江苏省如皋市高考数学一轮复习 参数方程的意义任务单(无答案)
高中数学4.4参数方程4.4.1参数方程的意义知识导航学案苏教版选修
4.4.1 参数方程的意义自主整理1.一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C 上任意一点P 的坐标x 和y 都可以表示为某个变量t 的函数⎩⎨⎧==).(),(t g y t f x .反过来，对于t 的每个允许值，由函数式x=f(t),⎩⎨⎧==)(),(t g y t f x 所确定的点P(x,y)都在曲线C 上，那么方程⎩⎨⎧==)(),(t g y t f x 叫做曲线C 的____________，其中的变量t 是____________，简称____________．答案:参数方程 参变数 参数2．中心在原点的椭圆12222=+by a x 的参数方程为______________,中心在C(x 0,y 0)的椭圆1)()(220220=-+-b y y a x x 的参数方程为______________（其中a ＞０，b ＞0，a≠b，φ是参数）．参数φ的几何意义是椭圆的______________，并非旋转角.答案:⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x ⎩⎨⎧+=+=ϕϕsin cos 00b y y a x x 离心角 高手笔记1．通过对生活中实际例子的研究，发现有些问题要建立直角坐标系，直接找出x 和y 的关系并不容易，甚至不太可能．因此，建立参数方程显得非常必要．2．参数方程也是表达曲线坐标关系的一种方式，简单地说，参数方程就是用参数表示横坐标x 和纵坐标y 的关系式，其一般式为⎩⎨⎧==)(),(t g y t f x （t 为参数）．也可以把它当成一个方程组．它使坐标之间的关系更加明显，并且有些参数还有一定的几何意义（例如圆、椭圆、直线的参数方程），适当利用这些几何意义可以简化运算，使运算更简洁．名师解惑1．研究曲线的参数方程具有什么实际意义？剖析：在日常生活和工农业生产中，常涉及到曲线的参数方程，如物理学中物体的平抛运动规律，要知道所抛出的物体在下落的过程中各时刻所处的位置，显然与抛出的时间有着密切的关系；再如发射出去的炮弹，我们常常想知道所发出去的炮弹所在的位置，同样与发射出去的时间有着紧密的联系，显然像以上两种情形自然会去考虑以时间作为参数建立相应的方程，以便准确地把握所想掌握的信息．此时用参数方程来描述运动规律，常常比用普通方程更为直接简便．有些重要但较复杂的曲线，建立它们的普通方程比较困难，甚至不可能，列出的方程既复杂又不易理解．由此可见，曲线的参数方程是从实际生活中抽象出来的，并非人们的凭空想象，人们通过对曲线参数方程的研究，从而更好地利用它来为人类造福，指导工农业生产．2．曲线的参数方程具有什么特点？剖析：曲线的普通方程直接地反映了一条曲线上的点的横、纵坐标之间的联系，而参数方程是通过参数反映坐标变量x 、y 间的间接联系．在具体问题中的参数可能有相应的几何意义，也可能没有什么明显的几何意义．曲线的参数方程常常是方程组的形式，任意给定一个参数的允许取值就可得到曲线上的一个对应点.反过来,对于曲线上任一点也必然对应着其中的参数的相应的允许取值．在具体问题中，如果要求相应曲线的参数方程，首先就要注意参数的选取．一般来说，选择参数时应注意考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标（x ，y ）都能由参数取某一值唯一地确定出来；二是参数与x 、y 的相互关系比较明显，容易列出方程．参数的选取应根据具体条件来考虑．可以是时间，也可以是线段的长度、方位角、旋转角，动直线的斜率、倾斜角、截距，动点的坐标等．有时为了便于列出方程，也可以选两个以上的参数，再设法消去其中的参数得到普通方程，或剩下一个参数得到参数方程．但这样做往往增加了变形与计算的麻烦，所以参数个数一般应尽量少．讲练互动【例题1】设飞机以匀速v ＝150 m/s 作水平飞行，若在飞行高度h ＝588 m 处投弹（假设炸弹的初速度等于飞机的速度），（1）求炸弹离开飞机后的轨迹方程；（2）试问飞机在离目标多远（水平距离）处投弹才能命中目标？思路分析：这是物理学中的平抛运动，选择合理的参变量将炸弹（看作质点）的水平方向和竖直方向的运动表示出来．解：(1)如图所示，A 为投弹点，坐标为（0，588），B 为目标，坐标为（x 0，0）．记炸弹飞行的时间为t ，在A 点t ＝０．设M(x,y)为飞行曲线上的任一点，它对应时刻t ，炸弹初速度v 0＝150 m/s ，用物理学知识，分别计算水平、竖直方向的路程，得⎪⎩⎪⎨⎧=-==),/8.9(21588,220s m g gt y t x υ即⎩⎨⎧-=.9.4588,1502t t x 这是炸弹飞行曲线的参数方程． （２）炸弹飞行到地面目标B 处的时间t 0满足方程y ＝０，即588－4.9t 2＝０，解得t 0＝302．由此得x 0=150×302=30300≈1 643（m ）,即飞机在离目标1 643 m （水平距离）处投弹才能击中目标．绿色通道准确把握题意，分析物理学中运动过程，选择适当的坐标系及变量，将物理问题转化为数学问题解决．变式训练1.已知弹道曲线的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==2216sin 2,6cos 2gt t y t x ππ(g=9.8m/s 2).(1)求炮弹从发射到落地所需的时间;(2)求炮弹在运动中达到的最大高度.解：（１）令y=2tsin 6π-21gt 2=0，即4.9t 2-t=0．解得t ＝０或t≈0.2． 所以炮弹从发射到落地所需时间约为0.2秒． （２）由y=t-4.9t 2,得y=-4.9(t 2-4910t)=-4.9(t-495)2+49025. 所以当t=495时，y 取最大值49025≈0.05． 所以炮弹在运动中达到的最大高度为0.05米．2．曲线⎩⎨⎧-=+=34,12t y t x 与x 轴交点的坐标是（ ） A.(1,4) B.(1625,0) C.(1,-3) D.(±1625,0) 解析：令y ＝0，即4t-3＝0，解得t=43.于是x=1+(43)2=1625．所以曲线⎩⎨⎧-=+=34,12t y t x 与x 轴交于点（1625，０）． 答案：Ｂ【例题2】 设质点沿以原点为圆心，半径为2的圆作匀速圆周运动，角速度为2π rad/s ，试以时间t 为参数，建立质点运动轨迹的参数方程．思路分析：求动点的轨迹方程实际上就是寻求动点的横、纵坐标之间的关系，其参数方程就是通过一个参变量把动点的横、纵坐标分别表示出来．解：如图所示，设运动开始时质点位于A 点处，时刻为t ＝0．设动点M(x,y)对应时刻t ，由图可知⎩⎨⎧==.sin 2,cos 2θθy x 又θ=2πt ，从而质点运动轨迹的参数方程为⎩⎨⎧==)2sin(2),2cos(2t y t x ππ（t为参数，t≥0）．绿色通道当所求曲线上的点在已知曲线上时，常用代入法求曲线的方程．变式训练3.与方程xy=1表示相同曲线的参数方程（设t 为参数）是（ ） A.⎪⎩⎪⎨⎧==221t y t x B.⎪⎩⎪⎨⎧==t y t x sin 1sin C.⎪⎩⎪⎨⎧==t y t x cos 1cos D.⎪⎩⎪⎨⎧==t y t x tan 1tan 解析：四个选项都满足xy=1，但注意到在方程xy=1中，x 的取值范围是{x|x∈R ,且x≠0}，而A 中x≥0，B 、C 中x∈［－1，1］，只有D 选项中的x 符合x∈R ,且x≠0．答案：D【例题3】 已知椭圆的参数方程为⎩⎨⎧==,sin 4,cos 2t y t x 点M 在椭圆上，对应参数t=3π，点O 为原点，求直线OM 的斜率．思路分析：要求直线OM 的斜率，就是要先求出点M 的坐标，然后代入斜率公式中求解．解：点M 的坐标为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====,323sin 4,13cos 2ππy x 所以直线OM 的斜率32132==k ． 黑色陷阱不少同学常常忽视或混淆参数的几何意义，错误地认为M 对应的参数t=3π就是直线OM 的倾斜角．变式训练4．椭圆的参数方程为⎩⎨⎧-=+=,sin 2,cos 31t y t x 点P 为椭圆上对应t=6π的点，求直线OP 的斜率． 解：由椭圆的参数方程⎩⎨⎧-=+=,sin 2,cos 31t y t x 得对应t=6π时点P 的坐标为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=,6sin 2,6cos 31ππy x 即⎪⎩⎪⎨⎧-=+=,1,2233y x 也就是P (2233+,-1).所以直线OP 的斜率为k=2332+-．。
高考数学一轮复习 第2节 参数方程教学案 理(含解析)新人教A版选修4-4-新人教A版高三选修4-4
第二节 参数方程[考纲传真] 1.了解参数方程，了解参数的意义.2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆曲线的参数方程．1．曲线的参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f t ，y ＝g t并且对于t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．2．常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹 普通方程参数方程直线y －y 0＝tan α(x －x 0)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)圆 x 2＋y 2＝r 2⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)[常用结论]根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论：过定点M 0的直线与圆锥曲线相交，交点为M 1，M 2，所对应的参数分别为t 1，t 2. (1)弦长l ＝|t 1－t 2|； (2)弦M 1M 2的中点⇒t 1＋t 2＝0； (3)|M 0M 1||M 0M 2|＝|t 1t 2|.[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ft ，y ＝gt中的x ，y 都是参数t 的函数．( )(2)过M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．参数t 的几何意义表示：直线l 上以定点M 0为起点，任一点M (x ，y )为终点的有向线段M 0M →的数量．( )(3)方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋2sin θ表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆．( )(4)已知椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝4sin t (t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O为原点，则直线OM 的斜率为 3.( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)× 2．(教材改编)曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )A ．在直线y ＝2x 上B ．在直线y ＝－2x 上C ．在直线y ＝x －1上D ．在直线y ＝x ＋1上B [由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x ＋1，sin θ＝y －2，所以(x ＋1)2＋(y －2)2＝1.曲线是以(－1,2)为圆心，1为半径的圆， 所以对称中心为(－1,2)，在直线y ＝－2x 上．] 3．直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝2－3t(t 为参数)，则直线l 的斜率为________．－3 [将直线l 的参数方程化为普通方程为y －2＝－3(x －1)，因此直线l 的斜率为－3.]4．曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ＋1(θ为参数)，则曲线C 的普通方程为________．y ＝2－2x 2(－1≤x ≤1) [由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ＋1(θ为参数)消去参数θ，得y ＝2－2x 2(－1≤x ≤1)．]5．(教材改编)在平面直角坐标系xOy中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则a ＝________.3 [直线l 的普通方程为x －y －a ＝0，椭圆C 的普通方程为x 29＋y 24＝1，∴椭圆C 的右顶点坐标为(3,0)，若直线l 过(3,0)，则3－a ＝0，∴a ＝3.]参数方程与普通方程的互化(题组呈现)1．将下列参数方程化为普通方程．(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1t，y ＝1tt 2－1(t 为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝－1＋cos 2θ(θ为参数)．[解] (1)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2＋⎝⎛⎭⎪⎫1tt 2－12＝1，∴x 2＋y 2＝1.∵t 2－1≥0，∴t ≥1或t ≤－1. 又x ＝1t，∴x ≠0.当t ≥1时，0＜x ≤1；当t ≤－1时，－1≤x ＜0，∴所求普通方程为x 2＋y 2＝1，其中⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ≤1，0≤y ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＜0，－1＜y ≤0.(2)∵y ＝－1＋cos 2θ＝－1＋1－2sin 2θ＝－2sin 2θ，sin 2θ＝x －2， ∴y ＝－2x ＋4，∴2x ＋y －4＝0. ∵0≤sin 2θ≤1，∴0≤x －2≤1，∴2≤x ≤3，∴所求的普通方程为2x ＋y －4＝0(2≤x ≤3)．2.如图所示，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程． [解] 圆的半径为12，记圆心为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0， 连接CP ， 则∠PCx ＝2θ，故x P ＝12＋12cos 2θ＝cos 2θ，y P ＝12sin 2θ＝sin θcos θ(θ为参数)．所以圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)．[规律方法] 消去参数的方法1利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数. 2利用三角恒等式消去参数.3根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数. 易错警示：将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解.参数方程的应用(例题对讲)【例1】 (2019·石家庄质检)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 经过点P (1,2)，倾斜角α＝π6.(1)写出圆C 的普通方程和直线l 的参数方程；(2)设直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |的值．[解] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ，消去θ，得圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. 又直线l 过点P (1,2)且倾斜角α＝π6，所以l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos π6，y ＝2＋t sin π6，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝2＋12t (t 为参数)．(2)把直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝2＋12t代入x 2＋y 2＝16，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32t 2＋⎝⎛⎭⎪⎫2＋12t 2＝16，t 2＋(3＋2)t －11＝0，所以t 1t 2＝－11，由参数方程的几何意义，|PA |·|PB |＝ |t 1t 2|＝11.[规律方法] 1.解决直线与圆的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与圆的位置关系来解决.2.对于形如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt t 为参数，当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题.已知△ABC 中，C ＝45°，边AB ，BC 的垂直平分线的交点为O ，且△ABC 外接圆的半径是1.(1)建立适当的坐标系，求△ABC 外接圆的参数方程； (2)若存在实数p ，q 使OC →＝pOA →＋qOB →，求p ＋q 的取值范围．[解] (1)因为线段AB ，BC 的垂直平分线的交点为O ，则O 为△ABC 的外心，且点C 在优弧AB 上，建立如图所示的平面直角坐标系．则易得△ABC 外接圆的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．(2)由(1)知点C 的坐标可以表示为(cos θ，sin θ)⎝⎛⎭⎪⎫θ∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，2π.由A (0,1)，B (1,0)，C (cos θ，sin θ)及OC →＝pOA →＋qOB →，得p ＝sin θ，q ＝cos θ. 于是p ＋q ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4， 又θ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，9π4，所以p ＋q ∈[－2，1)．故p ＋q 的取值范围是[－2，1)．极坐标、参数方程的综合应用(例题对讲)【例2】 在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25.(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； (2)直线l的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率．[解] (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.(2)法一：由直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，消去参数得y ＝x ·tan α.设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为kx －y ＝0.由圆C 的方程(x ＋6)2＋y 2＝25知，圆心坐标为(－6,0)，半径为5.又|AB |＝10，由垂径定理及点到直线的距离公式得|－6k |1＋k2＝25－⎝ ⎛⎭⎪⎫1022，即36k 21＋k 2＝904， 整理得k 2＝53，解得k ＝±153，即l 的斜率为±153.法二：在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcosα＋11＝0，于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. |AB |＝|ρ1－ρ2|＝ρ1＋ρ22－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44.由|AB |＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153.所以l 的斜率为153或－153. [规律方法] 处理极坐标、参数方程综合问题的方法1涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程.2数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的.(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝kt (t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋m ，y ＝mk(m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C .(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．[解] (1)消去参数t 得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)； 消去参数m 得l 2的普通方程l 2：y ＝1k(x ＋2)．设P (x ，y )，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －2，y ＝1kx ＋2，消去k 得x 2－y 2＝4(y ≠0)，所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0)．(2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4(0<θ<2π，θ≠π)， 联立⎩⎨⎧ρ2cos 2θ－sin 2θ＝4，ρcos θ＋sin θ－2＝0得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．故tan θ＝－13，从而cos 2θ＝910，sin 2θ＝110.代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4得ρ2＝5， 所以交点M 的极径为 5.1．(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)．(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率． [解] (1)曲线C 的直角坐标方程为x 24＋y 216＝1.当cos α≠0时，l 的直角坐标方程为y ＝tan α·x ＋2－tan α，当cos α＝0时，l 的直角坐标方程为x ＝1.(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程(1＋3cos 2α)t 2＋4(2cos α＋sin α)t －8＝0.①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内，所以①有两个解，设为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝0.又由①得t 1＋t 2＝－42cos α＋sin α1＋3cos 2α，故2cos α＋sin α＝0，于是直线l 的斜率k ＝tan α＝－2.2．(2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy中，⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点． (1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程． [解] (1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1.当α＝π2时，l 与⊙O 交于两点．当α≠π2时，记tan α＝k ，则l 的方程为y ＝kx － 2.l 与⊙O 交于两点当且仅当⎪⎪⎪⎪⎪⎪21＋k 2＜1，解得k ＜－1或k ＞1，即α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2或α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4.综上，α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4.(2)l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α(t 为参数，π4＜α＜3π4)．设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ，则t P ＝t A ＋t B2，且t A ，t B 满足t 2－22t sin α＋1＝0.于是t A ＋t B ＝22sin α，t P ＝2sin α.又点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎨⎧x ＝t P cos α，y ＝－2＋t P sin α，所以点P 的轨迹的参数方程是 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22sin 2α，y ＝－22－22cos 2α⎝⎛⎭⎪⎫α为参数，π4＜α＜3π4.。
高考数学(理)一轮复习课后检测：选修《参数方程》
选修4－4－2 参数方程一、填空题 1．曲线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1－1t y ＝1－t 2(t 是参数，t ≠0)，它的普通方程是__________． 答案：y ＝x (x －2)(x －1)22．已知点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 2，y ＝4t (t 为参数)上，则|PF |＝__________. 解析：将抛物线的参数方程化为普通方程为y 2＝4x ，则焦点F (1,0)，准线方程为x ＝－1，又P (3，m )在抛物线上，由抛物线的定义知|PF |＝3－(－1)＝4.答案：43．已知圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋cos αy ＝1＋sin α(α为参数)，当圆心到直线kx ＋y ＋4＝0的距离最大时，k 的值为__________．答案：－154．已知O 为原点，参数方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3cos θy ＝3sin θ(θ为参数)上的任意一点为A ，则|OA →|＝__________. 答案：35．若直线l ：y ＝kx 与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋cos θy ＝sin θ(θ为参数)有唯一的公共点，则实数k ＝__________.答案：±336．如果曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋2cos θy ＝a ＋2sin θ(θ为参数)上有且仅有两个点到原点的距离为2，则实数a 的取值范围是__________．答案：(－22，0)∪(0,22)7．在极坐标系中，直线l 1的极坐标方程为ρ(2cos θ＋sin θ)＝2，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t y ＝2＋kt (t 为参数)，若直线l 1与直线l 2垂直，则k ＝__________. 答案：－18．求直线⎩⎨⎧ x ＝1＋45t y ＝－1－35t (t 为参数)被曲线ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4所截的弦长为__________． 答案：75 9．已知点P (x ，y )在曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋cos θy ＝sin θ(θ为参数，θ∈[π，2π])上，则y x 的取值范围是__________．答案： ⎣⎡⎦⎤0，33 三、解答题10．(2013·辽宁卷)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2 2. (1)求C 1与C 2交点的极坐标；(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t 3＋a ，y ＝b 2t 3＋1(t ∈R 为参数)，求a ，b 的值． 解析：(1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4.直线C 2的直角坐标方程x ＋y －4＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋(y －2)2＝4，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝2.∴C 1与C 2交点的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π2，⎝⎛⎭⎫22，π4. 注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)由(1)可得P 点与Q 点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)，故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0，由参数方程可得y ＝b 2x －ab 2＋1. ∴⎩⎨⎧b 2＝1，－ab 2＋1＝2，解得a ＝－1，b ＝2. 11．在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4.(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程．解析：(1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2，圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.解⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2，ρ＝4cos θ得ρ＝2，θ＝±π3， 故圆C 1与圆C 2交点的坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，⎝⎛⎭⎫2，－π3. (2)解法一：由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为(1，3)，(1，－3)． 故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝t ，－3≤t ≤ 3. ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫或参数方程写成⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝y ，－3≤y ≤3 解法二：将x ＝1代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 得ρcos θ＝1，从而ρ＝1cos θ. 于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝tan θ，－π3≤θ≤π3. 12．已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φy ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2.正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 以逆时针次序排列，点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3. (1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(2)设P 为C 1上任意一点，求|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2的取值范围．解析：(1)由已知可得A ⎝⎛⎭⎫2cos π3，2sin π3， B ⎝⎛⎭⎫2cos ⎝⎛⎭⎫π3＋π2，2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋π2， C ⎝⎛⎭⎫2cos ⎝⎛⎭⎫π3＋π，2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋π， D ⎝⎛⎭⎫2cos ⎝⎛⎭⎫π3＋3π2，2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋3π2， 即A (1，3)，B (－3，1)，C (－1，－3)，D (3，－1)．(2)设P (2cos φ，3sin φ)，令S ＝|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2，则S ＝16cos 2φ＋36sin 2φ＋16＝32＋20sin 2φ.因为0≤sin 2φ≤1，所以S 的取值范围是[32,52]．。
【学科精品】高考数学一轮复习参数方程学案.doc
x＝ f（t）， y＝ g（t）
就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使
x， y的取值范围保持一致
．
2． 直线、圆和圆锥曲线的参数方程 名称
普通方程
参数方程
直线 圆
椭圆 抛物线
y－ y0＝ k(x－ x0)
(x－ x0)2＋ (y－ y0)2 ＝ R2
x2 a2
＋
yb22＝
1(a>b>0)
在平面直角坐标系 xOy中，若直线 l ：
(φ为参数 )的右顶点，求常数 a的值． 解： 直线 l 的普通方程为 x－ y－ a＝ 0，
x＝t， y＝t－a (t为参数 )过椭圆 C：
x＝3cos φ， y＝2sin φ
椭圆 C 的普通方程为 x2＋ y2＝1， 94
所以椭圆 C 的右顶点坐标为 (3， 0)，若直线 l 过点 (3， 0)，
y2＝ 2px(p>0)
x＝ x0＋tcos α y＝ y0＋tsin α
(t为参数 ) x＝x0＋ Rcos θ y＝y0＋ Rsin θ
(θ为参数且 0≤ θ<2π) x＝acos t y＝bsin t
(t为参数且 0≤ t<2π) x＝2pt2 y＝2pt (t为参数 )
[ 提醒 ] (1) 参数方程化普通方程常用的消参技巧： 代入消元、 加减消元、 平方后加减消元等，
经常用到公式：
cos2θ
＋
sin2θ
＝
1，
1＋
tan2 θ＝
1 cos2
θ.
(2) 利用曲线的参数方程来求解两曲线间的最值问题，常转化三角函数最值问题．
(3) 将参数方程化为普通方程， 在消参数的过程中， 要注意 x，y 的取值范围， 保持等价转化．
2020届高考数学一轮复习人教B版参数方程的意义作业Word版含答案
2020届一轮复习人教B 版 参数方程的意义 作业1．下列方程可以作为x 轴的参数方程的是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2＋1y ＝0B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝3t ＋1C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋sin θy ＝0D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t ＋1y ＝0解析：选D x 轴上的点横坐标可取任意实数，纵坐标为0.2．当参数θ变化时，由点P (2cos θ，3sin θ)所确定的曲线过点( ) A ．(2,3)B ．(1,5) C.⎝⎛⎭⎪⎫0，π2D ．(2,0)解析：选D 当2cos θ＝2，即cos θ＝1时，3sin θ＝0，所以过点(2,0)． 3．在方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ(θ为参数)所表示的曲线上的一点的坐标为( )A ．(2，－7)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12 D ．(1,0)解析：选 C 将点的坐标代入参数方程，若能求出θ，则点在曲线上，经检验，知C满足条件．4．由方程x 2＋y 2－4tx －2ty ＋3t 2－4＝0(t 为参数)所表示的一族圆的圆心的轨迹方程为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2t y ＝tB.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2t y ＝tC.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t y ＝－tD.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2ty ＝－t解析：选A 设(x ，y )为所求轨迹上任一点．由x 2＋y 2－4tx －2ty ＋3t 2－4＝0，得(x －2t )2＋(y －t )2＝4＋2t 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝t .5．如图4-4-2，OB 是机器上的曲柄，长是r ，绕点O 转动，AB 是连杆，M 是AB 上一点，MA ＝a ，MB ＝b (2r ＜a ＋b )．当点A 在Ox 上做往返运动，点B 绕着O 做圆周运动时，求点M 的轨迹方程．图4-4-2【解】 如题图，设点M (x ，y )，θ＝∠BAO ，由点B 作BC ⊥Ox ，交Ox 于点C ，由点M 作MD ⊥Ox ，交Ox 于点D ，由点M 作ME ⊥BC ，交BC 于点E ，那么y ＝DM ＝a sin θ，x ＝OD ＝OC ＋CD ＝OC ＋EM ＝±OB 2－CB 2＋EM＝±r 2－(a ＋b )2sin 2θ＋b cos θ， 得到点M (x ，y )的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b cos θ±r 2－(a ＋b )2sin 2θ，y ＝a sin θ，即为点M 的轨迹方程．6．动点M 作匀速直线运动，它在x 轴和y 轴方向上的分速度分别为9 m/s 和12 m/s ，运动开始时，点M 位于A (1,1)，求点M 的轨迹方程．【解】 设t s 后点M 的坐标为(x ，y )， 则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋9t ，y ＝1＋12t .所以点M 的轨迹方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋9t ，y ＝1＋12t(t ≥0)． 7．以椭圆x 24＋y 2＝1的长轴的左端点A 与椭圆上任意一点连线的斜率k 为参数，将椭圆方程化为参数方程．【导学号：98990028】【解】 椭圆x 24＋y 2＝1的长轴的左端点A 的坐标为(－2,0)． 设P (x ，y )为椭圆上任意一点(除点A )，则点P 的坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧y x ＋2＝k ，x 24＋y 2＝1.将yx ＋2＝k 代入x 24＋y 2＝1，消去x ， 得(1k 2＋4)y 2－4k y ＝0. 解得y ＝0，或y ＝4k 1＋4k 2.由y ＝4k1＋4k 2，解得x ＝2(1－4k 2)1＋4k 2；由y ＝0，解得x ＝2.由于(2,0)满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2(1－4k 2)1＋4k2，y ＝4k1＋4k2，所以椭圆x 24＋y 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2(1－4k 2)1＋4k2，y ＝4k 1＋4k 2.8．△ABC 是圆x 2＋y 2＝1的内接三角形，已知A (1,0)，∠BAC ＝60°，求△ABC 的重心的轨迹方程．【解】 因为∠BAC ＝60°，所以∠BOC ＝120°. 设B (cos θ，sin θ)(0°＜θ＜240°)，则有C (cos(θ＋120°)，sin(θ＋120°))．设重心坐标为(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝1＋cos θ＋cos (θ＋120°)3，y ＝sin θ＋sin (θ＋120°)3.所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12cos θ－32sin θ3y ＝12sin θ＋32cos θ3，即⎩⎨⎧x ＝1＋cos (θ＋60°)3，y ＝sin (θ＋60°)3.消去θ＋60°，得(3x －1)2＋9y 2＝1，∵0°＜θ＜240°， ∴－1≤cos(θ＋60°)＜12， ∴0≤1＋cos (θ＋60°)3＜12，即0≤x ＜12.∴△ABC 的重心的轨迹方程为(x －13)2＋y 2＝19(0≤x <12)．9．如图4-4-3，过抛物线y 2＝4x 上任一点M 作MQ 垂直于准线l ，垂足为Q ，连接OM 和QF (F 为焦点)相交于点P ，当M 在抛物线上运动时，求点P 的轨迹方程．图4-4-3【解】 设直线OM 的方程为y ＝kx (k ≠0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ，y 2＝4x 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4k 2，y ＝4k ，所以M (4k 2，4k )，则Q (－1，4k )，于是直线QF 的方程为 y ＝4k－1－1(x －1)，即y ＝－2k (x －1)． 由⎩⎨⎧y ＝kx ，y ＝－2k (x －1)，消去k ，得2x 2＋y 2－2x ＝0.所以点P 的轨迹方程为2x 2＋y 2－2x ＝0(y ≠0)．10．如图4-4-4所示，OA 是圆C 的直径，且OA ＝2a ，射线OB 与圆交于Q 点，和经过A 点的切线交于B 点，作PQ ⊥OA ，PB ∥OA ，试求点P 的轨迹方程．图4-4-4【解】 设P (x ，y )是轨迹上任意一点，取∠DOQ ＝θ，由PQ ⊥OA ，PB ∥OA ，得x ＝OD ＝OQ cos θ＝OA cos 2θ＝2a cos 2θ， y ＝AB ＝OA tan θ＝2a tan θ. 所以P 点轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a cos 2θ，y ＝2a tan θ，θ∈(－π2，π2)． 11．已知点P (x ，y )是曲线C ：⎩⎨⎧x ＝3＋cos θ，y ＝2＋3sin θ上的任意一点，求3x ＋y 的取值范围．【解】 设P (3＋cos θ，2＋3sin θ)， 则3x ＋y ＝3(3＋cos θ)＋(2＋3sin θ) ＝11＋3cos θ＋3sin θ＝11＋23sin(θ＋π3)，∴3x ＋y 的最大值为11＋23，最小值为11－23，取值范围是[11－23，11＋23]．[能力提升]12．如图4-4-5，已知曲线4x 2＋9y 2＝36(x ＞0，y ＞0)，点A 在曲线上移动，点C (6,4)，以AC 为对角线作矩形ABCD ，使AB ∥x 轴，AD ∥y 轴，求矩形ABCD 的面积最小时点A 的坐标．图4-4-5【解】 ∵椭圆方程为x 29＋y 24＝1(x ＞0，y ＞0)， 设A (3cos θ，2sin θ)，θ∈(0，π2)， 则B (6,2sin θ)，C (6,4)，D (3cos θ，4)， 所以S ABCD ＝AB ·AD ＝(6－3cos θ)(4－2sin θ) ＝24－12(sin θ＋cos θ)＋6sin θcos θ.令t ＝sin θ＋cos θ，则t ∈(1，2]，sin θcos θ＝t 2－12， 则S ABCD ＝3(t －2)2＋9.因为t ∈(1，2]，所以当t ＝2时，矩形面积最小，即t ＝sin θ＋cos θ＝2sin(θ＋π4)＝2， 此时，θ＝π4.所以矩形ABCD 的面积最小时点A 坐标是(322，2)．。
高考数学一轮复习学案 第67讲 参数方程（原卷版）
第67讲 参数方程（原卷版）考点 内容解读要求 常考题型 1.参数方程的判定参数方程与普通方程的互化与等价性判定Ⅰ选择题，填空题，大题 2.参数方程的意义 参数方程所表示的曲线的性质. Ⅱ选择题，填空题，大题一、参数方程的概念(1)定义：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t的函数：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ）y ＝g （t ）①，并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点M(x ，y)都在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的 ，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做 ． (2)参数的意义：参数是联系变数x ，y 的桥梁，可以是有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数． 2．参数方程与普通方程的区别与联系(1)区别：普通方程F(x ，y)＝0，直接给出了曲线上点的坐标x ，y 之间的关系，它含有x ，y 两个变量；参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ）y ＝g （t ）(t 为参数)间接给出了曲线上点的坐标x ，y 之间的关系，它含有三个变量t ，x ，y ，其中x 和y 都是参数t 的函数．(2)联系：普通方程中自变量有一个，而且给定其中任意一个变量的值，可以确定另一个变量的值；参数方程中自变量也只有一个，而且给定参数t 的一个值，就可以求出唯一对应的x ，y 的值．这两种方程之间可以进行互化，通过消去参数可以把参数方程化为普通方程，而通过引入参数，也可把普通方程化为参数方程． 2．圆的参数方程1．圆心在坐标原点，半径为r 的圆的参数方程 如图圆O 与x 轴正半轴交点M0(r ，0)．(1)设M(x ，y)为圆O 上任一点，以OM 为终边的角设为θ，则以θ为参数的圆O 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rcos θy ＝rsin θ(θ为参数)．其中参数θ的几何意义是OM0绕O 点逆时针旋转到OM 的位置时转过的角度．(2)设动点M 在圆上从M0点开始逆时针旋转作匀速圆周运动，角速度为ω，则OM0经过时间t 转过的角θ＝ωt ，则以t 为参数的圆O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rcos ωt y ＝rsin ωt (t 为参数)．其中参数t 的物理意义是 ． 2．圆心为C(a ，b)，半径为r 的圆的参数方程圆心为(a ，b)，半径为r 的圆的参数方程可以看成将圆心在原点，半径为r 的圆通过坐标平移得到，所以其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋rcos θ，y ＝b ＋rsin θ(θ为参数)．3．参数方程和普通方程的互化 曲线的参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是在同一平面直角坐标系中表示曲线的方程的两种不同形式，两种方程是等价的可以互相转化．(2)将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型．参数方程通过消去参数就可得到普通方程．(3)普通方程化参数方程，首先确定变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f(t)，其次将x ＝f(t)代入普通方程解出y ＝g(t)，则 就是曲线的参数方程． (4)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．二、圆锥曲线的参数方程 1．椭圆的参数方程(1)中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的参数方程是 ，规定参数φ的取值范围是[0，2π)．(2)中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)的参数方程是 ，规定参数φ的取值范围是[0，2π)．(3)中心在(h ，k)的椭圆普通方程为（x －h ）2a2＋（y －k ）2b2＝1，则其参数方程为 ．2．双曲线的参数方程和抛物线的参数方程 1．双曲线的参数方程(1)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线x2a2－y2b2＝1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝asec φy ＝btan φ(φ为参数)，规定参数φ的取值范围为φ∈[0，2π)且φ≠π2，φ≠3π2．(2)中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线y2a2－x2b2＝1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝btan φy ＝asec φ(φ为参数)．2．抛物线的参数方程(1)抛物线y2＝2px 的参数方程为 ．(2)参数t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数． 三、直线的参数方程 1．直线的参数方程经过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为 ． 2．直线的参数方程中参数t 的几何意义(1)参数t 的绝对值表示参数t 所对应的点M 到定点M0的距离．(2)当M0M →与e(直线的单位方向向量)同向时，t 取正数．当M0M →与e 反向时，t 取负数，当M 与M0重合时，t ＝0． 3．直线参数方程的其他形式对于同一条直线的普通方程，选取的参数不同，会得到不同的参数方程．我们把过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线，选取参数t ＝M0M 得到的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x0＋tcos αy ＝y0＋tsin α(t 为参数)称为直线参数方程的标准形式，此时的参数t 有明确的几何意义．一般地，过点M0(x0，y0)，斜率k ＝ba (a ，b 为常数)的直线，参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x0＋at y ＝y0＋bt (t 为参数)，称为直线参数方程的一般形式，此时的参数t 不具有标准式中参数的几何意义． 四、渐开线与摆线1．渐开线的概念及参数方程 (1)渐开线的产生过程及定义把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展开，铅笔画出的曲线叫做 ，相应的定圆叫做 ． (2)圆的渐开线的参数方程以基圆圆心O 为原点，直线OA 为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设基圆的半径为r ，绳子外端M 的坐标为(x ，y)，则有 ．这就是圆的渐开线的参数方程．2．摆线的概念及参数方程 (1)摆线的产生过程及定义平面内，一个动圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个固定点所经过的轨迹，叫做平摆线，简称 ，又叫旋轮线．(2)半径为r 的圆所产生摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r （φ－sin φ），y ＝r （1－cos φ）(φ是参数)．五、曲线的普通方程与曲线的参数方程的区别与联系 曲线的普通方程＝0是相对参数方程而言，它反映了坐标变量与y 之间的直接联系；而参数方程t 是通过参数t 反映坐标变量与y 之间的间接联系.曲线的普通方程中有两个变数，变数的个数比方程的个数多1；曲线的参数方程中，有三个变数两个方程，变数的个数比方程的个数多1个.从这个意义上讲，曲线的普通方程和参数方程是“一致”的. 这时普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同表达形式.考点一、参数方程化普通方程例1：化参数方程（t≥0,t为参数）为普通方程，说明方程的曲线是什么图形. 【答案】由(2)解出t，得t=y－1，代入(1)中，得(y≥1)即(y≥1)方程的曲线是顶点为(0,1),对称轴平行于x轴，开口向左的抛物线的一部分.【解析】先由一个方程解出t，再代入另一个方程消去参数t,得到普通方程，这种方法是代入消参法.例2：当t R时，参数方程（t为参数），表示的图形是（）A 双曲线B 椭圆C 抛物线D 圆【答案】解法1：原方程可化为(1)÷(2)得：代入(2) 得(y≠-1) 答案选B解法2：令tg=Z) 则消去，得(y≠-1)【解析】解法1使用了代数消元法，解法2观察方程（1）、（2）的“外形”很像三角函数中的万能公式，使用了三角消参法.当x和y是t的有理整函数时，多用代入或加减消元法消去参数；当x和y是t的有理分式函数时，也可以用代入消参法，但往往需要做些技巧性的处理.至于三角消参法，只在比较巧合的情况下使用.类题通法将参数方程化普通方程方法：（基本思想是消参）(1)代入消参法；(2)代数变换法（＋，－，×，÷，乘方）(3)三角消参法注意：参数取值范围对取值范围的限制.(参数方程与普通方程的等价性）变式训练1. 将下列方程化为普通方程：(1)（为参数）(2) （t为参数）考点二、普通方程化参数方程例3：设，为参数，化方程为参数方程。
2020届一轮复习江苏版12.2.2参数方程学案
第2课时 参数方程考情考向分析 了解参数的意义，重点考查直线参数方程及圆、椭圆的参数方程与普通方程的互化，往往与极坐标结合考查．在高考选做题中以解答题的形式考查，属于低档题．1．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )就是曲线的参数方程．2．常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹 普通方程参数方程直线y －y 0＝tan α(x －x 0) ⎝⎛⎭⎫α≠π2 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数) 圆x 2＋y 2＝r 2 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数) 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0) ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数) 抛物线y 2＝2px (p >0)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )中的x ，y 都是参数t 的函数．( √ )(2)过M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α⎝⎛⎭⎫α≠π2的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．参数t 的几何意义表示：直线l 上以定点M 0为起点，任一点M (x ，y )为终点的有向线段M 0M 的数量．( √ )(3)方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋2sin θ(θ为参数)表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆．( √ )(4)已知椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝4sin t(t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O 为原点，则直线OM 的斜率为 3.( × ) 题组二 教材改编2．[P56习题T2(2)]曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心为________．答案 (－1,2)解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x ＋1，sin θ＝y －2.所以曲线对应的直角坐标方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝1.曲线是以(－1,2)为圆心，1为半径的圆，所以对称中心为(－1,2)．3．[P57习题T6]已知直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1－2t ，y ＝2＋kt (t 为参数)与直线l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝s ，y ＝1－2s (s 为参数)垂直，求k 的值．解 直线l 1的方程为y ＝－k 2x ＋4＋k 2，斜率为－k2；直线l 2的方程为y ＝－2x ＋1，斜率为－2.∵l 1与l 2垂直，∴⎝⎛⎭⎫－k2×(－2)＝－1，解得k ＝－1. 题组三 易错自纠4．直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝2－3t (t 为参数)，求直线l 的斜率．解 将直线l 的参数方程化为普通方程为 y －2＝－3(x －1)，因此直线l 的斜率为－3.5．设P (x ，y )是曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，θ∈[0,2π))上任意一点，求yx 的取值范围．解 由曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，得(x ＋2)2＋y 2＝1，表示圆心为(－2,0)，半径为1的圆．y x 表示的是圆上的点和原点连线的斜率，设yx ＝k ，则原问题转化为y ＝kx 和圆有交点的问题，即圆心到直线的距离d ≤r ，所以|－2k |1＋k 2≤1，解得－33≤k ≤33， 所以y x 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－33，33.6．已知直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝3，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，设P 点是曲线C 上的任意一点，求P 到直线l 的距离的最大值． 解 由ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝3，可得ρ⎝⎛⎭⎫12sin θ－32cos θ＝3， ∴y －3x ＝6，即3x －y ＋6＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，得x 2＋y 2＝4，圆的半径为r ＝2， ∴圆心到直线l 的距离d ＝62＝3.∴P 到直线l 的距离的最大值为d ＋r ＝5.题型一 参数方程与普通方程的互化1．(2018·江苏省南京师大附中等四校联考)已知曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)和直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2t ＋2，y ＝3t(t 为参数)相交于A ，B 两点，求A ，B 两点的距离． 解 曲线C 的普通方程为x 24＋y 23＝1，直线l 的普通方程为y ＝－32x ＋3，由⎩⎨⎧x 24＋y 23＝1，y ＝－32x ＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝32.设A (2,0)，B ⎝⎛⎭⎫1，32， ∴AB ＝1＋⎝⎛⎭⎫322＝132. 即A ，B 两点的距离为132. 2．已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求P A 的最大值与最小值．解 (1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为 d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|， 则P A ＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，P A 取得最大值，最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，P A 取得最小值，最小值为255.思维升华 消去参数的方法一般有三种(1)利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数． (2)利用三角恒等式消去参数．(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数．将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x 和y 取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f (t )和g (t )的值域，即x 和y 的取值范围．题型二 参数方程的应用例1 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ (θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t (t 为参数)．(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到l 的距离的最大值为17，求a . 解 (1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝－2125，y ＝2425，从而C 与l 的交点坐标是(3,0)，⎝⎛⎭⎫－2125，2425. (2)直线l 的普通方程是x ＋4y －4－a ＝0，故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 的距离为d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17.当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917. 由题设得a ＋917＝17，所以a ＝8；当a <－4时，d 的最大值为－a ＋117.由题设得－a ＋117＝17，所以a ＝－16.综上，a ＝8或a ＝－16.思维升华 (1)解决直线与椭圆的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与椭圆的位置关系来解决．(2)对于形如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数)，当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题．跟踪训练1 已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，直线l ：⎩⎨⎧x ＝－3＋3t ，y ＝23＋t(t 为参数)．(1)写出椭圆C 的参数方程及直线l 的普通方程；(2)设A (1,0)，若椭圆C 上的点P 满足到点A 的距离与到直线l 的距离相等，求点P 的坐标．解 (1)椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，直线l 的普通方程为x －3y ＋9＝0. (2)设P (2cos θ，3sin θ)， 则AP ＝(2cos θ－1)2＋(3sin θ)2＝2－cos θ，P 到直线l 的距离d ＝|2cos θ－3sin θ＋9|2＝2cos θ－3sin θ＋92.由AP ＝d ，得3sin θ－4cos θ＝5，又sin 2θ＋cos 2θ＝1，得sin θ＝35，cos θ＝－45.故P ⎝⎛⎭⎫－85，335.题型三 极坐标方程和参数方程的综合应用例2 (2018·镇江期末)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(a >b >0，φ为参数)，且曲线C 上的点M (2，3)对应的参数φ＝π3，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 的普通方程；(2)若曲线C 上的A ，B 两点的极坐标分别为A (ρ1，θ)，B ⎝⎛⎭⎫ρ2，θ＋π2，求1ρ21＋1ρ22的值． 解 (1)将M (2，3)及对应的参数φ＝π3，代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(a >b >0，φ为参数)，得⎩⎨⎧2＝a cos π3，3＝b sin π3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝2.∴曲线C 1的普通方程为x 216＋y 24＝1.(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ16＋ρ2sin 2θ4＝1，将A (ρ1，θ)，B ⎝⎛⎭⎫ρ2，θ＋π2， 代入得ρ21cos 2θ16＋ρ21sin 2θ4＝1，ρ22sin 2θ16＋ρ22cos 2θ4＝1，∴1ρ21＋1ρ22＝516. 思维升华 在对坐标系与参数方程的考查中，最能体现坐标法的解题优势，灵活地利用坐标法可以更简捷的解决问题．例如，将题设条件中涉及的极坐标方程和参数方程等价转化为直角坐标方程，然后在直角坐标系下对问题进行求解就是一种常见的解题方法，对应数学问题求解的“化生为熟”原则，充分体现了转化与化归的数学思想．跟踪训练2 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α (t 为参数，t ≠0)，其中0≤α<π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，曲线C 3：ρ＝23cos θ. (1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求AB 的最大值．解 (1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，或⎩⎨⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝⎛⎭⎫32，32.(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α<π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)．所以AB ＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3. 当α＝5π6时，AB 取得最大值，最大值为4.1．已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝22t －2，y ＝22t(t 为参数)，以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求以极点为圆心且与直线l相切的圆的极坐标方程．解 ∵直线l 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0， ∴原点到直线l 的距离d ＝22＝1. ∴以极点为圆心且与直线l 相切的圆的极坐标方程为ρ＝1.2．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝2t 2(t 为参数)，在以O 为极点，以x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2的方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22，求曲线C 1与曲线C 2的交点个数．解 曲线C 1，C 2化为普通方程和直角坐标方程分别为x 2＝2y ，x ＋y －4＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2y ，x ＋y －4＝0，消去y ，得x 2＋2x －8＝0，因为判别式Δ>0，所以方程有两个实数解．故曲线C 1与曲线C 2的交点个数为2.3．(2018·江苏省苏州市第五中学模拟)已知点P 在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)上，直线l ：⎩⎨⎧x ＝3＋22t ，y ＝－3＋22t (t 为参数)，求P 到直线l 的距离的最小值．解 将直线l 化为普通方程为x －y －6＝0，则P (4cos θ，3sin θ)到直线l 的距离 d ＝|4cos θ－3sin θ－6|2＝|5cos (θ＋φ)－6|2，其中tan φ＝34.所以当cos(θ＋φ)＝1时，d min ＝22， 即点P 到直线l 的距离的最小值为22. 4．(2016·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解 直线l 的参数方程化为普通方程为3x －y －3＝0， 椭圆C 的参数方程化为普通方程为x 2＋y 24＝1， 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －3＝0，x 2＋y 24＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，y 1＝0，⎩⎨⎧x 2＝－17，y 2＝－837，不妨取A (1,0)，B ⎝⎛⎭⎫－17，－837，则AB ＝⎝⎛⎭⎫1＋172＋⎝⎛⎭⎫0＋8372＝167.5．(2018·无锡期末)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝12t ，y ＝32t ＋m(t 是参数)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若圆C 的极坐标方程是ρ＝4sin θ，且直线l 与圆C 相交，求实数m 的取值范围．解 由ρ＝4sin θ，得ρ2＝4ρsin θ，所以x 2＋y 2＝4y ， 即圆C 的方程为x 2＋(y －2)2＝4，又由⎩⎨⎧x ＝12t ，y ＝32t ＋m ，消去t ，得3x －y ＋m ＝0，由于直线l 与圆C 相交，所以|m －2|2<2，即－2<m <6.6．(2017·江苏)在平面直角坐标系中xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8＋t ，y ＝t2(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2s 2，y ＝22s (s 为参数)．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l的距离的最小值．解 直线l 的普通方程为x －2y ＋8＝0， 因为点P 在曲线C 上，设P (2s 2，22s )， 从而点P 到直线的距离d ＝|2s 2－42s ＋8|5＝|2(s －2)2＋4|5，当s ＝2时，d min ＝455. 因此当点P 的坐标为(4,4)时，曲线C 上的点P 到直线l 的距离取到最小值455.7．在直角坐标系xOy 中，曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2cos α＋1，y ＝2sin α＋1(α为参数)，在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l ：ρsin θ＋ρcos θ＝m . (1)当m ＝0时，判断直线l 与曲线C 的位置关系； (2)若曲线C 上存在点P 到直线l 的距离为22，求实数m 的取值范围． 解 (1)曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2，是一个圆， 直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝0， 圆心C 到直线l 的距离d ＝|1＋1|12＋12＝2＝r ，所以直线l 与圆C 相切．(2)由已知可得，直线l 的直角坐标方程为x ＋y －m ＝0. 圆心C 到直线l 的距离为d ＝|1＋1－m |12＋12≤322，解得－1≤m ≤5.所以实数m 的取值范围为[－1,5]．8．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数)，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos t ，y ＝4＋2sin t (t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)若直线l 的斜率为2，判断直线l 与曲线C 1的位置关系； (2)求曲线C 1与C 2的交点的极坐标．解 (1)由直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数)，可得直线l 过点(－1,1)．当直线l 的斜率为2时，直线l 的普通方程为y －1＝2(x ＋1)，即2x －y ＋3＝0.由曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos t ，y ＝4＋2sin t(t 为参数)，消去参数t ，得(x －2)2＋(y －4)2＝4，则曲线C 1表示以(2,4)为圆心，以2为半径的圆．此时圆心到直线的距离d ＝|4－4＋3|5＝355<2，故直线l 与曲线C 1相交．(2)曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ， 即ρ2＝4ρcos θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ (x －2)2＋(y －4)2＝4，x 2＋y 2－4x ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，故C 1与C 2交点的坐标为(2,2)， 故C 1与C 2的交点的极坐标为⎝⎛⎭⎫22，π4.9．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，点M 是曲线C 1上的动点，点P 在曲线C 2上，且满足OP →＝2OM →，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l ：θ＝π3.(1)求曲线C 2的普通方程，射线l 的参数方程； (2)射线l 与曲线C 1，C 2分别交于A ，B 两点，求AB . 解 (1)设P (x ，y )，M (x ′，y ′)，∵OP →＝2OM →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝2y ′.∵点M 在曲线C 1上，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝1＋3cos θ，y ′＝3sin θ.∴(x ′－1)2＋(y ′)2＝3，故曲线C 2的普通方程为(x －2)2＋y 2＝12.由射线l ：θ＝π3，可得l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12t ，y ＝32t(t 为参数且t ≥0)．(2)方法一 将l ：⎩⎨⎧x ＝12t ，y ＝32t(t 为参数且t ≥0)代入C 1的方程得t 2－t －2＝0，∵t ≥0，∴t ＝2.同理代入C 2的方程得t 2－2t －8＝0，∵t ≥0，∴t ＝4. ∴AB ＝4－2＝2.方法二 曲线C 1的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－2＝0， 将θ＝π3代入，得ρ＝2，∴A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3， 曲线C 2的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ－8＝0， 将θ＝π3代入，得ρ＝4，∴B 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π3，∴AB ＝4－2＝2.10．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝m ＋22t ，y ＝22t(t 是参数，m 是常数)．以O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝6cos θ.(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于P ，Q 两点，且PQ ＝2，求实数m 的值．解 (1)因为直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝m ＋22t ，y ＝22t(t 是参数，m 是常数)，所以直线l 的普通方程为x －y －m ＝0.因为曲线C 的极坐标方程为ρ＝6cos θ，故ρ2＝6ρcos θ， 所以x 2＋y 2＝6x ，所以曲线C 的直角坐标方程是(x －3)2＋y 2＝9. (2)设圆心到直线l 的距离为d ，则d ＝32－12＝22，又d ＝|3－m |2＝22，所以|3－m |＝4，即m ＝－1或m ＝7.11．在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝42·sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4.现以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋12t ，y ＝－3＋32t (t 为参数)．(1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，定点P (－2，－3)，求P A ·PB 的值． 解 (1)因为ρ＝42sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝4sin θ＋4cos θ， 所以ρ2＝4ρsin θ＋4ρcos θ， 所以x 2＋y 2－4x －4y ＝0，即曲线C 的直角坐标方程为(x －2)2＋(y －2)2＝8；直线l 的普通方程为3x －y ＋23－3＝0. (2)把直线l 的参数方程代入到圆C ： x 2＋y 2－4x －4y ＝0中， 得t 2－(4＋53)t ＋33＝0， t 1,2＝(4＋53)±403－412，则t 1t 2＝33.点P (－2，－3)显然在直线l 上． 由直线标准参数方程下t 的几何意义知， P A ·PB ＝|t 1t 2|＝33，所以P A ·PB ＝33.12．已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧ x ＝a cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数，a >0)，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t ，y ＝－1－t (t 为参数)，曲线C 与直线l 有一个公共点在x 轴上，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线C 的普通方程；(2)若点A (ρ1，θ)，B ⎝⎛⎭⎫ρ2，θ＋2π3，C ⎝⎛⎭⎫ρ3，θ＋4π3在曲线C 上，求1OA 2＋1OB 2＋1OC 2的值． 解 (1)直线l 的普通方程为x ＋y ＝2，与x 轴的交点为(2,0)． 又曲线C 的普通方程为x 2a 2＋y 23＝1，所以a ＝2，故所求曲线C 的普通方程是x 24＋y 23＝1.(2)因为点A (ρ1，θ)，B ⎝⎛⎭⎫ρ2，θ＋2π3，C ⎝⎛⎭⎫ρ3，θ＋4π3在曲线C 上，即点A (ρ1cos θ，ρ1sin θ)， B ⎝⎛⎭⎫ρ2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋2π3，ρ2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋2π3， C ⎝⎛⎭⎫ρ3cos ⎝⎛⎭⎫θ＋4π3，ρ3sin ⎝⎛⎭⎫θ＋4π3在曲线C 上， 故1OA 2＋1OB 2＋1OC 2＝1ρ21＋1ρ22＋1ρ23 ＝14⎣⎡⎦⎤cos 2θ＋cos 2⎝⎛⎭⎫θ＋2π3＋cos 2⎝⎛⎭⎫θ＋4π3＋13⎣⎡⎦⎤sin 2θ＋sin 2⎝⎛⎭⎫θ＋2π3＋sin 2⎝⎛⎭⎫θ＋4π3 ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋cos 2θ2＋1＋cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋4π32＋1＋cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋8π32＋13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos 2θ2＋1－cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋4π32＋1－cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋8π32 ＝14×32＋13×32＝78.。
2022版高考数学一轮复习选修4_4第二讲参数方程学案含解析新人教版
第二讲 参数方程知识梳理·双基自测知识梳理知识点一 参数方程的概念如果曲线C 上任意一点P 的坐标x 和y 都可以表示为某个变量t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t ).反过来，对于t 的每个允许值，由函数式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )所确定的点P (x ，y )都在曲线C 上，那么方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )叫做曲线C 的参数方程，变量t 是参数．知识点二 圆锥曲线的参数方程(1)圆心为(a ，b )，半径为r 的圆的参数方程为__⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos θ，y ＝b ＋r sin θ(θ为参数)__． (2)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为__⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)__． (3)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的参数方程为__⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b tan θ(θ为参数)__．(4)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)．知识点三 直线的参数方程过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为__⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)__，其中t 表示直线上以定点M 0为起点，任意一点M (x ，y )为终点的有向线段M 0M →的__数量__．当t ＞0时，M 0M →的方向向上；当t ＜0时，M 0M →的方向向下；当t ＝0时，M 与M 0重合．根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论：过定点M 0的直线与圆锥曲线相交，交点为M 1，M 2，所对应的参数分别为t 1，t 2． ①弦长l ＝|t 1－t 2|；②M 0是弦M 1M 2的中点⇒t 1＋t 2＝0；③|M 0M 1||M 0M 2|＝|t 1t 2|．双基自测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1，y ＝2－t (t ≥1)表示的曲线为直线．( × )(2)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ＋m ，y ＝sin θ－m 当m 为参数时表示直线，当θ为参数时表示的曲线为圆．( √ )(3)直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－t cos 30°，y ＝1＋t sin 150°，(t 为参数)的倾斜角α为150°．( √ ) (4)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝5sin θ，(θ为参数且θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2)表示的曲线为椭圆．( × ) 题组二 走进教材2．(P 25例3)曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( B )A ．在直线y ＝2x 上B ．在直线y ＝－2x 上C ．在直线y ＝x －1上D ．在直线y ＝x ＋1上[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x ＋1，sin θ＝y －2.所以(x ＋1)2＋(y －2)2＝1．曲线是以(－1,2)为圆心，1为半径的圆，所以对称中心为(－1,2)，在直线y ＝－2x 上．3．(P 37例2)在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为__3__． [解析] 直线l 的普通方程为x －y －a ＝0， 椭圆C 的普通方程为x 29＋y 24＝1，∴椭圆C 的右顶点坐标为(3,0)，若直线l 过(3,0)， 则3－a ＝0，∴a ＝3．题组三 走向高考4．(2020·新课标Ⅲ卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－t －t 2y ＝2－3t ＋t 2(t 为参数且t ≠1)，C 与坐标轴交于A 、B 两点．(1)求|AB |；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程． [解析] (1)令x ＝0，则t 2＋t －2＝0，解得t ＝－2或t ＝1(舍)，则y ＝2＋6＋4＝12，即A (0,12)．令y ＝0，则t 2－3t ＋2＝0，解得t ＝2或t ＝1(舍)，则x ＝2－2－4＝－4，即B (－4,0)．∴|AB |＝(0＋4)2＋(12－0)2＝410．(2)由(1)可知k AB ＝12－00－(－4)＝3，则直线AB 的方程为y ＝3(x ＋4)， 即3x －y ＋12＝0．由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得，直线AB 的极坐标方程为3ρcos θ－ρsin θ＋12＝0．5．(2018·课标全国Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)．(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率． [解析] (1)曲线C 的直角坐标方程为x 24＋y 216＝1．当cos α≠0时，l 的直角坐标方程为y ＝tan α·x ＋2－tan α， 当cos α＝0时，l 的直角坐标方程为x ＝1． (2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程(1＋3cos 2α)t 2＋4(2cos α＋sin α)t －8＝0．① 因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内， 所以①有两个解，设为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝0．又由①得t 1＋t 2＝－4(2cos α＋sin α)1＋3cos 2α，故2cos α＋sin α＝0，于是直线l 的斜率k ＝tan α＝－2．考点突破·互动探究考点一 参数方程与普通方程的互化例1 (1)把下列参数方程化为普通方程：①⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，θ∈⎣⎡⎦⎤π2，π)； ②⎩⎨⎧x ＝t ＋1t，y ＝t 2＋1t2(t 为参数)．(2)(2019·课标全国Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t 21＋t 2，y ＝4t1＋t2(t 为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρcosθ＋3ρsin θ＋11＝0．①求C 和l 的直角坐标方程； ②求C 上的点到l 距离的最小值．[解析] (1)①⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ ①y ＝sin θ ②，由①2＋②2得：x 2＋y 2＝1其中x ∈[－1,0]，y ∈[0,1]．②⎩⎨⎧x ＝t ＋1t①y ＝t 2＋1t2②，由①2－②得：x 2－y ＝2，即y ＝x 2－2，其中x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)． (2)①因为－1＜1－t 21＋t 2≤1，且x 2＋⎝⎛⎭⎫y 22＝⎝⎛⎭⎪⎫1－t 21＋t 22＋4t 2(1＋t 2)2＝1， 所以C 的直角坐标方程为x 2＋y 24＝1(x ≠－1)． l 的直角坐标方程为2x ＋3y ＋11＝0．②由①可设C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝2sin α(α为参数，－π＜α＜π)．C 上的点到l 的距离为|2cos α＋23sin α＋11|7＝4cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＋117．当α＝－2π3时，4cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＋11取得最小值7，故C 上的点到l 距离的最小值为7．名师点拨将参数方程化为普通方程的方法(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参．如sin 2θ＋cos 2θ＝1等．(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解． 〔变式训练1〕(2017·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t (t 为参数)．(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a ． [解析] (1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1．当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝－2125，y ＝2425.从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，⎝⎛⎭⎫－2125，2425． (2)直线l 的普通方程为x ＋4y －a －4＝0，故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 的距离为d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17．当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917． 由题设得a ＋917＝17，所以a ＝8；当a ＜－4时，d 的最大值为－a ＋117．由题设得－a ＋117＝17，所以a ＝－16．综上，a ＝8或a ＝－16． 考点二 参数方程的应用例2 (1)(2020·广东梅州质检)在极坐标系中，圆C ：ρ＝4cos θ．以极点O 为原点，极轴为x 轴正半轴．建立直角坐标系xOy ，直线l 经过点M (－1，－33)且倾斜角为α．①求圆C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程；②已知直线l 与圆C 交与A ，B ，满足A 为MB 的中点，求α．(2)(2021·山西太原期中)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12t y ＝32t －1(t为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝－4sin θ．①求曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；②设点P 的直角坐标为(0，－1)，若曲线C 1与C 2相交于A ，B 两点，求1|P A |＋1|PB |的值．[解析] (1)①由圆C ：ρ＝4cos θ可得ρ2＝4ρcos θ，因为ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ， 所以x 2＋y 2＝4x ，即(x －2)2＋y 2＝4．直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t cos α，y ＝－33＋t sin α(t 为参数，0≤α＜π)．②设A ，B 对应的参数分别为t A ，t B ， 将直线l 的方程代入C 并整理， 得t 2－6t (3sin α＋cos α)＋32＝0， 所以t A ＋t B ＝6(3sin α＋cos α)，t A ·t B ＝32． 又A 为MB 的中点，所以t B ＝2t A ， 因此t A ＝2(3sin α＋cos α)＝4sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6， t B ＝8sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6， 所以t A ·t B ＝32sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝32，即sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝1． 因为0≤α＜π，所以π6≤α＋π6＜7π6，从而α＋π6＝π2，即α＝π3．(2)①由⎩⎨⎧x ＝12t ，y ＝32t －1消去参数t 得曲线C 1的普通方程为3x －y －1＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＋4y ＝0． ②设A ⎝⎛⎭⎫12t 1，32t 1－1，B ⎝⎛⎭⎫12t 2，3t t 2－1，将⎩⎨⎧x ＝12t ，y ＝32t －1代入x 2＋y 2＋4y ＝0得t 2＋3t －3＝0，∴t 1＋t 2＝－3，t 1t 2＝－3，∴1|P A |＋1|PB |＝1|t 1|＋1|t 2|＝|t 1|＋|t 2||t 1t 2|＝|t 1－t 2||t 1t 2| ＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2|t 1t 2|＝(－3)2＋123＝153．[引申]若本例(1)②中去掉“A 为MB 的中点”，则1|MA |＋1|MB |的最大值为__38__．[解析] 1|MA |＋1|MB |＝|MA |＋|MB ||MA |·|MB |＝t A ＋t B t A ·t B＝316(3sin α＋cos α)＝38sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6 显然当α＝π3时⎝⎛⎭⎫1|MA |＋1|MB |max ＝38．名师点拨](1)解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上与动点有关的问题，如最值、范围等．(2)利用直线参数方程中参数t 的几何意义求相关的距离(线段长)时，解题的思路是： ①判断直线的参数方程是否是标准式；②在求直线l 与曲线C ：f (x ，y )＝0的交点间的距离时，把直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α(t 为参数)代入曲线C ：f (x ，y )＝0，化简整理后得到关于t 的方程f (x 0＋t cos α，y 0＋t sin α)＝0．设该方程的根为t 1，t 2，直线l 与曲线C 的交点为A ，B 则 |AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2；③设点P 是直线l 上一定点，l 与曲线C 的交点为A ，B ，则|P A |·|PB |＝|t 1t 2|； (ⅰ)当线段P A 与PB 同向时， |P A |＋|PB |＝|t 1＋t 2|；(ⅱ)当线段P A 与PB 反向时， |P A |＋|PB |＝|t 1－t 2|；④线段AB 的中点M 对应的参数为t M ＝t 1＋t 22．注：当直线的参数方程不是标准式时，如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋mty ＝y 0＋nt(t 为参数m 2＋n 2≠1)，可化为标准式，即t ′＝m 2＋n 2t ，化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋m m 2＋n 2t ′，y ＝y 0＋nm 2＋n 2t ′(t ′为参数)求解．〔变式训练2〕(2021·广西钦州、崇左质检)在平面直角坐标系中，直线l 过点P (3,2)，且倾斜角α＝π6，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ．(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求|P A |＋|PB |的值． [解析] (1)由ρ＝4sin θ得ρ2＝4ρsin θ， 从而有x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4．(2)设直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋t cos π6y ＝2＋t sin π6，即⎩⎨⎧x ＝3＋32ty ＝2＋12t ．代入圆的方程得⎝⎛⎭⎫3＋32t 2＋⎝⎛⎭⎫12t 2＝4． 整理得：t 2＋33t ＋5＝0，t 1＋t 2＝－33， t 1t 2＝5．由t 1＋t 2＜0且t 1t 2＞0， 可知|P A |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2| ＝－(t 1＋t 2)＝33．考点三,极坐标方程与参数方程的综合应用例3 (1)(2020·山西大同联考)在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2cos φy ＝2sin φ(φ为参数)，以坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2．①设点M ，N 分别为曲线C 1与曲线C 2上的任意一点，求|MN |的最大值；②设直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t cos αy ＝t sin α(t 为参数)与曲线C 1交于P ，Q 两点，且|PQ |＝1，求直线l的普通方程．(2)(2021·东北师大附中摸底)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos θy ＝sin θ，(θ为参数)，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝42． ①写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； ②求曲线C 上的点到直线l 的最大距离．[解析] (1)①由题意知，曲线C 1的普通方程为(x －3)2＋y 2＝4，圆心C 1(3,0)，半径r 1＝2， 曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4，圆心C 2(0,0)，半径r 2＝2， ∴|MN |max ＝|C 1C 2|＋r 1＋r 2＝3＋2＋2＝7． ②将直线l 的参数方程代入(x －3)2＋y 2＝4中， 得(t cos α－4)2＋(t sin α)2＝4， 整理得t 2－8t cos α＋12＝0， ∴Δ＝64cos 2α－48＞0．设P ，Q 两点对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝8cos α，t 1t 2＝12． 由|PQ |＝1及参数t 的几何意义， 得|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝(8cos α)2－4×12＝1，解得cos α＝±78，满足Δ＞0，∴直线l 的斜率为tan α＝±157， ∴直线l 的方程为15x ±7y ＋15＝0． (2)①由ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝42，得ρ(cos θ＋sin θ)＝4，∴直线l 的直角坐标方程为x ＋y －8＝0．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ 得C 的普通方程为x 23＋y 2＝1． ②在曲线C ：x 23＋y 2＝1上任取一点 P (3cos θ，sin θ)，则点P 到直线l 的距离为 d ＝|3cos θ＋sin θ－8|2＝⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3－82≤52．∴曲线C 上的点到直线l 的最大距离为52．名师点拨极坐标方程与参数方程综合问题的解题策略(1)求交点坐标、距离、线段长．可先求出直角坐标方程，然后求解． (2)判断位置关系．先转化为平面直角坐标方程，然后再作出判断．(3)求参数方程与极坐标综合的问题．一般是先将方程化为直角坐标方程，利用直角坐标方程来研究问题．〔变式训练3〕(2020·辽宁沈阳东北育才学校模拟)在极坐标系中，已知圆C 的圆心C ⎝⎛⎭⎫2，π4，半径r ＝3．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)若α∈⎣⎡⎦⎤0，π4，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝2＋t sin α (t 为参数)，直线l 交圆C 于A 、B 两点，求弦长|AB |的取值范围．[解析] (1)由C ⎝⎛⎭⎫2，π4得，C 直角坐标(1,1)， 所以圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝3，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ得圆C 的极坐标方程为 ρ2－2ρcos θ－2ρsin θ－1＝0． (2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝2＋t sin α代入C 的直角坐标方程(x －1)2＋(y －1)2＝3， 得t 2＋2(cos α＋sin α)t －1＝0，则Δ＞0， 设A ，B 对应参数分别为t 1，t 2，则 t 1＋t 2＝－2(cos α＋sin α)，t 1t 2＝－1， |AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝8＋4sin 2α， 因为α∈⎣⎡⎦⎤0，π4，所以sin 2α∈[0,1]， 所以8＋4sin 2α∈[8,12]，所以|AB |的取值范围为[22，23]．。
江苏省如皋市高考数学一轮复习参数方程的意义任务单(无答案)
参数方程的意义自主学习任务单一、学习指南1。
课题名称：参数方程的意义2。
达成目标：（1）掌握参数方程的概念；(2）掌握不同问题下关于参数的选择（3）体会转化与化归思想在解决综合问题中的应用，会用观察、类比、联想的观点认识世界3.学习方法建议：观看结束及时整理学习要点。
4.课堂学习形式预告：基于课前微课学习，课堂上将：问题引入讲解并总结问题的分析步骤进一步纠正学生对构造函数易漏处总结归纳参数方程的概念例题讲解体会椭圆的参数方程小结并指导学生如何从问题出发选择参数二、学习任务通过观看教学录像自学,完成下列学习任务：1.掌握用适当的参数构建问题一和二变量之间的关系2.掌握参数方程的概念3。
能运用转化化归的思想解决一些数学问题并揭示问题的本质三、资源链接文献：《参数方程的意义》四、困惑与建议尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。
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江苏名校参数方程的意义课件导学案Word版
则
y2 x2
y1 x1
k,
y12
4x1, y22
4 x2
两式相减得 y22 y12 4( x2 x1)
即 y2 y1 x2 x1
4 y2 y1
2 y0
k，即k，则x0
2 k2
2
即
x0
y0
2 k2 2 k
x f (t)
y
g(t)
叫做曲线C的参数方程，变量t 是参变数，简称参数.
例 如图，以O为圆心，分别以a,b为半径(a b 0)作两个圆， 自O作一条射线分别交两圆于M , N两点，自M 作MT Ox 垂足为T，自N作NP MT，垂足为P，求点P的轨迹的参数方程.
分析 由于直接建立点P的坐标x和y的联系比较困难， 因此可以通过选择参数间接寻找它们的联系.注意 到点P的位置是由TOM 决定的，所以选择TOM 为参数有利于建立点P的坐标x和y的联系.
高中数学三年级
参数方程的意义
潘丹丹 江苏省高级中学
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问题1：一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度 作水平直线飞行，那么当飞机在某位置投放救援物资 后，救援物资在落地前运动的轨迹是什么？
y
M(x, y)
y
0
x
x
水平方向：匀速直线运动 x vt
平抛运动 竖直方向：自由落体运动
NP
φ
OST
x
其中参数称为离心角 (需要注意的是，离心角指的是TOM，而不是TOP)
思考：求曲线的参数方程的关键在于参数的选择，如何 选择参数呢？
江苏专用高中数学4.4.1参数方程的意义学案苏教版选修4-4(2021年整理)
（江苏专用版）2018-2019学年高中数学4.4.1 参数方程的意义学案苏教版选修4-4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（江苏专用版）2018-2019学年高中数学4.4.1 参数方程的意义学案苏教版选修4-4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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4.4。
1 参数方程的意义1．理解曲线参数方程的概念，能选取适当的参数建立参数方程．2．通过常见曲线的参数方程的研究，了解某些参数的几何意义和物理意义．［基础·初探］1．参数方程的定义一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C上任意一点P的坐标x和y都可以表示为某个变量t的函数错误!反过来,对于t的每一个允许值，由函数式错误!所确定的点P（x，y)都在这条曲线上，那么方程错误!叫做曲线C的参数方程，变量t是参变数,简称参数．2．求参数方程的一般步骤（1)建立直角坐标系，设曲线上任意一点M的坐标为(x，y)；（2)选取适当的参数；（3）根据已知条件、图形的几何性质、物理意义等，建立点M的坐标与参数的函数关系式;(4）证明所求得的参数方程就是所求曲线的方程（通常省略不写）．[思考·探究]1．从参数方程的概念来看，参数t的作用是什么?什么样的量可以当参数？【提示】参数t是联系变数x,y的桥梁；可以是一个有物理意义或几何意义的变数,也可以是没有明显实际意义的变数．2．在选择参数时，要注意什么?【提示】在选择参数时，要注意以下几点:①参数与动点坐标x,y有函数关系，且x，y 便于用参数表示;②选择的参数要便于使问题中的条件明析化;③对于所选定的参数，要注意其取值范围，并能确定参数对x,y取值范围的制约；④若求轨迹,应尽量使所得的参数方程便于消参．［质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们"探讨交流：疑问1：_____________________________________________________解惑:_____________________________________________________疑问2:_____________________________________________________解惑：_____________________________________________________疑问3：_____________________________________________________解惑：_____________________________________________________疑问4：_____________________________________________________解惑：_____________________________________________________点与曲线的位置已知曲线C的参数方程是错误!(t为参数)．（1)判断点M1（0，1)，M2(5，4)与曲线C的位置关系；（2)已知点M3(6，a)在曲线C上，求a的值．【自主解答】(1)把点M1(0,1）代入,得错误!解得t＝0，故点M1在曲线C上，把点M2（5，4)代入，得错误!这个方程组无解，因此点M2（5，4)不在曲线C上，(2）因为点M3（6，a)在曲线C上，所以错误!解得错误!故a＝9。
(江苏版)高考数学一轮复习 专题11.7 参数方程与极坐标(讲)理-人教版高三全册数学试题
专题11.7 参数方程与极坐标【最新考纲解读】【考点深度剖析】1. 某某高考中，本知识点考查的主要内容有：极坐标与参数方程的基本概念、公式的理解与掌握.特别是极坐标方程与直角坐标方程、参数方程与普通方程之间的互化，以及参数方程的简单应用是本知识点考查的重中之重.2. 重点掌握将极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程，体会参数思想和数形结合思想的应用，明确解析几何的精髓. 【课前检测训练】 【练一练】1.求在极坐标系中，过点(2，π2)且与极轴平行的直线方程.解 点(2，π2)在直角坐标系下的坐标为(2cos π2，2sin π2)，即(0,2).∴过点(0,2)且与x 轴平行的直线方程为y ＝2. 即为ρsin θ＝2.2.在极坐标系中，已知两点A 、B 的极坐标分别为(3，π3)、(4，π6)，求△AOB (其中O 为极点)的面积. 解 由题意知A 、B 的极坐标分别为(3，π3)、(4，π6)，则△AOB 的面积S △AOB ＝12OA ·OB ·sin∠AOB ＝12×3×4×sin π6＝3.3.在以O 为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a 相交于A ，B 两点.当△AOB 是等边三角形时，求a 的值.4.直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝2－3t (t 为参数)，求直线l 的斜率.解 将直线l 的参数方程化为普通方程为y －2＝－3(x －1)，因此直线l 的斜率为－3.5.已知直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋kt(t 为参数)与直线l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝s ，y ＝1－2s(s 为参数)垂直，求k 的值.解 直线l 1的方程为y ＝－k 2x ＋4＋k 2，斜率为－k2；直线l 2的方程为y ＝－2x ＋1，斜率为－2. ∵l 1与l 2垂直，∴(－k2)×(－2)＝－1⇒k ＝－1.6.已知点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 2，y ＝4t (t 为参数)上，求PF 的值.解 将抛物线的参数方程化为普通方程为y 2＝4x ，则焦点F (1,0)，准线方程为x ＝－1，又P (3，m )在抛物线上，由抛物线的定义知PF ＝3－(－1)＝4.7.已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋4t ，y ＝3t(t 为参数)，求直线l 与曲线C 相交所截的弦长.【题根精选精析】 考点1:极坐标系【1-1】函数y ＝sin(2x ＋π4)经伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝12y后的解析式为________．【答案】y ′＝12sin(x ′＋π4)【解析】解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝12y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′，y ＝2y ′.①将①代入y ＝sin(2x ＋π4)，得2y ′＝sin(2·12x ′＋π4)，即y ′＝12sin(x ′＋π4)．【1-2】双曲线C ：x 2－y 264＝1经过φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y变换后所得曲线C ′的焦点坐标为________．【答案】F 1(－5,0)，F 2(5,0)【解析】解析：设曲线C ′上任意一点P ′(x ′，y ′)，由上述可知，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′，代入x 2－y 264＝1得x ′29－4y ′264＝1，化简得x ′29－y ′216＝1，即x 29－y 216＝1为曲线C ′的方程，可见仍是双曲线，则焦点F 1(－5,0)，F 2(5,0)为所求．【1-3】在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为3ρ2＝12ρcos θ－10(ρ>0)． (1)求曲线C 1的直角坐标方程；(2)曲线C 2的方程为x 216＋y 24＝1，设P ，Q 分别为曲线C 1与曲线C 2上的任意一点，求|PQ |的最小值．【答案】（1）(x －2)2＋y 2＝23.（2）63【1-4】在极坐标系中，直线ρcos θ－ρsin θ＋1＝0与圆ρ＝2sin θ的位置关系是________． 【答案】相交【解析】直线ρcos θ－ρsin θ＋1＝0可化成x －y ＋1＝0，圆ρ＝2sin θ可化为x 2＋y 2＝2y ，即x 2＋(y －1)2＝1.圆心(0,1)到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝|0－1＋1|2＝0<1.故直线与圆相交． 【1-5】已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 的方程为ρsin(θ＋π4)＝2 2. (1)求曲线C 在极坐标系中的方程； (2)求直线l 被曲线C 截得的弦长． 【答案】（1）ρ＝4cos θ.（2）2 2.【基础知识】1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x ，λ＞0，y ′＝μ·y ，μ＞0的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．2．极坐标系与极坐标 (1)极坐标系：如图所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记为M (ρ，θ)．一般地，不做特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数． 3．极坐标与直角坐标的互化设M 是坐标系平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表：点M直角坐标(x ，y )极坐标(ρ，θ)互化公式 ⎩⎨⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2tan θ＝y x x ≠04.常见曲线的极坐标方程曲线 图形极坐标方程圆心在极点，半径为r 的圆ρ＝r (0≤θ＜2π)圆心为(r,0)，半径为r 的圆ρ＝2r cos_θ⎝⎛⎭⎪⎫－π2≤θ≤π2圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫r ，π2，半径为r 的圆ρ＝2r sin_θ(0≤θ＜π)过极点，倾斜角为α的直线(1)θ＝α(ρ∈R )或θ＝π＋α(ρ∈R )(2)θ＝α(ρ≥0)和θ＝π＋α(ρ≥0)过点(a,0)，与极轴垂直的直线ρcos_θ＝a ⎝⎛⎭⎪⎫－π2＜θ＜π2过点⎝⎛⎭⎪⎫a ，π2，与极轴平行的直线ρsin_θ＝a (0＜θ＜π)【思想方法】.1．确定极坐标方程的四要素极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可． 2．直角坐标(x ，y )化为极坐标(ρ，θ)的步骤 (1)运用ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝yx(x ≠0)(2)在[0,2π)内由tan θ＝y x(x ≠0)求θ时，由直角坐标的符号特征判断点所在的象限．3. 平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示．在伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x ，λ>0y ′＝μ·y ，μ>0下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆．4. 直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质，可转化直角坐标系的情境进行．【温馨提醒】直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质，可转化直角坐标系的情境进行． 考点2：参数方程【2-1】若直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2－3t (t 为参数)，则直线的斜率为________．【答案】－32【解析】解析：∵y －2x －1＝－3t 2t ＝－32，∴tan α＝－32. 【2-2】参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t 2＋2y ＝t 2－1(0≤t ≤5)的曲线为________．(填“线段”“射线”“圆弧”或“双曲线的一支”) 【答案】线段【解析】化为普通方程为x ＝3(y ＋1)＋2， 即x －3y －5＝0， 由于x ＝3t 2＋2∈[2,77]， 故曲线为线段．【2-3】已知P 1，P 2是直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝－2＋32t (t 为参数)上的两点，它们所对应的参数分别为t 1，t 2，则线段P 1P 2的中点到点P (1，－2)的距离是________． 【答案】|t 1＋t 2|2.【解析】由t 的几何意义可知，线段P 1P 2的中点对应的参数为t 1＋t 22，P 对应的参数为t ＝0，∴线段P 1P 2的中点到点P 的距离为|t 1＋t 2|2.【2-4】已知直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－12t ，y ＝－1＋12t (t 为参数)与圆x 2＋y 2＝4相交于B ，C 两点，则|BC |的值为________．【答案】14.【2-5】曲线⎩⎨⎧x ＝23cos θy ＝32sin θ(θ为参数)中两焦点间的距离是________．【答案】2 6.【解析】曲线化为普通方程为y 218＋x 212＝1，∴c ＝6，故焦距为2 6.【基础知识】1．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f t ，y ＝gt就是曲线的参数方程．2．常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹普通方程参数方程直线y －y 0＝tan α(x －x 0)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α (t 为参数)圆x 2＋y 2＝r 2⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θy ＝r sin θ(θ为参数)椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0) ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φy ＝b sin φ(φ为参数)【思想方法】1．化参数方程为普通方程的方法消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法．2．利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题的方法经过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．若A ，B 为直线l 上两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到：(1)t 0＝t 1＋t 22；(2)|PM |＝|t 0|＝t 1＋t 22；(3)|AB |＝|t 2－t 1|； (4)|PA |·|PB |＝|t 1·t 2|.【温馨提醒】参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的另一种表示形式，参数方程化为普通方程关键在于消参，消参时要注意参变量的X 围．【易错问题大揭秘】将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解；确定曲线的参数方程时，一定要根据实际问题的要求确定参数的取值X 围，必要时通过限制参数的X 围去掉多余的解.。
(江苏专用)高考数学一轮复习 第十四章 系列4选讲 14.3 课时2 参数方程 理-人教版高三全册数
课时2 参数方程1．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f t ，y ＝gt就是曲线的参数方程．2．常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹普通方程参数方程直线 y －y 0＝tan α(x －x 0)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)圆x 2＋y 2＝r 2 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0) ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)双曲线x 2a －y 2b 2＝1 ，(a >0，b >0) ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a sec φ，y ＝b tan φ(φ为参数)抛物线y 2＝2px (p >0)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)1．直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝2－3t (t 为参数)，求直线l 的斜率．解 将直线l 的参数方程化为普通方程为y －2＝－3(x －1)，因此直线l 的斜率为－3.2．已知直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋kt (t 为参数)与直线l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝s ，y ＝1－2s (s 为参数)垂直，求k的值．解 直线l 1的方程为y ＝－k 2x ＋4＋k 2，斜率为－k2；直线l 2的方程为y ＝－2x ＋1，斜率为－2. ∵l 1与l 2垂直，∴(－k2)×(－2)＝－1⇒k ＝－1.3．已知点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 2，y ＝4t(t 为参数)上，求PF 的值．解 将抛物线的参数方程化为普通方程为y 2＝4x ，则焦点F (1,0)，准线方程为x ＝－1，又P (3，m )在抛物线上，由抛物线的定义知PF ＝3－(－1)＝4.4．已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋4t ，y ＝3t (t 为参数)，求直线l 与曲线C 相交所截的弦长．解 曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1， 直线l 的普通方程为3x －4y ＋3＝0. 圆心到直线的距离d ＝|3×0－4×0＋3|32＋42＝35. ∴直线l 与曲线C 相交所截的弦长为21－352＝85.题型一 参数方程与普通方程的互化例1 (1)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程．(2)在平面直角坐标系中，已知直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋s ，y ＝1－s (s 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋2，y ＝t 2(t 为参数)，若l 与C 相交于A ，B 两点，求AB 的长．解 (1)圆的半径为12，记圆心为C (12，0)，连结CP ，则∠PCx ＝2θ，故x P ＝12＋12cos 2θ＝cos 2θ，y P ＝12sin 2θ＝sin θcos θ(θ为参数)．所以圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)．(2)直线l 的普通方程为x ＋y ＝2，曲线C 的普通方程为y ＝(x －2)2(y ≥0)，联立两方程得x 2－3x ＋2＝0，求得两交点坐标为(1,1)，(2,0)，所以AB ＝ 2.思维升华 消去参数的方法一般有三种：(1)利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代入消去参数； (2)利用三角恒等式消去参数；(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数．将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x 和y 取值X 围的扩大或缩小，必须根据参数的取值X 围，确定函数f (t )和g (t )的值域，即x 和y 的取值X 围．(1)求直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝－1－t (t为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)的交点个数．(2)在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a(t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，求常数a 的值．解 (1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝－1－t 消去参数t 得直线x ＋y －1＝0；将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α消去参数α得圆x 2＋y 2＝9.又圆心(0,0)到直线x ＋y －1＝0的距离d ＝22<3. 因此直线与圆相交，故直线与曲线有2个交点． (2)直线l 的普通方程为x －y －a ＝0， 椭圆C 的普通方程为x 29＋y 24＝1，∴椭圆C 的右顶点坐标为(3,0)，若直线l 过(3,0)， 则3－a ＝0，∴a ＝3. 题型二 参数方程的应用例2 已知直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，某某数a 的取值X 围． 解 (1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0， 圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. (2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4，解得－25≤a ≤2 5.思维升华 已知圆、圆锥曲线的参数方程解决有关问题时，一般是把参数方程化为普通方程，通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、X 围等．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝5sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ为参数，0≤θ≤π2和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝－22t (t 为参数)，求曲线C 1与C 2的交点坐标．解 曲线C 1的普通方程为x 2＋y 2＝5(x ≥0，y ≥0)． 曲线C 2的普通方程为x －y －1＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，x 2＋y 2＝5x ≥0，y ≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.∴曲线C 1与C 2的交点坐标为(2,1)． 题型三 极坐标方程和参数方程的综合应用例3 (2015·课标全国Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，曲线C 3：ρ＝23cos θ. (1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求AB 的最大值．解 (1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎨⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝⎛⎭⎪⎫32，32. (2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α＜π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)． 所以AB ＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3. 当α＝5π6时，AB 取得最大值，最大值为4.思维升华 在对坐标系与参数方程的考查中，最能体现坐标法的解题优势，灵活地利用坐标法可以使问题得到简捷的解答．例如，将题设条件中涉及的极坐标方程和参数方程等价转化为直角坐标方程，然后在直角坐标系下对问题进行求解就是一种常见的解题方法，对应数学问题求解的“化生为熟”原则，充分体现了转化与化归的数学思想．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝22cos(θ＋π4)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝－1＋22t(t 为参数)，直线l 和圆C 交于A ，B 两点，P 是圆C 上不同于A ，B 的任意一点． (1)求圆心的极坐标； (2)求△PAB 面积的最大值． 解 (1)由圆C 的极坐标方程为ρ＝22cos(θ＋π4)，得 ρ2＝22(22ρcos θ－22ρsin θ)， 把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入可得圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝2. ∴圆心坐标为(1，－1)， ∴圆心的极坐标为(2，7π4)．(2)由题意，得直线l 的直角坐标方程为22x －y －1＝0.∴圆心(1，－1)到直线l 的距离d ＝|22＋1－1|222＋－12＝223，∴AB ＝2r 2－d 2＝22－89＝2103. 点P 到直线l 的距离的最大值为r ＋d ＝2＋223＝523，∴S max ＝12×2103×523＝1059.1．将参数方程化为普通方程是解决问题的一般思路，体现了化归思想．2．将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解；确定曲线的参数方程时，一定要根据实际问题的要求确定参数的取值X 围，必要时通过限制参数的X 围去掉多余的解.A 组 专项基础训练 (时间：50分钟)1．求直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－12t ，y ＝32t (t 为参数)被曲线⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)所截得的弦长．解 直线方程可化为3x ＋y －3＝0， 曲线方程可化为x 2＋y 23＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3x ＋3，x 2＋y 23＝1，得x 2－x ＝0，∴x ＝0或x ＝1.可得交点为A (0，3)，B (1,0)． ∴AB ＝1＋3＝2. ∴所截得的弦长为2.2．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋at ，y ＝bt (t 为参数)与圆⎩⎨⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)相切，求切线的倾斜角．解 直线的普通方程为bx －ay －4b ＝0，圆的普通方程为(x －2)2＋y 2＝3，直线与圆相切，则圆心(2,0)到直线的距离为3，从而有3＝|2b －a ·0－4b |a 2＋b2，即3a 2＋3b 2＝4b 2，∴b ＝±3a ，而直线的倾斜角的正切值为tan α＝b a ，∴tan α＝±3，因此切线的倾斜角为π3或2π3.3．已知直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t －2，y ＝22t (t 为参数)，以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求以极点为圆心且与直线l 相切的圆的极坐标方程．解 ∵直线l 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0. ∴原点到直线的距离r ＝22＝1.∴以极点为圆心且与直线l 相切的圆的极坐标方程为ρ＝1.4．(2015·某某)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的极坐标方程为ρ(sin θ－3cos θ)＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1t，y ＝t ＋1t (t 为参数)，l 与C 相交于A ，B 两点，求AB 的长．解 直线l 的极坐标方程ρ(sin θ－3cos θ)＝0化为直角坐标方程为3x －y ＝0，曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1t，y ＝t ＋1t两式经过平方相减，化为普通方程为y 2－x 2＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝0，y 2－x 2＝4解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－22，y ＝－322或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22，y ＝322.所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－322，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，322.所以AB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22－222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322－3222＝2 5.5．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝2t2(t 为参数)，在以O 为极点，以x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2的方程为ρsin(θ＋π4)＝22，求曲线C 1与曲线C 2的交点个数．解 曲线C 1，C 2化为普通方程和直角坐标方程分别为x 2＝2y ，x ＋y －4＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2y ，x ＋y －4＝0，消去y 得x 2＋2x －8＝0，因为判别式Δ>0，所以方程有两个实数解．故曲线C 1与曲线C 2的交点个数为2.6．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长． 解 将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t代入抛物线方程y 2＝4x ， 得⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋22t 2＝4⎝⎛⎭⎪⎫1－22t ， 解得t 1＝0，t 2＝－8 2. 所以AB ＝|t 1－t 2|＝8 2.B 组 专项能力提升 (时间：30分钟)7．(2015·某某)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数)．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ. (1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．解 (1)由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ， 从而有x 2＋y 2＝23y ，所以x 2＋(y －3)2＝3. (2)设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t ，32t ，又C (0，3)，则PC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32t －32＝t 2＋12， 故当t ＝0时，PC 取得最小值， 此时，P 点的直角坐标为(3,0)． 8．已知直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．(1)当α＝π3时，求C 1与C 2的交点坐标；(2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点，当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．解 (1)当α＝π3时，C 1的普通方程为y ＝3(x －1)，C 2的普通方程为x 2＋y 2＝1，联立方程得⎩⎨⎧y ＝3x －1，x 2＋y 2＝1，解得C 1与C 2的交点坐标分别为(1,0)，(12，－32)．(2)依题意，C 1的普通方程为x sin α－y cos α－sin α＝0， 则A 点的坐标为(sin 2α，－sin αcos α)， 故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12sin 2αy ＝－12sin αcos α(α为参数)，∴P 点轨迹的普通方程为(x －14)2＋y 2＝116.故P 点的轨迹是圆心为(14，0)，半径为14的圆．9．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－32t ，y ＝3＋12t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin(θ－π6)．(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)点P (x ，y )是直线l 与圆面ρ≤4sin(θ－π6)的公共点，求3x ＋y 的取值X 围．解 (1)因为圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin(θ－π6)，所以ρ2＝4ρsin(θ－π6)＝4ρ(32sin θ－12cos θ)．又ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以x 2＋y 2＝23y －2x ，所以圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2x －23y ＝0. (2)设z ＝3x ＋y ，由圆C 的方程x 2＋y 2＋2x －23y ＝0，得 (x ＋1)2＋(y －3)2＝4，所以圆C 的圆心是(－1，3)，半径是2. 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－32t y ＝3＋12t 代入z ＝3x ＋y ，得z ＝－t .又直线l 过C (－1，3)，圆C 的半径是2， 所以－2≤t ≤2， 所以－2≤－t ≤2，即3x ＋y 的取值X 围是[－2,2]．10．在平面直角坐标系xOy 中，动圆x 2＋y 2－42x cos θ－4y sin θ＋7cos 2θ－8＝0 (θ∈R ，θ为参数)的圆心轨迹为曲线C ，点P 在曲线C 上运动．以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l 的极坐标方程为2ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝35，求点P 到直线l 的最大距离．解 将动圆的方程配方，得(x －22cos θ)2＋(y －2sin θ)2＝9＋3sin 2θ， 设圆心(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝22cos θy ＝2sin θ(θ∈R ，θ为参数)，即曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝22cos θy ＝2sin θ(θ∈R ，θ为参数)，直线l 的直角坐标方程为x －3y －35＝0，word 11 / 11 设点P (x 1，y 1)，则⎩⎨⎧ x 1＝22cos θy 1＝2sin θ(θ∈R ，θ为参数)，点P 到直线l 的距离d ＝|22cos θ－23sin θ－35|12＋32＝|25sin θ＋φ－35|2， 其中tan φ＝－63. ∴当sin(θ＋φ)＝－1，点P 到直线l 的距离d 取得最大值552.。
苏教版高中数学选修4-4 4.4.1参数方程的意义_学案设计(无答案)
参数方程的意义【学习目标】1．参数方程：2．直线、圆及椭圆的参数方程：【学习过程】一、知识梳理1．参数方程的概念：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C 上任一点P 的坐标x 和y 都可以表示为某个变量t 的函数________，反过来，对于t 的每个允许值，由函数式__________ __________________________________，那么此方程叫做曲线C 的参数方程，联系变量x ，y 的变量t 叫做参变数，简称参数。
2．参数方程的意义：参数方程是曲线点的位置的另一种表示形式，它借助于_____________ ___________________________________，参数方程与一般方程同等地描述了曲线。
参数方程实际上是一个方程组，其中x ，y 分别为曲线上点M 的横坐标和纵坐标。
3．求曲线的参数方程的一般步骤：（1）____________________________________________；（2）__________________；（3）______________________________________________________________________；（4）________________________________________________________________________。
二、例题讲解1. 以O 为圆心，分别以a ．b 为半径（0a b >>）作两个圆，自O 作一条射线分别交两圆于M 、N 两点，自M 作MT Ox ⊥，垂足为T ，自N 作NP MT ⊥，垂足为P ，求点P 的轨迹的参数方程。
2. 在平面直角坐标系xOy 中，动圆2228cos 6sin 7cos 0()x y x y R θθθθ+--+=∈的圆心为(,)P x y 。
（1）求点P 的轨迹方程，并确定它是什么曲线；（2）求x y -的取值范围。
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第2讲 参数方程1．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过消去参数，从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎨⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．2．直线、圆和圆锥曲线的参数方程名称 普通方程参数方程直线y －y 0＝k (x －x 0)⎩⎨⎧x ＝x0＋tcos αy ＝y0＋tsin α(t 为参数)圆(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝R 2⎩⎨⎧x ＝x0＋Rcos θy ＝y0＋Rsin θ(θ为参数且0≤θ<2π)椭圆x2a2＋y2b2＝1(a >b >0) ⎩⎨⎧x ＝acos t y ＝bsin t(t 为参数且0≤t <2π)抛物线y 2＝2px (p >0)⎩⎨⎧x ＝2pt2y ＝2pt(t 为参数) 经常用到公式：cos 2θ＋sin 2θ＝1，1＋tan 2θ＝1cos2θ.(2)利用曲线的参数方程来求解两曲线间的最值问题，常转化三角函数最值问题．(3)将参数方程化为普通方程，在消参数的过程中，要注意x ，y 的取值范围，保持等价转化． (4)确定曲线的参数方程时，一定要根据实际问题的要求确定参数的取值范围，必要时通过限制参数的范围去掉多余的解．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t －a(t 为参数)过椭圆C ：⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，求常数a 的值． 解：直线l 的普通方程为x －y －a ＝0，椭圆C 的普通方程为x29＋y24＝1，所以椭圆C 的右顶点坐标为(3，0)，若直线l 过点(3，0)， 则3－a ＝0， 所以a ＝3.已知两曲线参数方程分别为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ≤π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t2，y ＝t(t ∈R )，求它们的交点坐标．解：根据题意，两曲线分别是椭圆x25＋y 2＝1的上半部分和开口向右的抛物线y 2＝45x ，联立易得它们的交点坐标为⎝⎛⎭⎫1，255.如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程．解：圆的半径为12，记圆心为C ⎝⎛⎭⎫12，0，连接CP ，则∠PCx ＝2θ，故x P ＝12＋12cos 2θ＝cos 2θ，y P ＝12sin 2θ＝sin θcos θ(θ为参数)．所以圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cosθ，求直线l 被圆C 截得的弦长．解：化为直角坐标方程，利用圆的几何性质求解．直线l 的普通方程是x －y －4＝0，圆C 的直角坐标方程是x 2＋y 2－4x ＝0，标准方程为(x －2)2＋y 2＝4.圆心(2，0)到直线的距离为|2－4|2＝2， 所以直线l 被圆C 截得的弦长为2r2－d2＝24－2＝22.参数方程与普通方程的互化[典例引领]已知曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t(t 为参数)，曲线C 2：⎩⎨⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线． 【解】 曲线C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，曲线C 2：x264＋y29＝1，曲线C 1是以(－4，3)为圆心，1为半径的圆；曲线C 2是中心为坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．将参数方程化为普通方程的方法(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等．对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin 2θ＋cos 2θ＝1等．(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解．将下列参数方程化为普通方程．(1)⎩⎨⎧x ＝3k 1＋k2，y ＝6k21＋k2；(2)⎩⎨⎧x ＝1－sin 2θ，y ＝sin θ＋cos θ.解：(1)两式相除，得k ＝y 2x，将其代入得x ＝3·y 2x1＋⎝⎛⎭⎫y 2x 2，化简得所求的普通方程是4x 2＋y 2－6y ＝0(y ≠6)．(2)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝2－(1－sin 2θ)，x ＝1－sin 2θ∈[0，2]，得y 2＝2－x . 即所求的普通方程为y 2＝2－x ，x ∈[0，2]．参数方程的应用[典例引领](2017·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t(t 为参数)．(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标； (2)若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a . 【解】 (1)曲线C 的普通方程为x29＋y 2＝1.当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －3＝0，x29＋y2＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0，或⎩⎨⎧x ＝－2125，y ＝2425.从而C 与l 的交点坐标为(3，0)，⎝⎛⎭⎫－2125，2425. (2)直线l 的普通方程为x ＋4y －a －4＝0，故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 的距离为d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17.当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917. 由题设得a ＋917＝17，所以a ＝8；当a <－4时，d 的最大值为－a ＋117，由题设得－a ＋117＝17，所以a ＝－16.综上，a ＝8或a ＝－16.(1)解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上与动点有关的问题，如最值、范围等． (2)根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论：过定点M 0的直线与圆锥曲线相交，交点为M 1，M 2，所对应的参数分别为t 1，t 2. ①弦长l ＝|t 1－t 2|；②弦M 1M 2的中点⇒t 1＋t 2＝0； ③|M 0M 1||M 0M 2|＝|t 1t 2|.(2018·广东惠州模拟)在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：ρsin 2θ＝2a cos θ(a >0)，过点P (－2，－4)的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋22t ，y ＝－4＋22t(t 为参数)，l 与C 分别交于点M ，N . (1)写出C 的直角坐标方程和l 的普通方程； (2)若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求a 的值． 解：(1)曲线C 的直角坐标方程为y 2＝2ax (a >0)； 直线l 的普通方程为x －y －2＝0.(2)将直线l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，可得t 2－22(4＋a )t ＋8(4＋a )＝0.(*) 由题意知Δ＝8a (4＋a )>0， 又a >0，所以4＋a >0.设点M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1，t 2恰为方程(*)的根． 易知|PM |＝|t 1|，|PN |＝|t 2|，|MN |＝|t 1－t 2|， 由题设得(t 1－t 2)2＝|t 1t 2|， 即(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝|t 1t 2|.又由(*)得t 1＋t 2＝22(4＋a )，t 1t 2＝8(4＋a )>0， 则有(4＋a )2－5(4＋a )＝0， 解得a ＝1或a ＝－4. 因为a >0，所以a ＝1.极坐标方程与参数方程的综合问题[典例引领](2018·贵州省适应性考试)曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos αy ＝2sin α(α为参数)，在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＝sin θ.(1)求曲线C 1的极坐标方程和曲线C 2的直角坐标方程； (2)过原点且倾斜角为α(π6<α≤π4)的射线l 与曲线C 1，C 2分别相交于A ，B 两点(A ，B 异于原点)，求|OA |·|OB |的取值范围． 【解】 (1)曲线C 1的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4， 即x 2＋y 2－4x ＝0，故曲线C 1的极坐标方程为ρ2＝4ρcos θ，即ρ＝4cos θ.由曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＝sin θ，两边同乘以ρ，得ρ2cos 2θ＝ρsin θ， 故曲线C 2的直角坐标方程为x 2＝y .(2)法一：射线l 的极坐标方程为θ＝α，π6<α≤π4，把射线l 的极坐标方程代入曲线C 1的极坐标方程得|OA |＝ρ＝4cos α，把射线l 的极坐标方程代入曲线C 2的极坐标方程得|OB |＝ρ＝sin αcos2α，所以|OA |·|OB |＝4cos α·sin αcos2α＝4tan α，因为π6<α≤π4，所以|OA |·|OB |的取值范围是⎝⎛⎦⎤433，4.法二：射线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tcos αy ＝tsin α(t 为参数，π6<α≤π4)．把射线l 的参数方程代入曲线C 1的普通方程得t 2－4t cos α＝0. 解得t 1＝0，t 2＝4cos α.故|OA |＝|t 2|＝4cos α. 同理可得|OB |＝sin αcos2α， 所以|OA |·|OB |＝4cos α·sin αcos2α＝4tan α，因为π6<α≤π4，所以|OA |·|OB |的取值范围是⎝⎛⎦⎤433，4.涉及参数方程和极坐标方程的综合问题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．(2018·成都市第一次诊断性检测)在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α⎝⎛⎭⎫α≠π2的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋tcos αy ＝tsin α(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是ρcos 2θ－4sin θ＝0.(1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)已知点P (1，0)．若点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2，直线l 经过点M 且与曲线C 相交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为Q ，求|PQ |的值．解：(1)因为直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋tcos αy ＝tsin α(t 为参数)，所以直线l 的普通方程为y ＝tan α·(x －1)．由ρcos 2θ－4sin θ＝0得ρ2cos 2θ－4ρsin θ＝0，即x 2－4y ＝0. 所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＝4y .(2)因为点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2，所以点M 的直角坐标为(0，1)．所以tan α＝－1，直线l 的倾斜角α＝3π4.所以直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1－22ty ＝22t(t 为参数)．代入x 2＝4y ，得t 2－62t ＋2＝0. 设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2. 因为Q 为线段AB 的中点，所以点Q 对应的参数值为t1＋t22＝622＝32.又点P (1，0)，则|PQ |＝|t1＋t22|＝32.直线参数方程的应用已知直线l 经过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α，点M (x ，y )为l 上任意一点，则直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x0＋tcos α，y ＝y0＋tsin α(t 为参数)． (1)若M 1，M 2是直线l 上的两个点，对应的参数分别为t 1，t 2，则|M0M1→| |M0M2→|＝|t 1t 2|，|M1M2→|＝|t 2－t 1|＝（t2＋t1）2－4t1t2.(2)若线段M 1M 2的中点为M 3，点M 1，M 2，M 3对应的参数分别为t 1，t 2，t 3，则t 3＝t1＋t22.(3)若直线l 上的线段M 1M 2的中点为M 0(x 0，y 0)，则t 1＋t 2＝0，t 1t 2<0.[注意] 在使用直线参数方程的几何意义时，要注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正余弦值．否则参数不具备该几何含义．圆的参数方程的应用(1)解决与圆上的动点有关的距离取值范围以及最大值和最小值问题，通常可以转化为点与圆、直线与圆的位置关系．(2)求距离的问题，通过设圆的参数方程，就转化为求三角函数的值域问题．[注意] 把曲线的参数方程化为普通方程或极坐标方程时易忽视参数的范围而导致出错．圆与椭圆参数方程的异同圆椭圆不同点 参数的几何意义为圆心角参数的几何意义为离心角相同点利用三角代换可由一般方程化为参数方程1．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位．已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cosθ，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋tcos α，y ＝tsin α(t 为参数，α为直线的倾斜角)．(1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)若直线l 与曲线C 有唯一的公共点，求角α的大小． 解：(1)当α＝π2时，直线l 的普通方程为x ＝－1；当α≠π2时，直线l 的普通方程为y ＝(x ＋1)tan α.由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ， 所以x 2＋y 2＝2x ，即为曲线C 的直角坐标方程．(2)把x ＝－1＋t cos α，y ＝t sin α代入x 2＋y 2＝2x ，整理得t 2－4t cos α＋3＝0. 由Δ＝16cos 2α－12＝0，得cos 2α＝34，所以cos α＝32或cos α＝－32， 故直线l 的倾斜角α为π6或5π6.2．以极点为原点，以极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝10，曲线C ′的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋5cos α，y ＝－4＋5sin α，(α为参数)．(1)判断两曲线C 和C ′的位置关系；(2)若直线l 与曲线C 和C ′均相切，求直线l 的极坐标方程． 解：(1)由ρ＝10得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝100，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋5cos α，y ＝－4＋5sin α得曲线C ′的普通方程为(x －3)2＋(y ＋4)2＝25. 曲线C 表示以(0，0)为圆心，10为半径的圆； 曲线C ′表示以(3，－4)为圆心，5为半径的圆．因为两圆心间的距离5等于两圆半径的差，所以圆C 和圆C ′的位置关系是内切．(2)由(1)建立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x2＋y2＝100，（x －3）2＋（y ＋4）2＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝－8；可知两圆的切点坐标为(6，－8)，且公切线的斜率为34，所以直线l 的直角坐标方程为y ＋8＝34(x －6)，即3x －4y －50＝0，所以极坐标方程为3ρcos θ－4ρsin θ－50＝0.3．(2018·惠州市第三次调研考试)已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝1＋tcos αy ＝tsin α(t 为参数)．(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝14，求直线l 的倾斜角α的值． 解：(1)由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ. 因为x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0， 即(x －2)2＋y 2＝4.(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋tcos αy ＝tsin α代入曲线C 的方程得(t cos α－1)2＋(t sin α)2＝4，化简得t 2－2t cos α－3＝0.设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则⎩⎪⎨⎪⎧t1＋t2＝2cos αt1t2＝－3. 所以|AB |＝|t 1－t 2|＝（t1＋t2）2－4t1t2＝4cos2α＋12＝14， 所以4cos 2α＝2，cos α＝±22，α＝π4或3π4.4．(2018·陕西省高三教学质量检测试题(一))已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝22ty ＝22t ＋42(t 是参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2c os ⎝⎛⎭⎫θ＋π4. (1)判断直线l 与曲线C 的位置关系；(2)设M (x ，y )为曲线C 上任意一点，求x ＋y 的取值范围． 解：(1)直线l 的普通方程为x －y ＋42＝0. 曲线C 的直角坐标方程为⎝⎛⎭⎫x －222＋⎝⎛⎭⎫y ＋222＝1.圆心⎝⎛⎭⎫22，－22到直线x －y ＋42＝0的距离 d ＝|52|2＝5>1，所以直线l 与曲线C 的位置关系是相离．(2)设M ⎝⎛⎭⎫22＋cos θ，－22＋sin θ，(θ为MC 与x 轴正半轴所成的角)则x ＋y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4. 因为0≤θ<2π， 所以x ＋y ∈[－2，2]．5．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程为x 2－2x ＋y 2＝0，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )．(1)写出C 的极坐标方程，并求l 与C 的交点M ，N 的极坐标； (2)设P 是椭圆x23＋y 2＝1上的动点，求△PMN 面积的最大值．解：(1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ. 直线l 的直角坐标方程为y ＝x .联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x2－2x ＋y2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.所以点M ，N 的极坐标分别为(0，0)，⎝⎛⎭⎫2，π4. (2)由(1)易得|MN |＝2.因为P 是椭圆x23＋y 2＝1上的动点，设P 点坐标为(3cos θ1，sin θ1)． 则P 到直线y ＝x 的距离 d ＝|3cos θ1－sin θ1|2，所以S △PMN ＝12|MN |d ＝12×2×|3cos θ1－sin θ1|2＝⎪⎪⎪⎪2cos ⎝⎛⎭⎫θ1＋π62≤1，当θ1＝k π－π6，k ∈Z 时，S △PMN 取得最大值1.1．(2017·高考全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝kt(t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋m ，y ＝m k (m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C .(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cosθ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径． 解：(1)消去参数t 得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)；消去参数m 得l 2的普通方程l 2：y ＝1k(x ＋2)．设P (x ，y )，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2），y ＝1k （x ＋2）.消去k 得x 2－y 2＝4(y ≠0)．所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0)．(2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4(0<θ<2π，θ≠π)．联立⎩⎨⎧ρ2（cos2θ－sin2θ）＝4，ρ（cos θ－sin θ）－2＝0 得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．故tan θ＝－13，从而cos 2θ＝910，sin 2θ＝110， 代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4得ρ2＝5，所以交点M 的极径为5.2．(2018·安徽省两校阶段性测试)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5＋2cos t y ＝3＋2sin t (t 为参数)，在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ＋π4)＝－2. (1)求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点P 是圆C 上任意一点，求A ，B 两点的极坐标和△P AB 面积的最小值．解：(1)由⎩⎨⎧x ＝－5＋2cos t y ＝3＋2sin t，消去参数t ，得(x ＋5)2＋(y －3)2＝2， 所以圆C 的普通方程为(x ＋5)2＋(y －3)2＝2.由ρcos (θ＋π4)＝－2，得ρcos θ－ρsin θ＝－2， 所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0.(2)直线l 与x 轴，y 轴的交点分别为A (－2，0)，B (0，2)，化为极坐标为A (2，π)，B ⎝⎛⎭⎫2，π2，设点P 的坐标为(－5＋2cos t ，3＋2sin t )，则点P 到直线l 的距离为d ＝|－5＋2cos t －3－2sin t ＋2|2＝|－6＋2cos （t ＋π4）|2. 所以d min ＝42＝22， 又|AB |＝22.所以△P AB 面积的最小值是S ＝12×22×22＝4. 3．(2018·南昌市第一次模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1过点P (a ，1)，其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋2t y ＝1＋2t (t 为参数，a ∈R )．以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋4co s θ－ρ＝0.(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知曲线C 1与曲线C 2交于A ，B 两点，且|P A |＝2|PB |，求实数a 的值．解：(1)因为曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋2t y ＝1＋2t， 所以其普通方程为x －y －a ＋1＝0.因为曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋4cos θ－ρ＝0，所以ρ2cos 2θ＋4ρcos θ－ρ2＝0，所以x 2＋4x －x 2－y 2＝0，即曲线C 2的直角坐标方程为y 2＝4x .(2)设A ，B 两点所对应的参数分别为t 1，t 2，由⎩⎨⎧y2＝4x ，x ＝a ＋2t y ＝1＋2t， 得2t 2－22t ＋1－4a ＝0.Δ＝(22)2－4×2(1－4a )>0，即a >0，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧t1＋t2＝2t1·t2＝1－4a 2. 根据参数方程的几何意义可知|P A |＝2|t 1|，|PB |＝2|t 2|，又|P A |＝2|PB |可得2|t 1|＝2×2|t 2|， 即t 1＝2t 2或t 1＝－2t 2.所以当t 1＝2t 2时，有⎩⎪⎨⎪⎧t1＋t2＝3t2＝2t1·t2＝2t22＝1－4a 2， 解得a ＝136>0，符合题意． 当t 1＝－2t 2时，有⎩⎪⎨⎪⎧t1＋t2＝－t2＝2t1·t2＝－2t22＝1－4a 2， 解得a ＝94>0，符合题意． 综上所述，实数a 的值为136或94.。
2020届一轮复习人教B版 直线的参数方程的几何意义 学案
一、直线参数方程的几何意义概述：1、过定点),(000y x M 、倾斜角为α的直线的参数方程为（t 为参数），其中t 表示直线上以定点0M 为起点，任意一点(),M x y 为终点的有向线段M 0的数量，若0t >,则0M M 的方向向上;若0t <,则0M M 的方向向下;若0t =则点0M 与点M 重合.2、t 的几何意义是直线上点M 到的0M 距离即0M M . 二、参数的性质及应用易得参数t 具有如下的性质：若直线上两点A 、B 所对应的参数分别为B A t t ,， 性质1、,A B 两点到0M 的距离分别为.|||,|B A t t 则，，。
例：在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），再以原点为极点，以正半轴为极轴建立坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位，在该极坐标系中圆的方程为．（1）求圆的直角坐标方程； （2）设圆与直线交于点、，若点的坐标为，求的值．【答案】（1）（2）【掌握练习】1、在直角坐标系中，直线过点，其倾斜角为，圆的参数方程为为参数. 再以原点为极点，以正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位.（1）求圆的极坐标方程；（2）设圆与直线交于点，求的值.【答案】（1）（2）9【解析】（1）消去参数可得圆的直角坐标方程式为由极坐标与直角坐标互化公式得化简得（2）直线的参数方程为参数即为参数代入圆方程得：设、对应的参数分别为、，则，于是.2、以平面直角坐标系的原点为极点，正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，设点的极坐标为，直线过点且与极轴所成的角为，圆的极坐标方程为．（1）写出直线参数方程，并把圆的方程化为直角坐标方程；（2）设直线与曲线圆交于、两点，求的值．【答案】（1）直线参数方程（为参数）圆的直角坐标方程为；（2）.（2）将直线的参数方程代到圆的直角坐标方程中整理得：，设对应的参数分别为，∴3、在极坐标系中，点的坐标是，曲线的方程为.以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率为的直线经过点.（1）写出直线的参数方程和曲线的直角坐标方程；（2）若直线和曲线相交于两点，求的值.【答案】（1）直线的参数方程为为参数，曲线的直角坐标方程为，（2）44、在直角坐标系中，以原点为极点，以轴正半轴为极轴，曲线的极坐标方程为（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）过点作斜率为l直线与曲线交于两点，试求的值. 【答案】（1）（2）【解析】（1）令代入得（2）设两点对应参数为,直线方程，代入得，则.性质2、,A B两点之间的距离为。
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参数方程的意义
自主学习任务单
一、学习指南
1.课题名称：参数方程的意义
2.达成目标：
（1）掌握参数方程的概念；
（2）掌握不同问题下关于参数的选择
（3）体会转化与化归思想在解决综合问题中的应用，会用观察、类比、联想的观点认识世界
3.学习方法建议：
观看结束及时整理学习要点。
4.课堂学习形式预告：
基于课前微课学习，课堂上将：
问题引入讲解并总结问题的分析步骤进一步纠正学生对构造函数易漏处总结归纳参数方程的概念例题讲解体会椭圆的参数方程小结并指导学生如何从问题出发选择参数
二、学习任务
通过观看教学录像自学，完成下列学习任务：
1.掌握用适当的参数构建问题一和二变量之间的关系
2.掌握参数方程的概念
3.能运用转化化归的思想解决一些数学问题并揭示问题的本质
三、资源链接
文献：《参数方程的意义》
四、困惑与建议。