二元一次方程组的应用

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专题05 二元一次方程(组)的应用(知识点串讲)(解析版)

专题05 二元一次方程（组）的应用知识网络重难突破一. 二元一次方程的应用利用二元一次方程求方案数的一般方法：挖掘题目中的关系，找出等量关系，列出二元一次方程，然后根据未知数的实际意义求其整数解，整数解的个数即为方案数.典例1．（2018春•召陵区期末）“双11”促销活动中，小芳的妈妈计划用100元在唯品会购买价格分别为8元和12元的两种商品，则可供小芳妈妈选择的购买方案有（）A．4种B．5种C．6种D．7种【答案】A【解析】解：设购买8元的商品数量为x，购买12元的商品数量为y，依题意得：8x+12y＝100，整理，得y．因为x是正整数，所以当x＝2时，y＝7．当x＝5时，y＝5．当x＝8时，y＝3．当x＝11时，y＝1．即有4种购买方案．故选：A．典例2．（2018春•江油市期末）甲、乙两个公共汽车站相向发车，一人在街上行走，他发现每隔8分钟就迎面开来一辆公交车，每隔24分种从背后开来一辆公交车，如果车站发车的间隔时间相同，各车的速度相同，那两车站发车的间隔时间为（）A．18分钟B．10分钟C．12分钟D．16分钟【答案】C【解析】解：设公交车的速度为x米/分钟，人步行速度为y米/分钟，根据题意得：8x+8y＝24x﹣24y，解得：x＝2y，∴12．故选：C．二. 二元一次方程组的应用1．常见的利用二元一次方程组解决实际问题的类型有：配套问题、分配问题、行程问题、销售问题、数字问题、几何问题、梯度收费问题、方案问题等．2．列二元一次方程组解应用题的一般步骤设：用两个字母表示问题中的两个未知数；列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；解：解方程组，求出未知数的值；验：检验求得的值是否正确和符合实际情形；答：写出答案．典例1．（2018春•思南县期末）某校举行研学旅行活动，车上准备了7箱矿泉水，每箱的瓶数相同，到达目的地后，先从车上搬下3箱，发给每位同学1瓶矿泉水，有9位同学未领到．接着又从车上搬下4箱，继续分发，最后每位同学都有2瓶矿泉水，还剩下6瓶．问：有多少人参加此次研学旅行活动？每箱矿泉水有多少瓶？【答案】见解析【解析】解：设有x人参加此次研学旅行活动，每箱矿泉水有y瓶，根据题意得：，解得：．答：有81人参加此次研学旅行活动，每箱矿泉水有24瓶．典例2．某商场第1次用39万元购进A、B两种商品，销售完后获得利润6万元，它们的进价和售价如下表：（总利润＝单件利润×销售量）商品价格 A B进价（元/件）1200 1000售价（元/件）1350 1200（1）该商场第1次购进A、B两种商品各多少件？（2）商场第2次以原价购进A、B两种商品，购进A商品的件数不变，而购进B商品的件数是第1次的2倍，A商品按原价销售，而B商品打折销售，若两种商品销售完毕，要使得第2次经营活动获得利润等于54000元，则B种商品是打几折销售的？【答案】见解析【解析】解：（1）设第1次购进A商品x件，B商品y件．根据题意得：，解得：．答：商场第1次购进A商品200件，B商品150件．（2）设B商品打m折出售．根据题意得：200×（1350﹣1200）+150×2×（12001000）＝54000，解得：m＝9．答：B种商品打9折销售的．典例3．已知：用3辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货17吨；用2辆A型车和3辆B型车载满货物一次可运货18吨，某物流公司现有35吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．根据以上信息，解答下列问题：（1）1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？（2）请你帮该物流公司设计租车方案；（3）若A型车每辆需租金200元/次，B型车每辆需租金240元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．【答案】见解析【解析】解：（1）设每辆A型车、B型车都装满货物一次可以分别运货x吨、y吨，依题意列方程组得：，解方程组，得：，答：1辆A型车装满货物一次可运3吨，1辆B型车装满货物一次可运4吨．（2）结合题意和（1）得：3a+4b＝35，∴a∵a、b都是正整数∴或或答：有3种租车方案：方案一：A型车9辆，B型车2辆；方案二：A型车5辆，B型车5辆；方案三：A型车1辆，B型车8辆．（3）∵A型车每辆需租金200元/次，B型车每辆需租金240元/次，∴方案一需租金：9×200+2×240＝2280（元）方案二需租金：5×200+5×240＝2200（元）方案三需租金：1×200+8×240＝2120（元）∵2280＞2200＞2120∴最省钱的租车方案是方案三：A型车1辆，B型车8辆，最少租车费为2120元．三. 三元一次方程组的应用列三元一次方程组解应用题的一般步骤和列二元一次方程组解应用题的一般步骤类似，如下：①弄清题意和题目中的数量关系，用字母表示题目中的两个(或三个)未知数；②找出能够表达应用题全部含义的相等关系；③根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组；④解这个方程组，求出未知数的值；⑤写出答案．注意：一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组．典例1．（2018春•无棣县期末）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密）．安全员是数学爱好者，制定加密规则为：明文x，y，z对应密文x+y+z，x﹣y+z，x ﹣y﹣z．例如：明文1，2，3对应密文6，2，﹣4．当接收方收到密文12，4，﹣6时，则解密得到的明文为______________．【答案】3，4，5【解析】解：依题意得：，解得故答案是：3，4，5．典例2．小明到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入＝基本工资+计件奖金”的方法，并获得如下信息：营业员A：月销售件数200件，月总收入3400元；营业员B：月销售件数300件，月总收入3700元；假设营业员的月基本工资为x元，销售每件服装奖动y元．（1）求x、y的值；（2）商场为了多销售服装，对顾客推荐一种购买方式：如果购买甲服装3件，乙服装2件，丙服装1件共需390元；如果购买甲服装1件，乙服装2件，丙服装3件共需370元．某顾客想购买甲、乙、丙服装各一件共需多少元？【答案】见解析【解析】解：（1）根据题意得：，解得：．（2）设购买一件甲服装需要a元，购买一件乙服装需要b元，购买一件丙服装需要c元，根据题意得：，（①+②）÷4，得：a+b+c＝190．答：购买甲、乙、丙服装各一件共需190元．巩固练习1．（2018春•邢台期末）某山区有一种土特产品，若加工后出售，单价可提高20%，但重量会减少10%．现有该种土特产品300千克，全部加工后可以比不加工多卖240元，设加工前单价是x元/kg，加工后的单价是y元/kg，由题意，可列出关于x，y的方程组是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：由题意可得，，故选：D．2．（2018春•孝昌县期末）为推进课改，王老师把班级里60名学生分成若干小组，每小组只能是5人或6人，则有几种分组方案（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【解析】解：设5人一组的有x个，6人一组的有y个，根据题意可得：5x+6y＝60，y，当x＝0，y＝6符合题意，当x＝1，则y（不合题意）；当x＝2，则y；（不合题意）；当x＝3，则y（不合题意）；当x＝4，则y（不合题意）；当x＝5，则y（不合题意）；当x＝6，则y＝5当x＝7，则y（不合题意）；当x＝8，则y（不合题意）；当x＝9，则y（不合题意）；当x＝10，则y（不合题意）；当x＝11，则y（不合题意）；当x＝12，则y＝0故有3种分组方案．故选：B．3．（2018春•泗洪县期末）甲、乙、丙三种商品，若购买甲3件、乙2件、丙1件，共需215元钱，购甲1件、乙2件、丙3件共需185元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需（）A．100元B．130元C．150元D．160元【答案】A【解析】解：设购买1件甲商品需要x元，购买1件乙商品需要y元，购买1件丙商品需要z元，根据题意得：，（①+②）÷4，得：x+y+z＝100．故选：A．4．（2018春•丰台区期末）《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”如果设木条长x尺，绳子长y尺，可列方程组为_________．【答案】【解析】解：根据题意得：；故答案为：．【点睛】本题是二元一次方程组的应用，列方程组时要抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系；因为此类题要列二元一次方程组，因此要注意两句话；同时本题要注意绳子对折，即取绳子的二分之一．5．（2018春•卫辉市期末）小明在拼图时，发现8个大小一样的小长方形，恰好可以拼成一个大的长方形．如图（1）所示，小红看见了，说“我来试一试”，结果小红七拼八凑，拼成如图（2）那样的正方形，可中间还留下一个边长为6cm的小正方形．请你求出这些小长方形长和宽．【答案】见解析【解析】解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm，根据题意得：，解得：．答：小长方形的长为30cm，宽为18cm．6．（2018春•江海区期末）列方程组解应用题：新年联欢会上，同学们组织了猜谜活动，并采取每答对一题得分，每答错一题扣分记分方法．王丽答对7道题，答错3道题共获得50分；李强答对8道题，答错1道题，共获得62分．问答对一题得多少分，答错一题扣多少分？【答案】见解析【解析】解：设答对道题得x分，答错一道题扣y分，由题意可得：，解得：．答：答对道题得8分，答错一道题扣2分．7．某加工厂有工人60名，生产某种一个螺栓套两个螺母的配套产品，每人每天平均生产螺栓14个或螺母20个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，能使生产出的螺栓和螺母刚好配套？【答案】见解析【解析】解：设应安排x人生产螺栓，有y人生产螺母．由题意，得，解这个方程组得：，答：应安排25人生产螺栓，35人生产螺母，才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套．8、（2017秋•安庆期末）某天，一蔬菜经营户用60元钱从蔬菜批发市场批发了萝卜和白菜共40kg到菜市场去卖，萝卜和白菜这天每千克的批发价与零售价如下表所示：品名萝卜白菜批发价/元 1.6 1.2零售价/元 2.5 1.8问：他当天卖完这些萝卜和白菜共能赚多少钱？【答案】见解析【解析】解：设白菜的重量是xkg，萝卜的重量是ykg，依题意有解得：，10×（1.8﹣1.2）+30×（2.5﹣1.6）＝33（元）答：他当天卖完这些白菜和萝卜能赚33元．9．列方程（组），解应用题甲、乙两人在400米的环形跑道上同一起点同时背向起跑，40秒后相遇，若甲先从起跑点出发，半分钟后，乙也从该点同向出发追赶甲，再过3分钟后乙追上甲，求甲、乙两人的速度．【答案】见解析【解析】解：设甲、乙二人的速度分别为xm/s，ym/s，根据题意列方程为：，解得：，答：甲的速度分别为m/s，乙的速度分别为m/s．。

二元一次方程组的12种应用题型归纳(可编辑修改word版)

二元一次方程组的 12 种应用题型归纳类型一：行程问题【例 1】甲、乙两人相距 36 千米，相向而行，如果甲比乙先走 2 小时，那么他们在乙出发2.5 小时后相遇；如果乙比甲先走 2 小时，那么他们在甲出发 3 小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？解：设甲的速度为 x 千米/时，乙的速度为 y 千米/时。

(2.5 + 2)x + 2.5y = 36 3x + (3 + 2)y = 36 x = 6 y = 3.6答：甲的速度为 6 千米/时，乙的速度为 3.6 千米/时。

【例 2】两地相距 280 千米，一艘船在其间航行，顺流用 14 小时，逆流用 20 小时，求这艘船在静水中的速度和水流速度。

解：设这艘船在静水中的速度为 x 千米/时，水流速度为 y 千米/时。

14(x + y ) = 280 20(x ‒ y ) = 280 x = 17 y = 3答：这艘船在静水中的速度为 17 千米/时，水流速度为 3 千米/时。

类型二：工程问题【例】小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作 6 周完成，需工钱 5.2 万元；若甲公司单独做 4 周后，剩下的由乙公司来做，还需 9 周完成，需工钱 4.8 万元。

若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？请你说明理由。

{解得{ {解得{{ y = { b = 解：设甲公司每周的工作效率为 x ，乙公司每周的工作效率为 y 。

x = 1 6x + 6y = 1 4x + 9y = 110 1 解得 151 1 ∴1÷10=10(周) 1÷15=15(周)∴甲公司单独完成这项工程需 10 周，乙公司单独完成这项工程需 15 周。

设甲公司每周的工钱为 a 万元，乙公司每周的工钱为 b 万元。

a = 3 6a + 6b = 5.2 4a + 9b = 4.8 5 4 解得 15此时 10a=6(万元) 15b=4(万元) 6>4答：从节约开支的角度考虑，小明家应选择乙公司。

二元一次方程组的应用与几何问题结合例题

一、引言二元一次方程组在数学中有着重要的地位，它不仅在代数中有着广泛的应用，同时也与几何问题有着密切的联系。

通过解决一些具体的几何问题，我们可以更深入地理解二元一次方程组的概念和应用。

本文将以例题的形式结合几何问题，探讨二元一次方程组的应用。

二、例题分析1. 题目：已知两条直线的方程分别为2x - y = 1和x + y = 3，求两直线的交点坐标。

解析：两条直线的交点坐标即为二元一次方程组的解。

我们可以通过联立方程组，求解x和y的值。

首先我们可以选择其中一个方程，如x + y = 3，对其进行变形可以得到y = 3 - x。

将y = 3 - x代入到另一个方程2x - y = 1中，得到2x - (3 - x) = 1，化简得到3x = 4，从而得到x = 4/3。

将x = 4/3代入到y = 3 - x中，即可得到y的值。

交点坐标为(4/3, 5/3)。

2. 题目：求过点(1,2)且与直线2x + y = 3垂直的直线的方程。

解析：首先我们可以得到直线2x + y = 3的斜率为-2。

垂直直线的斜率为直线斜率的负倒数，即为1/2。

过点(1,2)且与直线2x + y = 3垂直的直线的方程为y - 2 = 1/2(x - 1)，整理得到y = 1/2x + 1。

3. 题目：求直线y = kx + 2与直线x - 2y + 1 = 0的交点坐标。

解析：联立直线y = kx + 2和x - 2y + 1 = 0，得到kx + 2 - 2y + 1= 0，即kx - 2y = -1。

通过比较系数得到k = 1/2，然后代入k值，解得交点坐标为(-1, 1)。

三、结论通过以上例题的分析，我们可以发现二元一次方程组在几何问题中的应用是十分广泛的。

通过求解交点坐标、垂直直线的方程等问题，我们不仅可以更好地理解二元一次方程组的概念，也能深入地理解直线的性质和特点。

在学习数学的过程中，我们应该注重二元一次方程组的应用和几何问题的结合，以便更深入地掌握相关知识。

二元一次方程组的应用

二元一次方程组的应用一、简介二元一次方程组是由两个未知数和两个方程组成的方程集合。

在数学中，二元一次方程组广泛应用于解决各种实际问题。

本文将探讨二元一次方程组在实际应用中的一些例子，并说明其在解决问题中的重要性。

二、线性方程组的应用1. 计算问题：二元一次方程组常被用于计算相关问题。

例如，设想你在购买书籍和笔记本时共花费了100元，已知一本书的价格是10元，一台笔记本的价格是20元，那么用二元一次方程组可以表示为：x + y = 10010x + 20y = 100通过求解以上方程组，我们可以得到书籍和笔记本的具体数量。

2. 几何问题：二元一次方程组也可以应用于几何问题。

例如，在平面上给定两个直线的斜率和截距，我们可以用二元一次方程组表示这两条直线，并通过求解方程组确定两条直线的交点坐标。

三、应用案例分析1. 混合液体问题：假设有一瓶含有某种化学物质的溶液，溶液中物质的含量为x，另有一瓶纯净的溶液，其中物质的含量为y。

我们需要将两种溶液混合，使得混合后的溶液物质的含量为k。

根据物质守恒定律，可以得到以下方程组：x + y = kCx + Dy = E其中C、D、E为给定的常数。

通过求解该方程组，我们可以确定混合液体的比例，从而达到所需的物质含量。

2. 财务问题：考虑以下情境：张三和李四各自投资了一笔钱到同一项业务中，两人最终收益相等。

已知张三投资的金额为x，收益率为p，李四投资的金额为y，收益率为q。

我们可以列出以下方程组：x(1 + p) = y(1 + q)x + y = T其中T为总投资金额。

通过求解该方程组，我们可以确定张三和李四的具体投资金额，从而平衡他们的收益。

四、总结通过以上例子可以看出，二元一次方程组在实际问题中的应用非常广泛。

无论是计算问题、几何问题还是财务问题，二元一次方程组都能提供简洁而有效的数学解决方案。

因此，掌握二元一次方程组的求解方法对于解决实际应用问题非常重要。

总之，二元一次方程组在数学和实际问题中都具有重要的应用价值。

二元一次方程组解的应用

二元一次方程组解的应用嘿，朋友！想象一下，你和你的小伙伴一起去商场逛街，突然看到一家超级棒的服装店在搞促销活动。

你兴致勃勃地走进店里，看到一件漂亮的 T 恤标价 50 元，一条牛仔裤标价 80 元。

这时，老板笑着说：“亲爱的顾客，如果你们一次性买两件 T 恤和一条牛仔裤，总价只要 180 元；要是买一件 T 恤和两条牛仔裤，总价是 200 元。

”这时候，你是不是开始在心里默默盘算，这到底怎么买更划算呢？别担心，这就是二元一次方程组大显身手的时候啦！咱们设 T 恤的单价为 x 元，牛仔裤的单价为 y 元。

根据老板给出的条件，咱们就能列出两个方程：2x + y = 180 ，x + 2y = 200 。

你看，这是不是就像我们在玩一个解谜游戏？通过巧妙地运用数学知识，就能找到答案。

咱们来解一解这个方程组。

先把第一个方程乘以 2，得到 4x + 2y = 360 。

然后用这个式子减去第二个方程，也就是（4x + 2y） - （x + 2y）= 360 - 200 ，算一算，3x = 160 ，那 x = 53.33 元。

再把 x 的值代入第一个方程，2×53.33 + y = 180 ，解得 y = 73.33 元。

算出来之后，你是不是心里一下子就有底啦？知道了单价，就能清楚怎么买更划算了。

再比如，学校组织春游。

老师给同学们准备了面包和牛奶。

已知每个面包 3 元，每瓶牛奶 2 元。

老师一共花了 100 元买了 40 份食物。

这时候，咱们又可以设面包买了 x 个，牛奶买了 y 瓶。

那么就有 x + y =40 ，3x + 2y = 100 。

解这个方程组，就能知道老师买了多少面包和牛奶，是不是很神奇？其实啊，二元一次方程组在我们的生活中无处不在，就像一个默默守护的小天使，在关键时刻帮我们解决难题。

它就像是一把神奇的钥匙，能打开很多看似复杂的锁。

不管是购物时的精打细算，还是规划活动时的资源分配，它都能发挥巨大的作用。

生活中的二元一次方程组

生活中的二元一次方程组在我们的日常生活中，二元一次方程组的应用非常广泛。

以下是一些生活中的实例，它们都可以通过二元一次方程组来描述和解决。

1. 购物优惠购物优惠是我们在商场或者超市中经常遇到的情况。

比如，某个商场进行促销活动，购物满100元可享受8折优惠，同时购物满50元可享受9折优惠。

如果我们购买了两件商品，每件商品的价格都是80元，那么我们该如何计算总共需要支付多少钱呢？设每件商品的价格为x元，购买件数为n件。

我们可以建立以下方程组来描述这个问题：如果x<50，则总价为x×n；如果50<=x<100，则总价为0.9×x×n；如果x>=100，则总价为0.8×x×n。

2. 鸡兔同笼“鸡兔同笼”问题是一个经典的数学问题。

比如，一个笼子里有鸡和兔子，我们知道总共有35个头和94只脚。

那么，我们该如何找出鸡和兔子各有多少只呢？设鸡的数量为x只，兔子的数量为y只。

我们可以建立以下方程组来描述这个问题：x + y = 35 (因为总共有35个头)2x + 4y = 94 (因为鸡有2只脚，兔子有4只脚)3. 跑道问题跑道问题涉及到相对速度和相遇的问题。

比如，两个人在一个圆形跑道上跑步，一个人顺时针跑，另一个人逆时针跑。

如果两人的速度相同，那么他们会在何时何地相遇？设圆形跑道的周长为C米，两人的速度分别为v1和v2米/分钟。

我们可以建立以下方程组来描述这个问题：相遇时，两人的路程之和必须是跑道周长的整数倍，即：C = n × (v1 + v2) (其中n是正整数)同时，相遇的时间t必须是t = k / (v1 + v2) (其中k是正整数)。

4. 工程进度工程进度问题涉及到工作效率和工作量的问题。

比如，一个工程需要两个人合作完成，每个人单独完成这个工程所需的时间都是6天。

那么他们合作完成这个工程需要多少天？设一个人单独完成这个工程的工作效率为e1，另一个人单独完成这个工程的工作效率为e2。

二元一次方程组实际应用

二元一次方程组实际应用
在我们的日常生活中，二元一次方程组可以被广泛应用。

这种方
程组由两个未知数和两个方程构成，其形式如下：
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
其中，a1、a2、b1、b2、c1和c2都是已知数，而x和y则是未知数。

这种方程组可以使用代数方法或者图形方法求解。

二元一次方程组在解决问题时有广泛的指导意义。

下面举几个例子：
1. 经济问题：我们可以使用二元一次方程组解决各种涉及到经济
问题的计算。

例如，我们可以用它来计算药品价格和医疗消费之间的
关系，或者计算房子的租金和用户需求之间的关系。

2. 教育问题：我们可以用二元一次方程组来计算学生数和教育资
源之间的关系，或者计算学生的成绩和学校教学水平之间的关系。

3. 质量问题：我们可以使用二元一次方程组来解决质量控制问题，比如计算两种不同材料的质量比较，或者计算不同等级的产品质量之
间的关系。

4. 科技问题：我们可以用二元一次方程组解决各种与科技相关的问题，例如计算电子设备之间的相关性或者计算不同农业技术对作物收成的影响。

二元一次方程组也可以帮助我们更好地理解和探索数学的本质，以及如何应用数学知识去解决实际问题。

当我们遇到一个包含未知数的问题时，通过建立相应的二元一次方程组来查找答案并进行计算，不仅可以帮助我们找到答案，而且可以帮助我们理解问题本质，并更好地掌握数学知识。

七年级数学下册《二元一次方程组的应用》优秀教学案例

1.采用小组合作的学习方式，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
2.引导学生相互讨论、交流，共同解决二元一次方程组的问题，使学生在合作中学会倾听、尊重、理解和接纳他人。
3.教师要关注小组合作的过程，适时给予指导和鼓励，确保每个学生都能在合作中发挥自己的优势，提高学习效果。
（四）反思与评价
1.鼓励学生在学习过程中进行自我反思，总结自己的学习方法和经验，提高学习效率。
2.问题驱动的教ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ设计
案例中，教师以一系列具有挑战性和梯度的问题为导向，引导学生主动探究二元一次方程组的解法及应用。这种问题驱动的教学设计促使学生在解决问题的过程中，积极思考、合作交流，提高了学生的逻辑思维和问题解决能力。
3.小组合作的学习方式
本案例中，教师采用小组合作的学习方式，让学生在讨论、交流中共同解决问题。这种学习方式有助于培养学生的团队协作能力和沟通能力，同时也为学生提供了互相学习、取长补短的机会。
1.教师通过讲述一个关于学校篮球比赛的情景，如：“同学们，最近学校举行了一场篮球比赛，甲队和乙队进行了激烈的角逐。我们知道，甲队和乙队的得分之和是100分，甲队比乙队多得了20分。那么，你能算出甲队和乙队各自得了多少分吗？”由此引出本节课的主题——二元一次方程组的应用。
2.学生思考并尝试解决问题，教师适时引导学生运用数学知识来分析问题，为新课的学习做好铺垫。
（二）过程与方法
1.通过小组合作、讨论交流等方式，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
2.引导学生通过观察、分析、归纳等思维过程，发现生活中的二元一次方程组问题，提高学生的数学思维能力。
3.教学过程中，注重启发式教学，鼓励学生独立思考，培养学生的创新精神和解决问题的能力。
4.教会学生总结解题方法，形成自己的解题思路，提高解题效率。

七年级二元一次方程组应用题10道

七年级二元一次方程组应用题10道1.小明和小红两人一起去超市买水果。

小明买了几个苹果和几个橙子，总共花了12元；小红买了几个苹果和几个橙子，总共花了10元。

已知每个苹果的价格是1元，每个橙子的价格是2元。

问小明和小红分别买了几个苹果和几个橙子？2.一对双胞胎姐妹一共有18颗糖。

姐姐比妹妹多得糖的个数是4颗，姐姐的一颗糖的价格是妹妹的2倍。

问姐姐和妹妹各自得了几颗糖以及价格分别是多少？3.有一群小学生在体育场比赛，共有男生和女生两种性别。

男生每人比女生多10人，男生人数是女生人数的2倍。

如果体育场共有120人参加比赛，问男生和女生各有多少人？4.学校要组织外出观光，计划包括学生和老师两类人。

学生每人多于老师10人，学生共有60人，老师共有4人。

问学生和老师各占多少人数？5.小明和小红两人一共骑自行车去郊外游玩。

小明每小时骑行速度为10公里，小红每小时骑行速度为15公里。

他们同时出发，小红比小明先到达目的地1个小时。

问目的地距离原点多少公里？6.学校举办校运动会，共有游泳比赛和跑步比赛。

报名参加游泳比赛的男生占总报名人数的1/3，报名参加跑步比赛的女生占总报名人数的1/4，已知男生和女生总共有60人参加比赛，问男生和女生各有多少人？7.有一批水果共有苹果和梨两种。

苹果的价格比梨的价格高出每斤2元，苹果共有5斤，梨共有3斤，总共支付了35元。

问苹果和梨各自的价格是多少元每斤？8.甲、乙两人一共走了30公里路程。

甲比乙每小时走得快5公里，所以他比乙提早1小时到达终点。

问甲和乙每小时的步行速度分别是多少？9.小明和小红两人一共有24本书。

小明比小红多8本书，小明和小红的书的总价值是168元，小明每本书比小红多4元。

问小明和小红的书各有多少本以及每本书的价值是多少元？10.甲、乙、丙三人共有240元。

甲比乙多30元，丙比甲少40元。

问甲、乙、丙各自有多少元？。

二元一次方程组的应用

二元一次方程组的应用二元一次方程组是数学中常见的问题形式，可以通过解方程组来求解未知数的取值。

在实际生活和工作中，二元一次方程组有着广泛的应用。

本文将讨论二元一次方程组的一些常见应用场景。

一、消费问题在购物中，我们常常需要计算多个商品的总价。

假设商品A的价格为x元，商品B的价格为y元，购买A商品m件，B商品n件，总花费为p元。

此时可以列出如下二元一次方程组：mx + ny = p (1)m + n = t (2)其中，t为商品的总件数，p为总花费金额。

通过求解方程组，可以得到商品A和商品B的价格。

二、速度问题在物理学中，速度问题通常为二元一次方程组的典型应用。

设一个物体的速度恒定不变，物体在t秒内运动了s米，根据匀速运动的定义，可以得到如下方程组：vt - s = 0 (3)v' - v = 0 (4)其中，v为物体的速度，s为物体的位移，v'为物体的平均速度。

通过解方程组，可以求解物体的速度和位移。

三、投资问题在投资领域，经常需要计算不同投资项目的收益率。

假设我们有两个投资项目A和B，投资A的金额为x元，投资B的金额为y元，A项目的收益率为r1，B项目的收益率为r2，可以列出如下方程组：rx = r1x + r2y (5)x + y = t (6)其中，t为总投资金额。

通过求解方程组，可以得到投资项目A和B的收益率。

四、运动员的成绩在体育竞技中，运动员的成绩常常可以用二元一次方程组来表示。

假设运动员A和运动员B分别参加了两个项目，A在第一个项目中获得了x分，在第二个项目中获得了y分，B在第一个项目中获得了p分，在第二个项目中获得了q分。

根据成绩的计算方法，可以列出如下方程组：x + y = t (7)p + q = t (8)其中，t为满分。

通过解方程组，可以得到运动员A和运动员B在两个项目中的得分情况。

五、人员分配问题在人员分配和调度问题中，可以利用二元一次方程组来求解不同人数的分配。

[初中数学]二元一次方程组8种典例应用

[初中数学]二元一次方程组8种典例应用二元一次方程大战应用题——实际问题与二元一次方程组的思路1.列方程组解应用题的基本思想：列方程组解应用题，是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系。

一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：① 方程两边表示的是同类量；② 同类量的单位要统一；③ 方程两边的数要相等。

2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤设：用两个字母表示问题中的两个未知数；列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；解：解方程组，求出未知数的值；答：写出答案。

3.要点诠释：（1）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；（2）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组。

典型例题详解1.和差倍数问题知识梳理:和差问题是已知两个数的和或这两个数的差，以及这两个数之间的倍数关系，求这两个数各是多少。

典型例题：思路点拨：由甲乙两人2分钟共打了240个字可以得到第一个等量关系式2(x+y)=240，再由甲每分钟比乙多打10个字可以得到第二个等量关系式x-y=10，组成方程组求解即可。

变式拓展：思路点拨：由甲组学生人数是乙组的3倍可以得到第一个等量关系式x=3y，由乙组的学生人数比甲组的3倍少40人可以得到第二个等量关系式3x-y=40，组成方程组求解即可。

2.产品配套问题典型例题：思路点拨：本题的第一个等量关系比较容易得出：生产螺钉和螺母的工人共有22名；第二个等量关系的得出要弄清螺钉与螺母是如何配套的，即螺母的数量是螺钉的数量的2倍（注意：别把2倍的关系写反）。

变式拓展：思路点拨：根据共有170名学生可得出第一个等量关系x+y=170，根据每个树坑对应一棵树可得第二个等量关系3x=7y，组成方程组求解即可。

3.工作量问题知识梳理我们在解决工程问题时通常把工作总量看成1；工作量＝工作效率×工作时间；总工作量=每个个体工作量之和；工作效率=工作量÷工作时间（即单位时间的工作量）；工作效率=1÷完成工作的总时间。

二元一次方程组应用题类型大全

根据题意, 得 x+y =22
2×1200x=2000y
解得 x=10
Y =12
所以为了使每天生产的产品刚好配套,应安排10人生产螺钉,12人生产螺母
例2.某工地需雪派48人去挖土和运土,如果每人每天平均挖土5方或运土3方,那么应该怎样安排人员,正好能使挖的土能及时运走?
每天挖的土等于每天运的土
分析题意：1、有鲜奶9吨,
2.若在市场上直接销售鲜奶,每吨可获利润500元,
3.若制成酸奶销售,每吨可获利润1200元,
4.若制成奶片销售,每吨可获利润2000元.
5.每天可加工3吨酸奶或1吨奶片, 两种方式不能同时进行.
6.受季节的限制,这批牛奶必须在4天内加工并销售完毕.
方案二:将一部分制成奶片,其余制成酸奶销售,并恰好4天完成。
例：某牛奶加工厂现有鲜奶9吨,若在市场上直接销售鲜奶,每吨可获利润500元,若制成酸奶销售, 每吨可获利润1200元,若制成奶片销售,每吨可获利润2000元.该厂生产能力如下:每天可加工3吨酸奶或1吨奶片,受人员和季节的限制,两种方式不能同时进行.受季节的限制,这批牛奶必须在4天内加工并销售完毕,为此该厂制定了两套方案:
160千米甲
汽车行驶1小时20分的路程
汽车行驶半小时的路程
乙拖拉机行驶1小时 20分的路程
拖拉机行驶1个半小时行驶的路程
1、同时同地相向而行第一次相遇（相当于相遇问题）：
甲的路程 + 乙的路程＝跑道一圈长
2、同时同地同向而行第一次相遇（相当于追击问题）：
快者的路程－慢者的路程＝跑道一圈长
解之得
X=77 Y=8
答:这批零件有77个,按计划需8 小时完成

利用二元一次方程组解决实际问题

利用二元一次方程组解决实际问题二元一次方程组是高中数学中的重要知识点，它可以帮助我们解决很多实际问题。

本文将从解决实际问题的角度出发，介绍二元一次方程组的应用。

一、车票问题假设一辆旅游大巴车每张座位卖30元，车上共有80个座位，卖出的车票数比空座位多8张，求卖出的车票数和空座位的数目各是多少？设卖出的车票数为x，空座位的数目为y。

根据题意，我们可以列出一个关于x和y的方程组：x + 8 = 30yx + y = 80解这个方程组，可以采用消元法。

将第二个方程变形为x = 80 - y，代入第一个方程中，得到：80 - y + 8 = 30y化简后，得到：31y = 88解得y ≈ 2.838，由于座位数必须是整数，所以我们取最接近的整数值y=3。

代入第二个方程，得到x = 80 - 3 = 77。

因此，卖出的车票数为77张，空座位的数目为3个。

二、混合液体问题某实验室需要制备一种混合液体，A液与B液按照1:3的比例混合，现有A液200毫升，B液300毫升。

已知混合液体中A液的含量为40%，求需要加入多少毫升的B液使得混合液体中A液含量达到60%？设加入的B液的体积为x毫升。

根据题意，我们可以列出一个关于x的方程：0.4 * (200 + 3x) = 0.6 * (200 + 3x + 300)化简后，得到：0.4 * (200 + 3x) = 0.6 * (500 + 3x)进一步化简，得到：80 + 1.2x = 300 + 1.8x解得x ≈ 100。

因此，需要加入100毫升的B液体。

三、运动问题甲、乙两人同时从两地相向而行，相遇后甲用2小时的时间赶到了B地，乙用3小时的时间赶到了A地。

已知甲每小时行30公里，乙每小时行20公里，求A、B两地的距离。

设A、B两地的距离为x公里。

根据题意，我们可以列出一个关于x的方程：2(30) + 3(20) = x化简后，得到：60 + 60 = x解得x=120。

(完整版)二元一次方程组的应用(几何图形问题)

二元一次方程组的应用（几何图形问题）一、列方程组解应用题的基本思路．列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系，一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：(1)方程两边表示的是同类量；(2)同类量的单位要统一；(3)方程两边的数值要相等．二．列方程（组）解应用题的一般步骤(1)审题，弄清题意及题目中的数量关系．(2)设未知数，可直接设元，也可间接设元．(3)列出方程组，要根据题目中能表示全部意义的相等关系列出方程组．(4)解所列方程组，并检验解的正确性．(5)写出答案．三．注意事项(1)解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去．(2)“设”“答”两步，都要写清单位名称．(3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组．四、列方程组解应用题的常见题型和差倍总分问题：较大量=较小量+多余量，总量=倍数×倍量产品配套问题：加工总量成比例行程问题：速度×时间=路程航速问题：此类问题分为水中航速和风中航速两类顺流（风）：航速=静水（无风）中的速度+水（风）速逆流（风）：航速=静水（无风）中的速度-水（风）速工程问题：工作量=工作效率×工作时间一般分为两种，一种是一般的工程问题；另一种是工作总量是单位“1”的工程问题增长率问题：原量×（1＋增长率）=增长后的量，原量×（1-减少率）=减少后的量浓度问题：溶液×浓度=溶质银行利率问题：免税利息=本金×利率×时间，税后利息=本金×利率×时间—本金×利率×时间×税率利润问题：利润=售价—进价，利润率=（售价—进价）÷进价×100%盈亏问题：关键从盈（过剩）、亏（不足）两个角度把握事物的总量数字问题：首先要正确掌握自然数、奇数、偶数、数位等有关的概念、特征及其表示年龄问题：抓住人与人的岁数是同时增长的几何问题：必须掌握几何图形的性质、周长、面积等计算公式及对应关系五、应用举例。

二元一次方程组的实际问题

二元一次方程组的实际问题在数学中，方程是解决问题的重要工具之一。

二元一次方程组是由两个含有两个未知数的一次方程组成。

它是数学中最常见的方程形式之一，解决二元一次方程组的实际问题有助于我们理解方程的应用。

下面我将通过几个实际问题来阐述如何解决二元一次方程组，并解释其应用。

问题1：甲乙两个人共有25个苹果，甲拿了5个苹果，乙拿了3个苹果，现在他们想要平分剩下的苹果，请问每个人应该分到几个苹果？解决方案：设甲拿到的苹果数为x，乙拿到的苹果数为y。

根据题意，我们可以得到以下两个方程：x + y = 25 （甲乙两人共有25个苹果）x - 5 = y - 3 （甲拿了5个苹果，乙拿了3个苹果）将第一个方程变形为 x = 25 - y，然后将其代入第二个方程中，得到：25 - y - 5 = y - 3化简得到 -2y = -17解方程得到 y = 17/2 = 8.5将y的值代入第一个方程，可得到 x = 25 - 8.5 = 16.5所以，甲应该分到16.5个苹果，乙应该分到8.5个苹果。

考虑到苹果是不可分割的，所以实际上甲应该分到16个苹果，乙应该分到8个苹果。

问题2：某商场举办打折活动，购买商品A和商品B的折扣率分别为15%和20%，张三购买了5个商品A和3个商品B，一共花费了480元，请问商品A和商品B的原价分别是多少？解决方案：设商品A的原价为x，商品B的原价为y。

根据题意，我们可以得到以下两个方程：0.85x + 0.8y = 480 （购买商品A和商品B的折后总价为480元）5x + 3y = x + y （购买5个商品A和3个商品B）化简第二个方程得到 4x - 2y = 0将第二个方程中的x用y代入第一个方程中，得到 0.85(4y) + 0.8y = 480化简得到 3.4y + 0.8y = 480解方程得到 y = 120将y的值代入第二个方程，可得到 4x - 2(120) = 0解方程得到 x = 60所以，商品A的原价为60元，商品B的原价为120元。

二元一次方程组的应用题10大题型

类型一：行程问题例：甲、乙两人从相距36千米的两地相向而行．如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇．问甲、乙两人每小时各走多少千米？【分析】设甲，乙速度分别为x，y千米/时，根据甲乙两人从相距36千米的两地相向而行．如果甲比乙先走2小时，那么在乙出发后2.5小时相遇；如果乙比甲先走2小时，那么在甲出发后3小时相遇可列方程求解。

类型二：工程问题例：小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司，合做需6周完成，需工钱5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，需工钱4.8万元，若只选一个公司单独完成，从节约开支角度考虑，小明家是选甲公司、还是乙公司请你说明理由．分析：需先算出甲乙两公司独做完成的周数．等量关系为：甲6周的工作量+乙6周的工作量=1；甲4周的工作量+乙9周的工作量=1；还需算出甲乙两公司独做需付的费用．等量关系为：甲做6周所需钱数+乙做6周所需钱数=5.2；甲做4周所需钱数+乙做9周所需钱数=4.8类型三：商品销售利润问题例：李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利18000元，其中甲种蔬菜每亩获利2000元，乙种蔬菜每亩获利1500元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？分析：由题意得出两个相等关系为：甲、乙两种蔬菜共10亩和共获利18000元，依次列方程组求解类型四：银行储蓄问题例：小明的爸爸为了给他筹备上高中的费用，在银行同时用两种方式共存了4000元钱．第一种，一年期存取，共反复存了3次，每次存款数都相同，这种存款银行利率为年息2.25%；第二种，三年期存取，这种存款银行利率为年息2.70%．三年后同时取出共得利息303.75元．问小明的爸爸两种存款各存入了多少元？分析：利用两种方式共计存了4000元钱以及两笔存款三年内共得利息303.75元得出等式求出即可类型五：生产配套问题例：现用190张铁皮做盒，一张可以做8个盒身或22个盒底，1个盒身与2个盒底配一个盒子，问用多少张铁皮制盒身、多少张铁皮制盒底，可制成一批完整的盒子？分析：本题的等量关系是：制盒身的铁皮+制盒底的铁皮=190张；盒底的数量=盒身数量的2倍．据此可列方程组求解类型六：增长率问题例：某城市现有人口42万人．计划一年后城镇人口增加0.8%，农村人中增加1.1%，这样全市人口得增加1%，求这个城市现有城镇人口和农村人口分别是多少人？分析：根据题意可得出的等量关系为：现有的城镇人口+现有的农村人口=42万，计划一年后城镇人口增加的数量+农村人口的增加的数量=全市人口增加的数量，然后列出方程组求解类型七：数字问题例：一个两位数的十位数字与个位数字和为6，十位数字比个位数字大4，求这个两位数字．分析：设这个两位数十位上的数字为x，个位上的数字为y，根据十位数字与个位数字和为6，十位数字比个位数字大4，列方程组求解类型八：几何问题用长48厘米的铁丝弯成一个矩形，若将此矩形的长边分别折3厘米，补较短边上去，则得到一个正方形，求正方形的面积比矩形面积大多少？分析：设矩形的长为x，宽为y，则可得x-3=y+3，再由矩形的周长为48，可得出2（x+y）=48，联立方程组求解即可类型九：年龄问题例：今年，小李的年龄是他爷爷的1/5,小李发现，12年后，他的年龄变成爷爷的1/3,求今年小李的年龄．分析：通过理解题意可知本题的等量关系，12年之后他爷爷的年龄x1/3=12年之后小李的年龄．根据这两个等量关系，可列出方程，再求解类型十：方案优化问题例：某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知该厂家生产三种不同类型的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元．（1）若商场用9万元同时购进甲、乙两种不同型号的电视机共50台，求应购进甲、乙两种电视机各多少台？（2）若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元．试问：同时购进两种不同型号电视机的方案可以有几种（每种方案必须刚好用完9万元）？为使销售时获利最多，应选择哪种进货方案？并说明理由．分析：（1）本题的等量关系是：甲乙两种电视的台数和=50台，买甲乙两种电视花去的费用=9万元．依此列出方程求出正确的方案；（2）根据（1）得出的方案，分别计算出各方案的利润，然后判断出获利最多的方。

二元一次方程组应用题及答案

二元一次方程组应用题及答案题目：某工厂生产两种产品A和B，已知生产一件产品A需要3小时，生产一件产品B需要2小时。

如果工厂每天有24小时的生产时间，且生产一件产品A的利润是100元，生产一件产品B的利润是150元。

现在工厂希望在有限的生产时间内最大化利润，问工厂每天应该生产多少件产品A和B？解答：设工厂每天生产x件产品A和y件产品B。

根据题意，我们可以得到以下两个方程：1. 3x + 2y ≤ 24 （生产时间限制）2. 100x + 150y （利润最大化）我们需要找到x和y的值，使得利润最大化。

首先，我们可以将第一个方程变形为：y ≤ (24 - 3x) / 2由于x和y都必须是非负整数，我们可以列出以下可能的组合：1. 当x = 0时，y ≤ 12，即y可以取0到12之间的任意整数。

2. 当x = 1时，y ≤ 10.5，向下取整得y ≤ 10。

3. 当x = 2时，y ≤ 9。

4. ...5. 当x = 8时，y ≤ 0。

接下来，我们计算每种组合下的利润：1. 当x = 0，y = 12时，利润 = 100 * 0 + 150 * 12 = 1800元。

2. 当x = 1，y = 10时，利润 = 100 * 1 + 150 * 10 = 1650元。

3. ...4. 当x = 8，y = 0时，利润 = 100 * 8 + 150 * 0 = 800元。

通过比较，我们发现当x = 0，y = 12时，利润最大，为1800元。

因此，工厂每天应该生产0件产品A和12件产品B，以最大化利润。

答案：工厂每天应该生产0件产品A和12件产品B。