江苏省高考数学一轮复习 概率备考试题
【志鸿优化设计】高考数学一轮复习 第14章 计数原理、二项式定理、概率14.3离散型随机变量及分
课时作业63 离散型随机变量及分布列一、填空题1．若随机变量X且p 1＝12p 2，则p 1等于__________． 2．已知随机变量X 的概率分布为：P (X ＝k )＝12k ，k ＝1,2，…，则P (2＜X ≤4)等于__________．3．若离散型随机变量ξ＝⎪⎨⎪⎧0，失败，1，成功的概率分布为则c ＝__________.4．某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%.X 的概率分布为__________．5．若P (ξ≤n )＝1－a ，P (ξ≥m )＝1－b ，其中m ＜n ，则P (m ≤ξ≤n )等于__________．6．对于下列分布列有P (|ξ7.从4名男生和23人中女生人数不超过1的概率是__________． 8．(2012江苏苏州模拟)其中a ，b ，c 9．随机变量X 的概率分布规律为P (X ＝n )＝an n ＋(n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <52的值为__________． 二、解答题10．在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2，…，6)，求：(1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；(2)甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列．11.甲、乙两个奥运会主办城市之间有7条网线并联，这7条网线能通过的信息量分别为1,1,2,2,2,3,3，现从中任选三条网线，设可通过的信息量为X ，若可通过的信息量X ≥6，则可保证信息通畅．(1)求线路信息通畅的概率；(2)求线路可通过的信息量X 的分布列；(3)求线路可通过的信息量X 的数学期望．12．为了参加学校田径运动会的开幕式，高三年级某6个班联合到集市购买了6根竹竿，作为班旗的旗杆之用，它们的长度分别为3.8,4.3,3.6,4.5,4. 0，4.1.(单位：米)(1)若从中随机抽取两根竹竿，求长度之差不超过0.5米的概率．(2)若长度不小于4米的竹竿价格为每根10元，长度小于4米的竹竿价格为每根a元．从这6根竹竿中随机抽取两根，若这两根竹竿的价格之和的期望为18元，求a的值．参考答案一、填空题1.13 解析：由p 1＋p 2＝1且p 2＝2p 1，可解得p 1＝13. 2.316 解析：P (2＜X ≤4)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝123＋124＝316. 3.13 解析：由(9c 2－c )＋(3－8c )＝1，解得c ＝13或23. 又9c 2－c ≥0,3－8c ≥0，所以c ＝13. 4.解析：随机变量X 元)，－50 000×50%＝－25 000(元)5．1－(a ＋b ) 解析：P (ξ≥m )＋P (ξ≤n )－1＝(1－a )＋(1－b )－1＝1－(a ＋b )．6.25 解析：P (|ξ|＝2)＝P (ξ＝2)＋P (ξ＝－2)＝a ＋c ＝1－35＝25. 7.45解析：设所选女生人数为X ，则X 服从超几何分布，其中N ＝6，M ＝2，n ＝3，则P (X ≤1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝C 02C 34C 36＋C 12C 24C 36＝45. 8.23 解析：因为a ，b ，c 成等差数列，所以a ＋c ＝2b ，又a ＋b ＋c ＝1，所以b ＝13， 所以P (|X |＝1)＝a ＋c ＝23. 9.56 解析：∵P (X ＝n )＝a n n ＋(n ＝1,2,3,4)， ∴a 2＋a 6＋a 12＋a 20＝1，∴a ＝54. ∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝54×12＋54×16＝56. 二、解答题10．解：只考虑甲、乙两单位的相对位置，故可用组合计算基本事件数．(1)设A 表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则A 表示“甲、乙的演出序号均为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式得P (A )＝1－P (A )＝1－C 23C 26＝1－15＝45. (2)ξ的所有可能值为0,1,2,3,4，且P (ξ＝0)＝5C 26＝13， P (ξ＝1)＝4C 26＝415，P (ξ＝2)＝3C 26＝15， P (ξ＝3)＝2C 26＝215， P (ξ＝4)＝1C 26＝115. 从而知ξ11．解：(1)P (X ＝8)＝23C 37＝35， P (X ＝7)＝C 23C 12＋C 22C 12C 37＝835， P (X ＝6)＝C 12C 13C 12＋C 33C 37＝1335， 所以线路信息通畅的概率为2435. (2)P (X ＝5)＝C 22C 12＋C 23C 12C 37＝835，P (X ＝4)＝C 22C 13C 37＝335， X 的分布列为(3)由分布列知E (X )＝35＋35＋35＋35＋35＝6. 12．解：(1)因为6根竹竿的长度从小到大依次为3.6,3.8,4.0,4.1,4.3,4.5，其中长度之差超过0.5米的两根竹竿长可能是3.6和4.3,3.6和4.5,3.8和4.5.设“抽取两根竹竿的长度之差不超过0.5米”为事件A ，则P (A )＝3C 26＝315＝15， 所以P (A )＝1－P (A )＝1－15＝45. 故所求的概率为45. (2)设任取两根竹竿的价格之和为ξ，则ξ的可能取值为2a ，a ＋10,20.其中P (ξ＝2a )＝1C 26＝115， P (ξ＝a ＋10)＝C 12C 14C 26＝815， P (ξ＝20)＝C 24C 26＝615. 所以E (ξ)＝2a ×115＋(a ＋10)×815＋20×615＝2a ＋403. 令2a ＋403＝18，得a ＝7.。
第05练 概率-2023年新高考数学一轮复习小题必刷(解析版)
第05练概率1．（2020·汪清县汪清第六中学高一期中（文））袋内分别有红､白､黑球3，2，1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有一个白球；都是白球B．至少有一个白球；至少有一个红球C．恰有一个白球；一个白球一个黑球D．至少有一个白球；红､黑球各一个【答案】D【解析】对于A，“至少有一个白球”说明有白球，白球的个数可能为1或2，而“都是白球”说明两个全是白球，这两个事件可以同时发生，故A不是互斥的；对于B，当两球一个白球一个红球时，“至少有一个白球”与“至少有一个红球”均发生，故不互斥；对于C，“恰有一个白球”，表示黑球个数为0或1，这与“一个白球一个黑球”不互斥；对于D，“至少一个白球”发生时，“红､黑球各一个”不会发生，故互斥，但不对立，故选：D 2．（2018·江西省高一期末）甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为0.4，甲不输的概率为0.9，则甲、乙两人下成和棋的概率为（）A．0.6B．0.3C．0.1D．0.5【答案】D【解析】甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为0.4，甲不输的概率为0.9，则甲、乙下成平局的概率为：0.90.40.5-=.故选：D．3．（2020·苏州大学附属中学高二月考）甲、乙同时炮击一架敌机，已知甲击中敌机的概率为0.3，乙击中敌机的概率为0.5，敌机被击中的概率为（）A．0.8B．0.65C．0.15D．0.5【答案】B【解析】根据题意，敌机没被击中的概率为0.70.50.35⨯=，所以敌机被击中的概率为10.350.65-=.故选：B4．（2020·江苏省高一期末）抛掷一枚硬币，连续出现9次正面向上，则第10次出现正面向上的概率为（）A．110B．19C．15D．12【答案】D【解析】第10次抛硬币结果不受前9次结果的影响，由于硬币正面向上或正面向下可能性相同， 则概率为12，故选:D ． 5．（2020·山东省菏泽一中高一月考）同时投掷两枚硬币一次，互斥而不对立的两个事件是（ ） A ．“至少有1枚正面朝上”与“2枚都是反面朝上”B ．“至少有1枚正面朝上”与“至少有1枚反面朝上”C ．“恰有1枚正面朝上”与“2枚都是正面朝上”D ．“至少有1枚反面朝上”与“2枚都是反面朝上”【答案】C【解析】在A 中，“至少有1枚正面朝上”与“2枚都是反面朝上”不能同时发生，且“至少有1枚正面朝上”不发生时，“2枚都是反面朝上”一定发生，故A 中的两个事件是对立事件；在B 中，当两枚硬币恰好1枚正面朝上，1枚反面朝上时，“至少有1枚正面朝上”与“至少有1枚反面朝上”能同时发生，故B 中的两个事件不是互斥事件；在C 中，“恰有1枚正面朝上”与“2枚都是正面朝上”不能同时发生，且其中一个不发生时，另一个有可能发生也有可能不发生，故C 中的两个事件是互斥而不对立事件；在D 中，当2枚硬币同时反面朝上时，“至少有1枚反面朝上”“2枚都是反面朝上”能同时发生，故D 中的两个事件不是互斥事件.故选：C.6．（2020·全国高三其他（文））从5名男生，1名女生中随机抽取2名，则抽取的2名学生中恰好是一名男生，一名女生的概率是（ ）A ．1B ．12C ．13D ．23 【答案】C【解析】把5名男生分别记为1A ，2A ，3A ，4A ，5A ，1名女生记为1B ，从中随机抽取两名共有：()12,A A ，()13,A A ，()14,A A ，()15,A A ，()11,A B ，()23,A A ，()24,A A ，()25,A A ，()21,A B ，()34,A A ，()35,A A ，()31,A B ，()45,A A ，()41,A B ，()51,A B ，共15种情况.抽取的两名学生中恰好是一名男生，一名女生的情况有()11,A B ，()21,A B，()31,A B ，()41,A B ，()51,A B 共有5种情况， 所以概率为51153=.故选:C.7．（2020·河南省高三其他（文））2020年2月，受新冠肺炎的影响，医卫市场上出现了“一罩难求”的现象.在政府部门的牵头下，甲工厂率先转业生产口罩.为了了解甲工厂生产口罩的质量，某调查人员随机抽取了甲工厂生产的6个口罩，将它们的质量（单位：g）统计如下图所示.记这6个口罩质量的平均数为m，则在其中任取2个口罩，质量都超过m的概率为（）A．115B．215C．15D．415【答案】C【解析】依题意，0.0030.0010.0030.0050.0080.01215.0015.0046m--++++=+=，可知6个口罩中有3个质量超过m，记为A，B，C，另外3个记为d，e，f.随机抽取2个，所有的情况有AB，AC，Ad，Ae，Af，BC，Bd，Be，Bf，Cd，Ce，Cf，de，df，ef，共15种，其中满足条件的有AB，AC，BC，共3种.由古典概型的概率得所求概率31155P==.故选：C.8．（2020·四川省成都实外高三其他）《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻）．若从含有两个及以上阳爻的卦中任取两卦，这两卦的六个爻中都恰有两个阳爻的概率为（）A．13B．12C．23D．34【答案】B【解析】由图可知，含有两个及以上阳爻的卦有巽、离、兑、乾四卦，取出两卦的基本事件有（巽，离），（巽，兑），（巽，乾），（离，兑），（离，乾），（兑，乾）共6个，其中符合条件的基本事件有（巽，离），（巽，兑），（离，兑）共3个， 所以，所求的概率3162P ==.故选：B. 9．（2020·江苏省高一期末）已知一只口袋内装有大小相同的4只球，其中2只白球，2只黑球，从中一次摸出2只球，则摸出的2只球中至少有1只是白球的概率是（ ）A ．16B ．13C ．23D ．56【答案】D【解析】依题意，摸出的2只球中至少有1只是白球的概率是2224151166C C -=-=.故选：D 10．（2020·江苏省苏州第十中学校高一期中）袋中共有完全相同的4只小球，编号为1，2，3，4，现从中任取2只小球，则取出的2只球编号之和是偶数的概率为（ ）A ．25B ．35C ．13D ．23【答案】C【解析】在编号为1，2，3，4的小球中任取2只小球，则有{}1,2,{}1,3,{}1,4,{}2,3,{}2,4,{}3,4,共6种取法，则取出的2只球编号之和是偶数的有{}1,3,{}2,4,共2种取法，即取出的2只球编号之和是偶数的概率为2163=，故选：C. 11．（2020·北京高二期末）哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如1257=+，在不超过18的素数2，3，5，7，11，13，17中，随机选取两个不同的数，其和等于18的概率是（ ）A ．142B ．121C ．221D ．17【答案】C【解析】在不超过18的素数2，3，5，7，11，13，17中，随机选取两个不同的数，基本事件总数2721n C ==，其和等于18包含的基本事件有：(5,13)，(7,11)，共2个，∴其和等于18的概率是221P =.故选：C. 12．（2020·全国高二）下列事件中，是随机事件的为_________（填所有正确的序号）①实数a ，b 都不为0，则220a b +=；②任取一个正方体的4个顶点，这4个顶点不共面；③汽车排放尾气会污染环境；④明天早晨不会有雾．【答案】②④【解析】逐一考查所给的事件：①实数a ，b 都不为0，则220a b +=是不可能事件；②任取一个正方体的4个顶点，这4个顶点不共面是随机事件；③汽车排放尾气会污染环境是必然事件；④明天早晨不会有雾是随机事件．综上可得，随机事件包括：②④．故答案为：②④．13．（2020·全国高二）抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6），事件A 为“正面朝上的点数为3”，事件B 为“正面朝上的点数为偶数”，则()P A B +=________. 【答案】23【解析】由题意可得1()6P A =，1()2P B =，事件A 与事件B 互斥， 则2()()()3P A B P A P B +=+=.故答案为:23. 14．（2020·吉化第一高级中学校高二期末（理））若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷两次，则出现向上的点数之和为4的概率是 ． 【答案】112【解析】所有的基本事件共6636⨯=个，其中，点数和为4的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3个，∴出现向上的点数之和为4的概率是313612=，故答案为：112． 15．（2020·辽宁省高三其他（文））2019年9月10日是我国第35个教师节，某班班委决定在这天给每个任课老师赠送一份礼物，为公平起见，他们从4种不同的礼物中随机选取一种给老师（礼物可以重复，即不同的老师收到的礼物可能相同），则语文老师与英语老师收到的礼物不同的概率为_______. 【答案】34【解析】设四件礼物分别为a b c d ,,,， 所以语文老师与英语老师收到的礼物的方法有(,),(,),(,),(,),(,),(,),a a a b a c a d b a b b(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),b c b d c a c b c c c d d a d b d c d d 共16种；语文老师与英语老师收到的礼物不同的方法有(,),(,),(,),(,),a b a c a d b a (,),(,),b c b d (,),(,),(,),(,),(,),(,),c a c b c d d a d b d c 共12种. 由古典概型的概率公式得语文老师与英语老师收到的礼物不同的概率为123164P ==.故答案为：34. 16．（2020·河南省高三其他（理））汉语文化博大精深，成语更是其中不可缺少的一部分．在某个猜成语的节目中，一个小选手需要从A ，B ，C ，D 四个不同的字中选出两个字填入所给的缺少两个字的四字成语中，使其组成一个正确的成语，假设这个小选手没见过这个成语，随意选了两个字，则他选A 且没选B 的概率为______． 【答案】13【解析】基本事件总数246n C ==，选A 且没选B 包含的基本事件个数11122m C C ==，则他选A 且没选B 的概率为2163m P n ===．故答案为：13.1．（2020·河南省南阳中学高二月考（理））某转播商转播一场排球比赛，比赛采取五局三胜制，即一方先获得三局胜利比赛就结束，已知比赛双方实力相当，且每局比赛胜负都是相互独立的，若每局比赛转播商可以获得20万元的收益，则转播商获利不低于80万元的概率是（ ）A ．34B ．58C ．38D ．916【答案】A【解析】当比赛中的一方连续三次取得胜利，则转播商获利低于80万元，转播商获利不低于80万元的概率是3131224⎛⎫-⨯= ⎪⎝⎭.本题选择A 选项. 2．（2020·江苏省高一期末）下列叙述正确的是（ ）A ．频率是稳定的，概率是随机的B ．互斥事件一定不是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件C ．5张奖券中有1张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙比甲抽到有奖奖券的可能性小D ．若事件A 发生的概率为P (A )，则0()1P A ≤≤【答案】D【解析】频率是随机变化的，概率是频率的稳定值，A 错；互斥事件也可能是对立事件，对立事件一定是互斥事件，B 错；5张奖券中有1张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙、甲抽到有奖奖券的可能性一样大，都是15，C 错； 由概率的定义，随机事件的概率在[0,1]上，D 正确．故选：D ．3．（2020·海南省高考真题）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ）A ．62%B ．56%C ．46%D ．42% 【答案】C【解析】记“该中学学生喜欢足球”为事件A ，“该中学学生喜欢游泳”为事件B ，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A B +，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A B ⋅， 则()0.6P A =，()0.82P B =，()0.96P A B +=，所以()P A B ⋅=()()()P A P B P A B +-+0.60.820.960.46=+-=所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%.故选：C.4．（2020·全国高二）从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A ={抽到一等品}，事件B ={抽到二等品}，事件C ={抽到三等品}，且已知()0.7P A =，()0.2P B =，()0.1P C =．则事件“抽到的不是一等品”的概率为（ ）A ．0.7B ．0.2C ．0.1D ．0.3 【答案】D【解析】∵抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品，事件A ={抽到一等品}，()0.7P A =，∴抽到不是一等品的概率是10.70.3-=．故选D ．5．（2020·福建省厦门一中高三其他（理））《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节：一座阁楼到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀2个小灯，另一种是大灯下缀4个小灯，大灯共360个，小灯共1200个.若在这座楼阁的灯球中，随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为（ ）A ．1191077B ．160359C ．9581077D ．289359【答案】C【解析】设一大二小与一大四小的灯球数分别为,x y ，则360241200x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得120240x y =⎧⎨=⎩，若随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是一大四小的概率为2120236095811077C C -=.故选C 6．（2020·广东省高三二模（文））在此次抗击新冠肺炎疫情过程中，中医治疗起到了重要作用.中医理论讲究食物相生相克，合理搭配饮食可以增强体质，提高免疫力，但不恰当的搭配也可能引起身体的不适.食物相克是指事物之间存在着相互拮抗､制约的关系，若搭配不当，会引起中毒反应.已知猪肉与菊花，猪肉与百合，螃蟹与茄子相克.现从猪肉､螃蟹､茄子､菊花､百合这五种食物中任意选取两种，则它们相克的概率为（ ）A ．13B ．23C ．310D ．710【答案】C【解析】因为从猪肉、螃蟹、茄子、菊花、百合这五种食物中任意选取两种有2510C =种，相克的有3种，则相克的概率为310P =．故选：C ． 7．（2020·江苏省丰县中学高二期中）洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，被世界公认为组合数学的鼻祖，它是中华民族对人类的伟大贡献之一.洛书上记载，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有图1：“以五居中，五方白圈皆为阳数，四隅黑点为阴数”，这就是有记载的最早的三阶幻方.按照这样的说法，将1到9这九个数字，填在如图2的九宫格中，九宫格的中间填5，四个角填偶数，其余位置填奇数，则每一横行，每一竖列以及两条对角线上三个数字之和都等于15的结果数为（）A．16B．32C．8D．128【答案】C【解析】九宫格的中间填5，①③⑤⑦位置填偶数2,4,6,8，②④⑥⑧位置填奇数1,3,7,9，因为每一横行，每一竖列以及两条对角线上三个数字之和都等于15，所以①⑤、③⑦位置填2,8或4,6；先从2,4,6,8中选出一个数填入①位置，则有4个结果；若①填2，则⑤填8，③填6，⑦填4，②填7，④填1，⑥填3，⑧填9；或⑤填8，③填4，⑦填6，②填9，④填3，⑥填1，⑧填7；⨯=.故选：C.共包含2个结果；因此，总的结果个数为4288．（2020·四川省高三其他（理））五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽.如果把这五个音阶全用上，排成一个5个音阶的音序，从所有的这些音序中随机抽出一个音序，则这个音序中宫、羽不相邻的概率为（）A ．15B ．25C ．35D ．45【答案】C【解析】中国古乐中的五声音阶依次为：官、商、角、微、羽，把这五个音阶全用上，排成一个5个音阶的音序，基本事件总数55120n A ==，其中宫、羽不相邻的基本事件有323472m A A ==，则从所有的这些音序中随机抽出一个音序，这个音序中宫、羽不相邻的概率为7231205m p n ===，故选：C 9．（2020·甘肃省静宁县第一中学高三其他（理））《宋人扑枣图轴》是作于宋朝的中国古画，现收藏于中国台北故宫博物院.该作品简介：院角的枣树结实累累，小孩群来攀扯，枝桠不停晃动，粒粒枣子摇落满地，有的牵起衣角，有的捧着盘子拾取，又玩又吃，一片兴高采烈之情，跃然于绢素之上.甲､乙两人想根据该图编排一个舞蹈，舞蹈中他们要模仿该图中小孩扑枣的爬､扶､捡､顶中的两个动作，两人每人模仿一个动作.若他们采用抽签的方式来决定谁模仿哪个动作，则甲只能模仿“爬”或“扶”且乙只能模仿“扶”或“捡”的概率是（ ）A ．35B ．712C ．14D ．512【答案】C【解析】记“甲只能模仿“爬”或“扶”且乙只能模仿“扶”或“捡””为事件A .全部基本事件为：(爬，扶)、(爬，捡)、(爬，顶)、(扶，爬)、(扶，捡)、(扶，顶)、(捡，爬)、(捡，扶)、(捡，顶)、(顶，爬)、(顶，扶)、(顶，捡)共12个.事件A 包含(爬，扶)、(爬，捡)、(扶，捡)共3个基本事件故事件A 的概率：()14P A =故选：C. 10．（2020·辽宁省高三其他（文））抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记事件{A =两次的点数均为偶数且点数之差的绝对值为2}，则()P A =（ ）A ．19B ．13C ．49D ．59【答案】A【解析】连续两次抛掷一枚骰子，记录向上的点数，基本事件总数n=6×6=36，两次的点数均为偶数且点数之差的绝对值为2包含的基本事件有：(2,4),(4,2), (4,6),(6,4)，共有4个，∴两次的点数均为偶数且点数之差的绝对值为2的概率：41369p== .本题选择A选项.11．（2020·开鲁县第一中学高二期末（理））2019年5月22日具有“国家战略”意义的“长三角一体化”会议在芜潮举行，长三角城市群包括，上海市以及江苏省､浙江省､安徽省三省部分城市，简称“三省一市".现有4名高三学生准备高考后到上海市､江苏省､浙江省､安徽省四个地方旅游，假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游则恰有一个地方未被选中的概率为（）A．2764B．916C．81256D．716【答案】B【解析】4名同学去旅游的所有情况有：44256=种恰有一个地方未被选中共有2113424322144C CC AA⋅⋅=种情况；所以恰有一个地方未被选中的概率：144925616p==；故选：B.12．（2020·重庆八中高三其他（理））某高校数学学院安排4名研究生在开学日当天随机到三个不同的车站迎接新生，要求每个车站至少有一人，则其中小李和小明不在同一车站的概率为（）A．712B．23C．56D．1112【答案】C【解析】4人到3个车站的方法总数为234336C A=，其中小李和小明在同一车站的方法数为336A=，因此小李和小明在同一车站的概率是61366P'==，小李和小明不在同一车站的概率为516P P'=-=．故选：C．13．（2020·重庆西南大学附中高二月考）已知函数f(x)=13x3+ax2+b2x+1，若a是从1，2，3三个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为（）A．79B．13C．59D．23【答案】D【解析】将a记为横坐标，将b记为纵坐标，可知总共有(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2)9个的结果，而函数有两个极值点的条件为其导函数有两个不相等的实根，f′(x)=x 2+2ax +b 2，满足题中条件为Δ=4a 2−4b 2>0，即a >b ，所以满足条件的基本事件有(1,0),(2,0),(2,1),(3,0),(3,1),(3,2)共6个基本事件，所以所求的概率为P =69=23，故选D ．14．（2020·江苏省高一期末）在4件产品中，有一等品2件，二等品1件（一等品与二等品都是正品），次品1件，现从中任取2件，则下列说法正确的是（ ） A ．两件都是一等品的概率是13B ．两件中有1件是次品的概率是12C ．两件都是正品的概率是13D ．两件中至少有1件是一等品的概率是56【答案】BD【解析】由题意设一等品编号为a 、b ，二等品编号为c ，次品编号为d ，从中任取2件的基本情况有：(),a b 、(),a c 、(),a d 、(),b c 、(),b d 、(),c d ，共6种； 对于A ，两件都是一等品的基本情况有(),a b ，共1种，故两件都是一等品的概率116P =，故A 错误；对于B ，两件中有1件是次品的基本情况有(),a d 、(),b d 、(),c d ，共3种，故两件中有1件是次品的概率23162P ==，故B 正确； 对于C ，两件都是正品的基本情况有(),a b 、(),a c 、(),b c ，共3种，故两件都是正品的概率33162P ==，故C 错误； 对于D ，两件中至少有1件是一等品的基本情况有(),a b 、(),a c 、(),a d 、(),b c 、(),b d ，共5种，故两件中至少有1件是一等品的概率456P =，故D 正确.故选：BD. 15．（2020·山东省临沂第一中学高二月考）下列说法正确的是（ ）A ．某班4位同学从文学、经济和科技三类不同的图书中任选一类，不同的结果共有64种；B ．甲乙两人独立地解题，已知各人能解出的概率分别是1124，，则题被解出的概率是18；C ．某校200名教师的职称分布情况如下：高级占比20%，中级占比50%，初级占比30%，现从中抽取50名教师做样本，若采用分层抽样方法，则高级教师应抽取10人；D ．两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是12. 【答案】CD【解析】对于A ，第一个同学可以参加三个课外兴趣小组任意一个，有3种报名方法，同理其他的三名学生也都有3种报名方法，则不同的报名方法有3×3×3×3＝81种，故A 错； 对于B ，∵他们各自解出的概率分别是1124，，则此题不能解出的概率为（112-）•（114-）38=，则此题能解出的概率为13588-=，故B 错； 对于C ，高级教师应抽取50×20%＝10人，故C 正确对于D ，两位女生和两位男生站成一排照相，基本事件总数n 44A ==24， 两位女士不相邻包含的基本事件个数m 2223A A =⋅=12，∴两位女生不相邻的概率P 121242m n ===，故D 正确．故选：CD ． 16．（2020·山东省枣庄八中高一开学考试）抛掷一枚骰子1次,记“向上的点数是4,5,6”为事件A ,“向上的点数是1,2”为事件B ,“向上的点数是1,2,3”为事件C ,“向上的点数是1,2,3,4”为事件D ,则下列关于事件A ，B ，C ，D 判断正确的有（ ） A ．A 与B 是互斥事件但不是对立事件 B ．A 与C 是互斥事件也是对立事件 C ．A 与D 是互斥事件D ．C 与D 不是对立事件也不是互斥事件 【答案】ABD【解析】抛掷一枚骰子1次,记“向上的点数是4,5,6”为事件A ,“向上的点数是1,2”为事件B , “向上的点数是1,2,3”为事件C ,“向上的点数是1,2,3,4”为事件D ,在A 中,A 与B 不能同时发生,但能同时不发生,是互斥事件但不是对立事件,故A 正确； 在B 中, A 与C 是互斥事件也是对立事件,故B 正确； 在C 中,A 与D 能同时发生,不是互斥事件,故C 错误；在D 中,C 与D 能同时发生,不是对立事件也不是互斥事件,故D 正确.故选：ABD .17．（2020·大名中学高二月考）抛掷一枚骰子 1 次,记“向上的点数是 1,2”为事件 A ,“向上的点数是 1,2,3”为事件B ,“向上的点数是 1,2,3,4”为事件C ,“向上的点数是 4,5,6”为事件D ,则下列关于事件 A ， B ，C ，D 判断正确的有（ ） A ．A 与D 是互斥事件但不是对立事件 B ．B 与D 是互斥事件也是对立事件 C ．C 与D 是互斥事件 D ．B 与C 不是对立事件也不是互斥事件【答案】ABD【解析】抛掷一枚骰子 1 次,记“向上的点数是 1,2”为事件 A , “向上的点数是 1,2,3”为事件B , “向上的点数是 1,2,3,4”为事件C , “向上的点数是 4,5,6”为事件D .事件A 与D 不能同时发生，但能同时不发生， 是互斥事件但不是对立事件，故选项A 正确； 事件B 与D 不可能同时发生，且必有一个发生， 故B 与D 是互斥事件，也是对立事件， 故选项B 正确；事件C 与D 可能同时发生，故不是互斥事件， 故选项C 错误；事件B 与C 能同时发生，不是互斥事件也不是对立事件， 故选项D 正确.故选：ABD.18．（2019·江门市第二中学高二期中）设某同学选择等级考科目时，选择物理科目的概率为0.5，选择化学科目的概率为0.6，且这两个科目的选择相互独立，则该同学在这两个科目中至少选择一个的概率是________ 【答案】0.8【解析】因为选择物理科目的概率为0.5,选择化学科目的概率为0.6, 所以既不选择物理也不选择化学的概率为()()10.510.60.2--= 所以由对立事件的性质可知至少选择一个科目的概率为10.20.8-= 故答案为: 0.819．（2020·陕西省高三三模（理））甲、乙两人下棋，结果是一人获胜或下成和棋．已知甲不输的概率为0.8，乙不输的概率为0.7，则两人下成和棋的概率为______． 【答案】0.5【解析】设甲、乙两人下成和棋P ，甲获胜的概率为()P A ，则乙不输的概率为()1P A -，甲不输的概率为0.8，乙不输的概率为0.7，()0.8P A P ∴+=，()10.7P A -=， 1 1.5P ∴+=，解得0.5P =．∴两人下成和棋的概率为0.5．故答案为：0.520．（2020·黑龙江省哈尔滨三中高三其他（理））我国在北宋年间（公元1084年）第一次印刷出版了《算经十书》，即贾宪的《黄帝九章算法细草》，刘益的《议古根源》，秦九韶的《数书九章》，李冶的《测圆海镜》和《益古演段》，杨辉的《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》，朱世杰的《算学启蒙》和《四元玉鉴》.这些书中涉及的很多方面都达到古代数学的高峰，其中一些“算法”如开立方和开四次方也是当时世界数学的高峰.哈三中图书馆中正好有这十本书，现在小张同学从这十本书中任借三本阅读，那么他借到的三本书中书名中恰有一个“算”字的概率为______. 【答案】512【解析】根据题意可知，这十本书中共有五本有一个“算”字，所以小张同学从这十本书中任借三本阅读共有310C 种情况，他借到的三本书中书名中恰有一个“算”字共有1255C C 种情况，故概率为1255310512C C C =.故答案为：51221．（2020·江西省高三其他（理））辊子是客家传统农具，南方农民犁开田地后，仍有大的土块.农人便用六片叶齿组成辊轴，两侧装上木板，人跨开两脚站立，既能掌握平衡，又能增加重量，让牛拉动辊轴前进，压碎土块，以利于耕种.这六片叶齿又对应着菩萨六度，即布施､持戒､忍辱､精进､禅定与般若.若甲从这六片叶齿中任取两片不同的叶齿，放回后，乙再从这六片叶齿中任取两片不同的叶齿，则这两人选的叶齿对应的“度”没有相同的概率为______. 【答案】25【解析】由题意可知所求概率2264226662155C C P C C ===.故答案为：25．1．（2018•新课标Ⅲ）若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付 的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（ ）A ．0.3B ．0.4C ．0.6D ．0.7【答案】B【解析】某群体中的成员只用现金支付，既用现金支付也用非现金支付，不用现金支付，是互斥事件，所以不用现金支付的概率为：1﹣0.45﹣0.15＝0.4．故选：B ．2．（2020•新课标Ⅰ）设O 为正方形ABCD 的中心，在O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，则取到的3 点共线的概率为（ ） A ．15B ．25C ．12D ．45【答案】A【解析】O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，共有C 53=10种，其中共线为A ，O ，C 和B ，O ，D 两种，故取到的3点共线的概率为P =210=15，故选：A ．3．（2020•新课标Ⅱ）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订 单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已 知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05．志愿者每人 每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至 少需要志愿者（ ） A ．10名 B ．18名 C ．24名 D ．32名【答案】B【解析】第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，就按1600份计算， 第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95就按1200份计算， 因为公司可以完成配货1200份订单，则至少需要志愿者为1600+500−120050=18名，故选：B ．4．（2019•新课标Ⅲ）两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是（ ） A ．16B ．14C ．13D ．12【答案】D【解析】方法一：用捆绑法将两女生捆绑在一起作为一个人排列，有A 33A 22＝12种排法， 再所有的4个人全排列有：A 44＝24种排法， 利用古典概型求概率原理得：p =1224=12，方法二：假设两位男同学为A 、B ，两位女同学为C 、D ，所有的排列情况有24种，如下：。
高考数学第一轮复习概率专项练习(含答案)
高考数学第一轮复习概率专项练习（含答案）高考数学第一轮复习概率专项练习（含答案）概率是对随机事件发生的可能性的度量，一般以一个在0到1之间的实数表示一个事件发生的可能性大小。
以下是高考数学第一轮复习概率专项练习，请考生掌握。
一、选择题1.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0,1表示没有击中目标，2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 69471417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 36619597 7424 7610 4281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为()A.0.852B.0.819 2C.0.8D.0.75答案：D 命题立意：本题主要考查随机模拟法，考查考生的逻辑思维能力.解题思路：因为射击4次至多击中2次对应的随机数组为7140,1417,0371,6011,7610，共5组，所以射击4次至少击中3次的概率为1-=0.75，故选D.2.在菱形ABCD中，ABC=30，BC=4，若在菱形ABCD内任取一C. 1/3D.1/4答案：B 解题思路：由题意知投掷两次骰子所得的数字分别为a，b，则基本事件有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共有36个.而方程x2-ax+2b=0有两个不同实根的条件是a2-8b0，因此满足此条件的基本事件有：(3,1)，(4,1)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，共有9个，故所求的概率为=.5.在区间内随机取两个数分别为a，b，则使得函数f(x)=x2+2ax-b2+2有零点的概率为()A.1-B.1-C.1-D.1-答案：B 解题思路：函数f(x)=x2+2ax-b2+2有零点，需=4a2-4(-b2+0，即a2+b22成立.而a，b[-]，建立平面直角坐标系，满足a2+b22的点(a，b)如图阴影部分所示，所求事件的概率为P===1-，故选B.6.袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球、2个白球和3个黑球.从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于()A.5/6B.11/12C. 1/2D.3/4答案：B 解题思路：将同色小球编号，从袋中任取两球，所有基本事件为：(红，白1)，(红，白2)，(红，黑1)，(红，黑2)，(红，黑3)，(白1，白2)，(白1，黑1)，(白1，黑2)，(白1，黑3)，(白2，黑1)，(白2，黑2)，(白2，黑3)，(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑2，黑3)，共有15个基本事件，而为一白一黑的共有6个基本事件，所以所求概率P==.故选B.二、填空题7.已知集合表示的平面区域为，若在区域内任取一点P(x，y)，则点P的坐标满足不等式x2+y22的概率为________. 答案：命题立意：本题考查线性规划知识以及几何概型的概率求解，正确作出点对应的平面区域是解答本题的关键，难度中等.解题思路：如图阴影部分为不等式组表示的平面区域，满足条件x2+y22的点分布在以为半径的四分之一圆面内，以面积作为事件的几何度量，由几何概型可得所求概率为=.8.从5名学生中选2名学生参加周六、周日社会实践活动，学生甲被选中而学生乙未被选中的概率是________.答案：命题立意：本题主要考查古典概型，意在考查考生分析问题的能力.解题思路：设5名学生分别为a1，a2，a3，a4，a5(其中甲是a1，乙是a2)，从5名学生中选2名的选法有(a1，a2)，(a1，a3) ，(a1，a4)，(a1，a5)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，a5)，(a3，a4)，(a3，a5)，(a4，a5)，共10种，学生甲被选中而学生乙未被选中的选法有(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，a5)，共3种，故所求概率为.9.已知函数f(x)=kx+1，其中实数k随机选自区间，则对x[-1,1]，都有f(x)0恒成立的概率是________.答案：命题立意：本题主要考查几何概型，意在考查数形结合思想.解题思路：f(x)=kx+1过定点(0,1)，数形结合可知，当且仅当k[-1,1]时满足f(x)0在x[-1，1]上恒成立，而区间[-1,1]，[-2,1]的区间长度分别是2,3，故所求的概率为.10.若实数m，n{-2，-1,1,2,3}，且mn，则方程+=1表示焦点在y轴上的双曲线的概率是________.解题思路：实数m，n满足mn的基本事件有20种，如下表所示.-2 -1 1 2 3 -2 (-2，-1) (-2,1) (-2,2) (-2,3) -1 (-1，-2) (-1,1) (-1,2) (-1,3) 1 (1，-2) (1，-1) (1,2) (1,3) 2 (2，-2) (2，-1) (2,1) (2,3) 3 (3，-2) (3，-1) (3,1) (3,2) 其中表示焦点在y轴上的双曲线的事件有(-2,1)，(-2,2)，(-2,3)，(-1,1)，(-1,2)，(-1,3)，共6种，因此方程+=1表示焦点在y轴上的双曲线的概率为P==.三、解答题11.袋内装有6个球，这些球依次被编号为1,2,3，，6，设编号为n的球重n2-6n+12(单位：克)，这些球等可能地从袋里取出(不受重量、编号的影响).(1)从袋中任意取出1个球，求其重量大于其编号的概率;(2)如果不放回地任意取出2个球，求它们重量相等的概率. 命题立意：本题主要考查古典概型的基础知识，考查考生的计算能力.解析：(1)若编号为n的球的重量大于其编号，则n2-6n+12n，即n2-7n+120.解得n3或n4.所以n=1,2,5,6.所以从袋中任意取出1个球，其重量大于其编号的概率P==.(2)不放回地任意取出2个球，这2个球编号的所有可能情形为：1,2;1,3;1,4;1,5;1,6;2,3;2,4;2,5;2,6;3,4;3,5;3,6;4,5;4,6;5,6.共有15种可能的情形.设编号分别为m与n(m，n{1,2,3,4,5,6}，且mn)的球的重量相等，则有m2-6m+12=n2-6n+12，即有(m-n)(m+n-6)=0.所以m=n(舍去)或m+n=6.满足m+n=6的情形为1,5;2,4，共2种情形.故所求事件的概率为.12.一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机抽取一个球，将其编号记为a，然后从袋中余下的三个球中再随机抽取一个球，将其编号记为b，求关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0有实根的概率;(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号记为m，将球放回袋中，然后从袋中随机取一个球，该球的编号记为n.若以(m，n)作为点P的坐标，求点P落在区域内的概率.命题立意：(1)不放回抽球，列举基本事件的个数时，注意不要出现重复的号码;(2)有放回抽球，列举基本事件的个数时，可以出现重复的号码，然后找出其中随机事件含有的基本事件个数，按照古典概型的公式进行计算.解析：(1)设事件A为方程x2+2ax+b2=0有实根.当a0，b0时，方程x2+2ax+b2=0有实根的充要条件为ab.以下第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值.基本事件共12个：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3).事件A中包含6个基本事件：(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3).事件A发生的概率为P(A)==.(2)先从袋中随机取一个球，放回后再从袋中随机取一个球，点P(m，n)的所有可能情况为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个.落在区域内的有(1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共4个，所以点P落在区域内的概率为.13.某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40,50)，[50,60)，，[90,100]后得到如图所示的频率分布直方图.(1)求图中实数a的值;(2)若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数;(3)若从数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率.命题立意：本题以频率分布直方图为载体，考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、推理论证能力和运算求解能力，考查数形结合、化归与转化等数学思想方法.解析：(1)由已知，得10(0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01)=1，解得a=0.03.(2)根据频率分布直方图可知，成绩不低于60分的频率为1-10(0.005+0.01)=0.85.由于该校高一年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数约为6400.85=544.(3)易知成绩在[40,50)分数段内的人数为400.05=2，这2人分别记为A，B;成绩在[90,100]分数段内的人数为400.1=4，这4人分别记为C，D，E，F.若从数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，则所有的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15个.如果2名学生的数学成绩都在[40,50)分数段内或都在[90,100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在[40,50)分数段内，另一个成绩在[90,100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10.记这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10为事件M，则事件M包含的基本事件有：(A，B)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共7个.所以所求概率为P(M)=.14.新能源汽车是指利用除汽油、柴油之外其他能源的汽车，包括燃料电池汽车、混合动力汽车、氢能源动力汽车和太阳能汽车等，其废气排放量比较低，为了配合我国节能减排战略，某汽车厂决定转型生产新能源汽车中的燃料电池轿车、混合动力轿车和氢能源动力轿车，每类轿车均有标准型和豪华型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：燃料电池轿车混合动力轿车氢能源动力轿车标准型 100 150 y 豪华型 300 450 600 按能源类型用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中燃料电池轿车有10辆.(1)求y的值;(2)用分层抽样的方法在氢能源动力轿车中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2辆轿车，求至少有1辆标准型轿车的概率;(3)用随机抽样的方法从混合动力标准型轿车中抽取10辆进行质量检测，经检测它们的得分如下：9.3,8.7,9.1,9.5,8.8,9.4,9.0,8.2,9.6,8.4.把这10辆轿车的得分看作一个样本，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.4的概率.命题立意：本题主要考查概率与统计的相关知识，考查学生的运算求解能力以及分析问题、解决问题的能力.对于第(1)问，设该厂这个月生产轿车n辆，根据分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有燃料电池轿车10辆，列出关系式，得到n的值，进而得到y值;对于第(2)问，由题意知本题是一个古典概型，用列举法求出试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，根据古典概型的概率公式得到结果;对于第(3)问，首先求出样本的平均数，求出事件发生包含的事件数和满足条件的事件数，根据古典概型的概率公式得到结果.解析：(1)设该厂这个月共生产轿车n辆，由题意，得=，n=2 000，y=2 000-(100+300)-150-450-600=400.(2)设所抽样本中有a辆标准型轿车，由题意得a=2.因此抽取的容量为5的样本中，有2辆标准型轿车，3辆豪华型轿车，用A1，A2表示2辆标准型轿车，用B1，B2，B3表示3辆豪华型轿车，用E表示事件在该样本中任取2辆轿车，其中至少有1辆标准型轿车，则总的基本事件有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共10个，事件E包含的基本事件有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，共7个，故所求概率为P(E)=.(3)样本平均数=(9.3+8.7+9.1+9.5+8.8+9.4+9.0+8.2+9.6+8.4)=9.设D表示事件从样本中任取一个数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.4，则总的基本事件有10个，事件D包括的基本事件有9.3,8.7,9.1,8.8,9.4,9.0，共6个.所求概率为P(D)==.高考数学第一轮复习概率专项练习及答案解析的全部内容就是这些，查字典数学网希望考生可以取得优异的成绩。
1424_2023届高考数学一轮复习习题：随机事件的概率(含解析)新人教B版.doc_0
随机事件的概率一、选择题1．同时抛掷两枚均匀的骰子，事件“都不是5点且不是6点”的对立事件为() A．一个是5点，另一个是6点B．一个是5点，另一个是4点C．至少有一个是5点或6点D．至多有一个是5点或6点C[设两枚骰子分别为甲、乙，则其点数的可能值包括以下四种可能：甲是5点且乙是6点，甲是5点且乙不是6点，甲不是5点且乙是6点，甲不是5点且乙不是6点，事件“都不是5点且不是6点”为第四种情况，故其对立事件是前三种情况．]2．一商店有奖促销活动中仅有一等奖、二等奖、鼓励奖三个奖项，其中中一等奖的概率为0.05，中二等奖的概率为0.16，中鼓励奖的概率为0.40，则不中奖的概率为() A．0.55B．0.39C．0.68D．0.61B[中奖的概率为0.05＋0.16＋0.40＝0.61，中奖与不中奖互为对立事件，所以不中奖的概率为1－0.61＝0.39．]3．某地区居民血型的分布为O型49%，A型19%，B型25%，AB型7%．已知同种血型的人可以互相输血，O型血的人可以给任何一种血型的人输血，AB型血的人可以接受任何一种血型的血，其他不同血型的人不能互相输血．现有一血型为A型的病人需要输血，若在该地区任选一人，则能为该病人输血的概率为()A．19%B．26%C．68%D．75%C[该地区居民血型的分布为O型49%，A型19%，B型25%，AB型7%，能为A型的病人输血的有O型和A型，所以能为该病人输血的概率为49%＋19%＝68%，故选C．]4．从1,2,3,4,5中任取两个数，下列事件中是互斥事件但不是对立事件的是() A．至少有一个是奇数和两个都是奇数B．至少有一个是奇数和两个都是偶数C．至少有一个奇数和至少一个偶数D．恰有一个偶数和没有偶数D [对于A，至少有一个是奇数和两个都是奇数，两个事件有重复，所以不是互斥事件，所以A 错误；对于B，至少有一个是奇数和两个都是偶数，两个事件互斥，且为对立事件，所以B 错误；对于C，至少有一个奇数和至少一个偶数，两个事件有重复，所以不是互斥事件，所以C 错误；对于D，恰有一个偶数和没有偶数，为互斥事件，且还有一种可能为两个都是偶数，所以两个事件互斥且不对立，所以D 正确．综上可知，故选D．]5．掷一个骰子的试验，事件A 表示“出现小于5的偶数点”，事件B 表示“出现小于5的点数”，若B 表示B 的对立事件，则一次试验中，事件A ∪B 发生的概率为()A．13B．12C．23D．56C[掷一个骰子的试验有6种可能结果．依题意P (A )＝26＝13，P (B )＝46＝23，∴P (B )＝1－P (B )＝1－23＝13．∵B 表示“出现5点或6点”的事件，因此事件A 与B 互斥，从而P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝13＋13＝23．]二、填空题6．我国西部一个地区的年降水量在下列区间内的概率如下表所示：年降水量(mm)(100,150)(150,200)(200,250)(250,300)概率0.210.160.130.12则年降水量在(200,300)(mm)范围内的概率是．0．25[设年降水量在(200,300)，(200,250)，(250,300)的事件分别为A ，B ，C ，则A＝B ∪C ，且B ，C 为互斥事件，所以P (A )＝P (B )＋P (C )＝0.13＋0.12＝0.25．]7．管理人员从一池塘内捞出30条鱼，做上标记后放回池塘．10天后，又从池塘内捞出100条鱼，其中有标记的有2条．根据以上数据可以估计该池塘内共有条鱼．1500[由题意可得：从池塘内捞出100条鱼，其中有标记的有2条，所以池塘中有标记的鱼的概率为：2100＝150，又因为池塘内具有标记的鱼一共有30条，所以可以估计该池塘内共有30150＝30×50＝1500条鱼．]8．某城市2021年的空气质量状况如下表所示：污染指数T3060100110130140概率P1101613730215130其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50＜T≤100时，空气质量为良；100＜T≤150时，空气质量为轻微污染，则该城市2021年空气质量达到良或优的概率为．3 5[由题意可知2021年空气质量达到良或优的概率为P＝110＋16＋13＝35．]三、解答题9．某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．商品顾客人数甲乙丙丁100√×√√217×√×√200√√√×300√×√×85√×××98×√××(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？[解](1)从统计表可以看出，在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001000＝0.2．(2)从统计表可以看出，在这1000位顾客中有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100＋2001000＝0.3．(3)与(1)同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001000＝0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100＋200＋3001000＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001000＝0.1．所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．10．如图，A 地到火车站共有两条路径L 1和L 2，现随机抽取100位从A 地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：所用时间(分钟)10～2020～3030～4040～5050～60选择L 1的人数612181212选择L 2的人数416164(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；(2)分别求通过路径L 1和L 2所用时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．[解](1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，∴用频率估计相应的概率为p ＝44100＝0.44．(2)选择L 1的有60人，选择L 2的有40人，故由调查结果得频率为所用时间(分钟)10～2020～3030～4040～5050～60L 1的频率0.10.20.30.20.2L 2的频率0.10.40.40.1(3)设A 1，A 2分别表示甲选择L 1和L 2时，在40分钟内赶到火车站；B 1，B 2分别表示乙选择L 1和L 2时，在50分钟内赶到火车站．由(2)知P (A 1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P (A 2)＝0.1＋0.4＝0.5，∵P (A 1)＞P (A 2)，∴甲应选择L 1．同理，P (B 1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P (B 2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，∵P (B 1)＜P (B 2)，∴乙应选择L 2．1．对一批产品的长度(单位：mm)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上的为一等品，在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品，在区间[10,15)和[30,35]上的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为()A．0.09B．0.20C．0.25D．0.45D[设[25,30)上的频率为x ，由所有矩形面积之和为1，即x ＋(0.02＋0.04＋0.03＋0.06)×5＝1，得[25,30)上的频率为0.25．所以产品为二等品的概率为0.04×5＋0.25＝0.45．]2．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为()A．12B．13C．14D．23C[20组随机数中表示三次投篮恰好有两次命中的是191,271,932,812,393，其频率为520＝14，以此估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为14．]3．经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下：排队人数01234≥5概率0.10.160.30.30.10.04(1)至多2人排队等候的概率为；(2)至少3人排队等候的概率为．(1)0.56(2)0.44[记“无人排队等候”为事件A ，“1人排队等候”为事件B ，“2人排队等候”为事件C ，“3人排队等候”为事件D ，“4人排队等候”为事件E ，“5人及5人以上排队等候”为事件F ，则事件A ，B ，C ，D ，E ，F 彼此互斥．(1)记“至多2人排队等候”为事件G ，则G ＝A ∪B ∪C ，所以P (G )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56．(2)法一：(利用互斥事件求概率)记“至少3人排队等候”为事件H ，则H ＝D ∪E ∪F ，所以P (H )＝P (D ∪E ∪F )＝P (D )＋P (E )＋P (F )＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44．法二：(利用对立事件求概率)记“至少3人排队等候”为事件H ，则其对立事件为事件G ，所以P (H )＝1－P (G )＝0.44．]1．一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为715，取得两个绿球的概率为115，则取得两个同颜色的球的概率为；至少取得一个红球的概率为．8151415[由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，取得两个同色球，只需两互斥事件有一个发生即可，因而取得两个同色球的概率为P ＝715＋115＝815．由于事件A “至少取得一个红球”与事件B “取得两个绿球”是对立事件，则至少取得一个红球的概率为P (A )＝1－P (B )＝1－115＝1415．]2．某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y (单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X (单位：毫米)有关．据统计，当X ＝70时，Y ＝460；X 每增加10，Y 增加5．已知近20年X 的值为140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160．(1)完成如下的频率分布表：近20年六月份降雨量频率分布表降雨量70110140160200220频率120420220(2)假定今年6月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率．[解](1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个，故近20年六月份降雨量频率分布表为降雨量70110140160200220频率120320420720320220(2)由已知可得Y＝X2＋425，故P(“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”)＝P(Y<490或Y>530)＝P(X<130或X>210)＝P(X＝70)＋P(X＝110)＋P(X＝220)＝120＋320＋220＝310．。
高考数学一轮复习概率与统计单元专项练习题附参考答案
高考数学一轮复习概率与统计单元专项练习题附参考答案1.(理)设，那么的展开式中的系数不可能是( )A.10B.40C.50D.80(文)为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁-18岁的男生体重(kg) ,得到频率分布直方图如下：根据上图可得这100名学生中体重在〔56.5,64.5〕的学生人数是( )A.20B.30C.40D.502.(理)四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是平安的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么平安存放的不同方法种数为( )A.96B.48C.24D.0(文)从数字1，2，3，4，5，中，随机抽取3个数字(允许重复)组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为( )A. B. C. D.3.甲：A1、A2是互斥事件;乙：A1、A2是对立事件，那么( )A.甲是乙的充分但不必要条件B.甲是乙的必要但不充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件4.某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，，270;使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，，270，并将整个编号依次分为10段。
如果抽得号码有以下四种情况：①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250;②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265;③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254;④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270;关于上述样本的以下结论中，正确的选项是( )A.②、③都不能为系统抽样B.②、④都不能为分层抽样C.①、④都可能为系统抽样D.①、③都可能为分层抽样5.在正方体上任选3个顶点连成三角形，那么所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为( )A. B. C. D.6.在三维柱形图中，主对角线上两个柱形高度的乘积与副对角线上的两个柱形的高度的乘积相差越大两个变量有关系的可能性就()A.越大B.越小C.无法判断D.以上都不对7.(理)抛掷两个骰子，至少有一个4点或5点出现时，就说这些试验成功，那么在10次试验中，成功次数的期望是( )A. B. C. D.(文)为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如右，由于不慎将局部数据丧失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a，视力在4.6到5.0之间的学生数为b，那么a, b的值分别为( )A.0,27,78B.0,27,83C.2.7,78D.2.7,838.某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x，y，10，11，9.这组数据的平均数为10，方差为2，那么|x-y|的值为( )A.1B.2C.3D.49.一项研究要确定是否能够根据施肥量预测作物的产量。
新高考一轮复习人教版 随机事件、古典概型 作业
专题十一 概率与统计11.1 随机事件、古典概型基础篇 固本夯基考点一 随机事件的概率1.(2022届江苏百校联考,6)一次劳动实践活动中,某同学不慎将两件次品混入三件正品中,它们形状、大小完全相同,该同学采用技术手段进行检测,恰好三次检测出两件次品的概率为( ) A.15B.14C.25D.310答案 D2.(2019课标Ⅰ理,6,5分)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”,如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻的概率是( )A.516 B.1132 C.2132 D.1116答案 A3.(2018课标Ⅱ理,8,5分)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是 ( ) A.112 B.114 C.115 D.118答案 C4.(2021广东韶关一模,5)假设某射手每次射击命中率相同,且每次射击之间相互没有影响.若在两次射击中至多命中一次的概率是1625,则该射手每次射击的命中率为( ) A.925 B.25 C.35 D.34答案 C5.(2020广州番禺检测,10)中国古代“五行”学说认为:物质分“金、木、水、火、土”五种属性,并认为:“金生水、水生木、木生火、火生土、土生金”.从五种不同属性的物质中随机抽取2种,则抽到的两种物质不相生的概率为( ) A.15 B.14 C.13 D.12答案 D6.(多选)(2022届河北张家口宣化一中考试,11)甲、乙两人进行围棋比赛,共比赛2n(n ∈N *)局,且每局甲获胜的概率和乙获胜的概率均为12,如果某人获胜的局数多于另一人,则此人赢得比赛.记甲赢得比赛的概率为P(n),则( ) A.P(2)=18B.P(3)=1132C.P(n)=12(1−C 2nn 22n )D.P(n)的最大值为14答案 BC7.(2022届广东茂名五校联考,16)田忌赛马的故事出自司马迁的《史记》.齐王,田忌分别有上、中、下等马各一匹.赛马规则:一场比赛需要比赛三局,每匹马都要参赛,且只能参赛一局.最后以获胜局数多者为胜.记齐王、田忌的马匹分别为A 1,A 2,A 3和B 1,B 2,B 3.每局比赛之间都是相互独立的,而且不会出现平局.用P A i B j (i,j ∈{1,2,3})表示马匹A i 与B j 比赛时齐王获胜的概率,若P A 1B 1=0.8,P A 1B 2=0.9,P A 1B 3=0.95,P A 2B 1=0.1,P A 2B 2=0.6,P A 2B 3=0.9,P A 3B 1=0.09,P A 3B 2=0.1,P A 3B 3=0.6,则一场比赛共有 种不同的比赛方案;在所有的方案中,有一种方案田忌获胜的概率最大,此概率为 . 答案 6;0.8198.(2022届河北唐山十一中9月月考,17)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下:累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束.经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为12. (1)求甲连胜四场的概率;(2)求需要进行第五场比赛的概率; (3)求丙最终获胜的概率. 解析 (1)甲连胜四场的概率为116.(2)根据赛制,至少需要进行四场比赛,至多需要进行五场比赛. 比赛四场结束,共有三种情况: 甲连胜四场的概率为116;乙连胜四场的概率为116;丙上场后连胜三场的概率为18.所以需要进行第五场比赛的概率为1-116-116-18=34. (3)丙最终获胜,有两种情况:比赛四场结束且丙最终获胜的概率为18;比赛五场结束且丙最终获胜,则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况:胜胜负胜,胜负轮空胜,负轮空胜胜,概率分别为116,18,18. 因此丙最终获胜的概率为18+116+18+18=716. 考点二 古典概型1.(2022届广东省级联测,6)十进制的算筹计数法是中国数学史上一个伟大的创造,算筹实际上是一根根同长短的小木棍.下图是利用算筹表示数字1~9的一种方法.例如:3可表示为“”,26可表示为“”,现用6根算筹表示不含0的无重复数字的三位数,算筹不能剩余,则这个三位数能被3整除的概率为( )A.14B.16C.512D.724答案 A2.(2021全国甲理,10,5分)将4个1和2个0随机排成一行,则2个0不相邻的概率为( ) A.13B.25C.23D.45答案 C3.(2020课标Ⅰ文,4,5分)设O 为正方形ABCD 的中心,在O,A,B,C,D 中任取3点,则取到的3点共线的概率为( )A.15B.25C.12D.45答案 A4.(2021广东汕头一模,8)在新的高考改革方案中规定:每位考生的高考成绩是按照3(语文、数学、英语)+2(物理、历史)选1+4(化学、生物、地理、政治)选2的模式设置的,则在选考的科目中甲、乙两位同学恰有两科相同的概率为( ) A.14B.13C.512D.12答案 C5.(2017天津文,3,5分)有5支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( ) A.45B.35C.25D.15答案 C6.(2022届河北邢台入学考试,14)小华、小明、小李、小章去A,B,C 三个工厂参加社会实践,要求每个工厂都有人去,且这四人都在这三个工厂实践,则小华和小李都没去B 工厂的概率是 . 答案718 7.(2020江苏,4,5分)将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,则点数和为5的概率是 . 答案198.(2018上海,9,5分)有编号互不相同的五个砝码,其中5克、3克、1克砝码各一个,2克砝码两个,从中随机选取三个,则这三个砝码的总质量为9克的概率是 (结果用最简分数表示). 答案15综合篇 知能转换考法一 古典概型概率的求法1.(2021湖南岳阳一模,5)“华东五市游”作为中国一条精品旅游路线,一直受到广大旅游爱好者的欢迎.现有4名高三学生准备2021年高考后到“华东五市”中的上海市、南京市、苏州市、杭州市四个地方旅游,假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游,则恰有一个地方未被选中的概率为( ) A.716 B.916 C.2764 D.81256答案 B2. (2021湖南长郡十五校第二次联考,4)十二生肖作为中国民俗文化的代表,是中国传统文化的精髓,很多人把生肖作为春节的吉祥物,以此来表达对新年的祝福.某课外兴趣小组制作了一个正十二面体模型(如图),并在十二个面上分别雕刻了十二生肖的图案,作为春节的吉祥物.2021年春节前,兴趣小组的2个成员将模型随机抛出,希望能抛出牛的图案朝上(即牛的图案在最上面),2人各抛一次,则恰好出现一次牛的图案朝上的概率为( )A.112 B.143144 C.1172 D.23144答案 C3.(2019课标Ⅱ文,4,5分)生物实验室有5只兔子,其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子中随机取出3只,则恰有2只测量过该指标的概率为( ) A.23B.35C.25D.15答案 B4.(2019课标Ⅲ文,3,5分)两位男同学和两位女同学随机排成一列,则两位女同学相邻的概率是( ) A.16B.14C.13D.12答案 D5.(2022届河北邢台9月联考,16)从3名男生、2名女生中选出2人参加数学竞赛,则选出的这2人性别不一样的概率为 . 答案35 6.(2022届江苏第一次月考,14)一只口袋内装有4个白球,5个黑球,若将球不放回地随机一个一个摸出来,则第4次摸出的是白球的概率为 . 答案497.(2018江苏,6,5分)某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为 . 答案3108.(2021辽宁百校联盟调研,14)某中学为了解学生学习物理的情况,抽取了100名物理成绩在60~90分(满分为100分)之间的学生进行调查,将这100名学生的物理成绩分成了六段:[60,65),[65,70),[70,75),[75,80),[80,85),[85,90],绘成频率分布直方图,如图所示.从成绩在[70,80)的学生中任意抽取2人,则成绩在[75,80)的学生中恰好有一人的概率为 .答案2449考法二 求复杂的互斥事件的概率1.(2018课标Ⅲ文,5,5分)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为( ) A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7 答案 B2.(2021沈阳期末,5)已知某药店只有A,B,C 三种不同品牌的N95口罩,甲、乙两人到这个药店各购买一种品牌的N95口罩,若甲,乙买A 品牌口罩的概率分别为0.2,0.3,买B 品牌口罩的概率分别为0.5,0.4,则甲,乙两人买相同品牌的N95口罩的概率为( ) A.0.7 B.0.65 C.0.35 D.0.26 答案 C3.(2020湖南衡阳一模)我国古代有着辉煌的数学研究成果,《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》《缉古算经》等10部专著是了解我国古代数学的重要文献,这10部专著中5部产生于魏晋南北朝时期,某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”课外阅读教材,则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的概率为( ) A.79B.29C.49D.59答案 A4.(多选)(2022届江苏新高考第一次月考,10)从甲袋中摸出一个红球的概率是13,从乙袋中摸出一个红球的概率是12,从两袋各摸出一个球,下列结论正确的是( ) A.2个球都是红球的概率为16B.2个球中恰有1个红球的概率为12C.至少有1个红球的概率为56D.2个球不都是红球的概率为13 答案 AB创新篇 守正出奇创新 生活中的概率问题1.(2021湖南衡阳联考,3)衡阳市在创建“全国卫生文明城市”活动中,大力加强垃圾分类投放宣传.某居民小区设有“厨余垃圾”“可回收垃圾”“其他垃圾”三种不同的垃圾桶,一天,居民小贤提着上述分好类的垃圾各一袋,随机每桶投一袋,则恰好有一袋垃圾投对的概率为( ) A.19B.16C.13D.12答案 D2.(2022届山东济宁第一中学开学考试,13)为庆祝建党100周年,讴歌中华民族伟大复兴的奋斗历程,增进全体党员干部职工对党史知识的了解,某单位组织开展党史知识竞赛活动,共有50道党史题,其中35道单选题、10道多选题和5道判断题,其中小王每道单选题答对的概率为0.8,多选题答对的概率为0.7,判断题答对的概率为0.9,则他随机抽取一道题,答对的概率为 . 答案 0.793.(2021重庆二模,14)已知某信号传送网络由信号源甲和三个基站乙、丙、丁共同构成,每次信号源甲等可能地向三个基站中的一个发送信号,乙基站接收到的每条信号等可能地传送给丙基站和丁基站中的一个,丙基站接收到的每条信号只会传送给丁基站,丁基站只接收信号.对于信号源甲发出的一条信号,丙基站能接收到的概率为 . 答案12 4.(2022届江苏百校联考,19)冬奥会的全称是冬季奥林匹克运动会,是世界规模最大的冬季综合性运动会,每四年举办一届.第24届冬奥会将于2022年在中国北京和张家口举行,为了弘扬奥林匹克精神,增强学生的冬奥会知识,某市多所中小学学校开展了模拟冬奥会各项比赛的活动.为了了解学生在越野滑轮和旱地冰壶两项中的参与情况,在全市中小学学校中随机抽取了10所学校,10所学校的参与人数如下:(1)现从这10所学校中随机选取2所学校进行调查,求选出的2所学校参与旱地冰壶人数在30人以下的概率;(2)某校聘请了一名越野滑轮教练,对高山滑降、转弯、八字登坡滑行这3个动作进行技术指导.规定:这3个动作中至少有2个动作达到“优”,总考核记为“优”.在指导前,该校甲同学3个动作中每个动作达到“优”的概率为0.1.在指导后的考核中,甲同学总考核成绩为“优”.能否认为甲同学在指导后总考核达到“优”的概率发生了变化?请说明理由.解析 (1)记“选出的2所学校参与旱地冰壶人数在30人以下”为事件A,参与旱地冰壶人数在30人以下的学校共6所,所以P(A)=C 62C 102=13.因此选出的2所学校参与旱地冰壶人数在30人以下的概率为13.(2)答案不唯一.答案示例1:可以认为甲同学在指导后总考核为“优”的概率发生了变化.理由如下:指导前,甲同学总考核为“优”的概率为C 32·0.12·0.9+C 33·0.13=0.028.指导前,甲同学总考核为“优”的概率非常小,所以有理由认为指导后总考核达到“优”的概率发生了变化.答案示例2:无法确定.理由如下:指导前,甲同学总考核为“优”的概率为C 32·0.12·0.9+C 33·0.13=0.028.虽然概率非常小,但是也可能发生,所以无法确定指导后总考核达到“优”的概率发生了变化.。
2022届高考数学一轮复习专练53条件概率全概率公式相互独立事件的概率含解析
专练53 条件概率、全概率公式、相互独立事件的概率[基础强化]一、选择题1．把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A ，“第二次出现反面”为事件B ，则P (B |A )＝( )A.12B.14C.16D.182．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”；则P (B |A )＝( )A.18B.14C.25D.123．打靶时甲每打10次，可中靶8次；乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击一个目标，则他们都中靶的概率是( )A.35B.34C.1225D.14254．[2021·山东栖霞模拟]一道竞赛题，A ，B ，C 三人单独解出的概率依次为12，13，14，则三人独立解答仅有1人解出的概率为( )A.124B.1124C.724D ．1 5．[2021·山东济南模拟]已知某种生物由出生算起活到20岁的概率是0.8，活到25岁的概率是0.4，则现为20岁的这种动物活到25岁的概率是( )A ．0.6B ．0.5C ．0.4D ．0.326．5G 指的是第五代移动通信技术，是最新一代蜂窝移动通信技术．某公司研发5G 项目时遇到一项技术难题，由甲、乙两个部门分别独立攻关，已知甲部门攻克该技术难题的概率为0.8，乙部门攻克该技术难题的概率为0.7，则该公司攻克这项技术难题的概率为( )A ．0.56B ．0.86C ．0.94D ．0.96 7．[2021·山东新高考预测卷]甲、乙、丙、丁四名同学报名参加四项体育比赛，每人只能报一项，记事件A ＝“四名同学所报比赛各不相同”，事件B ＝“甲同学独报一项比赛”，则P (A |B )＝( )A.59B.49C.13D.298．某大街在甲、乙、丙三处设有红、绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别为13，12，23，则汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率为( ) A.19B.16 C.13D.7189．甲、乙两运动员进行乒乓球比赛，采用7局4胜制．在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方．但打到10平以后，先多得2分者为胜方，在10平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球．若在某局比赛中，甲发球赢球的概率为12，甲接发球赢球的概率为25，则在比分为1010后甲先发球的情况下，甲以1311赢下此局的概率为( )A.225B.310C.110D.325 二、填空题10．某学校有A ，B 两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第1天去A 餐厅，那么第2天去A 餐厅的概率为0.6；如果第1天去B 餐厅，那么第2天去A 餐厅的概率为0.8，则王同学第2天去A 餐厅用餐的概率为________．11．[2020·天津卷]已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为________．12．一盒中放有大小相同的10个小球，其中8个黑球、2个红球，现甲、乙二人先后各自从盒子中无放回地任意取2个小球，已知甲取到了2个黑球，则乙也取到2个黑球的概率是________．[能力提升] 13．[2021·全国新高考Ⅰ卷]有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则( )A ．甲与丙相互独立B ．甲与丁相互独立C ．乙与丙相互独立D ．丙与丁相互独立14．(多选)从甲口袋内摸出1个白球的概率是13，从乙口袋内摸出1个白球的概率是12，如果从两个口袋内各摸出一个球，那么下列说法正确的是( )A ．2个球都是白球的概率为16B ．2个球都不是白球的概率为23C ．2个球不都是白球的概率为56D ．2个球恰好有一个球是白球的概率为1215．如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是12，且是互相独立的，则灯亮的概率为( )A.316B.34C.1316D.1416．(多选)设同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1,2,3,4的正四面体一次，记事件A ＝{第一个四面体向下的一面为偶数}，事件B ＝{第二个四面体向下的一面为奇数}，C ＝{两个四面体向下的一面同时为奇数或者同时为偶数}，则下列说法正确的是( )A ．P (A )＝P (B )＝P (C ) B ．P (AB )＝P (AC )＝P (BC )C ．P (ABC )＝18D ．P (A )P (B )P (C )＝18专练53 条件概率、全概率公式、相互独立事件的概率1.A P (A )＝12，P (AB )＝14，∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝12.2．B P (A )＝C 23＋C 22C 25＝25，P (AB )＝C 22C 25＝110，∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝11025＝14.3．D 由题意可知甲中靶的概率P 1＝810＝45，乙中靶的概率P 2＝710，又两人中靶相互独立，∴他们都中靶的概率P ＝P 1P 2＝710×45＝1425.4．B 由题意知，仅有1人解出的概率为P ＝12×⎝⎛⎭⎫1－13·⎝⎛⎭⎫1－14＋⎝⎛⎭⎫1－12×13×⎝⎛⎭⎫1－14＋⎝⎛⎭⎫1－12⎝⎛⎭⎫1－13×14＝14＋18＋112＝1124.故选B. 5．B 设“这种动物从出生起活到20岁”为事件A ，“这种动物从出生起活到25岁”为事件B .则P (A )＝0.8，P (B )＝0.4由于AB ＝B ，则P (AB )＝P (B )则P (B |A )＝P (AB )P (A )＝P (B )P (A )＝0.40.8＝0.5.故选B.6．C 设事件A 表示“甲部门攻克该技术难题”，事件B 表示“乙部门攻克该技术难题”， P (A )＝0.8，P (B )＝0.7，则该公司攻克这项技术难题的概率为：P ＝1－(1－P (A ))(1－P (B ))＝1－0.2×0.3＝0.94，故选C.7．D 由题可得P (AB )＝A 4444＝332，P (B )＝C 14×3344＝2764，根据条件概率公式可得P (A |B )＝P (AB )P (B )＝29，故选D. 8．D 设汽车分别在甲、乙、丙三处因遇绿灯而通行为事件A ，B ，C ，则P (A )＝13，P (B )＝12，P (C )＝23，停车一次即为事件A －BC ＋A B －C ＋AB C －的发生，故概率P ＝⎝⎛⎭⎫1－13×12×23＋13×⎝⎛⎭⎫1－12×23＋13×12×⎝⎛⎭⎫1－23＝718.故选D. 9．C 设双方1010平后的第k 个球甲获胜为事件A k (k ＝1,2,3，…)，则P (甲以1311赢)＝P (A －1A 2A 3A 4)＋P (A 1A －2A 3A 4)＝P (A －1)P (A 2)P (A 3)P (A 4)＋P (A 1)P (A －2)P (A 3)P (A 4)＝⎝⎛⎭⎫1－12×25×12×25＋12×⎝⎛⎭⎫1－25×12×25＝110，故选C. 10．0.7解析：设A 1＝“第1天去A 餐厅用餐”， B 1＝“第1天去B 餐厅用餐”， A 2＝“第2天去A 餐厅用餐”， Ω＝A 1∪B 1，且A 1与B 1互斥． 根据题意得P (A 1)＝P (B 1)＝0.5，P (A 2|A 1)＝0.6，P (A 2|B 1)＝0.8. 由全概率公式得P (A 2)＝P (A 1)P (A 2|A 1)＋P (B 1)P (A 2|B 1) ＝0.5×0.6＋0.5×0.8 ＝0.7故王同学第2天去A 餐厅用餐的概率为0.7. 11.16 23解析：依题意得，甲、乙两球都落入盒子的概率为12×13＝16，甲、乙两球都不落入盒子的概率为⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1－13＝13，则甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为1－13＝23. 12.1528解析：记事件“甲取到2个黑球”为A ，“乙取到2个黑球”为B ，则有P (B |A )＝P (AB )P (A )＝C 26C 28＝1528.即所求事件的概率是1528. 13．B P (甲)＝16，P (乙)＝16，P (丙)＝536，P (丁)＝636＝16，P (甲丙)＝0≠P (甲)P (丙)，P (甲丁)＝136＝P (甲)P (丁)，P (乙丙)＝136≠P (乙)P (丙)，P (丙丁)＝0≠P (丁)P (丙)，故选B.14．ACD ∵2个球不都是白球的对立事件是2个球都是白球，从甲口袋摸出白球和从乙口袋摸出白球两者是相互独立的，∴2个球都是白球的概率为13×12＝16，∴2个球不都是白球的概率是1－16＝56，故A ，C 正确；甲口袋摸出的球不是白球的概率为23，乙口袋摸出的球不是白球的概率为12，故2个球都不是白球的概率为23×12＝13，B 错误；2个球恰有一个球是白球的概率为13×12＋23×12＝12，D 正确．故选ACD.15．C 记“A ，B ，C ，D 四个开关闭合”分别为事件A ，B ，C ，D ，可用对立事件求解，图中含开关的三条线路同时断开的概率为：P (C －)P (D －)[1－P (AB )]＝12×12×⎝⎛⎭⎫1－12×12＝316. ∴灯亮的概率为1－316＝1316.16．ABD 依题意P (A )＝12，P (B )＝12，P (C )＝12，故AD 正确；P (AB )＝P (A )P (B )＝12×12＝14，P (AC )＝14，P (BC )＝14，故B 正确；事件A ，B ，C 不可能同时发生，所以P (ABC )＝0，故C 错误．故选ABD.。
高考数学一轮复习题库：第十一章概率与统计11.9回归分析与独立性检验
5.甲、乙、丙、丁四位同学各 自对 A，B 两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方 法分别求得相关系数 r 与残差平方和 m 如下表：
甲
乙
丙
丁Hale Waihona Puke r 0.82 0.78 0.69 0.85
m 106 115 124 103
则哪位同学的试验结果体现 A，B 两变量更强的线性相关性 ( )．
A．甲
随机抽取了 100 名观
众进行调查，其中女性有 55 名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间
的频率分布直方图：
将日均收看该体育节 目时间不低于 40 分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中 有 10 名女性．
(1)根据已知条件完成下面的 2× 2 列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有 关？
年份 /年
2007 2008 2009 2010 2011
收入 x/万元
11.5 12.1
13
13.3
15
支出 Y/万元
6.8
8.8
9.8
10
12
根据统计资料， 居民家庭年平均收入的中位数是 __________ ，家庭年平均收入与年平均
支出有 __________ 线性相关关系．
三、解答题
11．电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，
非体育迷
体育迷
合计
男
女
合计
(2)将日均收看该体育节目不低于 50 分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育
迷”中有 2 名女性．若从“超级体育迷”中任意选取
附： K 2＝
n ad－ bc 2
.
a＋ b c＋ d a＋ c b＋ d
【精选】江苏版高考数学一轮复习专题11.3概率分布与数学期望方差讲理
专题11.3 概率分布与数学期望、方差【最新考纲解读】次独立重复试验的模【考点深度剖析】1. 江苏高考中，一般考古典概型、相互独立、二项概型基础上的随机变量的分布，期望与方差。
2. 随机变量的概率分布及期望，内容多，处理方式灵活，可以考查其中一块，可以内部综合，可以作为问题的背景与其他内容结合考，复习时要注重基础，以不变应万变.【课前检测训练】【判一判】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．()(2)离散型随机变量的分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象．()(3)某人射击时命中的概率为0.5，此人射击三次命中的次数X服从两点分布．()(4)从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数X服从超几何分布．()(5)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.()(6)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．() (7)条件概率一定不等于它的非条件概率．() (8)相互独立事件就是互斥事件．()(9)对于任意两个事件，公式P (AB )＝P (A )P (B )都成立．()(10)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(a ＋b )n二项展开式的通项公式，其中a ＝p ，b ＝1－p .() (11)P (B |A )表示在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率，P (AB )表示事件A ，B 同时发生的概率．() (12)小王通过英语听力测试的概率是13，他连续测试3次，那么其中恰好第3次测试获得通过的概率是P ＝C13·⎝⎛⎭⎫131·⎝⎛⎭⎫1－133－1＝49.()(13)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量，它不确定．()(14)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小．()(15)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的均值，σ是正态分布的标准差．() (16)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．()(17)均值是算术平均数概念的推广，与概率无关．()1.√2.√3.×4.√5.×6.√7.×8.×9.×10.×11.√12.×13.√14.√15.√16.√17.× 【练一练】1．袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，可以作为随机变量的是() A ．至少取到1个白球 B ．至多取到1个白球 C ．取到白球的个数 D ．取到的球的个数 【答案】C2．从标有1～10的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为X ，那么随机变量X 可能取得的值有()A ．17个B ．18个C ．19个D ．20个 【答案】A【解析】X 可能取得的值有3,4,5，…，19共17个． 3．随机变量X 的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)等于() A.16 B.13 C.12 D.23 【答案】D【解析】∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c . 又a ＋b ＋c ＝1，∴b ＝13，∴P (|X |＝1)＝a ＋c ＝23.4．随机变量X 等可能取值1,2,3，…，n ，如果P (X <4)＝0.3，则n ＝________. 【答案】10【解析】P (X <4)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝1n ＋1n ＋1n ＝3n＝0.3，得n ＝10.5．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，则P (X ＝4)的值为______． 【答案】272206．袋中有3红5黑8个大小形状相同的小球，从中依次摸出两个小球，则在第一次摸得红球的条件下，第二次仍是红球的概率为() A.38 B.27 C.28 D.37 【答案】B【解析】第一次摸出红球，还剩2红5黑共7个小球，所以再摸到红球的概率为27.7．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是() A ．0.8 B ．0.75 C ．0.6 D ．0.45 【答案】A【解析】已知连续两天为优良的概率是0.6，那么在前一天空气质量为优良的前提下，要求随后一天的空气质量为优良的概率，可根据条件概率公式，得P ＝0.60.75＝0.8. 8.如图，用K ，A 1，A 2三类不同的元件连接成一个系统．当K 正常工作且A 1，A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K ，A 1，A 2正常工作的概率依次为0.9,0.8，0.8，则系统正常工作的概率为()A ．0.960B ．0.864C ．0.720D ．0.576 【答案】B9．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为________．【答案】35【解析】设该队员每次罚球的命中率为p ，则依题意有1－p 2＝1625，即p 2＝925.又0<p <1，故p ＝35.10．国庆节放假，甲去北京旅游的概率为13，乙去北京旅游的概率为14，假定二人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为________．【答案】1211．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：已知ξ的均值E (ξ)＝8.9，则y 的值为() A ．0.4 B ．0.6 C ．0.7 D ．0.9 【答案】A【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋0.1＋0.3＋y ＝1，7x ＋8×0.1＋9×0.3＋10y ＝8.9，可得y ＝0.4.12．设样本数据x 1，x 2，…，x 10的均值和方差分别为1和4，若y i ＝x i ＋a (a 为非零常数，i ＝1,2，…，10)，则y 1，y 2，…，y 10的均值和方差分别为()A ．1＋a,4B ．1＋a,4＋aC ．1,4D ．1,4＋a 【答案】A 【解析】x1＋x2＋…＋x1010＝1，y i ＝x i ＋a ，所以y 1，y 2，…，y 10的均值为1＋a ，方差不变仍为4.故选A.13．设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝15(k ＝2,4,6,8,10)则D (X )等于()A ．5B ．8C ．10D ．16 【答案】B【解析】∵E (X )＝15(2＋4＋6＋8＋10)＝6，∴D (X )＝15[(－4)2＋(－2)2＋02＋22＋42]＝8.14．随机变量ξ的取值为0,1,2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________.【答案】25【解析】设P (ξ＝1)＝a ，P (ξ＝2)＝b ， 则⎩⎪⎨⎪⎧15＋a ＋b ＝1，a ＋2b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝35，b ＝15，所以D (ξ)＝15＋35×0＋15×1＝25.15．抛掷两枚骰子，当至少一枚5点或一枚6点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中成功次数的均值为________． 【答案】509【题根精选精析】考点1 离散型随机变量及其分布列【1-1】随机变量X 的概率分布规律为P （X ＝n）＝ （n ＝1,2,3,4），其中a 是常数，则P（＜X ＜）的值为.【答案】【解析】因为随机变量X的概率分布规律为 （n ＝1,2,3,4），所以，所以.【1-2】若随机变量X 的分布列如下表，且EX=6.3， 则表中a 的值为.【答案】7【解析】由得，，解【1-3】口袋中有n(n ∈N *)个白球，3个红球．依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球．记取球的次数为X.若P(X ＝2)＝730，则n 的值为.【答案】7【1-4】在对某渔业产品的质量调研中，从甲、乙两地出产的该产品中各随机抽取10件，测量该产品中某种元素的含量（单位：毫克）.下表是测量数据的茎叶图：216542098874286438210乙地甲地规定：当产品中的此种元素含量毫克时为优质品.（Ⅰ）试用上述样本数据估计甲、乙两地该产品的优质品率（优质品件数/总件数）；（Ⅱ）从乙地抽出的上述10件产品中，随机抽取3件，求抽到的3件产品中优质品数的分布列及数学期望.【解析】 (I)甲厂抽取的样本中优等品有7件,优等品率为乙厂抽取的样本中优等品有8件,优等品率为(II)的取值为1，2，3.所以的分布列为故的数学期望为【1-5】甲、乙、丙三个车床加工的零件分别为350个，700个，1050个，现用分层抽样的方法随机抽取6个零件进行检验.（1）从抽取的6个零件中任意取出2个，已知这两个零件都不是甲车床加工的，求其中至少有一个是乙车床加工的零件；（2）从抽取的6个零件中任意取出3个，记其中是乙车床加工的件数为X，求X的分布列和期望.X的期望为．【基础知识】1．离散型随机变量的分布列(1)随机变量如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，随机变量常用字母X，Y，ξ，η等表示．(2)离散型随机变量对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．若是随机变量，，其中是常数，则也是随机变量.2.常见离散型随机变量的分布列(1)两点分布：若随机变量服从两点分布，即其分布列为其中，则称离散型随机变量服从参数为的两点分布．其中称为成功概率．(2)超几何分布：在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件{}发生的概率为，，其中，且，称分布列为超几何分布列.(3)设离散型随机变量可能取得值为，，…，，…，取每一个值 ()的概率为，则称表为随机变量X的概率分布列，简称X的分布列．有时为了表达简单，也用等式，表示的分布列．分布列的两个性质①，；②.【思想方法】1.求分布列的三种方法(1)由统计数据得到离散型随机变量的分布列；(1)可设出随机变量Y，并确定随机变量的所有可能取值作为第一行数据；(2)由统计数据利用事件发生的频率近似地表示该事件的概率作为第二行数据．由统计数据得到分布列可帮助我们更好理解分布列的作用和意义．(2)由古典概型求出离散型随机变量的分布列；求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X取各个值的概率．而超几何分布就是此类问题中的一种．(3)由互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率及n次独立重复试验有k次发生的概率求离散型随机变量的分布列．2. 求离散型随机变量分布列的步骤(1)找出随机变量X的所有可能取值x i(i＝1,2, 3，…，n)；(2)求出各取值的概率P(X＝x i)＝p i；(3)列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确．3. 解答离散型随机变量的分布列及相关问题的一般思路(1)明确随机变量可能取哪些值．(2)结合事件特点选取恰当的计算方法计算这些可能取值的概率值．(3)根据分布列和期望、方差公式求解．注意解题中要善于透过问题的实际背景发现其中的数学规律，以便使用我们掌握的离散型随机变量及其分布列的知识来解决实际问题．【温馨提醒】求离散型随机变量的分布列的关键是正确理解随机变量取每一个所表示的具体事件，然后综合应用各类求概率的公式，求出概率.考点2 二项分布及应用【2-1】【盐城2015调研】袋中装有完全相同的5个小球，其中有红色小球3个，黄色小球2个，如果不放回地依次摸出2个小球，则在第一次摸出红球的条件下，第二次摸出红球的概率是.【答案】【2-2】已知在一次试验中，，那么在次独立重复试验中，事件恰好在前两次发生的概率是.【答案】【解析】因为，所以在次独立重复试验中，事件恰好在前两次发生的概率．【2-3】设服从二项分布的随机变量X的期望和方差分别是2.4和1.44，则二项分布的参数的值为.【答案】【解析】由二项分布的期望和方差得，解的【2-4】【2015四川模拟】一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得分）.设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立.（1）设每盘游戏获得的分数为，求的分布列；（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.【解析】试题分析：（1）由得，.所以的分布列为【2-5】【北京市西城区2015模拟】在某批次的某种灯泡中，随机地抽取个样品，并对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下. 根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于天的灯泡是优等品，寿命小于天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品.（1）根据频率分布表中的数据，写出、的值；（2）某人从灯泡样品中随机地购买了个，如果这个灯泡的等级情况恰好与按三个等级分层抽样．．．．．．．．．所得的结果相同，求的最小值；（3）某人从这个批次的灯泡中随机地购买了个进行使用，若以上述频率作为概率，用表示此人所购买的灯泡中次品的个数，求的分布列和数学期望.所以的数学期望.（注：写出，，、、、. 请酌情给分）【基础知识】1．条件概率及其性质(1)对于任何两个事件和，在已知事件发生的条件下，事件发生的概率叫做条件概率，用符号来表示，其公式为.在古典概型中，若用表示事件中基本事件的个数，则.(2)条件概率具有的性质：①；②如果和是两互斥事件，则．2．相互独立事件(1)对于事件、，若的发生与的发生互不影响，则称、是相互独立事件．(2)若与相互独立，则，．(3)若与相互独立，则与，与，与也都相互独立．(4)若，则与相互独立．3．独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．(2)二项分布在次独立重复试验中，设事件发生的次数为，在每次试验中事件发生的概率为，那么在次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率为 ()，此时称随机变量服从二项分布，记作，并称为成功概率．【思想方法】1. 条件概率的求法(1)定义法：先求和，再由，求；(2)基本事件法：借古典概型概率公式，先求事件包含的基本事件数，再求事件所包含的基本事件数，得.2. 求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；(2)正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算．相互独立事件的概率通常和互斥事件的概率综合在一起考查，这类问题具有一个明显的特征，那就是在题目的条件中已经出现一些概率值，解题时先要判断事件的性质(是互斥还是相互独立)，再选择相应的公式计算求解．3. 二项分布满足的条件(1)每次试验中，事件发生的概率是相同的．(2)各次试验中的事件是相互独立的．(3)每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生．(4)随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数．4.二项展开式的通项与二项分布的概率公式的“巧合”一般地，由n次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即与，每次试验中.我们将这样的试验称为次独立重复试验，也称为伯努利试验．在次独立重复试验中，每次试验事件发生的概率均为，即，.由于试验的独立性，次试验中，事件在某指定的次发生，而在其余次不发生的概率为.而在次试验中，事件恰好发生次的概率为，.它恰好是的二项展开式中的第项．5. 牢记且理解事件中常见词语的含义：(1) 、中至少有一个发生的事件为；(2) 、都发生的事件为；(3) 、都不发生的事件为；(4) 、恰有一个发生的事件为；(5) 、至多一个发生的事件为.【温馨提醒】这些都是二项分布问题，关键是正确求出随机变量的分布列，可直接使用公式求解.因此牢记公式，，并深刻理解其含义．考点3 离散型随机变量的均值与方差【3-1】设随机变量X～B（n，p），且E（X）＝1.6，D（X）＝1.28，则的值为.【答案】n＝8，p＝0.2【解析】因为随机变量X～B（n，p），且E（X）＝1.6，D（X）＝1.28，所以.【3-2】设服从二项分布X～B（n，p）的随机变量X的均值与方差分别是15和，则n、p的值分别是.【答案】60，【解析】由二项分布X～B（n，p）的均值与方差可知E(X)=np=15,D(X)=np(1-p)=,解得n=60,p=,所以【3-3】变量X的概率分布列如右表，其中成等差数列，若，则_________.【答案】【3-4】【常州2015调研】某公司计划在迎春节联欢会中设一项抽奖活动：在一个不透明的口袋中装入外形一样号码分别为1，2，3，…，10的十个小球.活动者一次从中摸出三个小球，三球号码有且仅有两个连号的为三等奖，奖金30元；三球号码都连号为二等奖，奖金60元；三球号码分别为1，5，10为一等奖，奖金240元；其余情况无奖金.（1）求员工甲抽奖一次所得奖金ξ的分布列与期望；（2）员工乙幸运地先后获得四次抽奖机会，他得奖次数的方差是多少？【3-5】【无锡2015模拟】在2014年俄罗斯索契冬奥会某项目的选拔比赛中，A,B两个代表队进行对抗赛，每队三名队员,A队队员是A1,A2,A3,B队队员是B1,B2,B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下表，现按表中对阵方式出场进行三场比赛，每场胜队得1分，负队得0分，设A队，B队最后所得总分分别为．（1)求A队得分为1分的概率；（2）求的分布列；并用统计学的知识说明哪个队实力较强．【基础知识】1．均值若离散型随机变量X的分布列为称为随机变量的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．．若，其中为常数，则也是随机变量，且.若服从两点分布，则；若，则.2.方差若离散型随机变量X的分布列为则描述了 ()相对于均值的偏离程度，而为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量与其均值的平均偏离程度．称为随机变量的方差，其算术平方根为随机变量的标准差．若，其中为常数，则也是随机变量，且．若服从两点分布，则．若，则．【思想方法】1. 求离散型随机变量均值、方差的基本方法(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；(2)已知随机变量的均值、方差，求的线性函数的均值、方差和标准差，可直接用的均值、方差的性质求解；(3)如能分析所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，可直接利用它们的均值、方差公式求解．2. 求离散型随机变量均值的步骤(1)理解随机变量的意义，写出可能取得的全部值；(2)求的每个值的概率；(3)写出的分布列；(4)由均值定义求出．3.六条性质(1) (为常数)(2) (为常数)(3)(4)如果相互独立，则(5)(6)4. 均值与方差性质的应用若是随机变量，则一般仍是随机变量，在求的期望和方差时，熟练应用期望和方差的性质，可以避免再求的分布列带来的繁琐运算．【温馨提醒】求离散型随机变量的期望和方差的应用问题，首先应仔细地分析题意，当概率分布不是一些熟知的类型时，应全面地剖析各个随机变量所包含的各种事件，并准确判断各事件的相互关系，从而求出各随机变量相应的概率.【易错问题大揭秘】1.随机变量取值不全致误典例(12分)盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为5的球3个．第一次从盒子中任取1个球，放回后第二次再任取1个球(假设取到每个球的可能性都相同)．记第一次与第二次取得球的标号之和为ξ.求随机变量ξ的可能取值及其分布列．易错分析由于随机变量取值情况较多，极易发生对随机变量取值考虑不全而导致解题错误．温馨提醒(1)解决此类问题的关键是弄清随机变量的取值，正确应用概率公式．(2)此类问题还极易发生如下错误：虽然弄清随机变量的所有取值，但对某个取值考虑不全面．(3)避免以上错误发生的有效方法是验证随机变量的概率和是否为1.2.独立事件概率求解中的易误点典例(12分)某射手每次射击击中目标的概率是23，且各次射击的结果互不影响．(1)假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率；(2)假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率；(3)假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分．在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分．记ξ为射手射击3次后的总分数，求ξ的分布列．易错分析解本题第(2)问易因不明独立事件与独立重复试验的区别，误认为是n次独立重复试验，可导致求得P＝C35(23)3×(13)2＝80243这一错误结果．规范解答温馨提醒(1)正确区分相互独立事件与n次独立重复试验是解决这类问题的关键．独立重复试验是在同一条件下，事件重复发生或不发生．(2)独立重复试验中的概率公式P(X＝k)＝Ck n p k(1－p)n－k表示的是n次独立重复试验中事件A发生k次的概率，p 与1－p的位置不能互换，否则该式子表示的意义就发生了改变，变为事件A有k次不发生的概率了.[失误与防范]1掌握离散型随机变量的分布列，须注意：(1)分布列的结构为两行，第一行为随机变量X所有可能取得的值；第二行是对应于随机变量X的值的事件发生的概率．看每一列，实际上是上为“事件”，下为“事件发生的概率”，只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的．每完成一列，就相当于求一个随机事件发生的概率．(2)要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误．2．运用公式P(AB)＝P(A)P(B)时一定要注意公式成立的条件，只有当事件A、B相互独立时，公式才成立．3．独立重复试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中某事件发生的概率相等．注意“恰好”与“至多(少)”的关系，灵活运用对立事件．4．在没有准确判断分布列模型之前不能随便套用公式．5．对于应用问题，必须对实际问题进行具体分析，一般要将问题中的随机变量设出来，再进行分析，求出随机变量的分布列，然后按定义计算出随机变量的均值、方差．。
高考数学一轮复习计数原理与概率小题必刷题
对于A，事件M与N是可能同时发生的，故M与N不互斥，故A不正确； 对于 B，P(M)＝36＝12，故 B 正确； 对于C，事件M发生与否对事件N发生的概率没有影响，M与N相互独 立，故C正确； 对于 D，事件 M 发生的概率为 P(M)＝21，事件 N 发生的概率为 P(N)＝12， P(M∪N)＝1－P( M )P( N )＝1－12×12＝34，故 D 不正确.
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根据题意，6种不同食物中，有1种适合放入中间 格，则中间格有1种放法， 十字格有四个位置，有3种适合放入十字格，所 以有一种放两个位置，共有3种放法，四角格有 4个位置，有2种适合放入四角格，可分为一种放 三个位置，一种放一个位置，有两种放法，或每种均放两个位置，有 一种放法，则四角格有3种放法，则有1×3×3＝9(种)不同放法.
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∵患者通过飞沫传播被感染的概率为23， ∴患者不是通过飞沫传播被感染的概率为13， ∴甲、乙两患者都不是通过飞沫传播被感染的概率为13×13＝19， 故甲、乙两患者至少有一人是通过飞沫传播被感染的概率为 1－19＝89.
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现有6种不同食物(足够量)，其中1种适合放入中间
格，3种适合放格全部放入食物，且每格只放一种，若同
时可以吃到这六种食物(不考虑位置)，则不同的放
法种数为
A.108
B.36
√C.9
D.6
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江苏省一轮复习数学试题选编：概率学生 含答案
江苏省2014届一轮复习数学试题选编27：概率（学生版）填空题1 ．（南京市、盐城市2013届高三年级第一次模拟考试数学试题）袋中装有2个红球, 2个白球, 除颜色外其余均相同, 现从中任意摸出2个小球, 则摸出的两球颜色不同的概率为 .2 ．（江苏省徐州市2013届高三考前模拟数学试题）在集合{|,1,2,,10}6n M x x n π===中任取一个元素,所取元素恰好满足方程1cos 2x =的概率是________. 3 ．（南京市、淮安市2013届高三第二次模拟考试数学试卷）盒子中有大小相同的3只白球、2只黑球,若从中随机地摸出两只球,则两只球颜色相同的概率是______.4 ．（江苏省盐城市2013届高三年级第二次模拟考试数学试卷）现有在外观上没有区别的5件产品,其中3件合格,2件不合格,从中任意抽检2件,则一件合格,另一件不合格的概率为________.5 ．（2011年高考（江苏卷））从1,2,3,4这四个数中一次随机取两个数,则其中一个数是另一个的两倍的概率是______6 ．（常州市2013届高三教学期末调研测试数学试题）已知某拍卖行组织拍卖的10幅名画中,有2幅是膺品.某人在这次拍卖中随机买入了一幅画,则此人买入的这幅画是膺品的事件的概率为______.7 ．（2012年江苏理）现有10个数,它们能构成一个以1为首项,3-为公比的等比数列,若从这10个数中随机抽取一个数,则它小于8的概率是____.8 ．（苏州市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）有5个数成公差不为零的等差数列,这5个数的和为15,若从这5个数中随机抽取一个数,则它小于3的概率是_______.9 ．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）（选修物理））在4次独立重复试验中,随机事件A 恰好发生l 次的概率不大于其恰好发生两次的概率,则事件A 在一次试验中发生的概率p 的取值范围是___________________.10．（徐州、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试数学试卷）已知数字发生器每次等可能地输出数字1或2中的一个数字,则连续输出的4个数字之和能被3整除的概率是___.11．（2009高考(江苏)）现有5根竹竿，它们的长度（单位：m ）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为___★___.12．（江苏省泰州市2012-2013学年度第一学期期末考试高三数学试题）如图,ABCD 是4⨯5的方格纸,向此四边形ABCD 内抛撒一粒豆子,则豆子恰好落在阴影部分内的概率为_______________13．（江苏省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研(一)数学试题）正四面体的四个面上分别写有数字0,1,2,3,把两个这样的四面体抛在桌面上,则露在外面的6个数字恰好是2,0,1,3,0,3的概率为________.14．（江苏省徐州市2013届高三上学期模底考试数学试题）在大小相同的4个小球中,2个是红球,2个是白球,若从中随机抽取2个球,则所抽取的球中至少有一个红球的概率是________.15．（江苏省泰州、南通、扬州、宿迁、淮安五市2013届高三第三次调研测试数学试卷）从集合{}1 2 3 4 5 6 7 8 9，，，，，，，，中任取两个不同的数,则其中一个数恰是另一个数的3倍的概率为______.16．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）（选修物理））已知一组抛物线2y ax bx c =++,其中a 为1、3、5、7中任取的一个数,b 为2、4、6、8中任取的一个数,从这些抛物线中任意抽取两条,它们在与直线12x =交点处的切线相互平行的概率是_________________.17．（江苏省苏南四校2013届高三12月月考试数学试题）一个质地均匀的正四面体(侧棱长与底面边长相等的正三棱锥)骰子四个面上分别标有1,2,3,4这四个数字,抛掷这颗正四面体骰子,观察抛掷后能看到的数字.若连续抛掷两次,两次朝下面上的数字之积大于6的概率是______.18．（2013江苏高考数学）现在某类病毒记作n m Y X ,其中正整数m ,n (7≤m ,9≤n )可以任意选取,则n m ，都取到奇数的概率为____________.19．（苏北三市（徐州、淮安、宿迁）2013届高三第二次调研考试数学试卷）从0,1,2,3这四个数字中一次随机取两个数字,若用这两个数字组成无重复数字的两位数,则所得两位数为偶数的概率是_____.20．（江苏省2013届高三高考压轴数学试题）从集合{-1,1,2,3}中随机选取一个数记为m,从集合{-1,1,2}中随机选取一个数记为n,则方程22x ym n+=1表示双曲线的概率为________.21．（江苏省扬州市2013届高三下学期5月考前适应性考试数学（理）试题）已知某一组数据8,9,11,12,x,若这组数据的平均数为10,则其方差为______.若以连续掷两次骰子得到的点数nm,分别作为点P的横、纵坐标,则点P在直线4x y+=上的概率为______.22．（连云港市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）在数字1、2、3、4四个数中,任取两个不同的数,其和大于积的概率是___.23．（江苏省淮安市2013届高三上学期第一次调研测试数学试题）连续抛掷一个骰子(一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)两次,则出现向上点数之和大于9的概率是___________.24．（江苏省南京市四区县2013届高三12月联考数学试题）若将一颗质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具),先后抛掷两次,则出现向上的点数之和为6的概率是____25．（江苏省盐城市2013届高三10月摸底考试数学试题）已知甲、乙、丙三人在3天节日中值班,每人值班1天,那么甲排在乙前面值班的概率是________.26．（江苏省徐州市2013届高三期中模拟数学试题）在闭区间 [-1,1]上任取两个实数,则它们的和不大于1的概率是_______________.27．（江苏省南京市2013届高三9月学情调研试题（数学）WORD版）有3个兴趣小组,甲､乙两位同学各参加其中一个小组,且他们参加各个兴趣小组是等可能的,则甲､乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率为_______.28．（苏州市第一中学2013届高三“三模”数学试卷及解答）有一个容量为66的样本,数据的分组[1.5,3.5)[3.5,5.5)[5.5,7.5)[7.5,9.5)[9.5,11.5)频数 6 14 16 20 10 根据样本的频率分布估计,数据落在[5.5,9.5)的概率约是________.29．（扬州市2012-2013学年度第一学期期末检测高三数学试题）先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6),骰子朝上的面的点数分别为x,y,则x y 2=的概率为_____.30．（2013江苏高考数学）抽样统计甲、乙两位设计运动员的5此训练成绩(单位:环),结果如下:31．（江苏省2013届高三高考模拟卷（二）（数学） ）在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4的四个小球,这些小球除标注的数字外完全相同.现从中随机取出2个小球,则取出的小球标注的数字之和为5的概率是_______.32．（2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题）在不等式组031y x x y x ⎧⎪≤⎪<≤⎨⎪⎪>⎩所表示的平面区域内所有的格点(横、纵坐标均为整数的点称为格点)中任取3个点,则该3点恰能成为一个三角形的三个顶点的概率为______.33．（江苏省南通市、泰州市、扬州市、宿迁市2013届高三第二次调研（3月）测试数学试题）设数列{a n }满足：()()*3118220()n n n n a a a a a n ++=---=∈N ，，则a 1的值大于20的概率为 ▲ ．34．（2010年高考（江苏））盒子中有大小相同的3只小球,1只黑球,若从中随机地摸出两只球,两只球颜色不同的概率是____35．（南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学试卷）在一个盒子中有分别标有数字1,2,3,4,5的5张卡片,现从中一次取出2张卡片,则取到的卡片上的数字之积为偶数的概率是________.36．（苏北老四所县中2013届高三新学期调研考试）当A ，B ∈{1，2，3}时，在构成的不同直线Ax －By ＝0中，任取一条，其倾斜角小于45︒的概率是___________37．（江苏省无锡市2013届高三上学期期中考试数学试题）某学校有两个食堂,甲,乙,丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐,则他们在同一个食堂用餐的概率为___________.解答题38．（2010年高考（江苏））某厂生产甲、乙两种产品,生产甲产品一等品80%,二等品20%;生产乙产品,一等品90%,二等品10%.生产一件甲产品,如果是一等品可获利4万元,若是二等品则要亏损1万元;生产一件乙产品,如果是一等品可获利6万元,若是二等品则要亏损2万元.设生产各种产品相互独立(1)记x(单位:万元)为生产1件甲产品和件乙产品可获得的总利润,求x 的分布列 (2)求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率39．（2012年江苏理）设ξ为随机变量,从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条,当两条棱相交时,0ξ=;当两条棱平行时,ξ的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时,1ξ=. (1)求概率(0)P ξ=;(2)求ξ的分布列,并求其数学期望()E ξ.40．（江苏省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研(一)数学试题）(1)山水城市镇江有“三山”——金山、焦山、北固山,一位游客游览这三个景点的概率都是0.5,且该游客是否游览这三个景点相互独立,用ξ表示这位游客游览的景点数和没有游览的景点数差的绝对值,求ξ的分布列和数学期望;(2)某城市有n (n 为奇数,3n ≥)个景点,一位游客游览每个景点的概率都是0.5,且该游客是否游览这n 个景点相互独立,用ξ表示这位游客游览的景点数和没有游览的景点数差的绝对值,求ξ的分布列和数学期望.41．（苏北老四所县中2013届高三新学期调研考试）如图，已知面积为1的正三角形ABC 三边的中点分别为D 、E 、F ，从A ，B,C,D ，E ，F 六个点中任取三个不同的点，所构成的三角形的面积为X （三点共线时，规定X=0）（1）求1()2P X ≥；（2）求E （X ）42．（苏州市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）设10件同类型的零件中有2CB件不合格品,从所有零件中依次不放回地取出3件,以X表示取出的3件中不合格品的件数.(1)求“第一次取得正品且第二次取得次品”的概率;E X.(2)求X的概率分布和数学期望()43．（江苏省南京市2013届高三9月学情调研试题（数学）WORD版）在一个盒子中有大小一样的7个球,球上分别标有数字1,1,2,2,2,3,3.现从盒子中同时摸出3个球,设随机变量X为摸出的3个球上的数字和.(1)求概率P(X≥7);(2)求X的概率分布列,并求其数学期望E(X).2013届高三学情调研卷44．（江苏省扬州市2013届高三下学期5月考前适应性考试数学（理）试题）某高校设计了一个实验学科的实验考查方案:考生从6道备选题中一次性随机抽取3题,按照题目要求独立完成全部实验操作.规定:至少正确完成其中2题的便可提交通过.已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成,2道题不能完成.(1)求出甲考生正确完成题数的概率分布列,并计算数学期望; (2)若考生乙每题正确完成的概率都是23,且每题正确完成与否互不影响.试从至少正确完成2题的概率分析比较两位考生的实验操作能力.45．（江苏省无锡市2013届高三上学期期末考试数学试卷）某银行的一个营业窗口可办理四类业务,假设顾客办理业务所需的时间互相独立,且都是整数分钟,经统计以往100位顾客办理业务所需的时间(t),结果如下:注:银行工作人员在办理两项业务时的间隔时间忽略不计,并将频率视为概率. (Ⅰ)求银行工作人员恰好在第6分钟开始办理第三位顾客的业务的概率;(Ⅱ)用X 表示至第4分钟末已办理完业务的顾客人数,求X 的分布列及数学期望.46．（2009高考(江苏)）对于正整数n ≥2，用n T 表示关于x 的一元二次方程220xax b ++=有实数根的有序数组(,)a b 的组数，其中{},1,2,,a b n ∈（a 和b 可以相等）；对于随机选取的{},1,2,,a b n ∈（a 和b 可以相等），记n P 为关于x 的一元二次方程220x ax b ++=有实数根的概率。
2023届新高考一轮复习基础检测数学试题(教师版)
2023届新高考一轮复习基础检测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}12A x x =-<<，{}0B x x =≥，则A B ⋃=（ ） A ．{}02x x ≤< B ．{}1x x >-C ．{}0x x ≥D ．{}2x x <2．在复平面内，复数()2i i -的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【分析】先化简()2i i -，求得其共轭复数，进而确定正确选项.【详解】()2i i 12i -=+，其共轭复数为12i -，对应坐标为1,2，在第四象限.故选：D3．已知()sin15,cos15a =︒︒，()cos30,sin30b =︒︒，则a b ⋅=（ ） A B ．C ．12D ．12-【分析】根据数量积公式和两角和公式可得()sin 15=+30a b ⋅，进而求出结果【详解】sin15cos30+cos15sin 30a b ⋅=()=sin 15+30=sin 45=︒【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的坐标运算和两角和公式的应用，属于基础题4．2020年11月24日4时30分，我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭成功发射嫦娥五号，12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆，“绕、落、回”三步探月规划完美收官，这为我国未来月球与行星探测奠定了坚实基础．已知在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式0lnM v v m =⋅计算火箭的最大速度()m/s v ，其中()0m/s v 是喷流相对速度，()kg m 是火箭（除推进剂外）的质量，()M kg 是推进剂与火箭质量的总和，Mm称为“总质比”．若A 型火箭的喷流相对速度为1000m/s ，当总质比为500时，A 型火箭的最大速度约为（lg 0.434e ≈，lg 20.301≈）（ ） A ．4890m/s B ．5790m/s C ．6219m/s D ．6825m/s5．一组数据由10个数组成，将其中一个数由4改为1，另一个数由6改为9，其余数不变，得到新的10个数，则新的一组数的方差相比原先一组数的方差的增加值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．58,,x ，8(x x ++-8(x x ++-2)(6x ---236x --+【点睛】关键点点睛：该题考查了平均数与方差的求解，正确解题的关键是熟练掌握方差的计算公式6．已知函数()2cos22f x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，若要得到一个奇函数的图象，则可以将函数()f x 的图象A ．向左平移π6个单位长度B ．向右平移π6个单位长度C ．向左平移π12个单位长度 D ．向右平移π12个单位长度【答案】C 【详解】由题意可得，函数f(x)=3sin 2cos 22sin(2)6x x x π-=-，设平移量为θ，得到函数()2sin(22)6πθ=+-g x x ，又g(x)为奇函数，所以2,,6k k Z πθπ-=∈即,,122k k Z ππθ=+∈，所以选C 【点睛】三角函数图像变形：路径①：先向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位长度，得到函数y ＝sin(x ＋φ)的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的1ω倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A (横坐标不变)，这时的曲线就是y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象． 路径①：先将曲线上各点的横坐标变为原来的1ω倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin ωx 的图象；然后把曲线向左(φ>0)或向右(φ<0)平移φω个单位长度，得到函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A 倍(横坐标不变)，这时的曲线就是y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象． 7．已知0.22a =，0.32b =，0.21.3c =，则（ ） A ．b a c >> B ．a b c >> C ．b c a >>D ．a c b >>【答案】A【解析】利用指数函数的单调性以及幂函数的单调性即可判断. 【详解】由2x y =为单调递增函数， 则0.30.201222>>=， 所以b a >，由0.2y x =为增函数，所以0.20.22 1.3>， 所以b c >， 综上所述，b a c >>. 故选：A8．唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示，它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（如图2），当这种酒杯内壁的表面积（假设内壁表面光滑，表面积为S 平方厘米，半球的半径为R 厘米）固定时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍，则R 的取值可能为（ ） A ．2πSB ．πS C ．2πS D ．25S π【答案】D【分析】设圆柱的高为h ，根据圆柱和球的表面积公式求得h ，再根据圆柱和球的体积公式求出酒杯和半球的体积，结合题意求得R 的范围，即可得解. 【详解】解：设圆柱的高为h ， 则22π2S R Rh π=+，所以22π2πS R h R-=, 酒杯的体积23232311422ππππππ2332π23S R S V R R h R R R R R -=⨯+=+=-， 半球的体积322π3V R =，因为酒杯的容积不大于半球体积的2倍， 所以33π4π233S R R R -≤，解得310πS R ≥， 又因22π02πS R h R-=>，所以2πSR <， 所以310π2πSS R ≤<. 故选：D. 二、多选题9．已知A ，B ，C 三点均在球O 的表面上，AB =BC =CA =2，且球心O 到平面ABC 的距离等于球半径的13，则下列结论正确的是（ ） A ．球O 的半径为32B ．球O 的表面积为6πC ．球O 的内接正方体的棱长为6D ．球O 的外切正方体的棱长为6【答案】BD【分析】设球O 的半径为r ，由ABC 是正三角形，得ABC 的外接圆的半径233R =， 对于A ：由已知有221493r r -=，解之可判断；对于B ：根据A 选项的解析和球的表面积公式计算可判断； 对于C ：由球O 的内接正方体的棱长与球的半径的关系可判断； 对于D ：由球O 的外切正方体的棱长与球的半径的关系可判断．【详解】解：设球O 的半径为r ，ABC 的外接圆圆心为'O ，半径为R ，则233R =， 因为球心O 到平面ABC 的距离等于球O 半径的13，所以221493r r -=，得232r =，所以A 不正确；所以球O 的表面积234462S r πππ==⨯=，选项B 正确；球O 的内接正方体的棱长a 满足32a r =，显然选项C 不正确； 球O 的外切正方体的棱长b 满足2b r =，显然选项D 正确． 故选：BD.10．若R x ∀∈，()()11f x f x +=-，当1x ≥时，()24f x x x =-，则下列说法错误的是（ ）A ．函数()f x 为奇函数B ．函数()f x 在()1,+∞上单调递增C ．()min 4f x =-D ．函数()f x 在(),1-∞上单调递减 【答案】ABD【分析】由题意求出224,1()4,1x x x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，作出图象，即可求解【详解】由R x ∀∈，()()11f x f x +=-可知R x ∀∈，()()2f x f x =-， 可知()f x 关于直线1x =对称，当1x ≥时，()()22424f x x x x =--=-，当1x <时，21x ->，()()2222244f x x x -=---=-，所以224,1()4,1x x x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，作出224,1()4,1x x x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩的图象，所以()f x 在()0,1，()2,+∞上单调递增，在(),0∞-，()1,2上单调递减，()min 4f x =-，()f x 不是奇函数，故ABD 错误，C 正确；故选：ABD11．已知O 为坐标原点，过点(,1)P a -作两条直线分别与抛物线C ：24x y =相切于点A 、B ，AB 的中点为M ，则下列结论正确的是（ ）A ．直线AB 过定点(0,2)； B ．PM 的斜率不存在；C ．y 轴上存在一点N ，使得直线NA 与直线NB 关于y 轴对称；D ．A 、B 两点到抛物线准线的距离的倒数和为定值. 【答案】BCD【解析】利用导数的几何意义得到直线AB 的方程，从而得到定点坐标，得A 错误；将直线AB 的方程与抛物线方程联立，并利用根与系数的关系得到M 点横坐标，从而得到PM x ⊥轴，得B 正确；设(0)N b ，，直线NA 、NB 的斜率分别为1k 、2k ，并利用斜率公式及根与系数的关系得到当1b时，120k k +=，得C 正确；根据抛物线的几何性质得到,A B 两点到准线的距离的倒数之和，并借助根与系数的关系化简，得D 正确. 【详解】设11()A x y ，、22()B x y ，，①214y x =，①12y x '=， ①过点A 的切线方程为1111()2y y x x x -=-，即22111111422y x x x x -=-，①2111124y x x x =-，同理过点B 的切线方程为2221124y x x x =-， 将(1)a -，分别代入上式，得1112a x y -=-，2212ax y -=-， ①直线AB 的方程为102ax y -+=，①直线AB 过定点(0)1，，A 选项错误， 联立方程24102x ya x y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩得：2240x ax --=，24160a ∆=+>，则122x x a +=，124x x ⋅=-，①点M 的横坐标为122x xa +=，①PM x ⊥轴，B 选项正确，设(0)N b ，，由题意得10x ≠、20x ≠，设直线NA 、NB 的斜率分别为1k 、2k ， 则1212121212121()()2(1)44x x b x x y b y b a b k k x x x x ⋅-+----+=+==⋅-， 当1b时，120k k +=，即直线NA 与直线NB 关于y 轴对称，C 选项正确，①点A 到准线的距离为11y +，点B 到准线的距离为21y +，①1212122121212121212222111()11(1)(1)1116y y y y y y x x y y y y y y y y y y +++++++====⋅++++⋅++++++，D 选项正确，故选：BCD.【点睛】本题考查导数的几何意义、抛物线的几何性质以及直线与抛物线的位置关系，以直线与抛物线相切为出发点，利用根与系数的关系考查定值问题.12．以下数量关系比较的命题中，正确的是（ ） A ．2e e 2> B ．2ln 23>C ．ln π1πe< D ．ln 2ln π2π> 0fx，函数单调递增；当elne e 0=-=，所以A 正确；三、填空题13．六元一次方程12610x x x +++=的正整数解有________组．610x ++=14．过原点的直线l 与双曲线226x y -=交于A ，B 两点，点P 为双曲线上一点，若直线P A 的斜率为2，则直线PB的斜率为______. 【答案】12##0.515．已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线()221y ax a x =+++相切,则a=________．【详解】试题分析：函数ln y x x =+在(1,1)处的导数为111|1|2x x y x===+='，所以切线方程为；曲线2(2)1y ax a x =+++的导函数的为，因与该曲线相切，可令，当时，曲线为直线，与直线平行，不符合题意；当时，代入曲线方程可求得切点，代入切线方程即可求得.16．已知点P 为椭圆2213x y +=上任一点，点Q是抛物线2x =的准线上的任意一点，以PQ 为直径的圆过原点O ，试判断2211OPOQ+=_____________四、解答题17．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，已知131,9a S == （1）求数列{}n a 的通项公式;（2）若()21nn n b a =-⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .18．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,,sin cos 6a b c b A a B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（1）求角B 的大小；（2）设点D 是AC 的中点，若BD =a c +的取值范围．，在BAE 中，由余弦定理化简整理得到，再由三角形的性质，即可求得a c +的取值范围【详解】（1）在ABC 中，由正弦定理sin sin a bA B=，可得sin sin b A a B =， 又由sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可得sin cos 6a B a B π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 即sin cos 6B B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即31sin cos sin 22BB B ，可得tan 3B =， 又因为(0,)B π∈，所以3B π=．（2）如图，延长BD 到E ，满足DE BD =，连接AE CE 、，则ABCE 为平行四边形，且223,,,3BE BAE AB c AE BC a π=∠====， 在BAE 中，由余弦定理得2222(23)2cos3a c ac π=+-， 即2212a c ac ++=，可得2()12a c ac +-=，即2()12ac a c =+-， 由基本不等式得：22()122a c ac a c +⎛⎫=+-≤ ⎪⎝⎭，即23()124a c +≤， 即2()16a c +≤，可得4a c +≤，（当且仅当==2a c 取等号号） 又由AE AB BE +>，即23a c +>， 故a c +的取值范围是(23,4] .【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，以及基本不等式求最值的综合应用，其中解答中熟练应用正弦定理、余弦定理，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查了转化思想与运算、求解能力，属于基础题． 19．如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，E ，F 分别是PA ，PC 的中点.（1）记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线l 与平面PAC 的位置关系，并加以证明； （2）设2PC AB =，求二面角E l C --大小的取值范围. 【答案】（1）//l 平面PAC ，证明见解析；（2）,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭.【分析】（1）结合中位线的特点 ，利用线线平行得线面平行，又利用线面平行得线线平行；（2）方法一：利用二面角的定义，作出二面角并证明，表示出二面角，再求范围；方法二，利用垂直关系建立空间直角坐标系，求出法向量，求出二面角的余弦值，再求角的范围. 【详解】解：（1）//l 平面PAC .证明如下：①//EF AC ，AC ⊂平面ABC ，EF ⊄平面ABC ， ①//EF 平面ABC .又EF ⊂平面BEF ，平面BEF 与平面ABC 的交线为l ， ①//EF l .而l ⊄平面PAC ，EF ⊂平面PAC ， ①//l 平面PAC .（2）解法一：设直线l 与圆O 的另一个交点为D ，连结DE ，FB . 由（1）知，//BD AC ，而AC BC ⊥，①BD BC ⊥. ①PC ⊥平面ABC ，①PC BD ⊥. 而PC BC C ⋂=，①BD ⊥平面PBC ， 又①FB ⊂平面PBC ，①BD BF ⊥， ①FBC ∠是二面角E l C --的平面角. 1tan cos FC AB FBC BC BC ABC∠===∠. 注意到02ABC π<∠<，①0cos 1ABC <∠<，①tan 1FBC ∠>.①02FBC π<∠<，①,42FBC ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭， 即二面角E l C --的取值范围是,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭.解法二：由题意，AC BC ⊥，以CA 为x 轴，CB 为y 轴，CP 为z 轴建立空间直角坐标系，设2AB =，()02BC t t =<<，则()0,,0B t ，()0,0,2F ，()24,,0Dt t -，()0,,2BF t =-，()24,0,0BD t =-.设平面DBF 的法向量为(),,m x y z =，则由00m BF m BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩得22040ty z t x -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，取2y =得()0,2,m t =. 易知平面BCD 的法向量()0,0,1n =， 设二面角E l C --的大小为θ，易知θ为锐角.2212cos 0,2441m n tm n t tθ⎛⎫⋅===∈ ⎪ ⎪⋅+⎝⎭+， ①42ππθ<<，即二面角E l C --的取值范围是,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭. 20．某鲜花店根据以往某品种鲜花的销售记录，绘制出日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组区间的频率视为概率，且假设每天的销售量相互独立．（1）求在未来的连续4天中，有2天的日销售量低于100枝且另外2天不低于150枝的概率；（2）用ξ表示在未来4天里日销售量不低于100枝的天数，求随机变量ξ的分布列和数学期望．【答案】（1）①0.06;（2）见解析.【详解】试题分析：根据频率分布直方图求频率要注意小条形的面积代表频率，有2天日销售量低于100枝，另外2天不低于150枝为事件的概率，可根据4天中有2天发生的概率公式计算，根据二项分布列出频率分布列，计算数学期望.试题解析：（1）设日销量为x ，有2天日销售量低于100枝，另外2天不低于150枝为事件A ．则()1000.002500.006500.4P x ≤=⨯+⨯=，()1500.005500.25P x ≥=⨯=，①()22240.40.250.06P A C =⨯⨯=．（2）日销售量不低于100枝的概率0.6P =，则()~4,0.6B ξ，于是()()440.60.40,1,2,3,4k k kP k C k ξ-==⋅⋅=，则分布列为ξ 01 2 3 4 P166259662521662521662581625①16962162168101234 2.4625625625625625E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 【点睛】频率分布直方图、茎叶图、线性回归、独立性检验是高考需要掌握的统计知识，概率分布问题注意一些常用的概率分布，如二项分布，超几何分布等，会计算概率，正确列出分布列，正确计算数学期望及方差.21．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为22，过左焦点F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，且线段AB 的中点为21,33⎛⎫- ⎪⎝⎭.（①）求椭圆C 的方程；（①）设M 为C 上一个动点，过点M 与椭圆C 只有一个公共点的直线为1l ，过点F 与MF 垂直的直线为2l ，求证：1l 与2l 的交点在定直线上，并求出该定直线的方程. 【答案】（①）2212x y +=；（①）证明见解析，2x =-，【解析】（①）设()11,A x y ，()22,B x y ，根据点A ，B 都在椭圆上，代入椭圆方程两式相减，根据“设而不求”的思想，结合离心率以及中点坐标公式、直线的斜率建立等式即可求解.（①）设()00,M x y ，由对称性，设00y >，由2212x y +=，得椭圆上半部分的方程为212x y =-，从而求出直线1l 的方程，再由过点F 与MF 垂直的直线为2l ，求出2l ，两方程联立，消去y ，即可求解. 【详解】（①）由题可知(),0F c -，直线AB 的斜率存在. 设()11,A x y ，()22,B x y ，由于点A ，B 都在椭圆上，(1x x y++x ， ，从而可得x =22．已知函数()e ()xf x x x a =-+，21l )n (g x x x =-+.（1）若()f x 在(0,)+∞上单调递增，求实数a 的最小值； （2）求证：当a 取（1）中的最小值时，()()f x g x ≥.。
高考数学一轮复习概率与统计的综合问题
(2)由题意得 X 的可能取值为 0,1,2，
P(X＝0)＝12×32×21＝16，P(X＝2)＝21×32×12＋12×13×13＝29，P(X＝1) ＝1－61－92＝1118，
所以 X 的分布列为
X
0
1
2
P
1 11 2 6 18 9
所以 E(X)＝0×16＋1×1118＋2×29＝1198.
[方法技巧] 高考常将求概率与等可能事件、互斥事件、相互独立事件、超几何 分布、二项分布、频率分布直方图等交汇在一起进行考查，因此在解答 此类题时，准确把题中所涉及的事件进行分解，明确所求问题所属的事 件类型是关键．特别是要注意挖掘题目中的隐含条件．
[针对训练] (2023·聊城模拟)某校高二年级发起了“发扬奥林匹克精神，锻炼健 康体魄”的年度主题活动，经过一段时间后，学生的身体素质明显提高．
x2i －6 x 2
i＝1
3.92－(－0.26)×3.5＝4.83.
所以^z＝ln ^y＝－0.26x＋4.83，即 y 关于 x 的经验回归方程为 y＝e－ 0.26x＋4.83.
令 e－0.26x＋4.83<10＝eln 10≈e2.3，所以－0.26x＋4.83<2.3，解得 x>9.73. 由于 x∈N ，所以 x≥10，所以从第十个月开始，该年级体重超重的 人数降至 10 人以下．
[针对训练] 已知A，B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2，根据市场 分析，X1和X2的分布列如下：
X1
5%
10%
P
0.6
0.4
X2
2% 8% 12%
P
0.1
0.5
0.4
(1)在 A，B 两个项目上各投资 200 万元，Y1 和 Y2(单位：万元)分别 为投资项目 A 和 B 所获得的利润，求 D(Y1)和 D(Y2)；
高中数学高考2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第10章 高考专题突破六 高考中的概率与统计问题
(1)求表中10个销售数据的中位数和平均数；
解 中位数为43＋2 46＝44.5， 平均数为35＋46＋32＋42＋431＋050＋39＋52＋51＋60＝45.
(2)明年花市期间甲、乙两位同学想合租一个摊位销售同样的精品，其中 甲、乙分别承包白天、晚上的精品销售，承包时间段内销售所获利润归 承包者所有.如果其他条件不变，以今年的数据为依据，甲、乙两位同学 应如何分担租金才较为合理？
跟踪训练3 某项大型赛事需要从高校选拔青年志愿者，某大学学生实 践中心积极参与，在8名学生会干部(其中男生5名，女生3名)中选3名参 加志愿者服务活动.若所选3名学生中的女生人数为X，求X的分布列及 均值.
解 因为8名学生会干部中有5名男生，3名女生，
所以X服从参数N＝8，M＝3，n＝3的超几何分布. X 的所有可能取值为 0,1,2,3，其中 P(X＝i)＝C3iCC3835－i(i＝0,1,2,3). 由公式可得 P(X＝0)＝CC03C38 35＝258， P(X＝1)＝CC13C38 25＝2185， P(X＝2)＝CC23C38 15＝5165，
(2)求抽取的x人的年龄的中位数(结果保留整数)；
解 设中位数为a，则0.01×5＋0.07×5＋(a－30)×0.06＝0.5， ∴a＝935≈32，则中位数为 32.
(3)从该市大学生、军人、医务人员、工人、个体户五种人中用分层抽样 的方法依次抽取6人，42人，36人，24人，12人，分别记为1～5组，从这 5个按年龄分的组和5个按职业分的组中每组各选派1人参加“一带一路” 知识竞赛，分别代表相应组的成绩，年龄组中1～5组的成绩分别为 93,96,97,94,90，职业组中1～5组的成绩分别为93,98,94,95,90. ①分别求5个年龄组和5个职业组成绩的平均数和方差；
江苏高考数学历年真题
江苏高考数学历年真题江苏省高考数学试卷一直备受考生关注，历年真题也是考生复习备考的重要素材。
通过回顾历年高考数学试题，可以更好地了解出题规律、考点分布以及命题趋势，有助于考生有效提升备考效率和应对考试压力。
下面将结合江苏高考数学历年真题，进行分析和总结，帮助考生更好地备战高考数学科目。
一、选择题部分1. 【2019江苏高考】已知函数f(x)的图象关于直线y=x对称，且f(x+1)=3f(x)-2(x-1)，则f(x)=()A. 3x-1B. 3x+1C. x-1D. x+1在这道题中，考查了函数的对称性、函数的性质以及函数方程的解法。
构建方程，解出函数值，是解答该题的关键。
2. 【2017江苏高考】若r1和r2是方程x^2-2kx+(k^2-2k+1)=0的两根，则r1r2=()A. kB. k^2C. k-1D. k+1通过这道题目可以了解到高考中常考的二次方程根与系数的关系，考生需要熟练掌握二次方程的基本性质和解法，灵活运用求根公式等知识。
3. 【2015江苏高考】在△ABC中，角A，B，C 分别等于3α，2α和α，A点是 BC 边上的一点，过A点的外接⚠️AC边的切线交AB边延长线于点D，AC的外接⚠️DE 交BC于E，则∠BDC=()这道题目需要考生结合几何知识，熟练应用三角函数、外角大小关系等知识点，正确理解题意，进行准确推理计算。
二、计算题部分1. 【2018江苏高考】已知组合体的体积是60m³，组合体由两倒底半径为1m和4m，高分别为h和2h的圆锥组成。
A. 暂缺通过这道题目可以了解到高考数学计算题中常涉及到的立体几何知识，考生需掌握圆锥、圆柱、体积等相关知识，灵活运用公式解题。
2. 【2016江苏高考】在正方形ABCD中，点M、N、P分别是AC、AD、AD 的中点，点Q是 BM 的中点，连接 CP，并交 BN 于点R。
如果△BQP的面积为4cm²，求△CMR的面积。
2014届一轮复习数学试题选编27概率(学生版)
(2)若考生乙每题正确完成的概率都是 ,且每题正确完成与否互不影响.试从至少正确完成2题的概 率分析比较两位考生的实验操作能力.
．（江苏省无锡市2013届高三上学期期末考试数学试卷）某银行的一个营业窗口可办理四类业务,假设顾客办理业务所需的时间互相独立,且都是整数分钟,经统计以往100位顾客办理业务所需的时间(t),结果如下:
．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）（选修物理））在4次独立重复试验中,随机事件A恰好发生l次的概率不大于其恰好发生两次的概率,则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是___________________.
．（徐州、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试数学试卷）已知数字发生器每次等可能地输出数字 或 中的一个数字,则连续输出的 个数字之和能被3整除的概率是___.
．（2009高考(江苏)）现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为___★___.
．（江苏省泰州市2012-2013学年度第一学期期末考试高三数学试题）如图,ABCD是4 5的方格纸,向此四边形ABCD内抛撒一粒豆子,则豆子恰好落在阴影部分内的概率为_______________
．（江苏省盐城市2013届高三10月摸底考试数学试题）已知甲、乙、丙三人在3天节日中值班,每人值班1天,那么甲排在乙前面值班的概率是________.
．（江苏省徐州市2013届高三期中模拟数学试题）在闭区间[-1,1]上任取两个实数,则它们的和不大于1的概率是_______________.
．（江苏省南京市2013届高三9月学情调研试题（数学）WORD版）有3个兴趣小组,甲､乙两位同学各参加其中一个小组,且他们参加各个兴趣小组是等可能的,则甲､乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率为_______.
江苏省淮安市2024高三冲刺(高考数学)苏教版质量检测(备考卷)完整试卷
江苏省淮安市2024高三冲刺（高考数学）苏教版质量检测(备考卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题泊松分布是一种描述随机现象的概率分布，在经济生活、事故预测、生物学、物理学等领域有广泛的应用，泊松分布的概率分布列为，其中e为自然对数的底数，是泊松分布的均值．当n很大且p很小时，二项分布近似于泊松分布，其中．一般地，当而时，泊松分布可作为二项分布的近似．若随机变量，的近似值为（）A．B．C．D．第(2)题已知两个圆锥的轴截面均为等边三角形，两个圆锥的表面积分别为，，体积分别为，.若，则（）A．2B．C．3D．4第(3)题已知，，，则（）A．B．C．D．第(4)题已知复数满足，给出下列四个命题其中正确的是（）A．B．的虚部为C．D．第(5)题标有数字1,2,3,4,5,6的六张卡片，卡片的形状、质地都相同，从中有放回地随机抽取两次，每次抽取一张，表示事件“第一次取出的数字是3”，表示事件“第二次取出的数字是2”，表示事件“两次取出的数字之和是6”，表示事件“两次取出的数字之和是7”，则（）A．B．C．D．第(6)题已知某圆台的上底面圆心为，半径为，下底面圆心为，半径为，高为，若该圆台的外接球球心为，且，则（）A．B．C．D．第(7)题函数的单调递减区间为（）A．B．C．D．第(8)题在棱长为1的正方体中，已知E为线段的中点，点F和点P分别满足，，其中，，则下列说法不正确的是（）A．当时，三棱锥的体积为定值B．当时，四棱锥的外接球的表面积是C．的最小值为D．存在唯一的实数对，使得平面PDF二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制．例如：正方体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为．如图，在直三棱柱中，，点的曲率为分别为的中点，则（）A．直线平面B．在三棱柱中，点的曲率为C．在四面体中，点的曲率小于D．二面角的大小为第(2)题抛掷一枚股子，设事件“出现的点数为偶数”，事件“出现的点数为3的倍数”，则（）A．与是互斥事件B．不是必然事件C．D．第(3)题已知定义域为的函数满足是奇函数，为偶函数，当时，，则（）A．函数不是偶函数B．函数的最小正周期为4C．函数在上有3个零点D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题在无穷等比数列中，，则的取值范围是________第(2)题已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________．第(3)题已知数列的前n项和为，满足，，，则数列的前16项和=__________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与的交点为.(1)若，求抛物线的方程及焦点的坐标；(2)若点为轴正半轴上的任意一点，过点作直线交抛物线于两点，点关于原点的对称点，连接交抛物线于点，求证：.第(2)题已知的内角的对边分别为，，平分交于点，且．(1)求；(2)求的面积．第(3)题已知为数列的前项和，且，．(1)求的通项公式；(2)若，数列的前项和为，证明：．第(4)题记的内角的对边分别为.已知，，，且其内切圆的面积为.(1)求和；(2)连接交于点，求的长.第(5)题如图，在四棱锥P－ABCD中，∠ADB＝90°，CB＝CD，点E为棱PB的中点．（1）若PB＝PD，求证：PC⊥BD；（2）求证：CE∥平面PAD.。
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江苏省2015年高考一轮复习备考试题概率一、填空题1、（2014年江苏高考）从6,3,2,1这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是 ▲ ．2、（2012年江苏高考）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 ▲ ．3、（2015届江苏南京高三9月调研）从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出2名代表参加 学校会议，则甲被选中的概率是 ▲ ．4、（2015届江苏苏州高三9月调研）一只口袋内装有大小相同的5只球,其中3只白球,2只黑球,从中一次性随机摸出2只球,则恰好有1只是白球的概率为 ▲5、（南通市2014届高三第三次调研）袋中有2个红球，2个蓝球，1个白球，从中一次取出2个球，则取出的球颜色相同的概率为 ▲ ．6、（徐州市2014届高三第三次模拟）一个正方体玩具的6个面分别标有数字1，2，2，3，3，3．若连续抛掷该玩具两次，则向上一面数字之和为5的概率为 ▲7、（南京、盐城市2014届高三第二次模拟（淮安三模））盒中有3张分别标有1，2，3的卡片．从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为 ▲8、（苏锡常镇四市2014届高三5月调研（二））在1，2，3，4四个数中随机地抽取一个数记为a ，再在剩余的三个数中随机地抽取一个数记为b ，则“ab是整数”的概率为 ▲ 9、（2014江苏百校联考一）投掷一枚正方体骰子(六个面上分别标有1,2,3,4,5,6),向上的面上的数字记为a ,又()n A 表示集合的元素个数,{}2||3|1,A x x ax x R =++=∈,则()4n A =的概率为10、（2014南通二模）某学校有8个社团，甲、乙两位同学各自参加其中一个社团，且他俩参加各个社团的可能性相同，则这两位同学参加同一个社团的概率为 ▲ ．11、（苏锡常镇四市2014届高三3月调研（一））从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，则甲乙两人中有且只有一个被选取的概率为 ▲12、（南京、盐城市2014届高三第一次模拟）.现从甲、乙、丙3人中随机选派2人参加某项活动，则甲被选中的概率为 .二、解答题1、（2014年江苏高考）盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同.（1）从盒中一次随机抽出2个球，求取出的2个球的颜色相同的概率；（2）从盒中一次随机抽出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别为123,,x x x ，随机变量X 表示123,,x x x 的最大数，求X 的概率分布和数学期望()E X .2、（2012年江苏高考）设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，0ξ=；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，1ξ=．（1）求概率(0)P ξ=；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望()E ξ．3、（2015届江苏南京高三9月调研）某商店为了吸引顾客，设计了一个摸球小游戏，顾客从装有1个红球，1个白球，3个黑球的袋中一次随机的摸2个球，设计奖励方式如下表：结果 奖励 1红1白 10元 1红1黑 5元 2黑 2元 1白1黑不获奖（1）某顾客在一次摸球中获得奖励X 元，求X 的概率分布表与数学期望； （2）某顾客参与两次摸球，求他能中奖的概率．4、（南京、盐城市2014届高三第二次模拟（淮安三模））某中学有4位学生申请A ，B ，C 三所大学的自主招生．若每位学生只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的． （1）求恰有2人申请A 大学的概率；（2）求被申请大学的个数X 的概率分布列与数学期望E (X )．5、（苏锡常镇四市2014届高三3月调研（一））甲乙两个同学进行定点投篮游戏，已知他们每一次投篮投中的概率均为23，且各次投篮的结果互不影响．甲同学决定投5次，乙同学决定投中1次就停止，否则就继续投下去，但投篮次数不超过5次． （1）求甲同学至少有4次投中的概率； （2）求乙同学投篮次数x 的分布列和数学期望．6、（江苏省扬州中学2014届高三上学期12月月考）电子蛙跳游戏是: 青蛙第一步从如图所示的正方体1111D C B A ABCD 顶点A 起跳，每步从一顶点跳到相邻的顶点．（1）求跳三步跳到1C 的概率P ；（2）青蛙跳五步，用X 表示跳到过1C 的次数，求随机变量X 的概率分布及数学期望)(X E ．7、（江苏省东台市创新学校2014届高三第三次月考） 某初级中学有三个年级，各年级男、女生人数如下表：初一年级 初二年级 初三年级 女生 370 z 200 男生380370300已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19. （1）求z 的值；（2）用分层抽样的方法在初三年级中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体,从中任选2名学生，求至少有1名女生的概率；（3）用随机抽样的方法从初二年级女生中选出8人，测量它们的左眼视力，结果如下：1.2, 1.5,1.2, 1.5, 1.5, 1.3, 1.0, 1.2.把这8人的左眼视力看作一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.8、（江苏省粱丰高级中学2014届高三12月第三次月考）为增强市民的节能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者,其年龄频率分布直方图如图所示,其中年龄分组区间C 1D 1B 1A 1CD AB是:[)[)[)[)[]20,25,25,30,30,35,35,40,40,45.(I)求图中x 的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[)35,40岁的人数；(II)在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加中心广场的宣传活动,再从这20名中采用简单随机抽样方法选取3名志愿者担任主要负责人.记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为X ,求X 的分布列及数学期望.9、（江苏省张家港市后塍高中2014届高三12月月考）口袋中有n (n ∈N ＊)个白球，3个红球.依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球.记取球的次数为X , 若P (X =2)= 730求： （1）n 的值；（2）X 的概率分布与数学期望.10、某射击小组有甲、乙两名射手, 甲的命中率为1P 32=, 乙的命中率为2P , 在射击比武活动中每人射击两发子弹则完成一次检测, 在一次检测中, 若两人命中次数相等且都不少于一发, 则称该射击小组为“先进和谐组”. 若2P 21=, 求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率； 计划在2013年每月进行1次检测, 设这12次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数为ξ, 如果5≥ξE , 求2P 的取值范围.参考答案 一、填空题 1\、31 2、35 3、12 4、0.6 5、15 6、13 7、59 8、13 9\3110、18 11、23 12、23二、解答题 1、【答案】（1）518；（2）20()9E X =. 【解析】2、解：（1）若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱， ∴共有238C 对相交棱。
∴ 232128834(0)=6611C P C ξ⨯===。
（2）若两条棱平行，则它们的距离为1或2，其中距离为2的共有6对， ∴ 212661(2)=6611P C ξ===，416(1)=1(0)(2)=1=111111P P P ξξξ=-=-=--。
∴随机变量ξ的分布列是：ξ 0 12()P ξ411 611 111∴其数学期望6162()=12=111111E ξ+⨯+⨯。
3、解：（1）因为P (X ＝10)＝1C 25＝110，P (X ＝5)＝C13C 25＝310，P (X ＝2)＝C 23C 25＝310，P (X ＝0) ＝C 13C 25＝310，所以X 的概率分布表为：X 10 5 2 0 P110310310310…………………………… 4分从而E (X )＝10⨯110＋5⨯310＋2⨯310＋0⨯310＝3.1元． …………………………… 6分（2）记该顾客一次摸球中奖为事件A ，由（1）知，P (A )＝710，从而他两次摸球中至少有一次中奖的概率P ＝1－[1－P (A )]2＝91100．答：他两次摸球中至少有一次中奖的概率为 91100． …………………………… 10分4、解（1）记“恰有2人申请A 大学”为事件A ，P (A )＝C 42×2234＝2481＝827． 答：恰有2人申请A 大学的概率为827． ………………………4分（2）X 的所有可能值为1，2，3．P (X ＝1)＝334＝127，P (X ＝2)＝C 43×A 32＋3×A 3234＝4281＝1427， P (X ＝3)＝C 42×A 3334＝3681＝49． X 的概率分布列为：X 1 2 3 P127142749所以X 的数学期望E (X )＝1×127＋2×1427＋3×49＝6527． ………………………10分5．解：（1）设甲同学在5次投篮中，有x 次投中，“至少有4次投中”的概率为P ，则(4)(5)P P x P x ==+= …………………2分=441550552222()(1)()(1)3333C C -+-=112243． …………………4分 （2）由题意1,2,3,4,5=x ．2(1)3P ==x ，122(2)339P ==⨯=x ，1122(3)33327P ==⨯⨯=x ，3122(4)3381P x ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， 411(5)381P x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭．x 的分布表为x 12 3 4 5P 23 29 227 281 181…………………8分x 的数学期望22221121123453927818181E =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=x ． …………………10分 6、解：将A 标示为0，A 1、B 、D 标示为1，B 1、C 、D 1标示为2，C 1标示为3，从A 跳到B 记为01，从B 跳到B 1再跳到A 1记为121，其余类推.从0到1与从3到2的概率为1，从1到0与从2到3的概率为13，从1到2与从2到1的概率为23. （1）P ＝P （0123）＝1⨯23⨯13＝29； ………4′（2）X ＝0,1，2. P （X ＝1）＝P （010123）＋P （012123）＋P （012321）＝1⨯13⨯1⨯23⨯13＋1⨯23⨯23⨯23⨯13＋1⨯23⨯13⨯1⨯23 ＝2681，P （X ＝2）＝P （012323）＝1⨯23⨯13⨯1⨯13＝681， P （X ＝0）＝1－P （X ＝1）－P （X ＝2）＝4981或P （X ＝0）＝P （010101）＋P （010121）＋P （012101）＋P （012121）＝1⨯13⨯1⨯13⨯1＋1⨯13⨯1⨯23⨯23＋1⨯23⨯23⨯13⨯1＋1⨯23⨯23⨯23⨯23＝4981， ∴ E （X ）＝1⨯2681＋2⨯681＝3881.…………10′7、答案：X 0 1 2 p4981 2681 681(S1, S2)；所以任选2名学生，至少有1名女生的概率为710.…………10分(3) 样本的平均数为110.4(1.2 1.5 1.2 1.5 1.5 1.3 1.0 1.2) 1.388x =+++++++==，那么与样本平均数之差的绝对值不超过0.1的数为1.2, 1.2, 1.3, 1.2.这4个数，总的个数为8，所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.1的概率为40.58=．…………15分8、答案：:(I)∵小矩形的面积等于频率,∴除[)40,35外的频率和为0.70,06.0570.01=-=∴x 500名志愿者中,年龄在[)40,35岁的人数为150500506.0=⨯⨯(人). ………3分 (II)用分层抽样的方法,从中选取20名,则其中年龄“低于35岁”的人有12名, “年龄不低于35岁”的人有8名.故X 的可能取值为0,1,2,3,()28514032038===C C X P ,()9528132028112===C C C X P ,()9544232018212===C C C X P , ()57113320312===C C X P ,故X 的分布列为 X0 1 2 3P285149528 9544 5711 所以1428441117190123285959557955EX =⨯+⨯+⨯+⨯==. …………10分 9、解：（1）由题知,307)2)(3(3)2(23113=++=⨯==+n n n A A A X P n n分所以因为即即5.7,.0)7)(67(,042557*2 =∈=--=+-n N n n n n n（2）由题知，X 的可能取值为1，2，3，4，所以,120112073071071)4(,1207)3(,307)2(,107)1(310172311017=---==========X P A A A X P X P A A X P所以，X 的概率分布表为X 1 2 3 4P107 307 1207 1201所以.811120141207330721071)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E 答X 的数学期望是.811…………10分10、解: (1)可得=⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=)2121)(3232()2121)(3132(1212C C P 31……………4分(2)该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率为222222212129498)3232()]1()[3132(P P P P P C C P -=⋅+-⋅⋅⋅⋅=,而ξ～),12(P B ,所以P E 12=ξ,由5≥ξE ,知512)9498(222≥⋅-P P ,解得1432≤≤P ………………………………10分。