高考文科数学圆锥曲线专题复习
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高考数学圆锥曲线复习策略一.圆锥曲线高考大纲文科（1）掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程和简单的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）（2）了解双曲线的定义、几何图形、标准方程，知道其简单的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）（3）了解抛物线的的定义、儿何图形、标准方程，知道其简单的儿何性质（范围、对称性、顶点、离心率）（4）理解数形结合的思想。
（5）了解圆锥曲线的简单应用。
理科.（1）了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.（2）掌握椭圆、抛物线的定义、儿何图形、标准方程及简单儿何性质.（范围、对称性、顶点、离心率）（3）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）.（4）了解圆锥曲线的简单应用.（5）理解数形结合的思想.锥曲线知识网络'对称轴兀轴 住占 八、、八、、标准方程y 2=2P x\顶点 离心率 准线 （卩>0）二.试题趋势近年來圆锥1111线在高考中比较稳定，解答题往往以屮档题或以押轴题形式出现，主要考察学 生逻辑推理能力、运算能力，考察学生综合运用数学知识解决问题的能力。
但圆锥曲线在新 课标中化归到选学内容，要求有所降低，估计2011年高考对本讲的考察，主要考察热点有:（1） 圆锥Illi 线的定义及标准方程； （2） 与圆锥曲线有关的轨迹问题；（3） 与圆锥曲线有关的最值、定值问题；（4） 与平面向量、导数等知识相结合的交汇试题（1）圆锥曲线的定义及标准方程;1. （2010北京文理）（13）已知双曲线二—1的离心率为2,焦点与椭圆—= 1的a 2b 225 9焦点相同，那么双Illi 线的焦点坐标为 _______ ；渐近线方程为 ________ o定义：:椭圆l + IF2PI=2a(2a >1 F.F 2 I)标准方程召+令(a > b > 0)2 f 2a =b +对称轴 兀轴，长轴长为2d y 轴，短轴长为2b隹占 八、、八、、定义：:< 双曲线{lIFfl —IF2PII=2a(2a<F }F 2 I)2 2 标准方程才*卄严轴卜轴，实轴长为2d 对称轴彳I 》轴，虚轴长为"隹占八、、JW\（Q 〉O,b 〉O ）彳顶点21 2 a +b =c离心率 渐近线定义• 抛物线 <・\MF\=d答案：（±4,0）= 02 ,22.（2010天津文数）（13）已知双Illi线罕―仝=1«〉0上〉0）的一条渐近线方程是a b厶y = ^x ,它的一个焦点与抛物线r =16x的焦点相同。
高考数学圆锥曲线专题复习
圆锥曲线一、知识结构 1.方程的曲线在平面直角坐标系中,如果某曲线C 看作适合某种条件的点的集合或轨迹 上的点与一个二元方程fx,y=0的实数解建立了如下的关系：1曲线上的点的坐标都是这个方程的解；2以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.点与曲线的关系 若曲线C 的方程是fx,y=0,则点P 0x 0,y 0在曲线C 上⇔fx 0,y=0；点P 0x 0,y 0不在曲线C 上⇔fx 0,y 0≠0两条曲线的交点 若曲线C 1,C 2的方程分别为f 1x,y=0,f 2x,y=0,则 f 1x 0,y 0=0 点P 0x 0,y 0是C 1,C 2的交点⇔f 2x 0,y 0 =0方程组有n 个不同的实数解,两条曲线就有n 个不同的交点；方程组没有实数解,曲线就没有 交点.2.圆圆的定义：点集：｛M ｜｜OM ｜=r ｝,其中定点O 为圆心,定长r 为半径. 圆的方程： 1标准方程圆心在ca,b,半径为r 的圆方程是x-a 2+y-b 2=r 2圆心在坐标原点,半径为r 的圆方程是x 2+y 2=r 22一般方程当D 2+E 2-4F ＞0时,一元二次方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程,圆心为-2D ,-2E,半径是24F-E D 22+.配方,将方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0化为x+2D 2+y+2E 2=44F -E D 22+当D 2+E 2-4F=0时,方程表示一个点-2D ,-2E; 当D 2+E 2-4F ＜0时,方程不表示任何图形.点与圆的位置关系 已知圆心Ca,b,半径为r,点M 的坐标为x 0,y 0,则 ｜MC ｜＜r ⇔点M 在圆C 内,｜MC ｜=r ⇔点M 在圆C 上,｜MC ｜＞r ⇔点M 在圆C 内,其中｜MC ｜=2020b)-(y a)-(x +. 3直线和圆的位置关系①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系 直线与圆相交⇔有两个公共点 直线与圆相切⇔有一个公共点 直线与圆相离⇔没有公共点②直线和圆的位置关系的判定 i 判别式法ii 利用圆心Ca,b 到直线Ax+By+C=0的距离d=22C Bb Aa BA +++与半径r 的大小关系来判定.3.椭圆、双曲线和抛物线基本知识4.圆锥曲线的统一定义平面内的动点Px,y到一个定点Fc,0的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之比是一个常数ee＞0,则动点的轨迹叫做圆锥曲线.其中定点Fc,0称为焦点,定直线l称为准线,正常数e称为离心率.当0＜e＜1时,轨迹为椭圆,当e=1时,轨迹为抛物线当e＞1时,轨迹为双曲线5.坐标变换坐标变换在解析几何中,把坐标系的变换如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向叫做坐标变换.实施坐标变换时,点的位置,曲线的形状、大小、位置都不改变,仅仅只改变点的坐标与曲线的方程.坐标轴的平移坐标轴的方向和长度单位不改变,只改变原点的位置,这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移,简称移轴.坐标轴的平移公式设平面内任意一点M,它在原坐标系xOy中的坐标是9x,y,在新坐标系x ′O′y′中的坐标是x′,y′.设新坐标系的原点O′在原坐标系xOy 中的坐标是h,k,则x=x′+h x′=x-h1 或2y=y′+k y′=y-k公式1或2叫做平移或移轴公式.中心或顶点在h,k的圆锥曲线方程见下表.方程焦点焦线对称轴椭圆22h)-(xa+22k)-(yb=1 ±c+h,k x=±ca2+hx=hy=k 22h)-(xb+22k)-(ya=1h,±c+k y=±ca2+kx=hy=k双曲线22h)-(xa-22k)-(yb=1 ±c+h,k=±ca2+kx=hy=k 22k)-(ya-22h)-(xb=1 h,±c+h y=±ca2+kx=hy=k抛物线y-k2=2px-h2p+h,k x=-2p+h y=ky-k2=-2px-h -2p+h,k x=2p+h y=kx-h2=2py-k h,2p+k y=-2p+k x=hx-h2=-2py-k h,-2p+k y=2p+k x=h二、知识点、能力点提示一曲线和方程,由已知条件列出曲线的方程,曲线的交点说明在求曲线方程之前必须建立坐标系,然后根据条件列出等式进行化简 .特别是在求出方程后要考虑化简的过程是否是同解变形,是否满足已知条件,只有这样求出的曲线方程才能准确无误.另外,要求会判断曲线间有无交点,会求曲线的交点坐标.三、考纲中对圆锥曲线的要求：考试内容：. 椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程；. 双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质；. 抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质；考试要求：. 1掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质,理解椭圆的参数方程；. 2掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质；. 3掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质；. 4了解圆锥曲线的初步应用;四．对考试大纲的理解高考圆锥曲线试题一般有3题1个选择题, 1个填空题, 1个解答题, 共计22分左右, 考查的知识点约为20个左右. 其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查. 选择题和填空题考查以圆锥曲线的基本概念和性质为主, 难度在中等以下,一般较容易得分,解答题常作为数学高考中的压轴题,综合考查学生数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理等诸方面的能力,重点考查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识的重组与链接, 使知识形成网络, 着重考查直线与圆锥曲线的位置关系, 往往结合平面向量进行求解,在复习应充分重视;求圆锥曲线的方程复习要点求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点,主要考查识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力,解决好这类问题,除要求熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外,命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题,解决这类问题常用定义法和待定系数法.一般求已知曲线类型的曲线方程问题,可采用“先定形,后定式,再定量”的步骤.定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置.定式——根据“形”设方程的形式,注意曲线系方程的应用,如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时,可设方程为mx 2+ny 2=1m ＞0,n ＞0.定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系,通过解方程得到量的大小. 例题【例1】 双曲线2224b y x =1b ∈N 的两个焦点F 1、F 2,P 为双曲线上一点,|OP |＜5,|PF 1|,|F 1F 2|,|PF 2|成等比数列,则b 2=_________.解：设F 1－c ,0、F 2c ,0、Px ,y ,则 |PF 1|2+|PF 2|2=2|PO |2+|F 1O |2＜252+c 2, 即|PF 1|2+|PF 2|2＜50+2c 2,又∵|PF 1|2+|PF 2|2=|PF 1|－|PF 2|2+2|PF 1|·|PF 2|, 依双曲线定义,有|PF 1|－|PF 2|=4, 依已知条件有|PF 1|·|PF 2|=|F 1F 2|2=4c 2 ∴16+8c 2＜50+2c 2,∴c 2＜317,又∵c 2=4+b 2＜317,∴b 2＜35,∴b 2=1.【例2】 已知圆C 1的方程为()()3201222=-+-y x ,椭圆C 2的方程为12222=+b y a x ()a b >>0,C 2的离心率为22,如果C 1与C 2相交于A 、B 两点,且线段AB 恰为圆C 1的直径,求直线AB 的方程和椭圆C 2的方程;解：由,2,22,22222b c a a c e ====得设椭圆方程为.122222=+b y b x设).1,2().,().,(2211由圆心为y x B y x A 又,12,12222222221221=+=+b y b x b y b x两式相减,得.022222122221=-+-b y y b x x 又.1.2.421212121-=--=+=+x x yy y y x x 得即3+-=x y 将得代入,1232222=++-=b y b x x y由.3204)(222122121=-+=-=x x x x x x B A 得.3203722422=-⋅b 解得 .82=b 故所有椭圆方程.181622=+y x【例3】 过点1,0的直线l 与中心在原点,焦点在x 轴上且离心率为22的椭圆C 相交于A 、B 两点,直线y =21x 过线段AB 的中点,同时椭圆C 上存在一点与右焦点关于直线l 对称,试求直线l 与椭圆C 的方程. 解法一：由e =22=a c ,得21222=-a b a ,从而a 2=2b 2,c =b .设椭圆方程为x 2+2y 2=2b 2,Ax 1,y 1,Bx 2,y 2在椭圆上. 则x 12+2y 12=2b 2,x 22+2y 22=2b 2,两式相减得,x 12－x 22+2y 12－y 22=0,.)(221212121y y x x x x y y ++-=--设AB 中点为x 0,y 0,则k AB =－02y x , 又x 0,y 0在直线y =21x上,y 0=21x 0,于是－02y x =－1,k AB =－1,设l 的方程为y =－x +1.右焦点b ,0关于l 的对称点设为x由点1,1－b 在椭圆上,得1+21－b 2=2b 2,b 2=89,1692=a .∴所求椭圆C的方程为2291698y x + =1,l的方程为y =－x +1.解法二：由e =21,22222=-=a b a a c 得,从而a 2=2b 2,c =b .设椭圆C 的方程为x 2+2y 2=2b 2,l 的方程为y =kx －1, 将l 的方程代入C 的方程,得1+2k 2x 2－4k 2x +2k 2－2b 2=0, 则x 1+x 2=22214k k +,y 1+y 2=kx 1－1+kx 2－1=kx 1+x 2－2k =－2212k k +.直线l ：y =21x 过AB 的中点2,22121y y x x ++,则2222122121k k k k +⋅=+-, 解得k =0,或k =－1.若k =0,则l 的方程为y =0,焦点Fc ,0关于直线l 的对称点就是F 点本身,不能在椭圆C 上,所以k =0舍去,从而k =－1,直线l 的方程为y =－x －1,即y =－x +1,以下同解法一.解法3：设椭圆方程为)1()0(12222>>=+b a by ax直线l 不平行于y 轴,否则AB 中点在x 轴上与直线AB x y 过21=中点矛盾; 故可设直线)2()1(-=x k y l 的方程为)()(2211y x B y x A ，，设,22222212ba k a k x x +=+知：21221=+-x x k k ,212222222=+⋅-∴a k b a k k k ,2122=--∴ka b k k ,22=e 又122)(22222222-=+-=--=-=∴e a c a a b k ,x y l -=∴1的方程为直线,222b a =此时,02243)3(22=-+-b x x 化为方程,0)13(8)1(241622>-=--=∆b b33>∴b ,)4(22222b y x C =+的方程可写成：椭圆,2222b b a c =-=又,)0(，右焦点b F ∴,)(00y x l F ，的对称点关于直线设点,则b y x b x y b x y -=-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-==-11212100000，, 得：在椭圆上，代入，又点)4()11(b -22)1(21b b =-+,3343>=∴b ,1692=∴b , 892=a 所以所求的椭圆方程为：11698922=+y x 【例4】 如图,已知△P 1OP 2的面积为427,P 为线段P 1P 2的一个三等分点,求以直线OP 1、OP 2为渐近线且过点P 的离心率为213的双曲线方程.解：以O 为原点,∠P 1OP 2的角平分线为x 轴建立如图所示的直角坐标系. 设双曲线方程为2222by ax -=1a ＞0,b ＞0由e 2=2222)213()(1=+=a b a c ,得23=a b .∴两渐近线OP 1、OP 2方程分别为y =23x 和y =－23x设点P 1x 1, 23x 1,P 2x 2,－23x 2x 1＞0,x 2＞0,则由点P 分21P P 所成的比λ=21PP PP =2,得P 点坐标为22,322121x x x x -+,又点P 在双曲线222294ay ax -=1上, 所以222122219)2(9)2(a x x a x x --+=1,即x 1+2x 22－x 1－2x 22=9a 2,整理得8x 1x 2=9a 2 ①即x 1x 2= 29②由①、②得a 2=4,b 2=9 故双曲线方程为9422y x -=1.【例5】 过椭圆C ：)0(12222>>=+b a b x a y 上一动点P 引圆O ：x 2 +y 2 =b 2的两条切线P A 、P B ,A 、B 为切点,直线AB 与x 轴,y 轴分别交于M 、N 两点;1 已知P 点坐标为x 0,y 0 并且x 0y 0≠0,试求直线AB 方程；2 若椭圆的短轴长为8,并且1625||||2222=+ON b OM a ,求椭圆C 的方程；3 椭圆C 上是否存在点P,由P 向圆O 所引两条切线互相垂直若存在,请求出存在的条件；若不存在,请说明理由; 解：1设Ax 1,y 1,Bx 2, y 2切线P A ：211b y y x x =+,P B ：222b y y x x =+ ∵P 点在切线P A 、P B 上,∴202022101b y y x x b y y x x =+=+∴直线AB 的方程为)0(00200≠=+y x b y y x x2在直线AB 方程中,令y =0,则M 02x b ,0；令x =0,则N0,2y b∴1625)(||||22220220222222==+=+ba b x a y b a ON b OM a ①∵2b =8 ∴b =4 代入①得a 2 =25, b 2 =16 ∴椭圆C 方程：)0(1162522≠=+xy x y 注：不剔除xy ≠0,可不扣分3 假设存在点P x 0,y 0满足P A ⊥P B ,连接O A 、O B 由|P A |=|P B |知,四边形P A O B 为正方形,|OP|=2|O A | ∴220202b y x =+ ① 又∵P 点在椭圆C 上 ∴22202202b a y b x a =+ ②由①②知x2222202222220,)2(b a b a y b a b a b -=--=∵a >b >0 ∴a 2－b 2>01当a 2－2b 2>0,即a >2b 时,椭圆C 上存在点,由P 点向圆所引两切线互相垂直； 2当a 2－2b 2<0,即b <b 时,椭圆C 上不存在满足条件的P 点【例6】 已知椭圆C 的焦点是F 1－3,0、F 23,0,点F 1到相应的准线的距离为33,过F 2点且倾斜角为锐角的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点,使得|F 2B|=3|F 2A|.1求椭圆C 的方程；2求直线l 的方程. 解：1依题意,椭圆中心为O0,0,3=c点F 1到相应准线的距离为1333,322=⨯=∴=b cb, a 2=b 2+c 2=1+3=4∴所求椭圆方程为1422=+y x2设椭圆的右准线l '与l 交于点P,作AM ⊥l ',AN⊥l ',垂足分别为M 、N. 由椭圆第二定义, 得||||||||22AM e AF e AM AF =⇒=同理|BF 2|=e|BN| 由Rt △PAM ～Rt △PBN,得||2||2||21||2AM e A F AB PA ===…9分 l ePA AM PAM ⇒=⨯===∠∴33232121||||cos 的斜率2tan =∠=PAM k .∴直线l 的方程062)3(2=---=y x x y 即【例7】 已知点B －1,0,C1,0,P 是平面上一动点,且满足.||||CB PB BC PC ⋅=⋅1求点P 的轨迹C 对应的方程；x2已知点Am,2在曲线C 上,过点A 作曲线C 的两条弦AD 和AE,且AD ⊥AE,判断：直线DE 是否过定点试证明你的结论.3已知点Am,2在曲线C 上,过点A 作曲线C 的两条弦AD,AE,且AD,AE 的斜率k 1、k 2满足k 1·k 2=2.求证：直线DE 过定点,并求出这个定点.解：1设.4,1)1(||||),(222x y x y x CB PB BC PC y x P =+=+-⋅=⋅化简得得代入【例8】 已知曲线332)0,0(12222=>>=-e b a by ax 的离心率,直线l 过A a ,0、B0,－b 两点,原点O 到l 的距离是.23 Ⅰ求双曲线的方程；Ⅱ过点B 作直线m 交双曲线于M 、N 两点,若23-=⋅ON OM ,求直线m 的方程. 解：Ⅰ依题意,,0,1=--=-+ab ay bx byax l 即方程 由原点O 到l 的距离为23,得2322==+c ab ba ab 又332==ac e 3,1==∴a b故所求双曲线方程为1322=-y xⅡ显然直线m 不与x 轴垂直,设m 方程为y =k x －1,则点M 、N 坐标11,y x 、22,y x 是方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=--=13122y x kx y 的解 消去y ,得066)31(22=-+-kx x k ① 依设,,0312≠-k 由根与系数关系,知136,136221221-=-=+k x x k k x x =1)()1(21212++-+x x k x x k =113613)1(62222+---+k k k k =11362+-k23-=⋅ON OM ∴11362+-k =－23,k=±21 当k=±21时,方程①有两个不等的实数根 故直线l 方程为121,121--=-=x y x y 或【例9】 已知动点P 与双曲线13222=-y x 的两个焦点1F 、2F 的距离之和为定值,且21cos PF F ∠的最小值为91-．1求动点P 的轨迹方程；2若已知)3,0(D ,M 、N 在动点P 的轨迹上且DN DM λ=,求实数λ的取值范围． 解：1由已知可得： 5=c ,912)2(2222-=-+a c a a ∴ 4,92222=-==c a b a∴ 所求的椭圆方程为 14922=+y x . 2方法一：由题知点D 、M 、N 共线,设为直线m,当直线m 的斜率存在时,设为k,则直线m 的方程为 y = k x +3 代入前面的椭圆方程得 4+9k 2 x 2 +54 k +45 = 0 ① 由判别式 045)94(4)54(22≥⨯+⨯-=∆k k ,得952≥k . 再设M x 1 , y 1 , N x 2 , y 2,则一方面有))3(,()3,()3,(222211-=-==-=y x y x DN y x DM λλλλ,得另一方面有 2219454kk x x +-=+,2219445k x x += ②将21x x λ=代入②式并消去 x 2可得94)1(532422+=+k λλ,由前面知, 536402≤<k ∴ 581)1(532492≤+<λλ,解得 551<<λ.又当直线m 的斜率不存在时,不难验证：551==λλ或, 所以 551≤≤λ为所求;方法二:同上得设点M 3cos α,2sin α,N 3cos β,2sin β 则有⎩⎨⎧-=-=)3sin 2(3sin 2cos cos βλαβλα由上式消去α并整理得)(1251813sin 22λλλλβ-+-=, 由于1sin 1≤≤-β∴ 1)(1251813122≤-+-≤-λλλλ, 解得551≤≤λ为所求. 方法三：设法求出椭圆上的点到点D 的距离的最大值为5,最小值为1. 进而推得λ的取值范围为551≤≤λ;求圆锥曲线的方程练习一、选择题1．已知直线x +2y －3=0与圆x 2+y 2+x －6y +m =0相交于P 、Q 两点,O 为坐标原点,若OP ⊥OQ ,则m 等于B.－3D.－12．中心在原点,焦点在坐标为0,±52的椭圆被直线3x －y －2=0截得的弦的中点的横坐标为21,则椭圆方程为二、填空题3．直线l 的方程为y =x +3,在l 上任取一点P ,若过点P 且以双曲线12x 2－4y 2=3的焦点作椭圆的焦点,那么具有最短长轴的椭圆方程为_________.4．已知圆过点P 4,－2、Q －1,3两点,且在y 轴上截得的线段长为43,则该圆的方程为_________.三、解答题5．已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,它的一个焦点为F ,M 是椭圆上的任意点,|MF |的最大值和最小值的几何平均数为2,椭圆上存在着以y =x 为轴的对称点M 1和M 2,且|M 1M 2|=3104,试求椭圆的方程.6．某抛物线形拱桥跨度是20米,拱高4米,在建桥时每隔4米需用一支柱支撑,求其中最长的支柱的长.7．已知圆C 1的方程为x －22+y －12=320,椭圆C 2的方程为2222by ax +=1a ＞b ＞0,C 2的离心率为22,如果C 1与C 2相交于A 、B 两点,且线段AB 恰为圆C 1的直径,求直线AB 的方程和椭圆C 2的方程.参考答案一、1.解析：将直线方程变为x =3－2y ,代入圆的方程x 2+y 2+x －6y +m =0, 得3－2y 2+y 2+3－2y +m =0.整理得5y 2－20y +12+m =0,设Px 1,y 1、Qx 2,y 2 则y 1y 2=512m +,y 1+y 2=4.又∵P 、Q 在直线x =3－2y 上, ∴x 1x 2=3－2y 13－2y 2=4y 1y 2－6y 1+y 2+9 故y 1y 2+x 1x 2=5y 1y 2－6y 1+y 2+9=m －3=0,故m =3. 答案：A2.解析：由题意,可设椭圆方程为：2222b x a y + =1,且a 2=50+b 2,即方程为222250b x b y ++=1.将直线3x －y －2=0代入,整理成关于x 的二次方程. 由x 1+x 2=1可求得b 2=25,a 2=75. 答案：C二、3.解析：所求椭圆的焦点为F 1－1,0,F 21,0,2a =|PF 1|+|PF 2|.欲使2a 最小,只需在直线l 上找一点P .使|PF 1|+|PF 2|最小,利用对称性可解.答案：4522y x + =14.解析：设所求圆的方程为x －a 2+y －b 2=r 2则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-+--=--+-222222222)32(||)3()1()2()4(ra rb a r b a ⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===⇒2745130122r b a r b a 或由此可写所求圆的方程.答案：x 2+y 2－2x －12=0或x 2+y 2－10x －8y +4=0三、5.解：|MF |ma x =a +c ,|MF |min =a －c ,则a +ca －c =a 2－c 2=b 2, ∴b 2=4,设椭圆方程为14222=+y a x ① 设过M 1和M 2的直线方程为y =－x +m② 将②代入①得：4+a 2x 2－2a 2mx +a 2m 2－4a 2=0③设M 1x 1,y 1、M 2x 2,y 2,M 1M 2的中点为x 0,y 0, 则x 0=21x 1+x 2=224a m a +,y 0=－x 0+m =244a m +.代入y =x ,得222444amam a +=+,由于a 2＞4,∴m =0,∴由③知x 1+x 2=0,x 1x 2=－2244aa +,又|M 1M 2|=31044)(221221=-+x x x x ,代入x 1+x 2,x 1x 2可解a 2=5,故所求椭圆方程为：4522y x + =1.6.解：以拱顶为原点,水平线为x 轴,建立坐标系,如图,由题意知,|AB |=20,|OM |=4,A 、B 坐标分别为－10,－4、10,－4 设抛物线方程为x 2=－2py ,将A 点坐标代入,得100=－2p ×－4,解得p =, 于是抛物线方程为x 2=－25y .由题意知E 点坐标为2,－4,E ′点横坐标也为2,将2代入得y =－,从而|EE ′|=－－－4=.故最长支柱长应为米.7.解：由e =22,可设椭圆方程为22222b y b x +=1,又设Ax 1,y 1、Bx 2,y 2,则x 1+x 2=4,y 1+y 2=2, 又2222222212212,12by bx by bx +=+=1,两式相减,得22221222212by y bx x -+-=0,即x 1+x 2x 1－x 2+2y 1+y 2y 1－y 2=0. 化简得2121x x y y --=－1,故直线AB 的方程为y =－x +3, 代入椭圆方程得3x 2－12x +18－2b 2=0. 有Δ=24b 2－72＞0,又|AB |=3204)(221221=-+x x x x ,得3209722422=-⋅b ,解得b 2=8.故所求椭圆方程为81622y x +=1.直线与圆锥曲线复习要点直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现,主要涉及位置关系的判定,弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法,要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高,起到了拉开考生“档次”,有利于选拔的功能.1.直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题,实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解成实数解的个数问题,此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.2.当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题,常用“韦达定理法”设而不求计算弦长即应用弦长公式；涉及弦长的中点问题,常用“差分法”设而不求,将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来,相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件,寻找量与量间的关系灵活转化,往往就能事半功倍. 例题【例1】 已知椭圆的中心在坐标原点O ,焦点在坐标轴上,直线y =x +1与椭圆交于P 和Q ,且OP ⊥OQ ,|PQ |=210,求椭圆方程.解：设椭圆方程为mx 2+ny 2=1m ＞0,n ＞0,Px 1,y 1,Qx 2,y 2 由⎪⎩⎪⎨⎧=++=1122ny mx x y 得m +nx 2+2nx +n －1=0,Δ=4n 2－4m +nn －1＞0,即m +n －mn ＞0,由OP ⊥OQ ,所以x 1x 2+y 1y 2=0,即2x 1x 2+x 1+x 2+1=0, ∴nm nn m n --+-2)1(2+1=0,∴m +n =2①又2)210()(4=+-+nm mn n m 2, 将m +n =2,代入得m ·n =43②由①、②式得m =21,n =23或m =23,n =21 故椭圆方程为22x +23y 2=1或23x 2+21y 2=1.【例2】 如图所示,抛物线y 2=4x 的顶点为O ,点A 的坐标为5,0,倾斜角为4π的直线l 与线段OA 相交不经过点O 或点A 且交抛物线于M 、N 两点,求△AMN 面积最大时直线l 的方程,并求△AMN 的最大面积.解：由题意,可设l 的方程为y =x +m ,－5＜m ＜0. 由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=xy mx y 42,消去y ,得x 2+2m －4x +m 2=0……………①∵直线l 与抛物线有两个不同交点M 、N ,∴方程①的判别式Δ=2m －42－4m 2=161－m ＞0, 解得m ＜1,又－5＜m ＜0,∴m 的范围为－5,0设Mx 1,y 1,Nx 2,y 2则x 1+x 2=4－2m ,x 1·x 2=m 2, ∴|MN |=4)1(2m -. 点A 到直线l 的距离为d =25m +.∴S △=25+m m -1,从而S △2=41－m 5+m 2 =22－2m ·5+m 5+m ≤235522mm m ++++-3=128.∴S △≤82,当且仅当2－2m =5+m ,即m =－1时取等号. 故直线l 的方程为y =x －1,△AMN 的最大面积为82.【例3】 已知双曲线C ：2x 2－y 2=2与点P 1,2;1求过P 1,2点的直线l 的斜率取值范围,使l 与C 分别有一个交点,两个交点,没有交点;2若Q 1,1,试判断以Q 为中点的弦是否存在.解：1当直线l 的斜率不存在时,l 的方程为x =1, 与曲线C 有一个交点.当l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y －2=kx －1, 代入C 的方程,并整理得2－k 2x 2+2k 2－2kx －k 2+4k －6=0………………ⅰ当2－k 2=0,即k =±2时,方程有一个根,l 与C 有一个交点 ⅱ当2－k 2≠0,即k ≠±2时Δ=2k 2－2k 2－42－k 2－k 2+4k －6=163－2k①当Δ=0,即3－2k =0,k =23时,方程有一个实根,l 与C 有一个交点.②当Δ＞0,即k ＜23,又k ≠±2,故当k ＜－2或－2＜k ＜2或2＜k ＜23时,方程有两不等实根,l 与C 有两个交点.③当Δ＜0,即k ＞23时,方程无解,l 与C 无交点.综上知：当k =±2,或k =23,或k 不存在时,l 与C 只有一个交点；当2＜k ＜23,或－2＜k ＜2,或k ＜－2时,l 与C 有两个交点；当k ＞23时,l 与C 没有交点.2假设以Q 为中点的弦存在,设为AB ,且Ax 1,y 1,Bx 2,y 2,则2x 12－y 12=2,2x 22－y 22=2两式相减得：2x 1－x 2x 1+x 2=y 1－y 2y 1+y 2又∵x 1+x 2=2,y 1+y 2=2 ∴2x 1－x 2=y 1－y 1 即k AB =2121x x y y --=2但渐近线斜率为±2,结合图形知直线AB 与C 无交点,所以假设不正确,即以Q 为中点的弦不存在.【例4】 如图,已知某椭圆的焦点是F 1－4,0、F 24,0,过点F 2并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ,且|F 1B |+|F 2B |=10,椭圆上不同的两点Ax 1,y 1,Cx 2,y 2满足条件：|F 2A |、|F 2B |数列.1求该弦椭圆的方程； 2求弦AC 中点的横坐标；3设弦AC 的垂直平分线的方程为y =kx 求m 的取值范围.解：1由椭圆定义及条件知,2a =|F 1B |+|F 2B |=10,得a =5,又c =4,所以b =22c a -=3.故椭圆方程为92522y x +=1.2由点B 4,y B 在椭圆上,得|F 2B |=|y B |=59.因为椭圆右准线方程为x =425,离心率为54,根据椭圆定义,有|F 2A |=54425－x 1,|F 2C |=54425－x 2,由|F 2A |、|F 2B |、|F 2C |成等差数列,得54425－x 1+54425－x 2=2×59,由此得出：x 1+x 2=8.设弦AC 的中点为Px 0,y 0,则x 0=221x x +=4.3解法一：由Ax 1,y 1,Cx 2,y 2在椭圆上.得⎪⎩⎪⎨⎧⨯=+⨯=+25925925925922222121y x y x①－②得9x 12－x 22+25y 12－y 22=0, 即9×)()2(25)2(21212121x x y y y y x x --⋅+++=0x 1≠x 2 将kx x y y y y y x x x 1,2,422121021021-=--=+==+ k ≠0代入上式,得9×4+25y 0－k1=0k ≠0即k =3625y 0当k =0时也成立.由点P 4,y 0在弦AC 的垂直平分线上,得y 0=4k +m , 所以m =y 0－4k =y 0－925y 0=－916y 0.由点P 4,y 0在线段BB ′B ′与B 关于x 轴对称的内部, 得－59＜y 0＜59,所以－516＜m ＜516.解法二：因为弦AC 的中点为P 4,y 0,所以直线AC 的方程为y －y 0=－k1x －4k ≠0③将③代入椭圆方程92522y x +=1,得9k 2+25x 2－50ky 0+4x +25ky 0+42－25×9k 2=0 所以x 1+x 2=259)4(5020++k k =8,解得k =3625y 0.当k =0时也成立①以下同解法一.【例5】 已知双曲线G 的中心在原点,它的渐近线与圆2210200x y x +-+=相切．过点()4,0P -作斜率为14的直线l ,使得l 和G 交于,A B 两点,和y 轴交于点C ,并且点P 在线段AB 上,又满足2PA PB PC ⋅=． 1求双曲线G 的渐近线的方程； 2求双曲线G 的方程；3椭圆S 的中心在原点,它的短轴是G 的实轴．如果S 中垂直于l 的平行弦的中点的轨迹恰好是G 的渐近线截在S 内的部分,求椭圆S 的方程．解：1设双曲线G 的渐近线的方程为：y kx =, 则由渐近线与圆2210200x y x +-+==所以,12k =±．双曲线G 的渐近线的方程为：12y x =±． 2由1可设双曲线G 的方程为：224x y m -=．把直线l 的方程()144y x =+代入双曲线方程,整理得2381640x x m ---=． 则8164, 33A B A B mx x x x ++==-∵ 2PA PB PC ⋅=,,,,P A B C 共线且P 在线段AB 上, ∴ ()()()2P A B P P C x x x x x x --=-,即：()()4416B A x x +--=,整理得：()4320A B A B x x x x +++= 将代入上式可解得：28m =．所以,双曲线的方程为221287x y -=． 3由题可设椭圆S的方程为：(222128x y a a+=>．下面我们来求出S 中垂直于l 的平行弦中点的轨迹．设弦的两个端点分别为()()1122,,,M x y N x y ,MN 的中点为()00,P x y ,则2211222222128128x y a x y a ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩． 两式作差得：()()()()121212122028x x x x y y y y a-+-++=由于12124y y x x -=--,1201202,2x x x y y y +=+= 所以,0024028x y a -=, 所以,垂直于l 的平行弦中点的轨迹为直线24028x ya-=截在椭圆S 内的部分． 又由题,这个轨迹恰好是G 的渐近线截在S 内的部分,所以,211122a =．所以,256a =,椭圆S 的方程为：2212856x y +=． 点评：解决直线与圆锥曲线的问题时,把直线投影到坐标轴上也即化线段的关系为横坐标或纵坐标之间的关系是常用的简化问题的手段；有关弦中点的问题,常常用到“设而不求”的方法；判别式和韦达定理是解决直线与圆锥曲线问题的常用工具．【例6】 设抛物线过定点()1,0A -,且以直线1x =为准线．1求抛物线顶点的轨迹C 的方程；2若直线l 与轨迹C 交于不同的两点,M N ,且线段MN 恰被直线12x =-平分,设弦MN 的垂直平分线的方程为y kx m =+,试求m 的取值范围．解：1设抛物线的顶点为(),G x y ,则其焦点为()21,F x y -．由抛物线的定义可知：12AF A x ==点到直线的距离＝．所以2=．所以,抛物线顶点G 的轨迹C 的方程为：2214y x += ()1x ≠．2因为m 是弦MN 的垂直平分线与y 轴交点的纵坐标,由MN 所唯一确定．所以,要求m 的取值范围,还应该从直线l 与轨迹C 相交入手．显然,直线l 与坐标轴不可能平行,所以,设直线l 的方程为1:l y x b k=-+,代入椭圆方程得：由于l 与轨迹C 交于不同的两点,M N ,所以,()22222441440b k b k k ⎛⎫+∆=--> ⎪⎝⎭,即：()222410 0k k b k -+>≠．又线段MN 恰被直线12x =-平分,所以,2212241M N bk x x k ⎛⎫+==⨯- ⎪+⎝⎭．所以,2412k bk +=-．代入可解得：() 022k k -<<≠． 下面,只需找到m 与k 的关系,即可求出m 的取值范围．由于y kx m =+为弦MN 的垂直平分线,故可考虑弦MN 的中点01,2P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭．在1:l y x b k=-+中,令12x =-,可解得：2011412222k y b k k k k +=+=-=-． 将点1,22P k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭代入y kx m =+,可得：32k m =-．所以,0m m <<≠． 从以上解题过程来看,求m 的取值范围,主要有两个关键步骤：一是寻求m 与其它参数之间的关系,二是构造一个有关参量的不等式．从这两点出发,我们可以得到下面的另一种解法：解法二．设弦MN 的中点为01,2P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭,则由点,M N 为椭圆上的点,可知：22224444M M N N x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩． 两式相减得：()()()()40M N M N M N M N x x x x y y y y -++-+= 又由于01121, 2, 2M N M N M N M N y y x x y y y x x k -⎛⎫+=⨯-=-+=- ⎪-⎝⎭＝,代入上式得：02y k =-．又点01,2P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭在弦MN 的垂直平分线上,所以,012y k m =-+． 所以,001324m y k y =+=． 由点01,2P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭在线段BB ’上B ’、B 为直线12x =-与椭圆的交点,如图,所以,'0B B y y y <<．也即：0y <<所以,3333044m m -<<≠且 点评：解决直线和圆锥曲线的位置关系问题时,对于消元后的一元二次方程,必须讨论二次项系数和判别式,有时借助图形的几何性质更为方便．涉及弦中点问题,利用韦达定理或运用平方差法时设而不求,必须以直线与圆锥曲线相交为前提,否则不宜用此法．从构造不等式的角度来说,“将直线l 的方程与椭圆方程联立所得判别式大于0”与“弦MN 的中点01,2P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆内”是等价的．【例7】 设抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ,经过点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点．又M 是其准线上一点．试证：直线MA 、MF 、MB 的斜率成等差数列．证明 依题意直线MA 、MB 、MF 的斜率显然存在,并分别设为1k ,2k ,3k 点A 、B 、M 的坐标分别为A 1x ,1y ,B 2x ,2y ,M 2p -,m由“AB 过点F 2p ,0”得 AB l ：2p ty x +=将上式代入抛物线px y 22=中得：0222=--p pty y可知221p y y -=⋅又依“1212px y =及2222px y =”可知 因此22221121p x my p x m y k k +-++-=+而p m p p m k -=---=)2(203故3212k k k =+即直线MA 、MF 、MB 的斜率成等差数列．【例8】 已知a =x,0,b =1,y )3()3(b a b a -⊥+1求点Px,y 的轨迹C 的方程；2若直线l ：y=kx+mkm ≠0与曲线C 交于A 、B 两端,D0,－1,且有|AD|=|BD|,试求m 的取值范围;解：1)3,3(),1(3)0,(y x y x a +=+=+∵((a a -⊥+∴((a a -⋅+=0∴0)3(3)3)(3(=-⋅+-+y y x x 得1322=-y x∴P 点的轨迹方程为1322=-y x2考虑方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=1322y x m kx y 消去y,得1－3k 2x 2－6kmx －3m 2－3=0 显然1－3k 2≠0 △=6km 2－4－3m 2－3=12m 2+1－3k 2>0设x 1,x 2为方程的两根,则221316kkmx x -=+ 故AB 中点M 的坐标为2313k km -,231k m-∴线段AB 的垂直平分线方程为：)313)(1(3122k kmx k k m y ---=--将D0,－1坐标代入,化简得：4m=3k 2－1故m 、k 满足⎪⎩⎪⎨⎧-=>-+134031222k m k m ,消去k 2得：m 2－4m>0 解得：m<0或m>4又∵4m=3k 2－1>－1 ∴m>－41 故m ),4()0,41(+∞⋃-∈.直线与圆锥曲线练习一、选择题1．斜率为1的直线l 与椭圆42x +y 2=1相交于A 、B 两点,则|AB |的最大值为B.554C.5104D.51082．抛物线y =ax 2与直线y =kx +bk ≠0交于A 、B 两点,且此两点的横坐标分别为x 1,x 2,直线与x 轴交点的横坐标是x 3,则恒有=x 1+x 2=x 1x 3+x 2x 3 +x 2+x 3=0+x 2x 3+x 3x 1=0二、填空题3．已知两点M 1,45、N －4,－45,给出下列曲线方程：①4x +2y －1=0,②x 2+y 2=3,③22x +y 2=1,④22x －y 2=1,在曲线上存在点P 满足|MP |=|NP |的所有曲线方程是_________.4．正方形ABCD 的边AB 在直线y =x +4上,C 、D 两点在抛物线y 2=x 上,则正方形ABCD 的面积为_________.5．在抛物线y 2=16x 内,通过点2,1且在此点被平分的弦所在直线的方程是_________.三、解答题6．已知抛物线y 2=2pxp ＞0,过动点Ma ,0且斜率为1的直线l 与该抛物线交于不同的两点A 、B ,且|AB |≤2p .1求a 的取值范围.2若线段AB 的垂直平分线交x求△NAB 面积的最大值.7．已知中心在原点,顶点A 1、A 2在x e =321的双曲线过点P 6,6.1求双曲线方程.2动直线l 经过△A 1PA 2的重心G ,与双曲线交于不同的两点M 、N ,问：是否存在直线l ,使G 平分线段MN ,证明你的结论.8．已知双曲线C 的两条渐近线都过原点,且都以点A 2,0为圆心,1为半径的圆相切,双曲线的一个顶点A 1与A 点关于直线y =x 对称.1求双曲线C 的方程.2设直线l 过点A ,斜率为k ,当0＜k ＜1时,双曲线C 的上支上有且仅有一点B 到直线l 的距离为2,试求k 的值及此时B 点的坐标.直线与圆锥曲线参考答案一、1.解析：弦长|AB |=55422t -⋅⋅≤5104.答案：C2.解析：解方程组⎪⎩⎪⎨⎧+==bkx y ax y 2,得ax 2－kx －b =0,可知x 1+x 2=ak ,x 1x 2=－ab ,x 3=－kb ,代入验证即可.答案：B二、3.解析：点P 在线段MN 的垂直平分线上,判断MN 的垂直平分线于所给曲线是否存在交点.答案：②③④4.解析：设C 、D 所在直线方程为y =x +b ,代入y 2=x ,利用弦长公式可求出|CD |的长,利用|CD |的长等于两平行直线y =x +4与y =x +b 间的距离,求出b 的值,再代入求出|CD |的长.答案：18或505.解析：设所求直线与y 2=16x 相交于点A 、B ,且Ax 1,y 1,Bx 2,y 2,代入抛物线方程得y 12=16x 1,y 22=16x 2,两式相减得,y 1+y 2y 1－y 2=16x 1－x 2.即⇒+=--21212116y y x x y y k AB =8. 故所求直线方程为y =8x －15. 答案：8x －y －15=0三、6.解：1设直线l 的方程为：y =x －a ,代入抛物线方程得x －a 2=2px ,即x 2－2a +px +a 2=0∴|AB |=224)(42a p a -+⋅≤2p .∴4ap +2p 2≤p 2,即4ap ≤－p 2又∵p ＞0,∴a ≤－4p .2设Ax 1,y 1、Bx 2,y 2,AB 的中点 Cx ,y , 由1知,y 1=x 1－a ,y 2=x 2－a ,x 1+x 2=2a +2p , 则有x =222,2212121ax x y y y p a x x -+=+=+=+=p .∴线段AB 的垂直平分线的方程为y －p =－x －a －p ,从而N 点坐标为a +2p ,0点N 到AB 的距离为p a p a 22|2|=-+从而S △NAB =2222224)(4221p ap p p a p a +=⋅-+⋅⋅当a 有最大值－4p 时,S 有最大值为2p 2.7.解：1如图,设双曲线方程为2222b y a x -=1.由已知得321,16622222222=+==-ab a e b a ,解得a 2=9,b 2=12.所以所求双曲线方程为12922y x -=1.2P 、A 1、A 2的坐标依次为6,6、3,0、－3,0, ∴其重心G 的坐标为2,2假设存在直线l ,使G 2,2平分线段MN ,设Mx 1,y 1,Nx 2,y 2.则有34912441089121089122121212122222121==--⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=-=-x x y y y y x x y x y x ,∴k l =34∴l 的方程为y =34x －2+2,由⎪⎩⎪⎨⎧-==-)2(3410891222x y y x ,消去y ,整理得x 2－4x +28=0.∵Δ=16－4×28＜0,∴所求直线l 不存在. 8.解：1设双曲线的渐近线为y =kx ,由d =1|2|2+k k =1,解得k =±1.即渐近线为y =±x ,又点A 关于y =x 对称点的坐标为0,2. ∴a =2=b ,所求双曲线C 的方程为x 2－y 2=2.2设直线l ：y =kx －20＜k ＜1),依题意B 点在平行的直线l ′上,且l 与l ′间的距离为2.设直线l ′：y =kx +m ,应有21|2|2=++k m k ,化简得m 2+22k m=2. ②把l ′代入双曲线方程得k 2－1x 2+2mkx +m 2－2=0, 由Δ=4m 2k 2－4k 2－1m 2－2=0. 可得m 2+2k 2=2③②、③两式相减得k =2m ,代入③得m 2=52,解设m =510,k =552,此时x =2212=--k mk ,y =10.故B 22,10.。
高二上文科数学圆锥曲线专题复习
高二上文科数学圆锥曲线专题复习知识梳理：1．椭圆与双曲线23若直线b kx y l +=:与圆锥曲线0),(:=y x F r 相交于),(),,(2211y x B y x A 两点， 则弦长=||AB ；特别的，若圆锥曲线为抛物线时，则过抛物线焦点的弦长=||AB ；复习作业：1.已知椭圆121022=-+-m y m x 的焦距为4，则m 等于（ ） A. 4 B. 8 C. 4或8 D.以上均不对2.若椭圆19822=++y k x 的离心率为21=e ，则k 等于（ ） A. 4 B. 45-C. 4或45- D.以上均不对 3.“21<<m ”是“方程13122=-+-my m x 表示焦点在y 轴上的椭圆”的（ ）条件 A.充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D.既不充分也不必要4．以椭圆的焦点为顶点，离心率为的双曲线的方程 （ ） AB C 或 D 以上都不对 5.设椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的左右焦点分别为21,F F ，P 是C 上的点，且02121230,=∠⊥F PF F F PF ，则C 的离心率为（ ）A.63 B.31 C. 21D.33 6.若双曲线17222=---my m x 的焦距为6，则实数m 为（ ） A. 9 B. 0 C. 0或9 D.0或9-7. ．椭圆1244922=+y x 上一点P 与椭圆的两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△21F PF 的面积为 （ ） A 20 B 22 C 28 D 248.过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一个焦点F 引它的一条渐近线的垂线，垂足为M ，并且交y 轴于点E ，若M 为EF 的中点，则该双曲线的离心率为（ ）A.3B.2C.3D.29.过点)1,1(M 的直线与椭圆13422=+y x 交于B A ,两点，且点M 平分弦AB ，则直线AB 的方程为（ ）A.0734=-+y xB.743-+y xC.0143=+-y xD.0134=--y x1162522=+y x 21481622=-y x 127922=-y x 1481622=-y x 127922=-y x10..已知点)1,2(A ，抛物线x y 42=的焦点F ，若抛物线上存在一点P ，使得PF PA +最小，则P 点的坐标为（ ）A.)1,2(B.)1,1(C.)1,21(D.)1,41(11．双曲线的焦点到渐近线的距离等于 . 12．设抛物线28y x =上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是 ________13. 过双曲线228x y -=的左焦点1F 有一条弦PQ 在左支上，若||PQ =7，2F 是双曲线的右焦点，则2PF Q ∆ 的周长是 .14. 方程22141x y k k +=--表示的曲线为C ，若曲线C 为圆，则_______k =；若曲线C 表示焦点在x 轴 上的椭圆，则k 的取值范围为______________；若曲线C 表示双曲线，则k 的取值范围为_______________. 15. 已知抛物线24y x =上有一点P ,且点P 到直线03=+-y x 的距离最短，则最短距离为________. 16.若动圆P 经过定点)0,3(A ，且与定圆16)3(:22=++y x B 外切，则动圆圆心的轨迹方程为17.（1）已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 与椭圆14922=+y x 有相同的焦点，且双曲线的渐近线方程为x y 2±=，求双曲线的标准方。
高考文科数学圆锥曲线专题复习
高考文科数学圆锥曲线专题复习圆锥曲线专题复习______________________________________________________________________________ ________________________（一）椭圆1. 椭圆的性质：由椭圆方程2?2?1(a?b?0)（1）范围：?a?x?a，-b?x?a，椭圆落在x??a，y??b组成的矩形中。
（2）对称性:图象关于y轴对称。
图象关于x轴对称。
图象关于原点对称。
原点叫椭圆的对称中心，简称中心。
x轴、y轴叫椭圆的对称轴。
从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距。
（3 椭圆共有四个顶点：A(?a,0),A2(a,0)，B(0,?b),B2(0,b)。
加两焦点F1(?c,0),F2(c,0)共有六个特殊点。
A1A2叫椭圆的长轴，B1B2叫椭圆的短轴。
长分别为2a,2b。
a,b分别为椭圆的长半轴长和短半轴长。
椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点。
（4）离心率：椭圆焦距与长轴长之比。
e??e??()2。
0?e?1。
aa椭圆形状与e的关系：e?0,c?0，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在e?0时的特例。
e?1,c?a,椭圆变扁，直至成为极限位置线段F1F2，此时也可认为是椭圆在e?1时的特例。
2. 椭圆的第二定义：一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个(0,1)内常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆。
其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e就是离心率。
3. 椭圆的准线方程x2y2a2a2对于2?2?1，左准线l1:x??；右准线l2:x?______________________________________________________________________________ ________________________y2x2a2a2对于2?2?1，下准线l1:y??；上准线l2:y?ccaba2a2?c2b2?c??焦点到准线的距离p?（焦参数） ccc（二）双曲线的几何性质： 1. （1）范围、对称性由标准方程2?2?1，从横的方向来看，直线x＝－a,x＝a之间没有图象，从纵的方向来看，随着x的增大，y的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线。
圆锥曲线知识点梳理文科(供参考)
高考数学圆锥曲线部分知识点梳理一、圆：1、定义：点集｛M ｜｜OM ｜=r ｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径.2、方程：(1)标准方程：圆心在c(a,b)，半径为r 的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r 2圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是x 2+y 2=r 2(2)一般方程：①当D 2+E 2-4F ＞0时，一元二次方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为)2,2(ED --半径是2422F E D -+。
配方，将方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0化为(x+2D )2+(y+2E )2=44F -E D 22+②当D 2+E 2-4F=0时，方程表示一个点(-2D ,-2E );③当D 2+E 2-4F ＜0时，方程不表示任何图形.（3）点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x 0,y 0)，则｜MC ｜＜r ⇔点M 在圆C 内，｜MC ｜=r ⇔点M 在圆C 上，｜MC ｜＞r ⇔点M 在圆C 内，其中｜MC ｜=2020b)-(y a)-(x +。
（4）直线和圆的位置关系：①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：直线与圆相交⇔有两个公共点；直线与圆相切⇔有一个公共点；直线与圆相离⇔没有公共点。
②直线和圆的位置关系的判定：(i)判别式法；(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离22BA C Bb Aa d +++=与半径r 的大小关系来判定。
二、圆锥曲线的统一定义：平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l 的距离之 比是一个常数e(e ＞0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。
其中定点F(c,0)称为焦点，定直线l 称为准线，正常数e 称为离心率。
当0＜e ＜1时，轨迹为椭圆；当e=1时，轨迹为抛物线；当e ＞1时，轨迹为双曲线。
【备注1】双曲线：⑶等轴双曲线：双曲线222a y x ±=-称为等轴双曲线，其渐近线方程为x y ±=，离心率2=e .⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.λ=-2222b y a x 与λ-=-2222by a x 互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：02222=-b y a x .⑸共渐近线的双曲线系方程：)0(2222≠=-λλb y a x 的渐近线方程为02222=-b y a x 如果双曲线的渐近线为0=±bya x 时，它的双曲线方程可设为)0(2222≠=-λλb y a x .【备注2】抛物线： （1）抛物线2y =2px(p>0)的焦点坐标是(2p ,0)，准线方程x=-2p ，开口向右；抛物线2y =-2px(p>0)的焦点坐标是(-2p ,0)，准线方程x=2p ，开口向左；抛物线2x =2py(p>0)的焦点坐标是(0,2p )，准线方程y=-2p ，开口向上；抛物线2x =-2py （p>0）的焦点坐标是（0,-2p ），准线方程y=2p，开口向下.（2）抛物线2y =2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F 的距离20p x MF +=；抛物线2y =-2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F 的距离02x pMF -=（3）设抛物线的标准方程为2y =2px(p>0)，则抛物线的焦点到其顶点的距离为2p ，顶点到准线的距离2p ，焦点到准线的距离为p.（4）已知过抛物线2y =2px(p>0)焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，则线段AB 称为焦点弦，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则弦长AB =21x x ++p 或α2sin 2pAB =(α为直线AB 的倾斜角)，221p y y -=，2,41221px AF p x x +==(AF 叫做焦半径).四、常用结论：1.椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点三角形的面积为122tan2F PFS b γ∆=. 且γcos 12221+=b PF PF2.设P 点是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上异于实轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点,记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=-.(2).2cot221θb S FPF =∆3.)0(22≠=p px y 则焦点半径2P x PF +=;)0(22≠=p py x 则焦点半径为2P y PF +=.4. 通径为2p ，这是过焦点的所有弦中最短的.。
(完整)文科圆锥曲线大题复习
（完整）文科圆锥曲线大题复习高三数学圆锥曲线专题一．知识要点1、直线的斜率公式：k = tan a= 土二4（x丰x）（a为直线的倾斜角）x - x i 221两种常用的直线方程：（1）点斜式（2）斜截式2、直线与圆的位置关系有：相交、相切、相离三种，其判断方法有：①几何法（常用方法）若圆心到直线的距离为d，圆的半径为r,则：d = r o直线与圆相切d < r o直线与圆相交d > r o直线与圆相离②代数法由直线方程与圆的方程联立方程组，消元得到一个一元二次方程，则：A = 0o直线与圆相切A< 0 o直线与圆相离A> 0 o直线与圆相交3、圆的弦长若圆心到弦的距离为d，圆的半径为r,弦长是/，则l = 2工；r2 —d 2 .4、圆锥曲线的定义（包括长轴,短轴，实轴，虚轴,离心率，双曲线的渐近线等）（1）椭圆：（2）双曲线:（3）抛物线：x2 y2 x2 y25、点P（x , y）和椭圆——+ — = K a > b > 0）的关系：（1）点P（x , y）在椭圆外o -0- +与> 1 ；（2）点P（x , y）0 0 a2 b2 0 0 a2 b2 0 0在椭圆上o x0- +，=1；⑶点P（x , y）在椭圆内o x e- +，< 1a2 b2 0 0a2 b26、直线与圆锥曲线的位置关系：由直线方程与圆锥曲线联立方程组，消元得到一个一元二次方程，则：（1）相交：A> 0 o直线与椭圆相交；A> 0 n直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有A> 0 , 当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故A> 0是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；A> 0 n直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有A> 0，当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线相交且只有一个交点，故A> 0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。
高中文科数学 圆锥曲线复习
第七讲、圆锥曲线十五、圆锥曲线与方程 （一）圆锥曲线1.了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。
2.掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质。
3.了解双曲线的定义，掌握双曲线的几何图形和标准方程，理解它的简单几何性质。
4.能解决直线与椭圆、抛物线的位置关系等问题。
5.理解数形结合的思想。
6.了解圆锥曲线的简单应用。
椭圆1.定义：①平面内一个动点到两个定点F 1、F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|，即21212F F a PF PF >=+)，这个动点的轨迹叫椭圆(这两个定点叫焦点)．②点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e （0<e<1），则P 点的轨迹是椭圆2.椭圆参数的几何意义，如下图所示：（1）|PF 1|+|PF 2|=2a ，|PM 2|+|PM 1|=ca 22，||||11PM PF =||||22PM PF =e ；（2）=11F A c a F A -=22,=21F A c a F A +=12；c a PF c a +≤≤-1 （3）|BF 2|=|BF 1|=a ，|OF 1|=|OF 2|=c ；（4）|F 1K 1|=|F 2K 2|=p =cb 2，21A B A B ==3.标准方程：椭圆标准方程的两种形式12222=+by a x 和12222=+b x a y )0(>>b a 其中222b a c -= 椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 的焦点坐标是)0(，c ±，准线方程是c a x 2±=，离心率是ace =a b 22焦准距（焦点到准线的距离）c b p 2=，焦参数2b a （通径长的一半）范围：}{a x a x ≤≤-，}{b y b x ≤≤-，长轴长=a 2，短轴长=2b ，焦距＝2c ，焦半径：21()a PF e x a ex c=+=+，22()a PF e x a ex c =-=-.4.21F PF ∆中经常利用余弦定理．．．．、三角形面积公式．．．．．．．12212tan2PF F F PF S b ∆∠=将有关线段1PF 、2PF 、2c ，有关角21PF F ∠(1212F PF F BF ∠≤∠)结合起来，建立1PF +2PF 、1PF •2PF 等关系.5.椭圆上的点有时常用到三角换元：⎩⎨⎧θ=θ=sin cos b y a x ；双曲线 1 双曲线定义：①到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点．②动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线2双曲线图像中线段的几何特征：⑴实轴长122A A a =，虚轴长2b,焦距122F F =⑵顶点到焦点的距离：11A F =22A F c a =-，12A F =21A F a c =+⑶顶点到准线的距离：21122 a A K A K a c ==-；21221 a A K A K a c==+⑷焦点到准线的距离：2211221221 a a F K F K c F K F K c c c ==-==+或 ⑸两准线间的距离: 2122a K K c=⑹21F PF ∆中结合定义a PF PF 221=-与余弦定理21cos PF F ∠，将有关线段1PF 、2PF 、21F F 和角结合起来，12212cot2PF F F PF S b ∆∠=⑺离心率： 121122121122PF PF A F A F c e PM PM A K A K a ======∈（1，+∞）⑻焦点到渐近线的距离：虚半轴长b⑼通径的长是ab 22，焦准距2bc ，焦参数2b a （通径长的一半）其中22ba c +=a PF 221=-3 双曲线标准方程的两种形式：①22a x －22b y =1，c =22b a +，焦点是F 1（－c ，0），F 2（c ，0） ②22a y －22bx =1，c =22b a +，焦点是F 1（0，－c ）、F 2（0，c ） 4双曲线的性质：22a x －22by =1（a ＞0，b ＞0）⑴范围：|x |≥a ，y ∈R⑵对称性：关于x 、y 轴均对称，关于原点中心对称 ⑶顶点：轴端点A 1（－a ，0），A 2（a ，0） ⑷渐近线：①若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程⇒=-02222b y a x x a b y ±=②若渐近线方程为x aby ±=⇒0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x③若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）④特别地当⇔=时b a 离心率2=e ⇔两渐近线互相垂直，分别为y=x ±，此时双曲线为等轴双曲线，可设为λ=-22y x ；y =a b x ，y =－abx ⑸准线：l 1：x =－c a 2，l 2：x =c a 2，两准线之距为2122a K K c =⋅⑹焦半径：21()a PF e x ex a c=+=+，（点P 在双曲线的右支上x a ≥）；22()a PF e x ex a c=-=-，（点P 在双曲线的右支上x a ≥）；当焦点在y 轴上时，标准方程及相应性质（略）⑺与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-2222by a x 0(≠λ⑻与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+k b y k a x 抛物线1抛物线的定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线． 2抛物线的图形和性质：①顶点是焦点向准线所作垂线段中点。
高三高考数学总复习《圆锥曲线》题型归纳与汇总
高考数学总复习题型分类汇《圆锥曲线》篇经典试题大汇总目录【题型归纳】题型一求曲线的方程 (3)题型二最值（范围）问题 (4)题型三定点定值与存在性 (6)【巩固训练】题型一求曲线的方程 (8)题型二最值（范围）问题 (9)题型三定点定值与存在性 (11)高考数学《圆锥曲线》题型归纳与训练【题型归纳】题型一 求曲线的方程例1 已知定点()0,3-G ，S 是圆()723:22=+-y x C （C 为圆心）上的动点，SG 的垂直平分线与SC 交于点E ，设点E 的轨迹为M . 求M 的方程. 【答案】见解析【解析】由题意知ES EG =，所以26=+=+EC ESEC EG ,又因为266<=GC .所以点E 的轨迹是以G ，C 为焦点，长轴长为26的椭圆，动点E 的轨迹方程为191822=+y x . 例2 设O 为坐标原点，动点M 在椭圆22:12x C y +=上，过点M 作x 轴的垂线，垂足为N ， 点P 满足2NP NM =.求点P 的轨迹方程.【答案】见解析【解析】如图所示，设(),P x y ，(),0N x ，()1,M x y . 由2NP NM =知，12y y =，即12y =.又点M 在椭圆2212x y +=上，则有22122x y +=，即222x y +=.例3 如图，矩形ABCD 中， ()()()()2,0,2,0,2,2,2,2A B C D -- 且,AM AD DN DC λλ==,[]0,1,AN λ∈交BM 于点Q .若点Q 的轨迹是曲线P 的一部分，曲线P 关于x 轴、y 轴、原点都对称,求曲线P 的轨迹方程.【答案】Q 的轨迹为第二象限的14椭圆，由对称性可知曲线P 的轨迹方程为2214x y +=. 【解析】设(),Q x y ，由,AM AD DN DC λλ==,求得()()2,2,42,2M N λλ--, ∵1,22QA AN QB BM k k k k λλ====-,∴11224QA QB k k λλ⎛⎫⋅=⋅-=- ⎪⎝⎭, P x,y ()NM Oxy∴1224y y x x ⋅=-+-，整理得()22120,014x y x y +=-≤≤≤≤.可知点Q 的轨迹为第二象限的14椭圆，由对称性可知曲线P 的轨迹方程为2214x y +=. 【易错点】求轨迹问题学生容易忽视范围 【思维点拨】高考中常见的求轨迹方程的方法有:1.直译法与定义法：直译法求轨迹方程:题目给出的条件可以直接得到一个关于动点坐标的关系式,化简; 定义法求轨迹方程:轨迹方程问题中,若能得到与所学过的圆锥曲线定义相符的结论,可以根据相应圆锥曲线的定义求出相关的参数,从而得到方程.2.相关点法：找动点之间的转化关系（平移，伸缩，中点，垂直等），用要求的代替已知轨迹的，代入化简3.参数法：可用联立求得参数方程，消参.注意此种问题通常范围有限制.4.交轨法：联立求交点，变形的轨迹. 题型二 最值（范围）问题例1 已知F 为抛物线C ：x y 42=的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D 、E 两点，则DE AB +的最小值为（ ）A. 16B. 14C. 12D. 10 【答案】A【解析】设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y D x y E x y ，直线1l 的方程为()11y k x =-，联立方程()214 1y xy k x ==-⎧⎪⎨⎪⎩，得2222111240k x k x x k --+=，∴21122124k x x k --+=- 212124k k +=， 同理直线2l 与抛物线的交点满足：22342224k x x k ++=， 由抛物线定义可知12342AB DE x x x x p +=++++=22122222121224244448816k k k k k k ++++=++≥=， 当且仅当121k k =-=（或1-）时，取等号.【易错点】本题考查抛物线的焦点弦长,利用抛物线的焦点弦长公式,表示出DE AB +,然后利用基本不等式求最值.对相关流程应有所熟练例2 已知点A (0,2)-，椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF，O 为坐标原点． （1）求E 的方程；（2）设过点A 的动直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程． 【答案】见解析【解析】（1）2(c,0)F c c 设，由条件知，222=2, 1.c a b a c a ==-=又所以 22 1.4x E y +=故的方程为 （2）1122:=2,(,),(,).l x l y kx P x y Q x y ⊥-当轴时不合题意，故设22214x y kx y =-+=将代入得22(14)16120.k x kx +-+=221,23=16(43)0,4k k x ∆->>=当即时，12PQ x =-=从而O PQ d OPQ =∆又点到直线的距离所以的面积21=241OPQ S d PQ k ∆⋅=+244,0,.44OPQ t t t S t t t∆=>==++则44,20.2t t k t +≥==±∆>因为当且仅当，即OPQ ∆所以，当的面积最大时，l 的方程为2222y x y x =-=--或． 【思维点拨】 圆锥曲线中的取值范围问题常用的方法有以下几个：(1)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系；(2)利用基本不等式求出参数的取值范围；(3)利用函数的值域的求法（甚至求导），确定参数的取值范围． 题型三 定点定值与存在性问题例1 已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>上.（1）求C 的方程.（2）直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值. 【答案】见解析【解析】 （1=22421a b+=，解得28a =，24b =. 所以C 的方程为22184x y +=. （2）设直线l ：()00y kx b kb =+≠≠，，()11A x y ，， ()22B x y ，，()M M M x y ，.将 y kx b =+代入22184x y +=得()22221+4280k x kbx b ++-=. 故1222221M x x kb x k +-==+，221M M by kx b k =+=+ . 于是直线OM 的斜率12M OM M y k x k ==-，即12OM k k ⋅=-. 所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.【思维点拨】解析几何是高考必考内容之一，在命题时多从考查各种圆锥曲线方程中的基本量关系及运算，在直线与圆锥曲线关系中.一般用方程的思想和函数的观点来解决问题，并会结合中点坐标，方程根与函数关系来求解.例2 已知抛物线2:4C y x =，点()0,m M 在x 轴的正半轴上，过M 点的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点.(1) 若1=m ，且直线l 的斜率为1，求以AB 为直径的圆的方程；(2) 是否存在定点M ，使得不论直线:l x ky m =+绕点M 如何转动，2211AMBM+恒为定值？【答案】（1）()()223216x y -+-=. (2)存在定点M (2, 0). 【解析】（1）当1=m 时，()0,1M ，此时，点M 为抛物线C 的焦点，直线l 的方程为1-=x y ，设()()1122,,A x y B x y ，，联立24{ 1y xy x ==-，消去y 得， 2610x x -+=，∴126x x +=， 121224y y x x +=+-=，∴圆心坐标为(3, 2).又1228AB x x =++=，∴圆的半径为4，∴圆的方程为()()223216x y -+-=. (2)由题意可设直线l 的方程为x ky m =+，则直线l 的方程与抛物线2:4C y x =联立，消去x 得： 2440y ky m --=，则124y y m =-， 124y y k +=，()()22222211221111AMBMx m y x m y +=+-+-+()()()22122222222121211111y y k y k y k y y +=+=+++ ()()()()222121222222221221682111621y y y y k m k mky y k m m k +-++===+++ 对任意k R ∈恒为定值， 于是2=m ，此时221114AMBM+=. ∴存在定点()0,2M ，满足题意. 【易错点】定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果（取特殊位置或特殊值），因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.【思维点拨】定点、定值问题通常先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在．在求解中通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的.【巩固训练】题型一 求曲线的方程1.设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点()0,1B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC的平行线交AD 于点E .证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程.【答案】13422=+y x （0≠y ） 【解析】因为||||AC AD =，AC EB //，故ADC ACD EBD ∠=∠=∠， 所以||||ED EB =，故||||||||||AD ED EA EB EA =+=+.又圆A 的标准方程为16)1(22=++y x ，从而4||=AD ，所以4||||=+EB EA .由题设得)0,1(-A ，)0,1(B ，2||=AB ，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为13422=+y x （0≠y ）.2.已知动圆G 过定点()4,0F ，且在y 轴上截得的弦长为8.求动圆G 的圆心点G 的轨迹方程； 【答案】28y x =【解析】设动圆圆心(),G x y ，设圆交y 轴于,M N 两点，连接,GF GM ， 则GF GM =，过点G 作GH MN ⊥，则点H 是MN 的中点， 显然()22224,4GM x GF x y =+=-+，于是()222244x y x -+=+，化简整理得28y x =，故的轨迹方程为28y x =.3.已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于A B ，两点，交C 的准线于P Q ，两点．（1）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR FQ ∥；（2）若PQF △的面积是ABF △的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.【答案】（1）见解析； （2）12-=x y ．【解析】由题设)0,21(F .设b y l a y l ==:,:21，则0≠ab ，且记过B A ,两点的直线为l ，则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x .（1）由于F 在线段AB 上，故01=+ab .记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则222111k b aaba ab a b a a b a k =-=-==--=+-=.所以FQ AR ∥. （2）设l 与x 轴的交点为)0,(1x D ， 则1111,2222ABF PQF a b S b a FD b a x S -=-=--=△△. 由题设可得221211b a x a b -=--，所以01=x （舍去），11=x . 设满足条件的AB 的中点为),(y x E . 当AB 与x 轴不垂直时，由DE AB k k =可得)1(12≠-=+x x yb a . 而y b a =+2，所以)1(12≠-=x x y . 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合.所以，所求轨迹方程为12-=x y .题型二 最值（范围）问题1.已知动点E 到点A ()2,0与点B ()2,0-的直线斜率之积为14-，点E 的轨迹为曲线C ． （1）求C 的方程；（2）过点D ()1,0作直线l 与曲线C 交于P ， Q 两点，求OP OQ ⋅的最大值．【答案】（1）()22124x y x +=≠±（2）14 【解析】（1）设(),E x y ，则2x ≠±．因为E 到点A ()2,0，与点B ()2,0-的斜率之积为14-，所以122y yx x ⋅=-+-，整理得C 的方程为()22124x y x +=≠±． （2）当l 垂直于轴时，l 的方程为1x =，代入2214x y +=得P ⎛ ⎝⎭，1,Q ⎛ ⎝⎭．11,4OP OQ ⎛⎛⋅=⋅= ⎝⎭⎝⎭． 当l 不垂直于x 轴时，依题意可设()()10y k x k =-≠，代入2214x y +=得 ()2222148440k xk x k +-+-=．因为()216130k ∆=+>，设()11,P x y ， ()22,Q x y ．则2122814k x x k +=+， 21224414k x x k -=+．()()21212121211OP OQ x x y y x x k x x ⋅=+=+-- ()()22212121k x x k x x k =+-++14+21174416k =-+ 14< 综上OP OQ ⋅ 14≤，当l 垂直于x 轴时等号成立，故OP OQ ⋅的最大值是14．2.设椭圆()2222:10x y M a b a b +=>>经过点12,,P F F ⎭是椭圆M 的左、右焦点，且12PF F ∆的面积为2． （1）求椭圆M 的方程；（2）设O 为坐标原点，过椭圆M 内的一点()0,t 作斜率为k 的直线l 与椭圆M 交于,A B 两点，直线,OA OB 的斜率分别为12,k k ，若对任意实数k ，存在实数m ，使得12k k mk +=，求实数m 的取值范围．【答案】（1）22143x y +=；（2）[)2,m ∈+∞． 【解析】（1）略（2）设直线l 的方程为y kx t =+，由221{ 43x y y kx t+==+，得()2223484120k x ktx t +++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则21212228412,3434kt t x x x x k k -+=-=++，()212121221212122223t x x y y t t kt k k k k k k x x x x x x t ++=+=+++=+=--， 由12k k mk +=对任意k 成立，得22223t m t =--，∴()232m t m-=，又()0,t 在椭圆内部中，∴203t ≤<，∴2m ≥，即[)2,m ∈+∞．题型三 定点定值与存在性问题1.已知12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，离心率为12， ,M N 分别是椭圆的上、下顶点，22•2MF NF =-.（1）求椭圆E 的方程；（2）若直线y kx m =+与椭圆E 交于相异两点,A B ，且满足直线,MA MB 的斜率之积为14，证明：直线AB 恒过定点，并求定点的坐标.【答案】（1）22143x y +=（2）直线AB恒过定点(0,.【解析】（1）由题知()0,2c F ，()b M ,0，()b N -,0，22222-=-=⋅∴b c NF MF ①由21==a c e ，得c a 2= ② 又222cb a =- ③ 由①②③联立解得：42=a ，32=b ∴椭圆E 的方程为13422=+y x . （2）证明：由椭圆E 的方程得，上顶点()3,0M ，设()11,y x A ，()22,y x B ，由题意知，01≠x ，02≠x由⎪⎩⎪⎨⎧=++=13422y x m kx y 得：()()034843222=-+++m kmx x k∴221438kkmx x +-=+，()22214334k m x x +-=， 又111133x m kx x y k MA -+=-=，222233x m kx x y k MB -+=-=， 由41=⋅NB MA k k ，得()()2121334x x m kx m kx =-+-+， ()()()()()()0433483414342222=+-+--+--k m km m k k m ，化简得：06332=+-m m 解得：3=m 或32=m ，结合01≠x ，02≠x 知32=m ，即直线AB 恒过定点()32,0.2.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，ΔOAB 的面积为1．（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ．求证：||||AN BM ⋅为定值．【答案】（1） 1422=+y x （2）见解析. 【解析】（1）由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===,,121,23222c b a ab a c 解得1,2==b a . 所以椭圆C 的方程为1422=+y x . （2）由（1）知，)1,0(),0,2(B A ，设),(00y x P ，则442020=+y x .当00≠x 时，直线PA 的方程为)2(200--=x x y y .令0=x ，得2200--=x y y M .从而221100-+=-=x y y BM M . 直线PB 的方程为110+-=x x y y . 令0=y ，得100--=y x x N .从而12200-+=-=y x x AN N . 所以221120000-+⋅-+=⋅x y y x BM AN 228844224844400000000000000002020+--+--=+--+--++=y x y x y x y x y x y x y x y x y x 4=.当00=x 时，10-=y ，,2,2==AN BM 所以4=⋅BM AN .综上，BM AN ⋅为定值.3. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率e =C 上的点 到(0,2)Q 的距离的最大值为3． （1）求椭圆C 的方程；（2）在椭圆C 上，是否存在点(,)M m n 使得直线l ：1mx ny +=与圆O ：221x y += 相交于不同的两点,A B ，且OAB ∆的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及相对应的OAB ∆的面积；若不存在，请说明理由．【答案】（1） 2213x y += （2）见解析【解析】（1）由2223c e c a a ==⇒=，所以222213b ac a =-= 设(,)P x y 是椭圆C 上任意一点，则22221x y a b+=，所以222222(1)3y x a a y b =-=-||PQ ===所以，当1y =-时，||PQ 3=，可得a =1,b c ==故椭圆C 的方程为：2213x y += （2）存在点M 满足要求，使OAB ∆得面积最大．假设直线:1l mx ny +=与圆22:1O x y +=相交于不同两点,A B , 则圆心O 到l的距离1d =<，∴221m n +> ①因为(,)M m n 在椭圆C 上，所以2213m n +=②，由①②得：203m <∵||AB ==所以1||2OABSAB d =⋅=2213m n =-代入上式得213221213OABmS m m ∆==+⋅，当且仅当22231(0,3]32m m =⇒=∈，∴2231,22m n ==，此时满足要求的点(M 有四个． 此时对应的OAB ∆的面积为12． 4.已知过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的直线交抛物线于()()()112212,,,A x y B x y x x < 两点，且6AB =.（1）求该抛物线E 的方程；（2）过点F 任意作互相垂直的两条直线12,l l ，分别交曲线E 于点,C D 和,M N .设线段,CD MN 的中点分别为,P Q ，求证：直线PQ 恒过一个定点.【答案】（1）24y x = （2）直线PQ 恒过定点()3,0.【解析】（1）抛物线的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，∴直线AB 的方程为：2p y x ⎫=-⎪⎭联立方程组22{ 2y pxp y x =⎫=-⎪⎭，消元得： 22204p x px -+=， ∴212122,4px x p xx +==∴6AB ===，解得2p =±.∵0p >，∴抛物线E 的方程为：24y x =.（2）设,C D 两点坐标分别为()()1122,,,x y x y ，则点P 的坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭..由题意可设直线1l 的方程为()()10y k x k =-≠. 由()24{1y x y k x ==-，得()2222240k x k x k -++=.()24224416160k k k ∆=+-=+>因为直线1l 与曲线E 于,C D 两点，所以()1212122442,2x x y y k x x k k+=++=+-=. 所以点P 的坐标为2221,k k ⎛⎫+⎪⎝⎭. 由题知，直线2l 的斜率为1k-，同理可得点Q 的坐标为()212,2k k +-. 当1k ≠±时，有222112k k+≠+，此时直线PQ 的斜率2222221112PQ kk k k k k k+==-+--. 所以，直线PQ 的方程为()222121k y k x k k+=---，整理得()230yk x k y +--=. 于是，直线PQ 恒过定点()3,0； 当1k=±时，直线PQ 的方程为3x =，也过点()3,0.综上所述，直线PQ 恒过定点()3,0.新课程标准的内容与现形课标内容的对比如下表：与现形课标对比，必修3中的“算法初步”删掉了；删掉了必修5中的解三角形，不等式的大部分内容。
高考文科数学圆锥曲线专题训练
高考文科数学圆锥曲线专题训练用时：60分钟一、选择题1. θ是任意实数，则方程4sin 22=+θy x 所表示的曲线不可能是 A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 圆2. 已知椭121)(1222=-+t y x 的一条准线方程是8=y ，则实数t 的值是 A. 7或－7B. 4或12C. 1或15D. 03. 双曲线1422=+ky x 的离心率)2,1(∈e ，则k 的取值范围为 A. )0,(-∞ B. （－12，0） C. （－3，0） D. （－60，－12）4. 以112422=-y x 的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为 A.1121622=+y xB.1161222=+y x C.141622=+y xD.116422=+y x 5. 抛物线28mx y =的焦点坐标为 A. )0,81(mB. )321,0(mC. )321,0(m±D. )0,321(m±6. 已知点A （－2，1），x y 42-=的焦点为F ，P 是x y 42-=的点，为使PF PA +取得最小值，P 点的坐标是 A. )1,41(-B. )22,2(-C. )1,41(-- D. )22,2(-- 7. 已知双曲线的渐近线方程为043=±y x ，一条准线方程为095=-y ，则双曲线方程为A.116922=-x yB.116922=-y x C.125922=-x yD.125922=-y x8. 抛物线2x y =到直线42=-y x 距离最近的点的坐标为 A. )45,23(B. )1,1(C. )49,23(D. )4,2(9. 动圆的圆心在抛物线x y 82=上，且动圆与直线02=+x 相切，则动圆必过定点 A. （4，0） B. （2，0） C. （0，2） D. （0，－2）10．中心在原点，焦点在坐标为(0，±52)的椭圆被直线3x －y －2=0截得的弦的中点的横坐标为21，则椭圆方程为 12575D. 17525C.1252752B. 1752252A.22222222=+=+=+=+y x y x y x y x二、填空题11. 到定点（2，0）的距离与到定直线8=x 的距离之比为22的动点的轨迹方程为_______. 12.双曲线2222=-my mx 的一条准线是1=y ，则=m ___________.13. 已知点（－2，3）与抛物线)0(22>=p px y 的焦点距离是5，=p ____________. 14．直线l 的方程为y =x +3,在l 上任取一点P ，若过点P 且以双曲线12x 2－4y 2=3的焦点作椭圆的焦点，那么具有最短长轴的椭圆方程为_______________. 三、解答题15. 已知双曲线的中心在原点，过右焦点F （2，0）作斜率为53的直线，交双曲线于M 、N 两点，且MN ＝4，求双曲线方程。
高三文科数学高考前知识整理专题六： 圆锥曲线
立体几何（4 题）： 汕头一模 18； 广州一模 18； 第 6 周综合考试（深圳一模）18； 综合训练 9（江门一模）18；
数列（4 题）： 广州一模 19； 第 6 周综合考试（深圳一模）19； 综合训练 7（中山期末）18； 综合训练 11（湛江一模）19；
M
平面内到两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于F1
F2
常4、数抛2a（物2线a<的|F1定F2 义|）的点的轨迹叫双曲线。
l d .M
平面内到一定点的距离与到一定直线的距离 （定点不在定直线上）的点的轨迹叫抛物线。
.F
椭圆、双曲线、抛物线
名称 定义
标准 方程
椭圆
双曲线
抛物线
|PF|= PM 点F
完成《考前增分特训》P129必做题目（9题） 第1、2、3、4、5、7、8、9、11题；
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二模前复习解答题：
三角（4 题）： 汕头一模 16； 综合训练 2（广州期末）16； 综合训练 6（佛山期末）16； 综合训练 8（东莞期末）16；
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思维启迪 △PF1F2 中 利 用 余
弦定理求∠F1PF2；
变式训练1 (1)已知椭圆 C：xa22＋yb22＝1(a>b>0)的离心率为 23.双曲线 x2 －y2＝1 的渐近线与椭圆 C 有四个交点，以这四个交点为
高中高考文科数学圆锥曲线专题复习模板计划总结计划模板计划模板.docx
高三文科数学专题复习之圆锥曲线知识归纳：名椭圆称图象平面内到两定点F1 ,F2的距离的和为常数（大于 F1F2）的动点的轨迹叫椭圆即 MF1MF 22a定当 2 a﹥ 2c时，轨迹是椭圆，义当 2 a＝2 c时，轨迹是一条线段双曲线平面内到两定点F1, F2的距离的差的绝对值为常数（小于 F1F2）的动点的轨迹叫双曲线即MF1MF 22a当 2 a﹤2 c时，轨迹是双曲线F1F2当2a＝2c时，轨迹是两条射线当 2 a﹤ 2c时，轨迹不存在当2a﹥2c时，轨迹不存在标准焦点在 x 轴上时：x2y21焦点在 x 轴上时：x2y 21a2b2a2 b 2方程焦点在 y 轴上时：y2x 21焦点在 y 轴上时：y2x 21 a 2b2 a 2b2注：根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上常数a, b, c的关系渐近线抛物线：图形方程焦点a2 c 2 b 2，a b 0 ，c2 a 2 b 2，c a0a 最大， c b,c b, cbc 最大，可以 a b, a b, a b焦点在 x 轴上时：xy0a b焦点在 y 轴上时：yx0a b准线（一）椭圆1.椭圆的性质：由椭圆方程x2y2a b 0) a b1(22（1）范围： a x a，- b x a ，椭圆落在 x a，y b 组成的矩形中。
（2）对称性 : 图象关于 y 轴对称。
图象关于x 轴对称。
图象关于原点对称。
原点叫椭圆的对称中心，简称中心。
x 轴、y 轴叫椭圆的对称轴。
从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距。
（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点椭圆共有四个顶点：A (a,0),A2( ,0)， B (0,2。
加两焦点 F1 ( c,0), F2 (c,0) 共a b), B (0,b)有六个特殊点。
A1 A2叫椭圆的长轴， B1 B2叫椭圆的短轴。
长分别为2a,2b 。
a, b 分别为椭圆的长半轴长和短半轴长。
椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点。
§10.5 圆锥曲线的综合问题 高考数学(文科,课标Ⅲ)复习专题
ｘ２ ５
＋ｙ２
＝
１
上，
所以
ｘ
２ ０
５
＋ｙ２０
＝
１，
即 ｘ２０ ＋５ｙ２０ ＝ ５， 故 λ１ ＋λ２ ＝ １８．
②当 ＰＡ 或 ＰＢ 与 ｘ 轴垂直或 ｙ０ ＝ ０ 时，也易得 λ１ ＋λ２ ＝ １８．
综上，λ１ ＋λ２ 为定值．
二、圆锥曲线中最值（ 范围） 问题
������������������������������������������������
１７ ４８ ，为定值．
综上，
｜
１ ＡＢ
｜
＋
｜
１ ＣＤ
｜
为定值．
１－１ （２０１８ 广西南宁测试，２０） 已知左焦点为 Ｆ（ － １，０） 的
椭圆
Ｃ：
ｘ２ ａ２
＋ ｙ２ ｂ２
＝ １（ａ＞ｂ＞０）经过点
Ａ（２，０） ．
（１）求椭圆 Ｃ 的方程；
（２）已知直线 ｌ 与椭圆 Ｃ 分别交于 Ｍ、Ｎ （ Ｍ、Ｎ 在 ｘ 轴异
由①②得
ｍ＜－
６ ３
或
ｍ＞
６ ３
．
（ ２） 令
ｔ＝
１ ｍ
∈
æ
ç
－
è
６
，０
ö
÷
∪
æ
ç
０，
２ øè
６ ２
ö
÷
，
ø
则 ｜ ＡＢ ｜ ＝
ｔ２ ＋１ ·
－２ｔ４ ＋２ｔ２ ＋
３ ２
，
ｔ２ ＋
１ ２
且 Ｏ 到直线 ＡＢ 的距离 ｄ ＝
＋
１ ｍ２
ö
÷
ø
ｘ２
－
２ｂ ｍ
高考数学圆锥曲线专题复习.资料
圆锥曲线一、知识结构1. 方程的曲线在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=O 的实数解建立了如下的关系：(1) 曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2) 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点•那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线•点与曲线的关系若曲线C的方程是f(x,y)=0 ，则点P o(x o,y o)在曲线C上：=f(x o,y o)=0 ;点P o(x o,y o)不在曲线C上：=f(x o,y o)工0两条曲线的交点若曲线G, C2的方程分别为f i(x,y)=o,f 2(x,y)=0,贝Uf i(x o,y o)=o点P o(x o,y o)是C i, C2 的交点=*f " 2(x o,y o) =o方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点.2. 圆圆的定义：点集：{ M|| OM| =r },其中定点0为圆心，定长r 为半径. 圆的方程： (1) 标准方程圆心在c(a,b)，半径为r 的圆方程是2 2 2(x-a) +(y-b) =r圆心在坐标原点，半径为 r 的圆方程是2 . 2 2 x +y =r(2) 一般方程当D 2+E 2-4F > 0时，一元二次方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0当D 2+E-4F V 0时，方程不表示任何图形 . 点与圆的位置关系已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x o ,y 0)，贝U| MC| V r= 点M 在圆C 内，| MC| =r= 点M 在圆C 上,| MC| > r= 点M 在圆C 内, 其中 |MC|= ..(x °-a)2 (y °-b)2.(3) 直线和圆的位置关系① 直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系 直线与圆相交二 有两个公共点 直线与圆相切二 有一个公共点 直线与圆相离二 没有公共点 ② 直线和圆的位置关系的判定 (i) 判别式法Aa + Bb+C(ii) 利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d=—,与半径r 的大小关系来判J A 2+B 2叫做圆的一般方程，圆心为(-x 2+y 2+Dx+Ey+F=0 化为2 2’ D 、2 , E 、2 D E -4F(x+) +(y+)=42 2当D +E -4F=0时，方程表示一个点: 2 2—E -4F .配方，将方程4.圆锥曲线的统一定义平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,O)的距离与到不通过这个定点的一条定直线I的距离之比是一个常数e(e >0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线.其中定点F(c,O)称为焦点，定直线I称为准线，正常数e称为离心率.当0v e v 1时，轨迹为椭圆，当e=1时，轨迹为抛物线当e> 1时，轨迹为双曲线5.坐标变换坐标变换在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程.坐标轴的平移坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴.坐标轴的平移公式设平面内任意一点M它在原坐标系xOy中的坐标是9x,y)，在新坐标系x ' O y'中的坐标是(x ' ,y ' )•设新坐标系的原点O在原坐标系xOy中的坐标是(h,k)，则x=x' +h x 一’ =x -h(1) -: 或⑵-'y=y ' +k y z=y -k公式⑴或⑵ 叫做平移(或移轴)公式•中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表•(一)曲线和方程，由已知条件列出曲线的方程，曲线的交点说明在求曲线方程之前必须建立坐标系，然后根据条件列出等式进行化简•特别是在求出方程后要考虑化简的过程是否是同解变形，是否满足已知条件，只有这样求出的曲线方程才能准确无误.另外，要求会判断曲线间有无交点，会求曲线的交点坐标三、考纲中对圆锥曲线的要求：考试内容：.椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程；.双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质；.抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质；考试要求：.(1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程；.(2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质；.(3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质；.(4) 了解圆锥曲线的初步应用。
完整版)高三圆锥曲线知识点总结
完整版)高三圆锥曲线知识点总结第八章《圆锥曲线》专题复一、椭圆方程1.椭圆的第一定义：设F1.F2是平面内两个定点，对于任意点P，有PF1 +PF2 = 2a (a。
0)，则称所有满足该性质的点P的轨迹为椭圆。
椭圆的方程为 PF1 + PF2 = 2a，无轨迹为 PF1 + PF2 = 2a，以F1,F2为端点的线段。
2.椭圆的方程形式：①椭圆的标准方程：i。
中心在原点，焦点在x轴上。
x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 (a。
b)。
ii。
中心在原点，焦点在y轴上：x^2/b^2 + y^2/a^2 = 1 (a。
b)。
②一般方程：Ax^2 + By^2 = 1 (A,B不同时为0)。
③椭圆的参数方程：x = a*cosθ，y = b*sinθ (θ ∈ [0,π])。
注意：椭圆参数方程的推导：设点N(acosθ,bsinθ)，则有PF1 + PF2 = 2a，即√[(acosθ - c)^2 + (bsinθ)^2] + √[(acosθ + c)^2 + (bsinθ)^2] = 2a，整理得到x = a*cosθ，y = b*sinθ。
3.椭圆的性质：①顶点：(±a,0)或(0,±b)。
②轴：对称轴为x轴，y轴；长轴长2a，短轴长2b。
③焦点：(±c,0)或(0,±c)，其中c = √(a^2 - b^2)。
④焦距：F1F2 = 2c，c = √(a^2 - b^2)。
⑤准线：x = ±a/e 或 y = ±b/e，其中e为离心率。
⑥离心率：e = c/a。
⑦焦半径：y = ±(b^2 - x^2)^(1/2) 或 x = ±(a^2 - y^2)^(1/2)。
⑧通径：垂直于x轴且过焦点的弦叫做通径，坐标为(±c,d/2)，其中d为通径长度。
4.共离心率的椭圆系的方程：椭圆 x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 的离心率是e = c/a (c = √(a^2 -b^2))，方程 x^2/a^2 + y^2/b^2 = t (t。
最新高二数学_圆锥曲线(文科月考复习)优秀名师资料
高二数学_圆锥曲线(文科月考复习) 圆锥曲线一、椭圆项目内容定义图形标准方程统一形式范围顶点与长短轴的长几焦点焦距何性离心率质焦点三角椭圆上一点与椭圆的两个焦点组成的三角形，其周长为，解题中常用余22ac，形弦定理和勾股定理来进行相关的计算焦点弦三椭圆的一焦点与过另一焦点的弦组成的三角形，其周长为。
4a角形1. 求适合下列条件的椭圆的标准方程(1)两个焦点的坐标分别是(,4，0)，(4，0)，椭圆上一点P到两焦点距离之和等于 10 ;35(2)两个焦点的坐标分别是(0，,2)、(0，2)，并且椭圆经过点 ; (,,)22(3)长轴长是短轴长的3倍，并且椭圆经过点A(-3，) 33(4)离心率为，且经过点(2，0)的椭圆的标准方程是 ( 25(5)离心率为，一条准线方程为，中心在原点的椭圆方程是 ( x,33A(6)设B(0,,5),C(0,5)，的周长为36，则的顶点的轨迹方程是 ( ,ABC,ABC 22(7)椭圆方程为，则焦点坐标为，顶点坐标为，长轴长为，3x，2y,1 短轴长为，离心率为，准线方程为 ( (8)已知椭圆短轴上的两个三等份点与两个焦点构成一个正方形，则椭圆的离心率为22xy(9已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是________，若该，,1ymmm,,12方程表示双曲线，则的取值范围是_______( m22xy1(10)若椭圆的离心率为，则为，,1m2m4二、双曲线项目内容定义图形标准方程统一形式范围顶点与实虚轴的长焦点焦距渐近线方几程何性离心率质对称性焦点三角双曲线上一点与双曲线的两个焦点组成的三角形，解题中常用余弦定理和勾股形定理来进行相关的计算焦点弦三双曲线的一焦点与过另一焦点的弦组成的三角形。
角形(1) 中心在原点，一个顶点是(0，6)，且离心率是1.5，则标准方程是22(2) 与双曲线x,2y,2有公共渐近线，且过点M(2，,2)的标准方程为22xy(3) 以椭圆的焦点为顶点，且以椭圆的顶点为焦点的双曲线方程是，,185(4) 已知点，动点到与的距离之差是6，则点的轨迹PPFF(,5,0),F(5,0)F1221是，其轨迹方程是 (2x2(5) 双曲线方程为，则焦点坐标为，顶点坐标为，实轴y,,14长为，虚轴长为，离心率为，准线方程为，渐进线方程为(6) 已知双曲线的对称轴为坐标轴，一条渐近线为，则双曲线的离心率为2x,y,02x2(7) 已知双曲线的两焦点F、F，点P在双曲线上且满足，则?,,y1，,FPF6012124FPF的面积为__________ 122222yyxx3(8) 椭圆 ()离心率为,则双曲线的离心率为，,1,,1a,b,022222abab2y2(9) 过双曲线,=1的右焦点F作直线交双曲线于A, B两点，若|AB|=4，则这样的xl2直线有条22(10) “ab<0”是“方程表示双曲线”的条件 ax，by,cP(11) 已知双曲线的中心在原点，两个焦点分别为和，点在双曲线上FF，(50)，(50),，12且，且的面积为1，则双曲线的方程为________________PFPF,?PFF121222xy(12) 双曲线的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为 ,,122ab22xyP(13) 设是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为，分别320xy,,FF，,,1122a9是双曲线的左、右焦点，若PF,3，则PF的值为 12(14)三、抛物线项目内容定义图形标准方程几范围何开口性方向质顶点坐标焦点坐标准线方程对称轴离心率通径长焦半径(1) 已知抛物线顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点到焦点的距离为5，A(,3,n)求抛物线的方程和n的值((2) 焦点在直线上的抛物线标准方程是 x,2y,4,02(3) 若抛物线上一点的横坐标为,9，它到焦点的距离为10，则My,,2px(p,0) 抛物线方程是，点的坐标是 M12(4) 抛物线的准线方程是，焦点坐标是 y,,x82(5) 已知抛物线C:的焦点为F，过点F的直线l与C相交于A、B( y,4x16(1) 若，求直线l的方程((2) 求的最小值( AB,AB32(6) 抛物线上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为 xy,4 2(7) 过抛物线的焦点作直线交抛物线于点两点，若PxyQxy,,,yx,4，，，，1122，则PQ中点M到抛物线准线的距离为 xx，,6122(8) 过抛物线y=4x的焦点作直线交抛物线于A(x，y)，B(x，y)两点，如果x+x=6，112212那么|AB|=22(9) 如果方程y=kx+3表示倾斜角为钝角的直线,那么方程kx+3y=1表示的曲线是(10) 已知抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，又知此抛物线上一点A(4，m)到焦点的距离为6. (1)求此抛物线的方程; (2)若此抛物线方程与直线相y,kx,2交于不同的两点A、B，且AB中点横坐标为2，求k的值。
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１高三文科数学专题复习之圆锥曲线 知识归纳： 名 称 椭圆双曲线图 象xOyxOy定 义平面内到两定点21,F F 的距离的和为常数（大于21F F ）的动点的轨迹叫椭圆即a MF MF 221=+当2a ﹥2c 时， 轨迹是椭圆，当2a ＝2c 时， 轨迹是一条线段21F F当2a ﹤2c 时， 轨迹不存在平面内到两定点21,F F 的距离的差的绝对值为常数（小于21F F ）的动点的轨迹叫双曲线即122MF MF a -= 当2a ﹤2c 时， 轨迹是双曲线当2a ＝2c 时， 轨迹是两条射线当2a ﹥2c 时， 轨迹不存在标准方程 焦点在x 轴上时： 12222=+by a x焦点在y 轴上时：12222=+bx a y注：根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上焦点在x 轴上时：12222=-by a x焦点在y 轴上时：12222=-b x a y常数cb a ,,的关 系222b c a +=， 0>>b a ，a 最大，bc b c b c ><=,,222b a c +=， 0>>a cc 最大， 可以b a b a b a ><=,,渐近线焦点在x 轴上时：0x ya b ±= 焦点在y 轴上时：0y xa b±=抛物线：２图形xyO FlxyO Fl方程)0(22>=p px y )0(22>-=p px y)0(22>=p py x )0(22>-=p py x焦点 )0,2(p )0,2(p -)2,0(p)2,0(p -准线 2p x -= 2p x =2p y -=2p y =（一）椭圆1. 椭圆的性质：由椭圆方程)0(12222>>=+b a by a x（1）范围：a x b -a ，x a ≤≤≤≤-， 椭圆落在b y ±=±=a ，x 组成的矩形中。
（2）对称性:图象关于y 轴对称。
图象关于x 轴对称。
图象关于原点对称。
原点叫椭圆的对称中心，简称中心。
x 轴、y 轴叫椭圆的对称轴。
从椭圆的方程中直接可以看出它的范围， 对称的截距。
（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点椭圆共有四个顶点：)0,(),0,(2a A a A -， ),0(),,0(2b B b B -。
加两焦点)0,(),0,(21c F c F -共有六个特殊点。
21A A 叫椭圆的长轴， 21B B 叫椭圆的短轴。
长分别为b a 2,2。
b a ,分别为椭圆的长半轴长和短半轴长。
椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点。
（4）离心率：椭圆焦距与长轴长之比。
a ce =⇒2)(1ab e -=。
10<<e 。
椭圆形状与e 的关系：0,0→→c e ， 椭圆变圆， 直至成为极限位置圆， 此时也可认为圆为椭圆在0=e 时的特例。
,,1a c e →→椭圆变扁， 直至成为极限位置线段21F F ， 此时也可认为是椭圆在1=e 时的特例。
2. 椭圆的第二定义：一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个)1,0(内常数e ， 那么这个点的轨迹叫做椭圆。
其中定点叫做焦点， 定直线叫做准线， 常数e 就是离心率。
椭圆的第二定义与第一定义是等价的， 它是椭圆两种不同的定义方式 3. 椭圆的准线方程对于12222=+by a x ， 左准线c a x l 21:-=；右准线c a x l 22:=３对于12222=+b x a y ， 下准线c a y l 21:-=；上准线c a y l 22:=焦点到准线的距离cb c c a c c a p 2222=-=-=（焦参数）（二）双曲线的几何性质： 1. （1）范围、对称性由标准方程12222=-by a x ， 从横的方向来看， 直线x ＝－a,x ＝a 之间没有图象， 从纵的方向来看， 随着x 的增大， y 的绝对值也无限增大， 所以曲线在纵方向上可无限伸展， 不像椭圆那样是封闭曲线。
双曲线不封闭， 但仍称其对称中心为双曲线的中心。
（2）顶点顶点：()0,),0,(21a A a A -， 特殊点：()b B b B -,0),,0(21实轴：21A A 长为2a,a 叫做实半轴长。
虚轴：21B B 长为2b ， b 叫做虚半轴长。
双曲线只有两个顶点， 而椭圆则有四个顶点， 这是两者的又一差异。
（3）渐近线过双曲线12222=-b y a x 的渐近线x a b y ±=（0=±bya x ）（4）离心率双曲线的焦距与实轴长的比aca c e ==22， 叫做双曲线的离心率 范围：e>1 双曲线形状与e 的关系：1122222-=-=-==e ac a a c a b k ， e 越大， 即渐近线的斜率的绝对值就越大， 这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。
由此可知， 双曲线的离心率越大， 它的开口就越阔。
2. 等轴双曲线定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。
等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：x y ±=；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率2=e 。
3. 共渐近线的双曲线系如果已知一双曲线的渐近线方程为x ab y ±=)0(>±=k x ka kb， 那么此双曲线方程就一定是：)0(1)()(2222>±=-k kb y ka x 或写成λ=-2222by a x 。
4. 共轭双曲线以已知双曲线的实轴为虚轴， 虚轴为实轴， 这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线。
区别：４三量a,b,c 中a,b 不同（互换）c 相同。
共用一对渐近线。
双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上。
确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为－1。
5. 双曲线的第二定义：到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比为常数)0(>>=a c ace 的点的轨迹是双曲线。
其中， 定点叫做双曲线的焦点， 定直线叫做双曲线的准线。
常数e 是双曲线的离心率。
6. 双曲线的准线方程：对于12222=-b y a x 来说， 相对于左焦点)0,(1c F -对应着左准线c a x l 21:-=， 相对于右焦点)0,(2c F 对应着右准线ca x l 22:=；焦点到准线的距离cb p 2=（也叫焦参数）。
对于12222=-b x a y 来说， 相对于下焦点),0(1c F -对应着下准线c a y l 21:-=；相对于上焦点),0(2c F 对应着上准线ca y l 22:=。
（三）抛物线的几何性质 （1）范围因为p ＞0， 由方程()022>=p px y 可知， 这条抛物线上的点M 的坐标（x ， y ）满足不等式x ≥0，所以这条抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时， |y|也增大， 这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。
（2）对称性以－y 代y ， 方程()022>=p px y 不变， 所以这条抛物线关于x 轴对称， 我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。
（3）顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程()022>=p px y 中， 当y ＝0时， x ＝0， 因此抛物线()022>=p px y 的顶点就是坐标原点。
（4）离心率抛物线上的点M 与焦点的距离和它到准线的距离的比， 叫做抛物线的离心率， 用e 表示。
由抛物线的定义可知， e ＝1。
【典型例题】例1. 根据下列条件， 写出椭圆方程（1）中心在原点、以对称轴为坐标轴、离心率为1/2、长轴长为8；５（2）和椭圆9x2＋4y2＝36有相同的焦点， 且经过点（2， －3）；（3）中心在原点， 焦点在x 轴上， 从一个焦点看短轴两端的视角为直角， 焦点到长轴上较近顶点的距离是510－。
分析：求椭圆的标准方程， 首先要根据焦点位置确定方程形式， 其次是根据a2＝b2＋c2及已知条件确定a2、b2的值进而写出标准方程。
解：（1）焦点位置可在x 轴上， 也可在y 轴上因此有两解：112x 16y 112y 16x 2222=+=+或 （2）焦点位置确定， 且为（0， 5±）， 设原方程为22221y x a b+=,（a>b>0）， 由已知条件有⎪⎩⎪⎨⎧=+=-14952222b ab a 10,1522==⇒b a ， 故方程为110x 15y 22=+。
（3）设椭圆方程为12222=+by a x ,（a>b>0）由题设条件有⎩⎨⎧-=-=510c a cb 及a2＝b2＋c2， 解得b ＝10,5=a故所求椭圆的方程是15y 10x 22=+。
例2. 直线1+=kx y 与双曲线1322=-y x 相交于A 、B 两点， 当a 为何值时， A 、B 在双曲线的同一支上？当a 为何值时， A 、B 分别在双曲线的两支上？ 解：把1+=kx y 代入1322=-y x整理得：022)3(22=---ax x a (1)当3±≠a 时， 2424a -=∆由∆>0得6a 6<<-且3±≠a 时， 方程组有两解， 直线与双曲线有两个交点若A 、B 在双曲线的同一支， 须32221-=a x x >0， 所以3〈-a 或3>a 。
故当36-<<-a 或63<<a 时， A 、B 两点在同一支上；当33<<-a 时， A 、B 两点在双曲线的两支上。
６例3. 已知抛物线方程为)1x (p 2y 2+=（p>0）， 直线m y x l =+:过抛物线的焦点F 且被抛物线截得的弦长为3， 求p 的值。
解：设l 与抛物线交于1122(,),(,),|| 3.A x y B x y AB =则 由距离公式|AB|＝|y y |2|y y |k11)y y ()x -(x 21212221221-=-+=-+ 则有2129().2y y -=由02y x ，)1(221222=-+⎪⎩⎪⎨⎧+=+-=+p py ，x p y p y x 得消去.,2.04)2(2212122p y y p y y p p -=-=+∴>+=∆从而212212214)()(y y y y y y -+=- 即294)2(22=+-p p 由于p>0， 解得43=p 例4. 过点(1， 0)的直线l 与中心在原点， 焦点在x 轴上且离心率为22的椭圆C 相交于A 、B 两点， 直线y=21x 过线段AB 的中点， 同时椭圆C 上存在一点与右焦点关于直线l 对称， 试求直线l 与椭圆C 的方程.解法一：由e=22=a c ,得21222=-a b a ,从而a2=2b2,c=b.设椭圆方程为x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上.则x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得， (x12－x22)+2(y12－y22)=0,.)(221212121y y x x x x y y ++-=--设AB 中点为(x0,y0),则kAB=－2y x , 又(x0,y0)在直线y=21x 上， y0=21x0,于是－2y x =－1,kAB=－1, 设l 的方程为y=－x+1.右焦点(b,0)关于l 的对称点设为(x ′,y ′),BAy=12xoyxF 2F 1７⎩⎨⎧-='='⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++'-='=-''b y x b x y bx y 11 1221解得则由点(1,1－b)在椭圆上， 得1+2(1－b)2=2b2,b2=89,1692=a . ∴所求椭圆C 的方程为2291698y x + =1,l 的方程为y=－x+1.解法二：由e=21,22222=-=a b a a c 得,从而a2=2b2,c=b.设椭圆C 的方程为x2+2y2=2b2,l 的方程为y=k(x －1),将l 的方程代入C 的方程， 得(1+2k2)x2－4k2x+2k2－2b2=0, 则x1+x2=22214kk +,y1+y2=k(x1－1)+k(x2－1)=k(x1+x2)－2k=－2212kk +.直线l ：y=21x 过AB 的中点(2,22121y y x x ++),则2222122121k k k k +⋅=+-, 解得k=0， 或k=－1.若k=0,则l 的方程为y=0,焦点F(c,0)关于直线l 的对称点就是F 点本身， 不能在椭圆C 上， 所以k=0舍去， 从而k=－1， 直线l 的方程为y=－(x －1),即y=－x+1,以下同解法一. 解法3：设椭圆方程为)1()0(12222>>=+b a by ax直线l 不平行于y 轴， 否则AB 中点在x 轴上与直线AB x y 过21=中点矛盾。