24.2(2)二黄金分割
24.2(2)比例线段 (黄金分割)
24.2比例线段（2）上海市风华初级中学方忠平教学内容分析本课主要是两个部分.第一部分是线段的比例中项问题；第二部分是黄金分割及黄金数的有关知识.教学目标1. 会运用同高(或等高)的两个三角形的面积之比等于对应底边的比,进行三角形的面积比与线段比的转化.2. 在比例线段性质的证明与运用过程中,体会方程思想的作用.3. 会找出一条线段的黄金分割点，找出一个图形中的黄金分割点.4.经历黄金分割点的探索过程，从中体会转化、分类讨论的思想方法. 教学重点及难点重点：黄金分割的意义.难点：熟练并灵活运用黄金分割的意义解题．教学用具准备投影仪、笔记本，预习本教学流程设计教学过程一、 情景引入1．观察（1） 请同学们欣赏一段芭蕾舞表演， 对学生视觉上形成美的冲击.师:“芭蕾舞在跳法上和其他舞种有什么区别吗？” 生:“要掂起脚尖.”师:“你们想知道这是为什么吗？”让学生有了强烈的求知欲.（2） 展示四个国家的国旗.中华人民共和国 朝鲜 新西兰 新加坡2．思考师：请问这四面国旗中有共同图案吗？若有，请指出来.师：为什么都会选择五角星这个图案呢？除了政治因素外，还有一个非常重要的原因就是：五角星是一个非常完美的图案. 古希腊数学家毕达哥拉斯有一句名言：“凡是美的东西，都具有共同的特征，这就是部分与部分以及部分与整体之间的协调一致.”下面就让我们从数学的角度来探究五角星中部分与部分以及部分与整体之间存在着怎样的一种关系.[说明] 通过创设情境“四个国家的国旗中都有五角星这个图案”，就会使同学们认识到五角星这个图案不一般，也就会非常想知道五角星中部分与部分以及部分与整体之间到底蕴涵着怎样的一种关系.有了探究的欲望，就会很乐意完成下面的做一做.3．讨论度量点C 到点A 、B 的距离，计算AB AC 和AC BC 的值，你发现了什么？[说明」（通过学生亲自动手操作、计算，最终发现了AB AC ＝ACBC ，即部分与部分之比等于部分与整体之比，符合毕达哥拉斯的审美观点，很自然地就引出了黄金分割的概念.）二、学习新课1．概念辨析例题1 如图，线段AB 的长度是l ，点P 为线段AB 上的一点，AB AP AP PB =，求线段AP 的长.如果点P 把线段AB 分割成AP 和PB （AP>PB ）两段，其中AP 是AB 和PB 的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点P 称为线段AB 的黄金分割点AP 与AB 的比值为215-，近似值为0.618，这个比值称做黄金分割数（简称黄金数）.师：下面就让我们来解决刚才的问题，若由黄金分割点来看，理想身材的黄金分割点是肚脐，即一个人的上半身的长度与下半身的长度的比值或下半身的长度与整个身高的比值越接近0.618，就会越给別人有一种美的感觉.但是很可惜，一般人的这个比值大约只有0.58到0.60左右（腿长的人会有较高的比值），由此可见，芭蕾舞演员掂起脚尖跳舞是为了提高这个比值，增加美感.现实生活中这样的例子也很多，比如：女性穿高跟鞋，会让人体看起来更美些.黄金分割是古希腊数学家毕达哥拉斯发现的，古希腊人把它广泛应用于艺术创作当中，其中最经典的作品就是雕像——维纳斯女神，她的上半身和下半身的比率正是0.618.[说明]当学生了解了黄金分割的概念之后，再来解决芭蕾舞演员跳舞要掂起脚尖的问题，并欣赏雕像-----维纳斯女神，能使学生感受到黄金分割的美学价值.2．例题分析 问题一（1） 线段AB 有没有除点P 以外的黄金分割点呢？（2） 点D 应满足怎样的条件？（3） 在五角星中点D 是线段AB 的黄金分割点吗？（4） 你还发现了什么？ [说明]（这四个问题是有层次性的，问题（1）的结论是显然的，但学生得到的方法却是多样的，有的是凭直觉，有的是利用轴对称得到的，有的是采用旋转方法得到的；问题（2）进一步强化了黄金分割的概念；有了问题1的铺垫，问题（3）、（4）的结论很容易得出，A P BD这时学生就真正体会到了五角星确实是一个完美的图形，进一步感受到了黄金分割的美.）问题二师：下面我们再来了解黄金分割在现实生活中的应用.请同学们观察两幅照片，哪一更具有美感呢？师：你们知道这是为什么吗？因为绝对的对称会给人单调、静止、缺乏活力的感觉，为了打破这种感觉，我们在构图的时候，就需要灵活地运用黄金分割来构图，把画面的上下左右用黄金分割来做出4条线，人们发现4条线交汇的4个点是人们的视觉最敏感的地方，被反复证明的是当被摄主体处于或发布在这4个点附近最容易得到“眼球”，在摄影理论里把这4个点称为“趣味中心”.[说明]学生选择图（2）完全是一种直觉，并不明白其中的原因，当把上述道理讲给学生听时，他们对黄金分割的美学价值有更深的认识.问题三师：下面再来看看黄金分割在建筑上的应用.（展示巴黎埃斐尔铁塔、上海东方明珠电视塔、古埃及金字塔三幅图片，讲述其中蕴涵的黄金分割比例，体会黄金分割在建筑上的应用价值和人文价值.）问题四师：同学们已经了解到线段的黄金分割是完美的分割，事实上现实生活中还有另外一种有趣的黄金分割现象.请同学们在下面十个矩形中（请若干个同学来找出他认为最合乎美的矩形，最后大部分同学将目标锁定在第①、⑤、⑧和⑩这四个矩形上，此时告诉他们这四个矩形分别是5×8，8×13，13×21，21×34的矩形，请他们用计算器算出这四个矩形的宽与长的比值（结果保留3个有效数字），结果分别是：0.625，0.615，①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩0.619，0.618，这时同学们惊奇地发现这四个矩形的宽与长的比值均接近于黄金比，从而引出黄金矩形的概念.[说明]黄金矩形的概念并不是直接告诉学生的，而是通过亲身经历这么一个活动过程，自己感悟到合乎美的矩形和黄金分割的内在联系.） 矩形的宽与长的比为黄金比，这样的矩形称之为黄金矩形.师：古希腊人已经发现黄金矩形是最合乎美的矩形，他们将建筑物的门、窗的轮廓都设计成黄金矩形的形状，其中最著名的就是巴特农神庙.如果把巴特农神庙的轮廓抽象为矩形ABCD ，以矩形ABCD 的宽为边在其内部作正方形AEFD ，那么我们可以惊奇的发现，BC AB BE BC =，点E 是AB 的黄金分割点吗？矩形ABCD 的宽与长的比是黄金比吗？[说明]这里涉及到比例变形的一些技巧，要给学生时间进行充分的交流.最终发现巴特农神庙的轮廓为黄金矩形，展示了黄金分割的文化价值.师：黄金矩形之所以称为黄金矩形，并不仅仅因为它的宽与长的比等于黄金比，更重要的是：由上述方法作图后得到的新的矩形BCFE 也为黄金矩形（原因留给同学们课后思考）.巴特农神庙之所以神奇，并不仅仅因为它的的轮廓恰好为黄金矩形，它有更深层次的美.[说明]动画演示巴特农神庙在构造上不断符合黄金矩形的神奇现象. 通过动画演示巴特农神庙在构造上不断符合黄金矩形的神奇现象，同学们已经被巴特农神庙中所蕴涵的建筑艺术所折服，使学生再一次感受到了黄金分割和黄金矩形的美学价值.3．问题拓展例题2 已知：如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，AOD BOC S S ∆∆= 求证：OA CO OB DO =. 证略 尝试：（1）作顶角为036的等腰三角形ABC;（2）分别量出底边BC 与腰AB 的长度;OA B D C（3）作B ∠的平分线，交AC 于点D ，量出BCD ∆的底边CD 的长度.最后，分别求出ABC ∆与BCD ∆的底边与腰的长度的比值（精确到0.001）问：比值是多少？所以我们把顶角为o 36的三角形称为黄金三角形.它具有如下的性质：（1）618.0≈ABBC ; （2）设BD 是ABC ∆的底角的平分线，则BCD ∆也是黄金三角形，且点D 是线段AC 的黄金分割点;（3）如再作C ∠的平分线，交BD 于点E ，则CDE ∆也是黄金三角形，如此继续下去，可得到一串黄金三角形.巩固练习已知点C 是线段AB 的黄金分割点AC ＝555-，且AC ＞BC ，求线段AB 与BC 的长.课堂小结1、今天我们共同研究了什么数学知识？2、和以往的数学知识相比，今天的内容有什么不同？作业布置书后练习1、2、3，练习册24.2（2）教学设计说明本节课的研究对象是“黄金分割”，我采用从“美学”——“数学”的逻辑顺序去阐述这个课题，能够极大的提高学生探究的兴趣.并且引用了四个生活中的例子，使学生在不断享受“美”的过程中掌握知识，体验数学的社会功能.。
沪教版(上海)初中数学九年级第一学期 24.2 比例线段-黄金分割 课件
比例的等比性质：
如果
a
,b
c d
k
(b,
d
0)
那么
ac a c _b___d___b____d_.
k
a k b a kb
c k d c kd
a c kb kd k bc bd
例1 在梯形ABCD中，对角线AC与BD相交于点
O，SAOD
SBOC ，求证：
DO OB
CO OA
想一想：将条件 SAOD SBOC 换成DC//AB，其它条 件不变，能证明原来的结论正确吗？
AC AD
1.如图，在△ ABC中，点D、E分别在AB、AC
上，且 AD AE
DB EC
.已知S △ ADE=1，S △ DBC=12，
求S △ ABC.
H
3.已知四条线段长分别为1厘米， 2 厘米，2厘米，
x厘米，它们是成比例线段，则x=
厘米.
例2 如图，线段AB的长度为l，点P是线段AB上一 点， PB AP (线段AP是PB、AB的比例中项）,
我们做过调查，如果市场上有的电视频主要 有两种，一种是宽:长为3∶4的，另一种是 9∶16的.这两个比值都很接近0.618，也就 是因为黄金矩形是最美的.
画家们发现，按 0.618∶1来设计腿长与 身高的比例，画出的人 体身材最优美，
现今的女性，腰身以下 的长度平均只占身高的 0.58，因此古希腊维纳 斯女塑像及太阳神阿波 罗的形象都通过故意延 长双腿，使之与身高的 比值为0.618，
B P1
∵点P1称为AB的 黄金分割点 （点P1靠近B）
P1B AP1 5 1 0.618 (黄金数) AP1 AB 2
∵点P2称为AB的 黄金分割点 （点P2靠近B）
黄金分割法
黄金分割法原著 GYS 12-22-2016黄金分割法是个十分有趣的数学问题，也是人们每天要用到和看到的问题。
当前摄影师们也对它很感兴趣。
今天和大家聊一聊它的来历，概念和它的用途。
黄金分割线是一种古老的数学方法。
黄金分割的创始人是古希腊的毕达哥拉斯。
黄金比例分割是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。
取其前三位数字的近似值是0.618。
“黄金分割”公式可以从一个正方形来推导，将正方形底边分成二等分，取中点X，以X为圆心，线段XY为半径作圆，其与底边直线的交点为Z点，这样将正方形延伸为一个比率为5︰8的矩形，（Y’点即为“黄金分割点”）， A︰C = B︰A = 5︰8。
幸运的是，35MM 胶片幅面的比率正好非常接近这种5︰8的比率（24︰36 = 5︰7.5）图的右侧又形成一个新的小黄金矩形由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为“中外比"。
这是一个十分有趣的数字，以0.618来近似，通过简单的计算就可以发现: 黄金分割奇妙之处，在于其比例与其倒数是一样的。
例如: 1.618的倒数是0.618。
黄金分割〔Golden Section〕是一种数学上的比例关系。
黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值。
应用时一般取0.618 ，就像圆周率在应用时取3.14一样。
这个数值的作用不但在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计，科学甚至军事等方面也有着不可忽视作用。
这些方面的实例多不胜数，为了认识它只举几个有趣的例子吧：舞台上的报幕员或朗诵家并不是站在舞台的正中央，而是偏在台上一侧，以站在舞台长度的黄金分割点的位置最美观，声音传播的最好。
有趣的是，这个数字在自然界和人们生活中到处可见: 人们的肚脐是人体总长的黄金分割点，人的膝盖是肚脐到脚跟的黄金分割点。
大多数门窗的宽长之比也是0.618…;有些植茎上，两张相邻叶柄的夹角是137度28'，这恰好是把圆周分成1:0.618……的两条半径的夹角。
黄金分割及其应用知识点
黄金分割及其应用知识点黄金分割是一种数学比例，被广泛应用于艺术、建筑、设计、金融等领域。
它在人类历史中扮演着重要的角色，并被认为是一种美学原则。
本文将介绍黄金分割的概念、特点以及其在不同领域的应用知识点。
1. 黄金分割的定义和原理黄金分割是指将一条线段分割为两部分，使较长部分与全长之比等于较短部分与较长部分之比。
这个比例通常用希腊字母φ（phi）表示，其值约为1.618。
黄金分割原理基于数学上的黄金数，即满足以下关系式：物体的全长 / 较长部分 = 较长部分 / 较短部分= φ2. 黄金分割的特点黄金分割具有以下几个显著的特点：- 唯一性：黄金分割的比例是唯一确定的，不受线段长度的影响。
无论线段长短如何，比值始终为φ。
- 不变性：进行黄金分割后所得到的较长部分与全长的比例，与全长与较短部分的比例相等，始终为φ。
- 近似性：黄金分割是一种无理数，无法精确表示，但可以通过不断逼近φ来得到近似值。
由于黄金分割在视觉上产生一种和谐、美感的效果，它经常在建筑和艺术中得到应用：- 建筑设计：黄金分割被广泛用于建筑中的比例和布局，例如古希腊的帕特农神庙和文艺复兴时期的建筑。
建筑师可以利用黄金分割比例来划分空间、安放柱子和窗户等，以达到视觉上的和谐与美感。
- 绘画与摄影：艺术家常常使用黄金分割来划定画面的重要元素和构图，使画面更具吸引力与平衡感。
摄影中的黄金分割线条也有助于构建有层次感的照片。
- 雕塑与雕刻：黄金分割比例被广泛用于人物雕塑和艺术品的创作，帮助艺术家在立体空间上的分配和平衡。
4. 黄金分割在设计和排版中的应用可视化设计和排版领域也广泛应用黄金分割，以达到更好的视觉效果和用户体验：- 网页设计：黄金分割可以用来划分网页的布局、排列网页元素和图像，使界面更具吸引力和可读性。
- 平面设计：海报、名片、杂志等平面设计常使用黄金分割比例进行版面的构图和内容的排列，使视觉效果更加平衡和美观。
- 字体排版：黄金分割比例可用于确定文字的行高、字母间距、段落长度等，以提供更好的阅读体验。
新思路辅导与训练数学九年级全册-2019版答案
参考答案第二十四章 相似三角形 24.1放缩与相似形1.形状相同的两个2.长度成比例相等3.不一定4.略5.有一组角对应相等6.207.C8.B9.B 10.2(102)210(05)S x x x x x =-=-+<< 11.（1）不相似.A B = 30，28A B ''=BC = 20，18B C ''=而28183020≠ （2）由题意，得3022023020x --=. 解方程，得x = 1.5，或30220x-. 解方程，得x = 9 12.不一定相似。
因为多边形相似不仅要对应边成比例，还要对应角相等。
梯形可能，但是如果按照题中的顺序则不可能24.2（1）比例的性质22173511.2. 7.53.4.135. 3 i.636.27.8.9.15146x a b y a b +=--1310.15 11.12:1312.±厘米14.D 15.1207厘米 16.11 17.（1）5:4:1(2)17 18. 891719三、四 20 x = 2，24.2（2）面积比与线段比的相互转化、黄金分割1.0.52. 22333.24.215.12.36厘米69-7.3:21008.C 9.B 10.C 1.D12.∵AD∥B∥CF ,,,DMEWDDHFCHDQE FBE CHBS SSSS S S∆∆===∴,2FHE DEFBEFS SS∆=∴=13. 1111,,,,222AB AC x BD ED AD x ====∴=+在Rt △ABD 中，由勾股定理，得2222211111,1,12244x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+∴++=+∴=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭221(1),x x AC AB BC∴=⋅-∴=⋅AC BCAB AC=，即点C 是线段AB 的一个黄金分割点。
在21x x =-中，整理，得2110,2x x x -±+-=∴=AC 为线段长，只能取正，AC 10.618,0.6182ACx AB-+=≈∴≈黄金比约为0.618 24.3（1）三角形一边的平行线（性质定理）1.32.53.4米∴..25.2厘米 6.5:17.A 8.0.5，解略9.∴EF ∥DC →AEBC =AF :DF ,DE ∥BC →AD :BD = AE :BC ，∴AF :FD = AD :DB 10.提示：PQ PR PS PI ==PBPD 在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∴AO :OC = OD :O B.又CE ∥AB ，则BO :OEAO :OC ，∴BO :OE = AO :CC = OD :OB ，即OD :OB = BO :O .又OB = 6，OD = 4，即4：6 = 6：OE ，解得OE = 9.又OD = 4，∴DE24.3（2）三角形一边的平行线（性质定理的推论、重心性质） 1.重心 2.这个顶点对边中点距离 3.404.45.4.56(1)1411（2）207.88.3:59.1:210.211.①③④12.C 13.B 14.（1）∵AD ∥BC ，∴DE FDBC FC=FD = 2，112,. 6.624(2)//,33ED DE FEFC DC AD BC BC FC BC FB=∴=∴=∴=-=∴=AE EGBC GB∴=E 是AD 中点，∴AE = DE FE EGFB GB=EF ·GB = C ·BF 15.EF mnm n=+16.略17.（1）延长BE 交AD 的延长线于点M ,AD ∥BC ，,DE DM AF AMEC BC FC BC∴==∵点E 为边DC 的中点，DM = B C.∵BC = 2AD ，∴DM =2AD，∴AM=AD +DM=3AD333(2)///,, 1.222AF AD FM AM EM DE BMAD BC FC AD BF BC BE EC BF∴==∴====∴=5251,,,2144BM BE EF BE BF BF =∴=∴= 24.3（3）三角形一边的平行线的判定及推论 1.平行AD AEBD CE= 2.1:43.5:34.不一定平行5.2:36.67.A 8.B 9.略10.略11.略12.（1）∵AB ⊥AC ,EE ⊥AC ,PD ⊥AB ，∴PE ∥AB ,PD ∥AC ，ENBN∴=,.,,//(2)EP EM EC EN EMPE EC DB DP NM BC PNM BD PM DPBN PM===∴=∴∠=PMM ，∴PN = PM = 213.（1）如图（a ），延长AC 至点E ，使CE = CA ，连接BE .∵C 为OB 中点，∴△BCE ≌△OC A.∴E = OA ，∠E = ∠OA C.∴B ∥OAAP ADEP EB∴=又D 为OA 中点，OA =OB 12AP AD EP AO ∴==1.222AP AP APEP PC AP PC∴==∴=+（2）如图（b ）延长AC 至点H ，使CH = CA ，连接BH .∵∴C 为OB 中点，∴△BCH ≌△CCA ，∠CBH = ∠O = 90°，BH = OA AD AO =14，设AD = t ,OD = 3t ，则BH = OA = OB = 4t .在Rt △BOD中，5BD t=4//,4BP BH tOA BH DP AD t∴===1.:1:15PD BP AD DP ∴=∴=(3) :BC BP n =24.3（4）平行线分线段成比例定理、平行线等分线段定理 1.48112.真3.5:34.51020335. (1) 83(2)1636.D7.A8.B9.（1）AB = 4，BC = 10（2）BE = 910.（1）略（2）∵AD ∥BC ，DG ADBG BE∴=四边形ACED 是平行四边形，CF ∥DE ,AD = CE DF CE DG DFBD BE BG BD∴=⋅∴=11.过A 作FK ∥BC 交CE ,BD 的延长线于点F ,K ，,DA AK EA AFCD BC EB BC∴==两式相加，得到AD AE FK CD BE BC +=，再证KF = 2MN = ,1AD AEBC CD BE +=12.（1）略(2) 233(04)4y x x x =-<<阶段训练11.10:111:102.478620553. 4.235. 1) 26. 8137. 23a 8. 8 9. 110.211.6:112.D 13.B 14.A 15.B 16.略17.略18.略19.（1）证明略(2)221155510210(2)1022222PEFSEF DH t t t t t ⎛⎫=⋅=-⋅=-+=--+ ⎪⎝⎭∴当t = 2秒时，PEFS存在最大值，最大值为10，此时BP = 3 = 6厘米（3）存在理由如下：①若点E 为直角顶点，如图（a ）所示，此时FE ∥AD ,PE = DH = 2，BP = 3.…∴FE ∥AD PF BP AD BD ∴=2385t t=此比例式不成立，故此种情形不存在②若点F 为直角顶点，如图（b ）所示，此时PE ∥AD ,PF = DH = 2t ,BP = 3，CP 10-3t .∵FF ∥AD PF CP AD CD ∴=210385t t-=③若点P 为直角顶点，如图（c ）所示。
黄金分割法则
黄金分割法则姚亚峰八字姚亚峰八字研究 2022-06-04 06:23 发表于河南黄金分割奇妙之处，在于其比例与其倒数是一样的。
例如：1.618的倒数是0.618，而1.618:1与1:0.618是一样的。
确切值为(√5-1)/2 ，即黄金分割数。
黄金分割数是无理数，前面的1024位为:1.6180339887 4989484820 4586834365 6381177203 09179805762862135448 6227052604 6281890244 9707207204 18939113748475408807 5386891752 1266338622 2353693179 31800607667263544333 8908659593 9582905638 3226613199 28290267880675208766 8925017116 9620703222 1043216269 54862629631361443814 9758701220 3408058879 544547492461856953648644492410 4432077134 4947049565 8467885098 74339442212544877066 4780915884 6074998871 2400765217 05751797883416625624 9407589069 7040002812 1042762177 11177780531531714101 1704666599 1466979873 1761356006 70874807101317952368 9427521948 4353056783 0022878569 97829778347845878228 9110976250 0302696156 1700250464 33824377648610283831 2683303724 2926752631 1653392473 16711121158818638513 3162038400 5222165791 2866752946 54906811317159934323 5973494985 0904094762 1322298101 72610705961164562990 9816290555 2085247903 5240602017 27997471753427775927 7862561943 2082750513 1218156285 51222480939471234145 1702237358 0577278616 0086883829 52304592647878017889 9219902707 7690389532 1968198615 14378031499741106926 0886742962 2675756052 3172777520 35361393621076738937 6455606060 5922...人们认为，黄金分割作图与正五边形、正十边形和五角星形的作图有关——特别是由五角星形作图的需要引起的。
24.2(2)比例线段
PB AP 点P是线段AB上的一点，且 AP AB
求线段AP的长.（用 l 表示）
x l-x
l
A
l
P
.
B
即线段 AP是AB 和PB的比 例中项.
问1：由图可知，线段 AB、AP、PB之间有 怎样的数量关系？
PB AP 问2：结合已知条件 AP AB
答1：AP+PB=AB， 即AP+PB=l 设线段AP的长为x， 则线段PB的长为l-x. PB AP 答2：由 AP AB
8
P1
B
线段AP是较长线段还是较短线段不确定， 分析： 所以要分类讨论. 解： （1）当AP＞PB时， ∴AP=
5 1 2 AB=
（2）当PB＞AP时， ∴AP=
3 5 2 AB=
5 1 ×8= 2
4 5 4 12 4 5
3 5 ×8= 2
A
P1
P2
B
两个 一般地一条线段的黄金分割点有两个
1：已知线段MN的长为2厘米，点P 是线段MN的黄金分割 点，则较长的线段MP的长是 ( 5 1) 厘米，较短的线 段PN的长是 (3 5) 厘米. 2：已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB， AB=4厘米，那么线段AP、PB的长度分别是 (2 5 2)厘米 和 (6 2 5) 厘米．
短= 3 5 全
5 1 3 5 全= 全 2 2
2
例题1：已知点P是线段AB的黄金分割点，若AB=8,
求较长线段AP和较短线段PB. ？ 分析：
？ 8
A
P
B
解：∵P是线段AB的黄金分割点， 根据题意AP＞PB ∴AP= （或PB=
5 1 2 AB=
PB AB AP 8 (4 5 4) 12 4 5
黄金分割
§4.2黄金分割
查阅 & 欣赏 ☞
黄金分割 与生活
由黄金分割画出的正五角星形,有庄严雄健之美.
探索交流
什么是黄
五角星是我们常见的图形. 在图4-4中,度量点C到点 A A,B的距离.段AB分成两条线段AC和BC,
AC BC 与 相等吗 ? AB AC
独立 作业
知识的升华
习题4.3 1,2题. 祝你成功！
2 5 1 2 52 4 5 1
5 1 , 2
AC BC , 点C是线段AB的黄金分割点. AB AC
积累就是知识
请用所学知识回答上面的问题
解 : 1 BC AB AE AB , BC AE, , 点E是AB的黄金分割点; BE BC BE AE
AC BC 如果 或AC 2 AB BC , 那么点C黄金分割线段AB. AB AC 学习一元二次方程之后, 我们可以求得
AC BC AB AC
5 1 2 0.618. 1
例题 解题
欣赏
与老师同步探索
2
D
E 1 5 5 1 1 2 BD ; AD 1 , AC AE 2 2 2 2 2
AC BC 如果 ,那么称线段AB被点C黄金分割 AB AC
(golden section),点C叫做线段AB的黄金分割 点,AC与AB的比称为黄金比.
议一议
为什么叫做黄金分割? 其一是满足黄金分割的图形具有和谐美;其二是黄金分 割的应用价值不可估量,故冠以黄金二字.
领悟 黄金分割
其实,黄金分割就是三条能构成比例线段的特殊 线段AB,AC和BC.其中线段AC是线段AB和线段 BC的比例中项,也可写成AC2=AB· BC.
黄金分割资料
黄金分割是一个古老的数学方法。
对它的各种神奇的作用和魔力，数学上至今还没有明确的解释，只是发现它屡屡在实际中发挥我们意想不到的作用。
什么叫黄金分割把线段AB分成两条线段AC和CB（AC＞CB），且CB比AC的比值等于AC比AB 的比值时,(比值约等于0.618),那么，线段AB被点C分割成黄金比。
点C叫做线段AB的黄金分割点。
“0.618”叫做黄金分割数。
一、形形色色的黄金分割【建筑】早在公元前五世纪，希腊建筑家就知道0.618的比值是协调，平衡的结构。
文明古国埃及的金字塔，形似方锥，大小各异。
但这些金字塔底面的边长与高之比都接近于0.618。
古时候的一些神庙，在建筑时高和宽也是按黄金数的比来建立，他们认为这样的长方形看来是较美观。
黄金律是建筑艺术必须遵循的规律。
在建筑造型上，人们在高塔的黄金分割点处建楼阁或设计平台，便能使平直单调的塔身变得丰富多彩。
古希腊帕提依神庙由于高和宽的比是0.618，成了举世闻名的完美建筑。
建筑师们发现，按这样的比例来设计殿堂，殿堂更加雄伟、壮丽；去设计别墅，别墅将更加舒适、美丽。
连一扇门窗若设计为黄金矩形都会显得更加协调和令人赏心悦目。
高雅的艺术殿堂里，自然也留下了黄金数的足迹。
【艺术】1483年左右，达芬奇画的一副未完成的油画，包围着圣杰罗姆躯体的黑线，就是一个黄金分割的矩形，当时达芬奇似乎有意利用这一黄金分割的比值。
“检阅”是法国印象派画家舍勒特的一副油画，它的画杠结构比例也正是0.618的比值。
英国在画家斐拉克曼的名著《希腊的神话和传说》一书中，工绘有96幅美人图。
每一幅画上的美人都妩媚无比婀娜多姿。
如果仔细量一下她们的比例也都也雅典娜相似。
画家们发现，按0.618∶1来设计腿长与身高的比例，画出的人体身材最优美，而现今的女性，腰身以下的长度平均只占身高的0.58，因此古希腊维纳斯女塑像及太阳神阿波罗的形象都通过故意延长双腿，使之与身高的比值为0.618，从而创造艺术美。
24.2比例线段(2)
复习：
1、比例线段的性质：
① 外项之积等于 ② 合比性 ③ 等比
内项之积
质
性质
2、解决比例计算问题常用方法： 设K法
第1页，共8页。
例题讲解：
例1：已知：如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于
点O，
SAOD SBOC
D
C
求证： DO CO
O
OB OA
A
B
结论： 同高或等高的三角形面积之比就等于
DB EC
S S 1,
12
ADE
DBC
S S 求： 和 EDC
ABC
议一议：
同底或等底的两个三角 形面积之比等于什么？
第4页，共8页。
回顾：比例中项
定义：如果比例的两个内项（或外项）相同， 那么这个相同的项叫做比例中项
即： a b b就是a和c的比例中项 b2 ac bc
试一试：已知线段AB=4, CD=9,线段EF是AB、 CD的比例中项，（1）列出比例式 （2）求出EF的长
例2：如图，已知线段AB的长是 如l 果
点P是线段AB的黄金分割点，AP是较长
线段求线段AP的长和AP与AB的比值。
添问： PB与AP的比值是
5 1 2。
5 1
AP与AB的比值 2 叫做 黄金分割数
5 1
简称： 黄金数的倒数是
2叫做
第7页，共8页。
黄金比
想一想：一条线段有几个黄金分割点？ 两个
探讨：这条线段长度是 l 这两个黄金分割
所对应的底边之比,反之也成立
一题多变： 条件 SAOD SBOC 改成DC∥AB
第2页，共8页。
发现规律： 平行线 三角形面积相等
黄金分割计算公式
黄金分割计算公式
黄金分割，也称为黄金比例或黄金比，是一个无理数，其比值约为0.618。
这个比例在很多领域都有广泛的应用，包括艺术、建筑、管理、工程设计等。
黄金分割的计算公式通常有两种形式：
1.黄金分割比例= (a+b)/a = 1.618，其中a表示一个物体的起始位置，b表
示物体的终止位置。
2.黄金分割位置= b/(a+b) = 0.618。
此外，黄金分割还可以通过无穷连分数和无穷连根号来表示。
对于无穷连分数，可以从1开始，然后依次以1代替等式右边的分母，得到的结果就是黄金分割的近似值。
对于无穷连根号，可以通过连续开方的方式得到。
黄金分割的一个重要应用是在斐波那契数列中。
斐波那契数列是一个数列，其中每个数字都是前两个数字之和，例如1、1、2、3、5、8、13等。
经研究发现，相邻两个斐波那契数的比值是随序号的增加而逐渐逼近黄金分割比的。
另外，黄金分割还与黄金三角形有关。
黄金三角形是一个等腰三角形，其底与腰的长度比为黄金比值。
由于黄金分割和黄金三角形的美学价值，它们在艺术、建筑等领域得到了广泛的应用。
总之，黄金分割是一个重要的数学概念，具有广泛的应用价值。
通过理解黄金分割的计算公式和应用，可以更好地欣赏和理解许多艺术、建筑和设计作品的美学价值。
九年级数学上册 24.2(第四课时)黄金分割课件 (华东师大版)
BC= 3-？√5
2
A
DC
B
（2）一条线段有几个黄金分割点？
异曲同工
如下方法也可以得到黄金 分割点？
如图，设AB是已知线段，在 AB上作正方形ABCD；取AD的 中点E，连接EB；延长DA至F， 使EF=EB；以线段AF为边作 正方形AFGH。点H就是AB的 黄金分割点。
探索交流
由黄金分割画出的正 五角星形,有庄严雄 健之美.
2.进一步理解线段的比、成比例线段等相 关内容。 3.通过作图找到一条线段的黄金分割点， 并利用已学知识给予了说明。
安全小贴士
课间活动请同学们注意安全
第24章 图形的相似 §24.2 相似的图形性质
第四课时 黄金分割
什么是黄金分割？
点C把线段AB分成
两条线段AC和BC, 如AC果 BC
AB AC
那么称线段
AB被点C黄金分割,
C
A
B
如果AACB把
BC AC
化为乘积式是
点C叫做线段AB的
AC2 AB • BC
黄金分割点,AC与
AC叫做AB和BC
O
C
A
B
证明：在△BOA中，∠BOA=36 且OA=OB
则， ∠OBA=∠OAB=72
O
又∵在△OBC中，CO=CB
∴∠COB=∠CBO= 36
∴∠OCB= 180－ ∠COB －∠CBO
C
= 180 36 36 108
A
B
∴∠ 180 180 108 72
AC
B=
又∵∠CB－A= ∠OBA－∠CBO
实际
应用
知识的升华
1．据有关测定，当气温处于人体正常体温（36 ℃ ~37℃)的黄金比值时，人体感到最舒适。 因此夏天使用空调时室内温度调到什么温度最 适合？ 36℃×0.618=22.3 ℃
第二十四章 相似三角形
第二十四章 相似三角形★ 24.1 【放缩与相似形】要点归纳:1. 图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。
将一个图形放大或缩小后，就得到与它形状相同的图形，我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者说是相似形。
2. 如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。
当两个相似的多边形是全等形时，它们的对应边的长度的比值都是1。
观察下面的图片提问：图中的两面国旗，大小、形状有什么特点？图中的大五星与小五星，大小、形状有什么特点？ 1.相似形的定义我们曾学习过形状相同，大小也相同的图形是全等形。
而日常生活中，还可以看到许多相这样形状相同、大小不一定相同的图形。
对于下图的三个四边形，缩小四边形ABCD ，就得到四边形A 1B 1C 1D 1 ；放大四边形ABCD ，就得到四边形A 2B 2C 2D 2 。
像这样对图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。
提问：四边形A 1B 1C 1D 1和四边形A 2B 2C 2D 2大小和形状是什么关系？提问：将一个图形放大或缩小后，得到的图形与原图形的形状相同吗？ 我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者说是相似形。
提问：如何用放缩的观点来描述两个相似形呢？ 提问：相似的图形，其大小与形状有什么特点呢？ 练习：请你举出日常生活中图形放大或缩小的实例。
2.相似形的性质如图，△A 1B 1C 1是△ABC 通过放大后得到的图形。
提问：这两个图形是相似形吗？提问：请对这两个三角形的三个内角与三条边的大小进行观察和测量。
提问：这两个三角形的三个内角分别有怎样的大小关系？ （∠A 1与∠A 、∠B 1与∠B 、∠C 1与∠C 对应相等） 三条边的长度的比值间有怎样的大小关系？ （111111A B B C A C AB BC AC ==的长度的长度的长度的长度的长度的长度，即这两个三角形的边的长度对应成比例）可见，△ABC 放大为△A 1B 1C 1后，角的大小不变，而各边“同样程度”的放大了。
黄金分割的正确计算方法
黄金分割的正确计算方法1．618减去基数1，得0．618，1再减去0．618得0．382，黄金分割在个股当中的应用方式有一派观点认为是：直接从波段的低点加上0．382倍、0．618倍、1．382倍、1．618倍……作为其涨升压力。
或者直接从波段的高点减去0．382倍及0．618倍，作为其下跌支撑。
另一派观点认为不应以波段的高低点作为其计算基期。
而应该以前一波段的涨跌幅度作为计算基期，黄金分割的支撑点可分别用下述公式计算：(抄底不可盲目，要抓住真正机会！)1、某段回档高点支撑＝某段终点－（某段终点－某段最低点）0．3822、某段低点支撑＝某段终点－（某段终点－某段最低点）0．618如果要计算目标位：则可用下列公式计算3、前段最低点（或最高点）＝（前段最高点－本段起涨点）1．382（或1．618）上述公式有四种计算方法，根据个股不同情况分别应用。
案例分析托普软件（000583）该股的走势颇为符合黄金分割原则，1999年3月份，该股从14．31元起步，至6月底，该股拉升到34．31元，完成这一波的涨升，随后我们来看该股的支撑价位：根据公式：下跌低点支撑＝34．31－（34．31－14．35）0．618＝22元事实上该股1999年11月份回调最低点为22．48元，误差极小，投资者只要在22元一线附近吸纳，就可以找到获利机会。
目标价位也可通过公式计算。
上升上涨压力＝21．97＋（34．31－21．97）1．618＝42元该股在今年二月份摸高至45元后回落，投资者在42元可以从容卖出获利。
该股走势说明了如果对黄金分割掌握透彻，可以成功利用它来捕捉黑马。
使用时要注意。
1、买点在回调到0．618处比较安全，回调到0．382处对于激进型投资者较适合，稳健型投资者还是选择回调到0．618处介入。
2、卖点在涨升1．382处比较保守，只要趋势保持上升通道，可选择涨升1．618处卖出。
[晓漠孤烟]-- 黄金分割率数学家法布兰斯在１３世纪写了一本书，关于一些奇异数字的组合。
黄金分割全章知识点归纳总结
黄金分割全章知识点归纳总结什么是黄金分割？黄金分割是一种数学比例，也称为黄金比例、黄金比或黄金尺度。
黄金分割比例是约1.，通常用希腊字母φ（phi）表示。
它是指在一种比例上，较大部分与整体的比例等于较小部分与较大部分的比例。
黄金分割在许多领域被广泛应用，例如艺术、建筑、设计和自然科学。
它被认为是一种美学上的理想比例，能够给人带来视觉上的和谐感。
黄金分割的应用1. 美学与设计在美学和设计领域，黄金分割常用于创造视觉上的平衡和和谐。
许多古代和现代艺术品都采用了黄金分割的比例来安排元素的位置和大小。
例如，黄金分割比例可以应用于绘画、雕塑、摄影和建筑等领域。
2. 数学和自然科学黄金分割在数学和自然科学中也有广泛的应用。
它在斐波那契数列中起到重要作用，该数列是一系列数字，每个数字都是前两个数字之和。
斐波那契数列的比值逐渐接近黄金分割比例。
此外，黄金分割还在许多自然界的现象中得到应用，例如植物的分支模式、螺旋形状和人体的比例关系等。
黄金分割的特点黄金分割有一些独特的特点：- 黄金分割比例具有无限不循环小数的特性，不会出现周期性重复的数字。
- 逐渐逼近黄金分割比例的过程会越来越接近黄金分割的理论值。
- 黄金分割比例可以被用作一种创造视觉上的和谐和平衡的工具。
- 黄金分割比例在很多文化中被视为具有神圣和美学意义的比例。
如何计算黄金分割比例黄金分割比例可以通过以下公式计算得出：其中，A为整体，B为较大部分，C为较小部分，B与C的比值等于A与B的比值。
结论黄金分割作为一种数学比例，在美学、设计和自然科学中有广泛的应用。
它被认为能够给人带来视觉上的和谐感，是一种理想的比例。
了解黄金分割的知识和应用可以帮助我们在各个领域中创造出更美好和谐的作品。
六年级黄金比例知识点
六年级黄金比例知识点黄金比例，也称为黄金分割，是一种在自然界和艺术领域广泛存在的比例关系。
它具有独特的美学效果，常被用于设计、建筑和艺术创作中。
在六年级的数学学习中，我们也会接触到黄金比例的相关知识。
接下来，我将为大家介绍几个与黄金比例相关的重要概念和应用。
1. 黄金比例的定义黄金比例是指两个部分之间的比值等于整体与较大部分之间的比值。
用数学符号表示为a/b=(a+b)/a，其中a和b分别代表两个部分的长度或数值。
黄金比例的数值近似为1.618，常用希腊字母φ（phi）表示。
2. 黄金矩形与黄金长方形黄金比例可以应用于矩形和长方形的设计中。
当一个矩形的长边和短边之间的比值接近黄金比例时，我们称之为黄金矩形。
而基于黄金矩形的长方形被称为黄金长方形。
黄金长方形的美学效果被广泛运用于艺术和建筑中，如古希腊建筑，蒙娜丽莎的画面等。
3. 黄金分割线黄金分割线是将一条线段分成两部分，使其满足黄金比例的线。
具体操作方法是，先取一条线段，然后在这条线段上找到一个点，使得该点与整条线段的比值等于黄金比例。
在建筑和美术作品中，黄金分割线被用于确定构图的位置，以达到更加和谐与美观的效果。
4. 黄金螺旋黄金螺旋是一种特殊的曲线，也称为黄金螺线或费波纳奇数列。
它可以通过不断绘制黄金长方形的内切正方形来生成。
黄金螺旋常常出现在自然界的一些物体中，如螺旋壳、旋涡云等。
它还被应用于音乐、绘画和设计中，以营造更加和谐的视觉效果。
5. 应用举例：建筑设计黄金比例在建筑设计中有着广泛的应用。
设计师可以运用黄金比例来确定建筑物的比例关系、空间布局以及细节的设计。
例如，在设计一座大厦时，设计师可能会选用黄金长方形来确定建筑物的平面布局，以达到视觉上的和谐与美感。
6. 应用举例：绘画与摄影黄金比例也常被艺术家与摄影师运用于绘画与摄影创作中。
通过运用黄金比例来确定作品中主体与背景、线条与形状的比例关系，艺术家和摄影师可以创造出更加吸引人和平衡的画面效果。
黄金分割的正确计算方法
黄金分割是一个古老的数学方法。
对它的各种神奇的作用和魔力，数学上至今还没有明确的解释，只是发现它屡屡在实际中发挥我们意想不到的作用。
数学家法布兰斯在13世纪写了一本书，关于一些奇异数字的组合。
这些奇异数字的组合是1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233┅┅ 任何一个数字都是前面两数字的总和 2＝1＋1、3＝2＋1、5＝3＋2、8＝5＋3┅┅，如此类推。
有人说这些数字是他从研究金字塔所得出。
金字塔和上列奇异数字息息相关。
金字塔的几何形状有五个面，八个边，总数为十三个层面。
由任何一边看入去，都可以看到三个层面。
金字塔的长度为5813寸（5-8-13），而高底和底面百分比率是0． 618，那即是上述神秘数字的任何两个连续的比率，譬如55/89＝0．618，89/144＝0．618，144/233＝0．618。
另外，一个金字塔五角塔的任何一边长度都等于这个五角型对角线（Diagonal）的0．618。
还有，底部四个边的总数是36524．22寸，这个数字等于光年的一百倍！这组数字十分有趣。
0．618的倒数是1．618。
譬如14/89＝1．168、233/144＝1．168，而0．618×1．168＝就等于1。
另外有人研究过向日葵，发现向日葵花有89个花辫，55个朝一方，34个朝向另一方。
神秘？不错，这组数字就叫做神秘数字。
而0．618，1．618就叫做黄金分割率（Golden Section）。
在这里，我们将说明如何得到黄金分割线，并根据它们指导下一步的买卖股票的操作。
黄金分割线分为两种:单点的黄金分割线和两点黄金分割线.以下就是方法：画单点有两个因素（一是黄金数字，二是最高或最低点）画黄金分割线的第一步是记住若干个特殊的数字：0.191 0.382 0.618 0.809最为重要，股价极容易在由这4个数产生的黄金分割线处产生支撑和压力。
第二步是找到一个点。
这个点是上升行情结束，调头向下的最高点，或者是下降行情结束，调头向上的最低点。
4.4.4 黄金分割(课件)2024-2025学年九年级数学上册(北师大版)
，那么称
C
AB
线段AB被点C黄金分割，点____叫做线段____的黄金分割点，_______与
AC
AB
_______的比叫做黄金比．
探索&交流
较长线段
一条线段有几个黄金分割点，黄金分割时，黄金比＝
，所
原线段
以一条线段有_____个黄金分割点．
2
点1
A
点2
B
例题欣赏
例题&解析
☞
例1.计算黄金比.
图2
C
探索&交流
由
BE BC
BC AB
，可得
BC BE
AB AE
即
AE BE
AB AE
A
E
B
F
C
因此点E是AB的黄金分割点.
AE
BC
AB（即 AB
） 是黄金比，
D
也就是说，矩形ABCD的宽与长的比是黄金比.
宽与长的比等于黄金比的矩形也称为黄金矩形.
例题欣赏
例题&解析
☞
例3.在人体躯干与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即
，并且
例题欣赏
☞
例题&解析
例2.如何找到一条线段的黄金分割点？
已知线段AB，按照如下方法画图：
(1)过B作BD⊥AB使BD＝ AB；
(2)连接AD，在DA上截取DE＝DB；
E
A
(3)在AB上截取AC＝AE，则点C即为线段AB的黄金分割点． C
提出问题：为什么点C为线段AB的黄金分割点？
D
B
探索&交流