2015年广州市高二数学竞赛试题

（2）因为 f (θ ) = 1+
3
cos
2θ
−
2
cos2
⎛ ⎜⎝
π 4
+θ
⎞ ⎟⎠
=
3
cos
2θ
−
cos
2
⎛ ⎜⎝
π 4
+θ
⎞ ⎟⎠
…………………………………………………7
分
=
3
cos
2θ
−
cos
⎛ ⎜⎝
π 2
+
2θ
⎞ ⎟⎠
= sin 2θ + 3 cos 2θ
=
2
⎛ ⎜⎜⎝
1 2
sin
2θ
+
3 2
2015 年广州市高二数学竞赛试题答案 第 6 页（共 6 页）
由（1）可知，四边形 EFD1D 为矩形，且 DE = 2 ， DD1 = 1，
所以矩形 EFD1D 的面积为 SEFD1D = DE ⋅ DD1 = 2 ．……………………………………18 分
所以几何体 A − EFD1D 的体积为
积的取值范围为
．
2015 年广州市高二数学竞赛试题 第 1 页（共 3 页）
8．设 e1 ， e2
为单位向量，非零向量 b
=
xe1
+
ye2 ,
x,
y∈R
,若 e1 ， e2
的夹角 为
π 4
,则
|
b y
|
的最小
值等于________.
9．已知 f (x) = x ，若 f (1) (x) = f (x) ，f (n+1) (x) = f [ f (n) (x)] (n ∈ N∗ ) ，则 f (48) (1) =
分
所以 Tn
=
−1 −
n− 3n
1
(n
∈
N∗
)
.…………………………………………………………………15
分
2015 年广州市高二数学竞赛试题答案 第 5 页（共 6 页）
13．（1）证明：在直四棱柱 ABCD − A1B1C1D1 中， DD1 // CC1 ，
因为 EF // CC1 ，
所以 EF // DD1 ．…………………………………………………………………………………2 分
8． 2 2
9． 1 7
10． 7 8
11．解：（1）由余弦定理得，
c2 = a2 + b2 − 2ab cos C ………………………………………………………………………2 分
= 52 + 82 − 2× 5×8× cos π 3
= 49 ，…………………………………………………………………………………………4 分 所以 c = 7 .………………………………………………………………………………………5 分
≤
1．
即 − 3 ≤ f (θ ) ≤ 2 .……………………………………………………………………………13 分
故当θ = π 时， f (θ ) = − 3 ；当θ = π 时， f (θ ) = 2 ．…………………………15 分
2
min
12
max
12．解：（1）因为 Sn = n2 − 4n ，
因为 a2 + b2 = c2 ，所以 b2 = 1． ……………………………………………………………4 分
．…………………………………………………………………………6 分
所以 Tn
=
−3 3
+
−1 + 32
1 33
+
+
2n − 7 3n−1
+
2n − 3n
5
．
①………………………7 分
1 3
Tn
=
−3 32
+
−1 + 33
1 34
+
+
2n − 3n
7
+
2n − 5 3n+1
．
②………………………9 分
由①－②得，
π 4
+θ
⎞ ⎟⎠
的最大值与最小值，并
分别求出 f (θ ) 取得最大值与最小值时θ 的值．
12．（本小题满分 15 分）
已知数列{an} 的前 n 项和为 Sn ，且满足 Sn = n2 − 4n (n ∈ N∗ ) ．
（1）求数列{an} 的通项公式；
（2）设 bn
=
an 3n
，求数列{bn} 的前 n
所以 E 、 F 、 D1 、 D 四点共面．………………………………………………………………3 分
因为平面 ABCD // 平面 A1B1C1D1 ，
平面 ABCD ∩ 平面 EFD1D = ED ，平面 A1B1C1D1 ∩ 平面 EFD1D = FD1 ，
所以 ED // FD1 ．…………………………………………………………………………… = BC2 + ( AB − CD)2 = 10 ．
所以 AE2 + DE2 = AD2 ，所以 AE ⊥ ED ．…………………………………………………14 分 因为 ED ∩ DD1 = D ， 所以 AE ⊥ 平面 EFD1D ．……………………………………………………………………16 分
所以四边形 EFD1D 为平行四边形．……………………………………………………………6 分
因为侧棱 DD1 ⊥ 底面 ABCD ， DE ⊂ 平面 ABCD ，
所以 DD1 ⊥ DE ．
所以四边形 EFD1D 为矩形．……………………………………………………………………8 分
（2）解：连结 AE ， 因为四棱柱 ABCD − A1B1C1D1 为直四棱柱， 所以侧棱 DD1 ⊥ 底面 ABCD ．
．
1+ x2
⎧x ≤ 0,
10．由不等式组
⎪ ⎨ ⎪⎩
y x
≥ −
0, y+
2
≥
0
确定的平面区域记为
Ω1
，不等式组
⎧x
⎨ ⎩
x
+ +
y y
−1 ≤ 0, +2≥0
确定的平面区域
记为 Ω2 ，在 Ω1 中随机取一点，则该点恰好在 Ω2 内的概率为
．
三、解答题：本大题共 5 小题，满分 90 分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
cos
2θ
⎞ ⎟⎟⎠
=
2
sin
⎛ ⎜⎝
2θ
+
π 3
⎞ ⎟⎠
．………………………………………………………………9
分
2015 年广州市高二数学竞赛试题答案 第 4 页（共 6 页）
因为 0 < θ ≤ π ，所以 π < 2θ + π ≤ 4π ．
2
3
33
所以 −
3 2
≤
sin
⎛ ⎜⎝
2θ
+
π 3
⎞ ⎟⎠
B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
甲组
乙组
909
x215y8
7424
3．设集合 A = {x | (x −1)(x − a) ≥ 0}, B = {x | x ≥ a −1}，且 A ∪ B = R ，则实数 a 的取 值范围为
A． (−∞, 2)
B．[2, +∞)
C． (−∞, 2]
D． (2, +∞)
π． 4
2015 年广州市高二数学竞赛试题 第 3 页（共 3 页）
2015 年广州市高二数学竞赛试题 参考答案与评分标准
说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法
供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评
分标准给以相应的分数．
当 n = 1 时， a1 = S1 = −3 .………………………………………………………………………1 分 当 n ≥ 2 时， an = Sn − Sn−1
( ) = n2 − 4n − ⎡⎣(n −1)2 − 4(n −1)⎤⎦ = 2n − 5 .………………………………………………3 分
11．（本小题满分 15 分）
在 ΔABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ，且 a = 5,b = 8 ，设 CA 与 CB 的夹角为θ ．
（1）当θ = π 时，求 c ； 3
（2）当 0 < θ ≤ π 时，求函数 f (θ ) = 1+
2
3
cos
2θ
−
2
cos2
⎛ ⎜⎝
B1 B
E A1
F C1
C
D1
又 AE ⊂ 平面 ABCD ，
A
D
所以 DD1 ⊥ AE ．………………………………………………………………………………10 分
在 RtΔABE 中， AB = 2 ， BE = 2 ，所以 AE = 2 2 ．
在 RtΔCDE 中， EC = 1， CD = 1，所以 DE = 2 ．……………………………………12 分
4．若直线 l 过定点 P(1, 4) ，且在 x 轴正半轴上的截距与在 y 轴正半轴上的截距之和最小，则直线
l 的方程是
A． x + y − 5 = 0
B． 2x + y − 6 = 0
C． x + 2 y − 9 = 0
D． 2x − y + 2 = 0
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 6 分，满分 36 分．