山西省朔州市怀仁县怀仁一中云东校区2019-2020学年高一期末考试数学(文)试卷

文科数学一选择题（每小题5分，共60分）1 已知集合P＝{x|x2－2x≥0}，Q＝{x|1＜x≤2}，则(∁R P)∩Q等于() A．[0,1) B．(0,2] C．(1,2) D．[1,2]2. 若sin α＜0且tan α＞0，则α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角3.下列函数中，既是偶函数又存在零点的是()A．y＝cos x B．y＝sin x C．y＝ln x D．y＝x2＋14 . 若函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在区间[0，π3]上单调递增，在区间[π3，π2]上单调递减，则ω等于()A.23 B.32C．2 D．35 函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝e x关于y轴对称，则f(x)的解析式为()A．f(x)＝e x＋1B．f(x)＝e x－1 C．f(x)＝e－x＋1D．f(x)＝e－x－16 函数f(x)＝a x－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是() A．a>1，b<0 B．a>1，b>0 C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<07 若log a(a2＋1)<log a2a<0，则a的取值范围是()A．(0,1) B．(0，12) C．(12，1) D．(0,1)∪(1，＋∞)8 已知向量a，b的夹角为60°，且|a|＝2，|b|＝1，则向量a与向量a＋2b的夹角等于()A ．150°B ．90°C ．60°D ．30°9．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若P A →＝(4,3)，PQ→＝(1,5)，则BC →等于( ) A ．(－2,7) B ．(－6,21) C ．(2，－7) D ．(6，－21)10 某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n 等于( )A.13B.12C.10D.911 在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11等于( )A ．58B ．88C ．143D ．17612. 数列{a n }的通项公式为a n ＝n cos n π2，其前n 项和为S n ，则S 2 017＝.A ．1008B ．1007C ．1006D ．1009二 填空题（每题5分，共20分。

）13 设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧ x ＋2≥0，x －y ＋3≥0，2x ＋y －3≤0，则目标函数z ＝x ＋6y 的最大值14若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝___时，{a n }的前n 项和最大．15 若α、β是锐角，且sin α－sin β＝－12，cos α－cos β＝12，则tan(α－β)＝________.16已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m ，使得AB→＋AC →＝mAM →成立，则m ＝________.三、解答题（本大题共6道题，共70分。

）17（10分）)已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值和最小值． 18（ 12分） 四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB ＝1，BC ＝3，CD ＝DA ＝2.(1)求C 和BD ；(2)求四边形ABCD 的面积．19（12分）设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2.(1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式．20（ 12分） 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知A ＝π4，b 2－a 2＝12c 2.(1)求tan C 的值；(2)若△ABC 的面积为3，求b 的值．21 （ 12分）设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q ，已知b 1＝a 1，b 2＝2，q ＝d ，S 10＝100.(1) 求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2) 当d >1时，记c n ＝a n b n，求数列{c n }的前n 项和T n . 22 （ 12分）已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ，34，b ＝(cos x ，－1)． (1)当a ∥b 时，求cos 2x －sin 2x 的值；(2)设函数f(x)＝2(a＋b)·b，已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝3，b＝2，sin B＝63，求f(x)＋4cos⎝⎛⎭⎪⎫2A＋π6⎝⎛⎭⎪⎫x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3的取值范围．文科数学答案选做题（1—12）CCA B D DCDBA BA填空题 13 18 14. 8 , 15.－73, 16. 3 17(10分）解 (1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x 2－1－cos ⎝⎛⎭⎫2x －π32＝12⎝⎛⎭⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上是增函数，且f ⎝⎛⎭⎫－π3＝－14， f ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12，f ⎝⎛⎭⎫π4＝34，所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12. 18（12分） 解 (1)由题设A 与C 互补及余弦定理得 BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ＝13－12cos C ，①BD 2＝AB 2＋DA 2－2AB ·DA cos A ＝5＋4cos C ．②由①②得cos C ＝12，BD ＝7，因为C 为三角形内角，故C ＝60°. (2)四边形ABCD 的面积S ＝12AB ·DA sin A ＋12BC ·CD sin C ＝⎝⎛⎭⎫12×1×2＋12×3×2sin 60°＝2 3. 19 （12分）证明 由a 1＝1及S n ＋1＝4a n ＋2，有a 1＋a 2＝S 2＝4a 1＋2. ∴a 2＝5，∴b 1＝a 2－2a 1＝3. 又⎩⎪⎨⎪⎧S n ＋1＝4a n ＋2， ①S n ＝4a n －1＋2 (n ≥2)， ② ①－②，得a n ＋1＝4a n －4a n －1 (n ≥2)，∴a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1) (n ≥2)．∵b n ＝a n ＋1－2a n ，∴b n ＝2b n －1 (n ≥2)，故{b n }是首项b 1＝3，公比为2的等比数列．(2)解 由(1)知b n ＝a n ＋1－2a n ＝3·2n －1，∴a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝34， 故{a n 2n }是首项为12，公差为34的等差数列． ∴a n 2n ＝12＋(n －1)·34＝3n －14， 故a n ＝(3n －1)·2n －2..20（12分）解 (1)由b 2－a 2＝12c 2及正弦定理得 sin 2B －12＝12sin 2C . 所以－cos 2B ＝sin 2C .①又由A ＝π4，即B ＋C ＝34π，得 －cos 2B ＝－cos2⎝⎛⎭⎫34π－C＝－cos ⎝⎛⎭⎫32π－2C＝sin 2C ＝2sin C cos C ，②由①②解得tan C ＝2.(2)由tan C ＝2，C ∈(0，π)得sin C ＝255，cos C ＝55， 因为sin B ＝sin(A ＋C )＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C ， 所以sin B ＝31010， 由正弦定理得c ＝223b ， 又因为A ＝π4，12bc sin A ＝3， 所以bc ＝62，故b ＝3.21（12分） 解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 10a 1＋45d ＝100，a 1d ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋9d ＝20，a 1d ＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝9，d ＝29.故⎩⎪⎨⎪⎧ a n ＝2n －1，b n ＝2n －1，或⎩⎨⎧ a n ＝19(2n ＋79)，b n ＝9·⎝⎛⎭⎫29n －1.(2)由d >1，知a n ＝2n －1，b n ＝2n －1，故c n ＝2n －12n －1，于是 T n ＝1＋32＋522＋723＋924＋…＋2n －12n －1，①12T n ＝12＋322＋523＋724＋925＋…＋2n －12n .② ①－②可得12T n ＝2＋12＋122＋…＋12n －2－2n －12n ＝3－2n ＋32n ， 故T n ＝6－2n ＋32n －1.22（12分）解 (1)因为a ∥b ，所以34cos x ＋sin x ＝0， 所以tan x ＝－34. cos 2x －sin 2x ＝cos 2x －2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝1－2tan x 1＋tan 2x ＝85. (2)f (x )＝2(a ＋b )·b ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋32. 由正弦定理a sin A ＝b sin B，得 sin A ＝22，所以A ＝π4，或A ＝3π4. 因为b ＞a ，所以A ＝π4. f (x )＋4cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－12， 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，所以2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，11π12， 32－1≤f (x )＋4cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6≤2－12. ∴所求范围是⎣⎡⎦⎤32－1，2－12.。