小学奥数-数论专题知识总结

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六年级数论综合奥数题

六年级数论综合奥数题一、数论基础知识回顾1. 整除的概念若整数公式除以非零整数公式，商为整数，且余数为零，我们就说公式能被公式整除（或说公式能整除公式），记作公式。

例如公式，余数为公式，则说公式。

2. 因数与倍数如果公式能被公式整除，公式就叫做公式的倍数，公式就叫做公式的因数。

例如在公式中，公式是公式的倍数，公式是公式的因数。

3. 质数与合数质数是指在大于公式的自然数中，除了公式和它本身以外不再有其他因数的自然数。

例如公式、公式、公式、公式等。

合数是指自然数中除了能被公式和本身整除外，还能被其他数（公式除外）整除的数。

例如公式，公式，所以公式、公式是合数。

4. 分解质因数把一个合数写成几个质数相乘的形式叫做分解质因数。

例如公式。

二、典型数论综合奥数题及解析求公式的因数有多少个？解析：1. 先将公式分解质因数：公式。

2. 根据因数个数定理：对于一个数公式（公式为质数，公式为正整数），它的因数个数为公式。

3. 对于公式，其因数个数为公式个。

题目2：已知两个数的最大公因数是公式，最小公倍数是公式，其中一个数是公式，求另一个数。

解析：1. 根据两个数的积等于这两个数的最大公因数和最小公倍数的积。

设另一个数为公式。

2. 则公式。

3. 先计算公式，那么公式。

题目3：有一个三位数，它是公式的倍数，且它各位数字之和是公式的倍数，百位数字与个位数字之和等于十位数字，这个三位数是多少？1. 设这个三位数为公式（公式为百位数字，公式为十位数字，公式为个位数字）。

2. 已知公式，且公式是公式的倍数。

将公式代入公式可得公式是公式的倍数，因为公式是一位数，所以公式。

3. 又因为这个数是公式的倍数，根据公式的倍数特征：各个数位上的数字之和是公式的倍数，这个数就是公式的倍数。

已知公式。

4. 满足公式的组合有公式、公式、公式、公式等，所以这个三位数可以是公式、公式、公式、公式等。

奥数数论知识点总结

奥数数论知识点总结整数的性质整数是自然数、0和负自然数的集合。

整数有许多独特的性质，例如：1. 整数的奇偶性：整数可以划分成奇数和偶数两类。

奇数的特点是能被2整除余1，偶数则能被2整除。

2. 整数的因数和倍数：整数m是整数n的因数，指的是m能够整除n；整数m是整数n的倍数，指的是n是m的整数倍数。

3. 整数的约数：整数的约数是整除该数的正整数。

除法除法是整数学中的一个基本运算，包括整数的除法、最大公约数和最小公倍数等内容。

1. 整数的除法：整数的除法可以分为带余除法和整除两种情况。

带余除法指的是a = bq + r，其中a和b是整数，q和r分别是商和余数。

整除指的是余数等于0的情况。

2. 最大公约数：两个整数a和b的最大公约数是能同时整除它们的最大的正整数。

3. 最小公倍数：两个整数a和b的最小公倍数是它们的公共倍数中最小的一个。

模运算模运算是数论中的一个重要概念，它有许多重要性质和应用。

1. 同余：整数a和b模m同余，记作a ≡ b (mod m)，指的是m能整除a-b。

同余关系具有传递性、对称性和反对称性。

2. 模幂运算：模幂运算是指对一个整数进行多次模运算。

例如，求a^b mod m，即求a的b次幂对m取余的结果。

3. 线性同余方程：线性同余方程指的是形如ax ≡ b (mod m)的方程，其中a、b、m是已知的整数，x是未知的整数。

初等数论初等数论是数论的一部分，研究整数的基本性质和定理。

1. 质数：质数是指只有1和自身两个因数的正整数，例如2、3、5、7等。

任意合数都可以唯一地分解成若干个质数的乘积。

2. 费马小定理：费马小定理指的是如果p是一个质数，a是一个整数且a不是p的倍数，那么a^{p-1} ≡ 1 (mod p)。

3. 欧拉函数：欧拉函数是指小于n且与n互质的正整数的个数，记作φ(n)。

对于质数p，φ(p)=p-1；对于两个互质的整数m和n，φ(mn)=φ(m)φ(n)。

综上所述，奥数数论是数学竞赛中的一个重要内容，它涉及整数的性质、除法、模运算和初等数论等知识点。

小学奥数知识点梳理1——数论

小学奥数知识点梳理1——数论数论是研究整数及其性质的学科。

其中包括奇偶、整除、余数、质数合数、约数倍数、平方、进制和位值等方面的内容。

首先，奇偶性是整数的基本属性之一，一个整数要么是奇数，要么是偶数。

对于奇偶数的运算性质，有以下规律：（1）奇数加减奇数得偶数，偶数加减偶数得偶数，奇数加减偶数得奇数，偶数加减奇数得奇数；（2）奇数个奇数的和或差为奇数，偶数个奇数的和或差为偶数，任意多个偶数的和或差总是偶数；（3）奇数乘奇数得奇数，偶数乘偶数得偶数，奇数乘偶数得偶数；（4）若干个整数相乘，其中有一个因数是偶数，则积是偶数；如果所有的因数都是奇数，则积是奇数；（5）偶数的平方能被4整除，奇数的平方被4除余1.总之，几个整数相加减，运算结果的奇偶性由算式中奇数的个数所确定。

其次，整除是数论中的重要概念。

要掌握能被30以下质数整除的数的特征。

例如，被2整除的数的特征为它的个位数字之和可以被2整除，被3或9整除的数的特征为它的各位数字之和可以被3或9整除，被5整除的数的特征为它的个位数字之和可以被5整除。

而对于被7、11、13整除的数的特征，可以使用关键性式子7×11×13=1001.判定一个数能否被7或11或13整除，只需把这个数的末三位与前面隔开，分成两个独立的数，取它们的差（大减小），看它是否被7或11或13整除。

此法则可以连续使用。

最后，还有进制和位值等方面的内容。

其中，进制是指计数的基数，如十进制、二进制、八进制和十六进制等。

而位值则是指数位所代表的数值大小，如十进制数中的个位、十位、百位等。

掌握进制和位值的概念，可以更好地理解数的表示和计算方法。

总之，数论是一门重要的数学学科，涉及到整数及其性质的多个方面。

掌握数论的基本概念和规律，可以更好地理解和应用数学知识。

N=xxxxxxxx，判断N能否被17整除。

由于429=25×17+4，所以N不能被17整除。

N=xxxxxxx，判断N能否被17整除。

202X年小学奥数知识点梳理数论

千里之行，始于足下。

202X年小学奥数知识点梳理数论202X年小学奥数知识点梳理数论数论是数学中的一个重要分支，研究整数的性质与关系。

在小学奥数竞赛中，数论常常是一个重要的考点。

下面是202X年小学奥数的数论知识点梳理。

1. 基本概念- 整数：正整数、负整数和零的总称。

- 偶数与奇数：能被2整除的整数称为偶数，不能被2整除的整数称为奇数。

- 素数与合数：除了1和自身外，没有其他因数的整数称为素数，否则称为合数。

- 因数与倍数：如果a能够整除b，那么称a是b的因数，b是a的倍数。

2. 最大公约数与最小公倍数- 最大公约数（GCD）：两个数公有的最大因数称为最大公约数。

- 最小公倍数（LCM）：两个数公有的最小倍数称为最小公倍数。

3. 质因数分解- 质因数：一个整数如果除了1和它本身外没有其他因数，那么它是一个质数，否则它是合数。

将一个合数分解成质因数的乘积的形式，称为质因数分解。

- 质因数分解算法：从最小的质数2开始，依次判断是否为这个数的因数，如果是，则除以这个数，继续判断剩下的数是否能被这个质数整除，直到无法整除为止。

第1页/共3页锲而不舍，金石可镂。

4. 奇数数列与偶数数列- 一个数列中，从第一个数开始，每个数都比前一个数大2，这个数列称为奇数数列- 一个数列中，从第一个数开始，每个数都比前一个数大2，这个数列称为偶数数列5. 数组与数列- 数组是有序数的集合。

- 数列是数按一定顺序排列起来的表现形式。

6. 公式与规律- 两个偶数的和是偶数，两个奇数的和是偶数，一个偶数和一个奇数的和是奇数。

- 奇数个奇数的积是奇数，偶数个奇数的积是偶数。

- 一组数的和与这组数里所有的数的奇偶性有关。

- 奇数个奇数的和与这组奇数的个数的奇偶性有关，偶数个奇数的和与所有奇数的奇偶性有关。

- 相邻两个数之间的差是固定的。

7. 排列组合- 排列：从n个不同元素中取r个元素（r≤n）按一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取r个元素的一个排列。

小学奥数数论位值原理知识点

小学奥数数论位值原理知识点【篇一】1.位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。

也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个"位置值"。

例如"2",写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。

2.位值原理的表达形式：以六位数为例：a×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f.3.解位值一共有三*宝：(1)最简单的应用解数字谜的方法列竖式(2)利用十进制的展开形式，列等式解答(3)把整个数字整体的考虑设为x，列方程解答4、位置原理重难点：(1)最简单的应用解数字谜的方法列竖式(2)利用十进制的展开形式，列等式解答(3)把整个数字整体的考虑设为x，列方程解答【篇二】位置原理例题：例1.a、b、c是1——9中的三个不同数码，用它们组成的六个没有重复数字的三位数之和是(a+b+c)的多少倍?解答：组成六个数之和为:10a+b+10a+c+10b+a+10b+c+10c+a+10c+b=22a+22b+22c=22(a+b+c)很显然，是22倍例2.一个三位数，它等于抹去它的首位数字之后剩下的两位数的4倍于25之差，求这个数。

解答：设它百位数字为a,十位数字为b,个位数字为c则100a+10b+c=4(10b+c)化简得5(20a-6b+5)=3c因为c为正整数,所以20a-6b+5是3的倍数又因为0≤c≤9所以0≤3c/5≤5.4所以0≤20a-6b+5=3c/5≤5.4所以3c/5=3即c=5所以20-6b+5=3化简得3b-1=10a按照同样的分析方法,3b-1是10的倍数,解得b=7最后再算出10a=3*7-1=20则a=2所以答案为275。

【篇三】练习题1.有一类三位数,它的各个数位上的数字之和是12,各个数位上的数字之积是30,所有这样的三位数的和是多少2.一个两位数,各位数字的和的5倍比原数大4,求这个两位数.3.一个三位数除以11所得的商等于这个三位数各位数码之和,求这个三位数.4.将一个三位数的数字重新排列,在所得到的三位数中,用最大的减去最小的,正好等于原来的三位数,求原来的三位数.5.在两位自然数的十位与个位中间插入0～9中的一个数码,这个两位数就变成了三位数,有些两位数中间插入某个数码后变成的三位数,恰好是原来两位数的9倍.求出所有这样的三位数.6.将一个四位数的数字顺序颠倒过来,得到一个新的四位数(这个数也叫原数的反序数),新数比原数大8802.求原来的四位数.7.将四位数的数字顺序重新排列后,可以得到一些新的四位数.现有一个四位数码互不相同,且没有0的四位数M,它比新数中最大的小3834,比新数中最小的大4338.求这个四位数.。

小学奥数专题之-数论专题典型结论汇总

小学奥数专题之-数论专题典型结论汇总整除一、常见数字的整除判定方法1.一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；2.一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；3.如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.4.如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除.5.如果一个数能被99整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位则拆出的数都有两个数字，如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数）的和是99的倍数，这个数一定是99的倍数。

【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）二、整除性质性质1如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c 整除．即如果c︱a，c︱b，那么c︱(a±b)．性质2如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c 整除．即如果b∣a，c∣b，那么c∣a．用同样的方法，我们还可以得出：性质3如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除．即如果bc∣a，那么b∣a，c∣a．性质4如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b与c的乘积整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a．例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3某4)∣12．性质5如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．如果b｜a，那么bm｜am（m为非0整数）；性质6如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么ac也能被bd整除．如果b｜a，且d｜c，那么bd｜ac；质数合数一、判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于p的质数q(均为整数)，使得q能够整除p，那么p就不是质数，所以我们只要拿所有小于p的质数去除p就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p，我们可以先找一个大于且接近p的平方数K2，再列出所有不大于K的质数，用这些质数去除p，如没有能够除尽的那么p就为质数.例如：149很接近1441212，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数.二、唯一分解定理a3aka1a2np1p2p3pk任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即：其中为质数，a1a2ak为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为n的质因子分解式.例如：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.分析：∵210=2某3某5某7，∴可知这三个数是5、6和7.三、部分特殊数的分解111337；100171113；1111141271；1000173137；199535719；1998233337；200733223；2022222251；10101371337.约数倍数一、求最大公约数的方法①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来．例如：2313711，25222327，所以(231,252)3721；21812②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘．例如：396，所以(12,18)236；32③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公约数．(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)．例如，求600和1515的最大公约数：151********；6003151285；315285130；28530915；301520；所以1515和600的最大公约数是15．二、最大公约数的性质①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；③几个数都乘以一个自然数n，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n．三、求一组分数的最大公约数先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a；求出各b个分数的分子的最大公约数b；即为所求．a四、约数、公约数最大公约数的关系（1）约数是对一个数说的；（2）公约数是最大公约数的约数，最大公约数是公约数的倍数五、求最小公倍数的方法①分解质因数的方法；例如：2313711，25222327，所以231,25222327112772；②短除法求最小公倍数；21812例如：396，所以18,12233236；32ab③[a,b]．(a,b)六、最小公倍数的性质①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数．②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积．③两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数．七、求一组分数的最小公倍数方法步骤先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数a；求出各个分数分母的最35[3,5]15b大公约数b；即为所求．例如：[,]412(4,12)4a注意：两个最简分数的最大公约数不能是整数，最小公倍数可以是整数.例如：141,42,32,34八、倍数、公倍数、最小公倍数的关系（1）倍数是对一个数说的；（2）最小公倍数是公倍数的约数，公倍数是最小公倍数的倍数九、最大公约数与最小公倍数的常用性质1．两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。

小奥数论整除和余数知识点总结及经典例题

1.数论——数的整除和余数基本概念和基本性质定义整数a除以整数b（b≠0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b 整除，或者说b能整除a。

数的整除的判别法末位判别法数字和判别法（用以判别能否被3或9整除）各数位上数字的和是3或9的倍数，则能被3或9整除。

173652÷9:1+7+3+6+5+2的和除以3或9；简便算法，利用整除的加减性，可以去掉1个或多个9，剩下数字的和x再除以3或9；如果x﹥9,则余数为x-9;如果x﹤9,则余数为x。

奇偶数位判别法（用以判别能否被11整除）从右往左编号，编号为奇数的为奇数位，编号为偶数的为偶数位，看奇数位上的数字的和与偶数位上的数字的和的两者之差是否能被11整除；÷11:奇数位和为6，偶数位和为27；如果奇数位和比偶数位和小，则奇数位和加1个或多个11，直到够减。

余数的判断法与整数位的判断法一致。

三位一截判别法（用以判别能否被7/11/13整除）基本用法从右往左三位一截并编号，编号为奇数的为奇数段，编号为偶数的为偶数段，看奇数段的数字的和与偶数段的数字的和的两者之差是否能被7、11、13整除；如，，奇数段的和为（548+86），偶数段的和为372，求两者差看能否被7整除，同样，不够减前面加1个或多个7，直到够减，余数位的判断法与整数位的判断法一致。

特殊用法①一般求空格数如果中间有空格，则利用加减性加或减除数7的倍数，分别从右边和左边抵消缩减位数，到最后看7的哪个倍数与缩减后的末位数相同，并看7的哪个倍数与缩减后的首位数相同，则前一个倍数的十位数和后一个倍数的个位数的和即为空格中应填的数。

小学奥数数论知识点

小学奥数数论知识点一、数的认识1. 自然数：用于计数和排序的数，包括0和正整数。

2. 奇数与偶数：奇数是不能被2整除的整数，偶数是能被2整除的整数。

3. 质数与合数：质数是只有1和本身两个因数的大于1的自然数，合数是除了1和本身外还有其他因数的自然数。

4. 因数与倍数：如果整数a能被整数b整除，a是b的倍数，b是a的因数。

二、数的运算1. 加法与减法：加法是将两个或多个数合并成一个数的运算，减法是从一个数中去掉另一个数的运算。

2. 乘法与除法：乘法是重复加法的简化，除法是将一个数分成几个相等部分的运算。

3. 余数：在除法中，被除数除以除数后剩下的数称为余数。

三、数的性质1. 唯一分解定理：每个大于1的整数都可以唯一地表示为质数的乘积。

2. 最大公约数和最小公倍数：最大公约数是两个或多个整数共有的最大的因数，最小公倍数是这些整数的最小公共倍数。

3. 奇偶性：奇数加奇数得偶数，偶数加偶数得偶数，奇数加偶数得奇数。

四、数的应用1. 约数倍数问题：涉及找出一个数的约数或倍数的问题。

2. 质数问题：涉及质数的分布、判断和性质的问题。

3. 分数的拆分与比较：涉及将分数拆分为不同单位的和，以及比较分数大小的问题。

五、解题技巧1. 枚举法：通过列举所有可能的情况来找到答案。

2. 反证法：假设某个结论是错误的，通过推理得出矛盾，从而证明原结论是正确的。

3. 归纳法：通过观察一系列特殊情况，找出一般规律。

六、例题解析1. 例题一：找出20以内的所有质数。

- 解析：20以内的质数有2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19。

2. 例题二：求36和54的最大公约数。

- 解析：通过辗转相除法，可以求得36和54的最大公约数是18。

七、总结数论是数学的基础分支之一，对于培养逻辑思维和解决问题的能力具有重要作用。

小学奥数数论涉及的知识点广泛，包括数的认识、数的运算、数的性质、数的应用以及解题技巧等。

掌握这些知识点，对于提高学生的数学素养和解决复杂问题的能力至关重要。

小学奥数数论专题知识总结

小学奥数数论专题知识总结小学数学中，数论问题通常起源于除法算式：被除数÷除数＝商……余数。

这里我们将数论基础知识进行总结，包括能整除和不能整除两个方面。

能整除的问题包括整除、因数与倍数、奇数与偶数、质数与合数、公因数与公倍数、分解质因数等。

不能整除的问题则包括余数、余数的性质与计算、同余问题和物不知数问题。

先来看因数与倍数。

因数与倍数是相互依存的关系，缺一不可。

如果一个整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的因数。

如果非零自然数a、b、c之间存在a×b＝c，或者c÷a＝b，那么称a、b是c的因数，c是a、b的倍数。

一个数的因数个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。

一个数的倍数个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。

另外，一个数的因数中，最小的是1，第二小的是质数；最大的是它本身，第二大的是原数÷第二小的因数。

完全平方数的因数个数是奇数个，有奇数个因数的数是完全平方数。

完全平方数的质因数出现次数都是偶数次。

在1000以内，完全平方数的个数是31个，在2000以内是44个，在3000以内是54个。

数的整除（数的倍数）也是因数与倍数的一种。

一般地，三个整数a、b、c，且b≠，如有a÷b＝c，则我们就说，a能被b整除，或b能整除a，或a能整除以b。

如果一个整数a，除以一个整数b（b≠），得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。

（a≥b）整除还有一些性质，例如如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除；如果a能被b整除，c是整数，那么a×c也能被b整除；如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除；如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。

最后，我们介绍一些常见数的整除特征，包括末位判别法和截断求和法。

例如，2、5的倍数特征是末位上的数字是2、5的倍数；4、25的倍数特征是末两位上的数字是4、25的倍数；8、125的倍数特征是末三位上的数字是8、125的倍数。

小学奥数关于数论知识点的总结

小学奥数关于数论知识点的总结数论是纯粹数学的分支之一，主要研究整数的性质。

整数可以是方程式的解（丢番图方程）。

有些解析函数（像黎曼ζ函数）中包括了一些整数、质数的性质，透过这些函数也可以了解一些数论的问题。

透过数论也可以建立实数和有理数之间的关系，并且用有理数来逼近实数（丢番图逼近）。

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【篇一】1. 奇偶性问题奇+奇=偶奇×奇=奇奇+偶=奇奇×偶=偶偶+偶=偶偶×偶=偶2. 位值原则形如：abc =100a+10b+c3. 数的整除特征：整除数特征2 末尾是0、2、4、6、83 各数位上数字的和是3的倍数5 末尾是0或59 各数位上数字的和是9的倍数11 奇数位上数字的和与偶数位上数字的和，两者之差是11的倍数4和25 末两位数是4(或25)的倍数8和125 末三位数是8(或125)的倍数7、11、13 末三位数与前几位数的差是7(或11或13)的倍数4. 整除性质①如果c|a、c|b，那么c|(a b)。

②如果bc|a，那么b|a，c|a。

③如果b|a，c|a，且(b,c)=1,那么bc|a。

④如果c|b,b|a,那么c|a.⑤a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。

5. 带余除法一般地，如果a是整数，b是整数(b≠0),那么一定有另外两个整数q和r，0≤r当r=0时，我们称a能被b整除。

当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q 为a除以b的不完全商(亦简称为商)。

用带余数除式又可以表示为a ÷b=q……r, 0≤r【篇二】分解定理任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即n= p1 ×p2 ×...×pk约数个数与约数和定理设自然数n的质因子分解式如n= p1 ×p2 ×...×pk 那么：n的约数个数：d(n)=(a1+1)(a2+1)....(ak+1)n的所有约数和：(1+P1+P1 +…p1 )(1+P2+P2 +…p2 )…(1+Pk+Pk +…pk )同余定理①同余定义：若两个整数a，b被自然数m除有相同的余数，那么称a，b对于模m同余，用式子表示为a≡b(mod m)②若两个数a，b除以同一个数c得到的余数相同，则a，b的差一定能被c整除。

小学六年级奥数——数论专题第一课

数论（一）整除、奇偶性、极值问题一、知识地图：二、基础知识：数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力。

数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”。

因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。

任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。

”所以在国内外各级各类的数学竞赛中， 1. c a ,c a c (a b)2. b a ,c b c a 3. bc a b a ,c a 4. b a ,c a b c 1bc a 5. a b am bm (m 0)6. a b c d ac bd 1. 2,52. 4,253. 8,1254. 3,95. 116. 7(11,13)⎧⎪⎧⇒±⎪⎪⎪⇒⎪⎪⎪⎪⇒⎪⎪⎨⎪⇒⎪⎪⎪⇒≠⎪⎪⎪⎪⇒⎪⎩⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎩概念整除性质且（，）=且整除整除特征数论（一）合数整除问题整除应用⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎩性质奇偶性数的奇偶分析与应用判断，反证整数拆分中的最值问题极值（最大最小离散）面积乘积（和一定差小乘积大）数论显得格外重要。

数论研究的是奇数、偶数、素数、合数，这些最简单的数——整数及其内部关系，但是从这些简单的数中诞生了“费马大定理”、“哥德巴赫猜想”和“朗兰兹纲领”这样的难题，它们吸引数学家们花费数十年、甚至整世纪努力研究。

小学数学竞赛和小升初考试的数论问题，常常涉及整数的整除性、质数与合数、约数与倍数、带余除法、奇数与偶数、整数的分解与分拆。

（一）整除问题数的整除数的整除在算术中应用广泛，下面我们从整除的概念、整除的性质及数的整除特征三方面来介绍。

1.整除的概念在整数范围内，两个数相除，余数为零（没有余数）或不为零，两种结果必定有一种成立。

六年级奥数(精品)数论综合

第19讲数论综合知识点精讲一、特殊数的整除特征1.尾数判断法1)能被2整除的数的特征：2)能被5整除的数的特征：3)能被4（或25）整除的数的特征：4)能被8（或125）整除的数的特征：2.数字求和法：3.99的整除特性：4.奇偶位求差法：5.三位截断法：特别地：7×11×13=1001，abcabc=abc×1001二、多位数整除问题技巧：1>目的是使多位数“变短”，途径是结合数的整除特征和整除性质2>对于没有整除特性的数，利用竖式解决。

三、质数合数1.基本定义【质数】——【合数】——注：自然数包括0、1、质数、合数.【质因数】——【分解质因数】——用短除法和分拆相乘法分解质因数。

任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。

分解质因数的标准表示形式：N=a1×a2×a3×……×a n，其中a1、a2、a3……a n都是合数N的质因数，且a1<a2<a3<……<a n。

【互质数】——【偶数】——【奇数】——2.质数重要性质1)100以内有25个质数：2)除了2和5，其余的质数个位数字只能是：3)1既不是质数,也不是合数4)在质数中只有2是偶数,其他质数都是奇数5)最小的质数是2.最小的奇质数是36)有无限多个3.质数的判断：1)定义法：判断整除性2)熟记100以内的质数3)平方判断法：例如：对2011，首先442<2011<452，然后用1至44中的全部质数去除2011，即可叛断出2011为质数. 4.合数1)无限多个2)最小的合数是43)每个合数至少有三个约数5.互质数1)什么样的两个数一定是互质数？注意：分解质因数是指一个合数写成质因数相乘的形式.因此,要分解的合数应写在等号左边,如：21=3⨯7,不能写成：3⨯7=21.6.偶数和奇数1)0属于偶数2)十进制中，个位数字是0,2,4,6,8的数是偶数；个位数字是1,3,5,7,9的数是奇数3)除2外所有的正偶数均为合数4)相邻偶数的最大公约数为2，最小公倍数是他们乘积的一半5)奇±奇=偶偶±偶=偶偶±奇=奇奇×奇=奇偶×奇=偶偶×偶=偶四、约数与倍数1.约数与倍数概念：2.一个数约数的个数：3.平方数与约数个数的关系：4.最大公约数与最小公倍数求法：分解质因数：辗转相除法：5.两数的最大公约数乘以最小公倍数等于这两个数的乘积。

小学奥数奥数知识点汇总(全)

小学奥数重要知识点整理汇总资料目录数论知识点…………………………………………2～6计算知识点…………………………………………7～14应用题知识点…………………………………………15～23几何知识点…………………………………………24～27组合专题…………………………………………28～35数论知识点整除，奇数偶数，质数，合数，分解质因数，约数，倍数。

\r\n余数问题：完全平方数，数的进制，数的综合，周期性问题，数的拆分。

数的整除性1、整数a除以整数b（b≠0），所得的商是整数而没有余数，则称a能被b整除，或b整除a，记作：b｜a。

2、整除的性质：性质1.如果c｜a，c｜b，则c｜（a±b）。

性质2.如果bc｜a，则b｜a，c｜a。

性质3.如果c｜b，b｜a，则c｜a。

3、整除问题的解决方法：整除特征法；补9、补0试除法。

4、涉及极值的整除问题：逐步调整法。

5、数的整除特征：a.一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；……b.一个数各位数字之和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数字之和能被9整除，这个数就能被9整除；c.如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除；d.一个数从个位到高位，每三位进行分段，将形成的奇位之和与偶位之和以大减小，如果差可以被7、11、13整除，则此数也可被7、11、13整除；如果一个整数的末三位与末三位之前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除；e.如果逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除，那么这个数能被7整除；如果逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除，那么这个数能被11整除；如果逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除，那么这个数能被13整除；f.一个数从个位到高位，每两位分成一段，将每段上的数相加。

奥数数论知识点

奥数数论知识点奥数数论知识点一、基本概念和符号：1、整除：如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。

2、常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“”;因为符号“∵”，所以的符号“∴”;二、整除判断方法：1.能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。

2.能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。

3.能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。

4.能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。

5.能被7整除：①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。

②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。

6.能被11整除：①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。

②奇数位上的数字和与偶数位数的`数字和的差能被11整除。

③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。

7.能被13整除：①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。

②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。

三、整除的性质：1.如果a、b能被c整除，那么(a+b)与(a-b)也能被c整除。

2.如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。

3.如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。

4.如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。

以上就是为大家整理的小学奥数数论知识点，怎么样，大家还满意吗?希望对大家的学习有所帮助，同时也祝大家学习进步，考试顺利!。

小学奥数知识点梳理1-数论Word编辑

数论：1、奇偶；2、整除；3、余数；4、质数合数‘5、约数倍数；6、平方；7、进制；8、位值。

一、奇偶：一个整数或为奇数，或为偶数，二者必居其一。

奇偶数有如下运算性质：（1）奇数±奇数=偶数偶数±偶数=偶数奇数±偶数=奇数偶数±奇数=奇数（2）奇数个奇数的和（或差）为奇数；偶数个奇数的和（或差）为偶数，任意多个偶数的和（或差）总是偶数。

（3）奇数×奇数=奇数偶数×偶数=偶数奇数×偶数=偶数（4）若干个整数相乘，其中有一个因数是偶数，则积是偶数；如果所有的因数都是奇数，则积是奇数。

（5）偶数的平方能被4整队，奇数的平方被4除余1。

上面几条规律可以概括成一条：几个整数相加减，运算结果的奇偶性由算式中奇数的个数所确定；如果算式中共有偶数（注意：0也是偶数）个奇数，那么结果一定是偶数；如果算式中共有奇数个奇数，那么运算结果一定是奇数。

二、整除：掌握能被30以下质数整除的数的特征。

被2整除的数的特征为：它的个位数字之和可以被2整除.被3（9）整除的数的特征为：它的各位数字之和可以被3（9）整除。

被5整除的数的特征为：它的个位数字之和可以被5整除。

被11整除的数的特征是：它的奇位数字之和与偶位数字之和的差（大减小）能被11整除。

下面研究被7、11、13整除的数的特征。

有一关键性式子：7×11×13=1001。

判定某数能否被7或11或13整除，只要把这个数的末三位与前面隔开，分成两个独立的数，取它们的差（大减小），看它是否被7或11或13整除。

此法则可以连续使用。

例：N=987654321.判定N是否被11整除。

因为654不能被11整除，所以N不能被11整除。

例：N＝215332.判定N是否被7、11、13整除。

由于117＝13×9，所以117能被13整除，但不能被7、11整除，因此N能被13整除，不能被7、11整除。

小学奥数数论专题知识总结

小学奥数数论专题知识总结.docx名师总结精品知识点数论基础知识小学数论问题，起因于除法算式：被除数除数商余数1.能整除：整除，因数与倍数，奇数与偶数，质数与合数，公因数与公倍数，分解质因数等；2.不能整除：余数，余数的性质与计算（余数），同余问题（除数），物不知数问题（被除数）。

一、因数与倍数1、因数与倍数(1)定义：定义1：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的因数。

定义2：如果非零自然数a、b、c之间存在abc，或者cab，那么称a、b是c的因数，c是a、b的倍数。

注意：倍数与因数是相互依存关系，缺一不可。

（a、b是因数，c是倍数）一个数的因数个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。

一个数的倍数个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。

(2)一个数的因数的特点：最小的因数是1，第二小的因数一定是质数；最大的因数是它本身，第二大的因数是：原数第二小的因数(3)完全平方数的因数特征：完全平方数的因数个数是奇数个，有奇数个因数的数是完全平方数。

完全平方数的质因数出现次数都是偶数次；1000以内的完全平方数的个数是31个，20以内的完全平方数的个数是44个，3000以内的完全平方数的个数是22254个。

（31=961，44=1936，54=2916）2、数的整除（数的倍数）(1)定义：定义1：一般地，三个整数a、b、c，且b0，如有abc，则我们就说，a能被b整除，或b能整除a，或a能整除以b。

定义2：如果一个整数a，除以一个整数b（b0），得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。

（ab）(2)整除的性质：如果a、b能被c整除，那么（a b）与（a-b）也能被c整除。

如果a能被b整除，c是整数，那么ac也能被b整除。

如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。

如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。

(3)一些常见数的整除特征（倍数特征）：末位判别法2、5的倍数特征：末位上的数字是2、5的倍数。

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数论基础知识小学数论问题,起因于除法算式：被除数÷除数＝商……余数1.能整除：整除,因数与倍数,奇数与偶数,质数与合数,公因数与公倍数,分解质因数等；2.不能整除：余数,余数的性质与计算（余数）,同余问题（除数）,物不知数问题（被除数）。

一、因数与倍数1、因数与倍数（1）定义：定义1：若整数a能够被b整除,a叫做b的倍数,b就叫做a的因数。

定义2：如果非零自然数a、b、c之间存在a×b＝c,或者c÷a＝b,那么称a、b是c的因数,c是a、b 的倍数。

注意：倍数与因数是相互依存关系,缺一不可。

（a、b是因数,c是倍数）一个数的因数个数是有限的,最小的因数是1,最大的因数是它本身。

一个数的倍数个数是无限的,最小的倍数是它本身,没有最大的倍数。

（2）一个数的因数的特点：①最小的因数是1,第二小的因数一定是质数；②最大的因数是它本身,第二大的因数是：原数÷第二小的因数（3）完全平方数的因数特征：①完全平方数的因数个数是奇数个,有奇数个因数的数是完全平方数。

②完全平方数的质因数出现次数都是偶数次；③1000以内的完全平方数的个数是31个,2000以内的完全平方数的个数是44个,3000以内的完全平方数的个数是54个。

（312=961,442=1936,542=2916）2、数的整除（数的倍数）（1）定义：定义1：一般地,三个整数a、b、c,且b≠0,如有a÷b＝c,则我们就说,a能被b整除,或b能整除a,或a能整除以b。

定义2：如果一个整数a,除以一个整数b（b≠0）,得到一个整数商c,而且没有余数,那么叫做a能被b 整除或b能整除a,记作b|a。

（a≥b）（2）整除的性质：如果a、b能被c整除,那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。

如果a能被b整除,c是整数,那么a×c也能被b整除。

如果a能被b整除,b又能被c整除,那么a也能被c整除。

如果a能被b、c整除,那么a也能被b和c的最小公倍数整除。

（3）一些常见数的整除特征（倍数特征）：①末位判别法2、5的倍数特征：末位上的数字是2、5的倍数。

4、25的倍数特征：末两位上的数字是4、25的倍数。

8、125的倍数特征：末三位上的数字是8、125的倍数。

②截断求和法（从右开始截）9（及其因数3）的倍数特征：一位截断求和99（及其因数3、9、11、33）的倍数特征：两位截断求和999（及其因数3、9、27、37、111、333）的倍数特征：三位截断求和③截断求差法（从右开始截）11的倍数特征：一位截断求差101的倍数特征：两位截断求差1001（及其因数7、11、13、77、91、143）的倍数特征：三位截断求差④公倍数法6的倍数特征：2和3的公倍数。

先判断是否2的倍数,再判断是否3的倍数。

12的倍数特征：4和3的公倍数。

先判断是否4的倍数,再判断是否3的倍数。

3、奇数与偶数（自然数按是否能被2整除分类）（1）定义：奇数：不是2的倍数的数。

在自然数中,最小的奇数是1。

偶数：是2的倍数的数。

在自然数中,最小的偶数是0。

（2）数的奇偶性质：①奇偶相连,奇偶相间,偶数个连续自然数中,奇偶各半。

②奇数个奇数的和是奇数；偶数个奇数的和是偶数；任意多个偶数的和是偶数；③两个奇（偶）数的差是偶数；一个偶数与一个奇数的差是奇数；④若 a、b 为整数,则 a+b 与 a-b 有相同的奇偶性；⑤n 个奇数的乘积是奇数,n 个偶数的乘积是 2n的倍数；算式中有一个是偶数,则乘积必是偶数。

⑥连续的奇数或偶数差为2。

如,与奇数m相邻的两个奇数分别是(m-2)和(m+2)。

⑦奇偶分析：奇＋奇＝偶奇－奇＝偶奇×奇＝奇奇＋偶＝奇偶－偶＝偶奇×偶＝偶偶＋偶＝偶奇－偶＝奇偶×偶＝偶4、质数与合数（非0自然数按因数个数分类）（1）定义：质数：只有1和它本身两个因数的数。

（因数个数：2个）合数：除了1和它本身还有其它因数的数。

（因数个数：3个或3个以上）（2）常见质数特征：1既不是质数,也不是合数（1只有1个因数）；2是最小的质数；4是最小的合数；2是质数中唯一的偶数,也是偶数中唯一的质数（除2外,其它质数都是奇数）。

（3）100以内质数表（25个）：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97（4）分解质因数①唯一分解定理：任何一个大于1的自然数N,如果N不是质数,那么N可以唯一分解成有限个质数的乘积。

②质因数：如果某个质数是某个数的因数,那么这个质数叫做这个数的质因数。

③分解质因数：把一个合数写成它的几个质因数相乘的形式。

如：28＝2×2×7＝2²×7④通常用短除法分解质因数。

任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。

⑤要求出乘积中末尾0的个数,只需要知道这些乘数分解质因数后2和5的个数,不用考虑其它质因数。

（5）互质数：公因数只有1的两个数为互质数。

常见的互质数：①相邻自然数：8和9②相邻奇数：21和23③2与任意奇数：2和15④不同的两个质数：11和 17⑤1与任意非零自然数：1和4⑥当合数不是质数的倍数时,这个合数和这个质数互质:3和14⑦公因数只有1的两个合数：6和25⑧如果几个数中任意两个都互质,就说这几个数两两互质：3、5、75、最大公因数与最小公倍数（1）定义：最大公因数：几个数公有的因数叫这几个数的公因数,其中最大的一个叫做最大公因数,用(a,b)表示。

最小公倍数：几个数公有的倍数叫这几个数的公倍数,其中最小的一个叫做最小公倍数,用[a,b]表示。

（2）最大公因数的性质：①几个数都除以它们的最大公因数,所得的几个商是互质数。

②几个数的最大公因数都是这几个数的因数。

③几个数的公因数,都是这几个数的最大公因数的因数。

④几个数都乘一个自然数m,所得的积的最大公因数等于这几个数的最大公因数乘m。

（3）最小公倍数的性质：①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。

②两个数最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。

即(a,b)×[a,b]＝a×b（4）求最大公因数的方法：①列举法②短除法③分解质因数法：先分解质因数,然后把相同的因数连乘起来。

④辗转相除法：每一次都用除数和余数相除,能够整除的那个余数,就是所求的最大公因数。

（5）求最小公倍数基本方法：①列举法②短除法③分解质因数法（6）分类求最大公因数和最小公倍数：①倍数关系：a是b的倍数,(a,b)＝b,[a,b]＝a②互质关系：a与b互质,(a,b)＝1,[a,b]＝a×b③一般关系：a与b不互质也不倍数,用短除法。

(a,b)＝左侧除数连乘积,[a,b]＝除数和商连乘积6、分解质因数的运用：（1）求一个数因数的个数①列举法：2个一组列举②分解质因数法：①分解质因数②所有不同质数出现次数+1连乘积（指数加1再相乘）如：360＝2³×3²×5,360的因数个数：(3+1)×(2+1)×(1+1)＝4×3×2＝24（个）（2）求一个数的所有因数的和步骤：①分解质因数②所有不同质因数的各种取法之和的连乘积。

如：180＝2²×3²×5,180的所有因数之和：(20＋21＋22)×(30＋31＋32)(50＋51)＝7×13×6＝546二、余数性质与同余问题1、余数的性质(1)余数小于除数。

(2)若a、b除以c的余数相同,则(a-b)或(b-a)可以被c整除。

(3)a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加b除以c的余数的和除以c的余数。

（和的余数＝余数的和）(4)a与b的差除以c的余数等于a除以c的余数减b除以c的余数的差除以c的余数。

（差的余数＝余数的差）(5)a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以c的余数。

（积的余数＝余数的积）2、余数的计算（求余数）(1)末位判断法：2,5,4,25,8,125(2)数字求和法：3,9各个数位上数字之和除以3或9的余数＝某数除以3或9的余数。

如：234569。

2+3+4+5+6+9＝29,因为29÷9＝3…2,所以234569÷9＝？…2,即234569≡29(mod 9) (3)截断求和法：99,999及其因数99（3、9、11、33）：两位截断求和,得到的和除以99余数,即原数除以99的余数。

999（3、9、27、37、111、333）：三位截断求和,得到的和除以999余数,即原数除以999的余数。

如：12345。

345+12=357,357＜999,所以12345÷999余357。

(4)截断求差法：从右开始截断,奇段和－偶段和。

11,101,1001及其因数7、11、13、77、91、143。

①11：一位截断作差。

从右开始,1位截断,(奇数位数字之和)-(偶数位数字之和)÷11的余数,即为原数÷11的余数；如不够减,求出的负数+11。

如：234569。

奇数位数字之和3+5+9＝17,偶数位数字之和2+4+6＝12,17-12＝5,所以234569÷11余5,即234569≡5(mod 11)如：98,（奇数位8＜偶数位9）8-9＝-1,-1+11=10,则98÷11＝8……10,即98≡10(mod 11)②101：两位截断作差。

从右开始,2位截断,(奇位和)-(偶位和)÷101的余数,即为原数÷101的余数；如不够减,求出的负数+101。

③1001（7、11、13、77、91、143）：三位截断作差。

从右开始,3位截断,(奇位和)-(偶位和)÷1001的余数,即为原数÷1001的余数；如不够减,求出的负数+1001。

3、费马小定理如果p是质数,a是自然数,且a不能被p整除,则a p-1≡1(mod p)。

即：假如a是自然数,p是质数,且a,p互质,那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。

如：a是自然数2,p是质数5,2和5互质,2（5-1）÷5余1。

a是自然数10,p是质数3,10和3互质,10（3-1）÷3余1。

4、同余问题（求除数）同余的定义：(1)若两个整数a、b除以m的余数相同,则称a、b对于模m同余。

(2)已知三个整数a、b、m,如果m能被(a-b)整除,就称a、b对于模m同余,记作a≡b(mod m),读作a同余于b模m。

5、中国剩余定理（物不知数问题：求被除数）在一千多年前的《孙子算经》中有著名算题：今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二。