数论基础

x mod m1 a1 x mod m a 2 2 x mod mk ak
M mi
i 1
对模M有唯一解
M M M x ( e1a1 e2 a2 ek ak ) mod M m1 m2 mk M ei 满足 ei 1 mod mi mi
费尔玛定理
• 费尔玛定理 若p是素数，a是正整数且gcd(a,p)=1，则ap-1≡1 mod p 证明： gcd(a,p)=1,则a×Zp=Zp, a×(Zp-{0})=Zp-{0} {a mod p,2a mod p,…,(p-1)a mod p} ={0,1,…,p-1} (a mod p) ×(2a mod p) ×…×(p-1)a mod p=(p-1)! mod p (p-1)! ×ap-1=(p-1)! mod p (p-1)!与p互素，所以乘法可约律，ap-1=1 mod p
＋ 0 1 2 3 4 5 6 7 × 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 5 6 7 2 0 2 4 6 0 2 4 6 3 0 3 6 1 4 7 2 5 4 0 4 0 4 0 4 0 4
0 0 1 2 3 4 5 6 7
1 1 2 3 4 5 6 7 0 2 2 3 4 5 6 7 0 1
离散对数
• 指标的性质
1. inda,p(1)=0 2. inda,p(a)=1 3. inda,p(xy)=[inda,p(x)+ inda,p(y)] mod j(p) 4. inda,p(yr)=[r×inda,p(y)] mod j(p)
后两个性质基于下列结论
若az≡aq mod p ,a和p互素，则z ≡q mod j (p)
i1 1 i1 1 1 i2 2
i2 1 2
) ( p p
iq q
iq 1 q
)
欧拉定理
• 欧拉定理 –若a和n互素,则a (n)=1 mod n
欧几里德算法
• 求两个正整数的最大公因子 • 两个正整数互素，可以求一个数关于另一 个数的乘法逆元 • 性质: 对任意非负整数a和正整数b,有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b) • 证明： a=kb+r≡r mod ba mod b=a-kb 设d|a,d|b, 所以d|kb.
素性检验
• Miller-Rabin素性概率检测法 –n为待检测数，a为小于n的整数，将n-1 表示为二进制形式bkbk-1…b0,d赋初值为1， 算法核心如下 –若返回False,n不是素数,若返回True,有可 能是素数。
素性检验
for i=k downto 0 do {xd; d(d×d) mod n; if d=1 and (x≠1)and(x≠n-1) then return False if bi=1 the d(d×a) mod n } if d ≠1 then return False; return True
模运算
– 单位元 (0+w) mod n=w mod n (1×w) mod n=w mod n – 加法逆元：对w∈Zn,有z∈Zn，满足w+z=0 mod n, z为w的加法逆元，记为z=-w。 – 加法的可约律 (a+b)≡(a+c) mod n, 则b≡c mod n 对乘法不一定成立，因为乘法逆元不一定存在。
离散对数
• 定理：设a的阶为m，则ak≡1mod n的充分必要 条件是k是m的倍数。 • 推论：a的阶整除j(n)。 • 本原根：a的阶m等于j(n)，a为n的本原根。 • 如果a是n的本原根，a1,a2,...,a j(n)在模n下互不相 同且与n互素。 • 本原根不唯一。 • 并非所有元素都有本原根，仅有以下形式的整数 才有本原根：2，4，pa,2pa, p是奇素数

整除的基本性质
设b > 0，c > 0, 整除有如下性质 1. 若c | b，b | a, 则c | a； 2. 若b | a，则bc | ac； 3. 若c | a，c | b，则对任意整数m，n 有 c |ma + nb。
模运算
• 设n是一正整数,a是整数,若 a=qn+r, 0≤r<n, 则a mod n=r • 若(a mod n)=(b mod n),称为a,b模n同余， 记为a≡b mod n • 称与a模n同余的数的全体为a的同余类，记 为[a]，a称为这个同余类的代表元素
模运算
• Zn上模运算的性质
–交换律 （x+w) mod n=(w+x) mod n (x×w) mod n=(w×x) mod n –结合律 [(x+w)+y] mod n=[x+(w+y)] mod n [(x×w) ×y] mod n=[x×(w×y)] mod n –分配律 [w×(x+y)] mod n=[w×x+w×y)] mod n
离散对数
• 指标
–y=ax(a>0,a≠1)的逆函数称为以a为底的对数， 记为x=logay –设p为素数，a是p的本原根，则a0,a1,...,a p-1产 生1到p-1中所有值，且每个值只出现一次。对 任一b∈{1,…,p-1}，都存在唯一的i(1≤i ≤p)， 使b≡ai mod p。i称为模p下以a为底b的指标， 记为i=inda,p(b)
3 3 4 5 6 7 0 1 2
4 4 5 6 7 0 1 2 3 5 5 6 7 0 1 2 3 4
6 6 7 0 1 2 3 4 5
7 7 0 1 2 3 4 5 6
5 0 5 2 7 4 1 6 3
6 0 6 4 2 0 6 4 2 7 0 7 6 5 4 3 2 1
模运算
• 若x+y=0 mod n, y为x的加法逆元。每一元 素都有加法逆元 • 若对x，有xy=1 mod n，称y为x的乘法逆元。 在上例中，并非所有x都有乘法逆元 • 定义Zn={0,1,..,n-1}为模n的同余类集合。
模运算
• 同余的性质
–若n|(a-b)，则a≡b mod n –(a mod n) ≡(b mod n),则a≡b mod n –a≡b mod n，则b≡a mod n –a≡b mod n， b≡c mod n，则a≡c mod n
• 求余运算a mod n将a映射到集合{0,1,…,n-1}, 求余运算称为模运算
例1
• 求gcd(12345,11111)
例1解答
• ri • 12345 11111 1234 5 4 1 qi
1 9 246 1 4
求19 1 mod 60
例2
例2解答
• ri 60 19 3 1 qi
3 6 3
ti 0 1 -3 19
中国剩余定理
• 定理(中国剩余定理)： 设m1,m2,…,mk是两两互素的正整数， k 则一次同余方程组
带余除法
• floor 函数 定义 设x R，小于或等于x 的最大整数称 为x 的整数部分，记为[x]。
[x] x < [x] + 1
整除和因子
a = b q + r， 当 r = 0 时， • b 能整除 a • b 是 a 的因子 • a 是 b 的倍数 • a 和 b 的这种关系记为b|a • 若 b 1，b a 则称b为a的真因子 。
离散对数
• 求模下的整数幂
– 根据欧拉定理，若gcd(a,n)=1,则a(n) ≡1 mod n。考虑一般am ≡1 mod n, 如果a,n互素， 至少有一个整数m满足这一方程。称满足这一 方程的最小正整数m为模n下a的阶。 –例：a=7,n=19. 71 ≡7 mod 19, 72 ≡11 mod 19, 73 ≡1 mod 19,所以7模19的阶 为3。从幂次为4开始出现循环，循环周期与元 素的阶相同
离散对数
• 设p是素数，a是p的本原根。对b∈{1,…,p1},有唯一的i ∈{1,…,p-1},使b≡ai mod p。 称i为模p下以a为底b的离散对数，记为 i ≡logab (mod p) • 已知a,p,i,求b比较容易，以及a,b,p,求i非常 困难
素性检验
• 引理：如果p为大于2的素数，则方程x2≡1 mod p 的解只有x≡1或x≡-1 • 证明: x2≡1 mod p x2 -1 ≡0 mod p (x+1)(x-1)≡0 mod p 所以,p|(x+1)或p|(x-1) 或p|(x+1)且p|(x-1)存在k,j，x+1=kp, x1=jp2=(k-j)p, 这是不可能的。 • 引理的逆命题：若方程x2≡1 mod p有唯一解x不 为+1或-1，p不是素数
欧拉函数
• 欧拉函数 –设n为一正整数，小于n且与n互素的正整数 的个数称为n的欧拉函数，记为 (n) • 定理：若n是两个素数p和q的乘积，则 (n)＝ • (p)(q)=(p-1)(q-1) iq i1 i2 • 若 p1 p2 pq ，则 n
(n) ( p p )( p p
素性检验
–For循环结束,有d≡an-1 mod n.由费尔玛定理,若n 为素数,d为1.所以d≠1，则d不是素数 –n-1≡-1 mod n,所以x ≠1和x ≠n-1指x2≡1 mod n 有 非±1的根,n不是素数
模运算
• 定理:设a∈Zn,gcd(a,n)=1,则a在Zn有逆元 证明思路：
1. 用反证法证明a和Zn中任何两个不同的数相乘 结果都不相同 2. 从1得出a×Zn=Zn,因此存在x∈Zn,使a×x=1 mod n
• 设p为素数，Zp中每一个非零元素都与p互 素，因此有乘法逆元，有乘法可约律 (a×b)=(a×c) mod n, b=c mod n
• 求乘法逆元 –若gcd(a,b)=1, b在模a下有乘法逆元(设b<a)。 即存在x<a,bx≡1 mod a