小学奥数数论专题知识总结

数论基础知识小学数论问题，起因于除法算式：被除数÷除数＝商……余数1.能整除：整除，因数与倍数，奇数与偶数，质数与合数，公因数与公倍数，分解质因数等；2.不能整除：余数，余数的性质与计算（余数），同余问题（除数），物不知数问题（被除数）。

一、因数与倍数1、因数与倍数（1）定义：定义1：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的因数。

定义2：如果非零自然数a、b、c之间存在a×b＝c，或者c÷a＝b，那么称a、b是c的因数，c是a、b 的倍数。

注意：倍数与因数是相互依存关系，缺一不可。

（a、b是因数，c是倍数）一个数的因数个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。

一个数的倍数个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。

（2）一个数的因数的特点：①最小的因数是1，第二小的因数一定是质数；②最大的因数是它本身，第二大的因数是：原数÷第二小的因数（3）完全平方数的因数特征：①完全平方数的因数个数是奇数个，有奇数个因数的数是完全平方数。

②完全平方数的质因数出现次数都是偶数次；③1000以内的完全平方数的个数是31个，2000以内的完全平方数的个数是44个，3000以内的完全平方数的个数是54个。

（312=961，442=1936，542=2916）2、数的整除（数的倍数）（1）定义：定义1：一般地，三个整数a、b、c，且b≠0，如有a÷b＝c，则我们就说，a能被b整除，或b能整除a，或a能整除以b。

定义2：如果一个整数a，除以一个整数b（b≠0），得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。

（a≥b）（2）整除的性质：如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。

如果a能被b整除，c是整数，那么a×c也能被b整除。

如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。

如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。

（3）一些常见数的整除特征（倍数特征）：①末位判别法2、5的倍数特征：末位上的数字是2、5的倍数。

4、25的倍数特征：末两位上的数字是4、25的倍数。

8、125的倍数特征：末三位上的数字是8、125的倍数。

②截断求和法（从右开始截）9（及其因数3）的倍数特征：一位截断求和99（及其因数3、9、11、33）的倍数特征：两位截断求和999（及其因数3、9、27、37、111、333）的倍数特征：三位截断求和③截断求差法（从右开始截）11的倍数特征：一位截断求差101的倍数特征：两位截断求差1001（及其因数7、11、13、77、91、143）的倍数特征：三位截断求差④公倍数法6的倍数特征：2和3的公倍数。

先判断是否2的倍数，再判断是否3的倍数。

12的倍数特征：4和3的公倍数。

先判断是否4的倍数，再判断是否3的倍数。

3、奇数与偶数（自然数按是否能被2整除分类）（1）定义：奇数：不是2的倍数的数。

在自然数中，最小的奇数是1。

偶数：是2的倍数的数。

在自然数中，最小的偶数是0。

（2）数的奇偶性质：①奇偶相连，奇偶相间，偶数个连续自然数中，奇偶各半。

②奇数个奇数的和是奇数；偶数个奇数的和是偶数；任意多个偶数的和是偶数；③两个奇（偶）数的差是偶数；一个偶数与一个奇数的差是奇数；④若 a、b 为整数，则 a+b 与 a-b 有相同的奇偶性；⑤n 个奇数的乘积是奇数，n 个偶数的乘积是 2n的倍数；算式中有一个是偶数，则乘积必是偶数。

⑥连续的奇数或偶数差为2。

如，与奇数m相邻的两个奇数分别是(m-2)和(m+2)。

⑦奇偶分析：奇＋奇＝偶奇－奇＝偶奇×奇＝奇奇＋偶＝奇偶－偶＝偶奇×偶＝偶偶＋偶＝偶奇－偶＝奇偶×偶＝偶4、质数与合数（非0自然数按因数个数分类）（1）定义：质数：只有1和它本身两个因数的数。

（因数个数：2个）合数：除了1和它本身还有其它因数的数。

（因数个数：3个或3个以上）（2）常见质数特征：1既不是质数，也不是合数（1只有1个因数）；2是最小的质数；4是最小的合数；2是质数中唯一的偶数，也是偶数中唯一的质数（除2外，其它质数都是奇数）。

（3）100以内质数表（25个）：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97（4）分解质因数①唯一分解定理：任何一个大于1的自然数N,如果N不是质数，那么N可以唯一分解成有限个质数的乘积。

②质因数：如果某个质数是某个数的因数，那么这个质数叫做这个数的质因数。

③分解质因数：把一个合数写成它的几个质因数相乘的形式。

如：28＝2×2×7＝2²×7④通常用短除法分解质因数。

任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。

⑤要求出乘积中末尾0的个数，只需要知道这些乘数分解质因数后2和5的个数，不用考虑其它质因数。

（5）互质数：公因数只有1的两个数为互质数。

常见的互质数：①相邻自然数：8和9②相邻奇数：21和23③2与任意奇数：2和15④不同的两个质数：11和 17⑤1与任意非零自然数：1和4⑥当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质:3和14⑦公因数只有1的两个合数：6和25⑧如果几个数中任意两个都互质，就说这几个数两两互质：3、5、75、最大公因数与最小公倍数（1）定义：最大公因数：几个数公有的因数叫这几个数的公因数，其中最大的一个叫做最大公因数，用(a，b)表示。

最小公倍数：几个数公有的倍数叫这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做最小公倍数，用[a，b]表示。

（2）最大公因数的性质：①几个数都除以它们的最大公因数，所得的几个商是互质数。

②几个数的最大公因数都是这几个数的因数。

③几个数的公因数，都是这几个数的最大公因数的因数。

④几个数都乘一个自然数m，所得的积的最大公因数等于这几个数的最大公因数乘m。

（3）最小公倍数的性质：①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。

②两个数最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。

即(a，b)×[a，b]＝a×b（4）求最大公因数的方法：①列举法②短除法③分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。

④辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公因数。

（5）求最小公倍数基本方法：①列举法②短除法③分解质因数法（6）分类求最大公因数和最小公倍数：①倍数关系：a是b的倍数，(a，b)＝b，[a，b]＝a②互质关系：a与b互质，(a，b)＝1，[a，b]＝a×b③一般关系：a与b不互质也不倍数，用短除法。

(a，b)＝左侧除数连乘积，[a，b]＝除数和商连乘积6、分解质因数的运用：（1）求一个数因数的个数①列举法：2个一组列举②分解质因数法：①分解质因数②所有不同质数出现次数+1连乘积（指数加1再相乘）如：360＝2³×3²×5，360的因数个数：(3+1)×(2+1)×(1+1)＝4×3×2＝24（个）（2）求一个数的所有因数的和步骤：①分解质因数②所有不同质因数的各种取法之和的连乘积。

如：180＝2²×3²×5，180的所有因数之和：(20＋21＋22)×(30＋31＋32)(50＋51)＝7×13×6＝546二、余数性质与同余问题1、余数的性质(1)余数小于除数。

(2)若a、b除以c的余数相同，则(a-b)或(b-a)可以被c整除。

(3)a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加b除以c的余数的和除以c的余数。

（和的余数＝余数的和）(4)a与b的差除以c的余数等于a除以c的余数减b除以c的余数的差除以c的余数。

（差的余数＝余数的差）(5)a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以c的余数。

（积的余数＝余数的积）2、余数的计算（求余数）(1)末位判断法：2，5，4，25，8，125(2)数字求和法：3，9各个数位上数字之和除以3或9的余数＝某数除以3或9的余数。

如：234569。

2+3+4+5+6+9＝29，因为29÷9＝3…2，所以234569÷9＝？…2，即234569≡29(mod 9) (3)截断求和法：99，999及其因数99（3、9、11、33）：两位截断求和，得到的和除以99余数，即原数除以99的余数。

999（3、9、27、37、111、333）：三位截断求和，得到的和除以999余数，即原数除以999的余数。

如：12345。

345+12=357,357＜999，所以12345÷999余357。

(4)截断求差法：从右开始截断，奇段和－偶段和。

11，101，1001及其因数7、11、13、77、91、143。

①11：一位截断作差。

从右开始，1位截断，(奇数位数字之和)-(偶数位数字之和)÷11的余数,即为原数÷11的余数；如不够减，求出的负数+11。

如：234569。

奇数位数字之和3+5+9＝17，偶数位数字之和2+4+6＝12，17-12＝5，所以234569÷11余5，即234569≡5(mod 11)如：98，（奇数位8＜偶数位9）8-9＝-1，-1+11=10，则98÷11＝8……10，即98≡10(mod 11)②101：两位截断作差。

从右开始，2位截断，(奇位和)-(偶位和)÷101的余数,即为原数÷101的余数；如不够减，求出的负数+101。

③1001（7、11、13、77、91、143）：三位截断作差。

从右开始，3位截断，(奇位和)-(偶位和)÷1001的余数,即为原数÷1001的余数；如不够减，求出的负数+1001。

3、费马小定理如果p是质数，a是自然数，且a不能被p整除，则a p-1≡1(mod p)。

即：假如a是自然数，p是质数，且a,p互质，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。

如：a是自然数2，p是质数5，2和5互质，2（5-1）÷5余1。

a是自然数10，p是质数3，10和3互质，10（3-1）÷3余1。

4、同余问题（求除数）同余的定义：(1)若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。

(2)已知三个整数a、b、m，如果m能被(a-b)整除，就称a、b对于模m同余，记作a≡b(mod m)，读作a同余于b模m。

5、中国剩余定理（物不知数问题：求被除数）在一千多年前的《孙子算经》中有著名算题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。