2017年高考江苏卷数学试题解析(正式版)(解析版)

合集下载

数学-2017年高考真题——江苏卷(精校解析版)

2017年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）一、填空题1．(2017·江苏，1)已知集合A ＝{1,2}，B ＝{a ，a 2＋3}，若A ∩B ＝{1}，则实数a 的值为________． 2. (2017·江苏，2)已知复数z ＝(1＋i)(1＋2i)，其中i 是虚数单位，则z 的模是________． 3．(2017·江苏，3)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件．4．(2017·江苏，4)如图是一个算法流程图，若输入x 的值为116，则输出y 的值是________．5．(2017·江苏，5)若tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝16，则tan α＝________. 6．(2017·江苏，6)如图，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下面及母线均相切．记圆柱O 1O 2的体积为V 1，球O 的体积为V 2，则V 1V 2的值是________．7．(2017·江苏，7)记函数f (x )＝6＋x －x 2的定义域为D .在区间[－4,5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________．8．(2017·江苏，8)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 23－y 2＝1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是F 1，F 2，则四边形F 1PF 2Q 的面积是________．9．(2017·江苏，9)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n ，已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________.10．(2017·江苏，10)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．11．(2017·江苏，11)已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数，若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________．12．(2017·江苏，12)如图，在同一个平面内，向量OA →，OB →，OC →的模分别为1,1，2，OA →与OC →的夹角为α，且tan α＝7，OB →与OC →的夹角为45°.若OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m ＋n ＝________.13．(2017·江苏，13)在平面直角坐标系xOy 中，A (－12,0)，B (0,6)，点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上，若P A →·PB →≤20，则点P 的横坐标的取值范围是________．14．(2017·江苏，14)设f (x )是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈D ，x ，x ∉D ，其中集合D ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x ＝n －1n ，n ∈N *，则方程f (x )－lg x ＝0的解的个数是________．二、解答题15．(2017·江苏，15)如图，在三棱锥ABCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E ，F (E 与A ，D 不重合)分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD .求证：(1)EF ∥平面ABC ； (2)AD ⊥AC .16．(2017·江苏，16)已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－3)，x∈[0，π]．(1)若a∥b，求x的值；(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值．17．(2017·江苏，17)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为12，两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2.(1)求椭圆E的标准方程；(2)若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．18．(2017·江苏，18)如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32 cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为107 cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14 cm和62 cm.分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12 cm.现有一根玻璃棒l，其长度为40 cm.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)．(1)将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱CC 1上，求l 没入水中部分的长度；(2)将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱GG 1上，求l 没入水中部分的长度．19．(2017·江苏，19)对于给定的正整数k ，若数列{a n }满足a n －k ＋a n －k ＋1＋…＋a n －1＋a n ＋1＋…＋a n ＋k －1＋a n ＋k ＝2ka n 对任意正整数n (n >k )总成立，则称数列{a n }是“P (k )数列”． (1)证明：等差数列{a n }是“P (3)数列”；(2)若数列{a n }既是“P (2)数列”，又是“P (3)数列”，证明：{a n }是等差数列．20．(2017·江苏，20)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1(a >0，b ∈R )有极值，且导函数f ′(x )的极值点是f (x )的零点．(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值) (1)求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； (2)证明：b 2>3a ；(3)若f (x )，f ′(x )这两个函数的所有极值之和不小于－72，求a 的取值范围．选做题21．(2017·江苏，21)A ．[选修4—1：几何证明选讲]如图，AB 为半圆O 的直径，直线PC 切半圆O 于点C ，AP ⊥PC ，P 为垂足．求证：(1)∠P AC ＝∠CAB ； (2)AC 2＝AP ·AB .B ．[选修4—2：矩阵与变换] 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤110，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2.(1)求AB ；(2)若曲线C 1：x 28＋y 22＝1在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线C 2，求C 2的方程．C ．[选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8＋t ，y ＝t2(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2s 2，y ＝22s(s 为参数)．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．D ．[选修4—5：不等式选讲]已知a ，b ，c ，d 为实数，且a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2＝16，证明：ac ＋bd ≤8.必做题22．(2017·江苏，22)如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB＝AD ＝2，AA1＝3，∠BAD＝120°.(1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；(2)求二面角BA1DA的正弦值．23．(2017·江苏，23)已知一个口袋有m个白球，n个黑球(m，n∈N*，n≥2)，这些球除颜色外完全相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1,2,3，…，m＋n 的抽屉内，其中第k次取球放入编号为k的抽屉(k＝1,2,3，…，m＋n).(1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；(2)随机变量X表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E(X)是X的数学期望，证明：E(X)<n(m＋n)(n－1).参考答案一、填空题1．【答案】1【解析】∵A ∩B ＝{1}，A ＝{1,2}， ∴1∈B 且2∉B .若a ＝1，则a 2＋3＝4，符合题意．又a 2＋3≥3≠1，故a ＝1. 2．【答案】10【解析】方法一 ∵z ＝(1＋i)(1＋2i)＝1＋2i ＋i －2＝－1＋3i ， ∴|z |＝(－1)2＋32＝10.方法二 |z |＝|1＋i||1＋2i|＝2×5＝10. 3．【答案】18【解析】∵样本容量总体个数＝60200＋400＋300＋100＝350.∴应从丙种型号的产品中抽取350×300＝18(件)．4．【答案】－2【解析】输入x ＝116，116≥1不成立，执行y ＝2＋log 2116＝2－4＝－2.故输出y 的值为－2. 5．【答案】75【解析】方法一 ∵tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝tan α－tanπ41＋tan αtanπ4＝tan α－11＋tan α＝16. ∴6tan α－6＝1＋tan α(tan α≠－1)， ∴tan α＝75.方法二 tan α＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π4＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＋tan π41－tan ⎝⎛⎭⎫α－π4·tan π4＝16＋11－16＝75.6．【答案】32【解析】设球O 的半径为R ，∵球O 与圆柱O 1O 2的上、下底面及母线均相切， ∴圆柱O 1O 2的高为2R ，底面半径为R .∴V 1V 2＝πR 2·2R 43πR 3＝32. 7．【答案】59【解析】设事件“在区间[－4,5]上随机取一个数x ，则x ∈D ”为事件A ，由6＋x －x 2≥0，解得－2≤x ≤3，∴D ＝[－2,3]．如图，区间[－4,5]的长度为9，定义域D 的长度为5，∴P (A )＝59.8．【答案】2 3【解析】如图所示，双曲线x 23－y 2＝1的焦点为F 1(－2,0)，F 2(2,0)，所以|F 1F 2|＝4.双曲线x 23－y 2＝1的右准线方程为x ＝a 2c ＝32，渐近线方程为y ＝±33x .由⎩⎨⎧x ＝32，y ＝33x得P ⎝⎛⎭⎫32，32.同理可得Q ⎝⎛⎭⎫32，－32.∴|PQ |＝3，∴S 四边形12F PF Q ＝12·|F 1F 2|·|PQ |＝12×4×3＝2 3.9．【答案】32【解析】设{a n }的首项为a 1，公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q 3)1－q＝74，a 1(1－q 6)1－q ＝634，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝14，q ＝2，所以a 8＝14×27＝25＝32.10．【答案】30【解析】一年的总运费为6×600x ＝3 600x (万元)．一年的总存储费用为4x 万元．总运费与总存储费用的和为⎝⎛⎭⎫3 600x ＋4x 万元．因为3 600x＋4x ≥23 600x·4x ＝240，当且仅当3 600x＝4x ，即x ＝30时取得等号，所以当x ＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小． 11．【答案】⎣⎡⎦⎤－1，12 【解析】因为f (－x )＝(－x )3－2(－x )＋e －x －1e－x ＝－x 3＋2x －e x＋1e x ＝－f (x )，所以f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x 是奇函数．因为f (a －1)＋f (2a 2)≤0，所以f (2a 2)≤－f (a －1)，即f (2a 2)≤f (1－a )．因为f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋e －x ≥3x 2－2＋2e x ·e －x ＝3x 2≥0，当且仅当x ＝0时“＝”成立，所以f (x )在R 上单调递增，所以2a 2≤1－a ，即2a 2＋a －1≤0，所以－1≤a ≤12.12．【答案】3【解析】方法一因为tan α＝7，所以cos α＝210，sin α＝7210. 过点C 作CD ∥OB 交OA 的延长线于点D ，则OC →＝OD →＋DC →，∠OCD ＝45°.又因为OC →＝mOA →＋nOB →，所以OD →＝mOA →，DC →＝nOB →，所以|OD →|＝m ，|DC →|＝n .在△COD 中，由正弦定理得|DC →|sin α＝|OD →|sin ∠OCD ＝|OC →|sin ∠ODC ，因为sin ∠ODC ＝sin(180°－α－∠OCD )＝sin(α＋∠OCD )＝45，即n 7210＝m 22＝245，所以n ＝74，m ＝54，所以m ＋n ＝3.方法二由tan α＝7可得cos α＝152，sin α＝752，则152＝OA →·OC →|OA →||OC →|＝m ＋nOA →·OB →2，由cos ∠BOC ＝22可得22＝OB →·OC →|OB →||OC →|＝mOA →·OB →＋n 2，cos ∠AOB ＝cos(α＋45°)＝cos αcos 45°－sin αsin 45° ＝152×22－752×22＝－35，则OA →·OB →＝－35，则m －35n ＝15，－35m ＋n ＝1，则25m ＋25n ＝65，则m ＋n ＝3. 13．【答案】[－52，1]【解析】方法一因为点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上，所以设P 点坐标为(x ，±50－x 2)(－52≤x ≤52)．因为A (－12,0)，B (0,6)，所以P A →＝(－12－x ，－50－x 2)或P A →＝(－12－x ，50－x 2)， PB →＝(－x,6－50－x 2)或PB →＝(－x,6＋50－x 2)．因为P A →·PB →≤20，先取P (x ，50－x 2)进行计算，所以(－12－x )·(－x )＋(－50－x 2)(6－50－x 2)≤20，即2x ＋5≤50－x 2.当2x ＋5＜0，即x ＜－52时，上式恒成立．当2x ＋5≥0，即x ≥－52时，(2x ＋5)2≤50－x 2，解得－52≤x ≤1，故x ≤1.同理可得P (x ，－50－x 2)时，x ≤－5. 又－52≤x ≤52，所以－52≤x ≤1. 故点P 的横坐标的取值范围为[－52，1]．方法二设P (x ，y )，则P A →＝(－12－x ，－y )，PB →＝(－x,6－y )． ∵P A →·PB →≤20，∴(－12－x )·(－x )＋(－y )·(6－y )≤20，即2x －y ＋5≤0.如图，作圆O ：x 2＋y 2＝50，直线2x －y ＋5＝0与⊙O 交于E ，F 两点，∵P 在圆O 上且满足2x －y ＋5≤0，∴点P 在 EDF 上．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝50，2x －y ＋5＝0得F 点的横坐标为1，又D 点的横坐标为－52，∴P 点的横坐标的取值范围为[－52，1]． 14．【答案】8【解析】由于f (x )∈[0,1)，则只需考虑1≤x <10的情况，在此范围内，x ∈Q ，且x ∉Z 时，设x ＝q p ，p ，q ∈N *，p ≥2且p ，q 互质．若lg x ∈Q ，则由lg x ∈(0,1)，可设lg x ＝nm，m ，n ∈N *，m ≥2且m ，n 互质．因此10n m＝qp，则10n ＝⎝⎛⎭⎫q p m ，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾．因此lg x ∉Q ，因此lg x 不可能与每个周期内x ∈D 对应的部分相等，只需考虑lg x 与每个周期内x ∉D 部分的交点，画出函数草图．图中交点除(1,0)外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期内x ∉D 部分，且x ＝1处(lg x )′＝1x ln 10＝1ln 10＜1，则在x ＝1附近仅有1个交点，因此方程解的个数为8.二、解答题15．证明 (1)在平面ABD 内，因为AB ⊥AD ，EF ⊥AD ，则AB ∥EF .又因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC .(2)因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，BC ⊂平面BCD ，BC ⊥BD ，所以BC ⊥平面ABD .因为AD ⊂平面ABD ，所以BC ⊥AD .又AB ⊥AD ，BC ∩AB ＝B ，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以AD ⊥平面ABC . 又因为AC ⊂平面ABC ，所以AD ⊥AC .16．解 (1)因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ，所以－3cos x ＝3sin x .若cos x ＝0，则sin x ＝0，与sin 2x ＋cos 2x ＝1矛盾，故cos x ≠0. 于是tan x ＝－33. 又x ∈[0，π]，所以x ＝5π6.(2)f (x )＝a·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3)＝3cos x －3sin x ＝23cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. 因为x ∈[0，π]，所以x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6，从而－1≤cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≤32，于是，当x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取得最大值3；当x ＋π6＝π，即x ＝5π6时，f (x )取得最小值－2 3.17．解 (1)设椭圆的半焦距为c .因为椭圆E 的离心率为12，两准线之间的距离为8，所以c a ＝12，2a 2c ＝8，解得a ＝2，c ＝1，于是b ＝a 2－c 2＝3，因此椭圆E 的标准方程是x 24＋y 23＝1.(2)由(1)知，F 1(－1,0)，F 2(1,0)．设P (x 0，y 0)，因为P 为第一象限的点，故x 0>0，y 0>0. 当x 0＝1时，l 2与l 1相交于F 1，与题设不符．当x 0≠1时，直线PF 1的斜率为y 0x 0＋1，直线PF 2的斜率为y 0x 0－1.因为l 1⊥PF 1，l 2⊥PF 2，所以直线l 1的斜率为－x 0＋1y 0，直线l 2的斜率为－x 0－1y 0，从而直线l 1的方程为y ＝－x 0＋1y 0(x ＋1)，① 直线l 2的方程为y ＝－x 0－1y 0(x －1)．②由①②，解得x ＝－x 0，y ＝x 20－1y 0，所以Q ⎝⎛⎭⎫－x 0，x 20－1y 0.因为点Q 在椭圆E 上，由对称性，得x 20－1y 0＝±y 0，即x 20－y 20＝1或x 20＋y 20＝1.又点P 在椭圆E 上，故x 204＋y 203＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 20－y 20＝1，x 204＋y 203＝1，解得x 0＝477，y 0＝377； ⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝1，x 204＋y 203＝1无解．因此点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫477，377.18．解 (1)由正棱柱的定义，CC 1⊥平面ABCD ，所以平面A 1ACC 1⊥平面ABCD ，CC 1⊥AC ，如图①，记玻璃棒的另一端落在CC 1上点M 处．①因为AC ＝107，AM ＝40，所以MC ＝402－ 107 2＝30，从而sin ∠MAC ＝34.记AM 与水面的交点为P 1，过P 1作P 1Q 1⊥AC ，Q 1为垂足，则P 1Q 1⊥平面ABCD ，故P 1Q 1＝12，从而AP 1＝P 1Q 1sin ∠MAC＝16.答玻璃棒l 没入水中的部分的长度为16 cm.(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24 cm) (2)如图②，O ，O 1是正棱台的两底面中心．②由正棱台的定义，OO 1⊥平面EFGH ，所以平面E 1EGG 1⊥平面EFGH ，O 1O ⊥EG . 同理，平面E 1EGG 1⊥平面E 1F 1G 1H 1，O 1O ⊥E 1G 1. 记玻璃棒的另一端落在GG 1上点N 处．过G 作GK ⊥E 1G 1，K 为垂足，则GK ＝OO 1＝32. 因为EG ＝14，E 1G 1＝62，所以KG 1＝62－142＝24，从而GG 1＝KG 21＋GK 2＝242＋322＝40.设∠EGG 1＝α，∠ENG ＝β，则sin α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋∠KGG 1＝cos ∠KGG 1＝45. 因为π2<α<π，所以cos α＝－35.在△ENG 中，由正弦定理可得40sin α＝14sin β，解得sin β＝725.因为0<β<π2，所以cos β＝2425.于是sin ∠NEG ＝sin(π－α－β)＝sin(α＋β) ＝sin αcos β＋cos αsin β＝45×2425＋⎝⎛⎭⎫－35×725＝35. 记EN 与水面的交点为P 2，过P 2作P 2Q 2⊥EG ，Q 2为垂足，则P 2Q 2⊥平面EFGH ，故P 2Q 2＝12，从而EP 2＝P 2Q 2sin ∠NEG ＝20.答玻璃棒l 没入水中部分的长度为20 cm.(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20 cm) 19．证明 (1)因为{a n }是等差数列，设其公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ，从而，当n ≥4时， a n －k ＋a n ＋k ＝a 1＋(n －k －1)d ＋a 1＋(n ＋k －1)d ＝2a 1＋2(n －1)d ＝2a n ，k ＝1,2,3，所以a n －3＋a n －2＋a n －1＋a n ＋1＋a n ＋2＋a n ＋3＝6a n ，因此等差数列{a n }是“P (3)数列”．(2)数列{a n }既是“P (2)数列”，又是“P (3)数列”，因此，当n ≥3时，a n －2＋a n －1＋a n ＋1＋a n ＋2＝4a n ，①当n ≥4时，a n －3＋a n －2＋a n －1＋a n ＋1＋a n ＋2＋a n ＋3＝6a n .② 由①知，a n －3＋a n －2＝4a n －1－(a n ＋a n ＋1)，③ a n ＋2＋a n ＋3＝4a n ＋1－(a n －1＋a n )．④将③④代入②，得a n －1＋a n ＋1＝2a n ，其中n ≥4，所以a 3，a 4，a 5，…是等差数列，设其公差为d ′. 在①中，取n ＝4，则a 2＋a 3＋a 5＋a 6＝4a 4，所以a 2＝a 3－d ′，在①中，取n ＝3，则a 1＋a 2＋a 4＋a 5＝4a 3，所以a 1＝a 3－2d ′，所以数列{a n }是等差数列．20．(1)解由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ＝3⎝⎛⎭⎫x ＋a 32＋b －a 23. 当x ＝－a 3时，f ′(x )有极小值b －a 23.因为f ′(x )的极值点是f (x )的零点，所以f ⎝⎛⎭⎫－a 3＝－a 327＋a 39－ab3＋1＝0，又a >0，故b ＝2a 29＋3a.因为f (x )有极值，故f ′(x )＝0有实根，从而b －a 23＝19a (27－a 3)≤0，即a ≥3.当a ＝3时，f ′(x )>0(x ≠－1)，故f (x )在R 上是增函数，f (x )没有极值；当a >3时，f ′(x )＝0有两个相异的实根 x 1＝－a －a 2－3b 3，x 2＝－a ＋a 2－3b 3.列表如下：故f (x )的极值点是x 1，x 2. 从而a >3.因此b ＝2a 29＋3a ，定义域为(3，＋∞)．(2)证明由(1)知，b a ＝2a a 9＋3a a.设g (t )＝2t 9＋3t，则g ′(t )＝29－3t 2＝2t 2－279t 2.当t ∈⎝⎛⎭⎫362，＋∞时，g ′(t )>0，从而g (t )在⎝⎛⎭⎫362，＋∞上单调递增．因为a >3，所以a a >33，故g (a a )>g (33)＝3，即ba> 3.因此b 2>3a . (3)解由(1)知，f (x )的极值点是x 1，x 2，且x 1＋x 2＝－23a ，x 21＋x 22＝4a 2－6b 9.从而f (x 1)＋f (x 2)＝x 31＋ax 21＋bx 1＋1＋x 32＋ax 22＋bx 2＋1＝x 13(3x 21＋2ax 1＋b )＋x 23(3x 22＋2ax 2＋b )＋13a (x 21＋x 22)＋23b (x 1＋x 2)＋2 ＝4a 3－6ab 27－4ab 9＋2＝0.记f (x )，f ′(x )所有极值之和为h (a )，因为f ′(x )的极值为b －a 23＝－a 29＋3a ，所以h (a )＝－a 29＋3a ，a >3.因为h ′(a )＝－29a －3a 2<0，于是h (a )在(3，＋∞)上单调递减．因为h (6)＝－72，于是h (a )≥h (6)，故a ≤6.因此a 的取值范围为(3,6]．21．A ．证明 (1)因为PC 切半圆O 于点C ，所以∠PCA ＝∠CBA ，因为AB 为半圆O 的直径，所以∠ACB ＝90°，因为AP ⊥PC ，所以∠APC ＝90°. 因此∠P AC ＝∠CAB .(2)由(1)知△P AC ∽△CAB ，故AP AC ＝AC AB ，即AC 2＝AP ·AB .B ．解 (1)因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 2，AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 21 0. (2)设Q (x 0，y 0)为曲线C 1上任意一点，它在矩阵AB 对应的变换作用下变为点P (x ，y )，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 210 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧2y 0＝x ，x 0＝y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y ，y 0＝x 2.因为点Q (x 0，y 0)在曲线上C 1上，所以x 208＋y 202＝1，从而y 28＋x 28＝1，即x 2＋y 2＝8.因此曲线C 1在矩阵AB 对应的变换作用下得到曲线C 2∶x 2＋y 2＝8. C ．解直线l 的普通方程为x －2y ＋8＝0，因为点P 在曲线C 上，设P (2s 2,22s )，从而点P 到直线的距离d ＝|2s 2－42s ＋8|5＝|2(s －2)2＋4|5，当s ＝2时，d min ＝455. 因此当点P 的坐标为(4,4)时，曲线C 上的点P 到直线l 的距离取到最小值455.D ．证明由柯西不等式，得(ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)，因为a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2＝16，所以(ac ＋bd )2≤64，因此ac ＋bd ≤8. 22．解在平面ABCD 内，过点A 作AE ⊥AD ，交BC 于点E .因为AA 1⊥平面ABCD ，所以AA 1⊥AE ，AA 1⊥AD . 如图，以{AE →，AD →，AA 1→}为正交基底，建立空间直角坐标系Axyz .因为AB ＝AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝120°，则A (0,0,0)，B (3，－1,0)，D (0,2,0)，E (3，0,0)，A 1(0,0，3)，C 1(3，1，3)． (1)A 1B →＝(3，－1，－3)，AC 1→＝(3，1，3)，则cos 〈A 1B →，AC 1→〉＝A 1B →·AC 1→|A 1B →||AC 1→|＝(3，－1，－3)·(3，1，3)7＝－17，因此异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值为17.(2)平面A 1DA 的一个法向量为AE →＝(3，0,0)．设m ＝(x ，y ，z )为平面BA 1D 的一个法向量，又A 1B →＝(3，－1，－3)，BD →＝(－3，3,0)，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·A 1B →＝0，m ·BD →＝0，即⎩⎨⎧3x －y －3z ＝0，－3x ＋3y ＝0.不妨取x ＝3，则y ＝3，z ＝2，所以m ＝(3，3，2)为平面BA 1D 的一个法向量，从而cos 〈AE →，m 〉＝AE →·m |AE →||m |＝(3，0，0)·(3，3，2)3×4＝34.设二面角BA 1DA 的大小为θ，则|cos θ|＝34.因为θ∈[0，π]，所以sin θ＝1－cos 2θ＝74. 因此二面角BA 1DA 的正弦值为74. 23．解 (1)编号为2的抽屉内放的是黑球的概率为p ＝C n －1m ＋n －1C n m ＋n ＝n m ＋n.(2)随机变量X 的概率分布为随机变量X 的期望为E (X )＝∑k ＝n m ＋n 1k ·C n －1k －1C n m ＋n ＝1C n m ＋n ∑k ＝nm ＋n 1k ·(k －1)！(n －1)！(k －n )！.所以E (X )<1C n m ＋n ∑k ＝n m ＋n(k －2)！(n －1)！(k －n )！＝1(n －1)C n m ＋n ∑k ＝n m ＋n (k －2)！(n －2)！(k －n )！＝1(n －1)C n m ＋n(1＋C n －2n －1＋C n －2n ＋…＋C n －2m ＋n －2) ＝1(n －1)C n m ＋n(C n －1n －1＋C n －2n －1＋C n －2n ＋…＋C n －2m ＋n －2) ＝1(n －1)C n m ＋n(C n －1n ＋C n －2n ＋…＋C n －2m ＋n －2) ＝…＝1(n －1)C n m ＋n(C n －1m ＋n －2＋C n －2m ＋n －2) ＝C n －1m ＋n －1(n －1)C n m ＋n ＝n (m ＋n )(n －1)，即E (X )< n(m ＋n )(n －1).。

(完整版)2017年高考数学江苏卷试题解析

绝密★启用前2017 年一般高等学校招生全国一致考试（江苏卷）数学 I参照公式：柱体的体积 V Sh ，此中 S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．球的体积 V4πR3，此中 R 是球的半径．3一、填空题：本大题共14 小题，每题 5 分，合计 70 分．请把答案填写在答题卡相应地点上．．．．．．．．．1．已知会合 A {1,2} ， B { a, a23}，若 AI B {1} ，则实数a的值为▲．【答案】1【分析】由题意 1 B ，明显a2 3 3，所以a 1 ，此时a234，知足题意，故答案为1．2．已知复数 z (1i)(12i) ，此中 i 是虚数单位，则z 的模是▲．【答案】10【分析】z(1i)(1 2i)1i 1 2i2510 ，故答案为10 ．3．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不一样型号的产品，产量分别为200，400，300，100 件．为查验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60 件进行查验，则应从丙种型号的产品中抽取▲件．【答案】 18【分析】应从丙种型号的产品中抽取6030018．18 件，故答案为10004．右图是一个算法流程图，若输入x的值为1 ，则输出y的值是▲．16【答案】2【分析】由题意得 y 2 log 212 ，故答案为 2 ．16π1, 则tan▲．5．若 tan()64【答案】75tan()tan 1 177【分析】 tan tan[()]4461．故答案为．441tan()tan5514466．如图，在圆柱O1O2内有一个球 O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1O2的体积为 V1，球 O 的体积为 V2，则 V1的值是▲．V2【答案】32V1r 22r3【分析】设球半径为r ，则V24r 3 2 ．故答案为3．327．记函数f (x)6 x x2的定义域为 D ．在区间[4,5] 上随机取一个数x ，则x D的概率是▲．【答案】5 98．在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线x2y21的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q，其焦点是3F1 , F2，则四边形 F1 PF2Q 的面积是▲．【答案】 2 3【分析】右准线方程为33103x ，设 P( 3 10,30)，则Q(3 10,30)，x10，渐近线方程为 y10310101010F 1 ( 10,0) ， F 2 ( 10,0) ，则 S 21030 ．2 3109．等比数列 { a n } 的各项均为实数，其前n7 63 项和为 S n ，已知 S 3, S 6，则 a 8 = ▲ ．44【答案】 3210．某企业一年购置某种货物 600 吨，每次购置 x 吨，运费为 6 万元 /次，一年的总储存花费为4x 万元．要使一年的总运费与总储存花费之和最小，则x 的值是▲ ．【答案】 30【分析】总花费为 4x600 6900 4 2 900240 ，当且仅当 x900 ，即 x 30 时等号成立．x4( x) xx11．已知函数 f ( x)32 x x1 ，此中 e 是自然对数的底数．若f ( a 1)2) 0 ，则实数 a 的取值xee xf (2 a范围是 ▲ ．【答案】 [1,1]2【分析】因为f ( x)x 3 2x1e xf ( x) ，所以函数 f ( x) 是奇函数，e x因为f '( x)3x 22 e x e x 3x 2 2 2 e x e x 0 ，所以数 f ( x) 在 R 上单一递加，又 f (a 1) f (2a 2 ) 0 ，即 f (2a 2 )f (1 a) ，所以 2a 2 1 a ，即 2a 2a 10，解得 1a 1 ，故实数 a 的取值范围为 [ 1,1] ．2 uuur uuur uuur 21 1 uuur uuur，且 tan=712．如图，在同一个平面内，向量 OA ，OB ，OC 的模分别为，， 2 ，OA 与 OC 的夹角为，uuur uuur 45° uuur uuur uuur (m, n R ) ，则 m nOB 与OC 的夹角为．若 OC mOA nOB ▲ ．【答案】 3【分析】由 tan7 可得 sin7 2， cos2 ，依据向量的分解， 101022 2n cos 45 m cos 2nm5n m 10 5 7 ，即210，即易得m sin5n 7m，即得 m, n，n sin 452 n 7 2 m 0442 10所以 m n 3 ．uuur uuur13．在平面直角坐标系xOy 中， A( 12,0), B(0,6), 点 P 在圆 O : x 2y 250 上，若 PA PB ≤ 20, 则点 P 的横坐标的取值范围是▲．【答案】 [ 5 2,1]14 ．设 f ( x) 是定义在 R 上且周期为x 2 , x D , n1 1 的函数，在区间 [0,1) 上， f ( x)D , 此中会合 D { x x，x, xnn N*} ，则方程 f (x)lg x0 的解的个数是▲．【答案】 8【分析】因为 f ( x) [0,1) ，则需考虑 1 x 10 的状况，在此范围内，x Q 且 xD 时，设 xq, p, q N * , p 2 ，且 p, q 互质，p若 lg xQ ，则由 lg x(0,1) ，可设 lg xn, m, n N * , m 2 ，且 m, n 互质，mnqnq m所以 10m，则 10 )lg xQ ，p( ，此时左侧为整数，右侧为非整数，矛盾，所以p所以 lg x 不行能与每个周期内x D 对应的部分相等，只要考虑 lg x 与每个周期 x D 的部分的交点，画出函数图象，图中交点除外(1,0) 其余交点横坐标均为无理数，属于每个周期 x D 的部分，且 x 1 处(lg x)111 邻近仅有一个交点，xln101 ，则在xln10所以方程 f ( x) lg x0 的解的个数为 8．二、解答题：本大题共 6 小题，合计90 分．请在答题卡指定地区内作答，解答时应写出文字说明、证明过．．．．．．．．程或演算步骤．15．（本小题满分14 分）如图，在三棱锥A-BCD 中， AB ⊥AD， BC⊥ BD，平面 ABD ⊥平面 BCD ，点 E， F(E 与 A， D 不重合 )分别在棱AD， BD 上，且 EF⊥ AD ．求证：（ 1） EF∥平面 ABC；（2） AD⊥ AC．16．（本小题满分14 分）已知向量 a (cos x, sin x), b (3,3), x[0, π].（ 1）若 a∥ b，求 x 的值；（ 2）记 f ( x) a b ，求 f (x) 的最大值和最小值以及对应的x 的值．（ 2）f (x)a b (cos x,sin x)(3,3)3cos x 3 sin x2π3 cos(x) ．6因为，所以 x ππ 7π，进而1cos(xπ3．6[ ,])2 666于是，当 x π π0 时，3；6，即 x取到最大值6当 x π，即 x5π取到最小值 2 3 ．6时，617．（本小题满分14 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x2y21(a b0) 的左、右焦点分别为F1， F2，离心率为E :2b2a1，两准线之间的距离为8F1作直线 PF1的垂线 l1，过点 F22．点 P 在椭圆 E 上，且位于第一象限，过点作直线 PF2的垂线 l2．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线 l1， l2的交点 Q 在椭圆E上，求点P的坐标．【分析】（ 1）设椭圆的半焦距为c．因为椭圆 E 的离心率为1，两准线之间的距离为8c12a28 ，2，所以2，a c解得 a 2, c 1 ，于是b a2c23，所以椭圆 E 的标准方程是x2y21．43（ 2）由（ 1）知，F1(1,0) ， F2 (1,0)．设 P(x0 , y0 ) ，因为 P 为第一象限的点，故x00, y00 ．当 x01时， l2与 l1订交于 F1，与题设不符．由①②，解得xx0 , y x021，所以 Q(x0,x21)．y0y0因为点 Q 在椭圆上，由对称性，得x021221221 ．y0y0，即x0y0或 x0y0又P在椭圆 E 上，故x02y02 1 ．43x02y02147, y0 3 7x02y021由x02y02，解得x0；x02y021，无解．4317743所以点 P的坐标为(47,3 7)．7718．（本小题满分16 分）如图，水平搁置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线 AC 的长为10 7 cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG ， E1G1的长分别为14cm 和 62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l ，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽视不计）（ 1）将 l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点 A 处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水中部分的长度；（ 2）将 l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点 E 处，另一端置于侧棱GG1上，求 l 没入水中部分的长度．【分析】（ 1）由正棱柱的定义，CC1⊥平面ABCD，所以平面 A1 ACC1⊥平面ABCD， CC1⊥ AC ．记玻璃棒的另一端落在CC1上点M处．因为 AC 10 7, AM40 ，所以MC402(10 7) 230，进而 sin ∠MAC 3，4记AM 与水面的交点为P ，过P 作P1Q1⊥AC，Q1为垂足，11则 P1Q1⊥平面 ABCD ，故 P1Q1=12，进而 AP1=P1Q116 ．sin∠ MAC答：玻璃棒 l 没入水中部分的长度为 16cm．(假如将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24cm)过 G 作 GK⊥ E1G1， K 为垂足，则 GK =OO1=32．因为 EG = 14， E1G1= 62，所以 KG 1=62 1424 ，进而GG1KG12GK 224232240 ．2设 ∠EGG 1,∠ENG, 则 sinsin(∠ KGG 1 ) cos ∠ KGG 14 ．25因为，所以 cos 3 ．52在 △ENG 中，由正弦定理可得40 14 ，解得 sin7 ．sin sin25因为 0，所以 cos 24 ．252于是 sin ∠ NEG sin()sin() sincoscos sin4 24 ( 3) 7 3 ．525 5 255记 EN 与水面的交点为 P 22222为垂足，则 2 2，过P 作PQ ⊥EG ，Q P Q ⊥平面 EFGH ，故 P 2Q 2=12，进而 EP 2=P 2Q 2 20 ．sin ∠ NEG答：玻璃棒 l 没入水中部分的长度为 20cm ．(假如将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为 20cm)19．（本小题满分16 分）对于给定的正整数 k ，若数列 { a n } 知足： a n k a n k 1Lan 1an 1Lan k 1an k2ka n 对随意正整数 n(n k) 总成立，则称数列{ a n } 是“ P(k ) 数列”．（ 1 ）证明：等差数列 { a n } 是“ P(3) 数列”；（ 2 ）若数列 { a n } 既是“ P(2) 数列”，又是“ P(3) 数列”，证明： { a n } 是等差数列．【分析】（ 1）因为 { a}是等差数列，设其公差为d ，则 ana( n1)d ，n1进而，当 n4 时， a n ka nk a 1(n k 1)d a 1 (n k 1)d2a 1 2( n 1)d 2a n ， k 1,2,3,所以 a n 3 a n 2 +a n 1 +a n 1 a n 2 +a n 3 6a n ，所以等差数列 { a n } 是“ P(3) 数列”．a n2 a n34a n1 ( a n 1 a n ) ，④将③④代入②，得a n 1 a n 12a n，此中n 4 ，所以 a3, a4 , a5 ,L是等差数列，设其公差为 d' ．在①中，取在①中，取n4，则 a2a3a5a64a4，所以 a2a3d' ，n3，则 a1a2a4a54a3，所以 a1a32d' ，所以数列 { a n}是等差数列．20．（本小题满分16 分）已知函数 f ( x)32f (x) 的极值点是 f (x) 的零点．（极值点x ax bx 1(a 0,b R ) 有极值，且导函数是指函数取极值时对应的自变量的值）（ 1）求 b 对于a的函数关系式，并写出定义域；（ 2）证明： b 23a；（ 3）若 f (x) ， f ( x) 这两个函数的所有极值之和不小于7，求a的取值范围．2当 a3时， f (x)>0(x1)，故 f (x) 在R上是增函数， f (x)没有极值；当 a3时， f (x)=0 有两个相异的实根x1=aa23b，x2= aa23b ．33列表以下：x(, x1)x1( x1 , x2 )x2(x2 , )f (x)+0–0+f (x)Z极大值]极小值Z故 f (x) 的极值点是 x 1 , x 2 ．进而 a 3 ．所以 b2a 23(3,) ．9，定义域为a（ 2）由（ 1）知，b = 2a a 3 ．设 g (t )= 2t3 ，则 g (t )=2 32t 2 27 ．a 9 a a 9t9 t 2 9t 2当t ( 3 6, ) 时， g (t) 0 ，进而 g(t ) 在 ( 3 6 ,) 上单一递加．22因为 a3 ，所以 a a3 3 ，故 g (a a )>g (3 3)= 3 ，即 b > 3 ．所以 b 2 >3a ．a记 f (x) ， f (x) 所有极值之和为 h(a) ，因为 f (x) 的极值为 b a21 a2 3，所以 h(a)=1 a23 ， a 3 ．39a9 a因为 h (a)=2 a3 0 ，于是 h(a) 在 (3, ) 上单一递减．9 a 2因为 h(6)=7h(6) ，故 a 6 ．所以 a 的取值范围为 (3，6] ．，于是 h(a)2数学Ⅱ（附带题）21．【选做题】此题包含A 、B 、C 、D 四小题，请选定此中两题，并在相应的答题地区内作答，若多做，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ． [ 选修 4-1：几何证明选讲 ]( 本小题满分 10 分)如图， AB 为半圆 O 的直径，直线 PC 切半圆 O 于点 C ， AP ⊥ PC ， P 为垂足．求证：（ 1） PACCAB ；（ 2） AC 2AP AB ．【分析】（ 1）因为 PC 切半圆 O 于点 C ，所以 ∠ PCA ∠ CBA ，因为 AB 为半圆 O 的直径，所以 ∠ACB 90 ．因为 AP ⊥ PC ，所以 ∠APC90 ，所以 PACCAB ．（ 2）由（ 1）知， △APC ∽△ ACB ，故APAC，即 AC 2AP ·AB ．AC ABB ． [ 选修 4-2：矩阵与变换 ](本小题满分 10 分 )0 1 1 0 已知矩阵 A, B.121（）求 AB ；x 2 y 2 C C21 在矩阵 AB 对应的变换作用下获得另一曲线2 ，求 2 的方程．（）若曲线 C 1 :82C ． [ 选修 4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分 10 分）x 8t在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参照方程为t( t 为参数 )，曲线 C 的参数方程为y2x 2s 2P 到直线 l 的距离的最小值．y( s 为参数 )．设 P 为曲线 C 上的动点，求点2 2s【分析】直线 l 的一般方程为x 2 y 8 0．因为点 P 在曲线 C 上，设 P(2 s 2 , 22s) ，进而点 P 到直线 l 的的距离d | 2s242s 8 | 2( s2) 242时，d min 4 5 ．2(2)25，当s15所以当点 P 的坐标为 (4, 4)时，曲线 C 上点P到直线 l 的距离取到最小值45 ．5D ．［选修 4-5：不等式选讲］（本小题满分10 分）已知 a,b,c,d 为实数，且a2b24,c2 d 216, 证明： ac bd ≤ 8.【必做题】第22 题、第 23 题，每题10 分，合计20 分．请在答题卡指定地区内作答，解答时应写出文字．．．．．．．说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10 分）如图，在平行六面体ABCD-A 1B1C1D1中， AA1⊥平面 ABCD ，且 AB=AD =2， AA1 = 3 ，BAD 120 ．（1）求异面直线 A1B 与 AC1所成角的余弦值；（2）求二面角 B-A1D-A 的正弦值．【分析】在平面ABCD 内，过点 A 作 AE AD ，交 BC 于点 E．因为 AA1平面ABCD，所以AA1AE，AA 1AD ．uuur uuur uuur如图，以 { AE , AD , AA1} 为正交基底，成立空间直角坐标系A-xyz．因为 AB=AD =2，AA 1=3，BAD 120．则A(0,0,0), B( 3, 1,0), D(0,2,0), E( 3,0,0), A1(0,0,3), C1 ( 3,1, 3) ．uuur （1）A1B ( 3, uuur uuuur 则cos A1 B, AC1uuuur1, 3), AC1(3,1,3)，uuur uuuur(3,1, 3) ( 3,1, 3)1 A1B AC1uuur uuuur．| A1B || AC1 |77所以异面直线A1B 与 AC1所成角的余弦值为 1 ．7设二面角 B-A1D-A 的大小为，则 | cos|3．4因为[0,] ，所以sin1cos2717 ．．所以二面角B-A D-A 的正弦值为4423．（本小题满分10 分）已知一个口袋中有 m 个白球， n 个黑球(m,n N*,n ≥ 2 )，这些球除颜色外所有同样．现将口袋中的球随机地逐一拿出，并放入以下图的编号为1,2, 3,L , m n 的抽屉内，此中第 k 次拿出的球放入编号为 k 的抽屉 (k 1, 2, 3,L , m n) ．123L m n（ 1）试求编号为 2 的抽屉内放的是黑球的概率p ；（ 2 ）随机变量X 表示最后一个拿出的黑球所在抽屉编号的倒数， E ( X ) 是X的数学希望，证明：E(X )n．n)( n(m1)【分析】（ 1）编号为2 的抽屉内放的是黑球的概率C m n 1n 1n p 为： p．C m n nm n（ 2）随机变量 X 的概率散布为1 1 111 Xn 1n 2nkm nC n n 11PCnm n随机变量 X 的希望为C n n1 C n n11C m nnC m nnmn1C k n11E(X)k n kC m nnC k n11C n n 1m 1C m nnC m n n1m n1(k 1)!．C m n n k n k (n 1)!(kn)!1m n(k 2)!1m n(k 2)!所以 E(X)C m nn ( n1)!( k n)! (n1)C mnn k n(n2)!( kn)!n k1n 2n 2 n 2 1n 1 n 2n 2 n 2(n 1)C m n (1 C n 1C nL C m n 2 )(C n 1Cn 1C n L C m n 2 )n( n 1)C m n n1n 1 n 2 Ln 2L1n 1n 2(n 1)C m n (C nC nCm n 2)(Cm n 2Cm n 2)n( n 1)C m nnC m n 1n 1n ，(n 1)C mn( m n)( n 1)n即E(X)n．n)(n 1)(m。

2017年高考真题——数学(江苏卷)含解析

为
1 ，两准线之间的距离为 8.点 P 在椭圆 E 上，且位于第一象限，过点 F1 作直线 PF1 的垂线 l1,过点 F2 作 2
直线 PF2 的垂线 l2. （1）求椭圆 E 的标准方程；（2）若直线 l1，l2 的交点 Q 在椭圆 E 上，求点 P 的坐标.
18. （本小题满分 16 分）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为 32cm，容器Ⅰ的底面对角线 AC 的长为 10 7 cm，容器Ⅱ的两底面对学科*网角线 EG，E1G1 的长分别为 14cm 和 62cm. 分别在容器Ⅰ 和容器Ⅱ中注入水，水深均为 12cm. 不计）（1）将 l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点 A 处，另一端置于侧棱 CC1 上，求 l 没入水中部分的长度；（2）将 l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点 E 处，另一端置于侧棱 GG1 上，求 l 没入水中部分的长度. 现有一根玻璃棒 l，其长度为 40cm.（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略

7 63 ，S6 ， 4 4
11.已知函数
f x = x3 2x+ex -
1 ex
，其中 e 是自然数对数的底数，若
f a-1 +f 2a2 0 ，则实数 a 的取值范围是

。
A ,O A 与O B ,O C ,的模分别为 1,1， 2 ， O C 的夹角为，且 12.如图，在同一个平面内，向量 O A +n O B 与O C 的夹角为 45°。若 O C =m O B （m，n R） tan =7， O ，则 m+n=

13.在平面直角坐标系 xOy 中，A（-12,0），B（0,6），点 P 在圆 O：x2+y2=50 上，若点 P 的横坐标的取值范围是 .

2017年高考试题——数学(江苏卷)解析版

绝密★启用前【试卷点评】【命题特点】2017年江苏高考数学试卷，在保持稳定的基础上，进行适度的改革和创新，对数据处理能力、应用意识的要求比以往有所提高。

2017年江苏数学试卷在“稳中求进”中具体知识点有变化。

1.体现新课标理念，实现平稳过渡。

试卷紧扣江苏考试大纲，新增内容的考查主要是对基本概念、基本公式、基本运算的考查，难度不大。

对传统内容的考查在保持平稳的基础上进行了适度创新。

如第7题首次考查几何概型概率问题。

2.关注通性通法。

试卷淡化了特殊的技巧，全面考查通性通法，体现了以知识为载体，以方法为依托，以能力考查为目的的命题要求。

如第17题解析几何考查两直线交点以及点在曲线上。

第20题以极值为载体考查根与系数关系、三次方程因式分解。

第19题以新定义形式多层次考查等差数列定义。

3.体现数学应用，关注社会生活。

第10题以实际生活中运费、存储费用为背景的基本不等式求最值问题，第18题以常见的正四棱柱和正四棱台为背景的解三角形问题，体现试卷设计问题背景的公平性，对推动数学教学中关注身边的数学起到良好的导向。

4.附加题部分，前四道选做题对知识点的考查单一，方法清晰，学生入手较易。

两道必做题一改常规，既考查空间向量在立体几何中应用，又考查概率分布与期望值，既考查运算能力，又考查思维能力。

【试卷解析】参考公式：柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高. 球体积公式34π3R V =，其中R 是球的半径.一、填空题:本大题共14小题，每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1. 已知集合{1,2}A =，2{,3}B a a =+，若{1}A B =I 则实数a 的值为 ▲ . 【答案】1【考点】元素的互异性【名师点睛】(1)认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.(2)注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.(3)防范空集.在解决有关,A B A B =∅⊆I 等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解.2. 已知复数(1i)(12i),z =++其中i 是虚数单位，则z 的模是 ▲ . 【答案】10【考点】复数的模【名师点睛】对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)+∈a bi a b R 的实部为a 、虚部为b 22+a b (,)a b 、共轭为.-a bi3. 某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取 ▲ 件. 【答案】18【解析】所求人数为300601810000⨯=，故答案为18．【考点】分层抽样【名师点睛】在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即n i ∶N i ＝n ∶N . 4. 右图是一个算法流程图，若输入x 的值为116,则输出的y 的值是 ▲ .【答案】2-【解析】由题意212log 216y =+=-，故答案为－2．【考点】循环结构流程图【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项. 5. 若π1tan(),46α-= 则tan α= ▲ .【答案】75【考点】两角和正切公式【名师点睛】三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数. (2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异. ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； ②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.结束（第4题）开始 22log y x←+Y1x ≥N输入x 2x y ←输出y6. 如图,在圆柱12,O O 内有一个球O ,该球与圆柱的上、下面及母线均相切.记圆柱12,O O 的体积为1V ,球O 的体积为2V ,则12V V 的值是 ▲.【答案】32【解析】设球半径为r ，则213223423V r r V r ππ⨯==．故答案为32．【考点】圆柱体积【名师点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解． (2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解． 7. 记函数2()6f x x x =+-的定义域为D .在区间[4,5]-上随机取一个数x ,则x D ∈的概率是 ▲ . 【答案】59【考点】几何概型概率【名师点睛】(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解． (2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．8. 在平面直角坐标系xOy 中,双曲线2213x y -=的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ,Q ,其焦点是12,F F ,则四边形12F PF Q 的面积是 ▲ .O O 1 O 2⋅⋅ ⋅【答案】23【考点】双曲线渐近线【名师点睛】1.已知双曲线方程22221x y a b -=求渐近线：22220x y by x a b a-=⇒=±2.已知渐近线y mx = 设双曲线标准方程222m x y λ-=3，双曲线焦点到渐近线距离为b ，垂足为对应准线与渐近线的交点.9. 等比数列{}n a 的各项均为实数,其前n 项的和为n S ,已知3676344S S ==,,则8a = ▲ .【答案】32【解析】当1q =时，显然不符学合题意；当1q ≠时，3161(1)714(1)6314a q q a q q ⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得1142a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则7812324a =⨯=. 【考点】等比数列通项【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.10. 某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则x 的值是 ▲ . 【答案】30 【解析】总费用600900464()42900240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立. 【考点】基本不等式求最值【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 11. 已知函数31()2e e x xf x x x =-+-, 其中e 是自然对数的底数. 若2(1)(2)0f a f a -+≤,则实数a 的取值范围是 ▲ . 【答案】1[1,]2-【考点】利用函数性质解不等式【名师点睛】解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内12. 如图,在同一个平面内，向量OA u u u r ,OB u u u r ,OC u u u r 的模分别为2OA u u u r 与OC u u u r 的夹角为α,且tan α=7,OB u u u r与OC u u u r 的夹角为45°.若OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r(,)m n ∈R , 则m n += ▲ . 【答案】3【解析】由tan 7α=可得72sin α=，2cos α=，根据向量的分解，易得cos 45cos 2sin 45sin 0n m n m αα⎧︒+=⎪⎨︒-=⎪⎩2222102720210n m n m +=⎪-=⎩，即510570n m n m +=⎧⎨-=⎩，即得57,44m n ==，所以3m n +=.α A CB(第12题)【考点】向量表示【名师点睛】(1)向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数、方程、不等式的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等式问题.(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.(3)向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.13. 在平面直角坐标系xOy 中,(12,0),(0,6),A B -点P 在圆2250O x y +=：上,若20,PA PB ⋅u u u r u u u r≤则点P 的横坐标的取值范围是 ▲ . 【答案】[52,1]-【考点】直线与圆，线性规划【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求横坐标或纵坐标、直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.14. 设()f x 是定义在R 且周期为1的函数，在区间[0,1)上,2,,(),,x x D f x x x D ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩其中集合1,*n D x x n n -⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 ▲ .【答案】8【解析】由于()[0,1)f x ∈ ，则需考虑110x ≤< 的情况在此范围内，x Q ∈ 且x ∈Z 时，设*,,,2qx p q p p=∈≥N ，且,p q 互质若lg x Q ∈ ，则由lg (0,1)x ∈ ，可设*lg ,,,2nx m n m m=∈≥N ，且,m n 互质因此10nmqp=，则10()n mqp=，此时左边为整数，右边非整数，矛盾，因此lg x Q∉【考点】函数与方程【名师点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本小题满分14分）如图,在三棱锥A-BCD中,AB⊥AD, BC⊥BD, 平面ABD⊥平面BCD, 点E,F(E与A,D不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD.求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】证明：（1）在平面ABD 内，因为AB ⊥AD ，EF AD ⊥，所以EF AB ∥.【考点】线面平行判定定理、线面垂直判定与性质定理，面面垂直性质定理【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直. 16.（本小题满分14分）已知向量(cos ,sin ),(3,3),[0,π].x x x ==-∈a b （1）若a ∥b ,求x 的值；（2）记()f x =⋅a b ,求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值. 【答案】（1）5π6x =（2）0x =时，取得最大值，为3； 5π6x =时，取得最小值，为3-(第15题)ADBC EF【解析】解：（1）因为co ()s ,sin x x =a ，(3,3)=-b ，a ∥b ，（2）π(cos ,sin )(3,3)3cos 3sin 23cos(())6f x x x x x x =⋅=⋅-=-=+a b . 因为，所以ππ7π[,]666x +∈，从而π31cos()62x -≤+≤. 于是，当ππ66x +=，即0x =时，取到最学.科网大值3；当π6x +=π，即5π6x =时，取到最小值23-【考点】向量共线，数量积【名师点睛】(1)向量平行：1221//a b x y x y ⇒=r r，//,0,a b b a b λλ≠⇒∃∈=R r r r r r r ,111BA AC OA OB OC λλλλ=⇔=+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur (2)向量垂直：121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=r r r r，(3)向量加减乘： 221212(,),||,||||cos ,a b x x y y a a a b a b a b ±=±±=⋅=⋅<>r rr rr r r r r r17.（本小题满分14分）如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F , 2F ,离心率为12,两准线之间的距离为8.点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作直线1PF 的垂线1l ,过点2F 作直线2PF 的垂线2l .（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线E 的交点Q 在椭圆E 上,求点P 的坐标.【答案】（1）22143x y +=（2）4737(,) 【解析】解：（1）设椭圆的半焦距为c .从而直线1l 的方程：001(1)x y x y +=-+， ① 直线2l 的方程：001(1)x y x y -=--. ② 由①②，解得20001,x x x y y -=-=，所以2001(,)x Q x y --. F 1 ⋅O⋅F 2xy(第17题)因为点Q在椭圆上，由对称性，得20001x y y -=±，即22001x y -=或22001x y +=.因此点P 的坐标为77(77.【考点】椭圆方程，直线与椭圆位置关系【名师点睛】直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点在曲线上则点的坐标满足曲线方程. 18.（本小题满分16分）如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm,容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为7容器Ⅱ的两底面对角线EG ,11E G 的长分别为14cm 和62cm. 分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均为12cm. 现有一根玻璃棒l ,其长度为40cm.（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l 放在容器Ⅰ中,l 的一端置于点A 处,另一端置于侧棱1CC 上,求l 没入水中部分的长度；（2）将l 放在容器Ⅱ中,l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱1GG 上，求l 没入水中部分的长度.【答案】（1）16（2）20【解析】解:（1）由正棱柱的定义，1CC ⊥平面ABCD ，所以平面11A ACC ⊥平面ABCD ，1CC AC ⊥.容器Ⅱ容器ⅠGOHFD BAO 1H 11F 1E D 1C 1B 1A (第18题)记玻璃棒的另一端落在1CC 上点M 处.( 如果将“没入水中部分冶理解为“水面以上部分冶，则结果为24cm)（2）如图，O ，O 1是正棱台的两底面中心.由正棱台的定义，OO 1⊥平面 EFGH ，所以平面E 1EGG 1⊥平面EFGH ，O 1O ⊥EG . 同理，平面 E 1EGG 1⊥平面E 1F 1G 1H 1，O 1O ⊥E 1G 1. 记玻璃棒的另一端落在GG 1上点N 处.过G 作GK ⊥E 1G ，K 为垂足，则GK =OO 1=32. 因为EG = 14，E 1G 1= 62，所以KG 1=6214242-=，从而222211 243240GG KG GK =+=+=. 设1,,EGG ENG αβ==∠∠则114sin sin()cos 25KGG KGG απ=+==∠∠.因为2απ<<π，所以3cos 5α=-.在ENG △中，由正弦定理可得4014sin sin αβ=，解得7sin 25β=. 因为02βπ<<，所以24cos 25β=.于是42473sin sin()sin()sin co 3s cos sin ()5252555NEG αβαβαβαβ=π--=+=+=⨯+-⨯=∠. 记EN 与水面的交点为P 2，过 P 2作P 2Q 2⊥EG ，Q 2为垂足，则 P 2Q 2⊥平面 EFGH ，故P 2Q 2=12，从而 EP 2=2220sin P NEGQ =∠.答:玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm.(如果将“没入水中部分冶理解为“水面以上部分冶，则结果为20cm) 【考点】正余弦定理【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果. 19.（本小题满分16分）对于给定的正整数k ,若数列{}n a 满足1111n k n k n n n k n k a a a a a a --+-++-++++++++L L 2n ka =对任意正整数()n n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”. （1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”;（2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列. 【答案】（1）见解析（2）见解析当3n ≥时，n n n n n a a a a a --+++++=21124，①当4n ≥时，n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=3211236.②由①知，n n n a a a ---+=-32141()n n a a ++，③n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+，④所以数列{}n a 是等差数列.【考点】等差数列定义及通项公式【名师点睛】证明{}n a 为等差数列的方法： (1)用定义证明：1(n n a a d d +-=为常数）； (2)用等差中项证明：122n n n a a a ++=+； (3)通项法： n a 为n 的一次函数；(4)前n 项和法：2n S An Bn =+20.（本小题满分16分）已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值,且导函数()f x '的极值点是()f x 的零点.（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：23b a >;（3）若()f x ,()f x '这两个函数的所有极值之和不小于72-，求a 的取值范围.【答案】（1）3a >（2）见解析（3）36a <≤【解析】解：（1）由32()1f x x ax bx =+++，得222()323()33a a f x x axb x b '=++=++-.当3ax =-时，()f x '有极小值23a b -.因为()f x '的极值点是()f x 的零点.所以33()1032793a a a ab f -=-+-+=，又0a >，故2239a b a=+. 因为()f x 有极值，故()=0f x '有实根，从而231(27a )039a b a-=-≤，即3a ≥. 3a =时，()>0(1)f x x '≠-，故()f x 在R 上是增函数，()f x 没有极值；3a >时，()=0f x '有两个相异的实根213=3a a b x ---，223=3a a bx -+-. 列表如下x1(,)x -∞1x12(,)x x2x2(,)x +∞()f x ' +0 –0 +()f xZ 极大值] 极小值Z故()f x 的极值点是12,x x . 从而3a >，因为3a >，所以33a a >()>(33)=3g a g >3a因此2>3b a .（3）由（1）知，()f x 的极值点是12,x x ，且1223x x a +=-，22212469a b x x -+=.从而323212111222()()11f x f x x ax bx x ax bx +=+++++++2222121122121212(32)(32)()()23333x x x ax b x ax b a x x b x x =++++++++++346420279a ab ab -=-+=因此a 的取值范围为(36]，.【考点】利用导数研究函数单调性、极值及零点【名师点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.数学II21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两．．．．．题．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A. [选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，AB 为半圆O 的直径,直线PC 切半圆O 于点C ，AP ⊥PC ，P 为垂足. 求证：（1）;PAC CAB ∠=∠ （2）2AC AP AB =⋅.【答案】见解析【解析】证明：（1）因为PC 切半圆O 于点C ，POCA(第21-A 题)所以PCA CBA =∠∠，所以2·AC AP AB = 【考点】圆性质，相似三角形【名师点睛】1.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路(1)直接应用相交弦、切割线定理及其推论；(2)当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握．2．应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．B. [选修4—2：矩阵与变换](本小题满分10分) 已知矩阵0110,.1002B ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A A= ，B=.（1）求AB ;（2）若曲线221:182x y C +=在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线2C ,求2C 的方程.【答案】（1）（2）228x y +=【解析】解：（1）因为A =0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B =1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以AB =0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦=0210⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （2）设00(,)Q x y 为曲线1C 上的任意一点，它在矩阵AB 对应的变换作用下变为(,)P x y ,则000210x x y y ⎡⎤⎡⎤=⎡⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎤⎥⎣⎦⎦⎢，即002y x x y =⎧⎨=⎩，所以002x yx y =⎧⎪⎨=⎪⎩. 因为00(,)Q x y 在曲线1C 上，所以2200188x y +=，从而22188x y +=，即228x y +=.因此曲线1C 在矩阵AB 对应的变换作用下得到曲线2C ：228x y +=.【考点】矩阵乘法、线性变换【名师点睛】（1）矩阵乘法注意对应相乘：a b m p am bn ap bq c d n q cm dn cp dq ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦（2）矩阵变换注意变化前后对应点：a b x x c d y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦表示点(,)x y 在矩阵a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦变换下变成点(,)x y '' C. [选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面坐标系中xOy 中,已知直线l 的参考方程为x 82tty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),曲线C 的参数方程为22,22x s y s⎧=⎪⎨=⎪⎩(s 为参数).设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值. 【答案】45【解析】解：直线l 的普通方程为280x y -+=.因此当点P 的坐标为(4,4)时，曲线C 上点P 到直线l 45. 【考点】参数方程化普通方程【名师点睛】1.将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换法． 2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响．D.［选修4-5：不等式选讲］（本小题满分10分）已知,,,a b c d 为实数，且22224,16,a b c d +=+=证明8.ac bd +≤ 【答案】见解析【考点】柯西不等式【名师点睛】柯西不等式的一般形式：设a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…，b n 为实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当b i ＝0或存在一个数k ，使a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立.【必做题】第22、23题，每小题10分，计20分.请把答案写在答题卡的指定区域内．．．．．．．．．．．作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22.（本小题满分10分）如图, 在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥平面ABCD ,且AB =AD =2,AA 13 120BAD ∠=︒.（1）求异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值；（2）求二面角B-A 1D-A 的正弦值.DCBD 1B 1C 1A 1A(第22题)【答案】（1）17（2）74【解析】解：在平面ABCD 内，过点A 作AE ⊥AD ，交BC 于点E .因此异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值为17.(2)平面A 1DA 的一个法向量为3,0,0)AE =u u u r.设(,,)x y z =m 为平面BA 1D 的一个法向量，又1(3,1,3),(3,3,0)A B BD =--=-u u u r u u u r ，则10,0,A B BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r m m 即330,330.x y z x y -=+=⎪⎩不妨取x =3，则3,2y z ==，因此二面角B -A 1D -A 7. 【考点】空间向量、异面直线所成角及二面角【名师点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”. 23.（本小题满分10分）已知一个口袋有m 个白球,n 个黑球(,*,2m n n ∈N ≥),这些球除颜色外全部相同.现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1,2,3,,m n +L 的抽屉内，其中第k 次取出的球放入编号为k 的抽屉(1,2,3,,)k m n =+L .123L m n +（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p ;（2）随机变量X 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,()E X 是X 的数学期望,证明:()()(1)nE X m n n <+-【答案】（1）nm n+（2）见解析【解析】解:(1) 编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p 为: 11C C n m n n m n np m n-+-+==+. (2) 随机变量 X 的概率分布为: X1n 11n + 12n + …1k…1m n+P11C C n n nm n --+ 1C C n nnm n -+ 11C C n n nm n-++ …11C C n k nm n--+ …11C C n n m nm n-+-+ 随机变量 X 的期望为：()()(1)nE X m n n <+-.【考点】古典概型概率、随机变量及其分布、数学期望【名师点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布(,)X B n p :)，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(()E X np )求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.。

2017年高考真题——数学(江苏卷)含解析

2017年高考真题——数学(江苏卷)含解析绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷共4页，包含非选择题（第1题 ~ 第20题，共20题）.本卷满分为160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3.请认真核对监考员在答题上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。

4.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。

5.如需改动，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上 1.已知集合{}=1,2A ，{}=+2,3B a a ，若A B I={1}则实数a 的值为________2.已知复数z=（1+i ）（1+2i ）,其中i 是虚数单位，则z 的模是__________3.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取件4.右图是一个算法流程图，若输入x 的值为116，则输出的y 的值是5.若tan 1-=46πα⎛⎫ ⎪⎝⎭,则tan α= 6.如图，在圆柱O 1 O 2 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下面及母线均相切。

记圆柱O 1 O 2 的体积为V 1 ,球O 的体积为V 2 ，则12V V 的值是7.记函数2()6f x x x =+-的定义域为D.在区间[-4,5]上随机取一个数x ，则x ∈ D 的概率是 8.在平面直角坐标系xoy k ,双曲线2213x y -= 的右准线与学科&网它的两条渐近线分别交于点P,Q ，其焦点是F 1 , F 2 ,则四边形F 1 P F 2 Q 的面积是9.等比数列{}na 的各项均为实数，其前n 项的和为Sn ，已知36763，44S S ==，则8a =10.某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储之和最小，则x 的值是 11.已知函数()3xx12x+e -e-f x =x ，其中e 是自然数对数的底数，若()()2a-1+2a ≤f f 0，则实数a 的取值范围是。

2017年江苏数学高考试卷含答案和解析

2017年江苏数学高考试卷一。

填空题1．（5分）已知集合A=｛1，2｝，B={a，a2+3}．若A∩B=｛1},则实数a的值为．2．(5分）已知复数z=（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位,则z的模是．3．(5分)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取件．4．（5分）如图是一个算法流程图：若输入x的值为，则输出y的值是．5．（5分)若tan（α﹣）=．则tanα=．6．（5分）如图，在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2，则的值是．7．（5分)记函数f（x）=定义域为D．在区间［﹣4，5］上随机取一个数x，则x∈D 的概率是．8．(5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q,其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是．9．(5分）等比数列{a n}的各项均为实数,其前n项为S n，已知S3=，S6=,则a8=．10．（5分）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨,运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是．11．（5分)已知函数f(x）=x3﹣2x+e x﹣，其中e是自然对数的底数．若f（a﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是．12．（5分）如图，在同一个平面内,向量，，的模分别为1，1，,与的夹角为α，且ta nα=7，与的夹角为45°．若=m+n（m,n∈R）,则m+n=．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣12，0），B（0,6)，点P在圆O:x2+y2=50上．若≤20,则点P的横坐标的取值范围是．14．（5分）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f（x）=，其中集合D={x｜x=,n∈N＊}，则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是．二.解答题15．（14分)如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F(E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．16．(14分）已知向量=（cosx，sinx），=（3，﹣），x∈［0，π］．（1）若∥，求x的值；（2）记f（x)=，求f(x）的最大值和最小值以及对应的x的值．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中,椭圆E：=1(a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上,且位于第一象限,过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2．（1）求椭圆E的标准方程；（2)若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．18．(16分)如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上,求l没入水中部分的长度；（2)将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水中部分的长度．19．（16分）对于给定的正整数k，若数列｛a n｝满足：a n﹣k+a n﹣k+1+…+a n﹣1+a n+1+…a n+k﹣+a n+k=2ka n对任意正整数n（n＞k）总成立，则称数列{a n}是“P（k）数列”．1（1）证明：等差数列{a n｝是“P（3)数列”；（2）若数列｛a n｝既是“P(2）数列”，又是“P（3）数列”，证明：｛a n｝是等差数列．20．（16分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x)的极值点是f(x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）(1）求b关于a的函数关系式,并写出定义域；（2)证明：b2＞3a；（3）若f（x）,f′(x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围．二.非选择题，附加题（21—24选做题）【选修4—1：几何证明选讲】（本小题满分0分）21．如图,AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC,P为垂足．求证：（1）∠P AC=∠CAB；（2）AC2 =AP•AB．[选修4—2：矩阵与变换］22．已知矩阵A=,B=．(1）求AB;(2）若曲线C1:=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2，求C2的方程．[选修4-4:坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数），曲线C的参数方程为（s为参数）．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．［选修4—5：不等式选讲］24．已知a,b，c，d为实数，且a2+b2=4,c2+d2=16，证明ac+bd≤8．【必做题】25．如图,在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD,且AB=AD=2，AA1=，∠BAD=120°．（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值;（2）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．26．已知一个口袋有m个白球，n个黑球（m,n∈N＊，n≥2）,这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出,并放入如图所示的编号为1，2，3，…,m+n的抽屉内,其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉(k=1，2,3，…，m+n)．1 2 3 …m+n（1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；（2）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E（X）是X的数学期望，证明E(X）＜．2017年江苏高考数学参考答案与试题解析一.填空题1．（5分）（2017•江苏）已知集合A=｛1,2},B=｛a，a2+3}．若A∩B={1｝，则实数a的值为1．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={1，2｝，B={a，a2+3}．A∩B={1}，∴a=1或a2+3=1，解得a=1．故答案为：1．【点评】本题考查实数值的求法,是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义及性质的合理运用．2．(5分）(2017•江苏)已知复数z=（1+i)（1+2i），其中i是虚数单位，则z的模是．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：复数z=（1+i）(1+2i）=1﹣2+3i=﹣1+3i,∴|z｜==．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力,属于基础题．3．(5分）（2017•江苏）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200，400,300,100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取18件．【分析】由题意先求出抽样比例即为，再由此比例计算出应从丙种型号的产品中抽取的数目．【解答】解：产品总数为200+400+300+100=1000件，而抽取60辆进行检验，抽样比例为=，则应从丙种型号的产品中抽取300×=18件，故答案为：18【点评】本题的考点是分层抽样．分层抽样即要抽样时保证样本的结构和总体的结构保持一致，按照一定的比例，即样本容量和总体容量的比值,在各层中进行抽取．4．（5分）（2017•江苏）如图是一个算法流程图:若输入x的值为，则输出y的值是﹣2．【分析】直接模拟程序即得结论．【解答】解：初始值x=，不满足x≥1,所以y=2+log2=2﹣=﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题考查程序框图,模拟程序是解决此类问题的常用方法，注意解题方法的积累，属于基础题．5．（5分）（2017•江苏)若tan（α﹣)=．则tanα=．【分析】直接根据两角差的正切公式计算即可【解答】解：∵tan（α﹣）===∴6tanα﹣6=tanα+1,解得tanα=，故答案为：．【点评】本题考查了两角差的正切公式，属于基础题6．（5分）（2017•江苏)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切,记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是．【分析】设出球的半径，求出圆柱的体积以及球的体积即可得到结果．【解答】解：设球的半径为R，则球的体积为：R3，圆柱的体积为：πR2•2R=2πR3．则==．故答案为：．【点评】本题考查球的体积以及圆柱的体积的求法,考查空间想象能力以及计算能力．7．(5分）（2017•江苏）记函数f（x）=定义域为D．在区间［﹣4，5］上随机取一个数x，则x∈D的概率是．【分析】求出函数的定义域,结合几何概型的概率公式进行计算即可．【解答】解:由6+x﹣x2≥0得x2﹣x﹣6≤0，得﹣2≤x≤3，则D=［﹣2，3]，则在区间[﹣4,5]上随机取一个数x,则x∈D的概率P==，故答案为：【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算，结合函数的定义域求出D，以及利用几何概型的概率公式是解决本题的关键．8．（5分）（2017•江苏)在平面直角坐标系xOy中,双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1,F2，则四边形F1PF2Q的面积是．【分析】求出双曲线的准线方程和渐近线方程，得到P，Q坐标，求出焦点坐标，然后求解四边形的面积．【解答】解：双曲线﹣y2=1的右准线：x=，双曲线渐近线方程为：y=x,所以P（,），Q（，﹣)，F1（﹣2，0)．F2（2,0）．则四边形F1PF2Q的面积是:=2．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．9．（5分）（2017•江苏）等比数列｛a n｝的各项均为实数，其前n项为S n，已知S3=,S6=，则a8=32．【分析】设等比数列{a n}的公比为q≠1，S3=，S6=，可得=，=,联立解出即可得出．【解答】解:设等比数列{a n｝的公比为q≠1,∵S3=，S6=，∴=,=，解得a1=,q=2．则a8==32．故答案为：32．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力,属于中档题．10．（5分)（2017•江苏）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是30．【分析】由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=+4x，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=+4x≥4×2×=240（万元)．当且仅当x=30时取等号．故答案为：30．【点评】本题考查了基本不等式的性质及其应用,考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11．（5分)（2017•江苏）已知函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣，其中e是自然对数的底数．若f(a ﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是[﹣1，]．【分析】求出f（x)的导数，由基本不等式和二次函数的性质，可得f(x)在R上递增；再由奇偶性的定义，可得f（x）为奇函数,原不等式即为2a2≤1﹣a，运用二次不等式的解法即可得到所求范围．【解答】解：函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣的导数为：f′（x）=3x2﹣2+e x+≥﹣2+2=0，可得f（x）在R上递增;又f（﹣x）+f（x）=（﹣x）3+2x+e﹣x﹣e x+x3﹣2x+e x﹣=0，可得f(x）为奇函数,则f（a﹣1）+f（2a2）≤0，即有f（2a2)≤﹣f（a﹣1）=f(1﹣a）,即有2a2≤1﹣a，解得﹣1≤a≤，故答案为：[﹣1，］．【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和应用，注意运用导数和定义法，考查转化思想的运用和二次不等式的解法，考查运算能力，属于中档题．12．(5分）（2017•江苏）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1,,与的夹角为α，且ta nα=7，与的夹角为45°．若=m+n(m，n∈R）,则m+n= 3．【分析】如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由与的夹角为α，且tanα=7．可得cosα=，sinα=．C．可得cos（α+45°）=．sin(α+45°)=．B．利用=m+n（m，n∈R），即可得出．【解答】解:如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由与的夹角为α，且tanα=7．∴cosα=，sinα=．∴C．cos（α+45°）=（cosα﹣sinα）=．sin（α+45°）=（sinα+cosα)=．∴B．∵=m+n(m，n∈R),∴=m﹣n，=0+n，解得n=，m=．则m+n=3．故答案为：3．【点评】本题考查了向量坐标运算性质、和差公式,考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．(5分）（2017•江苏）在平面直角坐标系xOy中，A(﹣12，0），B(0，6）,点P在圆O：x2+y2=50上．若≤20，则点P的横坐标的取值范围是[﹣5,1］．【分析】根据题意,设P(x0，y0），由数量积的坐标计算公式化简变形可得2x0+y0+5≤0，分析可得其表示表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域，联立直线与圆的方程可得交点的横坐标，结合图形分析可得答案．【解答】解：根据题意,设P（x0，y0),则有x02+y02=50，=(﹣12﹣x0,﹣y0)•（﹣x0,6﹣y0)=（12+x0)x0﹣y0(6﹣y0）=12x0+6y+x02+y02≤20,化为:12x0+6y0+30≤0，即2x0+y0+5≤0,表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域,联立，解可得x0=﹣5或x0=1，结合图形分析可得:点P的横坐标x0的取值范围是[﹣5，1]，故答案为：［﹣5,1]．【点评】本题考查数量积的运算以及直线与圆的位置关系,关键是利用数量积化简变形得到关于x0、y0的关系式．14．（5分）(2017•江苏）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数,在区间［0，1）上,f（x）=,其中集合D={x|x=，n∈N＊}，则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是8．【分析】由已知中f（x)是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f(x)=,其中集合D={x｜x=,n∈N*｝,分析f（x）的图象与y=lgx图象交点的个数,进而可得答案．【解答】解：∵在区间[0，1)上，f（x)=，第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数,又f(x）是定义在R上且周期为1的函数，∴在区间［1,2）上，f（x）=，此时f(x)的图象与y=lgx有且只有一个交点;同理：区间[2，3)上，f(x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[3，4）上,f（x)的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[4，5）上，f(x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[5，6）上，f(x)的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间［6，7）上，f（x)的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间［7，8）上，f(x)的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[8，9）上，f（x)的图象与y=lgx有且只有一个交点；在区间[9，+∞)上，f（x）的图象与y=lgx无交点；故f（x）的图象与y=lgx有8个交点；即方程f(x）﹣lgx=0的解的个数是8，故答案为：8【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断,函数的图象和性质,转化思想,难度中档．二。

2017高考江苏卷数学试卷(解析版)

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I参考公式：柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高.球体积公式34π3R V =，其中R 是球的半径.一、填空题:本大题共14小题，每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1. 已知集合{1,2}A =，2{,3}B a a =+，若{1}A B =I 则实数a 的值为 ▲ . 【答案】1【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为1．2. 已知复数(1i)(12i),z =++其中i 是虚数单位，则z 的模是 ▲ .【解析】(1)(12)112z i i i i =++=++==3. 某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取 ▲ 件.【答案】18【解析】所求人数为300601810000⨯=，故答案为18．4. 右图是一个算法流程图，若输入x 的值为116,则输出的y 的值是 ▲ .【答案】2-【解析】由题意212log 216y =+=-，故答案为－2． 5. 若π1tan(),46α-= 则tan α= ▲ .【答案】75【解析】11tan()tan7644tan tan[()]14451tan()tan 1446ππαππααππα+-+=-+===---．故答案为75．6. 如图,在圆柱12,O O 内有一个球O ,该球与圆柱的上、下面及母线均相切.记圆柱12,O O 的体积为1V ,球O 的体积为2V ,则12V V 的值是 ▲ .【答案】32【解析】设球半径为r ，则213223423V r r V r ππ⨯==．故答案为32． 7.记函数()f x D .在区间[4,5]-上随机取一个数x ,则x D ∈的概率是 ▲ .【答案】59【解析】由260x x +-≥，即260x x --≤，得23x -≤≤，根据几何概型的概率计算公式得x D ∈的概率是3(2)55(4)9--=--.8. 在平面直角坐标系xOy 中,双曲线2213x y -=的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ,Q ,其焦点是12,F F ,则四边形12F PF Q 的面积是 ▲ .【答案】【解析】右准线方程为x ==，渐近线为y =，则P，Q，1(F，2F，则S ==9. 等比数列{}n a 的各项均为实数,其前n 项的和为n S ,已知3676344S S ==,,则8a = ▲ .【答案】32【解析】当1q =时，显然不符合题意；当1q ≠时，3161(1)714(1)6314a q q a q q⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得1142a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则7812324a =⨯=. 10. 某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则x 的值是 ▲ .【答案】30 【解析】总费用600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立.11.已知函数31()2e ex x f x x x =-+-, 其中e 是自然对数的底数. 若2(1)(2)0f a f a -+≤,则实数a 的取值范围是 ▲ .【答案】1[1,]2-【解析】因为31()2e ()ex x f x x f x x -=-++-=-，因为22()32e e 322e e 0x x x x f 'x x x --=-++≥-+⋅≥，所以数()f x 在R 上单调递增，221a a ≤-，即2120a a +-≤，解得112a -≤≤，故实数a 的取值范围为1[1,]2-. 12. 如图,在同一个平面内，向量OA u u u r ,OB u u u r ,OC u u u r 的模分别为1,1,2,OA u u u r 与OC u u u r的夹角为α,且tan α=7,OB u u u r 与OC u u u r 的夹角为45°.若OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r(,)m n ∈R , 则m n += ▲ .【答案】313. 在平面直角坐标系xOy 中,(12,0),(0,6),A B -点P 在圆2250O x y +=：上,若20,PA PB ⋅u u u r u u u r ≤则点P 的横坐标的取值范围是 ▲ .【答案】[52,1]-α A CB(第12题)【解析】设(,)P x y ，由20PA PB ⋅≤u u u r u u u r ，易得250x y -+≤，由2225050x y x y -+=⎧⎨+=⎩，可得5:5x A y =-⎧⎨=-⎩或1:7x B y =⎧⎨=⎩，由250x y -+≤得P 点在圆左边弧»AB 上,结合限制条件5252x -≤≤ ，可得点P 横坐标的取值范围为[52,1]-.14. 设()f x 是定义在R 且周期为1的函数，在区间[0,1)上,2,,(),,x x D f x x x D ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩其中集合1,*n D x x n n -⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭N ，学#科网则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 ▲ .【答案】8二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本小题满分14分）如图,在三棱锥A-BCD 中,AB ⊥AD , BC ⊥BD , 平面ABD ⊥平面BCD , 点E ,F (E 与A ,D 不重合)分别在棱AD ,BD 上,且EF ⊥AD .求证：（1）EF ∥平面ABC ；（2）AD ⊥AC .【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】证明：（1）在平面ABD 内，因为AB ⊥AD ，EF AD ⊥，所以EF AB ∥. 又因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC . （2）因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD I 平面BCD =BD ，BC ⊂平面BCD ，BC BD ⊥，所以BC ⊥平面ABD .因为AD ⊂平面ABD ，所以BC ⊥AD .又AB ⊥AD ，BC AB B =I ，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以AD ⊥平面ABC ，又因为AC ⊂平面ABC ，所以AD ⊥AC.16.（本小题满分14分）已知向量(cos ,sin ),(3,3),[0,π].x x x ==∈a b （1）若a ∥b ,求x 的值；（2）记()f x =⋅a b ,求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值.【答案】（1）5π6x =（2）0x =时，取得最大值，为3； 5π6x =时，取得最小值，为23-.（2）π(cos ,sin )(3,3)3cos 3sin 23cos(())6f x x x x x x =⋅=⋅-=-=+a b . 因为，所以ππ7π[,]666x +∈，从而π31cos()62x -≤+≤. 于是，当ππ66x +=，即0x =时，取到最大值3；当π6x +=π，即5π6x =时，取到最小值23-.17.（本小题满分14分）如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F , 2F ,离心率为12,两准线之间的距离为8.点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作直线1PF 的垂线1l ,过点2F 作直线2PF 的垂线2l .（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线E 的交点Q 在椭圆E 上,求点P 的坐标.【答案】（1）22143x y +=（2）【解析】解：（1）设椭圆的半焦距为c .因为椭圆E 的离心率为12，两准线之间的距离为8，所以12c a =，228a c=，解得2,1a c ==，于是b =因此椭圆E 的标准方程是22143x y +=.（2）由（1）知，1(1,0)F -，2(1,0)F .设00(,)P x y ，因为点P 为第一象限的点，故000,0x y >>. 当01x =时，2l 与1l 相交于1F ，与题设不符.当01x ≠时，直线1PF 的斜率为001y x +，直线2PF 的斜率为01y x -. 因为11l PF ⊥，22l PF ⊥，所以直线1l 的斜率为001x y -+，直线2l 的斜率为001x y --，从而直线1l 的方程：001(1)x y x y +=-+， ① 直线2l 的方程：001(1)x y x y -=--. ② 由①②，解得20001,x x x y y -=-=，所以2001(,)x Q x y --. 因为点Q 在椭圆上，由对称性，得20001x y y -=±，即22001x y -=或22001x y +=. 又P 在椭圆E 上，故2200143x y +=.由220022001143x y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得00x y ==220022001143x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，无解.因此点P的坐标为4737(,).18.（本小题满分16分）如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm,容器Ⅰ的底面对角线AC的长为107cm,容器Ⅱ的两底面对角线EG,11E G的长分别为14cm和62cm. 分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均为12cm. 现有一根玻璃棒l,其长度为40cm.（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l放在容器Ⅰ中,l的一端置于点A处,另一端置于侧棱1CC上,求l没入水中部分的长度；（2）将l放在容器Ⅱ中,l的一端置于点E处，另一端置于侧棱1GG上，求l没入水中部分的长度.【答案】（1）16（2）20答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm.( 如果将“没入水中部分冶理解为“水面以上部分冶，则结果为24cm)（2）如图，O ，O 1是正棱台的两底面中心.由正棱台的定义，OO 1⊥平面 EFGH ，所以平面E 1EGG 1⊥平面EFGH ，O 1O ⊥EG . 同理，平面 E 1EGG 1⊥平面E 1F 1G 1H 1，O 1O ⊥E 1G 1. 记玻璃棒的另一端落在GG 1上点N 处.过G 作GK ⊥E 1G ，K 为垂足，则GK =OO 1=32. 因为EG = 14，E 1G 1= 62，所以KG 1=6214242-=，从而222211 243240GG KG GK =+=+=. 设1,,EGG ENG αβ==∠∠则114sin sin()cos 25KGG KGG απ=+==∠∠.因为2απ<<π，所以3cos 5α=-.在ENG △中，由正弦定理可得4014sin sin αβ=，解得7sin 25β=. 因为02βπ<<，所以24cos 25β=. 于是42473sin sin()sin()sin co 3s cos sin ()5252555NEG αβαβαβαβ=π--=+=+=⨯+-⨯=∠.记EN 与水面的交点为P 2，过 P 2作P 2Q 2⊥EG ，Q 2为垂足，则 P 2Q 2⊥平面 EFGH ，故P 2Q 2=12，从而 EP 2=2220sin P NEGQ =∠.答:玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm.(如果将“没入水中部分冶理解为“水面以上部分冶，则结果为20cm) 19.（本小题满分16分）对于给定的正整数k ,若数列{}n a 满足1111n k n k n n n k n k a a a a a a --+-++-++++++++L L 2n ka =对任意正整数()n n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”.（1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”;（2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列. 【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】证明:（1）因为{}n a 是等差数列，设其公差为d ，则1(1)n a a n d =+-，从而，当4n ≥时，n k n k a a a -++=+11(1)(1)n k d a n k d --+++-122(1)2n a n d a =+-=，1,2,3,k =所以n n n n n n n a a a a a a a ---+++++=321123+++6，因此等差数列{}n a 是“()3P 数列”.（2）数列{}n a 既是“()P 2数列”，又是“()3P 数列”，因此，当3n ≥时，n n n n n a a a a a --+++++=21124，①当4n ≥时，n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=3211236.② 由①知，n n n a a a ---+=-32141()n n a a ++，③n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+，④将③④代入②，得n n n a a a -++=112，其中4n ≥，所以345,,,a a a L 是等差数列，设其公差为d'.在①中，取4n =，则235644a a a a a +++=，所以23a a d'=-，在①中，取3n =，则124534a a a a a +++=，所以122a a d'=-，所以数列{}n a 是等差数列.20.（本小题满分16分）已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值,且导函数()f x '的极值点是()f x 的零点.（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：23b a >;（3）若()f x ,()f x '这两个函数的所有极值之和不小于72-，求a 的取值范围.【答案】（1）3a >（2）见解析（3）36a <≤【解析】解：（1）由32()1f x x ax bx =+++，得222()323()33a a f x x axb x b '=++=++-.当3ax =-时，()f x '有极小值23a b -.因为()f x '的极值点是()f x 的零点.所以33()1032793a a a ab f -=-+-+=，又0a >，故2239a b a=+. 因为()f x 有极值，故()=0f x '有实根，从而231(27a )039a b a-=-≤，即3a ≥. 3a =时，()>0(1)f x x '≠-，故()f x 在R 上是增函数，()f x 没有极值；3a >时，()=0f x '有两个相异的实根1=3a x --，2=3a x -+列表如下故()f x 的极值点是12,x x . 从而3a >，因此2239a b a=+，定义域为(3,)+∞.（3）由（1）知，()f x 的极值点是12,x x ，且1223x x a +=-，22212469a b x x -+=.从而323212111222()()11f x f x x ax bx x ax bx +=+++++++2222121122121212(32)(32)()()23333x x x ax b x ax b a x x b x x =++++++++++ 346420279a ab ab -=-+=记()f x ，()f x '所有极值之和为()h a ，因为()f x '的极值为221339a b a a -=-+，所以213()=9h a a a-+，3a >. 因为223()=09h a a a '--<，于是()h a 在(3,)+∞上单调递减. 因为7(6)=2h -，于是()(6)h a h ≥，故6a ≤.因此a 的取值范围为(36]，.数学II21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．答．，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A. [选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，AB为半圆O的直径,直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足.求证：（1）;PAC CAB∠=∠（2）2AC AP AB=⋅.【答案】见解析【解析】证明：（1）因为PC切半圆O于点C，所以PCA CBA=∠∠，因为AB为半圆O的直径，所以90ACB=︒∠,因为AP⊥PC，所以90APC=︒∠，所以PAC CAB∠=∠.（2）由（1）知APC ACB△∽△，故AP ACAC AB=，所以2·AC AP AB=B. [选修4—2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵0110,.1002B⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A A=，B=.（1）求AB;（2）若曲线221:182x yC+=在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线2C,求2C的方程. 【答案】（1）（2）228x y+=【解析】解：（1）因为A=0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B=1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以AB=0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦=0210⎡⎤⎢⎥⎣⎦.C. [选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面坐标系中xOy 中,已知直线l 的参考方程为x 82t ty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),曲线C 的参数方程为22,22x s y s⎧=⎪⎨=⎪⎩(s 为参数).设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值. 45【解析】解：直线l 的普通方程为280x y -+=. 因为点P 在曲线C 上，设2(2,22)P s s ，从而点P 到直线l 的的距离2222422)5(1)(2)s d ==-+-当2s =min 45d =因此当点P 的坐标为(4,4)时，曲线C 上点P 到直线l 的距离取到最小值45.D.［选修4-5：不等式选讲］（本小题满分10分）已知,,,a b c d 为实数，且22224,16,a b c d +=+=证明8.ac bd +≤ 【答案】见解析【解析】证明：由柯西不等式可得：22222()()()ac bd a b c d +≤++，因为22224,16,a b c d +=+= 所以2()64ac bd +≤，因此8ac bd +≤.【必做题】第22、23题，每小题10分，计20分.请把答案写在答题卡的指定区域内．．．．．．．．．．．作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.（本小题满分10分）如图, 在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥平面ABCD ,且AB =AD =2,AA 1=3, 120BAD ∠=︒.（1）求异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值；（2）求二面角B-A 1D-A 的正弦值.【答案】（1）17（2）7(1) 11(3,1,3),(3,13)A B AC =--=u u u r u u u u r，则111111(3,1,3)(3,1,3)1 cos,77||||A B ACA B ACA B AC⋅--⋅===-u u u r u u u u ru u u r u u u u ru u u r u u u u r. 因此异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为17.从而(3,0,0)(3,3,2)3cos,4||||34AEAEAE⋅⋅===⨯u u u ru u u ru u u r mmm,设二面角B-A1D-A的大小为θ，则3|cos|4θ=.因为[0,]θ∈π，所以27sin1cosθθ=-=.因此二面角B-A1D-A的正弦值为74.23.（本小题满分10分）已知一个口袋有m 个白球,n 个黑球(,*,2m n n ∈N ≥),这些球除颜色外全部相同.现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1,2,3,,m n +L 的抽屉内，其中第k 次取出的球放入编号为k 的抽屉(1,2,3,,)k m n =+L .（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p ;（2）随机变量X 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,()E X 是X 的数学期望,证明:()()(1)nE X m n n <+-【答案】（1）nm n+（2）见解析【解析】解:(1) 编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p 为: 11C C n m n n m n n p m n-+-+==+. (2) 随机变量 X 的概率分布为:随机变量 X 的期望为：11C 111(1)!()C C (1)!()!n m nm nk n nk n k nm nm n k E X k k n k n -++-==++-=⋅=⋅--∑∑. 所以1(2)!1(2)!()C (1)!()!(1)C (2)!()!m nm nn n k n k n m nm nk k E X n k n n n k n ++==++--<=-----∑∑ 222121(1C C C )(1)C n n n n n m n nm nn ----+-+=++++-L 12221121(C C C C )(1)C n n n n n n n m n nm nn ------+-+=++++-L 12221(C C C )(1)C n n n n n m n nm nn ---+-+=+++-L 12221(C C )(1)C n n m n m n nm nn --+-+-+==+-L11C (1)C ()(1)n m n nm n n n m n n -+-+==-+- ()()(1)nE X m n n <+-.。

2017年高考江苏卷数学试题解析(正式版)(解析版)

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I参考公式：柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高. 球体积公式34π3R V =，其中R 是球的半径.一、填空题:本大题共14小题，每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1. 已知集合{1,2}A =，2{,3}B a a =+，若{1}A B =则实数a 的值为 ▲ .【答案】1【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为1．2. 已知复数(1i)(12i),z =++其中i 是虚数单位，则z 的模是 ▲ . 【答案】10【解析】(1)(12)1122510z i i i i =++=++=⨯=，故答案为10．3. 某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取 ▲ 件. 【答案】18【解析】所求人数为300601810000⨯=，故答案为18．4. 右图是一个算法流程图，若输入x 的值为116,则输出的y 的值是 ▲ .【答案】2-【解析】由题意212log 216y =+=-，故答案为－2． 5. 若π1tan(),46α-= 则tan α= ▲ .【答案】75【解析】11tan()tan7644tan tan[()]14451tan()tan 1446ππαππααππα+-+=-+===---．故答案为75． 6. 如图,在圆柱12,O O 内有一个球O ,该球与圆柱的上、下面及母线均相切.记圆柱12,O O 的体积为1V ,球O 的体积为2V ,则12V V 的值是 ▲.【答案】32【解析】设球半径为r ，则213223423V r r V r ππ⨯==．故答案为32．7. 记函数2()6f x x x =+-的定义域为D .在区间[4,5]-上随机取一个数x ,则x D ∈的概率是 ▲ . 【答案】59【解析】由260x x +-≥，即260x x --≤，得23x -≤≤，根据几何概型的概率计算公式得x D ∈的概率是3(2)55(4)9--=--.8. 在平面直角坐标系xOy 中,双曲线2213x y -=的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ,Q ,其焦点是12,F F ,则四边形12F PF Q 的面积是 ▲ .【答案】239. 等比数列{}n a 的各项均为实数,其前n 项的和为n S ,已知3676344S S ==,,则8a = ▲ .【答案】32【解析】当1q =时，显然不符合题意；当1q ≠时，3161(1)714(1)6314a q q a q q ⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得1142a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则7812324a =⨯=. 10. 某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则x 的值是 ▲ . 【答案】30 【解析】总费用600900464()42900240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立. 11. 已知函数31()2e ex x f x x x =-+-, 其中e 是自然对数的底数. 若2(1)(2)0f a f a -+≤,则实数a 的取值范围是 ▲ . 【答案】1[1,]2-【解析】因为31()2e ()ex x f x x f x x -=-++-=-，因为22()32e e 322e e 0x x x x f 'x x x --=-++≥-+⋅≥，所以数()f x 在R 上单调递增，221a a ≤-，即2120a a +-≤，解得112a -≤≤，故实数a 的取值范围为1[1,]2-. 12. 如图,在同一个平面内，向量OA ,OB ,OC 的模分别为1,1,2,OA 与OC 的夹角为α,且tan α=7,OB 与OC 的夹角为45°.若OC mOA nOB =+(,)m n ∈R , 则m n += ▲ .【答案】3【解析】由7tan =α可得102cos 1027sin ==αα，，以O 为原点，OC 方向为x 轴，过O 垂直OC 为y 轴，建立直角坐标，得)1027,102(),22,22(),0,2(-===OA OB OC 利用向量的坐标运算得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+0102722210222m n m n ，得47,45==n m 所以3=+n m【点评】本题主要考察平面向量的概念、平面向量的坐标运算以及等基础知识，考查数形结合转化思想，向量的建立直角坐标系的基本思路，考查运算求解能力．本题属中等难题．13. 在平面直角坐标系xOy 中,(12,0),(0,6),A B -点P 在圆2250O x y +=：上,若20,PA PB ⋅≤则点P 的横坐标的取值范围是 ▲ . 【答案】[52,1]-【解析】设(,)P x y ，由20PA PB ⋅≤，易得250x y -+≤，由2225050x y x y -+=⎧⎨+=⎩，可得5:5x A y =-⎧⎨=-⎩或1:7x B y =⎧⎨=⎩，由250x y -+≤得P 点在圆左边弧AB 上,结合限制条件5252x -≤≤ ，可得点P 横坐标的取值范围为[52,1]-.αA CBO14. 设()f x 是定义在R 且周期为1的函数，在区间[0,1)上,2,,(),,x x D f x x x D ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩其中集合1,*n D x x n n -⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 ▲ .【答案】8二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分14分）如图,在三棱锥A-BCD 中,AB ⊥AD , BC ⊥BD , 平面ABD ⊥平面BCD , 点E ,F (E 与A ,D 不重合)分别在棱AD ,BD 上,且EF ⊥AD . 求证：（1）EF ∥平面ABC ；（2）AD ⊥AC .【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】证明：（1）在平面ABD 内，因为AB ⊥AD ，EF AD ⊥，所以EF AB ∥.又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC. （2）因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD平面BCD=BD，BC⊂平面BCD，BC BD⊥，所以BC⊥平面ABD.因为AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD.又AB⊥AD，BC AB B=，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AD⊥平面ABC，又因为AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC.16.（本小题满分14分）已知向量(cos,sin),(3,3),[0,π].x x x==-∈a b（1）若a∥b,求x的值；（2）记()f x=⋅a b,求()f x的最大值和最小值以及对应的x的值.【答案】（1）5π6x=（2）0x=时，取得最大值，为3；5π6x=时，取得最小值，为23-.（2）π(cos ,sin )(3,3)3cos 3sin 23cos(())6f x x x x x x =⋅=⋅-=-=+a b . 因为，所以ππ7π[,]666x +∈，从而π31cos()62x -≤+≤. 于是，当ππ66x +=，即0x =时，取到最大值3；当π6x +=π，即5π6x =时，取到最小值23-.17.（本小题满分14分）如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F , 2F ,离心率为12,两准线之间的距离为8.点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作直线1PF 的垂线1l ,过点2F 作直线2PF 的垂线2l .（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线E 的交点Q 在椭圆E 上,求点P 的坐标.【答案】（1）22143x y +=（2）4737(,)77【解析】解：（1）设椭圆的半焦距为c .因为椭圆E 的离心率为12，两准线之间的距离为8，所以12c a =，228a c=，解得2,1a c ==，于是223b a c =-=，因此椭圆E 的标准方程是22143x y +=.（2）由（1）知，1(1,0)F -，2(1,0)F .设00(,)P x y ，因为点P 为第一象限的点，故000,0x y >>. 当01x =时，2l 与1l 相交于1F ，与题设不符. 当01x ≠时，直线1PF 的斜率为001y x +，直线2PF 的斜率为001y x -.因为11l PF ⊥，22l PF ⊥，所以直线1l 的斜率为001x y -+，直线2l 的斜率为001x y --，从而直线1l 的方程：001(1)x y x y +=-+， ① 直线2l 的方程：001(1)x y x y -=--. ② 由①②，解得20001,x x x y y -=-=，所以2001(,)x Q x y --. 因为点Q 在椭圆上，由对称性，得20001x y y -=±，即22001x y -=或22001x y +=. 又P 在椭圆E 上，故2200143x y +=.由220022001143x y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得004737,77x y ==；220022001143x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，无解. 因此点P 的坐标为4737(,)77. 18.（本小题满分16分）如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm,容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为107cm,容器Ⅱ的两底面对角线EG ,11E G 的长分别为14cm 和62cm. 分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均为12cm. 现有一根玻璃棒l ,其长度为40cm.（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l 放在容器Ⅰ中,l 的一端置于点A 处,另一端置于侧棱1CC 上,求l 没入水中部分的长度；（2）将l 放在容器Ⅱ中,l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱1GG 上，求l 没入水中部分的长度.【答案】（1）16（2）20答：玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm.( 如果将“没入水中部分冶理解为“水面以上部分冶，则结果为24cm)（2）如图，O，O1是正棱台的两底面中心.由正棱台的定义，OO1⊥平面EFGH，所以平面E1EGG1⊥平面EFGH，O1O⊥EG. 同理，平面E1EGG1⊥平面E1F1G1H1，O1O⊥E1G1.记玻璃棒的另一端落在GG 1上点N 处. 过G 作GK ⊥E 1G ，K 为垂足，则GK =OO 1=32. 因为EG = 14，E 1G 1= 62，所以KG 1=6214242-=，从而222211 243240GG KG GK =+=+=. 设1,,EGG ENG αβ==∠∠则114sin sin()cos 25KGG KGG απ=+==∠∠.因为2απ<<π，所以3cos 5α=-.在ENG △中，由正弦定理可得4014sin sin αβ=，解得7sin 25β=. 因为02βπ<<，所以24cos 25β=. 于是42473sin sin()sin()sin co 3s cos sin ()5252555NEG αβαβαβαβ=π--=+=+=⨯+-⨯=∠. 记EN 与水面的交点为P 2，过 P 2作P 2Q 2⊥EG ，Q 2为垂足，则 P 2Q 2⊥平面 EFGH ，故P 2Q 2=12，从而EP 2=2220sin P NEGQ =∠.答:玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm.(如果将“没入水中部分冶理解为“水面以上部分冶，则结果为20cm) 19.（本小题满分16分）对于给定的正整数k ,若数列{}n a 满足1111n k n k n n n k n k a a a a a a --+-++-++++++++2n ka =对任意正整数()n n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”.（1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”;（2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列. 【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】证明:（1）因为{}n a 是等差数列，设其公差为d ，则1(1)n a a n d =+-，从而，当4n ≥时，n k n k a a a -++=+11(1)(1)n k d a n k d --+++-122(1)2n a n d a =+-=，1,2,3,k =所以n n n n n n n a a a a a a a ---+++++=321123+++6，因此等差数列{}n a 是“()3P 数列”.（2）数列{}n a 既是“()P 2数列”，又是“()3P 数列”，因此，当3n ≥时，n n n n n a a a a a --+++++=21124，①当4n ≥时，n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=3211236.② 由①知，n n n a a a ---+=-32141()n n a a ++，③n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+，④将③④代入②，得n n n a a a -++=112，其中4n ≥，所以345,,,a a a 是等差数列，设其公差为d'.在①中，取4n =，则235644a a a a a +++=，所以23a a d'=-，在①中，取3n =，则124534a a a a a +++=，所以122a a d'=-，所以数列{}n a 是等差数列.20.（本小题满分16分）已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值,且导函数()f x '的极值点是()f x 的零点.（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：23b a >;（3）若()f x ,()f x '这两个函数的所有极值之和不小于72-，求a 的取值范围.【答案】（1）3a >（2）见解析（3）36a <≤【解析】解：（1）由32()1f x x ax bx =+++，得222()323()33a a f x x axb x b '=++=++-.当3ax =-时，()f x '有极小值23a b -.因为()f x '的极值点是()f x 的零点.所以33()1032793a a a ab f -=-+-+=，又0a >，故2239a b a=+. 因为()f x 有极值，故()=0f x '有实根，从而231(27a )039a b a-=-≤，即3a ≥.3a =时，()>0(1)f x x '≠-，故()f x 在R 上是增函数，()f x 没有极值；3a >时，()=0f x '有两个相异的实根213=3a a b x ---，223=3a a bx -+-.列表如下x1(,)x -∞1x12(,)x x2x2(,)x +∞()f x ' + 0 – 0 + ()f x极大值极小值故()f x 的极值点是12,x x . 从而3a >，因此2239a b a=+，定义域为(3,)+∞.（3）由（1）知，()f x 的极值点是12,x x ，且1223x x a +=-，22212469a b x x -+=.从而323212111222()()11f x f x x ax bx x ax bx +=+++++++2222121122121212(32)(32)()()23333x x x ax b x ax b a x x b x x =++++++++++ 346420279a ab ab -=-+=记()f x ，()f x '所有极值之和为()h a ，因为()f x '的极值为221339a b a a -=-+，所以213()=9h a a a -+，3a >. 因为223()=09h a a a '--<，于是()h a 在(3,)+∞上单调递减. 因为7(6)=2h -，于是()(6)h a h ≥，故6a ≤.因此a 的取值范围为(36]，.数学II21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A. [选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，AB 为半圆O 的直径,直线PC 切半圆O 于点C ，AP ⊥PC ，P 为垂足. 求证：（1）;PAC CAB ∠=∠ （2）2AC AP AB =⋅.【答案】见解析【解析】证明：（1）因为PC 切半圆O 于点C ，所以PCA CBA =∠∠，因为AB 为半圆O 的直径，所以90ACB =︒∠,因为AP ⊥PC ，所以90APC =︒∠，所以PAC CAB ∠=∠.（2）由（1）知APC ACB △∽△，故AP ACAC AB=，所以2·AC AP AB = B. [选修4—2：矩阵与变换](本小题满分10分) 已知矩阵0110,.1002B ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A A= ，B=.（1）求AB ;（2）若曲线221:182x y C +=在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线2C ,求2C 的方程. 【答案】（1）（2）228x y +=【解析】解：（1）因为A =0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B =1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以AB =错误！未找到引用源。

2017年高考真题——数学(江苏卷) 含解析

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷共4页，包含非选择题（第1题 ~ 第20题，共20题）.本卷满分为160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3.请认真核对监考员在答题上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。

4.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。

5.如需改动，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上1.已知集合{}=1,2A ，{}=+2,3B a a ，若A B ={1}则实数a 的值为________2.已知复数z=（1+i ）（1+2i ）,其中i 是虚数单位，则z 的模是__________3.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取件4.右图是一个算法流程图，若输入x 的值为116，则输出的y 的值是5.若tan 1-=46πα⎛⎫ ⎪⎝⎭,则tan α= 6.如图，在圆柱O 1 O 2 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下面及母线均相切。

记圆柱O 1 O 2 的体积为V 1 ,球O 的体积为V 2 ，则12V V 的值是7.记函数()f x =的定义域为D.在区间[-4,5]上随机取一个数x ，则x ∈ D 的概率是 8.在平面直角坐标系xoy k ,双曲线2213x y -= 的右准线与学科&网它的两条渐近线分别交于点P,Q ，其焦点是F 1 , F 2 ,则四边形F 1 P F 2 Q 的面积是9.等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项的和为Sn ，已知36763，44S S ==，则8a =10.某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储之和最小，则x 的值是11.已知函数()3xx 12x+e -e -f x =x ，其中e 是自然数对数的底数，若()()2a-1+2a ≤f f 0，则实数a 的取值范围是。

2017年高考江苏卷数学试题解析(解析版)

2017年高考江苏卷数学试题解析（参考版）1. 1【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为1．2.10 【解析】(1)(12)1122510z i i i i =++=++=⨯=，故答案为10．3.18【解析】所求人数为300601810000⨯=，故答案为18．4.2- 【解析】由题意212log 216y =+=-，故答案为－2． 5.75 【解析】11tan()tan7644tan tan[()]14451tan()tan 1446ππαππααππα+-+=-+===---．故答案为75．6.32 【解析】设球半径为r ，则213223423V r r V r ππ⨯==．故答案为32． 7.59【解析】由260x x +-≥，即260x x --≤，得23x -≤≤，学￥科网根据几何概型的概率计算公式得x D ∈的概率是3(2)55(4)9--=--.8.【答案】23【解析】右准线方程为33101010x ==，渐近线为33y x =±，则31030(,)1010P ，31030(,)1010Q -，1(10,0)F -，2(10,0)F ，则302102310S =⨯=. 9.【答案】32【解析】当1q =时，显然不符合题意；当1q ≠时，3161(1)714(1)6314a q q a q q⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得1142a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则7812324a =⨯=. 10.【答案】30 【解析】总费用600900464()42900240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立. 11. 1[1,]2- 【解析】因为31()2e ()ex x f x x f x x -=-++-=-，所以函数()f x 是奇函数，因为22()32e e 322e e 0x x x x f 'x x x --=-++≥-+⋅≥，所以数()f x 在R 上单调递增，又21)02()(f f a a +-≤，即2())2(1a a f f ≤-，所以221a a ≤-，即2120a a +-≤，解得112a -≤≤，故实数a 的取值范围为1[1,]2-.14. 14.【答案】8【解析】由于[)()0,1f x ∈，只需考虑1≤x<10的情况，在此范围内，*=,,,qx Q x Z x q p N p q p∈∉∈且时，设、且互质，若lg x Q ∈，则由*nlg lg =,,x x m n N m n m∈∈（0,1），可设、，且互质因此n10=mq p，则n10=()m q p ，此时左边为整数，右边非整数，矛盾，因此，lg x Q ∈因此lg x 不可能与每个周期内x D ∈对应的部分相等，只需考虑lg x 与每个周期内x D ∉部分交点。

2017年高考真题——数学(江苏卷)含解析(参考版)

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷)数学I 注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷共4页，包含非选择题（第1题 ~ 第20题，共20题）。

本卷满分为160分，考试时间为120分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2. 答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0。

5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3.请认真核对监考员在答题上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.5.如需改动，须用2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共计70分,请把答案填写在答题卡相应位置上 1.已知集合{}=1,2A，{}=+2,3B a a ,若AB ={1}则实数a 的值为________2。

已知复数z=(1+i ）（1+2i ）,其中i 是虚数单位，则z 的模是__________ 3.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300,100件，为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取件4.右图是一个算法流程图,若输入x 的值为116,则输出的y 的值是5。

若tan 1-=46πα⎛⎫ ⎪⎝⎭，则tan α=6。

如图，在圆柱O 1 O 2 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下面及母线均相切。

记圆柱O 1 O 2 的体积为V 1 ,球O 的体积为V 2 ,则12V V 的值是7.记函数2()6f x x x =+-的定义域为D 。

在区间［-4,5]上随机取一个数x ，则x ∈ D 的概率是 8。

在平面直角坐标系xoy k，双曲线2213x y -=的右准线与学科＆网它的两条渐近线分别交于点P,Q,其焦点是F 1 , F 2 ,则四边形F 1 P F 2 Q 的面积是9。

2017年江苏卷高考数学试卷及参考答案与试题解析

2017年江苏卷高考数学试卷及参考答案与试题解析一.填空题1.(5分)已知集合A＝{1,2},B＝{a,a2＋3}.若A∩B＝{1},则实数a的值为.2.(5分)已知复数z＝(1＋i)(1＋2i),其中i是虚数单位,则z的模是.3.(5分)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取件.4.(5分)如图是一个算法流程图：若输入x的值为,则输出y的值是.5.(5分)若tan(α－)＝.则tanα＝.6.(5分)如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切,记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则的值是.7.(5分)记函数f(x)＝定义域为D.在区间[－4,5]上随机取一个数x,则x∈D的概率是.8.(5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线－y2＝1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q,其焦点是F1,F2,则四边形F1PF2Q的面积是.9.(5分)等比数列{an }的各项均为实数,其前n项和为Sn,已知S3＝,S6＝,则a8＝.10.(5分)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是.11.(5分)已知函数f(x)＝x3－2x＋e x－,其中e是自然对数的底数.若f(a－1)＋f(2a2)≤0.则实数a的取值范围是.12.(5分)如图,在同一个平面内,向量,,的模分别为1,1,,与的夹角为α,且tanα＝7,与的夹角为45°.若＝m＋n(m,n∈R),则m＋n＝.13.(5分)在平面直角坐标系xOy中,A(－12,0),B(0,6),点P在圆O：x2＋y2＝50上.若≤20,则点P的横坐标的取值范围是.14.(5分)设f(x)是定义在R上且周期为1的函数,在区间[0,1)上,f(x)＝,其中集合D＝{x|x＝,n∈N*},则方程f(x)－lgx＝0的解的个数是.二.解答题15.(14分)如图,在三棱锥A－BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E、F(E与A、D 不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.16.(14分)已知向量＝(cosx,sinx),＝(3,－),x∈[0,π].(1)若,求x的值；(2)记f(x)＝,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.17.(14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆E：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上,且位于第一象限,过点F1作直线PF1的垂线l1,过点F2作直线PF2的垂线l2.(1)求椭圆E的标准方程；(2)若直线l1,l2的交点Q在椭圆E上,求点P的坐标.18.(16分)如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm,容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm,容器Ⅱ的两底面对角线EG,E1G1的长分别为14cm和62cm.分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均为12cm.现有一根玻璃棒l,其长度为40cm.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)(1)将l放在容器Ⅰ中,l的一端置于点A处,另一端置于侧棱CC1上,求l没入水中部分的长度；(2)将l放在容器Ⅱ中,l的一端置于点E处,另一端置于侧棱GG1上,求l没入水中部分的长度.19.(16分)对于给定的正整数k,若数列{an }满足：an－k＋an－k＋1＋…＋an－1＋an＋1＋…＋an＋k－1＋an＋k ＝2kan对任意正整数n(n＞k)总成立,则称数列{an}是“P(k)数列”.(1)证明：等差数列{an}是“P(3)数列”；(2)若数列{an }既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,证明：{an}是等差数列.20.(16分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1(a＞0,b∈R)有极值,且导函数f′(x)的极值点是f(x)的零点.(Ⅰ)求b关于a的函数关系式,并写出定义域；(Ⅱ)证明：b2＞3a；(Ⅲ)若f(x),f′(x)这两个函数的所有极值之和不小于－,求实数a的取值范围.二.非选择题,附加题(21-24选做题)【选修4-1：几何证明选讲】(本小题满分0分)21.如图,AB为半圆O的直径,直线PC切半圆O于点C,AP⊥PC,P为垂足.求证：(1)∠PAC＝∠CAB；(2)AC2 ＝AP•AB.[选修4-2：矩阵与变换]22.已知矩阵A＝,B＝.(1)求AB；(2)若曲线C1：＝1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2,求C2的方程.[选修4-4：坐标系与参数方程]23.在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的参数方程为(s为参数).设P为曲线C上的动点,求点P到直线l的距离的最小值.［选修4-5：不等式选讲］24.已知a,b,c,d为实数,且a2＋b2＝4,c2＋d2＝16,证明ac＋bd≤8.【必做题】25.如图,在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,且AB＝AD＝2,AA1＝,∠BAD＝120°.(1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；(2)求二面角B－A1D－A的正弦值.26.已知一个口袋有m个白球,n个黑球(m,n∈N*,n≥2),这些球除颜色外全部相同.现将口袋中的球随机的逐个取出,并放入如图所示的编号为1,2,3,…,m＋n的抽屉内,其中第k次取出的…,m＋n).p；(2)随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,E(X)是X的数学期望,证明E(X)＜.2017年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1.(5分)已知集合A＝{1,2},B＝{a,a2＋3}.若A∩B＝{1},则实数a的值为 1 .【分析】利用交集定义直接求解.【解答】解：∵集合A＝{1,2},B＝{a,a2＋3}.A∩B＝{1},∴a＝1或a2＋3＝1,当a＝1时,A＝{1,1},B＝{1,4},成立；a2＋3＝1无解.综上,a＝1.故答案为：1.【点评】本题考查实数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意交集定义及性质的合理运用.2.(5分)已知复数z＝(1＋i)(1＋2i),其中i是虚数单位,则z的模是.【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出.【解答】解：复数z＝(1＋i)(1＋2i)＝1－2＋3i＝－1＋3i,∴|z|＝＝.故答案为：.【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.3.(5分)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取18 件.【分析】由题意先求出抽样比例即为,再由此比例计算出应从丙种型号的产品中抽取的数目.【解答】解：产品总数为200＋400＋300＋100＝1000件,而抽取60件进行检验,抽样比例为＝,则应从丙种型号的产品中抽取300×＝18件,故答案为：18【点评】本题的考点是分层抽样.分层抽样即要抽样时保证样本的结构和总体的结构保持一致,按照一定的比例,即样本容量和总体容量的比值,在各层中进行抽取.4.(5分)如图是一个算法流程图：若输入x的值为,则输出y的值是－2 .【分析】直接模拟程序即得结论.【解答】解：初始值x＝,不满足x≥1,所以y＝2＋log2＝2－＝－2,故答案为：－2.【点评】本题考查程序框图,模拟程序是解决此类问题的常用方法,注意解题方法的积累,属于基础题.5.(5分)若tan(α－)＝.则tanα＝.【分析】直接根据两角差的正切公式计算即可【解答】解：∵tan(α－)＝＝＝∴6tanα－6＝tanα＋1,解得tanα＝,故答案为：.【点评】本题考查了两角差的正切公式,属于基础题6.(5分)如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切,记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则的值是.【分析】设出球的半径,求出圆柱的体积以及球的体积即可得到结果. 【解答】解：设球的半径为R,则球的体积为：R 3,圆柱的体积为：πR 2•2R ＝2πR 3.则＝＝.故答案为：.【点评】本题考查球的体积以及圆柱的体积的求法,考查空间想象能力以及计算能力.7.(5分)记函数f(x)＝定义域为D.在区间[－4,5]上随机取一个数x,则x ∈D 的概率是 .【分析】求出函数的定义域,结合几何概型的概率公式进行计算即可. 【解答】解：由6＋x －x 2≥0得x 2－x －6≤0,得－2≤x ≤3, 则D ＝[－2,3],则在区间[－4,5]上随机取一个数x,则x ∈D 的概率P ＝＝,故答案为：【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算,结合函数的定义域求出D,以及利用几何概型的概率公式是解决本题的关键.8.(5分)在平面直角坐标系xOy 中,双曲线－y 2＝1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q,其焦点是F 1,F 2,则四边形F 1PF 2Q 的面积是.【分析】求出双曲线的准线方程和渐近线方程,得到P,Q 坐标,求出焦点坐标,然后求解四边形的面积.【解答】解：双曲线－y 2＝1的右准线：x ＝,双曲线渐近线方程为：y ＝±x,所以P(,),Q(,－),F1(－2,0).F2(2,0).则四边形F1PF2Q的面积是：＝2.故答案为：2.【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用,考查计算能力.9.(5分)等比数列{an }的各项均为实数,其前n项和为Sn,已知S3＝,S6＝,则a8＝32 .【分析】设等比数列{an }的公比为q≠1,S3＝,S6＝,可得＝,＝,联立解出即可得出.【解答】解：设等比数列{an}的公比为q≠1,∵S3＝,S6＝,∴＝,＝,解得a1＝,q＝2.则a8＝＝32.故答案为：32.【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.10.(5分)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是30 .【分析】由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和＝＋4x,利用基本不等式的性质即可得出.【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和＝＋4x≥4×2×＝240(万元).当且仅当x＝30时取等号.故答案为：30.【点评】本题考查了基本不等式的性质及其应用,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.11.(5分)已知函数f(x)＝x3－2x＋e x－,其中e是自然对数的底数.若f(a－1)＋f(2a2)≤0.则实数a的取值范围是[－1,] .【分析】求出f(x)的导数,由基本不等式和二次函数的性质,可得f(x)在R上递增；再由奇偶性的定义,可得f(x)为奇函数,原不等式即为2a2≤1－a,运用二次不等式的解法即可得到所求范围.【解答】解：函数f(x)＝x3－2x＋e x－的导数为：f′(x)＝3x2－2＋e x＋≥－2＋2＝0,可得f(x)在R上递增；又f(－x)＋f(x)＝(－x)3＋2x＋e－x－e x＋x3－2x＋e x－＝0,可得f(x)为奇函数,则f(a－1)＋f(2a2)≤0,即有f(2a2)≤－f(a－1)由f(－(a－1))＝－f(a－1),f(2a2)≤f(1－a),即有2a2≤1－a,解得－1≤a≤,故答案为：[－1,].【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和应用,注意运用导数和定义法,考查转化思想的运用和二次不等式的解法,考查运算能力,属于中档题.12.(5分)如图,在同一个平面内,向量,,的模分别为1,1,,与的夹角为α,且tanα＝7,与的夹角为45°.若＝m＋n(m,n∈R),则m＋n＝ 3 .【分析】如图所示,建立直角坐标系.A(1,0).由与的夹角为α,且tanα＝7.可得cosα＝,sinα＝.C.可得cos(α＋45°)＝.sin(α＋45°)＝.B.利用＝m＋n(m,n∈R),即可得出.【解答】解：如图所示,建立直角坐标系.A(1,0).由与的夹角为α,且tanα＝7.∴cosα＝,sinα＝.∴C.cos(α＋45°)＝(cosα－sinα)＝.sin(α＋45°)＝(sinα＋cosα)＝.∴B.∵＝m＋n(m,n∈R),∴＝m－n,＝0＋n,解得n＝,m＝.则m＋n＝3.故答案为：3.【点评】本题考查了向量坐标运算性质、和差公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.13.(5分)在平面直角坐标系xOy中,A(－12,0),B(0,6),点P在圆O：x2＋y2＝50上.若≤20,则点P的横坐标的取值范围是[－5,1] .【分析】根据题意,设P(x0,y),由数量积的坐标计算公式化简变形可得2x＋y＋5≤0,分析可得其表示表示直线2x＋y＋5≤0以及直线下方的区域,联立直线与圆的方程可得交点的横坐标,结合图形分析可得答案.【解答】解：根据题意,设P(x0,y),则有x2＋y2＝50,＝(－12－x0,－y)•(－x,6－y)＝(12＋x)x－y(6－y)＝12x＋6y＋x2＋y2≤20,化为：12x0－6y＋30≤0,即2x0－y＋5≤0,表示直线2x－y＋5＝0以及直线上方的区域,联立,解可得x0＝－5或x＝1,结合图形分析可得：点P的横坐标x的取值范围是[－5,1],故答案为：[－5,1].【点评】本题考查数量积的运算以及直线与圆的位置关系,关键是利用数量积化简变形得到关于x0、y的关系式.14.(5分)设f(x)是定义在R上且周期为1的函数,在区间[0,1)上,f(x)＝,其中集合D＝{x|x＝,n∈N*},则方程f(x)－lgx＝0的解的个数是8 .【分析】由已知中f(x)是定义在R上且周期为1的函数,在区间[0,1)上,f(x)＝,其中集合D＝{x|x＝,n∈N*},分析f(x)的图象与y＝lgx图象交点的个数,进而可得答案.【解答】解：∵在区间[0,1)上,f(x)＝,第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数,又f(x)是定义在R上且周期为1的函数,∴在区间[1,2)上,f(x)＝,此时f(x)的图象与y＝lgx有且只有一个交点；同理：区间[2,3)上,f(x)的图象与y＝lgx有且只有一个交点；区间[3,4)上,f(x)的图象与y＝lgx有且只有一个交点；区间[4,5)上,f(x)的图象与y＝lgx有且只有一个交点；区间[5,6)上,f(x)的图象与y＝lgx有且只有一个交点；区间[6,7)上,f(x)的图象与y＝lgx有且只有一个交点；区间[7,8)上,f(x)的图象与y＝lgx有且只有一个交点；区间[8,9)上,f(x)的图象与y＝lgx有且只有一个交点；在区间[9,＋∞)上,f(x)的图象与y＝lgx无交点；故f(x)的图象与y＝lgx有8个交点；即方程f(x)－lgx＝0的解的个数是8,故答案为：8【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断,函数的图象和性质,转化思想,难度中档.二.解答题15.(14分)如图,在三棱锥A－BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E、F(E与A、D 不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.【分析】(1)利用AB∥EF及线面平行判定定理可得结论；(2)通过取线段CD上点G,连结FG、EG使得FG∥BC,则EG∥AC,利用线面垂直的性质定理可知FG⊥AD,结合线面垂直的判定定理可知AD⊥平面EFG,从而可得结论.【解答】证明：(1)因为AB⊥AD,EF⊥AD,且A、B、E、F四点共面,所以AB∥EF,又因为EF⊄平面ABC,AB⊂平面ABC,所以由线面平行判定定理可知：EF∥平面ABC；(2)在线段CD上取点G,连结FG、EG使得FG∥BC,则EG∥AC,因为BC⊥BD,FG∥BC,所以FG⊥BD,又因为平面ABD⊥平面BCD,所以FG⊥平面ABD,所以FG⊥AD,又因为AD⊥EF,且EF∩FG＝F,所以AD⊥平面EFG,所以AD⊥EG,故AD⊥AC.【点评】本题考查线面平行及线线垂直的判定,考查空间想象能力,考查转化思想,涉及线面平行判定定理,线面垂直的性质及判定定理,注意解题方法的积累,属于中档题.16.(14分)已知向量＝(cosx,sinx),＝(3,－),x∈[0,π].(1)若,求x的值；(2)记f(x)＝,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.【分析】(1)根据向量的平行即可得到tanx＝－,问题得以解决,(2)根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出【解答】解：(1)∵＝(cosx,sinx),＝(3,－),∥,∴－cosx＝3sinx,∴tanx＝－,∵x∈[0,π],∴x＝,(2)f(x)＝＝3cosx－sinx＝2(cosx－sinx)＝2cos(x＋),∵x∈[0,π],∴x＋∈[,],∴－1≤cos(x＋)≤,当x＝0时,f(x)有最大值,最大值3,当x＝时,f(x)有最小值,最小值－2.【点评】本题考查了向量的平行和向量的数量积以及三角函数的化简和三角函数的性质,属于基础题17.(14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆E：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上,且位于第一象限,过点F1作直线PF1的垂线l1,过点F2作直线PF2的垂线l2.(1)求椭圆E的标准方程；(2)若直线l1,l2的交点Q在椭圆E上,求点P的坐标.【分析】(1)由椭圆的离心率公式求得a＝2c,由椭圆的准线方程x＝±,则2×＝8,即可求得a和c的值,则b2＝a2－c2＝3,即可求得椭圆方程；(2)设P点坐标,分别求得直线PF2的斜率及直线PF1的斜率,则即可求得l2及l1的斜率及方程,联立求得Q点坐标,由Q在椭圆方程,求得y02＝x2－1,联立即可求得P点坐标；方法二：设P(m,n),当m≠1时,＝,＝,求得直线l1及l1的方程,联立求得Q点坐标,根据对称性可得＝±n2,联立椭圆方程,即可求得P点坐标. 【解答】解：(1)由题意可知：椭圆的离心率e＝＝,则a＝2c,①椭圆的准线方程x＝±,由2×＝8,②由①②解得：a＝2,c＝1,则b2＝a2－c2＝3,∴椭圆的标准方程：；(2)方法一：设P(x0,y),则直线PF2的斜率＝,则直线l2的斜率k2＝－,直线l2的方程y＝－(x－1),直线PF1的斜率＝,则直线l2的斜率k1＝－,直线l1的方程y＝－(x＋1),联立,解得：,则Q(－x,),由P,Q在椭圆上,P,Q的横坐标互为相反数,纵坐标应相等,则y＝,∴y02＝x2－1,则,解得：,则,又P在第一象限,所以P的坐标为：P(,).方法二：设P(m,n),由P在第一象限,则m＞0,n＞0,当m＝1时,不存在,解得：Q与F1重合,不满足题意, 当m≠1时,＝,＝,由l1⊥PF1,l2⊥PF2,则＝－,＝－,直线l1的方程y＝－(x＋1),①直线l2的方程y＝－(x－1),②联立解得：x＝－m,则Q(－m,),由Q在椭圆方程,由对称性可得：＝±n2,即m2－n2＝1,或m2＋n2＝1,由P(m,n),在椭圆方程,,解得：,或,无解,又P在第一象限,所以P的坐标为：P(,).【点评】本题考查椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置关系,考查直线的斜率公式,考查数形结合思想,考查计算能力,属于中档题.18.(16分)如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm,容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm,容器Ⅱ的两底面对角线EG,E1G1的长分别为14cm和62cm.分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均为12cm.现有一根玻璃棒l,其长度为40cm.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)(1)将l放在容器Ⅰ中,l的一端置于点A处,另一端置于侧棱CC1上,求l没入水中部分的长度；(2)将l放在容器Ⅱ中,l的一端置于点E处,另一端置于侧棱GG1上,求l没入水中部分的长度.【分析】(1)设玻璃棒在CC1上的点为M,玻璃棒与水面的交点为N,过N作NP∥MC,交AC于点P,推导出CC1⊥平面ABCD,CC1⊥AC,NP⊥AC,求出MC＝30cm,推导出△ANP∽△AMC,由此能出玻璃棒l没入水中部分的长度.(2)设玻璃棒在GG1上的点为M,玻璃棒与水面的交点为N,过点N作NP⊥EG,交EG于点P,过点E作EQ⊥E1G1,交E1G1于点Q,推导出EE1G1G为等腰梯形,求出E1Q＝24cm,E1E＝40cm,由正弦定理求出sin∠GEM＝,由此能求出玻璃棒l没入水中部分的长度.【解答】解：(1)设玻璃棒在CC1上的点为M,玻璃棒与水面的交点为N, 在平面ACM中,过N作NP∥MC,交AC于点P,∵ABCD－A1B1C1D1为正四棱柱,∴CC1⊥平面ABCD,又∵AC⊂平面ABCD,∴CC1⊥AC,∴NP⊥AC,∴NP＝12cm,且AM2＝AC2＋MC2,解得MC＝30cm,∵NP∥MC,∴△ANP∽△AMC,∴＝,,得AN＝16cm.∴玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm.(2)设玻璃棒在GG1上的点为M,玻璃棒与水面的交点为N,在平面E1EGG1中,过点N作NP⊥EG,交EG于点P,过点E作EQ⊥E1G1,交E1G1于点Q,∵EFGH－E1F1G1H1为正四棱台,∴EE1＝GG1,EG∥E1G1,EG≠E1G1 ,∴EE1G1G为等腰梯形,画出平面E1EGG1的平面图,∵E1G1＝62cm,EG＝14cm,EQ＝32cm,NP＝12cm,∴E1Q＝24cm,由勾股定理得：E1E＝40cm,∴sin∠EE1G1＝,sin∠EGM＝sin∠EE1G1＝,cos∠EGM＝－,根据正弦定理得：＝,∴sin∠EMG＝,cos∠EMG＝,∴sin∠GEM＝sin(∠EGM＋∠EMG)＝sin∠EGMcos∠EMG＋cos∠EGMsin∠EMG＝,∴EN＝＝＝20cm.∴玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm.【点评】本题考查玻璃棒l没入水中部分的长度的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,是中档题.19.(16分)对于给定的正整数k,若数列{an }满足：an－k＋an－k＋1＋…＋an－1＋an＋1＋…＋an＋k－1＋an＋k ＝2kan对任意正整数n(n＞k)总成立,则称数列{an}是“P(k)数列”.(1)证明：等差数列{an}是“P(3)数列”；(2)若数列{an }既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,证明：{an}是等差数列.【分析】(1)由题意可知根据等差数列的性质,an－3＋an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＋an＋3＝(an－3＋an＋3)＋(an－2＋an＋2)＋(an－1＋an＋1)═2×3an,根据“P(k)数列”的定义,可得数列{an}是“P(3)数列”；(2)由已知条件结合(1)中的结论,可得到{an }从第3项起为等差数列,再通过判断a2与a3的关系和a1与a2的关系,可知{an}为等差数列.【解答】解：(1)证明：设等差数列{an }首项为a1,公差为d,则an＝a1＋(n－1)d,则an－3＋an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＋an＋3,＝(an－3＋an＋3)＋(an－2＋an＋2)＋(an－1＋an＋1),＝2an ＋2an＋2an,＝2×3an,∴等差数列{an}是“P(3)数列”；(2)证明：当n≥4时,因为数列{an }是P(3)数列,则an－3＋an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＋an＋3＝6an,①因为数列{an }是“P(2)数列”,所以an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＝4an,②则an－1＋an＋an＋2＋an＋3＝4an＋1,③,②＋③－①,得2an ＝4an－1＋4an＋1－6an,即2an＝an－1＋an＋1,(n≥4),因此n≥4从第3项起为等差数列,设公差为d,注意到a2＋a3＋a5＋a6＝4a4,所以a2＝4a4－a3－a5－a6＝4(a3＋d)－a3－(a3＋2d)－(a3＋3d)＝a3－d,因为a1＋a2＋a4＋a5＝4a3,所以a1＝4a3－a2－a4－a5＝4(a2＋d)－a2－(a2＋2d)－(a2＋3d)＝a2－d,也即前3项满足等差数列的通项公式,所以{an}为等差数列.【点评】本题考查等差数列的性质,考查数列的新定义的性质,考查数列的运算,考查转化思想,属于中档题.20.(16分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1(a＞0,b∈R)有极值,且导函数f′(x)的极值点是f(x)的零点.(Ⅰ)求b关于a的函数关系式,并写出定义域；(Ⅱ)证明：b2＞3a；(Ⅲ)若f(x),f′(x)这两个函数的所有极值之和不小于－,求实数a的取值范围.【分析】(Ⅰ)通过对f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1求导可知g(x)＝f′(x)＝3x2＋2ax＋b,进而再求导可知g′(x)＝6x＋2a,通过令g′(x)＝0进而可知f′(x)的极小值点为x＝－,从而f(－)＝0,整理可知b＝＋(a＞0),结合f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1(a＞0,b∈R)有极值可知f′(x)＝0有两个不等的实根,进而可知a＞3.(Ⅱ)通过(1)构造函数h(a)＝b2－3a＝－＋＝(4a3－27)(a3－27),结合a＞3可知h(a)＞0,从而可得结论；(Ⅲ)通过(1)可知f′(x)的极小值为f′(－)＝b－,利用韦达定理及完全平方关系可知y ＝f(x)的两个极值之和为－＋2,进而问题转化为解不等式b－＋－＋2＝－≥－,因式分解即得结论.【解答】(Ⅰ)解：因为f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1,所以g(x)＝f′(x)＝3x2＋2ax＋b,g′(x)＝6x＋2a,令g′(x)＝0,解得x＝－.由于当x＞－时g′(x)＞0,g(x)＝f′(x)单调递增；当x＜－时g′(x)＜0,g(x)＝f′(x)单调递减；所以f′(x)的极小值点为x＝－,由于导函数f′(x)的极值点是原函数f(x)的零点,所以f(－)＝0,即－＋－＋1＝0,所以b＝＋(a＞0).因为f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1(a＞0,b∈R)有极值,所以f′(x)＝3x2＋2ax＋b＝0的实根,所以4a2－12b≥0,即a2－＋≥0,解得a≥3,所以b＝＋(a＞3).(Ⅱ)证明：由(1)可知h(a)＝b2－3a＝－＋＝(4a3－27)(a3－27), 由于a＞3,所以h(a)＞0,即b2＞3a；(Ⅲ)解：由(1)可知f′(x)的极小值为f′(－)＝b－,设x1,x2是y＝f(x)的两个极值点,则x1＋x2＝,x1x2＝,所以f(x1)＋f(x2)＝＋＋a(＋)＋b(x1＋x2)＋2＝(x1＋x2)[(x1＋x2)2－3x1x2]＋a[(x1＋x2)2－2x1x2]＋b(x1＋x2)＋2＝－＋2,又因为f(x),f′(x)这两个函数的所有极值之和不小于－,所以b－＋－＋2＝－≥－,因为a＞3,所以2a3－63a－54≤0,所以2a(a2－36)＋9(a－6)≤0,所以(a－6)(2a2＋12a＋9)≤0,由于a＞3时2a2＋12a＋9＞0,所以a－6≤0,解得a≤6,所以a的取值范围是(3,6].【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值,考查运算求解能力,考查转化思想,注意解题方法的积累,属于难题.二.非选择题,附加题(21-24选做题)【选修4-1：几何证明选讲】(本小题满分0分)21.如图,AB为半圆O的直径,直线PC切半圆O于点C,AP⊥PC,P为垂足.求证：(1)∠PAC＝∠CAB；(2)AC2 ＝AP•AB.【分析】(1)利用弦切角定理可得：∠ACP＝∠ABC.利用圆的性质可得∠ACB＝90°.再利用三角形内角和定理即可证明.(2)由(1)可得：△APC∽△ACB,即可证明.【解答】证明：(1)∵直线PC切半圆O于点C,∴∠ACP＝∠ABC.∵AB为半圆O的直径,∴∠ACB＝90°.∵AP⊥PC,∴∠APC＝90°.∴∠PAC＝90°－∠ACP,∠CAB＝90°－∠ABC,∴∠PAC＝∠CAB.(2)由(1)可得：△APC∽△ACB,∴＝.∴AC2 ＝AP•AB.【点评】本题考查了弦切角定理、圆的性质、三角形内角和定理、三角形相似的判定与性质定理,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.[选修4-2：矩阵与变换]22.已知矩阵A＝,B＝.(1)求AB；(2)若曲线C1：＝1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2,求C2的方程.【分析】(1)按矩阵乘法规律计算；(2)求出变换前后的坐标变换规律,代入曲线C1的方程化简即可.【解答】解：(1)AB＝＝,(2)设点P(x,y)为曲线C1的任意一点,点P在矩阵AB的变换下得到点P′(x0,y),则＝,即x0＝2y,y＝x,∴x＝y,y＝,∴,即x02＋y2＝8,∴曲线C2的方程为x2＋y2＝8.【点评】本题考查了矩阵乘法与矩阵变换,属于中档题.[选修4-4：坐标系与参数方程]23.在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的参数方程为(s为参数).设P为曲线C上的动点,求点P到直线l的距离的最小值.【分析】求出直线l的直角坐标方程,代入距离公式化简得出距离d关于参数s的函数,从而得出最短距离.【解答】解：直线l的直角坐标方程为x－2y＋8＝0,∴P到直线l的距离d＝＝,∴当s＝时,d取得最小值＝.【点评】本题考查了参数方程的应用,属于基础题.［选修4-5：不等式选讲］24.已知a,b,c,d为实数,且a2＋b2＝4,c2＋d2＝16,证明ac＋bd≤8.【分析】a2＋b2＝4,c2＋d2＝16,令a＝2cosα,b＝2sinα,c＝4cosβ,d＝4sinβ.代入ac＋bd 化简,利用三角函数的单调性即可证明.另解：由柯西不等式可得：(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2),即可得出.【解答】证明：∵a2＋b2＝4,c2＋d2＝16,令a＝2cosα,b＝2sinα,c＝4cosβ,d＝4sinβ.∴ac＋bd＝8(cosαcosβ＋sinαsinβ)＝8cos(α－β)≤8.当且仅当cos(α－β)＝1时取等号.因此ac＋bd≤8.另解：由柯西不等式可得：(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)＝4×16＝64,当且仅当时取等号. ∴－8≤ac＋bd≤8.【点评】本题考查了对和差公式、三角函数的单调性、不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.【必做题】25.如图,在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,且AB＝AD＝2,AA1＝,∠BAD＝120°.(1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；(2)求二面角B－A1D－A的正弦值.【分析】在平面ABCD内,过A作Ax⊥AD,由AA1⊥平面ABCD,可得AA1⊥Ax,AA1⊥AD,以A为坐标原点,分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.结合已知求出A,B,C,D,A1,C1的坐标,进一步求出,,,的坐标.(1)直接利用两法向量所成角的余弦值可得异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；(2)求出平面BA1D与平面A1AD的一个法向量,再由两法向量所成角的余弦值求得二面角B－A1D－A的余弦值,进一步得到正弦值.【解答】解：在平面ABCD内,过A作Ax⊥AD, ∵AA1⊥平面ABCD,AD、Ax⊂平面ABCD,∴AA1⊥Ax,AA1⊥AD,以A为坐标原点,分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.∵AB＝AD＝2,AA1＝,∠BAD＝120°,∴A(0,0,0),B(),C(,1,0),D(0,2,0),A 1(0,0,),C1().＝(),＝(),,.(1)∵cos＜＞＝＝.∴异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为；(2)设平面BA1D的一个法向量为,由,得,取x＝,得；取平面A1AD的一个法向量为.∴cos＜＞＝＝.∴二面角B－A1D－A的余弦值为,则二面角B－A1D－A的正弦值为.【点评】本题考查异面直线所成的角与二面角,训练了利用空间向量求空间角,是中档题.26.已知一个口袋有m个白球,n个黑球(m,n∈N*,n≥2),这些球除颜色外全部相同.现将口袋中的球随机的逐个取出,并放入如图所示的编号为1,2,3,…,m＋n的抽屉内,其中第k次取出的…,m＋n).p；(2)随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,E(X)是X的数学期望,证明E(X)＜.【分析】(1)法一：设事件Ai 表示编号为i的抽屉里放的是黑球,则p＝p(A2)＝P(A2|A1)P(A1)＋P(A2|)P(),由此能求出编号为2的抽屉内放的是黑球的概率.法二：按照同种模型的方法,对黑球共有m＋n个位置,故总排法有种,除去第二个位置放的黑球,还剩下n＋m－1个位置,由此能求出编号为2的抽屉内放的是黑球的概率.(2)X的所有可能取值为,…,,P(x＝)＝,k＝n,n＋1,n＋2,…,n＋m,从而E(X)＝()＝,由此能证明E(X)＜.【解答】解：(1)解法一：设事件Ai表示编号为i的抽屉里放的是黑球,则p＝p(A2)＝P(A2|A1)P(A1)＋P(A2|)P()＝＝＝.解法二：按照同种模型的方法,对黑球共有m＋n个位置,故总排法有种,除去第二个位置放的黑球,还剩下n＋m－1个位置,∴编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p＝＝.证明：(2)∵X的所有可能取值为,…,,P(x＝)＝,k＝n,n＋1,n＋2,…,n＋m,∴E(X)＝()＝＝＜＝＝•()＝＝,∴E(X)＜.【点评】本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,是中档题.。

2017年高考江苏卷数学试题解析参考版

2017年高考江苏卷数学试题解析（参考版）1. 1【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为1．【解析】(1)(12)112z i i i i =++=++=3.18【解析】所求人数为300601810000⨯=，故答案为18．4.2- 【解析】由题意212log 216y =+=-，故答案为－2．5.75 【解析】11tan()tan7644tan tan[()]14451tan()tan 1446ππαππααππα+-+=-+===---．故答案为75．6.32 【解析】设球半径为r ，则213223423V r r V r ππ⨯==．故答案为32． 7.59【解析】由260x x +-≥，即260x x --≤，得23x -≤≤，学￥科网根据几何概型的概率计算公式得x D ∈的概率是3(2)55(4)9--=--.8.【答案】【解析】右准线方程为x =，渐近线为y x =，则P，Q，1(F，2F，则S ==. 9.【答案】32【解析】当1q =时，显然不符合题意；当1q ≠时，3161(1)714(1)6314a q q a q q⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得1142a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则7812324a =⨯=. 10.【答案】30【解析】总费用600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立.11. 1[1,]2- 【解析】因为31()2e ()ex xf x x f x x -=-++-=-，所以函数()f x 是奇函数，因为22()32e e 322e e 0x x x x f 'x x x --=-++≥-+⋅≥，所以数()f x 在R 上单调递增，又21)02()(f f a a +-≤，即2())2(1a a f f ≤-，所以221a a ≤-，即2120a a +-≤，解得112a -≤≤，故实数a 的取值范围为1[1,]2-.14.115.【解析】（1）在平面ABD 内，AB ⊥AD ，EF AD ⊥，则AB EF ∥.∵AB ⊂平面ABC ，EF ⊄平面ABC ，∴EF ∥平面ABC . （2）∵BC ⊥BD ，平面ABD平面BCD =BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，BC ⊂平面BCD ，∴BC ⊥平面ABD .∵AD ⊂平面ABD ，∴BC ⊥AD .∵AB ⊥AD ，,BC AB ⊂平面ABC ，BC AB B =，∴AD ⊥平面ABC ，又AC ⊂平面ABC ，∴AD ⊥AC.16. 【解析】（1）∵a ∥b ，∴3sin 3cos x x =-，又cos 0x ≠，∴3tan 3x =-，∵，∴5π6x =. （2）()π3cos 3sin 23sin()3f x x x x =-=--.∵，∴ππ2π[,]333x -∈-，∴3πsin()123x -≤-≤，∴()233f x -≤≤，当ππ33x -=-，即0x =时，取得最大值，为3；当ππ32x -=，即5π6x =时，取得最小值，为3-.17.【解析】（1）∵椭圆E的离心率为12，∴12ca=①.∵两准线之间的距离为8，∴228ac=②.联立①②得2,1a c==，∴3b=，故椭圆E的标准方程为22143x y+=.（2）设00(,)P x y，则000,0x y>>，由题意得1(1)1(1)xy xyxy xy+⎧=-+⎪⎪⎨-⎪=--⎪⎩，整理得21x xxyy=-⎧⎪-⎨=⎪⎩，∵点00(,)P x y在椭圆E上，∴2200143x y+=，∴222002(1)33y xy-=，∴2200169,77x y==，故点P的坐标是4737(,).18.【解析】（1）记玻璃棒与1CC交点为H，则2230CH AH AC=-=，3sin4HAC∠=，没入水中的部分为1216sin HAC=∠(cm).19.【解析】当{a n}为等差数列时，∵1112n k n k n n n k na a a a a ka--+-++++++++=，∴111(21)n k n k n n n n k na a a a a a k a--+-+++++++++=+，∴(21)(21)2n k n kna ak k a-+++=+，∴2n k n k na a a-++=.（2）21124n n n n na a a a a--+++++=（2n>，n∈Z），3211236n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=（2n >，n ∈Z ）， ∴11448n n n a a a -++=，∴112n n n a a a -++=， ∴数列{a n }是等差数列.20. 【解析】（1）因为2()32f x x ax b '=++，所以()620f x x a ''=+=，所以3ax =-，所以()03af -=，所以3239a b a =+，因为24120a b ∆=->，所以3a >. （2）26345-39813b a a a =-+， 23459(27)813y t t t a =-+=> 因为135278t =<，所以min (27)0y y >=，所以b ²>3a .21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的答题区域内．．．．．．．．．．作答．．。