-+-41021025=⨯+=（2）因为3(,)24x ππ∈，故3cos 5x ===-2247sin 22sin cos ,cos 22cos 12525x x x x ==-=⨯-=-所以中24sin(2)sin 2coscos 2sin33350x x x πππ++=+=-. 考点：1.同角三角函数的基本关系式；2.两角和与差公式；3.倍角公式；4.三角函数的恒等变换.15．（1）当1-，},12|{Z k k x x ∈-=ππ；（2）[1,3]；（3）详见解析. 【解析】试题分析：先根据平方差公式、同角三角函数的基本关系式、二倍角公式化简所给的函数()2sin(2)13f x x π=-+.（1）将23x π-看成整体，然后由正弦函数sin y x =的最值可确定函数()f x 的最小值，并明确此时x 的值的集合；（2）先求出23x π-的范围为2[,]33ππ-，从而sin(2)13x π≤-≤，然后可求出]2,0[π∈x 时，函数()f x 的值域；（3）根据正弦函数的五点作图法进行列表、描点、连线完成作图.试题解析：化简424()(sin cos )f x x x x x =++222222cos )(sin cos )sin 2sin cos cos x x x x x x x =-++++22cos )2sin cos 1x x x x =-++sin 221x x =+2sin(2)13x π=-+ 4分（1）当sin(2)13x π-=-时，()f x 取得最小值211-+=-，此时22,32x k k Z πππ-=-+∈即,12x k k Zππ=-∈，故此时x 的集合为},12|{Z k k x x ∈-=ππ 6分（2）当]2,0[π∈x 时，所以]32,3[32πππ-∈-x ，所以sin(2)13x π≤-≤，从而12sin(2)133x π+≤-+≤即]3,13[)(+-∈x f 9分（3）由()2sin(2)1f x x π=-+知故()f x 在区间[,]22ππ-上的图象如图所示：13分.考点：1.三角恒等变换；2.三角函数的图像与性质.16．（1）45；（2）.【解析】试题分析：（1）先判断4x π-的取值范围，然后应用同角三角函数的基本关系式求出sin()4x π-，将所求进行变形sin sin[()]44x x ππ=-+，最后由两角和的正弦公式进行计算即可；（2）结合（1）的结果与x 的取值范围，确定cos x 的取值，再由正、余弦的二倍角公式计算出sin 2x 、cos2x ，最后应用两角和的正弦公式进行展开计算即可.试题解析：（1）因为3(,)24x ππ∈，所以(,)442x πππ-∈，于是sin()410x π-==sin sin[()]sin()cos cos()sin444444x x x x ππππππ=-+=-+-41021025=⨯+=（2）因为3(,)24x ππ∈，故3cos 5x ===-2247sin 22sin cos ,cos 22cos 12525x x x x ==-=⨯-=-所以中24sin(2)sin 2coscos 2sin33350x x x πππ++=+=-. 考点：1.同角三角函数的基本关系式；2.两角和与差公式；3.倍角公式；4.三角函数的恒等变换. 17．（1）1-；（2）0. 【解析】试题分析：本题主要考查同角三角函数基本关系式与诱导公式的应用.（1）将分子中的1变形为22sin 20cos 20︒+︒，从而分子进一步化简为cos20sin 20︒-︒，分母s i n 16n 20︒︒利用诱导公式与同角三角函数的基本关系式转化为s i n 20c o s 2︒-︒，最后不难得到答案；（2）1sin |cos |αα-=，1cos |sin |αα-=，然后根据三角函数在第二象限的符号去绝对值进行运算即可.试题解析：（1）原式=cos 20sin 201sin 20cos 20sin 20cos 20︒-︒==-︒-︒︒-︒6分（2）解：原式cos sin 1sin 1cos cos |sin |cos |sin |αααααα--=⨯+⨯ 1cos 1cos cos sin 0cos sin αααααα--=⨯+⨯=- 6分. 考点：1.同角三角函数的基本关系式；2.三角恒等变换；3.诱导公式.18．（1）123()2g x x +=-；（2）a b ⎧=⎨=⎩【解析】试题分析：本题主要考查三角函数的图像和性质，向量共线的充要条件以及解三角形中正弦定理余弦定理的应用，考查分析问题解决问题的能力和计算能力，考查数形结合思想和化归与转化思想.第一问，先由函数图像确定函数解析式，再通过函数图像的平移变换得到()g x 的解析式，由于y m =与()g x 在[0,]2π上有2个公共点，根据函数图像的对称性得到2个交点的横坐标的中点为3π，所以122()()3g x x g π+=得出函数值；第二问，先用()0g c =在ABC ∆中解出角C 的值，再利用两向量共线的充要条件得到sin 2sin B A =，从而利用正弦定理得出2b a =，最后利用余弦定理列出方程解出边,a b 的长.试题解析：（1）由函数)(x f 的图象，ωπππ2)3127(4=-=T ，得2=ω，又3,32πϕπϕπ=∴=+⨯，所以)32sin()(π+=x x f 2分由图像变换，得1)62sin(1)4()(--=--=ππx x f x g 4分由函数图像的对称性，有23)32()(21-==+πg x x g 6分（Ⅱ）∵ ()sin(2)106f C C π=--=，即sin(2)16C π-= ∵ 0C π<<，112666C πππ-<-<， ∴ 262C ππ-=，∴ 3C π=． 7分 ∵ m n 与共线，∴ sin 2sin 0B A -=．由正弦定理 sin sin a b A B=，得2,b a = ① 9分 ∵ 3c =，由余弦定理，得2292cos 3a b ab π=+-， ② 11分解方程组①②，得a b ⎧=⎨=⎩ 12分考点：1.函数图像的平移变换；2.函数图像的对称性；3.正弦定理和余弦定理；4.函数的周期性；5.两向量共线的充要条件.19．（1）T =π；（2）最大值2；最小值-1.【解析】试题分析：（1）本小题首先需要对函数的解析式进行化简()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=62sin 2πx x f ，然后根据周期公式可求得函数的周期T =π；（2）本小题首先根据.32626,46πππππ≤+≤-≤≤-x x 所以，然后结合正弦曲线的图像分别求得函数的最大值和最小值.试题解析：（1）因为1)6sin(cos 4)(-+=πx x x f1)cos 21sin 23(cos 4-+=x x x 1cos 22sin 32-+=x xx x 2cos 2sin 3+=)62sin(2π+=x所以)(x f 的最小正周期为π（2）因为.32626,46πππππ≤+≤-≤≤-x x 所以于是，当6,262πππ==+x x 即时，)(x f 取得最大值2；当)(,6,662x f x x 时即πππ-=-=+取得最小值—1．考点：三角函数的图像与性质.。

2017年高考数学—三角函数(解答+答案)

2017年高考数学—三角函数（解答+答案）1.（17全国1理17．（12分））△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为23sin a A（1）求sin sin B C ;（2）若6cos cos 1,3B C a ==，求△ABC 的周长.2.（17全国2理17.（12分））ABC ∆的内角A B C 、、所对的边分别为,,a b c ，已知2sin()8sin 2B AC +=，（1）求cos B ；（2）若6a c +=，ABC ∆的面积为2，求b ．3.（17全国3理17．（12分））ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin 0,2A A a b +===（1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥，求ABD △的面积．4.（17北京理（15）（本小题13分））在ABC ∆中，360,7A c a ∠==o（Ⅰ）求sin C 的值；（Ⅱ）若7a =，求ABC ∆的面积.已知函数())2sin cos 3f x x x x π=--（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求证：当[,]44x ππ∈-时，1()2f x ≥-6.（17山东理16）设函数()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-，其中03ω<<.已知()06f π=. （Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在3[,]44ππ-上的最小值.7.（17山东文（17）（本小题满分12分））在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知b=3，6AB AC =-u u r u u u rg ,3ABC S ∆=，求A 和a 。

8.（17天津理15.（本小题满分13分））在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知a b >，5,6a c ==，3sin 5B =. （Ⅰ）求b 和sin A 的值；（Ⅱ）求πsin(2)4A +的值.在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知sin 4sin a A b B =，2225()ac a b c =--.（I ）求cos A 的值；（II ）求sin(2)B A -的值.10.（17浙江18．（本题满分14分））已知函数22()sin cos 23sin cos ()f x x x x x x R =--∈（Ⅰ）求2()3f π的值. （Ⅱ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间.11.（17江苏16. （本小题满分14分））已知向量(cos ,sin ),(3,3),[0,]a x x b x π==-∈. （1）若//a b ，求x 的值；（2）记,求()f x 的最大值和最小值以及对应x 的值参考答案：1.解：（1）由题设得21sin 23sin a ac B A =，即1sin 23sin ac B A=由正弦定理得1sin sin sin 23sin AC B A =故2sin sin 3B C =。

2017年高考数学—三角函数(选择+填空+答案)

2017年高考数学—三角函数（选择+填空+答案）1.（17全国1理9）已知曲线122:cos ,:sin(2)3C y x C y x π==+，则下面结论正确的是 A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2CC ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CD ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2C 2.（17全国1文8）.函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为3.（17全国1文11）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 。

已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c 2，则C =A ．π12B ．π6C ．π4D ．π34.（17全国2文3）函数()sin(2)3f x x π=+的最小正周期为A.4πB.2πC. πD.2π 5.（17全国3文4）已知4sin cos 3αα-=，则sin 2α= A ．79-B ．29-C ．29D ．796.（17全国3文6）函数1()sin()cos()536f x x x ππ=++-的最大值为 A ．65 B ．1 C ．35 D ．157.（17全国3文7）函数2sin 1xy x x=++的部分图像大致为A ．B ．C ．D ．8.（17山东理（9））在C ∆AB 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若C ∆AB 为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是（A ）2a b = （B ）2b a = （C ）2A =B （D ）2B =A 9.（17山东文（4））已知34cosx =,则2cos x = A ．-14B. 14C. - 18D.1810.（17山东文（7））函数sin2cos23+=y x x 最小正周期为A.2πB.23πC.πD.2π11.（17天津理（7））设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π.若5()28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则（A ）23ω=，12ϕπ= （B ）23ω=，12ϕ11π=- （C ）13ω=，24ϕ11π=-（D ）13ω=，24ϕ7π=12.（17全国3理6）设函数()cos()3f x x π=+，则下列结论错误的是（）A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图像关于直线83x π=对称 C ．()f x π+的一个零点为6x π=D ．()f x 在(,)2ππ单调递减13. （17全国1文15）已知π(0)2a ∈，,tan α=2，则πcos ()4α-=__________。

高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析

高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析1.命题P：实数x满足其中a<0，命题q：实数x满足或且是的必要不充分条件，求a的取值范围【答案】或【解析】本试题主要是考查了充分条件的判定和运用。

由于不等式的解集的关系可知q是P的必要不充分条件，然后利用集合的包含关系得到参数a的范围。

2.已知的图象与直线的两个交点的最短距离是，要得到的图象，只需要把的图象A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【答案】A【解析】由于的图象与直线的两个交点的最短距离是，，，即，将的图象向左平移个单位得到，故答案为A．【考点】函数图象的平移．3.在中，若，则此三角形形状是A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【答案】B【解析】由得则原式可化为，整理得即此三角形为直角三角形【考点】解三角形4.在中，角的对边分别为，，，，则_______．【答案】【解析】由正弦定理得：即，∴，∵，∴．【考点】正弦定理．5.已知，，则下列不等式一定成立的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设函数，所以．显然，时，，即此时函数为增函数．易知函数为偶函数，所以在时，函数单调递减．又因，所以即，所以，故．选D．【考点】构造函数法并利用单调性解不等式．【方法点睛】题目中条件，启发我们构造函数，而选项从整体上看，是比较与的大小关系的．以上两点结合考虑，应判断函数的单调性，而函数是偶函数，由及单调性直接判断变量与的大小比较难，应利用偶函数的性质得到，从而得到．这样显然答案选D．本题综合性较强、难度较大，要有构造函数的意识，同时要灵活运用函数性质．6.（本题满分12分）已知函数（1）求函数的最小正周期和最大值；（2）求函数单调递增区间【答案】（1）最小正周期为，最大值为；（2）【解析】三角函数问题，一般利用两角和与差的正弦、余弦公式、二倍角公式化为一个角的一个三角函数，然后利用正弦函数（或余弦函数）的性质得出结论．试题解析：（1）函数的最小正周期为，函数的最大值为（2）由得函数的单调递增区间为【考点】三角函数的周期、最值、单调区间．7.如图，正五边形的边长为2，甲同学在中用余弦定理解得，乙同学在中解得，据此可得的值所在区间为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意有，即，整理得：，构造函数，因为，，且函数在定义域内为增函数，所以函数有唯一零点在区间上，即方程的解在区间上，所以的值所在区间为，故选C．【考点】1．诱导公式；2．函数与方程；3．零点存在定理．【名师】本题主要考查零点存在定理、函数与方程思想以用诱导公式，属难题．求方程解所在区间通常转化为求函数零点所在区间问题求解，解决函数零点所在区间是通过零点存在定理来实现的，需要注意的是零点存在定理只能解决变号零点的问题．本题由求一个数的了以值区间问题转化为求一个方程的近似解的问题，进一步转化为求函数零点所在区间，体现数学中的转化转化思想．8.已知函数的部分图象如图所示．（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）在△中，角的对边分别是，若，求的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）观察图像可知函数的一条对称轴为，进而求出其最小正周期，于是运用公式可求出的值，再将点代入的解析式即可求出，即可求出函数的解析式；（Ⅱ）运用正弦定理并结合已知，可得，再由三角形的内角和为可得出角的值，进而得出的大小，即可得出的取值范围．试题解析：（Ⅰ）由的一条对称轴为，从而的最小正周期，故.将点代入的解析式得，又，故，将点代入的解析式得，所以.（Ⅱ）由得，所以，因为，所以，，，，.【考点】1、由函数的图像求函数的解析式；2、正弦定理的应用；3、三角函数的图像及其性质.【易错点睛】本题主要考查了由函数的图像求函数的解析式、正弦定理的应用和三角函数的图像及其性质，属中档题.其解题过程中容易出现以下两处错误：其一是不能仔细观察函数图像，并结合已知条件求出函数的解析式，尤其是求的时候不知道怎么合理取点代值计算，不知道怎么舍去增根，导致出现增根；其二是未能将正弦定理与三角恒等变换结合起来综合运用并准确地进行化简求值.9.设函数，则该函数的最小正周期为，在的最小值为．【答案】，【解析】由题意可知，；，所以，所以在的最小值为．【考点】函数的性质．10.在锐角中，角的对边分别为，已知依次成等差数列，且求的取值范围．【答案】．【解析】由三角形内角和定理和等差中项易求，，根据正弦定理把边，用角的三角函数表示出来，通过三角恒等变换构造正弦型函数，把问题转化为求正弦型函数在给定区间上的值域问题，求角的取值范围时，不要忽略为锐角三角形．试题解析：解：角成等差数列根据正弦定理的又为锐角三角形，则【考点】等差中项、正弦定理、三角恒等变换及正弦型函数值域．11.如图，D，C，B三点在地面同一直线上，，从C，D两点测得A点仰角分别是，则A点离地面的高度AB等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意，即，即．故选A．【考点】解三角形．12.将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】将函数的图象沿轴向左平移个单位得，又是一个偶函数，所以，根据选项可知的一个可能取值为，故选B.【考点】三角函数的图像.13.在中，内角的对边分别为，且，则的面积最大值为．【答案】【解析】由余弦定理得：，代入得解得，那么根据三角形面积公式所以当时，面积取得最大值．【考点】1．余弦定理；2．三角形面积公式．【方法点睛】考察到了解三角形的最值问题，属于中档题型，解决此问题的关键是面积的表达公式，，将这样的三个量用一个量表示，尤其是，但不可用正弦定理，而要用余弦定理，用表示出，再转化为，最后代入面积公式，将面积表示为的函数关系求最值．14.同时具有性质“①最小周期是；②图象关于直线对称；③在上是增函数”的一个函数是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】故A不正确．对于选项B，如果为对称轴．则但在上是减函数不满足题意，对于选项C，因为为对称轴．所以，在上是增函数满足题意，故选C．【考点】正弦函数的图像15.已知，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，所以，又，所以，从而，因此，选B.【考点】同角三角函数关系16.若点在角的终边上，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以，故选D．【考点】任意角的三角函数值．17.中，分别为的重心和外心，且，则的形状是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．上述均不是【答案】B【解析】，而，∴．，故为钝角．【考点】平面向量的运算及余弦定理解三角形.【方法点晴】本题主要考查了平面向量的线性运算和数量积运算及利用余弦定理判断三角形的形状问题,属于中档题.解答本题的关键是:选择三角形的两边表示的向量作为平面的基底，通过向量的线性运算把转化为基底的关系，结合平面向量数量积的运算律得到，进而利用余弦定理得到问题的答案.18.若点在直线上，则的值等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意得，所以，故选B．【考点】三角函数的化简求值．19.已知函数向右平移个单位后，所得的图像与原函数图像关于轴对称，则的最小正值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】原函数向右平移个单位后所得函数为其与原函数关于轴对称，则必有，由三角函数诱导公式可知的最小正值为，故本题的正确选项为D.【考点】函数的平移，对称，以及三角函数的诱导公式.20.若、，且，则下面结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为函数，，，所以函数是偶函数，，当时，，所以在上是增函数，由知，所以，即，故选D．【考点】1、函数的奇偶性；2、利用导数研究函数的单调性．21.已知中，，，分别是角，，的对边，且，是关于的一元二次方程的两根.（1）求角的大小；（2）若，设，的周长为，求的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据韦达定理得到三边所满足的一个关系式，进而利用余弦定理的变式求解；（2）利用正弦定理得到的解析式，再利用三角恒等变形将其化简，利用三角函数的性质求其最值.试题解析：（1）在中，依题意有：，∴，又∵，∴；（2）由，及正弦定理得：，∴，，故，即，由得：，∴当，即时，. .【考点】1.正余弦定理解三角形；2.三角恒等变形；3.韦达定理；4.三角函数的性质．22.已知函数f(x)=（sin x+ cos x）cos x一（x R，>0）．若f(x)）的最小止周期为4．( I)求函数f(x)的单调递增区间；(II)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a-c)cosB=bcosC，求函数f(A)的取值范围．【答案】（Ⅰ）；(Ⅱ)．【解析】( I)先利用二倍角公式和配角公式化简函数解析式，再利用三角函数的周期公式确定参数值和函数的解析式，进而利用整体思想求其单调递增区间； (II)先利用正弦定理将边角关系转化为角角关系，再利用三角形的内角和定理和两角和的正弦公式进行求解．（I）．，．由，得．∴的单调递增区间为（Ⅱ）由正弦定理得，，∴．∵，∴或：，，∴．又，．．【考点】1.三角恒等变换；2.正弦定理．23.已知函数，．（1）求函数的图像的对称轴方程；（2）求函数的最小正周期和值域．【答案】（1）;（2），值域.【解析】（1）用二倍角公式将函数降幂,根据余弦函数的对称轴公式可求得此函数的对称轴方程. （2）根据（1）中所得函数的解析式与相加,用化一公式将其化简变形可得,根据周期公式可得其周期,根据正弦的值域可得其值域.试题解析：（1）由题设知．令，所以函数图像对称轴的方程为．（2）．所以最小正周期是，值域．【考点】1三角函数的化简;2三角函数的周期,对称轴,值域.24.已知是锐角三角形，则点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】是锐角三角形,则，，同理可得,故选B.【考点】诱导公式.25.关于函数（），下列命题正确是（）A．由可得是的整数倍；B．的表达式可改写成；C．的图象关于点对称；D．的图象关于直线对称.【答案】C【解析】，，，因此，A错；，但时，，B错，事实上；，，时，，因此是其对称中心，C正确；，，不含，D错．故选C．【考点】函数的性质．26.已知函数, 先将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平行移动（）个单位长度，得到的图象关于直线x=对称，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得，再将得到的图象上所有点向右平行移动（）个单位长度，得，则，，，因为，最小值为．故选A．【考点】三角函数图象变换，三角函数的对称轴．27.已知函数对称，现将的图象向左平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则的表达式为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设上一点与上点关于对称，则有，，，，，现将的图象向左平移个单位后，得到再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，故选B.【考点】三角函数图象的变换.28.同时具有性质“①最小正周期是，②图象关于直线对称；③在上是增函数”的一个函数是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意得，函数的最小周期为，则，又函数图象关于直线对称，则函数为函数的最小值，则只有B、C满足，由当时，，则函数是单调递增函数，故选C．【考点】三角函数的性质．29.在中，内角的对边边长分别为，且．若，则的面积最大值为________.【答案】【解析】设三角形面积为，所以，又，两式相除得，同理，因为，所以，化简得，故，，，，故．【考点】解三角形.【思路点晴】本题属于一个综合性的题目背景是解三角形，设计三角形面积公式、余弦定理，同脚三角函数关系，基本不等式的知识.已知条件中关键的突破口在，我们由同角三角函数关系，结合余弦定理，就可以求出，然后代入三角形的面积公式，最后利用基本不等式来求面积的最大值.注意运算不要出错.30.在中，AC=6，（1）求AB的长；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】（1）利用同角三角函数的基本关系求再利用正弦定理求AB的长；（2）利用诱导公式及两角和与差正余弦公式分别求，然后求试题解析：解（1）因为，，所以由正弦定理知，所以（2）在中，，所以，于是又故因为，所以因此【考点】同角三角函数的基本关系、正余弦定理、两角和与差的正余弦公式【名师】三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先应从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角公式、二倍角公式、配角公式等，选用恰当的公式是解决三角问题的关键，同时应明确角的范围、开方时正负的取舍等.31.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，a=1，则b=____________.【答案】【解析】因为，且为三角形的内角，所以，，又因为，所以.【考点】正弦定理，两角和、差的三角函数公式【名师】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．32.如图，平面四边形中，，则的面积为_____________．【答案】【解析】在中，由正弦定理得：，在中，由余弦定理得：，所以．因为，所以．因为．所以．故答案为.【考点】1、正弦定理、余弦定理的应用；2、两角和的正弦公式及三角形面积公式.【方法点睛】以三角形和平面向量为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心，此外，解三角形时三角形面积公式往往根据不同情况选用下列不同形式能简化计算过程，.33.函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图，则其解析式为__________________．【答案】【解析】由图象可知：A=1，…可得：T=2×（﹣）=π=，∴解得：ω=2，…∵函数的图象经过（，1），∴1=sin（2×+φ），∵φ=2kπ+，|φ|＜，∴φ=…∴函数的解析式y=sin（2x+）．34.设的内角的对边分别为，且，则____．【答案】【解析】，.【考点】解三角形、正余弦定理.35.等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因,故,故应选D.【考点】两角和的余弦公式及运用.36.已知函数，则要得到其导函数的图象，只需将函数的图象（）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．左平移个单位【答案】B【解析】函数，所以函数，所以将函数函数的图象上所有的点向左平移个单位长度得到，故选B．【考点】函数的图象变换．37.已知，则 .【答案】【解析】.【考点】三角恒等变换．38.函数的部分图象如图所示，则 .【答案】【解析】,，，即，，又，∴.【考点】函数的图象与性质.39.设当时，函数取得最大值，则__________．【答案】【解析】,其中，故当函数取得最大值时，【考点】辅助角公式，三角函数的最值和值域【名师】本题考查三角函数的辅助角公式以及取得最大值时的值，属中档题．解题时正确确定函数在取得最大值时的值是解题的关键40.如图，在凸四边形中，，，，．设．（1）若，求的长；（2）当变化时，求的最大值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由余弦定理可得，解得．从而，解得；（2）设，，由余弦定理得，再由正弦定理得．从而．再由得：当，时取到最大值．试题解析：（1）在中，，∴，∴．在中，，∴．（2）设，，在中，，．∵，∴．在中，．∵，∴，当，时取到最大值．【考点】解三角形．41.已知函数的最小正周期是，将函数图象向左平移个单位长度后所得的函数图象过点，则函数（）A．在区间上单调递减B．在区间上单调递增C．在区间上单调递减D．在区间上单调递增【答案】B【解析】依题, ，平移后得到的函数是，其图象过（0，1），∴，因为，∴，，故选B．【考点】三角函数的图象与性质．42.海上有三个小岛，，，则得，，，若在，两岛的连线段之间建一座灯塔，使得灯塔到，两岛距离相等，则，间的距离为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设由余弦定理可得,，故选B．【考点】解三角形．43.已知角为第四象限角，且，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】,,又,得出．因为角为第四象限角, ,;．故选A．【考点】同角三角函数的运算．44.如图，某广场中间有一块边长为2百米的菱形状绿化区ABCD，其中BMN是半径为1百米的扇形，．管理部门欲在该地从M到D修建小路：在弧MN上选一点P（异于M、N两点），过点P修建与BC平行的小路PQ．问：点P选择在何处时，才能使得修建的小路与PQ及QD的总长最小？并说明理由．【答案】当时，总路径最短.【解析】借助题设条件建立函数关系,再运用三角变换的公式求解和探求.试题解析：连接, 过作垂足为 , 过作垂足为设，…………………2分若，在中，若则若则…………………………4分在中，…………………………6分所以总路径长……………………10分………………12分令，当时，当时，…………………………14分所以当时，总路径最短.答：当时，总路径最短. ……16分【考点】解三角形及三角变换的公式等有关知识的综合运用．【易错点晴】应用题是高考必考的重要题型之一,也是检测数学知识在实际问题中的的运用的一种重要题型之一.求解这类问题的一般步骤是先仔细阅读题设中的文字信息.再将问题中的数量关系找出来,通过构造数量关系构建数学模型.最后运用数知识求解数学模型,依据题设写出答案.本题是以绿化过程中的一个实际问题为背景设置了一道最值问题,求解时,先,然后建立以为变量的函数关系式从而将问题进行转化求函数的最值问题.最后通过求该函数的最值,从而使得问题简捷巧妙获解.45.已知，则__________．【答案】【解析】试题分析: ,故应填答案.【考点】诱导公式及同角关系的综合运用．46.已知，且，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以，又因为，所以，故选C.【考点】1、诱导公式的应用；2、同角三角函数之间的关系.47.方程在区间内的解是．【答案】【解析】因为，所以，，即或，，，故答案为.【考点】1、特殊角的三角函数；2、简单的三角方程.【思路点睛】本题主要考查特殊角的三角函数、简单的三角方程，属于中档题.由于近年来高考对三角函数考查难度的降低，对三角方程的考查也以容易题和中档题为主，该题型往往根据特殊角的三角函数解答.本题首先将原方程变形为，然后根据的余弦值为，确定或，再根据确定方程的解．48.若，则的值为______．【答案】【解析】由，解得，又．【考点】三角函数的化简求值．49.在中，角的对边分别是，若，，则面积是_______.【答案】1【解析】在中，，,当且仅当时取等号, ,又，故,则面积是1【考点】正弦定理，基本不等式【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.50.已知函数（，，）的最大值为3，的图象与轴的交点坐标为，其相邻两条对称轴间的距离为2，则的值为（）A．2468B．3501C．4032D．5739【答案】C【解析】∵已知函数的最大值为，故．的图象与轴的交点坐标为，∵，∴，，即．再根据其相邻两条对称轴间的距离为，可得，，故函数的周期为．∵，∴，故选C．【考点】（1）三角函数中的恒等变换应用；（2）余弦函数的图象.51.在△中，，，所对的边分别是，，，，且，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，∴，即．又∵，∴，∴，即，解得，故选B．【考点】余弦定理.52.若，则（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】.【考点】三角恒等变换.53.在中，角，，的对边分别为，，，已知，，且．（1）求角的大小；（2）求的面积．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由，化简题设条件得，求得，即可求解角的值；(2)由余弦定理得，得到，再由条件，可化简求得，即可求解三角形的面积．试题解析：（1）∵，由，得，∴，整理得，解得，∵，∴．（2）由余弦定理得，即，∴，由条件，得，解得，∴．【考点】余弦定理及三角恒等变换．54.已知函数的最小正周期为，为了得到函数的图象，只要将的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【答案】C【解析】∵函数的最小正周期为，∴，得，，故将的图象向左平移个单位长度可得，故选C.【考点】三角函数图象的变换.55.在三角形中，角，，所对的边分别是，，．已知，．（1）若，求的值；（2）若，求的值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）已知两边一角求第三边，一般利用余弦定理，将角化为边的条件：，代入条件即得，（Ⅱ）同（Ⅰ）可先利用余弦定理，将角化为边的条件：，代入，可得，再利用余弦定理求，也可先利用正弦定理，将边的条件转化为角的关系，再根据正弦定理求的值试题解析：（1）由余弦定理，，…………………3分将，代入，解得：．…………………6分（2）由正弦定理，，化简得：，则，…………………8分因为，，所以，，所以或（舍去），则．………………10分由正弦定理可得，，将，代入解得．……………………14分【考点】正余弦定理【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.56.已知函数．⑴求的最小正周期和单调递增区间;⑵求在区间上的最大值和最小值．【答案】(1)，增区间为；(2) 最大值为，最小值为．【解析】(1)借助题设条件余弦二倍角公式及余弦函数单调性求解；(2)依据题设运用余弦函数的有界性进行探求．试题解析：⑴由已知，有,所以的最小正周期,当时，单调递增，解得：，所以的单调递增区间为,⑵由⑴可知，在区间上是减函数，在区间上是增函数，而，，所以在区间上的最大值为，最小值为．【考点】余弦二倍角公式及余弦函数的图象和性质等有关知识的综合运用．57.已知，，分别为的三个内角，，所对边的边长，且满足．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，的面积为，求，．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）由正弦定理将条件中的边换为角的正弦，利用三角变换公式，化简可得，从而可求得角的值；（Ⅱ）由余弦定理及三角形面积公式列出关于的方程组，解之即可.试题解析：（Ⅰ），由正弦定理得：，…（2分），，…………（3分），，…（5分），…（6分）（Ⅱ），所以，……（7分），，则（或），……（8分）解得：．………（10分）【考点】1.正弦定理与余弦定理；2.三角恒等变换.【名师】本题考查正弦定理与余弦定理、三角恒等变换，属中档题；解三角形问题实质是附加条件的三角变换,因此在解三角形问题的处理中,正弦定理、余弦定理就起到了适时、适度转化边角的作用,分析近几年的高考试卷,有关的三角题,大部分以三角形为载体考查三角变换.58.已知函数与函数的部分图像如右图所示，则____________．【答案】【解析】令.【考点】1、三角函数的图象与性质；2、一次函数.59.要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位【答案】C【解析】由题意得，，因此只需要将函数的图象向右平移个单位即可得到函数的图象，故选C.60.已知函数相邻两条对称轴之间的距离为.（I）求的值及函数的单调递减区间；（Ⅱ）已知分别为中角的对边，且满足，，求的面积.【答案】（I）；（II）.【解析】（I）利用降幂公式将函数化为，再由函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为，求出，结合三角函数的单调性可得其单调区间；（Ⅱ）将代入函数解析式，结合的范围可求出的值，由正弦定理和余弦定理可求出边，故而可得三角形的面积.试题解析：解：（Ⅰ）.因为相邻两条对称轴之间的距离为，所以，即，所以.所以.令，解得.所以的单调递减区间为.（Ⅱ）由得，因为.所以,.已知及正弦定理得.由余弦定理得，代入得，解得，所以.61. (江淮十校2017届高三第一次联考文数试题第7题)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=1/2（弦矢+矢2）.弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为，半。

2018高考数学备考黄金易错点专题07 三角变换及解三角形(易错练兵)

2018高考数学备考黄金易错点专题07 三角变换及解三角形（易错练兵）1．设角θ的终边过点(2,3)，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝( ) A .15 B ．－15C ．5D ．－5解析：由于角θ的终边过点(2,3)，因此tan θ＝32，故tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan θ－11＋tan θ＝32－11＋32＝15，选A .答案：A2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α，则cos 2α＝( ) A ．1 B ．－1 C .12D ．3．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos C ＝223，b cos A ＋a cos B ＝2，则△ABC 的外接圆面积为( )A ．4πB ．8πC ．9πD ．36π解析：c ＝b cos A ＋a cos B ＝2，由cos C ＝223得sin C ＝13，再由正弦定理可得2R ＝csin C ＝6，所以△ABC 的外接圆面积为πR 2＝9π，故选C . 答案：C4．△ABC 中，a ＝5，b ＝3，sin B ＝22，则符合条件的三角形有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．0个解析：∵a sin B ＝102，∴sin B<b ＝3<a ＝5，∴符合条件的三角形有2个．答案：B5．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＋sin θ＝435，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋7π6的值是( ) A .45 B .435 C ．－45D ．－435解析：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＋sin θ＝435，所以32cos θ＋32sin θ＝435，即3⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ＋32sin θ＝435，即3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝435，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝45，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋7π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝－45.故选C . 答案：C 6．若sin 2α＝55，sin (β－α)＝1010，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，则α＋β的值是( )A .7π4B .9π4 C .5π4或7π4 D .5π4或9π47．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若c ＝2a ，b sin B －a sin A ＝12a sin C ，则sin B 为( )A .74 B .34C .73 D .13解析：由b sin B －a sin A ＝12a sin C ，且c ＝2a ，得b ＝2a ，∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34， ∴sin B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝74. 答案：A8．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos (A －C)＋cos B ＝1，a ＝2c.则C ＝( )A .π6或5π6B .π6C .π3或2π3 D .π3解析：cos (A －C)＋cos B ＝1，故cos (A －C)－cos (A ＋C)＝1,2sin A sin C ＝1. 又由已知a ＝2c ，根据正弦定理得，sin A ＝2sin C ， ∴sin C ＝12，∴C ＝π6或5π6.∵a>c ，∴A>C ，∴C ＝π6.答案：B9．在△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知4sin 2A ＋B 2－cos 2C ＝72，且a ＋b ＝5，c ＝7，则△ABC 的面积为( )A .332B .32 C .34 D .33410．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a2sin 2A ＋b2sin 2B＝2c 2，sin A(1－cos C)＝sin B sin C ，b ＝6，AB 边上的点M 满足AM →＝2MB →，过点M 的直线与射线CA ，CB 分别交于P ，Q 两点，则MP 2＋MQ 2的最小值是( )A ．36B ．37C ．38D ．39解析：由正弦定理，知a2sin 2A ＋b2sin 2B＝2c 2，即2＝2sin 2C ， ∴sin C ＝1，C ＝π2，∴sin A(1－cos C)＝sin B sin C ，即sin A ＝sin B ，∴A ＝B ＝π4.以C 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则M(2,4)，设∠MPC ＝θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则MP 2＋MQ 2＝16sin 2θ＋4cos 2θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫16sin 2θ＋4cos 2θ＝20＋4tan 2θ＋16tan 2θ≥36，当且仅当tan θ＝2时等号成立，即MP 2＋MQ 2的最小值为36. 答案：A11．已知α为锐角，cos α＝35，tan(α－β)＝－13，则tan β的值为( )A.13 B ．3 C.913D.139答案 B解析由α为锐角，cos α＝35，得sin α＝45，∴tan α＝43，∵tan(α－β)＝－13，∴tan β＝tan[α－(α－β)]＝tan α－α－β1＋tan αα－β＝3.12．tan70°＋tan50°－3tan70°tan50°的值等于( ) A. 3 B.33C ．－33D ．－ 3答案 D解析因为tan120°＝tan70°＋tan50°1－tan70°·tan50°＝－3，即tan70°＋tan50°－3tan70°tan50°＝－ 3.13．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b ＝2c cos A ，c ＝2b cos A ，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形答案 C解析由已知可得，b ＝c2cos A ＝2c cos A ，∴cos 2A ＝14，易知cos A >0，∴cos A ＝12.又∵0°<A <180°，∴A ＝60°，由b ＝2c ·b 2＋c 2－a 22bc得a 2－c 2＝0，∴a ＝c .因此，△ABC 为等边三角形，故选C.14．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2b cos A ，B ＝π3，c ＝1，则△ABC 的面积等于( ) A.38 B.36 C.34D.32答案 C15．若sin2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，则α＋β的值是( )A.7π4B.9π4C.5π4或7π4D.5π4或9π4答案 A解析 ∵sin2α＝55，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π， ∴cos2α＝－255且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，又∵sin(β－α)＝1010，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，∴cos(β－α)＝－31010，∴sin(α＋β)＝sin[(β－α)＋2α] ＝sin(β－α)cos2α＋cos(β－α)sin2α ＝1010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010×55＝－22， cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α] ＝cos(β－α)cos2α－sin(β－α)sin2α ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255－1010×55＝22，又α＋β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，2π，∴α＋β＝7π4，故选A. 16．已知tan α＝4，则1＋cos2α＋4sin 2αsin2α的值为________．答案334解析 1＋cos2α＋4sin 2αsin2α＝2cos 2α＋4sin 2α2sin αcos α＝1＋2tan 2αtan α＝1＋2×164＝334.17．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为________．答案 8解析 ∵cos A ＝－14，0＜A ＜π，∴sin A ＝154，S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ×154＝315，∴bc ＝24，又b －c ＝2，∴b 2－2bc ＋c 2＝4，b 2＋c 2＝52，由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A＝52－2×24×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝64， ∴a ＝8.18．如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100m ，则山高MN ＝________m.答案 150解析根据图示，AC ＝1002m.在△MAC 中，∠CMA ＝180°－75°－60°＝45°. 由正弦定理得AC sin45°＝AMs in60°⇒AM ＝1003m.在△AMN 中，MN AM＝sin60°， ∴MN ＝1003×32＝150(m)． 19．在△ABC 中，内角A ,B ,C 所对的边分别为a ，b ，c ，b ≠c ，且sin 2C －sin 2B ＝3sin B cos B －3sinC cos C . (1)求角A 的大小；(2)若a ＝3，sin C ＝34，求△ABC 的面积．解 (1)由题意得1－cos2C 2－1－cos2B2＝32sin2B －32sin2C ，整理得32sin2B －12cos2B ＝32sin2C －12cos2C ，即sin(2B －π6)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C －π6，由b ≠c ，得B ≠C ，又B ＋C ∈(0，π)，得2B －π6＋2C －π6＝π，即B ＋C ＝23π，所以A ＝π3.(2)因为a ＝3，sin C ＝34，由正弦定理asin A ＝c sin C ，得c ＝32. 由c <a ，得C <A ，从而cos C ＝74，故sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C＝32×74＋12×34＝3＋218. 所以△ABC 的面积为S ＝12ac sin B ＝12×32×3×3＋218＝932(3＋7)． 20．已知函数f (x )＝3sin x 4cos x4＋cos 2x4. (1)若f (x )＝1，求cos(2π3－x )的值；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足a cos C ＋12c ＝b ，求f (B )的取值范围．(2)由a cos C ＋12c ＝b ，得a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋12c ＝b ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3，B ＋C ＝2π3，所以0＜B ＜2π3，所以π6＜B 2＋π6＜π2，所以f (B )＝sin(B 2＋π6)＋12∈(1，32)．所以f (B )的取值范围是(1，32)．21．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＋c b ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π6.(1)求B ；(2)若b ＝27，△ABC 的面积S ＝33，求a ＋c 的值．解析：(1)由已知得a ＋c ＝2b sin ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π6，由正弦定理知sin A ＋sin C ＝2sin B ⎝⎛⎭⎪⎫sin C cos π6＋cos C sin π6，即sin (B ＋C)＋sin C ＝sin B(3sin C ＋cos C)，整理得3sin B sin C －cos B sin C ＝sin C ，因为sin C>0，所以3sin B －cos B ＝1，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6＝12，因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.22．已知点P(3，1)，Q(cos x ，sin x)，O 为坐标原点，函数f(x)＝OP →·QP →. (1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若A 为△ABC 的内角，f(A)＝4，BC ＝3，△ABC 的面积为334，求△ABC 的周长．解析：(1)由题易知，OP →＝(3，1)， QP →＝(3－cos x,1－sin x)，所以f(x)＝3(3－cos x)＋1－sin x ＝4－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，所以f(x)的最小正周期为2π.(2)因为f(A)＝4，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝0，则x ＋π3＝k π，k ∈Z ，即x ＝－π3＋k π，k ∈Z ，因为0<A <π，所以A ＝2π3，因为△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝334，所以bc ＝3.由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得b 2＋c 2＝6，所以(b ＋c )2＝b 2＋c 2＋2bc ＝12，即b ＋c ＝2 3. 所以△ABC 的周长为3＋2 3.。

专题07 三角函数—三年高考(2015-2017)数学(文)真题分项版解析(解析版)

1.【2017课标3，文6】函数1ππ()sin()cos()536f x x x =++-的最大值为（） A ．65B ．1C ．35D ．15【答案】A【解析】由诱导公式可得：cos cos sin 6233x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，则：()16sin sin sin 53353f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 函数的最大值为65. 所以选A.【考点】三角函数性质【名师点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为sin()y A x B ωϕ=++的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．2.【2017课标II ，文3】函数π()sin(2)3f x x =+的最小正周期为 A.4π B.2π C. π D.π2【答案】C【考点】正弦函数周期【名师点睛】函数sin()(A 0,0)y A x B ωϕω=++>>的性质(1)max min =+y A B y A B =-，.(2)周期2.T πω=(3)由ππ()2x k k ωϕ+=+∈Z 求对称轴(4)由ππ2π2π()22k x k k ωϕ-+≤+≤+∈Z 求增区间; 由π3π2π2π()22k x k k ωϕ+≤+≤+∈Z 求减区间; 3.【2017课标3，文4】已知4sin cos 3αα-=，则sin 2α=（） A ．79-B ．29-C ．29D ．79【答案】A【解析】()2sin cos 17sin 22sin cos 19ααααα--===--.所以选A.【考点】二倍角正弦公式【名师点睛】应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.4.【2017山东，文4】已知3cos 4x =,则cos2x = A.14- B.14 C.18- D.18【答案】D【考点】二倍角公式【名师点睛】(1)三角函数式的化简与求值要遵循“三看”原则,一看角,二看名,三看式子结构与特征．(2)三角函数式化简与求值要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等),寻找式子和三角函数公式之间的共同点．5.【2017天津，文7】设函数()2sin(),f x x x ωϕ=+∈R ，其中0,||πωϕ><.若5π11π()2,()0,88f f ==且()f x 的最小正周期大于2π，则（A ）2π,312ωϕ==（B ）211π,312ωϕ==-（C ）111π,324ωϕ==-（D ）17π,324ωϕ==【答案】A 【解析】试题分析：因为条件给出周期大于2π，1156388844T ππππ-===，2233T ππωω==⇒=，再根据252238212k k πππϕπϕπ⨯+=+⇒=+，因为ϕπ<，所以当0k =时，12πϕ=成立，故选A.【考点】三角函数的性质【名师点睛】本题考查了()sin y A x ωϕ=+的解析式，和三角函数的图象和性质，本题叙述方式新颖,是一道考查能力的好题，本题可以直接求解，也可代入选项，逐一考查所给选项：当58x π=时，2538122πππ⨯+=，满足题意，251138122πππ⨯-=-，不合题意，B 选项错误；151138244πππ⨯-=-，不合题意，C 选项错误；15738242πππ⨯+=，满足题意；当118x π=时，2113812πππ⨯+=，满足题意；111718382424πππ⨯+=，不合题意，D 选项错误.本题选择A 选项.6.【2017山东，文7】函数2cos 2y x x =+最小正周期为 A.π2 B. 2π3C.πD. 2π 【答案】C【考点】三角变换及三角函数的性质【名师点睛】求三角函数周期的方法：①利用周期函数的定义．②利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|,y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.③对于形如sin cos y a x b x ωω=+的函数,一般先把其化为()y x ωϕ=+的形式再求周期.7.【2014福建,文7】将函数sin y x =的图象向左平移2π个单位，得到函数()y f x =的函数图象，则下列说法正确的是（）()()()() (32).-02A y f x B y f x C y f x x D y f x πππ====⎛⎫= ⎪⎝⎭是奇函数的周期是的图象关于直线对称的图象关于点，对称【答案】D 【解析】试题分析：将函数sin y x =的图象向左平移2π个单位，得到函数sin()cos 2y x x π=+=，因为cos()02y π=-=，所以()-02y f x π⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于点，对称，选D . 考点：三角函数图象的变换，三角函数诱导公式，三角函数的图象和性质.【名师点睛】本题主要考查函数图像的平移及三角函数的性质，关于三角函数图像对称的结论是：已知()()()sin 0f x A x A ωφω=+≠，则()f x 图像关于直线0x x =对称的充要条件是()0f x A =±，()f x 图像关于点()0,0x 对称的充要条件是()00f x =.8.【2015高考福建，文6】若5sin 13α=-，且α为第四象限角，则tan α的值等于（） A ．125 B ．125- C ．512 D ．512- 【答案】D【考点定位】同角三角函数基本关系式．【名师点睛】本题考查同角三角函数基本关系式，在sin α、cos α、tan α三个值之间，知其中的一个可以求剩余两个，但是要注意判断角α的象限，从而决定正负符号的取舍，属于基础题．9.(2014课标全国Ⅰ，文7)在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③πcos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，④πtan 24y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭中，最小正周期为π的所有函数为( )． A ．①②③ B ．①③④ C ．②④ D ．①③答案：A解析：由于y ＝cos|2x |＝cos 2x ，所以该函数的周期为2ππ2=；由函数y ＝|cos x |的图象易知其周期为π；函数πcos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的周期为2ππ2=；函数πtan 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的周期为π2，故最小正周期为π的函数是①②③，故选A. 名师点睛：本题考查余弦函数、正切函数的性质，函数的周期，注意区别函数||cos x y =与|cos |x y =的图象与性质，容易题.10.【2014天津，文8】已知函数()cos (0),.f x x x x R ωωω=+>∈在曲线()y f x =与直线1y =的交点中，若相邻交点距离的最小值为3π，则()f x 的最小正周期为（） A.2π B.23π C.π D.2π 【答案】C考点：三角函数性质【名师点睛】本题考查三角函数图象与性质，本题属于基础题，研究三角函数图象与性质，要把函数的解析式化为标准形式，如：sin()y A x k ωϕ=++，这个过程经常使用降幂公式和辅助角公式，然后借助正弦函数的图像与性质去解决问题，本题需要借助已知条件求出ω，然后计算周期.11.【2015高考新课标1，文8】函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（）（A ）13(,),44k k k Z ππ-+∈ （B ）13(2,2),44k k k Z ππ-+∈（C ）13(,),44k k k Z -+∈（D ）13(2,2),44k k k Z -+∈【答案】D【解析】由五点作图知，1+4253+42πωϕπωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得=ωπ，=4πϕ，所以()cos()4f x x ππ=+，令22,4k x k k Z πππππ<+<+∈，解得124k -＜x ＜324k +，k Z ∈，故单调减区间为（124k -，324k +），k Z ∈，故选D. 【考点定位】三角函数图像与性质【名师点睛】本题考查函数cos()y A x ωϕ=+的图像与性质，先利用五点作图法列出关于ωϕ，方程，求出ωϕ，，或利用利用图像先求出周期，用周期公式求出ω，利用特殊点求出ϕ，再利用复合函数单调性求其单调递减区间，是中档题，正确求ωϕ，使解题的关键. 12.【2016高考新课标2文数】函数=sin()y A x ωϕ+的部分图像如图所示，则（）（A ）2sin(2)6y x π=-（B ）2sin(2)3y x π=-（C ）2sin(2+)6y x π=（D ）2sin(2+)3y x π=【答案】A考点：三角函数图像的性质【名师点睛】根据图像求解析式问题的一般方法是：先根据函数图像的最高点、最低点确定A ，h 的值，函数的周期确定ω的值，再根据函数图像上的一个特殊点确定φ值．13.【2014年.浙江卷.文4】为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图象，可以将函数x y 3cos 2=的图象（）A.向右平移12π个单位长 B.向右平移4π个单位长C.向左平移12π个单位长D.向左平移4π个单位长【答案】A 【解析】试题分析：因为)43sin(23cos 3sin π+=+=x x x y ，所以将函数x y 3cos 2=的图象向右平移12π个单位长得函数)43sin(2)432sin(2)43cos(2)12(3cos 2πππππ+=-+=+-=-=x x x x y ，即得函数x x y 3cos 3sin +=的图象，选A.考点：三角函数的图象的平移变换，公式)4sin(2cos sin π+=+x x x 的运用，容易题.【名师点睛】三角函数图象变换法：由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”平移变换和伸缩变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值．14.【2016高考新课标2文数】函数π()cos 26cos()2f x x x =+-的最大值为（）（A ）4（B ）5（C ）6 （D ）7【答案】B考点：正弦函数的性质、二次函数的性质. 【名师点睛】求解本题易出现的错误是认为当3sin 2x =时，函数23112(sin )22y x =--+取得最大值.[2016高考新课标Ⅲ文数]若tan 13θ=，则cos 2θ=（）（A ）45-（B ）15-（C ）15（D ）45【答案】D 【解析】试题分析：2222222211()cos sin 1tan 43cos 21cos sin 1tan 51()3θθθθθθθ---====+++．考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、二倍角．【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．15. 【2014四川，文3】为了得到函数sin(1)y x =+的图象，只需把函数sin y x =的图象上所有的点（）A ．向左平行移动1个单位长度B ．向右平行移动1个单位长度C ．向左平行移动π个单位长度D ．向右平行移动π个单位长度【答案】A 【解析】试题分析：只需把sin y x =的图象上所有的点向左平移1个单位，便得函数sin(1)y x =+的图象.选A.【考点定位】三角函数图象的变换.【名师点睛】本题考查三角函数图象的变换，解答本题的关键，是明确平移的方向和单位数，这取决于x 加或减的数据.本题属于基础题，是教科书例题的简单改造，易错点在于平移的方向记混.16.【2015高考山东，文4】要得到函数4y sin x =-（3π）的图象，只需要将函数4y sin x =的图象（）（A ）向左平移12π个单位（B ）向右平移12π个单位（C ）向左平移3π个单位（D ）向右平移3π个单位【答案】B【考点定位】三角函数图象的变换.【名师点睛】本题考查三角函数图象的变换，解答本题的关键，是明确平移的方向和单位数，这取决于x 加或减的数据.本题属于基础题，是教科书例题的简单改造，易错点在于平移的方向记混. 17.【2016高考天津文数】已知函数)0(21sin 212sin)(2>-+=ωωωx xx f ，R x ∈.若)(x f 在区间)2,(ππ内没有零点，则ω的取值范围是（）（A ）]81,0(（B ）)1,85[]41,0( （C ）]85,0(（D ）]85,41[]81,0(【答案】D 【解析】试题分析：1cos sin 1()x )2224x x f x ωωπω-=+-=-，()0sin(x )04f x πω=⇒-=，所以4(,2),(k z)k x ππππω+=∉∈，因此115599115115(,)(,)(,)(,)(,)(0,][,]848484848848ωω∉=+∞⇒∈，选D. 考点：解简单三角方程【名师点睛】对于三角函数来说，常常是先化为y ＝Asin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再利用三角函数的性质求解．三角恒等变换要坚持结构同化原则，即尽可能地化为同角函数、同名函数、同次函数等，其中切化弦也是同化思想的体现；降次是一种三角变换的常用技巧，要灵活运用降次公式．18.【2014高考陕西版文第2题】函数()cos(2)4f x x π=+的最小正周期是（）.2A π.B π.2C π.4D π【答案】B考点：同角的三角函数关系式，容易题.【名师点晴】本题主要考查的是余弦函数的最小正周期，属于容易题.解题时只要正确记忆正弦函数、预先函数的最小正周期周期公式2T wπ=，就不会出现错误 19. 【2015高考陕西，文6】“sin cos αα=”是“cos 20α=”的（）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要【答案】A【解析】22cos 20cossin 0(cos sin )(cos sin )0ααααααα=⇒-=⇒-+=，所以sin cos αα=或sin cos αα=-，故答案选A . 【考点定位】1.恒等变换；2.命题的充分必要性.【名师点睛】1.本题考查三角恒等变换和命题的充分必要性，采用二倍角公式展开cos 20α=，求出sin cos αα=或sin cos αα=-.2.本题属于基础题，高考常考题型.20.【2016高考新课标1文数】若将函数y =2sin (2x +π6)的图像向右平移14个周期后,所得图像对应的函数为（）（A ）y =2sin(2x +π4) （B ）y =2sin(2x +π3) （C ）y =2sin(2x –π4) （D ）y =2sin(2x –π3)【答案】D 【解析】试题分析：函数y 2sin(2x )6π=+的周期为π,将函数y 2sin(2x )6π=+的图像向右平移14个周期即4π个单位,所得函数为y 2sin[2(x ))]2sin(2x )463πππ=-+=-,故选D. 考点：三角函数图像的平移【名师点睛】函数图像的平移问题易错点有两个,一是平移方向,注意“左加右减“,二是平移多少个单位是对x 而言的,不用忘记乘以系数.21.【2017课标II ，文13】函数()2cos sin f x x x =+的最大值为 .【考点】三角函数有界性【名师点睛】通过配角公式把三角函数化为sin()y A x B ωϕ=++的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．一般可利用|sin cos |a x b x +≤求最值.22.【2017江苏，5】若π1tan(),46α-=则tan α= ▲ .【答案】75【解析】11tan()tan7644tan tan[()]14451tan()tan 1446ππαππααππα+-+=-+===---．故答案为75．【考点】两角和正切公式【名师点睛】三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数. (2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异 ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角. 23.【2017课标1，文15】已知π(0)2a ∈，，tan α=2，则πcos ()4α-=__________．【解析】试题分析：由tan 2α=得sin 2cos αα= 又22sin cos 1αα+= 所以21cos5α=因为(0,)2πα∈所以cos αα==因为cos()cos cossin sin444πππααα-=+所以cos()4πα-==【考点】三角函数求值【名师点睛】三角函数求值的三种类型（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数．（2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异． ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； ②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的．（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．24. 【2016高考四川文科】=.【答案】12考点：三角函数诱导公式【名师点睛】本题也可以看作是一个来自于课本的题，直接利用课本公式解题，这告诉我们一定要立足于课本．有许多三角函数的求值问题一般都是通过三角函数的公式把函数化为特殊角的三角函数值而求解．25.【2016高考浙江文数】已知22cos sin 2sin()(0)x x A x b A ωϕ+=++>，则A =______，b =______．；1．【解析】试题分析：22cos sin 21cos2sin 2)14x x x x x π+=++=++，所以 1.A b == 考点：三角恒等变换.【思路点睛】解答本题时先用降幂公式化简2cos x ，再用辅助角公式化简cos 2sin 21x x ++，进而对照()sin x b ωϕA ++可得A 和b ．26.[2016高考新课标Ⅲ文数]函数sin y x x =的图像可由函数2sin y x =的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．【答案】3π考点：1、三角函数图象的平移变换；2、两角差的正弦函数．【误区警示】在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少．27.【2015高考浙江，文11】函数()2sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是，最小值是．【答案】π【解析】()211cos 2113sin sin cos 1sin 21sin 2cos 222222x f x x x x x x x -=++=++=-+3)42x π=-+，所以22T ππ==；min 3()2f x =-. 【考点定位】1.三角函数的图象与性质；2.三角恒等变换.【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质以及三角恒等变换.主要考查学生利用恒等变换化简三角函数，利用整体代换判断周期与最值的能力.本题属于容易题，主要考查学生的基本运算能力以及整体代换的运用.28.【2016高考新课标1文数】已知θ是第四象限角,且sin(θ+π4)=35,则tan(θ–π4)=. 【答案】43- 【解析】试题分析：由题意sin sin 442θθπππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦3cos 45θπ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭, 因为2222k k θ3ππ+<<π+π()k ∈Z ,所以722444k k θ5ππππ+<-<π+()k ∈Z , 从而4sin 45θπ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,因此4tan 43θπ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．故填43-．考点：三角变换29.【2015湖南文15】已知ω>0,在函数y=2sin ωx 与y=2cos ωx 的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为ω =_____. 【答案】2πω=【考点定位】三角函数图像与性质【名师点睛】正、余弦函数的图像既是中心对称图形，又是轴对称图形. 应把三角函数的对称性与奇偶性结合，体会二者的统一.这样就能理解条件“距离最短的两个交点”一定在同一个周期内，本题也可从五点作图法上理解.30.【2015高考天津，文14】已知函数()()sin cos 0f x x x ωωω=+>,x ∈R ,若函数()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且函数()f x 的图像关于直线x ω=对称,则ω的值为．【解析】由()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且()f x 的图像关于直线x ω=对称,可得π2ωω≤,且()222πsin cos sin 14f ωωωω⎛⎫=+=⇒+= ⎪⎝⎭,所以2ππ42ωω+=⇒= 【考点定位】本题主要考查三角函数的性质.【名师点睛】本题将三角函数单调性与对称性结合在一起进行考查,叙述方式新颖,是一道考查能力的好题.注意本题解法中用到的两个结论:①()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的单调区间长度是半个周期;②若()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的图像关于直线0x x =对称,则()0f x A =或()0f x A =-.31. 【2014高考重庆文第13题】将函数()()⎪⎭⎫⎝⎛<≤->+=220sin πϕπωϕω，x x f 图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移6π个单位长度得到x y sin =的图像，则=⎪⎭⎫⎝⎛6πf ______.所以1sin sin 62664f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,. 考点：1、三角函数的图象变换；2、特殊角的三角函数值.【名师点睛】本题考查了三角函数的图象变换，特殊角的三角函数值，本题属于基础题，注意图象的平移方向与正负符之间的关系不要弄错了.32.【2015高考四川，文13】已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是______________. 【答案】－1【解析】由已知可得，sin α＝－2cos α，即tan α＝－22sin αcos α－cos 2α＝22222sin cos cos 2tan 1411sin cos tan 141ααααααα----===-+++ 【考点定位】本意考查同角三角函数关系式、三角函数恒等变形等基础知识，考查综合处理问题的能力.【名师点睛】同角三角函数(特别是正余弦函数)求值问题的通常解法是：结合sin 2α＋cos 2α＝1，解出sin α与cos α的值，然后代入计算，但这种方法往往比较麻烦，而且涉及符号的讨论.利用整体代换思想，先求出tan α的值，对所求式除以sin 2α＋cos 2α(＝1)是此类题的常见变换技巧，通常称为“齐次式方法”，转化为tan α的一元表达式，可以避免诸多繁琐的运算.属于中档题.33.【2017北京，文16】已知函数())2sin cos 3f x x -x x π=-.（I ）f (x )的最小正周期；（II ）求证：当[,]44x ππ∈-时，()12f x ≥-．【答案】（Ⅰ）π；（Ⅱ）详见解析.试题解析：（Ⅰ）31π()2sin 2sin 2sin 22sin(2)223f x x x x x x x =+-=+=+. 所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==. （Ⅱ）因为ππ44x -≤≤，所以ππ5π2636x -≤+≤.所以ππ1sin(2)sin()362x +≥-=-.所以当ππ[,]44x ∈-时，1()2f x ≥-.【考点】1.三角函数的性质；2.三角恒等变换.【名师点睛】本题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的图象与性质，本题属于基础题，要求准确应用降幂公式和辅助角公式进行变形，化为标准的()sin y A x ωϕ=+的形式，借助正弦函数的性质去求函数的周期、最值等，但要注意函数的定义域，求最值要给出自变量的取值.34.【2017浙江，18】（本题满分14分）已知函数f （x ）=sin 2x –cos 2x –x cosx （x ∈R ）．（Ⅰ）求)32(πf 的值．（Ⅱ）求)(x f 的最小正周期及单调递增区间．【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）最小正周期为π，单调递增区间为Z k k k ∈++]32,6[ππππ．【解析】试题分析：（Ⅰ）由函数概念32cos 32sin 3232cos 32sin )32(22πππππ--=f ，分别计算可得；（Ⅱ）化简函数关系式得)sin(ϕω+=x A y ，结合ωπ2=T 可得周期，利用正弦函数的性质求函数的单调递增区间．（Ⅱ）由x x x 22sin cos 2cos -=与x x x cos sin 22sin =得)62sin(22sin 32cos )(π+-=--=x x x x f所以)(x f 的最小正周期是π由正弦函数的性质得Z k k x k ∈+≤+≤+,2236222πππππ解得Z k k x k ∈+≤≤+,326ππππ所以)(x f 的单调递增区间是Z k k k ∈++]32,6[ππππ．【考点】三角函数求值、三角函数的性质【名师点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数的性质，属于基础题，强调基础的重要性，是高考中的常考知识点；对于三角函数解答题中，当涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等都属于三角函数的性质，首先都应把它化为三角函数的基本形式即，然后利用三角函数的性质求解．35.【2015高考重庆，文18】已知函数f(x)=122cos x . (Ⅰ)求f （x ）的最小周期和最小值，(Ⅱ)将函数f （x ）的图像上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g （x ）的图像.当x ∈,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，求g(x)的值域.【答案】（Ⅰ）()f x 的最小正周期为p ，最小值为-，（Ⅱ）. 【解析】试题解析： (1) 211()sin 2sin 2cos 2)22f x x x x x =-=-+1sin 22sin(2)23x x x p =--=--,因此()f x 的最小正周期为p ，最小值为-.(2)由条件可知：g()sin()3x x p =--. 当[,]2x p p Î时，有2[,]363x p p p-?，从而sin()3x p -的值域为1[,1]2，那么sin()3x p --的值域为.故g()x 在区间[,]2p p 上的值域是. 【考点定位】1. 三角恒等变换，2.正弦函数的图象及性质，3.三角函数图象变换. 【名师点睛】本题考查三角恒等变形公式及正弦函数的图象及性质，第一问采用先降幂再用辅助角公式将已知函数化为()sin()f x A x B ωϕ=++的形式求解，第二小问在第一问的基础上应用三角函数图象变换知识首先求出函数()g x 的解析式，再结合正弦函数的图象求其值域.本题属于中档题，注意公式的准确性及变换时的符号.36.【2015高考安徽，文16】已知函数2()(sin cos )cos 2f x x x x =++（Ⅰ）求()f x 最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值.【答案】（Ⅰ）π；（Ⅱ）最大值为1+0（Ⅱ）由（Ⅰ）得计算结果，1)42sin(2)(++=πx x f当]2,0[π∈x 时，]45,4[42πππ∈+x由正弦函数x y sin =在]45,4[ππ上的图象知，当242ππ=+x ，即8π=x 时，)(x f 取最大值12+；当4542ππ=+x ，即4π=x 时，)(x f 取最小值0.综上，)(x f 在[0,]2π上的最大值为12+，最小值为0.【考点定位】本题主要考查同角的基本关系、三角恒等变换、三角函数B x A y ++=)sin(ϕω的性质，以及正弦函数的性质.【名师点睛】熟练掌握三角函数的同角的基本关系和恒等变换公式以及三角函数B x A y ++=)sin(ϕω的性质是解决本题的关键，考查了考生的基本运算能力.37.【2015高考福建，文21】已知函数()2cos 10cos 222x x xf x =+．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再向下平移a （0a >）个单位长度后得到函数()g x 的图象，且函数()g x 的最大值为2．（ⅰ）求函数()g x 的解析式；（ⅱ）证明：存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >．【答案】（Ⅰ）2π；（Ⅱ）（ⅰ）()10sin 8g x x =-；（ⅱ）详见解析．【解析】（I ）因为()2cos 10cos 222x x xf x =+5cos 5x x =++10sin 56x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．所以函数()f x 的最小正周期2πT =．（ii ）要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得010sin 80x ->，即04sin 5x >．由45<知，存在003πα<<，使得04sin 5α=．由正弦函数的性质可知，当()00,x απα∈-时，均有4sin 5x >．因为sin y x =的周期为2π，所以当()002,2x k k παππα∈++-（k ∈Z ）时，均有4sin 5x >．因为对任意的整数k ，()()00022213k k πππαπαπα+--+=->>，所以对任意的正整数k ，都存在正整数()002,2k x k k παππα∈++-，使得4sin 5k x >．亦即存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >．【考点定位】1、三角函数的图像与性质；2、三角不等式．【名师点睛】三角函数的定义域、值域、单调性、周期、奇偶性、对称性都是通过将解析式变形为()sin()f x A x ωφ=+进行；若三角函数图象变换是纵向伸缩和纵向平移，都是相对于()f x 而言，即()()f x Af x →和()()f x f x k →+，若三角函数图象变换是横向伸缩和横向平移，都是相对于自变量x 而言，即()()f x f x ω→和()()f x f x a →+；本题第（ⅱ）问是解三角不等式问题，由函数周期性的性质，先在一个周期内求解，然后再加周期，将存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >，转化为解集长度大于1，是本题的核心． 38.【2015高考湖北，文18】某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．．．．，并直接写出函数()f x 的解析式；（Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到()y g x =图象，求 ()y g x =的图象离原点O 最近的对称中心.【答案】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得π5,2,6A ωϕ===-.数据补全如下表：且函数表达式为π()5sin(2)6f x x =-；（Ⅱ）离原点O 最近的对称中心为π(,0)12-.（Ⅱ）由（Ⅰ）知π()5sin(2)6f x x =-，因此πππ()5sin[2()]5sin(2)666g x x x =+-=+.因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k ∈Z . 令π2π6x k +=，解得ππ212k x =-，k ∈Z .即()y g x =图象的对称中心为ππ0212k -（，），k ∈Z ，其中离原点O 最近的对称中心为π(,0)12-. 【考点定位】本题考查五点作图法和三角函数图像的平移与三角函数的图像及其性质，属基础题.【名师点睛】将五点作图法、三角函数图像的平移与三角函数的图像及其性质联系在一起，正确运用方程组的思想，合理的解三角函数值，准确使用三角函数图像的平移和三角函数的图像及其性质是解题的关键，能较好的考查学生基础知识的实际应用能力、准确计算能力和规范解答能力.39.【2016高考北京文数】（本小题13分）已知函数)0(2cos cos sin 2)(>+=ωωωωx x x x f 的最小正周期为π. （1）求ω的值；（2）求)(x f 的单调递增区间. 【答案】（Ⅰ）1ω=（Ⅱ）3,88k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）．sin 2cos 2x x ωω=+24x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期22ππωωT ==．依题意，ππω=，解得1ω=．（II ）由（I ）知()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．函数sin y x =的单调递增区间为2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）．由222242k x k πππππ-≤+≤+，得388k x k ππππ-≤≤+．所以()f x 的单调递增区间为3,88k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）．考点：两角和的正弦公式、周期公式、三角函数的单调性.【名师点睛】三角函数的单调性：1.三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为基本三角函数标准式，然后通过同解变形或利用数形结合方法求解．关于复合函数的单调性的求法；2利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小，必须先看两角是否同属于这一函数的同一单调区间内，不属于的，可先化至同一单调区间内．若不是同名三角函数，则应考虑化为同名三角函数或用差值法(例如与0比较，与1比较等)求解． 40.【2014高考北京文第16题】（本小题满分13分）函数()3sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（1）写出()f x 的最小正周期及图中0x 、0y 的值；（2）求()f x 在区间,212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【答案】（1）π，076x π=， 03y =；（2）最大值0，最小值3-.（2）因为[,]212x ππ∈--，所以52[,0]66x ππ+∈-，于是当206x π+=，即12x π=-时，()f x 取得最大值0；当262x ππ+=-，即3x π=-时，()f x 取得最小值3-.考点：本小题主要考查三角函数的图象与性质，求三角函数的最值等基础知识，考查同学们数形结合、转化与化归的数学思想，考查同学们分析问题与解决问题的能力. 41.【2016高考山东文数】（本小题满分12分）设2()π)sin (sin cos )f x x x x x =--- . （I ）求()f x 得单调递增区间；（II ）把()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移π3个单位，得到函数()y g x =的图象，求π()6g 的值. 【答案】（I ）()f x 的单调递增区间是()5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（或()5(,)1212k k k Z ππππ-+∈）（∏由()222,232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈即得()5,1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈写出()f x 的单调递增区间（∏）由()f x 2sin 21,3x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭平移后得()2sin 1.g x x =+-进一步可得.6g π⎛⎫ ⎪⎝⎭试题解析：（I ）由()()()2sin sin cos f x x x x x π=---()212sin cos x x x =-- )1cos 2sin 21x x =-+-sin 221x x =-+-2sin 21,3x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭由()222,232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈得()5,1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈所以，()f x 的单调递增区间是()5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（或()5(,)1212k k k Z ππππ-+∈）（∏）由（I ）知()f x 2sin 21,3x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭把()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y =2sin 13x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，再把得到的图象向左平移3π个单位，得到y 2sin 1x =+-的图象，即()2sin 1.g x x =+-所以 2sin 166g ππ⎛⎫=+-=⎪⎝⎭考点：1.和差倍半的三角函数；2.三角函数的图象和性质；3.三角函数图象的变换. 【名师点睛】本题主要考查和差倍半的三角函数、三角函数的图象和性质、三角函数图象的变换.此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，利用“左加右减、上加下减”变换原则，得出新的函数解析式并求值.本题较易，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.42.【2015高考北京，文15】（本小题满分13分）已知函数()2sin 2xf x x =-．（I ）求()f x 的最小正周期；（II ）求()f x 在区间20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值．【答案】（I ）2π；（II ）数的最小正周期；（II ）将x 的取值范围代入，先求出3x π+的范围，再数形结合得到三角函数的最小值.试题解析：（Ⅰ）∵()sin 2sin()3f x x x x π=+-=+-，∴()f x 的最小正周期为2π.（Ⅱ）∵203x π≤≤，∴33x πππ≤+≤. 当3x ππ+=，即23x π=时，()f x 取得最小值.∴()f x 在区间2[0,]3π上的最小值为2()3f π=.考点：倍角公式、两角和的正弦公式、三角函数的周期、三角函数的最值.【名师点晴】本题主要考查的是降幂公式、辅助角公式、三角函数的最小正周期和三角函数的最值，属于中档题．解题时要注意重要条件“20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是降幂公式、辅助角公式、三角函数的最小正周期和三角函数的图象，即211sin cos 222αα=-+，()sin cos a x b x x ϕ+=+，函数()()sin f x x ωϕ=A +（0A >，0ω>）的最小正周期是2πωT =．43.【2015高考广东，文16】（本小题满分12分）已知tan 2α=．（1）求tan 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值；。

专题07+三角变换和解三角形[易错起源]_2018高考数学[理]备考黄金易错点+含解析

1.【2017山东，理9】在C ∆AB 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若C ∆AB 为锐角三角形，且满足()sin 12cosC 2sin cosC cos sinC B +=A +A ，则下列等式成立的是（A ）2a b = （B ）2b a = （C ）2A =B （D ）2B =A 【答案】A【解析】sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+ 所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，选A.2.【2017北京，理12】在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=，cos()αβ-=___________. 【答案】79-3.【2017浙江，14】已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2．点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连结CD ，则△BDC 的面积是______，cos∠BDC =_______．【解析】取BC 中点E ，DC 中点F ，由题意：,AE BC BF CD ⊥⊥，△ABE 中，1cos 4BE ABC AB ∠==，1cos ,sin 4DBC DBC ∴∠=-∠==，BC 1sin 2D S BD BC DBC ∴=⨯⨯⨯∠=△又21cos 12sin ,sin 4DBC DBF DBF ∴∠=-∠=-∴∠=，cos sin 4BDC DBF ∴∠=∠=，综上可得，△BCD 面积为2，cos 4BDC ∠=．4.【2017课标II ，理17】ABC ∆的内角A B C 、、所对的边分别为,,a b c ，已知()2sin 8sin 2BA C +=，（1）求cosB ；（2）若6a c +=，ABC ∆的面积为2，求b 。

【答案】(1)15cos 17B =； (2) b=2 【解析】b=2（1）由题设及，故上式两边平方，整理得解得（2）由，故又由余弦定理及得所以b=2.1.【2016高考新课标2理数】若3cos()45πα-=，则sin 2α=（）（A ）725 （B ）15 （C ）15- （D ）725- 【答案】D【解析】2237cos 22cos 12144525ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，且cos 2cos 2sin 242ππααα⎡⎤⎛⎫⎡⎤-=-=⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故选D.2.【2016高考新课标3理数】若3tan 4α= ，则2cos 2sin 2αα+=（） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【答案】A 【解析】由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．7.【2016高考天津理数】在△ABC 中，若AB ，120C ∠= ,则AC = （）（A ）1（B ）2（C ）3（D ）4【答案】A【解析】由余弦定理得213931AC AC AC =++⇒=,选A.8.【2016高考江苏卷】在锐角三角形ABC 中，若sin 2sin sin A B C =，则tan tan tan A B C 的最小值是 ▲ . 【答案】8.【解析】sin sin()2sin sin tan tan 2tan tan A B+C B C B C B C ==⇒+=，又tan tan tan tan tan 1B+CA=B C -，因tan tan tan tan tan tan tan 2tan tan tan tan tan 8,A B C A B C A B C A B C =++=+≥≥即最小值为8.9.【2016年高考四川理数】（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且cos cos sin A B Ca b c+=. （I ）证明：sin sin sin A B C =；（II ）若22265b c a bc +-=，求tan B . 【答案】（Ⅰ）证明详见解析；（Ⅱ）4.【解析】（Ⅱ）由已知，b 2+c 2–a 2=65bc ，根据余弦定理，有 cos A=2222b c a bc +-=35．所以=45．由（Ⅰ），sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B ，所以45sin B=45cos B+35sin B ，故tan B=sin cos BB=4．10.【2016高考浙江理数】（本题满分14分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 已知b +c =2a cos B.（I ）证明：A =2B ；（II ）若△ABC 的面积2=4a S ，求角A 的大小.【答案】（I ）证明见解析；（II ）2π或4π．【解析】（Ⅰ）由正弦定理得sin sin 2sin cos B C A B +=，故()2sin cos sin sin sin sin cos cos sin A B B A B B A B A B =++=++，于是()sin sin ΒA Β=-．又A ，()0,πB ∈，故0πA B <-<，所以()πB A B =--或B A B =-，因此πA =（舍去）或2A B =，所以，2A B =．（Ⅱ）由24a S =得21sin 24a ab C =，故有1sin sin sin 2sin cos 2B C B B B ==，因为sin 0B ≠，所以sin cos C B =．又B ，()0,πC ∈，所以π2C B =±．当π2B C +=时，π2A =；当π2C B -=时，π4A =．综上，π2A =或π4A =．易错起源1、三角恒等变换例1、(1)已知α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＝________.(2)已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于( ) A.5π12 B.π3 C.π4D.π6答案 (1)2425(2)C解析 (1)因为α为锐角，cos(α＋π6)＝35>0，所以α＋π6为锐角，sin(α＋π6)＝45，则sin(2α＋π3)＝2sin(α＋π6)cos(α＋π6)＝2×45×35＝2425.又cos(2α－π6)＝sin(2α＋π3)，所以cos(2α－π6)＝2425.(2)因为α，β均为锐角，所以－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－1010，所以cos(α－β)＝31010.又sin α＝55，所以cos α＝255，所以sin β＝sin[α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝55×31010－255×(－1010)＝22. 所以β＝π4.【变式探究】(1)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝7210，cos2α＝725，则sin α等于( ) A.45 B ．－45 C ．－35 D.35 (2)3cos10°－1sin170°等于( ) A ．4 B ．2 C ．－2D ．－4答案 (1)D (2)D解析 (1)由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝7210，得sin αcos π4－cos αsin π4＝7210，即sin α－cos α＝75，①又cos2α＝725，所以cos 2α－sin 2α＝725，即(cos α＋sin α)·(cos α－sin α)＝725，因此cos α＋sin α＝－15.②由①②得sin α＝35，故选D.(2)3cos10°－1sin170°＝3cos10°－1sin10°＝3sin10°－cos10°sin10°cos10°＝－12sin20°＝－2sin20°12sin20°＝－4，故选D. 【名师点睛】(1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现张冠李戴的情况．(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解．【锦囊妙计，战胜自我】 1．三角求值“三大类型”“给角求值”、“给值求值”、“给值求角”． 2．三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan45°等；(2)项的分拆与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α，α＝(α－β)＋β等； (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次； (4)弦、切互化：一般是切化弦．易错起源2、正弦定理、余弦定理例2、(1)(2016·课标全国丙)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A 等于( )A.31010 B.1010C ．－1010D ．－31010(2)(2015·北京)在△ABC 中，a ＝3，b ＝6，A ＝2π3，则B ＝________.答案 (1)C (2)π4解析 (1)设△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则由题意得S △ABC ＝12a ·13a ＝12ac sin B ，∴c ＝23a .由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝a 2＋29a 2－2×a ×23a ×22＝59a 2，∴b ＝53a . ∴cos A ＝b 2＋c 2－a22bc＝59a 2＋29a 2－a 22×53a ·23a ＝－1010. 故选C.(2)由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝6sin2π33＝22，因为A 为钝角，所以B ＝π4.【变式探究】如图，在△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍．(1)求sin B sin C ；(2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长．(2)因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ，所以BD ＝ 2. 在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理知AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos∠ADB ， AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos∠ADC .故AB 2＋2AC 2＝3AD 2＋BD 2＋2DC 2＝6，由(1)知AB ＝2AC ，所以AC ＝1. 【名师点睛】关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．【锦囊妙计，战胜自我】1．正弦定理：在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．变形：a ＝2R sin A ，sin A ＝a2R，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 等．2．余弦定理：在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc.易错起源3、解三角形与三角函数的综合问题例3 (2015·山东)设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4. (1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值．解 (1)由题意知f (x )＝sin2x 2－1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π22＝sin2x 2－1－sin2x 2＝sin2x －12. 由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z ，可得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π，k ∈Z ；由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z ，可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )；单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z )．(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12，由题意知A 为锐角，所以cos A ＝32. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，即bc ≤2＋3，且当b ＝c 时等号成立．因此12bc sin A ≤2＋34.所以△ABC 面积的最大值为2＋34.【变式探究】已知函数f (x )＝cos 2x ＋23sin x cos x －sin 2x . (1)求f (x )的最小正周期和值域；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若f (A2)＝2且a 2＝bc ，试判断△ABC 的形状．解 (1)f (x )＝cos 2x ＋23sin x cos x －sin 2x ＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π6)，所以T ＝π，f (x )∈[－2,2]．【名师点睛】完美WORD格式资料解三角形与三角函数的综合题，要优先考虑角的范围和角之间的关系；对最值或范围问题，可以转化为三角函数的值域来求．【锦囊妙计，战胜自我】解三角形与三角函数的综合是近几年高考的热点，主要考查三角形的基本量，三角形的面积或判断三角形的形状．专业整理分享。

高考数学压轴专题(易错题)备战高考《三角函数与解三角形》经典测试题及答案

数学高考《三角函数与解三角形》复习资料一、选择题1．在ABC ∆中，若2sin sin cos 2CA B =，则ABC ∆是（） A ．等边三角形 B ．等腰三角形C ．不等边三角形D ．直角三角形【答案】B 【解析】试题分析：因为2sin sin cos2CA B =，所以，1cos sin sin 2C A B +=，即2sin sin 1cos[()],cos()1A B A B A B π=+-+-=,故A=B ，三角形为等腰三角形，选B 。

考点：本题主要考查和差倍半的三角函数，三角形内角和定理，诱导公式。

点评：简单题，判断三角形的形状，一般有两种思路，一种是从角入手，一种是从边入手。

2．已知函数()2sin()0,,2f x x πωϕωϕπ⎛⎫⎡⎤=+>∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的部分图象如图所示，其中()01f =，5||2MN =，则点M 的横坐标为（）A ．12B ．25-C ．1-D ．23-【答案】C 【解析】【分析】由(0)1f =求出56πϕ=，由5||23MN πω=⇒=，再根据()2f x =可得答案.【详解】由函数()2sin()0,,2f x x πωϕωϕπ⎛⎫⎡⎤=+>∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的部分图象，可得(0)2sin 1f ϕ==，56πϕ∴=， 22512||2243MN ππωω⎛⎫==+⋅= ⎪⎝⎭，∴函数5()2sin 36f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令52sin 236x ππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得52,0362x k k ππππ+=+=得1x =-. 故选：C. 【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，考查了数形结合思想的应用，解题的关键是利用勾股定理列方程求出3πω=，属于中档题.3．上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图1），充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图2为骨笛测量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意图，图3是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）的夹角等于黄赤交角.由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如下表：黄赤交角 2341︒'2357︒'2413︒'2428︒'2444︒'正切值 0.439 0.444 0.450 0.455 0.461 年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是( ) A ．公元前2000年到公元元年 B ．公元前4000年到公元前2000年 C ．公元前6000年到公元前4000年 D ．早于公元前6000年【答案】D 【解析】【分析】先理解题意，然后根据题意建立平面几何图形，在利用三角函数的知识计算出冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角，即可得到正确选项．【详解】解：由题意，可设冬至日光与垂直线夹角为α，春秋分日光与垂直线夹角为β，则αβ-即为冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角，将图3近似画出如下平面几何图形：则16tan 1.610α==，169.4tan 0.6610β-==， tan tan 1.60.66tan()0.4571tan tan 1 1.60.66αβαβαβ---==≈++⨯g ．0.4550.4570.461<<Q ，∴估计该骨笛的大致年代早于公元前6000年．故选：D ．【点睛】本题考查利用三角函数解决实际问题的能力，运用了两角和与差的正切公式，考查了转化思想，数学建模思想，以及数学运算能力，属中档题．4．{}n a 为等差数列，公差为d ，且01d <<，5()2k a k Z π≠∈，223557sin 2sin cos sin a a a a +⋅=，函数()sin(4)(0)f x d wx d w =+>在20,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调且存在020,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()f x 关于0(,0)x 对称，则w 的取值范围是（） A ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．24,33⎛⎤⎥⎝⎦D ．33,42⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D 【解析】【分析】推导出sin4d ＝1，由此能求出d ，可得函数解析式，利用在203x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，上单调且存在()()0020203x f x f x x π⎛⎫∈+-= ⎪⎝⎭，，，即可得出结论．【详解】∵{a n }为等差数列，公差为d ，且0＜d ＜1，a 52k π≠（k ∈Z ），sin 2a 3+2sin a 5•cos a 5＝sin 2a 7， ∴2sin a 5cos a 5＝sin 2a 7﹣sin 2a 3＝2sin 372a a +cos 732a a -•2cos 372a a +sin 732a a -=2sin a 5cos2d •2cos a 5sin2d ， ∴sin4d ＝1，∴d 8π=．∴f （x ）8π=cosωx ，∵在203x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，上单调 ∴23ππω≥， ∴ω32≤；又存在()()0020203x f x f x x π⎛⎫∈+-= ⎪⎝⎭，，，所以f （x ）在（0，23π）上存在零点，即223ππω＜，得到ω34＞．故答案为 33,42⎛⎤⎥⎝⎦故选D 【点睛】本题考查等差数列的公差的求法，考查三角函数的图象与性质，准确求解数列的公差是本题关键，考查推理能力，是中档题．5．设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=（）A ．B ．CD 【答案】B 【解析】【分析】由辅助角公式可确定()max f x =sin 2cos θθ-=平方关系可构造出方程组求得结果. 【详解】()()sin 2cos f x x x x ϕ=-=+Q ，其中tan 2ϕ=-()max f x ∴sin 2cos θθ-=又22sin cos 1θθ+= cos θ∴=【点睛】本题考查根据三角函数的最值求解三角函数值的问题，关键是能够确定三角函数的最值，从而得到关于所求三角函数值的方程，结合同角三角函数关系构造方程求得结果.6．定义在R 上的函数()f x 既是偶函数又是周期函数，若()f x 的最小正周期是π，且当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()sin f x x =，则5π3f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为( )A ．12-B ．2C ．D ．12【答案】B 【解析】分析：要求53f π⎛⎫⎪⎝⎭，则必须用()sin f x x =来求解，通过奇偶性和周期性，将变量转化到区间02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上，再应用其解析式求解详解：()f x Q 的最小正周期是π552333f f f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()f x Q 是偶函数33f f ππ⎛⎫⎛⎫∴-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，533f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q 当02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()sin f x x =，则5 sin 3332f f πππ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选B点睛：本题是一道关于正弦函数的题目，掌握正弦函数的周期性是解题的关键，考查了函数的周期性和函数单调性的性质．7．在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，已知cos cos 2b C c B b +=，则ab=( )A ．B ．2CD ．1【答案】B 【解析】【分析】由正弦定理及题设可知，sin cos sin cos 2sin B C C B B +=，即sin()2sin B C B +=，又A B C π++=，可得sin 2sin A B =，再由正弦定理，可得解【详解】由正弦定理：2sin sin b cR B C==，又cos cos 2b C c B b += 得到sin cos sin cos 2sin B C C B B +=，即sin()2sin B C B +=在ABC ∆中，A B C π++=故sin()2sin A B π-=，即sin 2sin A B =故sin 2sin a A b B == 故选：B 【点睛】本题考查了正弦定理在边角互化中的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题8．已知πππsin()cos()0,322ααα++-=-<<则2πcos()3α+等于（）A B ．35-C ．45D ．35【答案】C 【解析】【分析】首先根据等式化简，得到4sin 65πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，再利用诱导公式化简2cos 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭求值. 【详解】解析：∵ππsin cos 32αα⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13sin sin sin 22ααααα+==6πα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ ∴π4sin 65()α+=-.又2ππππcos cos sin 32()())6(6ααα+=++=-+，∴2π4co (s 35)α+=. 故选：C 【点睛】本题考查三角恒等变换，化简求值，重点考查转化与变形，计算能力，属于基础题型.9．函数y=ππππcos sin cos -sin 4444x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦在一个周期内的图象是( ) A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】【分析】首先根据二倍角余弦公式化简得到函数的解析式，再由函数表达式得到函数的单调性和周期，进而得到选项. 【详解】根据两角和差公式展开得到： y=ππππcos sin cos -sin 4444x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦22πππcos sin cos 2424x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎝⎭⎭=-sin2x ,函数在0的右侧是单调递减的，且周期为π，故选B. 故答案选B . 【点睛】这个题目考查了三角函数的恒等变换，题型为已知函数表达式选择函数的图像，这种题目，一般是先根据函数的表达式得到函数的定义域，或者值域，进行排除；也可以根据函数的表达式判断函数的单调性,周期性等，之后结合选项选择.10．若函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，||)2πϕ<图象的一个对称中心为(3π，0)，其相邻一条对称轴方程为712x π=，该对称轴处所对应的函数值为1-，为了得到()cos2g x x =的图象，则只要将()f x 的图象( )A ．向右平移6π个单位长度 B ．向左平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移12π个单位长度【答案】B 【解析】【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，可得()f x 的解析式，再根据函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，诱导公式，得出结论．【详解】根据已知函数()()sin f x A x ωϕ=+(其中0A >，)2πϕ<的图象过点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，7,112π⎛⎫-⎪⎝⎭，可得1A =，1274123πππω⋅=-，解得：2ω=．再根据五点法作图可得23πϕπ⋅+=，可得：3πϕ=，可得函数解析式为：()sin 2.3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭故把()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移12π个单位长度，可得sin 2cos236y x x ππ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭的图象，故选B ．【点睛】本题主要考查由函数()sin y A x ωϕ=+的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，诱导公式的应用，属于中档题．11．若,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2cos2sin 4παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则sin 2α的值为（） A ．78-B ．78C ．18-D ．18【答案】A【分析】利用二倍角公式及两角差的正弦公式化简得到cos sin 4αα+=，再将两边平方利用二倍角正弦公式计算可得；【详解】解：因为2cos2sin 4παα⎛⎫=-⎪⎝⎭所以()222cos sin sincos cossin 44ππαααα-=-所以()())2cos sin cos sin cos sin 2αααααα-+=- ,cos sin 02παπαα⎛⎫∈-≠ ⎪⎝⎭Q ，所以cos sin αα+=所以()21cos sin 8αα+=，即221cos 2cos sin sin 8αααα++=，11sin 28α+= 所以7sin 28α=- 故选：A 【点睛】本题考查两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用，属于中档题；12．函数()2sin sin cos y x x x =+的最大值为（）A ．1B 1CD ．2【答案】A 【解析】由题意，得()22sin sin cos 2sin 2sin cos sin2cos21y x x x x x x x x =+=+=-+π2114x ⎛⎫=-+≤ ⎪⎝⎭；故选A.13．直线y a =与函数()tan (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象的相邻两个交点的距离为2π，若()f x 在()(),0m m m ->上是增函数，则m 的取值范围是（）A ．(0,]4πB ．(0,]2πC ．3(0,]4π D ．3(0,]2π【解析】【分析】根据直线y a =与函数()f x 的图象的相邻两个交点的距离为一个周期，得到12ω=，则()1tan 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后求得其单调增区间，再根据()f x 在()(),0m m m ->上是增函数，由(,)m m -是增区间的子集求解. 【详解】因为直线y a =与函数()f x 的图象的相邻两个交点的距离为一个周期，所以12ω=，()1tan 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由12242k x k πππππ-<+<+，得322()22k x k k ππππ-<<+∈Z ，所以()f x 在3,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数，由3(,),22m m ππ⎛⎫-⊆- ⎪⎝⎭，解得02m π<≤.故选：B 【点睛】本题主要考查正切函数的图象和性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题14．已知2433sin 5cos 77ππαα⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan 14πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．53-B ．35-C ．35D ．53【答案】B 【解析】【分析】根据诱导公式计算得到35tan 73πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故3tan tan 1472πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，解得答案. 【详解】由诱导公式可知24333sin 3sin 33sin 777πππαπαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又2433sin 5cos 77ππαα⎛⎫⎛⎫+=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得333sin 5cos 77ππαα⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以35tan 73πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，313tan tan 314725tan 7πππααπα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-=-=- ⎪⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦+ ⎪⎝⎭. 故选：B . 【点睛】本题考查了三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和转化能力.15．函数2()sin cos 2cos f x a x a x x =+-的图象关于直线4πx =-对称，则()f x 的最大值为（） A ．2BC．D或【答案】D 【解析】【分析】根据函数2()sin cos 2cos f x a x a x x =+-的图象关于直线4πx =-对称，则有()(0)2f f π-=，解得a ，得到函数再求最值.【详解】因为函数2()sin cos 2cos f x a x a x x =+-的图象关于直线4πx =-对称，所以()(0)2f f π-=，即220a a +-=，解得2a =-或1a =，当2a =-时，()sin 2cos 2cos 44f x x x x x π⎛⎫=--=-⎪⎝⎭，此时()f x的最大值为；当1a =时，()sin cos 2cos 4f x x x x x π⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭，此时()f x；综上()f x或. 故选：D 【点睛】本题主要考查三角函数的性质，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.16．某船开始看见灯塔A 时，灯塔A 在船南偏东30o 方向，后来船沿南偏东60︒的方向航行45km 后，看见灯塔A 在船正西方向，则这时船与灯塔A 的距离是（） A ．152km B ．30kmC ．15kmD ．153km【答案】D 【解析】【分析】如图所示，设灯塔位于A 处，船开始的位置为B ，船行45km 后处于C ，根据题意求出BAC ∠与BAC ∠的大小，在三角形ABC 中，利用正弦定理算出AC 的长，可得该时刻船与灯塔的距离．【详解】设灯塔位于A 处，船开始的位置为B ，船行45km 后处于C ，如图所示，可得60DBC ∠=︒，30ABD ∠=︒，45BC =30ABC ∴∠=︒，120BAC ∠=︒在三角形ABC 中，利用正弦定理可得：sin sin AC BCABC BAC=∠∠，可得sin 1153sin 23BC ABC AC km BAC ∠===∠ 故选D 【点睛】本题主要考查的是正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解决本题的关键，属于基础题．17．已知曲线1:sin C y x =，21:cos 23C y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下面结论正确的是（）A ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2CC ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移3π个单位长度，得到曲线2CD ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移3π个单位长度，得到曲线2C 【答案】D 【解析】【分析】根据三角函数的周期变换和左右平移变换依次得到各选项中所得的函数解析式，从而得到正确选项. 【详解】A 中，将sin y x =横坐标缩短到原来的12倍得：sin 2y x =；向右平移3π个单位长度后得：2sin 2sin 2sin 2cos 233266y x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，A 错误；B 中，将sin y x =横坐标伸长到原来的2倍得：1sin2y x =；向右平移3π个单位长度后得：11121sin sin cos cos 232622632y x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，B 错误；C 中，将sin y x =横坐标缩短到原来的12倍得：sin 2y x =；向左平移3π个单位长度后得：2sin 2sin 2sin 2cos 233266y x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，C 错误；D 中，将sin y x =横坐标伸长到原来的2倍得：1sin2y x =；向左平移3π个单位长度后得：1111sin sin cos cos 232622623y x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，D 正确. 故选：D 【点睛】本题考查三角函数的周期变换和平移变换的问题，关键是能够准确掌握变换原则，得到变换后的函数解析式.18．40cos2d cos sin xx x xπ=+⎰（）A ．1)B 1C 1D ．2【答案】C 【解析】【分析】利用三角恒等变换中的倍角公式，对被积函数进行化简，再求积分. 【详解】因为22cos2cos sin cos sin cos sin cos sin x x xx x x x x x-==-++，∴4400cos 2d (cos sin )d (sin cos )14cos sin 0xx x x x x x x x πππ=-=+=+⎰⎰，故选C ．【点睛】本题考查三角恒等变换知与微积分基本定理的交汇.19．在ABC △中，若a ＝3，c ＝7，∠C ＝60°，则边长b 为 A ．5 B ．8 C ．5或－8 D ．－5或8【答案】B 【解析】由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得24993b b =+-，即()()850b b -+=，因为b ＞0，所以b ＝8.故选B ．20．设函数()()sin f x x x x R =∈，则下列结论中错误的是（） A ．()f x 的一个周期为2π B ．()f x 的最大值为2 C ．()f x 在区间2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 D ．3f x π⎛⎫+⎪⎝⎭的一个零点为6x π=【答案】D 【解析】【分析】先利用两角和的正弦公式化简函数()f x ，再由奇偶性的定义判断A ；由三角函数的有界性判断B ；利用正弦函数的单调性判断C ；将6x π=代入 3f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭判断D .【详解】()sin f x x x = 23sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()f x 周期22,1T A ππ==正确； ()f x 的最大值为2，B 正确，25,,,63326x x πππππ⎛⎫⎛⎫∈∴+∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭Q ，()f x ∴在2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上递减，C 正确； 6x π=时，1032f x f ππ⎛⎫⎛⎫+==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，6x π=不是3f x π⎛⎫+⎪⎝⎭的零点，D 不正确. 故选D. 【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查两角和的正弦公式以及三角函数的单调性、三角函数的周期性、三角函数的最值与零点，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于中档题.。

高考数学压轴专题(易错题)备战高考《三角函数与解三角形》知识点总复习含答案

【高中数学】数学《三角函数与解三角形》复习知识点(1)一、选择题1．已知ππ43πsin()cos(),0,322ααα++-=--<<则2πcos()3α+等于（）A ．5B ．35-C ．45D ．35【答案】C 【解析】【分析】首先根据等式化简，得到4sin 65πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，再利用诱导公式化简2cos 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭求值. 【详解】解析：∵ππ43sin cos 32αα⎛⎫⎛⎫++-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭133343sin cos sin sin cos 22225ααααα++=+=-433sin 65πα⎛⎫=+=-⎪⎝⎭ ∴π4sin 65()α+=-.又2ππππcos cos sin 32()())6(6ααα+=++=-+， ∴2π4co (s 35)α+=. 故选：C 【点睛】本题考查三角恒等变换，化简求值，重点考查转化与变形，计算能力，属于基础题型.2．若θ是第二象限角，则下列选项中能确定为正值的是( ) A ．sin B ．cosC ．tanD ．cos2θ【答案】C 【解析】【分析】直接利用三角函数象限角的三角函数的符号判断即可．【详解】由θ是第二象限角可得为第一或第三象限角，所以tan ＞0.故选C 【点睛】本题考查三角函数值的符号的判断，是基础题．3．在三角形ABC 中，给出命题:p “2ab c >”，命题:q “3C π<”，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由余弦定理将2c 化为222cos a b ab C +-，整理后利用基本不等式求得12cos 2C +>，求出C 范围，即可判断充分性，取4a =，7b =，6c =，则可判断必要性不成立，两者结合可得正确的选项. 【详解】充分性：由余弦定理，2222cos c a b ab C =+-，所以2ab c >，即222cos ab a b ab C >+-，整理得，2212cos a b C ab++>，由基本不等式，222a b ab +≥=，当且仅当a b =时等号成立，此时，12cos 2C +>，即1cos 2C >，解得3C π<，充分性得证；必要性：取4a =，7b =，6c =，则164936291cos 247562C +-==>⨯⨯，故3C π<，但228ab c =<，故3C π<推不出2ab c >.故必要性不成立；故p 是q 的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】本题主要考查充分必要条件的判断、余弦定理的应用和基本不等式的应用，考查学生分析转化能力，属于中档题.4．已知在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos cos b C c B =，则111tan tan tan A B C++的最小值为（）A B C D ．【答案】A【解析】【分析】先根据已知条件，把边化成角得到B,C 关系式，结合均值定理可求. 【详解】∵2cos cos b C c B =，∴2sin cos sinCcos B C B =， ∴tan 2tan C B =.又A B C π++=， ∴()()tan tan tan A B C B C π=-+=-+⎡⎤⎣⎦22tan tan 3tan 3tan 1tan tan 12tan 2tan 1B C B BB C B B +=-=-=---，∴21112tan 111tan tan tan 3tan tan 2tan B A B C B B B -++=++27tan 36tan B B =+. 又∵在锐角ABC ∆中, tan 0B >,∴27tan 36tan B B +≥=，当且仅当tan B =时取等号，∴min111tan tan tan A B C ⎛⎫++=⎪⎝⎭ A. 【点睛】本题主要考查正弦定理和均值定理，解三角形时边角互化是求解的主要策略，侧重考查数学运算的核心素养.5．已知函数sin(),0()cos(),0x a x f x x b x +≤⎧=⎨+>⎩的图像关于y 轴对称，则sin y x =的图像向左平移（）个单位，可以得到cos()y x a b =++的图像（）.A ．4π B ．3π C ．2π D ．π【答案】D 【解析】【分析】根据条件确定,a b 关系，再化简()cos y x a b =++，最后根据诱导公式确定选项. 【详解】因为函数()()(),0,0sin x a x f x cos x b x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩的图像关于y 轴对称，所以sin cos 22a b ππ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()sin cos a b ππ-+=+，即sin cos sin cos b a a b ，==，因此π2π()2a b k k Z +=+∈，从而()()cos sin y x a b sinx x π=++=-=+,选D. 【点睛】本题考查偶函数性质、诱导公式、三角函数图象变换，考查基本分析识别能力，属中档题.6．已知函数f （x ）＝2x －1，()2cos 2,0?2,0a x x g x x a x +≥⎧=⎨+<⎩（a ∈R ），若对任意x 1∈[1，＋∞），总存在x 2∈R ，使f （x 1）＝g （x 2），则实数a 的取值范围是（）A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．[]1,1,22⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭U D ．371,,224⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦U 【答案】C 【解析】【分析】对a 分a=0,a ＜0和a ＞0讨论，a ＞0时分两种情况讨论，比较两个函数的值域的关系，即得实数a 的取值范围. 【详解】当a =0时，函数f （x ）＝2x －1的值域为[1,+∞），函数()g x 的值域为[0,++∞），满足题意. 当a ＜0时，y =22(0)x a x +<的值域为（2a ,+∞）, y =()cos 20a x x +≥的值域为[a +2,-a +2],因为a +2-2a =2-a >0,所以a +2＞2a , 所以此时函数g (x )的值域为（2a ,+∞）, 由题得2a ＜1，即a ＜12，即a ＜0. 当a ＞0时，y =22(0)x a x +<的值域为（2a ,+∞）,y =()cos 20a x x +≥的值域为[-a +2,a +2], 当a ≥23时，-a +2≤2a ,由题得21,1222a a a a-+≤⎧∴≤≤⎨+≥⎩. 当0＜a ＜23时，-a +2＞2a ，由题得2a ＜1，所以a ＜12.所以0＜a ＜12. 综合得a 的范围为a ＜12或1≤a ≤2，故选C . 【点睛】本题主要考查函数的图象和性质，考查指数函数和三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7．将函数cos y x =的图象先左移4π，再纵坐标不变，横坐标缩为原来的12，所得图象的解析式为（） A ．sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．13sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．1sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．3sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】根据三角函数的平移伸缩变换法则得到答案. 【详解】cos sin 2y x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭向左平移4π个单位，故变为3sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，纵坐标不变，横坐标缩为原来的12，变为3sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 故选：D . 【点睛】本题考查了三角函数的平移伸缩变换，意在考查学生对于平移伸缩变换的理解和掌握.8．{}n a 为等差数列，公差为d ，且01d <<，5()2k a k Z π≠∈，223557sin 2sin cos sin a a a a +⋅=，函数()sin(4)(0)f x d wx d w =+>在20,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调且存在020,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()f x 关于0(,0)x 对称，则w 的取值范围是（） A ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．24,33⎛⎤⎥⎝⎦D ．33,42⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D 【解析】【分析】推导出sin4d ＝1，由此能求出d ，可得函数解析式，利用在203x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，上单调且存在()()0020203x f x f x x π⎛⎫∈+-= ⎪⎝⎭，，，即可得出结论．【详解】∵{a n }为等差数列，公差为d ，且0＜d ＜1，a 52k π≠（k ∈Z ）， sin 2a 3+2sin a 5•cos a 5＝sin 2a 7， ∴2sin a 5cos a 5＝sin 2a 7﹣sin 2a 3＝2sin 372a a +cos 732a a -•2cos 372a a +sin 732a a -=2sin a 5cos2d •2cos a 5sin2d ， ∴sin4d ＝1，∴d 8π=．∴f （x ）8π=cosωx ，∵在203x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，上单调 ∴23ππω≥， ∴ω32≤；又存在()()0020203x f x f x x π⎛⎫∈+-= ⎪⎝⎭，，，所以f （x ）在（0，23π）上存在零点，即223ππω＜，得到ω34＞．故答案为 33,42⎛⎤⎥⎝⎦故选D 【点睛】本题考查等差数列的公差的求法，考查三角函数的图象与性质，准确求解数列的公差是本题关键，考查推理能力，是中档题．9．已知函数()sin (0)f x x x ωωω=+>的图象关于直线8x π=对称，则ω的最小值为（） A ．13B ．23C ．43D ．83【答案】C 【解析】【分析】利用辅助角公式将函数()y f x =的解析式化简为()2sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，根据题意得出()832k k Z πππωπ+=+∈，可得出关于ω的表达式，即可求出正数ω的最小值.【详解】()sin 3cos 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭Q ，由于该函数的图象关于直线8x π=对称，则()832k k Z πππωπ+=+∈，得()483k k Z ω=+∈， 0ω>Q ，当0k =时，ω取得最小值43.故选：C. 【点睛】本题考查利用正弦型函数的对称性求参数，解题时要将三角函数的解析式利用三角恒等变换思想化简，并通过对称性列出参数的表达式求解，考查计算能力，属于中等题.10．已知函数()sin()f x x πϕ=+某个周期的图象如图所示，A ，B 分别是()f x 图象的最高点与最低点，C 是()f x 图象与x 轴的交点，则tan ∠BAC ＝（）A ．12B ．47C 255D 76565【答案】B 【解析】【分析】过A 作AD 垂直于x 轴于点D ，AB 与x 轴交于E ，设C （a ，0），可得32CD =，11,2AD DE ==，3tan 2CD CAD AD ∠==，1tan 2ED EAD AD ∠==，再利用tan tan()BAC CAD EAD ∠=∠-∠计算即可.【详解】过A 作AD 垂直于x 轴于点D ，AB 与x 轴交于E ，由题可得周期为2，设(,0)C a ，则1(,1)2B a +-，3(,1)2A a +，所以32CD =，11,2AD DE ==，3tan 2CD CAD AD ∠==，1tan 2ED EAD AD ∠== 所以tan tan tan tan()1tan tan CAD EADBAC CAD EAD CAD EAD∠-∠∠=∠-∠=+∠⋅∠31422317122-==+⨯. 故选：B【点睛】本题主要考查两角差的正切公式，涉及到正弦型函数图象等知识，考查学生数学运算能力，是一道中档题.11．在△ABC 中，7b =，5c =，3B π∠=，则a 的值为 A ．3 B ．4C ．7D ．8【答案】D 【解析】【分析】根据题中所给的条件两边一角，由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，代入计算即可得到所求的值. 【详解】因为7,5,3b c B π==∠=，由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，即214925252a a =+-⨯⨯，整理得25240a a --=，解得8a =或5a =-（舍去），故选D. 【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有余弦定理，解三角形所用的就是正弦定理和余弦定理，结合题中的条件，选择适当的方法求得结果.12．锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c，若()sin 03A B C π⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，b =c =，则角B =（）A ．6π B ．4π C ．3π D ．512π 【答案】B 【解析】【分析】先由()sin 03A B C π⎛⎫+++= ⎪⎝⎭求出3A π=，然后用余弦定理算出a =再用余弦定理算出cos B 即可. 【详解】因为()sin 03A B C π⎛⎫+++= ⎪⎝⎭所以11sin cos sin 02222A A A A A +=-=所以tan A =0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3A π=所以由余弦定理得：22222co 1232222s a b c bc A ⎛-=+-=+⨯= ⎝⎭所以a =所以222232cos 22a c b B ac +-+-===因为0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以4B π=故选：B 【点睛】本题考查的是利用余弦定理解三角形，数据不特殊，计算能力是解题的关键.13．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222b c a bc +=+若2sin sin sin B C A ⋅=，则ABC ∆的形状是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【答案】C 【解析】【分析】直接利用余弦定理的应用求出A 的值，进一步利用正弦定理得到：b ＝c ，最后判断出三角形的形状．【详解】在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b 2+c 2＝a 2+bc ．则：2221222b c a bc cosA bc bc +-===，由于：0＜A ＜π，故：A 3π=．由于：sin B sin C ＝sin 2A ，利用正弦定理得：bc ＝a 2，所以：b 2+c 2﹣2bc ＝0，故：b ＝c ，所以：△ABC 为等边三角形．故选C ．【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．14．已知函数()()sin x f x x R ωφ+=∈，，其中0ωπφπ>-<，≤.若函数()f x 的最小正周期为4π，且当23x π=时，()f x 取最大值，是（） A ．()f x 在区间[]2ππ--，上是减函数 B ．()f x 在区间[]0π-，上是增函数 C ．()f x 在区间[]0π，上是减函数 D ．()f x 在区间[]02π，上是增函数【答案】B 【解析】【分析】先根据题目所给已知条件求得()f x 的解析式，然后求函数的单调区间，由此得出正确选项. 【详解】由于函数()f x 的最小正周期为4π，故2π14π2ω==，即()1sin 2f x x φ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2ππsin 1,33π6f φφ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭=⎭⎝.所以()1πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由π1ππ2π2π2262k x k -≤+≤+，解得4π2π4π4π33k x k -≤≤+，故函数的递增区间是4π2π4π,4π33k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，令0k =，则递增区间为4π2π,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故B 选项正确.所以本小题选B. 【点睛】本小题主要考查三角函数解析式的求法，考查三角函数单调区间的求法，属于基础题.15．已知曲线1:sin C y x =，21:cos 23C y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下面结论正确的是（）A ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2CC ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移3π个单位长度，得到曲线2CD ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移3π个单位长度，得到曲线2C 【答案】D 【解析】【分析】根据三角函数的周期变换和左右平移变换依次得到各选项中所得的函数解析式，从而得到正确选项. 【详解】A 中，将sin y x =横坐标缩短到原来的12倍得：sin 2y x =；向右平移3π个单位长度后得：2sin 2sin 2sin 2cos 233266y x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，A 错误；B 中，将sin y x =横坐标伸长到原来的2倍得：1sin2y x =；向右平移3π个单位长度后得：11121sin sin cos cos 232622632y x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，B 错误；C 中，将sin y x =横坐标缩短到原来的12倍得：sin 2y x =；向左平移3π个单位长度后得：2sin 2sin 2sin 2cos 233266y x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，C 错误；D 中，将sin y x =横坐标伸长到原来的2倍得：1sin2y x =；向左平移3π个单位长度后得：1111sin sin cos cos 232622623y x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，D 正确. 故选：D 【点睛】本题考查三角函数的周期变换和平移变换的问题，关键是能够准确掌握变换原则，得到变换后的函数解析式.16．4cos2d cos sin xx x xπ=+⎰（）A．1) B1C1D．2【答案】C 【解析】【分析】利用三角恒等变换中的倍角公式，对被积函数进行化简，再求积分. 【详解】因为22cos2cos sin cos sin cos sin cos sin x x xx x x x x x-==-++，∴4400cos 2d (cos sin )d (sin cos )14cos sin 0xx x x x x x x x πππ=-=+=+⎰⎰，故选C ．【点睛】本题考查三角恒等变换知与微积分基本定理的交汇.17．设函数()()sin f x x x x R =∈，则下列结论中错误的是（） A ．()f x 的一个周期为2π B ．()f x 的最大值为2 C ．()f x 在区间2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 D ．3f x π⎛⎫+⎪⎝⎭的一个零点为6x π=【答案】D【解析】【分析】先利用两角和的正弦公式化简函数()f x ，再由奇偶性的定义判断A ；由三角函数的有界性判断B ；利用正弦函数的单调性判断C ；将6x π=代入 3f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭判断D .【详解】()sin f x x x = 23sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， ()f x 周期22,1T A ππ==正确； ()f x 的最大值为2，B 正确，25,,,63326x x πππππ⎛⎫⎛⎫∈∴+∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭Q ， ()f x ∴在2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上递减，C 正确； 6x π=时，1032f x f ππ⎛⎫⎛⎫+==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，6x π=不是3f x π⎛⎫+⎪⎝⎭的零点，D 不正确. 故选D. 【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查两角和的正弦公式以及三角函数的单调性、三角函数的周期性、三角函数的最值与零点，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于中档题.18．关于函数()()()sin tan cos tan f x x x =-有下述四个结论： ①()f x 是奇函数； ②()f x 在区间0,4π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增； ③π是()f x 的周期； ④()f x 的最大值为2.其中所有正确结论的个数是（） A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】C 【解析】【分析】计算()()()sin tan cos tan f x x x -=--得到①错误，根据复合函数单调性判断法则判断②正确，()()f x f x π+=③正确，假设()f x 的最大值为2，取()2f a =，得到矛盾，④错误，得到答案. 【详解】()()()sin tan cos tan f x x x =-，()()()sin tan cos tan f x x x -=---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()sin tan cos tan x x =--，所以()f x 为非奇非偶函数，①错误；当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，令tan t x =，()0,1t ∈，又()0,1t ∈时sin y t =单调递增，cos y t =单调递减，根据复合函数单调性判断法则，当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin tan y x =，()cos tan y x =-均为增函数，所以()f x 在区间0,4π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，所以②正确；()()()sin tan cos tan f x x x πππ+=+-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()sin tan cos tan x x f x =-=，所以π是()f x 的周期，所以③正确；假设()f x 的最大值为2，取()2f a =，必然()sin tan 1a =，()cos tan 1a =-，则tan 22a k ππ=+，k Z ∈与tan 2a k ππ=+，k Z ∈矛盾，所以()f x 的最大值小于2，所以④错误. 故选：C . 【点睛】本题考查了三角函数奇偶性，单调性，周期，最值，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.19．设2α是第一象限角，且cos cos αα=-，则α是第（）象限角 A ．一 B ．二C ．三D ．四【答案】B 【解析】【分析】计算得到720180720k k α︒<<︒+︒，k Z ∈，再根据cos 0α<得到答案. 【详解】 ∵2α是第一象限角，∴360903602k k α︒<<︒+︒，k Z ∈，∴720180720k k α︒<<︒+︒，k Z ∈，∴α为第一象限角或第二象限角或终边在y 轴正半轴上的轴线角， ∵cos cos αα=-，∴cos 0α<，∴α是第二象限角. 故选：B . 【点睛】本题考查了角度所在象限，意在考查学生的计算能力和转化能力.20．将函数sin(2)4y x π=-的图象向左平移4π个单位，所得图象对应的函数在区间(,)m m -上无极值点，则m 的最大值为（）A ．8π B ．4π C ．38π D ．2π 【答案】A 【解析】【分析】由三角函数的图象变换，求得函数sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求得增区间3,,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，令0k =，可得函数的单调递增区间为3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，进而根据函数sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间(),m m -上无极值点，即可求解. 【详解】由题意，将函数sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移4π个单位，可得函数sin 2sin 2444y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令222,242k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得3,88k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 即函数sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调递增区间为3,,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，令0k =，可得函数的单调递增区间为3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，又由函数sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间(),m m -上无极值点，则m 的最大值为8π，故选A. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的性质的应用，其中解答中熟练应用三角函数的图象变换得到函数的解析式，再根据三角函数的性质，求得其单调递增区间是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于中档试题.。

2017年高考数学考点解读命题热点冲破专题09三角恒等变换与解三角形理

【高考真题解读】
1.【2016高考新课标 2理数】假设，那么（）
（A）（B）（C）（D）
【答案】D
【解析】，
且，应选D.
2.【2016高考新课标3理数】假设，那么（）
(A) (B) (C) 1 (D)
【答案】A
【解析】
由，得或，因此，应选A．
3.【2016年高考四川理数】 =.
3.边和角的计算；
4.三角形形状的判定；
5.面积的计算；
6.有关的范围问题．
【命题热点冲破一】三角恒等变换
例一、(1)(2016·高考全国乙卷)已知θ是第四象限角，且sin ＝，那么tan ＝________.
解析：大体法：将θ－转化为－ .
由题意知sin ＝，θ是第四象限角，因此
cos >0，因此cos ＝＝ .
【答案】 π
【解析】∵ ＋＋＝0，
∴ccos B＋2acos C＋bcos C＝0，
由正弦定理得sin Ccos B＋2sin Acos C＋sin Bcos C＝0，
∴sin（B＋C）＋2sin Acos C＝sin A＋2sin Acos C＝0，
∵sin A≠0，∴cos C＝－，∴C＝ π.
【感悟提升】关于解三角形问题，一样要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方式和原那么都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题取得解决的冲破口．求三角形中的角，关键是利用正弦定理或余弦定理求出某角的正弦值或余弦值，再依照角的范围求出对应的角的大小．解题时要注意利用三角形内角和定理，即A＋B＋C＝π.
(I)求最小正周期；

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