2017中考数学代数与几何综合题
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2
10. (崇文 09)如图,抛物线 y ax bx 3与x轴交于A, B两点 ,与 y 轴交于点 C , 且 OB OC 3OA . (I)求抛物线的解析式; (II)探究坐标轴上是否存在点 P ,使得以点 P, A, C 为 顶点的三角形为直角三角形?若存在,求出 P 点坐标,若 不存在,请说明理由; (III)直线 y
(1)若点 A 的横坐标为 2,求梯形 ACBD 的对角线的交点 F 的坐标; (2)若点 A 的横坐标为 m,比较△OBC 与△ABC 的面积的大小; (3)若△ABC 与以 A、B、D 为顶点的三角形相似,请直接写出点 A 的坐标.
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答案: (1) 点 F 的坐标为 (2, ) . (2) SOBC SABC . (3)点 A 的坐标为 (2, 4)
S CPN 的值. S ABC
四、与最值相关
14. (09 石景山)平面直角坐标系中有一张矩形纸片 OABC,O 为坐标原点,A 点坐标为 (10, 0) , C 点坐标为 (0, 6) , D 是 BC 边上的动点 (与点 B、 C 不重合) . 如图②,将△ COD 沿 OD 翻折, 得到△ FOD; 再在 AB 边上选取适当的点 E, 将△ BDE 沿 DE 翻折, 得到△ GDE, 并使直线 DG,DF 重合. (1)图①中,若△COD 翻折后点 F 落在 OA 边上,求直线 DE 的解析式. (2)设(1)中所求直线 DE 与 x 轴交于点 M,请你猜想过点 M、C 且关于 y 轴对称的抛 物线与直线 DE 的公共点的个数,在图①的图形中,通过计算验证你的猜想. (3)图②中,设 E(10,b) ,求 b 的最小值.
k 轴交双曲线 y 于点 E,交 BD 于点 C. x
N C E (1)若点 D 坐标是(-8,0) ,求 A、B 两点 坐标及 k 的值. (第 4 题) (2)若 B 是 CD 的中点,四边形 OBCE 的面积 为 4,求直线 CM 的解析式. (3)设直线 AM、BM 分别与 y 轴相交于 P、Q 两点,且 MA=pMP,MB=qMQ, 求 p-q 的值.
.
(2) 探索应用:已知 A(3, 0) , B(0, 4) ,点 P 为双曲线 y 过点 P 作 PC x 轴于点 C , PD y轴于 D . 求四边形 ABCD 面积的最小值,并说明此时 四边形 ABCD 的形状.
12 ( x 0) 上的任意一点, x
y D P
A
3
O
C
2 2 4 x x2. 3 3 2 4 2 8 (2) 由 y x 2 x 2 = ( x 1) 2 . CF=FM+CM 3 3 3 3 7 = . 3 2 (3)点 P 的坐标为(1, ) 3
答案: (1) y
O
F
C x
三、与面积有相关
12. (11.6 通县)已知如图, ABC 中, AC BC , BC 与 x 轴平行,点 A 在 x 轴上,点 C 在 y 轴上,抛物线 y ax 5ax 4 经过 ABC 的三个顶点, (1)求出该抛物线的解析式; (2)若直线 y kx 7 将四边形 ACBD 面积平分,求此直线的解析式. (3)若直线 y kx b 将四边形 ACBD 的周长和面积同时分成相等的两部分,请你确 定 y kx b 中 k 的取值范围.
y
A
D
O C
B
4 3
(2) DC ∥ AB .
x
wenku.baidu.com
(3)所求直线 AB 的函数解析式是 y 2 x 6 或 y x 5
二、与三角形相关
7. (07 北京)在平面直角坐标系 xOy 中, 抛物线 y = mx2 + 2 3 mx + n 经过 P ( 3 , 5), A(0, 2)两点. (1) 求此抛物线的解析式; (2) 设抛物线的顶点为 B, 将直线 AB 沿 y 轴向下平移两个单位得到直线 l, 直线 l 与抛物 线的对称轴交于 C 点, 求直线 l 的解析式; (3) 在(2)的条件下, 求到直线 OB, OC, BC 距离相等的点的坐标.
答案: (1)直线 DE 的解析式:y=-x+12 (2)直线 DE:y=-x+12 与抛物线: y (3)b 1 (m 5)2 11
6 6
图①
图②
1 2 x 6 只有一个公共点 24 11 当m 5, b最小值 6
y
15.已知抛物线 y ax2 bx 2 的图像经过点 A 和点 B. (1)求该抛物线的解析式; (2) 把(1)中的抛物线先向左平移 1 个单位,再向上或向下
1 x 1 交 y 轴于 D 点, E 为抛物线顶 3
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点.若 DBC , CBE , 求 的值. 答案: (I) y
x 2 2x 3
(II) P 3 (0,0) 1 (0, ) P 2 (9,0) , P
1 3
(III) DBO OBC 45 .
1. (09 北京)如图,点 C 为⊙O 直径 AB 上一点,过点 C 的直线交⊙O 于点 D、E 两点,且∠ACD=45°, DF AB 于点 F, EG AB 于点 G. 当点 C 在 AB 上运动时,设 AF x , DE y ,下列 图象中,能表示 y 与 x 的函数关系的图象大致是( )
11. (11.6 东城) 如图,已知在平面直角坐标系 xOy 中,直角梯形 OABC 的边 OA 在 y 轴的 正半轴上,OC 在 x 轴的正半轴上,OA=AB=2,OC=3,过点 B 作 BD⊥BC,交 OA 于点 D.将∠DBC 绕点 B 按顺时针方向旋转,角的两边分别交 y 轴的正半轴、x 轴的 正半轴于点 E 和 F. y (1)求经过 A、B、C 三点的抛物线的解析式; E (2)当 BE 经过(1)中抛物线的顶点时,求 CF 的长; (3) 在抛物线的对称轴上取两点 P、 Q (点 Q 在点 P 的上方) , A B 且 PQ=1,要使四边形 BCPQ 的周长最小,求出 P、Q D 两点的坐标.
8. (08 北京)平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y = x2 + bx + c 与 x 轴交于 A, B 两点(点 A 在 点 B 的左侧), 与 y 轴交于点 C, 点 B 的坐标为(3, 0), 将直线 y = kx 沿 y 轴向上平移 3 个 单位长度后恰好经过 B, C 两点. (1) 求直线 BC 及抛物线的解析式; (2) 设抛物线的顶点为 D, 点 P 在抛物线的对称轴上, (3) 连结 CD, 求OCA 与OCD 两角和的度数. 答案:(1) 直线 BC 的解析式为 y = x + 3. 抛物线的解析式为 y = x2 4x + 3. (2)点 P 的坐标为 (2, 2) 或 (2, 2). (3) OCA 与OCD 两角和的度数为 45. 9. (10.6 密云) 已知:如图,抛物线 y x mx 2m (m 0) 与 x
17 5
6. (07 上海) 如图, 在直角坐标平面内, 函数 y ( x 0 , 的图象经过 A(1 m 是常数) , 4) ,
m x
B(a,b) ,其中 a 1 .过点 A 作 x 轴垂线,垂足为 C ,过点 B 作 y 轴垂线,垂足为 D ,
连结 AD , DC , CB . (1)若 △ABD 的面积为 4,求点 B 的坐标; (2)求证: DC ∥ AB ; (3)当 AD BC 时,求直线 AB 的函数解析式. 答案: (1)点 B 的坐标为 3, ;
2 8 和y 在平面直角坐标系 xOy 第一象限中的图 x x
5. (09.5 西城)已知:反比例函数 y 象如图所示,点 A 在 y 与 x 轴平行,分别与 y
8 2 的图象上,AB∥y 轴,与 y 的图象交于点 B,AC、BD x x 2 8 、 y 的图象交于点 C、D. x x
2
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13. (11.6 顺义)已知,如图,抛物线 y ax 2 bx 4(a 0) 与 y 轴交于点 C ,与 x 轴交 于点 A,B ,点 A 的坐标为 (4, 0) ,对称轴是 x 1 . (1)求该抛物线的解析式; (2)点 M 是线段 AB 上的动点,过点 M 作 MN ∥ AC , 分别交 y 轴、 BC 于点 P、 N ,连接 CM .当 △CMN 的 面积最大时,求点 M 的坐标; (3)在(2)的条件下,求
2017 中考数学代数与几何综合题
代数与几何综合题从内容上来说,是把代数中的数与式、方程与不等式、 函数,几何中的三角形、四边形、圆等图形的性质,以及解直角三角形的方法、 图形的变换、相似等内容有机地结合在一起,同时也融入了开放性、探究性等 问题,如探究条件、探究结论、探究存在性等。经常考察的题目类型主要有坐 标系中的几何问题 (简称坐标几何问题) , 以及图形运动过程中求函数解析式问 题等。 解决代数与几何综合题,第一,需要认真审题,分析、挖掘题目的隐含条 件,翻译并转化为显性条件;第二,要善于将复杂问题分解为基本问题,逐个 击破;第三,要善于联想和转化,将以上得到的显性条件进行恰当地组合,进 一步得到新的结论,尤其要注意的是,恰当地使用分析综合法及方程与函数的 思想、转化思想、数行结合思想、分类与整合思想等数学思想方法,能更有效 地解决问题。 第一类:与反比例函数相关
2 2
且APD =ACB, 求点 P 的坐标;
轴交于 A 、B 两点, 点 A 在点 B 的左边,C 是抛物线 上一动点 (点 ,D 是 OC 中点, 连结 BD 并延长, 交 AC 于 C 与点 A 、B 不重合) 点E. (1)求 A 、 B 两点的坐标(用含 m 的代数式表示) ; (2)求
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结论:在 a b ≥ 2 ab ( a,b 均为正实数)中,若 ab 为定值 p ,则 a b ≥ 2 p , 只有当 a b 时, a b 有最小值 2 p . 根据上述内容,回答下列问题: (1) 若 m 0 ,只有当 m 时, m
1 有最小值 m
x
4 B
4. (08 南通)已知双曲线 y
k 1 与直线 y x 相交 4 x
(第 3 题)
y ·M A D B O · x
于 A、B 两点.第一象限上的点 M(m,n) (在
k A 点左侧)是双曲线 y 上的动点.过点 B 作 x
BD∥y 轴交 x 轴于点 D. 过N (0, -n) 作 NC∥x
CE 的值; AE
CED
(3)当 C 、 A 两点到 y 轴的距离相等,且 S 物线和直线 BE 的解析式. 答案: (1) A ( m ,0) , B ( 2m ,0) .
2
8 时, 求抛 5 CE 2 . AE 3 4 16 x 3 3
(2)
(3)抛物线的解析式为 y x 2 x 8 .直线 BE 的解析式为 y
1 2 3 答案:(1)抛物线的解析式为: y = x 2 x+2 3 3
(2)直线 l 的解析式为 y =
3 x 3
(3) 到直线 OB、OC、BC 距离相等的点的坐标分别为: M 1 (
2 3 , 0)、 M 2 (0, 2)、 M 3 (0, 2)、M 4 (2 3 , 0). 3
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C A 2m B 2.如图,在平面直角坐标系中 , 二次函数 y ax 2 (a 0) 的图象
a
D
经过正方形 ABOC 的三个顶点 A、 B、 C , 则 m 的值为
.
3. (09 延庆)阅读理解:对于任意正实数 a,b , ( a b ) ≥ 0 ,
2
a 2 ab b ≥ 0 , a b ≥ 2 ab ,只有当 a b 时,等号成立.
10. (崇文 09)如图,抛物线 y ax bx 3与x轴交于A, B两点 ,与 y 轴交于点 C , 且 OB OC 3OA . (I)求抛物线的解析式; (II)探究坐标轴上是否存在点 P ,使得以点 P, A, C 为 顶点的三角形为直角三角形?若存在,求出 P 点坐标,若 不存在,请说明理由; (III)直线 y
(1)若点 A 的横坐标为 2,求梯形 ACBD 的对角线的交点 F 的坐标; (2)若点 A 的横坐标为 m,比较△OBC 与△ABC 的面积的大小; (3)若△ABC 与以 A、B、D 为顶点的三角形相似,请直接写出点 A 的坐标.
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答案: (1) 点 F 的坐标为 (2, ) . (2) SOBC SABC . (3)点 A 的坐标为 (2, 4)
S CPN 的值. S ABC
四、与最值相关
14. (09 石景山)平面直角坐标系中有一张矩形纸片 OABC,O 为坐标原点,A 点坐标为 (10, 0) , C 点坐标为 (0, 6) , D 是 BC 边上的动点 (与点 B、 C 不重合) . 如图②,将△ COD 沿 OD 翻折, 得到△ FOD; 再在 AB 边上选取适当的点 E, 将△ BDE 沿 DE 翻折, 得到△ GDE, 并使直线 DG,DF 重合. (1)图①中,若△COD 翻折后点 F 落在 OA 边上,求直线 DE 的解析式. (2)设(1)中所求直线 DE 与 x 轴交于点 M,请你猜想过点 M、C 且关于 y 轴对称的抛 物线与直线 DE 的公共点的个数,在图①的图形中,通过计算验证你的猜想. (3)图②中,设 E(10,b) ,求 b 的最小值.
k 轴交双曲线 y 于点 E,交 BD 于点 C. x
N C E (1)若点 D 坐标是(-8,0) ,求 A、B 两点 坐标及 k 的值. (第 4 题) (2)若 B 是 CD 的中点,四边形 OBCE 的面积 为 4,求直线 CM 的解析式. (3)设直线 AM、BM 分别与 y 轴相交于 P、Q 两点,且 MA=pMP,MB=qMQ, 求 p-q 的值.
.
(2) 探索应用:已知 A(3, 0) , B(0, 4) ,点 P 为双曲线 y 过点 P 作 PC x 轴于点 C , PD y轴于 D . 求四边形 ABCD 面积的最小值,并说明此时 四边形 ABCD 的形状.
12 ( x 0) 上的任意一点, x
y D P
A
3
O
C
2 2 4 x x2. 3 3 2 4 2 8 (2) 由 y x 2 x 2 = ( x 1) 2 . CF=FM+CM 3 3 3 3 7 = . 3 2 (3)点 P 的坐标为(1, ) 3
答案: (1) y
O
F
C x
三、与面积有相关
12. (11.6 通县)已知如图, ABC 中, AC BC , BC 与 x 轴平行,点 A 在 x 轴上,点 C 在 y 轴上,抛物线 y ax 5ax 4 经过 ABC 的三个顶点, (1)求出该抛物线的解析式; (2)若直线 y kx 7 将四边形 ACBD 面积平分,求此直线的解析式. (3)若直线 y kx b 将四边形 ACBD 的周长和面积同时分成相等的两部分,请你确 定 y kx b 中 k 的取值范围.
y
A
D
O C
B
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(2) DC ∥ AB .
x
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(3)所求直线 AB 的函数解析式是 y 2 x 6 或 y x 5
二、与三角形相关
7. (07 北京)在平面直角坐标系 xOy 中, 抛物线 y = mx2 + 2 3 mx + n 经过 P ( 3 , 5), A(0, 2)两点. (1) 求此抛物线的解析式; (2) 设抛物线的顶点为 B, 将直线 AB 沿 y 轴向下平移两个单位得到直线 l, 直线 l 与抛物 线的对称轴交于 C 点, 求直线 l 的解析式; (3) 在(2)的条件下, 求到直线 OB, OC, BC 距离相等的点的坐标.
答案: (1)直线 DE 的解析式:y=-x+12 (2)直线 DE:y=-x+12 与抛物线: y (3)b 1 (m 5)2 11
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图①
图②
1 2 x 6 只有一个公共点 24 11 当m 5, b最小值 6
y
15.已知抛物线 y ax2 bx 2 的图像经过点 A 和点 B. (1)求该抛物线的解析式; (2) 把(1)中的抛物线先向左平移 1 个单位,再向上或向下
1 x 1 交 y 轴于 D 点, E 为抛物线顶 3
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点.若 DBC , CBE , 求 的值. 答案: (I) y
x 2 2x 3
(II) P 3 (0,0) 1 (0, ) P 2 (9,0) , P
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(III) DBO OBC 45 .
1. (09 北京)如图,点 C 为⊙O 直径 AB 上一点,过点 C 的直线交⊙O 于点 D、E 两点,且∠ACD=45°, DF AB 于点 F, EG AB 于点 G. 当点 C 在 AB 上运动时,设 AF x , DE y ,下列 图象中,能表示 y 与 x 的函数关系的图象大致是( )
11. (11.6 东城) 如图,已知在平面直角坐标系 xOy 中,直角梯形 OABC 的边 OA 在 y 轴的 正半轴上,OC 在 x 轴的正半轴上,OA=AB=2,OC=3,过点 B 作 BD⊥BC,交 OA 于点 D.将∠DBC 绕点 B 按顺时针方向旋转,角的两边分别交 y 轴的正半轴、x 轴的 正半轴于点 E 和 F. y (1)求经过 A、B、C 三点的抛物线的解析式; E (2)当 BE 经过(1)中抛物线的顶点时,求 CF 的长; (3) 在抛物线的对称轴上取两点 P、 Q (点 Q 在点 P 的上方) , A B 且 PQ=1,要使四边形 BCPQ 的周长最小,求出 P、Q D 两点的坐标.
8. (08 北京)平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y = x2 + bx + c 与 x 轴交于 A, B 两点(点 A 在 点 B 的左侧), 与 y 轴交于点 C, 点 B 的坐标为(3, 0), 将直线 y = kx 沿 y 轴向上平移 3 个 单位长度后恰好经过 B, C 两点. (1) 求直线 BC 及抛物线的解析式; (2) 设抛物线的顶点为 D, 点 P 在抛物线的对称轴上, (3) 连结 CD, 求OCA 与OCD 两角和的度数. 答案:(1) 直线 BC 的解析式为 y = x + 3. 抛物线的解析式为 y = x2 4x + 3. (2)点 P 的坐标为 (2, 2) 或 (2, 2). (3) OCA 与OCD 两角和的度数为 45. 9. (10.6 密云) 已知:如图,抛物线 y x mx 2m (m 0) 与 x
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6. (07 上海) 如图, 在直角坐标平面内, 函数 y ( x 0 , 的图象经过 A(1 m 是常数) , 4) ,
m x
B(a,b) ,其中 a 1 .过点 A 作 x 轴垂线,垂足为 C ,过点 B 作 y 轴垂线,垂足为 D ,
连结 AD , DC , CB . (1)若 △ABD 的面积为 4,求点 B 的坐标; (2)求证: DC ∥ AB ; (3)当 AD BC 时,求直线 AB 的函数解析式. 答案: (1)点 B 的坐标为 3, ;
2 8 和y 在平面直角坐标系 xOy 第一象限中的图 x x
5. (09.5 西城)已知:反比例函数 y 象如图所示,点 A 在 y 与 x 轴平行,分别与 y
8 2 的图象上,AB∥y 轴,与 y 的图象交于点 B,AC、BD x x 2 8 、 y 的图象交于点 C、D. x x
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13. (11.6 顺义)已知,如图,抛物线 y ax 2 bx 4(a 0) 与 y 轴交于点 C ,与 x 轴交 于点 A,B ,点 A 的坐标为 (4, 0) ,对称轴是 x 1 . (1)求该抛物线的解析式; (2)点 M 是线段 AB 上的动点,过点 M 作 MN ∥ AC , 分别交 y 轴、 BC 于点 P、 N ,连接 CM .当 △CMN 的 面积最大时,求点 M 的坐标; (3)在(2)的条件下,求
2017 中考数学代数与几何综合题
代数与几何综合题从内容上来说,是把代数中的数与式、方程与不等式、 函数,几何中的三角形、四边形、圆等图形的性质,以及解直角三角形的方法、 图形的变换、相似等内容有机地结合在一起,同时也融入了开放性、探究性等 问题,如探究条件、探究结论、探究存在性等。经常考察的题目类型主要有坐 标系中的几何问题 (简称坐标几何问题) , 以及图形运动过程中求函数解析式问 题等。 解决代数与几何综合题,第一,需要认真审题,分析、挖掘题目的隐含条 件,翻译并转化为显性条件;第二,要善于将复杂问题分解为基本问题,逐个 击破;第三,要善于联想和转化,将以上得到的显性条件进行恰当地组合,进 一步得到新的结论,尤其要注意的是,恰当地使用分析综合法及方程与函数的 思想、转化思想、数行结合思想、分类与整合思想等数学思想方法,能更有效 地解决问题。 第一类:与反比例函数相关
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且APD =ACB, 求点 P 的坐标;
轴交于 A 、B 两点, 点 A 在点 B 的左边,C 是抛物线 上一动点 (点 ,D 是 OC 中点, 连结 BD 并延长, 交 AC 于 C 与点 A 、B 不重合) 点E. (1)求 A 、 B 两点的坐标(用含 m 的代数式表示) ; (2)求
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结论:在 a b ≥ 2 ab ( a,b 均为正实数)中,若 ab 为定值 p ,则 a b ≥ 2 p , 只有当 a b 时, a b 有最小值 2 p . 根据上述内容,回答下列问题: (1) 若 m 0 ,只有当 m 时, m
1 有最小值 m
x
4 B
4. (08 南通)已知双曲线 y
k 1 与直线 y x 相交 4 x
(第 3 题)
y ·M A D B O · x
于 A、B 两点.第一象限上的点 M(m,n) (在
k A 点左侧)是双曲线 y 上的动点.过点 B 作 x
BD∥y 轴交 x 轴于点 D. 过N (0, -n) 作 NC∥x
CE 的值; AE
CED
(3)当 C 、 A 两点到 y 轴的距离相等,且 S 物线和直线 BE 的解析式. 答案: (1) A ( m ,0) , B ( 2m ,0) .
2
8 时, 求抛 5 CE 2 . AE 3 4 16 x 3 3
(2)
(3)抛物线的解析式为 y x 2 x 8 .直线 BE 的解析式为 y
1 2 3 答案:(1)抛物线的解析式为: y = x 2 x+2 3 3
(2)直线 l 的解析式为 y =
3 x 3
(3) 到直线 OB、OC、BC 距离相等的点的坐标分别为: M 1 (
2 3 , 0)、 M 2 (0, 2)、 M 3 (0, 2)、M 4 (2 3 , 0). 3
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C A 2m B 2.如图,在平面直角坐标系中 , 二次函数 y ax 2 (a 0) 的图象
a
D
经过正方形 ABOC 的三个顶点 A、 B、 C , 则 m 的值为
.
3. (09 延庆)阅读理解:对于任意正实数 a,b , ( a b ) ≥ 0 ,
2
a 2 ab b ≥ 0 , a b ≥ 2 ab ,只有当 a b 时,等号成立.