东南大学 2002 年数学分析试题解答

东南大学2002年数学分析试题解答
一、叙述定义(5分+5分=10分)
1．()+∞=−∞
→x f x lim ． 解：M x f E x E M >−<∀>∃>∀)( , ,0 ,0．
2．当+→a x 时，)(x f 不以A 为极限．
解：
二、计算（9分×7=63分）
1．求曲线210 ),1ln(2≤
≤−=x x y 的弧长． 解：dx x f s ∫+=βα 2)]('[1
∫∫∫−=−++−=−+=−−+=21 0 21
0 222
1
0 22
213ln )11111(11)12(1dx x x dx x x dx x x ． 2．设x y z e x g z y x f u y sin ,0),,( ),,,(2===，g f ,具有一阶连续偏导数，
0≠∂∂z g ，求dx
du ． 解：由0),,(2=z e x g y 得02321=++dz g dy g e dx xg y
，从而 x
z z f x y y f x f dx du ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂==32121)cos 2(cos f g e x xg f x f y ⋅++⋅+． 3．求∫dx x
x 2ln ( 解：令dt e dx e x x t t t === , ,ln ，
∫=dx x x 2)ln (∫⋅dt e e t t t 22
=∫
=−dt e t t 2t t te e t −−−−22C e t +−−2 C x
x x +++−=2ln 2)(ln 2． 4．求()2
0lim x a x a x
x x −+→()0>a ． 解：()2
0lim x a x a x
x x −+→
2222
2220)]()(ln 2ln 1[)}(]11)[(ln 2ln 1{lim x
x o a x a x x o a a x a x x +++−+++++=→ 12a a
+=． 5．计算第二型曲面积分
∫∫++S dxdy z dzdx y dydz x ,222其中S 是曲面22y x z +=夹于0=z 与1=z 之间的部分，积分沿曲面的下侧
解：记222),,(,),,(,),,(z z y x R y z y x Q x z y x P ===，θθsin ,cos r y r x ==，
则2
r z =，且,10≤≤r πθ20≤≤．
∫∫++S dxdy z dzdx y dydz x 222=∫∫++S dxdydz z y x )(2 πθθθπ
=++=∫∫dr r r r r d 2 0 1
0 2)sin cos (2． 6．求常数λ
，使得曲线积分22 0, L x x r dx r dy r y y
λλ−==∫v 滑闭曲线L 成立．
解：
7．在曲面)0,0,0(,142
2
2>>>=++z y x z y x 上求一点，使过该点的切平面在三个坐标轴上的截距的平方和最小．
解：设14),,(2
2
2−++=z y x z y x F ，则2,2,2z z F y y F x x F =∂∂=∂∂=∂∂，所求切平面方程为： 0)(2
)(2)(2=−+−+−z Z z y Y y x X x ， 求得在三个坐标轴上的截距分别为:
,44 ,444 ,4442
22222222z
z y x Z y z y x Y x z y x X ++=++=++= )1161161()44(2
222222222z y x z y x Z Y X d ++++=++==2221611z y x ++． 令)14(1611),,(2
22222−+++++=z y x z
y x z y x P λ，则由 02132,022,022333=+−=∂∂=+−=∂∂=+−=∂∂λλλz z
z P y y y P x x x P ,
,1422
2=++z y x 解得==y x ,16,2,21==λz =min d 16． 三、证明题（6分+7分+7分+7分=27分）
1．判定级数∑∫∞=+1 0 1sin n n dx x
x π的敛散性． 解：原级数为正项级数，据积分中值定理， 0sin (sin )ln 1ln 11n
x dx x n n n ππππξ⎛⎞⎛⎞=+≤+⎜⎟⎜⎟+⎝⎠⎝⎠
∫， 又级数1ln 1n n n π
π∞=⎛⎞+⎜⎟⎝⎠∑收敛，所以原级数收敛． 2．设)(x f 在区间[2,0]上具有二阶连续导数，且对一切]2,0[∈x ，均有 1)('' ,1)(<<x f x f ，证明：对一切]2,0[∈x ，成立2)('<x f ． 解：,)0(2
)('')0)((')()0(2x f x x f x f f −+−+=ξ 2)2(2
)('')2)((')()2(x f x x f x f f −+−+=η， ])('')2)((''[2
1)('2)0()2(22x f x f x f f f ⋅−−+=−ξη， ])('')2)((''[2
1)0()2()('222x f x f f f x f ⋅−−−−=ξη， ])('')2)((''[2
1)0()2(21)('22x f x f f f x f ⋅−−+−=ξη ++≤
)0(21)2(21f f 22)(''2
1)2()(''21x f x f ⋅+−⋅ξη 2221)2(211x x +−+≤2)1(2+−≤x ， '()2f x ≤．
3．证明积分∫∞
+− 0 dy xe xy 在),0(+∞上不一致收敛．
4．证明函数x x x f ln )(=
在),1[+∞上一致连续． 证明：x x x x x x
x f 22ln ln 21)('+=+=，1)(' ,1 ,021ln 21)(''max ===−−=x f x x x x x f 由拉格郎日中值定理，
1212121212,[1,), , ()()'()x x x x f x f x f x x x x δξ∀∈+∞−<−=⋅−≤−。