22 第九章 压杆稳定(2)

249.0110 mm
4
I z 2 153104 mm4 306104 mm4
4 2

Iy
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1230mm 16.1 mm 7.5 mm
2
235104 mm4
30
可见，在组合截面对于所有形心轴的惯性矩中，Imax= Iz ， Imin= Iy , 按通常的说法就是 z 轴为强轴，而y轴为弱轴。 3. 计算压杆的柔度 此压杆两端为球形铰支座，在各个纵向平面内对杆端的 约束相同，故失稳时横截面将绕弱轴 y 轴转动。压杆的柔度 应据此计算。

§9-5 实际压杆的稳定因数
为保证实际压杆具有足够的稳定性，在稳定计算中需纳 入稳定安全因数nst，取稳定条件(stability condition)为
F cr A nst
亦即
F st A
式中，[]st=cr/nst为压杆的稳定许用应力。 由于cr与压杆的柔度有关，而且考虑到不同柔度的压 杆其失稳的危险性也有所不同，故所选用的稳定安全因数nst 也随 变化，因此[]st是一个与压杆柔度的关系比较复杂的量。
I i ——惯性半径。 A

L
i
——杆的柔度（或长细比 ）
2
4.大柔度杆的分界：
2E cr 2 P
2E 1 P
5、压杆的分类（Classification of Columns ） 1）大柔度杆（Long columns） 1
2）中柔度杆（Intermediate columns ）
1
E
2E cr 2 P
99
z y
P
iy
1 3 ( 0 . 03 0 . 02 ) Iy 12 0.0058m A 0.03 0.02
30mm
2 EI Fcr ( l )2
iz
Iz 0.0087m A
z
y
u y 0.5
第九章 压杆稳定
§9-1 压杆稳定性的概念 §9-2 细长中心受压直杆临界力的欧拉公式 §9-3 不同杆端约束下细长压杆临界力的 欧拉公式· 压杆的长度因数
§9-4 欧拉公式的应用范围· 临界应力总图 §9-5 实际压杆的稳定因数 §9-6 压杆的稳定计算· 压杆的合理截面
§9-4 欧拉公式的应用范围
2 cr s 1 c 对于 A3钢、 A5钢和16锰钢： 0.43，c
我国建筑业常用：
2E 0.56 S
c 时，由此式求临界应力 。
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5
国钢结构设计中，采用下列形式的抛物线公式
cr
c 式中 对Q-235A钢： s 235MPa ， E 206， GPa 则有 2 ， 235 0.00666 ， 123 c 123 cr
17
例题2 活塞杆由45号钢制成，S = 350MPa ， P = 280MPa E=210GPa 。长度 l = 703mm ，直径 d=45mm 。最大压力 Fmax = 41.6kN 。规定稳定安全系数为 nSt = 8—10 。试校核 其稳定性。
解：
1
E
P
86
=1
活塞杆两端简化成铰支 截面为圆形
1. 稳定性条件 (The stability condition)
Fcr F [nst ]
Fcr n [nst ] F
2.计算步骤 (Calculation procedure) (1) 计算最大的柔度系数max (2)根据max 选择公式计算临界应力 (3)根据稳定性条件，判断压杆的稳定性或确定许可 载荷
cr s
* 注：若压杆上存在钉孔等造成局部削弱的因 素，不予考虑，一律采用未削弱前的横 截面形状和尺寸。 原因：临界力大小是压杆整体变形决定的。 注意: 这里研究的是理想压杠。
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例题1 压杆截面如图所示。两端为柱形铰链约束，若绕 y 轴失
稳可视为两端固定，若绕 z 轴失稳可视为两端铰支。已知，杆长 l=1m ,材料的弹性模量E=200GPa，p=200MPa。 求压杆的临界应力。 解：
2 EI Fcr 2 ( l )
cr a b
3）小柔度杆（Short columns）( ＜ 2)
2 1
cr s
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3
临界应力总图
cr
S
P
cr s
cr ab
2E cr 2
L
i

0.6
0.3
C
B F
A
解：取 BC 研究
0.6
0.3
mc 0
0.9F FN sin 0.6 0
0.82 0.62 sin 0.8 FN 2.27 F
A
C
B
FN F
1
E
P
99
i
I d A 4

l
i a s 2 57 b
解：（1）能用欧拉公式时压杆的最小长度
1
压杆 = 1
E
P
100
( D4 d 4 )
I 1 2 2 64 i D d A ( D2 d 2 ) 4 4 l 4l 1 100 2 2 i D d
lmin
100 0.052 0.042 1.6m 41
uz 1
uz l z 115 iz
30mm
uyl y 86 iy
因为 z > y , 所以压杆绕 z 轴先失稳，且 z =115 > 1，用 欧拉公式计算临界力。
2E Fcr A cr A 2 89.5 kN z
例题2 外径 D = 50 mm，内径 d = 40 mm 的钢管，两端铰 支，材料为 Q235钢，承受轴向压力 F。试求 （1）能用欧拉公式时压杆的最小长度； （2）当压杆长度为上述最小长度的 3/4 时，压杆的临界 应力。 已知： E = 200 GPa， P = 200 MPa ， S = 240 MPa ， 用直线公式时，a = 304 MPa， b =1.12 MPa。
i

l
i
I d A 4
62.5 1 不能用欧拉公式计算临界压力。
如用直线公式，需查表得： a= 461MPa b= 2.568 MPa
a s 2 43.2 b
2 < < 1 可由直线公式计算临界应力
cr a b 301MPa
临界压力是 Fcr cr A 478 MPa 活塞的工作安全系数
解：活塞杆承受的轴向压力应为
F
D 2
4
p 3980N
活塞杆承受的临界压力应为
i
I A
Fcr nst F 23900 N
把活塞的两端简化为铰支座。
μl λ i
用试算法求直径 （1）先由 欧拉公式 求直径
2 EI Fcr ( l )2
2 EI 64 Fcr ( l )2 ( l )2
（2）当 l = 3/4 lmin 时，Fcr=?
3 l lmin 1.2m 4 l 4l 75 1 2 2 i D d
a s 304 240 2 57 b 1.12
用直线公式计算
Fcr A cr (a b ) ( D 2 d 2 ) 155.5 kN 4

l 1 ( 2 m )
i

0.0144 m
98.1 p
Fcr A cr
π( D 2 d 2 ) Fcr 235 MPa (0.00669 MPa)2 116.8 kN 4 Fcr Fcr 41.4 kN nst


FN 30.9 kN Fcr
Fcr n 11.5 [nst ] F
所以满足稳定性要求。
例题3 油缸活塞直经 D = 65mm，油压 p =1.2MPa。 活塞杆长度 L =1250mm，材料为35钢，S =220MPa， E = 210GPa，[nst] = 6。试确定活塞杆的直经。
活塞杆
D
p
d
活塞
活塞杆
D
p d 活塞
80 1 不能用欧拉公式
C
0.6
0.3
B
F
2 1
用直线公式
A
cr a b 214 MPa
Fcr A cr 268 kN [ FN ]
FN 2.27 F
[F] =118kN
例题6 图a，b，c所示两端球形铰支的组合截面中心压 杆，由两根110 mm×70 mm×7 mm的角钢用缀条和缀板
c
s 1 0.43 c

2

E 0.57 s
cr
2 cr s 1 0.43( ) c
c
E 0.57 s
临界应力总图
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3) 小柔度杆( ＜ 2) s< 时：
一、 基本概念
临界应力总图
1.临界应力：压杆处于临界状态时横截面上的平均应力。
cr
Fcr ห้องสมุดไป่ตู้ A
2 2 2 F EI E E 2.细长压杆的临界应力： cr cr 2 2 2 A (L) A (L / i)
2E 即： cr 2
3.柔度：
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iy Iy 235 10 4 mm 4 30.9 mm 2 A 2 1230 mm