几何证明与计算

合集下载

专题04 几何计算与几何证明(解析版)

专题04几何计算与几何证明【提要】平面几何是培养训练人的逻辑思维能力的很好的工具，也是初中数学学习内容的重要组成部分，因此它是初中数学学业考试的重要内容之一．在平面几何中，除了一些证明题外，还有一些计算问题，它也是要经过一定的逻辑推理后，再进行计算．因此熟练掌握几何中的一些重要定义、定理，是解决问题的前提．另外还需注意的是，要把解决常见问题的基本方法加以归类整理，比如证明角相等有哪些常见的方法？证明线段相等有哪些常见的方法？这样在遇到复杂问题时，我们才能运用化归的思想，分析和解决问题．【范例】【例1】如图，在▱ABCD中，E为BC边上一点，且AB＝AE.(1)求证：△ABC≌△EAD；(2)若AE平分∠DAB，∠EAC＝25°，求∠AED的度数．【解析】(1)【证明】∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC.∵AB＝AE，∴∠AEB＝∠B.∴∠CBA＝∠DAE.∴△ABC≌△EAD.(2)【解析】∵∠DAE＝∠BAE，∠DAE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠AEB＝∠B.∴△ABE为等边三角形．∴∠BAE＝60°.∵∠EAC＝25°，∴∠BAC＝85°.∵△ABC≌△EAD，∴∠AED＝∠BAC＝85°.【例2】两个全等的含30°，60°角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置，E、A、C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME、MC，试判断△EMC的形状，并说明理由．【解析】△EMC的形状是等腰直角三角形．证明：连接AM.∵∠DAE＝∠ABC＝30°，∠BAC＝∠ADE＝60°.又∵DM ＝MB ， ∴MA ＝12DB ＝DM .∵AD ＝AB ，∴∠MAD ＝∠MAB ＝∠MDA ＝45°，∠DMA ＝90°. ∴∠MDE ＝∠MAC ＝105°. ∴△EDM ≌△CAM .∴EM ＝MC ，∠DME ＝∠AMC . 又∠DME ＋∠EMA ＝90°， ∴∠EMA ＋∠AMC ＝90°. ∴CM ⊥EM .∴△EMC 是等腰直角三角形．【例3】如图，已知：在△ABC 中，D 是边BC 上的中点，且AD ＝AC ，DE ⊥BC ， DE 与AB 相交于点E ，EC 与AD 相交于点F . (1)求证：CF ＝12AB ；(2)若△FCD 的面积＝5，BC ＝10，求DE 的长．(1)【证明】取AC 的中点G ，连接DG .∵D 是BC 的中点，∴DG ∥AB ，DG ＝12AB∵DE ⊥BC ，∴DE 是BC 的垂直平分线，BE ＝CE ， ∠EBC ＝∠ECB ，∵∠GDC ＝∠EBC ，∴∠GDC ＝∠ECB . 由AD ＝AC ，得∠ACD ＝∠ADC 在△GDC 和△FCD 中，∠GDC ＝∠FCD ，∠GCD ＝∠FDC ， DC ＝CD ，得△GDC ≌△FCD ， ∴DG ＝CF ，∴CF ＝12AB .(2)【解析】作AH ⊥DC ，垂足为H ，则DH ＝CH . ∵△GDC ≌△FCD ， ∴CG ＝DF ＝12AC ＝12AD ，∴F 是AD 的中点，∵S △FCD ＝5，BC ＝10， ∴S △FCA ＝5，DC ＝5，DH ＝52，S △ADC ＝10∵S △ADC ＝12DC ·AH ，∴AH ＝4，∵ED ∥AH ， ∴ED AH ＝BD BHED ＝AH ·BD BH ＝4×5152＝83，∴DE ＝83.【例4】如图(1)，已知⊙O 的弦AB 垂直于直径CD ，垂足为F ，点E 在AB 上，且EA ＝EC . (1)求证：AC 2＝AE ·AB ；(2)延长EC 到点P ，连接PB ，如果PB ＝PE ，试判断PB 与⊙O 的位置关系，并说明理由．(1)【证明】连接BC.∵直径CD⊥AB，∴AF＝BF.∴AC＝BC.∴∠A＝∠ABC.又∵EA＝EC，∴∠A＝∠ACE.∴∠ABC＝∠ACE.∵∠A＝∠A，∴△ACE∽△ABC.∴AEAC＝ACAB，即AC2＝AE·AB.(2)【解析】连接OB.∵PB＝PE，∴∠PBE＝∠PEB，即∠PBC＋∠EBC＝∠A＋∠ECA.∴∠PBC＝∠EBC＝∠A＝∠ECA.又∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.而∠OCB＋∠EBC＝90°.∴∠OBC＋∠PBC＝90°，即∠OBP＝90°.∴OB⊥PB，∴PB与⊙O的位置关系是相切．【例5】如图(1)，正方形ABCD的边长为1，G为CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG 为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连接DE交BG的延长线于点H.(1)求证：①△BCG≌△DCE；②BH⊥DE.(2)试问当点G运动到什么位置时，BH垂直平分DE？请说明理由．(1)【证明】∵四边形ABCD 、四边形GCEF 都是正方形， ∴BC ＝DC ，∠BCG ＝∠DCE ＝90°，CG ＝CE ， ∴△BCG ≌△DCE . ∴∠CBG ＝∠CDE . ∵∠BGC ＝∠DGH ，∴∠DHG ＝∠BCG ＝90°，即BH ⊥DE . (2)【解析】连接EG .(如图(2))要使BH 垂直平分DE ，必须有GE ＝GD . 设CG ＝x .那么GE ＝2x ，DG ＝1－x . ∴2x ＝1－x .解得x ＝2－1，即当CG ＝2－1时，BH 垂直平分DE .【训练】1．（2020•宝山区一模）如图，直线:l y =，点1A 坐标为(1,0)，过点1A 作x 轴的垂线交直线l 于点1B ，以原点O 为圆心，1OB 为半径画弧交x 轴于点2A ；再过点2A 作x 的垂线交直线l 于点2B ，以原点O 为圆心，2OB 长为半径画弧交x 轴于点3A ，⋯，按此做法进行下去．求：（1）点1B 的坐标和11AOB ∠的度数；（2）弦43A B 的弦心距的长度．【分析】（1）求出11tan AOB ∠的值，11A B 即可解决问题．（2）连接43A B ，作43OH A B ⊥于H ．求出OH 即可．【解答】解：（1）Q 直线的解析式y =，11111tan A B AOB OA ∴∠== 1160AOB ∴∠=︒，11OA =，11A B ∴=212OA OB ==，1B ∴．（2）连接43A B ，作43OH A B ⊥于H ．由题意11OA =，22OA =，34OA =，48OA =， 43OA OB =Q ，43OH A B ⊥，4431302A OH A OB ∴∠=∠=︒，4cos308OH OA ∴=︒==g2．（2020•奉贤区一模）如图，已知AB 是O e 的直径，C 是O e 上一点，CD AB ⊥，垂足为点D ，E 是¶BC的中点，OE 与弦BC 交于点F ．（1）如果C 是¶AE 的中点，求:AD DB 的值；（2）如果O e 的直径6AB =，:1:2FO EF =，求CD 的长．【分析】（1）连接OC ，根据垂径定理的推论得到OE BC ⊥，¶¶¶AC ECEB ==，根据含30︒的直角三角形的性质计算；（2）根据勾股定理求出BF ，得到BC 的长，证明BFO BDC ∆∆∽，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算得到答案．【解答】解：（1）连接OC ， E Q 是¶BC的中点， ∴¶¶ECEB =，OE BC ⊥， C Q 是¶AE 的中点， ∴¶¶AC EC=， ∴¶¶¶AC ECEB ==， 60AOC COE EOB ∴∠=∠=∠=︒， 30OCD ∴∠=︒，在Rt COD ∆中，30OCD ∠=︒， 12OD OC ∴=，:1:3AD DB ∴=；（2）6AB =Q ，:1:2FO EF =， 1OF ∴=，在Rt BOF ∆中，BF =，BC ∴=，CD AB ⊥Q ，OE BC ⊥，90BDC BFO ∴∠=∠=︒，又B B ∠=∠， BFO BDC ∴∆∆∽，∴BO OFBC CD =1CD=，解得，CD =．3．（2020•黄浦区一模）如图，ABC ∆是边长为2的等边三角形，点D 与点B 分别位于直线AC 的两侧，且AD AC =，连接BD 、CD ，BD 交直线AC 于点E ．（1）当90CAD ∠=︒时，求线段AE 的长．（2）过点A 作AH CD ⊥，垂足为点H ，直线AH 交BD 于点F ， ①当120CAD ∠<︒时，设AE x =，BCEAEFS y S ∆∆=（其中BCE S ∆表示BCE ∆的面积，AEF S ∆表示AEF ∆的面积），求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； ②当7BCEAEFS S ∆∆=时，请直接写出线段AE 的长．【分析】（1）过点E 作EG BC ⊥，垂足为点G ．AE x =，则2EC x =-．根据BG EG =构建方程求出x 即可解决问题．（2）①证明AEF BEC ∆∆∽，可得22BCE AEF S BE S AE ∆∆=，由此构建关系式即可解决问题． ②分两种情形：当120CAD ∠<︒时，当120180CAD ︒<∠<︒时，分别求解即可解决问题．【解答】解：（1）ABC ∆Q 是等边三角形，2AB BC AC ∴=-=，60BAC ABC ACB ∠=∠=∠=︒．AD AC =Q ，AD AB ∴=，ABD ADB ∴∠=∠，180ABD ADB BAC CAD ∠+∠+∠+∠=︒Q ，90CAD ∠=︒，15ABD ∠=︒，45EBC ∴∠=︒．过点E 作EG BC ⊥，垂足为点G ．设AE x =，则2EC x =-．在Rt CGE ∆中，60ACB ∠=︒，∴sin )EG EC ACB x =∠=-g ，1cos 12CG EC ACB x =∠=-g ， 1212BG CG x ∴=-=+，在Rt BGE ∆中，45EBC ∠=︒，∴11)2x x +=-，解得4x =-所以线段AE 的长是4-（2）①设ABD α∠=，则BDA α∠=，1202DAC BAD BAC α∠=∠-∠=︒-． AD AC =Q ，AH CD ⊥，∴1602CAF DAC α∠=∠=︒-，又60AEF α∠=︒+Q ， 60AFE ∴∠=︒，AFE ACB ∴∠=∠，又AEF BEC ∠=∠Q ， AEF BEC ∴∆∆∽，∴22BCE AEF S BE S AE ∆∆=，由（1）得在Rt CGE ∆中，112BG x =+，)EG x -，222224BE BG EG x x ∴=+=-+，∴2224(02)x x y x x -+=<<．②当120CAD ∠<︒时，7y =，则有22247x x x -+=，整理得2320x x +-=，解得23x =或1-（舍弃）， 23AE =．当120180CAD ︒<∠<︒时，同法可得2224x x y x++= 当7y =时，22247x x x ++=，整理得2320x x --=，解得23x =-（舍弃）或1，1AE ∴=．4．（2020•闵行区一模）如图，梯形ABCD 中，//AD BC ，90ADC ∠=︒，2AD =，4BC =，tan 3B =．以AB 为直径作O e ，交边DC 于E 、F 两点．（1）求证：DE CF =；（2）求：直径AB 的长．【分析】（1）直接利用垂径定理结合平行线分线段成比例定理得出DH HC =，进而得出答案；（2）过点A 作AG BC ⊥，垂足为点G ，再利用已知结合勾股定理得出答案．【解答】（1）证明：过点O 作OH DC ⊥，垂足为H ． //AD BC Q ，90ADC ∠=︒，OH DC ⊥， 90BCN OHC ADC ∴∠=∠=∠=︒．////AD OH BC ∴．又OA OB =Q ． DH HC ∴=．OH DC ⊥Q ，OH 过圆心，EH HF ∴=，DH EH HC HF ∴-=-．即：DE CF =．（2）解：过点A 作AG BC ⊥，垂足为点G ，90AGB ∠=︒， 90AGB BCN ∠=∠=︒Q ， //AG DC ∴． //AD BC Q ，AD CG ∴=．2AD =Q ，4BC =，2BG BC CG ∴=-=．在Rt AGB ∆中，tan 3B =Q ， tan 236AG BG B ∴==⨯=g ．在Rt AGB ∆中，222AB AG BG =+AB ∴=5．（2020•奉贤区一模）如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边AD 上，点F 在边CB 的延长线上，连接CE 、EF ，2CE DE CF =g．（1）求证：D CEF ∠=∠；（2）连接AC ，交EF 于点G ，如果AC 平分ECF ∠，求证：AC AE CB CG =g g ．【分析】（1）根据2CE DE CF =g 且DEC ECF ∠=∠可证明CDE CEF ∆∆∽，即可得结论；（2）根据AC 平分ECF ∠，//AD BC ，可得EAC ECA ∠=∠，进而得E EC =，再证明CGE CAB ∆∆∽，对应边成比例即可．【解答】（1）证明：2CE DE CF =Q g ，即CE CFDE CE=Q 四边形ABCD 为平行四边形，//AD BC ∴，DEC ECF ∴∠=∠， CDE CEF ∴∆∆∽， D CEF ∴∠=∠．（2）如图所示：AC Q 平分ECF ∠，ECA BCA ∴∠=∠，D CEF ∠=∠Q ，D B ∠=∠， CEF B ∴∠=∠，CGE CAB ∴∆∆∽，∴CG CEAC CB=， //AD BC Q ，DAC BCA ∴∠=∠， ECA DAC ∠=∠Q ， AE CE ∴=，∴CG AEAC CB=，即AC AE CB CG =g g ． 6．（2020•崇明区一模）如图，AC 是O e 的直径，弦BD AO ⊥于点E ，连接BC ，过点O 作OF BC ⊥于点F ，8BD =，2AE =．（1）求O e 的半径；（2）求OF 的长度．【分析】（1）连接OB ，根据垂径定理求出BE ，根据勾股定理计算，得到答案；（2）根据勾股定理求出BC ，根据垂径定理求出BF ，根据勾股定理计算，得到答案．【解答】解：（1）连接OB ，设O e 的半径为x ，则2OE x =-， OA BD ⊥Q ， 142BE ED BD ∴===，在Rt OEB ∆中，222OB OE BE =+，即222(2)4x x =-+，解得，5x =，即O e 的半径为5；（2）在Rt CEB ∆中，BC = OF BC ⊥Q ，12BF BC ∴==OF ∴=7．（2020•嘉定区一模）如图，在O e 中，AB 、CD 是两条弦，O e 的半径长为rcm ，弧AB 的长度为1l cm ，弧CD 的长度为2l cm （温馨提醒：弧的度数相等，弧的长度相等，弧相等，有联系也有区别）．当12l l =时，求证：AB CD =．【分析】根据弧长公式求得AOB COD ∠=∠，然后利用ASA 证得AOB COD ∆≅∆，即可证得结论．【解答】解：设AOB m ∠=︒，COD n ∠=︒，由题意，得1180mr l π=，2180nr l π=， QBG FH DG CH =，∴180180mr nr ππ=， m n ∴=，即AOB COD ∠=∠，OA Q 、OB 、OC 、OD 都是O e 的半径， OA OB OC OD ∴===，OA OC =Q ，AOB COD ∠=∠，OB OD =，()AOB COD SAS ∴∆≅∆ AB CD ∴=．8．（2020•徐汇区一模）如图，在ABC ∆中，5AB AC ==，6BC =，点D 是边AB 上的动点（点D 不与点AB 重合），点G 在边AB 的延长线上，CDE A ∠=∠，GBE ABC ∠=∠，DE 与边BC 交于点F ．（1）求cos A 的值；（2）当2A ACD ∠=∠时，求AD 的长；（3）点D 在边AB 上运动的过程中，:AD BE 的值是否会发生变化？如果不变化，请求:AD BE 的值；如果变化，请说明理由．【分析】（1）作AH BC ⊥于H ，BM AC ⊥于M ．解直角三角形求出BM ，AM 即可解决问题．（2）设AH 交CD 于K ．首先证明AK CK =，设AK CK x ==，在Rt CHK ∆中，理由勾股定理求出x ，再证明ADK CDA ∆∆∽，理由相似三角形的性质构建方程组即可解决问题．（3）结论：:5:6AD BE =值不变．证明ACD BCE ∆∆∽，可得56AD AC BE BC ==．【解答】解：（1）作AH BC ⊥于H ，BM AC ⊥于M ． AB AC =Q ，AH BC ⊥，3BH CH ∴==，4AH ∴=， 1122ABC S BC AH AC BM ∆==Q g g g g ，245BC AH BM AC ∴==g ，75AM ∴==， 7cos 25AM A AB ∴==．（2）设AH 交CD 于K ．2BAC ACD ∠=∠Q ，BAH CAH ∠=∠，CAK ACK ∴∠=∠，CK AK ∴=，设CK AK x ==，在Rt CKH ∆中，则有222(4)3x x =-+，解得258x =，258AK CK ∴==， ADK ADC ∠=∠Q ，DAK ACD ∠=∠， ADK CDA ∴∆∆∽，∴255858AD AK DK CD AC AD ====，设AD m =，DK n =，则有25258825()8mn m n n ⎧=⎪+⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得12539m =，625312n =． 12539AD ∴=．（3）结论：:5:6AD BE =值不变．理由：GBE ABC ∠=∠Q ，2180BAC ABC ∠+∠=︒，180GBE EBC ABC ∠+∠+∠=︒， EBC BAC ∴∠=∠，EDC BAC ∠=∠Q ， EBC EDC ∴∠=∠，D ∴，B ，E ，C 四点共圆，EDB ECB ∴∠=∠，EDB EDC ACD DAC ∠+∠=∠+∠Q ，EDC DAC ∠=∠， EDB ACD ∴∠=∠， ECB ACD ∴∠=∠， ACD BCE ∴∆∆∽，∴56AD AC BE BC ==．9．（2019•杨浦区三模）已知，在ACB ∆和DCE ∆中，90ACB DCE ∠=∠=︒，AC BC =，DC EC =，M 为DE 的中点，连接BE ．（1）如图1，当点A 、D 、E 在同一直线上，连接CM ，求证：22AE BECM =-；（2）如图2，当点D 在边AB 上时，连接BM ，求证：222()()22AD BD BM =+．【分析】（1）先证明ACD BCE ∆≅∆，根据全等三角形的性质得出，AD BE =，得出AE AD AE BE DE -=-=，根据直角三角形斜边上的中线性质求出12CM DE =，即可得出结论；（2）同（1）得：ACD BCE ∆≅∆，得出AD BE =，45DAC EBC ∠=∠=︒，得出90ABE ABC EBC ∠=∠+∠=︒，由勾股定理得出222DE BE BD =+，由直角三角形斜边上的中线性质得出2DE BM =，即可得出结论．【解答】（1）证明：90ACB DCE ∠=∠=︒Q ，AC BC =， 90ACD BCE DCB ∴∠=∠=︒-∠，45BAC ABC ∠=∠=︒，在ACD ∆和BCE ∆中，AC BCACD BCEDC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACD BCE SAS ∴∆≅∆，AD BE ∴=，AE AD AE BE DE ∴-=-=， M Q 为DE 的中点，90DCE ∠=︒，11()2222AE BECM DE AE AD ∴==-=-；（2）证明：同（1）得：ACD BCE ∆≅∆，AD BE ∴=，45DAC EBC ∠=∠=︒，90ABE ABC EBC ∴∠=∠+∠=︒，222DE BE BD ∴=+， M Q 为DE 的中点， 2DE BM ∴=，222224BM BE BD AD BD ∴=+=+，222()()22AD BD BM ∴=+． 10．（2019•静安区二模）已知：如图，ABC ∆内接于O e ，AB AC =，点E 为弦AB 的中点，AO 的延长线交BC 于点D ，连接ED ．过点B 作BF DE ⊥交AC 于点F ．（1）求证：BAD CBF ∠=∠；（2）如果OD DB =．求证：AF BF =．【分析】（1）由等腰三角形的性质得出ABC C ∠=∠，由垂径定理得出AD BC ⊥，BD CD =，证出DE 是ABC ∆的中位线．得出//DE AC ，证出90BFC ∠=︒，由角的互余关系即可得出结论；（2）连接OB ．证出ODB ∆是等腰直角三角形，得出45BOD ∠=︒．再由等腰三角形的性质得出OBA OAB ∠=∠．即可得出结论．【解答】（1）证明：如图1所示： AB AC =Q ，ABC C ∴∠=∠， Q 直线AD 经过圆心O ，AD BC ∴⊥，BD CD =， Q 点E 为弦AB 的中点，DE ∴是ABC ∆的中位线．//DE AC ∴，BF DE ⊥Q ，90BPD ∴∠=︒，90BFC ∴∠=︒， 90CBF ACB ∴∠+∠=︒． AB AC =Q ， ABC ACB ∴∠=∠，90CBF ABC ∴∠+∠=︒，又AD BC ⊥Q ， 90BAD ABC ∴∠+∠=︒， BAD CBF ∴∠=∠；（2）证明：连接OB ．如图2所示： AD BC ⊥Q ，OD DB =， ODB ∴∆是等腰直角三角形， 45BOD ∴∠=︒．OB OA =Q ， OBA OAB ∴∠=∠． BOD OBA OAB ∠=∠+∠Q ，122.52BAO BOD ∴∠=∠=︒，AB AC =Q ，且AD BC ⊥，245BAC BAO ∴∠=∠=︒． 290∠=︒Q ，即BF AC ⊥，∴在ABF ∆中，904545ABF ∠=︒-︒=︒，ABF BAC ∴∠=∠，AF BF ∴=．11．（2019•嘉定区二模）如图已知：ABC ∆中，AD 是边BC 上的高、E 是边AC 的中点，11BC =，12AD =，DFGH 为边长为4的正方形，其中点F 、G 、H 分别在AD 、AB 、BC 上．（1）求BD 的长度；（2）求cos EDC ∠的值．【分析】（1）由四边形DFGH 为边长为4的正方形得GF AFBD AD=，将相关线段的长度代入计算可得；（2）先求出CD 、AC 的长，再由E 是边AC 的中点知ED EC =，据此得EDC ACD ∠=∠，再根据余弦函数的定义可得答案．【解答】解：（1）Q 四边形DFGH 为顶点在ABD ∆边长的正方形，且边长为4， //GF BD ∴，4GF DF ==，∴GF AFBD AD=， 12AD =Q ，8AF ∴=，则4812BD =，解得：6BD =；（2）11BC =Q ，6BD =， 5CD ∴=，在直角ADC ∆中，222AC AD DC =+， 13AC ∴=，E Q 是边AC 的中点，ED EC ∴=，EDC ACD ∴∠=∠，∴5cos cos 13EDC ACD ∠=∠=． 12．（2019•松江区二模）如图，已知ABCD Y 中，AB AC =，CO AD ⊥，垂足为点O ，延长CO 、BA 交于点E ，连接DE ．（1）求证：四边形ACDE 是菱形；（2）连接OB ，交AC 于点F ，如果OF OC =，求证：22AB BF BO =g ．【分析】（1）首先证明四边形AEDC 是平行四边形，再证明AE AC =即可解决问题．（2）证明BAF BOE ∆∆∽，可得BA BFBO BE=解决问题．【解答】（1）证明：CO BC ⊥Q ， 90BCE ∴∠=︒，AB AC =Q ， B ACB ∴∠=∠，90AEC B ∠+∠=︒Q ，90ACE ACB ∠+∠=︒， ACE AEC ∴∠=∠，AE AC ∴=，AE AB ∴=，Q 四边形ABCD 是平行四边形，//BE CD ∴，AB CD AE ==，∴四边形AEDC 是平行四边形，AE AC =Q ，∴四边形AEDC 是菱形．（2）解：连接OB 交AC 于F ． Q 四边形AEDC 是菱形，AEC ACE ∴∠=∠， OF OC =Q ，OFC OCF AFB ∴∠=∠=∠， AFB AEO ∴∠=∠，ABF OBE ∠=∠Q ， BAF BOE ∴∆∆∽，∴BA BFBO BE=， BA BE BF BO ∴=g g ，2BE BA =Q ，22AB BF BO ∴=g ．13．（2019•奉贤区二模）已知：如图，正方形ABCD ，点E 在边AD 上，AF BE ⊥，垂足为点F ，点G 在线段BF 上，BG AF =．（1）求证：CG BE ⊥；（2）如果点E 是AD 的中点，连接CF ，求证：CF CB =．【分析】（1）证明AFB BGC ∆≅∆，通过角的代换即可得到90BGC ∠=︒，即CG BE ⊥；（2）先证明AEB FAB ∆∆∽，得到AE AFAB BF=，根据中点线段关系结合比例式推导出FG BG =，又CG BE ⊥，所以CF CB =．【解答】证明：（1）Q 四边形ABCD 是正方形，AB BC ∴=，90ABC ∠=︒．AF BE ⊥Q ，90FAB FBA ∴∠+∠=︒． 90FBA CBG ∠+∠=︒Q ， FAB CBG ∴∠=∠．又AF BG =Q ， ()AFB BGC SAS ∴∆≅∆． AFB BGC ∴∠=∠．90BGC ∴∠=︒，CG BE ∴⊥．（2）ABF EBA ∠=∠Q ，90AFB BAE ∠=∠=︒，AEB FAB ∴∆∆∽．∴AE AFAB BF=． Q 点E 是AD 的中点，AD AB =，∴12AE AF AB BF ==． AF BG =Q ，∴12BG BF =，即FG BG =． CG BE ⊥Q ，CF CB ∴=．14．（2019•金山区二模）已知：如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，若CAD DBC ∠=∠．（1）求证：四边形ABCD 是正方形．（2）E 是OB 上一点，DH CE ⊥，垂足为H ，DH 与OC 相交于点F ，求证：OE OF =．【分析】（1）由菱形的性质得出//AD BC ，2BAD DAC ∠=∠，2ABC DBC ∠=∠，得出180BAD ABC ∠+∠=︒，证出BAD ABC ∠=∠，求出90BAD ∠=︒，即可得出结论；（2）由正方形的性质得出AC BD ⊥，AC BD =，12CO AC =，12DO BO =，得出90COB DOC ∠=∠=︒，CO DO =，证出ECO EDH ∠=∠，证明()ECO FDO ASA ∆≅∆，即可得出结论．【解答】（1）证明：Q 四边形ABCD 是菱形， //AD BC ∴，2BAD DAC ∠=∠，2ABC DBC ∠=∠， 180BAD ABC ∴∠+∠=︒，CAD DBC ∠=∠Q ， BAD ABC ∴∠=∠，2180BAD ∴∠=︒，90BAD ∴∠=︒，∴四边形ABCD 是正方形；（2）证明：Q 四边形ABCD 是正方形， AC BD ∴⊥，AC BD =，12CO AC =，12DO BO =， 90COB DOC ∴∠=∠=︒，CO DO =， DH CE ⊥Q ，垂足为H ，90DHE ∴∠=︒，90EDH DEH ∠+∠=︒，90ECO DEH ∠+∠=︒Q ， ECO EDH ∴∠=∠，在ECO ∆和FDO ∆中，90ECO EDHCO DO COE DHE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，()ECO FDO ASA ∴∆≅∆， OE OF ∴=．15．（2019•奉贤区二模）如图，已知梯形ABCD 中，//AD BC ，90ABC ∠=︒，28BC AB ==，对角线AC 平分BCD ∠，过点D 作DE AC ⊥，垂足为点E ，交边AB 的延长线于点F ，连接CF ．（1）求腰DC 的长；（2）求BCF ∠的余弦值．【分析】（1）根据勾股定理求出AC ，求出CE ，解直角三角形求出DE ，根据勾股定理求出DC 即可；（2）根据相似三角形的性质和判定求出AF ，求出CF ，解直角三角形求出即可．【解答】解：（1）90ABC ∠=︒Q ，28BC AB ==，4AB ∴=，AC ==//AD BC Q ， DAC BCA ∴∠=∠， AC Q 平分BCD ∠，DCA ACB ∴∠=∠， DAC DCA ∴∠=∠， AD CD ∴=， DE AC ⊥Q ，1122CE AC ∴==⨯= 在Rt DEC ∆中，90DEC ∠=︒，tan DEDCE CE∠=，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，41tan 82AB ACB BC ∠===， ∴12DE CE =，CE =QDE ∴在Rt DEC ∆中，由勾股定理得：5DC =；即腰DC 的长是5；（2）设DF 与BC 相交于点Q ，90FBC FEC ∠=∠=︒Q ，BQF EQC ∠=∠，∴由三角形内角和定理得：AFE ACB∠=∠，90FAD ABC∠=∠=︒Q，AFD BCA∴∆∆∽，∴AD AB AF BC=，5 AD DC==Q，12 ABBC=，∴512 AF=，解得：10AF=，AE CE=Q，FE AC⊥，10CF AF∴==，在Rt BCF∆中，90CBF∠=︒，84 cos105BCBCFCF∠===．16．已知：如图，在ABC∆中，AB BC=，90ABC∠=︒，点D、E分别是边AB、BC的中点，点F、G是边AC的三等分点，DF、EG的延长线相交于点H，连接HA、HC．求证：（1）四边形FBGH是菱形；（2）四边形ABCH是正方形．【分析】（1）由三角形中位线知识可得//DF BG，//GH BF，根据菱形的判定的判定可得四边形FBGH是菱形；（2）连结BH，交AC于点O，利用平行四边形的对角线互相平分可得OB OH=，OF OG=，又AF CG=，所以OA OC=．再根据对角线互相垂直平分的平行四边形得证四边形ABCH是菱形，再根据一组邻边相等的菱形即可求解．【解答】证明：（1）Q点F、G是边AC的三等分点，AF FG GC∴==．又Q点D是边AB的中点，//DH BG∴．同理：//EH BF ．∴四边形FBGH 是平行四边形，连结BH ，交AC 于点O ， OF OG ∴=， AO CO ∴=， AB BC =Q ，BH FG ∴⊥，∴四边形FBGH 是菱形；（2）Q 四边形FBGH 是平行四边形， BO HO ∴=，FO GO =．又AF FG GC ==Q ，AF FO GC GO ∴+=+，即：AO CO =．∴四边形ABCH 是平行四边形．AC BH ⊥Q ，AB BC =，∴四边形ABCH 是正方形．17．（2019•普陀区一模）如图，1O e 和2O e 相交于A 、B 两点，12O O 与AB 交于点C ，2O A 的延长线交1O e 于点D ，点E 为AD 的中点，AE AC =，连接OE ．（1）求证：11O E O C =；（2）如果1210O O =，16O E =，求2O e 的半径长．【分析】（1）连接1O A ，根据垂径定理得到1O E AD ⊥，根据相交两圆的性质得到1O C AB ⊥，证明Rt △1O EA Rt ≅△1O CA ，根据全等三角形的性质证明结论；（2）设2O e 的半径长为r ，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．【解答】（1）证明：连接1O A ， Q 点E 为AD 的中点， 1O E AD ∴⊥，1O Q e 和2O e 相交于A 、B 两点，12O O 与AB 交于点C ， 1O C AB ∴⊥，在Rt △1O EA 和Rt △1O CA 中， 11O A O AAE AC =⎧⎨=⎩， Rt ∴△1O EA Rt ≅△1()O CA HL 11O E O C ∴=；（2）解：设2O e 的半径长为r ， 116O E O C ==Q ， 21064O C ∴=-=，在Rt △12O EO 中，28O E =，则8AC AE r ==-，在2Rt ACO ∆中，22222O A AC O C =+，即222(8)4r r =-+，解得，5r =，即2O e 的半径长为5．。

空间几何的计算与证明

空间几何的计算与证明空间几何是研究三维空间中的物体形状、大小、位置等性质的数学学科。

在解决实际问题中，我们常常需要进行空间几何的计算与证明。

本文将介绍一些常见的空间几何计算方法和证明技巧。

一、空间几何计算1. 点到平面的距离计算对于三维空间中的一点P(x,y,z)，以及平面Ax+By+Cz+D=0，我们可以利用点P到平面的距离公式来计算二者的距离。

该公式为：d = |Ax+By+Cz+D| / √(A^2+B^2+C^2)例如，给定一个平面2x+y+3z-4=0，点P(1,2,3)到该平面的距离可以计算如下：d = |2*1+1*2+3*3-4| / √(2^2+1^2+3^2)= |2+2+9-4| / √14= 9 / √142. 直线和平面的交点计算对于直线和平面的交点计算，我们需要先求出直线的参数方程和平面的方程，然后解联立方程组即可得到交点的坐标。

例如，假设有一条直线L，其参数方程为：x = x_0 + lty = y_0 + mtz = z_0 + nt另外有一个平面P，其方程为：Ax + By + Cz + D = 0我们可以将直线的参数方程代入平面方程，得到一个关于t的一元二次方程，解该方程即可求得直线和平面的交点的坐标。

3. 多面体的表面积和体积计算对于多面体的表面积和体积计算，常用的方法是利用相应的公式进行计算。

例如，对于一个六面体，其表面积和体积的计算公式如下：六面体的表面积 S = 2(ab+ac+bc)六面体的体积 V = abc其中，a、b、c分别表示六面体的三个相邻棱长。

二、空间几何证明1. 平行线之间的角度在空间几何中，证明两条平行线之间的角度是一个重要问题。

一种常见的证明方法是利用平行线与平行线之间的交线来构造三角形，然后应用三角形的性质进行角度证明。

例如，我们希望证明两条平行直线L1和L2之间的夹角为90度。

我们可以构造一条与L1和L2都垂直的直线L3，然后证明L3与L1、L2之间的夹角都是90度，从而推出L1和L2之间的夹角也是90度。

中考数学几何证明与计算专练

几何证明与计算专练1、如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，F为BC中点，BE与DF，DC分别交于点G，H，∠ABE=∠CBE．（1）线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；（2）求证：BG2﹣GE2=EA2．2、等边△ABC的边长为2，P是BC边上的任一点（与B、C不重合），连接AP，以AP为边向两侧作等边△APD和等边△APE，分别与边AB、AC交于点M、N（如图1）。

（1）求证：AM=AN；（2）设BP=x。

①若，BM=38，求x的值；②记四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积为S，求S与x之间的函数关系式以及S的最小值；③连接DE，分别与边AB、AC交于点G、H（如图2），当x取何值时，∠BAD=150？并判断此时以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形，请说明理由。

3、在正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，点P 在线段BC 上（不含点B ），∠BPE ＝12∠ACB ，PE 交BO 于点E ，过点B 作BF ⊥PE ，垂足为F ，交AC 于点G ．（1）当点P 与点C 重合时（如图①），求证：△BOG ≌△POE ；（2）通过观察、测量、猜想：BFPE，并结合图②证明你的猜想；（3）把正方形ABCD 改为菱形，其他条件不变（如图③），若∠ACB ＝α，求BFPE的值．（用含α的式子表示）4、如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 上的一点,连结AE ，作BF ⊥AE ，垂足为H ,交CD 于F ,作CG ∥AE ,交BF 于G .(1)求证CG =BH ;(2)FC 2=BF·GF ;(3)22AB FC =GBGF .（图①）（图③）（图②）BEF G OBDACPP5、已知：在△ABC中，∠ACB=90°，点P是线段AC上一点，过点A作AB的垂线，交BP的延长线于点M，MN⊥AC于点N，PQ⊥AB于点Q，AQ=MN．（1）如图1，求证：PC=AN；（2）如图2，点E 是MN上一点，连接EP并延长交BC于点K，点D是AB上一点，连接DK，∠DKE=∠ABC，EF⊥PM 于点H，交BC延长线于点F，若NP=2，PC=3，CK：CF=2：3，求DQ的长．7、在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE= 度；（2）设∠BAC=α，∠BCE=β．①如图2，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．8、如图1，在等边△ABC中，点D是边AC的中点，点P是线段DC上的动点（点P与点C不重合），连接BP．将△ABP绕点P按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜180°），得到△A1B1P，连接AA1，射线AA1分别交射线PB、射线B1B于点E、F．（1）如图1，当0°＜α＜60°时，在α角变化过程中，△BEF与△AEP 始终存在关系（填“相似”或“全等”），并说明理由；（2）如图2，设∠ABP=β．当60°＜α＜180°时，在α角变化过程中，是否存在△BEF与△AEP全等？若存在，求出α与β之间的数量关系；若不存在，请说明理由；（3）如图3，当α=60°时，点E、F与点B重合．已知AB=4，设DP=x，△A1BB1的面积为S，求S关于x的函数关系式．9、如图（1），在直角△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，点E在AC上，BE交CD于点G，EF⊥BE交AB于点F，若AC=mBC，CE=nEA（m，n为实数）．试探究线段EF与EG的数量关系．（1）如图（2），当m=1，n=1时，EF与EG的数量关系是．（2）如图（3），当m=1，n为任意实数时，EF与EG的数量关系是．（3）如图（1），当m，n均为任意实数时，EF与EG的数量关系是．（写出关系式，不必证明）10、已知菱形ABCD的边长为1．∠ADC=60°，等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F．（1）特殊发现：如图1，若点E、F分别是边DC、CB的中点．求证：菱形ABCD对角线AC、BD交点O即为等边△AEF 的外心；（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动．记等边△AEF的外心为点P．①猜想验证：如图2．猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；②拓展运用：如图3，当△AEF面积最小时，过点P任作一直线分别交边DA于点M，交边DC的延长线于点N，试判断1DM+1DN是否为定值．若是，请求出该定值；若不是．请说明理由．11、已知：在△ABC中，BC=2AC，∠DBC=∠ACB，BD=BC，CD交线段AB于点E．（1）如图l，当∠ACB=90°时，则线段DE、CE之间的数量关系为；（2）如图2，当∠ACB=120°时，求证：DE=3CE；（3）如图3，在（2）的条件下，点F是BC边的中点，连接DF，DF与AB交于G，△DKG和△DBG关于直线DG对称（点B的对称点是点K，延长DK交AB于点H．若BH=10，求CE的长．12、如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点G，E分别是边AB，BC的中点，∠AEF=90o，且EF交正方形外角的平分线CF于点F （1）证明：∠BA E=∠FEC；（2）证明：△AG E≌△ECF；（3）求△AEF的面积．13、（1）如图1，在正方形ABCD 中，M 是BC 边（不含端点B 、C ）上任意一点，P 是BC 延长线上一点，N 是∠DCP 的平分线上一点．若∠AMN=90°，求证：AM=MN ．（下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明）证明：在边AB 上截取AE=MC ，连ME ．正方形ABCD 中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC ． ∴∠NMC=180°—∠AMN —∠AMB=180°—∠B —∠AMB=∠MAB=∠MAE ．（下面请你完成余下的证明过程）（2）若将（1）中的“正方形ABCD ”改为“正三角形ABC ”（如图2），N 是∠ACP 的平分线上一点，则当∠AMN=60°时，结论AM=MN 是否还成立？请说明理由．（3）若将（1）中的“正方形ABCD ”改为“正n 边形ABCD ……X ”，请你作出猜想：当∠AMN= °时，结论AM=MN 仍然成立．（直接写出答案，不需要证明）14、Rt△ABC 与Rt△FED 是两块全等的含30o 、60o角的三角板，按如图（一）所示拼在一起，CB 与DE 重合．（1）求证：四边形ABFC 为平行四边形；（2）取BC 中点O ，将△ABC 绕点O 顺时钟方向旋转到如图（二）中△C B A '''位置，直线C B ''与AB 、CF 分别相交于P 、Q 两点，猜想OQ 、OP 长度的大小关系，并证明你的猜想． (3)在(2)的条件下,指出当旋转角至少为多少度时,四边形PCQB 为菱形(不要求证明).图(二)图(一)FFB(D)M N P D C E B A 图1 M NP C B A图215、在Rt ABC △中，902BAC AB AC ∠=== ，，点D 在BC 所在的直线上运动，作45ADE ∠=（A D E ，，按逆时针方向）．（1）如图1，若点D 在线段BC 上运动，DE 交AC 于E ． ①求证：ABD DCE △∽△；②当ADE △是等腰三角形时，求AE 的长．（2）①如图2，若点D 在BC 的延长线上运动，DE 的反向延长线与AC 的延长线相交于点E '，是否存在点D ，使ADE '△是等腰三角形？若存在，写出所有点D 的位置；若不存在，请简要说明理由；②如图3，若点D 在BC 的反向延长线上运动，是否存在点D ，使ADE △是等腰三角形？若存在，写出所有点D 的位置；若不存在，请简要说明理由．45 CDB A E E 'C ABD E 第28题图2 第28题图3 45 45 A B D C E 第28题图1。

高中数学练习题平面几何的计算与证明练习

高中数学练习题平面几何的计算与证明练习高中数学练习题：平面几何的计算与证明练习一、平面几何计算题在平面几何中，计算是一项重要的技能。

下面是几个基本的计算题，以帮助你巩固理解和应用平面几何的知识。

1. 已知三角形ABC的边长分别为AB = 5cm，BC = 7cm，AC = 9cm，求三角形的周长。

解：三角形的周长等于三边长度之和，所以周长为5cm + 7cm +9cm = 21cm。

2. 已知矩形的长为10cm，宽为6cm，求矩形的面积。

解：矩形的面积等于长乘以宽，所以面积为10cm × 6cm = 60cm²。

3. 已知菱形的对角线分别为10cm和12cm，求菱形的面积。

解：菱形的面积等于两条对角线长度之积的一半，所以面积为(10cm × 12cm)/2 = 60cm²。

二、平面几何证明题在平面几何中，证明题需要运用定理和性质，以推导出新的结论。

下面是几个平面几何的证明题，供你练习。

1. 证明：三角形ABC的中线AD在点D处将底边BC平分。

证明过程：首先，根据三角形的定义，中线是连接一个顶点和对边中点的线段。

设M为线段BC的中点，则AM为线段AD的中线。

根据三角形中线定理，中线所对应的两个小三角形面积相等。

三角形ABM与三角形ACM的面积相等，即(1/2)AB × BM =(1/2)AC × CM。

由于BM = CM，所以AB = AC，即线段AD在点D处将底边BC平分。

2. 证明：矩形的对角线相等。

证明过程：设矩形的长为a，宽为b。

根据矩形的定义，矩形的对角线是连接两个对角顶点的线段。

设AC和BD为矩形的对角线，其中A为长边的一个顶点，C为短边的一个顶点。

根据勾股定理，三角形ABC和三角形ACD可以分别表示为：三角形ABC：AB² = a² + b²三角形ACD：AD² = a² + b²由于三角形ABC和三角形ACD的两条边相等（AB = AD），根据等腰三角形的性质可得AC = BD。

圆中的相关证明与计算

圆中的相关证明与计算圆是平面上到一个给定点的距离恒定的所有点的集合。

通过研究圆的性质和相关的定理，我们可以了解圆的性质和概念，并可以进行相关的证明和计算。

以下是一些关于圆的相关证明和计算的例子：1.圆的半径与直径的关系证明：首先，我们知道直径是通过圆心并且两端点在圆上的线段。

现在我们要证明直径是半径的两倍。

证明：假设圆的半径为r，直径为d。

根据直径的定义，我们知道直径是通过圆心的，并且它的两个端点在圆上。

所以直径d可以看作是两个半径r的长度相加，即d=r+r=2r。

所以我们可以得出结论：直径等于半径的两倍。

即d=2r。

2.圆周率的计算：周长的计算公式为：C=2πr，其中r为圆的半径。

面积的计算公式为：A=πr^2，其中r为圆的半径。

例如，如果一个圆的半径为5厘米，则它的周长为：C=2π*5=10π≈31.42厘米；面积为：A=π*5^2=25π≈78.54平方厘米。

3.弦和半径的垂直关系证明：在圆中，连接圆周上的两点的线段称为弦。

现在我们要证明如果一个弦与半径相交，那么这个弦就是半径的垂直平分线。

证明：假设在圆中有一个弦AB，如果它与半径OC相交于点M，我们要证明AM=MB。

根据圆的性质，半径OC与弦AB相交于点M，则角OMC是直角，因为OC是半径，所以OM=MC。

又由于弦AB与半径OC相交于点M，所以AM=MC，MB=MC。

综上所述，AM=MB，即弦AB是半径OC的垂直平分线。

通过以上证明和计算，我们可以更深入地了解圆的性质和相关的定理。

圆是几何学中重要的概念之一，它在各种数学和科学领域中都有广泛的应用。

希望以上内容对您有所帮助。

初二数学竞赛基本几何证明及计算

初二数学竞赛基本几何证明及计算∆中，AD⊥BC 于D，AB+BD=CD。

证明∠B=2∠C。

1：如图1，在ABCC图1∆中，AB=AC。

D，E分别是BC，AC上的点。

问∠BAD与2. 如图2，在ABC∠CDE满足什么条件时，AD=AE。

B C图23. 如图3，六边形ABCDEF 中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F，且AB+BC=11，FA-CD=3。

求BC+DE 的值。

D图34. 如图4，在凸四边形ABCD 中，∠ABC=300，∠ADC=600，AD=DC 。

证明BD 2=AB 2+BC 2D图45. 如图5，P 是ABC ∆边BC 上一点，PC=2PB 。

已知∠ABC=450，∠APC=600。

求∠ACB 的度数。

图56. 如图6，中，在ABC ∆BC=a, AC=b, 以AB 为边向外作等边三角形△ABD 。

问∠ACB 为多少度时，点C 与点D 的距离最大？A图67. 如图7，在等腰中，ABC ∆AB=AC ，延长AB 到D ，延长CA 到E ，连DE ，恰好有AD=BC=CE=DE 。

证明∠BAC=1000。

C D图78. 如图8，在中，ABC ∆AD 是边BC 上的中线，AB=2，AD=6，AC=26。

求∠ABC 的度数。

B图89. 如图9，在ABC ∆的外面作正方形ABEF 和ACGH ，AD ⊥BC 于D 。

延长DA交FH 于M 。

证明：FM=HM 。

G图910. 如图10，P ，Q ，R 分别是等边ABC ∆三条边的中点。

M 是BC 上一点。

以MP 为一边在BC 同侧作等边PMS ∆。

连SQ 。

证明 RM=SQ.B C 如图1011. 如图11，在四边形ABCD 中，AB=a, AD=b, BC=CD. 对角线AC 平分∠BAD 。

问a 与b 符合什么条件时，有∠D+∠B=1800。

A如图1112. 如图12，在等腰中，ABC ∆AD 是边BC 上的中线，E 是△ADB 任一点，连AE ，BE ，CE 。

中考数学临考题号押广东卷21题(几何证明与计算)(解析版)

∴平行四边形AFCE是菱形；
【小问2详解】
根据（1）的结论，平行四边形AFCE是菱形，
∴EF、AC相互垂直平分，且AE=EC=CF=FA，
∴EF=2OE，AC=2OA，
∵BC=8，AB=4，
∴BE=BC-EC=8-EC=8-AE，，
∴OA= ，
在Rt△ABE中，利用勾股定理，有，
即：，解得：AE=5，
（1）求证：四边形是菱形．
（2）当AB 4，BC 8时，求线段EF的长．
【分析】（1）利用EF是AC的垂直平分线，可得∠EAC=∠ECA，∠CAF=∠FCA，在矩形中有，即有∠ECA=∠CAF，∠ECF=∠CFD，即可证得∠CFD=∠EAF，则有，再结合，AE=EC，可证四边形AFCE是菱形；
∴∠ACF=∠EDC．
∴ED=EC．
【小问2详解】
解：如（1）中图所示，过点C作CG⊥OB于点G，设线段OE与交于点H．
∵ 的直径，OC，OB是的半径，
∴ ．
∵∠A和∠BOC分别是所对的圆周角和圆心角，∠A=30°，
∴∠BOC=2∠A=60°．
∴ ，S扇OBC ．
∴ ．
∴点C右侧的阴影面积S右=S扇OBC- ．
（2）连接，根据同弧所对的圆周角相等，可得，进而根据正切值以及已知条件可得的长，勾股定理即可求得，进而即可求得圆的半径．
【详解】
（1）连接，如图，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
．
（2）连接
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
即的半径为．
6．（2021·山东青岛·中考真题）如图，在中，为边的中点，连接并延长，交的延长线于点，延长至点，使，分别连接，，．

七年级几何证明和计算题入门.doc

七年级几何证明和计算题入门几何证明和计算题是七年级数学的一个重点，因为刚接触这门学科，很多学生反映不知道如何着手分析解题，为了帮助学生们快速掌握学会这类题型，本文就几个典型例题详细讲解解题思路和解题全过程。

例题1如图，已知：点A在射线BG上，∠1=∠2，∠1+∠3=180°，∠EAB=∠BCD．求证：EF∥CD．1、根据需要证明的结论添加辅助线证明：EF∥CD,需要构造同位角、内错角或同旁内角，因此考虑添加辅助线，延长AE交CD于M。

2、根据需要证明的结论反推需要先证明的结论证明：EF∥CD，需要先证明∠3=∠EMD;根据题目中的条件：∠1+∠3=180°，需要先证明∠EMD +∠3=180°;根据平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，需要先证明BG∥CD。

3、根据题目中的条件推断可以得到的结论由题目中的条件：∠1=∠2，根据平行线的判定：同位角相等，两直线平行，则AE∥BC；根据平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，则∠EAB+∠2=180°；根据题目中的条件：∠EAB=∠BCD，则∠BCD+∠2=180°;根据平行线的判定：同旁内角互补，两直线平行，则BG ∥CD。

4、具体证明过程延长AE交CD于M∵∠1=∠2∴AE∥BC∴∠EAB+∠2=180°∵∠EAB=∠BCD∴∠BCD+∠2=180°∴BG∥CD∴∠1+∠EMD=180°∵∠1+∠3=180°∴∠EMD=∠3∴EF∥CD例题2如图，AB∥CD，∠CDE=119°，GF交∠DEB的平分线EF于点F，∠AGF=130°，求∠F1、根据题目需要求解的值反推需要先求解的值需要求解∠F，由题目中的条件：∠AGF为△EFG的外角，根据三角形外角的性质：三角形的外角等于不相邻两个内角的和，则∠AGF=∠AEF+∠F，即∠F=∠AGF-∠AEF，因此，需要先求解∠AEF；根据题目中的条件：∠AEF=∠AED+∠DEF，需要先求解∠AED，∠DEF；由题目中的条件EF为∠DEB的平分线，根据角平分线的性质：角平分线可以得到两个相等的角，则∠DEF=1/2∠DEB，因此需要先求解∠DEB。

初中几何全等模型大全(常见问题证明、计算及处理策略)

0042 还有一种含半角是在等直中，如图，一样是旋转得两对全等，得到的是三条线段的勾股关系
005对角互补模型对角互补的四边形还有一个模型，就是邻边相等，对角互补，角平分线模型，可以知二推一。辅助线为双垂线（利用了角平分线的性质，可以在角分线之后讲，本质就是全等也可以在之前讲）
在△ABD和△FBD中， ∠ABD＝∠FBD，BD＝BD， ∠ADB＝∠FDB＝90°， ∴△ABD≌△FBD(ASA)． ∴∠2＝∠DFB. 又∵∠DFB＝∠1＋∠C， ∴∠2＝∠1＋∠C.
方应法2 构造法
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝ BC，∠ABC＝45°，点D为BC的中点， CE⊥AD于点E，其延长线交AB于点F，连接DF. 求证：∠ADC＝∠BDF.
AE＝AG， ∠EAF＝∠GAF， AF＝AF， ∴△EAF≌△GAF. ∴EF＝GF＝FD＋DG. ∴EF＝FD＋BE.
证明一条线段等于两条线段的和的方法：“截长法”或“补短法”．“截长法”的基本思路是在长线段上取一段，使之等于其中一短线段，然后证明剩下的线段等于另一短线段；“补短法”的基本思路是延长短线段，使之延长部分等于另一短线段，再证明延长后的线段等于长线段．
5．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD ＝120°，∠B＝∠ADC＝90°.E，F分别是 BC，CD上的点，且∠EAF＝60°.探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系并证明．
解： EF＝BE＋FD.
证明：如图，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG. ∵∠B＝∠ADC＝90°， ∴∠B＝∠ADG＝90°. 在△ABE与△ADG中，
三角形全等的模型与技巧讲义
目录
构造三角形全等的五种方法全等三角形的八种基本模型角平分线四大基本模型中点模型（处理策略）

与圆有关的计算和证明解题技巧

与圆有关的计算和证明解题技巧
与圆有关的计算和证明是数学中一个重要的部分，它涉及到许多基本的数学概念和技巧。

以下是一些与圆有关的计算和证明的解题技巧：
1. 确定圆心和半径：在解决与圆有关的问题时，首先需要确定圆心和半径。

圆心是圆的中心点，而半径是从圆心到圆周的距离。

知道这些信息可以帮助你找到圆的方程，或者解决与圆有关的问题。

2. 使用圆的性质：了解并利用圆的性质是解决与圆有关问题的关键。

例如，圆的对称性、切线的性质、弦的性质等。

3. 利用勾股定理：勾股定理是一个非常重要的数学定理，它可以帮助你解决与圆有关的问题。

特别是当涉及到弦、切线、半径等时，勾股定理是非常有用的。

4. 使用圆的方程：圆的方程是解决与圆有关问题的另一个重要工具。

通过圆的方程，你可以找到圆心和半径，或者找到与圆有关的特定点的坐标。

5. 利用三角函数：在解决与圆有关的问题时，三角函数是非常有用的工具。

例如，当涉及到角度、弧长等时，三角函数可以帮助你找到解决方案。

6. 利用几何推理：几何推理是解决与圆有关问题的另一个重要技巧。

通过观察和推理，你可以找到解决问题的方法。

7. 练习和反思：最后，要提高解决与圆有关问题的能力，你需要不断地练习和反思。

通过练习，你可以熟悉各种问题类型和解题技巧，而反思则可以帮助你发现自己的弱点并加以改进。

希望这些技巧能帮助你更好地理解和解决与圆有关的问题！。

初中数学专题复习几何的证明与计算(含答案)

专题复习3 几何的证明与计算◆考点链接几何的证明与计算是中考的必考题型，几何的证明题常以全等和相似为载体，与圆的有关知识相结合；几何计算题则是把几何知识与代数知识有机结合起来，渗透数形结合思想，重在考查分析问题的能力、逻辑思维和推理能力． ◆典例精析【例题1】（天津）已知Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8．（1）如图①，若半径为r 1的⊙O 1是Rt △ABC 的内切圆，求r 1；（2）如图②，若半径为r 2的两个等圆⊙O 1、⊙O 2外切，且⊙O 1与AC 、AB 相切，⊙O 2与BC 、AB 相切，求r 2；（3）如图③，当n 是大于2的正整数时，若半径为r n 的n 个等圆⊙O 1、⊙O 2、…、⊙O n 依次外切，且⊙O 1与AC 、AB 相切，⊙O n 与BC 、AB 相切，⊙O 2、⊙O 3、…、⊙O n－1均与AB 边相切，求r n ．解：（1）∵在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，∴．如图，设⊙O 1与Rt △ABC 的边AB 、BC 、CA 分别切于点D 、E 、F ，连接O 1D 、O 1E 、O 1F 、AO 1、BO 1、CO 1．于是，O 1D ⊥AB ，O 1E ⊥BC ，O 1F ⊥AC ，S △AO1C =12AC·O 1F=12AC·r 1=3r 1， S △BO1C =12BC·O 1E=12BC·r 1=4r 1，S △AO1B =12AB·O 1D=12AB·r 1=5r 1， S △ABC =12AC·BC=24．又∵S △ABC =S △AO1C +S △BO1C +S △AO1B ， ∴24=3r 1+4r 1+5r 1， ∴r 1=2．（2）如图，连接AO 1、BO 2、CO 1、CO 2、O 1O 2，则S △AO1C =12AC·r 2=3r 2， S △BO2C =12BC·r 2=4r 2，∵等圆⊙O 1、⊙O 2外切， ∴O 1O 2=2r 2，且O 1O 2∥AB ．过点C 作CM ⊥AB 于点M ，交O 1O 2于点N ，则CM=AC BC AB =245， CN=CM －r 2=245－r 2，∴S △CO1O2 =12O 1O 2·CN=（245－r 2）r 2，∴S 梯形AO1O2B =12（2r 2+10）r 2=（r 2+5）r 2．∵S △ABC =S △AO1C +S △BO2C +S △CO1O2 +S 梯形AO1O2B ， ∴24=3r 2+4r 2+（245－r 2）r 2+（r 2+5）r 2．解得r 2=107．（3）如图，连接AO 1、BO n 、CO 1、CO n 、O 1O n ，则S △AO1C =12AC·r n =3r n ， S △BOnC =12BC·r n =4r n ，∵等圆⊙O 1、⊙O 2、…、⊙O n 依次外切，且均与AB 边相切，∴O 1、O 2、…、O n 均在直线O 1O n 上，且O 1O n ∥AB ， ∴O 1O n =（n －2）2r n +2r n =2（n －1）r n ．过点C 作CH ⊥AB 于点H ，交O 1O n 于点K ，则CH=245，CK=245－r n ． ∴S △CO1On =12O 1O n ·CK=（n －1）（245－r n ）r n ．S 梯形AO1OnB =12[2（n －1）r n +10]r n =[（n －1）r n +5]r n ．∵S △ABC =S △AO1C +S △BOnC +S △CO1On +S 梯形AO1OnB ， ∴24=3r n +4r n +（n －1）（245－r n ）r n +[（n －1）r n +5]r n ，解得r n =1023n +．评析：通过面积关系，建立所求半径的等量关系式，也是解决几何计算题一种重要的途径．【例题2】如图，AB 是⊙O 的直径，AE 平分∠BAF 交⊙O 于E 点，过点E 作直线与AF 垂直交AF 的延长线于D 点，交AB 延长线于C 点．（1）求证：CD 与⊙O 相切于点E ；（2）若CE·DE=154，AD=3，求⊙O 的直径及∠AED 的正切值．解题思路：（1）连OE ，证OE ⊥CD ；（2）利用三角形相似线段成比例求半径．解：（1）连OE ，易证∠OEA=∠OAE=∠EAD ，∠OED=90°，得 OE ⊥CD ，CD 与⊙O 相切．（2）连BE 有BE=OE ，易证Rt △ABE ∽Rt △AED ，△CBE ∽△CEA ，得5,4DE BE CB CO OEBC AD AE CE AC AD====又，设⊙O •半径为R ，则CO=R+54，CA=54+2R ，∴45853R R R +=+，解得R=158或R=－1（舍），∴⊙O 直径为154，由CE 2=CB·CA=254，∴CE=52，DE=32，tan∠AED=2．评析：本题第（2）小题是几何计算，不少考生怕这种题型，•因它与证明题不同，证明题的结论是确定的，有目标可寻，而计算题则需要根据题设条件和学过的知识去分析和探索，包括一定的运算能力，这就要求考生平时多练习，多思考，增强信心，才能攻克这样的难关．◆探究实践【问题】（重庆）已知四边形ABCD中，P是对角线BD上的一点，过P作MN∥AD，EF•∥CD，分别交AB、CD、AD、BC于M、N、E、F，设a=PM·PE，b=PN·PF，解答下列问题：（1）当四边形ABCD是矩形时，见图①，请判断a与b的大小关系，•并说明理由；（2）当四边形ABCD是平行四边形，且∠A为锐角时，见图②，（1）•中的结论是否成立？请说明理由；（3）在（2）的条件下，设BPPD=k，是否存在这样的实数k，使得49PEAMABCSS∆=？若存在，请求出满足条件的所有k的值；若不存在，请说明理由．解题思路：（1）利用面积关系可证a=b；（2）可证S PEAM=PM·PE．sin∠MPE，S PNCF=PN·PF，•sin∠FPN．由S PEAM=S PNCF，可得a=b；（3）利用等高三角形面积比等于底边之比可求k值．（1）解：a=S矩形PEAM=S△BDA－S△PMB－S△PDE，b=S矩形PNCF=S△DBC－S△BFP－S△DPN，可证得a=b．（2）解：成立．仿（1）有S PEAM=S PNCF，作EH⊥MN，可证S PEAM=EH·PM=PM·PE．sin∠MPE．同理S PNCF=PN·PF．sin∠FPN．由sin ∠MPE=sin ∠FPN ，可得PM·PE=PN·PF ．即a=b ．（3）解法一：存在．连结AP ，设△PMB 、△PMA 、△PEA 、△PED 的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，即．1221431342423423231234424,..,4,924,(21)9PEAM ABD s ks s k s S S BM BP AE BP s ks S AM PD S DE PD s s ks s s S S S S S S S S kS k k S ∆=⎧⎧=⎪=====∴⎨⎨==⎩⎪=⎩+∴==+++=++即即∴2k 2－5k+2=0，∴k 1=2，k 2=12．解法二：由（2）可知SPEAM =AE·AM ．sinA=29AD·ABsinA ． 22222sin 2,sin 1,,,111,,11142,2520,119PEAM PEAM PEAMABD ABD ABCDS S S S S S AE AM A AE AMAD AB A AD AB BP BP k PD k PD BD k BD k AE BP k AM PD AD BD k AB BD k k k k k k ∆∆∴=======++====++∴⨯⨯=-+=++又即而即∴k=2或12．评析：巧用面积法解题，可化难为易，应引起注意．◆中考演练一、填空题1．（黄冈）如图1，在ABCD中，EF∥AB，DE：EA=2：3，EF=4，则CD=_______．(1) (2) (3) (4)2．（四川）如图2，AB、AC是互相垂直的两条弦，AB=8cm，AC=6cm，•则⊙O•半径OA长为_______cm．二、选择题1．（福州）如图3，EF过矩形ABCD对角线交于点O，且分别交AB、CD于E、F，•那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的（）．A．15B．14C．13D．3102．（黄冈）如图4，△ABC中，AB=AC，D为BC中点，E为AD上任意一点，过C 作CF∥AB交BE的延长线于F，交AC于G，连结CE，下列结论中不正确的是（）．A．AD平分∠BAC B．BE=CFC．BE=CE D．若BE=5，GE=4，则GF=9 4三、解答题1．（长春）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=60°，AD=CD．E、F分别在AD、CD上，DE=CF，AF、BE交于点P，请你量一量∠BPF的度数，并证明你的结论．2．（青岛）已知：如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，且∠BCE=∠CAB，•CE 交AB的延长线于点E，AD⊥AB，交EC的延长线于点D．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）若CE=3，BE=2，求CD的长．◆实战模拟一、填空题1．（四川）如图5，在半径为3的⊙O中，B是劣弧AC的中点，连结AB并延长到D，使BD=AB，连结AC、BC、CD．如果AB=2，那么CD=________．(5) (6) (7)2．（杭州）如图6，在等腰Rt△ABC中，AC=BC，以斜边AB为一边作等边△ABD，•使点C、D在AB的同侧；再以CD为一边作等边△CDE，使点C、E在AD的异侧．若AE=1，•则CD的长为________．3．（沈阳）如图7，已知在⊙O中，直径MN=10，正方形ABCD•的四个顶点分别在半径OM、OP以及⊙O上，并且∠POM=45°，则AB的长为________．二、选择题1．（宁波）如图8，在四边形ABCD中，E是AB上一点，EC∥AD，DE∥BC．若S△BEC=1，S△BEC=3，则S△CDE等于（）．A ．2B ．32C D(8) (9) (10)2．（河南）如图9，半径为4的两等圆相外切，•它们的一条外公切线与两圆围成的阴影部分中，存在的最大圆的半径等于（）． A ．12 B ．23 C ．34D ．1 3．（深圳）如图10，AB 是⊙O 直径，点D 、E 是半圆的三等分点，AE 、BD 延长线交于点C ．若CE=2，则图中阴影部分的面积是（）．A ．43π B ．23π C ．23π D ．13π三、解答题1．（宁夏）如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点E 在直角边AC 上（点E 与A 、C 两点均不重合），点F 在斜边AB 上（点F 与A 、B 两点均不重合）．（1）若EF 平分Rt △ABC 的周长，设AE 的长为x ，试用含x 的代数式表示△AEF 的面积；（2）是否存在线段EF 将Rt △ABC 的周长和面积同时平分？若存在，求出此时AE 的长；若不存在，说明理由．2．（烟台）如图，从⊙O外一点A作⊙O的切线AC、AC，切点分别为B、C，且⊙O 直径BD=6，连结CD、AO．（1）求证：CD∥AO；（2）设CD=x，AO=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）若AO+CD=11，求AB的长．答案:中考演练一、1．10 2．5二、1．B 2．B三、1．证△ABE≌△DAF，∠BPF=120°2．（1）连结OC，证∠OCE=90°（2）CD=15 8实战模拟一、1．4323二、1．C 2．D 3．A三、1．（1）作FD⊥AC，由Rt△ADF∽Rt△ACB，得FD=45（6－x），S△AEF=－25x2+125x（0<x<3）（2）由－25x+125x=3，得x12x=（舍）2．（1）提示：证明AO⊥BC （2）△BDC∽△AOB，18BD DCyAO OB x=∴=，0<x<6（3）12122911()1892x xx yAB xy y y==+=⎧⎧⎧∴==⎨⎨⎨===⎩⎩⎩解得舍去。

备战2020中考数学：几何图形的证明与计算(含解析)

备战2020中考数学：几何图形的证明与计算1. 如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，E 为OC 上动点(与点O 不重合)，作AF ⊥BE ，垂足为G ，分别交BO 、BC 于点H 、F .连接OG 、CG .(1)求证：AH ＝BE ；(2)试探究：∠AGO 的度数是否为定值？请说明理由；(3)若OG ⊥CG ，BG ＝32，求△OGC 的面积．第1题图(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴OA ＝OB ，∠AOB ＝∠BOE ＝90°，∵AF ⊥BE ，∴∠GAE ＋∠AEG ＝∠OBE ＋∠AEG ＝90°.∴∠GAE ＝∠OBE ，∴△AOH ≌△BOE (ASA)，∴AH ＝BE ；(2)解：是，理由如下：∵∠AOH ＝∠BGH ＝90°，∠AHO ＝∠BHG ，∴△AOH ∽△BGH ，∴OH GH ＝AH BH ，∴OH AH ＝GH BH ，∵∠OHG ＝∠AHB ，∴△OHG ∽△AHB ，∴∠AGO ＝∠ABO ＝45°，即∠AGO 的度数为定值；(3)解：∵∠ABC ＝90°，AF ⊥BE ，∴∠BAG ＋∠AFB ＝90°，∠FBG ＋∠AFB ＝90°，∴∠BAG ＝∠FBG ，∠AGB ＝∠BGF ＝90°，∴△ABG ∽△BFG ，∴AG BG ＝BG GF ，∴AG ·GF ＝BG 2＝18，∵△AHB ∽△OHG ，∴∠BAH ＝∠GOH ＝∠GBF .∵∠AOB ＝∠BGF ＝90°，∴∠AOG ＝∠GFC ，∵∠AGO ＝45°，CG ⊥GO ，∴∠AGO ＝∠FGC ＝45°.∴△AGO ∽△CGF ，∴GO GF ＝AG CG ，∴GO ·CG ＝AG ·GF ＝18.∴S △OGC ＝12CG ·GO ＝9.2. 如图，在矩形ABCD 中，AD ＝6，DC ＝8，菱形EFGH 的三个顶点E ，G ，H 分别在矩形ABCD 的边AB ，CD ，DA 上，AH ＝2，连接CF .(1)若DG ＝2，求证：四边形EFGH 为正方形；(2)若DG ＝6，求△FCG 的面积．第2题图(1)证明：∵四边形EFGH 为菱形，∴HG ＝EH ，∵AH ＝2，DG ＝2，∴DG ＝AH ，在Rt △DHG 和Rt △AEH 中，⎩⎨⎧DG ＝AH HG ＝EH ， ∴Rt △DHG ≌Rt △AEH (HL)，∴∠DHG ＝∠AHE ，∵∠AEH ＋∠AHE ＝90°，∴∠DHG ＋∠AHE ＝90°，∴∠GHE ＝90°，∴四边形EFGH 为正方形；(2)解：如解图，过点F 作FQ ⊥CD 交DC 的延长线于点Q ，连接GE ， ∵四边形ABCD 为矩形，∴AB ∥CD ，∴∠AEG ＝∠QGE ，即∠AEH ＋∠HEG ＝∠QGF ＋∠FGE ，∵四边形EFGH 为菱形，∴HE ＝GF ，HE ∥GF ，∴∠HEG ＝∠FGE ，∴∠AEH ＝∠QGF ，在△AEH 和△QGF 中⎩⎨⎧∠A ＝∠Q∠AEH ＝∠QGF HE ＝FG，第2题解图∴△AEH ≌△QGF ，∴AH ＝QF ＝2，∵DG ＝6，CD ＝8，∴CG ＝2，∴S △FCG ＝12CG ·FQ ＝12×2×2＝2.3. 如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，点P 是AC 上的一个动点(点P 与A 、C 不重合)，连接BP ，分别过点B 、C 作BP 、AC 的垂线BQ 、CQ ，两垂线交于点Q ，连接QP ，交BC 于点E .(1)求证：CQ ＝AP ；(2)求证：△CPB ∽△CEQ ；(3)若AB ＝22，在点P 的运动过程中，是否存在一点P ，使得CE ＝38BC ？若存在，请求出△ABP 的面积，若不存在，请说明理由．第3题图(1)证明：∵在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠A＝∠ACB＝45°，∵BQ⊥BP, CQ⊥AC，∴∠QCB＝∠A＝45°，∵∠ABP＋∠PBC＝∠QBC＋∠PBC＝90°，∴∠ABP＝∠QBC.又∵BA＝BC，∴△BAP≌△BCQ(ASA).∴CQ＝AP；(2)证明：由(1)得，∠QCB＝∠ACB＝45°，又∵∠PCQ＋∠PBQ＝180°，∴P、C、Q、B在以PQ为直径的圆上，如解图所示，∴∠CQP＝∠PBC，∴△CPB∽△CEQ；(3)解：存在．理由如下：由CE＝38BC，可得CE＝38BC＝38AB＝324，由勾股定理可得，AC＝AB2＋BC2＝4；设AP＝CQ＝x，则PC＝4－x，由(2)得△CPB∽△CEQ，∴CP CE ＝BC CQ ，即4－x 324＝22x ，第3题解图可得x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝3或1，如解图，过点P 作PD ⊥AB 于点D ，易得△APD ∽△ACB ，∴PD BC ＝AP AC ，即PD ＝AP ·BC AC ＝AP ·224＝22AP ，当AP ＝3时，可得PD ＝322，此时S △ABP ＝12AB ·PD ＝12×22×322＝3，当AP ＝1时，可得PD ＝22，此时S △ABP ＝12AB ·PD ＝12×22×22＝1.∴△ABP 的面积为3或1.4. 如图，正方形ABCD 的边长为10 cm ，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 上的点，且AE ＝BF ＝CG ＝DH .(1)求证：四边形EFGH 是正方形；(2)判断直线EG 是否一定经过正方形ABCD 内部一个定点，并说明理由；(3)猜想当E 点位于AB 上何处时，正方形EFGH 面积最小(不要求证明)．第4题图(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BAD ＝∠B ＝∠BCD ＝∠D ＝90°，AB ＝BC ＝CD ＝DA ，∵AE ＝BF ＝CG ＝DH ，∴AH ＝BE ＝CF ＝DG ，在△AEH 和△BFE 中，⎩⎨⎧AE ＝BF∠BAD ＝∠B AH ＝BE，∴△AEH ≌△BFE (SAS)，同理可得△BFE ≌△CGF ，△CGF ≌△DHG ，∴EH ＝FE ＝GF ＝GH ，∠AEH ＝∠BFE ，∴四边形EFGH 是菱形，∵∠BEF ＋∠BFE ＝90°，∴∠BEF ＋∠AEH ＝90°，∴∠HEF ＝90°，∴四边形EFGH 是正方形；(2)解：直线EG 经过一个定点，这个定点为正方形的中心(AC 、BD 的交点)；理由如下：如解图，连接AC 、EG ，使其交点为O ；∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ∥CD ，∴∠OAE ＝∠OCG ；在△AOE 和△COG 中，⎩⎨⎧∠OAE ＝∠OCG∠AOE ＝∠COG AE ＝CG，∴△AOE ≌△COG (AAS)，∴OA ＝OC ，OE ＝OG ，即O 为AC 的中点，∵正方形的对角线互相平分，∴O 为对角线AC 、BD 的交点，即点O 为正方形的中心；第4题解图(3)解：设正方形EFGH 的面积为S ，BE ＝x cm ，则BF ＝(10－x ) cm ，根据勾股定理得EF 2＝BE 2＋BF 2＝x 2＋(10－x )2，∴S ＝x 2＋(10－x )2＝2(x －5)2＋50，∵2>0，∴当x ＝5时，S 有最小值，S 的最小值为50，即E 点是AB 的中点时，四边形EFGH 的面积最小，最小值为50 cm 2.5. 如图所示，四边形ADEF 为正方形，△ABC 为等腰直角三角形，点D 在BC 边上，连接CF .(1)求证：BC ⊥CF ；(2)若△ABC 的面积为16，BD ∶DC ＝1∶3，求正方形ADEF 的面积；(3)在(2)的条件下，连接AE 交DC 于点G ，求DG GC 的值．第5题图解：(1)∵四边形ADEF 为正方形，△ABC 为等腰直角三角形，∴AD ＝AF ＝EF ＝DE ，AB ＝AC ，∠DAF ＝∠BAC ＝∠DEF ＝∠ADE ＝90°，∠B ＝∠ACB ＝45°，AD ∥EF ，∴∠DAF －∠DAC ＝∠BAC －∠DAC ，∴∠F AC ＝∠DAB .在△ABD 和△ACF 中，⎩⎨⎧AB ＝AC∠DAB ＝∠F AC AD ＝AF，∴△ABD ≌△ACF (SAS)，∴∠B ＝∠ACF ，BD ＝CF ，∴∠ACF ＝45°，∴∠ACF ＋∠ACB ＝90°，即∠BCF ＝90°，∴BC ⊥CF ；(2)设AB ＝AC ＝x ，由题意，得x 22＝16，∴x ＝42，∴BC ＝8，∵BD ∶DC ＝1∶3，∴BD ＝8×14＝2，CD ＝8－2＝6，如解图，作DH ⊥AB 于点H ，∴∠DHB ＝∠DHA ＝90°，∴∠BDH ＝45°，∴∠B ＝∠BDH ，∴BH ＝DH ，设BH ＝DH ＝a ，由勾股定理得，a ＝2，∴AH ＝42－2＝32，在Rt △ADH 中，由勾股定理得AD 2＝20，∴AD ＝25，∵S 正方形ADEF ＝AD 2＝20，∴正方形ADEF 的面积为20；(3)如解图，设EF 交BC 于点M ，设CM ＝x ，则DM ＝6－x ， ∵BD ＝CF ，∴CF ＝2，在Rt △CMF 中，由勾股定理得FM ＝4＋x 2，∵∠DME ＝∠FMC ，∴△FCM ∽△DEM ，∴FM DM ＝FC DE ，则FM 2DM 2＝FC 2DE 2，∴4＋x2（6－x）2＝420，解得x1＝1，x2＝－4(舍去)，∴CM＝1，FM＝5，∴ME＝5，DM＝5，∵AD∥EF，∴△AGD∽△EGM，∴DGGM＝ADEM，∴DGGM＝255＝2，∴DG＝2GM，设GM＝b，DG＝2b，∴b＋2b＝5，∴b＝5 3，第5题解图∴GC＝53＋1＝83，∴DG＝6－83＝103，DG GC＝10383＝54.6. 在四边形ABCD中，BC＝CD，连接AC、BD，∠ADB＝90°.(1)如图①，若AD＝BD＝BC，过点D作DF⊥AB于点F，交AC于点E：①∠DAC＝________°；②猜想AE、DE、CE的数量关系，并证明你的猜想；(2)如图②，若AC＝BD，求∠CAD的度数．第6题图解：(1)15；【解法提示】①∵AD＝BD＝BC，BC＝CD，∴BD＝BC＝CD，∴△BDC是等边三角形，∴∠CDB＝60°，∵∠ADB＝90°，∴∠ADC＝90°＋60°＝150°，∵DA ＝DC，∴∠DAC＝∠DCA＝15°；②CE＝DE＋AE.证明：如解图①中，设AC交BD于点O，连接BE，在EC上截取EH＝EB.∵DA＝DB，DF⊥AB，∴AF＝FB，∴EA＝EB，∴∠DAF＝∠DBF，∠EAB＝∠EBA，第6题解图①∴∠DAE＝∠DBE，∵∠DAE＝∠DCO，∴∠DCO＝∠OBE，∵∠DOC＝∠EOB，∴∠BEO＝∠ODC＝60°，∵EH＝EB，∴△EBH是等边三角形，∴∠EBH＝∠DBC＝60°，BE＝BH，∴∠EBD＝∠HBC，∵BD＝BC，∴△EBD≌△HBC(SAS)，∴DE＝CH，∴CE＝EH＋CH＝EB＋ED＝AE＋DE；第6题解图②(2)如解图②，过点C作CK⊥BD于点K，CH⊥AD交AD的延长线于点H，∵∠H＝∠CKD＝∠HDK＝90°，∴四边形DHCK是矩形，∴DK＝CH，∵CD＝CB，CK⊥BD，∴DK＝12BD，∵AC＝BD，∴CH＝DK＝12AC，∴在Rt△ACH中，sin∠CAD＝CHAC＝12，∴∠CAD＝30°.7. 如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，延长CB至点F，使CF ＝CA，连接AF，∠ACF的平分线分别交AF，AB，BD于点E，N，M.(1)求证：BN＝BF；(2)求证：CN＝2CM；(3)若正方形ABCD的边长为2，求OM的长．第7题图(1)证明：在正方形ABCD中，∠ABC＝∠ABF＝90°，BC＝AB，∵CF＝CA，∠ACF的平分线分别交AF，AB，BD于点E，N，M，∴CE⊥AF，∴∠BAF＋∠ANE＝90°，∵∠ANE＝∠BNC，∴∠BAF＋∠BNC＝90°，∵∠BCN＋∠BNC＝90°，∴∠BAF＝∠BCN，在△BCN和△BAF中，⎩⎨⎧∠BCN ＝∠BAFBC ＝AB∠CBN ＝∠FBA， ∴△BCN ≌△BAF (ASA)，∴BN ＝BF ；(2)证明：设正方形的边长为m ，则BD ＝AC ＝2m ，∵AC ＝CF ＝BC ＋BF ＝m ＋BF ＝2m ，∴BN ＝BF ＝(2－1)m ，∵BN ∥CD ，∴MN CM ＝BN CD ＝（2－1）m m＝2－1， ∴MN ＋CM CM ＝2－1＋11＝2， ∴CN ＝2CM ； (3)解：∵BN ∥CD ， ∴BM DM ＝BN CD ＝2－1，∴BM ＝(2－1)DM ，∵BM ＋DM ＝BD ＝2，∴DM ＝2，∵点O 是正方形ABCD 对角线的交点，∴OD ＝12BD ＝1，∴OM ＝DM －OD ＝2－1.8. 如图，在矩形ABCD中，AD＝6，M是AD的中点，点E是线段AB上一动点，连接ME.(1)如图①，若AB＝3，过点M作MG⊥ME交线段BC于点G，连接EG，判断△GEM的形状，并说明理由；(2)如图②，若AB＝33，延长EM交线段CD的延长线于点F，过点M作MG⊥EF 交线段BC的延长线于点G，连接FG.①直接写出线段AE长度的取值范围；②判断△GEF的形状，并说明理由．第8题图解：(1)△GEM是等腰直角三角形．第8题解图①理由如下：如解图①，过点G作GH⊥AD于点H，∵∠A＝∠B＝∠AHG＝90°，∴四边形ABGH是矩形．∴GH＝AB＝3.∵AD＝6，M是AD的中点，∴AM＝3，∵MG⊥ME，∴∠GME ＝90°.∴∠AME ＋∠GMH ＝90°.∵∠AME ＋∠AEM ＝90°，∴∠AEM ＝∠GMH .在△AEM 与△HMG 中，⎩⎨⎧∠AEM ＝∠GMH∠EAM ＝∠MHG AM ＝GH，∴△AEM ≌△HMG (AAS)，∴ME ＝MG ，∴△GEM 是等腰直角三角形；(2)①3<AE ≤33；【解法提示】如解图②，当C ，G 重合时，第8题解图②∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝∠ADC ＝90°，∴∠AME ＋∠AEM ＝90°，∵MG ⊥EF ，∴∠EMG ＝90°，∴∠AME ＋∠DMC ＝90°，∴∠AEM ＝∠DMC ，∴△AEM ∽△DMC ，∴AE MD ＝AM CD ，∴AE 3＝333，∴AE ＝3，∴3<AE ≤33； ②△GEF 是等边三角形．第8题解图③理由如下：如解图③，过点G作GH⊥AD交AD的延长线于点H，∵由①得∠AEM＝∠GMH，又∵∠A＝∠GHM＝90°，∴△AEM∽△HMG，∴EMMG＝AMGH＝333＝33，在Rt△GME中，tan∠MEG＝MGEM＝3，∴∠MEG＝60°，∵∠A＝∠MDF＝90°，AM＝MD，∠AME＝∠DMF，∴△AEM≌△DFM，∴ME＝MF，∵MG⊥EF，∴GE＝GF，∴△GEF是等边三角形．9. 已知：如图，四边形ABCD是正方形，点E、F分别在BC、CD上，连接AE、EF、AF，且∠DAE＝∠AEF.(1)求证：EF＝BE＋DF；(2)线段AF的垂直平分线交AD于点G，连接FG，求证：∠EFG＝90°；(3)在(2)的条件下，若tan ∠DFG ＝34，EF ＝203，求S △AEF .第9题图(1)证明：如解图，过点A 作AH ⊥EF 于点H ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝90°，AD ∥BC ，∴∠BEA ＝∠DAE ，∵∠DAE ＝∠AEF ，∴∠BEA ＝∠AEF ，在△ABE 和△AHE 中，∵⎩⎨⎧∠B ＝∠AHE∠BEA ＝∠AEH AE ＝AE，∴△ABE ≌△AHE (AAS)，∴AB ＝AH ，BE ＝HE ，∴AH ＝AD ，∴Rt △AHF ≌Rt △ADF (HL)，∴DF ＝HF ，∵EF ＝HE ＋HF ，∴EF ＝BE ＋DF ；第9题解图(2)证明：如解图，由题意知GA ＝GF ，∴∠GAF ＝∠GF A ，由(1)知∠AFE ＝∠AFD ，∵∠F AD ＋∠AFD ＝90°，∴∠GF A ＋∠AFE ＝90°，∴∠EFG ＝90°；(3)解：由tan ∠DFG ＝DG DF ＝34，可设DG ＝3x ，DF ＝4x ，则AG ＝GF ＝DG 2＋DF 2＝（3x ）2＋（4x ）2＝5x ，FH ＝DF ＝4x ， ∴BC ＝CD ＝AD ＝8x ，∴CF ＝CD －DF ＝4x ，∵EF ＝203，∴BE ＝EH ＝EF －FH ＝203－4x ，则EC ＝BC －BE ＝8x －(203－4x )＝12x －203，在Rt △ECF 中，由勾股定理得EF 2＝EC 2＋CF 2，即(203)2＝(12x －203)2＋(4x )2，解得x 1＝0(舍)，x 2＝1，即AH ＝AD ＝8x ＝8，∴S △AEF ＝12EF ·AH ＝12×203×8＝803.10. 如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点(不与点A，B重合)，连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH.(1)求证：GF＝GC；(2)用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明；(3)若正方形ABCD的边长为4，取DH的中点M，请直接写出线段BM长的最小值．第10题图(1)证明：如解图①，连接DF，第10题解图①∵四边形ABCD是正方形，∴DA＝DC，∠A＝∠C＝90°，∵点A关于直线DE的对称点为F，∴△ADE≌△FDE，∴DA＝DF＝DC，∠DFE＝∠A＝90°，在Rt △DFG 和Rt △DCG 中，∵⎩⎨⎧DF ＝DC DG ＝DG， ∴Rt △DFG ≌Rt △DCG (HL)，∴GF ＝GC ；(2)解：BH ＝2AE ，第10题解图②证明：如解图②，在线段AD 上截取AP ，使AP ＝AE ，∵AD ＝AB ，∴DP ＝BE ，由(1)知：∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵∠ADC ＝90°，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝90°，∴2∠2＋2∠3＝90°，∴∠2＋∠3＝45°，即∠EDG ＝45°，∵EH ⊥DE ，∴∠DEH ＝90°，△DEH 是等腰直角三角形，∴DE ＝EH ，∠AED ＋∠BEH ＝∠AED ＋∠1＝90°，在△DPE 和△EBH 中，∵⎩⎨⎧DP ＝BE∠1＝∠BEH DE ＝EH，∴△DPE ≌△EBH (SAS)，∴EP ＝BH ，在Rt △AEP 中，∠A ＝90°，AP ＝AE ，∴EP ＝2AE ，∴BH ＝2AE ； (3)22；【解法提示】如解图③中，取DE 的中点O ，连接OM ，OA ，AM ，EM .∵△DEH 是等腰直角三角形，DM ＝HM ，∴EM ＝DM ＝HM ，EM ⊥DM ，∵∠DAE ＝∠DME ＝90°，OD ＝OE ，∴DO ＝OA ＝OE ＝OM ，∴A ，D ，M ，E 四点共圆，∴∠MAB ＝∠MDE ＝45°，∴∠DAM ＝∠MAB ，∴点M 在正方形的对角线AC 上，当BM ⊥AM 时，BM 的值最小，最小值为2 2.第10题解图③。

立体几何证明及体积计算

立体几何常见证明方法与体积计算1、线线平行①利用相似三角形或平行四边形②利用公理4：平行于同一直线的两条直线互相平行 ③线面平行⇒线线平行即////a a a l l αβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭④面面平行⇒线线平行即b a b a ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫==γβγαβα即b a b a //⇒⎭⎬⎫⊥⊥αα 2、线线垂直①两条直线所成角为90︒②线面垂直⇒线线垂直即b a b a ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα ③三垂线定理与其逆定理三垂线定理：l AC l BC AB ⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥α三垂线逆定理：l BC l AC AB ⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥α④两直线平行，其中一条垂直于第三条直线，如此另一条也垂直于这条直线。

3、线面平行①定义：假如一条直线和一个平面没有公共点，如此它们平行； ②线线平行⇒线面平行假如平面外的一条直线平行于平面内的一条直线，如此它与这个平面平行。

即ααα////a a b b a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂ ③面面平行⇒线面平行假如两平面平行，如此其中一个平面内的任一条直线平行于另一个平面。

即βαβα////aa ⇒⎭⎬⎫⊂ 4、线面垂直①线线垂直⇒线面垂直假如一条直线垂直平面内两条相交直线，如此这条直线垂直这个平面。

即ααα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⊂⊂⊥⊥a O c b c b c a b a ,,②面面垂直⇒线面垂直两平面垂直，其中一个平面内的一条直线垂直于它们的交线，如此这条直线垂直于另一个平面。

即βαβαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊥⊂=⊥a la a l ,,即αββα⊥⇒⎭⎬⎫⊥l l //④两直线平行，其中一条直线垂直于这个平面，如此另一条直线也垂直于这个平面。

即αα⊥⇒⎭⎬⎫⊥b a b a // 5、面面平行①线面平行⇒面面平行假如一个平面内两条相交直线都平行于另一个平面，如此这两个平面平行。

即βαααββ//,//,//⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⊂⊂O b a b a b a②平行于同一平面的两个平面平行即βαγβγα//////⇒⎭⎬⎫即βαβα//⇒⎭⎬⎫⊥⊥l l6、面面垂直①依定义，二面角的平面角为90︒； ②βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊂a al练习：1、设a,b,c 是空间三条不同的直线，α，β，γ是空间三个不同的平面，给出如下四个命题： ①假如,a b αα⊥⊥，如此ab ；②假如,αγβγ⊥⊥，如此αβ；③假如,b b αβ⊂⊥，如此αβ⊥；④假如c 是b 在α内的射影，a a c α⊂⊥且，如此a b ⊥. 其中正确的个数是A 1B 2C 3D 4m 、n 与平面α、β，如下命题正确的答案是〔〕A ．βα//,//n m 且βα//，如此n m //B ．βα//,n m ⊥且β⊥α，如此n m ⊥C ．m n m ⊥=β⋂α,且βα⊥，如此α⊥nD ．βα⊥⊥n m ,且βα⊥，如此n m ⊥3.m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，如此如下命题中正确的答案是〔〕 A ．//,m n m n αα⊥⇒⊥ B ． //,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒ C ．,//m m n n αα⊥⊥⇒ D ． ,,//,////m n m n ααββαβ⊂⊂⇒ 〔4〕一个正方体的所有顶点都在同一球面上，假如球的体积是4π3，如此正方体的外表积是〔A 〕8 〔B 〕6 〔C 〕4 〔D 〕3 5．直线m,n 和平面βα,满足βα⊥⊥⊥,,a m n m ,如此( ).A n β⊥,//.βn B 或β⊂n α⊥n C .,//.αn D 或α⊂n6．1.(2009年某某卷文)给定如下四个命题：①假如一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②假如一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④假如两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中，为真命题的是A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．②和④7．设,αβ是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的答案是〔〕A ．假如,l ααβ⊥⊥，如此l β⊂B ．假如//,//l ααβ，如此l β⊂C ．假如,//l ααβ⊥，如此l β⊥D ．假如//,l ααβ⊥，如此l β⊥5. 三视图侧视与正视高相等正视与俯视长相等侧视与俯视宽相等1．如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱⊥1AA 底面ABC ，其正〔主〕视图是边长为2的正方形，如此此三棱柱侧〔左〕视图的面积为〔〕 A ．3 B ．32 C ．222. 一个空间几何体的三视图如下列图，其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成，根据图中标出的尺寸，计算这个几何体的外表积是．4 一个几何体的三视图如下列图，如此此几何体的体积是〔A 〕112 〔B 〕80 〔C 〕72 〔D 〕64立体几何证明1、〔将线面平行转变为线线平行〕：如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，AB AC ⊥，PA ⊥平面ABCD ，且PA AB =，点E 是PD 的中点. 〔Ⅱ〕求证：//PB 平面AEC ；俯视图4 4正视图侧视图435、〔将面面垂直转变为线面垂直〕如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PD ABCD ⊥底面，点E 在棱PB 上.〔Ⅰ〕求证：平面AEC PDB ⊥平面；9、如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，a AD AA ==1，a AB 2=，E 、F 分别为11C D 、11D A 的中点．〔Ⅰ〕求证：⊥DE 平面BCE ；〔Ⅱ〕求证：//AF 平面BDE ．ABDC1A1B1C1DEF10、如下列图，四棱锥P-ABCD 底面是直角梯形，,,,2,BA AD CD AD CD AB PA ⊥⊥=⊥底面ABCD ，E 为PC 的中点。

几何证明和计算(学生)

几何计算与证明【知识梳理】1. 几何计算题，是以计算为主线综合各种几何知识的问题，在近年中考试卷中占有相当的分量. 这类问题的主要特点是包含知识点多、覆盖面广、逻辑关系复杂、解法灵活，考查方式偏重于考查考生分析问题、探究问题、综合应用数学知识解决实际问题的能力，要求熟练掌握三角形、四边形、相似形、三角函数、圆等几何知识，较熟练地应用转化思想、方程思想、分类讨论思想、数形结合思想等常见的数学思想.解题时必须在充分利用几何图形的性质及题设的基础上，挖掘几何图形中隐含的数量关系和位置关系，在复杂的“背景”下辨认、分解基本图形，或通过添加辅助线补全、构造基本图形，并善于联想所学知识，突破思维障碍，合理运用方程等各种数学思想才能解决.2. 几何证明题主要考查学生对定义、定理的理解以及应用定义、定理进行逻辑推理的能力.通常要求证明线段之间的数量关系、角之间的数量关系、直线之间的位置关系，以及图形(三角形)之间的全等、相似关系、圆知识的证明等.证明时，既要掌握从结果出发进行分析，又要学会从条件出发进行联想，更要熟练掌握一些重要的定理，如等腰三角形的“三线合一”、角平分线及中垂线定理和逆定理、三角形相似的判定与性质定理等.【例题精讲】例1.已知：如图一，线段AC 与BD 相交于点O ，联结AB 、DC ，点E 为OB 的中点，点F 为OC 的中点，联结EF ．（1）添加条件∠A ＝∠D ，∠OEF ＝∠OFE ，求证：AB ＝DC ；（2）分别将“∠A ＝∠D ”记为①，“∠OEF ＝∠OFE ”记为②，“AB ＝DC ”记为③．添加条件①、③，以②为结论构成命题1；添加条件②、③，以①为结论构成命题2，命题1是命题，命题2是命题（选择“真”或“假”填入空格）．例2．如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，连结PA 、PB 、PC ，•以BP 为边作∠PBQ ＝60°，且BQ ＝BP ，连结CQ ．（1）观察并猜想AP 与CQ 之间的大小关系，并证明你的结论．（2）若PA ：PB ：PC ＝3：4：5，连结PQ ，试判断△PQC 的形状，并说明理由．（图一）A C BD O FE例3.已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD（如图一所示），∠BAD的平分线AE交BC于点E，连结DE．（1）在图一中，用尺规作∠BAD的平分线AE（保留作图痕迹，不写作法），并证明四边形ABED是菱形；（2）若∠ABC＝60°，EC＝2BE，求证：ED⊥DC．（2010年上海市学业试题）例4.如图，在ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB 交CB的延长线于G．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论．例5.己知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD，∠BAF =∠DAE，AE与BD交于点G．（1）求证：=BE DF（2）当要DFFC=ADDF时，求证：四边形BEFG是平行四边形．（图一）BACDDEB【当堂检测】1. 已知：如图一，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ， CA 平分∠BCD ．DE ∥AC ，交BC 的延长线于点E ， ∠B ＝2∠E ．（1）求证：AB ＝DC ；（2）若tanB ＝2，ABBC 的长．（2007年上海市学业考试试题）2. 已知：如图二，在△ABC 中，AD 是边BC 上的高，点E 为边AC 的中点，BC ＝14，AD ＝12， sinB ＝54．求：（1）线段DC 的长；（2）tan ∠EDC 的值．（2006年上海市学业试题）3. 已知：如图三，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，点E 是BD 延长线上的点，且△ACE 是等边三角形．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）若∠AED ＝2∠EAD ，求证：四边形ABCD 是正方形．（图一） DECAB（图二）ACDBE（图三）ADBC OE4. 如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AB ＝DC ，过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，并延长DE 至F ，使EF ＝DE ．联结BF 、CD 、AC ．（1）求证：四边形ABFC 是平行四边形；（2）如果DE 2＝BE ·CE ，求证四边形ABFC 是矩形．5. 如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边BC 上，且AB =AE ．（1）求证：△ABC ≌△EAD ；（2）如果AB ⊥AC ，AB =6，53cos =∠B ，求EC 的长．6. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BCD =90°，BC =DC ，点E 在对角线BD 上，作∠ECF =90°，连接DF，且满足CF =EC ． FD7. 如图，已知正方形ABCD 中，BE 平分DBC ∠且交CD 边与点E ，将BCE ∆绕点C 顺时针旋转到DCF ∆的位置，并延长BE 交DF 于点G （1）求证:DEG BDG ∆∆∽; （2）若EG ·BG=4，求BE 的值8、如图，已知点E 是矩形ABCD 的边CB 延长线上一点，且CE CA =，连结AE ，过点C 作CF AE ⊥，垂足为点F ，连结BF 、FD . （1）求证：FBC ∆≌FAD ∆；（2）连结BD ，若3cos 5FBD ∠=，且10BD =，求FC 的值.【课后练习】1. 如图，△ABC 中，AB=AC ，54cos =∠ABC ，点D 在边BC 上，BD =6，CD=AB .(1) 求AB 的长；(2) 求ADC ∠的正切值.2. 如图，已知B 是线段AE 上一点，ABCD 和BEFG 都是正方形，联结AG、CE ． (1) 求证：AG =CE ；(2) 设CE 与GF 的交点为P，求证：AGPE CG PG =.FFEDCBAF E D C BA F E DC B N M 3. 如图，AD//BC ，点E 、F 在BC 上，∠1=∠2，AF ⊥DE ，垂足为点O. (1)求证:四边形AEFD 是菱形；(2)若BE=EF=FC ，求∠BAD+∠ADC 的度数；(3)若BE=EF=FC ，设AB = m ，CD = n ，求四边形ABCD 的面积.4. 如图8,在菱形ABCD 中，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，垂足为E 、F . （1）求证：△ABE ≌△ADF ；（2）若∠BAE =∠EAF ，求证：AE =BE ；（3）若对角线BD 与AE 、AF 交于点M 、N ，且BM =MN （如图9）.求证：∠EAF =2∠BAE .（图8）（图9）5. 已知：如图，在□ABCD 中，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，CE 、AF 与对角线BD 分别相交于点G 、H ．（1）求证：DH=HG=BG ；（2）如果AD ⊥BD ，求证：四边形EGFH 是菱形．21O D CA6. 如图（1），在△ABC 和△EDC 中，AC ＝CE ＝CB ＝CD ，∠ACB ＝∠ECD ＝90，AB 与CE 交于F ，ED 与AB 、BC 分别交于M 、H ．(1)求证:CF ＝CH ；(2)如图(2)，△ABC 不动，将△EDC 绕点C 旋转到∠BCE =45时，试判断四边形ACDM 是什么四边形？并证明你的结论．（图1）（图2）7. 已知：如图，在ABC Rt ∆中，90=∠BAC °,DE 是直角边AB 的垂直平分线，ABC DBA ∠=∠,连接AD求证：(1) 四边形ADBC 是梯形（2）BC AD 21=8. 已知：如图，在直角梯形ABCD 中，AD // BC ，AB ⊥AD ，BC = CD ，BE ⊥CD ，垂足为点E ，点F 在BD 上，联结AF 、EF ．（1）求证：AD = ED ；（2）如果AF // CD ，求证：四边形ADEF 是菱形．9. 如图，在梯形ABCD 中，AD // BC ，AB = CD = 5，对角线BD 平分∠ABC ，4cos 5C =．（1）求边BC 的长；（2）过点A 作AE ⊥BD ，垂足为点E ，求cot ∠DAE 的值．D CB EA H M F ED C B A F H M C A B C D10. 如图，在Rt △ABC 中，∠BAC = 90°，AD = CD ，点E 是边AC 的中点，联结DE ，DE 的延长线与边BC 相交于点F ，AG // BC ，交DE 于点G ，联结AF 、CG ．（1）求证：AF = BF ；（2）如果AB = AC ，求证：四边形AFCG 是正方形．11. 已知：如图，BE 、BF 分别是ABC ∠与它的邻补角ABD ∠的平分线，AE ⊥BE ，垂足为点E ，AF ⊥BF ，垂足为点F ，EF 分别交边AB 、AC 于点M 和N ．求证：（1）四边形AFBE是矩形；（2）BC MN 21=．12. （厦门）已知□ABCD ，对角线AC 与BD 相交于点O ，点P 在边AD 上，过点P 分别作PE ⊥AC 、PF ⊥BD ，垂足分别为E 、F ，PE ＝PF ．（1）如图10，若PE ＝3，EO ＝1，求∠EPF 的度数；（2）若点P 是AD 的中点，点F 是DO 的中点，BF ＝BC ＋32－4，求BC 的长．A B C DE FG A BFEM ND EF图10ABCDOP。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

1.（2010.长沙）．在正方形ABCD 中，AC 为对角线，E 为AC 上一点，连接EB 、ED ．（1）求证：△BEC ≌△DEC ；
（2）延长BE 交AD 于F ，当∠BED =120°时，求∠EFD 的度数．
2．（2010.株洲）如图，已知平行四边形ABCD ，DE 是ADC ∠的角平分线，交
BC 于点E ．
（1）求证：CD CE =；
（2）若B E C E =，80B ∠=︒，求D A E ∠的度数．
3.（2010.湘潭）如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠D =90o
，AC ⊥BC ，AB =10cm ,BC =6cm ，F 点以2cm ／秒的速度在线段AB 上由A 向B 匀速运动，E 点同时以1cm ／秒的速度在线段BC 上由B 向C 匀速运动，设运动时间为t 秒(0<t<5)．（1）求证：△ACD ∽△BAC ；（2）求DC 的长；
（3）设四边形AFEC 的面积为y ，求y 关于t 的函数关系式，并求出y 的最小值．
B
E
D
C
B
A
4．（2010.黄冈）如图，一个含45°的三角板HBE 的两条直角边与正方形ABCD 的两邻边重合，过E 点作EF ⊥AE 交∠DCE 的角平分线于F 点，试探究线段AE 与EF 的数量关系，并说明理由。

5.(2010．湖北十堰) 如图，△ABC 中，AB =AC ，BD ⊥AC ，CE ⊥AB .
求证：BD =CE .
6.(2010.湖北咸宁) 问题背景
（1）如图1，△ABC 中，DE ∥BC 分别交AB ，AC 于D ，E
过点E 作EF ∥AB 交BC 于点F ．请按图示数据填空：
四边形DBFE 的面积S = ， △EFC 的面积1S = ， △ADE 的面积2S = ．
探究发现
（2）在（1）中，若BF a =，FC b =，DE 与BC 间的距离为h ．请证明2124S S S =．拓展迁移
（3）如图2，□DEFG 的四个顶点在△ABC 的三边上，若 △ADG 、△DBE 、△GFC 的面积分别为2、5、3，试利用．．（2．）中的结论．．．．求△ABC 的面积．
A
B C D E
B
C
D
G
F E 图2
A 图1
6
7. (2010.湖北武汉) 如图。

点B ，F ，C ，E 在同一条直线上，点A ，D 在直线BE 的两侧，AB //DE ，AC //DF ，BF =CE 。

求证：AC =DF 。

8.(2010.湖北恩施) 如图，已知，在ABCD 中，AE=CF ，M 、N 分别是DE 、BF 的中点.
求证：四边形MFNE 是平行四边形 .
9．(2010.昆明) 如图，点B 、D 、C 、F 在一条直线上，且BC = FD ，AB = EF.
（1）请你只添加一个条件（不再加辅助线），使△ABC ≌△EFD ，你添加的条件
是；
（2）添加了条件后，证明△ABC ≌△EFD.
10．（2010.昆明）已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠DCB = 90°，E 是
AD 的中点，点P 是BC 边上的动点（不与点B 重合），EP 与BD 相交于点O. （1）当P 点在BC 边上运动时，求证：△BOP ∽△DOE ；
（2）设（1）中的相似比为k k ，若AD ︰BC = 2︰3. 请探究：当k 为下列三种情况时，
四边形ABPE 是什么四边形？①当k k = 1时，是；②当k k = 2时，是；③当k k = 3时，是 . 并证明．．．k ．k = 2时的结论.
D E
F A B C
F
A
B C D
E
A
B
C D
E P
O
11.（2010.北京）已知：如图，点A 、B 、C 、D 在同一条直线上，EA ⊥AD ， FD ⊥AD ，AE =DF ，AB =DC 。

求证：∠ACE =∠DBF 。

12．（2010.重庆）已知：如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°．点E 是DC 的中点，过点E 作DC 的垂线交AB 于点P ，交CB 的延长线于点M ．点F 在线段ME 上，且满足CF ＝AD ，MF ＝MA ．（1）若∠MFC ＝120°，求证：AM ＝2MB ；
（2）求证：∠MPB ＝90°－ 1
2 ∠FCM ．
13.（2010.珠海）如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，连接DE ，F 为线段DE 上一点，且∠AFE ＝∠B. (1) 求证：△ADF ∽△DEC
(2) 若AB ＝4,AD ＝33,AE ＝3,求AF 的长.
14. (2010.浙江) 已知：如图，E ，F 分别是
ABCD 的边AD ，BC 的中点．
求证：AF =CE ．
15.（2010.山东德州）如图，点E ，F 在BC 上，BE ＝CF ，∠A
＝∠D ，∠B ＝∠C ， AF 与DE 交于点O ．
(1)求证：AB ＝DC ；
(2)试判断△OEF 的形状，并说明理由．
A
C
D
E
F
A
D
E
F
B
C
A
D B E
F C
O。