第九章压杆稳定解析
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《建筑力学》第九章压杆稳定
cr 为临界应力的许用值，其值为：
（9－13）
cr
cr
K
（9－14）
式中 K 称为稳定安全系数。稳定安全系数一般都大于强度计算时的安全系数，这是因为在
确定稳定安全系数时，除了应遵循确定安全系数的一般原则以外，还必须考虑实际压杆并 非理想的轴向压杆这一情况。比如，在制造过程中杆件不可避免地存在微小的弯曲(即存在 初曲率)；外力的作用线也不可能绝对准确地与杆件的轴线相重合(即存在初偏心)；还必需 考虑杆件的细长程度等等，这些都应在稳定安全系数中加以考虑。
d=20mm，材料的许用应力 =170MPa，已知 h=0.4m，作用力 F=15kN。试在计算平面内校核
二杆的稳定。
图 9-3
解：(1)计算各杆承受的压力 取结点 A 为研究对象，根据平衡条件列方程
x 0 FAB cos 450 FAC cos 300 0 Y 0 FAB sin 450 FAC sin 300 F 0
压杆的临界应力。
5、临界应力总图 综上所述，压杆按照其柔度的不同，可以分为三类，计算各自临界应力的方法也不相
同。当 ≥ p 时，压杆为细长杆(大柔度杆)，其临界应力用欧拉公式来计算；当 s < < p 时，压杆为中长杆(中柔度杆)，其临界应力用直线经验公式来计算； s 时，压杆为短
4 1 0.566 103 20
113
4
AC
lAC i
4 1 0.8 103 20
160
(3)由表 9－3 查得折减系数为：
AC 0.272
AB
0.536
(0.536
材料力学 第九章 压杆稳定
cr s p
cr s cr a b
cr
小柔度杆 中柔度杆
O
π2 E
2
大柔度杆
2
1
l
i
大柔度杆—发生弹性失稳 中柔度杆—发生非弹性失稳 小柔度杆—不发生失稳，而发生强度失效
Fuzhou University
杆类型
大柔度杆
定义
1
临界力
π EI Fcr ( l ) 2
n 0,1, 2
取
n 1
π 2 EI Fcr 2 l
细长压杆的临界载荷的欧 拉公式 (两端铰支)
Fuzhou University
材料力学课件
w A sin kx B co s kx
kl n , n 0,1, 2
F x l w F x
取 n 1
π 2 EI Fcr 2 l
2
临界应力
cr π2E性质Fra bibliotek2
稳定 稳定 强度
中柔度杆 2 1 Fcr A(a b ) 小柔度杆
cr a b
2
Fcr A s
cr s
l
i
1 π
i
E
I A
1.0, 0.5, 0.7, 2.0
a s 2 b
Fcr
Fcr
π 2 EI
2l
2
π 2 EI
0.7l
2
π 2 EI Fcr 2 (l )
欧拉公式的普遍形式
Fuzhou University
材料力学课件 讨论：
π 2 EI Fcr ( l )2
cr s cr a b
cr
小柔度杆 中柔度杆
O
π2 E
2
大柔度杆
2
1
l
i
大柔度杆—发生弹性失稳 中柔度杆—发生非弹性失稳 小柔度杆—不发生失稳，而发生强度失效
Fuzhou University
杆类型
大柔度杆
定义
1
临界力
π EI Fcr ( l ) 2
n 0,1, 2
取
n 1
π 2 EI Fcr 2 l
细长压杆的临界载荷的欧 拉公式 (两端铰支)
Fuzhou University
材料力学课件
w A sin kx B co s kx
kl n , n 0,1, 2
F x l w F x
取 n 1
π 2 EI Fcr 2 l
2
临界应力
cr π2E性质Fra bibliotek2
稳定 稳定 强度
中柔度杆 2 1 Fcr A(a b ) 小柔度杆
cr a b
2
Fcr A s
cr s
l
i
1 π
i
E
I A
1.0, 0.5, 0.7, 2.0
a s 2 b
Fcr
Fcr
π 2 EI
2l
2
π 2 EI
0.7l
2
π 2 EI Fcr 2 (l )
欧拉公式的普遍形式
Fuzhou University
材料力学课件 讨论：
π 2 EI Fcr ( l )2
材料力学第九章 压杆稳定
02
创新研究方法与手段
积极探索新的实验技术和数值模拟方法，提高压杆稳定研究的精度和可
靠性。
03
拓展应用领域
将压杆稳定研究成果应用于更多领域，解决实际工程问题，推动科学技
术进步。
THANKS
感谢观看
稳定性取决于压杆的初始弯曲程度、压力的大小 和杆件的材料特性。
当压杆受到微小扰动时，如果能够恢复到原来的 平衡状态，则称其为稳定；反之，则为不稳定。
压杆的临界载荷
临界载荷是指使压杆由稳定平衡 状态转变为不稳定平衡状态的载
荷。
当压杆所受压力小于临界载荷时， 压杆保持稳定平衡状态；当压力 大于临界载荷时，压杆将失去稳
相应措施进行解决。
建筑结构中的压杆问题
02
高层建筑、大跨度结构等建筑中的梁、柱等部件可能发生失稳，
需要加强设计和施工控制。
压力容器中的压杆问题
03
压力容器中的管道、支撑部件等可能发生失稳，需要采取相应
的预防和应对措施。
05
压杆稳定的未来发展与展望
压杆稳定研究的新趋势
跨学科交叉研究
压杆稳定与材料科学、计算科学、工程结构等领域相互渗透，形 成多学科交叉的研究趋势。
工程中常见的压杆问题
1 2
细长杆失稳
细长杆在压力作用下容易发生弯曲，导致失稳。
短粗杆失稳
短粗杆在压力作用下可能发生局部屈曲，导致失 稳。
3
弹性失稳
材料在压力作用下发生弹性变形，当压力超过某 一临界值时，杆件发生失稳。
解决压杆失稳的方法与措施
加强材料质量
选择优质材料，提高材料的弹 性模量和抗拉强度，以增强压
材料力学第九章 压杆稳 定
• 引言 • 压杆稳定的基本理论 • 压杆稳定的实验研究 • 压杆稳定的工程应用 • 压杆稳定的未来发展与展望
压杆稳定教学课件PPT
P
cr
2E 2
细长压杆。
粗短杆 中柔度杆
o
s
大柔度杆
P
l
i
粗短杆 中长杆 细长杆
细长杆—发生弹性屈曲 (p) 中长杆—发生弹塑性屈曲 (s < p) 粗短杆—不发生屈曲，而发生屈服 (< s)
四、注意问题：
1、计算临界力、临界应力时，先计算柔度，判断所用公式。
2、对局部面积有削弱的压杆，计算临界力、临界应力时， 其截面面积和惯性距按未削弱的尺寸计算。但进行强度 计算时需按削弱后的尺寸计算。
小球平衡的三种状态
稳定平衡
随遇平衡 （ 临界状态 ）
不稳定平衡
受压直杆平衡的三种形式
稳定平衡
随遇平衡 （ 临界状态 ）
不稳定平衡
电子式万能试
验机上的压杆稳定 实验
工程项目的 压杆稳定试验
§9-2 细长压杆临界压力的欧拉公式 一、两端铰支细长压杆的临界载荷
当达到临界压力时，压杆处于微弯状态下的平衡
1.287
91(kN)
例：图示立柱，L=6m，由两根10号槽型A3钢组成，下端固定，上 端为球铰支座，p 100 ，试 a=？时，截面最为合理。并求立柱的 临界压力最大值为多少？
解：1、对于单个10号槽钢，形心在C1点。 A1 12.74cm2, z0 1.52cm, Iz1 198.3cm4, I y1 25.6cm4.
细长压杆的破坏形式：突然产生显著的弯
曲变形而使结构丧失工作能力，并非因强度不
够，而是由于压杆不能保持原有直线平衡状态
(a)
(b) 所致。这种现象称为失稳。
1907年加拿大圣劳伦斯河上的魁北克桥 （倒塌前正在进行悬臂法架设中跨施工）
材料力学 第九章 压杆稳定分析
我国建筑业常用：
cr
s
1
c
2
对于A3钢、A5钢和16锰钢： 0.43，c
2E 0.56 S
c 时，由此式求临界应力 。
②s< 时：
cr s
几点重要说明：
1. 所有稳定问题（包括后续内容）均需首先计算λ以界定压 杆的属性。
2. 对一般金属材料，作如下约定：
A. λp≈100；λs≈60。故：
i
二、压杆的分类
1、大柔度杆：
cr
2E 2
P
2E P
P
100
满足 P 的杆称为大柔度杆（或 细长杆），其临界力用 欧拉公式求。
P 的杆为中小柔度杆，其 临界力不能用欧拉公式 求。
2、中柔度杆─λP＞λ≥λS，即： P＜≤S
直线型经验公式： cr ab
crab s
a s
b
s
60
支承情况
两端铰支
一端固定 另端铰支
两端固定
一端固定 另端自由
两端固定但可沿 横向相对移动
Pcr
Pcr
Pcr
Pcr
Pcr
失
l l 0.7l l 0.5l
l 2l l 0.5l
稳 时
B
B
B
挠
D
曲
线 形
C
C
状
A
A
A
C— 挠曲 C、D— 挠
线拐点 曲线拐点
C— 挠曲线拐点
临界力Pcr 欧拉公式
Pc
r
2
l
EI
工程实例
目录
一、稳定平衡与不稳定平衡 ： 1. 不稳定平衡
2. 稳定平衡
3. 稳定平衡和不稳定平衡
第九章 压杆稳定课件
∴ F = cr
π 2EI
l
2
—— 欧拉公式
上式即为两端铰支细长压杆临界力F 上式即为两端铰支细长压杆临界力 cr的计算 细长压杆临界力 公式,由欧拉( 年首先导出, 公式,由欧拉(L.Euler)于1744年首先导出,所 ) 年首先导出 以通常称为欧拉公式.应该注意, 以通常称为欧拉公式.应该注意,压杆的弯曲是 欧拉公式 在其弯曲刚度最小的平面内发生, 在其弯曲刚度最小的平面内发生,因此欧拉公式 中的I应该是截面的最小形心主惯性矩. 中的 应该是截面的最小形心主惯性矩. 应该是截面的最小形心主惯性矩
26
表91 各种支承条件下细长压杆的临界力
支承情况 两端铰支 一端固定 一端铰支 Fcr 两端固定, 两端固定, 但可沿纵向 相对移动 Fcr 一端固定 一端自由 Fcr 两端固定, 两端固定, 但可沿横向 相对移动 Fcr
Fcr 失 稳 时 挠 曲 线 形 状
l l
l 0.7l l 2l l 0.5l
10
平衡的三种状态: 平衡的三种状态: 体系受到微小干扰而稍微偏离它原有的平衡 状态,当干扰消除后, 能够恢复到原有的平衡 状态,当干扰消除后,它能够恢复到原有的平衡 状态,则原有平衡状态称为稳定平衡状态. 状态,则原有平衡状态称为稳定平衡状态. 稳定平衡状态
稳定平衡状态
11
当干扰消除后, 不能够恢复到原有的平衡状 当干扰消除后,它不能够恢复到原有的平衡状 能够在新的状态维持平衡, 态,但能够在新的状态维持平衡,则原有平衡 状态称为随遇平衡状态 随遇平衡状态. 状态称为随遇平衡状态.
浅拱失稳
9
稳定性:指构件或体系保持其原有平衡状态的能力. 稳定性:指构件或体系保持其原有平衡状态的能力. 或体系保持其原有平衡状态的能力 失 稳:指构件或体系丧失原始平衡状态的稳定性, 指构件或体系丧失原始平衡状态的稳定性, 由稳定平衡状态转变为不稳定状态. 由稳定平衡状态转变为不稳定状态. 在工程实际中,为了保证构件或结构物能够 在工程实际中,为了保证构件或结构物能够 构件或结构 安全可靠地工作,构件除了满足强度 刚度条件 安全可靠地工作,构件除了满足强度,刚度条件 强度, 外,还必须满足稳定性的要求. 还必须满足稳定性的要求. 稳定性的要求
第九章 压杆稳定
外，最小根是
s in k l = 0
kl = 2π
4π 2 EI Fcr = k 2 EI = 2 l
21
图示结构中四根压杆的材料、截面形状、横截面面积均相同， 图示结构中四根压杆的材料、截面形状、横截面面积均相同， 排序出在纸平面内失稳的先后顺序。 排序出在纸平面内失稳的先后顺序。
22
§9-4 欧拉公式的应用范围•经验公式 欧拉公式的应用范围•
8
2.弹性压杆的稳定性 2.弹性压杆的稳定性 稳定平衡状态 F < F —稳定平衡状态 cr
F = F —临界平衡状态 临界平衡状态 cr
不稳定平衡状态 F > F —不稳定平衡状态 cr
关键
确定压杆的临界力 确定压杆的临界力 Fcr
临界状态 稳 定 平 衡 对应的
过 度
不 稳 定 平 衡
压力
临界压力: 临界压力:
将以上边界条件代入(a)式和 将以上边界条件代入 式和 (b) 式，得
B+
A sin kl + B cos kl +
由以上四个方程得出 满足以上两式的根， 满足以上两式的根，除
Me =0 F
Me =0 F
Ak = 0
Ak cos kl − Bk sin kl = 0
cos kl − 1 = 0
kl = 0
实际上，其承载能力并不取决轴向压缩的抗压强度， 实际上，其承载能力并不取决轴向压缩的抗压强度，而是 与受压时变弯有关.当加的轴向压力达到40N时 与受压时变弯有关.当加的轴向压力达到40N时，钢板尺就突然 40N 发明显的弯曲变形，丧失了承载能力. 发明显的弯曲变形，丧失了承载能力.
1
① 强度 构件的承载能力 ② 刚度 ③ 稳定性 工程中有些构件具有足够的强度、刚度，却不一定能安全 工程中有些构件具有足够的强度、刚度， 可靠地工作. 可靠地工作.
s in k l = 0
kl = 2π
4π 2 EI Fcr = k 2 EI = 2 l
21
图示结构中四根压杆的材料、截面形状、横截面面积均相同， 图示结构中四根压杆的材料、截面形状、横截面面积均相同， 排序出在纸平面内失稳的先后顺序。 排序出在纸平面内失稳的先后顺序。
22
§9-4 欧拉公式的应用范围•经验公式 欧拉公式的应用范围•
8
2.弹性压杆的稳定性 2.弹性压杆的稳定性 稳定平衡状态 F < F —稳定平衡状态 cr
F = F —临界平衡状态 临界平衡状态 cr
不稳定平衡状态 F > F —不稳定平衡状态 cr
关键
确定压杆的临界力 确定压杆的临界力 Fcr
临界状态 稳 定 平 衡 对应的
过 度
不 稳 定 平 衡
压力
临界压力: 临界压力:
将以上边界条件代入(a)式和 将以上边界条件代入 式和 (b) 式，得
B+
A sin kl + B cos kl +
由以上四个方程得出 满足以上两式的根， 满足以上两式的根，除
Me =0 F
Me =0 F
Ak = 0
Ak cos kl − Bk sin kl = 0
cos kl − 1 = 0
kl = 0
实际上，其承载能力并不取决轴向压缩的抗压强度， 实际上，其承载能力并不取决轴向压缩的抗压强度，而是 与受压时变弯有关.当加的轴向压力达到40N时 与受压时变弯有关.当加的轴向压力达到40N时，钢板尺就突然 40N 发明显的弯曲变形，丧失了承载能力. 发明显的弯曲变形，丧失了承载能力.
1
① 强度 构件的承载能力 ② 刚度 ③ 稳定性 工程中有些构件具有足够的强度、刚度，却不一定能安全 工程中有些构件具有足够的强度、刚度， 可靠地工作. 可靠地工作.
材料力学：第九章 压杆稳定问题
绞），I 应取最小的形心主惯矩，得到直杆的
实际临界力
若杆端在不同方向的约束情况不同， I 应取挠 曲时横截面对其中性轴的惯性矩。即，此时要 综合分析杆在各个方向发生失稳时的临界压力， 得到直杆的实际临界力（最小值）。
求解临界压力的方法：
1. 假设直梁在外载荷作用下有一个初始的弯曲变形
2. 通过受力分析得到梁截面处的弯矩，并带入挠曲线 的微分方程
P
采用挠曲线近似微分方程得
B
到的d —P曲线。
Pcr A
B'
可见，采用挠曲线近
似微分方程得到的d —P曲
线在压杆微弯的平衡形态
d
下，呈现随遇平衡的假象。
大挠度理论、小挠度理论、实际压杆
欧拉公式
在两端绞支等截面细长中心受压直杆
的临界压力公式中
2EI
Pcr l 2
形心主惯矩I的选取准则为
若杆端在各个方向的约束情况相同（如球形
P
压杆稳定性的概念
当P较小时，P
Q
P
当P较大时，
P Q
稳定的平衡态
P
撤去横向力Q 稳定的
小
稳
P定
的
P P
临界压力
Pcr
不
稳
撤去横向力Q 不稳定的
定 的
P
大
不稳定的平衡态
压杆稳定性的概念
压杆稳定性的工程实例
细长中心受压直杆临界 力的欧拉公式
细长中心受压直杆临界力的欧拉公式
压杆的线（性）弹性稳定性问题
利用边界条件
得 w D,
xl
Dcos kl 0
若解1
D0
表明压杆未发生失稳
w(x) Asin kx B cos kx D
实际临界力
若杆端在不同方向的约束情况不同， I 应取挠 曲时横截面对其中性轴的惯性矩。即，此时要 综合分析杆在各个方向发生失稳时的临界压力， 得到直杆的实际临界力（最小值）。
求解临界压力的方法：
1. 假设直梁在外载荷作用下有一个初始的弯曲变形
2. 通过受力分析得到梁截面处的弯矩，并带入挠曲线 的微分方程
P
采用挠曲线近似微分方程得
B
到的d —P曲线。
Pcr A
B'
可见，采用挠曲线近
似微分方程得到的d —P曲
线在压杆微弯的平衡形态
d
下，呈现随遇平衡的假象。
大挠度理论、小挠度理论、实际压杆
欧拉公式
在两端绞支等截面细长中心受压直杆
的临界压力公式中
2EI
Pcr l 2
形心主惯矩I的选取准则为
若杆端在各个方向的约束情况相同（如球形
P
压杆稳定性的概念
当P较小时，P
Q
P
当P较大时，
P Q
稳定的平衡态
P
撤去横向力Q 稳定的
小
稳
P定
的
P P
临界压力
Pcr
不
稳
撤去横向力Q 不稳定的
定 的
P
大
不稳定的平衡态
压杆稳定性的概念
压杆稳定性的工程实例
细长中心受压直杆临界 力的欧拉公式
细长中心受压直杆临界力的欧拉公式
压杆的线（性）弹性稳定性问题
利用边界条件
得 w D,
xl
Dcos kl 0
若解1
D0
表明压杆未发生失稳
w(x) Asin kx B cos kx D
工程力学(材料力学部分第九章)
Pcr
2EI ( l)2
临界应力
cr
Pcr A
2EI ( l)2 A
将惯性矩写为
I i2A
i 惯性半径
cr
2Ei2 A ( l)2 A
2E l 2
i
16
将惯性矩写为
I i2A
i 惯性半径
cr
2Ei2 A ( l)2 A
2E
l
2
i
柔度 (长细比)
l
i
柔度 是压杆稳定问题中的一个重要参数，它全
5) 校核 n = Pcr /P nst 是否成立。
29
1 稳定校核问题
1) 计算 1 ， 2， ；
2) 确定属于哪一种杆(大柔度杆，中柔度杆， 小柔度杆) ；
3) 根据杆的类型求出 cr 和 Pcr ;
4) 计算杆所受到的实际压力 P； 5) 校核 n = Pcr /P nst 是否成立。 2 确定许可载荷 前3步同稳定校核问题； 4) P Pcr / nst 。
其中，A为杆中点的挠度。 l
A的数值不确定。
欧拉公式与精确解曲线
精确解曲线
P 1.152Pcr时，
0.3l
理想受压直杆 非理想受压直杆
11
§9. 3 其他支座条件下细长压杆的临界压力
1 一端固支一端自由的压杆 由两端铰支压杆的临界 压力公式
2EI
Pcr (2l)2
2 一端固支一端滑动固支 （简称为两端固支）
P
n2 2EI
l2
因为临界压力是微弯平衡状态下的最
小压力， 所以，应取 n = 1 。
Pcr
2EI
l2
欧拉公式
这就是两端铰支细长压杆的临界压力公式。
第九章压杆稳定-1
cr
S
cr a b
P
2E
cr
2
o
s
P
L
i
22
四、注意问题：
1、计算临界力、临界应力时，先计算柔度，判断所用公式。 2、对局部面积有削弱的压杆，计算临界力、临界应力时，
其截面面积和惯性距按未削弱的尺寸计算。但进行强度 计算时需按削弱后的尺寸计算。
例：一压杆长L=1.5m，由两根 56568 等边角钢组成，两端 铰支，压力 F=150kN，角钢为A3钢，试用欧拉公式或经验 公式求临界压力和安全系数（σcr=304-1.12λ ）。 解：一个角钢： A 18 .36 cm 2 L=3.4 m，A=14.72 cm2，I=79.95 cm4， E=210 GPa，F=60 kN，材料为A3钢，两端为铰支座。 试进行稳定校核。
1、nw=2； 2、〔σ〕=140 MPa
解：1、安全系数法：
il 137.49 .9140014.95p 100
14 .73
F c r(2 L E )2 I2 2 E A 2 2 1. 1 9 4 13 0 5 1 0 .7 4 1 32 0 1.3 4 (k3 )N
a=20/d ＝20/0.16=125＞λp,
b=14/d ＝14/0.16=87.5＜λp
F cr a (2 L E )2 I2 2 E A 22 1 1 2 2 13 0 5 0 1 412 6 2 06 (k6 )N 3
F c rb cA r b ( 3 1 0 .1) A 4 2 ( 3 1 0 .1 8 4 2 .5 )1 4 7 12 6 40 1 .4 ( k) 1
稳定的平衡状态—— FFcr
临界的平衡状态—— F Fcr
材料力学 第9章 压杆稳定
材料力学
第9章 压杆稳定
第9章 压杆稳定
材料力学
第9章 压杆稳定
第9章 压杆稳定
9.1 概述 9.2 细长压杆的临界力 9.3 压杆的临界应力 9.4 压杆的稳定计算 9.5 提高压杆稳定性的措施
小结
材料力学
9.1 概述
第9章 压杆稳定
在绪论中曾经指出，当作用在细长杆上的轴向压力达到或超过一定 限度时，杆件可能突然变弯，即产生失稳现象。杆件失稳往往产生很 大的变形甚至导致系统破坏。因此，对于轴向受压杆件，除应考虑其 强度与刚度问题外，还应考虑其稳定性问题。
（4）临界状态的压力恰好等于临界力，而所处的微弯状态称为屈曲模态， 临界力的大小与屈曲模态有关。
（5）n=2、3所对应的屈曲模态事实上是不能存在的，除非在拐点处增加 支座。这些结论对后面讨论的不同约束情况一样成立。
材料力学
第9章 压杆稳定
9.2 细长压杆的临界力
9.2.2 一端固定、一端自由细长压杆的临界力
w xl
coskl 0
材料力学
9.2 细长压杆的临界力
9.2.2 一端固定、一端自由细长压杆的临界力
coskl 0
kl nπ k nπ
2
2l
Fcr
n 2 π 2EI (2l ) 2
n 1,3,5,
取最小值，可得该压杆临界力Fcr的欧拉公式为:
Fcr
π2EI (2l ) 2
第9章 压杆稳定
材料力学
第9章 压杆稳定
9.2 细长压杆的临界力
计算临界力归结为计算压杆处于微弯状态临界平衡时的平衡方程 及荷载值。 用静力法计算临界力时应按以下的思路来考虑： （1）细长压杆失稳模态是弯曲，所以弯曲变形必须考虑； （2）假设压杆处在线弹性状态； （3）临界平衡时压杆处于微弯状态，即挠度远小于杆长，于是， 梁近似挠曲线的微分方程仍然适用。 （4）压杆存在纵向对称面，且在纵向对称面内弯曲变形。
第9章 压杆稳定
第9章 压杆稳定
材料力学
第9章 压杆稳定
第9章 压杆稳定
9.1 概述 9.2 细长压杆的临界力 9.3 压杆的临界应力 9.4 压杆的稳定计算 9.5 提高压杆稳定性的措施
小结
材料力学
9.1 概述
第9章 压杆稳定
在绪论中曾经指出，当作用在细长杆上的轴向压力达到或超过一定 限度时，杆件可能突然变弯，即产生失稳现象。杆件失稳往往产生很 大的变形甚至导致系统破坏。因此，对于轴向受压杆件，除应考虑其 强度与刚度问题外，还应考虑其稳定性问题。
（4）临界状态的压力恰好等于临界力，而所处的微弯状态称为屈曲模态， 临界力的大小与屈曲模态有关。
（5）n=2、3所对应的屈曲模态事实上是不能存在的，除非在拐点处增加 支座。这些结论对后面讨论的不同约束情况一样成立。
材料力学
第9章 压杆稳定
9.2 细长压杆的临界力
9.2.2 一端固定、一端自由细长压杆的临界力
w xl
coskl 0
材料力学
9.2 细长压杆的临界力
9.2.2 一端固定、一端自由细长压杆的临界力
coskl 0
kl nπ k nπ
2
2l
Fcr
n 2 π 2EI (2l ) 2
n 1,3,5,
取最小值，可得该压杆临界力Fcr的欧拉公式为:
Fcr
π2EI (2l ) 2
第9章 压杆稳定
材料力学
第9章 压杆稳定
9.2 细长压杆的临界力
计算临界力归结为计算压杆处于微弯状态临界平衡时的平衡方程 及荷载值。 用静力法计算临界力时应按以下的思路来考虑： （1）细长压杆失稳模态是弯曲，所以弯曲变形必须考虑； （2）假设压杆处在线弹性状态； （3）临界平衡时压杆处于微弯状态，即挠度远小于杆长，于是， 梁近似挠曲线的微分方程仍然适用。 （4）压杆存在纵向对称面，且在纵向对称面内弯曲变形。
压杆稳定
p
cr a b
cr
2E 2
小柔度杆
中柔度杆
大柔度杆
O
s
a
s
b
p
2E p
l
i
例：图示圆截面压杆d=40mm，σs=235MPa。求可以用 经验公式σcr=304-1.12λ (MPa)计算临界应力时的最 小杆长。
F
解： s
a s
b
304 235 61.6
1.12
由
l
i
s
得：
l
0.04
相同的压杆
P
细长压杆失效原因：杆突然 发生显著弯曲变形而失去承 载能力。
P
P
失稳(也叫屈曲）
一、稳定与失稳
1.压杆稳定性：压杆维持其原有直线平衡状态的能力；
2.压杆失稳：压杆丧失原有直线平衡状态，不能稳定地工作。
3.压杆失稳原因：①杆轴线本身不直(初曲率)； ②加载偏心； ③压杆材质不均匀； ④外界干扰力。
b(MPa) 1.12 2.568 3.744 5.296 1.454 2.15 0.19
下面考虑经验公式的适用范围：
对于塑性材料：
cr a b s
即
as
b
记
s
a
s
b
则 s p
经验公式的适用范围
对于 λ＜λs的杆，不存在失稳问题，应考虑强度问 题
cr s
经验公式中，抛物线公式的表达式为
感谢下 载
cr a1 b12
a 、b 式中
查到。 1
也是与材料性质有关的系数，可在有关的设计手册和规范中
1
三、临界应力总图
1. 细长杆( p ), 用欧拉公式
cr
cr a b
cr
2E 2
小柔度杆
中柔度杆
大柔度杆
O
s
a
s
b
p
2E p
l
i
例：图示圆截面压杆d=40mm，σs=235MPa。求可以用 经验公式σcr=304-1.12λ (MPa)计算临界应力时的最 小杆长。
F
解： s
a s
b
304 235 61.6
1.12
由
l
i
s
得：
l
0.04
相同的压杆
P
细长压杆失效原因：杆突然 发生显著弯曲变形而失去承 载能力。
P
P
失稳(也叫屈曲）
一、稳定与失稳
1.压杆稳定性：压杆维持其原有直线平衡状态的能力；
2.压杆失稳：压杆丧失原有直线平衡状态，不能稳定地工作。
3.压杆失稳原因：①杆轴线本身不直(初曲率)； ②加载偏心； ③压杆材质不均匀； ④外界干扰力。
b(MPa) 1.12 2.568 3.744 5.296 1.454 2.15 0.19
下面考虑经验公式的适用范围：
对于塑性材料：
cr a b s
即
as
b
记
s
a
s
b
则 s p
经验公式的适用范围
对于 λ＜λs的杆，不存在失稳问题，应考虑强度问 题
cr s
经验公式中，抛物线公式的表达式为
感谢下 载
cr a1 b12
a 、b 式中
查到。 1
也是与材料性质有关的系数，可在有关的设计手册和规范中
1
三、临界应力总图
1. 细长杆( p ), 用欧拉公式
cr
材料力学第九章4-6压杆稳定
P
A C D B
1m E
1m F
1.5m
1m
算例3
图示结构, AB为18号工字钢梁,[]=120MPa, CD为两端铰链约束的圆截面钢杆，d=24mm, P=100, S=61.4， [n]st=2.8。 要求: 结构的许用载荷Pmax=？
P
A
C
3m D
B
1.8m
1m
解题思路
1 校核时，必须先按梁AB的强度估算一个许用载荷 Pmax 。 2 Pmax 。 再按杆CD梁的稳定要求，估算第二个许用载荷
图示结构, AB为18号工字钢梁,[]=120MPa, CE和DF均为两端铰链约束的圆截面钢杆， d=24mm, P=100, S=61.4。 求:结构整体失稳时的理论极限载荷Pmax=？
P
A C D B
1m E
1m F
1.5m
1m
解题思路
由于CE和DF杆与结构是并联关系，只有CE和DF杆都 失稳时，才导致结构整体失稳。（ DF杆先失稳， 此后杆内力保持不变为Pcr）因此，应当按照两压杆 的临界载荷Pcr对A点取力矩平衡而求出结构的理论 极限载荷Pmax。
思考：
如对于大柔度杆误用了经验公式，或对 于中柔度杆误用了欧拉公式，所得临界 应力比实际值大还是小？
算例1
分析: 哪一根压杆的 临界载荷比较大；
分析: 哪一根压杆的临界载荷比较大：
Pcr= crA , cr
E
2
2
= l / i , i a=20/d ,
I A
d 4
b=18/d .
b d A h C 3m 1.8m
B
解题思路
由于CE和DF杆与结构是串联关系，只要两杆中有 一根杆失稳，就导致结构整体失稳。 先求出AC杆和CB杆的临界载荷Pcr，再按静不定 杆方法，求出杆AC和杆CB的轴力。最后就可校 核系统的稳定性。
A C D B
1m E
1m F
1.5m
1m
算例3
图示结构, AB为18号工字钢梁,[]=120MPa, CD为两端铰链约束的圆截面钢杆，d=24mm, P=100, S=61.4， [n]st=2.8。 要求: 结构的许用载荷Pmax=？
P
A
C
3m D
B
1.8m
1m
解题思路
1 校核时，必须先按梁AB的强度估算一个许用载荷 Pmax 。 2 Pmax 。 再按杆CD梁的稳定要求，估算第二个许用载荷
图示结构, AB为18号工字钢梁,[]=120MPa, CE和DF均为两端铰链约束的圆截面钢杆， d=24mm, P=100, S=61.4。 求:结构整体失稳时的理论极限载荷Pmax=？
P
A C D B
1m E
1m F
1.5m
1m
解题思路
由于CE和DF杆与结构是并联关系，只有CE和DF杆都 失稳时，才导致结构整体失稳。（ DF杆先失稳， 此后杆内力保持不变为Pcr）因此，应当按照两压杆 的临界载荷Pcr对A点取力矩平衡而求出结构的理论 极限载荷Pmax。
思考：
如对于大柔度杆误用了经验公式，或对 于中柔度杆误用了欧拉公式，所得临界 应力比实际值大还是小？
算例1
分析: 哪一根压杆的 临界载荷比较大；
分析: 哪一根压杆的临界载荷比较大：
Pcr= crA , cr
E
2
2
= l / i , i a=20/d ,
I A
d 4
b=18/d .
b d A h C 3m 1.8m
B
解题思路
由于CE和DF杆与结构是串联关系，只要两杆中有 一根杆失稳，就导致结构整体失稳。 先求出AC杆和CB杆的临界载荷Pcr，再按静不定 杆方法，求出杆AC和杆CB的轴力。最后就可校 核系统的稳定性。
材料力学-第9章压杆的稳定问题
0 1 0 sinkl coskl
sinkl 0
第9章 压杆的稳定问题
两端铰支压杆的临界载荷欧拉公式
sinkl 0
FP k EI 由此得到临界载荷
2
kl nπ, n 1, 2 ,,
FPcr
第9章 压杆的稳定问题
两端铰支压杆的临界载荷欧拉公式
微分方程的解 w =Asinkx + Bcoskx 边界条件 w ( 0 ) = 0 , w( l ) = 0
0 A＋1 B 0 sinkl A coskl B 0
根据线性代数知识，上述方程中，常数A、B 不全为零的条件是他们的系数行列式等于零：
FP F FP P
FP>FPcr :在扰动作用下， 直线平衡构形转变为弯曲平 衡构形，扰动除去后， 不能恢复到直线平衡构形， 则称原来的直线平衡构形 是不稳定的。
第9章 压杆的稳定问题
压杆稳定的基本概念
当压缩载荷大于一定的数值时，在任意微小的外界扰动下， 压杆都要由直线的平衡构形转变为弯曲的平衡构形，这一过程 称为屈曲（buckling）或失稳（lost stability）。对于细长压杆， 由于屈曲过程中出现平衡路径的分叉，所以又称为分叉屈曲 （bifurcation buckling）。 稳定的平衡构形与不稳定的平衡构形之间的分界点称为临 界点（critical point）。对于细长压杆，因为从临界点开始， 平衡路径出现分叉，故又称为分叉点。临界点所对应的载荷称 为临界载荷（critical load）或分叉载荷（bifurcation load）， 用FP表示。
第9章 压杆的稳定问题
压杆稳定的基本概念
在很多情形下，屈曲将导致构件失效，这种失 效称为屈曲失效（failure by buckling）。由于屈曲 失效往往具有突发性，常常会产生灾难性后果，因 此工程设计中需要认真加以考虑。
第九章压杆稳定-文档资料88页
F= Fcr
l
x
F=Fcr
y
F=Fcr
材料力学
中南大学土木建筑学院
12
M =Fcrw
E Iw MF crw
w Fcr w 0 EI
记
k 2 Fcr EI
wk2w0
通解 w=Asinkx+Bcoskx
边界条件Ⅰ： x = 0，w = 0
B=0
w=Asinkx
材料力学
m l2
引入 惯性半径 i I A
材料力学
中南大学土木建筑学院
34
临界应力
s cr
p2Ei2
m l 2
记 m l 称为实际压杆的柔度（长细比）
i
柔度 集中反映压杆的长度、约束条件、
截面尺寸和形状对临界应力的影响。
用临界应力表达的欧拉公式
s cr
p2E
2
相同面积条件下，临界应力
EI
x
Fcr FR
得： dd2xw2 k2wF ERI(lx)
w
x
l
解得： wAsinkxBcoskxFR(lx)
Fcr
y
材料力学
中南大学土木建筑学院
18
wAsinkxBcoskxFR(lx)
由杆端的边界条件：
x 0， w 0
Fcr B FR l 0
F cr
材料力学
中南大学土木建筑学院
7
F
B k
刚 性 杆
l
F
F
F
B
FR
B
FR
B
FR
微
直
小继 续线偏偏平
转
转
衡
l
x
F=Fcr
y
F=Fcr
材料力学
中南大学土木建筑学院
12
M =Fcrw
E Iw MF crw
w Fcr w 0 EI
记
k 2 Fcr EI
wk2w0
通解 w=Asinkx+Bcoskx
边界条件Ⅰ： x = 0，w = 0
B=0
w=Asinkx
材料力学
m l2
引入 惯性半径 i I A
材料力学
中南大学土木建筑学院
34
临界应力
s cr
p2Ei2
m l 2
记 m l 称为实际压杆的柔度（长细比）
i
柔度 集中反映压杆的长度、约束条件、
截面尺寸和形状对临界应力的影响。
用临界应力表达的欧拉公式
s cr
p2E
2
相同面积条件下，临界应力
EI
x
Fcr FR
得： dd2xw2 k2wF ERI(lx)
w
x
l
解得： wAsinkxBcoskxFR(lx)
Fcr
y
材料力学
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18
wAsinkxBcoskxFR(lx)
由杆端的边界条件：
x 0， w 0
Fcr B FR l 0
F cr
材料力学
中南大学土木建筑学院
7
F
B k
刚 性 杆
l
F
F
F
B
FR
B
FR
B
FR
微
直
小继 续线偏偏平
转
转
衡
9.第九章 外压容器解析
即：
可得：
2.5 ( / D ) 2.2E ( )3 2.6E e 0 D0 ( Lcr / D0 )
e
Lcr 1.17D0
D0
e
（9-3）
当圆筒长度L≥Lcr时，为长圆筒； 当圆筒长度L≤Lcr时，为短圆筒。
15
（五）用解析法计算Pcr
要先假定是长圆筒还是短圆筒，然后确定由哪个公式计算
外压容器失稳前，器壁上只有薄膜压缩应力，在失稳时， 伴随着突然的变形，产生了以弯曲应力为主的附加应力， 而且这种应力和变形一直发展到筒体被压瘪为止。在卸去 外压后，仍不能恢复原来的形状。这就是外压容器失稳的 实质。
失稳是外压容器失效的主要形式。
6
三、外压容器的临界压力
导致外压容器失稳的压力——临界压力Pcr。
（一）长圆筒的临界压力
pcr 2.2 E (
t
e
D0
)3
（9-1）
式中 Pcr－临界压力， MPa δe－筒体的有效厚度， mm，δe=δn－C1－C2 D0－筒体的外直径， mm
D0 Di 2 n Et－设计温度下圆筒材料的弹性模量， MPa
13
（二）短圆筒的临界压力
2.5 ( / D ) 2.6 E t e 0 pc：P =夹套设计压力（ +真空设计压力）
18
二、外压圆筒壁厚设计的图算法
（一）算图的由来
pcr D0 e 2 1.1E ( ) 长圆筒： cr 2 e Do
e 2 cr 1.1( ) Do
cr '
(e / Do) 1.3 L / Do
1.5
短圆筒： cr ' 即： cr
3.查图9-9～9-14，由A值向上引垂线，查B值，若A值落在 材料温度线左方，则B 2 EA 4.计算［P］： P B
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【例3】图示内燃机的连杆为细长压杆.截面形状为工
字钢形，惯性矩Iz=6.5×10 4 mm4,Iy=3.8×10 4 mm4， 弹性模量E=2.1×10 5 MPa.试计算临界力Fcr.
边界条件表示一个关于a、 b、 R/F的齐次线性方程组
0 k sin kl
1 0 coskl
0l1
a
b R
F
0 0 0
tan kl kl kl 4.494
由 k2 F F k2 EI EI
4.494 2 l
EI
2 EI
(0.7l )2
其有非零解的充要条件是：
0
1l
Fcr
π2 EI (0.5l )2
Fcr
π2 EI (2l )2
欧拉公式 的统一形式
Fcr
π2 EI
(l )2
（
为压杆的长度因数）
长度因数 =1 = 0.7 = 0.5 =2
➢三、讨论
（1）相当长度 l 的物理意义
折算成两端铰支细长压杆的长度. （2）横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩 I
案例2 1995年6月29日下午，韩国汉城三丰百货大楼，由 于盲目扩建，加层，致使大楼四五层立柱不堪重负而产生 失稳破坏使大楼倒塌，死502人，伤930人，失踪113人.
案例3 2000年10月25日上午10时南 京电视台演播中心由于脚手架失稳 造成屋顶模板倒塌，死6人，伤34人.
研究压杆稳定性问题尤为重要
➢四、平衡
2.弹性压杆的稳定性
F Fcr—稳定平衡状态 F Fcr —临界平衡状态 F Fcr —不稳定平衡状态
关键
确定压杆的临界力 Fcr
临界状态
稳 定 平 衡
对应的
过
度
不 稳 定 平 衡
压力
临界压力: Fcr
➢五、稳定问题与强度问题的区别
压杆
强度问题
第九章 压杆稳定
§9-1 压杆稳定的概念 §9-2 两端铰支细长压杆的临界力 §9-3 其他支座条件下细长压杆的临界力 §9-4 欧拉公式的适用范围 中小柔度压杆的临界应力 §9-5 压杆稳定计算 §9-6 提高压杆稳定性的措施
§9–1 压杆稳定的概念
➢一、引言
第二章中，轴向拉、压杆的强度条件
σmax
x l, w 0
由公式(c)
l
Asin 0 Bcos 0 0 B 0
m
m
w
A0 Asin kl 0
w
x B
sin kl 0
讨论：
若 A 0, w 0
则必须 sin kl 0 kl nπ(n 0,1,2,)
k2 F kl nπ(n 0,1,2,)
x
EI
F
F
n2
π2 l2
2 EI (l / 2)2
0.7l l
0.3l
2 EI Fcr (0.7l)2
Fcr
π2 EI
(l )2
l—相当长度 —长度因数
各种支承条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式
支承情况
临界力的欧拉公式
两端铰支 一端固定，另一端铰支
两端固定 一端固定，另一端自由
Fcr
π2 EI l2
Fcr
π2 EI (0.7l )2
EI
(n 0,1,2,)
令 n = 1, 得
Fcr
2 EI l2
l
m
m
w
这就是两端铰支等截面细长受压直
x
w
B
杆临界力的计算公式（欧拉公式）
【例1】试导出一端夹紧一端铰支压杆的欧拉公式.
（1）弯矩方程
M (x) R(l x) Fw
（2）挠曲线和转角方程
w l
w
x
Fx R
d2w d x2
M (x) EI
l
该截面的弯矩 M ( x) Fw
杆的挠曲线近似微分方程
y
EIw'' M ( x) Fw（a)
令 k2 F
EI
m
得 w'' k 2w 0
(b) w B
m
m
w
x
B
F M(x)=-Fw
m x
(b)式的通解为
w Asinkx Bcos kx (c)
（A、B为积分常数）
边界条件
x
F
x 0, w 0
k
0 1 0
sin kl coskl 0
§9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压
➢一、细长压杆的形式
两
一端
端
固定
铰
一端
支
铰支
两
一端
端
自由
固
一端
定
固定
➢二、其它支座条件下的欧拉公式
Fcr
Fcr
Fcr
Fcr
l
Fcr
2 EI l2
欧拉公式
l
2l
2 EI Fcr (2l)2
l/4
l/2 l l/4
Fcr
稳定问题
平衡状态 应力
平衡方程 极限承载能力
直线平衡状态不变
平衡形式发生变化
达到限值
小于限值
变形前的形状、尺寸 变形后的形状、尺寸
实验确定
理论分析计算
压杆什么时候发生稳定性问题，什么时候产生强度问题呢？
x
§9–2 两端铰支细长压杆的临界力
F
压杆任一 x 截面沿 w 方向的位移 w f ( x)
若杆端在各个方向的约束情况相同（如球形铰等），
则 I 应取最小的形心主惯性矩. 取 Iy ，Iz 中小的一个计算临界力. 若杆端在各个方向的约束情况不同（如柱 形铰），应分别计算杆在不同方向失稳时
x y z
的临界压力. I 为其相应中性轴的惯性矩.
即分别用 Iy ，Iz 计算出两个临界压力. 然
后取小的一个作为压杆的临界压力.
R(l EI
x)
Fw EI
令 k2 F 上式变为：
EI
d2w d x2
k
2
w
k
2
R(l F
x)
w a sin kx b coskx R (l x) F
w ak coskx bk sin kx R F
3）边界条件
w(0) b Rl 0 F
w(0) ak R 0 F
w(l) a sin kl b coskl 0
尺就突然发明显的弯曲变形,丧失了承载能力.
压杆失稳(屈曲) :细长压杆不能正常工作并非其强度不够， 而是不能保持其原有的直线平衡状态.
构件的承载能力
① 强度 ② 刚度 ③ 稳定性
工程中有些构 件具有足够的 强度、刚度,却 不一定能安全 可靠地工作.
➢二、工程实例
➢三、失稳破坏案例
案例1 20世纪初，享有盛誉的美国桥梁学家库柏 （Theodore Cooper）在圣劳伦斯河上建造魁比克大 桥(Quebec Bridge)1907年8月29日，发生稳定性破坏， 85位工人死亡，成为上世纪十大工程惨剧之一.
FN max A
[σ]
例如:一长为300mm的钢板尺,横截面尺寸为 20mm
1 mm.钢的许用应力[]=196MPa.按强度条件计算得
钢板尺所能承受的轴向压力为 [F] = A[] = 3.92 kN
实际上,其承载能力并不取决于轴向压缩的抗压强度,而
是与受压时变弯有关.当加的轴向压力达到40N时,钢板