2019届江苏高考数学一轮复习专题突破五 高考中的圆锥曲线问题

高考专题突破五 高考中的圆锥曲线问题

【考点自测】

1．(2017·全国Ⅲ改编)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝5

2x ，且与椭

圆x 212＋y 2

3＝1有公共焦点，则C 的方程为______________． 答案 x 24－y 2

5＝1

解析 由y ＝

52x ，可得b a ＝52

.① 由椭圆x 212＋y 2

3＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，

可得a 2＋b 2＝9.② 由①②可得a 2＝4，b 2＝5. 所以C 的方程为x 24－y 2

5

＝1.

2．(2017·全国Ⅲ改编)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2

为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为________． 答案

63

解析 由题意知，以A 1A 2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a .又直线bx －ay ＋2ab ＝0与圆相切， ∴圆心到直线的距离d ＝2ab

a 2＋

b 2

＝a ，解得a ＝3b ， ∴b a ＝13， ∴e ＝c a ＝a 2－b 2a

＝

1－⎝⎛⎭⎫b a 2

＝

1－⎝

⎛

⎭

⎫132＝6

3. 3．(2018届阜宁中学质检)已知F 1，F 2是椭圆x 2k ＋2＋y 2

k ＋1＝1的左、右焦点，弦AB 过F 1，若△ABF 2

的周长为8，则椭圆的离心率为________． 答案

12

解析 由已知及椭圆定义可得4a ＝8，从而a ＝2， 又c ＝k ＋2－(k ＋1)＝1，所以e ＝c a ＝1

2

.

4．(2016·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 27－y 2

3＝1的焦距是________．

答案 210

解析 由已知，a 2＝7，b 2＝3，则c 2＝7＋3＝10，故焦距为2c ＝210.

5．(2018届江苏盐城中学调研)已知椭圆x 2a 2＋y 2

3＝1(a >3)的中心、右焦点、右顶点依次为O ，F ，

G ，直线x ＝a 2a 2－3与x 轴交于H 点，则FG

OH 取得最大值时，a 的值为________．

答案 2

解析 设半焦距为c ，则c ＝a 2－3， 由题意得，

FG OH ＝a －c a 2c

＝c a －⎝⎛⎭⎫c a 2≤1

4

， 当c a ＝1

2

时取等号， 又a 2－c 2＝3，所以a ＝2.

题型一 求圆锥曲线的标准方程

例1 设椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为B .若BF 2＝F 1F 2＝2，则该

椭圆的方程为________． 答案 x 24＋y 2

3

＝1

解析 ∵BF 2＝F 1F 2＝2，∴a ＝2c ＝2，

∴a ＝2，c ＝1，∴b ＝3，∴椭圆的方程为x 24＋y 2

3

＝1.

思维升华 求圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型，主要利用圆锥曲线的定义、几何性质，解得标准方程中的参数，从而求得方程．

跟踪训练1 已知双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点为F (2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x －

2)2＋y 2＝3相切，则双曲线的方程为________． 答案 x 2

－y 2

3

＝1

解析 双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1的一个焦点为F (2,0)，

则a 2＋b 2＝4，①

双曲线的渐近线方程为y ＝±b

a x ，

由题意得

2b

a 2＋

b 2

＝3，② 联立①②解得b ＝3，a ＝1，

所求双曲线的方程为x2－y2

3＝1.

题型二圆锥曲线的几何性质

例2 (1)已知圆E：(x－3)2＋(y＋m－4)2＝1(m∈R)，当m变化时，圆E上的点与原点O的最短距

离是双曲线C：x2

a2－

y2

b2＝1(a>0，b>0)的离心率，则双曲线C的渐近线为________．

答案y＝±3x

解析圆E的圆心到原点的距离d＝32＋(4－m)2，

由此可得，当m＝4时，圆E上的点与原点O的最短距离是d min＝3－1＝2，

即双曲线的离心率为e＝c

a＝2，

由此可得b

a＝

c2－a2

a＝3，

双曲线C：x2

a2－

y2

b2＝1(a>0，b>0)的渐近线为y＝±

b

a x＝±3x.

(2)(2018届无锡南菁高级中学质检)已知F是椭圆x2

a2＋

y2

b2＝1(a>b>0)的左焦点，A为右顶点，P是

椭圆上一点，PF⊥x轴．若PF＝1

4AF，则该椭圆的离心率是________．

答案3 4

解析由题意得，A(a,0)，F(－c,0)．

∵PF⊥x轴，∴PF＝b2 a.

∵PF＝1

4AF，∴

b2

a＝

1

4(a＋c)，

即(3a－4c)(a＋c)＝0，

∵a，c>0，∴3a－4c＝0，∴e＝c

a＝

3

4.

思维升华圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点，求离心率、准线、双曲线渐近线是常考题型，解决这类问题的关键是熟练掌握各性质的定义，及相关参数间的联系．掌握一些常用的结论及变形技巧，有助于提高运算能力．

跟踪训练2 (2017·全国Ⅱ改编)若双曲线C：x2

a2－

y2

b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆(x－2)

2＋y2＝

4所截得的弦长为2，则C的离心率为________．答案 2

解析设双曲线的一条渐近线方程为y＝b

a x，

圆的圆心为(2,0)，半径为2，

由弦长为2得出圆心到渐近线的距离为22－12＝ 3.