教师版-二元一次方程组应用
北师大版八年级数学上册《二元一次方程组——应用二元一次方程组—增收节支》教学PPT课件(3篇)
答:今年的总收入为2400万元，总支出为1620万元.
比较可知:间接设未知数（设去年的总收入为x万元，总支
出为y万元），计算会更简便些.
探究活动
例2:医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品.每克甲原
料含0.5单位蛋白质和1单位铁质，每克乙原料含0.7单位蛋白质和
0.4单位铁质.若病人每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质，那么每
855元(没有利息税),问两种储蓄他各存了多少钱?
解：设年利率为11%的存x元,年利率10%存 y元.
x + y=8000，
则
11%x+10%y=855.
解得
x =5500,
y=2500.
5.甲、乙两人从相距36千米的两地相向而行,如甲比乙
先走2小时,那么他们在乙出发2.5小时后相遇;如果乙比
甲先走2小时,那么他们在甲出发3小时后相遇,甲、乙两
5x ＋2y= 200
x=28
解得
y=30
答:每餐需甲原料28克，乙原料30克.
学法小结:
1.图表分析有利于理清题中的未知量，已知量以及等量关系，条理清楚.
2.借助方程组解决实际问题.
思路总结
解决问题
小明想开一家时尚G点专卖店，开店前他到其他专卖店调查价格．他看中了
一套新款春装，成本共500元，专卖店店员告诉他在上市时通常将上衣按50%的
元.今年的总收入、总支出各是多少万元?
分析:设今年的总收入为x万元，总支出为y万元，则有
根据上表,可列方程组:
1+20%
1−10%
−
x -y=780
= 200
变式训练
解:设今年的总收入为x万元，总支出为y万元，由题意，得
教学设计《7.2.5二元一次方程组的应用》
7.2．5二元一次方程组的应用一、目标和目标解析（一）目标1、进一步掌握解二元一次方程组的技巧．2、通过具体情景，进一步体会方程组是刻画现实世界的重要数学模型，从而培养学生解决问题的能力．3、通过运用数学知识解决身边的问题，养成学数学用数学的好习惯．（二）目标解析这节内容正体现了数学教育改革中的新理念，体现了让学生学会数学地思考，并积极参与数学活动、进行自主探索的新思想，而且能有效地培养学生的发散思维与创新能力．也是增强学生学数学、用数学意识的重要题材，其中所渗透的列表法和画线段图的方法及建模思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养．重点：在具体的情景中找出题目中所蕴涵的相等关系，来建立数学模型（方程组）．难点：建模过程二、教学问题诊断分析通过让学生用自主学习以及合作交流的学习，学生已具备一定用一元一次方程知识解决实际问题基本能力和初步的建模思想，学生的兴趣和积极性能充分调动起来．但学生对于等量关系的分析方法和建模思想的认识和理解不够，同时，由简单的、单一的等量关系到复杂的，多种等量关系的分析能力有限，再加之学生之间存在个体差异，从而在知识的反馈过程中产生不均衡性，给老师的整体教学带来一定的困难．基于以上分析，确定本节课的教学重点是：在具体的情景中找出题目中所蕴涵的相等关系，来建立数学模型（方程组）．三、教学支持条件分析根据本节课教材内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，我利用导学案、多媒体、教具实验等教学手段．主要目的是通过上述教学手段，再现知识产生的过程，突破学生在旧知和新知形成过程中的障碍．另外，也提高了课堂的教学效率，节省了时间，激发了学生的学习兴趣．四、教学过程设计（一）、创设情境，激趣导入问题一：小军买了80分与2元的邮票共16枚，花了18元8角．你知道小军80分与2元的邮票各买了多少枚？1、这是一个大家熟悉的购物问题，你会用所学到的知识来解决吗(学生讨论)？学生活动：（1）用一元一次方程知识自主完成，时间3分钟．（2）小组内交流，找一位同学展示解：设80分的邮票买了x 枚，则2元的邮票买了(16－x )枚，根据题意得：0.8x＋2(16－x)＝18.8，解这个方程得：x＝1116－x＝5.答：小军买了80分的邮票11枚,买了2元的邮票5枚.（3）总结一元一次方程解决实际问题的思想和步骤：审、设、列、解、检、答．设计意图：从学生熟悉的生活问题入手，激发学习积极性，让学生感受到数学知识就在我们身边，源于我们的生活．回忆用一元一次方程解决问题的方法步骤，是对旧知的回忆，为学习新知做铺垫．在交流展示中体验成功的喜悦，为本节课的学习埋下兴趣的种子．2，那如果设小军买了80分的邮票x 枚，2元的邮票y 枚呢，如何来解呢？（二）提出问题，探究发现问题：针对刚才的问题如果设小军买了80分的邮票x枚，2元的邮票y枚呢，如何来解呢？学生活动（1）以小组为单位分析题中的等量关系并书写出来：在上述问题中数量与数量之间的相等关系：80分邮票的枚数＋2元邮票的枚数＝16总价与总价之间的相等关系：80分邮票的价钱＋2元邮票的价钱＝18.8（2）学生自主完成解答过程，并派代表展示解题过程（3）小组内交流用二元一次方程组解决实际问题的步骤，找出和用一元一次方程解决问题的区别．设计意图：通过一个个问题情境设置，给学生搭建了自主探究、合作交流的平台，让学生充分经历和体验知识的形成过程．通过交流、展示，明确绝对值的代数意义和性质，培养学生的分析解决问题的能力、发散思维能力、语言表达能力，渗透建模的数学思想方法.并在探究过程中学会学习，从中体验学习的乐趣，品尝成功小结：（1）二元一次方程组解决实际问题的步骤：审、设、列、解、检、答．（2）与用一元一次方程解决实际问题的区别：找两个等量关系式，列二元一次程组解决问题．（三）拓展探究，归纳方法问题二：某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨，准备加工后上市销售，该公司的加工能力是：每天可以精加工 6 吨或者粗加工16吨，现计划用15天完成加工任务，该公司应安排几天粗加工，几天精加工，才能按期完成任务？如果每吨蔬菜粗加工后的利润为1000元，精加工后的利润为2000元，那么照此安排，该公司出售这些加工后的 蔬菜共可获利多少元？学生活动：（1）做一做：各合作学习小组探究学习，尝试先解决前一半问题，即先求出安排精加工和粗加工的天数．我们不妨用列方程组的办法来解答．列表法分析等量关系：解：设应安排x 天精加工，y 天粗加工．根据题意，有⎩⎨⎧=+=+14016615y x y x解这个方程组，得⎩⎨⎧==510y x 出售这些加工后的蔬菜一共可获利2000⨯6⨯10＋1000⨯16⨯5＝200000（元）答：应安排10天精加工，5天粗加工，加工后出售工可获利200000元．（2）议一议：小组内完成．若来不及加工的蔬菜可直接出售，每吨200元，请同学们提供几种销售方案，并讨论哪种方案利润最高？提供以下几种方案供参考：方案一：将蔬菜全部进行粗加工；方案二：尽可能多的对蔬菜进行细加工，没有来得及加工的蔬菜在市场上直接销售；方案三：将部分蔬菜进行细加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成．（3）派代表讲解，并总结遇到实际问题如何建立方程组的模型进行解决．（1）通过学生的合作探究学习，培养学生的团队意识，合作精神（2）通过学生的主探究和交流学习，感悟实际问题中复杂的数量关系可以用列表法分析，使关系更加明了．（3）让学生体会方程是刻画现实世界的有效数学模型，让学生参与解题的过程，充分调动学生的学习积极性，使学生乐于参与到课堂中来，培养学生的发散思维和数学兴趣．结论要点：（四）合作探究，获得成果问题三：A、B两地相距3千米．甲从A地出发步行到B地，乙从B地出发步行到A地．两人同时出发，20分钟后相遇，又经过10分钟甲所余路程为乙所余路程的2倍．求两人的速度．学生活动：学生先做题，自主探究．然后小组讨论，归纳．最后交流、展示，得出结论．设计意图：（1）培养学生灵活运用所学知识分析问题、解决问题．（2）培养学生遇到行程问题要学会画线段图分析数量关系，建立方程模型来解决问题的能力．思想方法归纳:（1）遇到复杂的实际问题要学会用线段图、列表格等方法分析数量关系（2）要学会建立合适的方程（组）解决实际问题，具有相应建模思想．（五）反思小结，归纳升华谈谈你的收获，说说你的困惑和感悟．1、学习得到的数学知识和数学方法；2、需要注意的问题以及不懂的问题；3、获得了哪些学习经验和学习方法；4、你感受最深的是什么？与大家共享；5、对本节课，你有什么意见和建议．。
北师大版八年级数学上册第五章二元一次方程组5.4应用二元一次方程组—增收节支(教案)
（2）熟练运用二元一次方程组求解方法，解决实际问题；
（3）培养学生分析问题、解决问题的逻辑思维能力。
举例：
在教学过程中，重点关注以下问题：
-如何引导学生从实际问题中抽象出二元一次方程组模型？
-如何指导学生运用所学求解方法，如代入法、消元法等，解决实际问题？
-通过实际案例，引导学生发现数量关系，建立方程组模型，如利润、返现等问题；
-在求解过程中，指导学生根据方程组的特点，选择合适的求解方法，并进行详细步骤讲解；
-对于复杂问题，指导学生抓住关键信息，进行问题分解，逐步求解，如购物返现问题中的最大返现策略。
在教学过程中，教师要关注学生对以下细节的理解：
-如何判断一个方程组是否为二元一次方程组？
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调如何建立实际问题中的方程组和选择合适的求解方法这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和步骤讲解来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与增收节支相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示如何利用二元一次方程组解决实际问题。
3.解决以下典型例题：
（1）某企业计划生产甲、乙两种产品，已知生产一件甲产品利润为100元，生产一件乙产品利润为150元。若本月计划利润为30000元，问企业应生产甲、乙两种产品各多少件？
（2）某商店举行促销活动，购买甲商品满200元可返现30元，购买乙商品满300元可返现50元。小明打算用500元购物，求他购买甲、乙商品各花多少钱时，能够实现最大返现？
五、教学反思
北师大版八年级(下)数学第18讲：二元一次方程组应用(2)(教师版)——王琪
二元一次方程组应用（2）1．列方程组解应用题的基本思想列方程组解应用题，是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是找等量关系.一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量：②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相等.2．列二元一次方程组解应用题的一般步骤：设：用两个字母表示问题中的两个未知数;列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）解：解方程组，求出未知数的值；验：检验求得的值是否正确和符合实际情形；答：写出答案.1．七年级（1）班买了若干本4元及7元的笔记本作为奖品，共花费40元，则这两种笔记本的数量可能相差（）A．1 B．4 C．1或4 D．不确定解：设购买4元笔记本x本，7元笔记本y本，根据题意得：4x+7y=40，∴x=10﹣y．∵x、y均为正整数，∴当y=4时，x=3．∴y﹣x=4﹣3=1．故选A．2．某校七年级一班有x人，分y小组进行课外兴趣活动，若每组6人，则余4人，若每组7人，则不足5人，则全班的人数为（）A．60人B．58人C．62人D．59人解：由题意，得，解得：．故选B．3．四川雅安地震期间，为了紧急安置60名地震灾民，需要搭建可容纳6人或4人的帐篷，若所搭建的帐篷恰好（即不多不少）能容纳这60名灾民，则不同的搭建方案有（）A．4种 B．11种 C．6种 D．9种解：设6人帐篷用了x个，4人帐篷用了y个，根据题意得：6x+4y=60，即y==，当x=0时，y=15；当x=2时，y=12；当x=4时，y=9；当x=6，y=6；当x=8时，y=3；当x=10时，y=0；则不同的搭建方案有6种．故选：C．4．陈老师打算购买气球装扮学校“六一”儿童节活动会场，气球的种类有笑脸和爱心两种，两种气球的价格不同，但同一种气球的价格相同，由于会场布置需要，购买时以一束（4个气球）为单位，已知第一、二束气球的价格如图所示，则第三束气球的价格为（）A．19 B．18 C．16 D．15解：设一个笑脸气球为x元，一个爱心气球为y元，由题意得，，解得：，则2x+2y=16．故选C．5．鸡兔同笼问题是我国古代著名趣题之一．大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题．书中是这样叙述的：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚．求笼中各有几只鸡和兔？经计算可得（）A．鸡23只，兔12只 B．鸡12只，兔23只C．鸡15只，兔20只 D．鸡20只，兔15只解：设笼中有鸡x只，兔y只，根据题意得：，解得：．故选A．6．在3×3方格上做填字游戏，要求每行每列及对角线上三个方格中的数字和都相等，又填在图中的数字如图，则x，y的值是（）A．x=1，y=﹣1 B．x=﹣1，y=1 C．x=2，y=﹣1 D．x=﹣2，y=1解：由题意得，，解得：．故选B．7．某企业决定投资不超过20万元建造A、B两种类型的温室大棚．经测算，投资A种类型的大棚6万元/个、B种类型的大棚7万元/个，那么建造方案有（）A．2种 B．3种C．4种 D．5种解：设建造A种类型的温室大棚x个，建造B种类型的温室大棚y个，根据题意可得：6x+7y≤20，当x=1，y=2符合题意；当x=2，y=1符合题意；当x=3，y=0符合题意；故建造方案有3种．故选：B．8．“双11”促销活动中，小芳的妈妈计划用1000元在唯品会购买价格分别为80元和120元的两种商品，则可供小芳妈妈选择的购买方案有（）A．4种 B．5种C．6种 D．7种解：设购买80元的商品数量为x，购买120元的商品数量为y，依题意得：80x+120y=1000，整理，得y=．因为x是正整数，所以当x=2时，y=7．当x=5时，y=5．当x=8时，y=3．当x=11时，y=1．即有4种购买方案．故选：A．9．威立到小吃店买水饺，他身上带的钱恰好等于15粒虾仁水饺或20粒韭菜水饺的价钱，若威立先买了9粒虾仁水饺，则他身上剩下的钱恰好可买多少粒韭菜水饺（）A．6 B．8 C．9 D．12解：设1粒虾仁水饺为x元，1粒韭菜水饺为y元，则由题意可得15x=20y，∴3x=4y，∴15x﹣9x=6x=2×3x=2×4y=8y，∴他身上剩下的钱恰好可买8粒韭菜水饺，故选B．10．某次知识竞赛共出了25道题，评分标准如下：答对1题加4分；答错1题扣1分，不答记0分，已知李刚不答的题比答错的题多2题，他的总分为74分，则他答对了（）A．19题B．18题C．20题D．21题解：设他答错了x道，答对了y道，由题意得：，解得：，故选：A．11．利用两块长方体木块测量一张桌子的高度．首先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度是（）A．73cm B．74cm C．75cm D．76cm解：设长方体长xcm，宽ycm，高acm，由题意，得，解得：2a=152，∴a=76．故选：D．12．吉安县澧田中学每年都会举行乒乓球比赛，比赛规定采取积分制：赢一局得3分，负一局扣1分．在7局比赛中，积分超过10分的就可以晋级下一轮比赛，李胜进入了下一轮比赛，问李胜输掉的比赛最多是（）A．2局 B．3局 C．4局D．5局解：设李胜输掉的比赛最多是x局，依题意得3（7﹣x）﹣x＞10，∴x＜，而x为正整数，∴x≤2．答：李胜输掉的比赛最多是2场．故选A．13．2013年4月20日四川雅安芦山县境内发生7.0级地震后，全国人民抗震救灾，众志成城．某地政府急灾民之所需，立即组织12辆汽车，将A、B、C三种救灾物资共82吨一次性运往灾区，假设甲、乙、丙三种车型分别运载A、B、C三种物资．根据如表提供的信息解答下列问题：（1）设装运A、B品种物资的车辆数分别为x、y，试用含x的代数式表示y；（2）根据（1）中的表达式，求装运A、B、C三种物资的车辆各几辆和A、B、C三种物资各几吨？解：（1）根据题意得：5x+8y+10（12﹣x﹣y）=82，化简，得y=﹣x+19．（2）由y=﹣x+19及题意知y＞0，x＞0，且x必须是2的整数倍，∵x+y＜12，∴x=6，y=4，∴A种物资有5×6=30（吨）；B种物资有8×4=32（吨）；C种物资有82﹣（30+32）=20（吨）．14．学期即将结束，为了表彰优秀，班主任王老师用W元钱购买奖品．若以2支钢笔和3本笔记本为一份奖品，则可买60份奖品；若以2支钢笔和6本笔记本为一份奖品，则可以买40份奖品．设钢笔单价为x元/支，笔记本单价为y元/本．（1）请用y的代数式表示x．（2）若用这W元钱全部购买笔记本，总共可以买几本？（3）若王老师用这W元钱恰好能买30份同样的奖品，可以选择a支钢笔和b本笔记本作为一份奖品（两种奖品都要有）．请求出所有可能的a，b值．解：（1）由题意得：60（2x+3y）=40（2x+6y），（2分）化简得：．（1分）（2）60（2x+3y）÷y=360（本）．（2分）答：总共可以买卖360本；（1分）（3）由题意得：60（2x+3y）=30（ax+by），把代入得：（1分）解得此方程的正整数解为，，．（3分）15．被誉为“最美高铁”的长春至珲春城际铁路途经许多隧道和桥梁，其中隧道累计长度与桥梁累计长度之和为342km，隧道累计长度的2倍比桥梁累计长度多36km．求隧道累计长度与桥梁累计长度．解：设隧道累计长度为x km，桥梁累计长度为y km，根据题意得：，解得：．答：隧道累计长度为126km，桥梁累计长度为216km．16．某校组织“大手拉小手，义卖献爱心”活动，购买了黑白两种颜色的文化衫共140件，进行手绘设计后了出售，所获利润全部捐给山区困难孩子．每件文化衫的批发价和零售价如下表：假设文化衫全部售出，共获利1860元，求黑白两种文化衫各多少件？解：设黑色文化衫x件，白色文化衫y件，依题意得，解得，答：黑色文化衫60件，白色文化衫80件．17．某地区住宅用电之电费计算规则如下：每月每户不超过50度时，每度以4元收费；超过50度的部分，每度以5元收费，并规定用电按整数度计算（小数部份无条件舍去）．（1）下表给出了今年3月份A，B两用户的部分用电数据，请将表格数据补充完整，（2）若假定某月份C用户比D用户多缴电费38元，求C用户该月可能缴的电费为多少？解：（1）设A用户用电量为x度，则4×50+5（x﹣50）=240，解得x=58；B用户的用电量：90﹣58=32（度）．B用户的电费：32×4=128（元）A、B用户的电费：240+128=368（元），故答案是：（2）设3月份C用户用电x度，D用户用电y度．∵38不能被4和5整除，∴x＞50，y≤50，∴200+5（x﹣50）﹣4y=38∴5x﹣4y=88，∴．∵，∴50＜x≤57.6．又∵x是4的倍数，∴x=52，56 C用户可能缴的缴电费为210元或230元．18．“全民阅读”深入人心，好读书，读好书，让人终身受益．我校上月举办了“读书节”活动．为了表彰优秀，主办单位王老师负责购买奖品．他发现：若以2支钢笔和3本笔记本为一份奖品，则可买60份奖品；若以2支钢笔和6本笔记本为一份奖品，则可以买40份奖品．设钢笔单价为x元/支，笔记本单价为y元/本．（1）请用x的代数式表示y．（2）若用这钱全部购买笔记本，总共可以买几本？（3）若王老师用这钱恰好买30份同样的奖品，可以选择a支钢笔和b本笔记本作为一份奖品（两种奖品都要有），请求出所有可能的a、b值．解：（1）根据题意得：60（2x+3y）=40（2x+6y），化简得：y=x．（2）60（2x+3y）÷y=360．答：若用这钱全部购买笔记本，总共可以买360本．（3）根据题意得：60（2x+3y）=30（ax+by），即4x+6y=ax+by，把y=x代入得：4x+4x=ax+bx，整理得：a+b=8．∵a、b均为正整数，∴b为3的整数倍，∴当b=3时，a=6；当b=6时，a=4；当b=9时，a=2．∴，，．19．我国古代数学名著《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”，意思是：鸡和兔关在一个笼子里，从上面看有35个头，从下面看有94条腿，问笼中鸡或兔各有多少只？解：设笼中鸡有x只，兔有y只，由题意得：，解得．答：笼中鸡有23只，兔有12只．20．在某市“棚户区改造”建设工程中，有甲、乙两种车辆参加运土，已知5辆甲种车和2辆乙种车一次共可运土64立方米，3辆甲种车和1辆乙种车一次共可运土36立方米，求甲、乙两种车每辆一次分别可运土多少立方米．解：设甲种车辆一次运土x立方米，乙种车辆一次运土y立方米，由题意得，，解得：．答：甲种车辆一次运土8立方米，乙种车辆一次运土12立方米．基础演练1．周末，某团体组织公益活动，16名成员分甲、乙、丙三组到48个单位做宣传，若甲组a人每人负责4个单位，乙组b人每人负责3个单位，丙组每人负责1个单位，则分组方案有（）A．5种 B．6种C．7种 D．8种解：依题意有4a+3b+（16﹣a﹣b）=48，3a+2b=32，∵a，b是正整数，∴当a=2时，b=13，16﹣a﹣b=1，符合题意；当a=4时，b=10，16﹣a﹣b=2，符合题意；当x=6时，b=7，16﹣a﹣b=3，符合题意；当a=8时，b=4，16﹣a﹣b=4，符合题意；当a=10时，b=1，16﹣a﹣b=5，符合题意．故分组方案有5种．故选：A．2．将一张面值为50元的人民币，兑换成10元或20元的零钱，兑换方案有（）A．3种B．4种C．5种 D．6种解：设能兑换x张10元、y张20元的零钱，根据题意得：10x+20y=50，即x+2y=5．∵x、y为自然数，∴当y=0时，x=5；当y=1时，x=3；当y=2时，x=1．∴兑换方案有三种．故选A．3．小明去逛商场，发现有他非常喜欢的邮票，小明就把兜里仅有的8元钱全部买了60分和80分的两种邮票．请问：小明购买邮票有几种方案（）A．1种B．2种C．3种D．4种解：设小明买60分和80分的邮票各x枚和y枚；根据题意得出：0.6x+0.8y=8，解得：，，．共3种方案，故选：C．4．如图，用12块相同的小长方形瓷砖拼成一个大的长方形，则每个小长方形瓷砖的面积是（）A．175cm2B．300cm2C．375cm2D．336cm2解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm．根据题意得：解得：．故xy=30×10=300cm2．故选：B．5．两个角的大小之比是7：3，它们的差是72°，则这两个角的关系是（）A．相等 B．互余 C．互补 D．无法确定解：设这两个角分别是x°，y°，根据题意得：，解得：，则这两个角互补．故选C．6．如图，用8块相同的长方形地砖拼成一个大长方形，则每个长方形地砖的面积是（）A．200cm2B．300cm2C．600cm2D．2400cm2解：设每个小长方形地砖的长为xcm，宽为ycm，由题意可得，即，解之，所以每个长方形地砖的面积是300cm2．故选：B．7．滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：小王与小张各自乘坐滴滴快车，行车里程分别为6公里与8.5公里．如果下车时两人所付车费相同，那么这两辆滴滴快车的行车时间相差（）A．10分钟B．13分钟C．15分钟D．19分钟解：设小王的行车时间为x分钟，小张的行车时间为y分钟，依题可得：1.8×6+0.3x=1.8×8.5+0.3y+0.8×（8.5﹣7），10.8+0.3x=16.5+0.3y，0.3（x﹣y）=5.7，x﹣y=19．故这两辆滴滴快车的行车时间相差19分钟．故选：D．8．王老师的数学课采用小组合作学习方式，把班上40名学生分成若干小组，如果要求每小组只能是5人或6人，则有几种分组方案（）A．4 B．3 C．2 D．1解：设5人一组的有x个，6人一组的有y个，根据题意可得：5x+6y=40，当x=1，则y=（不合题意）；当x=2，则y=5；当x=3，则y=（不合题意）；当x=4，则y=（不合题意）；当x=5，则y=（不合题意）；当x=6，则y=（不合题意）；当x=7，则y=（不合题意）；当x=8，则y=0；故有2种分组方案．故选：C．9．张老师到文具店购买A、B两种文具，A种文具每件2.5元，B种文具每件1元，共花了30元钱，则可供他选择的购买方案的个数为（两样都买）（）A．4 B．5 C．6 D．7解：设买A种文具为x件，B种文具为y件，依题意得：2.5x+y=30，则y=30﹣2.5x．∵x、y为正整数，∴当x=2时，y=25；当x=4时，y=20；当x=6时，y=15；当x=8时，y=10；当x=10时，y=5；当x=12时，y=0（舍去）；综上所述，共有5种购买方案．故选：B．10．小明和小莉出生于2000年12月份，他们的生日不是同一天，但都是星期五，且小明比小莉出生早，两人出生日期和是22，那么小莉的生日是（）A．15号B．16号C．17号D．18号解：设小明的生日是12月份的x号，小莉的生日是12月份的y号，则或或或，解得，（不是整数，舍去）或或（不是整数，舍去）或（不合题意，舍去）．综上所述，小莉的生日是18号．故选：D．巩固提高11．一个两位数的两个数字之和为11，两个数字之差为5．求这个两位数，此题的解（）A．0个 B．1个 C．2个 D．4个解：设十位数字为x，个位数字为y，根据题意得：或，解得：或，∴该两位数为83或38．故选C．12．如图是由同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中3块横放的墙砖比1块竖放的墙砖高10cm，2块横放的墙砖比2块竖放的墙砖低40cm，则每块墙砖的面积是（）A．425cm2B．525cm2C．600cm2D．800cm2解：设每块墙砖的长为xcm，宽为ycm，根据题意得：，解得：，∴xy=35×15=525．故选B．13．一个家电维修中心有技术员工和辅助员工共15人，技术员工数是辅导员工数的2倍．家电维修中心计划对员工发放奖金共计20000元，按“技术员工个人奖金”A元和“辅导员工个人奖金”B元两种标准发放，其中A≥B≥800，并且A，B都是100的整数倍．（1）求该家电维修中心中技术员工和辅导员工的人数；（2）求本次奖金发放的具体方案？解：（1）设该家电维修中心有技术员工x人、辅助员工y人．则，解得．答：该家电维修中心有技术员工10人、辅助员工5人；（2）由10A+5B=20000，得2A+B=4000．∵A≥B≥800，∴800≤B≤A≤1600，并且A，B都是100的整数倍，∴，，．∴本次奖金发放的具体方案有3种：方案一：技术员工每人1600元、辅助员工每人800元；方案二：技术员工每人1500元、辅助员工每人1000元；方案三：技术员工每人1400元、辅助员工每人1200元．14．已知有10包相同数量的饼干，若将其中1包平分给23名学生，最后剩三片，若将此10包平分给23名学生，则最后剩的片数是多少？（用二元一次方程解）解：设这包饼干有y片，则y=23x+3（x是大于0的整数），而10y=230x+30，30÷23=1（片）…7（片），故最后剩7片．答：最后剩的片数是7片．15．某商场按定价销售某种电器时，每台可获利48元，按定价的九折销售该电器6台与将定价降低30元销售该电器9台所获得的利润相等．求该电器每台的进价、定价各是多少元？解：设该电器每台的进价为x元，定价为y元，由题意得，解得：．答：该电器每台的进价是162元，定价是210元．16．为了响应“足球进校园”的目标，某校计划为学校足球队购买一批足球，已知购买2个A品牌的足球和3个B品牌的足球共需380元；购买4个A品牌的足球和2个B品牌的足球共需360元．（1）求A，B两种品牌的足球的单价．（2）求该校购买20个A品牌的足球和2个B品牌的足球的总费用．解：（1）设A品牌的足球的单价为x元/个，B品牌的足球的单价为y元/个，根据题意得：，解得：．答：A品牌的足球的单价为40元/个，B品牌的足球的单价为100元/个．（2）20×40+2×100=1000（元）．答：该校购买20个A品牌的足球和2个B品牌的足球的总费用是1000元．17．某兴趣小组进行活动，每个男生都头戴蓝色帽子，每个女生都头戴红色帽子．帽子戴好后，每个男生都看见戴红色帽子的人数比戴蓝色帽子的人数的2倍少1，而每个女生都看见戴蓝色帽子的人数是戴红色帽子的人数的．问该兴趣小组男生、女生各有多少人？解：设该兴趣小组男生有x人，女生有y人，依题意得：，解得：．答：该兴趣小组男生有12人，女生有21人．18．甲、乙、丙三种车型的汽车按运载量运载货物，它们的运载量如表：（1）甲种车型的汽车3辆，乙种车型的汽车a辆，丙种车型的汽车2a辆，它们一次性能运载吨货物（可用含a的代数式表示）（2）甲、乙、丙三种车型的汽车共12辆，刚好能一次性运载物资共82吨，甲、乙、丙三种车型的汽车各有多少辆？解：（1）3×5+8a+10×2a=28a+15．故答案为：28a+15．（2）设甲种车型的汽车x辆，乙种车型的汽车y辆，则丙种车型的汽车（12﹣x﹣y）辆．依题意得：5x+8y+10（12﹣x﹣y）=82，整理得：y=19﹣x（0≤y≤12，．且x、y是非负整数）所以x只能取4和6．当x=4，得y=9（不合题意，舍去），当x=6，得y=4，12﹣x﹣y=2．答：甲、乙、丙三种车型的汽车分别为6辆、4辆、2辆．19．学校团委组织志愿者到图书馆整理一批新进的图书．若男生每人整理30本，女生每人整理20本，共能整理680本；若男生每人整理50本，女生每人整理40本，共能整理1240本．求男生、女生志愿者各有多少人？解：设男生志愿者有x人，女生志愿者有y人，根据题意得：，解得：．答：男生志愿者有12人，女生志愿者有16人．20．某地新建的一个企业，每月将生产1960吨污水，为保护环境，该企业计划购置污水处理器，并在如下两个型号中选择：已知商家售出的2台A型、3台B型污水处理器的总价为44万元，售出的1台A型、4台B型污水处理器的总价为42万元．（1）求每台A型、B型污水处理器的价格；（2）为确保将每月产生的污水全部处理完，该企业决定购买上述的污水处理器，那么他们至少要支付多少钱？解：（1）可设每台A型污水处理器的价格是x万元，每台B型污水处理器的价格是y万元，依题意有，解得．答：每台A型污水处理器的价格是10万元，每台B型污水处理器的价格是8万元；（2）购买9台A型污水处理器，费用为10×9=90（万元）；购买8台A型污水处理器、1台B型污水处理器，费用为10×8+8=80+8=88（万元）；购买7台A型污水处理器、2台B型污水处理器，费用为10×7+8×2=70+16=86（万元）；购买6台A型污水处理器、3台B型污水处理器，费用为10×6+8×3=60+24=84（万元）；购买5台A型污水处理器、5台B型污水处理器，费用为10×5+8×5=50+40=90（万元）；购买4台A型污水处理器、6台B型污水处理器，费用为10×4+8×6=40+48=88（万元）；购买3台A型污水处理器、7台B型污水处理器，费用为10×3+8×7=30+56=86（万元）；购买2台A型污水处理器、9台B型污水处理器，费用为10×2+8×9=20+72=92（万元）；购买1台A型污水处理器、10台B型污水处理器，费用为10×1+8×10=10+90=90（万元）；．购买11台B型污水处理器，费用为8×11=88（万元）．故购买6台A型污水处理器、3台B型污水处理器，费用最少．答：他们至少要支付84万元钱．1．将一张面值50元的人民币，兑换成5元或10元的零钱，那么兑换方案共有（）A．5种 B．6种 C．7种 D．8种解：设10元的数量为x，5元的数量为y．则10x+5y=50，（x≥0，y≥0），解得：，，，，，，故选B．2．七年级部分学生在小会议室开会，若每排座位坐10人，则有2人无处坐；如果每排座位坐11人，则最后一排空3个座儿，则参加会议的学生人数是（）A．52 B．62 C．5 D．6解：设参加会议的学生人数为x人，有y排座位，根据题意可得：，解得：，故选：A．3．足球比赛的记分规则是：胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分．一支中学生足球队参加了15场比赛，负了4场，共得29分，则这支球队胜了（）A．5场B．7场C．9场 D．11场解：设这支球队胜了x场，平了y场，则，解得，所以球队胜了9场．故选C．4．甲比乙大15岁，5年前甲的年龄是乙的年龄的2倍，则乙现在的年龄是（）A．10岁B．15岁C．20岁D．30岁解：甲现在的年龄是x岁，乙年龄为y岁，根据题意得：解得：，答：乙现在的年龄是20岁．故选：C．5．九年级（1）班为奖励学习进步的学生，计划花费120元购买削笔机或多色笔袋，削笔机单价为10元，多色笔袋单价为12元，则购买方案有（）A．1种 B．2种C．3种 D．4种解：设购买了削笔机x个，多色笔袋y个，根据题意得：10x+12y=120，化简得：y=10﹣x，∵x，y为正整数，∴符合题意的方案有：，，∴共有2种购买方案；故选B．6．足球比赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，中超联赛某足球队已经进行了7场比赛，得了13分，该队获胜的场数可能是（）A．2场或3场 B．2场或3场或4场C．3场或4场D．3场或4场或5场解：设该队胜x场、平y场，则负（7﹣x﹣y）场，根据题意得：3x+y=13，∴y=13﹣3x．当x=0时，y=13，此时x+y=13＞7（舍去）．当x=1时，y=10，此时x+y=11＞7（舍去）；当x=2时，y=7，此时x+y=9＞7（舍去）；当x=3时，y=4，此时x+y=7符合题意；当x=4时，y=1，此时x+y=5＜7符合题意．综上所述：该队获胜的场数可能是3场或4场．故选C．7．如图，宽为50的大长方形图案由10个完全相同的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为（）A．400 B．500 C．600 D．4000解：设一个小长方形的长为x，宽为y，则可列方程组，解得，则一个小长方形的面积=40×10=400．故选A．8．如图，宽为60cm的矩形图案由10个完全一样的小长方形拼成，则其中一个小长方形的周长为（）A．60cm B．120cm C．312cm D．576cm解：设一个小长方形的长为xcm，宽为ycm，由图形可知，，解得：．所以一个小长方形的周长为：2（48+12）=120（cm）．故选B．9．如图所示的两台天平保持平衡，已知每块巧克力的质量相等，且每个果冻的质量也相等．求每块巧克力和每个果冻的质量．解：设每块巧克力质量为x克，每个果冻的质量为y克，根据题意得：，解得．答：每块巧克力质量为20克，每个果冻的质量为30克．10．某校食堂的中餐与晚餐的消费标准如表一学生某星期从周一到周五每天的中餐与晚餐均在学校用餐，每次用餐米饭选1份，A、B类套餐菜选其中一份，这5天共消费36元，请问这位学生A、B类套餐菜各选用多少次？解：设这位学生A类套餐菜选了x次，B类套餐菜选了y次，根据题意得：，解得：．答：这位学生A类套餐菜选了6次，B类套餐菜选了4次．1．某人只带了2元和5元两种纸币（两种纸币都足够多），他要买一件27元的商品，而商店不给找钱，要他恰好付27元，他付钱方式的种数是（）A．1 B．2 C．3 D．4解：设2元的用x枚，5元的用y枚，由题意，得2x+5y=27，x=．∵x≥0，y≥0为整数，∴≥0，∴0≤y≤，∴y=0，1，2，3，4，5当y=0时，x=舍去，当y=1时，x=11，当y=2时，x=舍去，当y=3时，x=6，当y=4时，x=舍去，当y=5时，x=1，则共有3种付款方式．故选C．2．有一个两位数，它的十位数字与个位数字之和为5，则符合条件的两位数有（）A．4个 B．5个 C．6个 D．7个解：设两位数个数上数字为x，则十位数上数字为y，根据题意得：x+y=5，当x=1时，y=4；x=2，y=3；x=3，y=2；x=4，y=1；x=0，y=5；则符合条件的两位数有5个，故选B3．有一个两位数，它的十位数字和个位数字的和为6，则这样的两位数有（）个．A．4 B．5 C．6 D．7解：设两位数的个位数为x，十位为y，根据题意得：x+y=6，∵xy都是整数，∴当x=0时，y=6，两位数为60；当x=1时，y=5，两位数为51；当x=2时，y=4，两位数为42；当x=3时，y=3，两位数为33；当x=4时，y=2，两位数为24；当x=5时，y=1，两位数为15；则此两位数可以为：60、51、42、33、24、15，共6个，故选：C．4．如图，用10块相同的长方形的地砖拼成一个长方形，则每块长方形地砖的面积为（）A．128 B．256 C．512 D．1024解：设长方形地砖的长为x，宽为y，根据题意得：，解得：，∴xy=32×8=256．故选B．5．一个两位数，十位数字比个位数字的2倍大1，若将这个两位数减去36恰好等于个位数字与十位数字对调后所得的两位数，则这个两位数是（）A．86 B．68 C．97 D．73解：设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y．则，解得．故选D．6．如图，正方形ABCD由四个相同的大长方形，四个相同的小长方形以及一个小正方形组成．其中四个大长方形的长和宽分别是小长方形长和宽的3倍，若中间小正方形的面积为1，则大正方形ABCD 的面积是（）A．49 B．64 C．81 D．100解：设小长方形的长为a，宽为b，则大长方形的长为3a，宽为3b，由已知得：，解得：，∴正方形ABCD的边长AB=3a+3b=3×（2+1）=9，∴正方形ABCD的面积为9×9=81．故选C．7．把一张面值10元的人民币兑换成1元或2元的零钱，兑换方案有（）A．9种 B．8种C．7种D．6种解：设1元x张，2元的y张，x+2y=10，解的，，，，，，，故有6种兑换方案，故选D．8．要把一张面值20元的人民币换成零钱，现有足够的面值为1元、5元人民币，那么共有（）A．2种换法B．3种换法C．4种换法D．5种换法解：设1元的x张，5元的y张，则x+5y=20，解得，，，，，，故有5种方法，故选D．9．已知一根火腿肠2元，一盒方便面3元，小明外出时想用不超过15元来购买这两种食品，且至少购买一根火腿肠和一盒方便面，那么他可以采用的不同的购买方案有（）A．12种B．13种C．14种D．15种解：设小明一根火腿肠x根，一盒方便面y盒，则解得：1≤y≤，1≤x≤7.5，当y=1时，x只能为6、5、4、3、2、1，共6个，当y=2时，x只能为4、3、2、1，共4个，当y=3时，x只能为3、2、1，共3个，当y=4时，x只能为1，共1个，∴6+4+3+1=14，故选C．10．学生问老师：“老师，你今年多大了？”，老师风趣地说：“我像你那么大时，你才1岁；你到我这么大时，我已经37岁了．”则老师今年（）A．25岁B．26岁C．27岁D．28岁解：设老师今年x岁，学生今年y岁，根据题意得：，解得：．故选A．11．现有八个大小相同的长方形，可拼成如图①，②所示的图形，在拼图②时，中间留下了一个边长为2的小正方形，则每个小正方形的面积是（）A．50 B．60 C．70 D．80解：设小长方形的长为x，宽为y，根据题意得：，解得：，∴xy=10×6=60．故选B．12．用四个完全一样的长方形（长、宽分别设为x、y）拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积为36，中间空缺的小正方形的面积为4，则下列关系式中不正确的是（）A．x+y=6 B．x2+y2=36 C．x•y=8 D．x﹣y=2解：设小长方形的长为x、宽为y，根据题意得：．A、由①可得出x+y=6，A正确；C、由①﹣②可得出x•y=8，C正确；D、由②可得出x﹣y=2，D正确．故选B．13．周老师为学校购买运动会的奖品后，回学校向后勤处张老师交账说：“我买了两种书，共100本，单价分别为8元和11元，买书前我领了1500元，现在还余417元．”张老师算了一下说：“你肯定搞错了．”（1）张老师为什么说他搞错了？试用方程的知识给予解释．（2）周老师连忙拿出购物发票，发现的确错了，因为他还买了一本笔记本，但笔记本的单价已模糊不清，只能辨别出应为小于8元的整数，笔记本的单价可能多少元？解：（1）设8元的书买了x本，11元的书买了y本，由题意，得，解得：x=．∵x的值为整数，故x的值不符合题意，∴张老师搞错．（2）设8元的书买了a本，则11元的书买了（100﹣a）本，笔记本的单价为b元，由题意，得，由①，得b=3a﹣17，∴1≤3a﹣17＜8，∴6≤a＜．。
二元一次方程的应用-北京习题集-教师版
二元一次方程的应用（北京习题集）（教师版）一．选择题（共3小题）1．（2019春•平谷区期末）铭铭要用20元钱购买笔和本，两种物品都必须都买，20元钱全部用尽，若每支笔3元，每个本2元，则共有几种购买方案()A．2B．3C．4D．52．（2012春•顺义区校级期中）小明买了数支单价分别为10元和15元的圆珠笔，共花费90元，则这两种圆珠笔的数量可能相差()A．2支B．3支C．4支D．5支3．（2017春•朝阳区期末）某人只带了2元和5元的两种货币各有许多张，他要买27元的商品，而商店又没有零钱找，他想恰好付27元，那么他的付款方式有()A．1种B．2种C．3种D．4种二．填空题（共6小题）4．（2020•朝阳区模拟）学校计划购买A和B两种品牌的足球，已知一个A品牌足球60元，一个B品牌足球75元．学校准备将1500元钱全部用于购买这两种足球（两种足球都买），该学校的购买方案共有种．5．（2019•石景山区二模）北京世界园艺博览会（简称“世园会”)园区4月29日正式开园，门票价格如下：注1：“指定日”为开园日(4月29日）、五一劳动节(5月1日）、端午节、中秋节、十一假期（含闭园日），“平日”为世园会会期除“指定日”外的其他日期；注2：六十周岁及以上老人、十八周岁以下的学生均可购买优惠票；注3：提前两天及以上在线上购买世园会门票，票价可打九折，但仅限于普通票．某大家庭计划在6月1日集体入园参观游览，通过计算发现：若提前两天线上购票所需费用为996元，而入园当天购票所需费用为1080元，则该家庭中可以购买优惠票的有人．6．（2019春•朝阳区期末）小颖在我国数学名著《算法统宗》看到一道题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”她依据本题编写了一道新题目：“大、小和尚分一百个馒头，大和尚每人吃三个，小和尚三人吃一个，问大、小和尚各多少人？”写出一组能够按照新题目要求分完一百个馒头的和尚人数：大和尚人，小和尚人．7．（2019•通州区三模）甲地有42吨货物要运到乙地，有大、小两种货车可供选择，具体收费情况如表：运完这批货物最少要支付运费元．8．（2019•朝阳区一模）某班对思想品德，历史，地理三门课程的选考情况进行调研，数据如下：其中思想品德、历史两门课程都选了的有3人，历史、地理两门课程都选了的有4人，则该班选了思想品德而没有选历史的有人；该班至少有学生人．9．（2019•昌平区二模）某学校决定用1200元购买篮球和排球，其中篮球每个120元，排球每个90元，至少买一个排球，在购买资金恰好用尽的情况下，购买方案有种．三．解答题（共3小题）10．（2018秋•朝阳区期末）列方程解应用题改革开放40年来我国铁路发生了巨大的变化，现在的铁路运营里程比1978年铁路运营里程多了75000公里，其中高铁更是迅猛发展，其运营里程约占现在铁路运营里程的20%，只差600公里就达到了1978年铁路运营里程的一半，问1978年铁路运营里程是多少公里．11．（2018春•房山区期中）李阿姨要为家里添加餐具，分别买了型号不同的大小两种碗，共花了80元．已知小碗每只6元，大碗每只8元，问大小碗各买了几只？12．（2009秋•海淀区期末）现有1 克2 克3 克重的天平砝码，要用10 个砝码称出重20 克的物体．（1）在取出的砝码中，设有 3 个 1 克的，那么， 3 克重的砝码应有多少个？（2）除（1）的情况外，取出的砝码还有哪几种情况呢？（设任一种砝码至少取一个）二元一次方程的应用（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共3小题）1．（2019春•平谷区期末）铭铭要用20元钱购买笔和本，两种物品都必须都买，20元钱全部用尽，若每支笔3元，每个本2元，则共有几种购买方案( ) A ．2B ．3C ．4D ．5【分析】设购买x 支笔，y 个本，根据总价=单价⨯数量，即可得出关于x ，y 的二元一次方程，结合x ，y 均为正整数即可求出结论．【解答】解：设购买x 支笔，y 个本， 依题意，得：3220x y +=， 3102y x ∴=-．x ，y 均为正整数， ∴1127x y =⎧⎨=⎩，2244x y =⎧⎨=⎩，3361x y =⎧⎨=⎩，∴共有3种购买方案．故选：B ．【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．2．（2012春•顺义区校级期中）小明买了数支单价分别为10元和15元的圆珠笔，共花费90元，则这两种圆珠笔的数量可能相差( ) A ．2支B ．3支C ．4支D ．5支【分析】要求这两种圆珠笔的数量可能相差几支，就要先求出这两种圆珠笔的数量，要求数量，就要设未知数，根据买了数支10元及15元的圆珠笔，共花费90元这个等量关系列出方程，因为是数量，所以x ，y 均为整数，再依此分析可能的取值．【解答】解：设10元的圆珠笔有x 支，15元的圆珠笔有y 支． 则101590x y +=， 因为x ，y 均为整数，可解得3x =，4y =或6x =，2y =， 故这两种圆珠笔的数量可能相差：624-=． 故选：C ．【点评】此题主要考查了二元一次方程的应用，解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组．3．（2017春•朝阳区期末）某人只带了2元和5元的两种货币各有许多张，他要买27元的商品，而商店又没有零钱找，他想恰好付27元，那么他的付款方式有()A．1种B．2种C．3种D．4种【分析】根据题意假设出未知数，得出结合2元钱的总和5+元钱的总和27=，进而得出二元一次方程，求出符合题意的答案．【解答】解：设带2元的货币x个，带5元的货币y个，根据题意可得：2527x y+=，当1x=，5y=，当2x=，235y=（不合题意舍去），当3x=，215y=，（不合题意舍去），当4x=，195y=（不合题意舍去），当5x=，175y=（不合题意舍去），当6x=，3y=，当7x=，135y=（不合题意舍去），当8x=，115y=（不合题意舍去），当9x=，95y=（不合题意舍去），当10x=，75y=（不合题意舍去），当11x=，1y=，故他的付款方式3种．故选：C．【点评】此题主要考查了二元一次方程的应用，正确表示出两种货币的总钱数是解题关键．二．填空题（共6小题）4．（2020•朝阳区模拟）学校计划购买A和B两种品牌的足球，已知一个A品牌足球60元，一个B品牌足球75元．学校准备将1500元钱全部用于购买这两种足球（两种足球都买），该学校的购买方案共有4种．【分析】设购买x个A品牌足球，y个B品牌足球，根据总价=单价⨯数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，即可得出各进货方案，此题得解．【解答】解：设购买x个A品牌足球，y个B品牌足球，依题意，得：60751500x y+=，解得：4205y x =-．x ，y 均为正整数，x ∴是5的倍数，∴516x y =⎧⎨=⎩，1012x y =⎧⎨=⎩，158x y =⎧⎨=⎩，204x y =⎧⎨=⎩，∴共有4种购买方案．故答案为：4．【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．5．（2019•石景山区二模）北京世界园艺博览会（简称“世园会” )园区4月29日正式开园，门票价格如下：注1：“指定日”为开园日(4月29日）、五一劳动节(5月1日）、端午节、中秋节、十一假期（含闭园日），“平日”为世园会会期除“指定日”外的其他日期；注2：六十周岁及以上老人、十八周岁以下的学生均可购买优惠票；注3：提前两天及以上在线上购买世园会门票，票价可打九折，但仅限于普通票．某大家庭计划在6月1日集体入园参观游览，通过计算发现：若提前两天线上购票所需费用为996元，而入园当天购票所需费用为1080元，则该家庭中可以购买优惠票的有 3 人．【分析】设该家庭中可以购买优惠票的有x 人，购买普通票的有y 人，由题意得二元一次方程组，求解即可． 【解答】解：设该家庭中可以购买优惠票的有x 人，购买普通票的有y 人，由题意得： 801200.9996801201080x y x y +⨯=⎧⎨+=⎩①② ②-①得：1284y = 7y ∴=③将③代入②得：8012071080x +⨯= 解得：3x = 故答案为：3．【点评】此题考查了二元一次方程组在生活实际中的应用，理清题目中的数量关系是解题的关键．6．（2019春•朝阳区期末）小颖在我国数学名著《算法统宗》看到一道题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”她依据本题编写了一道新题目：“大、小和尚分一百个馒头，大和尚每人吃三个，小和尚三人吃一个，问大、小和尚各多少人？”写出一组能够按照新题目要求分完一百个馒头的和尚人数：大和尚 20 人，小和尚 人．【分析】设大和尚有x 人，小和尚有y 人，根据“大、小和尚分一百个馒头，大和尚每人吃三个，小和尚三人吃一个”列出方程，求得正整数根即可．【解答】解：设大和尚有x 人，小和尚有y 人， 依题意，得131003x y +=．因为x 、y 都是正整数， 所以20x =，120y =符合题意． 或25x =，75y =也符合题意． 故答案是：20；120（答案不唯一）．【点评】考查了二元一次方程的应用，解答此题的关键是，根据题中的数量关系等式，找出对应量，列方程解答即可．7．（2019•通州区三模）甲地有42吨货物要运到乙地，有大、小两种货车可供选择，具体收费情况如表：运完这批货物最少要支付运费 2400 元．【分析】直接利用二元一次方程组的解分析得出答案． 【解答】解：设租用大货车x 辆，小货车y 辆，由题意得： 8542x y +=，整数解为：42x y =⎧⎨=⎩，此时运费为：445023002400⨯+⨯=（元)，当6x =时，0y =，此时运费为：64502700⨯=（元)，当5x =时，1y =（此车没装满），此时运费为：545013002550⨯+⨯=（元)， 当3x =时，4y =（有一辆车没装满），此时运费为：345043002550⨯+⨯=（元)， 当2x =时，6y =（有一辆车没装满），此时运费为：245063002700⨯+⨯=（元)， 故运完这批货物最少要支付运费是2400元． 故答案为：2400．【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确结合实际分析是解题关键．8．（2019•朝阳区一模）某班对思想品德，历史，地理三门课程的选考情况进行调研，数据如下：其中思想品德、历史两门课程都选了的有3人，历史、地理两门课程都选了的有4人，则该班选了思想品德而没有选历史的有 16 人；该班至少有学生 人．【分析】选了思想品德而没有选历史的有19316-=人，设三门课都选的有x 人，同时选择地理和政治的有y 人，总人数为191813342432x y x y ++----=--，根据各自选课情况可知3x <，110y -，该班至少有学生4341029--=．【解答】解：思想品德、历史两门课程都选了的有3人，∴选了思想品德而没有选历史的有19316-=人， 设三门课都选的有x 人，同时选择地理和政治的有y 人， 则有总人数为191813342432x y x y ++----=--， 选择历史没有选择政治的有6人， 26x ∴<， 3x ∴<， 1x ∴=，2，只选政治的现在有1934111y y ----=-， y ∴最大是10，该班至少有学生4341029--=， 故答案为16；29；【点评】本题考查统计的应用；能够将问题转化为二元一次方程，借助实际问题的取值情况，求至少的人数； 9．（2019•昌平区二模）某学校决定用1200元购买篮球和排球，其中篮球每个120元，排球每个90元，至少买一个排球，在购买资金恰好用尽的情况下，购买方案有 3 种．【分析】设可以购买x 个篮球，y 个排球，根据总价=单价⨯数量，即可得出关于x ，y 的二元一次方程，结合y 为正整数、x 为非负整数，即可得出各购买方程，此题得解． 【解答】解：设可以购买x 个篮球，y 个排球， 依题意，得：120901200x y +=， 3104x y ∴=-． y 为正整数，x 为非负整数，∴74x y =⎧⎨=⎩，48x y =⎧⎨=⎩，112x y =⎧⎨=⎩．∴共有3种购买方案．故答案为：3．【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．三．解答题（共3小题）10．（2018秋•朝阳区期末）列方程解应用题改革开放40年来我国铁路发生了巨大的变化，现在的铁路运营里程比1978年铁路运营里程多了75000公里，其中高铁更是迅猛发展，其运营里程约占现在铁路运营里程的20%，只差600公里就达到了1978年铁路运营里程的一半，问1978年铁路运营里程是多少公里．【分析】设1978年铁路运营里程是x公里，现在铁路运营里程是y公里，根据“现在的铁路运营里程比1978年铁路运营里程多了75000公里，现在铁路运营里程的20%只差600公里就达到了1978年铁路运营里程的一半”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．【解答】解：设1978年铁路运营里程是x公里，现在铁路运营里程是y公里，根据题意得：750001 20%6002y xy x=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：52000127000xy=⎧⎨=⎩．答：1978年铁路运营里程是52000公里．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．11．（2018春•房山区期中）李阿姨要为家里添加餐具，分别买了型号不同的大小两种碗，共花了80元．已知小碗每只6元，大碗每只8元，问大小碗各买了几只？【分析】根据题意可以列出相应的二元一次方程，然后根据x、y均为正整数，即可解答本题．【解答】解：设小碗买了x只，大碗买了y只，6880x y+=，x，y均为正整数，∴47xy=⎧⎨=⎩，84xy=⎧⎨=⎩，121xy=⎧⎨=⎩，答：小碗4只，大碗7只；或小碗8只，大碗4只；或小碗12只，大碗1只．【点评】本题考查二元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，求出方程的解．12．（2009秋•海淀区期末）现有1 克2 克3 克重的天平砝码，要用10 个砝码称出重20 克的物体．（1）在取出的砝码中，设有 3 个 1 克的，那么， 3 克重的砝码应有多少个？（2）除（1）的情况外，取出的砝码还有哪几种情况呢？（设任一种砝码至少取一个）【分析】（1）设 2 克的砝码用x个，则由已知 3 克的应该用(103)x--个，根据已知列方程求出x，从而求出 3 克重的砝码应有多少个；（2） 设 1 克的砝码有a 个， 2 克的砝码有b 个， 则 3 克的砝码有(10)a b --个， 根据已知列出方程得出a 、b 的关系， 从而【解答】解： （1） 由于203117=⨯+，故设 2 克的砝码用x 个， 则 3 克的应该用(103)x --个 故1723(103)x x =+--， 则4x =，1033x --=．答： 3 克重的砝码应有 3 个；（2） 设 1 克的砝码有a 个， 2 克的砝码有b 个， 则 3 克的砝码有(10)a b --个2023(10)23033a b a b a b a b =++--=++--即210b a +=则18a b =⎧⎨=⎩，26a b =⎧⎨=⎩，42a b =⎧⎨=⎩． 数量【点评】此题考查的知识点是二元一次方程组的应用， 关键是根据已知列出方程和二元一次方程 ．。
北师大版八年级数学上册第五章二元一次方程组二元一次方程组解法的综合应用
教学目标： 1、能熟练、正确、灵活用代入和加减
法解二元一次方程组
2、会利用一个二元一次方程组的解， 去求另外一个特殊方程组的解
1、解下列方程组
x 3y 10 (1) 3x 5y 2
x 4
y
2
(2)
2x 2x
3y 5y
2 6
x
1
2
y 1
已知xy方程11组求a、32aabxx的bb值yy 。87 的解是
2x 3y k 的解x，y
满足方程5x-y=3，则k =______.
已知方程组
3x 2x
4y 3y
k k
11
的解x，y
满足方程5x-y=3，则k =______.
将y=5x-3分别代入①、 ② 转化成x、k的方程组
例2:
已知方程组32xx 43yy
k 11① k ②
的解x，y
满足方程5x-y=3，则k =______。
满足方程5x-y=3，则k =-_4_____.
①+②得5xy=2k+11 然后整体代入得 3=2k+11
ห้องสมุดไป่ตู้
例3：关于x,y的方程组32xx
2 3
y y
5 a
2
的解x，y相等，则a=_３____.
解：将x=y代入得3y+2y=5 x=y=1 5=a+2 a=3
关于x,y的方程组
3x 5y
2x
a 2b 4
a 2b 2 a 3
解这个方程组，得
b
1 2
变式一：
ax by 4 ax by 2
方程组 2xx + 3yy=44 与 44xx+55yy =6
二元一次方程组的应用教案
二元一次方程组的应用教案导言：二元一次方程组是数学中重要的概念之一，它可以描述两个未知数之间的关系。
在实际生活和工作中，我们经常会遇到需要解决两个未知数的问题。
因此，学习二元一次方程组的应用是非常重要的。
本教案将介绍二元一次方程组的基本定义、解法和几个常见应用实例。
一、二元一次方程组的基本定义：1. 一次方程：形如ax + by = c的方程，其中a、b为已知系数，x、y为未知数，c为已知常数。
2. 二元一次方程组：由两个一次方程组成的方程组。
二、解二元一次方程组的方法：1. 图解法：通过将方程转化为直线的形式，可以用图解法解二元一次方程组。
在坐标系中，通过绘制两个方程的直线，找到两条直线的交点，该交点即为方程组的解。
2. 消元法：通过消元的方式来解二元一次方程组。
将其中一个方程中的某一项系数与另一个方程中相同项的系数相乘或相除，从而使得两个方程中的某一项系数相等或相差为0。
接着将这个结果代入到另一个方程中，可以得到一个只包含一个未知数的方程。
解出该未知数的值后，再将其代入到另一个方程中，求解另一个未知数的值。
三、二元一次方程组的应用实例：1. 数字问题：例如，甲、乙两人的年龄之和为40岁，甲的年龄比乙大5岁，求甲、乙各自的年龄。
解：设甲的年龄为x岁，乙的年龄为y岁。
根据题意，可以列出方程组：x + y = 40x - y = 5通过消元法求解该方程组，得到x = 22, y = 18。
所以甲的年龄为22岁，乙的年龄为18岁。
2. 几何问题：例如，一条长方形的长比宽大5米，周长为40米，求长方形的长和宽。
解：设长方形的长为x米，宽为y米。
根据题意，可以列出方程组：2x + 2y = 40x - y = 5通过消元法求解该方程组，得到x = 15, y = 10。
所以长方形的长为15米，宽为10米。
3. 混合问题：例如，甲、乙两人共有30枚硬币，总面值为120元，其中甲的硬币有20元和5元两种，乙的硬币有10元和2元两种，求甲、乙分别有多少枚硬币。
北师大版八年级上册数学5.4应用二元一次方程组----增收节支教案
-突破方法：设计具有实际意义的案例，让学生在求解方程组后，将结果与实际情境进行对比，理解数学模型在解决实际问题中的应用价值。
-举例解释：在解决企业增收节支问题时，指导学生如何从方程组的解中得出具体的提高产量和降低成本的数值，并将这些数值与企业的实际操作联系起来，理解数学解答背后的实际意义。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二元一次方程组的基本概念。二元一次方程组是由两个含有两个未知数的方程组成的，它能帮助我们解决含有两个未知数的问题。在增收节支中，它可以帮助我们找出提高产量和降低成本的最佳方案。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了如何将企业的增收节支问题转化为二元一次方程组，并通过求解方程组找到解决方案。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-核心内容：本节课的重点是使学生掌握如何将现实生活中的增收节支问题转化为二元一次方程组，并学会求解该方程组。
-详细内容：
a.理解增收节支问题的实际背景，能将其中的数量关系抽象为数学模型。
b.学会列出与增收节支相关的二元一次方程组，包括正确设定未知数和找出等量关系。
c.掌握求解二元一次方程组的基本方法，如代入法、消元法等，并能应用于实际问题的解决中。
3.能够解决类似实际问题，运用所学的二元一次方程组知识，进行数据分析和决策。
4.通过实例，使学生掌握运用二元一次方程组解决实际问题的方法和步骤，并培养其逻辑思维能力和问题解决能力。
二、核心素别是将现实情境抽象为数学模型的能力，通过二元一次方程组的建立和求解，强化数学建模素养。
a.难点一：将实际问题转化为方程组时，学生可能会在确定未知数和等量关系上遇到困难。
第五章二元一次方程组-二元一次方程组的应用(教案)
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与二元一次方程组相关的实际问题，如购物时如何根据预算和单价计算购买数量等。
五、教学反思
在今天的课堂上，我们探讨了第五章“二元一次方程组-二元一次方程组的应用”。回顾整个教学过程，我认为有几个方面值得反思。
首先，我发现同学们在理解二元一次方程组的应用时，普遍对如何从实际问题中抽象出方程组感到困惑。在今后的教学中，我需要更加注重引导学生学会从问题中提取关键信息，培养他们的数学建模能力。
第五章二元一次方程组-二元一次方程组的应用（教案）
一、教学内容
第五章二元一次方程组-二元一次方程组的应用
1.教材章节：本节课主要基于第五章“二元一次方程组”中的第三节“二元一次方程组的应用”进行教学设计。
2.内容列举：
（1）理解并掌握二元一次方程组在现实生活中的应用；
（2）学会利用二元一次方程组解决实际问题，如速度与时间、成本与数量、面积与周长等问题；
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二元一次方程组的基本概念。二元一次方程组是由两个含有两个未知数的一次方程组成的，它能够描述许多现实生活中的问题。掌握二元一次方程组不仅可以帮助我们解决实际问题，还能提高我们的逻辑思维能力。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设小明和小华同时从A、B两地出发，相向而行，经过2小时相遇。我们可以通过建立二元一次方程组来求解他们各自的速度和行驶的距离。
三、教学难点与重点
1.教学重点
二元一次方程组的应用优秀教案
二元一次方程组的应用【课时安排】2课时【第一课时】【教学目标】1．会列二元一次方程组解决实际问题。
2．通过对列二元一次方程组解决应用题，培养学生灵活解决数学问题的能力。
【教学重难点】1．理解列二元一次方程组解应用题的一般步骤。
2．会灵活运用列方程组解决实际问题。
【教学过程】一、导入新课我们学习了列一元一次方程解应用题的一般步骤，那么列方程分为哪几个基本步骤？学生积极回答：（一）审题设未知数；（二）找相等关系；（三）列方程；（四）解方程；（五）检验，写出答案。
这一节我们来学习用二元一次方程组解决实际问题（板书课题）。
二、推进新课（一）问题：某市举办中学生足球赛，规定胜一场得3分，平一场得1分。
一球队共比赛11场，没输过一场，一共得27分。
问该队胜几场，平几场？分析题意（方法一）：1．该队共进行比赛多少场，有没有输？（没有）2．若假设胜了x场，则平多少场？（11－x）3．胜一场得3分，胜x场得了多少分？（3x）4．平一场得1分，平局共得多少分？（11－x ）5．该队共得27分。
6．你找到等量关系了吗？（胜场得分＋平局得分＝总分）通过以上分析你有信心独立列出方程吗？解：设该队胜x 场，则平了（11－x ）场。
由题意可得：3x ＋(11－x)＝27；解得x ＝8。
11－x ＝11－8＝3；答：该队胜8场，平3场。
分析题意（方法二）：1．若假设胜利了x 场，平局为y 场，共进行11场比赛。
你能找到它们三者之间的等量关系吗？（胜利场数＋平局场数＝总场数）2．胜利一场得3分，胜利x 场共得了3x 分，平一场得1分，平局y 场共得y 分，一共得27分，这3个得分间有什么等量关系呢？（胜利得分＋平局得分＝总分）设两个未知数，就需要列二元一次方程组来解决，你能列出这个方程组吗？解：设胜利x 场，平局为y 场，得方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝11，3x ＋y ＝27。
教学策略：学生独立求解，并与方法一的结果做比较，进一步体会列一次方程（组）解应用题的方法。
二元一次方程组的应用教案
二元一次方程组的应用教案一、教学目标1. 了解二元一次方程组的概念及其解法；2. 掌握二元一次方程组在实际问题中的应用方法；3. 训练学生的反思和解决问题的能力。
二、教学重点和难点本课的教学重点为：掌握解二元一次方程组的方法，并能够运用二元一次方程组解决实际问题。
本课的教学难点为：如何帮助学生理解并概括实际问题，并能够运用二元一次方程组将实际问题转换成数学问题并求解。
三、教学方法和手段1. 采用案例教学，从实际问题出发，帮助学生找到解决问题的方法；2. 采用讨论教学，引导学生参与讨论，激发学生的思维和求解能力；3. 通过课堂互动，加强师生之间的沟通和互动。
四、教学过程1. 以实际问题为切入点，引导学生思考和解决问题的能力。
下面以一个实际问题为例：甲、乙两条铁路相距700千米，甲车头与乙车头同时开出，甲车每小时行70千米，乙车每小时行80千米，问甲、乙两车头相遇需要多长时间？引导学生分析问题，将问题转换成数学问题。
根据所给条件，可以列出两个方程式：甲车行驶的路程：70t（t为时间）乙车行驶的路程：80t（t为时间）又因为甲、乙两车头相遇时，它们的总路程为700千米，可以列出另一个方程式：70t + 80t = 700通过列方程，并求出t，就可以得出答案：当甲车头与乙车头相遇时，它们行驶的时间为5小时。
在以上的案例中，学生不仅需要掌握基本的代数方程式的求解方法，更需要理解如何将实际问题转换成数学问题，并运用数学知识解决问题的过程。
2. 通过案例教学，巩固学生对二元一次方程组的理解。
以上面的案例为例，引导学生进一步认识二元一次方程组的概念，并通过不同的例子，训练学生将实际问题转换成数学问题的能力。
例如，以下是另一个运用二元一次方程组解决问题的实例：草地上有羊和鸡两种动物，羊有4个腿，鸡有2个腿，这些动物一共有44个头，120个腿，问有多少只羊和鸡？解题思路如下：设羊的数量为x，鸡的数量为y，则可以得到两个方程：x + y = 444x + 2y = 120通过解方程组，可以得出x=28，y=16。
中考数学专题复习 专题09 二元一次方程组及其应用(教师版含解析)
中考专题09 二元一次方程组及其应用1．二元一次方程：含有两个未知数，并且未知数的指数都是1的方程整式方程叫做二元一次方程.一般形式是ax+by=c(a≠0,b≠0)。
2．二元一次方程组：把两个二元一次方程合在一起，就组成一个二元一次方程组。
3．二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的未知数的值叫做二元一次方程组的解。
4．二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解。
5.解二元一次方程组的方法将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想。
(1)代入消元：将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。
(2)加减消元法：当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
6.列方程(组)解应用题的一般步骤(1)审：有什么，求什么，干什么；(2)设：设未知数，并注意单位；(3)找：等量关系；(4)列：用数学语言表达出来；(5)解：解方程(组)．(6)验：检验方程(组)的解是否符合实际题意．(7)答：完整写出标准答案(包括单位)．注意：找出相等关系“未知”转化为“已知”.有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足：(1)方程两边表示的是同类量；(2)同类量的单位要统一；(3)方程两边的数值要相等【经典例题1】(2020年•嘉兴)用加减消元法解二元一次方程组{x +3y =4，①2x −y =1ㅤ②时，下列方法中无法消元的是( )A ．①×2﹣②B ．②×(﹣3)﹣①C ．①×(﹣2)+②D ．①﹣②×3【标准答案】D【分析】方程组利用加减消元法变形即可．【答案剖析】 A.①×2﹣②可以消元x ，不符合题意；B.②×(﹣3)﹣①可以消元y ，不符合题意；C.①×(﹣2)+②可以消元x ，不符合题意；D.①﹣②×3无法消元，符合题意．【知识点练习】(2020年年广州模拟)解方程组：．【标准答案】见答案剖析。
二元一次方程组应用题-教师用
实际问题与二元一次方程组题型归纳知识点一：列方程组解应用题的基本思想列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系. 一般来说，有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足：(1)方程两边表示的是同类量；(2)同类量的单位要统一；(3)方程两边的数值要相等.知识点二：列方程组解应用题中常用的基本等量关系1.行程问题：(1)追击问题：追击问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行。
这类问题比较直观，画线段,用图便于理解与分析。
其等量关系式是:两者的行程差＝开始时两者相距的路程；；；(2)相遇问题:相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行。
这类问题也比较直观，因而也画线段图帮助理解与分析。
这类问题的等量关系是：双方所走的路程之和＝总路程。
(3)航行问题：①船在静水中的速度＋水速＝船的顺水速度；②船在静水中的速度－水速＝船的逆水速度；③顺水速度－逆水速度＝2×水速。
注意：飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似。
2．工程问题：工作效率×工作时间=工作量.3．商品销售利润问题：(1)利润＝售价－成本(进价)；(2)；(3)利润＝成本（进价）×利润率；(4)标价＝成本(进价)×(1＋利润率)；(5)实际售价＝标价×打折率；注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；为负时，就是亏损。
打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售。
（例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十）4．储蓄问题：(1)基本概念①本金：顾客存入银行的钱叫做本金。
②利息：银行付给顾客的酬金叫做利息。
③本息和：本金与利息的和叫做本息和。
④期数：存入银行的时间叫做期数。
⑤利率：每个期数内的利息与本金的比叫做利率。
⑥利息税：利息的税款叫做利息税。
(2)基本关系式①利息＝本金×利率×期数②本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金× (1＋利率×期数)③利息税＝利息×利息税率＝本金×利率×期数×利息税率。
北师大版数学八年级上册5.3应用二元一次方程组—鸡兔同笼优秀教学案例
四、教学内容与过程
（一）导入新课
我以一个生动有趣的故事导入新课，讲述74条。我引导学生思考：农夫到底养了多少只鸡和兔呢？这个故事引发了学生的好奇心和兴趣，激发了他们主动探索问题的欲望。
（二）讲授新知
在学生对问题产生兴趣的基础上，我讲授二元一次方程组的定义和解法。我通过示例和讲解，让学生理解二元一次方程组的构成和特点，以及如何通过解方程组来求解实际问题。我强调了解题的关键步骤和方法，并给出了一些解题的技巧和提示。
（五）作业小结
在课堂的最后，我布置了一道类似的鸡兔同笼问题作为作业，要求学生在课后独立完成并提交。我提醒学生在解题过程中要注意合理运用所学的知识和方法，并鼓励他们积极思考和探索。同时，我也提醒学生在完成作业后进行自我检查和反思，以确保解题的准确性。
五、案例亮点
1.生活情境导入：通过生动有趣的鸡兔同笼故事导入新课，激发了学生的兴趣和好奇心，使他们主动参与到课堂中来。这种生活情境的导入，使学生能够直观地理解二元一次方程组在实际问题中的应用，增强了学生对知识的理解和记忆。
2.利用探究活动，让学生在合作中发现问题、解决问题，培养学生的团队协作能力和自主学习能力。
3.引导学生运用猜想、验证的方法，探索鸡兔同笼问题的解决策略，锻炼学生的逻辑思维能力。
4.鼓励学生运用多种方法解决同一问题，培养学生的创新思维和发散思维能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学的兴趣，感受数学的趣味性和实用性，激发学生学习数学的积极性。
二元一次方程组应用题(人教版)(含答案)
二元一次方程组应用题（人教版）一、单选题(共9道，每道11分)1.某商店准备购进甲、乙两种商品，已知甲商品的进价是每件15元，乙商品的进价是每件35元，若同时购进两种商品100件，恰好用去2700元，求购进的甲、乙商品各多少件？若设购进甲商品x件，购进乙商品y件，根据题意可列方程组为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：二元一次方程组的应用2.玉树地震后，灾区急需帐篷．某企业急灾区之所急，准备捐助甲、乙两种型号的帐篷共1500顶，其中甲种帐篷每顶安置6人，乙种帐篷每顶安置4人，共安置8000人．设该企业捐助甲种帐篷x顶，乙种帐篷y顶，那么下面列出的方程组中正确的是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：方程组应用题3.某景区门票价格为：成人票每张70元，儿童票每张35元．小明买了20张门票共花费了1225元，设其中有x张成人票，y张儿童票，根据题意，下列方程组正确的是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：方程组应用题4.小颖家离学校1200米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．她去学校共用了16分钟．假设小颖上坡路的平均速度是3千米/时，下坡路的平均速度是5千米/时，若设小颖上坡用了x分钟，下坡用了y分钟，根据题意可列方程组为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：方程组应用题5.中国2010年上海世博会第三期平日出售门票分为普通票和优惠票，其中普通票每张150元人民币，优惠票每张90元人民币．某日一售票点共售出1000张门票，总收入12.6万元人民币，则当天售出的普通票和优惠票分别为多少张？( )A.500，500B.300，700C.400，600D.600，400答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：二元一次方程组的应用6.小明：小红，你上周买的笔和笔记本的价格是多少啊？小红：哦，我也忘了，只记得先后买了两次，第一次买了5支笔和10本笔记本共花了42元钱，第二次买了10支笔和5本笔记本共花了30元．根据以上对话，可以求得小红所买的笔和笔记本的价格分别是( )A.0.8元/支，2.6元/本B.0.8元/支，3.6元/本C.1.2元/支，2.6元/本D.1.2元/支，3.6元/本答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：方程组应用题7.一列快车长168米，一列慢车长184米，如果两车相向而行，从相遇到离开需要4秒，如果同向而行，从相遇到离开需要16秒，设快、慢车的速度分别为x米/秒、y米/秒，则下列方程组正确的是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：方程组应用题8.甲对乙说:“当我的岁数是你现在的岁数时，你才四岁．”乙对甲说:“当我的岁数是你现在的岁数时，你将六十一岁．”则甲现在的年龄是( )A.19B.23C.38D.42答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：方程组应用题9.某化妆晚会上，男生脸上涂蓝色油彩，女生脸上涂红色油彩，游戏时，每个男生都看见涂红色油彩的人数比涂蓝色油彩的人数的2倍少1人，而每个女生都看见涂蓝色油彩的人数是涂红色油彩的人数的，则晚会上男生、女生人数分别是( )A.3，5B.5，3C.12，21D.21，12答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：方程组应用题。
最新二元一次方程组和一元一次不等式应用题分类汇编教师版
二元一次方程组应用题分类汇编1.（行程问题）甲、乙二人相距6km ，二人同向而行，甲3小时可追上乙；相向而行，1小时相遇。
二人的平均速度各是多少？解：设甲每小时走x 千米，乙每小时走y 千米题中的两个相等关系：1、同向而行：甲的路程=乙的路程+可列方程为：2、相向而行：甲的路程+ =可列方程为：2.（行程问题）在某条高速公路上依次排列着A 、B 、C 三个加油站，A 到B 的距离为120千米，B 到C 的距离也是120千米．分别在A 、C 两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同时以相同的速度驾车沿高速公路逃离现场，正在B 站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令后立即以相同的速度分别往A 、C 两个加油站驶去，结果往B 站驶来的团伙在1小时后就被其中一辆迎面而上的巡逻车堵截住，而另一团伙经过3小时后才被另一辆巡逻车追赶上．问巡逻车和犯罪团伙的车的速度各是多少？3.（工程问题）某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成，按照这个服装厂原来的生产能力，每天可生产这种服装150套，按这样的生产进度在客户要求的期限内只能完成订货的；现在工厂改进了人员组织结构和生产流程，每天可生产这种工作服200套，这样不仅比规定时间少用1天，而且比订货量多生产25套，求订做的工作服是几套？要求的期限是几天？454.（分配问题）用白铁皮做罐头盒。
每张铁皮可制盒身16个，或制盒底43个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒。
现有150张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，可以刚好配套？5.（利润问题）一件商品如果按定价打九折出售可以盈利20%；如果打八折出售可以盈利10元，问此商品的定价是多少？6.（配套问题）某厂共有120名生产工人，每个工人每天可生产螺栓25个或螺母20个，如果一个螺栓与两个螺母配成一套，那么每天安排多名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使每天生产出来的产品配成最多套？一元一次不等式（组）解应用题精讲及分类练习识别不等式（组）类应用题的几个标志，供解题时参考.一.下列情况列一元一次不等式解应用题1.应用题中只含有一个不等量关系,文中明显存在着不等关系的字眼,如“至少”、“至多”、“不超过”等.2．应用题仍含有一个不等量关系，但这个不等量关系不是用明显的不等字眼来表达的，而是用比较隐蔽的不等字眼来表达的,需要根据题意作出判断．用一元一次不等式组解决实际问题的步骤：⑴审题，找出不等关系；⑵设未知数；⑶列出不等式；⑷求出不等式的解集；⑸找出符合题意的值；（行程问题）1、抗洪抢险，向险段运送物资，共有120公里原路程，需要1小时送到，前半小时已经走了50公里后，后半小时速度多大才能保证及时送到？解：设后半小时的速度至少为x千米/小时50+（1-1/2）x≥12050+1/2x≥1201/2x≥70x≥140答：后半小时的速度至少是140千米/小时。
二元一次方程组的应用案例
初中数学教学案例分析-----二元一次方程组的应用从平时自测与正规考试分析，有的题型我们教师讲过，甚至几乎一模一样，但是学生仍然不会。
学生存在“知其然，不知其所以然”现象。
这是因为在备课时，我们往往只习惯于备教学内容，而忽视备学生。
如果教师不去研究学生对所教内容的掌握情况，不去研究学生的个体差异，一切从本本出发，课堂教学的适切性就会大打折扣，课堂教学的高效更无从谈起。
案例：《二元一次方程组的应用》各环节配题。
（一）提出问题，导入新课1、问题1 解二元一次方程组问题2 母亲26岁结婚，第二年生个儿子，若干年后母亲的年龄是儿子年龄到3倍，此时母亲的年龄为几岁？解法一：设经过x年后，母亲的年龄是儿子年龄的3倍。
由题意得26+x=3x解法二：设母亲的年龄为x岁。
由题意得x=3（x－26）（二）精选讲例，探求新知例某班有45位学生，共有班费2400元钱，准备给每位学生订一份报纸。
已知《作文报》的订费为60元/年，《科学报》的订费为50元/年，则订阅两种报纸各多少人？巩固练习小明和小李两人进行投篮比赛，规则：小明投3分球，小李投2分球，两人共投中20次，经计算两人得分相等，问小李和小明各投中几个球。
（三）变式训练，激活学生思维问题1 小明和小李两人进行投篮比赛，小明投3分球，小李投2分球，两人共投中100次，小明投中率为40%，小明投中率为40%，经计算两人得分相等，问小李和小明各投中几个球。
问题2 已知某电脑公司有A型、B型、C型3种型号的电脑，其价格分别为A型6000元/台、B型4000元/台、C型2500元/台，我校计划将100500元钱全部用于从该公司购进其中两种不同型号电脑共36台，请你设计出几种不同的购买方案供学校采用。
小红的方案：她认为可以购进A型和B型电脑，请你判断小红提出的方案是否合理，并通过计算说（四）课堂练习，巩固新知1、A、B两地相距36千米，甲从A地出发步行到B地，乙从B地出发步行到A地，两人同时出发，4小时候相遇。
8二元一次方程组的应用.教师版
☞倍分问题【例1】 甲原有x 元，乙原有y 元，若乙给甲10元，则甲所有钱为乙的3倍，若甲给乙10元，则甲所有钱为乙的2倍多10元，将x ，y 的关系式列成二元一次方程组【解析】略【答案】340240x y x y -=-⎧⎨-=⎩【巩固】古代有这样一个寓言故事：驴子和骡子一同走，它们驮着不同袋数的货物，每袋货物都是一样重的，驴子抱怨负担太重，骡子说：“你抱怨干吗？如果你给我一袋，那我所负担的就是你的两倍；如果我给你一袋，我们才恰好驮的一样多！~”那么驴子和骡子原来所驮货物的袋数分别是多少？【解析】略【解析】设驴子和骡子原来所驮货物的袋数分别是x 、y ，根据题意得2(1)111x y x y -=+⎧⎨+=-⎩，解得57x y =⎧⎨=⎩ 答：驴子驮5袋，骡子驮7袋☞年龄问题【例2】 父子的年龄差30岁，五年后父亲的年龄正好是儿子的3倍，问今年父亲和儿子各是多少岁？ 【解析】略【答案】设父亲x 岁，儿子y 岁，根据题意得3053(5)x y x y -=⎧⎨+=+⎩，解得4010x y =⎧⎨=⎩ 答：父亲40岁，儿子10岁☞数字问题【例3】 已知二位数，其十位数字的3倍与个位数字的和是21，它的各位与十位数字对调后，所得的新数比原数大9，问原数是多少？【解析】略【答案】设原数的十位数字为x ，个位数字为y ，根据题意得32110109x y y x x y +=⎧⎨+=++⎩，解得56x y =⎧⎨=⎩答：原数是56二元一次方程组的应用【巩固】有一个二位数，它的个位数字的2倍比十位数字的5倍多1，若把它的各位数字与十位数字对调后，所得的新数比原数的2倍多7，试求原数【解析】略【答案】设原数的十位数字为x ，个位数字为y ，根据题意得251102(10)7y x y x x y =+⎧⎨+=++⎩，解得38x y =⎧⎨=⎩答：原数是38☞分配问题【例4】 某校有两种类型的学生宿舍30间，大的宿舍可住8人，小的每间可住5人，该校198个住宿生恰好住满这30间宿舍，大小宿舍个多少间【解析】略【答案】设大宿舍有x 间，小宿舍有y 间，根据题意得3085198x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得1614x y =⎧⎨=⎩答：学校的大宿舍有16间，小宿舍有14间【巩固】凌凌为了减肥到康康健身中心做跑步运动，平常因跑步机人数少于人数，故须每人轮流使用，且每台跑步机每天只能使用10公里，则平均每人使用8公里；某一假日人数增加10人，且恰巧跑步机坏了4台不能使用，所以每人平均只能使用5公里，求原来有多少人？跑步机有多少台？【解析】略【答案】设原来有x 人，跑步机有y 台，根据题意得8105(10)10(4)x y x y =⎧⎨+=-⎩，解得3024x y =⎧⎨=⎩答：原来有30人，跑步机有24台【巩固】明朝程大位所著算法统宗里有一道有趣的问题：“一百馒头，一百僧（100个和尚吃100个馒头），大僧三个便无争，小僧三人分一个”。
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教师版-二元一次方程组应用题经典题实际问题与二元一次方程组题型归纳知识点一：列方程组解应用题的基本思想列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系. 一般来说，有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足：(1)方程两边表示的是同类量；(2)同类量的单位要统一；(3)方程两边的数值要相等.知识点二：列方程组解应用题中常用的基本等量关系1.行程问题：(1)追击问题：追击问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行。
这类问题比较直观，画线段,用图便于理解与分析。
其等量关系式是:两者的行程差＝开始时两者相距的路程；；；(2)相遇问题:相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行。
这类问题也比较直观，因而也画线段图帮助理解与分析。
这类问题的等量关系是：双方所走的路程之和＝总路程。
(3)航行问题：①船在静水中的速度＋水速＝船的顺水速度；②船在静水中的速度－水速＝船的逆水速度；③顺水速度－逆水速度＝2×水速。
注意：飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似。
2．工程问题：工作效率×工作时间=工作量.3．商品销售利润问题：(1)利润＝售价－成本(进价)；(2)；(3)利润＝成本（进价）×利润率；(4)标价＝成本(进价)×(1＋利润率)；(5)实际售价＝标价×打折率；注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；为负时，就是亏损。
打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售。
（例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十）4．储蓄问题：(1)基本概念①本金：顾客存入银行的钱叫做本金。
②利息：银行付给顾客的酬金叫做利息。
③本息和：本金与利息的和叫做本息和。
④期数：存入银行的时间叫做期数。
⑤利率：每个期数内的利息与本金的比叫做利率。
⑥利息税：利息的税款叫做利息税。
(2)基本关系式①利息＝本金×利率×期数②本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数)③利息税＝利息×利息税率＝本金×利率×期数×利息税率。
④税后利息＝利息×(1－利息税率) ⑤年利率＝月利率×12 ⑥。
注意：免税利息=利息5．配套问题：解这类问题的基本等量关系是：总量各部分之间的比例=每一套各部分之间的比例。
6．增长率问题：解这类问题的基本等量关系式是：原量×(1＋增长率)＝增长后的量；原量×(1－减少率)＝减少后的量.7．和差倍分问题：解这类问题的基本等量关系是：较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量.8．数字问题：解决这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示。
如当n为整数时，奇数可表示为2n+1(或2n-1)，偶数可表示为2n等，有关两位数的基本等量关系式为：两位数=十位数字10+个位数字9．浓度问题：溶液质量×浓度=溶质质量.10．几何问题：解决这类问题的基本关系式有关几何图形的性质、周长、面积等计算公式11．年龄问题：解决这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数是相等，两人的年龄差是永远不会变的12．优化方案问题：在解决问题时，常常需合理安排。
需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案。
注意：方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点,比较几种方案得出最佳方案。
知识点三：列二元一次方程组解应用题的一般步骤利用二元一次方程组探究实际问题时，一般可分为以下六个步骤：1．审题:弄清题意及题目中的数量关系；2．设未知数:可直接设元，也可间接设元；3．找出题目中的等量关系；4．列出方程组:根据题目中能表示全部含义的等量关系列出方程，并组成方程组；5．解所列的方程组，并检验解的正确性；6．写出答案.要点诠释：(1)解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；(2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称；(3)一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.(4)列方程组解应用题应注意的问题①弄清各种题型中基本量之间的关系；②审题时，注意从文字，图表中获得有关信息；③注意用方程组解应用题的过程中单位的书写，设未知数和写答案都要带单位，列方程组与解方程组时，不要带单位；④正确书写速度单位，避免与路程单位混淆；⑤在寻找等量关系时，应注意挖掘隐含的条件；⑥列方程组解应用题一定要注意检验。
类型一：列二元一次方程组解决——行程问题1．甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇. 相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机. 这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？思路点拨：画直线型示意图理解题意：(1)这里有两个未知数：①汽车的行程；②拖拉机的行程.(2)有两个等量关系：①相向而行：汽车行驶小时的路程＋拖拉机行驶小时的路程＝160千米;②同向而行：汽车行驶小时的路程＝拖拉机行驶小时的路程.解：设汽车的速度为每小时行千米，拖拉机的速度为每小时千米.根据题意，列方程组解这个方程组，得:.答：汽车行驶了165千米，拖拉机行驶了85千米.总结升华：根据题意画出示意图，再根据路程、时间和速度的关系找出等量关系，是行程问题的常用的解决策略。
【变式1】甲、乙两人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？【变式2】两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用14小时，逆流用20小时，求船在静水中的速度和水流速度。
类型二：列二元一次方程组解决——工程问题2．一家商店要进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可完成，需付两组费用共3480元，问：(1)甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元？(2)已知甲组单独做需12天完成，乙组单独做需24天完成，单独请哪组，商店所付费用最少？思路点拨：本题有两层含义，各自隐含两个等式，第一层含义：若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；第二层含义：若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可完成，需付两组费用共3480元。
设甲组单独做一天商店应付x元，乙组单独做一天商店应付y元，由第一层含义可得方程8（x+y）=3520,由第二层含义可得方程6x+12y=3480.解：(1)设甲组单独做一天商店应付x元，乙组单独做一天商店应付y元，依题意得：解得答：甲组单独做一天商店应付300元，乙组单独做一天商店应付140元。
(2)单独请甲组做，需付款300×12＝3600元，单独请乙组做，需付款24×140＝3360元，故请乙组单独做费用最少。
答：请乙组单独做费用最少。
总结升华：工作效率是单位时间里完成的工作量，同一题目中时间单位必须统一，一般地，将工作总量设为1，也可设为a，需根据题目的特点合理选用；工程问题也经常利用线段图或列表法进行分析。
【变式】小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作6周完成需工钱5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周完成，需工钱4.8万元.若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？请你说明理由.类型三：列二元一次方程组解决——商品销售利润问题3．有甲、乙两件商品，甲商品的利润率为5%,乙商品的利润率为4%,共可获利46元。
价格调整后，甲商品的利润率为4%，乙商品的利润率为5%，共可获利44元，则两件商品的进价分别是多少元？思路点拨：做此题的关键要知道：利润＝进价×利润率解：甲商品的进价为x元，乙商品的进价为y元，由题意得：，解得：答：两件商品的进价分别为600元和400元。
【变式1】（2011湖南衡阳）李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利18000元，其中甲种蔬菜每亩获利2000元，乙种蔬菜每亩获利1500元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？【变式2】某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表：A B进价（元/件）1200 1000售价（元/件）1380 1200（注：获利 = 售价—进价）求该商场购进A、B 两种商品各多少件；类型四：列二元一次方程组解决——银行储蓄问题4．小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用，现在以两种方式在银行共存了2000元钱，一种是年利率为2.25％的教育储蓄，另一种是年利率为2.25％的一年定期存款，一年后可取出2042.75元，问这两种储蓄各存了多少钱？（利息所得税＝利息金额×20%，教育储蓄没有利息所得税）思路点拨：设教育储蓄存了x元，一年定期存了y 元，我们可以根据题意可列出表格：解：设存一年教育储蓄的钱为x元，存一年定期存款的钱为y元，则列方程：，解得：答：存教育储蓄的钱为1500元，存一年定期的钱为500元.总结升华: 我们在解一些涉及到行程、收入、支出、增长率等的实际问题时，有时候不容易找出其等量关系，这时候我们可以借助图表法分析具体问题中蕴涵的数量关系，题目中的相等关系随之浮现出来.【变式1】李明以两种形式分别储蓄了2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息所得税可得利息43.92元.已知两种储蓄年利率的和为3.24%，问这两种储蓄的年利率各是百分之几？（注：公民应缴利息所得税=利息金额×20%）【变式2】小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用，在银行同时用两种方式共存了4000元钱.第一种，一年期整存整取，共反复存了3次，每次存款数都相同，这种存款银行利率为年息2.25%；第二种，三年期整存整取，这种存款银行年利率为2.70%.三年后同时取出共得利息303.75元(不计利息税)，问小敏的爸爸两种存款各存入了多少元？类型五：列二元一次方程组解决——生产中的配套问题5．某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只. 现计划用132米这种布料生产这批秋装(不考虑布料的损耗)，应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？思路点拨：本题的第一个相等关系比较容易得出：衣身、衣袖所用布料的和为132米；第二个相等关系的得出要弄清一整件衣服是怎么样配套的，即衣袖的数量等于衣身的数量的2倍(注意：别把2倍的关系写反了).解：设用米布料做衣身，用米布料做衣袖才能使衣身和衣袖恰好配套，根据题意，得：答：用60米布料做衣身，用72米布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套.总结升华：生产中的配套问题很多，如螺钉和螺母的配套、盒身与盒底的配套、桌面与桌腿的配套、衣身与衣袖的配套等. 各种配套都有数量比例，依次设未知数，用未知数可把它们之间的数量关系表示出来，从而得到方程组，使问题得以解决，确定等量关系是解题的关键.【变式1】现有190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或22个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完整盒子，问用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？【变式2】某工厂有工人60人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品，每人每天生产螺栓14个或螺母20个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套。