九年级数学上册 22.1二次函数的图象和性质4用待定系数法求二次函数解析式2_1-5
人教版数学九年级上册：22.1.4 用待定系数法求二次函数的解析式 教案
22.1.4二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质第2课时用待定系数法求二次函数的解析式【知识网络】典案二导学设计【学习目标】复习巩固用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式。
使学生掌握已知抛物线的顶点坐标或对称轴等条件求出函数的关系式。
【学习重难点】巩固用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式【课标要求】巩固用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式一、一、情景创设1．如何用待定系数法求已知三点坐标的二次函数关系式?2．已知二次函数的图象经过A(0，1)，B(1，3)，C(－1，1）。
(1)求二次函数的关系式，(2)画出二次函数的图象；(3)说出它的顶点坐标和对称轴。
3．二次函数y＝ax2＋bx＋c的对称轴，顶点坐标各是什么?二、实践与探索例1．已知一个二次函数的图象过点(0，1)，它的顶点坐标是(8，9)，求这个二次函数的关系式。
分析：二次函数y＝ax2＋bx＋c通过配方可得y＝a(x＋h)2＋k的形式称为顶点式，(－h，k)为抛物线的顶点坐标，因为这个二次函数的图象顶点坐标是(8，9)，因此，可以设函数关系式为：y＝由于二次函数的图象过点(0，1)，将(0，1)代入所设函数关系式，即可求出a 的值。
请同学们完成本例的解答例2．已知抛物线对称轴是直线x＝2，且经过(3，1)和(0，－5)两点，求二次函数的关系式。
例3、已知抛物线的顶点是(2，－4)，它与y轴的一个交点的纵坐标为4，求函数的关系式。
三、课堂练习1. 已知二次函数当x＝－3时，有最大值－1，且当x＝0时，y＝－3，求二次函数的关系式。
小结：让学生讨论、交流、归纳得到：已知二次函数的最大值或最小值，就是已知该函数顶点坐标，应用顶点式求解方便，用一般式求解计算量较大。
2．已知二次函数y＝x2＋p x＋q的图象的顶点坐标是(5，－2)，求二次函数关系式。
四、小结1，求二次函数的关系式，常见的有几种类型?(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(2)顶点式：y＝a(x＋h)2＋k，其顶点是(－h，k)2．如何确定二次函数的关系式?让学生回顾、思考、交流，得出：关键是确定上述两个式子中的待定系数，通常需要三个已知条件。
人教版九年级数学上册《用待定系数法求二次函数的解析式》课件
第2课时 用待定系数法二次函数的解析式
［归纳总结］ 待定系数法求二次函数解析式的一般步骤： （1）设：根据条件设函数解析式； （2）列：把已知点的坐标代入解析式，得到方程或方程 组； （3）解：解方程或方程组，求出未知系数； （4）答：写出函数解析式，注意最后结果一般要化成一 般式 y＝ax2＋bx＋c.
第2课时 用待定系数法二次函数的解析式
新知梳理
► 知识点 用待定系数法求二次函数的解析式 求二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的条件（如二次函数图象上三个点的坐标） 列出关于 a，b，c 的方程组，并求出 a，b，c，就可以写出二 次函数的解析式.
第2课时 用待定系数法二次函数的解析式
重难互动探究
探究问题一 利用一般式 y＝ax2＋bx＋c（a≠0）求二次 函数的解析式 例1 ［教材探究变式题］ 已知二次函数的图象经过点（－1 ，－6），（1，－2）和（2，3），求这个二次函数的解析式 ，并求它的开口方向、对称轴和顶点坐标.
［解析］ 设二次函数的解析式为 y＝ax2＋bx＋c，把已 知三点坐标代入得关于 a，b，c 的三元一次方程组，求出 a， b，c 的值，再运用配方法或顶点坐标公式求其对称轴和顶点 坐标.
又∵图象经过点 M（2，0）， ∴a＝3， ∴函数解析式为 y＝3（x－1）2－3， 即 y＝3x2－6x.
第2课时 用待定系数法二次函数的解析式
解法四：设二次函数解析式为 y＝a（x－x1）（x－x2），x1， x2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标.
∵抛物线与 x 轴的一个交点是（2，0），对称轴是 x＝1， ∴抛物线与 x 轴的另一个交点为（0，0）， ∴x1＝2，x2＝0， ∴y＝a（x－0）（x－2）＝ax（x－2）. 又∵抛物线的顶点为（1，－3）， ∴－3＝a×1×（1－2），∴a＝3， ∴所求的函数解析式为 y＝3x（x－2）， 即 y＝3x2－6x.
22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质-待定系数法求二次函数解析式(教案)
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二次函数的图象和性质，学习了待定系数法求解析式的技巧，并探讨了它们在现实生活中的应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对二次函数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题时能够灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
2.教学难点
（1）理解二次函数图象的对称性质，特别是对称轴的求解；
（举例：解释对称轴公式x=-b/(2a)的来源和意义，通过具体例子演示如何求解）
（2）待定系数法在实际问题中的应用，特别是涉及到多个点的求解；
（举例：解决含有多个点的二次函数解析式问题时，如何运用待定系数法，以及注意避免计算错误）
（3）对于不同系数a、b、c的二次函数图象性质的区分；
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调二次函数的图象性质和待定系数法这两个重点。对于难点部分，如对称轴的求解和待定系数法的应用，我会通过具体例题和逐步解析来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与二次函数相关的实际问题，如物体抛射的轨迹。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过抛掷小球，观察其运动轨迹，并尝试用待定系数法来确定这一轨迹的方程。
22.1.4二次函数y=ax2＋bx＋c的图象和性质-待定系数法求二次函数解析式（教案）
一、教学内容
本节课选自教材第22章“二次函数”中的1.4节，主要围绕二次函数y=ax^2+bx+c的图象和性质，以及待定系数法求二次函数解析式展开。内容包括：
人教版初中数学九年级上册第二十二章22.1.4用待定系数法求二次函数解析式
解：设这个二次函数的解析式为y=a(x+2)2+1， 把点(1,-8)代入上式得：a(1+2)2+1=-8， 解得 a=-1.
∴所求的二次函数的表达式是y=-(x+2)2+1.
用顶点式求二次函数解析式
知道抛物线的顶点坐标,求表达式的方法叫做顶点法.其步骤 ： ①设函数表达式是y=a(x-h)2+k； ②先代入顶点坐标,得到关于a的一元一次方程； ③将另一点的坐标代入原方程求出a值； ④a用数值换掉,写出函数表达式.
∴所求的二次函数的表达式是y=(x+3)(x+1), 即y=x2+4x+3.
用交点法求二次函数解析式
知道抛物线与x轴的两个交点,求解析式的方法叫做交点法. 其步骤是： ①设函数表达式是y=a(x-x1)(x-x2)； ②先把两交点的横坐标x1,x2代入到表达式中，得到关于a的一 元一次方程； ③将方程的解代入原方程求出a值； ④a用数值换掉,写出函数表达式.
用一般式求二次函数解析式
【例3】一个二次函数的图象经过(0,1),(2,4),(3,10)三点,
求这个二次函数的表达式. 一设、二代、三解、四还原
解：设这个二次函数的解析式是y=ax2+bx+c,由于这个函数经
过点(0,1),可得c=1.又由于其图象经过(2,4),(3,10)两点,
可得
4a+2b+1=4，
用顶点式求二次函数解析式
1.一个二次函数的图象经点(0,1),它的顶点坐标为(8,9),求
这个二次函数的表达式.
解：设函数表达式为：y=a(x-8)2+9.
把点(0,1)代入上式得：0=a(0-8)2+9.
九年级数学上册22、1二次函数的图象和性质4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质第2课时习题课件
(2)请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y＝－x上， 并写出平移后抛物线的解析式.
(2)答案不唯一，如：先向左平移2个单位长 度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线 的解析式为y＝－x2，平移后抛物线的顶点为 (0，0)，落在直线y＝－x上．
考查角度二 已知面积求抛物线上点的坐标 16.如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过坐标原点，并与x轴交于点A(2，0). (1)求此抛物线的解析式；
考查角度一 抛物线的平移 15.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)，且过 点C(0，－3). (1)求抛物线的解析式和顶点坐标；
解：(1)设抛物线的解析式为y＝a(x－1)(x－3)． ∵抛物线过点C(0，－3)，∴－3＝a×(－1)×(－3)， 解得a＝－1，∴y＝－(x－1)(x－3)＝－x2＋4x－3. ∵y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，∴顶点坐标为 (2，1)．
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式
知识点一 利用“一般式”求二次函数的解析式
1.已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点(－1，0)和(1，－2)，则这个函
数的解析式为( ) B
A.y＝x2－x＋2
3
6.如图所示的抛物线的解析式为__y_＝__2_x_2_－__4_x_＋__2____.
7.已知二次函数当x＝－1时，有最小值－4，且当x＝0时，y＝－3，则二次 函数的解析式为________________.
y＝(x＋1)2－4
知识点三 利用“交点式”求二次函数的解析式
用待定系数法求二次函数解析式PPT课件
第22章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质 *第7课时 用待定系数法求二次函数
解析式
提示：点击 进入习题
1 一般式 2 见习题 3 见习题 4 顶点式 5 见习题
6 见习题 7 交点式 8 见习题 9 见习题
答案显示
1．已知函数图象上的三个点的坐标求函数解析式时，设出 二次函数的__一__般__式__，即y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，然后将三 个点的坐标分别代入解析式，求出待定的系数a，b，c即 可．
2．(2020·陕西)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(3，12)和 (－2，－3)，与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对 称轴为直线l.
(1)求该抛物线的解析式． 解：将点(3，12)和(－2，－3)的坐标代入抛物线的解析式， 得1－2＝3＝9＋4－3b2＋b＋c，c，解得bc＝＝－2，3. 故抛物线的解析式为 y＝x2＋2x－3.
解：如图所示．该曲线 是一条抛物线．
(4)设直线y＝m(m>－2)与抛物线及(3)中的点P′所在曲线都有
两个交点，交点从左到右依次为A1，A2，A3，A4，请根 据图象直接写出线段A1A2，A3A4之间的数量关系： __A_3_A_4_－__A_1_A_2_＝__1____．
4．若已知顶点坐标或对称轴或函数的最值，用待定系数法 求解析式时，一般设___顶__点__式_____，即y＝a(x－h)2＋k.
课堂导练
11．(2020·吉林)如图是人们常用的插线板。可以用_试__电__笔___ 来判断插孔接的是火线还是零线；当把三线插头插入三 孔插座中时，用电器的金属外壳就会与___大__地___相连， 以防止触电事故的发生。
8．(2020·攀枝花)如图，开口向下的抛物线与x轴交于点A(－1， 0)，B(2，0)，与y轴交于点C(0，4)，点P是第一象限内抛物 线上的一点．
人教版数学九年级上册22.1.4.2：用待定系数法求二次函数解析式教案
课题：22.1.4 二次函数y=ax ²+bx+c 的图象和性质第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式一、教学目标：知识与能力：掌握二次函数解析式的表达方式。
会用待定系数法求二次函数的解析式。
学会利用二次函数解决实际问题。
过程与方法：能根据二次函数的图像及性质解决生活中的实际问题。
二、教学重难点重点：会用待定系数法求二次函数的解析式难点：会选用适当函数表达式求二次函数的解析式三、媒体运用班班通四、教学设计（一）温故而知新我们知道，在学习一次函数的过程中，已知同一直线上的不同两点的坐标，我们可以求出这条直线的解析式.例如：已知直线y=ax+b 经过点A （1.1），点 B （-1，-1），那么这条直线的解析式为：y=x.（二）探究（1）由几个点的坐标可以确定二次函数？这几个点应满足什么条件？（2）如果一个二次函数的图象经过（-1,10），（1,4），（2,7）三个点，能求出这个二次函数的解析式吗？如果能，求出这个二次函数的解析式.分析：（1）确定一次函数.用待定系数法，求出k,b 的值，从而确定一次函数解析式.类似的，我们可以写出这个二次函数的解析式y=ax 2+bx+c ，求出a,b,c 的值.由不共线三点（三点不在同一直线上）的坐标，列出关于a,b,c 的三元一次方程组就可以求出a,b,c 的值.（2）设所求二次函数为y=ax 2+bx+c 由已知，函数图象经过（-1,10），（1,4），（2,7）三点，得关于a,b,c 的三元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+-.724,4,10c b a c b a c b a解这个方程组，得a=2,b=-3,c=5所求二次函数是y=2x 2-3x+5（三）方法小结用待定系数法确定二次函数解析式的基本方法分四步完成：一设、二代、三解、四还原一设:指先设出二次函数的解析式；二代:指根据题中所给条件，代入二次函数的解析式，得到关于a、b、c的方程组三解:指解此方程或方程组四还原:指将求出的a、b、c还原回原解析式中（四）动手做一做已知当x＝－1时，抛物线最高点的纵坐标为4，且与x轴两交点之间的距离为6，求此函数解析式。
人教版九年级数学上册第22章 二次函数 求二次函数的解析式
的学习习惯.
旧知回顾
1.用待定系数法求一次函数解析式的一般步骤是什么？
①设一次函数的解析式
；②把点的坐标代入求
方法
待定系数；③把所求系
数值代回原解析式
2.二次函数的解析式有几种形式？
一般式；顶点式 ； 交点式
待定系数法
你能根据下列所给图象的特征，设出它对应的函数表达式吗？
【题型四】几种解析式的灵活应用
例5 已知二次函数 = 2 + + 的图象的对称轴为x=2，且
经过点（1,4），（5,0），求二次函数的解析式.
解：设二次函数的解析式为y=a(x-2)²+k.
+ = ,
把(1,4), (5,0)代入,得 ቊ
解得
+ = ,
所以二次函数的解析式为 =
22.1.4 第2课时 求二次函
数的解析式
1.通过分析已知条件让学生设恰当的函数解析式，达到简便运算、
解决问题的目的，提高学生分析问题的能力.
2.通过类比用待定系数法求一次函数的解析式，掌握用待定系数法
求二次函数的解析式，提高学生的运算能力.
3.通过让学生经历观察、比较、归纳、应用的学习过程，使学生掌
如图，某建筑的屋顶设计成截面为抛物线形（曲线AOB）的薄
壳屋顶。它的拱宽AB为4 m，拱高CO为0.8 m，施工前要先制
造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢？
你知道应该如何设函数表达式吗？哪种方案最简单呢？
科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一
定时间后，测试出这种植物高度的增长情况如下表：
方程（组）。
3.解：解得到的方程（组），求待定系数。
初中数学人教版九年级上册 第二十二章22.1.4用待定系数法求二次函数的解析式(共21张PPT)
知识应用
有一个抛物线形的立交桥拱，这个 桥拱的最大高度为16m，跨度为40m． 现把它的图形放在坐标系里(如图所示)， 求抛物线的解析式． 解： 设抛物线为y=ax(x-40 ）
根据题意可知 ∵ 点(20，16)在抛物线上，
4、已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值 是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图 象经过点（3，-6）。求aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱb、c。
用待定系数法求二次函数的解析式
说一说
说出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标:
y＝3x2
y= -2x2+3
y= - 4(x+3)2
y=
1 2
(x-2)2+1
y＝x2＋2x＋1
温故而知新
二次函数解析式有哪几种表达式？
• 一般式：y＝ax2+bx+c (a≠0) • 顶点式：y＝a(x-h)2+k (a≠0) 特殊形式 • 交点式：y＝a(x-x1)(x-x2) (a≠0)
25 5 ∴ 所求抛物线解析式为 y
1
x2 8 x
25 5
知识应用
有一个抛物线形的立交桥拱，这个
桥拱的最大高度为16m，跨度为40m．
现把它的图形放在坐标系里(如图所示)，
求抛物线的解析式．
解 设抛物线为y=a(x-20)2＋16
法 二
根据题意可知 ∵ 点(0，0)在抛物线上，
∴ 所求抛物线解析式为
通常选择一般式 y
▪ 已知图象的顶点坐标（对称轴和最值）
通常选择顶点式
o
▪ 已知图象与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，
x 通常选择交点式
确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点， 恰当地选用一种函数表达式，
九年级数学待定系数法求二次函数的解析式
y -27 -13 -3 3 5 3
则当x=1时，y的值为 A.5 B.-3 C.-13 D.-27
5. 已知二次函数中，其函数与自变量之间 的部分对应值如下表所示：
．
x …0 1 2 3 4 …
y …4 1 0 1 4 …
点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数的图象上，
部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程
x2 2x k 0 的一个解x1 3，另一个
解 x2 ；
y
O1 3
x
(第15题图)
22.1.4二次函数 y=ax2+bx+c的图象
8 6 4 2
－4 －2
24
1.完成下列表格:
二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=2(x+3)2+5
向上 直线x=－3 (－3,5)
y 1 (x 4)2 4 2
x
如何平移：
y 3 (x 1)2 4
y 3 (x 1)2 2 4
y 3 (x 3)2 3 4
y 3 (x 5)2 2 4
发展性训练
1.由y=3(x+2)2+4的图像经过怎样的平移 变换，可以得到y=3x2的图像.
右移2单位，下移4单位
2.把函数y=x2-2x的图像向右平移２个单 位，再向下平移３个单位所得图像对应 的函数解析式为
（1）请直接写出抛物线y=2x2-4x+1的伴随抛物线和伴随直线的解析 式：
伴随抛物线的解析式： y=-2x2+1 。
伴随直线的解析式： y=-2x+1 。
（2）若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是y= -x2-3和y= -
人教版九年级数学上册22.1.6《用待定系数法求二次函数的解析式》说课稿
人教版九年级数学上册22.1.6《用待定系数法求二次函数的解析式》说课稿一. 教材分析人教版九年级数学上册第22.1.6节《用待定系数法求二次函数的解析式》是二次函数内容的一部分。
这部分内容是在学生已经掌握了二次函数的一般形式，了解了二次函数的图象和性质的基础上进行学习的。
本节课的主要内容是用待定系数法求二次函数的解析式，待定系数法是解决这类问题的基本方法，对于学生来说是一个重要的数学方法。
本节课的内容对于学生来说难度较大，需要学生具有较强的逻辑思维能力和转化能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于二次函数的一般形式和图象性质有一定的了解。
但是，学生在解决实际问题时，往往不知道如何运用已学的知识，对于待定系数法的运用还不够熟练。
此外，学生的逻辑思维能力和转化能力还有待提高。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握用待定系数法求二次函数的解析式的方法，能够运用该方法解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流的方式，培养学生解决问题的能力和合作意识。
3.情感态度与价值观目标：让学生感受数学在生活中的应用，提高学生学习数学的兴趣。
四. 说教学重难点1.教学重点：用待定系数法求二次函数的解析式。
2.教学难点：如何引导学生理解和运用待定系数法，以及如何将实际问题转化为数学问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用自主学习、合作交流、教师引导的教学方法。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等教学工具。
六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引入待定系数法求二次函数的解析式。
2.自主学习：让学生自主探究待定系数法的步骤和原理。
3.合作交流：学生分组讨论，分享各自的解题思路和方法。
4.教师引导：教师针对学生的讨论进行点评和指导，帮助学生解决问题。
5.巩固练习：给学生提供一些练习题，让学生运用待定系数法解决问题。
6.总结归纳：教师引导学生总结待定系数法的运用方法和注意事项。
22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质课件 2024-2025学年人教版数学九上
大而增大，则实数a的取值范围是( B )
A．a＞1
B．－1＜a≤1
C．a＞0
D．－1＜a＜2
知识讲解
知识点1 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
【例 2】已知抛物线y＝ax2＋bx和直线y＝ax＋b在同一坐标系内的图象
面积．
(2)∵该抛物线的对称轴为直线x＝
4
＝4，
1
A．(－3，－6)
B．(1，－4)
C．(1，－6)
D．(－3，－4)
再将抛物线y＝2(x－1)2－5向下平移1个单位所得抛物线的解析式为
y＝2(x－1)2－5－1＝2(x－1)2－6，
此时二次函数图象的顶点为(1，－6).
知识讲解
知识点3 抛物线y=ax2+bx+c与系数的关系
项目
a
b
字母的符号
图象的特征
确的结论的序号是________；
解析：由抛物线开口向上，得a＞0；
由抛物线y轴的交点在负半轴上，得c＜0；
由抛物线的顶点在第四象限，得
b
2a
＞0，又a＞0，所以b＜0；
知识讲解
知识点3 抛物线y=ax2+bx+c与系数的关系
【例 4】如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，图象经过
2
2
b
c
b
b
b
c
2
2
2
y ax bx c a x x a x x
a
人教版九年级数学上册22.1 二次函数的图象和性质 22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质②
当已知抛物线的顶点坐标或对称 轴和最值时，通常设函数的解析式为 项点式，然后代入另一点的坐标，解 关于a的一元一次方程
(a,x1,x2为 常数，a≠0)，其中是抛物 线与x轴两个交点的横坐标
当已知抛物线与x轴的两交点坐标 或一个交点的坐标和对称轴时,通常设 函数的解析式为交点式，然后代入另 一点的坐标,解关于a的一元一次方程
情景引入
请你回忆:确定一次函数的解析式需要函数图象上几 个点的坐标?这几个点需要满足什么条件? 请你猜想:确定二次函数的解析式需要几个点的坐标? 这几个点需要满足什么条件?
1
人教版九年级数学上册 第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.4 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质②
15
知识点二：根据 y=a(x -h)2+k(a≠0)求二次函数解析式
学以致用
1.二次函数 y=x²+px+q的最小值是4,且当 x=2时，y=5，则p,q
的值为（ ）.
A.p=-2，q=15
B.p=-2，q=5或 p=-6，q=13
C.p=-6，q=13
D.p=2，q=-5或 p=6，q=-13
对于二次函数，我们先探究下面问题.
5
知识点一：根据y= ax2 +bx+c(a≠0)求二次函数解析式
新知探究
(1)由几个点的坐标可以确定二次函数?这几个点 应满足什么条件? (2) 如果一个二次函数的图象经过(-1, 10)，(1, 4), (2, 7)三 点，能求出这个二次函数的解析式吗?如果能，求出这个 二次函数的解析式.
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知识点三：根据 y=a(x - x1)(x- x2)(a≠0)求二次函数解析式
22.1 二次函数的图像和性质
位长度
位长度
位长度
位长度
y=ax2 (a<0)
y=a(x-
y=a(x-
y=a(x-
y=a(x-
h)2+k(a<0,h< h)2+k(a<0,h< h)2+k(a<0,h> h)2+k(a<0,h>
0,k>0)
0,k<0)
0,k>0)
0,k<0)
知识点 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质
投篮命中率是衡量一名篮球球员得分能力的 重要标志,要提高投篮命中率,应该将球的运动路线 想象成抛物线,在心中建立如图所示的抛物线模型, 这种类型的抛物线解析式为y=ax2(a≠0),尽量向 高处抛出篮球,落点就是篮筐,这样投篮命中率会高 一些,同学们不妨多尝试几次,效果会不错的呦!
知识点 用待定系数法求二次函数解析式
跳台滑雪简称“跳雪”,就是运动员脚着特制 的滑雪板,沿着跳台的倾斜助滑道下滑,是冬季奥运 会比赛项目之一.运动员起跳后的飞行路线可以看 作是抛物线的一部分,运动员起跳后的竖直高度 y(单位:m)与水平距离x(单位:m)近似满足函数关系 式y=ax2+bx+c(a≠0).如图所示,记录了某运动员 起跳后的x与y的三组数据,根据上述函数模型和数 据,可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时的水 平距离.
知识点 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质
抛物线y=a(x-h)²+k左右平移时,只有常数h发生变化;上下平移
时,只有常数k发生变化.
y=ax2 (a≠0)
向左平移|h|个 向左平移|h|个 向右平移|h|个 向右平移|h|个
人教版九年级数学专题《二次函数图像和性质》(含答案及解析)
专题22.1 二次函数的图像和性质知识点解读 1.定义一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数。
其中x 是自变量，a 、b 、c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项。
2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点。
①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同。
②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x 。
3.几种特殊的二次函数的图像特征如下4.求抛物线的顶点、对称轴的方法①公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=， ∴顶点是），（ab ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=。
②配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =。
③运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，对称轴与抛物线的交点是顶点。
若已知抛物线上两点12(,)(,)、x y x y （及y 值相同），则对称轴方程可以表示为：122x x x +=5.抛物线c bx ax y ++=2中， a 、b 、c 的作用①a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样。
②b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线abx 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<ab（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧。
③c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置。
当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）： ①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴； ③0<c ,与y 轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则 0<ab6.用待定系数法求二次函数的解析式一般情况下设二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c ，结合题中条件解出a 、b 、c 就可以求出二次函数的解析式。
九年级数学上册第22章二次函数22_1二次函数的图象和性质22_1_4二次函数yax2bxc的图象和性质待定系数法学案
22.1.4二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与性质-待定系数法一、温故知新1.一次函数b kx y +=经过点A(-1,2)和点B(2,5),求该一次函数的解析式。
2.一次函数b kx y +=经过点A(-1,2)和点B(-1,5),能求出一次函数的解析式吗？若过点A(-1,2)和点B(2,2),能求出一次函数的解析式吗？ 二、学习新知问题1：已知三点求二次函数的解析式 若果一个二次函数的图象经过点A （－1，10），B （1，4），C （2，7），能求出这个二次函数的解析式吗？如果能，求出二次函数的解析式．问题2：已知抛物线的顶点和另一点求 二次函数的解析式已知抛物线的顶点坐标为（-1，2），且经过点（0,4）求该函数的解析式.问题3：归纳总结由几个点的坐标可以确定二次函数的解析式，这几个点应满足什么条件？用待定系数法求二次函数的解析式通常用以下2种方法：设顶点式()k h x a y +-=2和一般式2y ax bx c =++。
1）．已知抛物线过三点，通常设函数解析式为 ；2）．已知抛物线顶点坐标及其余一点，通常设函数解析式 。
三、巩固训练 题组一1.一个二次函数，当自变量x=0时，函数值y= -1，当x= -2与21时，y=0.求这个二次函数的解析式.2.已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像与x 轴交于A （1，0），B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，3），求二次函数的解析式．3.求经过下面三点的二次函数的解析式（只写设，列方程两步） (1)、(-1，3)，(1，3)，(2，6) (2)、(-1，0)，(0，-2)，(1，1) 题组二1.已知抛物线顶点为(1,－4),且又过点(2,－3).求抛物线的解析2.已知抛物线c bx ax y ++=2的图象过点（0,0）、（12,0），最低点的纵坐标为-3，求该抛物线的解析式.四、 拓展延伸如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝12mm ，BC ＝24mm ，动点P 从点A 开始沿边AB 向B 以2mm/s 的速度移动，动点Q 从点B 开始沿边BC 向C 以4m m/s 的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，那么△PB Q 的面积S 随出发时间t 如何变化？写出函数关系式及t 的取值范围．QPCBA。
人教版数学九年级上册 (第2课时)
课堂检测
基础巩固题
1. 如图所示,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c的图象 顶点为A(-2,-2),且过点B(0,2),则y与x的函数关系式为( D )
A. y=x2+2
B. y=(x-2)2+2
C. y=(x-2)2-2 D. y=(x+2)2-2
2. 已知二次函数的图象经过点(4,-3),并且当x=3时有最大值4, 则其解析式为 y=-7(x-3)2+4. .
经过点M（0,1），求抛物线的解析式.
解: ∵图象与x轴交于A(-1,0)，B(1,0)， ∴设函数解析式为y＝a(x+1)(x-1). ∵图象过点M(0,1), ∴1=a(0+1)(0-1)，解得a=-1. ∴二次函数解析式为y=-1(x+1)(x-1),
故所求的抛物线解析式为 y=－x2+1.
探究新知 知识点 3 用二次函数顶点式y=a(x-h)2+k求函数解析式
k b 3, 2k b
12,
解得
k=3，b=-6.
一次函数的解析式为y=3x-6.
【思考】如何用待定系数法求二次函数的解析式呢？
素养目标
2.灵活应用三点式、顶点式、交点式求二次函 数的解析式. 1.会用待定系数法求二次函数的解析式.
探究新知 知识点 1
用三点式求二次函数的解析式
【思考】回忆一下用待定系数法求一次函数的解 析式的一般步骤．求二次函数y=ax2+bx+c的解析式 的关键是什么？
∴解方程组得：a=2, b=-3, c=5.
a=2. c=5.
探究新知
素养考点 利用三点式求二次函数的解析式
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当给出的点的坐标有顶点时，可设顶点式
y=a(x-h)2+k，由顶点坐标可直接得出h，k 的值，再将另一点的坐标代入即可求出a的值.
1已知一个二次函数图象的顶点是(-1, 0)，且过点(2, 18)，则此二次函数解析式为___________.
2 已知A(1，0)，B(0，－1)，C(－1，2)，D(2，－1)，E(4，2)五个点，
抛物线y＝a(x－1)2＋k(a>0)经过其中三个点．
(1)求证：C，E两点不可能同时在抛物线y＝a(x－1)2 ＋k(a>0)上．
(2)点A在抛物线y＝a(x－1)2＋k(a>0)上吗？为什么？
(3)求a和k的值．
情景引入：问题3用交点式确定二次函数解析式
例3 如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于
点A(1，0)，B(3，0)，且过点C(0，－3)．
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；
(2)请你写出一种平移的方法，使平移后抛物
线的顶点落在直线y＝－x上，并写出平移
后抛物线的解析式．
导引：(1)利用交点式得出y＝a(x－1)(x－3)，进而求出a的值，
再利用配方法求出顶点坐标即可；
(2)根据左加右减得出抛物线的解析式为y＝－x2，进而得出答案．
解：
(1)∵抛物线与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)，
∴可设抛物线解析式为y＝a(x－1)(x－3)，
把(0，－3)代入得：3a＝－3，解得：a＝－1，
故抛物线的解析式为y＝－(x－1)(x－3)，
即y＝－x2＋4x－3，
∵y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，
∴顶点坐标为(2，1)．
(2)先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，
得到的抛物线的解析式为y＝－x2，
平移后抛物线的顶点为(0，0)，落在直线y＝－x上．。