随机算法 - 北京大学概要
详解各种随机算法
详解各种随机算法之前将的算法都是确定的，即对于相同的输⼊总对应着相同的输出。
但实际中也常常⽤到不确定的算法，⽐如随机数⽣成算法，算法的结果是不确定的，我们称这种算法为（随机）概率算法，分为如下四类：1、数值概率算法⽤于数值问题的求解，通常是近似解2、蒙特卡洛算法Monte Carlo能得到问题的⼀个解，但不⼀定是正确解，正确的概率依赖于算法运⾏的时间，算法所⽤的时间越多，正确的概率也越⾼。
求问题的准确解；3、拉斯维加斯算法 Las Vegas不断调⽤随机算法求解，直到求得正确解或调⽤次数达到某个阈值。
所以，如果能得到解，⼀定是正确解。
4、舍伍德算法 Sherwood利⽤随机算法改造已有算法，使得算法的性能尽量与输⼊数据⽆关，即平滑算法的性能。
它总能求得问题的⼀个解，且求得的解总是正确的。
随机数概述计算机产⽣的随机数都是伪随机数，通过线性同余法得到。
⽅法：产⽣随机序列d称为种⼦；m取值越⼤越好；m，b互质，常取b为质数；案例伪随机数在实际编程中，我们使⽤rand()函数来产⽣随机数，rand()函数返回0到⼀个最⼤值之间的⼀个随机数。
#include#include#include//产⽣[0,100)的随机数void GenerateRandomNumber(){for(int i=0;i10;i++){printf('%-4d',rand()%100);//产⽣[0,m)的随机数}printf('\n');}int main(){GenerateRandomNumber();return 0;}运⾏代码，输出：41 67 34 0 69 24 78 58 62 64如果我们重复运⾏代码就会发现，每次的输出结果都是这个序列。
这就是因为rand产⽣的随机序列是伪随机序列。
解决⽅法是：使⽤当前的时间作为随机种⼦。
时间作为随机种⼦在GenerateRandomNumber()函数开头加⼊下⾯⼀条语句。
_北京大学数学科学学院考博参考书和考试要求博士
报考北京大学数学科学学院的考生请注意，在报考前要与所要报考方向的博士生导师取得联系。
招生人数：48人。
其中拟招收本科起点直博生20人，本校硕博连读生20人。
应试生复试权重为50％。
一、招生研究方向及考试科目1 有限群及其模表示论张继平 1.英语 2.抽象代数 3.拓扑学2 置换群及代数组合论方新贵、冯荣权1.英语 2.抽象代数 3.拓扑学、代数组合论任选一门3 球堆积与密码；数的几何宗传明1.英语 2.离散数学 3.实分析、复分析任选一门4 拓扑学姜伯驹、丁帆 1.英语 2.抽象代数 3.拓扑学5 低维拓扑王诗宬同上6 微分几何及其应用莫小欢 1.英语 2.微分几何 3.拓扑学7 小波及其在图像处理中的应用刘和平 1.英语 2.泛函分析 3.实分析8 调和分析与小波分析刘和平同上9 微分几何王长平 1.英语 2.微分几何 3.拓扑学10 多复分析谭小江 1.英语 2.微分几何 3.复分析11 非线性分析张恭庆、蒋美跃 1.英语 2.泛函分析 3.偏微分方程12 几何分析丁伟岳、史宇光 1.英语 2.微分几何 3.偏微分方程13 微分几何与PDE 田刚、朱小华1.英语 2.微分几何 3.偏微分方程、拓扑学任选一门14 常微分方程与动力系统李伟固、柳彬、杨家忠1.英语2.常微分方程3.偏微分方程、实分析、复分析任选一门15 动力系统与复杂性理论郑志明1.英语 2.常微分方程 3.偏微分方程、高等概率论任选一门16 复分析伍胜健 1.英语 2.泛函分析 3.复分析17 微分动力系统文兰、甘少波 1.英语 2.常微分方程 3.拓扑学18 微分遍历论孙文祥同上19 动力系统和哈密顿系统夏志宏同上20 非线性偏微分方程王保祥 1.英语 2.泛函分析 3.偏微分方程21 代数几何蔡金星同上22 偏微分方程及其应用王冠香、周蜀林 1.英语 2.泛函分析 3.偏微分方程23 密码学与信息安全理论冯荣权1.英语 2.抽象代数 3.计算机软件和理论、密码学任选一门24 数论：算术几何，p-进上同调田青春1.英语 2.抽象代数、微分几何任选一门 3.拓扑学25 调和分析及应用王保祥 1.英语 2.泛函分析 3.实分析1 多尺度模型与计算及自适应方法张平文 1.英语 2.计算方法 3.偏微分方程2 科学计算与随机PDE 鄂维南1.英语 2.随机过程、计算方法任选一门 3.偏微分方程3 偏微分方程数值解王鸣、许进超 1.英语 2.计算方法 3.偏微分方程4 矩阵计算及其应用徐树方 1.英语 2.计算方法 3.最优化方法5 微分方程数值解与计算流体力学汤华中、李若 1.英语 2.计算方法 3.偏微分方程6 最优化方法及其应用高立 1.英语 2.计算方法 3.最优化方法7 随机模型、算法及应用李铁军1.英语 2.计算方法 3.偏微分方程、高等概率论任选一门8 计算机图形学郭百宁 1.英语 2.计算方法 3.信号处理9 图像处理与图像重建周铁 1.英语 2.计算方法 3.偏微分方程1 概率论与随机分析，随机图与随机复杂网络马志明 1.英语、2.随机过程、3.高等概率论2 马氏过程与相互作用粒子系统陈大岳同上3 测度值马氏过程与非线性偏微分方程任艳霞同上4 生存分析、时间序列分析何书元 1.英语 2.高等统计学 3.高等概率论5 生物信息学与统计学刘军同上6 因果推断及生物医学统计耿直同上7 统计推断、机器学习、遥感郁彬同上8 生存分析刘力平同上9 可靠性、质量检测与控制、生物医学数据分析房祥忠同上10 统计机器学习、互联网搜索李航、沈向洋同上11 实验设计与分析、应用统计艾明要同上12 随机过程及其应用、非平衡统计物理、系统生物学蒋达权 1.英语 2.随机过程 3.高等概率论13 生物信息学邓明华 1.英语 2.高等统计学 3.高等概率论1 图像重建与图像分析张恭庆、姜明 1.英语 2.计算方法 3.偏微分方程2 李群表示论及其应用王正栋 1.英语 2.泛函分析 3.拓扑学3 数学物理刘旭峰 1.英语 2.抽象代数 3.实分析4 辛几何与可积系统刘张炬1.英语 2.微分几何 3.偏微分方程、拓扑学任选一门5 随机动力系统与光滑遍历论刘培东 1.英语 2.常微分方程 3.微分流形6 人工智能与智能软件林作铨1.英语 2.离散数学 3.计算机软件和理论7 程序理论、软件形式化方法裘宗燕同上8 随机数理方程、计算机科学的数学基础李未 1.英语 2.抽象代数 3.偏微分方程9 统计学习与智能信息处理马尽文 1.英语 2.模式识别 3.信号处理10 密码学与信息安全理论杨义先、徐茂智 1.英语 2.抽象代数 3.密码学11 信息安全工程杨义先、徐茂智1.英语 2.离散数学 3.计算机软件和理论12 符号计算与自动推理夏壁灿1.英语 2.抽象代数、离散数学任选一门 3.计算机软件和理论13 精算学与信用风险管理扬静平1.英语 2.随机过程、高等统计学任选一门 3.高等概率论二、初试参考书0 英语或法语1 抽象代数《代数学引论》聂灵沼、丁石孙著第二版高等教育出版社2000《抽象代数》II 徐明曜、赵春来，北京大学出版社，2007年第一版2 微分几何《黎曼几何初步》伍鸿熙、沈纯理、虞言林著北京大学出版社 1989《黎曼几何引论》陈维桓、李兴校著，北京大学出版社 2002年，第1章、2 、3 、4章《黎曼几何初步》伍鸿熙、沈纯理、虞言林著北京大学出版社 19893 拓扑学Munkres, J.R. Elements of Algebraic Topology, Addison-Wesley, Menlo Park, California, 1984 Guillemin, V. and Pollack, A., Differential Topology, Prentice-Hall, New Jersey, 1974Hu, Sze-Tsen, Homotopy Theory (Chapters 1-6>, AcademicPress, New York, 19594 实分析《实变函数论》周民强《实分析》陆善镇等5 复分析Ahlfors, Complex Analysis《复分析引论》李忠北京大学出版社6 泛函分析《泛函分析讲义》上册张恭庆、林源渠北京大学出版社7 常微分方程《常微分方程》丁同仁，李承治《微分方程定性理论》第6 、7章张芷芬等8 偏微分方程《数学物理方程讲义》姜礼尚等《偏微分方程》周蜀林北京大学出版社《二阶椭圆型方程与椭圆型方程组》陈亚浙、吴兰成9 高等概率论K.L.Chung, A Course in Probability Theory, Second Edition, Academic Press, New York, 1974R.T.Durrett, Probability, Theory and Examples, SecondEdition, Duxbury Press, 199610 高等统计学《高等统计学》郑忠国，北京大学出版社，199811 随机过程《随机过程论》第二版，钱敏平、龚光鲁，北京大学出版社《应用随机过程》，钱敏平、龚光鲁，北京大学出版社R.N.Bhattacharya and W.C.Waimire, Stochastic Processes with Applications, John Wiley & Sons, 199012 计算方法Michael T. Heath, (Scientific Computing: An Introductory Survey, Second Edition, McGraw-Hill Companies, Inc.> 科学计算导论，清华大学出版社影印13 模式识别《模式识别》，边肇祺，清华大学出版社， 1988 或 200014 离散数学<含数理逻辑，集合论与图论，代数结构）《离散数学教程》屈婉铃等，北京大学出版社， 2002 《数理逻辑基础上下册》胡世华，陆钟万科学出版社1983《Discrete Mathematics and Its Applications》，K. Rosen，McGraw-Hill，1998；影印版，机械工业出版社，199915 最优化方法《最优化方法》，孙文瑜，徐成贤，朱德通，高等教育出版社16 密码学D. R. Stinson, Cryptography, Theory and Practice, 2ndEdition.中译本，冯登国译，密码学原理与实践<第二版），电子工业出版社，2003O. Goldreich, Foundations of Cryptography, Basic Tools, 电子工业出版社，2003 <此书也有中译本）17 微分流形陈维桓，微分流形初步，高教出版社，第二版，2001 William M. Boothby, An introduction to differential manifolds and Riemannian geometry, Second Edition, Academic Press,Inc., 1986.18 计算机软件与理论<含数据结构，算法与程序设计，计算理论）《算法与数据结构— C 语言描述》，张乃孝，高等教育出版社，2002《Data Structure and Programming Design in C》<2e）, R. Kruse 等，Prentice Hall,1997；影印版，清华大学出版社，1998《Introduction to Algorithm C》(2e>，T. Cormen 等；影印版，高等教育出版社，2002《 C++ Programming LanguageC》, B. Stroustrup，Addison-Wesley, 1999；影印版，高教出版社，2000；中译本，机械工业出版社，2002 或者 2005《 C Programming LanguageC》 (2e>, B. W. Kernighan and D. M. Ritchie, 影印版：清华出版社，中译本：机械工业出版社《 Introduction to Automata Theory, Languages, andComputation》<2e），J. Hopcroft, R. Motwani，J. Ullman，Addison-Wesley，2001；影印版，清华大学出版社，2002《可计算性与计算复杂性导引C》，张立昂，北京大学出版社，199619 信号处理《数字信号处理》，程乾生，北京大学出版社，200320 代数组合论N. Biggs, Algebraic Graph Theory, second edition, CambridgeUniversity Press, 1993.C. Godsil, Algebraic Combinatorics, Chapman & Hall, 1993.C. Godsil and G. Royle, Algebraic Graph Theory, GTM 207,Springer, 2001.以上考试是初试，初试通过后，有关导师可以再按照自己的要求进行专业课的笔试<这时以硕士生课程的水平为准），参考书见下。
北大随机过程随机游动讲义
随机游动1．随机游动模型设有一个质点在x 轴上作随机游动，在t=0时在x 轴的原点，在t=1,2,3,…时沿x 轴正方向或反方向移动一个单位距离，沿正方向移动一个单位距离的概率为p ，沿反方向移动一个单位距离的概率为q=1-p 。
质点随机游动构成一个离散时间、离散状态的随机过程。
记质点在第n 步时的状态为L ,2,1,0,=n n η，¾ 样本空间：{……-3,-2,-1,0,1,2,3……} ¾ 初始态：00=η¾ 一步转移概率：经过一步从状态i 转移到状态j 的概率1110ij p j i p q p j i otherwise =+⎧⎪==−=−⎨⎪⎩2．随机游动模型的分析¾ 经过n 步以后的位置特征 ¾ 经过n 步返回原点的概率 ¾ 经过n 步第一次返回原点的概率 ¾ 第一次返回原点所需的平均时间 ¾ 迟早返回原点的概率 ¾ 多次返回原点的概率 ¾ 经过n 步达到+1的概率 ¾ 第1次通过最大值2.1 经过n 步以后的位置特征：概率分布、统计特征质点在第n 步时的状态为L ,2,1,0,=n n η，？ 经过时间n ，质点距离原点的距离为m 的概率P{n η=m}n η是一个随机变量，它的可能取值是：{}n n n n n ,1,,1,,0,1,,2,1,−−−−−L L若质点移动n 步后到达m n =η 的位置，则所有的移动中，正方向移动2mn +步，反方向移动2mn −步，因此： 一维概率分布：{}222m n m n n q p m n n m P −+⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛+==η， m=-n,-n+2,-n+4,……,n-2,n ；n m ≤均值：∑==nk k n 1ξη；其中k ξ为每一步的移动，{}{},n ,,q,k ξP p,ξP k k L 2111==−==={}{}{}q p 1)(*11*1E −=−=+==k k k ξP ξP ξ{}{})(n 11q p E E E nk k n k k n −==⎭⎬⎫⎩⎨⎧=∑∑==ξξη，[]∑∑∑∑∑∑=======⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅=n k n l l k n k n l l k n k nl l k nE E E E 1111112}{ξξξξξξη考虑到l k ≠，[][][]()2q p E E E l k l k −=⋅=ξξξξ；l k =，[]()11122=+=⋅−+⋅=q p q p E l k ξξ∴ [][][]n ))(1n (n 21kl 112+−−=+=∑∑∑=≠==q p E E E n k n l nk k k l k ξξξξη方差：()[]{}()(){}n n n n n E E E E E ηηηηηη⋅−+=−2222＝()()[]22n n E E ηη−＝()22n n E ημη−npqq)n(p n q)(p n n q))(p n(n 412222=−−=−−+−−=相关函数：若n<m, []⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅=⋅∑∑==ml l n k k m n E E 11ξξηη⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∑∑==n k m l l k E 11ξξ()∑∑===nk ml l k E 11ξξ()()∑∑∑==≠=+=nk k kn k mk l l l kE E 111ξξξξn q p nk m kl l +−=∑∑=≠=112)( n q p m n +−−=2))(1(若n>m, []m q p n m E m n +−−=⋅2))(1(ηη[][][]22)()(1,min q p nm q p m n E m n −⋅+−−=⋅ηη总结：概率分布：{}222m n m n n q p m n n m P −+⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛+==η ， m=-n,-n+2,-n+4,……,n-2,n ；n m ≤均值：{}()n E n p q η=− 方差：(){}24n n E E npq ηη−=⎡⎤⎣⎦相关函数：[][]2min ,4()n m E n m pq nm p q ηη⋅=⋅+⋅−2.2 经过n 步返回原点的概率根据一维分布的分析可知，第n 步返回原点的概率为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛==为偶数，为奇数n q p n n n P nn n 222,0}0{η只有经过偶数步才能返回原点，经过奇数步返回原点的概率为0。
随机数算法
随机数算法简介随机数在计算机科学和信息安全领域扮演着重要角色。
随机数算法用于生成一系列看似随机的数字，这些数字在统计上是均匀分布、不可预测的。
本文将介绍几种常见的随机数算法，包括伪随机数算法和真随机数算法，以及它们的优缺点和应用场景。
伪随机数算法伪随机数算法是一种基于确定性计算的生成随机数的方法。
通过一个初始种子(seed)，该算法按照一定规则生成一系列数字。
由于算法的确定性，相同的初始种子将产生相同的随机数序列。
线性同余法线性同余法是最常见的伪随机数生成算法之一。
它通过以下公式计算随机数：X(n+1) = (a × X(n) + c) mod m其中，X(n)表示当前的随机数，X(n+1)表示下一个随机数，a、c、m是事先确定的常数。
这个算法的优点是简单、高效，也易于实现。
然而，如果选择的参数不当，可能产生周期较短或重复的随机数序列。
梅森旋转算法梅森旋转算法是一类伪随机数算法的统称，它们使用一个巨大的状态空间来生成随机数。
最著名的梅森旋转算法是梅森旋转发生器(Mersenne Twister)。
梅森旋转算法的优点是周期非常长，产生的随机数序列质量较高。
它的缺点是占用内存较大，生成随机数的速度相对较慢。
真随机数算法真随机数算法是通过物理过程来生成随机数，例如电子噪声、放射性衰变等。
相比于伪随机数算法，真随机数算法具有更高的随机性和不可预测性。
硬件随机数生成器硬件随机数生成器是一种基于物理过程的真随机数生成器。
它利用物理设备（如热噪声源、放射性衰变）产生的不可预测的随机事件来生成随机数。
由于依赖于硬件设备，硬件随机数生成器通常安全性较高，但成本也较高。
环境噪声环境噪声是通过采集环境中的噪声信号来生成随机数。
这些噪声信号可以是来自于温度、湿度、大气压力等方面的变化。
环境噪声具有很高的随机性，可以被用作真随机数的来源。
由于环境噪声易于采集和获取，这种方法相对来说比硬件随机数生成器更容易实现。
北京大学数学专业培养方案
北京大学数学科学学院一、学院简介数学科学学院起源于1904年京师大学堂的算学门。
1912年5月1日京师大学堂改名为北京大学，理科中便含有数学门。
1913年秋北京大学数学门招收新生，标志着我国现代第一个大学数学系正式开始教学活动。
1919年秋，北大改“门”为“系”。
在确定各系的序列时，蔡元培校长指出：“大学宗旨，凡治哲学文学应用科学者，都要从纯粹科学入手；治纯粹科学者，都要从数学入手。
所以，各系秩序，列数学系为第一系”。
时至今日，数学科学学院在全校各院系中仍然位列第一。
1952年秋，为适应国家大规模经济建设的需要，全国高等学校进行了院系调整。
北京大学数学系与清华大学数学系、燕京大学数学系经调整后，组建了新的北京大学数学力学系。
1969年力学专业在陕西汉中北京大学分校成立了力学系。
1985年，概率统计专业独立成立了概率统计系。
随着事业的发展和形势的变化，在数学系与概率统计系的基础上，1995年成立了北京大学数学科学学院，是国内第一个数学科学学院。
九十年来，北京大学的数学学科经过几代人的艰苦创业、辛勤耕耘，面貌发生了巨大的变化，教学、科研和其他各项工作不断向前迈进：先后培养出了一大批优秀的数学家和计算机科学家，其中16位毕业生被选为中国科学院院士；数千名本科毕业生、六百余名硕士毕业生和百余名博士毕业生分布在国内外多种行业，很多人都是业务骨干，有的成为知名企业家，得到社会各界的高度评价。
数学科学学院现设五个系：数学系、概率统计系、科学与工程计算系、信息科学系、金融数学系。
数学学院现有教师93名，其中中国科学院院士6名，第三世界科学院院士3名，教授51名，副教授29名，博士生导师58名。
数学科学学院经国务院学位办公室批准具有按照一级学科（数学）授予博士学位的权力，不论在数学科学的哪个领域，只要研究生的学习成绩和论文达到了博士学位的要求，皆可授予博士学位。
数学科学学院的本科被教育部遴选为国家“理科基础科学研究和教学人才培养基地”。
北大随机过程课件：第 2 章 第 2 讲 马尔可夫链
P{ξ (0) = i0,ξ (1) = i1,Lξ (n) = in ,ξ (n +1) = j} = P{ξ (n +1) = j / ξ (0) = i0,ξ (1) = i1,Lξ (n) = in} P{ξ (0) = i0,ξ (1) = i1,Lξ (n) = in} = P{ξ (n +1) = j / ξ (n) = in}⋅ P{ξ (0) = i0,ξ (1) = i1,Lξ (n) = in}
(n)
=
P(m) ik
(n)
⋅Pk(jr
)
(n
+
m)
k
证明 1
按照全概率公式，
P (m+r ) ij
(n)
=
P{ξ (n + m + r) =
பைடு நூலகம்
j /ξ (n) = i}
= ∑ P{ξ (n + m + r) = j,ξ (n + m) = k /ξ (n) = i} k
= ∑ P{ξ (n + m + r) = j /ξ (n + m) = k,ξ (n) = i} k P{ξ (n + m) = k /ξ (n) = i}
1.3 切普曼-柯尔莫哥洛夫方程
切普曼-柯尔莫哥洛夫方程，是用 m 步和 r 步转移概率来表示 m+r 步转移概率。
m
步转移概率：
P (m) ij
(k
)
=
P{ξ (k
+ m)
=
j /ξ (k)
北大ACM题型
3.C[i,j]=w[i,j]+opt{C[i,k-1]+C[k,j]}.(最优二分检索树问题)
六.数学
(1)组合数学:
1.加法原理和乘法原理.
2.排列组合.
3.递推关系. (POJ3252,poj1850,poj1019,poj1942)
(2)数论.
1.素数与整除问题
(2)扫描线算法(例如求矩形的面积和周长并,常和线段树或堆一起使用). (poj1765,poj1177,poj1151,poj3277,poj2280,poj3004)
(3)多边形的内核(半平面交)(poj3130,poj3335)
(4)几何工具的综合应用.(poj1819,poj1066,poj2043,poj3227,poj2165,poj3429)
(2)记录状态的动态规划. (POJ3254,poj2411,poj1185)
(3)树型动态规划(poj2057,poj1947,poj2486,poj3140)
六.数学
(1)组合数学:
1.容斥原理.
2.抽屉原理.
3.置换群与Polya定理(poj1286,poj2409,poj3270,poj1026).
五.动态规划
(1)需要用数据结构优化的动态规划. (poj2754,poj3378,poj3017)
(2)四边形不等式理论.
(3)较难的状态DP(poj3133)
六.数学
(1)组合数学.
1.MoBius反演(poj2888,poj2154)
2.偏序关系理论.
(2)博奕论.
----------------------------------------------------------------------------------------------- -----------------------------------补充 Dp状态设计与方程总结
北京大学数学科学学院考博参考书和考试要求博士
博士研究生招生信息报考北京大学数学科学学院的考生请注意，在报考前要与所要报考方向的博士生导师取得联系。
人。
应试生20人。
其中拟招收本科起点直博生20人，本校硕博连读生招生人数：48 ％。
复试权重为50 招生研究方向及考试科目一、拓扑学 1.英语2.抽象代数3.有限群及其模表示论张继平1拓扑学、代数3.1.英语2.抽象代数方新贵、冯荣权置换群及代数组合论 2组合论任选一门实分析、复分3.1.英语2.离散数学宗传明球堆积与密码；数的几何3 析任选一门1.英语2.抽象代数3.拓扑学拓扑学姜伯驹、丁帆4王诗宬低维拓扑同上5莫小欢 2.微分几何3.拓扑学微分几何及其应用1.英语6小波及其在图像处理中的应用泛函分析1.英语2. 3.实分析刘和平7刘和平调和分析与小波分析同上8王长平 3.拓扑学微分几何2.1.英语微分几何9谭小江 3.复分析多复分析微分几何英语1. 2.101.英语张恭庆、蒋美跃偏微分方程非线性分析3.2.泛函分析11丁伟岳、史宇光几何分析偏微分方程微分几何英语1. 2. 3.12偏微分方程、2.英语微分几何3.1. PDE微分几何与田刚、朱小华13拓扑学任选一门偏微分方2.1.英语常微分方程3.李伟固、柳彬、杨常微分方程与动力系统14 家忠程、实分析、复分析任选一门偏微分方2.1.英语3.常微分方程动力系统与复杂性理论郑志明15 程、高等概率论任选一门1.英语复分析3.泛函分析2.复分析伍胜健161 / 83.拓扑学英语2.常微分方程1.微分动力系统文兰、甘少波17同上孙文祥微分遍历论18夏志宏动力系统和哈密顿系统同上193. 非线性偏微分方程王保祥偏微分方程英语2.泛函分析1.20代数几何同上蔡金星213.偏微分方程英语偏微分方程及其应用 2.泛函分析1.王冠香、周蜀林22计算机软件和3.英语2.抽象代数1. 冯荣权密码学与信息安全理论23理论、密码学任选一门抽象代数、微分几何任选2.1.英语田青春进上同调数论：算术几何，p-24 一门3.拓扑学王保祥调和分析及应用1.英语2.泛函分析3.实分析253.偏微分方程英语2.计算方法1.张平文多尺度模型与计算及自适应方法 1随机过程、计算方法任选英语2.1. 科学计算与随机PDE 鄂维南2 偏微分方程一门3. 偏微分方程2.计算方法3.1.偏微分方程数值解王鸣、许进超英语3最优化方法2.计算方法3. 矩阵计算及其应用1.英语徐树方 4偏微分方程计算方法3.微分方程数值解与计算流体力学 1.英语汤华中、李若2.5最优化方法最优化方法及其应用计算方法3.1.英语高立 2.6偏微分方程、计算方法3.1.英语2. 随机模型、算法及应用李铁军7 高等概率论任选一门 3.信号处理郭百宁英语计算机图形学2.计算方法1.83. 图像处理与图像重建偏微分方程英语1. 2. 周铁计算方法9概率论与随机分析，随机图与随机复1 高等概率论2.随机过程、3.英语、马志明 1. 杂网络同上马氏过程与相互作用粒子系统陈大岳 2测度值马氏过程与非线性偏微分方程任艳霞同上33.何书元生存分析、时间序列分析 2.1.英语高等统计学高等概率论42 / 8同上军刘生物信息学与统计学 5同上耿直因果推断及生物医学统计6郁彬同上统计推断、机器学习、遥感7同上刘力平生存分析8可靠性、质量检测与控制、生物医学9 同上房祥忠数据分析同上李航、沈向洋统计机器学习、互联网搜索10 同上实验设计与分析、应用统计艾明要11随机过程及其应用、非平衡统计物12 高等概率论随机过程3.蒋达权1.英语2. 理、系统生物学高等概率论生物信息学1.英语2.高等统计学3.邓明华133.偏微分方程英语2.计算方法1.张恭庆、姜明图像重建与图像分析 1拓扑学2.泛函分析3.1.英语李群表示论及其应用王正栋 2实分析2.抽象代数3.1.数学物理刘旭峰英语3偏微分方程、3. 2.微分几何英语1. 刘张炬辛几何与可积系统4 拓扑学任选一门微分流形随机动力系统与光滑遍历论常微分方程刘培东 3.1.英语2.5计算机软件和离散数学3. 2.1.英语林作铨人工智能与智能软件6 理论程序理论、软件形式化方法同上裘宗燕7随机数理方程、计算机科学的数学基8 偏微分方程3.英语2.抽象代数李未 1. 础信号处理统计学习与智能信息处理模式识别3.英语马尽文 1. 2.93.密码学杨义先、徐茂智 2.1.密码学与信息安全理论英语抽象代数10计算机软件和3.离散数学1.英语2. 杨义先、徐茂智信息安全工程11 理论抽象代数、离散数学任选1.英语2. 符号计算与自动推理夏壁灿12 3.一门计算机软件和理论3 / 8随机过程、高等统计学任英语2.1. 扬静平精算学与信用风险管理13 3.高等概率论选一门初试参考书二、英语或法语0高等教育出版社《代数学引论》聂灵沼、丁石孙著第二版2000抽象代数1年徐明曜、赵春来，北京大学出版社，2007《抽象代数》II第一版北京大学出版《黎曼几何初步》伍鸿熙、沈纯理、虞言林著1989社2002陈维桓、李兴校著，北京大学出版社《黎曼几何引论》微分几何2章3 、4年，第1章、2 、北京大学出版《黎曼几何初步》伍鸿熙、沈纯理、虞言林著1989社Munkres, J.R. Elements of Algebraic Topology, Addison-Wesley, Menlo Park, California, 1984Guillemin, V. and Pollack, A., Differential Topology, Prentice- 拓扑学3Hall, New Jersey, 1974Hu, Sze-Tsen, Homotopy Theory (Chapters 1-6>, AcademicPress, New York, 1959《实变函数论》周民强实分析4陆善镇等《实分析》Ahlfors, Complex Analysis 复分析5 北京大学出版社《复分析引论》李忠泛函分析《泛函分析讲义》上册张恭庆、林源渠北京大学出版社6《常微分方程》丁同仁，李承治常微分方程7《微分方程定性理论》第章张芷芬等76 、《数学物理方程讲义》姜礼尚等偏微分方程8北京大学出版社《偏微分方程》周蜀林《二阶椭圆型方程与椭圆型方程组》陈亚浙、吴兰成K.L.Chung, A Course in Probability Theory, Second Edition, Academic Press, New York, 1974高等概率论9R.T.Durrett, Probability, Theory and Examples, SecondEdition, Duxbury Press, 19961998高等统计学《高等统计学》郑忠国，北京大学出版社，104 / 8北京大学出版社《随机过程论》第二版，钱敏平、龚光鲁，北京大学出版社钱敏平、龚光鲁，《应用随机过程》，随机过程11R.N.Bhattacharya and W.C.Waimire, Stochastic Processeswith Applications, John Wiley & Sons, 1990Michael T. Heath, (Scientific Computing: An Introductory计算方法Survey, Second Edition, McGraw-Hill Companies, Inc.>12科学计算导论，清华大学出版社影印20001988 或模式识别《模式识别》，边肇祺，清华大学出版社，13<含数理逻辑，集合论与图论，代数结构）2002《离散数学教程》屈婉铃等，北京大学出版社，科学出版社《数理逻辑基础上下册》胡世华，陆钟万离散数学14 1983，》，K. Rosen《Discrete Mathematics and Its Applications1999；影印版，机械工业出版社，，McGraw-Hill1998 《最优化方法》，孙文瑜，徐成贤，朱德通，高等教育出版社最优化方法15D. R. Stinson, Cryptography, Theory and Practice, 2ndEdition.第二版），电子工业<中译本，冯登国译，密码学原理与实践密码学162003出版社，电子O. Goldreich, Foundations of Cryptography, Basic Tools,此书也有中译本）工业出版社，2003 <2001陈维桓，微分流形初步，高教出版社，第二版，William M. Boothby, An introduction to differential manifolds 微分流形17and Riemannian geometry, Second Edition, Academic Press,Inc., 1986.<含数据结构，算法与程序设计，计算理论）语言描述》，张乃孝，高等教育出版—C 《算法与数据结构2002社，, R. <2e）《Data Structure and Programming Design in C》；影印版，清华大学出版社，Prentice Hall,1997Kruse 等，1998等；影印T. Cormen (2e>，》《Introduction to Algorithm C 计算机软件与理论182002版，高等教育出版社，，》, B. Stroustrup《C++ Programming LanguageC译教出版社，2000；中；影印版，高Addison-Wesley, 199920052002 本，机械工业出版社，或者(2e>, B. W. Kernighan and 》C Programming LanguageC《清华出版社，中译本：机械工业出版影印版：D. M. Ritchie,社Introduction to Automata Theory, Languages, and《5 / 8，J. Ullman<2e），J. Hopcroft, R. Motwani，Computation》2002 社，，2001；影印版，清华大学出版Addison-Wesley》，张立昂，北京大学出版C《可计算性与计算复杂性导引1996社，2003 《数字信号处理》，程乾生，北京大学出版社，信号处理19N. Biggs, Algebraic Graph Theory, second edition, CambridgeUniversity Press, 1993.代数组合论C. Godsil, Algebraic Combinatorics, Chapman & Hall, 1993. 20C. Godsil and G. Royle, Algebraic Graph Theory, GTM 207,Springer, 2001.这时以上考试是初试，初试通过后，有关导师可以再按照自己的要求进行专业课的笔试< 以硕士生课程的水平为准），参考书见下。
北京大学OJ题目分类
ACM 题型算法分类题目均来自：/JudgeOnline/主流算法：1.搜索//回溯2.DP（动态规划）3.贪心4.图论//Dijkstra、最小生成树、网络流5.数论//解模线性方程6.计算几何//凸壳、同等安置矩形的并的面积与周长7.组合数学//Polya定理8.模拟9.数据结构//并查集、堆10.博弈论1、排序1423, 1694, 1723, 1727, 1763, 1788, 1828, 1838, 1840, 2201, 2376, 2377, 2380,1318, 1877, 1928, 1971, 1974, 1990, 2001, 2002, 2092, 2379,1002（需要字符处理，排序用快排即可） 1007（稳定的排序） 2159（题意较难懂） 2231 2371（简单排序） 2388（顺序统计算法） 2418（二叉排序树）2、搜索、回溯、遍历1022 1111d 1118 1129 1190 1562 1564 1573 1655 2184 2225 2243 2312 2362 2378 2386 1010,1011,1018,1020,1054,1062,1256,1321,1363,1501，1650,1659,1664,1753,2078,2083,2303,2310,2329简单：1128, 1166, 1176, 1231, 1256, 1270, 1321, 1543, 1606, 1664, 1731, 1742,1745, 1847, 1915, 1950, 2038, 2157, 2182, 2183, 2381, 2386, 2426,不易：1024, 1054, 1117, 1167, 1708, 1746, 1775, 1878, 1903, 1966, 2046, 2197,2349,推荐：1011, 1190, 1191, 1416, 1579, 1632, 1639, 1659, 1680, 1683, 1691, 1709,1714, 1753, 1771, 1826, 1855, 1856, 1890, 1924, 1935, 1948, 1979, 1980, 2170,2288, 2331, 2339, 2340,1979（和迷宫类似） 1980（对剪枝要求较高）3、历法1008 2080 （这种题要小心）4、枚举1012，1046， 1387， 1411， 2245， 2326， 2363， 2381，1054（剪枝要求较高），1650 （小数的精度问题）5、数据结构的典型算法容易：1182, 1656, 2021, 2023, 2051, 2153, 2227, 2236, 2247, 2352, 2395, 不易：1145, 1177, 1195, 1227, 1661, 1834,推荐：1330, 1338, 1451, 1470, 1634, 1689, 1693, 1703, 1724, 1988, 2004, 2010,2119, 2274, 1125(弗洛伊德算法) ，2421（图的最小生成树）6、动态规划1037 A decorative fence、1050 To the Max、1088 滑雪、1125 Stockbroker Grapevine、1141 Brackets Sequence、1159 Palindrome、1160 Post Office、1163 The Triangle、1458 Common Subsequence、1579 Function Run Fun、1887 Testing the CATCHER、1953 World Cup Noise、2386 Lake Counting7、贪心1042, 1065, 1230, 1323, 1477, 1716, 1784,1328 1755（或用单纯形方法），2054，1017， 1328，1862， 1922 ，2054， 2209， 2313， 2325， 2370。
随机化算法——精选推荐
随机化算法随机化算法特征：对于所求问题的同⼀实例⽤同⼀随机化算法求解两次可能得到完全不同的结果，这两次求解的时间甚⾄得到的结果可能会有相当⼤的差别。
分类：1.数值随机化算法这类算法常⽤于数值问题的求解，所得到的解往往都是近似解，⽽且近似解的精度随计算时间的增加不断提⾼。
使⽤该算法的理由是：在许多情况下，待求解的问题在原理上可能就不存在精确解，或者说精确解存在但⽆法在可⾏时间内求得，因此⽤数值随机化算法可以得到相当满意的解。
⽰例：计算圆周率Π的值将n个点随机投向⼀个正⽅形，设落⼈此正⽅形内切圆（半径为r）中的点的数⽬为k。
假设所投⼊的点落⼊正⽅形的任⼀点的概率相等，则所投⼊的点落⼊圆内的概率为Π*r2/4*r2=Π/4。
当n→∞时，k/n→Π/4，从⽽Π约等于4*k/n。
#include <bits/stdc++.h>using namespace std;typedef long long ll;const int maxn = 1e2 + 10;const int INF = 0x3f3f3f3f;#define m 65536L#define b 1194211693L#define c 12345Lclass RandomNumber{private:unsigned long d; //d为当前种⼦public:RandomNumber(unsigned long s=0); //默认值0表⽰由系统⾃动给种⼦unsigned short random(unsigned long n); //产⽣0：n-1之间的随机整数double fRandom(void); //产⽣[0,1)之间的随机实数};//函数RandomNumber⽤来产⽣随机数种⼦RandomNumber::RandomNumber(unsigned long s){if(s==0) d=time(0); //由系统提供随机种⼦else d=s; //由⽤户提供随机种⼦}unsigned short RandomNumber::random(unsigned long n){d=b*d+c; //⽤线性同余式计算新的种⼦dreturn (unsigned short)((d>>16)%n); //把d的⾼16位映射到0~（n-1）范围内}double RandomNumber::fRandom(void){return random(m)/double(m);}double Darts(int n){static RandomNumber darts;int k=0,i;double x,y;for(int i=1;i<=n;++i){x=darts.fRandom();y=darts.fRandom();if((x*x+y*y)<=1)k++;}return4.0*k/double(n);}int main(){srand(time(NULL));//指定运⾏次数，次数越⾼精度越⾼printf("%.8lf\n",Darts(10000));return0;}2.蒙特卡罗算法家特卡罗算法是计算数学中的⼀种计算⽅法,它的基本特点是以概率与统计学中的理论和⽅法为基础，以是否适合于在计算机上使⽤为重要标志。
北京大学：算法凸显选课资源分配合理性学
选课 系统是 在校学生 日常管理 的重要组成 的角度来说 ，有些学生 的专业基 础适 合选 象 ， 有些学校采用基于 Ｂ 神经 网络 的智 能 Ｐ
部分 。 据不完全统计 ， 国内外高校 的学生选 择其所讲授的课程 ， 有些学 生完全不适合 ， 算法。该算法首先用 Ｂ 神经 网络对所有课 Ｐ
一
在选课管理 中，国内高校往往 面临一 的指导作用亟待解决 。
门课程 的选课 人数超出限制 ，该 系统 就
综上所述 ，本文力 图通过分析和研究 会给超 限者提供 相似度很高的另外一 门课
明显不足 ，学校不可能满足全部学生 的选 影 响学生 选课 意愿值的各个 因素 ，提 出更 程并推荐其 改选 后者 ，从而达到分散某 门
进行优化 和改 良。这类算法解决 了课程资 实际选课 中出现很多问题 ：
在课程方面作 了改进 ，为学生提供更 多的 有些学校在先到先得算法 中引入年级
限制 。先 到先得 算法是指在选课资 源有 限
源不足 的问题 ，并保证选课 的公平性。
问题 一 ：在开始选课的前后数小时 内 选择机会 ，部分解决问题而 已。
北京大学在 ２０ — ０４ ０ ２ ２ ０ 年期 同样一 门课程 ， 只能有 一个人选课成功 ， 按 不得 不守 在计 算机旁边抢课 ，对此学生们 定上课 的资格。
５ 国 育 络２２ ８中 教 网重要 因 网络拥挤 不堪 ，服务器经常会 因为承受不 素—— 人的因素 。 从学 生的角度来说 ， 同 了带宽 的压力而频频告急甚至死机 ； 不
的学生选课 意愿 不同。 例如 ， 两个学生选 择
问题二 ：很多学生 因为选修热 门课而 的情况 下按 照学生选择课程 的先后顺 序决
随机算法最简单的例子
随机算法最简单的例子-概述说明以及解释1.引言1.1 概述在编写长文《随机算法最简单的例子》之前，我们首先来谈谈文章的概述。
随机算法（Random Algorithm）是计算机科学中的一个重要概念，其核心思想是通过随机选择的方式进行计算或决策。
随机算法广泛应用于各个领域，如密码学、仿真、优化问题等。
本文旨在介绍随机算法的基本概念、原理，以及其在实际问题中的广泛应用。
首先，我们将详细定义随机算法，并解释其基本原理。
紧接着，我们将探讨随机算法在各个领域的应用，例如抛硬币问题、随机数生成器、随机洗牌算法和随机选择算法等。
通过这些具体案例的分析，我们将进一步说明随机算法的实际应用价值以及其优缺点。
最后，我们将总结随机算法的重要性、发展方向以及应用前景。
通过阅读本文，读者将能够全面了解随机算法的基本概念和原理，并且了解其在各个领域中的应用。
我们希望本文能够为读者提供一个简单明了的随机算法的入门指南，并且激发对于随机算法更深入探索的兴趣。
在随机算法的广阔领域中，随机选择了本文的出现，希望读者在阅读过程中也能够感受到这种随机性带来的惊喜和创造力。
让我们开始探索随机算法的奇妙世界吧！1.2 文章结构文章结构部分的内容：本文主要分为四个部分：引言、正文、案例分析和结论。
下面将对每个部分进行简要介绍。
在引言部分，首先对随机算法进行概述，指出随机算法是指一种具有随机性质的算法。
接着介绍文章的结构，即分为引言、正文、案例分析和结论四个部分。
然后说明本文的目的，即探索随机算法的最简单的例子，并指出通过分析这些例子，可以更好地理解随机算法的定义、原理、应用以及它们的优缺点。
最后进行总结，概括了本文的主要内容和观点。
在正文部分，我们将详细介绍随机算法的定义、原理、应用以及它们的优缺点。
首先，阐述随机算法的定义，即一种具有随机性质的算法，可以生成一系列不确定的结果。
其次，解释随机算法的原理，包括随机数生成器的原理、随机洗牌算法的原理和随机选择算法的原理。
《随机算法介绍》课件
随机算法实现原理
通过随机性和概率性来解决问题，使用随机数 进行决策和选择。
随机算法的分析
1 时间复杂度
随机算法的运行时间可能取决于随机数生成的效率。
2 空间复杂度
随机算法可能需要额外的存储空间来保存随机数序列。
3 准确性分析
随机算法的解可能会有一定的误差，需要进行准确性分析。
随机算法的发展趋势
基于GPU的随法介绍》PPT课件。在这个课件中，我们将介绍随机算法 的定义、分类、应用、优点和不足，以及实现、分析和发展趋势。让我们一 起探索随机算法在计算机科学中的意义和未来展望。
什么是随机算法？
定义随机算法
随机算法是一种使用随机数或概率来解决问题的计算方法。
与传统算法的区别
统计学
随机抽样和模拟是统计学中 常用的方法。
生物学
随机算法在基因组学和进化 论中起着重要作用。
随机算法的优点和不足
1 优点
2 不足
随机算法可以在复杂问题中找到近似解， 并能够快速处理大规模数据。
随机算法可能会产生不确定性和不可预测 性，在某些情况下无法提供确定解。
随机算法的实现
随机数生成方法
使用伪随机数发生器生成随机数序列。
随机算法在一定的概率范围内给出近似解，而传统算法则给出确定性解。
随机算法的分类
Monto Carlo算法
通过生成随机样本来估计问题的解。
Randomized算法
使用随机性进行问题求解的通用方法。
Las Vegas算法
随机地选择解决方案并检验其正确性。
随机算法的应用
计算机科学
随机算法在图形处理、优化 和密码学等领域有广泛应用。
借助图形处理器的并行计算能力加速随机算法 的运行。
第7章_随机化算法
第7章_随机化算法随机化算法是一类基于随机数生成的算法，它的主要思想是通过引入随机性来改善算法的效率、正确性或可伸缩性。
在计算机科学中，随机化算法被广泛应用于各个领域，如优化问题、图论、排序等。
本文将介绍随机化算法的概念、应用以及一些常见的随机化算法。
一、概念随机化算法是一种利用随机数生成器的算法，通过引入随机性来改善算法的性能表现。
随机化算法的核心思想是使用随机数来决定算法的一些操作，使算法具有更好的平均性能或概率分布。
随机化算法有两个主要的特点：1.随机性：随机化算法依赖于随机数生成器产生的随机数，使用这些随机数来决定算法的一些操作。
2.概率分布：随机化算法通常具有其中一种概率分布特性，即算法的输出结果在一定概率上是正确的。
二、应用随机化算法在实际应用中有广泛的用途，主要包括以下几个方面：1.优化问题：对于一些优化问题，随机化算法可以提供一个近似解。
常见的例子有旅行商问题、背包问题等。
2.图论：在图论中，随机化算法可以用于生成随机图、图的遍历等问题。
3.排序：随机化算法可以用于改进排序算法的时间复杂度。
例如，快速排序算法就是一种经典的随机化排序算法。
4.模拟：在模拟领域，随机化算法可以用于生成随机事件，如蒙特卡洛模拟法。
1.快速排序算法：快速排序是一种基于分治思想的排序算法，它通过随机地选择一个元素作为基准，将数组分成左右两部分，然后对左右两部分分别进行快速排序。
2.蒙特卡洛模拟法：蒙特卡洛模拟法是一种通过随机采样来估计数学问题的方法。
它通过生成大量随机数，并利用这些随机数的统计性质来得出数学问题的近似解。
3.随机化算法在图论中的应用：在图论中，随机化算法可以用于生成随机图、图的遍历等问题。
例如，随机化算法可以用于生成连通图，即图中任意两个顶点之间存在至少一条路径。
4. Metropolis-Hastings算法：Metropolis-Hastings算法是一种用于模拟复杂概率分布的随机化算法。
随机森林算法案例
随机森林算法案例随机森林算法是一种用于分类和回归的集成学习方法。
它通过构建多个决策树，并将它们的结果进行组合来提高整体预测准确率。
随机森林算法采用了随机特征选择和随机样本选择的策略，以增加模型的多样性，从而降低过拟合的风险。
在本文中，我们将介绍随机森林算法的原理和应用，并通过一个实际案例来展示其效果。
1.随机森林算法原理随机森林算法是由Leo Breiman在2001年提出的，它是一种集成学习方法，通过结合多个弱学习算法来构建一个强学习算法。
随机森林算法的基本原理是通过构建多个决策树，并将它们的结果进行组合来进行分类或回归。
在构建决策树时，随机森林算法采用了以下两种随机性策略：1）随机特征选择：在每个节点分裂时，随机森林算法从所有特征中随机选择一定数量的特征，然后从中选择最佳的特征进行分裂，这可以增加模型的多样性，从而提高整体预测准确率。
2）随机样本选择：在构建每棵决策树时，随机森林算法通过随机选择训练样本来构建不同的决策树，这样可以使每棵树都有不同的训练数据，从而减少过拟合的风险。
通过这两种随机性策略，随机森林算法可以有效地提高模型的泛化能力，从而得到更好的预测结果。
2.随机森林算法应用随机森林算法在分类和回归问题上都有很好的应用效果，尤其是在处理大规模数据集和高维特征空间时效果显著。
随机森林算法的优势在于它可以处理大量的特征和样本数据，同时对参数的选择相对较少，模型的训练和预测都比较快速。
随机森林算法在多个领域都得到了广泛应用，如金融、医疗、生物科学等。
在金融领域，随机森林算法可以用来进行风险评估、信用评分、股价预测等。
在医疗领域，随机森林算法可以用来进行疾病诊断、药物治疗效果评估等。
在生物科学领域，随机森林算法可以用来分析基因数据，预测蛋白质结构等。
3.随机森林算法案例接下来，我们将通过一个实际案例来展示随机森林算法的应用效果。
假设我们有一个数据集，包括了一些关于鸢尾花的特征数据，如花萼长度、花萼宽度、花瓣长度、花瓣宽度等。
讨论随机算法和优化方法
讨论随机算法和优化方法随机算法和优化方法是数学、计算机科学以及应用科学中非常重要的概念，它们有着广泛的应用，尤其是在今天数据驱动的时代中。
随机算法和优化方法在工程、经济、金融等领域都有着广泛的应用。
此篇文章将会详细论述这两个概念，同时讨论它们的适用范围和比较。
一、随机算法随机算法是一种根据随机性质进行计算的算法。
其核心思想在于通过随机抽样来解决原问题。
随机算法通常用于解决NP问题，其运行时间一般为多项式时间。
1.1 随机算法的应用随机算法广泛应用于多个领域，如商业、金融、天文学、物理学、计算机科学等。
在商业和金融领域中，随机算法主要用于模拟金融市场的波动、风险评估等方面；在天文学和物理学领域，随机算法主要用于星系、等离子体等的模拟和计算；在计算机科学领域中，随机算法常常用于NP问题的解决。
1.2 随机算法的优点与传统算法相比，随机算法具有以下几个优点：（1）简单易用：随机算法不需要求解具体的数学表达式，只需要进行随机抽样即可，因此其应用范围广泛。
（2）效率高：随机算法可以在多项式时间内解决NP问题，相比于其他算法更加高效。
（3）容错性好：随机算法可以通过多次运行来避免出现极端情况，因此具有较好的容错性。
1.3 随机算法的局限性尽管随机算法有着广泛的应用和诸多优点，但是它也存在一定的局限性：（1）难以精确计算：由于随机算法依赖于随机抽样，因此其结果具有随机性，难以精确计算。
（2）误差较大：随机算法的结果受到随机性的影响，因此其误差可能较大，需要多次运行才能得到较为准确的结果。
（3）不适用于线性问题：随机算法适用于NP问题，在线性问题上其表现可能不如其他算法，需要选取适当的算法。
二、优化方法优化方法是一种通过系统的方法来优化某个参数的方法。
其核心思想在于将一个参数最优化，以达到更优的效果。
优化方法通常采用数学模型和算法来求解最优化问题。
2.1 优化方法的应用优化方法广泛应用于多个领域，如工业、交通、环境、能源等。
聚类问题中的算法
聚类问题中的算法李晓明 北京大学计算机系本专栏上一期介绍的是分类问题中的算法，这一期讨论聚类。
“分类”指的是要将一个未知类别的对象归到某个已知类别中。
“聚类”则是要将若干对象划分成几组，称每一组为一个类别。
在实际应用中，分类的类别是事先给定的，往往对应某种现实含义，如网购者可能分为“随性”和“理性”两个类别，人们大致也知道是什么意思。
聚类则是本无类，只是根据对象之间的某种相似性（也称邻近程度或距离），将它们分组。
例如，有两个任务要完成，于是需要将一群人分成两组，分别去完成一个任务，为了有较高的效率，希望组内成员之间关系较好，配合默契。
聚类形成的类不一定有明显的外在特征，往往只是根据事先给定的目标类数（如有三个任务，就要分成三组），将对象集合进行合理划分。
所谓“合理”，在这里的原则就是尽量让同组的成员之间比较相似（距离较近），组间的成员之间距离较远（不相似）。
一旦分类完成后，就可能会按照不同类的某些特征给它们分别命名。
与分类一样，为了聚类，对象之间的相似性（或距离）含义和定义是基础。
在有些应用中，对象两两之间的相似性是直接给出的；在更多的应用中，相似性则要根据对象的特征属性按照一定的规则进行计算。
下面我们讨论两个算法。
● 自底向上的分层聚类法想象我们要搞城市群建设，需要规划将一些城市分成几个群，群内统筹协调发展。
一共要分成几个群？哪些城市该放在同一个群里？这是很现实的问题。
当然，做出这样的决定取决于许多因素，但其中一个重要因素就是城市间的空间距离。
很难想象同一个群内的城市之间相距很远，而相距很近的两个城市却分到了不同群。
表1是六座城市之间的距离矩阵（在搜索引擎中查出来的数据，不一定很准，这里只是作为例子），如果我们想分成两个群，该如何分？分成三个呢？这就是聚类问题。
我们注意到，在这种背景下，两个对象（城市）之间的相似性或邻近程度自然地以距离的方式给了出来。
1967年，Stephen Johnson发表了一个针对这种场景的算法，称为“分层聚类法”（h ierarch ical clustering）。
随机算法
蒙特卡罗(Monte Carlo)算法
问题 n个元素的数组a[ ]中有一元素x,若有一半以上元素与x 相同,称x是的主元素. 例:序列1,3,2,3,3,4,3中,元素3是主元素.
错误概率估算
如果存在主元素,以大于 1 / 2 的概率返回 TRUE ,小于 1 / 2 的概率返回 FALSE . 连续运行 k 次,返回 FALSE 的概率减少为 2 k ,算法错误的概率为 2 k . 希望错误概率小于 ε ,则令:
求整数因子的另一个算法是 Pollard 算法,它是一个拉斯维加斯算法.这个算法选取
0 ~ n 1 之间的 = ( xi21 1 ) mod n
循环迭代, 产生序列 x1 , x 2 , . i = 2 k , k = 0 , 1 , , 2 k < j ≤ 2 k +1 的 i 和 j , 对 及 求取 x i x j 与 n 的最大公因子 d .如果 d 是 n 的非平凡因子,算法结束.这个算法利用 1.1.1 节所叙述 的求取两个整数的最大公因子的欧几里德算法,来求 x i x j 与 n 的最大公因子 d
拉斯维加斯算法
假设是一个大于1的整数n,如果n是一个合数,必存在的 一个非平凡因子x,1<x<n,使得x被n整除.因此,给定一 个合数n,求n的非平凡因子的问题,称为整数n的因子分 割问题. int factor(int n) { int i,m; m = sqrt((double)n); for (i=2;i<m;i++) if (n%i==0) return i; return 1; }
2 k = ε 2k = 1/ ε k = log ( 1 / ε )
素数测试问题
如果 n 是素数,则对所有小于 n 的整数 a ,都有 a n1 ≡ 1( mod n ) . 必要条件,而非充分条件,其逆非真 定理表明:若存在 a ,1 < a < n ,使得 a n1 ( mod n ) ≠ 1 ,则 n 肯定不是素数. 2,计算 a m ( mod n ) 的算法 exp_mod
随机数算法原理
随机数算法原理
随机数算法是一种用于生成随机数序列的算法。
它的原理基于数学函数和随机化技术，以确保生成的序列是在一定范围内具有随机性的。
其中一种常用的随机数算法是线性同余法。
其原理是基于一个线性递推关系，通过对前一个随机数乘以一个常数，再加上另一个常数，最后对一个大整数取模，得到下一个随机数。
具体的公式为：
Xn+1 = (a * Xn + c) mod m
其中，Xn代表当前的随机数，Xn+1代表下一个随机数，a和c是常数，m是模数。
通过不同的常数选择，可以得到不同范围内的随机数。
同时，为了提高随机性，常数a和c需要是比较大的素数，模数m
需要是一个较大的整数。
此外，初始种子X0也需要是一个随机的整数，以确保生成的序列具有更好的随机性。
除了线性同余法，还有其他一些常见的随机数算法，例如乘积法、平方取中法、梅森旋转算法等。
每种算法都有其特定的原理和适用范围，选择适合的算法取决于具体的应用需求和随机性要求。
总之，随机数算法通过使用数学函数和随机化技术，生成具有随机性的数列。
选择合适的算法和参数可以得到不同范围内、
不同随机性要求的随机数序列。
这些随机数在计算机科学、密码学、模拟实验等领域有着广泛的应用。
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密码学相关
BBS，Micali-Schnorr，Rabin，…
。。。
线性同余法
随机数的检验
“伪随机数”的检验
拟合优度检验（统计） χ2 检验，KS检验 经验检验 检验集：Knuth，Diehard，NIST 谱检验 。。。
均情况下的时间复杂度有较大差异. 引入随机性来消除或减少问题好坏实例之间的这 种差别. 精髓不是避免算法的最坏情况发生，而是设法消 除这种最坏情形行为与特定实例之间的关联性.
Sherwood算法
举例：快速排序
平均复杂度：O(nlogn)
一趟排序前后 最坏复杂度：O(n^2) A = (n,n-1,n-2,…,1)，每次都取A1为中位数。
投点法
简单应用
洗牌
多种洗牌算法 常见的一种算法： 发哥与华仔 保证每个位置出现任何一张牌的概率均相等
1 n length[A]
2
3
for i 1 to n
do swap A[i] A[Random(1,n)]
简单应用
s-t连通性算法
无向图G=(V,E), s,t为G上两点。令n=|V|，m=|E|。希
望确定是否存在一条连接s和t的路。 随机算法：从s开始随机游动，如果在4n3步之内到达t， 则返回存在一条路；否则，返回不存在路。 算法以1/2的概率返回正确结果。
S到T有路吗？
简单应用
最小割随机算法
无向图G =(V，E) 中找最小边割集。 算法：每次随机选一条边，合并该边对应的顶点。
多次重复可以极大概率得到正确解。
素数测试
Millar-Rabin算法程序框架:
Miller-Rabin算法，摘自刘汝佳《算法艺术与信息学竞赛》
Monte Carlo算法
其他应用
测试串相等(通信纠错) 模式匹配 随机抽样 ……
量子通信示意
几类算法的比较
几种算法的比较
概要
研究领域
添加随机性后：“随机选择中位数” 在取中位数之前，随机选择一个数Ai，与A1交换。 最坏复杂度: 期望为O(nlogn)，达到最坏的概率
非常小，可以忽略。
Las Vegas算法
算法特点
对于找不到有效算法的某些问题，可使用Las
Vegas算法来求解，可能会很快找到问题的一个 解。 一旦得到问题的一个解，一定是正确的。但是， 这种算法所作随机性决策可能导致找不到解。 可通过多次调用同一Las Vegas算法来增加得到 问题解的概率。
随机数理论 随机算法概述 简单应用 POJ例题分析
简单应用
求π值
随机投点法 在正方形中随机投点，统计落入圆中的概率 设n为落入圆的概率，m为试验次数，那么 Π ≈4n / m 利用切尔诺夫界，可知 2 Pr(| 4n / m - Π | ≥εΠ) < 2e-m Πε /12
Google “什么是随机数”后…
根据某种规则生成，这些随机数不是真正随机的，但在
一定程度上可以模拟随机数，一般叫做伪随机数。 对于一个随机算法，使用真随机数和伪随机数，得到的 结果近似相等。（Andrew Yao）
随机数的产生
“真随机数”的产生
电子噪声 噪音放大(AD转化) 量子噪声 “测不准原理” 放射性衰变 核放射源放射粒子数 。。。
谢谢大家！
推荐书目
1. Donald E.Knuth，《计算机程序设计艺术》第3版第2卷，2002年，清华大学出版社
(影印版) 2. 史道济（译），（哈佛大学&布朗大学）《概率与计算》，随机算法与概率分析， 机械工业出版社，2007年。 3. 刘汝佳，黄亮，《算法艺术与信息学竞赛》，清华大学出版社，2004年。 4. Thomas H.Cormen等，《算法导论》，第二版，高等教育出版社（影印版） ， 2002年。 5. 杨波，《现代密码学》，第二版，清华大学出版社，2007年。
一半，输出“YES”，否则输出“NO”。 分析：算法时间复杂度为O(n)。正确的概率>1/2。 数次调用，可使得正确概率接近1。 有确定型O(n)的算法
素数测试
举例：素数测试
Miller-Rabin随机测试 基于两个定理： Fermat小定理：如果n是素数，则对于所有不是n倍数的a，有an1≡1(mod n) 如果n为素数，则方程x2≡1(mod n)的根只有两个(± 1) 过程：假设n-1=2rs，随机产生a，依次考察 as mod n, a2s mod n, … , an-1mod n， 该序列必定以1结束，而且在第一次出现1之前的值必定是n-1。 每次测试失败的概率小于1/4。
重复该过程n-2次。最后剩下两点之间的边，就 是一个割集。 此方法至少以2/n(n-1)的概率输出最小割集。 重复上述方法n(n-1)lnn次，输出不是一个割集的 概率≤1/n2。
概要
研究领域
随机数理论 随机算法概述 简单应用 POJ例题分析
POJ例题分析
POJ 3318
N皇后问题
举例：n皇后问题
在n*n的棋盘上放置n个皇后 皇后之间不会互相攻击 给出一个解法
“8皇后”问题
N皇后问题
随机
“爬山法”
局部极大值 Vs 全局最优值
随机重新开始 完备性接近1
喜马拉雅山脉
对于3,000,000个皇后，可在1分钟以内找到解
Monte Carlo算法
算法特点
其它POJ参考题
在/JudgeOnline讨论区
中直接搜索“随机”......
引用和推荐书目
引用文献
1. Donald E.Knuth，《计算机程序设计艺术》第3版第2卷，清华大学出版社(影印版) ，
2002年。 2.史道济（译），（哈佛大学&布朗大学）《概率与计算》 ，随机算法与概率分析， 机械工业出版社，2007年。 3. 刘汝佳，黄亮，《算法艺术与信息学竞赛》，清华大学出版社，2004年。 4. 屈婉玲，《概率算法》课件，北京大学 5. 陈卫东，《随机算法简介》课件，华南师范大学
量子噪声 电子噪声
随机数的产生
“伪随机数”的产生
“Any one who considers arithmetical methods
of producing random digits is, of course, in a state of sin.” --- John von neumann 常用算法
概率论
基本工具
数论
密码学
Байду номын сангаас
NP理论
近似算法（随机）
人工智能
遗传算法、模拟褪火
。。。
概要
研究领域
随机数理论 随机算法概述 简单应用 POJ例题分析
随机数理论
随机序列的特征
概率相等(均匀随机) 不可预测
不可重现
“伪随机”(pseudo-random)
随机算法简介
计算机理论实验室 蒋威 2009-12-24
Email: Iamjw.xiaochouyu@
概要
研究领域
随机数理论 随机算法概述 简单应用 POJ例题分析
概要
研究领域
随机数理论 随机算法概述 简单应用 POJ例题分析
研究领域
随机算法的优势
在运行时间或者空间需求上随机算法比确定型算法往往
有较好的改进 随机算法设计简单
随机算法概述
随机算法分类
Sherwood算法 Las Vegas算法 Monte Carlo算法 。。。
赌城——摩纳哥蒙特卡洛
Sherwood算法
算法特点
确定型算法在最坏情况下的时间复杂度与其在平
POJ例题分析
POJ2576
有一堆数，需要分为两堆。要求两堆之间元素个数差不
超过1，并且两堆和的差值尽量小。（元素个数≤100,元 素值≤ 450） 动态规划可以解决。 随机算法如下：
1. 计算两堆的大小后，随机分为两堆。 2. 随机选择两堆中的数，如果交换后差变小，则交换。 3. 重复2，直到多次交换未发生。更新答案。 4. 回到1，重新开始。
给出3个n*n（n≤500）的矩阵A，B，C，验证A*B=C? n^3算法会超时。
n^2的概率算法： 随机置换法则：如果比特向量a ≠b, r为随机向量，那么 Pr[(a,r) ≠(b,r)] ≥ 1/2 随机一个1*n的向量r，验证A*B*r=C*r，若成立，输出 “YES”，否则输出“NO”。 如果A*B≠C，算法以1/2的概率输出“NO”！
确定性算法还是随机算法都无法保证每次得到正确的
解 Monte Carlo算法以高概率给出正确解 通常无法判定一个具体解是否正确。 可通过重复调用同一个Monte Carlo算法多次来提高 获得正确解的概率。
轮盘赌
主元素问题
举例：主元素问题
定义：数列中，是否有出现次数超过一半的元素。 算法：随机选择一个数，扫描出现次数。若超过
谱检验
概要
研究领域
随机数理论 随机算法概述 简单应用 POJ例题分析
随机算法概述
确定型算法 Vs 随机算法
确定型算法：对某个特定输入的每次运行过程是可重复
的，运行结果是一样的. 随机算法：对某个特定输入的每次运行过程是随机的， 运行结果也可能是随机的. 猜想：P = BPP