小学奥数-数论专题知识总结

数论基础知识

小学数论问题,起因于除法算式：被除数÷除数＝商……余数

1.能整除：整除,因数与倍数,奇数与偶数,质数与合数,公因数与公倍数,分解质因数等；

2.不能整除：余数,余数的性质与计算（余数）,同余问题（除数）,物不知数问题（被除数）。

一、因数与倍数

1、因数与倍数

（1）定义：

定义1：若整数a能够被b整除,a叫做b的倍数,b就叫做a的因数。

定义2：如果非零自然数a、b、c之间存在a×b＝c,或者c÷a＝b,那么称a、b是c的因数,c是a、b 的倍数。

注意：倍数与因数是相互依存关系,缺一不可。（a、b是因数,c是倍数）

一个数的因数个数是有限的,最小的因数是1,最大的因数是它本身。

一个数的倍数个数是无限的,最小的倍数是它本身,没有最大的倍数。

（2）一个数的因数的特点：

①最小的因数是1,第二小的因数一定是质数；

②最大的因数是它本身,第二大的因数是：原数÷第二小的因数

（3）完全平方数的因数特征：

①完全平方数的因数个数是奇数个,有奇数个因数的数是完全平方数。

②完全平方数的质因数出现次数都是偶数次；

③1000以内的完全平方数的个数是31个,2000以内的完全平方数的个数是44个,3000以内的完

全平方数的个数是54个。（312=961,442=1936,542=2916）

2、数的整除（数的倍数）

（1）定义：

定义1：一般地,三个整数a、b、c,且b≠0,如有a÷b＝c,则我们就说,a能被b整除,或b能整除a,或a能整除以b。

定义2：如果一个整数a,除以一个整数b（b≠0）,得到一个整数商c,而且没有余数,那么叫做a能被b 整除或b能整除a,记作b|a。（a≥b）

（2）整除的性质：

如果a、b能被c整除,那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。

如果a能被b整除,c是整数,那么a×c也能被b整除。

如果a能被b整除,b又能被c整除,那么a也能被c整除。

如果a能被b、c整除,那么a也能被b和c的最小公倍数整除。

（3）一些常见数的整除特征（倍数特征）：

①末位判别法

2、5的倍数特征：末位上的数字是2、5的倍数。

4、25的倍数特征：末两位上的数字是4、25的倍数。

8、125的倍数特征：末三位上的数字是8、125的倍数。

②截断求和法（从右开始截）

9（及其因数3）的倍数特征：一位截断求和

99（及其因数3、9、11、33）的倍数特征：两位截断求和

999（及其因数3、9、27、37、111、333）的倍数特征：三位截断求和

③截断求差法（从右开始截）

11的倍数特征：一位截断求差

101的倍数特征：两位截断求差

1001（及其因数7、11、13、77、91、143）的倍数特征：三位截断求差

④公倍数法

6的倍数特征：2和3的公倍数。先判断是否2的倍数,再判断是否3的倍数。

12的倍数特征：4和3的公倍数。先判断是否4的倍数,再判断是否3的倍数。

3、奇数与偶数（自然数按是否能被2整除分类）

（1）定义：

奇数：不是2的倍数的数。在自然数中,最小的奇数是1。

偶数：是2的倍数的数。在自然数中,最小的偶数是0。

（2）数的奇偶性质：

①奇偶相连,奇偶相间,偶数个连续自然数中,奇偶各半。

②奇数个奇数的和是奇数；偶数个奇数的和是偶数；任意多个偶数的和是偶数；

③两个奇（偶）数的差是偶数；一个偶数与一个奇数的差是奇数；

④若 a、b 为整数,则 a+b 与 a-b 有相同的奇偶性；

⑤n 个奇数的乘积是奇数,n 个偶数的乘积是 2n的倍数；算式中有一个是偶数,则乘积必是偶

数。

⑥连续的奇数或偶数差为2。如,与奇数m相邻的两个奇数分别是(m-2)和(m+2)。

⑦奇偶分析：奇＋奇＝偶奇－奇＝偶奇×奇＝奇

奇＋偶＝奇偶－偶＝偶奇×偶＝偶

偶＋偶＝偶奇－偶＝奇偶×偶＝偶

4、质数与合数（非0自然数按因数个数分类）

（1）定义：

质数：只有1和它本身两个因数的数。（因数个数：2个）

合数：除了1和它本身还有其它因数的数。（因数个数：3个或3个以上）

（2）常见质数特征：

1既不是质数,也不是合数（1只有1个因数）；

2是最小的质数；4是最小的合数；

2是质数中唯一的偶数,也是偶数中唯一的质数（除2外,其它质数都是奇数）。

（3）100以内质数表（25个）：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、

53、59、61、67、71、73、79、83、89、97

（4）分解质因数

①唯一分解定理：任何一个大于1的自然数N,如果N不是质数,那么N可以唯一分解成有限个质数

的乘积。

②质因数：如果某个质数是某个数的因数,那么这个质数叫做这个数的质因数。

③分解质因数：把一个合数写成它的几个质因数相乘的形式。如：28＝2×2×7＝2²×7

④通常用短除法分解质因数。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。

⑤要求出乘积中末尾0的个数,只需要知道这些乘数分解质因数后2和5的个数,不用考虑其它质因

数。

（5）互质数：公因数只有1的两个数为互质数。

常见的互质数：

①相邻自然数：8和9

②相邻奇数：21和23

③2与任意奇数：2和15

④不同的两个质数：11和 17

⑤1与任意非零自然数：1和4

⑥当合数不是质数的倍数时,这个合数和这个质数互质:3和14

⑦公因数只有1的两个合数：6和25