拓扑排序
拓扑排序技术介绍
05
拓扑排序技术的挑战和未来发展方向
复杂度分析和算法优化
复杂度分析
拓扑排序算法的复杂度主要取决于输入 图的大小和结构。对于大规模图，现有 的拓扑排序算法可能面临性能瓶颈。因 此，需要深入研究算法的时间复杂度和 空间复杂度，以便更好地优化算法。
VS
算法优化
为了提高拓扑排序算法的效率，可以采用 多种优化策略，如并行计算、动态规划、 贪心算法等。通过优化算法，可以减少计 算时间和内存消耗，提高排序速度。
02 03
并行策略
在并行化实现中，需要选择合适的并行策略。例如，可以 采用MapReduce模型将任务分解成多个子任务，并在不 同的节点上同时处理这些子任务。同时，需要考虑如何处 理节点之间的通信和数据传输，以保证整体性能和效率。
并行算法
针对不同的情况和需求，可以采用不同的并行拓扑排序算法。 例如，可以采用基于BFS（广度优先搜索）的并行拓扑排序 算法，以处理大规模稀疏图；也可以采用基于DFS（深度优 先搜索）的并行拓扑排序算法，以处理有环图等特殊情况。
学术论文引用
其他领域
在学术论文写作中，拓扑排序可以用于确 定参考文献的引用顺序，确保引用的文献 在文中被正确提及。
除了上述应用场景，拓扑排序还广泛应用 于诸如软件工程、网络流量分析、生物信 息学等领域。
02
拓扑排序的基本原理
有向无环图（DAG）
有向无环图（Directed Acyclic Graph，简称DAG）是一种特 殊的有向图，它不包含任何环路。在DAG中，从一个顶点出发 沿着有向边可以到达任何一个顶点，但不会回到起始顶点。
拓扑排序算法是一种用于计算DAG的拓扑 序列的算法。该算法的基本思想是从DAG
的起始顶点开始，按照一定的顺序访问 DAG中的所有顶点，并记录下访问的顺序 。在访问过程中，如果遇到一个顶点没有被 访问过，就将其加入到已访问顶点的集合中 ，并将其出度减1。重复这个过程直到所有 顶点都被访问过，或者没有未访问的顶点出
什么是拓扑排序？
什么是拓扑排序？
拓扑排序是一种对有向无环图（DAG）进行排序的算法，它可以将图中的顶点
按照一定的顺序排列，使得图中任意一条边的起点在排列中都出现在终点之前。
具体来说，拓扑排序的过程是这样的：
1. 首先，找到图中入度为0的顶点（即没有任何边指向它的顶点），将其加入到排序的结果中。
2. 然后，移除这个顶点以及由它出发的所有边，更新剩余顶点的入度。
3. 重复以上步骤，直到所有的顶点都被加入到排序结果中或者发现图中存在环。
如果最终所有的顶点都被加入到排序结果中，那么这个排序就是图的一个拓扑
排序；如果在过程中发现了环，那么图不具有拓扑排序。
拓扑排序的应用非常广泛，比如在软件工程中可以用来解决模块的依赖关系，
或者在任务调度中确定任务的执行顺序等等。
这个算法的时间复杂度为O(V+E)，其中V为顶点的数量，E为边的数量。
拓扑排序
拓扑排序一、拓扑排序就是按照给出的有向图对其进行排序：二、拓扑排序的思想（1）从AOV网中选择一个入度为0的顶点将其输出。
（2）在AOV网中删除此顶点及其所有的出边。
反复执行以上两步，直到所有顶点都已经输出为止，此时整个拓扑排序完成或者直到剩下的顶点的入度都不为0为止，此时说明AOV网中存在回路，拓扑排序无法再进行。
三、拓扑排序的算法拓扑排序前，先调用findInDegree得到所有结点的入度，然后将所有入度为0的顶点压栈。
从栈顶取出一个顶点将其输出，由它的出边表可以得到以该顶点为起点的出边，将这些边终点的入度减1，即删除这些边。
如果某条边终点的入度为0，则将该顶点入栈。
反复进行上述操作，直到栈为空。
如果这时输出的顶点个数小于n，则说明该AOV网中存在回路，否则，拓扑排序正常结束。
四、模板/*==================================================*\| 拓扑排序| INIT:edge[][]置为图的邻接矩阵;count[0…i…n-1]:顶点i的入度.\*==================================================*/void TopoOrder(int n){int i, top = -1;for( i=0; i < n; ++i )if( count[i] == 0 ){count[i] = top; top = i; // 下标模拟堆栈}for( i=0; i < n; ++i ) //表示要把n个点全部加入if( top == -1 ){printf("存在回路\n"); return ;}Else{int j = top; top = count[top]; //删除边进行更新printf("%d", j);for( int k=0; k < n; ++k )if( edge[j][k] && (--count[k]) == 0 ){count[k] = top; top = k;}}}五、省赛预选赛1005拓扑排序的修改#include<stdio.h>#include<stdlib.h>#include<string.h>int main(){int i,j;int n,m;int cin[110];int cout[110];int map[110][110];int num[110];int max[110];int a,b;int top;int flag;while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF){for(i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&num[i]);memset(map,0,sizeof(map));memset(cin,0,sizeof(cin));memset(cout,0,sizeof(cout));memset(max,0,sizeof(max));for(i=1;i<=m;i++){scanf("%d%d",&a,&b);if(map[a][b]==0){map[a][b]=num[a];cin[b]++;cout[a]++;}}top=-1;flag=1;for(i=1;i<=n;i++){if(cin[i]==0){cin[i]=top;top=i;}}for(i=1;i<=n;i++){if(top==-1){flag=0;break;}else{j=top;top=cin[top];for(int k=1;k<=n;k++){if(map[j][k]){if(max[j]+map[j][k]>max[k])//寻找一个有向图的最长的路径{max[k]=max[j]+map[j][k];}cin[k]--;if(cin[k]==0){cin[k]=top;top=k;}}}}}int ttt;ttt=0;if(flag==1){for(j=1;j<=n;j++){if(cout[j]==0){if(max[j]+num[j]>ttt)ttt=max[j]+num[j];}}printf("%d\n",ttt);}elseprintf("What a cup!\n");}}。
图的拓扑排序算法
图的拓扑排序算法图是计算机科学中常用的数据结构之一，它由一些节点（点）和连接这些节点的边（线）组成。
在计算机科学中，图经常被用来解决很多问题，例如计算机网络路由、调度、自然语言处理等等。
其中，图的拓扑排序算法是一个十分重要且广泛应用的算法。
在本文中，我们将详细介绍图的拓扑排序算法的原理及应用。
一、拓扑排序算法简介首先，我们来了解一下什么是拓扑排序算法。
拓扑排序是指将有向无环图(Directed Acyclic Graph, DAG)中节点按照拓扑序列排列的过程。
拓扑序列是指，在排列中，如果存在一条从节点A到节点B的路径，那么在拓扑序列中节点A必须出现在节点B之前。
如果存在环路，则不存在拓扑序列。
拓扑排序算法通常用于任务调度等场景中。
在计算机科学中，拓扑排序算法可以使用两种方法进行实现：基于搜索的算法和基于入度的算法。
二、基于搜索的算法基于搜索的算法是一种比较直接的实现思路，我们可以使用深度优先搜索或者广度优先搜索来实现。
深度优先搜索的方法是，先访问图中入度为0的节点，将其加入拓扑序列中，并将其后继节点的入度减1，直到遍历完整幅图。
基于入度的算法基于入度的算法是另一种有用的实现思路。
首先，我们可以记录每个节点的入度值。
入度是指图中所有指向该节点的边的个数。
对于一个拓扑序列中的节点，它的入度必定为0。
因此，我们可以将入度为0的节点放入队列中，然后对该节点的后继节点的入度减1。
如果减去入度后某个节点的入度为0，则也将其加入队列中。
不断循环这一过程，直到遍历完整幅图。
三、应用场景拓扑排序算法可以在很多场景中应用。
例如，任务调度。
在计算机中，任务调度是指将一些任务分配给不同的处理器进行处理的过程。
我们可以将每个任务看作一个节点，处理器看作边。
拓扑排序算法可以帮助我们找到一个最优的任务调度方案。
另一个应用场景是编译器和依赖管理器。
在编译一个程序时，我们需要按指定顺序编译不同的模块。
如果模块之间存在依赖关系，则需要使用拓扑排序算法来进行模块的编译顺序优化。
拓扑数据结构的名词解释
拓扑数据结构的名词解释随着科技的快速发展，数据的规模和复杂度急剧增加，大数据和人工智能成为了当今世界的热点话题。
在处理如此庞大和复杂的数据时，拓扑数据结构扮演着重要的角色。
本文将对拓扑数据结构的相关术语进行解释，帮助读者更好地理解这一概念。
一、图 (Graph)图是拓扑数据结构的基础。
它由节点集合和边集合组成。
节点代表实体，边则表示节点之间的关系。
图可以用来描述各种各样的关系网络，如社交网络、交通网络等。
图可以分为有向图和无向图，有向图的边是有方向的，而无向图的边是无方向的。
二、节点 (Node)节点是图的基本元素，也称为顶点。
每个节点可以具有零个或多个关联的边，用来表示节点之间的关系。
节点可以包含数据、属性和其他相关信息。
三、边 (Edge)边是图中节点之间的连接线。
边可以是有向的，表示从一个节点到另一个节点的单向关系；也可以是无向的，表示两个节点之间的双向关系。
边可以具有权重，用来表示节点之间的关联强度或距离。
四、路径 (Path)路径是图中的一条连接序列，由一系列的边组成。
路径可以是闭合的，即起点和终点相同，形成环；也可以是非闭合的，连接不同的节点。
五、连通性 (Connectivity)连通性是指图中节点之间的关联程度。
一个图可以是强连通的，即任意两个节点之间都存在路径；也可以是弱连通的，即只有部分节点之间存在路径。
六、拓扑排序 (Topological Sorting)拓扑排序是对有向无环图进行排序的一种算法。
在一个有向图中，如果存在一条路径从节点 A 到节点 B，那么在排序结果中，节点 A 应该在节点 B 的前面。
拓扑排序可以用来解决任务调度、依赖关系等问题。
七、最短路径 (Shortest Path)最短路径是指在图中找到两个节点之间路径长度最短的路径。
最短路径算法可以用来解决如最优路径规划、网络路由等问题。
常见的最短路径算法包括迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法。
八、网络流 (Network Flow)网络流是指在图中沿着边进行的一种资源分配。
拓扑排序求最长路径
拓扑排序求最长路径1. 什么是拓扑排序？拓扑排序是对有向无环图（DAG）进行排序的一种算法。
在有向图中，如果存在一条从节点A到节点B的有向边，那么节点A就必须在节点B之前进行排序。
拓扑排序通过将图中的节点按照一定的顺序进行排列，使得任意两个节点之间不存在环。
拓扑排序可以应用于许多问题，比如任务调度、依赖关系分析等。
2. 拓扑排序算法2.1. 算法原理拓扑排序算法基于深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）实现。
其基本思想是通过遍历图中的所有节点，并记录每个节点的入度（即指向该节点的边数）。
然后从入度为0的节点开始遍历，并将其加入结果列表中。
然后将与该节点相邻的节点的入度减1，并将新入度为0的节点加入结果列表。
重复此过程直到所有节点都被加入结果列表。
2.2. 算法步骤以下是拓扑排序算法的详细步骤：1.初始化一个空结果列表result和一个空队列queue。
2.遍历图中所有节点，并统计每个节点的入度。
3.将入度为0的节点加入队列queue。
4.当队列queue不为空时，执行以下步骤：–从队列queue中取出一个节点node，并将其加入结果列表result。
–遍历与节点node相邻的所有节点，并将它们的入度减1。
–如果某个节点的入度减为0，则将其加入队列queue。
5.如果结果列表result的长度等于图中的节点数，则说明拓扑排序成功；否则，说明图中存在环。
以下是使用Python语言实现拓扑排序算法的示例代码：from collections import defaultdict, dequedef topological_sort(graph):# 统计每个节点的入度in_degree = defaultdict(int)for node in graph:for neighbor in graph[node]:in_degree[neighbor] += 1# 初始化结果列表和队列result = []queue = deque()# 将入度为0的节点加入队列for node in graph:if in_degree[node] == 0:queue.append(node)# 拓扑排序while queue:node = queue.popleft()result.append(node)for neighbor in graph[node]:in_degree[neighbor] -= 1if in_degree[neighbor] == 0:queue.append(neighbor)if len(result) == len(graph):return resultelse:return None3. 拓扑排序求最长路径在有向无环图中，求最长路径可以通过拓扑排序算法来实现。
拓扑排序实训报告
一、实训目的通过本次拓扑排序实训，掌握拓扑排序的基本原理和算法实现方法，能够运用拓扑排序解决实际问题，提高自己在数据结构和算法方面的应用能力。
二、实训内容1. 拓扑排序原理及算法拓扑排序是一种针对有向无环图（DAG）的排序方法，它将图中的顶点按照某种顺序排列，使得图中所有的有向边都满足方向要求。
具体来说，拓扑排序要求在有向边(u,v)中，顶点u必须在顶点v之前。
拓扑排序的基本思想是：从入度为0的顶点开始，将其加入拓扑序列，然后删除该顶点及其所有出边，更新其他顶点的入度。
重复这个过程，直到所有顶点都被加入拓扑序列。
2. 拓扑排序算法实现本次实训中，我们将学习两种拓扑排序算法实现：（1）基于邻接矩阵的拓扑排序首先，我们使用邻接矩阵表示有向图。
然后，遍历邻接矩阵，找出所有入度为0的顶点，将其加入拓扑序列。
接着，删除该顶点及其所有出边，更新其他顶点的入度。
重复这个过程，直到所有顶点都被加入拓扑序列。
（2）基于邻接表的拓扑排序邻接表是一种链式存储结构，它将图中所有顶点存储在一个链表中，每个顶点对应一个链表，链表中存储与该顶点相连的所有顶点。
基于邻接表的拓扑排序算法如下：（1）初始化拓扑序列为空，入度数组为顶点数大小的数组，所有元素的值设为0。
（2）遍历邻接表，找出所有入度为0的顶点，将其加入拓扑序列，并将入度数组中相应元素的值减1。
（3）删除拓扑序列中的顶点及其所有出边，更新入度数组。
（4）重复步骤（2）和（3），直到拓扑序列不为空。
三、实训过程1. 阅读拓扑排序相关资料，了解其原理和算法实现方法。
2. 使用C++编写基于邻接矩阵的拓扑排序程序，实现图数据的构建、拓扑排序和输出拓扑序列。
3. 使用C++编写基于邻接表的拓扑排序程序，实现图数据的构建、拓扑排序和输出拓扑序列。
4. 对比两种算法的优缺点，分析其在实际应用中的适用场景。
5. 运行程序，测试不同图数据的拓扑排序结果，验证程序的正确性。
四、实训总结1. 通过本次实训，我们掌握了拓扑排序的基本原理和算法实现方法，提高了自己在数据结构和算法方面的应用能力。
拓 扑 排 序
{
拓 int num,i,j,top; struct vexnode *q;
扑 top=0;
排 num=0; /*num指示输出顶点个数*/ 序 for(i=1;i<=n;i++)/*建立入度为0顶点的堆栈*/
{
算
if(adj[i]->data==0)
法
{ adj[i]->data=top;
top=i;
(2) 从网络中删去该顶点和从该顶点发出的 所有有向边；
(3) 重复执行上述两步，直到网中所有的顶 点都被输出 (此时，原AOV网络中的所有顶 点和边就都被删除掉了)。
如果进行到某一步，无法找到无前趋的顶点， 则说明此AOV网络中存在有向环路，遇到 这种情况，拓扑排序就无法进行了。
图
图6.18 拓扑排序过程
由于AOV网络中有些顶点之间没有次序要 求，它们在拓扑有序序列中的位置可以任意 颠倒，所以拓扑排序的结果一般并不是唯一 的。
通过拓扑排序还可以判断出此AOV网络是 否包含有有向环路，若有向图G所有顶点都 在拓扑排序序列中，则AOV网络必定不包 含有有向环路。
图
拓扑排序方法
(1) 在网络中选择一个没有前趋的顶点，并 把它输出；
返回
}
图
6.7 关键路径法
关键路径法是采用边表示活动(ห้องสมุดไป่ตู้ctivity On Edge)的网络，简称为AOE网络。
AOE网络是一个带权的有向无环路图，其中， 每个顶点代表一个事件(Event)，事件说明某 些活动或某一项活动的完成，即阶段性的结 果。
离开某顶点的各条边所代表的活动，只有在 该顶点对应的事件出现后才能开始。
– ①退栈并输出栈顶的顶点j； – ②在邻接表的第i个单链表中，查找顶点为j的所
求解拓扑问题的方法和策略
求解拓扑问题的方法和策略拓扑问题是图论中的一个重要分支，它主要研究的是如何寻找图中的拓扑序列或拓扑排序。
在实际应用中，拓扑排序被广泛应用于任务调度、工程管理、编译器设计等领域。
本文将介绍拓扑问题的定义和常见的求解方法与策略。
一、拓扑问题的定义拓扑问题是指在一个有向图中，将所有的顶点排成一个线性序列，使得对于任意一对有向边 (u, v)，在序列中顶点 u 都排在顶点 v 的前面。
这个序列被称为拓扑序列或拓扑排序。
如果图中存在环路，即存在依赖关系循环，那么该图就不存在拓扑序列。
二、拓扑排序的方法和策略1. DFS（深度优先搜索）深度优先搜索是一种常用的优先级拓扑排序算法。
它的基本思想是从一个未访问的顶点开始，通过深度优先搜索遍历与其相邻的顶点，直到该顶点的所有相邻顶点都被访问过后，将该顶点加入拓扑序列。
2. BFS（广度优先搜索）广度优先搜索也是一种常见的求解拓扑排序的方法。
它的基本思想是通过队列实现，从源点开始依次访问其相邻节点，将被访问的节点入队。
当一个节点的所有相邻节点都被访问过后，将该节点加入拓扑序列。
3. Kahn算法Kahn算法是一种经典的拓扑排序算法。
它基于入度（Indegree）的概念，入度表示有多少条边指向一个顶点。
Kahn算法的基本思路是从图中选择一个入度为0的顶点输出，并将所有以该顶点为起点的边删除。
重复这个过程，直到所有的顶点都输出，或者图中不存在入度为0的顶点。
4. AOE网关AOE网关（Activity on Edge Network）是一种用来解决工程项目调度问题的拓扑排序算法。
它将工程活动表示为有向边，边上标注活动所需的时间和可以开始的最早时间，从而计算出每个活动的最早开始时间和最迟开始时间，进而得到整个项目的关键路径。
5. 贪心算法贪心算法也可以用来求解部分拓扑问题。
贪心算法的核心思想是每次选择当前最优的解决方案，直到得到全局最优解。
在某些拓扑问题中，贪心算法可以得到有效的结果，但在一些复杂的情况下，贪心算法可能无法得到最优解。
拓扑排序c++代码
什么是拓扑排序拓扑排序是对一个有向图构造拓扑序列的过程，使得该序列满足：每个顶点出现且只出现一次；若存在一条从顶点A到顶点B的路径，那么在序列中顶点A出现在顶点B的前面。
拓扑排序可以用来判断一个有向图是否为DAG （有向无环图）。
如果一个有向图可以被拓扑排序，那么这个有向图就是DAG。
拓扑排序的应用场景是什么？拓扑排序通常用来“排序”具有依赖关系的任务。
比如，如果用一个DAG图来表示一个工程，其中每个顶点表示工程中的一个任务，用有向边A→B表示在做任务B之前必须先完成任务A。
那么这个DAG图就是一个合法的任务安排，而且它的拓扑序列就是合法的任务执行顺序。
拓扑排序还可以用来检测一个有向图是否有环。
如果有环，则该有向图不可能拓扑排序，反之，可以拓扑排序。
另外，拓扑排序还可以用于解决一些实际问题，如编译器的依赖关系分析、工程项目的任务调度等。
拓扑排序时间复杂度对于有n个顶点和e条边的图来说，拓扑排序的时间复杂度为O(n+e)拓扑排序C++代码实现#include<bits/stdc++.h>using namespace std;const int N=100010;int n,m;int h[N],e[N],ne[N],idx;int d[N];void add(int a,int b){e[idx]=b,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;d[b]++;}void topsort(){queue<int>q;for(int i=1;i<=n;i++)if(!d[i])q.push(i);while(q.size()){int t=q.front();q.pop();cout<<t<<'';for(int i=h[t];~i;i=ne[i]){int j=e[i];if(--d[j]==0)q.push(j);}}}int main(){memset(h,-1,sizeof h);cin>>n>>m;while(m--){int a,b;cin>>a>>b;add(a,b);}topsort();return0;}拓扑排序Python代码实现from collections import dequedef topo_sort(graph):in_degree=dict((u,0)for u in graph) for u in graph:for v in graph[u]:in_degree[v]+=1q=deque()for u in in_degree:if in_degree[u]==0:q.appendleft(u)l=[]while q:u=q.pop()l.append(u)for v in graph[u]:in_degree[v]-=1if in_degree[v]==0:q.appendleft(v)return l。
拓扑排序的应用解决课程安排和任务调度问题
拓扑排序的应用解决课程安排和任务调度问题拓扑排序是图论中的一种排序算法，通过分析有向无环图（DAG）中各个顶点之间的依赖关系，可以找到满足依赖关系的顺序。
该算法在解决课程安排和任务调度问题方面有着广泛的应用。
一、课程安排问题在学校的课程安排中，课程之间存在先后依赖关系，比如某些课程必须在先修课程完成后才能进行。
利用拓扑排序便可以解决这一问题。
以某大学为例，假设该学期有n门课程，其中一些课程存在先修关系。
首先，根据先修关系，我们可以构建一个有向图，其中每个课程对应一个顶点，而依赖关系对应的有向边。
接下来，我们可以使用拓扑排序来确定课程的学习顺序。
具体步骤如下：1. 创建一个队列，用于存储入度为0的顶点。
2. 遍历图中的所有顶点，将入度为0的顶点全部入队。
3. 当队列非空时，执行以下操作：- 出队一个顶点，输出该顶点作为当前学习的课程。
- 更新与该顶点相邻的顶点的入度，即将其入度减1。
- 若相邻顶点的入度减为0，则将其入队。
4. 若所有顶点都已输出，则拓扑排序成功；否则，存在环路，无法进行拓扑排序，即无法完成课程安排。
通过上述算法，我们可以得到一个满足课程依赖关系的学习顺序，使得学生按照该顺序完成所有课程的学习。
这种方法可以有效地解决课程安排问题，确保学生学习的合理性和顺序性。
二、任务调度问题在实际工作中，任务之间往往存在一定的依赖关系，比如某些任务必须在其他任务完成后才能开始。
利用拓扑排序可以有效解决任务调度问题。
假设我们需要完成一个项目，项目中有n个任务，其中某些任务存在依赖关系。
为了合理安排任务的执行顺序，我们可以采用拓扑排序来解决。
首先，我们可以根据任务之间的依赖关系构建一个有向图。
其中每个任务对应一个顶点，而依赖关系对应的有向边。
接下来，我们可以使用拓扑排序来确定任务的执行顺序。
具体步骤如下：1. 创建一个队列，用于存储入度为0的顶点。
2. 遍历图中的所有顶点，将入度为0的顶点全部入队。
3. 当队列非空时，执行以下操作：- 出队一个顶点，执行该顶点对应的任务。
第七章--拓扑排序
3 拓扑排序的定义
拓扑排序
拓扑排序就是将AOV网中的所有顶点排列成一个线性序 列，并且满足条件：在AOV网中，如果从顶点vi到顶点vj存在 一条路径，则在该线性序列中，顶点vi一定出现在vj之前。拓 扑排
在有向图中选一个没有前驱（入度为0）的顶点，并且输出之。 从图中删除该顶点和所有以它为尾的弧。
《数据结构》 课程
拓扑排序
主讲教师：李晓娜
目录 CONTENTS
1 问题的导入 2 AOV网的定义 3 拓扑排序的定义 4 拓扑排序的过程
1 问题的导入
例如：我们非常想学习一门计算机 操作系统的课程，但是在修这门 课程之前，我们必须学习一些基 础课，比如程序设计基础、数据 结构、离散数学等等。那么学生 应按怎样的顺序学习这些课程， 才能无矛盾、顺利地完成呢？
课程编号 C1
课程 名称
高等数学
C2
程序设计基础
C3
离散数学
C4
数据结构
C5
算法语言
C6
编译技术
C7
操作系统
C8
普通物理
C9
计算机原理
先修 课程
无
无
C1,C2 C2,C3
C2 C4,C5 C4,C9
C1 C8
1 问题的导入
如何安排学习 计划？
C2
C5
C4 C3
C6
01 AOV网
C1
C8
C7
建立描述课程之间优先关系的有向无环图
重复上述两步，直至全部顶点均已输出；或者当图中不存在无前驱的顶点为止 （此时图中存在环）
V1
V5
拓扑序列：
v0, V1, V2, V3, V4, V5, V6,
拓扑排序算法
拓扑排序算法是计算机科学中常用的一种算法，它主要被用于处理有向无环图。
能够将有向无环图上的所有节点按照依赖关系进行排序，这在很多场景下都非常有用，并且也成为了考研和面试中的常见问题。
1. 什么是？是一种基于依赖关系的节点排序算法。
它能够将有向无环图上的所有节点按照依赖关系进行排序，得到一个拓扑序列（topological order）。
在拓扑序列中，只有当一个节点出现在它所依赖的节点之后，它才会出现。
例如，假设有三个任务A、B、C，其中A依赖B和C，B和C 之间没有依赖关系。
那么按照依赖关系生成的拓扑序列为 B->C->A。
2. 如何实现？的基本思路是，首先将没有入度的节点加入到队列中，然后遍历队列中的节点，去除它们的出边，更新它们的邻居节点的入度信息。
这样，那些新的没有入度的节点也会加入到队列中，循环这个过程直到没有节点可以加入队列为止。
具体实现中，我们可以使用一个队列来存储当前没有入度的节点，以及一个哈希表来存储每个节点的入度信息。
我们首先遍历一遍图，将每个节点的入度信息统计出来，然后将入度为0的节点加入到队列中。
接着，每次从队列中取出一个节点，去掉它的出边，更新它的邻居节点的入度信息，然后将新的入度为0的节点加入到队列中。
最后得到的队列中的节点顺序就是拓扑序列。
3. 的时间复杂度是多少？如果有n个节点和m条边，那么的时间复杂度为O(n + m)。
这个时间复杂度可以通过分析算法的主要操作得到。
首先，遍历一遍图的时间复杂度为O(n + m)，统计每个节点的入度信息。
接着，将入度为0的节点加入到队列中，每次从队列中取出一个节点，去除它的出边，更新它的邻居节点的入度信息，加入新的入度为0的节点到队列中的时间复杂度为O(m)。
因此，总的时间复杂度为O(n + m)。
4. 有哪些应用场景？常常被用于构建有向无环图（DAG）上的任务调度和依赖关系管理系统，例如编译器、构建系统和工作流引擎中都会用到。
数据结构(牛小飞)3 拓扑排序
2021/8/5
25
5
拓扑排序-定义
拓扑排序是对有向无圈图的顶点的一种排序，使 得如果存在一条从vi到vj的路径，那么在排序中vj 就出现在vi的后面。
✓ 显然，如果图中含有圈，那么拓扑排序是不可能的， 因为对于圈上的两个顶点v和w，v优先于w同时w又优 先于v。
2021/8/5
6
拓扑排序-举例
B
A
D
C
不能求得它的拓扑有序序列。
// 对尚未访问的顶点调用DFS
}
while(!Empty(S)) //输出拓扑排序的结果
System.out.print(S.pop());
} 2021/8/5
21
拓扑排序-方法2
void DFS-T(int v) { // 从顶点v出发，深度优先搜索遍历连通图 vertexs[v].visited = true; for(w=FirstAdjVex(v);w>=0; w=NextAdjVex(v,w)) { if (!vertexs[w].visited) DFS-T(w); } // 对v的尚未访问的邻接顶点w递归调用DFS-T S.push(v); //顶点v的DFS函数执行完毕
q.enqueue(v);
while (!q.isEmpty( ) { //如果队列非空
…………
}
if (counter!=NUM_VERTICES) //有圈
throw new CycleFoundException( );
}
2021/8/5
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拓扑排序-方法1
void topsort( ) throws CycleFoundException { …….
} // DFS-T
拓扑排序应用场景
拓扑排序应用场景拓扑排序是一种常用的图算法，用于对有向无环图（DAG）进行排序。
在实际应用中，拓扑排序有着广泛的应用场景，本文将介绍其中几个常见的应用场景。
1. 任务调度在任务调度中，往往存在一些任务之间的依赖关系。
例如，任务A 需要先执行完才能执行任务B，任务B又依赖于任务C。
这样的任务调度可以被建模成一个有向无环图，每个任务对应一个节点，任务之间的依赖关系对应有向边。
通过拓扑排序，可以确定任务的执行顺序，保证依赖关系得到满足。
2. 课程安排在学校的课程安排中，一些课程可能存在先修课程的要求。
例如，学生必须先修完高等数学才能学习线性代数。
这种课程安排可以被看作是一个有向无环图，每门课程对应一个节点，先修关系对应有向边。
通过拓扑排序，可以确定课程的学习顺序，确保学生按照正确的顺序完成课程。
3. 代码编译在软件开发中，代码之间也存在依赖关系。
例如，某个源文件A可能依赖于另一个源文件B中定义的函数。
在编译过程中，需要先编译B文件，再编译A文件。
这种依赖关系可以被建模成一个有向无环图，源文件对应节点，依赖关系对应有向边。
通过拓扑排序，可以确定源文件的编译顺序，保证依赖关系得到满足。
4. 任务优先级排序在一些任务管理系统中，任务往往具有不同的优先级。
通过拓扑排序，可以对任务进行优先级排序，确保高优先级的任务先被执行。
5. 课程表排列在学校的课程表排列中，需要考虑到教室资源的合理利用和老师的时间安排。
通过拓扑排序，可以对课程进行排列，确保每个教室的使用时间不冲突，并且老师的上课时间也不冲突。
6. 事件触发在事件驱动的系统中，往往存在多个事件之间的依赖关系。
通过拓扑排序，可以确定事件的触发顺序，保证事件之间的依赖关系得到满足。
7. 任务分解在项目管理中，一个大型任务往往需要分解成多个子任务，并且这些子任务之间存在依赖关系。
通过拓扑排序，可以确定子任务的执行顺序，确保依赖关系得到满足。
8. 电路布线在电路设计中，往往需要对电路进行布线，确保信号能够正确传输。
拓扑排序-有向无环图（DAG,DirectedAcyclicGraph）
拓扑排序-有向⽆环图（DAG,DirectedAcyclicGraph）条件：1.每个顶点出现且只出现⼀次。
2.若存在⼀条从顶点 A 到顶点 B 的路径，那么在序列中顶点 A 出现在顶点 B 的前⾯。
有向⽆环图（DAG）才有拓扑排序，⾮DAG图没有拓扑排序⼀说。
⼀般⽤有向边指⽰顺序关系，运⽤于顺序关系。
例如，下⾯这个图：显然是⼀个DAG图，1→4表⽰4的⼊度+1，4是1的邻接点,代码表⽰：前者deg[4]++;后者⽤vector[1].push(4)如何写出拓扑排序代码？1.⾸先将边与边的关系确定，建⽴好⼊度表和邻接表。
2.从⼊度为0的点开始删除，如上图显然是1的⼊度为0，先删除。
3.于是，得到拓扑排序后的结果是 { 1, 2, 4, 3, 5 }。
通常，⼀个有向⽆环图可以有⼀个或多个拓扑排序序列。
因为同⼀⼊度级别的点可以有不同的排序⽅式。
4.拓扑排序可以判断图中有⽆环，如下图显然4，5，6⼊度都是1，不存在⼊度为0的点，⽆法进⾏删除操作。
判断有⽆环的⽅法，对⼊度数组遍历，如果有的点⼊度不为0，则表明有环。
例题+代码拓扑排序（⼀）-Hiho-Coder1174描述由于今天上课的⽼师讲的特别⽆聊，⼩Hi和⼩Ho偷偷地聊了起来。
⼩Ho：⼩Hi，你这学期有选什么课么？⼩Hi：挺多的，⽐如XXX1,XXX2还有XXX3。
本来想选YYY2的，但是好像没有先选过YYY1，不能选YYY2。
⼩Ho：先修课程真是个⿇烦的东西呢。
⼩Hi：没错呢。
好多课程都有先修课程，每次选课之前都得先查查有没有先修。
教务公布的先修课程记录都是好多年前的，不但有重复的信息，好像很多都不正确了。
⼩Ho：课程太多了，教务也没法整理吧。
他们也没法⼀个⼀个确认有没有写错。
⼩Hi：这不正是轮到⼩Ho你出马的时候了么！⼩Ho：哎？？我们都知道⼤学的课程是可以⾃⼰选择的，每⼀个学期可以⾃由选择打算学习的课程。
唯⼀限制我们选课是⼀些课程之间的顺序关系：有的难度很⼤的课程可能会有⼀些前置课程的要求。
树的拓扑序列
树的拓扑序列概述树是一种常见的数据结构，它由节点和边组成，具有层次结构。
在树中，每个节点可以有零个或多个子节点，而且每个节点都只有一个父节点（除了根节点）。
树的拓扑序列是根据节点之间的父子关系确定的一种序列，它描述了树中节点的相对位置。
拓扑排序拓扑排序是一种对有向无环图（DAG）的节点进行排序的算法，它可以用来解决一些实际问题，比如任务调度、依赖关系的处理等。
在树中，由于不存在环，所以拓扑排序的结果是唯一的。
树的拓扑序列定义树的拓扑序列定义为树中节点的一种排序方式，满足以下条件： 1. 根节点是序列的第一个节点。
2. 对于任意非叶子节点，它的子节点在序列中出现在它之后。
3. 对于任意节点，它的兄弟节点在序列中相邻。
拓扑排序算法拓扑排序算法可以通过深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）实现。
下面以DFS为例介绍树的拓扑序列的生成过程。
1. 选择根节点从树中选择一个节点作为根节点，可以根据实际需求选择任意一个节点作为根节点。
2. 遍历子节点从根节点开始，先遍历它的所有子节点。
对于每个子节点，递归地进行步骤3和步骤4。
3. 生成子树的拓扑序列对于每个子节点，按照步骤2的方式生成它的子树的拓扑序列。
4. 合并拓扑序列将当前节点和它的子树的拓扑序列合并，得到当前节点及其子节点的拓扑序列。
5. 返回结果返回根节点及其子节点的拓扑序列作为最终结果。
示例为了更好地理解树的拓扑序列，下面以一个简单的树为例进行说明。
A/ | \B C D/ \ / \E F G H按照上述算法，树的拓扑序列为E, F, B, G, C, H, D, A。
应用树的拓扑序列在实际应用中有很多用途，下面介绍两个常见的应用场景。
1. 任务调度在任务调度中，存在一些任务之间的依赖关系。
比如，任务A依赖任务B和任务C 完成后才能开始。
这时，可以将任务之间的依赖关系表示为一棵树，树的拓扑序列就是任务的执行顺序。
2. 依赖关系处理在处理依赖关系的场景中，需要根据依赖关系确定一组操作的执行顺序。
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关键路径-关键活动-求l[i]=e[i]的活动，而e[i]=ve[j]， l[i]=vl[k]-dut<j,k>-求ve[j]，vl[k] ai依附的弧<vj,vk> ∈E，ai的持续时间为dut<j,k>。 关键路径的算法思想： 1>从ve[0]=0开始利用递推公式求出其余顶点的ve[j] ve[j]=Max{ve[i]+dut<i,j>} (i=0,1,2,….n-1 j=1,2,…n-1 <vj,vk> ∈E ) 即从源点开始按拓扑有序求各顶点的最早发生时间 2>从vl[n-1]=ve[n-1]开始利用递推公式求出其余顶点 的vl[i]；vl[i]=Min{vl[j]-dut<i,j>} 3>求出每条弧（即活动）的e[i]与l[i]，若 e[i]=l[i]即 为关键活动。
c5
c7 c3 c12 c8 c6
拓扑序列：c1,c9,c4,c2,c10,c11
c5
c7 c3 c12 c8 c6
拓扑序列：c1,c9,c4,c2,c10,c11,c3,c12,c6
c5
c7
c8
拓扑序列：c1,c9,c4,c2,c10,c11,c3,c12,c6
c5
c7
c8
拓扑序列：c1,c9,c4,c2,c10,c11,c3,c12,c6,c5,c7,c8
事件vj的最早发生时间ve[j]：ve[j]是指从源点到顶点 的最大路径长度代表的时间。 事件vi的最迟发生时间vl[i]:vl[k]是指在不推迟整个工 期的前提下，事件vi允许的最晚发生时间。 活动ai的最早开始时间e[i]:等于该活动的弧尾事件的 最早发生事件。（即e[i]=ve[j]） 活动ai的最早开始时间l[i]:该活动的弧头事件的最迟发 生时间与活动的持续时间之差。 l[i]=vl[k]-dut(活动ai的持续时间) ai依附的边<vj,vk> ∈E 关键活动就是最早和最迟开始时间相等的活动 （即e[i]=l[i]）。
将表转换成图
c4 c2 c1 c3 c5
c7
c12 c9 c10 c11
c6 c8
拓扑排序的步骤： （1）从图中选择一个入度为0的顶点且输出之； （2）从图中删掉该顶点及其所有以该顶点为弧尾 的弧； 反复执行这两个步骤，直到所有的顶点都被输出， 输出的序列就是这个无环有向图的拓扑序列。
c4 c2 c1
v7 16
16
v1 0 0 v3 4 6
v5 7 7 v8 18
18 a6=2
v9 18
18
v4 5 0
v6 7 8
§7.5 拓扑排序(Topological Sort)
• 拓扑排序是一种对非线性结构的有向图进行线性化的 重要手段。 • AOV（Activity On Vertex）网:就是顶点代表活动，边 （狐）表示活动的优先关系的有向图。
• AOV网可以解决的两个问题：
1）判定工程的可行性。若有回路则工程无法结束 （不可行）； 2）确定各项活动在整个工程执行中的先后顺序（即 拓扑排序序列）。
v2 v1 v3 v5 v8 v7
v9
v4
a6=2
v6
AOE网进行工程管理时可以解决下列 两个问题： ①估算工程的最短工期（即源点到汇点 的最短时间）。 ②找出哪些活动是影响工程进度的关键 （关键活动）。 路径长度：路径上各活动的持续时间之 和（权之和）。 关键路径：从源点到汇点之间路径长度 最长的那条路径（不一定唯一）
顶点序号vi
最早发生时间ve[i] 最迟发生时间ve[i] v7
v2 v1 v3
v5
v9
v8 v4 v6
顶点序号vi
最早发生时间ve[i] 最迟发生时间ve[i] v7
v2 v1 v3
v5
v9
v8 v4
a6=2
v6
顶点序号vi
最早发生时间ve[i] 最迟发生时间vl[i] v2 6 6 e[i]=ve[j] L[i]=vl[k]-dut<j,k>
c5
c7 c3 c12
c9
c10 c11 c6
c8
拓扑序列：c1,c9
c4 c2
c5
c7 c3 c12
c10 c11 c6
c8
拓扑序列：c1,c9
c4 c2
c5
c7 c3 c12
c10 c11 c6
c8
拓扑序列：c1,c9
c4 c2
c5
c7 c3 c12
c10 c11 c6
c8
拓扑序列：c1,c9,c4,c2,c10,c11
c4 c2 c1
c5
c7 c3 c12
c9
c10 c11 c6
c8
拓扑序列：c1,c9,c4,c2,c10,c11,c3,c12,c6,c5,c7,c8
§ 7.6 关键路径
AOE(Activity On Edge)网：顶点表示事件（Event）, 弧（边）表示活动，弧上的权表示活动的持续时 间的有向图。 AOE网中，仅有一个入度为零的顶点（事件），称为 源点，表示工程开始，也仅有一个出度为零的顶点， 称为汇点，表示工程结束。
课程编号
C1 C2 C3 C4 C5 C6
课程名称
程序设计基础 离散数学 数据结构 汇编语言 算法分析和设计 计算机组成原理
必要的先修课程编号
无 C1 C1，C2 C1 C3，C4 C11
C7
C8 C9 C10 C11 C12
编译原理
操作系统 高等数学 线性代数 普通物理 数值分析
C3，C5
C3，C6 无 C9 C9 C1，C9，C10