2019版高考数学二轮复习第1篇专题8函数与导数第2讲小题考法__基本初等函数函数与方程学案
2019高考数学二轮复习函数与导数、不等式第二讲小题考法——基本初等函数、函数与方程、函数模型的应用课件
有唯一零点，则 a＝
()
A.－12
1
1
B.3
C.2
D.1
[解析] 由 f(x)＝0⇔a(ex－1＋e－x＋1)＝－x2＋2x.
ex－1＋e－x＋1≥2 ex－1·e－x＋1＝2，当且仅当 x＝1 时等号成立．
－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，当且仅当 x＝1 时等号成立．
若 a>0，则 a(ex－1＋e－x＋1)≥2a，
∴x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k.
∵2x－3y＝2log2k－3log3k＝log2k2－log3k3
＝2logk3－3logk2＝logk32－logk23
logk2·logk3
logk2·logk3
9 ＝loglko2g·lko8gk3>0，∴2x>3y；
∵3y－5z＝3log3k－5log5k＝log3k3－log5k5
考点(三) 函数模型的应用
主要考查利用给定的函数模型解决简单的实际问题.
[典例感悟] [典例] (1)(2018·开封模拟)李冶(1192～1279)，真定栾城(今
河北省石家庄市)人，金元时期的数学家、诗人，晚年在封龙山
隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图
形问题：求圆的直径、正方形的边长等．其中一问：现有正方
[演练冲关]
1．(2017·北京高考)已知函数f(x)＝3x－13x，则f(x)
(
)
A．是奇函数，且在R 上是增函数
B．是偶函数，且在R 上是增函数
C．是奇函数，且在R 上是减函数
D．是偶函数，且在R 上是减函数
解析：因为f(x)＝3x－
1 3
x，且定义域为R
2019年高考数学基本初等函数、导数及其应用复习指导(最适用、最详细)
2019年高考数学基本初等函数、导数及其应用复习指导第一节函数及其表示教材细梳理1．函数与映射函数由定义域、对应关系和值域三个要素构成，对函数y＝f(x)，x∈A，其中(1)定义域：自变量x的取值范围．(2)值域：函数值的集合{f(x)|x∈A}．[易错易混]函数的定义域必须写成集合或区间的形式，不能直接用不等式表示．3．函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法．4．分段函数若函数在定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．[易错易混]1．分段函数是一个函数，切不可把它看作几个函数．分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式．2．分段函数是为了研究问题的需要而进行的分类讨论，相当于求“并集”，不可与方程组或不等式组的求“交集”相混淆．知识微思考1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数是建立在其定义域到值域的映射．( )(2)函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a 最多有2个交点．( ) (3)函数f (x )＝x 2－2x 与g (t )＝t 2－2t 是同一函数．( )(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．( ) (5)若A ＝R ，B ＝{x |x ＞0}，f ：x →y ＝|x |，其对应是从A 到B 的映射．( ) (6)分段函数是由两个或几个函数组成的．( )(7)分段函数的定义域等于各段定义域的并集，值域等于各段值域的并集．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)× (6)× (7)√ 2．函数定义中的集合B 与函数的值域有什么关系？提示：函数的值域C ：{y |y ＝f (x )，x ∈A }是集合B 的子集．即C ⊆B .四基精演练1．(必修1·1.2例(1)改编)函数f (x )＝2x －1＋1x －2的定义域为( )A ．[0,2)B ．(2，＋∞)C ．[0,2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)解析：选C.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，x －2≠0，解得x ≥0且x ≠2.2．(必修1·习题1.2B 组改编)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )解析：选B.选项A ，定义域为{x |－2≤x ≤0}，不正确．选项C ，当x 在(－2,2]取值时，y 有两个值和x 对应，不符合函数的概念．选项D ，值域为[0,1]，不正确，选项B 正确．3．(必修1·1.2例2改编)下列函数中，与函数y ＝x ＋1是相等函数的是( ) A ．y ＝(x ＋1)2 B ．y ＝3x 3＋1 C ．y ＝x 2x＋1D ．y ＝x 2＋1解析：选B.对于A ，函数y ＝(x ＋1)2的定义域为{x |x ≥－1}，与函数y ＝x ＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B ，定义域和对应关系都相同，是相等函数；对于C ，函数y ＝x 2x ＋1的定义域为{x |x ≠0}，与函数y ＝x ＋1的定义域不同，不是相等函数；对于D ，定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数．4．(2017·高考全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x ＞0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＞1的x 的取值范围是________．解析：由题意知，可对不等式分x ≤0,0<x ≤12，x >12三段讨论．当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12>1，解得x >－14，∴－14<x ≤0.当0<x ≤12时，原不等式为2x ＋x ＋12>1，显然成立．当x >12时，原不等式为2x ＋2x －12>1，显然成立．综上可知，x >－14.答案：⎝⎛⎭⎫－14，＋∞ 5．(实践题)(教材习题改编)一个圆柱形容器的底面半径是Rcm ，高是h cm ，现在以v cm 2/s 的速度向容器内注入某溶液，则容器内溶液的高度x (cm)和注入溶液的时间t (s)的函数解析式为________，其定义域为________．答案：x ＝v πR 2t ，⎣⎡⎦⎤0，πR 2h v考点一 求函数的定义域[简单型]——提升数学运算能力函数定义域的求解策略1．已知函数解析式：构造使解析式有意义的不等式(组)求解． 2．实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解． 3．抽象函数：(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域． [易错提醒]1．不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化．2．定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．1．(2018·山东临沂模拟)函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为( ) A ．(0,1) B ．[0,1]C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，0]∪[1，＋∞)解析：选C.由题意知，x 2－x ＞0，即x ＜0或x ＞1.则函数的定义域为(－∞，0)∪(1，＋∞)，故选C.2．(2017·贵州贵阳监测)函数y ＝1－x 22x 2－3x －2的定义域为( )A ．(－∞，1]B ．[－1,1]C ．[1,2)∪(2，＋∞) D.⎣⎡⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎦⎤－12，1 解析：选 D.由函数y ＝1－x 22x 2－3x －2得⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，2x 2－3x －2≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x ≠2且x ≠－12，即－1≤x ≤1且x ≠－12，所以所求函数的定义域为⎣⎡⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎦⎤－12，1，故选D.3．若函数y ＝f (x )的定义域是[1，2 019]，则函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域是( )A ．[0,2 018]B ．[0,1)∪(1,2 018]C ．(1,2 019]D ．[－1,1)∪(1,2 018]解析：选B.令t ＝x ＋1，则由已知函数的定义域为[1，2 019]，可知1≤t ≤2 019.要使函数f (x ＋1)有意义，则有1≤x ＋1≤2 019，解得0≤x ≤2 018，故函数f (x ＋1)的定义域为[0,2018]．所以使函数g (x )有意义的条件是⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2 018，x －1≠0，解得0≤x ＜1或1＜x ≤2 018.故函数g (x )的定义域为[0,1)∪(1,2 018]．考点二 求函数的解析式[探究型]——提升数学运算能力[例1] (1)已知二次函数f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5，则f (x )＝________. 解析：法一(换元法)： 令2x ＋1＝t (t ∈R )，则x ＝t －12，所以f (t )＝4⎝⎛⎭⎪⎫t －122－6×t －12＋5＝t 2－5t ＋9(t ∈R )， 所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R )． 法二(配凑法)：因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5 ＝(2x ＋1)2－10x ＋4 ＝(2x ＋1)2－5(2x ＋1)＋9， 所以f (x )＝x 2－5x ＋9. 法三(待定系数法)： 因为f (x )是二次函数，所以设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f (2x ＋1)＝a (2x ＋1)2＋b (2x ＋1)＋c ＝4ax 2＋(4a ＋2b )x ＋a ＋b ＋c . 因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5，所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝－6，a ＋b ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－5，c ＝9，所以f (x )＝x 2－5x ＋9. 答案：x 2－5x ＋9(2)已知f (x )满足2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，则f (x )＝________. 解析：因为2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，① 所以将x 用1x 替换，得2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝3x ，② 由①②解得f (x )＝2x －1x (x ≠0)，即f (x )的解析式是f (x )＝2x －1x (x ≠0)．答案：2x －1x(x ≠0)(3)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.解析：∵－1≤x ≤0，∴0≤x ＋1≤1， ∴f (x )＝12f (x ＋1)＝12(x ＋1)[1－(x ＋1)]＝－12x (x ＋1)．答案：－12x (x ＋1)[母题变式]1．若本例(1)中条件变为f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )＝________.解析：设t ＝x ＋1，则x ＝(t －1)2(t ≥1)，代入原式有f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－2t ＋1＋2t －2＝t 2－1.故f (x )＝x 2－1(x ≥1)． 答案：x 2－1(x ≥1)2．若本例(2)中条件变为2f (x )＋f (－x )＝3x ，则f (x )＝________. 解析：因为2f (x )＋f (－x )＝3x ，①所以将x 用－x 替换，得2f (－x )＋f (x )＝－3x ，② 由①②解得f (x )＝3x ， 即f (x )的解析式是f (x )＝3x . 答案：3x求函数解析式的常见方法1．待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，根据函数类型设出函数解析式，由题设条件，列出方程组，解出待定系数即可．2．换元法：已知f (h (x ))＝g (x )求f (x )时，往往可设h (x )＝t ，从中解出x ，代入g (x )进行换元，求出f (t )的解析式，再将t 替换为x 即可．3．转化法：已知某区间上的解析式，求其他区间上的解析式，将待求变量转化到已知区间上，利用函数满足的等量关系间接获得其解析式．4．消去法：已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x (或f (－x ))的方程式，可根据已知条件再构造出另一个方程式构成方程组求出f (x )．考点三 分段函数[高频型]——提升数学运算、发展逻辑推理[例2] (2018·陕西师大附中模拟)若函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(4－x )，x ≤0，f (x －1)－f (x －2)，x ＞0，则f (3)的值为( )A ．－1B ．－2C ．1D ．2解析：依题意，f (3)＝f (3－1)－f (3－2)＝f (2)－f (1)，又2＞0，所以f (2)＝f (2－1)－f (2－2)＝f (1)－f (0)，所以f (3)＝f (1)－f (0)－f (1)＝－f (0)，又f (0)＝log 2(4－0)＝2，所以f (3)＝－f (0)＝－2. 答案：B[例3] (2016·高考江苏卷)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x ＜0，⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x ＜1，其中a ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫92，则f (5a )的值是________． 解析：由题意可得f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－12＋a ， f ⎝⎛⎭⎫92＝f ⎝⎛⎭⎫12＝⎪⎪⎪⎪25－12＝110， 则－12＋a ＝110，解得a ＝35，于是f (5a )＝f (3)＝f (－1)＝－1＋35＝－25.答案：－251．求分段函数的函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．2．求某条件下自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量是否满足相应段自变量的取值范围．1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2，x ≤0，－log 3x ，x ＞0，且f (a )＝－2，则f (7－a )＝( )A ．－log 37B ．－34C ．－54D ．－74解析：选D.当a ≤0时，2a －2＝－2无解；当a ＞0时，由－log 3a ＝－2，解得a ＝9，所以f (7－a )＝f (－2)＝2－2－2＝－74.2．(2018·山东烟台二模)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为( )A ．－32B ．－34C ．－32或－34D ．32或－34解析：选B.当a ＞0时，1－a ＜1,1＋a ＞1.由f (1－a )＝f (1＋a )得2－2a ＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－32，不合题意；当a ＜0时，1－a ＞1,1＋a ＜1，由f (1－a )＝f (1＋a )得－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ，解得a ＝－34，所以a 的值为－34，故选B.发展数学建模、数学运算(应用型)模型 求解与分段函数有关的不等式分段函数与函数性质，不等式的交汇是高考的热点．求分段函数自变量的取值范围时，应根据每一段解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．[例4] (1)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ＜0，－x 2，x ≥0，若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f (a )＜0，f 2(a )＋f (a )≤2或⎩⎪⎨⎪⎧ f (a )≥0，－f 2(a )≤2，解得f (a )≥－2.由⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，a 2＋a ≥－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，－a 2≥－2，解得a ≤ 2. 答案：(－∞，2](2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x ，x ≥1.则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤23，1 B ．[0,1] C.⎣⎡⎭⎫23，＋∞D ．[1，＋∞)解析：当a ＝2时，f (2)＝4，f (f (2))＝f (4)＝24， 显然f (f (2))＝2f (2)，故排除A ，B.当a ＝23时，f ⎝⎛⎭⎫23＝3×23－1＝1，f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫23＝f (1)＝21＝2.显然f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫23＝2f ⎝⎛⎭⎫23.故排除D.选C.答案：C课时规范训练(限时练·夯基练·提能练)A 级 基础夯实练(25分钟，50分)1．(2018·河南濮阳检测)函数f (x )＝log 2(1－2x )＋1x ＋1的定义域为( )A.⎝⎛⎭⎫0，12 B ．⎝⎛⎭⎫－∞，12 C ．(－1,0)∪⎝⎛⎭⎫0，12 D ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫－1，12 解析：选D.要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ＞0，x ＋1≠0，解得x ＜12且x ≠－1，故函数的定义域为(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫－1，12. 2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (－x )，x ＞2，ax ＋1，－2≤x ≤2，f (x ＋5)，x ＜－2，若f (2 019)＝0，则a ＝( )A ．0B ．－1C ．1D ．－2解析：选B.由于f (2 019)＝f (－2 019)＝f (－404×5＋1)＝f (1)＝a ＋1＝0，故a ＝－1. 3．(2018·山西太原二模)若函数f (x )满足f (1－ln x )＝1x ，则f (2)等于( )A.12 B ．e C.1eD ．－1解析：选B.法一：令1－ln x ＝t ，则x ＝e 1－t ，于是f (t )＝1e 1－t，即f (x )＝1e 1－x ，故f (2)＝e.法二：由1－ln x ＝2，得x ＝1e ，这时1x ＝11e ＝e ，即f (2)＝e.4．已知函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫2x ＋|x |＝log 2x |x |，则f (x )的解析式是( )A ．f (x )＝log 2xB ．f (x )＝－log 2xC ．f (x )＝2－xD ．f (x )＝x －2解析：选B.根据题意知x ＞0，所以f ⎝⎛⎭⎫1x ＝log 2x ，则f (x )＝log 21x ＝－log 2x . 5．下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝－x解析：选C.显然选项A ，D 满足，对于选项B ，f (2x )＝2x －|2x |＝2(x －|x |)＝2f (x )，也满足；对于选项C ，令x ＝3，则f (2x )＝f (6)＝7,2f (x )＝2f (3)＝2(3＋1)＝8，故函数f (x )＝x ＋1不满足f (2x )＝2f (x )．6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ，x ＜1，2x ， x ≥1.若f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫56＝4，则b ＝( ) A ．1 B ．78C.34D ．12解析：选D.根据分段函数的定义域赋值得到关于b 的方程，求解可得．f ⎝⎛⎭⎫56＝3×56－b ＝52－b ，若52－b ＜1，即b ＞32，则3×⎝⎛⎭⎫52－b －b ＝152－4b ＝4，解得b ＝78，不符合题意，舍去；若52－b ≥1，即b ≤32，则2５２－b ＝4，解得b ＝12.7．(2018·石家庄模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－cos πx ，x ＞0，f (x ＋1)＋1，x ≤0，则f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43的值等于( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．－2解析：选C.f ⎝⎛⎭⎫43＝－cos 4π3＝cos π3＝12；f ⎝⎛⎭⎫－43＝ f ⎝⎛⎭⎫－13＋1＝f ⎝⎛⎭⎫23＋2＝－cos 2π3＋2＝12＋2＝52. 故f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43＝3.8．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin (πx 2)，－1＜x ＜0，e x －1，x ≥0满足f (1)＋f (a )＝2，则a 的所有可能值为________．解析：因为f (1)＝e 1－1＝1且f (1)＋f (a )＝2， 所以f (a )＝1，当－1＜a ＜0时，f (a )＝sin(πa 2)＝1，∵0＜a 2＜1，∴0＜πa 2＜π，∴πa 2＝π2⇒a ＝－22；当a ≥0时，f (a )＝e a －1＝1⇒a ＝1. 答案：1或－229．若函数y ＝ax ＋1ax 2＋2ax ＋3的定义域为R ，则实数a 的取值范围是________．解析：因为函数y ＝ax ＋1ax 2＋2ax ＋3的定义域为R ，所以ax 2＋2ax ＋3＝0无实数解，即函数y ＝ax 2＋2ax ＋3的图象与x 轴无交点． 当a ＝0时，函数y ＝13的图象与x 轴无交点；当a ≠0时，则Δ＝(2a )2－4·3a ＜0，解得0＜a ＜3. 综上，实数a 的取值范围是[0,3)． 答案：[0,3)10．函数y ＝f (x )的图象如图所示，那么，f (x )的定义域是________；值域是________；其中只与x 的一个值对应的y 值的范围是______________．解析：由图象知，函数y ＝f (x )的图象包括两部分，一部分是以点(－3,2)和(0,4)为两个端点的一条曲线段，一部分是以(2,1)为起点，到(3,5)结束的曲线段，故其定义域是[－3,0]∪[2,3]，值域为[1,5]，只与x 的一个值对应的y 值的取值范围是[1,2)∪(4,5]．答案：[－3,0]∪[2,3] [1,5] [1,2)∪(4,5]B 级 能力升级练(20分钟，30分)1．(2018·山东潍坊调研)根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎨⎧cx，x ＜A ，cA ，x ≥A ，(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,16解析：选D.∵c A＝15，故A ＞4，则有c2＝30，解得c ＝60，A ＝16，故选D.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－⎝⎛⎭⎫12x ，a ≤x ＜0，－x 2＋2x ，0≤x ≤4的值域是[－8,1]，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3]B ．[－3,0)C ．[－3，－1]D ．{－3}解析：选B.当0≤x ≤4时，f (x )∈[－8,1]；当a ≤x ＜0时，f (x )∈⎣⎡⎭⎫－⎝⎛⎭⎫12a ，－1， 所以⎣⎡⎭⎫－12a ，－1⊆[－8,1]，－8≤－12a ＜－1. 即－3≤a ＜0.3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －1，(－1≤x ＜0)，－x ＋1，(0＜x ≤1)，则f (x )－f (－x )＞－1的解集为( )A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B.⎣⎡⎭⎫－1，－12∪(0,1] C ．(－∞，0)∪(1，＋∞) D.⎣⎡⎦⎤－1，－12∪(0,1) 解析：选B.①当－1≤x ＜0时，0＜－x ≤1， 此时f (x )＝－x －1，f (－x )＝－(－x )＋1＝x ＋1， ∴f (x )－f (－x )＞－1化为－2x －2＞－1， 解得x ＜－12，则－1≤x ＜－12.②当0＜x ≤1时，－1≤－x ＜0，此时，f (x )＝－x ＋1，f (－x )＝－(－x )－1＝x －1， ∴f (x )－f (－x )＞－1化为－2x ＋2＞－1， 解得x ＜32，则0＜x ≤1.故所求不等式的解集为⎣⎡⎭⎫－1，－12∪(0,1]． 4．(2018·陕西西安模拟)设函数y ＝f (x )在R 上有定义，对于给定的正数M ，定义函数f M (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤M ，M ，f (x )＞M ，则称函数f M (x )为f (x )的“孪生函数”．若给定函数f (x )＝2－x 2，M ＝1，则f M (0)的值为( )A ．2B ．1 C. 2D ．－ 2解析：选B.由题意，令f (x )＝2－x 2＝1，得x ＝±1，因此当x ≤－1或x ≥1时，f M (x )＝2－x 2；当－1＜x ＜1时，f M (x )＝1，所以f M (0)＝1，选B.5．(2018·福州模拟)已知函数f (x )＝4|x |＋2－1的定义域是[a ，b ]，(a ，b ∈Z )，值域是[0,1]，则满足条件的整数数对(a ，b )共有________个．解析：由0≤4|x |＋2－1≤1，即1≤4|x |＋2≤2，得0≤|x |≤2，满足条件的整数数对有(－2,0)，(－2,1)，(－2,2)，(0,2)，(－1,2)，共5个．答案：56．(2018·吉林四地联考)设集合A ＝⎣⎡⎭⎫0，12，B ＝⎣⎡⎦⎤12，1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12，x ∈A ，2(1－x )，x ∈B .若x 0∈A ，且f [f (x 0)]∈A ，则x 0的取值范围是________．解析：∵0≤x 0＜12，∴f (x 0)＝x 0＋12∈⎣⎡⎭⎫12，1B ，∴f [f (x 0)]＝2(1－f (x 0))＝2⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫x 0＋12 ＝2⎝⎛⎭⎫12－x 0.∵f [f (x 0)]∈A ，∴0≤2⎝⎛⎭⎫12－x 0＜12. ∴14＜x 0≤12， 又∵0≤x 0＜12，故14＜x 0＜12.答案：14＜x 0＜12第二节 函数的单调性与最值教材细梳理1．函数的单调性 (1)单调函数的定义[易错易混] 从单调函数的定义可以看出，函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的．有的函数在其定义域的一个区间上是增函数，而在另一个区间上不是增函数．例如，函数y ＝x 2，当x ∈[0，＋∞)时是增函数，当x ∈(－∞，0]时是减函数．(2)函数单调性的常用结论①若f (x )，g (x )均是区间A 上的增(减)函数，则f (x )＋g (x )也是区间A 上的增(减)函数； ②若k >0，则kf (x )与f (x )单调性相同；若k <0，则kf (x )与f (x )单调性相反； ③函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1f (x )的单调性相反； ④函数y ＝f (x )(f (x )≥0)在公共定义域内与y ＝f (x )的单调性相同． 2．函数的最值1．下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( )(2)对于函数f (x )，x ∈D ，若x 1，x 2∈D ，且(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]＞0，则函数f (x )在D 上是增函数．( )(3)函数y ＝|x |是R 上的增函数．( )(4)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．( ) (5)函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是(0，＋∞)．( ) (6)函数y ＝1－x 21＋x 2的最大值为1.( )答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√2．“函数f (x )的单调区间”与“函数f (x )在某区间上单调”的区别是什么？提示：前者是指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集． 3．在最大值、最小值的定义中，条件(2)能否去掉？为什么？提示：不能，因为去掉后不能保证M 是一个函数值，即存在一个x 0∈I ，使M ＝f (x 0)，最大值、最小值必须是函数值中的最大值、最小值．四基精演练1．(必修1·习题1.3A 组改编)一次函数y ＝kx ＋b 在R 上是增函数，则k 的范围为( ) A ．k ＞0 B ．k ≥0 C ．k ＜0 D ．k ≤0答案：A2．(2017·高考全国卷Ⅱ)函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，1) C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞) 解析：选D.由x 2－2x －8＞0可得x ＞4或x ＜－2， 所以x ∈(－∞，－2)∪(4，＋∞)，令u ＝x 2－2x －8，则其在x ∈(－∞，－2)上单调递减，在x ∈(4，＋∞)上单调递增．又因为y ＝ln u 在u ∈(0，＋∞)上单调递增， 所以y ＝ln(x 2－2x －8)在x ∈(4，＋∞)上单调递增．3．(2016·高考北京卷)下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是( ) A ．y ＝11－xB ．y ＝cos xC ．y ＝ln(x ＋1)D ．y ＝2－x解析：选D.选项A 中，y ＝11－x ＝1－(x －1)的图象是将y ＝－1x 的图象向右平移1个单位得到的，故y ＝11－x 在(－1,1)上为增函数，不符合题意；选项B 中，y ＝cos x 在(－1,0)上为增函数，在(0,1)上为减函数，不符合题意；选项C 中，y ＝ln(x ＋1)的图象是将y ＝ln x 的图象向左平移1个单位得到的，故y ＝ln(x ＋1)在(－1,1)上为增函数，不符合题意；选项D 符合题意．4．(必修1·习题1.3探究改编)若函数f (x )＝1x 在区间[2，a ]上的最大值与最小值的和为34，则a ＝________.解析：由f (x )＝1x 的图象知，f (x )＝1x 在(0，＋∞)上是减函数，∵[2，a ]⊆(0，＋∞)，∴f (x )＝1x 在[2，a ]上也是减函数，∴f (x )max ＝f (2)＝12，f (x )min ＝f (a )＝1a ，∴12＋1a ＝34，∴a ＝4. 答案：45．(实践题)(教材例题改编)“菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂，如果烟花距地面的高度h m 与时间t s 之间的关系式为h (t )＝－t 2＋4t ＋7，那么烟花冲出后________s 是它爆裂的最值时刻．答案：2考点一 利用单调性求最值[简单型]——发展数学运算求函数最值的常用方法1．单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；2．图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；3．换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．1．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，－x 2＋2，x ＜1的最大值为________．解析：当x ≥1时，函数f (x )＝1x 为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x ＜1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2.故函数f (x )的最大值为2.答案：22．已知函数f (x )＝1a －1x (a ＞0，x ＞0)，若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域为[12，2]，则a ＝________. 解析：由反比例函数的性质知函数f (x )＝1a －1x (a ＞0，x ＞0)在⎣⎡⎦⎤12，2上单调递增， 所以⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝⎛⎭⎫12＝12，f (2)＝2，即⎩⎨⎧1a －2＝12，1a －12＝2，解得a ＝25.答案：25考点二 确定函数的单调性(区间)[探究型]——直观想象、逻辑推理[例1] (1)函数f (x )＝－x 2＋2|x |＋1的递减区间为________．解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x ＜0，＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －1)2＋2，x ≥0，－(x ＋1)2＋2，x ＜0.画出函数图象如图所示，可知单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．答案：[－1,0]和[1，＋∞)(2)判断并证明函数f (x )＝ax 2＋1x (其中1＜a ＜3)在[1,2]上的单调性．解：设1≤x 1＜x 2≤2，则 f (x 2)－f (x 1)＝ax 22＋1x 2－ax 21－1x 1 ＝(x 2－x 1)⎣⎡⎦⎤a (x 1＋x 2)－1x 1x 2， 由1≤x 1＜x 2≤2，得x 2－x 1＞0,2＜x 1＋x 2＜4， 1＜x 1x 2＜4，－1＜－1x 1x 2＜－14.又因为1＜a ＜3， 所以2＜a (x 1＋x 2)＜12，得a (x 1＋x 2)－1x 1x 2＞0，从而f (x 2)－f (x 1)＞0，即f (x 2)＞f (x 1)，故当a ∈(1,3)时，f (x )在[1,2]上单|调递增． [母题变式]1．将本例(1)中函数变为f (x )＝|－x 2＋2x ＋1|，如何求解？解析：作出函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的图象如图所示．由图象可知，单调递减区间为(－∞，1－2)和(1,1＋2)．答案：(－∞，1－2)和(1,1＋2)2．若本例(2)中函数变为f (x )＝axx －1(a ≠0)，试判断f (x )在(－1,1)上的单调性．解：法一(定义法)：设－1＜x 1＜x 2＜1， f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x －1，f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 1－1－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－1 ＝a (x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1)，由于－1＜x 1＜x 2＜1， 所以x 2－x 1＞0，x 1－1＜0，x 2－1＜0， 故当a ＞0时，f (x 1)－f (x 2)＞0， 即f (x 1)＞f (x 2)，函数f (x )在(－1,1)上递减；当a ＜0时，f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上递增． 法二(导数法)：f ′(x )＝(ax )′(x －1)－ax (x －1)′(x －1)2＝a (x －1)－ax (x －1)2＝－a(x －1)2， 当a ＞0时，f ′(x )＜0，函数f (x )在(－1,1)上递减； 当a ＜0时，f ′(x )＞0，函数f (x )在(－1,1)上递增．1．判断函数的单调性应先求定义域．2．定义法判断(或证明)函数单调性的一般步骤为：取值—作差—变形—判号—定论，其中变形为关键，而变形的方法有因式分解、配方法等．3．用导数判断函数的单调性简单快捷，应引起足够的重视．4．图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．1．函数f (x )＝lg x 2的单调递减区间是________．解析：函数f (x )是定义域为{x |x ≠0}的偶函数，且f (x )＝lg x 2＝⎩⎪⎨⎪⎧2lg x ，x ＞0，2lg (－x )，x ＜0.函数大致图象如图所示，所以函数的单调递减区间是(－∞，0)．答案：(－∞，0)2．(2018·湖南长沙模拟)设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定的正数k ，定义函数f k (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤k ，k ，f (x )＞k ，取函数f (x )＝2－|x |.当k ＝12时，函数f k (x )的单调递增区间为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞)解析：选C.由f (x )＞12，得－1＜x ＜1，由f (x )≤12，得x ≤－1或x ≥1.所以f 12(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≥1，12，－1＜x ＜1，2x，x ≤－1，故f 12(x )的单调递增区间为(－∞，－1)．考点三 函数单调性的应用[高频型]——发展逻辑推理、提升数学运算[例2] (2018·江西三校联考)已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则( )A ．f (x 1)＜0，f (x 2)＜0B ．f (x 1)＜0，f (x 2)＞0C ．f (x 1)＞0，f (x 2)＜0D ．f (x 1)＞0，f (x 2)＞0 解析：∵函数f (x )＝log 2x ＋11－x 在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0， ∴当x 1∈(1,2)时，f (x 1)＜f (2)＝0， 当x 2∈(2，＋∞)时，f (x 2)＞f (2)＝0， 即f (x 1)＜0，f (x 2)＞0. 答案：B[例3] (2018·青海西宁高三期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)x －1，x ≤1，log ax ，x ＞1，若f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________．解析：要使函数f (x )在R 上单调递增， 则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，a －2＞0，f (1)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，a ＞2，a －2－1≤0，解得2＜a ≤3，即实数a 的取值范围是(2,3]． 答案：(2,3]1．利用函数的单调性比较函数值大小的求解思路比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用函数的性质转化到同一个单调区间内，只需比较自变量的大小，根据单调性比较函数值大小．2．求解含“f ”的函数不等式的解题思路先利用函数的相关性质将不等式转化为f (g (x ))＞f (h (x ))的形式，再根据函数的单调性去掉“f ”，得到一般的不等式g (x )＞h (x )(或g (x )＜h (x ))．提醒：应注意g (x )，h (x )应在函数y ＝f (x )的定义域内． 3．根据函数的单调性求参数的取值范围的常用方法(1)数形结合法：将函数的单调性转化为函数图象的升(降)，再转化为其参数满足的不等式(组)进而求解．(2)导数法：将函数的单调性转化为导函数在某单调区间上恒正(负)问题求解．3．已知偶函数f (x )是定义在[0，＋∞)上的增函数，则满足f (2x －1)＜f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，23 B ．⎣⎡⎭⎫13，23 C.⎝⎛⎭⎫12，23D ．⎣⎡⎭⎫12，23解析：选A.因为f (x )为偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，f (2x －1)＜f ⎝⎛⎭⎫13，故|2x －1|＜13，解得13＜x ＜23. 4．(2018·山东日照模拟)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．( 0,1]解析：选D.由f (x )＝－x 2＋2ax 在[1,2]上是减函数可得[1,2]⊆[a ，＋∞)，∴a ≤1. ∵y ＝1x ＋1在(－1，＋∞)上为减函数，∴由g (x )＝ax ＋1在[1,2]上是减函数可得a ＞0，故0＜a ≤1.故选D.发展数学建模、数学运算(创新型)模型 单调性与抽象函数的创新交汇研究抽象函数的单调性主要利用定义来完成，但变形有一定的技巧性，在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．[例4] 函数f (x )对任意的m 、n ∈R ，都有f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )－1，并且x ＞0时，恒有f (x )＞1.(1)求证：f (x )在R 上是增函数； (2)若f (3)＝4，解不等式f (a 2＋a －5)＜2.解：(1)证明：设x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0， ∵当x ＞0时，f (x )＞1，∴f (x 2－x 1)＞1. f (x 2)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－1， ∴f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)－1＞0⇒f (x 1)＜f (x 2)， ∴f (x )在R 上为增函数． (2)∵m ，n ∈R ，不妨设m ＝n ＝1， ∴f (1＋1)＝f (1)＋f (1)－1⇒f (2)＝2f (1)－1，f (3)＝4⇒f (2＋1)＝4⇒f (2)＋f (1)－1＝4⇒3f (1)－2＝4， ∴f (1)＝2，∴f (a 2＋a －5)＜2＝f (1)， ∵f (x )在R 上为增函数， ∴a 2＋a －5＜1⇒－3＜a ＜2， 即a ∈(－3,2)．课时规范训练(限时练·夯基练·提能练)A 级 基础夯实练(25分钟，50分)1．(2018·河北唐山模拟)下列四个函数中，在区间(0,1)上是减函数的是( ) A ．y ＝log 2x B ．y ＝x 13C ．y ＝－⎝⎛⎭⎫12xD ．y ＝1x解析：选 D.y ＝log 2x在(0，＋∞)上为增函数；y ＝x 13在(0，＋∞)上是增函数；y ＝⎝⎛⎭⎫12x在(0，＋∞)上是减函数，y ＝－⎝⎛⎭⎫12x 在(0，＋∞)上是增函数；y ＝1x 在(0，＋∞)上是减函数，故y ＝1x在(0,1)上是减函数．故选D.2．函数f (x )＝|x －2|x 的单调递减区间是( ) A ．[1,2] B ．[－1,0) C ．[0,2]D ．[2，＋∞)解析：选A.由于f (x )＝|x －2|x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x ＜2.结合图象可知函数的单调递减区间是[1,2]．3．(2018·湖南长沙模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ≥1，x ＋c ，x ＜1，则“c ＝－1”是“函数f (x )在R上递增”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.若函数f (x )在R 上递增，则需log 21≥c ＋1，即c ≤－1.由于c ＝－1⇒c ≤－1，但c ≤－1⇒/c ＝－1，所以“c ＝－1”是“f (x )在R 上递增”的充分不必要条件．4．函数y ＝⎝⎛⎭⎫12的值域为( )A ．(－∞，1)B ．⎝⎛⎭⎫12，1 C.⎣⎡⎭⎫12，1D ．⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 解析：选C.因为x 2≥0，所以x 2＋1≥1，即1x 2＋1∈(0,1]，故y ＝⎝⎛⎭⎫12∈⎣⎡⎭⎫12，1.5．(2018·山东青岛二模)用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值，设f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选C.如图所示，在同一直角坐标系中分别作出y ＝x ＋2，y ＝2x ，y ＝10－x 的图象．根据f (x )的定义知，f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)的图象(如图实线部分)．∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤2，x ＋2，2＜x ＜4，10－x ，x ≥4.令x ＋2＝10－x ，得x ＝4. 当x ＝4时，f (x )取最大值f (4)＝6.6．(2018·广东深圳质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x ＜0，若f (2－a 2)＜f (a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析：选C.作出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x ＜0，的图象，如图，由f (x )的图象可知f (x )在(－∞，＋∞)上是单调增函数，由f (2－a 2)＞f (a )得2－a 2＞a ，即a 2＋a －2＜0，解得－2＜a ＜1.7．(2018·曲师附中月考)已知函数y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c ＜b ＜aB ．b ＜a ＜cC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c解析：选B.∵函数图象关于x ＝1对称，∴a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52，又y ＝f (x )在(1，＋∞)上单调递增，∴f (2)＜f ⎝⎛⎭⎫52＜f (3)，即b ＜a ＜c .8．(2018·厦门质检)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x －log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________． 解析：∵y ＝⎝⎛⎭⎫13x 和y ＝－log 2(x ＋2)都是[－1,1]上的减函数，∴y ＝⎝⎛⎭⎫13x－log 2(x ＋2)是区间[－1,1]上的减函数，∴最大值为f (－1)＝3.答案：39．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，g (x )＝x 2·f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________．解析：由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ＞1，0，x ＝1，－x 2，x ＜1.函数图象如图所示，其递减区间是[0,1)．答案：[0,1)10．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋a ，x ＜1，2x ，x ≥1的最小值为2，则实数a 的取值范围是________．解析：当x ≥1时，f (x )≥2，当x ＜1时，f (x )＞a －1， 由题意知，a －1≥2，∴a ≥3. 答案：[3，＋∞)B 级 能力升级练(25分钟，30分)1．(2018·山师附中质检)若函数y ＝|2x －1|，在(－∞，m ]上单调递减，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．⎝⎛⎦⎤－∞，12C ．(0，＋∞)D ．(－∞，0)解析：选A.画出y ＝|2x －1|图象如图，易知y ＝|2x －1|的递减区间是(－∞，0]，依题意有m ≤0，故选A.2．(2018·株洲二模)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a ＜b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12解析：选C.由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2； 当1＜x ≤2时，f (x )＝x 3－2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数． ∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.3．(2018·长春二模)f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，当f (x )＋f (x －8)≤2时，x 的取值范围是( )A ．(8，＋∞)B ．(8,9]C ．[8,9]D ．(0,8)解析：选B.因为2＝1＋1＝f (3)＋f (3)＝f (9)，由f (x )＋f (x －8)≤2，可得f (x (x －8))≤f (9)，因为f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数， 所以有⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x －8＞0，x (x －8)≤9，解得8＜x ≤9.4．(2018·潍坊二模)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤0－x 2－2x ＋3，x ＞0，不等式f (x ＋a )＞f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，0)C ．(0,2)D ．(－2,0)解析：选A.作出函数f (x )的图象如图所示，易知函数f (x )在R 上为单调递减函数，所以不等式f (x ＋a )＞f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立等价于x ＋a ＜2a －x ，即x ＜a2在[a ，a ＋1]上恒成立，所以只需a ＋1＜a2，即a ＜－2.故选A.5．(2018·威海模拟)如果对定义在R 上的函数f (x )，对任意两个不相等的实数x 1，x 2，都有x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)＞x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)，则称函数f (x )为“H 函数”．给出下列函数：①y ＝e x＋x ；②y ＝x 2；③y ＝3x －sin x ；④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln |x |，x ≠0，0，x ＝0.以上函数是“H 函数”的所有序号为________． 解析：因为对任意两个不相等的实数x 1，x 2， 都有x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)＞x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)恒成立， 所以不等式等价为(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0恒成立， 即函数f (x )是定义在R 上的增函数．①函数y ＝e x ＋x 在定义域上为增函数，满足条件． ②函数y ＝x 2在定义域上不单调，不满足条件．③y ＝3x －sin x ，y ′＝3－cos x ＞0，函数单调递增，满足条件．④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln |x |，x ≠0，0，x ＝0，当x ＞0时，函数单调递增，当x ＜0时，函数单调递减，不满足条件．综上，满足“H 函数”的函数为①③.答案：①③6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x－2，(x ≤0)2ax －1，(x ＞0)(a 是常数且a ＞0)．对于下列命题：①函数f (x )的最小值是－1； ②函数f (x )在R 上是单调函数；③若f (x )＞0在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上恒成立，则a 的取值范围是a ＞1； ④对任意的x 1＜0，x 2＜0且x 1≠x 2，恒有f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＜f (x 1)＋f (x 2)2.其中正确命题的序号是________．解析：根据题意可画出草图，由图象可知，①显然正确；函数f (x )在R 上不是单调函数，故②错误； 若f (x )＞0在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上恒成立，则2a ×12－1＞0，a ＞1，故③正确；由图象可知在(－∞，0)上对任意的x 1＜0，x 2＜0且x 1≠x 2，恒有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜f (x 1)＋f (x 2)2成立，故④正确． 答案：①③④第三节 函数的奇偶性与周期性教材细梳理1．函数的奇偶性(1)实质是函数在关于原点对称的两个自变量处函数值的关系，具体为：间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．利用这些性质可以简化或判断一些函数图象的画法．(2)掌握常见函数的奇偶性．如一次函数、二次函数、指数函数、对称函数、正弦函数、余弦函数等．[易错易混] f (0)＝0既不是f (x )为奇函数的充分条件，也不是必要条件． 2．函数的周期性(1)周期函数：对于定义域中任意的x 和一个非零常数T ，f (x ＋T )＝f (x )恒成立⇔f (x )是以T 为周期的周期函数．(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f (x )的最小正周期(若不特别说明，T 一般都是最小正周期)．3．函数图象的对称性(1)函数y ＝f (x )满足f (x )＝2b －f (2a －x )⇔y ＝f (x )的图象关于点(a ，b )成中心对称． (2)函数y ＝f (x )满足f (x )＝f (2a －x )⇔y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 成轴对称．知识微思考1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( )(2)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．( )(3)函数f (x )在定义域上满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是周期为2a (a ＞0)的周期函数．( ) (4)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称．( ) (5)如果函数f (x )，g (x )为定义域相同的偶函数，则F (x )＝f (x )＋g (x )是偶函数．( ) (6)若T 是函数的一个周期，则nT (n ∈Z ，n ≠0)也是函数的周期．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)√ (6)√2．函数f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )与函数f (x )满足f (a ＋x )＝f (b ＋x )(a ≠b )含义相同吗？为什么？提示：f (a ＋x )＝f (b －x )⇔f (a ＋b －x )＝f (x )表明f (x )的图象关于x ＝a ＋b 2对称，而f (a ＋x )＝f (b ＋x )⇔f (a －b ＋x )＝f (x )．表明f (x )具有周期性，它的一个周期为a －b .四基精演练1．(必修1·习题1.3A 组改编)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )＞0的x 的取值范围是________．解析：如图所示，由f (x )为奇函数知：f (x )＞0的x 的取值范围为(－1,0)∪(1，＋∞)． 答案：(－1,0)∪(1，＋∞)2．(必修1·习题1.3A 组改编)设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝⎛⎭⎫－52＝________. 解析：依题意，得f ⎝⎛⎭⎫－52＝－f ⎝⎛⎭⎫52＝－f ⎝⎛⎭⎫52－2＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝－2×12×⎝⎛⎭⎫1－12＝－12. 答案：－123．设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x ＜0，x ， 0≤x ＜1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝________. 解析：函数的周期是2，所以f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫32－2＝ f ⎝⎛⎭⎫－12＝－4×⎝⎛⎭⎫－122＋2＝1. 答案：14．(2017·高考全国卷Ⅰ)函数f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[－1,1]C ．[0,4]D ．[1,3]解析：选D.已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上为单调递减函数，且为奇函数，则f (－1)＝－f (1)＝1，所以原不等式可化为f (1)≤f (x －2)≤f (－1)，则－1≤x －2≤1，即1≤x ≤3，故选D.5．(实践题)(必修1·习题1.3B 组T 3改编)已知函数f (x )是奇函数，在(0，＋∞)上是减函数，且在区间[a ，b ](a ＜b ＜0)上的值域为[－3,4]，则f (x )在区间[－b ，－a ]上( )A ．有最大值4B ．有最小值－4C ．有最大值－3D ．有最小值－3解析：选B.根据题意作出y ＝f (x )的简图，由图知，选B.考点一 函数的奇偶性及应用[简单型]——发展逻辑推理判断函数奇偶性的方法1．定义法：首先确定函数的定义域，若定义域关于原点对称，则确定f (x )与f (－x )的关系，进而得出函数的奇偶性；否则该函数既不是奇函数也不是偶函数．2．图象法：观察f (x )的图象，若关于原点对称，则f (x )为奇函数，若关于y 轴对称，则f (x )为偶函数．1．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A ．y ＝1＋x 2 B ．y ＝x ＋1xC ．y ＝2x ＋12xD ．y ＝x ＋e x解析：选D.根据函数奇偶性的定义，易知函数y ＝1＋x 2，y ＝2x ＋12x 为偶函数，y ＝x＋1x为奇函数，所以排除选项A ，B ，C.故选D. 2．(2018·河北衡水中学二调)已知函数y ＝f (x )＋x 是偶函数，且f (2)＝1，则f (－2)＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－5D ．5解析：选D.设F (x )＝f (x )＋x ，由已知函数y ＝f (x )＋x 是偶函数，得F (x )＝F (－x )，即f (x )＋x ＝f (－x )－x ，∴f (－x )＝f (x )＋2x ，∴f (－2)＝f (2)＋2×2＝5.3．(2018·山东聊城二模)与函数y ＝x ⎝⎛⎭⎫12－12x ＋1的奇偶性相同的函数为( )A ．y ＝lg(x ＋x 2＋1)B ．y ＝lg 1－x1＋xC ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x (1－x )，x ＞0，－x (1＋x )，x ＜0D ．y ＝cos x解析：选D.设f (x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12x ＋1＝x 2·2x－12x ＋1，则f (－x )＝－x 2·2－x－12－x ＋1＝－x 2·1－2x1＋2x ＝x 2·2x－12x ＋1＝f (x )，则y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12x ＋1是偶函数，易知选项A ，B ，C 中的函数都是奇函数，而y ＝cos x是偶函数，故选D.考点二 函数的周期性及应用[探究型]——发展数学运算[例1] (1)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋4)＝f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2，则f (2 019)＝________.解析：因为f(x＋4)＝f(x)，所以周期T＝4.又f(1)＝1，所以f(2 019)＝f(－1＋4×505)＝f(－1)＝－f(1)＝－1. 答案：－1(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝－1f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则求f(－2 017)＋f(2 019)的值为________．解析：当x≥0时，f(x＋2)＝－1f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，即4是f(x)(x≥0)的一个周期．∴f(－2 017)＝f(2 017)＝f(1)＝log22＝1，f(2 019)＝f(3)＝－1f(1)＝－1，∴f(－2 017)＋f(2 019)＝0.答案：0[母题变式]1．若本例(1)中的条件不变，则f(x)(x∈[2,4])的解析式是________．解析：当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2，又f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2.所以f(x)＝x2＋2x.又当x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]，所以f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．又f(x)是周期为4的周期函数，所以f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.故x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8.答案：f(x)＝x2－6x＋82．若将本例(2)中“f(x＋2)＝－1f(x)”变为“f(x＋2)＝－f(x)”，则f(－2 017)＋f(2 019)＝________.解析：由f(x＋2)＝－f(x)可知T＝4，∴f(－2 017)＝1，f(2 019)＝－1，∴f (－2 017)＋f (2 019)＝0. 答案：01．利用周期f (x ＋T )＝f (x )将不在解析式范围之内的x 通过周期变换转化到解析式范围之内，以方便代入解析式求值．2．判断函数周期性的几个常用结论．(1)f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )为周期函数，周期T ＝2|a |.(2)f (x ＋a )＝1f (x )(a ≠0)，则函数f (x )必为周期函数，2|a |是它的一个周期；(3)f (x ＋a )＝－1f (x )，则函数f (x )必为周期函数，2|a |是它的一个周期．考点三 函数性质的综合应用[高频型]——发展数学运算、逻辑推理[例2] 已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，当x 1，x 2∈(0，＋∞)时，都有(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]＜0.设a ＝ln 1m，b ＝(ln m )2，c ＝ln m ，其中m ＞e ，则( )A ．f (a )＞f (b )＞f (c )B ．f (b )＞f (a )＞f (c )C ．f (c )＞f (a )＞f (b )D ．f (c )＞f (b )＞f (a )解析：根据已知条件知f (x )在(0，＋∞)上是减函数，且f (a )＝f (|a |)，f (b )＝f (|b |)，f (c )＝f (|c |)，|a |＝ln m ＞1，b ＝(ln m )2＞|a |,0＜c ＝12ln m ＜|a |，∴f (c )＞f (a )＞f (b )．答案：C[例3] (2016·高考山东卷)已知函数f (x )的定义域为R .当x ＜0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x ＞12时，f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x －12.则f (6)＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．0D ．2解析：当x ＞12时，由f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x －12可得f (x )＝f (x ＋1)，所以f (6)＝f (1)＝－f (－1)＝ －[(－1)3－1]＝2，故选D. 答案：D。
高考数学二轮复习 专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数 第二讲 函数的图象与性质教案 理-
第二讲函数的图象与性质年份卷别考查角度及命题位置命题分析2018Ⅱ卷函数图象的识别·T3 1.高考对此部分内容的命题多集中于函数的概念、函数的性质及分段函数等方面，多以选择、填空题形式考查，一般出现在第5～10或第13～15题的位置上，难度一般．主要考查函数的定义域，分段函数求值或分段函数中参数的求解及函数图象的判断．2.此部分内容有时出现在选择、填空题压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题结合命题，难度较大.函数奇偶性、周期性的应用·T11Ⅲ卷函数图象的识别·T72017Ⅰ卷函数单调性、奇偶性与不等式解法·T5Ⅲ卷分段函数与不等式解法·T152016Ⅰ卷函数的图象判断·T7Ⅱ卷函数图象的对称性·T12函数及其表示授课提示：对应学生用书第5页[悟通——方法结论]求解函数的定义域时要注意三式——分式、根式、对数式，分式中的分母不为零，偶次方根中的被开方数非负，对数的真数大于零．底数大于零且不大于1．解决此类问题的关键在于准确列出不等式(或不等式组)，求解即可．确定条件时应先看整体，后看部分，约束条件一个也不能少．[全练——快速解答]1．(2016·高考全国卷Ⅱ)以下函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A．y＝x B．y＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x解析：函数y ＝10lg x的定义域与值域均为(0，＋∞)．结合选项知，只有函数y ＝1x的定义域与值域均为(0，＋∞)．应选D.答案：D2．(2018·某某名校联考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x －4)，x >2，e x，－2≤x ≤2，f (－x )，x <－2，那么f (－2 017)＝( )A ．1B ．eC ．1eD ．e 2解析：由题意f (－2 017)＝f (2 017)，当x ＞2时，4是函数f (x )的周期，所以f (2 017)＝f (1＋4×504)＝f (1)＝e.答案：B3．函数f (x )＝x －1ln (1－ln x )的定义域为________．解析：由函数解析式可知，x 需满足⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥01－ln x >0x >01－ln x ≠1，解得1<xf (x )＝x －1ln (1－ln x )的定义域为(1，e)．答案：(1，e)4．(2017·高考全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x，x >0，那么满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12>1的x 的取值X 围是__________．解析： 当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12>1，解得x >－14，∴－14<x ≤0.当0<x ≤12时，原不等式为2x＋x ＋12>1，显然成立．当x >12时，原不等式为2x＋2x －12>1，显然成立．综上可知，x 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准那么，列出不等式或不等式组，然后求出解集即可．2．分段函数问题的5种常见类型及解题策略 常见类型 解题策略求函数值弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套〞的函数值，要从最内层逐层往外计算求函数最值 分别求出每个区间上的最值，然后比较大小解不等式根据分段函数中自变量取值X 围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值X 围的大前提求参数 “分段处理〞，采用代入法列出各区间上的方程利用函数性质求值必须依据条件找到函数满足的性质，利用该性质求解函数图象及应用授课提示：对应学生用书第5页[悟通——方法结论]1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法、二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换等．2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点．(1)(2017·高考全国卷Ⅰ)函数y ＝sin 2x1－cos x的部分图象大致为( )解析：令函数f (x )＝sin 2x 1－cos x ，其定义域为{x |x ≠2k π，k ∈Z }，又f (－x )＝sin (－2x )1－cos (－x )＝－sin 2x 1－cos x ＝－f (x )，所以f (x )＝sin 2x1－cos x 为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B ；因为f (1)＝sin 2 1－cos 1>0，f (π)＝sin 2π1－cos π＝0，故排除A 、D ，选C.答案：C(2)(2017·高考全国卷Ⅲ)函数y ＝1＋x ＋sin xx2的部分图象大致为( )解析：法一：易知函数g (x )＝x ＋sin xx2是奇函数，其函数图象关于原点对称，所以函数y ＝1＋x ＋sin xx2的图象只需把g (x )的图象向上平移一个单位长度，结合选项知选D.法二：当x →＋∞时，sin x x 2→0,1＋x →＋∞，y ＝1＋x ＋sin xx2→＋∞，故排除选项B.当0<x <π2时，y ＝1＋x ＋sin xx2>0，故排除选项A 、C.选D.答案：D由函数解析式识别函数图象的策略[练通——即学即用]1．(2018·高考全国卷Ⅲ)函数y ＝－x 4＋x 2＋2的图象大致为( )解析：法一：ƒ′(x )＝－4x 3＋2x ，那么ƒ′(x )＞0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22，ƒ(x )单调递增；ƒ′(x )＜0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞，ƒ(x )单调递减． 应选D.法二：当x ＝1时，y ＝2，所以排除A ，B 选项．当x ＝0时，y ＝2，而当x ＝12时，y ＝－116＋14＋2＝2316＞2，所以排除C 选项．应选D. 答案：D 2．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫21＋e x －1cos x 的图象的大致形状是( )解析：∵f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫21＋e x －1cos x ，∴f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e －x －1cos(－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e x －1cosx ＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数，其图象关于原点对称，可排除选项A ，C ，又当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，e x >e 0＝1，21＋ex －1<0，cos x >0，∴f (x )<0，可排除选项D ，应选B.答案：B3．(2018·某某调研)函数f (x )的图象如下图，那么f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝ln|x |xB ．f (x )＝e xxC ．f (x )＝1x2－1D ．f (x )＝x －1x解析：由函数图象可知，函数f (xf (x )＝x －1x，那么当x →＋∞时，f (x )→＋∞，排除D ，应选A.答案：A函数的性质及应用授课提示：对应学生用书第6页[悟通——方法结论]1．判断函数单调性的一般规律对于选择、填空题，假设能画出图象，一般用数形结合法；而对于由基本初等函数通过加、减运算或复合运算而成的函数常转化为基本初等函数单调性的判断问题；对于解析式为分式、指数函数式、对数函数式等较复杂的函数，用导数法；对于抽象函数，一般用定义法．2．函数的奇偶性(1)确定函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域是否关于原点对称．(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．3．记住几个周期性结论(1)假设函数f(x)满足f(x＋a)＝－f(x)(a>0)，那么f(x)为周期函数，且2a是它的一个周期．(2)假设函数f(x)满足f(x＋a)＝1f(x)(a>0)，那么f(x)为周期函数，且2a是它的一个周期．(1)(2017·高考全国卷Ⅱ)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是( )A．(－∞，－2) B．(－∞，1)C．(1，＋∞)D．(4，＋∞)解析：由x2－2x－8>0，得x>4或x<－2.因此，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数y＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(4，＋∞)．答案：D(2)(2017·高考全国卷Ⅰ)函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．假设f(1)＝－1，那么满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值X围是( )A．[－2,2] B．[－1,1]C．[0,4] D．[1,3]解析：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1.故由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．又f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.答案：D(3)(2018·高考全国卷Ⅲ)函数ƒ(x )＝ln(1＋x 2－x )＋1，ƒ(a )＝4，那么ƒ(－a )＝________.解析：∵ƒ(x )＋ƒ(－x )＝ln(1＋x 2－x )＋1＋ln(1＋x 2＋x )＋1＝ln(1＋x 2－x 2)＋2＝2，∴ƒ(a )＋ƒ(－a )＝2，∴ƒ(－a )＝－2. 答案：－21．掌握判断函数单调性的常用方法数形结合法、结论法(“增＋增〞得增、“减＋减〞得减及复合函数的“同增异减〞)、定义法和导数法．2．熟知函数奇偶性的3个特点(1)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称． (2)确定函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域是否关于原点对称． (3)对于偶函数而言，有f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．3．周期性：利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在区间上的问题，转化到区间上求解．4．注意数形结合思想的应用．[练通——即学即用]1．(2018·某某模拟)以下函数中，既是奇函数又在(0，＋∞)上单调递增的是( ) A ．y ＝e x＋e －xB ．y ＝ln(|x |＋1)C ．y ＝sin x |x |D ．y ＝x －1x解析：选项A 、B 显然是偶函数，排除；选项C 是奇函数，但在(0，＋∞)上不是单调递增函数，不符合题意；选项D 中，y ＝x －1x 是奇函数，且y ＝x 和y ＝－1x在(0，＋∞)上均为增函数，故y ＝x －1x在(0，＋∞)上为增函数，所以选项D 正确．答案：D2．(2018·某某八中摸底)函数y ＝f (x )在区间[0,2]上单调递增，且函数f (x ＋2)是偶函数，那么以下结论成立的是( )A ．f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (1)D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72 解析：因为函数f (x ＋2)是偶函数， 所以f (x ＋2)＝f (－x ＋2)， 即函数f (x )的图象关于x ＝2对称． 又因为函数y ＝f (x )在[0,2]上单调递增， 所以函数y ＝f (x )在区间[2,4]上单调递减． 因为f (1)＝f (3)，72>3>52，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (3)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52， 即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52. 答案：B授课提示：对应学生用书第116页一、选择题1．以下四个函数： ①y ＝3－x ；②y ＝2x －1(x >0)；③y ＝x 2＋2x －10；④y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ≤0)，1x(x >0).其中定义域与值域相同的函数的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：①y ＝3－x 的定义域和值域均为R ，②y ＝2x －1(x >0)的定义域为(0，＋∞)，值域为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，③y ＝x 2＋2x －10的定义域为R ，值域为[－11，＋∞)，④y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ≤0)，1x(x >0)的定义域和值域均为R ，所以定义域与值域相同的函数是①④，共有2个，应选B.答案：B2．设定义在R 上的奇函数y ＝f (x )满足对任意的x ∈R ，都有f (x )＝f (1－x )，且当x ∈[0，12]时，f (x )＝(x ＋1)，那么f (3)＋f (－32)的值为( )A ．0B ．1C ．－1D ．2解析：由于函数f (x )是奇函数，所以f (x )＝f (1－x )⇒f (x )＝－f (x ＋1)⇒f (x ＋1)＝－f (x )⇒f (x ＋2)＝f (x )，所以f (3)＝f (1)＝f (1－1)＝f (0)＝0，f (－32)＝f (12)＝32f (3)＋f (－32)＝－1.答案：C3．函数f (x )＝1＋ln ()x 2＋2的图象大致是( )解析：因为f (0)＝1＋ln 2>0，即函数f (x )的图象过点(0，ln 2)，所以排除A 、B 、C ，选D.答案：D4．(2017·高考某某卷)奇函数f (x )在R 上是增函数，g (x )＝xf (x )．假设a ＝g (－log 2 5.1)，b ＝g (2)，c ＝g (3)，那么a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．b <a <cD ．b <c <a解析：奇函数f (x )在R 上是增函数，当x >0时，f (x )>f (0)＝0，当x 1>x 2>0时，f (x 1)>f (x 2)>0，∴x 1f (x 1)>x 2f (x 2)，∴g (x )在(0，＋∞)上单调递增，且g (x )＝xf (x )是偶函数，∴a ＝g (－log 2 5.1)＝g (log 2 5.1)．易知2<log 2 5.1<3,1<2<2，由g (x )在(0，＋∞)上单调递增，得g (2)<g (log 2 5.1)<g (3)，∴b <a <c ，应选C.答案：C5．(2018·某某模拟)函数f (x )＝e xx 的图象大致为( )解析：由f (x )＝e x x ，可得f ′(x )＝x e x －e x x 2＝(x －1)e x x2， 那么当x ∈(－∞，0)和x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．又当x <0时，f (x )<0，应选B.答案：B6．定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，那么( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)解析：因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数f (x )是以8为周期的周期函数，那么f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)．因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数，所以f (x )在区间[－2,2]上是增函数，所以f (－1)<f (0)<f (1)，即f (－25)<f (80)<f (11)．答案：D7．(2018·某某模拟)函数f (x )＝ex －1＋4x －4，g (x )＝ln x －1x ，假设f (x 1)＝g (x 2)＝0，那么( )A ．0<g (x 1)<f (x 2)B ．f (x 2)<g (x 1)<0C ．f (x 2)<0<g (x 1)D ．g (x 1)<0<f (x 2) 解析：易知f (x )＝e x －1＋4x －4，g (x )＝ln x －1x在各自的定义域内是增函数，而f (0)＝e －1＋0－4＝1e －4<0，f (1)＝e 0＋4×1－4＝1>0，g (1)＝ln 1－11＝－1<0，g (2)＝ln 2－12＝ln 2e f (x 1)＝g (x 2)＝0，所以0<x 1<1,1<x 2<2，所以f (x 2)>f (1)>0，g (x 1)<g (1)<0，故g (x 1)<0<f (x 2)．答案：D8．函数f (x )＝(x 2－2x )·sin(x －1)＋x ＋1在[－1,3]上的最大值为M ，最小值为m ，那么M ＋m ＝( )A ．4B ．2C ．1D ．0 解析：f (x )＝[(x －1)2－1]sin(x －1)＋x －1＋2，令t ＝x －1，g (t)＝(t 2－1)sin t ＋t ，那么y ＝f (x )＝g (t)＋2，t ∈[－2,2]．显然M ＝g (t)max ＋2，m ＝g (t)min ＋2.又g (t)为奇函数，那么g (t)max ＋g (t)min ＝0，所以M ＋m ＝4，应选A.答案：A9．g (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3，x ≤0，g (x )，x >0，假设f (2－x 2)>f (x )，那么x 的取值X 围是( ) A ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)B ．(－∞，1)∪(2，＋∞)C ．(－2,1)D ．(1,2)解析：因为g (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，所以当x >0时，－x <0，g (－x )＝－ln(1＋x )，即当x >0时，g (x )＝ln(1＋x )，那么函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3，x ≤0，ln (1＋x )，x >0，作出函数f (x )的图象，如图：由图象可知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3，x ≤0，ln (1＋x )，x >0在(－∞，＋∞)上单调递增． 因为f (2－x 2)>f (x )，所以2－x 2>x ，解得－2<x <1，应选C.答案：C10．(2018·高考全国卷Ⅱ)ƒ(x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足ƒ(1－x )＝ƒ(1＋x )．假设ƒ(1)＝2，那么ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(3)＋…＋ƒ(50)＝( )A ．－50B ．0C ．2D ．50解析：∵ƒ(x )是奇函数，∴ƒ(－x )＝－ƒ(x )，∴ƒ(1－x )＝－ƒ(x －1)．由ƒ(1－x )＝ƒ(1＋x )，∴－ƒ(x －1)＝ƒ(x ＋1)，∴ƒ(x ＋2)＝－ƒ(x )，∴ƒ(x ＋4)＝－ƒ(x ＋2)＝－[－ƒ(x )]＝ƒ(x )，∴函数ƒ(x )是周期为4的周期函数．由ƒ(x )为奇函数得ƒ(0)＝0.又∵ƒ(1－x )＝ƒ(1＋x )，∴ƒ(x )的图象关于直线x ＝1对称，∴ƒ(2)＝ƒ(0)＝0，∴ƒ(－2)＝0.又ƒ(1)＝2，∴ƒ(－1)＝－2，∴ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(3)＋ƒ(4)＝ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(－1)＋ƒ(0)＝2＋0－2＋0＝0，∴ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(3)＋ƒ(4)＋…＋ƒ(49)＋ƒ(50)＝0×12＋ƒ(49)＋ƒ(50)＝ƒ(1)＋ƒ(2)＝2＋0＝2.应选C.答案：C11．定义在R 上的函数f (x )对任意0<x 2<x 1都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<1，且函数y ＝f (x )的图象关于原点对称，假设f (2)＝2，那么不等式f (x )－x >0的解集是( )A ．(－2,0)∪(0,2)B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(0,2)D ．(－2,0)∪(2，＋∞) 解析：由f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<1， 可得[f (x 1)－x 1]－[f (x 2)－x 2]x 1－x 2<0.令F (x )＝f (x )－x ，由题意知F (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，又是奇函数，且F (2)＝0，F (－2)＝0，所以结合图象，令F (x )>0，得x <－2或0<x <2，应选C.答案：C12．(2018·某某三市联考)函数f (x )＝e |x |，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ e x ，x ≤4，4e 5－x ，x >4对任意的x ∈[1，m ](m >1)，都有f (x －2)≤g (x )，那么m 的取值X 围是( )A ．(1,2＋ln 2) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，72＋ln 2 C ．(ln 2,2] D.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，72＋ln 2 解析：作出函数y 1＝e |x －2|和y ＝g (x )的图象，如下图，由图可知当x＝1时，y 1＝g (1)，又当x ＝4时，y 1＝e 2<g (4)＝4e ，当x >4时，由ex －2≤4e 5－x ，得e 2x －7≤4，即2x －7≤ln 4，解得x ≤72＋ln 2，又m >1，∴1<m ≤72＋ln 2.答案：D二、填空题13．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝________.解析：由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12. 答案：－1214．假设函数f (x )＝x (x －1)(x ＋a )为奇函数，那么a ＝________.解析：法一：因为函数f (x )＝x (x －1)(x ＋a )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )对x ∈R 恒成立，所以－x ·(－x －1)(－x ＋a )＝－x (x －1)(x ＋a )对x ∈R 恒成立，所以x (a －1)＝0对x ∈R 恒成立，所以a ＝1.法二：因为函数f (x )＝x (x －1)(x ＋a )为奇函数，所以f (－1)＝－f (1)，所以－1×(－1－1)×(－1＋a )＝－1×(1－1)×(1＋a )，解得a ＝1.答案：115．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (1－2a )x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，那么实数a 的取值X 围是________．解析： 当x ≥1时，f (x )＝2x －1≥1，∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (1－2a )x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，∴当x <1时，(1－2a )x ＋3a 必须取遍(－∞，1)内的所有实数，那么⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2a >0，1－2a ＋3a ≥1，解得0≤a ＜12. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12 16．如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动，点B 恰好经过原点，设顶点P (x ，y )的轨迹方程是y ＝f (x )，那么对函数y ＝f (x )有以下判断：①函数y ＝f (x )是偶函数；②对任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (x －2)；③函数y ＝f (x )在区间[2,3]上单调递减；④函数y ＝f (x )在区间[4,6]上是减函数．其中判断正确的序号是________．解析：如图，从函数y ＝f (x )的图象可以判断出，图象关于y 轴对称，每4个单位图象重复出现一次，在区间[2,3]上，随x 增大，图象是往上的，在区间[4,6]上图象是往下的，所以①②④正确，③错误．答案：①②④。
2019高考数学理高分大二轮课件专题2第1讲基础小题部分
9
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易错防范突破
真题押题精练
增分强化练
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考点一 考点二 考点三
考点二 函数的性质
1．(参数范围)已知函数 f(x)＝x3－2x＋ex－e1x，其中 e 是自然对数的底数．若 f(a－1)
＋f(2a2)≤0，则实数 a 的取值范围是________． 解析： 由 f(x)＝x3－2x＋ex－e1x，得 f(－x)＝－x3＋2x＋e1x－ex＝－ f(x)，所以 f(x)
5
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考点一 考点二 考点三
3．(应用)若不等式(x－1)2<logax在x∈(1,2)内恒成立，则实数a的取值范围为 ( )
A．(1,2]
B．( 22，1)
C．(1， 2)
D．( 2，2)
解析：根据题意，只需函数y＝(x－1)2在(1,2)上的图象在y ＝logax的图象的下方即可． 当0<a<1时，显然不成立；当a>1时，如图，要使x∈(1,2) 时y＝(x－1)2的图象在y＝logax的图象的下方，只需(2－ 1)2≤loga2，即loga2≥1，解得1<a≤2，故实数a的取值范围 是(1,2]．故选A.
的取值范围是 [－1，12]． 答案： [－1，12]
10
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考点一 考点二 考点三
2．(函数值)(2018·高考全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1
－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝
高考总复习二轮数学精品课件 专题1 函数与导数 第2讲 基本初等函数、函数的应用
3.函数的零点问题
(1)函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的根,即函数y=f(x)的图象与
函数y=g(x)的图象交点的横坐标.
(2)确定函数零点的常用方法:①直接解方程法;②利用零点存在性定理;③
数形结合,利用两个函数图象的交点求解.
温馨提示函数的零点是一个实数,而不是几何图形.
质与相关函数的性质之间的关系进行判断.
对点练2
9 0.1
(1)(2023·广东湛江一模)已知 a=(11) ,b=log910,c=lg
A.b>c>a
B.c>b>a
C.b>a>c
D.c>a>b
11,则( A )
解析 根据指数函数和对数函数的性质,
可得
9 0.1
9 0
a=(11) < 11 =1,b=log910>log99=1,c=lg
1 1
B. - 2 , 2
1
C. 0, 2
1
1
D. - 2 ,0 ∪ 0, 2
(3)换底公式:logaN= log (a,b>0,且 a,b≠1,N>0).
(4)对数值符号规律:已知a>0,且a≠1,b>0,则logab>0⇔(a-1)(b-1)>0,
logab<0⇔(a-1)(b-1)<0.
1
温馨提示对数的倒数法则:logab= log
(a,b>0,且a,b≠1).
11>lg 10=1,
又由 2=lg 100>lg 99=lg 9+lg 11>2 lg9 × lg11,所以 1>lg
【配套K12】[学习]2019高考数学二轮复习 专题六 函数与导数、不等式 第2讲 基本初等函数、函
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第2讲 基本初等函数、函数与方程高考定位 1.掌握二次函数、分段函数、幂函数、指数函数、对数函数的图象性质；2.以基本初等函数为依托，考查函数与方程的关系、函数零点存在性定理；3.能利用函数解决简单的实际问题.真 题 感 悟1.(2017·全国Ⅲ卷)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e－x ＋1)有唯一零点，则a ＝( )A.－12B.13C.12D.1解析 f (x )＝(x －1)2＋a (ex －1＋e1－x)－1，令t ＝x －1，则g (t )＝f (t ＋1)＝t 2＋a (e t ＋e －t)－1. ∵g (－t )＝(－t )2＋a (e －t＋e t)－1＝g (t )， ∴函数g (t )为偶函数.∵f (x )有唯一零点，∴g (t )也有唯一零点. 又g (t )为偶函数，由偶函数的性质知g (0)＝0， ∴2a －1＝0，解得a ＝12.答案 C2.(2018·天津卷)已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系是( )A.a >b >cB.b >a >cC.c >b >aD.c >a >b解析 c ＝log 1213＝log 23，a ＝log 2e ，由y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，知c >a >1.又b ＝ln 2<1，故c >a >b . 答案 D3.(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，ln x ，x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是( ) A.[－1，0) B.[0，＋∞) C.[－1，＋∞)D.[1，＋∞)解析 函数g (x )＝f (x )＋x ＋a 存在2个零点，即关于x 的方程f (x )＝－x －a 有2个不同的实根，即函数f (x )的图象与直线y＝－x －a 有2个交点，作出直线y ＝－x －a 与函数f (x )的图象，如图所示，由图可知，－a ≤1，解得a ≥－1. 答案 C4.(2017·江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________.解析 一年的总运费与总存储费用之和为y ＝6×600x＋4x ＝3 600x＋4x ≥23 600x×4x ＝240，当且仅当3 600x＝4x ，即x ＝30时，y 有最小值240.答案 30考 点 整 合1.指数式与对数式的七个运算公式 (1)a m·a n＝am ＋n；(2)(a m )n ＝a mn；(3)log a (MN )＝log a M ＋log a N ； (4)log a MN＝log a M －log a N ； (5)log a M n＝n log a M ； (6)alog aN＝N ；(7)log a N ＝log b Nlog b a (注：a ，b >0且a ，b ≠1，M >0，N >0).2.指数函数与对数函数的图象和性质指数函数y ＝a x(a >0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象和性质，分0<a <1，a >1两种情况，当a >1时，两函数在定义域内都为增函数，当0<a <1时，两函数在定义域内都为减函数.3.函数的零点问题(1)函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的根，即函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝g (x )的图象交点的横坐标.(2)确定函数零点的常用方法：①直接解方程法；②利用零点存在性定理；③数形结合，利用两个函数图象的交点求解.4.应用函数模型解决实际问题的一般程序 读题文字语言建模数学语言求解数学应用反馈检验作答.热点一 基本初等函数的图象与性质【例1】 (1)(2018·郑州一模)若函数y ＝a |x |(a >0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是()(2)(2018·济南质检)已知a (a ＋1)≠0，若函数f (x )＝log 2(ax －1)在(－3，－2)上为减函数，且函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x，x ≤12，log |a |x ，x >12在R 上有最大值，则a 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，－12 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，－12C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－22，－12D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－22，0∪⎝⎛⎦⎥⎤0，12解析 (1)由于y ＝a |x |的值域为{y |y ≥1}， ∴a >1，则y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数， 又函数y ＝log a |x |的图象关于y 轴对称. 因此y ＝log a |x |的图象应大致为选项B.(2)∵f (x )＝log 2(ax －1)在(－3，－2)上为减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <0，－2a －1≥0，∴a ≤－12，∵a (a ＋1)≠0，∴|a |∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪(1，＋∞).当x ≤12时，g (x )＝4x∈(0，2]，又g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x，x ≤12，log |a |x ，x >12在R 上有最大值，则当x >12时，log |a |x ≤2，且|a |∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1，∴log |a |12≤2，∴|a |2≤12，则|a |≤22，又a ≤－12，∴－22≤a ≤－12.答案 (1)B (2)A探究提高 1.指数函数、对数函数的图象和性质受底数a 的影响，解决与指数、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a 的范围.2.研究对数函数的性质，应注意真数与底数的限制条件.如求f (x )＝ln(x 2－3x ＋2)的单调区间，只考虑t ＝x 2－3x ＋2与函数y ＝ln t 的单调性，忽视t >0的限制条件. 【训练1】 (1)函数y ＝ln |x |－x 2的图象大致为( )(2)(2018·西安调研)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧34x ＋54，x <1，2x ，x ≥1，则满足f [f (t )]＝2f (t )的t 的取值范围是________.解析 (1)易知y ＝ln|x |－x 2是偶函数，排除B ，D.当x >0时，y ＝ln x －x 2，则y ′＝1x－2x ，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，22时，y ′＝1x －2x >0，y ＝ln x －x 2单调递增，排除C.A 项满足. (2)若f (t )≥1，显然成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧t <1，34t ＋54≥1或⎩⎪⎨⎪⎧t ≥1，2t ≥1，解得t ≥－13.若f (t )<1，由f [f (t )]＝2f (t )，可知f (t )＝－1，所以34t ＋54＝－1，得t ＝－3.综上，实数t 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫t ⎪⎪⎪t ＝－3或t ≥－13. 答案 (1)A (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫t ⎪⎪⎪t ＝－3或t ≥－13热点二 函数的零点与方程考法1 确定函数零点个数或其存在范围【例2－1】 (1)函数f (x )＝log 2x －1x的零点所在的区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C.(1，2) D.(2，3)(2)(2018·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6在[0，π]的零点个数为________. 解析 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝log 212－112＝－1－2＝－3＜0， f (1)＝log 21－11＝0－1＜0， f (2)＝log 22－12＝1－12＝12＞0，f (3)＝log 23－13＞1－13＝23＞0，即f (1)·f (2)＜0，∴函数f (x )＝log 2x －1x的零点在区间(1，2)内.(2)由题意知，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＝0，所以3x ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，所以x ＝π9＋k π3，k ∈Z ，当k ＝0时，x ＝π9；当k ＝1时，x ＝4π9；当k ＝2时，x ＝7π9，均满足题意，所以函数f (x )在[0，π]的零点个数为3. 答案 (1)C (2)3探究提高 1.函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的类型有：(1)函数零点值大致存在区间的确定；(2)零点个数的确定；(3)两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定. 2.判断函数零点个数的主要方法：(1)解方程f (x )＝0，直接求零点；(2)利用零点存在定理；(3)数形结合法：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个能画出的函数图象交点问题.【训练2】 函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2－x 2的零点个数为________.解析 f (x )＝2sin x cos x －x 2＝sin 2x －x 2，函数f (x )的零点个数可转化为函数y 1＝sin 2x 与y 2＝x 2图象的交点个数，在同一坐标系中画出y 1＝sin 2x 与y 2＝x 2的图象如图所示：由图可知两函数图象有2个交点，则f (x )的零点个数为2. 答案 2考法2 根据函数的零点求参数的取值或范围【例2－2】 (2018·天津卷)已知a >0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ＋a ，x ≤0，－x 2＋2ax －2a ，x >0.若关于x 的方程f (x )＝ax 恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是________.解析 当x ≤0时，由x 2＋2ax ＋a ＝ax ，得a ＝－x 2－ax ；当x >0时，由－x 2＋2ax －2a ＝ax ，得2a ＝－x 2＋ax .令g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－ax ，x ≤0，－x 2＋ax ，x >0. 作出y ＝a (x ≤0)，y ＝2a (x >0)，函数g (x )的图象如图所示，g (x )的最大值为－a 24＋a 22＝a 24，由图象可知，若f (x )＝ax 恰有2个互异的实数解，则a <a 24<2a ，解得4<a <8.答案 (4，8)探究提高 1.求解本题的关键在于转化为研究函数g (x )的图象与y ＝a (x ≤0)，y ＝2a (x >0)的交点个数问题：常见的错误是误认为y ＝2a ，y ＝a 是两条直线，忽视x 的限制条件. 2.解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解.【训练3】 (2018·湖北七校联考)已知f (x )是奇函数且是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是________.解析 令y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0，则f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )＝f (x －λ)，因为f (x )是R 上的单调函数，所以2x 2＋1＝x －λ，只有一个实根，即2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－78.答案 －78热点三 函数的实际应用【例3】 为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层，体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10，k 为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和. (1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小？并求最小值. 解 (1)当x ＝0时，C ＝8，∴k ＝40，∴C (x )＝403x ＋5(0≤x ≤10)，∴f (x )＝6x ＋20×403x ＋5＝6x ＋8003x ＋5(0≤x ≤10).(2)由(1)得f (x )＝2(3x ＋5)＋8003x ＋5－10.令3x ＋5＝t ，t ∈[5，35]， 则y ＝2t ＋800t－10≥22t ·800t －10＝70(当且仅当2t ＝800t，即t ＝20时等号成立)，此时x ＝5，因此f (x )的最小值为70.∴隔热层修建5 cm 厚时，总费用f (x )达到最小，最小值为70万元. 探究提高 解决函数实际应用题的两个关键点(1)认真读题，缜密审题，准确理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学地抽象概括，将实际问题归纳为相应的数学问题.(2)要合理选取参变量，设定变量之后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数模型，最终求解数学模型使实际问题获解.【训练4】 (2018·大连质检)某海上油田A 到海岸线(近似直线)的垂直距离为10海里，垂足为B ，海岸线上距离B 处100海里有一原油厂C ，现计划在BC 之间建一石油管道中转站M .已知海上修建石油管道的单位长度费用是陆地上的3倍，要使从油田A 处到原油厂C 修建管道的费用最低，则中转站M 到B 处的距离应为( ) A.52海里 B.52 2海里 C.5海里D.10海里解析 设中转站M 到B 处的距离为x 海里，修造管道的费用为y ，陆地上单位长度修建管道的费用为a ，依题意，y ＝a (3x 2＋102＋100－x )，0≤x ≤100，则y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3×12×2xx 2＋100－1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x x 2＋100－1a .令y ′＝0，得3x ＝x 2＋100，解得x ＝522.∴当x ＝522时，y 取得最小值.答案 B1.指数函数与对数函数的图象和性质受底数a (a >0，且a ≠1)的取值影响，解题时一定要注意讨论，并注意两类函数的定义域与值域所隐含条件的制约.2.(1)忽略概念致误：函数的零点不是一个“点”，而是函数图象与x 轴交点的横坐标.(2)零点存在性定理注意两点：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点. 3.利用函数的零点求参数范围的主要方法： (1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解. (2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解. 4.构建函数模型解决实际问题的常见类型与求解方法：(1)构建二次函数模型，常用配方法、数形结合、分类讨论思想求解. (2)构建分段函数模型，应用分段函数分段求解的方法.(3)构建f (x )＝x ＋a x(a >0)模型，常用基本不等式、导数等知识求解.一、选择题1.(2017·北京卷)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与M N最接近的是( ) (参考数据：lg 3≈0.48) A.1033B.1053C.1073D.1093解析 M ≈3361，N ≈1080，M N ≈33611080，则lg M N ≈lg 33611080＝lg 3361－lg1080＝361lg 3－80≈93.∴M N≈1093.答案 D2.(2018·潍坊三模)已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2323，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3423，c ＝log 3423，则a ，b ，c 的大小关系是( )A.a <b <cB.b <a <cC.c <a <bD.a <c <b解析 ∵y ＝x 23在(0，＋∞)上是增函数，∴a <b <1.由于0<23<34，∴c ＝log 3423>1.因此c >b >a .答案 A3.函数f (x )＝ln x ＋e x(e 为自然对数的底数)的零点所在的区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1eB.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1 C.(1，e) D.(e ，＋∞)解析 函数f (x )＝ln x ＋e x在(0，＋∞)上单调递增，因此函数f (x )最多只有一个零点. 当x →0＋时，f (x )→－∞；又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝ln 1e ＋e 1e ＝e 1e －1>0，∴函数f (x )＝ln x ＋e x(e 为自然对数的底数)的零点所在的区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e .答案 A4.(2018·全国Ⅲ卷)设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( ) A.a ＋b <ab <0 B.ab <a ＋b <0 C.a ＋b <0<abD.ab <0<a ＋b解析 由a ＝log 0.20.3得1a ＝log 0.30.2，由b ＝log 20.3得1b ＝log 0.32，所以1a ＋1b＝log 0.30.2＋log 0.32＝log 0.30.4，所以0<1a ＋1b <1，得0<a ＋bab<1.又a >0，b <0，所以ab <0，所以ab <a ＋b <0.答案 B5.(2018·北京燕博园联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln （x ＋1），x ≥0，x 3－3x ，x <0，若函数y ＝f (x )－k 有三个不同的零点，则实数k 的取值范围是( ) A.(－2，2) B.(－2，1) C.(0，2)D.(1，3)解析 当x <0时，f (x )＝x 3－3x ，则f ′(x )＝3x 2－3，令f ′(x )＝0，∴x ＝±1(舍去正根)，故f (x )在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，0)上单调递减，又f (x )＝ln(x ＋1)在x ≥0上单调递增.则函数f (x )图象如图所示.f (x )极大值＝f (－1)＝－1＋3＝2，且f (0)＝0.故当k ∈(0，2)时，y ＝f (x )－k 有三个不同零点. 答案 C 二、填空题6.(2018·浙江卷改编)已知λ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥λ，x 2－4x ＋3，x <λ.若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是________.解析 令f (x )＝0，当x ≥λ时，x ＝4.当x <λ时，x 2－4x ＋3＝0，则x ＝1或x ＝3.若函数f (x )恰有2个零点，结合如图函数的图象知，1<λ≤3或λ>4. 答案 (1，3]∪(4，＋∞)7.将甲桶中的a L 水缓慢注入空桶乙中，t min 后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝a e nt .假设过5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min 甲桶中的水只有a4L ，则m 的值为________.解析 ∵5 min 后甲桶和乙桶的水量相等， ∴函数y ＝f (t )＝a e nt 满足f (5)＝a e 5n＝12a ，可得n ＝15ln 12，∴f (t )＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12t5，因此，当k min 后甲桶中的水只有a4L 时，f (k )＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12k5＝14a ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12k5＝14，∴k ＝10，由题可知m ＝k －5＝5. 答案 58.(2018·广州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x >0，2x ＋1，x ≤0，若方程f (x )＝ax 有三个不同的实数根，则a 的取值范围是________.解析 在同一坐标系内，作函数y ＝f (x )与y ＝ax 的图象，当y ＝ax 是y ＝ln x 的切线时，设切点P (x 0，y 0)，∵y 0＝ln x 0，a ＝(ln x )′|x＝x0＝1x 0，∴y 0＝ax 0＝1＝ln x 0，x 0＝e ，故a ＝1e.故y ＝ax 与y ＝f (x )的图象有三个交点时，0<a <1e.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 三、解答题9.(2018·雅礼中学月考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3（x ＋1），x >1，log 2（5－x ），x ≤1.(1)求方程f (x )＝3f (2)的解集；(2)讨论函数g (x )＝f (x )－a (a ∈R )的零点的个数. 解 (1)f (2)＝log 33＝1，当x >1时，由f (x )＝3f (2)＝3得x ＋1＝27，即x ＝26.当x ≤1时，由f (x )＝3得5－x ＝8，即x ＝－3.故方程f (x )＝3f (2)的解集为{－3，26}.(2)当x >1时，f (x )＝log 3(x ＋1)递增，且f (x )∈(log 32，＋∞).当x ≤1时，f (x )＝log 2(5－x )递减，且f (x )∈[2，＋∞).由g (x )＝f (x )－a ＝0得f (x )＝a ，故当a ∈(－∞，log 32]时，g (x )的零点个数为0；当a ∈(log 32，2)时，g (x )的零点个数为1；当a ∈[2，＋∞)时，g (x )的零点个数为2.10.候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为v ＝a ＋b log 3Q 10(其中a ，b 是实数).据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.(1)求出a ，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？ 解 (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位，故有a ＋b log 33010＝0， 即a ＋b ＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ，故有a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1. (2)由(1)知，v ＝－1＋log 3Q 10. 所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则有v ≥2，即－1＋log 3Q 10≥2，即log 3Q 10≥3，解得Q ≥270. 所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位.11.(2018·江苏卷选编)记f ′(x )，g ′(x )分别为函数f (x )，g (x )的导函数.若存在x 0∈R ，满足f (x 0)＝g (x 0)且f ′(x 0)＝g ′(x 0)，则称x 0为函数f (x )与g (x )的一个“S 点”.(1)证明：函数f (x )＝x 与g (x )＝x 2＋2x －2不存在“S 点”；(2)若函数f (x )＝ax 2－1与g (x )＝ln x 存在“S 点”，求实数a 的值.(1)证明 函数f (x )＝x ，g (x )＝x 2＋2x －2，则f ′(x )＝1，g ′(x )＝2x ＋2.由f (x )＝g (x )且f ′(x )＝g ′(x )，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 2＋2x －2，1＝2x ＋2，此方程组无解， 因此，f (x )与g (x )不存在“S 点”.(2)解 函数f (x )＝ax 2－1，g (x )＝ln x ，则f ′(x )＝2ax ，g ′(x )＝1x. 设x 0为f (x )与g (x )的“S 点”，由f (x 0)＝g (x 0)且f ′(x 0)＝g ′(x 0)，得⎩⎪⎨⎪⎧ax 20－1＝ln x 0，2ax 0＝1x 0，即⎩⎪⎨⎪⎧ax 20－1＝ln x 0，2ax 20＝1， (*) 得ln x 0＝－12，即x 0＝e －12，则a ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫e －122＝e 2. 当a ＝e 2时，x 0＝e －12满足方程组(*)， 即x 0为f (x )与g (x )的“S 点”.因此，a 的值为e 2.。
2019版二轮复习数学(理)全国版专题六 第二讲 小题考法——基本初等函数、函数与方程
第二讲 小题考法——基本初等函数、函数与方程[典例感悟][典例] (1)(2018·武汉华中师大附中诊断)已知函数f(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤1，log 12x ，x >1，则f (1－x )的大致图象是( )(2)(2018·全国卷Ⅲ)设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( ) A ．a ＋b <ab <0 B ．ab <a ＋b <0 C ．a ＋b <0<abD ．ab <0<a ＋b[解析] (1)画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤1，log 12x ，x >1的图象(图略)，可知f (1－x )的图象与函数f (x )的图象关于直线x ＝12对称，利用对称性即可求得选项D 正确．(2)∵a ＝log 0.20.3>log 0.21＝0，b ＝log 20.3<log 21＝0，∴ab <0. ∵a ＋b ab ＝1a ＋1b ＝log 0.30.2＋log 0.32＝log 0.30.4， ∴1＝log 0.30.3>log 0.30.4>log 0.31＝0， ∴0<a ＋b ab <1，∴ab <a ＋b <0.[答案] (1)D (2)B[方法技巧]3招破解指数、对数、幂函数值的大小比较问题(1)底数相同，指数不同的幂函数值用指数函数的单调性进行比较． (2)底数相同，真数不同的对数值用对数函数的单调性比较．(3)底数不同、指数也不同，或底数不同、真数也不同的两个数，常引入中间量或结合图象比较大小．[演练冲关]1．(2017·北京高考)已知函数f (x )＝3x －⎝⎛⎭⎫13x，则f (x )( ) A ．是奇函数，且在R 上是增函数 B ．是偶函数，且在R 上是增函数 C ．是奇函数，且在R 上是减函数 D ．是偶函数，且在R 上是减函数解析：选A 因为f (x )＝3x －⎝⎛⎭⎫13x ，且定义域为R ，所以f (－x )＝3－x －⎝⎛⎭⎫13－x ＝⎝⎛⎭⎫13x －3x ＝－⎣⎡⎦⎤3x －⎝⎛⎭⎫13x ＝－f (x )，即函数f (x )是奇函数．又y ＝3x 在R 上是增函数，y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在R 上是减函数，所以f (x )＝3x －⎝⎛⎭⎫13x在R 上是增函数． 2．(2018·洛阳模拟)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( ) A ．c >b >a B ．b >c >a C ．a >c >bD ．a >b >c解析：选D 因为a ＝log 36＝log 33＋log 32＝1＋log 32，b ＝log 510＝log 55＋log 52＝1＋log 52，c ＝log 714＝log 77＋log 72＝1＋log 72，因为log 32>log 52>log 72，所以a >b >c ，故选D.3．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫2x －12x ·x 13，m ，n 为实数，则下列结论中正确的是( ) A ．若－3≤m <n ，则f (m )<f (n ) B ．若m <n ≤0，则f (m )<f (n ) C ．若f (m )<f (n )，则m 2<n 2 D ．若f (m )<f (n )，则m 3<n 3解析：选C ∵f (x )的定义域为R ，其定义域关于原点对称，f (－x )＝⎝⎛⎭⎪⎫2－x －12－x ·(－x )13＝⎝⎛⎭⎫2x －12x ·x 13＝f (x )，∴函数f (x )是偶函数，又x >0时，2x －12x 与x 13是增函数，且函数值为正，∴函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫2x －12x ·x 13在(0，＋∞)上是增函数，由偶函数的性质知，函数f (x )在(－∞，0)上是减函数，此类函数的规律是：自变量离原点越近，函数值越小，即自变量的绝对值越小，函数值就越小，反之也成立．对于选项A ，无法判断m ，n 离原点的远近，故A 错误；对于选项B ，|m |>|n |，∴f (m )>f (n )，故B 错误；对于选项C ，由f (m )<f (n )，一定可得出m 2<n 2，故C 正确；对于选项D ，由f (m )<f (n )，可得出|m |<|n |，但不能得出m 3<n 3，故D 错误．综上可知，选C.4.(2018·西安八校联考)如图所示，已知函数y ＝log 24x 图象上的两点A ，B 和函数y ＝log 2x 图象上的点C ，线段AC 平行于y 轴，当△ABC 为正三角形时，点B 的横坐标为________．解析：依题意，当AC ∥y 轴，△ABC 为正三角形时，|AC |＝log 24x －log 2x＝2，点B 到直线AC 的距离为3，设点B (x 0,2＋log 2x 0)，则点A (x 0＋3，3＋log 2x 0)．由点A 在函数y ＝log 24x 的图象上，得log 2[4(x 0＋3)]＝3＋log 2x 0＝log 28x 0，则4(x 0＋3)＝8x 0，x 0＝3，即点B 的横坐标是 3.答案： 3[典例感悟][典例] (1)(2018·惠州模拟)函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2|x －1|－1，0<x ≤2，12f (x －2)，x >2，则函数g (x )＝xf (x )－1在[－6，＋∞)上的所有零点之和为( ) A ．8 B ．32 C.12D ．0(2)(2018·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6在[0，π]的零点个数为________． (3)(2018·沈阳教学质量监测)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1(x ≥2)，2(1≤x <2)，若方程f (x )＝ax ＋1恰有一个解，则实数a 的取值范围是________________．[解析] (1)令g (x )＝xf (x )－1＝0，则x ≠0，所以函数g (x )的零点之和等价于函数y ＝f (x )的图象和y ＝1x 的图象的交点的横坐标之和，分别作出x >0时，y ＝f (x )和y ＝1x 的大致图象，如图所示，由于y ＝f (x )和y ＝1x 的图象都关于原点对称，因此函数g (x )在[－6,6]上的所有零点之和为0，而当x ＝8时，f (x )＝18，即两函数的图象刚好有1个交点，且当x ∈(8，＋∞)时，y ＝1x 的图象都在y ＝f (x )的图象的上方，因此g (x )在[－6，＋∞)上的所有零点之和为8.选A. (2)当3x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z)时，f (x )＝0.∵x ∈[0，π]，∴3x ＋π6∈⎣⎡⎤π6，19π6， ∴当3x ＋π6取值为π2，3π2，5π2时，f (x )＝0，即函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6在[0，π]的零点个数为3. (3)如图，当直线y ＝ax ＋1过点B (2,2)时，a ＝12，方程有两个解；当直线y ＝ax ＋1与f (x )＝2x －1(x ≥2)的图象相切时，a ＝－1＋52，方程有两个解； 当直线y ＝ax ＋1过点A (1,2)时，a ＝1，方程恰有一个解． 故实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－1＋52，1. [答案] (1)A (2)3 (3)⎝⎛⎭⎫0，12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－1＋52，1[方法技巧]1．判断函数零点个数的3种方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解． (2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解．[演练冲关]1．函数y ＝|log 2x |－⎝⎛⎭⎫12x的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．4解析：选C 令y ＝|log 2x |－⎝⎛⎭⎫12x ＝0，即|log 2x |＝⎝⎛⎭⎫12x ，在同一平面直角坐标系中作出y ＝|log 2x |和y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图象(图略)，由图象可知这两个函数的图象有两个交点，即所求零点个数为2.2．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是( )A ．[－1,0)B ．[0，＋∞)C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选C 令h (x )＝－x －a ，则g (x )＝f (x )－h (x )．在同一坐标系中画出y ＝f (x )，y ＝h (x )的示意图，如图所示．若g (x )存在2个零点，则y ＝f (x )的图象与y ＝h (x )的图象有2个交点，平移y ＝h (x )的图象，可知当直线y ＝－x －a 过点(0,1)时，有2个交点，此时1＝－0－a ，a ＝－1.当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1上方，即a <－1时，仅有1个交点，不符合题意．当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1下方，即a >－1时，有2个交点，符合题意．综上，a 的取值范围为[－1，＋∞)．故选C.3．(2018·石家庄模拟)已知M 是函数f (x )＝|2x －3|－8sin πx (x ∈R )的所有零点之和，则M 的值为( )A ．3B ．6C ．9D ．12解析：选D 将函数f (x )＝|2x －3|－8sin πx 的零点转化为函数h (x )＝|2x －3|与g (x )＝8sin πx 图象交点的横坐标．在同一直角坐标系中，画出函数h (x )与g (x )的图象，如图，因为函数h (x )与g (x )的图象都关于直线x ＝32对称，两个函数的图象共有8个交点，所以函数f (x )的所有零点之和M ＝8×32＝12，故选D.4．已知关于x 的方程|2x －10|＝a 有两个不同的实根x 1，x 2，且x 2＝2x 1，则实数a ＝________.解析：构造函数f (x )＝|2x －10|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －10，x ≥log 210，10－2x，x <log 210，由已知得10－2x 1＝2x 2－10.又x 2＝2x 1，代入整理得22x 1＋2x 1－20＝0， 解得x 1＝2， 所以a ＝|22－10|＝6. 答案：6[必备知能·自主补缺] 依据学情课下看，针对自身补缺漏；临近高考再浏览，考前温故熟主干[主干知识要记牢]1．指数函数与对数函数的对比表(1)方程的根与函数零点的关系由函数零点的定义，可知函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的实数根，也就是函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点的横坐标．所以方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点．(2)函数零点的存在性定理如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且f (a )·f (b )<0，那么函数f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的实数根．[针对练1] 在下列区间中，函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为( )A.⎝⎛⎭⎫－14，0 B ．⎝⎛⎭⎫0，14 C.⎝⎛⎭⎫14，12D.⎝⎛⎭⎫12，34解析：选C 因为f ⎝⎛⎭⎫14＝e 41＋4×14－3＝e 41－2<0，f ⎝⎛⎭⎫12＝e 21＋4×12－3＝e 21－1>0，f ⎝⎛⎭⎫14·f ⎝⎛⎭⎫12<0，所以f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为⎝⎛⎭⎫14，12. [易错易混要明了]1．不能准确理解基本初等函数的定义和性质．如讨论函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的单调性时忽视字母a 的取值范围，忽视a x >0；研究对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)时忽视真数与底数的限制条件．2．易混淆函数的零点和函数图象与x 轴的交点，不能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值进行准确互化．3．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 有且只有一个零点，要注意讨论a 是否为零．[针对练2] 函数f (x )＝mx 2－2x ＋1有且仅有一个正实数零点，则实数m 的取值范围为________．解析：当m ＝0时，f (x )＝－2x ＋1，则x ＝12为函数的零点．当m ≠0时，若Δ＝4－4m＝0，即当m ＝1时，x ＝1是函数唯一的零点．若Δ＝4－4m ≠0，即m ≠1时，显然x ＝0不是函数的零点．这样函数有且仅有一个正实数零点等价于方程f (x )＝mx 2－2x ＋1有一个正根一个负根．因此1m <0.则m <0.综上知实数m 的取值范围是(－∞，0]∪{1}．答案：(－∞，0]∪{1}[课时跟踪检测] A 级——12＋4提速练一、选择题1．(2018·河北监测)设a ＝log 32，b ＝ln 2，c ＝5-12，则()A ．a <b <cB ．b <c <aC ．c <a <bD ．c <b <a解析：选C 因为c ＝5-12＝15<12，a ＝log 32＝ln 2ln 3<ln 2＝b ，a ＝log 32>log 33＝12，所以c <a <b ，故选C.2．(2018·郑州质量预测)已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －cos x ，则f (x )在[0,2π]上的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 作出g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x与h (x )＝cos x 的图象(图略)，可以看到其在[0,2π]上的交点个数为3，所以函数f (x )在[0,2π]上的零点个数为3，故选C.3．若函数f (x )＝(x 2＋1)·2x ＋m 2x －1是奇函数，则m 的值是( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2解析：选B 设g (x )＝x 2＋1，h (x )＝2x ＋m2x －1，易知g (x )＝x 2＋1是偶函数，则依题意可得h (x )＝2x ＋m 2x －1是奇函数，故h (－x )＝2－x ＋m 2－x －1＝－h (x )＝－2x ＋m 2x －1，化简得2x ＋m ＝m ·2x ＋1，解得m ＝1.选B.4．若函数f (x )＝m ＋log 2x (x ≥1)存在零点，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，0] B ．[0，＋∞) C ．(－∞，0)D ．(0，＋∞)解析：选A ∵函数f (x )＝m ＋log 2x (x ≥1)存在零点，∴方程m ＋log 2x ＝0在x ≥1时有解，∴m ＝－log 2x ≤－log 21＝0.5．已知实数a ＝log 23，b ＝⎝⎛⎭⎫132，c ＝log 13130，则它们的大小关系为( ) A ．a >c >b B ．c >a >b C ．a >b >cD ．b >c >a解析：选B 由对数函数的性质知1<a ＝log 23<2，c ＝log 13130>log 13127＝3>2，又b ＝⎝⎛⎭⎫132＝19<1，从而c >a >b .故选B. 6．若函数y ＝log a (x 2－ax ＋1)有最小值，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(0,1)∪(1,2) C ．(1,2)D ．[2，＋∞)解析：选C 当a >1时，若y 有最小值，则说明x 2－ax ＋1有最小值，故x 2－ax ＋1＝0中Δ<0，即a 2－4<0，∴2>a >1.当1>a >0时，若y 有最小值，则说明x 2－ax ＋1有最大值，与二次函数性质相互矛盾，舍去．综上可知，选C.7．若a ＝2x ，b ＝log 12x ，则“a >b ”是“x >1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 如图，x ＝x 0时，a ＝b ，∴若a >b ，则得到x >x 0，且x 0<1，∴a >b 不一定得到x >1，充分性不成立；若x >1，则由图象得到a >b ，必要性成立．∴“a >b ”是“x >1”的必要不充分条件．故选B.8．(2018·广东汕头模拟)设函数f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，且对任意的实数x ，恒有f (x )－f (－x )＝0，当x ∈[－1,0]时，f (x )＝x 2，若g (x )＝f (x )－log a x 在x ∈(0，＋∞)上有三个零点，则a 的取值范围为( )A ．[3,5]B ．[4,6]C ．(3,5)D ．(4,6)解析：选C ∵f (x )－f (－x )＝0，∴f (x )＝f (－x )，∴f (x )是偶函数，根据函数的周期性和奇偶性作出函数f (x )的图象如图所示：∵g (x )＝f (x )－log a x 在(0，＋∞)上有三个零点，∴y ＝f (x )和y ＝log a x 的图象在(0，＋∞)上有三个交点，作出函数y ＝log a x 的图象，如图， ∴⎩⎪⎨⎪⎧log a 3<1，log a5>1，a >1，解得3<a <5.故选C.9．(2018·郑州模拟)设m ∈N ，若函数f (x )＝2x －m 10－x ＋10存在整数零点，则符合条件的m 的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 解析：选C 由f (x )＝0得m ＝2x ＋1010－x .又m ∈N ，因此有⎩⎪⎨⎪⎧10－x >0，2x ＋10≥0，解得－5≤x <10，x ∈Z ，∴x ＝－5，－4，－3，…，1,2,3，…，8,9，将它们分别代入m ＝2x ＋1010－x，一一验证得，符合条件的m 的取值为0,4,11,28，共4个，故选C.10．(2018·唐山模拟)奇函数f (x )，偶函数g (x )的图象分别如图(1)，(2)所示，函数f (g (x ))，g (f (x ))的零点个数分别为m ，n ，则m ＋n ＝( )A ．3B ．7C ．10D ．14解析：选C 由题中函数图象知f (±1)＝0，f (0)＝0，g ⎝⎛⎭⎫±32＝0，g (0)＝0，g (±2)＝1，g (±1)＝－1，所以f (g (±2))＝f (1)＝0，f (g (±1))＝f (－1)＝0，f ⎝⎛⎭⎫g ⎝⎛⎭⎫±32＝f (0)＝0，f (g (0))＝f (0)＝0，所以f (g (x ))有7个零点，即m ＝7.又g (f (0))＝g (0)＝0，g (f (±1))＝g (0)＝0，所以g (f (x ))有3个零点，即n ＝3.所以m ＋n ＝10，选C.11．(2018·成都模拟)定义在R 上的偶函数f (x )满足f (1－x )＝f (1＋x )，且当x ∈[1,2]时，f (x )＝ln x ．则直线x －5y ＋3＝0与曲线y ＝f (x )的交点个数为(参考数据：ln 2≈0.69，ln 3≈1.10)( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选B 由f (1－x )＝f (1＋x )知，函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，又当x ∈[1,2]时，f (x )＝ln x ，则当x ∈[0,1]时，f (x )＝ln(2－x )．由f (x )是定义在R 上的偶函数，得f (－x )＝f (x )，所以f (x ＋2)＝f [(x ＋1)＋1]＝f [1－(x ＋1)]＝f (－x )＝f (x )，于是f (x )是周期为2的周期函数，值域为[0，ln 2]，从而可以画出函数f (x )的大致图象(如图所示)，然后画出直线y ＝g (x )＝15x ＋35.当x ＝－3时，f (－3)＝f (3)＝f (1)＝0，g (－3)＝15×(－3)＋35＝0，此时有一个交点；当x ＝0时，f (0)＝f (2)＝ln 2≈0.69，g (0)＝35＝0.6，g (0)<f (0)；当x ＝2时，f (2)＝ln 2≈0.69，g (2)＝1，g (2)>f (2)，于是根据图象，直线x －5y ＋3＝0与曲线y ＝f (x )的交点个数为4，故选B.12．(2019届高三·福州四校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x ≥1，1－x 2，x <1，若F (x )＝f [f (x )＋1]＋m有两个零点x 1，x 2，则x 1·x 2的取值范围是( )A ．[4－2ln 2，＋∞)B ．(e ，＋∞)C ．(－∞，4－2ln 2]D ．(－∞，e)解析：选D 因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ ln x ，x ≥1，1－x 2，x <1，所以F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln (ln x ＋1)＋m ，x ≥1，ln ⎝⎛⎭⎫2－x 2＋m ，x <1，由F (x )＝0得，x 1＝e e －m －1，x 2＝4－2e －m ，由⎩⎨⎧x 1≥1，x 2<1得m <ln 23.设t ＝e －m ，则t >32，所以x 1·x 2＝2e t －1(2－t )，设g (t )＝2e t －1·(2－t )，则g ′(t )＝2e t －1(1－t )，因为t >32，所以g ′(t )＝2e t－1(1－t )<0，即函数g (t )＝2e t －1(2－t )在区间⎝⎛⎭⎫32，＋∞上是减函数，所以g (t )<g ⎝⎛⎭⎫32＝e ，故选D.二、填空题13．(2018·南宁、柳州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫12x，x ≤0，log 21x ，x >0，则f ⎝⎛⎭⎫14＋f ⎝⎛⎭⎫log 216＝________.解析：由题可知f ⎝⎛⎭⎫14＝log 2114＝2，因为log 216<0，所以f ⎝⎛⎭⎫log 216＝⎝⎛⎭⎫1261log2＝2log 26＝6，故f ⎝⎛⎭⎫14＋f ⎝⎛⎭⎫log 216＝8. 答案：814．(2018·福建模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x －a ，x ≥1，ln (1－x )，x <1有两个零点，则实数a 的取值范围是________．解析：当x <1时，令ln(1－x )＝0，解得x ＝0，故f (x )在(－∞，1)上有1个零点， ∴f (x )在[1，＋∞)上有1个零点． 当x ≥1时，令x －a ＝0，得a ＝x ≥1. ∴实数a 的取值范围是[1，＋∞)． 答案：[1，＋∞)15．已知函数f (x )为偶函数且f (x )＝f (x －4)，又在区间[0,2]上f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－32x ＋5，0≤x ≤1，2x ＋2－x ，1<x ≤2，函数g (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x |＋a ，若F (x )＝f (x )－g (x )恰有2个零点，则a ＝________.解析：由题意可知f (x )是周期为4的偶函数，画出函数f (x )与g (x )的大致图象，如图，由图可知若F (x )＝f (x )－g (x )恰有2个零点，则有g (1)＝f (1)，解得a ＝2.答案：216．(2018·贵州模拟)20世纪30年代，为了防范地震带来的灾害，里克特(C.F.Richter)制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M ，其计算公式为M ＝lg A －lg A 0，其中A 是被测地震的最大振幅，A 0是“标准地震”的振幅．已知5级地震给人的震感已经比较明显，则7级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的________倍．解析：根据题意有lg A ＝lg A 0＋lg 10M＝lg(A 0·10M)，所以A ＝A 0·10M，则A 0×107A 0×105＝100.答案：100B 级——难度小题强化练1．(2018·武汉模拟)已知x ，y ∈R ，且x >y >0，若a >b >1，则一定有( ) A.a x >b y B ．sin ax >sin by C ．log a x >log b yD ．a x >b y解析：选D 对于A 选项，不妨令x ＝8，y ＝3，a ＝5，b ＝4，显然58＝a x <b y ＝43，A 选项错误；对于B 选项，不妨令x ＝π，y ＝π2，a ＝2，b ＝32，此时sin ax ＝sin 2π＝0，sin by ＝sin3π4＝22，显然sin ax <sin by ，B 选项错误； 对于C 选项，不妨令x ＝5，y ＝4，a ＝3，b ＝2，此时log a x ＝log 35，log b y ＝log 24＝2，显然log a x <log b y ，C 选项错误；对于D 选项，∵a >b >1，∴当x >0时，a x >b x ，又x >y >0，∴当b >1时，b x >b y ，∴a x >b y ，D 选项正确．综上，选D.2．(2018·南昌调研)已知函数f (x )＝e x －1＋4x －4，g (x )＝ln x －1x ，若f (x 1)＝g (x 2)＝0，则( )A ．0<g (x 1)<f (x 2)B ．f (x 2)<g (x 1)<0C ．f (x 2)<0<g (x 1)D ．g (x 1)<0<f (x 2)解析：选D 易知f (x )＝e x －1＋4x －4，g (x )＝ln x －1x 在各自的定义域内是增函数，而f (0)＝e －1＋0－4＝1e －4<0，f (1)＝e 0＋4×1－4＝1>0，g (1)＝ln 1－11＝－1<0，g (2)＝ln 2－12＝ln2e>ln 1＝0.又f (x 1)＝g (x 2)＝0，所以0<x 1<1,1<x 2<2，所以f (x 2)>f (1)>0，g (x 1)<g (1)<0，故g (x 1)<0<f (x 2)．3．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 21(x ＋1)，x ∈[0，1)，1－|x －3|，x ∈[1，＋∞)，则关于x 的函数f (x )＝f (x )－a (0<a <1)的所有零点之和为( )A ．2a －1B ．2－a －1C ．1－2－aD ．1－2a解析：选D 因为f (x )为R 上的奇函数，所以当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－log 12(－x ＋1)，x ∈(－1，0)，－1＋|－x －3|，x ∈(－∞，－1]，画出函数y ＝f (x )的图象和直线y ＝a (0<a <1)，如图．由图可知，函数y ＝f (x )与直线y ＝a (0<a <1)共有5个交点，设其横坐标从左到右分别为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，则x 1＋x 22＝－3，x 4＋x 52＝3，而－log 21(－x 3＋1)＝a ，即log 2(1－x 3)＝a ，可得x 3＝1－2a ，所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＝1－2a ，选D.4．(2019届高三·湘东五校联考)已知y ＝f (x )是定义在R 上的函数，且满足①f (4)＝0；②曲线y ＝f (x ＋1)关于点(－1,0)对称；③当x ∈(－4,0)时f (x )＝log 2⎝⎛⎭⎫x e |x |＋e x －m ＋1.若y ＝f (x )在x ∈[－4,4]上有5个零点，则实数m 的取值范围为( )A ．[－3e－4,1)B ．[－3e －4,1)∪{－e －2}C ．[0,1)∪{－e －2}D ．[0,1)解析：选B ∵曲线y ＝f (x ＋1)关于点(－1,0)对称，∴曲线y ＝f (x )关于点(0,0)对称，∴f (x )在R 上是奇函数，则f (0)＝0.又f (4)＝0，∴f (－4)＝0，而y ＝f (x )在x ∈[－4,4]上有5个零点，故当x ∈(－4,0)时，f (x )＝log 2⎝⎛⎭⎫x e |x |＋e x －m ＋1有1个零点，而此时f (x )＝log 2⎝⎛⎭⎫x e |x |＋e x －m ＋1＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x e －x ＋e x －m ＋1＝log 2(x e x ＋e x －m ＋1)，故x e x ＋e x －m ＋1＝1在x ∈(－4，0)上有1个解．令g (x )＝x e x ＋e x －m ，则g ′(x )＝e x ＋x e x ＋e x ＝e x (x ＋2)，故g (x )在(－4，－2)上是减函数，在(－2,0)上是增函数．而g (－4)＝－4e －4＋e －4－m ＝－3e －4－m ，g (0)＝1－m ，g (－2)＝－2e －2＋e －2－m ＝－e －2－m ，而g (－4)<g (0)，故g (－2)＝－e －2－m ＝0或－3e －4－m ≤0<1－m ，故m ＝－e －2或－3e －4≤m <1，∴实数m 的取值范围为[－3e －4,1)∪{－e －2}．故选B.5．函数f (x )＝log 2x ·log 2(2x )的最小值为________．解析：依题意得f (x )＝12log 2x ·(2＋2log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x ＝⎝⎛⎭⎫log 2x ＋122－14≥－14， 当且仅当log 2x ＝－12，即x ＝22时等号成立，因此函数f (x )的最小值为－14.答案：－146．已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪2x －a2x 在[0,1]上单调递增，则a 的取值范围为________． 解析：令2x ＝t ，t ∈[1,2]，则y ＝⎪⎪⎪⎪t －at 在[1,2]上单调递增．当a ＝0时，y ＝|t |＝t 在[1,2]上单调递增显然成立；当a >0时，函数y ＝⎪⎪⎪t －at ，t ∈(0，＋∞)的单调递增区间是[a ，＋∞)，此时a ≤1，即0<a ≤1时成立；当a <0时，函数y ＝⎪⎪⎪⎪t －a t ＝t －at ，t ∈(0，＋∞)的单调递增区间是[－a ，＋∞)，此时－a ≤1，即－1≤a <0时成立．综上可得a 的取值范围是[－1,1]．答案：[－1,1]。
2019版高考数学二轮复习第1篇专题8函数与导数第1讲小题考法__函数的图象与性质课件
y＝11－ ＋llnn
|x| |x|·sin
x
的部分图象大致为
(A )
解析
设
f(x)＝11－＋llnn
|x| |x|·sin
x，
由 1＋ln |x|≠0 得 x≠±1e，则函数的定义域为－∞，－1e∪－1e，1e∪1e，＋∞．
∵f(－x)＝11－＋llnn
|－x| |－x|·sin
解析 函数 f(x)＝2f－xx－－22，＋x1≤，0x，＞0，则 f(2 018)＝f(2 016)＋1＝f(2 014)＋2＝…＝ f(0)＋1 009＝1－2＋1 009＝1 008, 故答案为 1 008．
3．(2018·百校联盟 4 月联考)已知 f(x)＝x－1 1，x＞1，若 f(1－a)＝f(1＋a)(a＞0)， x＋1，x≤1
4．(2018·延边模拟)若函数 f(x)＝aa·2－x－21－x＋1a，53，x≤x＞1，1 (a＞0，a≠1)，当 x1，x2∈R， x1≠x2，时有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0 恒成立，则 a 的取值范围是___(_2_,_3_]_____.
解析
a－2＞0，
• 3．函数图象平移变换的相关结论
• (1)把y＝f(x)的图象沿x轴左右平移|c|个单位(c＞0时向左移，c ＜0时向右移)得到函数y＝f(x＋c)的图象(c为常数)．
• (2)把y＝f(x)的图象沿y轴上下平移|b|个单位(b＞0时向上移，b ＜0时向下移)得到函数y＝f(x)＋b的图象(b为常数)．
Байду номын сангаас
2．抽象函数的周期性与对称性的结论 (1)函数的周期性 ①若函数 f(x)满足 f(x＋a)＝f(x－a)，则 f(x)是周期函数，T＝2a． ②若函数 f(x)满足 f(x＋a)＝－f(x)，则 f(x)是周期函数，T＝2a． ③若函数 f(x)满足 f(x＋a)＝f1x，则 f(x)是周期函数，T＝2a．
2019版高考数学二轮复习第1篇专题8函数与导数课件
因而 h(x)在(0，e32)上单调递增， 由 h′(x)<0，得 x>e32， 因而 h(x)在(e32，＋∞)上单调递减． ∴h(x)的最大值为 h(e32)＝e－32， ∴a＋2 1>e－32，故 a>2e－32－1.从而实数 a 的取值范围为2e－32－1，＋∞．
T21·利用导数研究函数的 单调性，证明不等式
年份 2016
卷别
小题考查
T8·利用对数函数、指数函数的单调性 比较大小 全国卷Ⅰ T9·函数图象的识别
T12·利用导数研究函数的单调性
全国卷Ⅱ T10·函数的定义域与值域 T12·函数的图象与性质的应用
T7·利用幂函数的单调性比较大小 全国卷Ⅲ
T16·偶函数的性质、导数的几何意义
T13·导数的几何意义 T7·函数性质与函数函数图象的对称性 T9·函数图象的识别 T16·函数求值
大题考查
T21·利用导数研 究函数的极值、单 调区间、证明问题
T21·利用导数求 函数单调区间、函 数零点个数的证明
T21·导数的几何 意义，不等式的恒 成立的证明
年份 2017
卷别 全国卷Ⅰ
全国卷Ⅱ
∴f(x)＝ln x＋x2－3x， f′(x)＝1x＋2x－3． 由 f′(x)>0，得 0<x<12或 x>1， 由 f′(x)<0，得12<x<1， ∴f(x)的单调递增区间为0，12和(1，＋∞)，单调递减区间为12，1．
(2)由fxx<f′2x，得lnxx＋a2x－(a＋1)<21x＋a2x－a＋2 1，即lnxx－21x<a＋2 1在区间(0， ＋∞)上恒成立．
2019届高考数学二轮复习第二篇专题通关攻略专题8函数与导数2.8.2函数与方程及函数的应用课件
【名师点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数取值 范围的常用方法 (1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式 (组),再通过解不等式(组)确定参数的取值范围.
(2)分离参数法:先将参数分离,转化为求函数值域的问 题加以解决. (3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标 系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.
log 1 ( x 1), x (1,0］， 2 1 x 3 , x (, 1］，
画出y=f(x)和y=a(0<a<1)的图象,如图
共有5个交点,所以F(x)有5个零点.
1 3, x (0,1], 2.已知在区间(0,2]上的函数f(x)= xx 1 2 1, x (1, 2],
【考向精练】 1.定义在R上的奇函数f(x),当x≥0时,f(x)=
log (x 1), x ［0,1)， 1 则关于x的函数F(x)=f(x) 2 ［1, ), 1|x 3|, x
a(0<a<1)的零点个数为 (
A.2 B.3 C.4
)
D.5
【解析】选D.因为f(x)为奇函数, 所以x<0时,f(x)=-f(-x)
x
【典例1】(1)函数f(x)= 6 -log2x的零点所在区间是 ( A.(0,1) B.(1,2) C.(3,4) D.(4,+∞) )
(2)(2018·茂名一模)定义在R上函数y=f(x+2)的图象 关于直线x=-2对称,且函数f(x+1)是偶函数.若当 x∈[0,1]时,f(x)=sin x,则函数g(x)=f(x)-e-|x|
函数g(x)= 4x 3 4(x 2) 11 4 11 可知图象关于(2,
2019版高考数学二轮复习第1篇专题8函数与导数课件
看
观
谢
谢
编后语
听课对同学们的学习有着非常重要的作用。课听得好好，直接关系到大家最终的学习成绩。如何听好课，同学们可以参考如下建议：
一、听要点。
一般来说，一节课的要点就是老师们在备课中准备的讲课大纲。许多老师在讲课正式开始之前会告诉大家，同学们对此要格外注意。例如在学习物
理课“力的三要素”这一节时，老师会先列出力的三要素——大小、方向、作用点。这就是一堂课的要点。把这三点认真听好了，这节课就基本掌握了。
四、听方法。
在课堂上不仅要听老师讲课的结论而且要认真关注老师分析、解决问题的方法。比如上语文课学习汉字，一般都是遵循着“形”、“音”、“义”
的研究方向；分析小说，一般都是从人物、环境、情节三个要素入手；写记叙文，则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进
行叙述。这些都是语文学习中的一些具体方法。其他的科目也有适用的学习方法，如解数学题时，会用到反正法；换元法；待定系数法；配方法；消元
法；因式分解法等，掌握各个科目的方法是大家应该学习的核心所在。
优等生经验谈：听课时应注意学习老师解决问题的思考方法。同学们如果理解了老师的思路和过程，那么后面的结论自然就出现了，学习起来才能够举 一反三，事半功倍。
2019/7/8
最新中小学教学课件
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谢谢欣赏！
2019/7/8
最新中小学教学课件
设 h(x)＝lnxx－21x， 则 h′(x)＝1－xl2n x＋21x2＝3－22xl2n x， 由 h′(x)>0，得 0<x<e32，
因而 h(x)在(0，e32)上单调递增， 由 h′(x)<0，得 x>e32， 因而 h(x)在(e32，＋∞)上单调递减． ∴h(x)的最大值为 h(e32)＝e－32， ∴a＋2 1>e－32，故 a>2e－32－1.从而实数 a 的取值范围为2e－32－1，＋∞．
2019版高考数学复习函数与导数第2讲小题考法——基本初等函数、函数与方程学案
第2讲小题考法——基本初等函数、函数与方程一、主干知识要记牢1．指数函数与对数函数的对比表2．方程的根与函数的零点(1)方程的根与函数零点的关系由函数零点的定义，可知函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．所以方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(2)函数零点的存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)·f(b)<0，那么函数f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c 也就是方程f(x)＝0的实数根．二、易错易混要明了1．不能准确理解基本初等函数的定义和性质．如讨论函数y＝a x(a>0，a≠1)的单调性时忽视字母a的取值范围，忽视a x>0；研究对数函数y＝log a x(a>0，a≠1)时忽视真数与底数的限制条件．2．易混淆函数的零点和函数图象与x轴的交点，不能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值进行准确互化．3．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 有且只有一个零点，要注意讨论a 是否为零．考点一 基本初等函数的图象与性质3招破解指数、对数、幂函数值的大小比较问题(1)底数相同，指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较． (2)底数相同，真数不同的对数值用对数函数的单调性比较．(3)底数不同、指数也不同，或底数不同、真数也不同的两个数，常引入中间量或结合图象比较大小．1．(2018·南充三模)在同一坐标系中，函数y ＝2－x与y ＝－log 2x 的图象都正确的是( A )A BC D解析 因为y ＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，所以函数单调递减，排除B ，D ． y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 与y ＝－log 2x ＝log 12x 的图象关于y ＝x 轴对称．排除C ． 故选A ．2．已知函数f (x )＝3x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，则f (x )( A )A ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数解析 因为f (x )＝3x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，且定义域为R ，所以f (－x )＝3－x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －3x ＝－3x＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＝－f (x )，即函数f (x )是奇函数．又y ＝3x 在R 上是增函数，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上是减函数，所以f (x )＝3x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上是增函数．3．(2017·全国卷Ⅰ)设x ，y ，z 为正数，且2x＝3y＝5z，则( D ) A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z解析 令t ＝2x＝3y＝5z，∵x ，y ，z 为正数，∴t >1． 则x ＝log 2t ＝lg t lg 2，同理，y ＝lg t lg 3，z ＝lg tlg 5．∴2x －3y ＝2lg t lg 2－3lg t lg 3＝lg t －lg 2×lg 3＝lg t －lg 2×lg 3>0，∴2x >3y ．又∵2x －5z ＝2lg tlg 2－5lg t lg 5＝lg t －lg 2×lg 5＝lg t－lg 2×lg 5<0，∴2x <5z ，∴3y <2x <5z .故选D ． 考点二 函数的零点1．判断函数零点个数的方法2．利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 (1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解． (2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解．1．(2018·安阳模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|x ＋1|，x ＜1，x 2－4x ＋2，x ≥1，则函数g (x )＝2|x |f (x )－2的零点个数为( B )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析 画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|x ＋1|，x ＜1，x 2－4x ＋2，x ≥1，的图象如图，由g (x )＝2|x |f (x )－2＝0可得f (x )＝22|x |，则问题化为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|x ＋1|，x ＜1，x 2－4x ＋2，x ≥1，与函数y ＝22|x |＝21－|x |的图象的交点的个数问题．结合图象可以看出两函数图象的交点只有两个，应选答案B ．2．函数f (x )＝e x＋x －2的零点所在的一个区间是( C ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1,2)解析方法一 ∵f (0)＝e 0＋0－2＝－1＜0，f (1)＝e 1＋1－2＝e －1＞0，∴f (0)f (1)＜0，故函数f (x )＝e x＋x －2的零点所在的一个区间是(0,1)，选C ．方法二 函数f (x )＝e x ＋x －2的零点，即函数y ＝e x的图象与y ＝－x ＋2的图象的交点的横坐标，作出函数y ＝e x与直线y ＝－x ＋2的图象如图所示，由图可知选C ．3．(2018·湖北联考)奇函数f (x )是R 上单调函数，g (x )＝f (ax 3)＋f (1－3x )有唯一零点，则a 的取值集合为{a |a ≤0或a ＞4}．解析 函数g (x )＝f (ax 3)＋f (1－3x )有且只有一个零点，即方程f (ax 3)＋f (1－3x )＝0有且只有一个根或两相等实数根，∵函数f (x )是奇函数，即f (ax 3)＝f (－1＋3x )有且只有一个根或两相等实数根，又f (x )是R 上的单调函数，∴方程ax 3＝－1＋3x ，即a ＝－1x 3＋3x2有且只有一个根或两相等实数根，作出y ＝－1x 3＋3x2的图象：由图易得a的取值集合{a|a≤0或a＞4}．。
2019年高考数学大二轮复习专题二函数与导数2.2基本初等函数函数与方程课件201812282120
解析：(1)令 h(x)＝－x－a， 则 g(x)＝f(x)－h(x)． 在同一坐标系中画出 y＝f(x)，y＝h(x)图象的示意图， 如图所示． 若 g(x)存在 2 个零点，则 y＝f(x)的图象与 y＝h(x)的图象有 2 个交点，平移 y ＝h(x)的图象，可知当直线 y＝－x－a 过点(0,1)时，有 2 个交点， 此时 1＝－0－a，a＝－1.
∵x∈[0，π]， π π 19 ∴3x＋6∈6， 6 π， π π 3π 5π ∴当 3x＋6取值为2， 2 ， 2 时，f(x)＝0， 即函数 答案：
π f(x)＝cos3x＋6在[0，π]的零点个数为
3.
(1)C
(2)3
[母题变式] 本例(1)变式：已知函数
f(x)的零点只有 1 个．故选 B.
答案： B
2．已知函数
x 2 －10≤x<1， f(x)＝ fx－1x≥1，
若函数 g(x)＝f(x)－kx－k 有四个不同的
零点，则实数 k 的取值范围为________． 解析： 因为当 x≥1 时，f(x)＝f(x－1)，所以当 x≥0 时，f(x)＝f(x＋1)，即函 数 f(x)是以 1 为周期的周期函数． 函数 g(x)＝f(x)－kx－k 有四个不同的零点， 等价于函数 y＝f(x)的图象与直线 y ＝k(x＋1)有四个不同的交点，画出函数 y＝f(x)的图象．
(1)(2018· 全国卷Ⅰ)已知函数
x e ，x≤0， f(x)＝若 g(x)存在 2 个零点，则 a 的取值范围是( A．[－1,0) C．[－1，＋∞) (2)(2018· 全国卷Ⅲ)函数 B．[0，＋∞) D．[1，＋∞)
)
π f(x)＝cos3x＋6在[0，π]的零点个数为________．
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第2讲小题考法——基本初等函数、函数与方程
一、主干知识要记牢
1．指数函数与对数函数的对比表
2．方程的根与函数的零点
(1)方程的根与函数零点的关系
由函数零点的定义，可知函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．所以方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
(2)函数零点的存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)·f(b)<0，那么函数f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的实数根．
二、易错易混要明了
1．不能准确理解基本初等函数的定义和性质．如讨论函数y＝a x(a>0，a≠1)的单调性时忽视字母a 的取值范围，忽视a x>0；研究对数函数y＝log a x(a>0，a≠1)时忽视真数与底数的限制条件．2．易混淆函数的零点和函数图象与x轴的交点，不能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值进行准确互化．
3．函数f(x)＝ax2＋bx＋c有且只有一个零点，要注意讨论a是否为零．
考点一 基本初等函数的图象与性质
3招破解指数、对数、幂函数值的大小比较问题
(1)底数相同，指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较． (2)底数相同，真数不同的对数值用对数函数的单调性比较．
(3)底数不同、指数也不同，或底数不同、真数也不同的两个数，常引入中间量或结合图象比较大小．
1．(2018·南充三模)在同一坐标系中，函数y ＝2－x
与y ＝－log 2x 的图象都正确的是( A )
A B
C D
解析 因为y ＝2－x
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，所以函数单调递减，排除B ，D ． y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x 与y ＝－log 2x ＝log 12
x 的图象关
于y ＝x 轴对称．排除C ． 故选A ．
2．已知函数f (x )＝3x
－⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x ，则f (x )( A )
A ．是奇函数，且在R 上是增函数
B ．是偶函数，且在R 上是增函数
C ．是奇函数，且在R 上是减函数
D ．是偶函数，且在R 上是减函数
解析 因为f (x )＝3x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，且定义域为R ，所以f (－x )＝3－x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －3x ＝－3x
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＝－f (x )，
即函数f (x )是奇函数．又y ＝3x 在R 上是增函数，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上是减函数，所以f (x )＝3x
－⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x 在R 上是
增函数．
3．(2017·全国卷Ⅰ)设x ，y ，z 为正数，且2x
＝3y
＝5z
，则( D ) A ．2x <3y <5z
B ．5z <2x <3y
C ．3y <5z <2x
D ．3y <2x <5z
解析 令t ＝2x
＝3y
＝5z
，∵x ，y ，z 为正数，∴t >1． 则x ＝log 2t ＝lg t lg 2，同理，y ＝lg t lg 3，z ＝lg t
lg 5．
∴2x －3y ＝2lg t lg 2－3lg t
lg 3＝
－
lg 2×lg 3＝－lg 2×lg 3
>0，∴2x >3y ．
又∵2x －5z ＝2lg t
lg 2－5lg t
lg 5＝
－lg 2×lg 5
＝
－lg 2×lg 5
<0，
∴2x <5z ，∴3y <2x <5z .故选D ． 考点二 函数的零点
1．判断函数零点个数的方法
2．利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 (1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解． (2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．
(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解．
1．(2018·安阳模拟)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
1－|x ＋1|，x ＜1，
x2－4x ＋2，x≥1，则函数g (x )＝2|x |
f (x )－2的零点个数
为( B )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
解析 画出函数f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
1－|x ＋1|，x ＜1，
x2－4x ＋2，x≥1，的图象如图，
由g (x )＝2|x |
f (x )－2＝0可得f (x )＝2
2|x|，则问题化为函数f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
1－|x ＋1|，x ＜1，x2－4x ＋2，x≥1，与函数y
＝
22|x|
＝21－|x |
的图象的交点的个数问题．结合图象可以看出两函数图象的交点只有两个，应选答案B ． 2．函数f (x )＝e x
＋x －2的零点所在的一个区间是( C ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1,2)
解析
方法一 ∵f (0)＝e 0
＋0－2＝－1＜0，f (1)＝e 1
＋1－2＝e －1＞0，∴f (0)f (1)＜0，故函数f (x )＝e x
＋x －2的零点所在的一个区间是(0,1)，选C ．
方法二 函数f (x )＝e x ＋x －2的零点，即函数y ＝e x
的图象与y ＝－x ＋2的图象的交点的横坐标，作出函数y ＝e x
与直线y ＝－x ＋2的图象如图所示，
由图可知选C ．
3．(2018·湖北联考)奇函数f (x )是R 上单调函数，g (x )＝f (ax 3
)＋f (1－3x )有唯一零点，则a 的取值集合为{a |a ≤0或a ＞4}．
解析 函数g (x )＝f (ax 3
)＋f (1－3x )有且只有一个零点，即方程f (ax 3
)＋f (1－3x )＝0有且只有一个根或两相等实数根，∵函数f (x )是奇函数，即f (ax 3
)＝f (－1＋3x )有且只有一个根或两相等实数根，又
f (x )是R 上的单调函数，∴方程ax 3＝－1＋3x ，即a ＝－1x3＋3x2
有且只有一个根或两相等实数根，作出y
＝－1x3＋3
x2
的图象：
由图易得a的取值集合{a|a≤0或a＞4}．。