高中数学解三角形题型完整归纳
高中解三角形题型大汇总
解三角形题型总结题型一：正选定理的应用1. ABC ∆的三内角A 、B 、C 的对边边长分别为a b c 、、，若,2a A B ==，则cos _____B =B. C. D.2. 如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则（ ） A ．111A B C ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形3. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()C a A c b cos cos 3=-，则=A cos _________________。
4.△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B +b cos 2A =a 2，则=abA ．B ．C D5.ABC ∆中，3π=A ，BC ＝3，则ABC ∆的周长为（ ）A ．33sin 34+⎪⎭⎫⎝⎛+πB B ．36sin 34+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB C ．33sin 6+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB D ．36sin 6+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB6. 在ABC ∆中，已知3,1,60===∆ABC S b A o，则=++++CB A cb a sin sin sin7.设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且35cos ,cos ,3,513A B b ===则c =______8.（2017全国卷2文16）ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若A c C aB b cos cos cos 2+=，则=B ________.9.在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是________．题型二：三角形解的个数的判断1. 在ABC △中，根据下列条件解三角形，则其中有二个解的是A 、10,45,70b A C ===B 、60,48,60a c B ===C 、7,5,80a b A ===D 、14,16,45a b A ===2. 在ABC ∆中，若30,4A a b ∠===，则满足条件的ABC ∆A ．不存在B ．有一个C ．有两个D 不能确定3.△ABC 中，∠A=60°, a= 6 , b=4, 那么满足条件的△ABC ( )A 有 一个解B 有两个解C 无解D 不能确定4.符合下列条件的三角形有且只有一个的是 （ ）A ．a=1,b=2 ,c=3B ．a=1,b=2 ,∠A=30°C ．a=1,b=2,∠A=100° C ．b=c=1, ∠B=45°5. 如果满足k BC AC B ===,12,3π的ABC ∆恰有一个，那么k 的取值范围是38.=k A 120.≤<k B 12.≥k C 120.≤<k B 或38=k题型三：余弦定理的应用1. 若ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的变a 、b 、c 满足4)(22=-+c b a ,且C=60°，则ab 的值为 （A ）43 （B）8- (C) 1 (D) 232. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c , 若(a 2+c 2-b 2)tan B,则角B 的值为 A. 6π B. 3π C.6π或56π D. 3π或23π3.在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A ＝( )A.31010B.1010 C ．－1010 D ．－310104.（2013年高考安徽（文））设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ,若2,3sin 5sin b c a A B +==,则角C =A ．3πB ．23πC ．34π D ．56π5.（2013年高考课标△卷（文））已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,223cos cos 20A A +=,7a =,6c =,则b =A ．10B ．9C ．8D ．56.某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，则此人能（ ） （A ）不能作出这样的三角形 （B ）作出一个锐角三角形 （C ）作出一个直角三角形 （D ）作出一个钝角三角形111,,131157.在锐角三角形ABC ，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，，则=_________。
解三角形解答题十大题型总结(解析版)--2024高考数学常考题型精华版
解三角形解答题十大题型总结【题型目录】题型一：利用正余弦定理面积公式解题题型二：解三角形与三角恒等变换结合题型三：三角形面积最大值，及取值范围问题题型四：三角形周长最大值，及取值范围问题题型五：角平分线相关的定理题型六：有关三角形中线问题题型七：有关内切圆问题（等面积法）题型八：与向量结合问题题型九：几何图形问题题型十：三角函数与解三角形结合【典例例题】题型一：利用正余弦定理面积公式解题【例1】△ABC 的内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、,已知△ABC 的面积为23sin a A(1)求sin sin B C ;(2)若6cos cos 1,3,B C a ==求△ABC 的周长.【答案】(1)2sin sin 3B C =(2)3+.【详解】：（1）由题设得21sin 23sin a ac B A=，即1sin 23sin a c B A =.由正弦定理得1sin sin sin 23sin A C B A =.故2sin sin 3B C =.（2）由题设及（1）得1cos cos sin sin ,2B C B C -=-，即()1cos 2B C +=-.所以23B C π+=，故3A π=.由题设得21sin 23sin a bc A A=，即8bc =.由余弦定理得229b c bc +-=，即()239b c bc +-=，得b c +=.故ABC 的周长为3【例2】的内角的对边分别为,,a b c ，已知2sin()8sin 2B AC +=．（1）求cos B ；（2）若6a c +=，ABC ∆面积为2，求b ．【答案】（1）1517；（2）2．【详解】：（1）()2sin 8sin 2B A C +=，∴()sin 41cos B B =-，∵22sin cos 1B B +=，∴()22161cos cos 1B B -+=，∴()()17cos 15cos 10B B --=，∴15cos 17B =；（2）由（1）可知8sin 17B =，∵1sin 22ABC S ac B =⋅=，∴172ac =，∴()2222222217152cos 2152153617154217b ac ac B a c a c a c ac =+-=+-⨯⨯=+-=+--=--=，∴2b =．【例3】ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2cos (cos cos )C a B b A c +=.（1）求角C ；（2）若c =332ABC S ∆=，求ABC ∆的周长.【答案】（1）3C π=（2）5+【详解】：（1）由已知可得2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=12cos sin()sin cos 23π∴+=⇒=⇒=C A B C C C（2）11sin 6222∆=⇒=⋅⇒=ABC S ab C ab ab 又2222cos +-= a b ab C c 2213a b ∴+=，2()255∴+=⇒+=a b a b ABC ∆∴的周长为5+【例4】已知a ，b ，c 分别为ABC ∆三个内角A ,B ,C 的对边，c ccosA =-.(Ⅰ)求A ；(Ⅱ)若a =2，ABC ∆，求b ，c .【答案】(1)3A π=(2)b c ==2【详解】(Ⅰ)由sin cos c C c A =-及正弦定理得sin cos sin sin A C A C C-=由于sin 0C ≠，所以1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又0A π<<，故3A π=.(Ⅱ)ABC ∆的面积S =1sin 2bc A ,故bc =4，而2222cos a b c bc A =+-故22c b +=8，解得b c ==2【例5】（2022·陕西·安康市教学研究室高三阶段练习（文））在ABC 中a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边．sin sin 2A C c b C +=．(1)求角B 的大小；(2)若112,2tan tan tan b A C B+==，求ABC 的面积．，【题型专练】1.已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，（1）求角A （2）若2a =，ABC ∆的面积为；求,b c .【答案】（1）（2）b=c=2【解析】：（1）由及正弦定理得sin cos sin sin sin 0A C A C B C --=，因为B A C π=--sin cos sin sin 0A C A C C --=．由于sin 0C ≠，所以1sin(62A π-=．又0A π<<，故3A π=．（2）ABC ∆的面积1sin 2S bc A ==4bc =，而2222cos a b c bc A =+-，故228b c +=．解得2b c ==．2.已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =．（1）若a b =，求cos ;B（2）若90B = ，且a =求ABC ∆的面积．【答案】（1）14；（2）1【解析】：（1）由题设及正弦定理可得22b ac=又a b =，可得2,2b c a c==由余弦定理可得2221cos 24a cb B ac +-==（2）由（1）知22b ac=因为90B = ，由勾股定理得222a cb +=故222a c ac +=，得c a ==所以的面积为13.（2021新高考2卷）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，1b a =+，2c a =+.．（1）若2sin 3sin C A =，求ABC 的面积；（2）是否存在正整数a ，使得ABC 为钝角三角形?若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．【详解】（1）因为2sin 3sin C A =，则()2223c a a =+=，则4a =，故5b =，6c =，2221cos 28a b c C ab +-==，所以，C 为锐角，则37sin 8C ==，因此，11sin 452284ABC S ab C ==⨯⨯⨯=△；（2）显然c b a >>，若ABC 为钝角三角形，则C 为钝角，由余弦定理可得()()()()22222221223cos 022121a a a a b c a a C ab a a a a ++-++---===++，解得13a -<<，则0<<3a ，由三角形三边关系可得12a a a ++>+，可得1a >，a Z ∈ ，故2a =.4.（2022·广东佛山·高三阶段练习）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos sin B a B =+．(1)求角A 的大小；(2)若2sin a B C ==，求ABC 的面积．5．（2022·安徽省宿松中学高二开学考试）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,,tan sin a b c B A C B ==.(1)求角C 的大小；(2)若ABC 的面积为196，求ABC 外接圆的半径.题型二解三角形与三角恒等变换结合【例1】ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B =150°.（1）若a ，b ，求ABC 的面积；（2）若sin A C =22，求C .【答案】（1；（2）15︒.【分析】（1）由余弦定理可得2222282cos1507b a c ac c ==+-⋅︒=，2,c a ABC ∴==∴△的面积1sin 2S ac B ==；（2）30A C +=︒ ，sin sin(30)A C C C∴=︒-+1cos sin(30)222C C C =+=+︒=，030,303060C C ︒<<︒∴︒<+︒<︒ ，3045,15C C ∴+︒=︒∴=︒.【例2】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知25cos ()cos 24A A π++=．（1）求A ；（2）若33b c a -=，证明：△ABC 是直角三角形．【答案】（1）3A π=；（2）证明见解析【分析】（1）因为25cos cos 24A A π⎛⎫++=⎪⎝⎭，所以25sin cos 4A A +=，即251cos cos 4A A -+=，解得1cos 2A =，又0A π<<，所以3A π=；（2）因为3A π=，所以2221cos 22b c a A bc +-==，即222b c a bc +-=①，又33b c a -=②，将②代入①得，()2223b c b c bc +--=，即222250b c bc +-=，而b c >，解得2b c =，所以a =，故222b a c =+，即ABC 是直角三角形．【例3】在ABC ∆中，满足222sin cos sin cos A B A B C -+=-．（1）求C ；（2）设()()2cos cos cos cos 5cos 5A B A B ααα++==，，求tan α的值.【详解】（1）∵221cos B sin B =-，221cos C sin C =-，∴222sin A cos B cos C -=-变形为22211sin A sin B sin C --+=--（）（），即222sin A sin B sin C ++=，利用正弦定理可得：222a b c ++=，由余弦定理可得cosC=22-，即C=34π.（2）由（1）可得cos （A+B ）=2，A+B=4π，又cosAcosB=cos()cos 3225A B A B ++-=（），可得72cos(A B)10-=，同时cos （αA +）cos （αB +）=72cos(2α)cos(2αA B)cos A B 41022π+++++-=（），∴22272272cos(2α)sin2αcos(αA)cos(αB)410210222cos cos cos πααα++-+++===222222722sinαcosα2102cos sin cos sin cos ααααα--++（）=222622552cos sin cos ααα+-=2510tan α+- 2tan α=5，∴2tan 5tan 62αα-+=，∴ 1tan α=或4.【题型专练】1.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．（1）求A ；（22b c +=，求sin C ．【答案】（1）3A π=；（2）sin 4C +=.【分析】【详解】（1）()2222sin sin sin 2sin sin sin sin sin sin B C B B C C A B C-=-+=-即：222sin sin sin sin sin B C A B C+-=由正弦定理可得：222b c a bc +-=2221cos 22b c a A bc +-∴==()0,A π∈ 3A π∴=（2）2b c +=，由正弦定理得：sin 2sin A B C +=又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3A π=1cos sin 2sin222C C C ++=整理可得：3sin C C22sin cos 1C C += (()223sin 31sin C C ∴=-解得：62sin 4C =或624因为sin 2sin 2sin 02B C A C ==->所以sin 4C >，故62sin 4C +=.（2）法二：2b c += sin 2sin A B C +=又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3A π=1cos sin 2sin222C C C ++=整理可得：3sin C C ，即3sin 6C C C π⎛⎫=- ⎪⎝⎭sin 62C π⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭由2(0,),(,)3662C C ππππ∈-∈-，所以,6446C C ππππ-==+62sin sin()464C ππ=+=.2.（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知在锐角ABC 中，sin tan 1cos B A B =+.(1)证明：2B A =；(2)求tan tan 1tan tan B A A B-的取值范围.，再逆用正切的差角公式，结合第一问的结论得到3.在ABC 中，已知223sin cos sin cos sin 222A CB +=.（1）求证：2a c b +=；（2）求角B 的取值范围.【详解】证明：（1）223sin cossin cos sin 222C A A C B += 1cosC 1cos 3sin sin sin 222A A C B++∴+=()()sin 1cosC sin 1cos 3sin A C A B ∴+++=sin sin sin cosC sin cos 3sin A C A C A B∴+++=()sin sin sin C 3sin A C A B ∴+++=C A B π++= A C B π∴+=-()sin sin A C B∴+=sin sin 2sin A C B∴+=根据正弦定理得：2a c b +=，得证．（2）由（1）知在ABC 中，2a c b+=又222cos 2a c b B ac +-=消去b 化简得：()2231611cos 84842a c ac B ac ac +=-≥-=当且仅当a c =时取等号，又B 为三角形的内角，0,3B π⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦题型三：三角形面积最大值，及取值范围问题【例1】在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若()tan tan 2AB C +=，且2a =，则ABC 的面积的最大值为A ．33B ．32CD．【答案】A【解析】：因为()tan tan2AB C +=，且B C A +=π-，所以()22tan2tan tan 1tan 2A B C A A +=-=--tan 02A =>，所以tan 2A =，则2π3A =.由于2a =为定值，由余弦定理得222π42cos 3b c bc =+-，即224b c bc =++.根据基本不等式得22423b c bc bc bc bc =++≥+=，即43bc ≤，当且仅当b c =时，等号成立.所以11433sin 22323ABC S bc A =≤⨯⨯=.故选：A【例2】ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sinsin 2A Ca b A +=．（1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围．【答案】(1)3B π=;(2)33(,)82.【分析】(1)根据题意sinsin 2A C a b A +=，由正弦定理得sin sin sin sin 2A CA B A +=，因为0A π<<，故sin 0A >，消去sin A 得sin sin 2A CB +=．0<B π<，02AC π+<<因为故2A C B +=或者2A CB π++=，而根据题意A BC π++=，故2A C B π++=不成立，所以2A CB +=，又因为A BC π++=，代入得3B π=，所以3B π=.(2)解法一：因为ABC 是锐角三角形，由（1）知3B π=，A B C π++=得到23A C π+=，故022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62C ππ<<.又应用正弦定理sin sin a cA C=，1c =，由三角形面积公式有：222sin()111sin 33sin sin sin 222sin 4sin ABC C a A S ac B c B c B c C Cπ-=⋅=⋅==⋅22sin cos cos sin 2123133(sin cos )4sin 43tan 38tan 8C C C C C ππππ-=⋅=⋅-=+.又因3,tan 623C C ππ<<>,故3313388tan 82C <+<，故3382ABC S <<.故ABC S 的取值范围是33,82解法二：若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，由余弦定理可得b ==，由三角形ABC 为锐角三角形，可得2211a a a +-+>且2211a a a +-+>，且2211a a a +>-+，解得122a <<，可得ABC ∆面积1sin 23S a π==∈．【例3】在ABC △中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若4a c +=，2sin sin sin B A C =+，则ABC △的面积的最大值为（）AB ．2C．D ．4【答案】A 【解析】因为2sin sin sin B A C =+，所以2b a c =+，因4a c +=，所以2=b ，由余弦定理得()acacac ac ac b ac c a ac b c a B 221224216222cos 22222-=--=--+=-+=所以ac B ac 212cos 2-=，所以acacB -=6cos ，所以()()()()acac ac ac ac B B 22222661cos 1sin --=--=-=因11sin 22ABCa c ac a c Sac B ac ac ∆==⋅==因为ac c a 2≥+，所以()442=+≤c a ac，ABC S ∆=≤=注：此题也可用椭圆轨迹方程做【例4】在ABC △中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C的对边，若2a =，b =，则ABC △的面积的最大值为（）AB ．2C ．D ．4【答案】A 【解析】因为2a =，b =，由余弦定理得()2222222324432432cos c c cc cc bcac b A -=⋅-+=-+=所以()()2244244222223216324121632161232441cos 1sin c c c c c c c cc A A -+-=-+-=--=-=因21sin 2ABCS bc A ∆===设t c =2，则ABCS∆==≤注：此题也可用圆轨迹方程做【题型专练】1.已知分别为三个内角的对边，，且，则面积的最大值为____________．【解析】：由，且，故()()()a b sinA sinB c b sinC +-=-，又根据正弦定理，得()()()a b a b c b c +-=-，化简得，222b c a bc +-=，故222122b c a cosA bc +-==，所以060A =，又224b c bc bc +-=≥，故12BAC S bcsinA ∆=≤2.已知，，分别为△ABC 角，，的对边，cos 2−cos 2−cos 2=cosvos +cos −cos2，且=3，则下列结论中正确的是()A.=3B.=23C.△ABC D.△ABC 【答案】B【解答】解∵cos 2−cos 2−cos 2=cosvos +cos −cos2，∴(1−sin 2p −(1−sin 2p −(1−sin 2p =cosvos −cos(+p −(1−2sin 2p ，∴sinLin +sin 2+sin 2−sin 2=0，由正弦定理可得B +2+2−2=0，∴cos =2+2−22B=−12，又0<<，∴=23，即2=3=2+2−23=2+2+B⩾2B +B =3B ，当且仅当==1时取等号，∴B⩽1，∴=12Bsin 故选：B ．3.ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知B c C b a sin cos +=．（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若2=b ，求ABC 面积的最大值.【详解】(1)∵Bc C b a sin cos +=∴由正弦定理知B C C B A sin sin cos sin sin +=①在三角形ABC 中，()C B A +-=π∴()B C C B C B A sin sin cos sin sin sin +=+=②由①和②得C B C B sin cos sin sin =而()π,0∈C ，∴0sin ≠C ，∴B B cos sin =又()π,0∈B ，∴4π=B (2)ac B ac S ABC 42sin 21==∆，由已知及余弦定理得：4＝a 2+c 2﹣2ac cos 4π≥2ac ﹣2ac 22⨯，整理得：ac≤，当且仅当a ＝c 时，等号成立，则△ABC 面积的最大值为(1212222⨯=+1=+4.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，设sin A cos B ＝sin B （2﹣cos A ）．（1）若b +c =3a ，求A ；（2）若a ＝2，求△ABC 的面积的最大值．【解析】（1）∵sin A cos B ＝sin B （2﹣cos A ），结合正、余弦定理，可得a •2+2−22B=b •（2−2+2−22B），化简得，c ＝2b ，代入b +c =3a ，得a =3b ，由余弦定理知，cos A =2+2−22B =2+42−322δ2=12，∵A ∈（0，π），∴A =3．（2）由（1）知，c ＝2b ，由余弦定理知，cos A =2+2−22B =52−442=5412，∴△ABC 的面积S =12bc sin A ＝b 21−c 22=b 2=16=当b 2=209时，S 取得最大值，为43．5.在ABC ∆中，内角、、A B C 所对的边分别为,,a b c ，D 是AB 的中点，若1CD =且1()sin ()(sin sin )2a b A c b C B -=+-，则ABC ∆面积的最大值是___【答案】5如图，设CDA θ∠=，则CDB πθ∠=-,在CDA ∆和C D B ∆中，分别由余弦定理可得22221144cos ,cos()c c b a c cθπθ+-+-=-=，两式相加，整理得2222()02c a b +-+=，∴2222()4c a b =+-．①由()()1sin sin sin 2a b A c b C B ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭及正弦定理得()()1c b 2a b a c b ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，整理得2222aba b c +-=，②由余弦定理的推论可得2221cos 24a b c C ab +-==，所以sin 4C =．把①代入②整理得2242aba b ++=，又222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立，所以54222ab ab ab ≥+=，故得85ab ≤．所以118sin 22545ABCab C S ∆=≤⨯=．即ABC ∆面积的最大值是5．故答案为5．6.（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c，且cos sin a b C B -=．(1)求B ；(2)若2a =，且ABC 为锐角三角形，求ABC 的面积S 的取值范围．题型四：三角形周长最大值，及取值范围问题【例1】在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a，b ，c ，若ABC 的面积为()2224a b c +-，且4c =，则ABC 的周长的取值范围是________.【答案】4,12]+【解析】因为ABC 的面积为()2224a b c +-，所以()2221sin 42a b c ab C +-=，所以222sin 2a b c C ab +-=.由余弦定理可得222cos 2a b c C ab +-=，sin C C =，即tan C ，所以3Cπ=.由正弦定理可得sin sin sin 3a b c A B C ===，所以83832(sin sin )sin sin 8sin 3336a b A BA A A ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.因为ABC 为锐角三角形，所以62A ππ<<，所以sin 126A π⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，则ssin()86A π<+，即8a b <+≤.故ABC 的周长的取值范围是4,12]+.【例2】在锐角ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c sin sin cos sin B CC C A++=(1)求A ；(2)若ABC 的外接圆的半径为1，求22b c +的取值范围.c【例3】（2022·重庆八中高三阶段练习）在锐角ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sinsin ,2A Ca b A b +==(1)求角B 的大小；(2)求2a c -的取值范围.【例4】（2022·四川省仁寿县文宫中学高三阶段练习（文））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()sin sin 2B Ca A B c ++=．(1)求角A 的大小；(2)若角B 为钝角，求b的取值范围．【题型专练】1.在ABC ∆中，设角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知222cos sincos sin sin A B C A B =++.（1）求角C 的大小；（2）若c ，求ABC ∆周长的取值范围.【答案】（1）23π；（2）(2+（1）由题意知2221sin sin 1sin sin sin A B C A B -=+-+，即222sin sin sin sin sin A B C A B +-=-，由正弦定理得222a b c ab+-=-由余弦定理得2221cos 222a b c ab C ab ab +--===-，又20,3C C ππ<<∴=.（2）2,2sin ,2sin 2sin sin sin sin3a b c a A b BA B C π====∴==，则ABC ∆的周长()2sin sin 2sin sin 2sin 33L a b c A B A A A ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++++++ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦230,,sin 1333323A A A πππππ⎛⎫<<∴<+<<+≤ ⎪⎝⎭ ，2sin 23A π⎛⎫∴<++≤ ⎪⎝⎭，ABC ∴∆周长的取值范围是(2+.2.ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C ．（1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值.【答案】（1）23π；（2）3+【分析】【详解】（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB --=⋅，2221cos 22AC AB BC A AC AB +-∴==-⋅，()0,A π∈ ，23A π∴=.（2）由余弦定理得：222222cos 9BC AC AB AC AB A AC AB AC AB =+-⋅=++⋅=，即()29AC AB AC AB +-⋅=.22AC AB AC AB +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭（当且仅当AC AB =时取等号），()()()22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭，解得：AC AB +≤（当且仅当AC AB =时取等号），ABC ∴周长3L AC AB BC =++≤+，ABC ∴ 周长的最大值为3+.3.已知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C 的对边，(cos )a C C b c +=+．（1）求角A ；（2）若5a =，求ABC △的周长的最大值．【详解】（1）由题意知()(cos )sin cos sin sin a C C b c A C C B C =+⇒+=+，所以()()sin cos sin sin A C C A C C +=++，即sin cos sin sin cos cos sin sin A C A C A C A C C+=++sin cos sin sin A C A C C =+，因0sin ≠C cos 1A A -=，即2sin 16A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭又50,,666A A ππππ⎛⎫<<∴-∈- ⎪⎝⎭ ，所以66A ππ-=，所以3π=A （2）由余弦定理得：222222cos 25a b c b c A b c bc =+-⋅=+-=，即()2325b c b c +-⋅=.22b c b c +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭ （当且仅当b c =时取等号），()()()22221253324b c b c b c b c b c +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭，解得：10b c +≤（当且仅当b c =时取等号），ABC ∴ 周长51015L a b c =++≤+=，ABC ∴ 周长的最大值为15.题型五：角平分线相关的定理【例1】在中ABC △，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，120ABC ∠=︒，BD BC ⊥交AC 于点D ，且1BD =，则2a c +的最小值为．【详解】由题意知ABC ABD BCD S S S ∆∆∆=+ ，所以111sin sin sin 222ac B cBD ABD aBD CBD ∴=∠+∠，即1311111122222ac c a ∴⨯=⨯⨯+⨯⨯即2c a =+，所以12a c =+，所以))12422224333a c a c a c a c c a ⎛⎫⎫+++=+++≥+=⎪⎪⎝⎭⎝⎭【例2】△ABC 中D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC,BD=2DC ．（Ⅰ）求sin sin BC∠∠；（Ⅱ）若60BAC ∠= ,求B ∠.【详解】（Ⅰ）由正弦定理得,,sin sin sin sin AD BD AD DCB BADC CAD==∠∠∠∠因为AD 平分∠BAC,BD=2DC,所以sin 1.sin 2B DC C BD ∠==∠.（Ⅱ）因为()180,60,C BAC B BAC∠=-∠+∠∠=所以()31sin sin cos sin .22C BAC B B B ∠=∠+∠=∠+∠由（I ）知2sin sin B C ∠=∠,所以3tan ,30.3B B ∠=∠= 【例3】（河南省豫北名校普高联考2022-2023学年高三上学期测评（一）文科数学试卷）在ABC 中，内角,,A B C的对边分别为,,a b c ，且______．在①cos cos 2b C B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭；②2ABC S BC =⋅△ ；③tan tan tan A C A C +-这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并进行解答．(1)求角B 的大小；(2)若角B 的内角平分线交AC 于D ，且1BD =，求4a c +的最小值．ABC ABD BCD S S S =+ ，12π1sin 232ac c ∴=⋅即333444ac c a =+，a c ac ∴+=，a ac +∴()11444552a c a c a c ac c a ⎛⎫∴+=++=++≥+ ⎪⎝⎭【题型专练】1.在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，23BAC π∠=，BAC ∠的平分线交BC 于点D ，1AD =，则b c +的最小值为．【详解】ABC ABD BCD S S S ∆∆∆=+ ，所以111sin sin sin 222bc A cAD BAD bAD CAD ∴=∠+∠，即11111222222bc c ∴⨯=⨯⨯+⨯⨯，即bc b c =+，所以111b c ∴=+，所以()111124b cb c b c b c c b ⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎝⎭2.ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍．(1)求sin sin BC；(2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长．【详解】，1sin 2ACD S AC AD CAD ∆=⋅⋅∠，∵2ABD ACD S S ∆∆=，BAD CAD ∠=∠，∴2AB AC =．由正弦定理可知sin 1sin 2B AC C AB ∠==∠.（2）∵::2:1ABD ACD BD DC S S ∆∆==，22DC =，∴BD =．设AC x =，则2AB x =，在△ABD 与△ACD中，由余弦定理可知，2222cos 2AD BD AB ADB AD BD +-∠==⋅222232cos 2x AD CD AC ADC AD CD -+-∠==⋅∵ADB ADC π∠+∠=，∴cos cos ADB ADC ∠=-∠，2232x -=，解得1x =，即1AC =．题型六：有关三角形中线问题遇到角平分线问题一般有两种思路：思路一：中线倍长法思路二：利用平面向量【例1】在ABC ∆中，,,a b c 分别是内角,,A B C 所对的边，且满足cos 0cos 2B bC a c+=+，（1）求角B 的值；（2）若2c =，AC 边上的中线32BD =，求ABC ∆的面积.【详解】（1）cos cos sin 00cos 2cos 2sin sin B b B BC a c C A C+=⇔+=++,()cos 2sin sin sin cos 0B A C B C ⇒++=2sin cos cos sin sin cos 0A B B C B C ⇒++=()2sin cos sin 0A B B C ⇒++=.()1sin 2cos 10,sin 0,cos 2A B A B ⇒+=≠∴=-.所以23B π=,（2）解法一：中线倍长法：延长BD 到E ，使BD=DE ，易知四边形AECD 为平行四边形，在BEC ∆中，EC=2，,因为23ABC π∠=，所以3BCE π∠=，由余弦定理2222cos BE EC BC EC BC BCE =+-⋅⋅∠，即223222cos3a a π=+-⋅⋅，2210a a -+=，解得1a =，所以1133sin 122222ABC S ac B ∆==⋅⋅⋅=解法二：BC BA BD +=，所以()22BC BA BD +=B+=即︒++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛120cos 223222ac a c ，即⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⨯++=21424432a a ，2210a a -+=，解得1a =，所以1133sin 122222ABC S ac B ∆==⋅⋅⋅=【例2】（2022·广东佛山·高三阶段练习）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2π3A =．(1)若6a =，ABC的面积为D 为边BC 的中点，求AD 的长度；(2)若E 为边BC上一点，且AE =，:2:BE EC c b =，求2b c +的最小值．【题型专练】1．（2022·广东广州·一模）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且满足cos sin 2B Cb a B +=.(1)求A ；(2)若a =，3BA AC ⋅=，AD 是ABC 的中线，求AD 的长.2．（2022·黑龙江·哈师大附中高三阶段练习）在①()()()()sin sin sin a c A B a b A B -+=-+；②2S BC =⋅；③cos sin b C a c B =；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．问题：在ABC 中，角、、A B C 的对边分别为,,a b c ，且______．(1)求角B 的大小；(2)AC 边上的中线2BD =，求ABC 的面积的最大值．题型七：有关内切圆问题（等面积法）【例1】在▵B中，sin2=B=1，B=5，则A.B=25B.▵B 的面积为32C.▵BD.▵B【答案】B【解答】解：∵sin2=∴cos=1−2sin22=1−2×2=35，又B=1，B=5，∴由余弦定理，B2=B2+B2−2B⋅B⋅cos=52+12−2×5×1×(35)=20，∴B=25，故A正确；∵cos=35且为三角形内角，∴sin=1−cos2=45，所以△B的面积为=1=12×1×5×45=2，故B错误；根据正弦定理B sin=2o其中表示外接圆的半径)得：2=45=即△B C正确；如图，设△B内切圆圆心为，半径为，连接B，B，B，因为内切圆与边B ，B ，B 相切，故设切点分别为，，，连接B ，B ，B ，可知：B =B =B =，且B ⊥B ，B ⊥B ，，根据题意：△B =12B ⋅B ⋅sin =12×5×1×45=2，利用等面积可得：△B +△B +△B =△B ，即：12B ⋅+12B ⋅+12=2，∴=4B+B+B==D 正确．故选ACD ．【例2】（2022·四川·绵阳中学高二开学考试（理））已知在ABC 中，()254cos 4sin A B C ++=．(1)求角C 的大小；(2)若ABC 的内切圆圆心为O ，ABC 的外接圆半径为4，求ABO 面积的最大值．【题型专练】1.三角形有一个角是︒60，夹在这个角的两边长分别为8和5，则()A.三角形另一边长为6B.三角形的周长为20C.三角形内切圆面积为3D.【答案】B【解答】解：因为三角形有一个角是︒60，夹在这个角的两边长分别为8和5，A .由余弦定理得：三角形另一边长为82+52−2×8×5×cos60°=7，故A 错误；B .三角形的周长为8+5+7=20，故B 正确；C .设三角形内切圆的半径为，由面积法得到：12×8×5×sin60°=12×20×，解得=3，所以内切圆的面积为，故C 正确；D .设三角形外接圆的半径为，则由正弦定理得到7sin60°=2，解得=，故D 错误．故选BC ．2.（2022·全国·清华附中朝阳学校模拟预测）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos a cC Cb-=.(1)求角B 的大小；(2)若2b =，记r 为ABC 的内切圆半径，求r 的最大值.题型八：与向量结合问题【例1】锐角ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量()m a =与(cos ,sin )n A B = 平行．（1）求角A ；（2）若a =ABC ∆周长的取值范围．【解析】解：（1）因为：//m n，所以：sin cos 0a B A =，由正弦定理，得：sin sin cos 0A B B A -=，又因为：sin 0B ≠，从而可得：tan A =，由于：0A π<<，所以：3A π=．（2）因为：由正弦定理知sin sin sin 3b c aB C A====，可得：三角形周长sin )3l a b c B C =++=+，又因为：23C B π=-，所以：2sin sin sin sin()36B C B B B ππ+=+-=+，因为：ABC ∆为锐角三角形，所以：62B ππ<<，2(,)633B πππ+∈，3sin sin (2B C +∈，所以：l ∈．【例2】（2022·河北沧州·高三阶段练习）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知(2)cos cos ,3b c A a C a -==．(1)求角A ；(2)若点D 满足1233BD BA BC =+，求BCD △面积的最大值．【题型专练】1.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a c >．已知2BA BC = ，1cos 3B =，3b =．求：（1）a 和c 的值；（2）cos()B C -的值．【解析】解：（1）2BA BC= ，1cos 3B =，3b =，可得cos 2ca B =，即为6ac =；2222cos b a c ac B =+-，即为2213a c +=，解得2a =，3c =或3a =，2c =，由a c >，可得3a =，2c =；（2）由余弦定理可得2229947cos 22339a b c C ab +-+-===⨯⨯，sin C ==，sin B ==，则17224223cos()cos cos sin sin 393927B C B C B C -=+=⨯+⨯．2.ABC ∆中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对边，若1AB AC BA BC ==．解答下列问题：（1）求证：A B =；（2）求c 的值；（3）若||AB AC +=ABC ∆的面积．【解析】证明：（1）因AB AC BA BC =，故cos cos bc A ac B =，即cos cos b A a B =．由正弦定理，得sin cos sin cos B A A B =，故sin()0A B -=，因为A B ππ-<-<，故0A B -=，故A B =．⋯（4分）（2）因1AB AC = ，故cos 1bc A =，由余弦定理得22212b c a bc bc+-=，即2222b c a +-=；又由（1）得a b =，故22c =，故c =．⋯（10分）（3）由||AB AC += 22||||2||6AB AC AB AC ++=，即2226c b ++=，故224c b +=，因22c =，故b =，故ABC ∆是正三角形，故面积23342ABC S ∆=⨯=．⋯（16分）题型九：几何图形问题【例1】在ABC ∆中，3B π∠=，15AB =，点D 在边BC 上，1CD =，1cos 26ADC ∠=．（1）求sin BAD ∠；（2）求ABC ∆的面积．【解析】解：（1）由1cos 26ADC ∠=，可得153sin 26ADC ∠==，则11sin sin()sin cos cos sin 333226BAD ADC ADC ADC πππ∠=∠-=∠-∠=-⨯．（2）在ABD ∆中，由正弦定理可得sin sin BD AB BAD ADB =∠∠=，解得7BD =，所以718BC =+=，所以ABC ∆的面积11sin 158sin 223S AB BC ABD π=⋅⋅∠=⨯⨯⨯=【例2】如图，在ABC ∆中，6B π∠=，AB =，点D 在BC 边上，且2CD =，1cos 7ADC ∠=．（1）求sin BAD ∠；（2）求BD ，AC 的长．【解析】解：（1）在ADC ∆中，因为1cos 7ADC ∠=，所以sin 7ADC ∠=，所以sin sin()BAD ADC B ∠=∠-∠sin cos cos sin ADC B ADC B=∠-∠433117272=-⨯1114=．（2）在ABD ∆中，由正弦定理得11sin 1411sin 437AB BADBD ADB⋅∠===∠，在ABC ∆中，由余弦定理得：222222cos 13213492AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅=+-⨯⨯．所以7AC =．【例3】如图，在ABC ∆中，2AB =，1cos 3B =，点D 在线段BC 上．（1）若34ADC π∠=，求AD 的长；（2）若2BD DC =，ACD ∆sin sin BADCAD∠∠的值．【解析】解：（1）ABC ∆ 中，1cos 3B =，22sin 3B ∴=．34ADC π∠= ，4ADB π∴∠=．ABD ∆=，83AD ∴=；（2）设DC a =，则2BD a =，2BD DC = ，ACD ∆，1222323a ∴=⨯⨯⨯，2a ∴=AC ∴==由正弦定理可得42sin sin BAD ADB=∠∠，sin 2sin BAD ADB ∴∠=∠．242sin sin CAD ADC =∠∠，2sin 4CAD ADC ∴∠=∠，sin sin ADB ADC ∠=∠ ，∴sin sin BADCAD∠=∠【例4】如图，在平面四边形ABCD 中，45A ∠=︒，90ADC ∠=︒，2AB =，5BD =．（1）求sin ADB ∠；（2）若DC =，求BC ．【解析】解：（1）ABD ∆中，45A ∠=︒，2AB =，5BD =，由正弦定理得sin sin AB BDADB A=∠，即25sin sin 45ADB =∠︒，解得2sin 5ADB ∠=；（2）由90ADC ∠=︒，所以2cos sin 5BDC ADB ∠=∠=，在BCD ∆中，由余弦定理得：222222cos 52525BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯，解得5BC =．【例5】在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠= ，45A ∠= ，2AB =，5BD =.（1）求cos ADB ∠；（2）若DC =，求BC .【答案】（1）5；（2）5.【分析】（1）在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠∠.由题设知，52sin45sin ADB =∠o，所以2sin 5ADB ∠=.由题设知，90ADB ∠<o ，所以cos 5ADB ∠==；（2）由题设及（1）知，2cos sin 5BDC ADB ∠=∠=.在BCD ∆中，由余弦定理得22222cos 25825255BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠=+-⨯⨯=.所以5BC =.【题型专练】1.如图，在平面四边形ABCD 中，1AD =，2CD =，AC =（1）求cos CAD ∠的值；（2）若cos BAD ∠=21sin 6CBA ∠=，求BC 的长．【解析】解：1AD =，2CD =，AC =（1）在ADC ∆中，由余弦定理，得222cos 2AC AD CD CAD AC AD+-∠= ．∴cos CAD ∠=；（2）设BAC α∠=，则BAD CAD α=∠-∠，cos 21sin 7321sin 143sin 2CAD BAD CAD BAD α∠=∠=-∴∠=∠=∴=，在ABC ∆中，由正弦定理，sin sin BC ACCBAα=∠，解得：3BC =．即BC 的长为3．2.在平面四边形ABCD中，,2,2,AB BC AB BD BCD ABD ABD ⊥==∠=∠∆的面积为2．（1）求AD 的长；（2）求CBD ∆的面积．【解析】解：（1）由已知11sin 2sin 222ABD S AB BD ABD ABD ∆=∠=⨯∠= ，所以sin ABD ∠=(0,2ABD π∠∈，所以cos ABD ∠=在ABD ∆中，由余弦定理得：2222cos 5AD AB BD AB BD ABD =+-∠= ，所以AD =．（2）由AB BC⊥，得2ABD CBD π∠+∠=，所以5sin cos 5CBD ABD ∠=∠=，又42,sin 2sin cos 5BCD ABD BCD ABD ABD ∠=∠∠=∠∠=，()222BDC CBD BCD ABD ABD ABD CBD ππππ∠=-∠-∠=--∠-∠=-∠=∠，所以CBD ∆为等腰三角形，即CB CD =，在CBD ∆中，由正弦定理得：sin sin BD CDBCD CBD=∠∠，所以sin 51155455,sin 4sin 42244585CBDBD CBDCD S CB CD BCD BCD∆∠====∠=⨯⨯⨯=∠．3.如图，在平面四边形ABCD 中，2AB =，6BC =，4AD CD ==．（1）当四边形ABCD 内接于圆O 时，求四边形ABCD 的面积S ；（2）当四边形ABCD 的面积最大时，求对角线BD的长．【解析】（本题满分为14分）解：（1）连接BD ，由余弦定理可得：222222cos 24224cos BD AB AD AB AD A A =+-=+-⨯⨯⨯ ，222222cos 46246cos BD BC CD BC CD C C =+-=+-⨯⨯⨯ ，可得：2016cos 5248cos A C -=-，2⋯分又四边形ABCD 内接于圆O ，则又A C π+=，所以：2016cos 5248cos()A A π-=--，化简可得：1cos 2A =-，又(0,)A π∈，所以23A π=，3C π=，4⋯分所以12124sin 46sin 2323ABD BCD S S S ππ∆∆=+=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，6⋯分（2）设四边形ABCD 的面积为S ，则11sin sin 22ABD BCD S S S AB AD A BC CD C ∆∆=+=+ ，可得：222222cos 2cos BD AB AD AB AD A BC CD BC CD C =+-=+- ，8⋯分可得：22221124sin 46sin 2224224cos 46246cos S A C A C ⎧=⨯⨯+⨯⨯⎪⎨⎪+-⨯⨯=+-⨯⨯⎩，可得：sin 3sin 423cos cos S A CC A⎧=+⎪⎨⎪=-⎩，平方后相加，可得：24106sin sin 6cos cos 16S A C A C +=+-，即：266cos()16S A C =-+，10⋯分又(0,2)A C π+∈，当A C π+=时，216S 有最大值，即S 有最大值．此时，A C π=-，代入23cos cos C A =-，可得：1cos 2C =，又(0,)C π∈，可得：3C π=，12⋯分在BCD ∆中，可得：222222cos 46246cos 283BD BC CD BC CD C π=+-=+-⨯⨯⨯= ，可得BD =．14⋯分4.如图所示，已知圆内接四边形ABCD ，记tan tan tan tan 2222A B C D T =+++．（1）求证：22sin sin T A B=+；（2）若6AB =，3BC =，4CD =，5AD =，求T 的值及四边形ABCD 的面积S．【解析】解：（1）sincos sin cos222222tan tan tan tan tan cot tan cot 22222222sin sin cos sin cos sin 2222A AB BA B A B A A B B T A A B B A Bππ--=+++=+++=+++=+．（2）由于：6AB =，3BC =，4CD =，5AD =，由题知：cos cos 0BAD BCD ∠+∠=，可得：22222222470227AB AD BD BC CD BD BD AB AD BC CD +-+-+=⇒= ，则3cos 7A =，sin A =则1()sin 2S AD AB CD BC A =+= ，则1610()sin sin 219S AB BC AD CD ABC ABC =+∠=∠=，22sin sin T A B =+==5.如图，角A ，B ，C ，D 为平面四边形ABCD 的四个内角，6AB =，3BC =，4CD =．（1）若60B =︒，30DAC ∠=︒，求sin D ；（2）若180BAD BCD ∠+∠=︒，5AD =，求cos BAD ∠．【解析】解：（1）在ABC ∆中，222361cos 2362AC B +-==⨯⨯，222363627AC ∴=+-⨯=，AC ∴=ACD ∆中，由正弦定理sin sin DAC D CD AC∠=，sin sin sin 30AC D DAC CD ∴=⋅∠=︒=．（2）在ABD ∆中，22256cos 256BD BAD +-∠=⨯⨯，在BCD ∆中，22234cos 234BD BCD +-∠=⨯⨯，180BAD BCD ∠+∠=︒ ，cos cos 0BAD BCD ∴∠+∠=，∴22222256340256234BD BD +-+-+=⇒⨯⨯⨯⨯可得：222(2536)5(916)0120BD BD +-++-=，可得：22261252550BD BD ⨯-+⨯-=，可得27247BD =，则BD =22224725365637cos 256607BDBAD +-+-∴∠===⨯⨯．6.某市欲建一个圆形公园，规划设立A ，B ，C ，D 四个出入口（在圆周上），并以直路顺次连通，其中A ，B ，C 的位置已确定，2AB =，6BC =（单位：百米），记ABC θ∠=，且已知圆的内接四边形对角互补，如图，请你为规划部门解决以下问题．（1）如果4DC DA ==，求四边形ABCD 的区域面积；（2）如果圆形公园的面积为283π万平方米，求cos θ的值．【解析】解：（1）连结BD ，可得四边形ABCD 的面积为：11sin sin 22ABD CBD S S S AB AD A BC CD C ∆∆=+=+ ， 四边形ABCD 内接于圆，180A C ∴+=︒，可得sin sin A C =．11sin sin 22S AB AD A BC CD C =+ 1()sin 2AB AD BC CD A =+1(2464)sin 2A =⨯+⨯16sin A =．(*)⋯在ABD ∆中，由余弦定理可得：222222cos 24224cos 2016cos BD AB AD AB AD A A A =+-=+-⨯⨯=- ，同理可得：在CDB ∆中，222222cos 64264cos 5248cos BD CB CD CB CD C C C =+-=+-⨯⨯=- ，2016cos 5248cos A C ∴-=-，结合cos cos(180)cos C A A =︒-=-，得64cos 32A =-，解得1cos 2A =-，(0,180)A ∈︒︒ ，120A ∴=︒，代入(*)式，可得四边形ABCD面积16sin120S =︒=．（2） 设圆形公园的半径为R ，则面积为283π万平方米，可得：2283R ππ=，可得：2213R =，∴由正弦定理2sin AC R B ==sin θ==由余弦定理可得：AC ==sin θ∴==214sin 159cos θθ=-，22sin cos 1θθ+= ，∴2159cos cos 114θθ-+=，整理可得：2214cos 9cos 10θθ-+=，∴解得：1cos 7θ=，或12．7.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c已知sin 0,2A A a b +===.（1）求角A 和边长c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥,求ABD ∆的面积.【答案】（1）23π，4；（2）3.【解析】（1）sin 3cos 0,tan 3A A A +=∴=- ，20,3A A ππ<<∴=，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，即21284222c c ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭，即22240c c +-=，解得6c =-（舍去）或4c =，故4c =.(2)2222cos c b a ab C =+- ，162842272cos C ∴=+-⨯⨯⨯，22cos ,72cos 77AC C CD C∴=∴===，12CD BC ∴=，1134223222ABC S AB AC sin BAC ∆∴=⋅⋅∠=⨯⨯⨯=，132ABD ABC S S ∆∆∴==.8.四边形的内角与互补，．（1）求和；（2）求四边形的面积．【答案】（1）60C =︒，7BD =；（2）23．【详解】：（1）连接BD ．在ABD ∆和CBD ∆中，利用余弦定理列等式2222BD BC CD BC=+-cos CD C ⋅和2222cos BD AB DA AB DA A =+-⋅，且cos cos C A =-，代入数据得54cosC +，求cos C 的值，进而求C 和的值；（2）由（1）知ABD ∆和CBD ∆的面积可求，故四边形等于ABD ∆和CBD ∆的面积．（1）由题设及余弦定理得2222cos BD BC CD BC CD C=+-⋅．①2222cos BD AB DA AB DA A =+-⋅54cosC =+．②。
全等三角形题型归类及解析
全等三角形难题题型归类及解析一、角平分线型角平分线是轴对称图形，所以我们要充分的利用它的轴对称性，常作的辅助线是：一利用截取一条线段构造全等三角形，二是经过平分线上一点作两边的垂线。
另外掌握两个常用的结论：角平分线与平行线构成等腰三角形，角平分线与垂线构成等腰三角形。
1. 如图，在ΔABC 中，D 是边BC 上一点，AD 平分∠BAC ，在AB 上截取AE=AC ，连结DE ，已知DE=2cm ，BD=3cm ，求线段BC 的长。
2. 已知：如图所示，BD 为∠ABC 的平分线，AB=BC ，点P 在BD 上，PM ⊥AD 于M ，•PN ⊥CD 于N ，判断PM 与PN 的关系．3. 已知：如图E 在△ABC 的边AC 上，且∠AEB=∠ABC 。
(1) 求证：∠ABE=∠C ；(2) 若∠BAE 的平分线AF 交BE 于F ，FD ∥BC 交AC 于D ，设AB=5，AC=8，求DC 的长。
．AB C DE PD A CBM N5、如图所示，已知∠1=∠2，EF ⊥AD 于P ，交BC 延长线于M ，求证：2∠M=（∠ACB-∠B ）21PFMDBA CE6、如图，已知在△ABC 中，∠BAC 为直角，AB=AC ，D 为AC 上一点，CE ⊥BD 于E ．（1） 若BD 平分∠ABC ，求证CE=12BD ；（2） 若D 为AC 上一动点，∠AED 如何变化，若变化，求它的变化范围；若不变，求出它的度数，并说明理由。
8、如图，在△ABC 中，∠ABC=60°，AD 、CE 分别平分∠BAC 、∠ACB ，求证：AC=AE+CD ．二、中点型由中点应产生以下联想：ED C BA1、想到中线，倍长中线2、利用中心对称图形构造8字型全等三角形3、在直角三角形中联想直角三角形斜边上的中线4、三角形的中位线2、已知：如图，ABC △中，45ABC ∠=°，CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠，且BE A C ⊥于E ，与CD 相交于点F H ，是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G ． （1）求证：BF AC =；（2）求证：12CE BF =D AE FCHGB3、如图，△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥DF ，试判断BE+CF 与EF 的大小关 系，并证明你的结论。
高中数学-解三角形知识点汇总情况及典型例题1.docx
实用标准解三角形的必备知识和典型例题及详解一、知识必备：1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中， C＝90°，AB＝ c， AC＝ b ， BC＝ a。
（1）三边之间的关系：a2＋b2＝c2。
（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A＋B＝ 90 °；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）sin A＝ cos B＝a， cos A＝sin＝b， tan A＝a。
c bc2．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中， A、 B、 C 为其内角， a、b、 c 分别表示 A、 B、C 的对边。
（1）三角形内角和：A＋B＋C＝π。
（2 ）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等a b c2R （R为外接圆半径）sin A sin B sin C（ 3 ）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2 ＝b2＋2－ 2bccosA；b2 ＝ 2 ＋a2－ 2cacosB；c2＝ 2 ＋b2－2abcos。
c c a C3．三角形的面积公式：1ah a＝11（1）S＝bh b＝ch c（ h a、 h b、 h c分别表示 a、b、 c 上的高）；22211bc sin A＝1（2）S＝ab sin C＝ac sin B；222求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型：（1 ）两类正弦定理解三角形的问题：第 1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.第 2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.（2 ）两类余弦定理解三角形的问题：第 1、已知三边求三角 .第 2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.5．三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。
（ 1）角的变换因为在△ABC 中， A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。
高中数学-解三角形知识点汇总情况及典型例题1
实用标准解三角形的必备知识和典型例题及详解一、知识必备：1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。
（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。
（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝ba。
2．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。
（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。
（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等R Cc B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。
3．三角形的面积公式：（1）∆S ＝21ah a ＝21bh b ＝21ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； （2）∆S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ；4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）例1．（1）在∆ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9=a cm ，解三角形；（2）在∆ABC 中，已知20=a cm ，28=b cm ，040=A ，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm ）。
解：（1）根据三角形内角和定理，0180()=-+C A B 000180(32.081.8)=-+066.2=；根据正弦定理， 0sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ； 根据正弦定理，0sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A（2）根据正弦定理， 0sin 28sin40sin 0.8999.20==≈b A B a 因为00＜B ＜0180，所以064≈B ，或0116.≈B①当064≈B 时，00000180()180(4064)76=-+≈-+=C A B ，sin 20sin7630().sin sin40==≈a C c cm A ②当0116≈B 时，180()180(40116)24=-+≈-+=C A B ，0sin 20sin2413().sin sin40==≈a C c cm A 点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形；（2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 题型2：三角形面积例2．在∆ABC 中，sin cos A A +=22，AC =2，3=AB ，求A tan 的值和∆ABC 的面积。
2020年高考理科数学 《解三角形》题型归纳与训练及答案解析
2020年高考理科数学 《解三角形》题型归纳与训练【题型归纳】题型一 正弦定理、余弦定理的直接应用例1ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin()8sin2BA C +=． (1)求cos B(2)若6a c +=，ABC ∆面积为2，求b ． 【答案】（1）15cos 17B =（2）2b =． 【解析】由题设及A B C π++=得2sin 8sin2BB =，故sin 4(1cos )B B =-． 上式两边平方，整理得217cos 32cos 150B B -+=， 解得cos 1B =（舍去），15cos 17B =.（2）由15cos 17B =得8sin 17B =，故14sin 217ABC S ac B ac ∆==． 又2ABC S ∆=，则172ac =． 由余弦定理及6a c +=得22222cos ()2(1cos )b a c ac B a c ac B =+-=+-+1715362(1)4217=-⨯⨯+=． 所以2b =．【易错点】二倍角公式的应用不熟练，正余弦定理不确定何时运用 【思维点拨】利用正弦定理列出等式直接求出例2 ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若2cos cos cos b B a C c A =+,则B = . 【答案】π3【解析】1π2sin cos sin cos sin cos sin()sin cos 23B B AC C A A C B B B =+=+=⇒=⇒=.【易错点】不会把边角互换，尤其三角恒等变化时，注意符号。
【思维点拨】边角互换时，一般遵循求角时，把边换成角；求边时，把角转换成边。
例3在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若b ＝1，c ＝3，C ＝23π，则S △ABC ＝________.【答案】34【解析】因为c ＞b ，所以B ＜C ，所以由正弦定理得b sin B ＝c sin C ，即1sin B ＝3sin 2π3＝2，即sin B ＝12，所以B＝π6，所以A ＝π－π6－2π3＝π6.所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×3×12＝34. 【易错点】大边对大角，应注意角的取值范围【思维点拨】求面积选取公式时注意，一般选取已知角的公式，然后再求取边长。
高中数学解三角形精选题目(附答案)
高中数学解三角形精选题目（附答案）一、解三角解三角形的常见类型及方法(1)已知三边：先由余弦定理求出两个角，再由A＋B＋C＝π，求第三个角．(2)已知两边及其中一边的对角：先用正弦定理求出另一边的对角，再由A ＋B＋C＝π，求第三个角，最后利用正弦定理或余弦定理求第三边．(3)已知两边及夹角：先用余弦定理求出第三边，然后再利用正弦定理或余弦定理求另两角．(4)已知两角及一边：先利用内角和求出第三个角，再利用正弦定理求另两边．1.设锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且有a＝2b sin A.(1)求B的大小；(2)若a＝33，c＝5，求b.1.解：(1)由a＝2b sin A，根据正弦定理得sin A＝2sin B sin A，所以sin B＝1 2，由于△ABC是锐角三角形，所以B＝π6.(2)根据余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝27＋25－45＝7，所以b＝7.注：利用正、余弦定理来研究三角形问题时，一般要综合应用三角形的性质及三角函数关系式，正弦定理可以用来将边的比和对应角正弦值的比互化，而余弦定理多用来将余弦值转化为边的关系．2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝3bc，sin C＝23sin B，则A＝()A．30°B．60°C．120°D．150°解析：选A 由正弦定理可知c ＝23b ，则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc ＝－3bc ＋23bc 2bc ＝32，所以A ＝30°，故选A.3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3B.932C.332 D ．33解析：选C ∵c 2＝(a －b )2＋6，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.①∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .②由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6. ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知A ＝π6，a ＝1，b ＝3，则B ＝________.解析：依题意得，由正弦定理知：1sin π6＝3sin B ，sin B ＝32，又0<B <π，b >a ，可得B ＝π3或2π3.答案：π3或2π35．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .(1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )；(2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值．解：(1)证明：∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b .由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B .∵sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )，∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )．(2)∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac .由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac≥2ac －ac 2ac ＝12， 当且仅当a ＝c 时等号成立．∴cos B 的最小值为12.二、三角形的形状判定三角形中的常用结论(1)A ＋B ＝π－C ，A ＋B 2＝π2－C 2. (2)在三角形中大边对大角，反之亦然．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．6.在△ABC 中，a ，b ，c 分别表示三个内角A ，B ，C 的对边，如果(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，试判断该三角形的形状．[解] ∵(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，∴a 2[sin(A －B )－sin(A ＋B )]＝b 2[－sin(A ＋B )－sin(A －B )]，∴2a 2cos A sin B ＝2b 2sin A cos B .法一：(化边为角)由正弦定理得2sin 2A cos A sin B ＝2sin 2B sin A cos B ， 即sin 2A ·sin A sin B ＝sin 2B ·sin A sin B .∵0<A <π，0<B <π，∴sin 2A ＝sin 2B ，∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．法二：(化角为边)2a 2cos A sin B ＝2b 2cos B sin A ，由正弦、余弦定理得a 2b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a ·a 2＋c 2－b 22ac ，∴a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)，即(a 2－b 2)(c 2－a 2－b 2)＝0.∴a ＝b 或c 2＝a 2＋b 2，∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．注：根据所给条件判断三角形的形状的途径(1)化边为角．(2)化角为边，转化的手段主要有：①通过正弦定理实现边角转化；②通过余弦定理实现边角转化；③通过三角变换找出角之间的关系；④通过对三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性来确定三角形的形状．7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c .若c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形解析：选D ∵c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，C ＝π－(A ＋B )，∴由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ，∴sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ，∴cos A (sin B －sin A )＝0，∴cos A ＝0或sin B ＝sin A ，∴A ＝π2或B ＝A 或B ＝π－A (舍去)．故△ABC 为直角三角形或等腰三角形．8．在△ABC 中，已知3b ＝23a sin B ，且A ，B ，C 成等差数列，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：选C ∵A ，B ，C 成等差数列，∴A ＋C ＝2B ，即3B ＝π，解得B ＝π3.∵3b ＝23a sin B ，∴根据正弦定理得3sin B ＝23sin A sin B ．∵sin B ≠0，∴3＝23sin A ，即sin A ＝32，即A ＝π3或2π3，当A ＝2π3时，A ＋B ＝π不满足条件．∴A ＝π3，C ＝π3.故A ＝B ＝C ，即△ABC 的形状为等边三角形．9．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．解：(1)由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc .由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴bc ＝－2bc cos A ，cos A ＝－12. 又0<A <π，∴A ＝2π3.(2)由(1)知sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ，∴sin 2A ＝(sin B ＋sin C )2－sin B sin C .又sin B ＋sin C ＝1，且sin A ＝32，∴sin B sin C ＝14，因此sin B ＝sin C ＝12.又B ，C ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，故B ＝C . 所以△ABC 是等腰的钝角三角形.三、实际应用(1)仰角与俯角是相对水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的．(2)利用方位角或方向角和目标与观测点的距离即可唯一确定一点的位置．10.如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．(1)求渔船甲的速度；(2)求sin α的值．[解] (1)依题意，∠BAC ＝120°，AB ＝12海里，AC ＝10×2＝20(海里)，∠BCA ＝α.在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ×AC ×cos ∠BAC ＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784.解得BC ＝28海里．∴渔船甲的速度为BC 2＝14(海里/小时)．(2)在△ABC 中，AB ＝12海里，∠BAC ＝120°，BC ＝28海里，∠BCA ＝α，由正弦定理，得AB sin α＝BC sin 120°.即sin α＝AB sin 120°BC＝12×3228＝3314.故sin α的值为33 14.注：应用解三角形知识解决实际问题的步骤(1)读题．分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等；(2)图解．根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)建模．将所求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；(4)验证．检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．11.要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，如图，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，则电视塔的高度为()A．10 2 m B．20 mC．20 3 m D．40 m解析：选D设电视塔的高度为x m，则BC＝x，BD＝3x.在△BCD中，根据余弦定理得3x2＝x2＋402－2×40x×cos 120°，即x2－20x－800＝0，解得x ＝40或x＝－20(舍去)．故电视塔的高度为40 m.12．北京国庆阅兵式上举行升旗仪式，如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离为10 6 m，则旗杆的高度为________m.解析：设旗杆高为h m，最后一排为点A，第一排为点B，旗杆顶端为点C，则BC＝hsin 60°＝233h.在△ABC中，AB＝106，∠CAB＝45°，∠ABC＝105°，所以∠ACB＝30°，由正弦定理，得106sin 30°＝233hsin 45°，故h＝30(m)．答案：3013.某高速公路旁边B处有一栋楼房，某人在距地面100米的32楼阳台A处，用望远镜观测路上的车辆，上午11时测得一客车位于楼房北偏东15°方向上，且俯角为30°的C处，10秒后测得该客车位于楼房北偏西75°方向上，且俯角为45°的D处．(假设客车匀速行驶)(1)如果此高速路段限速80千米/小时，试问该客车是否超速？(2)又经过一段时间后，客车到达楼房的正西方向E处，问此时客车距离楼房多远？解：(1)在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝100米，则BC＝1003米．在Rt△ABD中，∠BAD＝45°，AB＝100米，则BD＝100米．在△BCD中，∠DBC＝75°＋15°＝90°，则DC＝BD2＋BC2＝200米，所以客车的速度v＝CD10＝20米/秒＝72千米/小时，所以该客车没有超速．(2)在Rt△BCD中，∠BCD＝30°，又因为∠DBE＝15°，所以∠CBE＝105°，所以∠CEB＝45°.在△BCE中，由正弦定理可知EBsin 30°＝BCsin 45°，所以EB＝BC sin 30°sin 45°＝506米，即此时客车距楼房506米．巩固练习：1．在△ABC中，若a＝7，b＝3，c＝8，则其面积等于()A．12 B.21 2C．28D．63解析：选D由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc＝32＋82－722×3×8＝12，所以sin A＝32，则S△ABC＝12bc sin A＝12×3×8×32＝6 3.2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若3a＝2b，则2sin2B－sin2Asin2A的值为()A.19 B.13C．1 D.7 2解析：选D由正弦定理可得2sin2B－sin2Asin2A＝2b2－a2a2＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫32a2－a2a2＝72.3．在△ABC中，已知AB＝2，BC＝5，△ABC的面积为4，若∠ABC＝θ，则cos θ等于()A.35B．－35C．±35D．±45解析：选C∵S△ABC ＝12AB·BC sin∠ABC＝12×2×5×sin θ＝4.∴sin θ＝45.又θ∈(0，π)，∴cos θ＝±1－sin2θ＝±3 5.4．某人从出发点A向正东走x m后到B，向左转150°再向前走3 m到C，测得△ABC的面积为334m2，则此人这时离开出发点的距离为()A．3 m B. 2 mC．2 3 m D. 3 m解析：选D在△ABC中，S＝12AB×BC sin B，∴334＝12×x×3×sin 30°，∴x＝ 3.由余弦定理，得AC＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos B＝3＋9－9＝3(m)．5．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积S△ABC＝32，则边BC的边长为()A.3B．3C.7D．7解析：选A∵S△ABC ＝12AB·AC sin A＝32，∴AC＝1，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos A＝4＋1－2×2×1×cos 60°＝3，即BC＝ 3.6．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B ＝a sin A，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定解析：选B∵b cos C＋c cos B＝b·b2＋a2－c22ab＋c·c2＋a2－b22ac＝b2＋a2－c2＋c2＋a2－b22a＝2a22a＝a＝a sin A，∴sin A＝1.∵A∈(0，π)，∴A＝π2，即△ABC是直角三角形．7．在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则△ABC的形状为____________．解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B，即ac＝a2＋c2－ac，∴(a－c)2＝0，∴a＝c.又∵B＝60°，∴△ABC为等边三角形．答案：等边三角形8．在△ABC中，a＝b＋2，b＝c＋2，又知最大角的正弦等于32，则三边长为________．解析：由题意知a边最大，sin A＝32，∴A＝120°，∴a2＝b2＋c2－2bc cos A.∴a2＝(a－2)2＋(a－4)2＋(a－2)(a－4)．∴a2－9a＋14＝0，解得a＝2(舍去)或a＝7.∴b＝a－2＝5，c＝b－2＝3.答案：a＝7，b＝5，c＝39．已知三角形ABC的三边为a，b，c和面积S＝a2－(b－c)2，则cos A＝________.解析：由已知得S＝a2－(b－c)2＝a2－b2－c2＋2bc＝－2bc cos A＋2bc.又S＝12bc sin A，∴12bc sin A＝2bc－2bc cos A.∴4－4cos A＝sin A，平方得17cos2A－32cos A＋15＝0.∴(17cos A－15)(cos A－1)＝0.∴cos A＝1(舍去)或cos A＝15 17.答案：15 1710．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cos A＝23，sin B＝5cos C.(1)求tan C的值；(2)若a＝2，求△ABC的面积．解：(1)因为0<A<π，cos A＝2 3，所以sin A＝1－cos2A＝5 3，又5cos C＝sin B＝sin(A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C＝53cos C＋23sin C，所以253cos C＝23sin C，tan C＝ 5.(2)由tan C＝5得sin C＝56，cos C＝16，于是sin B ＝5cos C ＝56. 由a ＝2及正弦定理a sin A ＝c sin C 得c ＝3，所以△ABC 的面积S △ABC ＝12ac sinB ＝12×2×3×56＝52. 11.如图，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17.(1)求sin ∠BAD ；(2)求BD ，AC 的长．解：(1)在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17，所以sin ∠ADC ＝437.所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B )＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B＝437×12－17×32＝3314.(2)在△ABD 中，由正弦定理得BD ＝AB ·sin ∠BAD sin ∠ADB ＝8×3314437＝3. 在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B＝82＋52－2×8×5×12＝49. 所以AC ＝7.12．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，p ＝(b －2，a －2)．(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m ⊥p ，c ＝2，C ＝π3，求△ABC 的面积．解：(1)证明：∵m∥n，∴a sin A＝b sin B，∴a·a＝b·b，即a2＝b2，a＝b，∴△ABC为等腰三角形．(2)由m⊥p，得m·p＝0，∴a(b－2)＋b(a－2)＝0，∴a＋b＝ab.由余弦定理c2＝a2＋b2－2ab cos C，得4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0，解得ab＝4(ab＝－1舍去)，∴S△ABC ＝12ab sin C＝12×4×sinπ3＝ 3.。
高中数学期末专题：解三角形大题综合解析版
期末专题05解三角形大题综合1.(2022春·江苏宿迁·高一沭阳县修远中学校考期末)已知平面四边形ABCD 中，AD =3,∠BAD =90°,∠CBA =120°,∠ACD =60°，(1)若AC =3，求BD ；(2)若∠ACB =45°，求AB ．【答案】(1)23(2)2【分析】(1)由条件可得∠CAB =30°，在△ABC 中，求出AB ,然后在直角三角形ABD 中由勾股定理可得出答案.(2)根据条件先求出∠CDA =45°，然后在△ACD 中利用正弦定理求出AC , 在△ABC 中利用正弦定理可得出答案.(1)由AC =AD =3, ∠ACD =60°,则△ACD 为等边三角形所以∠CAD =60°，又∠BAD =90°，则∠CAB =30°又∠CBA =120°，所以∠ACB =30°，则AB =BC ,由AB sin30°=AC sin120°,则AB =AC sin120°×sin30°=3连接BD ,由∠BAD =90°，则BD =AB 2+AD 2=3+9=23(2)由∠ACB =45°，∠CBA =120°，则∠CAB =15°又∠BAD =90°，则∠CAD =75°又∠ACD =60°，则∠CDA =45°在△ACD 中，AC sin ∠ADC =ADsin ∠ACD,即AC sin45°=3sin60°解得AC =6在△ABC 中, AB sin ∠ACB =ACsin ∠ABC, 即AB sin45°=6sin120°,解得AB =22.(2022春·江苏南通·高一金沙中学校考期末)在△ABC 中，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知向量m =3cos A ，sin A ，n =1，-1 ，且m ⊥n ．(1)求角A 的大小；(2)若a =7，3sin B =2sin C ，求△ABC 的面积．3(2)332．【分析】(1)根据平面向量数量积的坐标表示即可解出；(2)由正弦定理先求出b ,c 的关系，再由余弦定理即可解出b ,c ，最后根据三角形的面积公式即可解出(1)由m ⊥n 可得，m ⋅n =3cos A -sin A =0，所以tan A =3，而A ∈0,π ，所以A =π3．(2)由3sin B =2sin C 得3b =2c ，而a 2=b 2+c 2-2bc cos A =7，即7=b 2+94b 2-32b 2，解得b 2=4，所以b =2,c =3，故△ABC 的面积为S =12bc sin A =12×2×3×32=332．3.(2022春·江苏徐州·高一统考期末)已知△ABC 内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设向量m=b +c ,sin A ，n =a +b ,sin C -sin B ，且m ∥n .(1)求角C ；(2)若b =4，△ABC 的面积为43，求△ABC 的周长.【答案】(1)C =2π3(2)8+43【分析】(1)根据向量平行的坐标公式，结合余弦定理求解即可；(2)根据面积公式可得a =4，进而得到A =B =π6，从而利用正弦定理求出c =43，进而得到周长即可(1)由向量平行的坐标公式可得b +c sin C -sin B -a +b sin A =0，由正弦定理可得b +c c -b -a +b a =0，即-ab =a 2+b 2-c 2，故cos C =a 2+b 2-c 22ab=-12，因为C ∈0,π ，故C =2π3(2)由三角形面积公式，43=12×4a ×32，故a =4，故△ABC 为等腰三角形，故A =B =12π-2π3 =π6，又a sin A =c sin C ，故c =a sin Csin A =4×3212=43，所以△ABC 的周长为4+4+43=8+434.(2022春·江苏南京·高一统考期末)在△ABC 中，a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对边，m =2b +c ,cos C ,n=-a ,cos A ，且m ∥n ，a =23.(1)求A 角大小.(2)D 为BC 边上一点，AD =1，且，求△ABC 的面积.(从①AD 为∠BAC 的平分线，②D 为BC 的中点，两个条件中任选一个补充在上面的横线上并作答.如果都选，以选①计分.)3(2)3【分析】(1)根据向量的平行关系得到等式，再运用正弦定理及正弦的两角和公式化简即可求解；(2)若选①，运用面积公式及余弦定理可求解；选②，根据向量关系及余弦定理即可求解.【详解】(1)∵m ⎳n,∴2b +c cos A =-a cos C 由正弦定理得：2sin B +sin C cos A =-sin A cos C2sin B cos A +sin C cos A +sin A cos C =02sin B cos A +sin A +C =02sin B cos A +sin B =0sin B 2cos A +1 =0∵sin B ≠0，∴cos A =-12∵A ∈0,π ,∴A =2π3(2)选①：由AD 平分∠BAC 得：S △ABC =S △ABD +S △ACD 12bc sin120°=12×1×c sin60°+12×1×b sin60°，所以bc =b +c ，(1)在△ABC 中，由余弦定理得：a 2=b 2+c 2-2bc cos120°,a =23所以b 2+c 2+bc =12，(2)(1)(2)联立得bc =b +cb 2+c 2+bc =12解得(bc )2-bc -12=0，解得bc =4，所以S △ABC =12bc sin120°=12×4×32=3，选②：AD =12AB +AC ，AD 2=14(AB +AC )2=14AB2+2AB ⋅AC +AC 21=14c 2+2bc cos120°+b 2 ，得b 2+c 2-bc =4(1)△ABC 中，由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bc cos120°,a =23所以b 2+c 2+bc =12，(2)(2)-(1)即可得bc =4，S △ABC =12bc sin120°=12×4×32= 3.5.(2022春·江苏南京·高一南京市中华中学校考期末)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos A 2-sin A 2cos A 2+sin A 2=sin Bcos B．(1)若C =2π3，求B ；(2)若a 2+b 2-kc 2=0(k ∈R )，求符合条件的k 的最小值．【答案】(1)π6(2)42-5【分析】(1)由三角恒等变换得出C =π2+B ，再由C =2π3，得出B ；(2)由k =a 2+b 2c 2结合正弦定理以及C =π2+B 得出k =2cos 2B -1 2+1-cos 2B cos 2B ，令x =cos 2B ，结合基本不等式得出k 的最小值.【详解】(1)cos A 2-sin A2cos A 2+sin A 2=cos 2A 2-sin A 2cos A2cos 2A 2+sin A 2cos A 2=1+cos A2-sin A 21+cos A2+sin A 2=1+cos A -sin A 1+cos A +sin A=sin Bcos B ，即sin B +sin B cos A +sin A sin B =cos B +cos A cos B -sin A cos B ，sin B +sin (A +B )=cos B +cos (A +B )，sin B -cos B =-sin C -cos C ，两边平方得1-2sin B cos B =1+2sin C cos C ，即sin (-2B )=sin2C ，∵-2B ∈-2π,0 ,2C ∈0,2π ,B +C ∈0,π ,∴-2B +2C =π,C =π2+B ,∵C =2π3，B =2π3-π2=π6;(2)由(1)可得，C =π2+B ，则π-π2+B +B =A ,则0<π-π2+B +B <π,0<B <π4，22<cos B <1,sin A =sin π-π2+B +B=cos2B =2cos 2B -1，由a 2+b 2-kc 2=0(k ∈R )得，k =a 2+b 2c 2=sin 2A +sin 2B sin 2C =2cos 2B -1 2+1-cos 2B cos 2B设x =cos 2B ，则12<x <1k =a 2+b 2c2=(2x -1)2+1-x x =4x 2-5x +2x =4x +2x -5≥24x ⋅2x -5=42-5当且仅当4x =2x ,x =22时，等号成立即符合条件的k 的最小值为42-56.(2021春·江苏扬州·高一统考期末)在△ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，已知a +c =mb (m ∈R ).(1)若m =2，求∠B 的最大值；(2)若∠B 为钝角，求：①m 的取值范围；②sin A sin C 1+cos A cos C的取值范围.(参考公式：sin α+sin β=2sin α+β2cos α-β2)【答案】(1)π2；(2)①1<m <2；②0,13.【分析】(1)由题意可得b=a+c2，然后利用余弦定理可得cos B≥0，从而可求出∠B的最大值；(2)①由于∠B为钝角，所以可得a2+c2<b2，结合a+c=mb(m∈R)，可得m2<(a+c)2a2+c2=1+2a c +ca，再结合基本不等式可求得m的取值范围；②由正弦定理将a+c=mb化为sin A+sin C=m sin B，利用和差化积公式可得cos2A-C2=m2cos2A+C2，再利用三角恒等变换公式可得sin A sin C 1+cos A cos C =m2-1m2+1=-2m2+1+1，再结合①可得结论【详解】(1)当m=2时，b=a+c2，所以cos B=a2+c2-a+c222ac=(a-c)24ac≥0，因为B∈(0,π)，所以B∈0,π2，则∠B的最大值为π2.(2)①因为a+c>b，所以m>1；因为∠B为钝角，即存在a>0,c>0，使得a2+c2<b2，即a2+c2<a+cm2,m2<(a+c)2a2+c2=1+2ac+ca成立；因为ac+ca≥2，所以1<m2<2，即1<m<2；②又因为a+c=mb，所以sin A+sin C=m sin B，则2sin A+C2cos A-C2=2m sin B2cos B2，因为sinA+C2=sinπ-B2=cos B2≠0，所以cos A-C2=m sin B2=m sinπ2-A+C2=m cos A+C2，所以cos2A-C2=m2cos2A+C2，则1+cos(A-C)2=m2×1+cos(A+C)2，1+cos A cos C+sin A sin C=m2(1+cos A cos C-sin A sin C)，所以sin A sin C1+cos A cos C=m2-1m2+1=-2m2+1+1，因为1<m<2，所以0<-2m2+1+1<13，所以sin A sin C1+cos A cos C的取值范围为0,13.7.(2021春·江苏常州·高一统考期末)如图，某小区准备将闲置的一直角三角形地块开发成公共绿地，图中AB=3a，∠B=π2，BC=33a.设计时要求绿地部分(如图中阴影部分所示)有公共绿地走道MN，且两边是两个关于走道MN对称的三角形(△AMN和△A MN).现考虑绿地最大化原则，要求点M与点A，B 均不重合，A 落在边BC上且不与端点B，C重合.(1)设∠AMN=θ，若θ=π3，求此时公共绿地的面积；(2)为方便小区居民的行走，设计时要求AN，A N的长度最短，求此时绿地公共走道MN的长度.【答案】(1)23a 2；(2)2a .【分析】(1)根据大三角形直角边的比例关系，可得三角形∠A =π3，结合θ=π3，可求得各边的长度以及三角形的面积(2)在△AMN 中，由正弦定理求出AN 的表达式，可化简为关于θ的三角函数形式，根据θ角的范围求出三角函数的最值，从而求出AN 的最值【详解】(1)由题意得：△AMN 与△A MN 全等，∴∠BMA =π-2θ=π3∴在Rt △BMA 中，BM =12A M =12AM ，又BM +AM =3a =AB ，∴32AM =3a ，∴AM =2a ，又∵AB =3a ，BC =33a ，∠B =π2，∴∠A =π3，∴△AMN 为等边三角形，∴公共绿地的面积S =2S △AMN =2⋅34AM 2=23a 2(2)由图得：AM +AM cos (π-2θ)=AB =3a 且AM =A M∴AM =3a 1-cos2θ=3a2sin 2θ在△AMN 中，由正弦定理得：AN sin θ=AMsin 2π3-θ∴AN =AM sin θsin 2π3-θ=3a2sin θsin 2π3-θ，令f (θ)=2sin θsin 2π3-θ=2sin θ32cos θ+12sin θ =32sin2θ+1-cos2θ2=sin 2θ-π6 +12又由0<π-2θ<π2得θ∈π4,π2，∴2θ-π6∈π3,5π6 ，∴当2θ-π6=π2即θ=π3时f (θ)取最大值，即AN 最短，此时△AMN 是等边三角形，MN =AM =2a .8.(2021春·江苏南通·高一统考期末)在以下两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题．①3a sin C =4c cos A ，②2b sinB +C2=5a sin B 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知；a =32.(1)求sin A的值(2)如图，M为边AC上一点，MC=MB，∠ABM=π2，求△ABC的面积【答案】选择见解析；(1)45；(2)278．【分析】选择条件①3a sin C=4c cos A(1)根据已知条件，结合正弦定理，即可求解．(2)根据已知条件，运用余弦定理，可得m=5，再结合三角形面积公式，即可求解．选择条件②2b sin B+C2=5a sin B(1)根据已知条件，运用正弦定理，以及二倍角公式，即可求解．(2)根据已知条件，运用余弦定理，可得m=5，再结合三角形面积公式，即可求解．【详解】解：若选①，(1)3a sin C=4c cos A，由正弦定理可得3sin A sin C=4sin C cos A因为sin C≠0，所以可得tan A=43，在△ABC中，所以A∈0，π2，所以sin A=442+32=45；(2)设BM=MC=m，易知cos∠BMC=-cos∠BMA=-sin A=-4 5．在△BMC中，由余弦定理得18=2m2-2m2·-4 5，解得m=5，所以S△BMC=12m2sin∠BMC=12×5×35=32，在Rt△ABM中，因为sin A=45，BM=5，∠ABM=π2，所以AB=354所以S△ABM=15 8，所以S△ABC=32+158=278．若选②，(1)因为2b sin B+C2=5a sin B，所以2b sinπ-A2=5a sin B，由正弦定理可得2sin B cos A2=5sin A sin B=25sin A2cos A2sin B，因为sin B≠0，cos A2≠0，所以sin A2=15，cos A2=25，所以sin A=2sinA2cos A2=2⋅15⋅25=45.(2)设BM=MC=m，易知cos∠BMC=-cos∠BMA=-sin A=-4 5．在△BMC中，由余弦定理得18=2m2-2m2·-4 5，解得m=5，所以S△BMC=12m2sin∠BMC=12×5×35=32，在Rt△ABM中，因为sin A=45，BM=5，∠ABM=π2，所以AB=354所以S△ABM=15 8，所以S△ABC=32+158=278．9.(2021春·江苏常州·高一统考期末)已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos C=2a-c 2b.(1)若cos(B+C)=-5314，求cos C的值；(2)若点D 在边AC 上，且AD =2DC ，BD =2，求△ABC 面积的最大值.【答案】(1)3314；(2)332.【分析】(1)根据已知条件cos C =2a -c 2b，运用余弦定理，可推得B =π3，再结合三角函数的同角公式和余弦函数的两角差公式，即可求解．(2)由AD =2DC ，可推得BD =13BA +23BC，对等式两边同时平方，并结合均值不等式和三角形面积公式，即可求解．【详解】解：(1)由余弦定理得，cos C =2a -c 2b =a 2+b 2-c 22ab 整理得，a 2+c 2-b 2=ac ，所以cos B =a 2+c 2-b 22ac =12又因为B ∈(0,π)，所以B =π3因为cos (B +C )=-5314，又0<B +C <π，所以sin (B +C )=1-cos 2(B +C )=1114故cos C =cos [(B +C )-B ]=cos (B +C )cos B +sin (B +C )sin B=-5314 ⋅12+1114⋅32=3314(2)因为AD =2DC ，所以BD =BA +AD =BA +23AC =BA +23(BC -BA )=13BA+23BC所以BD 2=13BA+23BC 2，即4=19c 2+49a 2+2⋅29ac ⋅12≥219c 2⋅49a 2+29ac =23ac ，所以ac ≤6.当且仅当19c 2=49a 2ac =6，即a =3c =23 取“=”又因为S △ABC =12ac sin B =34ac ，所以S △MBC max =33210.(2021·江苏·高一期末)在①b 2+2ac =a 2+c 2，②a cos B =b sin A ，③sin B +cos B =2，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线中，并解决该问题．已知△ABC 中，，A =π3，b =2，(1)求角B ； (2)求△ABC 的面积．【答案】条件选择见解析(1)B =π4；(2)3+34.【分析】分别选择①②③，利用余弦定理、正弦定理和三角函数的性质，以及辅助角公式等，求得B =π4，再根据正弦定理，求得a =3,C =5π12，结合三角形的面积公式，即可求解.【详解】若选①：(1)因为b 2+2ac =a 2+c 2，由余弦定理可得cos B =a 2+c 2-b 22ac =2ac 2ac =22，又因为B ∈(0,π)，可得B =π4，(2)由A =π3，b =2，根据正弦定理得a =b sin A sin B=2×3222=3,C =π-A -B =5π12，则sin C =sin5π12=sin π4+π6 =sin π4cos π6+cos π4sin π6=6+24，所以△ABC 的面积为S △ABC =12ab sin C =12×3×2×6+24=3+34.若选②：(1)因为a cos B =b sin A ，由正弦定理，可得sin A cos B =sin B sin A ，又因为A ∈(0,π)，得sin A >0，所以cos B =sin B ，即tan B =1，由B ∈(0,π)，可得B =π4，(2)由A =π3，b =2，根据正弦定理得a =b sin A sin B=2×3222=3,C =π-A -B =5π12，则sin C =sin5π12=sin π4+π6 =sin π4cos π6+cos π4sin π6=6+24，所以△ABC 的面积为S △ABC =12ab sin C =12×3×2×6+24=3+34.若选③：(1)因为sin B +cos B =2，可得2sin B +π4 =2，即sin B +π4=1，又因为B ∈(0,π)，可得B +π4∈π4,5π4 ，所以B +π4=π2，所以B =π4，(2)由A =π3，b =2，根据正弦定理得a =b sin Asin B =2×3222=3,C =π-A -B =5π12，则sin C =sin5π12=sin π4+π6 =sin π4cos π6+cos π4sin π6=6+24，所以△ABC 的面积为S △ABC =12ab sin C =12×3×2×6+24=3+34.11.(2021春·江苏南通·高一统考期末)在①a +b +c a +b -c =3ab ②tan A +tan Btan A tan B -1=3③sin C 2sin B -sin A =cos Ccos A 这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，且满足．(1)求角C 的大小；(2)若D 为边BC 上一点，且AD =6，BD =4，AB =8，求AC ．【答案】(1)C =π3；(2)AC =35【分析】(1)选①则根据等式化简结合余弦定理与角的取值范围即可；选②则根据两角和的正切公式化简并结合角的取值范围即可；选③则利用两角和的正弦公式结合角范围即可；(2)在中利用余弦定理求出算出，在中利用正弦定理即可.【详解】(1)选①，由题意化简得a 2+2ab +b 2-c 2=3ab ，即c 2=a 2+b 2-ab ，根据余弦定理得cos C =a 2+b 2-c 22ab=12，因为C ∈(0,π)所以C =π3.选②，由题意得-tan (A +B )=3,则tan C =3，因为C ∈(0,π)所以C =π3.选③，由题意化简得sin B =2cos C sin B ,当sin B =0,B =π2时代入原式显然不成立，故cos C =12，因为C ∈(0,π)所以C =π3.(2)在△ABD 中，根据余弦定理得cos ∠ADB =62+42-822×6×4=-14，所以cos ∠ADB =14，故∠ADB ∈0,π2 ,所以sin ∠ADC =1-cos 2∠ADC =154，在△ADC 中根据正弦定理得AC sin ∠ADB =6sin C，解得AC =3512.(2021春·江苏泰州·高一泰州中学校考期末)△ABC 的内角A ，B ，C ，的对边分别为a ，b ，c ，已知2b +c =2a cos C 且a =5.(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 的周长为6+5，求△ABC 的面积；(3)若b =3，求cos (2B -A )的值.【答案】(1)2π3(2)34(3)-1+33320【分析】(1)由余弦定理角化边化简后可得；(2)余弦定理与已知联立可得bc 的值，然后可得；(3)先由正弦定理可得sin B 的值，然后根据二倍角公式与和差公式可解.【详解】(1)因为2b +c =2a cos C ，所以2b +c =2a ⋅a 2+b 2-c 22ab，整理可得：b 2+c 2-a 2=-bc ，由余弦定理可得：b 2+c 2-a 2=2bc cos A ，所以cos A =-12，A ∈(0,π)，所以可得A =2π3；(2)由三角形的周长为6+5，a =5，所以b +c =6，由(1)可得a 2=b 2+c 2-2bc cos A =(b +c )2-2bc -2bc cos A ，而cos A =-12，所以可得5=6-2bc +bc ，可得bc =1，所以S △ABC =12bc sin A =12×1×32=34，所以△ABC 的面积为34；(3)因为b =3，a =5，A =23π，由正弦定理可得：sin B =basin A =35⋅32=325，b <a ，所以B 为锐角，所以cos B =1125，所以sin2B =2sin B cos B =31110，cos2B =2cos 2B -1=2×114×5-1=110，所以cos (2B -A )=cos 2B -2π3 =-12，即-12cos2B +32sin2B =-1+33320，所以cos 2B -A =-1+33320．13.(2022春·江苏苏州·高一江苏省昆山中学校考期末)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a =b 3sin C +cos C ．(1)求B ；(2)已知BC =23，D 为边AB 上的一点，若BD =1，∠ACD =π2，求AC 的长．【答案】(1)B =π6(2)AC =212【分析】(1)由正弦定理化边为角，然后由诱导公式、两角和的正弦公式、同角间的三角函数关系变形求解；(2)由余弦定理求得CD ，再用正弦定理计算．【详解】(1)∵a =b 3sin C +cos C ，∴sin A =sin B 3sin C +cos C ，即sin B cos C +cos B sin C =3sin B sin C +sin B cos C ，所以cos B sin C =3sin B sin C ，因为sin C >0，所以cos B =3sin B ，所以tan B =33，因为B ∈0,π ，所以B =π6．(2)因为BC =23，BD =1，∠B =π6，根据余弦定理得CD 2=BC 2+BD 2-2BC ⋅BD ⋅cos B =1+12-2×1×23×32=7，∴CD =7．∵∠BDC =π2+∠A ，∴sin ∠BDC =sin π2+∠A =cos A ．在△BDC 中，由正弦定理知，BC sin ∠BDC =CD sin ∠B ，∴23cos A =712，∴cos A =217，∴tan A =233=CD AC，∴AC =212．14.(2022春·江苏扬州·高一期末)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且满足b cosB +C2=a sin B ．(1)求A 的大小；(2)若a =23，BA ⋅AC =32，AD 是△ABC 的角平分线，求AD 的长．【答案】(1)2π3；(2)155.【分析】(1)利用正弦定理边角互化，再由三角恒等变换化简即可求出角A ；(2)由数量积公式可得bc ，再由余弦定理求出b +c ，根据三角形面积公式利用S △ABC =S △ABD +S △ACD 建立方程求解即可.【详解】(1)因为b cos B +C2=a sin B ，∴sin B sinA2=sin A sin B ，因为B ∈0,π ，所以sin B >0，所以sin A 2=2sin A 2cos A2，又A ∈0,π ，∴cos A 2=12，所以A 2=π3，即A =2π3.(2)由BA ⋅AC =32，得cb cos π3=32，∴bc =3，又a =23，∴a 2=b 2+c 2-2bc cos A =b +c 2-2bc +bc =12，可得b +c =12+3=15，∵S △ABC =S △ABD +S △ACD ，∴12bc sin 2π3=12b ⋅AD ⋅sin π3+12c ⋅AD ⋅sin π3，所以AD =bc sin 2π3b +c sin π3=3⋅3215⋅32=155.15.(2022春·江苏泰州·高一统考期末)在△ABC 中，内角A ,B ,C 所对的边分别为a ，b ，c ，请在①cos2B -3cos A +C =1，②2a -c =2b cos C ，③a 2+c 2-b 2=433S △ABC这三个条件中任选一个，完成下列问题.(1)求角B ；(2)在(1)的条件下，若点D 为AC 的中点，且AB =3，BD =132，求△ABC 的面积.注：如果选择多组条件分别解答，按第一组解答计分．【答案】(1)条件选择见解析，B =π3(2)334【分析】(1)选①，根据二倍角公式结合内角和与诱导公式化简求解即可；选②，根据正弦定理结合内角和与两角喝茶的正余弦公式化简求解即可；选③，根据余弦定理与面积公式化简求解即可；(2)构造四边形ABCE 为平行四边形，再在△ABE 中，由余弦定理化简求解即可【详解】(1)选①，因为cos2B -3cos A +C =1，所以cos2B -3cos π-B =1，2cos 2B -1+3cos B =1,2cos 2B +3cos B -2=0，解得cos B =12,cos B =-2，因为cos B ∈-1,1 ，所以cos B =12,B ∈0,π ，故角B =π3．选②，因为2a -c =2b cos C ，由正弦定理的，2sin A -sin C =2sin B cos C ,2sin B +C -sin C =2sin B cos C ，所以，2cos B sin C -sin C =0，sin C >0，所以cos B =12,B ∈0,π ，故角B =π3．选③，因为a 2+c 2-b 2=433S ΔABC ，所以a 2+c 2-b 2=433⋅12ac sin B ，2ac cos B =233⋅ac sin B ,ac >0，tan B =3,B ∈0,π ，故角B =π3．(2)作AE ⎳BC ,CE ⎳AB ，交于点E ，连结DE ，则四边形ABCE 为平行四边形，点D 为BE 中点，且∠BAE =2π3．在△ABE 中，由余弦定理得BE 2=AB 2+AE 2-2AB ⋅AE cos ∠BAE ,13=9+AE 2-2⋅3⋅AE ⋅-12,AE 2+3AE -4=0,AE =1或AE =-4(舍)，即BC =1，所以S ΔABC =12AB ⋅BC ⋅sin ∠ABC =12×3×1×32=334.16.(2022春·江苏扬州·高一统考期末)在①b =a cos C +33c sin A ；②(b +c +a )(b +c -a )=3bc ；③sin A -sin C sin B -sin C=b a +c 这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答．记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知．(1)求A ；(2)若a =3，求△ABC 面积的取值范围．(如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)【答案】(1)A =π3(2)0,334【分析】对于条件①：两边边的条件为齐次，化边为角结合三角恒等变换可解得A=π3；对于条件②：边的条件为齐二次，整理条件到余弦定理的结构可解得A=π3；对于条件③：由正弦定理化角为边，整理条件到余弦定理的结构可解得A=π3.【详解】(1)(1)若选①：因为b=a cos C+33c sin A，根据正弦定理得sin B=sin A cos C+33sin C sin A，所以sin(A+C)=sin A cos C+33sin C sin A，所以sin A cos C+cos A sin C=sin A cos C+33sin C sin A．则cos A sin C=33sin C sin A，因为sin A≠0,sin C≠0，所以tan A=3，又0<A<π，所以A=π3．若选②化简得：b2+c2-a2=bc，则cos A=b2+c2-a22bc=bc2bc=12，又0<A<π，所以A=π3．若选③：因为sin A-sin Csin B-sin C=ba+c，根据正弦定理得a-cb-c=ba+c，所以a2-c2=b2-bc．即cos A=b2+c2-a22bc =12，因为0<A<π，所以A=π3．(2)(2)因为a=3，由bsin B =csin C=3sin60，则b=2sin B,c=2sin C=2sin B+π3，S△ABC=12bc sinπ3=3sin B sin B+π3=312sin2B+32sin B cos B=31-cos2B4+34sin2B=32sin2B-π6+34，又B∈0,2π3,2B-π6∈-π6,7π6，所以sin2B-π6∈-12,1，则S△ABC的取值范围为0,33 4．17.(2022春·江苏南京·高一江苏省江浦高级中学校联考期末)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，△ABC的面积为S，且满足2b-ccos A=a cos C，b cos C+c cos B=1．(1)求A和a的大小；(2)若△ABC为锐角三角形，求△ABC的面积S的取值范围．【答案】(1)A=π3，a=1；(2)36,3 4.【分析】(1)由已知条件，应用正余弦定理的边角关系及三角形内角性质，即可求A和a的大小；(2)由锐角三角形得B ∈π6,π2，根据正弦定理有b =23sin B ，c =23sin 23π-B ，最后利用三角形面积公式、三角恒等变换化简，并由正弦型函数性质求范围.【详解】(1)因为(2b -c )cos A =a cos C ，由正弦定理得：(2sin B -sin C )cos A =sin A cos C 所以2sin B cos A =sin C cos A +sin A cos C ，所以2sin B cos A =sin (C +A )=sin B ，因为△ABC 中sin B ≠0，所以cos A =12，因为A ∈(0,π)，所以A =π3，因为b cos C +c cos B =1，由余弦定理得：b ⋅a 2+b 2-c 22ab+c ·a 2+c 2-b 22ac =1，解得a =1，综上，A =π3，a =1．(2)由(1)知：A =π3，a =1，由正弦定理得：b =a sin B sin A =23sin B ，c =a sin C sin A =23sin C =23sin 23π-B ．因为△ABC 为锐角三角形，故B ∈0,π2C =23π-B ∈0,π2 ，得B ∈π6,π2 ．从而△ABC 的面积S =12bc sin A =33sin B ⋅sin 23π-B =33sin B ⋅12sin B +32cos B =3312sin 2B +32sin B ⋅cos B =331-cos2B 4+34sin2B =3632sin2B -12cos2B +312=36sin 2B -π6 +312，又B ∈π6,π2 ，2B -π6∈π6,5π6，所以sin 2B -π6 ∈12,1，从而△ABC 的面积的取值范围为36,34．18.(2022春·江苏常州·高一统考期末)如图，AC 是平面四边形ABCD 的一条对角线，且在△ADC 中，2AD-DC =AC 2+AD 2-DC 2AD.(1)求角D 的大小；(2)若∠BAD =π3，∠ABC =5π6，AB =2，DC =4，求AC 的长.【答案】(1)D =π3(2)AC =27【分析】(1)在△ACD ，根据已知边等式，可转化为边的二次式，结合余弦定理即可求角的大小；(2)设AC =x ，∠CAD =α，在△ACD 中，由正弦定理可得23=x sin α，在△ABC 中，由正弦定理x=12sin α-π6 ，联立可解得sin α的值，在△ACD 中，由正弦定理可得AC 的值.(1)解：因为在△ADC 中，2AD -DC =AC 2+AD 2-DC 2AD所以AD 2+DC 2-AC 2=AD ×DC ，①即在△ADC 中，由余弦定理得，AD 2+DC 2-AC 2=2×AD ×DC ×cos D ，②则由①②两式得，cos D =12，又因为在△ADC 中，D ∈(0,π)，所以D =π3，(2)解：在△ACD 中，设∠CAD =α，AC =x ，则由正弦定理得AC sin D =DCsin ∠CAD，即x =DC sin ∠CAD×sin ∠D =23sin α①又在△ABC 中，∠CAB =π3-α，∠BCA =π-5π6-π3-α =α-π6，则由正弦定理得AC sin ∠ABC =ABsin ∠BCA ，即x =AB sin ∠BCA ×sin ∠ABC =1sin α-π6②则由①②两式得，23sin α=1sin α-π6 ，即23sin α-π6 =sin α，展开并整理得2sin α=3cos α，也即4sin 2α=3cos 2α=3-3sin 2αsin 2α=37，又因为在△ACD 中，sin α>0，所以sin α=217，把sin α=217代入①式得，AC =23sin α=14321=27.19.(2022春·江苏盐城·高一统考期末)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知C =2B .(1)若sin B =13，求sin A 的值；(2)若a >c ，求证：12<b c <λ.(参考数据：λ=2sin π10=5-12≈0.618)【答案】(1)2327；(2)证明见解析.【分析】(1)由三角形内角性质可得0<B <π2，结合已知并利用二倍角正余弦公式求cos B 、sin C 、cos C ，最后应用诱导公式、和角正弦公式求sin A .(2)由大边对大角及三角形内角性质得0<B <π5，根据C =2B 及正弦定理边角关系得bc=12cos B ，即可证结论.(1)由C =2B ，A +B +C =π，故0<B <π3，又sin B =13，可得cos B =223，则sin C =sin2B =2sin B cos B =429，cos C =cos2B =2cos 2B -1=79，则sin A =sin [π-(B +C )]=sin (B +C )=sin B cos C +cos B sin C =2327.(2)由a >c 知：A >C =2B >0，所以π=A +B +C >B +2C =5B ，即0<B <π5，又sin C =sin2B =2sin B cos B ，则sin B sin C=12cos B ，即b c =12cos B ，所以12<b c <12cos π5，而cos π5=1-2sin 2π10=5+14，则12cos π5=25+1=5-12=λ，综上，12<bc<λ.20.(2022春·江苏南通·高一金沙中学校考期末)如图，某学校前后两座教学楼AB ，CD 的高度分别为12米和17米，从教学楼AB 顶部A 看教学楼CD 的张角∠CAD =45°．(1)求两座教学楼AB 和CD 的底部之间的距离BD ；(2)求∠ACB 的正切值．【答案】(1)BD =20米；(2)4897．【分析】(1)过点A 作AE ⊥CD 交CD 于点E ，分别求出tan ∠DAE ,tan ∠CAE ，再根据两角和的正切公式即可解出；(2)先通过解△ACE ,△BCD 求出tan ∠ACE ,tan ∠BCD ，即可求出tan ∠ACB ．(1)如图所示：过点A 作AE ⊥CD 交CD 于点E ，易知四边形ABDE 为矩形，设BD =AE =x 米，所以，tan ∠DAE =12x ,tan ∠CAE =5x，而∠CAD =45°，所以，tan ∠CAD =tan ∠DAE +∠CAE =tan ∠DAE +tan ∠CAE 1-tan ∠DAE tan ∠CAE =12x +5x1-12x ×5x =1，化简得，x 2-17x-60=0，而x >0，解得x =20，即BD =20米．(2)在△ACE 中，tan ∠ACE =205=4，在△BCD 中，tan ∠BCD =2017，所以，tan ∠ACB =tan ∠ACE -∠BCD =4-20171+4×2017=4897．21.(2022春·江苏镇江·高一统考期末)某景区的平面示意图为如图的五边形ABCDE ，其中BD ，BE 为景区内的乘车观光游览路线，ED ，DC ，CB ，BA ，AE 是步行观光旅游路线(所有路线均不考虑宽度)，经测量得：∠BCD =135°，∠BAE =120°，∠CBD =30°，CD =32，DE =8，且cos ∠DBE =35.(1)求BE 的长度；(2)景区拟规划△ABE 区域种植花卉，应该如何设计，才能使种植区域△ABE 面积最大，并求此最大值．【答案】(1)10(2)当步行观光旅游路线AB =AE =1033时，种植区域△ABE 面积最大，且最大值为2533【分析】(1)在△BCD 中，根据正弦定理，可得BD 的长，在△BDE 中，根据余弦定理，即可得答案.(2)在△ABE 中，由余弦定理及基本不等式，可得AB ×AE ≤1003，代入面积公式，即可得答案.(1)在△BCD 中，由正弦定理得CD sin ∠CBD =BDsin ∠BCD，所以BD =CD ⋅sin ∠BCDsin ∠CBD=6，在△BDE 中，由余弦定理得cos ∠DBE =BD 2+BE 2-DE 22×BD ×BE=35，所以35=36+BE 2-642×6×BE ，解得BE =10或BE =-145(舍)(2)在△ABE 中，由余弦定理得cos ∠BAE =AB 2+AE 2-BE 22×AB ×AE=-12，所以AB 2+AE 2=100-AB ×AE ≥2AB ×AE ，所以AB ×AE ≤1003，当且仅当AB =AE =1033时等号成立，此时△ABE 面积最大值S =12×AB ×AE ×sin ∠BAE =2533所以当步行观光旅游路线AB =AE =1033时，种植区域△ABE 面积最大，且最大值为253322.(2022春·江苏宿迁·高一统考期末)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且10sin B +C22=7-cos2A ．(1)求角A 的大小；(2)若b =2,c =1，①∠BAC 的角平分线交BC 于M ，求线段AM 的长；②若D 是线段BC 上的点，E 是线段BA 上的点，满足CD =λCB ,BE =λBA ，求AD ⋅CE的取值范围．【答案】(1)A =π3(2)①AM =233；②[-3,-1]【分析】(1)根据三角形内角的关系，结合二倍角公式求解即可；(2)①法一：在△AMC 与△ABM 中根据正弦定理可得CM =2MB ，再根据AM =23AB +13AC结合数量积运算求解即可；法二：根据S △ABM +S △AMC =S △ABC ，结合面积公式列式求解即可；②法一：根据平面向量基本定理可得AD ⋅CE =[λAB +(1-λ)AC ]⋅[(1-λ)AB -AC]，进而求得范围；法二：以AB 所在直线为x 轴，过点A 垂直于AB 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，根据坐标运算求解即可【详解】(1)10sin B +C 2 2=7-cos2A ，则51-cos B +C =7-cos2A ，故5(1+cos A )=8-2cos 2A ，所以2cos 2A +5cos A -3=0，因为cos A <1，可得cos A =12，由A ∈(0,π)，所以A =π3．(2)①法一：在△AMC 与△ABM 中，由正弦定理得CM sin ∠CAM =AC sin ∠AMC ,BM sin ∠BAM =ABsin ∠AMB，即CM BM =ACAB =2，故CM =2MB ，所以AM =23AB +13AC ,AM 2=49AB 2+19AC 2+49AB ⋅AC =43，所以AM =233法二：在△ABC 中，由AM 是∠BAC 的角平分线所以∠BAM =∠MAC =π6由S △ABM +S △AMC =S △ABC 知：12⋅AB ⋅AM ⋅sin ∠BAM +12⋅AM ⋅AC ⋅sin ∠MAC =12⋅AB ⋅AC ⋅sin ∠BAC 即12⋅1⋅AM ⋅sin π6+12⋅2⋅AM ⋅sin π6=12⋅1⋅2⋅sin π3，解得AM =233②法一：由CD =λCB ，得AD =λAB +(1-λ)AC ,(λ∈[0,1])又CE =AE -AC =(1-λ)AB -AC所以AD ⋅CE =[λAB +(1-λ)AC ]⋅[(1-λ)AB -AC]=2λ-3∈[-3,-1]．AD ⋅CE的取值范围为[-3,-1]；法二：以AB 所在直线为x 轴，过点A 垂直于AB 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，由b =2,c =1,A =π3．则A (0,0),B (1,0),C (1,3),AB =(1,0),AC =(1,3)因为CD =λCB ,BE =λBA ，所以AD =AC +CD =(1,3-3λ),CE =BE -BC=(-λ,-3)．所以AD ⋅CE=-λ-3(3-3λ)=2λ-3由λ∈[0,1]，得AD ⋅CE的取值范围为[-3,-1]23.(2022春·江苏南通·高一统考期末)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin A +sin Bsin C=c +ba -b．(1)若a =23，b =2，求角B ;(2)设∠BAC 的角平分线AD 交BC 于点D ，若△ABC 面积为3，求AD 长的最大值．【答案】(1)B =π6(2)1【分析】(1)从正弦定理出发进行角换边，再利用余弦定理求得角A ，再利用一次正弦定理求得角度B .(2)利用角平分线性质及面积公式得到AD =bc b +c，再利用基本不等式得出AD 最值.【详解】(1)解：因为sin A +sin B sin C =c +b a -b ，依据正弦定理a sin A =b sin B =c sin C ，所以a +b c =c +b a -b⇒a 2-b 2=bc +c 2，即b 2+c 2-a 2=-bc ，由余弦定理变形知cos A =b 2+c 2-a 22bc =-bc 2bc =-12，因为A ∈0，π ，所以A =2π3．因为a =23，b =2，则在△ABC 中，由正弦定理得：又a sin A =b sin B ⇔2332=2sin B ⇒sin B =12，因为b <a ⇔B <A ，所以B =π6．(2)法一：因为S △ABC =12bc sin ∠BAC =34bc =3⇒bc =4，AD 是∠BAC =2π3的角平分线，而S △ABC =S △ABD +S △ACD ，所以12×AB ×AD ×sin π3+12×AC ×AD ×sin π3=12×AB ×AC ×2π3，即b +c AD =bc ，所以AD =bc b +c ，因为b >0，c >0，b +c ≥2bc ，且bc =4，故AD =bc b +c ≤bc 2bc=1;当且仅当b =c =2取等，所以AD 最大值为1．答：当b =c =2时，AD 最大值为1．法二：因为S △ABC =12bc sin ∠BAC =34bc =3⇒bc =4,设∠ABD =θ，θ∈0，π3，在△ABD ，△ACD 中由正弦定理知：AD sin θ=c sin ∠ADB ⇔AD sin θ=c sin θ+π3①，ADsinπ3-θ=bsin∠ADC⇔ADsinπ3-θ=bsinθ+π3②，因为bc=4，所以①⋅②得，AD2=bc sinθsinπ3-θsin2π3+θ=8sinθsinπ3-θ1+cos2θ-π3=23sin2θ+2cos2θ-21+cos2θ-π3=4sin2θ+π6-21+cos2θ-π3=4cos2θ-π3-21+cos2θ-π3=4-61+cos2θ-π3，令t=1+cos2θ-π3，θ∈0，π3，由于2θ-π3∈-π3，π3⇒t∈32，2，所以AD2=4-6t，易得此函数在t∈32,2为单调递增函数，所以当t=2⇔θ=π6时，AD最大值为1．【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，利用正弦定理解决范围与最值问题，涉及求余弦定理的值域或最值，利用单调性求最值，属于较难题．24.(2022春·江苏无锡·高一统考期末)△ABC中，已知AB=1，BC=7，D为AC上一点，AD=2DC，AB⊥BD.(1)求BD的长度；(2)若点P为△ABD外接圆上任意一点，求PB+2PD的最大值.【答案】(1)3；(2)27.【分析】(1)设BD=x，CD=y，在△ABD与△CBD中应用余弦定理，结合∠ADB+∠CDB=π可得x2+2y2=5，再由AB⊥BD有1+x2=4y2求出BD.(2)由(1)易知AD为△ABD外接圆的直径，讨论P的位置，利用正余弦定理、三角恒等变换及三角函数的性质求PB+2PD的最大值.【详解】(1)设BD=x，CD=y，则AD=2y.在△ABD与△CBD中，由余弦定理知：AB2=BD2+AD2-2BD⋅AD⋅cos∠ADB，即x2+4y2-4xy cos∠ADB=1，BC2=BD2+CD2-2BD⋅CD⋅cos∠CDB，即x2+y2-2xy cos∠ADB=7.∵∠ADB+∠CDB=π，∴cos∠ADB+cos∠CDB=0，可得x2+2y2=5.∵AB⊥BD，∴AD2=AB2+BD2，即1+x2=4y2.解得x=3，y=1.∴BD= 3.(2)由(1)知：△ABD中，∠ABD=π2，AD=2，AD为△ABD外接圆的直径.P为△ABD外接圆上任意一点，当P在B点时，PB+2PD=2PD=2 3.当P在D点时，PB+2PD=PB= 3.当P 在优弧BAD 上时，∠BPD =∠BAD =π3，设∠PBD =θ0<θ<2π3 ，则∠PDB =2π3-θ.△PBD 中，由正弦定理知PB =2sin 2π3-θ ，PD =2sin θ.PB +2PD =2sin 2π3-θ +4sin θ=2sin 2π3cos θ-cos 2π3sin θ +4sin θ=5sin θ+3cos θ=27sin (θ+φ)tan φ=35,0<φ<π2 ，当θ+φ=π2时，PB +2PD 的最大值为27.当P 在劣弧BD 上时，∠BPD =π-∠BAD =2π3，设∠PBD =θ0<θ<π3 ，则∠PDB =π3-θ.△PBD 中，由正弦定理知PB =2sin π3-θ ，PD =2sin θ.PB +2PD =2sin π3-θ +4sin θ=2sin π3cos θ-cos π3sin θ +4sin θ=3sin θ+3cos θ=23sin θ+π6 .当θ+π6=π2时，PB +2PD 的最大值为2 3.综上，PB +2PD 的最大值为27.【点睛】关键点点睛：第二问，注意讨论P 的位置，综合运用正余弦定理、三角恒等变换及正弦型函数的性质求对应最值.25.(2022春·江苏苏州·高一校联考期末)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足sin A sin B +sin C +b sin B b sin A +c sin B=1(1)求角C ；(2)CD 是∠ACB 的角平分线，若CD =433，△ABC 的面积为23，求c 的值.【答案】(1)C =π3；(2)c =23【分析】(1)先由正弦定理得a b +c +b 2ba +cb=1，化简整理得a 2+b 2-c 2=ab ，再由余弦定理求得cos C ，即可求解；(2)先由面积求得ab =8，再由角平分线得AD BD =b a ，结合平面向量得CD =a a +b CA +b a +b CB ，平方整理求得a +b =6，再由(1)中a 2+b 2-c 2=ab 即可求出c 的值.【详解】(1)由正弦定理得a b +c +b 2ba +cb =1，即a b +c+b a +c =1，整理得a a +c +b b +c =a +c b +c ，化简得a 2+b 2-c 2=ab ，由余弦定理得cos C =a 2+b 2-c 22ab =12，又C ∈0,π ，则C =π3；(2)由面积公式得12ab sin C =12ab ×32=23，解得ab =8，又CD 是∠ACB 的角平分线，则S △ACD S △BCD =12⋅CA ⋅CD ⋅sin π612⋅CB ⋅CD ⋅sin π6=CA CB =AD BD ，即AD BD =b a ，则CD =CA +AD =CA +b a +b AB =CA +b a +b CB -CA =a a +b CA +b a +b CB ，所以CD 2=a a +b CA +b a +b CB 2=a 2a +b 2CA 2+2ab a +b 2CA ⋅CB +b 2a +b2CB 2，即163=a 2b 2a +b 2+2ab a +b 2⋅ab ⋅12+a 2b 2a +b2，整理得163=3a 2b 2a +b2，又ab =8，解得a +b =6，则a 2+b 2=a +b 2-2ab =20，由(1)知c 2=a 2+b 2-ab =20-8=12，则c =2 3.26.(2022春·江苏淮安·高一统考期末)在①2a cos A =b cos C +c cos B ；②tan B +tan C +3=3tan B tan C 这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知．(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 为锐角三角形，且其面积为32，点G 为△ABC 重心，点M 为线段AC 的中点，点N 在线段AB 上，且AN =2NB ，线段BM 与线段CN 相交于点P ，求GP 的取值范围．注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分．【答案】(1)A =π3(2)16,1312【分析】(1)若选①利用正弦定理将边化角，再利用两角和的正弦公式计算可得；若选②利用两角和的正切公式及诱导公式计算可得；(2)用AB 、AC 作为平面内的一组基底表示出AG ，再根据平面向量共线定理及推论表示出AP ，即可表示GP ，利用面积公式求出bc =2，再由三角形为锐角三角形求出b 的取值范围，最后根据数量积的运算律及对勾函数的性质计算可得；【详解】(1)解：若选①2a cos A =b cos C +c cos B ，由正弦定理可得2sin A cos A =sin B cos C +sin C cos B =sin B +C即2sin A cos A =sin A ，又sin A >0，所以2cos A =1，即cos A =12，因为A ∈0,π ，所以A =π3；。
高中数学解三角形的知识总结和题型归纳总结
解三角形的知识总结和题型归纳一、知识讲解1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。
（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。
（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°；（互余）（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝ba 。
2．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。
（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。
（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 R Cc B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。
3．三角形的面积公式：（1）∆S ＝21ah a ＝21bh b ＝21ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； （2）∆S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ； 4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．主要类型有：（1）正弦定理解三角形的问题：已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.已知两角和其中一边的对角，求其他边角.（2）余弦定理解三角形的问题：已知三边求三角.已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.5．三角形中的三角变换（1）角的变换因为在△ABC 中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)=－cosC ；tan(A+B)=－tanC 。
高中数学解三角形知识点
高中数学解三角形知识点三角形是数学中一个重要的几何形状，它是由三条边和三个角所确定的。
在高中数学中，解三角形的题型常常出现。
解三角形是指通过已知的条件，计算出三角形的边长和角度大小。
下面我们来了解一些解三角形的知识点。
一、勾股定理勾股定理是解决直角三角形问题的基本工具。
它的表达式是：直角三角形斜边的平方等于另外两条边平方的和。
即c²=a²+b²。
在解决直角三角形问题时，我们可以利用勾股定理来求解未知的边长。
二、正弦定理正弦定理是解决非直角三角形问题的重要定理。
对于一个三角形，它的三条边分别为a、b、c，对应的角度为A、B、C。
正弦定理的表达式为sinA/a = sinB/b = sinC/c。
当我们已知三个角度或两个角度和一个边长时，可以利用正弦定理来计算出其他未知的边长或角度。
三、余弦定理余弦定理也是解决非直角三角形问题的重要定理。
对于一个三角形，它的三条边分别为a、b、c，对应的角度为A、B、C。
余弦定理的表达式为c²=a²+b²-2abcosC。
当我们已知三个边长或两个边长和一个夹角时，可以利用余弦定理来计算出其他未知的边长或角度。
四、解决三角形面积的公式在解决三角形问题时，求解三角形的面积也是一个关键步骤。
一般情况下，可以利用海伦公式来计算三角形的面积。
海伦公式的表达式为S=√(p(p-a)(p-b)(p-c))，其中S表示三角形的面积，a、b、c表示三角形的边长，p表示三角形的半周长(p=(a+b+c)/2)。
五、特殊三角形此外，在解决三角形问题时，还需要了解一些特殊三角形的性质。
常见的特殊三角形包括等腰三角形、等边三角形、直角三角形等。
对于等腰三角形来说，它的两个底边相等，顶角相等；对于等边三角形来说，它的三条边都相等；对于直角三角形来说，它含有一个直角（90°）。
在解决三角形问题时，我们需要根据已知条件选择合适的解题方法，利用勾股定理、正弦定理、余弦定理等知识点进行计算。
题型三 三角函数与解三角形 ——高考数学高频题型专项讲解
题型三三角函数与解三角形——高考数学高频题型专项讲解一、思路分析三角函数定义的应用，利用同角三角函数的基本关系、诱导公式化简与求值都是高考中的热点考查内容，常与三角恒等变换结合命题，同时应注意象限角、终边相同的角等与三角函数的综合，以及扇形的弧长和面积公式的考查，考查基本运算能力，题型以选择题、填空题为主.三角恒等变换在高考中重点考查两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式的综合应用，主要体现在：（1）三角函数式的化简；（2）三角函数的求值；（3）通过恒等变换研究函数的性质等.注意三角恒等变换与三角函数的图象和性质、解三角形、平面向量的综合命题，难度中等偏下.高考考查三角函数的命题点主要有三个方面：（1）三角函数的图象及应用；（2）三角函数的性质及应用；（3）三角函数图象与性质的综合应用，有时也与三角恒等变换、平面向量、不等式等综合考查.多以选择题和填空题的形式出现，难度中等，多了解命题新角度、新综合以及三角函数模型的应用问题.解三角形是高考的重点和热点，主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用，有时也与三角恒等变换、立体几何等进行综合命题，加强解三角形与其他章节知识的综合训练以及解三角形在生活、生产实践中的应用，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度属于中低档.二、考纲要求1.任意角和弧度制、三角函数的概念和诱导公式（1）了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互比.（2）理解并掌握同角三角函数的基本关系式.（3）掌握诱导公式及其应用.2.三角恒等变换（1）掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式.（2）能进行简单的三角恒等变换.3.三角函数的图象与性质（1）理解三角函数的定义，掌握三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大（小）值等性质及其应用.（2）了解sin()y A x ωϕ=+的实际意义，理解参数A ，ω，ϕ的意义以及参数的变化对函数图象的影响.（3）会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型.4.解三角形（1）掌握余弦定理、正弦定理.（2）能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题.三、方法技巧1.利用诱导公式化简求值的思路（1）给角求值问题，关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解，转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用.（2）在对给定的式子进行化简或求值时，要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化.特别要注意每一个角所在的象限，防止符号及三角函数名称搞错.2.弧长和扇形面积问题的解题策略（l ）求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量.（2）在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.（3）求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决.3.三角函数定义问题的常见类型及解题策略（1）已知角α终边上一点P 的坐标，可求角α的三角函数值：先求点P 到原点的距离，再用三角函数的定义求解.（2）已知角α的某个三角函数值，求角α终边上一点P 的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值.（3）三角函数值的符号及角的终边位置的判断.已知一角的三角函数值中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角终边的位置.注意终边在坐标轴上的特殊情况.4.应用三角恒等变换公式的策略（1）正用三角函数公式时，要记住公式的结构特征和符号变化规律，如两角差的余弦公式可简记为“同名相乘，符号反”.（2）逆用公式时，要准确找出所给式子和公式的异同，创造条件逆用公式.（3）注意和差角和倍角公式的变形.（4）三角恒等变换常与同角三角函数基本关系、诱导公式等综合应用.5.解决三角函数的图象变换问题的基本方法（1）直接法：平移变换规则是“左加右减，上加下减”，并且在变换过程中只变换自变量x ，如果x 的系数不是1，那么要先把x 的系数提取出来再确定平移的单位长度和方向.（2）方程思想法：可以把变换前后的两个函数变为同名函数，且x 的系数变为一致，通过列方程求解.（3）数形结合法：平移变换的实质就是点的坐标的变换，横坐标的平移交换对应着图象的左右平移，纵坐标的平移变换对应着图象的上下平移，一般可选定变换前后的两个函数()f x ，()g x 的图象与x 轴的交点（如图象上升时与x 轴的交点），其分别为1(,0)x ，2(,0)x （1()0f x =，2()0g x =），则由21x x -的值可判断出左右平移的情况，由()()g x f x -的值可判断出上下平移的情况，由三角函数最小正周期的变化可判断出伸缩变换的情况.6.给值求值问题的解题策略从角的关系中找解题思路：已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.7..解给值求角问题的一般步骤（1）确定角的范围，根据条件确定所求角的范围.（2）求所求角的某种三角函数值，为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数.（3）结合三角函数值及角的范围求角.8.利用三角函数处理物理学问题的策略（1）常涉及的物理学问题有单摆，光波，电流，机械波等，其共同的特点是具有周期性.（2）明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题.9.正、余弦定理判断三角形形状的方法（1）角化边：通过正、余弦定理化角为边，通过因式分解、配方等方法得出边与边之间的关系进行判断.（2）边化角：通过正、余弦定理化边为角，利用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式等推出角与角之间的关系进行判断.10.解三角形中的最值（取值范围）问题的求解方法（1）函数法：通过正、余弦定理将边转化为角，再根据三角恒等变换:及三角形内角和定理转化为“一角一函数”的形式，最后结合角的范围利用三角函数的单调性和值域求解，（2）基本不等式法：利用正、余弦定理，面积公式建立a b +，ab ，22a b +之间 的等量关系与不等关系，然后利用基本不等式求解.（3）几何法：根据已知条件画出图形，结合图形，找出临界位置，数形结合求解.11.利用正弦定理、余弦定理解三角形的步骤（1）找条件.寻找三角形中已知的边和角，确定转化方向.（2）定工具，根据已知条件和转化方向，选择使用的定理和公式，进行边角之间的转化.（3）求结果，根据前两步的分析，代入求值得出结果.（4）反思，转化过程中要注意转化的方向，审视结果的合理性.12.几个典型三角形应用问题的处理方法.（1）求距离问题的注意事项：①选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解.②确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.（2）处理高度问题的注意事项：①在处理有关高度问题时，理解仰角、俯角（视线在水平线上方、下方的角分别称为仰角、俯角）是一个关键.②在实际问题中，可能会遇到空间与平面同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错.（3）测量角度问题的一般步骤：①在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离；②用正弦定理或余弦定理解三角形；③将解得的结果转化为实际问题的解.。
高中解三角形题型及解题方法归纳总结
高中解三角形题型及解题方法归纳总结
1.根据角度关系求解三角形：通过已知角度的大小关系，可以确定三角形的形状和大小，常见的题型包括等腰三角形、直角三角形等。
2. 利用三角函数求解三角形：三角函数包括正弦、余弦、正切等，通过已知角度和边长的关系，可以利用三角函数求解三角形。
3. 利用勾股定理求解三角形：勾股定理是指直角三角形斜边的平方等于两个直角边平方和，通过已知两条直角边的长度，可以求出斜边的长度，从而确定三角形的形状和大小。
4. 利用海龙公式求解三角形：海龙公式是指通过三角形三条边的长度求出其面积的公式，通过已知三条边的长度，可以求出三角形的面积和其他相关信息。
解题方法：
1. 画图：在解决三角形问题时，画图是非常重要的，可以帮助我们更好地理解题意和确定解题思路。
2. 建立方程：通过已知条件，可以建立方程，从而求解未知量。
3. 利用三角函数：当已知角度和边长的关系时，可以利用三角函数求解未知量。
4. 应用勾股定理：当已知直角边的长度时，可以应用勾股定理求解斜边的长度和其他相关信息。
5. 应用海龙公式：当已知三条边的长度时，可以应用海龙公式求解三角形面积和其他相关信息。
总结：
解决三角形问题需要掌握一定的基础知识和解题方法，其中画图、建立方程、利用三角函数、应用勾股定理和海龙公式等是常用的解题方法。
此外，需要注意理解题意和确定解题思路，以便正确地解决问题。
第04讲 解三角形(八大题型)2024高考数学一轮复习+PPT(新教材)
sin
cos
（2）由题意可知cos =
= sinsin，所以sin( − )sin = sinsincos，
即sincossin − cossinsin = sinsincos，
2 + 2 −2
2
− ⋅
2 + 2 −2
【解析】 − cos < 0，
在三角形中sin > 0，
所以由正弦定理可得2sin − 2sincos < 0
所以cos < 0，
所以sin − sincos < 0，
所以为钝角，
所以sin( + ) − sincos < 0，
所以sincos + cossin − sincos < 0，
∴△ 为等腰三角形或直角三角形．
故选：D．
）
题型三：判断三角形的形状
【对点训练4】（2023·全国·高三专题练习）在△ 中，角，，的对边分别为，，，且 − cos < 0，则△
形状为（
）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰直角三角形
【答案】C
所以sincos < 0，
2024
高考一轮复习讲练测
第04讲 解三角形
导师：稻壳儿
目录
C
O
N
T
E
01
考情分析
N
T
S
02
03
04
网络构建
知识梳理
题型归纳
真题感悟
01
考情分析
考点要求
考题统计
考情分析
（1）掌握正弦定理、余弦定
理及其变形．
解三角形的知识总结和题型归纳
解三角形的知识总结和题型归纳一、知识必备：1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。
（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。
（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝ba。
2．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。
（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。
（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等R CcB b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径）（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。
3．三角形的面积公式：（1）∆S ＝21ah a ＝21bh b ＝21ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）；（2）∆S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ；4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型：（1）两类正弦定理解三角形的问题：第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.（2）两类余弦定理解三角形的问题：第1、已知三边求三角.第2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.5．三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。
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高中数学解三角形题型目录一．正弦定理1.角角边2.边边角3.与三角公式结合4.正弦定理与三角形增解的应对措施5.边化角6.正弦角化边二．余弦定理1.边边边2.边角边3.边边角4.与三角公式结合5.比例问题6.余弦角化边7.边化余弦角三．三角形的面积公式1.面积公式的选用2.面积的计算3.正、余弦定理与三角形面积的综合应用四．射影定理五．正弦定理与余弦定理综合应用1.边角互化与三角公式结合2.与平面向量结合3.利用正弦或余弦定理判断三角形形状4.三角形中的最值问题(1)最大(小)角(2)最长(短)边(3)边长或周长的最值(4)面积的最值(5)有关正弦或余弦或正切角等的最值(6)基本不等式与余弦定理交汇(7)与二次函数交汇六．图形问题1.三角形内角之和和外角问题2.三角形角平分线问题3.三角形中线问题4.三角形中多次使用正、余弦定理5.四边形对角互补与余弦定理的多次使用6.四边形与正、余弦定理六．解三角形的实际应用1.利用正弦定理求解实际应用问题2.利用余弦定理求解实际应用问题3.利用正弦和余弦定理求解实际应用问题一．正弦定理1.角角边∆=︒=︒=例.在中,解三角形ABC A B a30,45,2,.∆=︒=︒==练习1.在中则ABC A B a c,30,45, .练习2.在中,已知45,,求∆=︒=︒=30.ABC C A a b2.边边角例中，解这个三角形∆===︒ABC a.45,.练习1中,则∆==+==. 1,2,sinABC a b A C B C练习2.中则∆===︒=,3,60,_____ABC c b C A3.与三角公式结合45,,,,,cos ,cos ,1,513例.△的内角的对边分别为若则ABC A B C a b c A C a b ====11.5,45,sin ,______3ABC b B A a ∆====练习在中，则1tan ,150,1. 3ABC A C BC AB ∆==︒==练习2.在中,若,则4.正弦定理与三角形增解的应对措施.ABC b c B C ∆===︒例.在中,已知1,45,求例2．已知△ABC 中，∠A ＝60°，a ＝6，b ＝4，那么满足条件的△ABC 的形状大小 ( )．A ．有一种情形B ．有两种情形C ．不可求出D ．有三种以上情形.ABC b c B A ∆===︒练习1.在中,已知1,45,求2,30,.ABC a c A C ∆===︒练习2.在中,求5.边化角.::3:2:1,::____________ABC A B C a b c ∆=例已知的三个内角之比为那么对应的三边之比等于.,,.)cos cos ,________.ABC A B C a b c c A a C A ∆-==练习1在中角､､所对的边分别为､若则.,,,,,,2cos(60),.o ABC A B C a b c b c a C A ∆-=+练习2在中设所对的边分别为若求.,,,,,2cos (cos cos ),练习3△的内角的对边分别为已知求ABC A B C a b c C a B b A c C+=6.正弦角化边.,,ABC A B C A B C B ∆==222sin 2sin cos sin sin sin 例在中,若且＋求0sin sin .(1);(2)75,2,,asinA csinC C b B B A b a c∆+-===练习1.在ABC 中,求若求,,,,,sin ,cos _____ABC a b c a c B C A ∆-===练习2.在中角所对的边分别为若则 ,,,,2(2)(sin sin )()sin ,a b c ABC A B C a b A B c b C A ∆=+-=-=练习3.已知分别为的三个内角的对边,,且则________.二．余弦定理 1.边边边.1,2,__________ABC a b c A ====例在三角形中，若则()537254A. B. C. D. 3633ABC AB AC BC A ππππ∆====练习.在中,,,,则2.边角边.,3,30,ABC b c A B C a ∆==∠=例在中已知求角、和边的值.3,1,60,________b c A a ====练习若则3.边边角,,,,2.,,cos ,2,_____3a b ABC A B C c A a c b ∆====例在中已知角所对的边分别为则311cos ,_____4ABC AB BC C AC ∆====练习.在中,，则,3,120,().1.2.3.4练习2在△中若则ABC AB BC C AC A B C D ==∠=︒=30,312,A. 4 B. 8 C. 4,8 D. ABC A a c ∆=︒==练习3.在中,已知且则 的值为或无解4.与三角公式结合1tan ,150,1.3ABC A C BC AB ∆==︒==例.在中,若,则,,,,2,sin cos ABC a b c a b B B A ∆==+=练习1.在中角所对的边分别为若则角的大小为____2,,,,23cos cos 20,7,6,_____ABC a b c A A a c b ∆+====练习2.在锐角中角所对的边分别为若则,,,sin 02,ABC A B C a b c A A a b c∆+===练习3.在中角､､所对的边分别为､､已知求5.比例问题::2::1),.ABC a b c A B C ∆=+例.已知中,求、、,,,,,2,cos _____ABC a b c a b c c a B ∆==练习1.在中角所对的边分别为若、、成等比数列则2,,,___3练习2.在△中则bABC A a cπ∠===6.余弦角化边cos 2.,,,,cos C a cABC A B C a b c B B b-=例在三角形中,角,,所对的边分别为若求角 22,,,,2sin cos 3cos sin ,.ABC a b c a c b A C A C b ∆-==练习1.在中角所对的边分别为已知且求7.边化余弦角()222,A B C D ABC a c b ab C ∆-+=︒︒︒︒︒例.中,则角大小为.60.45,或135.120.3022210,cos2ABC a c b bc A ∆---==练习1.中,则()222,,,,tan _____,ABC a b c a c b B B ∆+-==练习2.在中角所对的边分别为若则角()()3ABC a b c a b c ab C ∆+++-=练习3.在中,,求.三．三角形的面积公式 1.面积公式的选用6016 ABC ABC A b S c ∆∆=︒===例.在中,,,则1.,1,_____2ABC AB BC B ∆===练习已知的面积是则()()2,,3sin sin sin 6cos cos 13.,,,a ABC A B C a b c ABC AB CB C a ABC ∆∆==∆练习2.在中角､､所对的边分别为､､已知的面积为Ⅰ求Ⅱ若求的周长2.面积的计算30,2,ABC B AC AB ABC ∆∠=︒==∆例.在中,若求的面积.160, ABC ABC AB AC A S ∆∆===︒=练习.在中,,则3.正、余弦定理与三角形面积的综合应用sin cos 2,3,tan .ABC ABC A A AC AB A S ∆∆+===例.在中,求 的值和120,4,.ABC ABC B b a c S ∆∆=︒=+=练习1.在中,若求12.,1,______2ABC AB BC AC ===练习钝角三角形的面积是则()22,,,,6,,3ABC a b c c a b C ABC π∆=-+=∆练习3.在中角所对的边分别为若则的面积为_____30,2,ABC B AC AB ABC ∆∠=︒==∆练习4.在中,若求的面积.四．射影定理.,,,,,2cos (cos cos ),;例△的内角的对边分别为已知求ABC A B C a b c C a B b A c C +=,,.2cos cos cos ,_______ABC A B C a b c b B a C c A B ∆=+=练习1.在中角､､所对的边分别为､若则),,,,cos cos ,cos ______ABC a b c c A a C A ∆-==练习2.在中角所对的边分别为若则五．正弦定理与余弦定理综合应用 1.边角互化与三角公式结合,,,,cos sin 0,ABC a b c a C C b c A∆+--=例.在中角所对的边分别为求21.,,,,,,2,23,ABC A B C a b c A C B b ac A +==练习在△中内角所对的边分别是求角的大小2.,,,,,.2cos .:2;练习在△中内角所对的边分别是已知证明ABC A B C a b c b c a B A B +==B C3.,,,,,,cos cos sin .:sin sin sin 练习在△中角所对的边分别是且证明ABC A B C a b c A A B Ca b c+==4.sin()sin().2442ABC A b C c B a B C πππ∆=+-+=-=练习在中,cos 求证2.与平面向量结合2.,233ABC AB AC AB AC BC A,B,C ∆⋅=⋅=例在已知,求角的大小3.tan 3tan cos ,5ABC AB AC BA BC B A C A ∆⋅=⋅==练习1.在中,(1)求证(2)若求的值ABC ,,36,3.,,ABC A B C a b c b AB AC S A a ∆∆==-=练习2.在中角､､所对的边分别为､､已知求和,,,,(,),(,) _,//____,ABC a b c p a c b q b a c a p q C ∆=+=--=练习3.在中角所对的边分别为若若则角,,,,(31),(cos ,sin ),cos cos sin ,_____ABC a b c m n A A m n a B b A c C B ∆=-=⊥+==练习4.在中角所对的边分别为向量，若且则角5.(22sin cos sin ),(sin cos ,1sin ),ABC A B C p A A A q A A A p q A ∆=-+=-+练习已知锐角中,三个内角为、、,向量，若与是共线向量,求的大小3.利用正弦或余弦定理判断三角形形状22sin cos ,cos sin a A BABC ABC b A B∆=∆例.在中,若判断的形状cos sin ABC c a B b a C ∆==练习1.在中,,,判断三角形形状.cos cos ,ABC a A b B ABC ∆=∆练习2.在中,若判断的形状(),,,,,1,cos 1cos ,. ... ABC A B C a b c b a B A A ABC B C D ∆==-∆等腰三角练习3.已知的内角的对边分别为若则的形状为直角三角形形等腰直角三角形等腰或直角三角形4.三角形中的最值问题 (1)最大(小)角_________ABC ∆例.已知,则其最大角的余弦值为::2::1),ABC a b c ABC ∆=+∆练习.已知中,求的最大内角的大小(2)最长(短)边()()13,tan ,tan 45ABC A B C ABC ∆==∆例.在中Ⅰ求角的大小Ⅱ若求最小边的边长1,,tan ,c ,,,os 2,ABC A B C A B ABC a b c ∆==∆练习1.在中若最短边的边长角所对的边分别为求最长边的边长0120ABC ABC ∆∆的一个内角为,并且三边长构成公练习2.已知最长边的差为4的等差数列边长为_,则_____(3)边长或周长的最值3,,,12ABC B C A ABC AB ∆∆例1.在中,角成等差数列且的面积为则边的最小值是_______()()()()()()272cos sin 261? 2,,,,,3,2,2f x x x f x f x x ABC A B C a f A b c a b c π=+=⎛⎫=--⎪⎝⎭∆练习1.已知函数求函数的最大值,并写出取最大值时的取值集合已知中,角的对边分别为若求实数的取值范围060,2_____ABC B AC AB BC ∆==+练习2.在中,则的最大值为,,,,,2cos 2,,ABC A B C a b c c B a b ABC S ab ∆=+∆=练习3.在中,角的对边分别是且若的面积为则的最小值为__________.()()()25,,cos 224121,A A B C ABC B C sin A AB AC BC AD ∆++=⋅=-练习4.设角为的三个内角,已知求角的大小若求边上的高长的最大值()()()()() 5.sin 0,0212223f x p x p f x B ABC AC f C ABC ωωππ=>>⎛⎫∆==∆ ⎪⎝⎭练习函数的最大值为2,其图象相邻两条对称轴之间的距离为求函数的解析式在中,,,求周长的最大值()()()()()6.sin 2cos 2.312,,,,2,.2x f x m x x f x cABC a b c f B b a π==-∆==-练习已知是函数的图象的一条对称轴求函数的单调递增区间；在中角所对的边分别为若且求的取值范围练习7．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知C B C C B B cos cos 4)cos sin 3)(cos sin 3(=--．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若C p B sin sin =，且ABC ∆是锐角三角形，求实数p 的取值范围．(4)面积的最值,,,,,2,(2)(sin sin )()sin ,a b c ABC A B C a b A B c b C ABC ∆=+-=-∆例.已知分别为的三个内角的对边且则面积的最大值为______()()1.,,,,cos sin .122,ABC a b c A B C a b C c B B b ABC ∆=+=∆练习在中，分别为所对的边,且求角的大小；若求面积的最大值.()() 2.,,,,cos cos .124,ABC a b c A B C a b C c B C c ABC ∆-==∆练习在中，分别为所对的边,且(2)求角的大小；若求面积的最大值.tan 33,,,,,1,tan .,,2B AB a b c cC B C C A C AB ∆=∆=角所对的边分练习在中的面积最大值为_别为且则____222.,,,,,48,sin 2sin 6sin sin ,ABC A B C a b c b c B C b A C ABC a ∆+=+=∆=练习4在锐角中,内角的对边分别是已知则的面积取最大值时有___.练习5．已知锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知a=3， A=60°,求面积的取值范围；(5)有关正弦或余弦或正切角等的最值222,,,,,2cos a b c ABC A B C a b c C ∆+=例1.已知分别为的三个内角的对边若则的最小值为______sin 2sin ,cos ABC A B C C ∆=练习1.已知的内角满足则的最小值为______tan tan ,,,,,,2(tan tan ).cos c 2;(2os (1):)cos .练习2.在△中角的对边分别为已知求证求的最小值a b c A BABC A B C a b c A B B AC +++==,sin 2sin sin ,tan tan tan .练习3.在锐角三角形中则的最小值是ABC A B C A B C = ()(),,3cos 2cos ,11tan ,32tan ,,,,ABC A B C a C c a b A A B B c ∆==练习4.在中若若求角角所对的边分求别为的最小值22,,,,sin (1);(2)sin cos .例2.在中角所对的边分别为且求的大小求的取值范围ABC a b c a b C B A B C ∆-==+()()222,,,,,)4sin sin ABC a b c S ABC S a b c C A B ∆∆=+-+练习1.在中角所对的边分别为设为的面积满足Ⅰ求角的大小Ⅱ求的最大值222,.(1);(2)cos .练习2.在△中求的大小的最大值ABC a c b B A C +=+∠+(5)基本不等式与余弦定理交汇()()22,,,,,12ABC A B C a b c tanA a b c ABC ∆=A =+例.已知在锐角中角所对的边分别为且求角的大小当,求的最大值并判断此时三角形的形状()()(),,,,sin sin sin 125,ABC A B C a b c c C b B a b ACc ABC ∆-=-=∆练习.在中,内角所对的边分别为且求角若求的面积的最大值(5)与二次函数交汇()()2.(22sin cos sin ),(sin cos ,1sin ),32()2sin cos2ABC A B C p A A A q A A A p q A C Bf B B B ∆=-+=-+-=+1例已知锐角中,三个内角为、、,向量，若与是共线向量,求的大小函数取最大值时,的大小()()1.ABC ,,(2)cos cos (sin ,cos 2)(4,1)(1)5A B C a b c a c B b CB m A A n k k m n k ∆-===>⋅12练习在中角、、所对的边分别为、、且求的大小设，且的最大值为，求的值 练习2．设函数()cos cos21f x a x b x =++． （1）当1,1b a ==时，求函数()f x 的值域；（2）若1a =，对任意的实数x 函数()0f x ≥恒成立，求实数b 的取值范围；（3）若1b =，存在实数x 使得函数()2f x a ≥成立，求实数a 的取值范围． 练习3．ABC ∆的三个内角为A B C 、、，求当A 为何值时，cos 2cos 2B CA ++取得最大值，并求出这个最大值。