三角函数单调性之辨析
高考数学专题讲解：三角函数的单调性
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计算三角函数单调性
例题：求函数f (x) 3tan( 1 x ) 1的单调性。
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解法设计：A 3 0 1 0 三角函数单调性发生改变
2
k 1 x k
2
2 62
原始单调递增，单调性改变，现在单调递减
k 1 x k
6
6
x [ 7 2k, 2k] f (x)单调递增
6
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计算三角函数单调性
例题：求函数 f (x) cos(2x )的单调性。
4
解法设计：A 1 0 2 0 三角函数单调性不发生改变
2k 2x 2 2k
4
3
原创解法设计中心
2
3
训练三：求函数 f (x) 3tan( x ) 2 的单调性。
4
训练四：求函数 f (x) 2sin( 3x )的单调性。
4
训练五：求函数 f (x) 4cos(x ) 3 的单调性。
6
训练六：求函数 f (x) 2tan(x ) 的单调性。
5
2
2
当x [ 2k,2 2k]时：
函数 f (x) cos x单调递增
知识点储备
y
0
2
2
f (x) tan x的单调性
3
x
当x
(
2
k,
2
k )
时：
2
函数 f (x) tan x单调递增
计算三角函数单调性
A 振幅A 0 三角函数的单调性不发生改变 振幅A 0 三角函数的单调性发生改变 A0
高二数学三角函数的单调性与极值
高二数学三角函数的单调性与极值高二数学三角函数的单调性与极值三角函数是数学中一个非常重要且常见的概念，在数学课程中，我们常常会遇到讨论三角函数的单调性和极值的问题。
本文将针对高二数学课程中三角函数的单调性与极值进行详细的论述和解析。
一、三角函数的定义与基本性质在开始讨论三角函数的单调性与极值之前，我们首先需要了解三角函数的定义和基本性质。
三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
1. 正弦函数：由一个单位圆周上的某一点P(x, y)引出的线段OP，其中O为圆心，P在单位圆的半径为1的圆上。
正弦函数的定义为sinθ = y。
2. 余弦函数：同样由单位圆上的某一点引出的线段OP，余弦函数的定义为cosθ = x。
3. 正切函数：正切函数的定义为tanθ = sinθ / cosθ。
二、三角函数单调性的判定方法为了讨论三角函数的单调性，我们需要先了解如何判定函数的单调性。
对于区间[a, b]上的函数f(x)，我们可以通过其导数的正负来判断函数的单调性。
1. 如果函数f'(x) > 0，那么函数f(x)在[a, b]上单调递增。
2. 如果函数f'(x) < 0，那么函数f(x)在[a, b]上单调递减。
3. 如果函数f'(x) = 0，那么函数f(x)在[a, b]上可能存在极值点。
三、正弦函数的单调性与极值正弦函数的图像为周期性的波浪线，在区间[0, 2π]上，正弦函数的单调性和极值如下：1. 单调递增：在区间[0, π/2]和[3π/2, 2π]上，正弦函数单调递增。
2. 单调递减：在区间[π/2, 3π/2]上，正弦函数单调递减。
3. 极值点：在区间[0, π]和[π, 2π]上，正弦函数存在极值点。
极小值点为π/2的整数倍，极大值点为π的整数倍。
四、余弦函数的单调性与极值余弦函数的图像也是周期性的波浪线，在区间[0, 2π]上，余弦函数的单调性和极值如下：1. 单调递增：在区间[3π/2, 2π]和[0, π/2]上，余弦函数单调递增。
《单调性、最大值与最小值》三角函数PPT
课前篇
自主预习
一
二
三
2.填空
(1)
曲 线
正弦曲线
对称轴方程
x=kπ+ 2 ( ∈ )
余弦曲线
x=kπ(k∈Z)
对称中心坐标
(kπ,0)(k∈Z)
π
π + 2 ,0 (k∈Z)
(2)正弦曲线(余弦曲线)的对称轴都经过正弦曲线(余弦曲线)的
最高点或最低点,即函数y=sin x(y=cos x)的最值点;正弦曲线(余弦
三角函数
第2课时 单调性、最大值与最小值
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课标阐释
1.理解正弦函数与余弦函数的
单调性,会求函数的单调区间.
2.能够利用三角函数单调性比
较三角函数值的大小.
3.能够结合三角函数的单调性
求函数的最值和值域.
思维脉络
课前篇
自主预习
一
二
三
一、正弦函数与余弦函数的单调性
1.观察正弦曲线,正弦函数在哪些区间上是增函数?在哪些区间上
法整体代换,将ωx+φ看作一个整体,可令“z=ωx+φ”,即通过求y=Asin
z的单调区间求出原函数的单调区间.若ω<0,则可利用诱导公式将x
的系数转变为正数.
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
变式训练 1 求函数 y=2cos
π
π
-
4
思维辨析
随堂演练
的单调递增区间.
π
解:y=2cos 4 - =2cos - 4 .
π
3π
x=2kπ+2(k∈Z)时取最大值 1,当且仅当 x=2kπ+ 2 (k∈Z)时取最小值
三角函数的性质对称性与单调性
03
三角函数的基本图像
正弦函数图像
1
正弦函数图像是周期函数，其周期为$2pi$。
2
正弦函数图像在$[0, pi]$区间内是单调递增的， 而在$[pi, 2pi]$区间内是单调递减的。
3
正弦函数图像关于直线$y = 0$对称，也即关于 原点对称。
余弦函数图像
余弦函数图像也是周期函数， 其周期为$2pi$。
在统计学中，三角函数用于描述数据的分布和变化规 律，如正态分布、泊松分布等。
计量经济学
在计量经济学中，三角函数用于建立经济模型和进行 预测分析，如时间序列分析、回归分析等。
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三角函数的有界性
正弦函数y=sinx和余弦函数y=cosx都是有界函数， 其值域分别为[-1,1]。
有界性的应用
有界性是三角函数的一个重要性质，在解决 三角函数的值域、最值等问题中有着重要的 应用。
02
三角函数的对称性
轴对称
总结词
三角函数的图像关于y轴对称，这是由于三角函数的定义和性 质决定的。
振动与波动
三角函数在描述简谐振动和波动 问题时也经常用到，例如振幅、 相位、频率等参数都可以用三角 函数来表示。
电磁波
在研究电磁波的传播和辐射时， 三角函数也扮演着重要的角色， 如电磁波的极化、偏振等现象都 可以用三角函数来描述。
在工程中的应用
01
机械振动
在机械工程中，三角函数被广泛 应用于描述各种振动现象，如弹 簧振荡、阻尼振荡等。
详细描述
三角函数在数学中有着广泛的应用，它们的图像具有特定的 对称性。例如，正弦函数和余弦函数的图像都是关于y轴对称 的。这种对称性是由三角函数的定义和性质决定的，对于理 解三角函数的性质和行为非常重要。
高中数学三角函数的单调性知识分析
高中数学三角函数的单调性知识分析卢玉玺(安徽省临泉第二中学㊀２３６４００)摘㊀要:纵观近几年的高考数学卷ꎬ我们不难发现三角函数这部分的知识已经成为了数学高考中的一大 风景点 .但是在实际解题中ꎬ很多学生对这部分知识中的应用能力并不特别强.因此ꎬ本文中将以 三角函数中的单调性 类题目的解法为例ꎬ与同学们一起寻找此类题目的解题规律.关键词:高中数学ꎻ三角函数ꎻ单调性中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)１３－００２４－０２收稿日期:２０２０－０２－０５作者简介:卢玉玺(１９７９.１２－)ꎬ男ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀一㊁正弦函数的单调区间在高中数学的学习中ꎬ函数问题较为常见ꎬ其中三角函数作为同学们整个高中阶段函数学习的重点更是具有着不容忽视的地位ꎬ在三角函数类的解题中ꎬ以正弦函数的单调性类题目为例ꎬ为更好求解正弦函数的单调区间我们就可以借助诱导公式的方法.例１㊀求函数ｙ＝ｓｉｎ(π３－２ｘ)的单调区间.思路分析㊀分析题目ꎬ我们可以发现ꎬ此题中函数的ω<０ꎬ因此在本题中我们就可以先利用诱导公式将函数中ｘ的系数化为正值ꎬ然后再根据正弦函数的单调区间求出此题答案.根据这一思路我们就可以将原函数转化为ｙ＝－ｓｉｎ(２ｘ－π３)ꎬ此时所求函数的增区间就是ｙ＝ｓｉｎ(２ｘ－π３)的减区间ꎻ所求函数的减区间就是ｙ＝ｓｉｎ(２ｘ－π３)的增区间.之后ꎬ再根据正弦函数的单调区间求法ꎬ我们就可以得到２ｋπ＋π２ɤ２ｘ－π３ɤ２ｋπ＋３π２(ｋɪＺ)ꎬ解得ｋπ＋５π１２ɤｘɤｋπ＋１１π１２(ｋɪＺ).故所求函数的增区间为[ｋπ＋５π１２ꎬｋπ＋１１π１２](ｋɪＺ).同理ꎬ在求原函数的减区间时ꎬ我们也可以沿用这种思路ꎮ在本题中ꎬ通过分析ｙ＝ｓｉｎ(２ｘ－π３)的增区间ꎬ我们可知２ｋπ－π２ɤ２ｘ－π３ɤ２ｋπ＋π２(ｋɪＺ)ꎬ解得ｋπ－π１２ɤｘɤｋπ＋５π１２(ｋɪＺ).故所求函数的减区间为[ｋπ－π１２ꎬｋπ＋５π１２](ｋɪＺ).方式评注㊀在求三角函数的单调区间时ꎬ当不好直接对题目进行分析时就可以先借助诱导公式对其变形处理ꎬ然后再根据相应原理进行解题分析ꎬ以此提高我们的解题效率ꎬ让我们更准确地找出问题的解答策略.㊀㊀二㊁正切函数的单调区间本部分中我将以数形结合思想为例ꎬ带领大家探究利用数形结合思想求正切函数单调区间的具体方法.例２㊀求函数ｙ＝ｔａｎ｜ｘ｜的单调区间.思考方式:我们可以发现题目中的正切函数是一个绝对值函数ꎬ因而在此题中我们就可以利用数形结合的方法进行求解.在解题中ꎬ我们可以先根据题目要求及已有数学经验作出ｙ＝ｔａｎ｜ｘ｜的函数图象ꎬ因为函数ｙ＝ｔａｎ｜ｘ｜是一个偶函数ꎬ所以它的图象应该关于ｙ轴对称.通过作图分析的方式我们可以知道:当ｘ>０时ꎬｙ＝ｔａｎｘꎬ其增区间为(０ꎬπ２)ꎬ(ｋπ－π２ꎬｋπ＋π２)ꎬｋɪＮ∗ꎻ当ｘ<０时ꎬｙ＝－ｔａｎｘꎬ其减区间为(－π２ꎬ０)ꎬ(ｋπ－３π２ꎬｋπ－π２)ꎬｋ为非正整数.故此题的答案应为:ｙ＝ｔａｎ｜ｘ｜的增区间为(０ꎬπ２)ꎬ(ｋπ－π２ꎬｋπ＋π２)ꎬｋɪＮ∗ꎻ减区间为(－π２ꎬ０)ꎬ(ｋπ－３π２ꎬｋπ－π２)ꎬｋ为非正整数.方式评注㊀在三角函数的单调性类题目中这种图象４２解题的方法较为常见ꎬ在如例题中的题目里ꎬ同学们就可以利用图象的方法ꎬ通过作图分析ꎬ从左到右观察图象ꎬ按照 图象中呈上升趋势的区间为增区间㊁呈下降趋势的区间为减区间 这一理念进行题目求解.㊀㊀三㊁余弦函数的单调区间三角函数的单调性部分是三角函数的主要性质之一ꎬ本部分中ꎬ我将与同学们一起探索余弦函数的单调区间求取方法.例３㊀求函数ｙ＝ｃｏｓ(２ｘ＋π６)的单调区间.思考方式㊀本题中的函数是一个余弦函数ꎬ我们可以利用余弦函数的单调性进行求解.在解题过程中我们可以先将２ｘ＋π６看成一个整体ꎬ然后根据余弦函数的单调增区间求解方法就可以得到２ｋπ－πɤ２ｘ＋π６ɤ２ｋπ(ｋɪＺ)ꎬｋπ－７π１２ɤｘɤｋπ－π１２(ｋɪＺ).故所求函数ｙ＝ｃｏｓ(２ｘ＋π６)的增区间应为[ｋπ－７π１２ꎬｋπ－π１２](ｋɪＺ).在求函数的单调递减区间时ꎬ我们也可以用这种方法ꎬ先将２ｘ＋π６看成一个整体ꎬ然后通过对题目的分析可得２ｋπɤ２ｘ＋π６ɤ２ｋπ＋π(ｋɪＺ)ꎬｋπ－π１２ɤｘɤｋπ＋５π１２(ｋɪＺ).故所求函数ｙ＝ｃｏｓ(２ｘ＋π６)的减区间应为[ｋπ－π１２ꎬｋπ＋５π１２](ｋɪＺ).方式评注㊀对于一些比较复杂的函数ꎬ同学们就可以使用这种方法先将原函数中的式子视为一个整体ꎬ然后再利用相关定理求解.总之ꎬ在高中数学中三角函数的单调性部分的解题过程中ꎬ同学们应该注意挖掘典型题目的具体特征ꎬ并不断总结㊁不断反思ꎬ以期形成一套完整的数学解题思路ꎬ并合理地通过知识迁移及相关题目的变式练习将自己的思路运用到实际解题中ꎬ以此达到事半功倍的学习效果.㊀㊀参考文献:[１]孙月.对高中函数单调性的解析策略研究[Ｊ].新课程(中学)ꎬ２０１５(１０):６８.[２]张先龙ꎬ肖凌戆.基于数学核心素养的教学设计 以函数的单调性新授课为例[Ｊ].中学数学教学参考ꎬ２０１７(ｚ１):１６－１９.[责任编辑:李㊀璟]一题多解一题多变在切线方程中的运用探究伍锡浪(江西省九江第一中学㊀３３２０００)摘㊀要:本文通过对２０１３年高考数学山东卷理科第２２题的研究ꎬ引发了对圆锥曲线的切线方程的探究ꎬ体现了导数的工具性作用ꎬ进一步表明了数学教学中应提倡一题多解一题多变的探究ꎬ从而大力提高学生的探索能力和创造能力.关键词:一题多解ꎻ一题多变ꎻ圆锥曲线ꎻ切线方程ꎻ斜率ꎻ导数中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)１３－００２５－０２收稿日期:２０２０－０２－０５作者简介:伍锡浪ꎬ江西省九江人ꎬ硕士ꎬ高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.基金项目:江西省教育科学 十三五 规划２０１８年度ꎬ课题«一题多解一题多变在教学中的运用研究»编号:１８ＰＴＹＢ０３６㊀㊀«普通高中数学课程标准(实验)»指出: 学生的数学学习活动不应只限于接受㊁记忆㊁模仿和练习ꎬ高中数学课程还应倡导自主探究㊁动手实践㊁合作交流㊁阅读自学等学习数学的方式. 这就要求我们在教学中重在为学生创设良好的思维情境ꎬ让学生在自主探究和合作交流的过程中体验数学发现和创造的历程ꎬ学会研究问题㊁解决问题ꎬ做到举一反三㊁触类旁通.从而大力提高学生的探索能力和创造能力.㊀㊀一㊁真题铺路㊀引出课题(２０１３年高考数学山东卷理科第２２题)椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)的左㊁右焦点分别为Ｆ１㊁Ｆ２ꎬ离心率为３２ꎬ过点５２。
三角函数的单调性、奇偶性、周期性
(A)f(x+2)是奇函数
(C)f(x-2)是奇函数
(B)f(x+2)是偶函数
(D)f(x-2)是偶函数
3 .已知 函 数 f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β)+4， 当 f(2001)=5 时 ， f(2002)=( )B (A)1 (B)3 (C)5 (D)7
4.函数y=2sin2x+sin2x是( D ) (A)以2π为周期的奇函数 (B)以2π为周期的非奇非偶函数 (C)以π为周期的奇函数 (D)以π为周期的非奇非偶函数 5.下列命题中正确的是( D ) (A)若α，β是第一象限角，且α＞β，则sinα＞sinβ (B)函数y=sinx· cotx的单调递增区间是(2kπ-π/2，2kπ+ π/2)，k∈Z (C)函数y=(1-cos2x)/sin2x的最小正周期是2π (D) 函 数 y=sinxcos2φ-cosxsin2φ 的 图 象 关 于 y 轴 对 称 ， 则 φ=kπ/2+π/4，k∈Z
2.判断下列函数是否为周期函数；若是，判断其是否存 在最小正周期，若存在，求出它的最小正周期：
1 ①y sin 4 x 1 ②y sin x 3 3 x ③y tan 4 6 ④y 2
【 解 题 回 顾 】 若 三 角 函 数 y=f(x)的 最 小 正 周 期 为 T， 则 f(ωx+φ)的最小正周期就是T|ω|；另外，周期函数的图像必 然呈现一种“周而复始”的规律特征，反之亦然，所以判 断函数的周期性的一个有效方法是作图
5 3.已知函数 f x 5 sin x cos x 5 3 cos x 3 x R 2
2
y=cosx的单调性
函数y=cosx的单调性是指函数y=cosx在定义域内的单调性。
函数
y=cosx的定义域是实数集，即所有实数都可以作为x的值。
函数y=cosx的单调性可以用函数的导数来表示，函数y=cosx的导数是-sinx，即当x增大时，函数y=cosx的导数值会减小，当x减小时，函数y=cosx的导数值会增大。
由此可以看出，函数y=cosx在定义域内是单调递减的。
另外，函数y=cosx的单调性也可以用函数的图像来表示。
函数y=cosx 的图像是一条曲线，从x轴正半轴开始，曲线先向上，然后向下，再向上，最后又向下，形成一个波浪状的曲线。
从图像上可以看出，函数y=cosx在定义域内是单调递减的。
总之，函数y=cosx的单调性是指函数y=cosx在定义域内的单调性，可以用函数的导数和图像来表示，函数y=cosx在定义域内是单调递减的。
三角函数的单调性
三角函数的单调性
三角函数的单调性：
1、余弦函数是递减的：
余弦函数属于三角函数，它表示的是曲线在角度大小与变形上的映射关系。
若角度值从小到大，余弦函数也会从正到负，最终到达一个最小值后变为正。
总的来说，余弦函数是递减的单调函数。
2、正弦函数是递增的：
和余弦函数相比，正弦函数同样属于三角函数，它表示的是曲线在角度大小与变形上的映射关系。
若角度值从小到大，正弦函数也会从负到正，最终到达一个最大值后变为负。
所以可以认为，正弦函数是递增的单调函数。
3、斜率函数是恒定的：
斜率函数也属于三角函数，它描述的是曲线在斜率上的关系。
无论是从小到大，还是从大到小，斜率函数均是恒定的。
所以斜率函数既不是递减的也不是递增的，而是一个常数，它不具有单调性。
总结：
三角函数可以分为余弦函数、正弦函数和斜率函数三种，其中，余弦函数是递减的单调函数，正弦函数是递增的单调函数，而斜率函数是恒定的常数函数，不具有单调性。
高三数学讨论单调性知识点
高三数学讨论单调性知识点在高三数学中，单调性是一个重要的概念。
它描述了函数在定义域上的增减性质，并在我们解决问题、推导结论和求解方程时起到重要的作用。
本文将讨论一些与单调性相关的知识点，帮助高中生在数学学习中更好地理解和应用这一概念。
一、函数的单调性定义和判别在开始讨论单调性之前，我们需要先明确函数的定义和判别方法。
函数是一个将自变量映射到因变量的规则，通常用符号f(x)表示。
对于给定的函数，我们可以通过计算函数的导数和二阶导数来判别函数的单调性。
一个函数在定义域上是增函数，如果对于定义域内的任意两个不同的自变量x1和x2，有f(x1)<f(x2)。
类似地，如果对于定义域内的任意两个不同的自变量x1和x2，有f(x1)>f(x2)，那么函数在定义域上是减函数。
我们可以通过计算函数的一阶导数来判别函数的单调性。
一个函数在某个区间上是增函数，如果在该区间上的导数恒大于零。
同样地，一个函数在某个区间上是减函数，如果在该区间上的导数恒小于零。
二、常见函数的单调性讨论在高中数学中，我们经常遇到一些常见函数的单调性问题。
下面我们将讨论一些常见函数的单调性性质。
1. 线性函数线性函数是形如f(x) = ax + b的函数，其中a和b是常数且a不等于零。
线性函数的单调性与其斜率有关。
当a>0时，线性函数是增函数；当a<0时，线性函数是减函数。
2. 幂函数幂函数是形如f(x) = x^a的函数，其中a是常数。
幂函数的单调性取决于指数a的奇偶性。
当a为正偶数时，幂函数是增函数；当a为正奇数时，幂函数是减函数；当a为负数时，幂函数是增函数（指数为负数时需考虑定义域）。
3. 指数函数指数函数是形如f(x) = a^x的函数，其中a是常数且a不等于零和一。
指数函数在定义域内均为增函数。
4. 对数函数对数函数是形如f(x) = loga x的函数，其中a是常数且a大于零且不等于一。
对数函数的单调性与底数a有关。
初中数学 如何求解三角函数的单调性变换问题
初中数学如何求解三角函数的单调性变换问题要求解三角函数的单调性变换问题，我们需要了解三角函数的单调性特点和单调性变换的规律。
下面以正弦函数为例，介绍如何求解三角函数的单调性变换问题。
1. 正弦函数的单调性特点：正弦函数sin(x)在不同的区间上可能是单调递增的、单调递减的或者既不递增也不递减。
正弦函数的单调性特点是在某个区间上单调递增或者单调递减。
2. 求解正弦函数的单调性变换问题：现在我们要求解sin(x)的单调性变换，即要找到一个变换函数，使sin(x)的单调递增变为单调递减，或者单调递减变为单调递增。
-单调性的定义：在某个区间上，如果函数f(x)递增，则称f(x)为单调递增；如果函数f(x)递减，则称f(x)为单调递减。
-单调性的变换规律：在单调性变换中，函数的递增和递减互为相反。
-单调性变换的关键点：要求解单调性变换问题，我们需要找到一个变换函数，使函数的单调递增变为单调递减，或者单调递减变为单调递增。
3. 具体求解单调性变换问题的方法：对于正弦函数sin(x)，我们可以通过以下步骤求解单调性变换问题：-步骤1：确定变换函数。
变换函数是将函数的单调递增变为单调递减，或者单调递减变为单调递增。
对于正弦函数sin(x)，我们可以使用变换函数-f(x)。
-步骤2：根据变换函数，确定单调性变换后的函数图像的单调递增和单调递减区间。
在坐标平面上，我们可以找到一个变换函数，使其图像的单调递增和单调递减区间互为相反。
-步骤3：根据单调性的变换规律，确定单调性变换后的函数图像的单调递增和单调递减区间。
在单调性变换中，函数的单调递增和单调递减互为相反。
4. 其他三角函数的单调性变换问题：类似地，我们可以根据其他三角函数的单调性特点和单调性变换的规律来求解单调性变换问题。
以余弦函数为例，余弦函数cos(x)在不同的区间上可能是单调递增的、单调递减的或者既不递增也不递减。
当我们对cos(x)进行单调性变换时，其单调递增和单调递减区间也会发生变化。
第59课--求三角函数的单调区间(或判断三角函数的单调性)
第59课求三角函数的单调区间（或判断三角函数的单调性）基本方法：1.将问题转化为单一名称的三角函数，再求三角函数的单调性或单调区间2.三角函数的单调性函数sin y x =的单调性：单调增区间：2,2()22k k k ππ⎡⎤π-π+∈⎢⎥⎣⎦Z 单调减区间：32,2()22k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎣⎦Z 函数cos y x =的单调性：单调增区间：[2,2]()k k k π-ππ∈Z 单调减区间：[2,2]()k k k ππ+π∈Z 函数tan y x =的单调性：单调增区间：,()22k k k ππ⎛⎫π-π+∈ ⎪⎝⎭Z 一、典型例题1.已知函数2π()sin sin 2f x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，求()f x 的单调递增区间.答案：5[,]()1212k k k ππ-+π+π∈Z 解析：3(cos 21)()sin cos 2x f x x x +=+133sin 22222x x =++3sin(2)32x π=++，由πππ2π22π()232k x k k -+≤+≤+∈Z ，得5ππππ()1212k x k k -+≤≤+∈Z ，所以()f x 的单调递增区间为5ππ[π,π]()1212k k k -++∈Z .2.已知函数()2sin 2sin 22cos 166f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）求函数()f x 的最小正周期和最大值；（2）讨论函数()f x 在区间,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性.答案：（1）最小正周期T =π，()f x 的最大值为2；（2）()f x 在,126ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，在,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数.解析：（1）()ππsin2cos cos 2sin sin2cos cos 2sin cos26666f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin2cos cos26x x π+=cos2x x +=2sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴()f x 的最小正周期T =π，()f x 的最大值为2.（2）∵,122x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴720,66x ππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由0262x ππ≤+≤得126x ππ-≤≤，72266x πππ≤+≤得62x ππ≤≤，∴()f x 在,126ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，在,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数.二、课堂练习1.已知函数()21cos sin262f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求()f x 的单调递增区间.答案：,63k k ππ⎡⎤π-π+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z 解析：()21cos sin 262f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos 213cos 22x x x π⎛⎫-- ⎪⎝⎭=+-1cos 2223x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭11sin2cos22222x x x ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭31cos244x x =-1sin 226x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令222262k x k ππππ-≤-≤π+，则222233k x k πππ-≤≤π+，解得63k x k πππ-≤≤π+，所以()f x 的单调递增区间为,63k k ππ⎡⎤π-π+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .2.已知函数())12f x x π=-，若7[,]46x ππ∈，求函数()f x 的单调减区间.答案：13[,]424ππ，257[,]246ππ解析：由22212k x k ππ≤-≤π+π（k ∈Z ），解得132424k x k πππ+≤≤π+（k ∈Z ），又∵7[,46x ππ∈，∴当k 分别取0和1时满足条件，即函数()f x 的单调减区间为13[,]424ππ，257[,246ππ.三、课后作业1.设函数()πcos 23f x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，求函数的单调递增区间.答案：πππ,π36k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，()k ∈Z .解析：()π1cos 2cos2322f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=++=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭31cos222x x +=πsin 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，令πππ2π22π262k x k -+≤+≤+，k ∈Z ，则ππππ36k x k -+≤≤+，k ∈Z ，∴函数()f x 的单调递增区间为πππ,π36k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，()k ∈Z ．2.已知向量2cos ,16x ⎛π⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a，sin ,62x ⎛⎫π⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭b ，设函数()f x x =⋅+a b ，求函数()f x 的单调递增区间.答案：()5,,1212k k k ππ⎡⎤-+π+π∈⎢⎥⎣⎦Z .解析：()2cos sin 662f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=⋅=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ab 313132(sin )222222x x x x x =++-2sin cos 2x x x =sin 22x x =2sin(2)3x p =+，令()22,2,322x k k k Z πππ⎡⎤+∈-+π+π∈⎢⎥⎣⎦，解得()5,,1212x k k k ππ⎡⎤∈-+π+π∈⎢⎥⎣⎦Z ，所以函数()f x 的单调递增区间为()5,,1212k k k ππ⎡⎤-+π+π∈⎢⎥⎣⎦Z .3.求函数tan()23y x ππ=+的定义域、最小正周期和单调性.答案：1{|2,}3x x k k ≠+∈Z ；2；51(2,2),33k k k -++∈Z解析：由,232x k k πππ+≠+π∈Z ，解得12,3x k k ≠+∈Z ，∴定义域为1{|2,}3x x k k ≠+∈Z ，最小正周期22T π==，由,2232k x k k πππππ-<+<π+∈Z ，得5122,33k x k k -<<+∈Z ，所以函数的单调增区间为51(2,2),33k k k -++∈Z ，无单调减区间.。
正弦-余弦函数的单调性和奇偶性
sin(x) sin x用函数符号可表示为：f (x) f (x)
我们把具有这样特性的函数叫奇函数
定义：一般地，如果对于函数 的定义
域内的任意一个 x都有 f (x) f (x) ,则称 f (x)
为这一定义域内的奇函数。奇函数图像关于原
点对称。
为这一定义域内的奇函数。奇函数图像关于原 点对称。
x 注意：1、 是任意的
2.奇函数，偶函数的定义域必须关于原点对称
3.一般地，判断函数的奇偶性可根据定义或图像的 对称性来判断
知识巩固
判断下列函数的奇偶性
（1）y x sin x (2) y cos( 2x) cos( x)
（偶函数）
（奇函数）2
请大家思考一下，余弦函数是否也有类似的性质呢？
y
1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
y
1
P 3 5 2
2 '
( x, cos x)2
O
1
2
P'( x,cos( x))
P ( x,cos x)
2 5 3 x
2
所以，余弦曲线关于y轴对称。
cos(x) cos x 用函数符号表示：f (x) f (x)
3 5
2
2 3
2
O
P' 2 1
2
3 2
2
5 3
2
x
( x,sin( x))
在正弦函数上任取一点 P(x, y) 即 P(x,sin x) ，
其关于原点的对称点 P'(x, sin x) ， 由诱导公式 sin( x) sin x , 即P'( x,sin( x)) 故 P'也在正弦函数的图像上。
（完整版）求三角函数的单调性的基本方法[推荐]
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（完整版）求三⾓函数的单调性的基本⽅法[推荐]求三⾓函数的单调性的基本⽅法：函数 sin()y A x k ω?=++的单调区间的确定，⾸先要看A 、ω是否为正，若ω为负，则先应⽤诱导公式化为正，然后将ωx +φ看作⼀个整体，化为最简式，再结合A 的正负，在22,22k x k k z ππππ-≤≤+∈和322,22k x k k z ππππ+≤≤+∈两个区间内分别确定函数的单调增减区间。
1、求函数)213sin(x y -=π在区间[-2π，2π]的单调增区间。
解：⑴利⽤诱导公式把函数转化为标准函数（sin(),0,0y A x A ω?ω=+>>）的形式：)321sin()213sin(ππ--=-=x x y⑵把标准函数转化为最简函数（sin y A x =）的形式：令123z x π=-，原函数变为1sin()sin 23y x z π=--=-⑶讨论最简函数sin y z=-的单调性：从函数sin y z=-的图像可以看出，sin y z=-的单调增区间为3[2,2]22k k ππππ+2222K z K ππππ+≤≤+，Z ∈K 即πππππ23232122+≤-≤+K x K ， Z ∈K ∴ππππ3114354+≤≤+K x K ， Z ∈K⑷计算k=0,k=±1时的单调增区间：当k=0时，ππ31135≤≤x当k=1时，222333xππ≤≤当k=-1时，ππ3137-≤≤-x⑸在要求的区间内[-2π，2π]确定函数的最终单调增区间：因为[2,2]xππ∈-，所以该函数的单调增区间为ππ≤-x和ππ235≤≤x2、求函数)26sin(2xy-=π在区间[0，π]的单调增区间。
解：⑴利⽤诱导公式把函数转化为标准函数（sin(),0,0 y A x Aω?ω=+>>）的形式：sin(2)sin(2)66y x xππ=-=--⑵把标准函数转化为最简函数（siny A x=）的形式：π=-，原函数变为sin(2)sin6y x zπ=--=-⑶讨论最简函数sin y z=-的单调性：从函数sin y z=-的图像可以看出，sin y z=-的单调增区间为3[2,2]22k k ππππ++，Z ∈K 。
关于三角函数单调性与奇偶性的几个问题
关于三角函数单调性与奇偶性的几个问题山东 胡彬三角函数的单调性与奇偶性是三角函数的重要性质.学习三角函数不彻底掌握三角函数的单调性与奇偶性不能叫学好三角函数的性质.而学好这两大性质应当从其疑点及难点入手.一.判断与证明三角函数的单调性不要忘了化一个角的一个三角函数及用单调性的定义.例1：判断函数x x x f cos 3sin )(-=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡611,65ππ上的增减性，并加以证明. 解题指导：研究三角函数的性质我们往往是把三角函数化为一个角的一个三角函数的形式即()ϕω+=x A y sin (或()ϕω+=x A y cos )的形式,再根据不同情况进行讨论.而证明函数的单调性目前来说只能同函数单调性的定义达到目的,三角函数也不例外.对这一点同学们应该有个清醒的认识,切不可遇到该类问题时不知用单调性的定义证明而束手无策. 解：由于x x x f cos 3sin )(-=)3sin(2π-=x ，由正弦函数的性质可知，f(x)在⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-652,62ππππk k 上单调递增，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡++6112,652ππππk k 上单调递减，其中k ∈Z.∴f(x)在⎥⎦⎤⎢⎣⎡611,65ππ上单调递减,下面我们用函数单调性的定义来证明: 令6116521ππ≤<≤x x , )62sin(.2sin 4)cos (cos 3sin sin )()(2121122121π++-=-+-=-x x x x x x x x x f x f 则∵02221<-<-x x π,πππ26221<+-<x x∴0)62sin(,02sin 2121<++<-πx x x x ∴f(x 1)>f(x 2) ∴f(x)在⎥⎦⎤⎢⎣⎡611,65ππ上单调递减. 二.复合形三角函数求单调区间要注意两点. 例2：求函数)23sin(21log x y -=π的单调增区间。
正弦,余弦函数的单调性课件
x
2
2
2 2
2
2
曲线逐渐上升，sinα的值由 1增大到 1 。
7 5 3 3 5 7 [ ， ]、 [ ， ]、 [ , ]… 当x在区间 … [ , ]、 2 2 2 2 2 2 2 2
上时，曲线逐渐下降， sinα的值由1减小到 1 。
三、 正弦、余弦函数的单调性
正弦函数的单调性
y
1 -3
5 2
-2
3 2
-
2
o
-1
2
3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
y=sinx (xR) 增区间为
[[ 2 ， +2k , 22 2
3 3 +2k , 2 2 ， 22
] ],kZ 其值从-1增至1 +2k +2k ] ],kZ 其值从 1减至-1
正弦、余弦函数的单调性
函数
单调递增区间
单调递减区间
正弦函数
3 [ +2k, +2k],kZ [ +2k, +2k],kZ 2 2 2 2
余弦函数
[ +2k, 2k],kZ
[2k, 2k + ], kZ
例 1： 不求值，判断下列各式的大小。
23 17 2、 cos( )与 cos( ) 5 4 分析：比较同名函数值的大小，往往可以利用函数的
1. y = -| sin(x+ )| 4 解： 令x+ =u , 则 y= -|sinu| 大致图象如下： 4
y 1
y=|sinu|
sin函数单调递减区间
sin函数单调递减区间sin函数是一种常见的数学函数，它的图像呈现出一种周期性的波动形式。
在数学中，我们常常需要研究函数的单调性，即函数在某个区间上的递增或递减性质。
本文将以sin函数在哪个区间上是单调递减的为主题，对该问题进行详细的解析和讨论。
我们来回顾一下sin函数的定义。
sin函数是以弧度为单位的三角函数，它的定义域为实数集，值域为[-1,1]。
sin函数的图像是一条连续的曲线，呈现出周期性波动的特点。
在一个周期内，sin函数先逐渐增大，然后逐渐减小，再回归到起始点。
因此，我们可以推断出sin函数在某个区间上是单调递减的。
为了确定sin函数的单调递减区间，我们需要仔细观察其图像。
在一条周期内，sin函数的单调性是不断变化的。
我们首先来看一下sin函数的一个周期，即从0到2π的区间。
在这个区间内，sin函数的图像从0开始逐渐增大，直到达到最大值1，然后再逐渐减小，回归到起始点0。
在这个周期中，我们可以发现一段单调递减的区间。
具体来说，sin 函数在[π,2π]这个区间上是单调递减的。
在这个区间内，sin函数的值从最大值1开始逐渐减小，直到达到最小值-1。
因此，我们可以得出结论：sin函数在[π,2π]区间上是单调递减的。
除了[π,2π]之外，sin函数在其他区间上是否也有单调递减的性质呢？为了回答这个问题，我们可以将sin函数的周期无限延伸。
根据周期性的特点，我们可以得出结论：sin函数在任意一个以2π为周期的区间[nπ,(n+1)π]上都是单调递减的。
其中n是任意整数。
sin函数的单调递减区间为[π,2π]以及以2π为周期的区间。
在这些区间上，sin函数的值随着自变量的增大而减小，呈现出递减的特点。
这一性质在数学和物理等领域有着广泛的应用。
例如，在波动和振动的研究中，sin函数的单调递减区间可以帮助我们分析和描述波的衰减和振幅的变化。
总结一下，本文以sin函数单调递减区间为主题，对该问题进行了详细的解析和讨论。
正弦函数余弦函数的单调性
正弦函数和余弦函数是周期函数,它们的单调性极为重要,它们的单调性决定了函数的性质,也是函数图形及表示形式的基础.
正弦函数是关于直角坐标系x轴的周期函数,其表达式为y=sin x,它的定义域为[-π,π], x轴上的值是周期性变化的,当x=0时,y=0,当x=π/2时,y=1,当x=π时,y=-1,其余的点也是类似的,它的单调性是递增的.
余弦函数也是关于x轴的周期函数,其表达式为y=cos x,它的定义域也是[-π,π],其形状和正弦函数类似,只是它的单调性是递减的,当x=0时,y=1,当x=π/2时,y=0,当x=π时,y=-1,它的单调性是递减的.
正弦函数和余弦函数都是周期函数,它们的单调性分别是递增和递减.它们的单调性决定了函数的性质,也是函数图形及表示形式的基础.它们也提供了许多实用的应用,在物理、工程、数学等方面都有广泛的应用,从而为科学技术发展做出了重要的贡献.。
【三角函数的单调性】 秒杀三角函数图像单调性
【三角函数的单调性】秒杀三角函数图像单调性三角函数的单调性1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像2．三角函数的单调区间：的递增区间是，递减区间是；的递增区间是，递减区间是，的递增区间是，题型5：三角函数的单调性1．求以下函数的单调区间.(1) (2)解:(1).原函数变形为令, 那么只需求的单调区间即可.,上即,上单调递增,在, 上即, 上单调递减故的递减区间为:递增区间为:.(2)原函数的增减区间即是函数的减增区间, 令由函数的图象可知:周期且在上, 即上递增,在即在上递减故所求的递减区间为, 递增区间为2．函数y=2sinx的单调增区间是〔〕A ．［2k π－，2k π＋］〔k ∈Z 〕B ．［2k π＋，2k π＋］〔k ∈Z 〕C ．［2k π－π，2k π］〔k ∈Z 〕D ．［2k π，2k π＋π］〔k ∈Z 〕解析：A ；函数y=2x为增函数，因此求函数y=2sinx的单调增区间即求函数y=sinx的单调增区间。
3. 函数的单调增区间为( )A ．B ．C ．D ．(2)C 提示：令可得4．在中，，假设函数在[0，1]上为单调递减函数，那么以下命题正确的选项是〔A 〕〔B 〕〔C 〕〔D 〕4．C 提示：根据所以(1)求它的定义域和值域； (2)判断它的奇偶性；(3)求它的单调区间；〔4〕判断它的周期性, 假设是周期函数, 求它的最小正周期. 解: (1).由定义域为, 值域为(2)定义域不关于原点对称, 函数为非奇非偶函数〔3〕的递增区间为递减区间为(4).是周期函数, 最小正周期T.6. 函数，．求:(I) 函数的最大值及获得最大值的自变量的集合；(II) 函数的单调增区间．解(I)当, 即时, 获得最大值.函数的获得最大值的自变量的集合为.(II)由题意得:即:因此函数的单调增区间为. 。
这个函数是否为周期函数? 为什么?求它的单调增区间和最大值.解:(1)是以为周期的周期函数.当时, 增区间为, 最大值为;当, 增区间为,, 最大值为8. 设函数的最小正周期为，且，那么〔A 〕〔A 〕在单调递减〔B 〕在单调递减〔C 〕在单调递增〔D 〕在单调递增9. 〔2022山东6〕假设函数(ω》0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，那么ω=〔A 〕3 〔B 〕2 〔C 〕〔D 〕C 〕〔。
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三角函数单调性之辨析
作者：李春华
来源：《读与写·上旬刊》2013年第10期
中图分类号：G633.6文献标识码：B文章编号：1672-1578（2013）10-0134-01
1.问题的提出
在教授完《正弦函数的性质》时，有学生在学习过程中碰到了这样一个问题：求函数
y=sin（-x），x R的单调递增区间。
学生做出了两种解答方式：
解法一：
由
得：. 所以，函数y=sin（-x）， x∈ R的单调递增区间是.等同于.（两者k的取值不同，实质一样）解法二：
y=sin（-x）=﹣sinx，函数y=sinx的递减区间，即为函数y=sin（-x）的递增区间；所以，由
得： y=sin（-x）的单调增区间为
很明显，两者结果不同。
2.问题的分析
根据函数的单调性知：函数y=f（x）与函数y= ﹣f（x），在相同区间的单调性相反。
所以y= y=sinx的递减区间即为y=sin（-x）的递增区间；解法二正确。
对于解法一为什么不正确呢？
分析：令t=-x，则y=sint；当
的值随着x的增大而减小，
而y=sint的值随着减小而减小；
所以
.随着x值得增大而减小，故为函数y=sin（-x）的单调减区间。
3.问题结论
通过以上分析我们可得到以下解法：对于函数
①当w>0时，由
得：
即：为的单调递增区间；
由
得：
即：为的单调递减区间；
②当w
可化为：
函数的单调递减区间，应为函数的单调递增区间；
函数的单调递增区间，应为函数的单调递减区间。
同理可求。
4.结论拓展
对形如：y=Acos（wx+φ）+B，（A>0）或y=Atan（wx+φ）+B，（A>0）的函数的单调区间，同样需要注意w>0还是w。