积分对称性定理

关于积分对称性定理

1、 定积分：

设)(x f 在[],a a -上连续，则

()()()()-0

0,d 2d ,a a

a

f x x f x x f x x f x x ⎧⎪

=⎨⎪⎩⎰

⎰为的奇函数,为的偶函数.

2、 二重积分：

若函数),(y x f 在平面闭区域D 上连续，则

（1）如果积分区域D 关于x 轴对称，),(y x f 为y 的奇（或偶）函数，即 ),(),(y x f y x f -=-（或),(),(y x f y x f =-），则二重积分

()()()()1

0,,,d d 2,d d ,,D D f x y y f x y x y f x y x y f x y y ⎧⎪

=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.

其中：1D 为D 满足0≥y 上半平面区域。

（2） 如果积分区域D 关于y 轴对称，),(y x f 为x 的奇（或偶）函数，即()(),,f x y f x y -=-（或()(),,f x y f x y -=），则二重积分

()()()()2

0,,,d d 2,d d ,

,D

D f x y x f x y x y f x y x y f x y x ⎧⎪

=⎨⎪⎩⎰⎰

⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.

其中：2D 为D 满足0x ≥的右半平面区域。

（3）如果积分区域D 关于原点对称，),(y x f 为y x ,的奇（或偶）函数，即

),(),(y x f y x f -=--（或),(),(y x f y x f =--）则二重积分

()()()()2

0,,,,d d 2,d d ,,,D D f x y x y f x y x y f x y x y f x y x y ⎧⎪

=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.

其中:1D 为D 在0≥y 上半平面的部分区域。 （4）如果积分区域D 关于直线x y =对称,则二重积分

()()y x x y f y x y x f D

D

d d ,d d ,⎰⎰⎰⎰=.（二重积分的轮换对称

性）

(5)如果积分区域D 关于直线y x =-对称,则有

1

0,(,)(,)(,)2(,),(,)(,)D D f y x f x y f x y dxdy f x y dxdy f y x f x y --=-⎧⎪

=⎨--=⎪⎩⎰⎰⎰⎰当时当时

利用上述性质定理化简二重积分计算时,应注意的是（1）（2）（3）中应同时具有积分域D 对称及被积函数()y x f ,具有奇偶性两个特

性。

3、三重积分：

(1)若()z y x f ,,为闭区域Ω上的连续函数，空间有界闭区域Ω关于xoy 坐标面对称，1Ω为Ω位于xoy 坐标面上侧0≥z 的部分区域，则有

()()()()1

0,,,,,d d d 2,,d d d ,,,f x y z z f x y z x y z f x y z x y z f x y z z ΩΩ⎧⎪

=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰为的奇函数,

为的偶函数.

注：),,(z y x f 是z 的奇函数：),,(),(z y x f z y x f -=-

),,(z y x f 是z 的偶函数：),,(),(z y x f z y x f =-

同样，对于空间闭区域Ω关于yoz xoz ,坐标面对称也有类似的性质。

4、

曲线积分（第一类）

（1）若分段光滑平面曲线L 关于y 轴对称，且()y x f ,在L 上为连续函数，1L 为L 位于y 轴右侧的弧段，则

()()()()1

0,,,d 2,d ,,L

L f x y x f x y s f x y s f x y x ⎧⎪=⎨

⎪⎩⎰

⎰为的奇函数,为的偶函数.

（2）若分段光滑平面曲线L 关于x 轴对称，且()y x f ,在L 上为连续函数，1L 为L 位于x 轴上侧的弧段，则

()()()()1

0,,,d 2,d ,,L L f x y y f x y s f x y s f x y y ⎧⎪

=⎨⎪⎩⎰⎰为的奇函数,为的偶函数. （3）若L 关于直线x y =对称，则

ds

x y f ds y x f L

L

⎰⎰=),(),(

其中（3）式也称为第一类曲线积分的轮换对称性。 5、第二类曲线积分

（1）设分段光滑的平面曲线L 关于x 轴对称，且L 在x 轴的上半部分1L 与在下半部分的2L 方向相反，

则

()()()()1

0,,,d 2,d ,

,L L P x y y P x y x P x y x P x y y ⎧⎪

=⎨⎪⎩⎰⎰是关于的偶函数,

是关于的奇函数.

（2）设分段光滑的平面曲线L 关于y 轴对称，且L 在y 轴的右半部分1L 与在左半部分的2L 方向相反

则

()()()()1

0,,,d 2,d ,,L L P x y x P x y x P x y x P x y x ⎧⎪

=⎨⎪⎩⎰⎰是关于的偶函数,是关于的奇函数.

对于积分(),L

Q x y dy ⎰也有类似地结论。上述结论可推广到空间曲线的情

形.

6、 第一类曲面积分：

若曲面∑关于xoy 坐标面对称，()z y x f ,,为∑上的连续函数，1∑为∑位于xoy 上侧0≥z 的部分曲面，则

()()()()1

0,,,,,d 2,,d ,,,f x y z z f x y z S f x y z S f x y z z ∑∑⎧⎪

=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.

曲面关于xoz yoz ,坐标平面对称也有类似的性质。

7、第二类曲面积分的对称性

设函数),,(,),,(,),,(z y x R z y x Q z y x P 在分片光滑的曲面∑上连续， （1）设分片光滑的曲面∑关于xoy 坐标面对称，且∑在xoy 上半空间的部分曲面1∑取上侧，在xoy 下半空间的部分曲面2∑取定下侧，则

()()()()1

0,,,,,d d 2,,d d ,,,R x y z z R x y z x y R x y z x y R x y z z ∑∑⎧⎪

=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰关于是偶函数,

关于是奇函数.

（2）设分片光滑的曲面∑关于yoz 坐标面对称，且∑在yoz 前半空间的部分曲面1∑取前侧，在yoz 后半空间的部分曲面2∑取后侧，则

()()()()1

0,,,,,d d 2,,d d ,,,P x y z x P x y z x y P x y z y z P x y z x ∑∑⎧⎪

=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰关于是偶函数,

关于是奇函数.

（3）设分片光滑的曲面∑关于xoz 坐标面对称，且∑在xoz 右半空间的部分曲面1∑取右侧，在xoz 左半空间的部分曲面2∑取左侧，则