高中数学第2章平面向量及其应用2从位移的合成到向量的加减法2.2向量的减法课件北师大版必修第二册
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方法三(利用A→B＝O→B－O→A)设 O 是平面内任意一点，则(A→B－C→D)－ (A→C－B→D)＝A→B－C→D－A→C＋B→D＝(O→B－O→A)－(O→D－O→C)－(O→C－O→A)＋ (O→D－O→B)＝O→B－O→A－O→D＋O→C－O→C＋O→A＋O→D－O→B＝0.
(2)方法一 O→A－O→D＋A→D＝D→A＋A→D＝0. 方法二 O→A－O→D＋A→D＝O→A＋A→D－O→D＝O→D－O→D＝0. (3)A→B＋D→A＋B→D－B→C－C→A＝A→B＋D→A＋B→D＋C→B＋A→C＝(A→B＋B→D)＋ (A→C＋C→B)＋D→A＝A→D＋A→B＋D→A＝A→D＋D→A＋A→B＝0＋A→B＝A→B.
知识点2 向量的减法
定义
向量 a 加上 b 的相反向量，叫作 a 与 b 的差，即 a－b＝ __a_＋__(－__b_)__，求两个向量差的运算，叫作向量的减法
几何意义 如图，设O→A＝a，O→B＝b，则B→A＝a－b，即 a－b 表示为从向 量 b 的_终__点___指向向量 a 的_终__点___的向量
[分析]
[解析] (1)方法一(统一成加法) (A→B－C→D)－(A→C－B→D)＝A→B－C→D －A→C＋B→D＝A→B＋D→C＋C→A＋B→D＝A→B＋B→D＋D→C＋C→A＝A→D＋D→A＝0.
方法二(利用减法) (A→B－C→D)－(A→C－B→D)＝A→B－C→D－A→C＋B→D＝ (A→B－A→C)－C→D＋B→D＝C→B－C→D＋B→D＝D→B＋B→D＝0.
[解析] (1)D→C＝A→C－A→D＝(A→B＋B→C)－A→D＝a＋c－b. (2)法一：如图①所示，在平面内任取一点 O，作O→A＝a，A→B＝b，则 O→B＝a＋b，再作O→C＝c，则C→B＝a＋b－c.
法二：如图②所示，在平面内任取 一点 O，作O→A＝a，A→B＝b，则O→B＝a ＋b，再作C→B＝c，连接 OC，则O→C＝a ＋b－c.
(B)
3．化简A→C－B→D＋C→D－A→B得
A．A→B
B．D→A
C．B→C
D．0
[解析] 原式＝(A→C－A→B)＋(C→D＋D→B)＝B→C＋C→B＝0.
( D)
4．若菱形 ABCD 的边长为 2，则|A→B－C→B＋C→D|＝__2___. [解析] |A→B－C→B＋C→D|＝|A→B＋B→C＋C→D|＝|A→C＋C→D|＝|A→D|＝2. 5．化简下列式子：(1)N→Q－P→Q－N→M－M→P； (2)(B→A－B→C)－(E→D－E→C)． [解析] (1)原式＝N→Q＋Q→P＋M→N－M→P＝N→P＋(P→M＋M→N)＝N→P＋P→N ＝0. (2)(B→A－B→C)－(E→D－E→C)＝(C→B＋B→A)－(C→E＋E→D)＝C→A－C→D＝D→C＋ C→A＝D→A.
解法三：由正六边形的几何性质，得 O→B＝－b，O→D＝－a.
在□OBCD 中，O→C] 解此类问题要根据图形的几何性质，运用向量的平行四 边形法则和三角形法则解题．要特别注意向量的方向以及运算式中向量 之间的关系．
【对点练习】❸ 如图所示，解答下列各题： (1)用 a，d，e 表示D→B； (2)用 b，c 表示D→B； (3)用 a，b，e 表示E→C； (4)用 c，d 表示E→C.
③a＋(－a)＝0；④a＋0＝a；⑤a－b＝a＋(－b)；
⑥a＋(－a)＝0.
正确的个数是
A．3
B．4
C．5
D．6
[解析] 只有⑥不正确．
( C)
2．在△ABC 中，B→C＝a，C→A＝b，则A→B等于
A．a＋b
B．－a－b
C．a－b
D．b－a
[解析] A→B＝C→B－C→A＝－B→C－C→A＝－a－b，故选 B．
第二章 平面向量及其应用
§2 从位移的合成到向量的加减法
向量的减法
课程标准
核心素养
借助实例和平面向量的几何表示， 通过本节向量减法的学习，重点培
掌握平面向量的减法运算及运算 养学生的逻辑推理，数学运算素养.
规则，理解其几何意义.
必备知识•探新知 关键能力•攻重难 课堂检测•固双基
必备知识•探新知
( A)
A．a－b＋c
B．b－(a＋c)
C．a＋b＋c
D．b－a＋c
(2)如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.
[分析] 求作两个向量的差向量时，当两个向量有共同起点，直接 连接两个向量的终点，并指向被减向量，就得到两个向量的差向量；若 两个向量的起点不重合，先通过平移使它们的始点重合，再作出差向 量．
(2)①B→A＋O→D－O→A－B→C＝(B→A－B→C)＋(O→D－O→A) ＝C→A＋A→D＝C→D. ②(A→C＋B→O＋O→A)－(D→C－D→O－O→B)＝A→C＋B→A－O→C＋O→B＝A→C＋ C→O＋O→B＋B→A＝A→B＋B→A＝0.
题型三
利用已知向量表示其他向量
例 3 如图，在正六边形 ABCDEF 中，O 为中心，若O→A＝a，O→E
【对点练习】❹ 如图所示，已知 O 为平行四边形 ABCD 内一点， O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，求O→D.
[解析] B→C＝O→C－O→B＝c－b， 又A→D＝B→C，∴A→D＝c－b， ∴O→D＝O→A＋A→D＝a＋c－b.
课堂检测•固双基
1．下列等式：①0－a＝－a；②－(－a)＝a；
＝b，用向量 a，b 表示向量O→B，O→C和O→D.
找已知向量与所 利用法则 [分析] 观察图形 → 求向量的关系 → 写出结果
[解析] 解法一：在□OAFE 中，OF 为对角线，且 OA，OF，OE 起
点相同，应用平行四边形法则，得O→F＝O→A＋O→E＝a＋b. ∵O→C＝－O→F，∴O→C＝－a－b. 而O→B＝－O→E＝－b，O→D＝－O→A＝－a， ∴O→B＝－b，O→C＝－a－b，O→D＝－a. 解法二：由正六边形的几何性质，得 O→D＝－a，O→B＝－b，B→C＝－O→A＝－a. 在△OBC 中，O→C＝O→B＋B→C＝－a－b.
[归纳提升] 求作两个向量差向量的2种思路 (1)直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向 量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量． (2)转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋ (－b)即可．
【对点练习】❶ 如图所示，已知向量a，b，c，d，求作向量a－ b，c－d.
( √)
( √) ( √) ( ×)
[解析] (1)两个向量的差不改变性质，仍是一个向量． (2)两个向量的差是由减向量的终点指向被减向量的终点． (3)a－b的相反向量是－(a－b)＝b－a. (4)|a－b|与|a＋b|的大小关系不确定，与a，b的夹角有关．
2．在△ABC 中，A→B＝a，A→C＝b，则B→C＝
【对点练习】❷ (1)向量M→N可以写成：①M→O＋O→N；②M→O－O→N； ③O→M－O→N；④O→N－O→M.
其中正确的是__①__④__(填序号)． (2)化简：①B→A＋O→D－O→A－B→C； ②(A→C＋B→O＋O→A)－(D→C－D→O－O→B)．
[解析] (1)①M→O＋O→N＝M→N；②M→O－O→N＝－O→M－O→N＝－(O→M＋ O→N)≠M→N；③O→M－O→N＝N→M；④O→N－O→M＝M→N，故填①④.
A．a＋b
B．a－b
C．b－a
D．－a－b
[解析] B→C＝A→C－A→B＝b－a.
( C)
3.A→C可以写成①A→O＋O→C；②A→O－O→C；③O→A－O→C；④O→C－O→A.其
中正确的是
(D )
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④
[解析] A→O＋O→C＝A→C，故①正确；O→A－O→C＝C→A，故③不能写成A→C；
[解析] 如图所示，在平面内任取一点 O，作O→A＝a，O→B＝b，O→C＝ c，O→D＝d，
则 a－b＝B→A，c－d＝D→C.
题型二
三角形法则下的向量加减法运算
例 2 化简：(1)(A→B－C→D)－(A→C－B→D)．
(2)O→A－O→D＋A→D.
(3)A→B＋D→A＋B→D－B→C－C→A.
基础知识 知识点1 相反向量(复习回顾)
把与a长度相等、方向相反的向量，叫作a的相反向量，记作 定义 __－__a__
规定：零向量的相反向量仍是零向量 (1)零向量的相反向量仍是零向量，于是－(－0)＝___0__； 性质 (2)互为相反向量的两个向量的和为0，即a＋(－a)＝(－a)＋a＝0； (3)若a＋b＝0，则a＝__－__b__，b＝__－__a__.
[错解] 因为O→D＝O→C＋C→D，C→D＝B→A＝O→B－O→A，所以O→D＝O→C＋ O→B－O→A＝r3＋r2－r1．
[错因分析] 错误地使用了向量的减法法则．
[正解] 因为O→D＝O→C＋C→D，C→D＝B→A＝O→A－O→B，所以O→D＝O→C＋ O→A－O→B＝r3＋r1－r2.
[误区警示] 减法口诀：始点相同，连接终点，箭头指向被减向 量．应把始点相同的放在一起计算．必要时，可画出图形，结合图形观 察将使问题更为直观．
O→C－O→A＝A→C，故④正确．
4．已知|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝ 5，则|a－b|＝___5__.
[解析] 根据平行四边形法则，因为( 5)2＝12＋22， 所以平行四边形为矩形，那么|a－b|＝|a＋b|＝ 5.
关键能力•攻重难
题型探究
题型一
向量的减法及其几何意义
例 1 (1)四边形 ABCD 中，若A→B＝a，A→D＝b，B→C＝c，则D→C＝
[解析] (1)D→B＝D→E＋E→A＋A→B ＝d＋e＋a＝a＋d＋e. (2)D→B＝C→B－C→D＝－B→C－C→D＝－b－c. (3)E→C＝E→A＋A→B＋B→C＝a＋b＋e. (4)E→C＝－C→E＝－(C→D＋D→E)＝－c－d.
题型探究 错误使用向量的减法法则
例 4 如图，已知一点 O 到平行四边形 ABCD 的三个顶点 A，B， C 的向量分别为 r1，r2，r3，求O→D.
思考：向量减法的三角形法则是什么？ 提示：(1)两个向量a，b的始点移到同一点； (2)连接两个向量(a与b)的终点； (3)差向量a－b的方向是指向被减向量的终点． 这种求差向量a－b的方法叫作向量减法的三角形法则．概括为“移 为共始点，连接两终点，方向指被减”．
基础自测
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”) (1)两个向量的差仍是一个向量． (2)B→A＝O→A－O→B. (3)a－b 的相反向量是 b－a. (4)|a－b|<|a＋b|.
[归纳提升] 掌握向量加、减法的定义及向量加法的交换律、结合律 等基础知识，可以将杂乱的向量运算有序化处理，进行向量的加减运算 时，常用的变形如下：
(1)运用A→B＝－B→A化减为加． (2)运用A→B＋B→A＝0 或A→B＋B→C＝A→C化繁为简． (3)运用A→B＝O→B－O→A转化为共起点的两个向量的差．
(2)方法一 O→A－O→D＋A→D＝D→A＋A→D＝0. 方法二 O→A－O→D＋A→D＝O→A＋A→D－O→D＝O→D－O→D＝0. (3)A→B＋D→A＋B→D－B→C－C→A＝A→B＋D→A＋B→D＋C→B＋A→C＝(A→B＋B→D)＋ (A→C＋C→B)＋D→A＝A→D＋A→B＋D→A＝A→D＋D→A＋A→B＝0＋A→B＝A→B.
知识点2 向量的减法
定义
向量 a 加上 b 的相反向量，叫作 a 与 b 的差，即 a－b＝ __a_＋__(－__b_)__，求两个向量差的运算，叫作向量的减法
几何意义 如图，设O→A＝a，O→B＝b，则B→A＝a－b，即 a－b 表示为从向 量 b 的_终__点___指向向量 a 的_终__点___的向量
[分析]
[解析] (1)方法一(统一成加法) (A→B－C→D)－(A→C－B→D)＝A→B－C→D －A→C＋B→D＝A→B＋D→C＋C→A＋B→D＝A→B＋B→D＋D→C＋C→A＝A→D＋D→A＝0.
方法二(利用减法) (A→B－C→D)－(A→C－B→D)＝A→B－C→D－A→C＋B→D＝ (A→B－A→C)－C→D＋B→D＝C→B－C→D＋B→D＝D→B＋B→D＝0.
[解析] (1)D→C＝A→C－A→D＝(A→B＋B→C)－A→D＝a＋c－b. (2)法一：如图①所示，在平面内任取一点 O，作O→A＝a，A→B＝b，则 O→B＝a＋b，再作O→C＝c，则C→B＝a＋b－c.
法二：如图②所示，在平面内任取 一点 O，作O→A＝a，A→B＝b，则O→B＝a ＋b，再作C→B＝c，连接 OC，则O→C＝a ＋b－c.
(B)
3．化简A→C－B→D＋C→D－A→B得
A．A→B
B．D→A
C．B→C
D．0
[解析] 原式＝(A→C－A→B)＋(C→D＋D→B)＝B→C＋C→B＝0.
( D)
4．若菱形 ABCD 的边长为 2，则|A→B－C→B＋C→D|＝__2___. [解析] |A→B－C→B＋C→D|＝|A→B＋B→C＋C→D|＝|A→C＋C→D|＝|A→D|＝2. 5．化简下列式子：(1)N→Q－P→Q－N→M－M→P； (2)(B→A－B→C)－(E→D－E→C)． [解析] (1)原式＝N→Q＋Q→P＋M→N－M→P＝N→P＋(P→M＋M→N)＝N→P＋P→N ＝0. (2)(B→A－B→C)－(E→D－E→C)＝(C→B＋B→A)－(C→E＋E→D)＝C→A－C→D＝D→C＋ C→A＝D→A.
解法三：由正六边形的几何性质，得 O→B＝－b，O→D＝－a.
在□OBCD 中，O→C] 解此类问题要根据图形的几何性质，运用向量的平行四 边形法则和三角形法则解题．要特别注意向量的方向以及运算式中向量 之间的关系．
【对点练习】❸ 如图所示，解答下列各题： (1)用 a，d，e 表示D→B； (2)用 b，c 表示D→B； (3)用 a，b，e 表示E→C； (4)用 c，d 表示E→C.
③a＋(－a)＝0；④a＋0＝a；⑤a－b＝a＋(－b)；
⑥a＋(－a)＝0.
正确的个数是
A．3
B．4
C．5
D．6
[解析] 只有⑥不正确．
( C)
2．在△ABC 中，B→C＝a，C→A＝b，则A→B等于
A．a＋b
B．－a－b
C．a－b
D．b－a
[解析] A→B＝C→B－C→A＝－B→C－C→A＝－a－b，故选 B．
第二章 平面向量及其应用
§2 从位移的合成到向量的加减法
向量的减法
课程标准
核心素养
借助实例和平面向量的几何表示， 通过本节向量减法的学习，重点培
掌握平面向量的减法运算及运算 养学生的逻辑推理，数学运算素养.
规则，理解其几何意义.
必备知识•探新知 关键能力•攻重难 课堂检测•固双基
必备知识•探新知
( A)
A．a－b＋c
B．b－(a＋c)
C．a＋b＋c
D．b－a＋c
(2)如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.
[分析] 求作两个向量的差向量时，当两个向量有共同起点，直接 连接两个向量的终点，并指向被减向量，就得到两个向量的差向量；若 两个向量的起点不重合，先通过平移使它们的始点重合，再作出差向 量．
(2)①B→A＋O→D－O→A－B→C＝(B→A－B→C)＋(O→D－O→A) ＝C→A＋A→D＝C→D. ②(A→C＋B→O＋O→A)－(D→C－D→O－O→B)＝A→C＋B→A－O→C＋O→B＝A→C＋ C→O＋O→B＋B→A＝A→B＋B→A＝0.
题型三
利用已知向量表示其他向量
例 3 如图，在正六边形 ABCDEF 中，O 为中心，若O→A＝a，O→E
【对点练习】❹ 如图所示，已知 O 为平行四边形 ABCD 内一点， O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，求O→D.
[解析] B→C＝O→C－O→B＝c－b， 又A→D＝B→C，∴A→D＝c－b， ∴O→D＝O→A＋A→D＝a＋c－b.
课堂检测•固双基
1．下列等式：①0－a＝－a；②－(－a)＝a；
＝b，用向量 a，b 表示向量O→B，O→C和O→D.
找已知向量与所 利用法则 [分析] 观察图形 → 求向量的关系 → 写出结果
[解析] 解法一：在□OAFE 中，OF 为对角线，且 OA，OF，OE 起
点相同，应用平行四边形法则，得O→F＝O→A＋O→E＝a＋b. ∵O→C＝－O→F，∴O→C＝－a－b. 而O→B＝－O→E＝－b，O→D＝－O→A＝－a， ∴O→B＝－b，O→C＝－a－b，O→D＝－a. 解法二：由正六边形的几何性质，得 O→D＝－a，O→B＝－b，B→C＝－O→A＝－a. 在△OBC 中，O→C＝O→B＋B→C＝－a－b.
[归纳提升] 求作两个向量差向量的2种思路 (1)直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向 量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量． (2)转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋ (－b)即可．
【对点练习】❶ 如图所示，已知向量a，b，c，d，求作向量a－ b，c－d.
( √)
( √) ( √) ( ×)
[解析] (1)两个向量的差不改变性质，仍是一个向量． (2)两个向量的差是由减向量的终点指向被减向量的终点． (3)a－b的相反向量是－(a－b)＝b－a. (4)|a－b|与|a＋b|的大小关系不确定，与a，b的夹角有关．
2．在△ABC 中，A→B＝a，A→C＝b，则B→C＝
【对点练习】❷ (1)向量M→N可以写成：①M→O＋O→N；②M→O－O→N； ③O→M－O→N；④O→N－O→M.
其中正确的是__①__④__(填序号)． (2)化简：①B→A＋O→D－O→A－B→C； ②(A→C＋B→O＋O→A)－(D→C－D→O－O→B)．
[解析] (1)①M→O＋O→N＝M→N；②M→O－O→N＝－O→M－O→N＝－(O→M＋ O→N)≠M→N；③O→M－O→N＝N→M；④O→N－O→M＝M→N，故填①④.
A．a＋b
B．a－b
C．b－a
D．－a－b
[解析] B→C＝A→C－A→B＝b－a.
( C)
3.A→C可以写成①A→O＋O→C；②A→O－O→C；③O→A－O→C；④O→C－O→A.其
中正确的是
(D )
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④
[解析] A→O＋O→C＝A→C，故①正确；O→A－O→C＝C→A，故③不能写成A→C；
[解析] 如图所示，在平面内任取一点 O，作O→A＝a，O→B＝b，O→C＝ c，O→D＝d，
则 a－b＝B→A，c－d＝D→C.
题型二
三角形法则下的向量加减法运算
例 2 化简：(1)(A→B－C→D)－(A→C－B→D)．
(2)O→A－O→D＋A→D.
(3)A→B＋D→A＋B→D－B→C－C→A.
基础知识 知识点1 相反向量(复习回顾)
把与a长度相等、方向相反的向量，叫作a的相反向量，记作 定义 __－__a__
规定：零向量的相反向量仍是零向量 (1)零向量的相反向量仍是零向量，于是－(－0)＝___0__； 性质 (2)互为相反向量的两个向量的和为0，即a＋(－a)＝(－a)＋a＝0； (3)若a＋b＝0，则a＝__－__b__，b＝__－__a__.
[错解] 因为O→D＝O→C＋C→D，C→D＝B→A＝O→B－O→A，所以O→D＝O→C＋ O→B－O→A＝r3＋r2－r1．
[错因分析] 错误地使用了向量的减法法则．
[正解] 因为O→D＝O→C＋C→D，C→D＝B→A＝O→A－O→B，所以O→D＝O→C＋ O→A－O→B＝r3＋r1－r2.
[误区警示] 减法口诀：始点相同，连接终点，箭头指向被减向 量．应把始点相同的放在一起计算．必要时，可画出图形，结合图形观 察将使问题更为直观．
O→C－O→A＝A→C，故④正确．
4．已知|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝ 5，则|a－b|＝___5__.
[解析] 根据平行四边形法则，因为( 5)2＝12＋22， 所以平行四边形为矩形，那么|a－b|＝|a＋b|＝ 5.
关键能力•攻重难
题型探究
题型一
向量的减法及其几何意义
例 1 (1)四边形 ABCD 中，若A→B＝a，A→D＝b，B→C＝c，则D→C＝
[解析] (1)D→B＝D→E＋E→A＋A→B ＝d＋e＋a＝a＋d＋e. (2)D→B＝C→B－C→D＝－B→C－C→D＝－b－c. (3)E→C＝E→A＋A→B＋B→C＝a＋b＋e. (4)E→C＝－C→E＝－(C→D＋D→E)＝－c－d.
题型探究 错误使用向量的减法法则
例 4 如图，已知一点 O 到平行四边形 ABCD 的三个顶点 A，B， C 的向量分别为 r1，r2，r3，求O→D.
思考：向量减法的三角形法则是什么？ 提示：(1)两个向量a，b的始点移到同一点； (2)连接两个向量(a与b)的终点； (3)差向量a－b的方向是指向被减向量的终点． 这种求差向量a－b的方法叫作向量减法的三角形法则．概括为“移 为共始点，连接两终点，方向指被减”．
基础自测
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”) (1)两个向量的差仍是一个向量． (2)B→A＝O→A－O→B. (3)a－b 的相反向量是 b－a. (4)|a－b|<|a＋b|.
[归纳提升] 掌握向量加、减法的定义及向量加法的交换律、结合律 等基础知识，可以将杂乱的向量运算有序化处理，进行向量的加减运算 时，常用的变形如下：
(1)运用A→B＝－B→A化减为加． (2)运用A→B＋B→A＝0 或A→B＋B→C＝A→C化繁为简． (3)运用A→B＝O→B－O→A转化为共起点的两个向量的差．