南京市第二十九中学2015-2016学年度上高二12月学情检测数学试题(word版,部分含解析)
【数学】2015-2016年高二上数学期末试卷与答案
南京市2015－2016学年度第一学期高二期末调研数学卷2016.01一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分．1．命题：“ x ∈Q ，x 2－8＝0”的否定是▲．2．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线y 2＝2px 经过点(4，2)，则实数p ＝▲．3．在平面直角坐标系xOy 中，圆x 2＋y 2－6x ＋8y ＋21＝0的半径为▲．4．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2－y 2＝1的渐近线方程是▲．5．已知p ：0＜m ＜1，q ：椭圆x 2m ＋y 2＝1的焦点在y 轴上，则p 是q 的▲条件（用“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”或“既不充分也不必要”填空）．6．函数f (x )＝x ＋sin x 的图象在点O (0，0)处的切线方程是▲．7．已知实数x ，y≥1，≥0，＋y ≤2，则z ＝x －2y 的最大值是▲．8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以正方形ABCD 的两个顶点A ，B 为焦点，且过点C 、D 的双曲线的离心率是▲．9．函数f (x )＝xex （e 为自然对数的底数）的最大值是▲．10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点O (0，0)，A (3，0)，动点P 满足2PO ＝PA ，则点P的轨迹方程是▲．11．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y 2＝4x 上一点P 到点A (3，0)的距离等于它到准线的距离，则PA ＝▲．12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝3x ，y ＝0，x ＝t (t ＞0)围成的△OAB 的面积为S (t )，则S (t )在t ＝2时的瞬时变化率是▲．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x ＋y ＋m ＝0和圆M ：x 2＋y 2＝9．若圆M 上存在点P ，使得P 到直线l 的距离为2，则实数m 的取值范围是▲．14．已知函数y ＝x 3－3x 在区间[a ，a ＋1](a ≥0)上的最大值与最小值的差为2，则满足条件的实数a 的所有值是▲．xO y A B CD(第8题)二、解答题：本大题共6小题，共计58分．15．（本题满分8分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C过点(0，2)，其焦点为F1(－5，0)，F2(5，0)．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知点P在椭圆C上，且PF1＝4，求△PF1F2的面积．16．（本题满分10分）已知集合A＝{x|1＜x＜3}，集合B＝{x|x2－ax＜0}．（1）若a＝2，求A∩B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数a的取值范围．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M 经过点A (1，0)，B (3，0)，C (0，1)．（1）求圆M 的方程；（2）若直线l ：mx －2y －(2m ＋1)＝0与圆M 交于点P ，Q ，且MP →·MQ →＝0，求实数m 的值．18．（本题满分10分）A 、B 两地相距300km ，汽车从A 地以v km/h 的速度匀速行驶到B 地（速度不超过60km/h ）．已知汽车每小时．．．的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为250元，可变成本（单位：元）与速度v 的立方成正比，比例系数为11000．设全程的运输成本为y 元．（1）求y 关于v 的函数关系；（2）为使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？已知函数f(x)＝ln x．（1）若直线y＝2x＋p(p∈R)是函数y＝f(x)图象的一条切线，求实数p的值．（2）若函数g(x)＝x－mx－2f(x)(m∈R)有两个极值点，求实数m的取值范围．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2m＋8＋y2m＝1(m＞0)的离心率为63．（1）求m的值；（2）设点A为椭圆C的上顶点，问是否存在椭圆C的一条弦AB，使直线AB与圆(x－1)2＋y2＝r2(r＞0)相切，且切点P恰好为线段AB的中点？若存在，求满足条件的所有直线AB的方程和对应的r的值；若不存在，说明理由．南京市2015－2016学年度第一学期高二期末调研数学参考答案及评分标准一、填空题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）1．∀x ∈Q ，x 2－8≠02．123．24．y ＝±x 5．充要6．y ＝2x7．28．2＋19．1e10．x 2＋y 2＋2x －3＝011．312．2313．[－52，52]14．0和3－1二、解答题（本大题共6小题，共58分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．解（1）由题意可知，c ＝5，b ＝2，所以a 2＝b 2＋c 2＝9，……………………2分所以椭圆C 的标准方程为x 29＋y 24＝1．……………………4分（2）方法（一）由（1）可知，F 1F 2＝25，PF 1＋PF 2＝6，又PF 1＝4，所以PF 2＝2，…………………6分所以PF 12＋PF 22＝F 1F 22，所以PF 1⊥PF 2，所以△PF 1F 2的面积为12×PF 1·PF 2＝4．……………………8分方法（二）由（1）可知e ＝53，设P (x 0，y 0)，因为PF 1＝4，所以3＋53x 0＝4，解得x 0＝35，…………………6分代入方程得15＋y 024＝1，解得|y 0|＝45，所以△PF 1F 2的面积为12×25×45＝4．……………………8分16．解（1）当a ＝2时，B ＝{x |0＜x ＜2}．………………………3分所以A ∩B ＝{x |1＜x ＜2}．………………………5分（2）a ＝0时，B ＝∅，a ＜0时，B ＝{x |a ＜x ＜0}，a ＞0时，B ＝{x |0＜x ＜a }．…………7分因为“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，所以A ⊆B ，所以a ≥3，即实数a 的取值范围为[3，＋∞)．……………………10分17．解（1）方法（一）设圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，＋F＋1＝0，D＋F＋9＝0，＋F＋1＝0，…………………………2分＝－4，＝－4，＝3．所以圆M的方程x2＋y2－4x－4y＋3＝0．……………………4分方法（二）线段AC的垂直平分线的方程为y＝x，线段AB的垂直平分线的方程为x＝2，＝x，＝2，解得M(2，2)．……………………2分所以圆M的半径r＝AM＝5，所以圆M的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝5．……………………4分（2）因为·＝0，所以∠PMQ＝π2．又由（1）得MP＝MQ＝r＝5，所以点M到直线l的距离d＝102．………………………8分由点到直线的距离公式可知，|2m－4－2m－1|m2＋4＝102，解得m＝±6．………………………10分18．解（1）由题意知y＝(v31000＋250)×300v＝300(v21000＋250v)（0＜v≤60）．……………………4分（2）设f(v)＝v21000＋250v，v＞0，则f′(v)＝v500－250v2，由f′(v)＝0得，v＝50，……………………6分当0＜v＜50时，f′(v)＜0，当50＜v＜60时，f′(v)＞0，…………………8分所以v＝50时，f(v)取得最小值，即y取得最小值．答：为使全程运输成本最小，汽车应以50km/h速度行驶．………………10分19．解（1）方法（一）由题意知f ′(x )＝1x．设切点的坐标为(x 0，ln x 0)，则1x 0＝2，解得x 0＝12，所以切点的坐标为(12，－ln2)，代入直线y ＝2x ＋p ，解得p ＝－1－ln2．……………………4分方法（二）f ′(x )＝1x，设切点的坐标为(x 0，ln x 0)，则切线的方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，即y ＝1x 0·x ＋ln x 0－1，又切线方程为y ＝2x ＋p ，2，ln x 0－1，解得p ＝－1－ln2．…………………4分（2）函数g (x )的定义域为(0，＋∞)，且g ′(x )＝1＋m x 2－2x ＝x 2－2x ＋mx 2．………………6分由题意可知，关于x 的方程x 2－2x ＋m ＝0有两个不相等的正根x 1，x 2，…………………8分＞0，4－4m ＞0，解得0＜m ＜1．即实数m 的取值范围是(0，1)．…………………10分20．解（1）由题意a 2＝m ＋8，b 2＝m ，所以c 2＝a 2－b 2＝8．又椭圆的离心率为63，所以8m ＋8＝23，解得m ＝4．…………………3分（2）由（1）知椭圆C 的方程为x 212＋y 24＝1，所以A (0，2)．假设存在椭圆C 的一条弦AB 满足条件．方法（一）当AB 斜率不存在时，AB 的方程为x ＝0，显然符合题意，此时P (0，0)，r ＝1．……………………4分当AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋2，P (x 0，y 0)，x 2＋3y 2＝12，y ＝kx ＋2，消去y ，整理得，(1＋3k 2)x 2＋12kx ＝0，解得x ＝0或x ＝－12k1＋3k 2，……………………6分所以x 0＝－6k1＋3k 2，y 0＝21＋3k2．由21＋3k 2－0－6k 1＋3k 2－1×k ＝－1，得3k 2＋4k ＋1＝0，解得k ＝－1或k ＝－13．………………………9分所以直线AB ：y ＝－x ＋2，r ＝22，或直线AB ：y ＝－13x ＋2，r ＝102．综上，存在这样的弦AB ．直线AB ：x ＝0，r ＝1；直线AB ：y ＝－x ＋2，r ＝22；直线AB ：y ＝－13x ＋2，r ＝102．……………………10分方法（二）设P (x 0，y 0)，则B (2x 0，2y 0－2)．因为B 在椭圆C 上，所以(2x 0)2＋3(2y 0－2)2＝12，即x 20＋3(y 0－1)2＝3，所以x 20＋3y 20－6y 0＝0．①……………………5分设M (1，0)，则MP ⊥AB ，所以·＝0，即2x 0(x 0－1)＋(2y 0－4)y 0＝0，x 20＋y 20－x 0－2y 0＝0．②…………………7分0＝0，0＝0，0＝0，0＝2，(舍)0＝32，0＝32，0＝32，0＝12．当点P 为(0，0)时，直线AB 方程为x ＝0，r ＝1；当点P 为(32，32)时，直线AB 方程为y ＝－13x ＋2，r ＝102．当点P 为(32，12)时，直线AB 方程为y ＝－x ＋2，r ＝22．综上，存在这样的弦AB ．直线AB ：x ＝0，r ＝1；直线AB ：y ＝－x ＋2，r ＝22；直线AB ：y ＝－13x ＋2，r ＝102．……………………………10分。
南京市高二2015-2016数学(理)试题
南京市2015－2016学年度第一学期高二期末调研数学卷（理科） 2016.01一、填空题：1．命题：“∃x ∈Q ，x 2－8＝0”的否定是 ▲ ．2．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线y 2＝2px 经过点(4，2) ，则实数p ＝ ▲ ． 3．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2－y 2＝1的渐近线方程是 ▲ ．4．已知p ：0＜m ＜1，q ：椭圆x 2m ＋y 2＝1的焦点在y 轴上，则p 是q 的 ▲ 条件（用“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”或“既不充分也不必要”填空）． 5．函数f (x )＝x ＋sin x 的图象在点O (0，0) 处的切线方程是 ▲ ．6．在空间直角坐标系中，已知A (1，0，0)，B (4，－3，0)，且AP →＝2PB →，则点P 的坐标是 ▲ ．7．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥0，x ＋y ≤2，则z ＝x －2y 的最大值是 ▲ ．8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以正方形ABCD 的两个顶点A ，B 为焦点，且过点C 、D 的双曲线的离心率是 ▲ ． 9．函数f (x )＝xex （e 为自然对数的底数）的最大值是 ▲ ．10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点O (0，0)，A (3，0)，动点P 满足2PO ＝P A ，则点P 的轨迹方程是▲ ．11．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y 2＝4x 上一点P 到点A (3，0) 的距离等于它到准线的距离，则P A ＝ ▲ ．12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝3x ，y ＝0，x ＝t (t ＞0)围成的△OAB 的面积为S (t )，则S (t )在t ＝2时的瞬时变化率是 ▲ ．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x ＋y －3＝0和圆M ：x 2＋(y －m )2＝8．若圆M 上存在点P ，使得P 到直 线l 的距离为32，则实数m 的取值范围是 ▲ ．14．已知函数y ＝x 3－3x 在区间[a ，a ＋1](a ≥0)上的最大值与最小值的差为2，则满足条件的实数a 的所有值是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计58分．请在答．题卡．．指定区域内．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分8分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 过点(0，2)，其焦点为F 1(－5，0)，F 2(5，0)． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点P 在椭圆C 上，且PF 1＝4，求△PF 1F 2的面积．16．（本题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M 经过点A (1，0)，B (3，0)，C (0，1)． （1）求圆M 的方程；（2）若直线l ：mx －2y －(2m ＋1)＝0与圆M 交于点P ，Q ，且 MP →·MQ →＝0，求实数m 的值．17．（本题满分10分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝22，AC ＝23，AA 1＝1，∠BAC ＝90°，D 为线段BC 的中点．（1）求异面直线B 1D 与AC 所成角的大小； （2）求二面角D －A 1B 1－A 的大小．18．（本题满分10分）A 、B 两地相距300 km ，汽车从A 地以v km/h 的速度匀速行驶到B 地（速度不得超过60 km/h ）．已知汽车每小时．．．的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为250元，可变成本（单位：元）与速度v 的立方成正比，比例系数为11000．设全程的运输成本为y 元．（1）求y 关于v 的函数关系；（2）为使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？A 1B 1C 1CAD B(第17题)19．（本题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2m ＋8＋y 2m ＝1(m ＞0)的离心率为63．（1）求m 的值；（2）设点A 为椭圆C 的上顶点，问是否存在椭圆C 的一条弦AB ，使直线AB 与圆(x －1)2＋y 2＝r 2 (r＞0)相切，且切点P 恰好为线段AB 的中点？若存在，求满足条件的所有直线AB 的方程和对应的r 的值；若不存在，说明理由．20．（本题满分10分）已知函数f (x )＝ln x ．（1）若直线y ＝2x ＋p (p ∈R )是函数y ＝f (x )图象的一条切线，求实数p 的值． （2）若函数g (x )＝x －mx －2f (x ) (m ∈R )有两个极值点x 1，x 2，且x 1＜x 2．① 求实数m 的取值范围；② 证明：g (x 2)＜x 2－1．南京市2015－2016学年度第一学期高二期末调研数学参考答案及评分标准（理科） 2016.01一、填空题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）1． x ∈Q ，x 2－8≠0 2．12 3．y ＝±x 4．充要5．y ＝2x 6．(3，－2，0) 7．2 8．2＋1 9．1e 10．x 2＋y 2＋2x －3＝0 11．3 12．2313．[－7，1]∪[5，13] 14．0和3－1二、解答题（本大题共6小题，共58分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．解（1）由题意可知，c ＝5，b ＝2，所以a 2＝b 2＋c 2＝9， ……………………………2分所以椭圆C 的标准方程为x 29＋y 24＝1． ……………………………4分（2）方法（一）由（1）可知，F 1F 2＝25，PF 1＋PF 2＝6，又PF 1＝4，所以PF 2＝2， ……………………………6分 所以PF 12＋PF 22＝F 1F 22，所以PF 1⊥PF 2，所以△PF 1F 2的面积为12×PF 1·PF 2＝4． ……………………………8分方法（二）由（1）可知e ＝53，设P (x 0，y 0)， 因为PF 1＝4，所以3＋53x 0＝4，解得x 0＝35， ……………………………6分代入方程得15＋y 024＝1，解得|y 0|＝45，所以△PF 1F 2的面积为12×25×45＝4． ……………………………8分16．解（1）方法（一）设圆M 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧D ＋F ＋1＝0，3D ＋F ＋9＝0，E ＋F ＋1＝0， …………………………… 2分 解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝－4，F ＝3．所以圆M 的方程x 2＋y 2－4x －4y ＋3＝0． …………………………… 4分 方法（二）线段AC 的垂直平分线的方程为y ＝x ，线段AB 的垂直平分线的方程为x ＝2，由⎩⎨⎧y ＝x ，x ＝2，解得M (2，2)． …………………………… 2分 所以圆M 的半径r ＝AM ＝5，所以圆M 的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝5． …………………………… 4分 （2）因为MP →·MQ →＝0，所以∠PMQ ＝π2．又由（1）得MP ＝MQ ＝r ＝5， 所以点M 到直线l 的距离d ＝102． ……………………………8分 由点到直线的距离公式可知，|2m －4－2m －1|m 2＋4＝102，解得m ＝±6． …………………………… 10分17．解（1）以{AB →，AC →，AA 1→}为正交基底建立空间直角坐标系A －xyz ． 因为AB ＝22，AC ＝23，AA 1＝1，所以A (0，0，0)，B (22，0，0)，C (0，23，0)，A 1 (0，0，1)，B 1(22，0，1)．又D 为BC 的中点，所以D (2，3，0)，B 1D →＝(－2，3，－1)，AC →＝(0，23，0)，从而cos<B 1D →，AC →>＝B 1D →·AC →|B 1D →|·|AC →|＝66×23＝22． …………………………… 3分因为<B 1D →，AC →>∈[0，π]，故<B 1D →，AC →>＝π4，所以异面直线B 1D 与AC 所成角为π4． ……………………………5分（2）因为AC ⊥平面A 1B 1A ，所以平面A 1B 1A 的一个法向量n 1＝(0，1，0)．设平面DA 1B 1的一个法向量n 2＝(x ，y ，z )，因为 A 1B 1→＝(22，0，0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧n 2·B 1D →＝0，n 2·A 1B 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋3y －z ＝0，22x ＝0，所以x ＝0，z ＝3y ．取y ＝1得n 2＝(0，1，3)， ……………………………8分从而cos< n 1，n 2>＝n 1·n 2 |n 1||n 2|＝12． 因为二面角D －A 1B 1－A 的平面角为锐角，所以二面角D －A 1B 1－A 的大小为60°． ……………………………10分 18．解（1）由题意知y ＝(v 31000＋250)×300v ＝300(v 21000＋250v)（0＜v ≤60）．…………………………… 4分（2）设f (v )＝v 21000＋250v，v ＞0，则f ′(v )＝v 500－250v2，由f ′(v )＝0得，v ＝50， ……………………………6分 当0＜v ＜50时，f ′(v )＜0，当50＜v ＜60时，f ′(v )＞0， …………………………8分 所以v ＝50时，f (v )取得最小值，即y 取得最小值．答：为使全程运输成本最小，汽车应以50 km/h 速度行驶． …………………………10分19．解（1）由题意a 2＝m ＋8，b 2＝m ，所以c 2＝a 2－b 2＝8． 又椭圆的离心率为63，所以8m ＋8＝23， 解得m ＝4． ……………………………3分 （2）由（1）知椭圆C 的方程为x 212＋y 24＝1，所以A (0，2)．假设存在椭圆C 的一条弦AB 满足条件．方法（一）当AB 斜率不存在时，AB 的方程为x ＝0，显然符合题意，此时P (0，0)，r ＝1． …………………………… 4分当AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋2， P (x 0，y 0)，由⎩⎨⎧ x 2＋3y 2＝12， y ＝kx ＋2，消去y ，整理得，(1＋3k 2)x 2＋12kx ＝0， 解得x ＝0或x ＝－12k1＋3k 2， …………………………… 6分所以x 0＝－6k 1＋3k 2，y 0＝21＋3k 2． 由21＋3k 2－0－6k 1＋3k 2－1×k ＝－1，得3k 2＋4k ＋1＝0，解得k ＝－1或k ＝－13． …………………………… 9分所以直线AB ：y ＝－x ＋2，r ＝22，或直线AB ：y ＝－13x ＋2，r ＝102．综上，存在这样的弦AB ．直线AB ：x ＝0，r ＝1；直线AB ：y ＝－x ＋2，r ＝22； 直线AB ：y ＝－13x ＋2，r ＝102． …………………………… 10分方法（二）设P (x 0，y 0)，则B (2x 0，2y 0－2)． 因为B 在椭圆C 上，所以(2x 0)2＋3(2y 0－2)2＝12，即x 20＋3(y 0－1)2＝3，所以x 20＋3y 20－6y 0＝0． ① …………………………… 5分设M (1，0)，则MP ⊥AB ，所以AB →·MP →＝0，即2x 0(x 0－1)＋(2y 0－4)y 0＝0，x 20＋y 20－x 0－2y 0＝0．② ………………………… 7分由①②，解得⎩⎨⎧x 0＝0，y 0＝0， 或⎩⎨⎧x 0＝0，y 0＝2，(舍) 或⎩⎨⎧x 0＝32，y 0＝32， 或⎩⎨⎧x 0＝32，y 0＝12．当点P 为(0，0)时，直线AB 方程为x ＝0，r ＝1；当点P 为(32，32)时，直线AB 方程为y ＝－13x ＋2，r ＝102．当点P 为(32，12)时，直线AB 方程为y ＝－x ＋2，r ＝22．综上，存在这样的弦AB ．直线AB ：x ＝0，r ＝1；直线AB ：y ＝－x ＋2，r ＝22； 直线AB ：y ＝－13x ＋2，r ＝102． …………………………… 10分20．解（1）方法（一）由题意知f ′(x )＝1x．设切点的坐标为(x 0，ln x 0)，则1x 0＝2，解得x 0＝12．所以切点的坐标为(12，－ln2)，代入直线y ＝2x ＋p ，解得p ＝－1－ln2．……………………………3分方法（二）由题意知f ′(x )＝1x．设切点的坐标为(x 0，ln x 0)，则切线的方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，即y ＝1x 0·x ＋ln x 0－1．又切线方程为y ＝2x ＋p ，则⎩⎪⎨⎪⎧1x 0＝2，p ＝ln x 0－1，解得p ＝－1－ln2． ………………………… 3分（2）①g (x )的定义域为(0，＋∞)，g ′(x )＝1＋m x 2－2x ＝x 2－2x ＋mx 2．由题意可知，关于x 的方程x 2－2x ＋m ＝0有两个不相等的正根，所以⎩⎨⎧m ＞0，△＝4－4m ＞0，解得0＜m ＜1． …………………………… 6分②由（1）可知0＜x 1＜1＜x 2＜2，m ＝2x 2－x 22，从而g (x 2)－(x 2－1)＝x 2－2ln x 2－1，1＜x 2＜2． ……………………………8分 设h (x )＝x －2ln x －1，x ＞0， 则h ′(x )＝1－2x ＝x －2x，所以，当1＜x ＜2时，h ′(x )＜0， 从而h (x )在[1，2]上单调递减， 又1＜x 2＜2，所以g (x 2)－(x 2－1)＝x 2－2ln x 2－1＝h (x 2)＜h (1)＝0，即g (x 2)＜x 2－1． ……………………………10分。
江苏省南京市第二十九中学等差数列单元测验试卷 百度文库
一、等差数列选择题1．在等差数列{}n a 中，若n S 为其前n 项和，65a =，则11S 的值是（ ） A ．60B ．11C ．50D ．552．南宋数学家杨辉《详解九张算法》和《算法通变本末》中，提出垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列.在杨辉之后一般称为“块积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别1，7，15，27，45，71，107，则该数列的第8项为（ ） A ．161B ．155C ．141D ．1393．等差数列{}n a 中，已知14739a a a ++=，则4a =（ ） A ．13B ．14C ．15D ．164．在等差数列{}n a 中，3914a a +=，23a =，则10a =（ ） A ．11B ．10C ．6D ．35．等差数列{}n a 中，12318192024,78a a a a a a ++=-++=，则此数列的前20项和等于（ ） A ．160B ．180C ．200D ．2206．若两个等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且3221n n S n T n +=+，则1215a b =（ ） A ．32B ．7059C ．7159D ．857．已知数列{}n a 中，132a =，且满足()*1112,22n n n a a n n N -=+≥∈，若对于任意*n N ∈，都有n a nλ≥成立，则实数λ的最小值是（ ） A ．2B ．4C ．8D ．168．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺”，则从第2天起每天比前一天多织（ ） A ．12尺布 B ．518尺布 C ．1631尺布 D ．1629尺布 9．已知各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则3810b b b =（ )A ．1B ．8C ．4D ．210．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且71124a a -=，则5S =（ ） A ．15B ．20C ．25D ．3011．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）.这个问题中，戊所得为（ ） A ．54钱 B ．43钱 C ．23钱 D ．53钱 12．已知{}n a 是公差为2的等差数列，前5项和525S =，若215m a =，则m =（ ） A ．4B ．6C ．7D ．813．已知数列{}n a 满足25111,,25a a a ==且*121210,n n n n a a a ++-+=∈N ，则*n N ∈时，使得不等式100n n a a +≥恒成立的实数a 的最大值是（ ） A ．19B ．20C ．21D ．2214．设等差数列{}n a 的前n 和为n S ，若()*111,m m a a a m m N +-<<->∈，则必有（ ）A ．0m S <且10m S +>B ．0m S >且10m S +>C ．0m S <且10m S +<D ．0m S >且10m S +<15．在数列{}n a 中，11a =，且11nn na a na +=+，则其通项公式为n a =（ ） A ．211n n -+ B ．212n n -+C ．221n n -+D ．222n n -+16．若数列{}n a 满足121()2n n a a n N *++=∈，且11a =，则2021a =（ ） A ．1010 B ．1011 C ．2020D ．202117．已知数列{}n a 中，12(2)n n a a n --=≥，且11a =，则这个数列的第10项为（ ） A ．18B ．19C ．20D ．2118．已知数列{}n a 是公差不为零且各项均为正数的无穷等差数列，其前n 项和为n S .若p m n q <<<且()*,,,p q m n p q m n N +=+∈，则下列判断正确的是（ ）A ．22p p S p a =⋅B ．p q m n a a a a >C ．1111p q m n a a a a +<+D ．1111p q m nS S S S +>+ 19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()11213n n n n S S a n +++=+-+，现有如下说法：①541a a =；②222121n n a a n ++=-；③401220S =. 则正确的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．320．在数列{}n a 中，129a =-，()*13n n a a n +=+∈N ，则1220a a a +++=（ ）A ．10B ．145C ．300D ．320二、多选题21．斐波那契数列，又称黄金分割数列、兔子数列，是数学家列昂多·斐波那契于1202年提出的数列.斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，此数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和，记该数列为(){}F n ，则(){}F n 的通项公式为（ ）A ．(1)1()2n n F n -+=B ．()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21F F ==C ．()1122n nF n ⎡⎤⎛⎛+-⎥=- ⎥⎝⎭⎝⎭⎦D ．()1122n n F n ⎡⎤⎛⎛⎥=+ ⎥⎝⎭⎝⎭⎦22．设数列{}n a 的前n 项和为*()n S n N ∈，关于数列{}n a ，下列四个命题中正确的是（ ）A ．若1*()n n a a n N +∈=，则{}n a 既是等差数列又是等比数列B ．若2n S An Bn =+(A ，B 为常数，*n N ∈)，则{}n a 是等差数列C ．若()11nn S =--，则{}n a 是等比数列D ．若{}n a 是等差数列，则n S ，2n n S S -，*32()n n S S n N -∈也成等差数列23．黄金螺旋线又名等角螺线，是自然界最美的鬼斧神工．在一个黄金矩形（宽长比约等于0.618）里先以宽为边长做正方形，然后在剩下小的矩形里以其宽为边长做正方形，如此循环下去，再在每个正方形里画出一段四分之一圆弧，最后顺次连接，就可得到一条“黄金螺旋线”．达·芬奇的《蒙娜丽莎》，希腊雅典卫城的帕特农神庙等都符合这个曲线．现将每一段黄金螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形半径设为a n (n ∈N *)，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)．再将扇形面积设为b n (n ∈N *)，则（ ）A ．4(b 2020－b 2019)＝πa 2018·a 2021B ．a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝a 2021－1C ．a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝2a 2019·a 2021D ．a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝024．已知数列{}n a 中，11a =，1111n n a a n n +⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，*n N ∈.若对于任意的[]1,2t ∈，不等式()22212na t a t a a n<--++-+恒成立，则实数a 可能为（ ） A ．－4 B ．－2C ．0D ．225．若不等式1(1)(1)2n na n+--<+对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的可能取值为（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．226．等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，若10a >，717S S =，则（ ） A ．0d < B ．120a > C ．13n S S ≤D ．当且仅当0nS <时，26n ≥27．数列{}n a 满足11,121nn n a a a a +==+，则下列说法正确的是（ ） A ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和2n S n = C ．数列{}n a 的通项公式为21n a n =- D ．数列{}n a 为递减数列28．下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题，其中的真命题为（ ）. A ．数列{}n a 是递增数列 B ．数列{}n na 是递增数列 C ．数列{}na n是递增数列 D ．数列{}3n a nd +是递增数列29．已知数列{}n a 是递增的等差数列，5105a a +=，6914a a ⋅=-．12n n n n b a a a ++=⋅⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，下列结论正确的是（ ）A ．320n a n =-B ．325n a n =-+C ．当4n =时，n T 取最小值D ．当6n =时，n T 取最小值30．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若90a <，100a >，则下列结论正确的是（ ） A ．109S S >B ．170S <C ．1819S S >D ．190S >【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等差数列选择题 1．D 【分析】根据题中条件，由等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，即可求出结果. 【详解】因为在等差数列{}n a 中，若n S 为其前n 项和，65a =， 所以()1111161111552a a S a +===.故选：D. 2．B 【分析】画出图形分析即可列出式子求解. 【详解】所给数列为高阶等差数列,设该数列的第8项为x ，根据所给定义：用数列的后一项减去前一项得到一个新数列，得到的新数列也用后一项减去前一项得到一个新数列，即得到了一个等差数列，如图：由图可得：3612107y x y -=⎧⎨-=⎩ ，解得15548x y =⎧⎨=⎩.故选：B. 3．A 【分析】利用等差数列的性质可得1742a a a +=，代入已知式子即可求解. 【详解】由等差数列的性质可得1742a a a +=，所以1474339a a a a ++==，解得：413a =， 故选：A 4．A 【分析】利用等差数列的通项公式求解1,a d ，代入即可得出结论. 【详解】由3914a a +=，23a =， 又{}n a 为等差数列， 得39121014a a a d +=+=，213a a d =+=，解得12,1a d ==， 则101+92911a a d ==+=； 故选：A. 5．B 【分析】把已知的两式相加得到12018a a +=，再求20S 得解. 【详解】由题得120219318()()()247854a a a a a a +++++=-+=， 所以1201203()54,18a a a a +=∴+=. 所以2012020()10181802S a a =+=⨯=. 故选：B 6．C 【分析】可设(32)n S kn n =+，(21)n T kn n =+，进而求得n a 与n b 的关系式，即可求得结果． 【详解】因为{}n a ，{}n b 是等差数列，且3221n n S n T n +=+， 所以可设(32)n S kn n =+，(21)n T kn n =+，又当2n 时，有1(61)n n n a S S k n -=-=-，1(41)n n n b T T k n -=-=-， ∴1215(6121)71(4151)59a kb k ⨯-==⨯-， 故选：C ． 7．A 【分析】将11122n n n a a -=+变形为11221n n n n a a --=+，由等差数列的定义得出22n n n a +=，从而得出()22n n n λ+≥，求出()max22nn n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最值，即可得出答案. 【详解】 因为2n ≥时，11122n n n a a -=+，所以11221n n n n a a --=+，而1123a = 所以数列{}2nn a 是首项为3公差为1的等差数列，故22nn a n =+，从而22n n n a +=. 又因为n a n λ≥恒成立，即()22nn n λ+≥恒成立，所以()max 22n n n λ+⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦. 由()()()()()()()1*121322,221122n n nn n n n n n n n n n n +-⎧+++≥⎪⎪∈≥⎨+-+⎪≥⎪⎩N 得2n = 所以()()2max2222222n n n +⨯+⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，所以2λ≥，即实数λ的最小值是2 故选：A 8．D 【分析】设该女子第()N n n *∈尺布，前()N n n *∈天工织布n S 尺，则数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，根据15a =，30390S =可求得d 的值. 【详解】设该女子第()N n n *∈尺布，前()N n n *∈天工织布n S 尺，则数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，由题意可得30130293015015293902S a d d ⨯=+=+⨯=，解得1629d =.故选：D. 9．B 【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，求出72a =，再由等比数列的性质，即可求出结果. 【详解】因为各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=，所以27720a a -=，解得72a =或70a =（舍）；又数列{}n b 是等比数列，且772b a ==，所以33810371178b b b b b b b ===.故选：B. 10．B 【分析】设出数列{}n a 的公差，利用等差数列的通项公式及已知条件，得到124a d +=，然后代入求和公式即可求解 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则由已知可得()()111261024a d a d a d +-+=+=， 所以()5115455254202S a d a d ⨯=+=+=⨯= 故选：B 11．C 【分析】根据甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2a d -，a d -，a ，a d +，2a d +，然后再由五人钱之和为5，甲、乙的钱与与丙、丁、戊的钱相同求解. 【详解】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2a d -，a d -，a ，a d +，2a d +， 则根据题意有(2)()()(2)5(2)()()(2)a d a d a a d a d a d a d a a d a d -+-+++++=⎧⎨-+-=++++⎩，解得116a d =⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以戊所得为223a d +=， 故选：C . 12．A 【分析】由525S =求出1a ，从而可求出数列的通项公式，进而可求出m 的值 【详解】 解：由题意得15452252a ⨯+⨯=，解得11a =， 所以1(1)12(1)21n a a n d n n =+-=+-=-， 因为215m a =，所以22115m ⋅-=，解得4m =， 故选：A 13．B 【分析】由等差数列的性质可得数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，再由等差数列的通项公式可得1n n a ，进而可得1n a n=，再结合基本不等式即可得解. 【详解】因为*121210,n n n n a a a ++-+=∈N ，所以12211n n n a a a ++=+， 所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，设其公差为d ，由25111,25a a a ==可得25112,115a a a ==⋅， 所以111121145d a d a a ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⋅⎪⎩，解得1111a d ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以()1111n n d n a a =+-=，所以1n a n=，所以不等式100n n a a +≥即100n a n+≥对任意的*n N ∈恒成立，又10020n n +≥=，当且仅当10n =时，等号成立， 所以20a ≤即实数a 的最大值是20. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是构造新数列求数列通项及基本不等式的应用. 14．D 【分析】由等差数列前n 项和公式即可得解. 【详解】由题意，1110,0m m a a a a ++>+<， 所以1()02m m m a a S +=>，111(1)()02m m m a a S ++++=<. 故选：D. 15．D 【分析】先由11n n n a a na +=+得出111n n n a a +-=，再由累加法计算出2122n n n a -+=，进而求出n a .【详解】解：11nn na a na +=+， ()11n n n a na a ++=∴，化简得：11n n n n a a a a n ++=+， 两边同时除以1n n a a +并整理得：111n nn a a +-=， 即21111a a -=，32112a a -=，43113a a -=，…，1111(2,)n n n n n z a a --=-≥∈， 将上述1n -个式子相加得：213243111111+a a a a a a --+-+ (1)11123n n a a -+-=+++…1n +-， 即111(1)2n n n a a --=， 2111(1)(1)2=1(2,)222n n n n n n n n n z a a ---+∴=++=≥∈， 又111a =也满足上式， 212()2n n n n z a -+∴=∈， 22()2n a n z n n ∴=∈-+. 故选：D. 【点睛】 易错点点睛：利用累加法求数列通项时，如果出现1n -，要注意检验首项是否符合. 16．B 【分析】根据递推关系式求出数列的通项公式即可求解. 【详解】 由121()2n n a a n N *++=∈，则11()2n n a a n N *+=+∈， 即112n n a a +-=， 所以数列{}n a 是以1为首项，12为公差的等差数列， 所以()()11111122n n a a n d n +=+-=+-⨯=，所以2021a =2021110112+=. 故选：B 17．B 【分析】由已知判断出数列{}n a 是以1为首项，以2为公差的等差数列，求出通项公式后即可求得10a .【详解】()122n n a a n --=≥，且11a =，∴数列{}n a 是以1为首项，以2为公差的等差数列，通项公式为()12121n a n n =+-=-，10210119a ∴=⨯-=，故选：B. 18．D 【分析】利用等差数列的求和公式可判断A 选项的正误；利用作差法结合等差数列的通项公式可判断B 选项的正误；利用p q m n a a a a <结合不等式的基本性质可判断C 选项的正误；利用等差数列的求和公式结合不等式的基本性质可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，由于()()1221222p pp p p p a a Sp a a pa ++==+≠，故选项A 错误；对于B 选项，由于m p q n -=-，则()()p q m n m n m n a a a a a p m d a q n d a a ⋅-⋅=+-⋅+--⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()()22m n m n m n a q n d a q n d a a q n a a d q n d =--⋅+--=----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()2220q n n m d q n d =-----<，故选项B 错误；对于C 选项，由于1111p q m n m n p q p q p q m n m na a a a a a a a a a a a a a a a ++++==>=+⋅⋅⋅，故选项C 错误； 对于D 选项，设0x q n m p =-=->，则()()()20pq mn m x n x mn x n m x -=-+-=---<，从而pq mn <，由于222222p q m n p q pq m n mn +=+⇔++=++，故2222p q m n +>+.()()()()()()111111p q pq p q mn m n m n --=-++<-++=--，故()()22221122p q m n p q p q m n m nS S p q a d m n a d S S +--+--+=++>++=+.()()()()()221111112112224p q p p q q pq p q pq p q S S pa d qa d pqa a d d--+---⎡⎤⎡⎤⋅=+⋅+=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()221121124mn m n mn p q mna a d d+---<++()()()221121124m n mn m n mn m n mna a d d S S +---<++=，由此1111p q m n p q p q m n m nS S S S S S S S S S S S +++=>=+，故选项D 正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列中不等式关系的判断，在解题过程中充分利用基本量来表示n a 、n S ，并结合作差法、不等式的基本性质来进行判断. 19．D 【分析】由()11213n n n n S S a n +++=+-+得到()11132n n n a a n ++=-+-，再分n 为奇数和偶数得到21262k k a a k +=-+-，22165k k a a k -=+-，然后再联立递推逐项判断. 【详解】因为()11213n n n n S S a n +++=+-+，所以()11132n n n a a n ++=-+-，所以()212621k k a a k +=-+-，()221652k k a a k -=+-， 联立得：()212133k k a a +-+=， 所以()232134k k a a +++=， 故2321k k a a +-=，从而15941a a a a ===⋅⋅⋅=，22162k k a a k ++=-，222161k k a a k ++=++，则222121k k a a k ++=-，故()()()4012345383940...S a a a a a a a a =++++++++，()()()()234538394041...a a a a a a a a =++++++++，()()201411820622k k =+⨯=-==∑1220，故①②③正确. 故选：D 20．C 【分析】由等差数列的性质可得332n a n =-，结合分组求和法即可得解。
【精品】2015-2016年江苏省南京二十九中初一上学期数学期末试卷含解析答案
2015-2016学年江苏省南京二十九中七年级（上）期末数学试卷一、选择题1．（3分）的绝对值是（）A．B．C．D．2．（3分）下列计算正确的是（）A．3a+4b=7ab B．7a﹣3a=4C．3a+a=3a2D．3a2b﹣4a2b=﹣a2b3．（3分）下图中的图形绕虚线旋转一周，可得到的几何体是（）A．B． C．D．4．（3分）下列各数是无理数的是（）A．﹣2 B．C．0.010010001 D．π5．（3分）下列现象：（1）用两个钉子就可以把木条固定在墙上．（2）从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设．（3）植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线．（4）把弯曲的公路改直，就能缩短路程．其中能用“两点确定一条直线”来解释的现象有（）A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（4）D．（3）（4）6．（3分）如果∠1与∠2互补，∠2与∠3互余，则∠1与∠3的关系是（）A．∠1=∠3 B．∠1=180°﹣∠3 C．∠1=90°+∠3 D．∠3=90°+∠1二、填空题7．（3分）温度由3℃下降6℃后是℃．8．（3分）比较大小：﹣π﹣3.14（选填“＞”、“=”、“＜”）．9．（3分）据统计，截止2016年11月，南京市投放公共自行车累计达52000辆，为方便群众，缓解城市交通拥堵，倡导绿色交通，促进节能减排发挥了积极作用，将52000用科学记数法表示为．10．（3分）若单项式a m b3与﹣3ab n是同类项，则m+n=．11．（3分）若关于x的方程2（x﹣1）+a=0的解是x=3，则a的值为．12．（3分）若m2+mn=﹣3，n2﹣3mn=﹣12，则m2+4mn﹣n2的值为．13．（3分）如图，点A在数轴上对应的数为2，若点B也在数轴上，且线段AB 的长为3，则点B在数轴上对应的数为．14．（3分）如图，用火柴棒搭“小鱼”，则搭10条“小鱼”需用根火柴棒，搭n条“小鱼”所需火柴棒的根数为（填写化简后的结果）．15．（3分）如图，将一副三角板的直角顶点重合，摆放在桌面上，若∠BOC=∠AOD，则∠AOD=．16．（3分）计算（++）﹣2×（﹣﹣﹣）﹣3×（++﹣）的结果是．三、解答题17．计算：（1）（﹣+）×36；（2）﹣32+16÷（﹣2）×．18．先化简后求值2（x2y+xy2）﹣2（x2y﹣3x）﹣2xy2﹣2y的值，其中x=﹣1，y=2．19．解方程：（1）1﹣3（x﹣2）=4；（2）﹣=1．20．将6个棱长为2cm的小正方体在地面上堆叠成如图所示的几何体，然后将露出的表面部分染成红色．（1）画出这个的几何体的三视图：（2）该几何体被染成红色部分的面积为．21．如图，C是线段AB的中点．（1）若点D在CB上，且DB=2cm，AD=8cm，求线段CD的长度；（2）若将（1）中的“点D在CB上”改为“点D在CB的延长线上”，其它条件不变，请画出相应的示意图，并求出此时线段CD的长度．22．生态公园计划在园内的坡地上种植一片有A、B两种树的混合林，需要购买这两种树苗共100棵．假设这批树苗种植后成活95棵，种植A、B两种树苗的相关信息如下表：（1）求购买这两种树苗各多少棵？（2）求种植这片混合林的总费用需多少元？（总费用=购买树苗费用+栽树劳务费）23．如图，点P在∠AOB内．（1）过点P画直线PC∥OA，交OB于点C；（2）过点C画OA的垂线，垂足为H；（3）因为直线外一点和直线上各点连接的所有线段中，，所以两条线段CH、OC的大小关系是：（用“＜”号连接）．24．如图，已知直线AB与CD相交于点O，OE是∠BOD的平分线，OF是∠AOD 的平分线．（1）已知∠BOD=60°，求∠EOF的度数；（2）求证：无论∠BOD为多少度，均有OE⊥OF．25．扬子江药业集团生产的某种药品的长方体包装盒的侧面展开图如图所示．根据图中数据，如果长方体盒子的长比宽多4cm，求这种药品包装盒的体积．26．如图，射线OB、OC均从OA开始，同时绕点O逆时针旋转，OB旋转的速度为每秒6°，OC旋转的速度为每秒2°．当OB与OC重合时，OB与OC同时停止旋转．设旋转的时间为t秒．（1）当t=10，∠BOC=．（2）当t为何值时，射线OB⊥OC？（3）试探索，在射线OB与OC旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OB，OC与OA中的某一条射线是另两条射线所成角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的t值；若不存在，请说明理由．2015-2016学年江苏省南京二十九中七年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．（3分）的绝对值是（）A．B．C．D．【解答】解：根据负数的绝对值等于它的相反数，得|﹣|=．故选：A．2．（3分）下列计算正确的是（）A．3a+4b=7ab B．7a﹣3a=4C．3a+a=3a2D．3a2b﹣4a2b=﹣a2b【解答】解：A、3a和4b不是同类项，不能合并，故本选项错误；B、字母不应去掉．故本选项错误；C、字母的指数不应该变，故本选项错误；D、符合合并同类项的法则，故本选项正确．故选：D．3．（3分）下图中的图形绕虚线旋转一周，可得到的几何体是（）A．B． C．D．【解答】解：∵上面的长方形旋转一周后是一个圆柱，下面的直角三角形旋转一周后是一个圆锥，∴根据以上分析应是圆锥和圆柱的组合体．故选：C．4．（3分）下列各数是无理数的是（）A．﹣2 B．C．0.010010001 D．π【解答】解：A、是整数，是有理数，选项错误；B、是分数，是有理数，选项错误；C、是有限小数，是有理数，选项错误；D、是无理数，选项正确．故选：D．5．（3分）下列现象：（1）用两个钉子就可以把木条固定在墙上．（2）从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设．（3）植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线．（4）把弯曲的公路改直，就能缩短路程．其中能用“两点确定一条直线”来解释的现象有（）A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（4）D．（3）（4）【解答】解：（1）用两个钉子就可以把木条固定在墙上，根据是两点确定一条直线；（2）从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设，根据是两点之间线段最短；（3）植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线，根据是两点确定一条直线；（4）把弯曲的公路改直，就能缩短路程，根据是两点之间线段最短．故选：B．6．（3分）如果∠1与∠2互补，∠2与∠3互余，则∠1与∠3的关系是（）A．∠1=∠3 B．∠1=180°﹣∠3 C．∠1=90°+∠3 D．∠3=90°+∠1【解答】解：∵∠1+∠2=180°∴∠1=180°﹣∠2又∵∠2+∠3=90°∴∠3=90°﹣∠2∴∠1﹣∠3=90°，即∠1=90°+∠3．故选：C．二、填空题7．（3分）温度由3℃下降6℃后是﹣3℃．【解答】解：根据题意得：3﹣6=﹣3，则温度由3℃下降6℃后是﹣3℃，故答案为：﹣38．（3分）比较大小：﹣π＜﹣3.14（选填“＞”、“=”、“＜”）．【解答】解：因为π是无理数所以π＞3.14，故﹣π＜﹣3.14．故填空答案：＜．9．（3分）据统计，截止2016年11月，南京市投放公共自行车累计达52000辆，为方便群众，缓解城市交通拥堵，倡导绿色交通，促进节能减排发挥了积极作用，将52000用科学记数法表示为 5.2×104．【解答】解：52000=5.2×104，故答案为：5.2×104．10．（3分）若单项式a m b3与﹣3ab n是同类项，则m+n=4．【解答】解：由题意，得m=1，n=3，m+n=3+1=4，故答案为：4．11．（3分）若关于x的方程2（x﹣1）+a=0的解是x=3，则a的值为﹣4．【解答】解：把x=3代入方程得：4+a=0，解得：a=﹣4，故答案为：﹣412．（3分）若m2+mn=﹣3，n2﹣3mn=﹣12，则m2+4mn﹣n2的值为9．【解答】解：∵m2+mn=﹣3，n2﹣3mn=﹣12，∴原式=（m2+mn）﹣（n2﹣3mn）=﹣3﹣（﹣12）=﹣3+12=9，故答案为：9．13．（3分）如图，点A在数轴上对应的数为2，若点B也在数轴上，且线段AB 的长为3，则点B在数轴上对应的数为5或﹣1．【解答】解：当点B在点A的左边时，2﹣3=﹣1；当点B在点A的右边时，2+3=5．则点B在数轴上对应的数为﹣1或5．14．（3分）如图，用火柴棒搭“小鱼”，则搭10条“小鱼”需用62根火柴棒，搭n条“小鱼”所需火柴棒的根数为6n+2（填写化简后的结果）．【解答】解：搭2条小鱼用火柴棒14根，搭3条小鱼用火柴棒20根；所以每个小鱼比前一个小鱼多用6根火柴棒，即可得搭n条小鱼需要用8+6（n﹣1）=（6n+2）根火柴棒．取n=10代入得：6n+2=6×10+2=62．故答案为：62，6n+2．15．（3分）如图，将一副三角板的直角顶点重合，摆放在桌面上，若∠BOC=∠AOD，则∠AOD=108°．【解答】解：∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOD+∠BOC=∠AOB+DOB+∠BOC=∠AOB+∠COD=90°+90°=180°，∵∠BOC=∠AOD，∴∠AOD+∠AOD=180°，∴∠AOD=108°．故答案为：108°．16．（3分）计算（++）﹣2×（﹣﹣﹣）﹣3×（++﹣）的结果是﹣．【解答】解：原式=++﹣1+++﹣﹣﹣+=+（+﹣）+（+﹣）+（﹣1++﹣）=﹣+=﹣，故答案为：﹣或令t=++，代入可以消掉t！三、解答题17．计算：（1）（﹣+）×36；（2）﹣32+16÷（﹣2）×．【解答】解：（1）原式=×36﹣×36+×36=18﹣21+30=27；（2）原式=﹣9+16×（﹣）×=﹣9﹣4=﹣13．18．先化简后求值2（x2y+xy2）﹣2（x2y﹣3x）﹣2xy2﹣2y的值，其中x=﹣1，y=2．【解答】解：原式=2x2y+2xy2﹣2x2y+6x﹣2xy2﹣2y=6x﹣2y，当x=﹣1，y=2时，原式=6×（﹣1）﹣2×2=﹣10．19．解方程：（1）1﹣3（x﹣2）=4；（2）﹣=1．【解答】解：（1）去括号，得1﹣3x+6=4移项，得﹣3x=4﹣6﹣1合并同类项，得﹣3x=﹣3系数化为1，得x=1；（2）去分母，得2（2x+1）﹣（5x﹣1）=6去括号，得4x+2﹣5x+1=6移项，得4x﹣5x=6﹣1﹣2合并同类项，得﹣x=3系数化为1，得x=﹣3．20．将6个棱长为2cm的小正方体在地面上堆叠成如图所示的几何体，然后将露出的表面部分染成红色．（1）画出这个的几何体的三视图：（2）该几何体被染成红色部分的面积为84cm2．【解答】解：（1）作图如下：（2）（4+4+4+4+5）×（2×2）=21×4=84（cm2）．答：该几何体被染成红色部分的面积为84cm2．故答案为：84cm2．21．如图，C是线段AB的中点．（1）若点D在CB上，且DB=2cm，AD=8cm，求线段CD的长度；（2）若将（1）中的“点D在CB上”改为“点D在CB的延长线上”，其它条件不变，请画出相应的示意图，并求出此时线段CD的长度．【解答】解：（1）由线段的和差，得AB=AD+DB=8+2=10cm，由C是AB的中点，得BC=AB=5cm，由线段的和差，得CD=CB﹣DB=5﹣2=3cm；（2）如图1，由线段的和差，得AB=AD﹣DB=8﹣2=6cm，由C是AB的中点，得BC=AB=3cm，由线段的和差，得CD=CB+DB=3+2=5cm．22．生态公园计划在园内的坡地上种植一片有A、B两种树的混合林，需要购买这两种树苗共100棵．假设这批树苗种植后成活95棵，种植A、B两种树苗的相关信息如下表：（1）求购买这两种树苗各多少棵？（2）求种植这片混合林的总费用需多少元？（总费用=购买树苗费用+栽树劳务费）【解答】解：（1）设购买A种树苗x棵，则购买B种树苗（100﹣x））棵，根据题意得：96%x+92%（100﹣x）=95，解得x=75．答：购买A种树苗75棵，购买B种树苗25棵；（2）（15+3）×75+（20+4）×25=1950．答：种植这片混合林总费用1950元．23．如图，点P在∠AOB内．（1）过点P画直线PC∥OA，交OB于点C；（2）过点C画OA的垂线，垂足为H；（3）因为直线外一点和直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，所以两条线段CH、OC的大小关系是：CH＜CO（用“＜”号连接）．【解答】解：（1）如图所示，直线PC即为所求直线；（2）如图，线段CH即为所求垂线段；（3）因为直线外一点和直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，所以两条线段CH、OC的大小关系是：CH＜OC，故答案为：垂线段最短，CH＜OC．24．如图，已知直线AB与CD相交于点O，OE是∠BOD的平分线，OF是∠AOD 的平分线．（1）已知∠BOD=60°，求∠EOF的度数；（2）求证：无论∠BOD为多少度，均有OE⊥OF．【解答】解：（1）∵∠BOD=60°，∴∠AOD=180°﹣∠BOD=120°，∵OE、OF分别是∠AOD和∠BOD的平分线．∴∠DOF=∠AOD=60°，∠DOE=∠BOD=30°，∴∠EOF=∠DOF+∠DOE=90°；（2）∵OE、OF分别是∠AOD和∠BOD的平分线．∴∠DOF=∠AOD，∠DOE=∠BOD，∵∠AOD+∠DOB=180°，∴∠EOF=∠DOF+∠DOE=（∠AOD+∠BOD）=90°，∴无论∠BOD为多少度，均有OE⊥OF．25．扬子江药业集团生产的某种药品的长方体包装盒的侧面展开图如图所示．根据图中数据，如果长方体盒子的长比宽多4cm，求这种药品包装盒的体积．【解答】解：设宽为xcm，则长为（x+4）cm，高为（18﹣x），由题意得：2（x+4）+x+（18﹣x）=37解得：x=8…（5分）则x+4=12，（18﹣x）=58×5×12=480（cm3）答：这种药品包装盒的体积为480cm3．26．如图，射线OB、OC均从OA开始，同时绕点O逆时针旋转，OB旋转的速度为每秒6°，OC旋转的速度为每秒2°．当OB与OC重合时，OB与OC同时停止旋转．设旋转的时间为t秒．（1）当t=10，∠BOC=40°．（2）当t为何值时，射线OB⊥OC？（3）试探索，在射线OB与OC旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OB，OC与OA中的某一条射线是另两条射线所成角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的t值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意可知：∠AOB=6t，∠AOC=2t，∴∠BOC=∠AOB﹣∠AOC=4t=40°（2）由（1）可知：∠BOC=4t，当4t=90°，∴t=当4t=270°时，∴t=（3）当OC平分∠AOB．∵∠AOB=6t，∠AOC=2t，∴∠AOB=3∠AOC，与角平分线矛盾，此种情况不成立，舍去②当OA平分∠BOC由于∠AOC=2t，∠AOB=360﹣6t∵∠AOB=∠AOC∴2t=360﹣6t，t=45，③当OB平分∠AOC时，由于∠AOC=2t，∠AOB=360﹣6t，∵∠AOB=∠AOC∴6t﹣360=×2t，∴t=72综上所述：t=45或72故答案为：（1）40°附赠：初中数学考试答题技巧一、答题原则大家拿到考卷后，先看是不是本科考试的试卷，再清点试卷页码是否齐全，检查试卷有无破损或漏印、重印、字迹模糊不清等情况。
(数学)2016年29中第一次月考数学试卷
（2） OM = 1．
【解析】 （1）由题意， f (−x) =− f (x) 对 x ∈[−1,1] 恒成立，故有 f (0) = 0 及
f (−1) =− f (1) ，可解得=a 0= , b 0 ，经检验符合题意；
（2）设 OM
=
x
，则 Q(x, − 1 4
x2
+
2x)
，由
yP
=
yQ
可知
xP
范围是____________
14. 已知 f (x 1) f (x) 1 ，当 x [0,1] 时， f (x) 3x 1 1 ，若对任意实数 x ，都有 f (x t) f (x) 成立，则实数 t 的取值范围____________
1
二、解答题（本大题共 6 小题，共计 58 分．） 15. （本小题满分 8 分）
=
1 x2 − 8 x + 10 ， 33
则总长度 l
=xP
−
xQ
+
2 yP
=− 1 6
x2
+
1 3
x
+ 10
=− 1 6
(x
− 1)2
+
61 6
≤
61 6
当 x = 1时取等号．
20. 【答案】 （1） f (x) = x2 − x + 1 ；
t + 2, t < −2 （2） u(x) = − 1 t2 + 1, − 2 ≤ t ≤ 2 ；
11.
【答案】
{0}
[9 8
,
+∞)
【解析】 注意二次项系数为零和空集两种情况．
12. 【答案】 (1, 5) ． 4
江苏省南京市第二十九中学学年高一数学12月学情监测试题
江苏省南京市第二十九中学2014-2015学年高一数学12月学情监测试题注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．满分为100分，考试时间为100分钟．2．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考试号写在答题卡上．试题的答案写在答题卡上对应的空格内．考试结束后，交回答题卡．一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 1．若集合A ＝{x ｜sin x ＝12，x ∈R}，B ＝{x ｜0≤x ≤2π}，则A ∩B ＝ ． 2．一个扇形的圆心角是2弧度，弧长为4cm ，则扇形的面积是．3．角α的终边经过点P(－1,3 )，则sin(π2＋α)＝．4．在△ABC 中，若cos (B ＋C)＝12， 则tan A ＝．5．若α是第二象限角，则sin (sin α) ，sin (cos α) ，cos (sin α) ，cos (cos α)中正数的个数是 ．6．函数y ＝1＋2cos (3＋4x)的最小正周期是 ． 7．若y ＝15sin [π6(x ＋1)]表示一个振动，则这个振动的初相是．8．1－2sin40°cos40°cos40°－1－cos2140°的值是．9．函数y ＝f(x)的图象向左平移π12单位，得到函数y ＝3sin 4x 的图象，则f(x)的解析式 是．10．若不等式1－sin x2＋sin x －m ≥0对一切实数x 成立，则实数m 的取值范围是．11．若ln(2a ＋1)＝ln(a2－2)，则alog92＝ ． 12．函数y ＝(14)x ＋(12)x －1 (x ≤－1)的值域是．13．下列四个命题中正确的有 ．(填所有正确命题的序号) ①函数y ＝x 与y ＝sin x 的图象恰有一个公共点； ②函数y ＝ln x 与y ＝sin x 的图象恰有一个公共点； ③函数y ＝1x 与y ＝sin x 的图象有无数个公共点；④函数y ＝ex 与y ＝sin x 的图象有无数个公共点． 14．设k ∈Z ，下列四个命题中正确的有 ．(填所有正确命题的序号) ①若sin α＋sin β＝2，则α＝β＝2k π＋π2； ②若tan α＋1tan α＝2，则α＝2k π＋π4；③若sin α＋cos α＝1，则sin3 α＋cos3 α＝1； ④若sin3 α＋cos3 α＝1，则sin α＋cos α＝1．二、解答题：本大题共6小题，共58分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分9分)已知sin α＋cos α＝15，0＜α＜π，求下列各式的值： (1) tan α；(2) sin 2α－2sin αcos α＋3cos 2α．16．(本小题满分9分)设y ＝f(x)（x ∈R ）是奇函数，且x ＜0时，f(x)＝log2(x2－x)． (1) 求f(x)的解析式；(2) 若f(m)＝1，求m 的值．设函数f(x)＝Asin (ωx ＋φ) (A ＞0, ω＞0, －π2＜φ＜π2)，在一个周期内，当x ＝π12时取得最大值1，当x ＝7π12时取得最小值－1．(1) 求f(x)的解析式；(2) 画出f(x)的简图，并写出f(x)的单调区间．18．(本题满分10分)如图，一只蚂蚁绕一个竖直放置的圆环逆时针匀速爬行，已知圆环的半径为8m ，圆环的圆心O 距离地面的高度为10m ，蚂蚁每12分钟爬行一圈，若蚂蚁的起始位置在最低点P0处． (1) 试确定在时刻t(min)时蚂蚁距离地面的高度h(m)；(2) 在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内，有多长时间蚂蚁距离地面超过14m ？地面P 0OP设函数y ＝2sin 2x ＋2acos x ＋2a 的最大值是12． (1) 求a 的值；(2) 求y 的最小值，并求y 最小时x 的值的集合．20．(本小题满分10分)设f(x)＝sin2(2x ＋π4)＋asin(2x ＋π4)，０≤x≤π4，a ∈R ．(1)当a ＝34时，求f(x)的最小值； (2)若f(x)的最小值是7，求a 的值．高一数学12月学情检测解答 一、填空题二、解答题15．解：(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2， sin α＞0＞cos α， sin α－cos α＝75， sin α＝45， cos α＝－35， (1) tan α＝－43；(2) sin 2α－2sin αcos α＋3cos 2α＝(sin α－cos α)2＋2cos 2α＝(75)2＋2 (－35)2＝6725．16．解：(1) f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log2(x2－x)， x ＜0，0， x ＝0，－log2(x2＋x)，x ＞0；（2）x ＝－1，或x ＝－1＋32．17． 解：(1) A ＝1， 周期是2(7π12－π12)＝π，函数f(x)＝sin (2x ＋φ)的图象过点（π12，1），φ＝π3，f(x)＝sin (2x ＋π3)；(2) 仿课本P30例1，P37例1方法，先用“五点法”作出一个周期的图象，列表，描点画图；然后通过周期性，向左右平移（每次平移π个单位）得到整个图象．增区间是 (k ∈Z)，减区间是 (k ∈Z)．18． 解：（1）以O 点为原点，直线OP0为y 轴， 建立平面直角坐标系，设蚂蚁在时刻t(min)时到达P 点，由OP 在t 分钟内所转过的角为π6t ，可知以OX 为始边，OP 为终边的角为π6t －π2，则P 点的纵坐标为8sin (π6t －π2)，则 h ＝8sin (π6t －π2)＋10＝10－8cos π6t (m)，t ≥0．（2）因为10－8cos π6t ＞14所以2π3＋2k π＜π6t ＜4π3＋2k π，k ∈Z ．因为所研究的问题在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内，故不妨令t ∈，∴t ∈(4，8)， 所以在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内，有4分钟时间蚂蚁距离地面超过14m ．19．解：(1) 设cos x ＝t ， 则y ＝－2(t －a 2)2＋a22＋2a ＋2， 当－1＜a 2＜1时，a22＋2a ＋2＝12，解得a ＝－1； 当a 2≥1时，－(1－a 2)2＋a22＋2a ＋2＝12， 无解；当a 2≤－1时，－(－1－a 2)2＋a22＋2a ＋2＝12， 无解．a 的值是－1． (2) 由（1）知， y 取最小值－4时， cos x ＝1， x 的集合： {x|x ＝2kπ， k ∈Z}．20．解： 设t ＝sin (2x ＋π4)，0≤x≤π4时，22≤t ≤1，(1) 当a ＝34时，y ＝t ＋34t 在 [22，32]上是减函数，是[32，1]上增函数， t ＋34t 的最小值是32＋32＝3；（2）当a ＜0时，y ＝t ＋a t 在 [22，1]上增函数，最小值小于22，不可能是7； 当a ＝0时，y ＝t ＋a t 在 [22，1]上增函数，最小值是22≠7； 当a ＞0时，因为(t1＋a t1)－(t2＋a t2)＝(t1－t2)( t1t2－a)t1t2， 所以y ＝t ＋a t 在(0， a]上是减函数，在[a ，＋∞)上增函数， 若a ＞1，则t ＝1时y 最小，ymin ＝1＋a ＝7，所以a ＝6， 若12≤a ≤1，则t ＝ a 时y 最小，ymin ＝2a ＝7，不可能， 若a ＜12，则t ＝22时y 最小，ymin ＝22＋2a ＝7，不可能， 综上所述，若f(x)的最小值是7，则a 的值6．。
江苏南京市第二十九中学(高中部)数列多选题试题含答案
江苏南京市第二十九中学(高中部)数列多选题试题含答案一、数列多选题1．已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和0n S >，设2132n n n b a a ++=-，记{}n b 的前n 项和为n T ，则下列判断正确的是（ ） A ．若1q =，则n n T S = B ．若2q >，则n n T S > C ．若14q =-，则n n T S > D ．若34q =-，则n n T S > 【答案】BD 【分析】先求得q 的取值范围，根据q 的取值范围进行分类讨论，利用差比较法比较出n T 和n S 的大小关系. 【详解】由于{}n a 是等比数列，0n S >，所以110,0a S q =>≠， 当1q =时，10n S na =>，符合题意； 当1q ≠时，()1101n n a q S q-=>-，即101nq q ->-，上式等价于1010n q q ⎧->⎨->⎩①或1010n q q ⎧-<⎨-<⎩②.解②得1q >.解①，由于n 可能是奇数，也可能是偶数，所以()()1,00,1q ∈-.综上所述，q 的取值范围是()()1,00,-+∞.2213322n n n n b a a a q q ++⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以232n n T q q S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()2311222n n n n T S S q q S q q ⎛⎫⎛⎫-=⋅--=⋅+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而0n S >，且()()1,00,q ∈-⋃+∞.所以，当112q -<<-，或2q >时，0n n T S ->，即n n T S >，故BD 选项正确，C 选项错误. 当12(0)2q q -<<≠时，0n n T S -<，即n n T S <. 当12q =-或2q 时，0,n n n n T S T S -==，A 选项错误.综上所述，正确的选项为BD. 故选：BD 【点睛】本小题主要考查等比数列的前n 项和公式，考查差比较法比较大小，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.2．设{}n a 是无穷数列，若存在正整数()2k k ≥，使得对任意n *∈N ，均有n k n a a +>，则称{}n a 是“间隔递增数列”，k 是{}n a 的“间隔数”，下列说法正确的是（ ） A ．公比大于1的等比数列一定是“间隔递增数列” B ．若()21nn a n =+-，则{}n a 是“间隔递增数列”C ．若(),2n ra n r r n*=+∈≥N ，则{}n a 是“间隔递增数列”且“间隔数”的最小值为r D ．已知22021n a n tn =++，若{}n a 是“间隔递增数列”且“间隔数”的最小值为3，则54t -<≤-【答案】BCD 【分析】利用新定义，逐项验证是否存在正整数()2k k ≥，使得0n k n a a +->，即可判断正误. 【详解】选项A 中，设等比数列{}n a 的公比是()1q q >，则()1111111n k n n n k k n a a a a q q q a q +---+=-=--，其中1k q >，即()110n k q q -->，若10a <，则0n k n a a +-<，即n k n a a +<，不符合定义，故A 错误；选项B 中，()()()()()21212111n kn n k n k n a a n k n k ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤++--+-=+---⎣⎦-=⎣⎦⎣⎦，当n 是奇数时，()211kn k n a a k +=---+，则存在1k时，0n k n a a +->成立，即对任意n *∈N ，均有n k n a a +>，符合定义；当n 是偶数时，()211kn k n a a k +-=+--，则存在2k ≥时，0n k n a a +->成立，即对任意n *∈N ，均有n k n a a +>，符合定义.综上，存在2k ≥时，对任意n *∈N ，均有n k n a a +>，符合定义，故B 正确；选项C 中，()()1n k n r r kr r a a n k n k k n k n n k n n k n +⎡⎤-⎛⎫⎛⎫++-+=+=-⎢⎥ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎢⎣-⎦=⎥()2n kn r k n k n +-=⋅+，令2()f n n kn r =+-，开口向上，对称轴02k -<，故2()f n n kn r =+-在n *∈N 时单调递增，令最小值(1)10f k r =+->，得1k r >-，又k *∈N ，2k ≥，,2r r *∈≥N ，故存在k r ≥时，0n k n a a +->成立，即对任意n *∈N ，均有n k n a a +>，符合定义，“间隔数”的最小值为r ，故C 正确；选项D 中，因为22021n a n tn =++，是“间隔递增数列”，则()()()2222021202012n k n a a n k t n k kn k t n n k t +⎡⎤-=-=++>⎣++++⎦++，即20k n t ++>，对任意n *∈N 成立，设()2g n k n t =++，显然在n *∈N 上()g n 递增，故要使()20g n k n t =++>，只需(1)20g k t =++>成立，即2t k --<. 又“间隔数”的最小值为3，故存在3k ≥，使2t k --<成立，且存在k 2≤，使2t k --≥成立，故23t --<且22t --≥，故54t -<≤-，故D 正确. 故选：BCD. 【点睛】本题的解题关键在于读懂题中“间隔递增数列”的定义，判断是否存在正整数()2k k ≥，使0n k n a a +->对于任意的n *∈N 恒成立，逐项突破难点即可.3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，0n a ≠，且202021111212a a ++≤+（ ）A ．若数列{}n a 为等差数列，则20210S ≥B ．若数列{}n a 为等差数列，则10110a ≤C ．若数列{}n a 为等比数列，则20200T >D ．若数列{}n a 为等比数列，则20200a <【答案】AC 【分析】由不等关系式，构造11()212xf x =-+，易得()f x 在R 上单调递减且为奇函数，即有220200a a +≥，讨论{}n a 为等差数列、等比数列，结合等差、等比的性质判断项、前n 项和或积的符号即可. 【详解】 由202021111212a a ++≤+，得2020211110212212a a +-+-≤+， 令11()212x f x =-+，则()f x 在R 上单调递减，而1121()212212xx x f x --=-=-++， ∴12()()102121xx x f x f x -+=+-=++，即()f x 为奇函数，∴220200a a +≥，当{}n a 为等差数列，22020101120a a a +=≥，即10110a ≥，且2202020212021()02a a S +=≥，故A 正确，B 错误；当{}n a 为等比数列，201820202a a q=，显然22020,a a 同号，若20200a <，则220200a a +<与上述结论矛盾且0n a ≠，所以前2020项都为正项，则202012020...0T a a =⋅⋅>，故C 正确，D 错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：利用已知构造函数，并确定其单调性和奇偶性，进而得到220200a a +≥，基于该不等关系，讨论{}n a 为等差、等比数列时项、前n 项和、前n 项积的符号.4．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68a = B ．954S =C ．135********a a a a a ++++=D ．22212201920202019a a a a a +++= 【答案】ACD 【分析】由题意可得数列{}n a 满足递推关系12211,1,(3)n n n a a a a a n --===+≥，依次判断四个选项，即可得正确答案. 【详解】对于A ，写出数列的前6项为1,1,2,3,5,8，故A 正确； 对于B ，911235813+21+3488S =++++++=，故B 错误；对于C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，……，201920202018a a a =-，可得：13520192426486202020182020a a a a a a a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+=+-+-+-++-=，故C正确.对于D ，斐波那契数列总有21n n n a a a ++=+，则2121a a a =，()222312321a a a a a a a a =-=-，()233423423a a a a a a a a =-=-，……，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-，220192019202020192018a a a a a =-，可得22212201920202019201920202019a a a a a a a a+++==，故D 正确；故选：ACD. 【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换，属于中档题.5．设数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，1121,n n n S S S n++==，且212n n n n a b a a ++=，则下列结论正确的是（ ） A ．20202020a =B ．()12n n n S +=C ．()112n b n n =-+D ．1334n T n ≤-< 【答案】ABD 【分析】可由累乘法求得n S 的通项公式，再由()12n n n S +=得出n a n =，代入212n n n n a b a a ++=中可得()112n b n n =++.由裂项相消法求出n T ，利用数列的单调性证明1334n T n ≤-<.【详解】 由题意得，12n n S n S n++=， ∴当2n ≥时，121121112n n n n n S S S n n S S S S S n n ---+=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅--()13112n n +⋅=，且当1n =时也成立， ∴ ()12n n n S +=，易得n a n =，∴ 20202020a =，故,A B 正确； ∴ ()()()211111112222n n b n n n n n n +⎛⎫==+=+- ⎪+++⎝⎭，∴11111111111111112324351122212n T n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫=+-+-+-++-+-=++-- ⎪ ⎪-++++⎝⎭⎝⎭3111342124n n n n ⎛⎫=+-+<+ ⎪++⎝⎭， 又n T n -随着n 的增加而增加， ∴1113n T n T -≥-=，∴1334n T n ≤-<，C 错误，D 正确， 故选：ABD. 【点睛】使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．6．已知数列{}n a 满足11a =，()111n n na n a +-+=，*n N ∈，其前n 项和为n S ，则下列选项中正确的是（ ）A ．数列{}n a 是公差为2的等差数列B ．满足100n S <的n 的最大值是9C ．n S 除以4的余数只能为0或1D ．2n n S na = 【答案】ABC 【分析】根据题意对()111n n na n a +-+=变形得()1111111n n a a n n n n n n +=-+-=++，进而根据累加法求得()*21n a n n N =-∈，再依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：因为()111n n na n a +-+=，故等式两边同除以()1n n +得：()1111111n n a a n n n n n n +=-+-=++， 所以()1111111n n a a n n n n n n -=-----=，()()12111221211n n a a n n n n n n --=------=--，，2111121122a a =-⨯-= 故根据累加法得：()11121n a a n nn =-≥-， 由于11a =，故()212n a n n =-≥，检验11a =满足， 故()*21n a n n N=-∈所以数列{}n a 是公差为2的等差数列，故A 选项正确； 由等差数列前n 项和公式得：()21212n n n S n +-==，故2100n n S =<，解得：10n <，故满足100n S <的n 的最大值是9，故B 选项正确； 对于C 选项，当*21,n k k N =-∈时，22441n n k S k ==-+，此时n S 除以4的余数只能为1；当*2,n k k N =∈时，224n n k S ==，此时n S 除以4的余数只能0，故C 选项正确；对于D 选项，222n S n =，()2212n n n n n n a =-=-，显然2n n S na ≠，故D 选项错误.故选：ABC 【点睛】本题考查累加法求通项公式，裂项求和法，等差数列的相关公式应用，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于整理变形已知表达式得()1111111n n a a n n n n n n +=-+-=++，进而根据累加法求得通项公式.7．已知首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，当n 为偶数时，11n n a a --=；当n 为奇数且1n >时，121n n a a --=.若4000m S >，则m 的值可以是（ ） A ．17 B ．18C ．19D ．20【答案】BCD 【分析】由已知条件得出数列奇数项之间的递推关系，从而得数列21{3}k a -+是等比数列，由此可求得奇数项的表达式（也即得到偶数项的表达式），对2k S 可先求得其奇数项的和，再得偶数项的和，从而得2k S ，计算出与4000接近的和，184043S =，173021S =，从而可得结论． 【详解】依题意，2211k k a a -=+，21221k k a a +=+，*k N ∈，所以2211k k a a -=+，2122121212(1)123k k k k a a a a +--=+=++=+,∴()2121323k k a a +-+=+.又134a +=，故数列{}213k a -+是以4为首项，2为公比的等比数列，所以121423k k a --=⋅-，故S 奇()21321141232(44242)43321k k k k k a a a k k -+-===+⨯++⨯--+++-=---，S 偶21232412()242k k k a a a k k a a a +-=+=+++=+++--，故2k S S =奇＋S 偶3285k k +=--，故121828454043S =--=，173021S =，故使得4000m S >的最小整数m 的值为18.故选：BCD . 【点睛】关键点点睛：本题考查数列的和的问题，解题关键是是由已知关系得出数列的奇数项满足的性质，求出奇数项的表达式（也可求出偶数项的表达式），而求和时，先考虑项数为偶数时的和，这样可分类求各：先求奇数项的和，再求偶数项的和，从而得所有项的和，利用这个和的表达式估计和n S 接近4000时的项数n ，从而得出结论．8．已知等比数列{}n a 满足11a =，其前n 项和()*1,0n n S pa r n N p +=+∈>．（ ）A ．数列{}n a 的公比为pB ．数列{}n a 为递增数列C ．1r p =--D ．当14p r-取最小值时，13-=n n a 【答案】BD 【分析】先结合已知条件，利用1n n n a S S -=-找到,p q 的关系，由11p q =-判断选项A 错误，由11pq p+=>判断B 正确，利用{}n a 通项公式和前n 项和公式代入已知式计算r p =-判断C 错误，将r p =-代入14p r-，利用基本不等式求最值及取等号条件，判断D 正确. 【详解】依题意，等比数列{}n a ，11a =，其前n 项和()*1,0n n S pa r n N p +=+∈>，设公比是q ，2n ≥时，11n n n n S pa rS pa r+-=+⎧⎨=+⎩，作差得，1n n n pa a pa +-=，即()11n n p a pa +=+，故11n n a p a p ++=，即1p q p +=，即11p q =-. 选项A 中，若公比为p ，则11p q q ==-，即210q q --=，即12p q +==时，数列{}n a 的公比为p ，否则数列{}n a 的公比不为p ，故错误；选项B 中，由0p >知，1111p q p p +==+>，故111111n n n n a a q q p ---=⋅==⎛⎫+ ⎪⎝⎭是递增数列，故正确；选项C 中，由1n n S pa r +=+，11n n q S q-=-，11p q =-，1nn a q +=知，1111111n n n n q p q q a qr S p q +--=-⋅=-=---=，故C 错误；选项D 中， 因为r p =-，故()1111444p p p r p p -=-=+≥=⋅-，当且仅当14p p =，即12p =时等号成立，14p r-取得最小值1，此时13p q p +==，113n n n a q --==，故正确.故选：BD. 【点睛】 方法点睛：由数列前n 项和求通项公式时，一般根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解；2、当两个正数,a b的积为定值，要求这两个正数的和式的最值时，可以使用基本不等式a b +≥，当且仅当a b =取等号.二、平面向量多选题9．下列各式结果为零向量的有（ ） A ．AB BC AC ++ B ．AB AC BD CD +++ C ．OA OD AD -+ D ．NQ QP MN MP ++-【答案】CD 【分析】对于选项A ，2AB BC AC AC ++=,所以该选项不正确；对于选项B ，2AB AC BD CD AD +++=，所以该选项不正确；对于选项C ，0OA OD AD -+=,所以该选项正确；对于选项D ，0NQ QP MN MP ++-=，所以该选项正确. 【详解】对于选项A ，2AB BC AC AC AC AC ++=+=,所以该选项不正确；对于选项B ，()()2AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD AD +++=+++=+=，所以该选项不正确；对于选项C ，0OA OD AD DA AD -+=+=,所以该选项正确； 对于选项D ，0NQ QP MN MP NP PN ++-=+=，所以该选项正确. 故选：CD 【点睛】本题主要考查平面向量的加法和减法法则，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10．ABC ∆是边长为3的等边三角形，已知向量a 、b 满足3AB a =，3AC a b =+，则下列结论中正确的有（ ） A ．a 为单位向量 B ．//b BCC ．a b ⊥D ．()6a b BC +⊥【答案】ABD 【分析】求出a 可判断A 选项的正误；利用向量的减法法则求出b ，利用共线向量的基本定理可判断B 选项的正误；计算出a b ⋅，可判断C 选项的正误；计算出()6a b BC +⋅，可判断D 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】 对于A 选项，3AB a =，13a AB ∴=，则113a AB ==，A 选项正确； 对于B 选项，3AC ab AB b =+=+，b AC AB BC ∴=-=，//b BC ∴，B 选项正确；对于C 选项，21123cos 0333a b AB BC π⋅=⋅=⨯⨯≠，所以a 与b 不垂直，C 选项错误；对于D 选项，()()()2260a b BC AB AC AC AB AC AB +⋅=+⋅-=-=，所以，()6a b BC +⊥，D 选项正确.故选：ABD. 【点睛】本题考查向量有关命题真假的判断，涉及单位向量、共线向量的概念的理解以及垂直向量的判断，考查推理能力，属于中等题.。
江苏省南京市2015届高三9月学情调研卷 数学 Word版含答案(苏教版)
南京市2015届高三年级学情调研卷 数 学 2014.09注意事项：1．本试卷共3页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1．函数f (x )＝cos 2x －sin 2x 的最小正周期为 ▲ ． 2．已知复数z ＝11＋i，其中i 是虚数单位，则|z |＝ ▲ ． 3．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：3：3，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为80的样本，则应从高一年级抽取 ▲ 名学生． 4．从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出2名代表参加 学校会议，则甲被选中的概率是 ▲ ． 5．已知向量a ＝(2，1)，b ＝(0，－1)．若(a ＋λb )⊥a ， 则实数λ＝ ▲ ．6．右图是一个算法流程图，则输出S 的值是 ▲ ．7．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±3x ，则该双曲线的离心率为 ▲ ．8．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则这个圆锥的高是 ▲ ．9．设f (x )＝x 2－3x ＋a ．若函数f (x )在区间(1，3)内有零点，则实数a 的取值范围为 ▲ ． 10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ．已知a ＋2c ＝2b ，sin B ＝2sin C ，则cos A ＝ ▲ ．11．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ， x ≥1，－x ＋3a ，x ＜1是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为 ▲ ．（第6题图）12．记数列{a n }的前n 项和为S n ．若a 1＝1，S n ＝2(a 1＋a n )(n ≥2，n ∈N *)，则S n ＝ ▲ ． 13．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0，点A ，B 在圆C 上，且AB ＝23，则|OA →＋OB →|的最大值是 ▲ ．14．已知函数f (x )＝x －1－(e －1)ln x ，其中e 为自然对数的底，则满足f (e x )＜0的x 的取值范围 为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)(0＜φ＜2π)的图象过点(π2，－2)．（1）求φ的值；（2）若f (α2)＝65，－π2＜α＜0，求sin(2α－π6)的值．16．（本小题满分14分）如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，M ，N 分别为AB ，B 1C 1的中点． （1）求证：MN ∥平面AA 1C 1C ；（2）若CC 1＝CB 1，CA ＝CB ，平面CC 1B 1B ⊥平面ABC ，求证：AB 平面CMN ．A 1ABC B 1C 1MN（第16题图）已知{a n }是等差数列，其前n 项的和为S n ， {b n }是等比数列，且a 1＝b 1＝2，a 4＋b 4＝21， S 4＋b 4＝30．（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；（2）记c n ＝a n b n ，n ∈N*，求数列{c n }的前n 项和．18．（本小题满分16分）给定椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，称圆C 1：x 2＋y 2＝a 2＋b 2为椭圆C 的“伴随圆”．已知椭圆C的离心率为32，且经过点(0，1)． （1）求实数a ，b 的值；（2）若过点P (0，m )(m ＞0)的直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，且l 被椭圆C 的伴随圆C 1所截得的弦长为22，求实数m 的值．如图（示意），公路AM 、AN 围成的是一块顶角为α的角形耕地，其中tan α＝－2．在该块土地中P 处有一小型建筑，经测量，它到公路AM ，AN 的距离分别为3km ，5km ．现要过点P 修建一条直线公路BC ，将三条公路围成的区域ABC 建成一个工业园．为尽量减少耕地占用，问如何确定B 点的位置，使得该工业园区的面积最小？并求最小面积．20．（本小题满分16分）已知函数f (x )＝ax 3＋|x －a |，a ∈R ．（1）若a ＝－1，求函数y ＝f (x ) (x ∈[0，＋∞))的图象在x ＝1处的切线方程； （2）若g (x )＝x 4，试讨论方程f (x )＝g (x )的实数解的个数；（3）当a ＞0时，若对于任意的x 1∈[a ，a ＋2]，都存在x 2∈[a ＋2，＋∞)，使得f (x 1)f (x 2)＝1024，求满足条件的正整数a 的取值的集合．·AMNP（第19题图）αCB南京市2015届高三年级学情调研卷数学附加题 2014.09注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用．2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答．题卡．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷卡指．．．定区域内．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，P A 是圆O 的切线，A 为切点，PO 与圆O 交于点B 、C ，AQ ⊥OP ，垂足为Q ．若P A ＝4，PC ＝2，求AQ 的长．B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤2b 13属于特征值λ的一个特征向量为α＝⎣⎡⎦⎤ 1－1 ．（1）求实数b ，λ的值；（2）若曲线C 在矩阵A 对应的变换作用下，得到的曲线为C '：x 2＋2y 2＝2，求曲线C 的方程．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋32t ，y ＝2＋12t(t 为参数 )，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．若点P 是圆C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．（第21题A 图）D ．选修4—5：不等式选讲已知a ，b 是正数，且a ＋b ＝1，求证：(ax ＋by )(bx ＋ay )≥xy ．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．如图，已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，BC ＝2，CC 1＝5，E 是棱CC 1上不同于端点的点，且CE →＝λCC 1→． （1） 当∠BEA 1为钝角时，求实数λ的取值范围；（2） 若λ＝25，记二面角B 1－A 1B －E 的的大小为θ，求|cos θ|．23．某商店为了吸引顾客，设计了一个摸球小游戏，顾客从装有1个红球，1个白球，3个黑球的袋中一次随机的摸2个球，设计奖励方式如下表：（1）某顾客在一次摸球中获得奖励X 元，求X 的概率分布表与数学期望； （2）某顾客参与两次摸球，求他能中奖的概率．（第22题图）ABCDEA 1B 1C 1D 12015届高三年级学情调研卷数学参考答案及评分标准 2014.09说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．π 2．22 3．32 4．125．5 6．35 7．2 8． 3 9．(0，94] 10．2411．[12，＋∞) 12．2－2n －1 13．8 14．(0，1)二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）解：（1）因为函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)(0＜φ＜2π)的图象过点(π2，－2)，所以f (π2)＝2sin(π＋φ)＝－2，即sin φ＝1． …………………………………………… 4分 因为0＜φ＜2π，所以φ＝π2． …………………………………………… 6分（2）由（1）得，f (x )＝2cos2x ． ………………………………………… 8分因为f (α2)＝65，所以cos α＝35．又因为－π2＜α＜0，所以sin α＝－45． …………………………………… 10分所以sin2α＝2sin αcos α＝－2425，cos2α＝2cos 2α－1＝－725．…………………… 12分从而sin(2α－π6)＝sin2αcos π6－cos2αsin π6＝7－24350． …………………… 14分16．（本小题满分14分）证明：（1）取A 1C 1的中点P ，连接AP ，NP ．因为C 1N ＝NB 1，C 1P ＝P A 1，所以NP ∥A 1B 1，NP ＝12A 1B 1． …………………… 2分在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1B 1∥AB ，A 1B 1＝AB ． 故NP ∥AB ，且NP ＝12AB ．因为M 为AB 的中点，所以AM ＝12AB ．所以NP ＝AM ，且NP ∥AM ． 所以四边形AMNP 为平行四边形．所以MN ∥AP ． ……………………………………… 4分 因为AP ⊂平面AA 1C 1C ，MN ⊄平面AA 1C 1C ，所以MN ∥平面AA 1C 1C ． ……………………………………………… 6分 （2）因为CA ＝CB ，M 为AB 的中点，所以CM ⊥AB ． …………………………… 8分因为CC 1＝CB 1，N 为B 1C 1的中点，所以CN ⊥B 1C 1． 在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BC ∥B 1C 1，所以CN ⊥BC ．因为平面CC 1B 1B ⊥平面ABC ，平面CC 1B 1B ∩平面ABC ＝BC ．CN ⊂平面CC 1B 1B ， 所以CN ⊥平面ABC ． …………………………………… 10分 因为AB ⊂平面ABC ，所以CN ⊥AB ． …………………………………… 12分 因为CM ⊂平面CMN ，CN ⊂平面CMN ，CM ∩CN ＝C ，所以AB ⊥平面CMN ． …………………………………… 14分 17．（本小题满分14分）解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ．由a 1＝b 1＝2，得a 4＝2＋3d ，b 4＝2q 3，S 4＝8＋6d ．……………………………… 3分由条件a 4＋b 4＝21，S 4＋b 4＝30，得方程组⎩⎨⎧2＋3d ＋2q 3＝21，8＋6d ＋2q 3＝30，解得⎩⎨⎧d ＝1，q ＝2．所以a n ＝n ＋1，b n ＝2n ，n ∈N*． ……………………………… 7分 （2）由题意知，c n ＝(n ＋1)×2n ．记T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ． 则T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n＝2×2＋3×22＋4×23＋…＋n ×2n－1＋(n ＋1)×2n ，A 1ABCB 1C 1MN（第16题图）P2 T n ＝ 2×22＋3×23＋…＋(n －1)×2n －1＋n ×2n ＋ (n ＋1)2n ＋1，所以－T n ＝2×2＋(22＋23＋…＋2n )－(n ＋1)×2n ＋1， …………………………… 11分即T n ＝n ·2n ＋1，n ∈N*． ……………………………… 14分18．（本小题满分16分） 解：（1）记椭圆C 的半焦距为c ．由题意，得b ＝1，c a ＝32，c 2＝a 2＋b 2，解得a ＝2，b ＝1． ……………………………………………… 4分 （2）由（1）知，椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1，圆C 1的方程为x 2＋y 2＝5．显然直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，即kx －y ＋m ＝0． …………………………………… 6分 因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，故方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1 （*） 有且只有一组解． 由（*）得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0． 从而△＝(8km )2－4(1＋4k 2)( 4m 2－4)＝0．化简，得m 2＝1＋4k 2．① ………………………………………… 10分 因为直线l 被圆x 2＋y 2＝5所截得的弦长为22， 所以圆心到直线l 的距离d ＝5－2＝3． 即|m |k 2＋1＝3． ② ……………………………………… 14分 由①②，解得k 2＝2，m 2＝9．因为m ＞0，所以m ＝3． ……………………………………… 16分 19．（本小题满分16分） 解：（方法一）如图1，以A 为原点，AB 为x因为tan α＝－2，故直线AN 的方程是y ＝－2x ． 设点P (x 0，y 0)．因为点P 到AM 的距离为3，故y 0＝3． 由P 到直线AN 的距离为5，得∣2x 0＋y 0∣5＝5，解得x 0＝1或x 0＝－4(舍去)，所以点P (1，3)． ……………………………… 4分 显然直线BC 的斜率存在．设直线BC 的方程为y －3＝k (x －1)，k ∈(－2，0)． 令y ＝0得x B ＝1－3k． ……………………………… 6分由⎩⎨⎧y －3＝k (x －1)，y ＝－2x解得y C ＝6－2k k ＋2． ……………………………… 8分设△ABC 的面积为S ，则S ＝12⋅x B ⋅y C ＝－k 2＋6k －9k 2＋2k ＝－1＋8k －9k 2＋2k ． …………… 10分由S '＝－2(4k ＋3)(k －3)(k 2＋2k )2＝0得k ＝－34或k ＝3． 当－2＜k ＜－34时，S '＜0，S 单调递减；当－34＜k ＜0时，S '＞0，S 单调递增．… 13分所以当k ＝－34时，即AB ＝5时，S 取极小值，也为最小值15．答：当AB ＝5km 时，该工业园区的面积最小，最小面积为15km 2．……………… 16分 （方法二）如图1，以A 为原点，AB 为x 轴，建立平面直角坐标系． 因为tan α＝－2，故直线AN 的方程是y ＝－2x ． 设点P (x 0，y 0)．因为点P 到AM 的距离为3，故y 0＝3． 由P 到直线AN 的距离为5，得∣2x 0＋y 0∣5＝5，解得x 0＝1或x 0＝－4(舍去)，所以点P (1，3)． ……………………………… 4分 显然直线BC 的斜率存在．设直线BC 的方程为y －3＝k (x －1)，k ∈(－2，0)． 令y ＝0得x B ＝1－3k． ……………………………… 6分由⎩⎨⎧y －3＝k (x －1)，y ＝－2x解得y C ＝6－2k k ＋2． ……………………………… 8分设△ABC 的面积为S ，则S ＝12⋅x B ⋅y C ＝－k 2＋6k －9k 2＋2k ＝－1＋8k －9k 2＋2k ． …………… 10分 令8k －9＝t ，则t ∈(－25，－9)，从而k ＝t ＋98．因此S ＝－1＋t (t ＋98)2＋2×t ＋98＝－1＋64t t 2＋34t ＋225＝－1＋6434＋t ＋225t ．………… 13分因为当t ∈(－25，－9)时，t ＋225t∈(－34，－30]， 当且仅当t ＝－15时，此时AB ＝5，34＋t ＋225t 的最大值为4．从而S 有最小值为15．答：当AB ＝5km 时，该工业园区的面积最小，最小面积为15km 2．……………… 16分 （方法三）如图2，过点P 作PE ⊥AM ，PF ⊥AN ，垂足为E 、F ，连接P A ．设AB ＝x ，AC ＝y ． 因为P 到AM ，AN 的距离分别为3，5， 即PE ＝3，PF ＝5．由S △ABC ＝S △ABP ＋S △APC＝12⋅x ⋅3＋12⋅y ⋅ 5 ＝12(3x ＋5y )． ① …… 4分 因为tan α＝－2，所以sin α＝25． 所以S △ABC ＝12⋅x ⋅y ⋅ 25． ② ……………………………………… 8分由①②可得12⋅x ⋅y ⋅ 25＝12(3x ＋5y )．即35x ＋5y ＝2xy ． ③ ………………………………………10分 因为35x ＋5y ≥2155xy ，所以 2xy ≥2155xy ．解得xy ≥155． ………………………………………13分 当且仅当35x ＝5y 取“＝”，结合③解得x ＝5，y ＝35． 所以S △ABC ＝12⋅x ⋅y ⋅ 25有最小值15．答：当AB ＝5km 时，该工业园区的面积最小，最小面积为15km 2．……………… 16分 20．（本小题满分16分）解：（1）当a ＝－1，x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝－x 3＋x ＋1，从而f ′(x )＝－3x 2＋1．当x ＝1时，f (1)＝1，f ′(1)＝－2，所以函数y ＝f (x ) (x ∈[0，＋∞))的图象在x ＝1处的切线方程为y －1＝－2(x －1)， 即2x ＋y －3＝0． ………………………………………………… 3分 （2）f (x )＝g (x )即为ax 3＋|x －a |＝x 4．所以x 4－ax 3＝|x －a |，从而x 3(x －a )＝|x －a |．此方程等价于x ＝a 或⎩⎨⎧x ＞a ，x ＝1或⎩⎨⎧x ＜a ，x ＝－1．………………………………………… 6分所以当a ≥1时，方程f (x )＝g (x )有两个不同的解a ，－1；·AMNP B C（第19题图2）E F当－1＜a ＜1时，方程f (x )＝g (x )有三个不同的解a ，－1，1；当a ≤－1时，方程f (x )＝g (x )有两个不同的解a ，1． …………………………… 9分 （3）当a ＞0，x ∈(a ，＋∞)时，f (x )＝ax 3＋x －a ，f ′(x )＝3ax 2＋1＞0，所以函数f (x )在(a ，＋∞)上是增函数，且f (x )＞f (a )＝a 4＞0．所以当x ∈[a ，a ＋2]时，f (x )∈[f (a )，f (a ＋2)]，1024f (x )∈[1024f (a ＋2)，1024f (a )]，当x ∈[a ＋2，＋∞)时，f (x )∈[ f (a ＋2)，＋∞)． …………………………………… 11分 因为对任意的x 1∈[a ，a ＋2]，都存在x 2∈[a ＋2，＋∞)，使得f (x 1)f (x 2)＝1024， 所以[1024f (a ＋2)，1024f (a )]⊆[ f (a ＋2)，＋∞)． ………………………………………… 13分从而1024f (a ＋2)≥f (a ＋2)．所以f 2(a ＋2)≤1024，即f (a ＋2)≤32，也即a (a ＋2)3＋2≤32． 因为a ＞0，显然a ＝1满足，而a ≥2时，均不满足．所以满足条件的正整数a 的取值的集合为{1}． …………………………………… 16分2015届高三年级学情调研卷数学附加题参考答案及评分标准 2014.09说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分． A ．选修4—1：几何证明选讲 证明：连接AO ．设圆O 的半径为r ．因为P A 是圆O 的切线，PBC 是圆O 的割线，所以P A 2＝PC ·PB ．……………………………… 3分因为P A ＝4，PC ＝2，所以42＝2×(2＋2r )，解得r ＝3．……………… 5分 所以PO ＝PC ＋CO ＝2＋3＝5，AO ＝r ＝3． 由P A 是圆O 的切线得P A ⊥AO ，故在Rt △APO 中， 因为AQ ⊥PO ，由面积法可知，12×AQ ×PO ＝12×AP ×AO ，即AQ ＝AP ×AO PO ＝4×35＝125． …………………… 10分B ．选修4—2：矩阵与变换解：（1）因为矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤2b 13属于特征值λ的一个特征向量为α＝⎣⎡⎦⎤ 1－1，所以⎣⎡⎦⎤2b 13⎣⎡⎦⎤ 1－1＝λ⎣⎡⎦⎤ 1－1，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－b －2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤λ－λ． ……………………… 3分从而⎩⎨⎧2－b ＝λ，－2＝－λ．解得b ＝0，λ＝2． ………………………… 5分（2）由（1）知，A ＝⎣⎡⎦⎤2013．（第21题A 图）B设曲线C 上任一点M (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用后变为曲线C '上一点P (x 0，y 0)， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎡⎦⎤2013⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x x ＋3y ， 从而⎩⎨⎧x 0＝2x ，y 0＝x ＋3y ．…………………………… 7分因为点P 在曲线C '上，所以x 02＋2y 02＝2，即(2x )2＋2(x ＋3y )2＝2， 从而3x 2＋6xy ＋9y 2＝1．所以曲线C 的方程为3x 2＋6xy ＋9y 2＝1． ……………………………… 10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程 解：（方法一）直线l 的普通方程为x －3y ＋3＝0． …………………………………… 3分 因为点P 在圆C 上，故设P (3＋cos θ，sin θ)， 从而点P 到直线l 的距离d ＝|3＋cos θ－3sin θ＋3|12＋(－3)2＝|23－2sin(θ－π6)|2． …………………… 7分 所以d min ＝3－1．即点P 到直线l 的距离的最小值为3－1． ……………………………… 10分 (方法二)直线l 的普通方程为x －3y ＋3＝0． ……………………………… 3分 圆C 的圆心坐标为(3，0)，半径为1． 从而圆心C 到直线l 的距离为d ＝|3－0＋3|12＋(－3)2＝3． ………………………… 6分所以点P 到直线l 的距离的最小值为3－1． ………………………… 10分 D ．选修4—5：不等式选讲证明：因为a ，b 是正数，且a ＋b ＝1，所以(ax ＋by )(bx ＋ay )＝abx 2＋(a 2＋b 2)xy ＋aby 2＝ab (x 2＋y 2)＋(a 2＋b 2)xy …………………………… 3分 ≥ab ⋅2xy ＋(a 2＋b 2)xy ……………………………… 8分＝(a ＋b )2xy ＝xy即(ax ＋by )(bx ＋ay )≥xy 成立． ……………………………… 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．解：（1）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．由题设，知B (2，3，0)，A 1(2，0，5)，C (0，3，0)，C 1(0，3因为CE →＝λCC 1→，所以E (0，3，5λ)．从而EB →＝(2，0，－5λ)，EA 1→＝(2，－3，5－5λ)．…… 2分 当∠BEA 1为钝角时，cos ∠BEA 1＜0， 所以EB →·EA 1→＜0，即2×2－5λ(5－5λ)＜0， 解得15＜λ＜45．即实数λ的取值范围是(15，45)． …………………………………… 5分（2）当λ＝25时，EB →＝(2，0，－2)，EA 1→＝(2，－3，3)．设平面BEA 1的一个法向量为n 1＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·EB →＝0，n 1·EA 1→＝0 得⎩⎨⎧2x －2z ＝0，2x －3y ＋3z ＝0，取x ＝1，得y ＝53，z ＝1，所以平面BEA 1的一个法向量为n 1＝(1，53，1)． ………………………………… 7分易知，平面BA 1B 1的一个法向量为n 2＝(1，0，0)．因为cos< n 1，n 2>＝n 1·n 2| n 1|·| n 2|＝1439＝34343，从而|cos θ|＝34343． …………………………………… 10分23．解：（1）因为P (X ＝10)＝1C 25＝110，P (X ＝5)＝C 13C 25＝310，P (X ＝2)＝C 23C 25＝310，P (X ＝0) ＝C 13C 25＝310，（第22题图）所以X的概率分布表为：……………………………4分从而E(X)＝10⨯110＋5⨯310＋2⨯310＋0⨯310＝3.1元．……………………………6分（2）记该顾客一次摸球中奖为事件A，由（1）知，P(A)＝710，从而他两次摸球中至少有一次中奖的概率P＝1－[1－P(A)]2＝91100．答：他两次摸球中至少有一次中奖的概率为91100．……………………………10分．。
江苏省南京二十九中高二数学上学期10月学情检测试题(含解析)
2015-2016学年江苏省南京二十九中高二（上）10月学情检测数学试卷一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．命题“”的否定是．2．下列命题中真命题的序号是．①4≥3；②4≥4③方程x2﹣x﹣2=0的解是x=﹣1或方程x2﹣x﹣2=0的解是x=2；④∀x∈{﹣1，2}，x2﹣x﹣2=0．3．设命题p：若x=7，y=8，则x+y=15的逆命题，否命题和逆否命题分别是q，r，s四个命题p，q，r，s中真命题是．4．若实数x、y满足不等式组，则2x+3y的最小值是．5．设n为整数，如果点（5，n）在两平行线6x﹣8y+1=0和3x﹣4y+5=0之间，则m= ．6．若实数x，y满足：，则的取值范围是．7．圆：x2+y2+cx+c2﹣c=0过原点的充要条件是．8．若正方形三条边所在直线方程是：2x+y﹣1=0，2x+y+1=0，x﹣2y﹣1=0，则第四条边直线所在方程是．9．在两坐标轴上截距相等且与圆：相切的直线有条．10．椭圆的短轴长是．11．椭圆的焦点为F1，F2，过F1的直线与椭圆C交于A，B两点，若△ABF2的周长是12，则椭圆C的离心率是．12．若中心是原点，对称轴是坐标轴的椭圆过A（4，1），B（2，2）两点，则它的方程是．13．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测：甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损分别是30%和10%，投资人计划投资额不超过10万，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元．若要使可能的盈利最大，则投资人对甲、乙两个项目应各自投资万元．14．△ABC中，BC=3，∠C=90°，∠A的平分线交BC于D．若BD=2DC，则△ABC面积是．二.解答题：本大题6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．已知命题；q：m2﹣4m﹣5＞0．（1）若命题¬p是假命题，求m的最大值；（2）若命题中p，p∨q，p∧q中有两个真命题，一个假命题，求m的取值范围．16．已知椭圆E的方程是，直线x=0与E交于点A，B，直线x=2与E交于点C，D．（1）求同时经过A，B，C，D四个点的圆的方程；（2）动圆M与（1）中的圆外切，且与直线x=﹣4相切，问动圆M的圆心在什么曲线上运动？17．已知椭圆C的焦点是F1（0，4），F2（0，﹣4），离心率是（1）求椭圆C的方程；（2）设P是椭圆C上一点，若△PF1F2是直角三角形，求△PF1F2的面积．18．已知圆C：x2+y2=36和点P（m，2）．（1）当m=6时，过P作圆C的切线，求切线方程和切点坐标；（2）当m∈[﹣2，2]时，若过P的直线与圆C交于A，B，弦长AB的最小值记为I（m），求I（m）的最大值．19．设（n∈N*，k∈R）（1）证明：k≤1是{a n}为递增数列的充分不必要条件；（2）若，求k的取值范围．20．已知椭圆M的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，过M上一点的直线l1，l2与椭圆M分别交于不同于P的另一点A，B，设l1，l2的斜率分别为k1，k2，且．（1）求椭圆M的方程；（2）直线AB是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．2015-2016学年江苏省南京二十九中高二（上）10月学情检测数学试卷参考答案与试题解析一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．命题“”的否定是∀．【考点】命题的否定．【专题】计算题；规律型；转化思想；数学模型法；简易逻辑．【分析】利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“”的否定是：∀．故答案为：∀．【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．2．下列命题中真命题的序号是①②④．①4≥3；②4≥4③方程x2﹣x﹣2=0的解是x=﹣1或方程x2﹣x﹣2=0的解是x=2；④∀x∈{﹣1，2}，x2﹣x﹣2=0．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】计算题；方程思想；简易逻辑．【分析】由复合命题的真假判断说明①②正确，③错误；求出方程x2﹣x﹣2=0的解集说明④正确．【解答】解：①∵4＞3，∴由复合命题的真假判断可知4≥3为真命题；②∵4=4，∴由复合命题的真假判断可知4≥4为真命题；③∵方程x2﹣x﹣2=0的解是x=﹣1为假命题，方程x2﹣x﹣2=0的解是x=2为假命题，∴方程x2﹣x﹣2=0的解是x=﹣1或方程x2﹣x﹣2=0的解是x=2为假命题；④∵方程x2﹣x﹣2=0的解集为{﹣1，2}，∴∀x∈{﹣1，2}，x2﹣x﹣2=0为真命题．故答案为：①②④．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了复合命题的真假判断，是基础题．3．设命题p：若x=7，y=8，则x+y=15的逆命题，否命题和逆否命题分别是q，r，s四个命题p，q，r，s中真命题是p，s ．【考点】四种命题．【专题】对应思想；综合法；简易逻辑．【分析】先判断出命题p是一个真命题，它的逆否命题是一个真命题，逆命题不是真命题，否命题不是真命题．【解答】解：若命题p：若x=7，y=8，则x+y=15，这是一个真命题，它的逆否命题是一个真命题，逆命题：若x+y=15，则x=7，y=8，显然不正确，不是真命题，否命题不是真命题，综上可知四个命题中有2个真命题，故答案为：p，s．【点评】本题考查四种命题的真假，本题解题的关键是知道原命题与逆否命题具有相同的真假性，否命题与逆命题具有相同的真假性．4．若实数x、y满足不等式组，则2x+3y的最小值是 4 ．【考点】简单线性规划的应用．【专题】作图题；数形结合．【分析】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入2x+3y中，求出2x+3y的最小值．【解答】解：依题意作出可行性区域如图，目标函数z=2x+3y在边界点（2，0）处取到最小值z=2×2+3×0=4．故答案为：4【点评】在解决线性规划的小题时，常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．5．设n为整数，如果点（5，n）在两平行线6x﹣8y+1=0和3x﹣4y+5=0之间，则m= 4或5 ．【考点】两条平行直线间的距离．【专题】直线与圆．【分析】根据题意可得﹣10≤6×5﹣8n≤﹣1，由此求得n的范围，再结合n为整数，求得n的值．【解答】解：由题意可得点（5，n）在两平行线6x﹣8y+1=0和6x﹣8y+10=0之间，则﹣10≤6×5﹣8n≤﹣1，求得≤n≤5，故整数n=4或5，故答案为：4或5．【点评】本题主要考查两条平行线间的距离公式，属于基础题．6．若实数x，y满足：，则的取值范围是[，+∞）．【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由约束条件作出可行域，数形结合求得的取值范围．【解答】解：不等式组对应的可行域如图，得A（4，0），C（1，3）．利用斜率公式得结合图形可知，的取值范围[0，3]所以的取值范围是[，+∞）．故答案为：[，+∞）．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．7．圆：x2+y2+cx+c2﹣c=0过原点的充要条件是c=1 ．【考点】圆的一般方程．【专题】直线与圆．【分析】x2+y2+cx+c2﹣c=0过原点的充要条件是原点的坐标满足该方程．【解答】解：圆：x2+y2+cx+c2﹣c=0过原点的充要条件是 0+0+0+c2﹣c=0，求得c2﹣c=0，即 c=1 或c=0（舍去），故答案为：c=1．【点评】本题主要考查圆的一般方程，圆过原点的充要条件，属于基础题．8．若正方形三条边所在直线方程是：2x+y﹣1=0，2x+y+1=0，x﹣2y﹣1=0，则第四条边直线所在方程是x﹣2y+1=0或x﹣2y﹣3=0 ．【考点】待定系数法求直线方程．【专题】直线与圆．【分析】由已知可得第四条直线与x﹣2y﹣1=0平行，且到x﹣2y﹣1=0的距离为，结合两线之间距离公式，可得答案．【解答】解：∵2x+y﹣1=0与2x+y+1=0的距离为，故第四条直线与x﹣2y﹣1=0平行，且到x﹣2y﹣1=0的距离也为，设第四条直线方程为x﹣2y+C=0，则，解得：C=1，或C=﹣3，故第四条直线方程为x﹣2y+1=0或x﹣2y﹣3=0，故答案为：x﹣2y+1=0或x﹣2y﹣3=0【点评】本题考查的知识点是待定系数法求直线的方程，其中正确理解第四条边直线的几何特征是解答的关键．9．在两坐标轴上截距相等且与圆：相切的直线有 3 条．【考点】圆的一般方程．【专题】直线与圆．【分析】分直线经过原点、直线不经过原点两种情况，分别设出直线的方程，再根据心（0，）到直线的距离等于半径1，求出待定系数，从而得出结论．【解答】解：①当直线经过原点时，设方程为y=kx，由圆心（0，）到直线的距离等于半径1，可得=1，求得k=±1，故此时，满足条件的直线有2条．②当直线不经过原点时，设直线的方程为x+y=a，a≠0，由圆心（0，）到直线的距离等于半径1，可得=1，求得a=0（舍去），或a=2，综上可得，满足条件的直线共有3条，故答案为：3．【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．10．椭圆的短轴长是2．【考点】椭圆的标准方程．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】确定椭圆中的几何量，即可得出结论．【解答】解：表示（x，y）到（2，0），（﹣2，0）的距离和为6，∴c=2，a=3，∴b=，∴椭圆的短轴长是2．故答案为：2．【点评】本题考查圆锥曲线的定义，考查方程的几何意义，考查椭圆的几何性质，是个简单题．11．椭圆的焦点为F1，F2，过F1的直线与椭圆C交于A，B两点，若△ABF2的周长是12，则椭圆C的离心率是．【考点】椭圆的简单性质．【专题】定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】运用椭圆的定义可得4a=12，解得a，再由椭圆方程可得b，求得c，运用离心率公式即可得到所求．【解答】解：由椭圆的定义可得AF1+AF2=BF1+BF2=2a，△ABF2的周长是12，即有4a=12，解得a=3，由椭圆可得b=2，即有c2=a2﹣b2=9﹣4=5，解得c=，则e==．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的定义和方程及性质，考查离心率的求法，以及运算能力，属于基础题．12．若中心是原点，对称轴是坐标轴的椭圆过A（4，1），B（2，2）两点，则它的方程是+=1 ．【考点】椭圆的简单性质．【专题】方程思想；待定系数法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设椭圆方程为mx2+ny2=1，代入两点A（4，1），B（2，2），可得m，n的方程，解方程即可得到所求椭圆的方程．【解答】解：设椭圆方程为mx2+ny2=1，代入两点A（4，1），B（2，2），可得16m+n=1，4m+4n=1，解得m=，n=．即有椭圆的方程为+=1．故答案为： +=1．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用待定系数法，考查运算能力，属于基础题．13．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测：甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损分别是30%和10%，投资人计划投资额不超过10万，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元．若要使可能的盈利最大，则投资人对甲、乙两个项目应各自投资4、6 万元．【考点】函数模型的选择与应用．【专题】不等式．【分析】通过设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目，得出可行域，进而利用目标函数z=x+0.5y计算即得结论．【解答】解：设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目，由题意知，，目标函数z=x+0.5y．上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分（含边界）即可行域．作直线l0：x+0.5y=0，并作平行于直线l0的一组直线x+0.5y=z，z∈R，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，且与直线x+0.5y=0的距离最大，这里M点是直线x+y=10和0.3x+0.1y=1.8的交点．联立方程组，解得x=4，y=6．∴当x=4、y=6时，z取得最大值z max=4+6×0.5=7（万元）．∴投资人可能产生的最大盈利为7万元，故答案为：4、6．【点评】本题考查简单线性规划，考查数形结合能力，注意解题方法的积累，属于中档题．14．△ABC中，BC=3，∠C=90°，∠A的平分线交BC于D．若BD=2DC，则△ABC面积是．【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】由已知解得CD=1，BD=2，由D点向AB引垂线，设垂足为E，可求DE=1，BE=，AC=AE，由，解得：AC=，根据三角形面积公式即可得解．【解答】解：∵BC=3，BD=2DC，∴可得：CD=1，BD=2，由D点向AB引垂线，设垂足为E，∵∠A的平分线交BC于D．则DE=1，BE===，∵△ACD≌△AED，可得：AC=AE，∴，解得：AC=，∴S△ABC=S△ACD+S△ABD=+=+=．故答案为：．【点评】本题主要考查了角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的性质，三角形面积公式的应用，属于基本知识的考查．二.解答题：本大题6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．已知命题；q：m2﹣4m﹣5＞0．（1）若命题¬p是假命题，求m的最大值；（2）若命题中p，p∨q，p∧q中有两个真命题，一个假命题，求m的取值范围．【考点】复合命题的真假．【专题】简易逻辑．【分析】（1）对于命题P：利用基本不等式的性质即可得出m的取值范围，若命题¬p是假命题，则命题p是真命题，即可得出；（2）对于命题q：m2﹣4m﹣5＞0，解得m范围．由命题中p，p∨q，p∧q中有两个真命题，一个假命题，只能：p是真命题，q是假命题，解出即可．【解答】解：（1）命题P：∵x＞0，∴=2，∴m≤2；若命题¬p是假命题，∴命题p是真命题，∴m，∴m的最大值为2．（2）对于命题q：m2﹣4m﹣5＞0，解得m＞5或m＜﹣1．由命题中p，p∨q，p∧q中有两个真命题，一个假命题，只能：p是真命题，q是假命题，则p，p∨q，是真命题，p∧q是假命题，可得，解得﹣1≤m．∴m的取值范围是﹣1≤m．【点评】本题考查了复合命题真假的判定方法、一元二次不等式的解法、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．已知椭圆E的方程是，直线x=0与E交于点A，B，直线x=2与E交于点C，D．（1）求同时经过A，B，C，D四个点的圆的方程；（2）动圆M与（1）中的圆外切，且与直线x=﹣4相切，问动圆M的圆心在什么曲线上运动？【考点】椭圆的简单性质．【专题】方程思想；待定系数法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由x=0，x=2代入椭圆方程，可得A，B，C，D的坐标，再设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，代入点的坐标，解方程即可得到所求圆的方程；（2）设动圆的圆心为M（m，n），半径为r，运用两圆相切的条件和直线和圆相切的条件，可得m，n的关系式，化简可得M的轨迹．【解答】解：（1）由x=0可得y=±，即有A（0，），B（0，﹣），令x=2，代入椭圆方程可得y=±1，即为C（2，1），D（2，﹣1），设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，易得E=0，2+E+F=0，5+2D+E+F=0，解得D=﹣，F=﹣2，即有圆的方程为x2+y2﹣x﹣2=0；（2）设动圆的圆心为M（m，n），半径为r，由x2+y2﹣x﹣2=0，可得圆心为（，0），半径为，由外切的条件可得， =r+，由直线和圆相切的条件可得，|m+4|=r，即为=|m+4|+，化简可得n2=m+18+2（m≥﹣4），或n2=m+18﹣2（m＜﹣4）．则动圆M的圆心在抛物线上运动．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查圆的方程的求法，注意运用待定系数法，同时考查直线和圆，圆与圆的位置关系，属于中档题．17．已知椭圆C的焦点是F1（0，4），F2（0，﹣4），离心率是（1）求椭圆C的方程；（2）设P是椭圆C上一点，若△PF1F2是直角三角形，求△PF1F2的面积．【考点】椭圆的简单性质．【专题】方程思想；分类法；解三角形；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），运用离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）讨论三角形的直角位置，结合顶点与椭圆的关系，由三角形的面积公式计算即可得到．【解答】解：（1）设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），由题意可得c=4，e==，可得a=6，又b2=a2﹣c2=36﹣16=20，即有椭圆方程为+=1；（2）若∠PF1F2=90°或∠PF2F1=90°，可令y=4，解得x=±，可得△PF1F2的面积为×8×=；若∠F1PF2=90°，则P在圆x2+y2=16上，联立椭圆+=1，可知无交点．综上可得△PF1F2的面积为．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式，同时考查直角三角形的面积，注意讨论直角的位置，属于中档题和易错题．18．已知圆C：x2+y2=36和点P（m，2）．（1）当m=6时，过P作圆C的切线，求切线方程和切点坐标；（2）当m∈[﹣2，2]时，若过P的直线与圆C交于A，B，弦长AB的最小值记为I（m），求I（m）的最大值．【考点】圆的切线方程．【专题】计算题；直线与圆．【分析】（1）圆x2+y2=36的圆心为原点，半径为6，然后讨论，根据圆心到直线的距离等于半，6，建立关于k的方程，解之得k，进而得到直线的方程．最后综合可得答案．（2）求出点O（0，0）到直线的距离的最大值，可得弦长AB的最小值记为I（m），即可求I（m）的最大值．【解答】解：（1）圆x2+y2=36的圆心为原点，半径为6．①当过点（6，2）的直线垂直于x轴时，此时直线斜率不存在，方程是x=6，因为圆心O（0，0）到直线的距离为d=6=r，所以直线x=6符合题意；②当过点（6，2）的直线不垂直于x轴时，设直线方程为y﹣2=k（x﹣6）即kx﹣y﹣6k+2=0∵直线是圆x2+y2=36的切线∴点O（0，0）到直线的距离为d==6，解之得k=﹣此时直线方程为4x+3y﹣30=0，∴切线方程为4x+3y﹣30=0或x=6．（2）直线斜率不存在，方程是x=m，AB=2，直线斜率存在，方程是y﹣2=k（x﹣m），即kx﹣y﹣mk+2=0点O（0，0）到直线的距离为d=∴（m2﹣d2）k2﹣4mk+4﹣d2=0，∴△=16m2﹣4（m2﹣d2）（4﹣d2）≥0，∴d2≤m2+4，∴AB≥2，综上，弦长AB的最小值记为I（m）=2，I（m）的最大值为8．【点评】借助于求过圆外一个定点的圆的切线方程的问题，考查了直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式等知识点，属于中档题．19．设（n∈N*，k∈R）（1）证明：k≤1是{a n}为递增数列的充分不必要条件；（2）若，求k的取值范围．【考点】数列的函数特性．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）a n+1﹣a n＞0，解得k＜，进而证明．（2），可得≥2k+1，利用数列的单调性即可得出．【解答】（1）证明：a n+1﹣a n=（n+1）2﹣2k（n+1）+6﹣[n2﹣2kn+6]=2n+1﹣2k＞0，解得k＜，∴k＜．∴k≤1是{a n}为递增数列的充分不必要条件；（2）解：∵，∴﹣2k≥1，即≥2k+1，∵≥5，∴2k+1≤5，∴k≤2．∴k的取值范围是k≤2．【点评】本题考查了数列的单调性、充要条件的判定、恒成立问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．已知椭圆M的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，过M上一点的直线l1，l2与椭圆M分别交于不同于P的另一点A，B，设l1，l2的斜率分别为k1，k2，且．（1）求椭圆M的方程；（2）直线AB是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．【专题】方程思想；转化思想；数形结合法；圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）设椭圆的标准方程为： =1（a＞b＞0）．由题意可得：，解出即可得出．（2）直线PA的方程为：，与椭圆方程联立可得：+x+﹣12k1﹣3=0，可得x A，y A．同理可得：x B，y B．直线AB的方程为：y﹣y A=（x﹣x A），令y=0，可得x为定值即可．【解答】解：（1）设椭圆的标准方程为： =1（a＞b＞0）．由题意可得：，解得a=2，b=，c=1．∴椭圆M的方程为．（2）直线PA的方程为：，联立，化为： +x+﹣12k1﹣3=0，∴x A=，y A==．同理可得直线PB的方程为：，同理可得：x B=，y B=．∴直线AB的方程为：y﹣y A=（x﹣x A），令y=0，化为：x==1．∴直线AB过定点（1，0）．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、直线的斜率计算公式与直线方程，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
易错汇总2015-2016年江苏省南京市高二上学期期末数学试卷(文科)与解析
7．（3 分）已知实数 x，y 满足
，则 z=x﹣2y 的最大值是 2 ．
【分析】 由约束条件作出可行域， 化目标函数为直线方程的斜截式， 数形结合得
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到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案． 【解答】 解：
化目标函数 z=x﹣2y 为
，
由图可知，当直线
过 A（2， 0）时，直线在 y 轴上的截距最小， z 有最大
成本组成，固定成本为 250 元，可变成本（单位：元）与速度 v 的立方成正
比，比例系数
，设全程的运输成本为 y 元．
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（ 1）求 y 关于 v 的函数关系； （ 2）为使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 19．（ 10 分）已知函数 f （x）=lnx． （ 1）若直线 y=2x+p（p∈R）是函数 y=f（x）图象的一条切线，求实数 p 的值； （ 2）若函数 g（ x） =x﹣ ﹣2f （x）（m∈ R）有两个极值点，求实数 m 的取值范
围． 20．（ 10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C： + =1（ m＞0）的离
心率为 ． （ 1）求 m 的值； （ 2）设点 A 为椭圆 C 的上顶点，问是否存在椭圆 C 的一条弦 AB，使直线 AB 与
圆（ x﹣ 1）2+y2=r2（ r＞0）相切，且切点 P 恰好为线段 AB 的中点？若存在， 其满足条件的所有直线 AB 的方程和对应的 r 的值？若不存在，说明理由．
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得 3a2+3a﹣2=0，解得： a=
，
（ i）∴ 0≤ a＜
时， f（ x）的最大值是 f（a），
焦点，且过点 C，D 的双曲线， 可得 C（c，2c），
江苏省南京市第二十九中学高二2020-2021学年第一学期12月数学月考试卷
2020-2021学年第一学期南京市第二十九中学12月月考高二数学 （时间：120分钟，满分：150分）一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分） 1．设n T 为等比数列{}n a 的前n 项之积，且16a =-，434a =-，则当n T 最大时，n 的值为（ ） A ．4B ．6C ．8D ．102．已知曲线C 的方程为221259x y k k +=--，给定下列两个命题：p ：若925k <<，则曲线C 为椭圆；q ：若曲线C 是焦点在x 轴上的双曲线，则9k <.那么，下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．()p q ∧⌝C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝3．已知511ax x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中的系数和为32，则该展开式中的常数项为（ ）. A ．40- B ．81 C ．80 D ．1214．在新冠病毒疫情爆发期间，口罩成为了个人的必需品.已知某药店有4种不同类型的口罩A ，B ，C ，D ，其中D 型口罩仅剩1只（其余3种库存足够）.今甲、乙等5人先后在该药店各购买了1只口罩，统计发现他们恰好购买了3种不同类型的口罩，则所有可能的购买方式共有（ ） A ．330种 B ．345种 C ．360种 D ．375种 5．若2021220210122021(12)x a a x a x a x -=++++，则1232021a a a a ++++=（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-6．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（ ） A ．每人都安排一项工作的不同方法数为54B ．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为4154A CC ．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为()3122352533C CC C A +D ．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是1232334333C C A C A +7．已知数列{}n a 满足()1131nn n a a n ++-=-，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则（ ）A ．2020S 是定值，12020a a +是定值B ．2020S 不是定值，12020a a +是定值C ．2020S 是定值，12020a a +不是定值D ．2020S 不是定值，12020a a +不是定值8．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过双曲线C 上任意一点P 分别作C 的两条渐近线的垂线，垂足分别为,,A B 8||||9PA PB ⋅=，12F F 等于3212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的常数项，则双曲线C 的离心率为( ) A ．3B ．3或324C ．324D ．22或324二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分）9．关于二项式622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式，下列结论错误的是（ ）A ．展开式所有的系数和为1B ．展开式二项式的系数和为32C ．展开式中不含3x 项D ．常数项为12010．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若31a =，135111214a a a ++=，则（ ）A ．{}n a 必是递减数列B ．5314S =C ．公比4q =或14D ．14a =或1411．在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品，从这100件产品中任意抽出3件，则( ) A ．抽出的3件中恰好有1件是不合格品的抽法有12298A C 种 B ．抽出的3件中恰好有1件是不合格品的抽法有1229821298+C C C C 种 C ．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有2212988129C C C C +种 D ．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有3310098C C -种12．已知球O 的直径4SD =，A 、B 、C 是球O 表面上的三个不同的点，30ASD BSD CSD ∠=∠=∠=︒，则（ ） A ．AB SD ⊥B ．线段AB 的最长长度为23C ．三棱锥S ABC -的体积最大值为3D ．过SA 作球的截面中，球心O 到截面距离的最大值为2 三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．在()2nx -的展开式中，只有第三项的二项式系数最大，则含x 项的系数等于__________.14．已知曲线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点F 与曲线C 2：22221x y a b-=（a ＞b ＞0）的右焦点重合，曲线Q 与曲线C 2交于A ，B 两点，曲线C 3：y 2＝﹣2px （p ＞0）与曲线C 2交于C ，D 两点，若四边形ABCD的面积为2p 2，则曲线C 2的离心率为 ．15．已知数列{}n a 的首项1a m =，其前n 项和为n S ，且满足2123n n S S n n ++=+，若数列{}n a 是递增数列，则实数m 的取值范围是_______． 16．若()()7280128112x x a a x a x a x +-=++++，则127a a a +++的值是_________；在上述展开式右边的九项中，随机任取不同的三项，假设这三项均不相邻，则有_________种不同的取法. 四、解答题（共6小题，共70分） 17．（10分）在①只有第6项的二项式系数最大，②第4项与第8项的二项式系数相等，③所有二项式系数的和为102，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题. 已知()123012321nn n x a a x a x a x a x -=++++⋅⋅⋅+（n *∈N ），若()21nx -的展开式中，______. （1）求n 的值；（2）求123n a a a a +++⋅⋅⋅+的值.18．（10分）已知f (x )＝142x + (x ∈R )，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是函数y ＝f (x )的图像上的两点，且线段P 1P 2的中点P 的横坐标是12. （1）求证：点P 的纵坐标是定值； （2）若数列{a n }的通项公式是a n ＝()*N ,1,2,3,,n f m n m m ⎛⎫∈=⋯⎪⎝⎭，求数列{a n }的前m 项和S m . 19．（12分）如图所示，四棱锥S ABCD -中，//AB CD ，AD DC ⊥，224CD AD AB ===，6SA SB SD ===.（1）求证：BC ⊥平面SBD ；（2）若点M 是线段SC 上的动点，平面MAB 与平面SBD 所成锐二面角的余弦值为5829，求AM .20．（12分）设数列{}n a 的前n 项和2n S n =，*n N ∈.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若存在*n N ∈，使不等式21232343451211111142n n n n n a a a a a a a a a a a a λ++⎛⎫++++≥+ ⎪⎝⎭成立，求实数λ的最大值.21．（14分）已知某健身房初始投资30万元，开业第一年运营成本为6万元，由于工人工资不断增加及设备维修等，以后每年运营成本增加2万元，假设该健身房每年的营业额为20万元，用数列{}n a 表示前n 年的纯收入（注：前n 年纯收入=前n 年营业额之和-前n 年运营成本-投资额）. （1）求该健身房前6年的纯收入；（2）求该健身房年平均利润的最大值；（3）当前n 年的纯收入最大时，该健身房拟用前n 年的纯收入的14重新装修，求此次装修的费用.22．（12分）如图所示，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，一条准线为直线2x =（1）求椭圆的标准方程；（2）A 为椭圆的左顶点，P 为平面内一点（不在坐标轴上），过点P 作不过原点的直线l 交椭圆于C ，D 两点（均不与点A 重合），直线AC ，AD 与直线OP 分别交于E ，F 两点，若OE OF =，证明：点P 在一条确定的直线上运动.参考答案1．A 2．C 3．B 4．C5．D 6．D 7．A 8．B 9．BCD 10．BD 11．ACD 12．AB 13．32-14． 15．15,44⎛⎫⎪⎝⎭16．125 3517．（1）选择条件①，若()21nx -的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则52n=，10n ∴=； 选择条件②，若()21nx -的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则37n n C C =，10n ∴=；选择条件③，若()21nx -的展开式中所有二项式系数的和为102，则1022n，10n ∴=；（2）由（1）知10n =，则()101231001231021x a a x a x a x a x -=++++⋅⋅⋅+， 令0x =，得01a =，令1x =-，则100123101012331a a a a a a a a a +=-+-+⋅⋅++⋅⋅⋅⋅++=+，101231031a a a a ∴+++⋅⋅⋅+=-.18．（1）证明：∵P 1P 2的中点P 的横坐标为12， ∴122x x +＝12，∴x 1＋x 2＝1. ∵P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是函数y ＝f (x )的图像上的两点，∴y 1＝1142+x ，y 2＝2142+x ∴y 1＋y 2＝1142+x ＋2142+x ＝121242424242()()+++++x x x x ＝12121244442444()++++++x x x x x x ＝121244442444()+++++x x x x＝12124442444()++++x x x x ＝12，∴点P 的纵坐标为122y y +＝14. ∴点P 的纵坐标是定值． （2）S m ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a m ＝f 1m ⎛⎫⎪⎝⎭＋f 2m ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋f 3m ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋…＋f m m ⎛⎫⎪⎝⎭＝f 1m ⎛⎫⎪⎝⎭＋f 2m ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋f 3m ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋…＋f 1m m -⎛⎫⎪⎝⎭＋f (1)． 令S ＝f 1m ⎛⎫⎪⎝⎭＋f 2m ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋f 3m ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋…＋f 1m m -⎛⎫⎪⎝⎭，①倒序得S ＝f 1m m -⎛⎫ ⎪⎝⎭＋f 2m m -⎛⎫ ⎪⎝⎭＋f 3m m -⎛⎫ ⎪⎝⎭＋…＋f 1m ⎛⎫⎪⎝⎭，②①＋②，得 2S ＝11m f f m m -⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＋[f 2m ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋ f 2m m -⎛⎫ ⎪⎝⎭]＋[f 3m ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋ f 3m m -⎛⎫ ⎪⎝⎭]＋…＋[f 1m m -⎛⎫ ⎪⎝⎭＋f 1m ⎛⎫ ⎪⎝⎭]． ∵k m ＋m km-＝1(k ＝1，2，3，…，m －1)， ∴由（1）知f k m ⎛⎫⎪⎝⎭＋f m k m -⎛⎫ ⎪⎝⎭＝12.∴2S ＝12 (m －1)，∴S ＝14 (m －1)． 又f (1)＝142+＝16， ∴S m ＝S ＋f (1)＝14(m －1)＋16＝3112m -19．（1）证明：因为//AB CD ，AD DC ⊥，2AB AD ==， 所以22BD =，22BC =，又因为4CD =，所以222CD BD BC =+，故BC BD ⊥， 取BD 的中点O ，连接OA ，OS ，因为6SA SB SD ===，所以SO BD ⊥，SOB SOA ≌△△，所以SO OA ⊥， 因为OAOB O =，所以SO ⊥平面ABCD ，所以BC SO ⊥，又因为SO BD O ⋂=，所以BC ⊥平面SBD .（2）如图，以A 为原点，分别以AD ，AB 和垂直平面ABCD 的方向 为x ，y ，z 轴正方向，建立空间直角坐标系A xyz -，则A (0，0，0)，B (0，2，0)，C (2，4，0)，D (2，0，0)，S (1，1，2)， 设CM CS λ=(01λ≤≤)，则()2,43,2M λλλ--， 由（1）得平面SBD 的一个法向量为()2,2,0BC =， 设(),,n x y z =为平面ABM 的一个法向量，()0,2,0AB =，()2,43,2AM λλλ=--由0,0,n AB n AM ⎧⋅=⎨⋅=⎩得()()20,24320,y x y z λλλ=⎧⎨-+-+=⎩不妨取()2,0,2n λλ=-.设平面SBD 与平面ABM 所成的二面角为θ，所以cos 2n BC n BCθ⋅====整体得2610λλ+-=，解得13λ=或12λ=-(舍去)， 所以52,3,33AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2593AM ==.20．（1）当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-.在2n S n =中，令1n =，则111a S ==，满足21n a n =-.故数列{}n a 的通项公式是21n a n =-，*n N ∈. （2）因为1211211114n n n n n n n a a a a a a a +++++⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 所以原式1223233411211111114n n n n a a a a a a a a a a a a +++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦22121211124246(21)(23)3(21)(23)n n n n n na a a a n n n n ++⎛⎫++=-== ⎪++++⎝⎭. 于是222113(21)(23)42n n n n n n λ+⎛⎫≥+ ⎪++⎝⎭，即存在*n N ∈，使43(21)(23)n n λ≤++成立.而()2(21)(23)4+11n n n ++=-，*n N ∈，所以(21)(23)(211)(213)15n n ++≥⨯+⨯+=，所以443(21)(23)45n n ≤++，所以max443(21)(23)45n n λ⎡⎤≤=⎢⎥++⎣⎦.故实数λ的最大值是445.21．（1）由题可知，每年的运营成本构成首项为6，公差为2的等差数列， 则2(1)20[62]3015302n n n a n n n n -=-+⨯-=-+-， 所以2661563024a =-+⨯-=，故该健身房前6年的纯收入为24万元.（2）该健身前n 年的平均利润为3015()n a n n n=-+，易知30n n +≥，当且仅当30n n=，即n = 由于*n N ∈，所以当5n =或6时，min 30()11n n+=， 此时max min 30()15()4n a n n n=-+=，故该健身房年平均利润的最大值为4万元. （3）由（1）可得22*151051530()()24n a n n n n =-+-=--+∈N ， 所以当7n =或8时，n a 取得最大值，且7826a a ==， 故重新装修的费用为1132642⨯=（万元）.22．（1）设圆的焦距为2c .因为椭圆的离心率为2，一条准线为直线x =，所以2c e a ==，2a c =21a =，212c =，从而22212b a c =-=.所以椭圆的标准方程为2221x y +=.（2）因为点P 不在坐标轴上，所以直线OP 的斜率存在且不为0. 设直线CD 的方程为y mx n =+，直线EF 的方程为y kx =， 设点()11,C x mx n +，点()22,D x mx n +，点()00,P x y ， 由题设知()1,0A -.因为点A 、C 不重合，所以直线AC 的方程为11(1)1mx ny x x +=++. 联立11(1)1mx n y x x y kx+⎧=+⎪+⎨⎪=⎩，可得点E 的横坐标11()E mx n x k m x k n +=-+-. 同理可得点F 的横坐标22()F mx nx k m x k n+=-+-.因为OE OF =，所以0E F x x +=，整理得()12122()(2)2()0m k m x x mk nk mn x x n k n -++-++-=（*）联立2221y mx n x y =+⎧⎨+=⎩，可得()222214210m x mnx n +++-=. 所以()2242210m n ∆=-+>，122421mn x x m -+=+，21222121n x x m -=-+， 代入（*）式，有()()222()21(2)4221()0m k m n mk nk mn mn n m k n ---+-⋅++-=， 整理得()()0n m n m k -+-=.因为直线CD 不过点A ，所以0n m -≠，因而0n m k +-=.联立y mx ny kx =+⎧⎨=⎩，可得0()k m x n -=.因为直线CD 不过原点，所以0n ≠，因而0k m -≠. 所以01nx k m==-，因而点P 在直线1x =上运动。
江苏南京市第二十九中学(高中部)复数测试题百度文库
一、复数选择题1．若()211z i =-，21z i =+，则12z z 等于（ ） A ．1i +B ．1i -+C ．1i -D ．1i -- 2．设复数1i z i =+，则z 的虚部是（ ） A ．12 B ．12i C ．12- D ．12i - 3．复数()1z i i =⋅+在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．若复数()()24z i i =--，则z =（ ）A ．76i --B ．76-+iC ．76i -D ．76i + 5．已知复数z 满足()311z i i +=-，则复数z 对应的点在（ ）上A ．直线12y x =-B ．直线12y x =C ．直线12x =-D ．直线12y 6．复数312i z i =-的虚部是（ ） A ．65i - B ．35i C ．35 D ．65- 7．复数z 满足12i z i ⋅=-，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅=（ ）ABC ．3D ．58．已知i 是虚数单位，则复数41i i +在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 9．已知i 为虚数单位，复数12i 1i z +=-，则复数z 在复平面上的对应点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 10．已知复数1z i i =+-（i 为虚数单位），则z =（ ）A ．1B．i Ci Di 11．若复数z 满足421i z i +=+，则z =（ ） A ．13i +B ．13i -C ．3i +D ．3i - 12．若复数2i 1i a -+（a ∈R ）为纯虚数，则1i a -=（ ） ABC ．3D ．513．复数z 对应的向量OZ 与(3,4)a =共线，对应的点在第三象限，且10z =，则z =（ ）A ．68i +B ．68i -C ．68i --D ．68i -+14．设复数202011i z i+=-（其中i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点所在象限为（ ）A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限15．设复数满足(12)i z i +=，则||z =（ ）A ．15BCD ．5二、多选题16．已知复数Z 在复平面上对应的向量(1,2),OZ =-则（ ）A ．z =-1+2iB ．|z |=5C ．12z i =+D ．5z z ⋅=17．已知复数cos sin 22z i ππθθθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位）下列说法正确的是（ ）A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．z 可能为实数C ．1z =D ．1z的虚部为sin θ 18．若复数351i z i-=-，则（ ）A ．z =B ．z 的实部与虚部之差为3C ．4z i =+D ．z 在复平面内对应的点位于第四象限19．已知复数z 满足220z z +=，则z 可能为（ ）A ．0B ．2-C ．2iD ．2i - 20．已知复数1cos 2sin 222z i ππθθθ⎛⎫=++-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位），则（ ） A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．z 可能为实数C ．2cos z θ=D ．1z 的实部为12- 21．已知i 为虚数单位，复数322i z i+=-，则以下真命题的是（ ）A ．z 的共轭复数为4755i - B ．z 的虚部为75i C ．3z = D ．z 在复平面内对应的点在第一象限22．设i 为虚数单位，复数()(12)z a i i =++，则下列命题正确的是（ ）A ．若z 为纯虚数，则实数a 的值为2B ．若z 在复平面内对应的点在第三象限，则实数a 的取值范围是(,)122- C ．实数12a =-是z z =（z 为z 的共轭复数）的充要条件 D ．若||5()z z x i x R +=+∈，则实数a 的值为223．已知复数12z =-+（其中i 为虚数单位），则以下结论正确的是（ ） A ．20zB ．2z z =C ．31z =D ．1z = 24．已知复数z 满足（1﹣i ）z ＝2i ，则下列关于复数z 的结论正确的是（ ）A ．||z =B ．复数z 的共轭复数为z ＝﹣1﹣iC ．复平面内表示复数z 的点位于第二象限D ．复数z 是方程x 2+2x +2＝0的一个根25．已知复数12ω=-，其中i 是虚数单位，则下列结论正确的是（ ）A ．1ω=B ．2ω的虚部为C ．31ω=-D ．1ω在复平面内对应的点在第四象限 26．以下为真命题的是（ ）A ．纯虚数z 的共轭复数等于z -B ．若120z z +=，则12z z =C ．若12z z +∈R ，则1z 与2z 互为共轭复数D ．若120z z -=，则1z 与2z 互为共轭复数27．下面四个命题，其中错误的命题是（ ）A ．0比i -大B ．两个复数当且仅当其和为实数时互为共轭复数C ．1x yi i +=+的充要条件为1x y ==D ．任何纯虚数的平方都是负实数28．对于复数(,)z a bi a b R =+∈，下列结论错误．．的是（ ）. A ．若0a =，则a bi +为纯虚数 B ．若32a bi i -=+，则3,2a b ==C ．若0b =，则a bi +为实数D ．纯虚数z 的共轭复数是z - 29．设()()2225322z t t t t i =+-+++，t ∈R ，i 为虚数单位，则以下结论正确的是（ ）A ．z 对应的点在第一象限B ．z 一定不为纯虚数C ．z 一定不为实数D ．z 对应的点在实轴的下方30．设复数z 满足12z i =--,i 为虚数单位,则下列命题正确的是( ) A．|z |=B ．复数z 在复平面内对应的点在第四象限C ．z 的共轭复数为12i -+D ．复数z 在复平面内对应的点在直线2y x =-上【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、复数选择题1．D【分析】由复数的运算法则计算即可.【详解】解：，.故选：D.解析：D【分析】由复数的运算法则计算即可.【详解】解：()2211122z i i i i =-=-+=-， ()()212222(1)2222111112z i i i i i i i z i i i i --⨯--+--∴=====--++--. 故选：D.2．A【分析】根据复数除法运算整理得到，根据虚部定义可得到结果.【详解】，的虚部为.故选：.解析：A【分析】根据复数除法运算整理得到z ，根据虚部定义可得到结果.【详解】()()()1111111222i i i i z i i i i -+====+++-，z ∴的虚部为12. 故选：A .3．B【分析】先利用复数的乘法化简复数z ，再利用复数的几何意义求解.【详解】因为复数，所以在复数z 复平面上对应的点位于第二象限故选：B解析：B【分析】先利用复数的乘法化简复数z ，再利用复数的几何意义求解.【详解】因为复数()11z i i i =⋅+=-+，所以在复数z 复平面上对应的点位于第二象限故选：B4．D【分析】由复数乘法运算求得，根据共轭复数定义可求得结果.【详解】，.故选：.解析：D【分析】由复数乘法运算求得z ，根据共轭复数定义可求得结果.【详解】()()2248676z i i i i i =--=-+=-，76z i ∴=+.故选：D .5．C【分析】利用复数的乘法和除法运算求得复数z 的标准形式，得到对应点的坐标，然后验证即可.【详解】解：因为，所以复数对应的点是，所以在直线上.故选：C.【点睛】本题考查复数的乘方和除法运解析：C【分析】利用复数的乘法和除法运算求得复数z 的标准形式，得到对应点的坐标，然后验证即可.【详解】 解：因为33111(1)1(1)2(1)2i i z i i z i i --+=-⇔===-+-，所以复数z 对应的点是1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以在直线12x =-上. 故选：C.【点睛】本题考查复数的乘方和除法运算，复数的坐标表示，属基础题.注意：()()()()()3211i 12121i i i i i +=++=-+=-. 6．C 【分析】由复数除法法则计算出后可得其虚部．【详解】因为，所以复数z 的虚部是．故选：C ．解析：C【分析】由复数除法法则计算出z 后可得其虚部．【详解】 因为33(12)366312(12)(12)555i i i i i i i i +-===-+--+， 所以复数z 的虚部是35． 故选：C ．7．D【分析】求出复数，然后由乘法法则计算．【详解】由题意，．故选：D ．解析：D【分析】求出复数z ，然后由乘法法则计算z z ⋅．【详解】 由题意12122i z i i i-==-+=--， 22(2)(2)(2)5z z i i i ⋅=---+=--=．故选：D ．8．A【分析】利用复数的乘除运算化简复数的代数形式，得到其对应坐标即知所在象限.【详解】，所以复数对应的坐标为在第一象限，故选：A解析：A【分析】利用复数的乘除运算化简复数的代数形式，得到其对应坐标即知所在象限.【详解】44(1)2(1)12i i i i i -==++，所以复数对应的坐标为(2,2)在第一象限， 故选：A9．C【分析】利用复数的除法法则化简，再求的共轭复数，即可得出结果.【详解】因为，所以，所以复数在复平面上的对应点位于第三象限，故选：C.解析：C【分析】利用复数的除法法则化简z ，再求z 的共轭复数，即可得出结果.【详解】 因为212(12)(1)11i i i z i i +++==-- 1322i =-+，所以1322z i =--， 所以复数z 在复平面上的对应点13(,)22--位于第三象限，故选：C.10．D【分析】先对化简，求出，从而可求出【详解】解：因为，所以，故选：D解析：D【分析】 先对1z i i =+-化简，求出z ，从而可求出z【详解】解：因为1z i i i i =+-==，所以z i =，故选：D 11．C【分析】首先根据复数的四则运算求出，然后根据共轭复数的概念求出.【详解】，故.故选：C.解析：C【分析】首先根据复数的四则运算求出z ，然后根据共轭复数的概念求出z .【详解】()()()()421426231112i i i i z i i i i +-+-====-++-，故3z i =+. 故选：C.12．B【分析】把给出的复数化简，然后由实部等于0，虚部不等于0求解a 的值，最后代入模的公式求模.【详解】由复数（）为纯虚数，则 ，则所以故选：B解析：B【分析】把给出的复数化简，然后由实部等于0，虚部不等于0求解a 的值，最后代入模的公式求模.【详解】 由()()()()()()21i 2221112a i a a i a i i i i ----+-==++- 复数2i 1i a -+（a ∈R ）为纯虚数，则202202a a -⎧=⎪⎪⎨+⎪≠⎪⎩ ，则2a =所以112ai i -=-=故选：B13．D【分析】设，根据复数对应的向量与共线，得到，再结合求解.【详解】设，则复数对应的向量，因为向量与共线，所以，又，所以，解得或，因为复数对应的点在第三象限，所以，所以，，解析：D【分析】设(,)z a bi a R b R =+∈∈，根据复数z 对应的向量OZ 与(3,4)a =共线，得到43a b =，再结合10z =求解.【详解】设(,)z a bi a R b R =+∈∈，则复数z 对应的向量(),OZ a b =，因为向量OZ 与(3,4)a =共线，所以43a b =， 又10z =，所以22100+=a b ，解得68a b =-⎧⎨=-⎩或68a b =⎧⎨=⎩， 因为复数z 对应的点在第三象限，所以68a b =-⎧⎨=-⎩， 所以68z i =--，68z i =-+，故选：D14．A【分析】根据复数的运算，先将化简，求出，再由复数的几何意义，即可得出结果.【详解】因为，所以，其在复平面内对应的点为，位于第四象限.故选：A.解析：A【分析】根据复数的运算，先将z 化简，求出z ，再由复数的几何意义，即可得出结果.【详解】 因为()()()()4202050550512111121111111i i i z i i i i i i i ++++======+-----+， 所以1z i =-，其在复平面内对应的点为()1,1-，位于第四象限.故选：A.15．B【分析】利用复数除法运算求得，再求得.【详解】依题意，所以.故选：B解析：B【分析】利用复数除法运算求得z ，再求得z .【详解】 依题意()()()12221121212555i i i i z i i i i -+====+++-，所以5z == 故选：B二、多选题16．AD【分析】因为复数Z 在复平面上对应的向量，得到复数，再逐项判断.【详解】因为复数Z 在复平面上对应的向量，所以，，|z|=，，故选：AD解析：AD【分析】因为复数Z 在复平面上对应的向量(1,2)OZ =-，得到复数12z i =-+，再逐项判断.【详解】因为复数Z 在复平面上对应的向量(1,2)OZ =-，所以12z i =-+，12z i =--，|z 5z z ⋅=，故选：AD17．BC【分析】分、、三种情况讨论，可判断AB 选项的正误；利用复数的模长公式可判断C 选项的正误；化简复数，利用复数的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于AB 选项，当时，，，此时复数在复平面内的点解析：BC【分析】 分02θπ-<<、0θ=、02πθ<<三种情况讨论，可判断AB 选项的正误；利用复数的模长公式可判断C 选项的正误；化简复数1z ，利用复数的概念可判断D 选项的正误. 【详解】对于AB 选项，当02θπ-<<时，cos 0θ>，sin 0θ<，此时复数z 在复平面内的点在第四象限；当0θ=时，1z R =-∈； 当02πθ<<时，cos 0θ>，sin 0θ>，此时复数z 在复平面内的点在第一象限.A 选项错误，B 选项正确；对于C 选项，1z ==，C 选项正确；对于D 选项，()()11cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin i i z i i i θθθθθθθθθθ-===-++⋅-， 所以，复数1z的虚部为sin θ-，D 选项错误. 故选：BC. 18．AD【分析】根据复数的运算先求出复数z ，再根据定义、模、几何意义即可求出.【详解】解：，，z 的实部为4，虚部为，则相差5，z 对应的坐标为，故z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以AD 正解析：AD【分析】根据复数的运算先求出复数z ，再根据定义、模、几何意义即可求出.【详解】 解：()()()()351358241112i i i i z i i i i -+--====---+，z ∴==z 的实部为4，虚部为1-，则相差5，z 对应的坐标为()41-,，故z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以AD 正确， 故选：AD.19．ACD【分析】令代入已知等式，列方程组求解即可知的可能值.【详解】令代入，得：，∴，解得或或∴或或．故选：ACD【点睛】本题考查了已知等量关系求复数，属于简单题.解析：ACD【分析】令z a bi =+代入已知等式，列方程组求解即可知z 的可能值.【详解】令z a bi =+代入22||0z z +=，得：2220a b abi -+=，∴22020a b ab ⎧⎪-+=⎨=⎪⎩，解得0,0a b =⎧⎨=⎩或0,2a b =⎧⎨=⎩或0,2,a b =⎧⎨=-⎩ ∴0z =或2z i =或2z i =-．故选：ACD【点睛】本题考查了已知等量关系求复数，属于简单题.20．BC【分析】由可得，得，可判断A 选项，当虚部，时，可判断B 选项，由复数的模计算和余弦的二倍角公式可判断C 选项，由复数的运算得，的实部是，可判断D 选项.【详解】因为，所以，所以，所以，所以A 选解析：BC【分析】 由22ππθ-<<可得2πθπ-<<，得01cos22θ<+≤，可判断A 选项，当虚部sin 20θ=，,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，可判断B 选项，由复数的模计算和余弦的二倍角公式可判断C 选项，由复数的运算得11cos 2sin 212cos 2i z θθθ+-=+，1z 的实部是1cos 2122cos 22θθ+=+，可判断D 选项.【详解】 因为22ππθ-<<，所以2πθπ-<<，所以1cos21θ-<≤，所以01cos22θ<+≤，所以A 选项错误；当sin 20θ=，,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，复数z 是实数，故B 选项正确；2cos z θ===，故C 选项正确：()()111cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 212cos 2i i z i i i θθθθθθθθθθθ+-+-===+++++-+，1z 的实部是1cos 2122cos 22θθ+=+，故D 不正确. 故选：BC【点睛】本题主要考查复数的概念，复数模的计算，复数的运算，以及三角恒等变换的应用，属于中档题.21．AD【分析】先利用复数的除法、乘法计算出，再逐项判断后可得正确的选项.【详解】，故，故A 正确.的虚部为，故B 错，，故C 错，在复平面内对应的点为，故D 正确.故选：AD.【点睛】本题考解析：AD【分析】先利用复数的除法、乘法计算出z ，再逐项判断后可得正确的选项. 【详解】()()32232474725555i i i i i z i ++++====+-，故4755i z =-，故A 正确.z 的虚部为75，故B 错，355z ==≠，故C 错， z 在复平面内对应的点为47,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，故D 正确. 故选：AD.【点睛】本题考查复数的概念、复数的运算以及复数的几何意义，注意复数(),z a bi a b R =+∈的虚部为b ，不是bi ，另外复数的除法运算是分子分母同乘以分母的共轭复数.22．ACD【分析】首先应用复数的乘法得，再根据纯虚数概念、复数所在象限，以及与共轭复数或另一个复数相等，求参数的值或范围，进而可确定选项的正误【详解】∴选项A ：为纯虚数，有可得，故正确选项B解析：ACD【分析】首先应用复数的乘法得2(12)z a a i =-++，再根据纯虚数概念、复数所在象限，以及与共轭复数或另一个复数相等，求参数的值或范围，进而可确定选项的正误【详解】()(12)2(12)z a i i a a i =++=-++∴选项A ：z 为纯虚数，有20120a a -=⎧⎨+≠⎩可得2a =，故正确 选项B ：z 在复平面内对应的点在第三象限，有20120a a -<⎧⎨+<⎩解得12a <-，故错误 选项C ：12a =-时，52z z ==-；z z =时，120a +=即12a =-，它们互为充要条件，故正确 选项D ：||5()z z x i x R +=+∈时，有125a +=，即2a =，故正确故选：ACD【点睛】本题考查了复数的运算及分类和概念，应用复数乘法运算求得复数，再根据复数的概念及性质、相等关系等确定参数的值或范围23．BCD【分析】利用复数的运算法则直接求解．【详解】解：复数（其中为虚数单位），，故错误；，故正确；，故正确；．故正确．故选：．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查复数的运算法则【分析】利用复数的运算法则直接求解．【详解】解：复数12z =-（其中i 为虚数单位），2131442z ∴=-=--，故A 错误； 2z z ∴=，故B 正确；31113()()12244z =--+=+=，故C 正确；||1z ==．故D 正确． 故选：BCD ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．24．ABCD【分析】利用复数的除法运算求出，再根据复数的模长公式求出，可知正确；根据共轭复数的概念求出，可知正确；根据复数的几何意义可知正确；将代入方程成立，可知正确.【详解】因为（1﹣i ）z ＝解析：ABCD【分析】利用复数的除法运算求出1z i =-+，再根据复数的模长公式求出||z ，可知A 正确；根据共轭复数的概念求出z ，可知B 正确；根据复数的几何意义可知C 正确；将z 代入方程成立，可知D 正确.【详解】因为（1﹣i ）z ＝2i ，所以21i z i =-2(1)221(1)(1)2i i i i i i +-+===-+-+，所以||z ==A 正确； 所以1i z =--，故B 正确；由1z i =-+知，复数z 对应的点为(1,1)-，它在第二象限，故C 正确；因为2(1)2(1)2i i -++-++22220i i =--++=，所以D 正确.故选：ABCD.本题考查了复数的除法运算，考查了复数的模长公式，考查了复数的几何意义，属于基础题.25．AB【分析】求得、的虚部、、对应点所在的象限，由此判断正确选项.【详解】依题意，所以A 选项正确；，虚部为，所以B 选项正确；，所以C 选项错误；，对应点为，在第三象限，故D 选项错误.故选解析：AB【分析】 求得ω、2ω的虚部、3ω、1ω对应点所在的象限，由此判断正确选项.【详解】依题意1ω==，所以A 选项正确；2211312242422ω⎛⎫=-+=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭，虚部为，所以B 选项正确；22321111222222ωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎛⎫=⋅=--⋅-+=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以C 选项错误；2211112222122222ω---====--⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，对应点为1,2⎛- ⎝⎭，在第三象限，故D 选项错误. 故选：AB【点睛】本小题主要考查复数的概念和运算，考查复数对应点所在象限，属于基础题.26．AD【分析】根据纯虚数的概念即可判断A 选项；根据实数、复数的运算、以及共轭复数的定义即可判断BCD 选项.【详解】解：对于A ，若为纯虚数，可设，则，即纯虚数的共轭复数等于，故A 正确；对于B解析：AD【分析】根据纯虚数的概念即可判断A 选项；根据实数、复数的运算、以及共轭复数的定义即可判断BCD 选项.【详解】解：对于A ，若z 为纯虚数，可设()0z bi b =≠，则z bi z =-=-，即纯虚数z 的共轭复数等于z -，故A 正确；对于B ，由120z z +=，得出12z z =-，可设11z i =+，则21z i =--， 则21z i =-+，此时12z z ≠，故B 错误；对于C ，设12,z a bi z c di =+=+，则()()12a c b d i R z z =++++∈，则0b d +=， 但,a c 不一定相等，所以1z 与2z 不一定互为共轭复数，故C 错误；对于D ，120z z -=，则12z z =，则1z 与2z 互为共轭复数，故D 正确.故选：AD.【点睛】本题考查与复数有关的命题的真假性，考查复数的基本概念和运算，涉及实数、纯虚数和共轭复数的定义，属于基础题. 27．ABC【分析】根据虚数不能比大小可判断A 选项的正误；利用特殊值法可判断B 选项的正误；利用特殊值法可判断C 选项的正误；利用复数的运算可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，由于虚数不能比大小，解析：ABC【分析】根据虚数不能比大小可判断A 选项的正误；利用特殊值法可判断B 选项的正误；利用特殊值法可判断C 选项的正误；利用复数的运算可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，由于虚数不能比大小，A 选项错误；对于B 选项，()()123i i ++-=，但1i +与2i -不互为共轭复数，B 选项错误； 对于C 选项，由于1x yi i +=+，且x 、y 不一定是实数，若取x i =，y i =-，则1x yi i +=+，C 选项错误；对于D 选项，任取纯虚数()0,ai a a R ≠∈，则()220ai a =-<，D 选项正确. 故选：ABC.【点睛】本题考查复数相关命题真假的判断，涉及共轭复数的概念、复数相等以及复数的计算，属于基础题.28．AB【分析】由复数的代数形式的运算，逐个选项验证可得．【详解】解：因为当且时复数为纯虚数，此时，故A 错误，D 正确；当时，复数为实数，故C 正确；对于B ：，则即，故B 错误；故错误的有AB解析：AB【分析】由复数的代数形式的运算，逐个选项验证可得．【详解】解：因为(,)z a bi a b R =+∈当0a =且0b ≠时复数为纯虚数，此时z bi z =-=-，故A 错误，D 正确；当0b =时，复数为实数，故C 正确；对于B ：32a bi i -=+，则32a b =⎧⎨-=⎩即32a b =⎧⎨=-⎩，故B 错误； 故错误的有AB ；故选：AB【点睛】本题考查复数的代数形式及几何意义，属于基础题．29．CD【分析】利用配方法得出复数的实部和虚部的取值范围，结合复数的概念和几何意义可判断出各选项的正误，由此可得出结论.【详解】，，所以，复数对应的点可能在第一象限，也可能在第二象限，故A 错误 解析：CD【分析】利用配方法得出复数z 的实部和虚部的取值范围，结合复数的概念和几何意义可判断出各选项的正误，由此可得出结论.【详解】22549492532488t t t ⎛+⎫= ⎪⎝⎭+-->-，()2222110t t t ++=++>， 所以，复数z 对应的点可能在第一象限，也可能在第二象限，故A 错误；当222530220t t t t ⎧+-=⎨++≠⎩，即3t =-或12t =时，z 为纯虚数，故B 错误； 因为2220t t ++>恒成立，所以z 一定不为实数，故C 正确；由选项A 的分析知，z 对应的点在实轴的上方，所以z 对应的点在实轴的下方，故D 正确. 故选：CD.【点睛】本题考查复数的几何意义与复数的概念相关命题真假的判断，解题的关键就是求出复数虚部和实部的取值范围，考查计算能力与推理能力，属于中等题.30．AC【分析】根据复数的模、复数对应点的坐标、共轭复数等知识，选出正确选项.【详解】,A 正确;复数z 在复平面内对应的点的坐标为,在第三象限,B 不正确;z 的共轭复数为,C 正确;复数z 在复平面内对解析：AC【分析】根据复数的模、复数对应点的坐标、共轭复数等知识，选出正确选项.【详解】||z ==A 正确;复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)--,在第三象限,B 不正确;z 的共轭复数为12i -+,C 正确;复数z 在复平面内对应的点(1,2)--不在直线2y x =-上,D 不正确.故选:AC【点睛】本小题主要考查复数的有关知识，属于基础题.。
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南京市第二十九中学2015-2016学年度上高二12月学情检测数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1．命题“,sin x R x x ∀∈>”的否定是 ． 答案：,sin x R x x ∃∈≤．2．“70,J 90T ≠≠”是“160T J +≠”的 条件． （填充分不必要、必要不充分，充要、既不充分又不必要之一） 答案：充分不必要．3．（理）下列四个命题中真命题的序号是 ．①若存在实数,x y ，使p xa yb =+，则P 与,a b 共面； ②若P 与,a b 共面，则存在实数,x y ，使p xa yb =+ ；③若存在实数,x y ，使MP xMA yMB =+，则,,A,B P M 共面； ④若,,A,B P M 共面，则存在实数,x y ，使MP xMA yMB =+．答案：①正确；②错，若,a b 共线，P 不与,a b 共线，则不存在实数,x y ，使p xa yb =+；③正确；④错，若,MA MB 共线，MP 不与,MA MB共线，则不存在实数,x y ，使MP x MA y MB=+． （文）下列四个命题中真命题的序号是 ． ①54≥ ②函数()32f x x x =+是增函数，且值域是R;④方程220x -= 答案：①③．4．（理）若点()()2,5,1,1,4,2,C(3,3,)A B m n -----+-在同一条直线上，则m n += ．答案：4．解析：三点在同一条直线上即向量,AB BC共线， ()3,1,1AB =-- ，()4,1,2BC m n =++ ，则42131m n ++==--，解得7,3m n ==-，m n +=4． （文）函数()2f x x =在区间[]6,4--的平均变化率是 ．答案：函数()f x 的平均变化率是()()()46163610462f f y x ----===---- ．5．过点()2,4的直线与抛物线28y x =只有一个公共点，这样的直线有 条 ． 答案：2条解析：点()2,4在抛物线28y x =上，故有两条直线，一条平行于x 轴，一条是抛物线的切线．延伸与拓展：1．过定点P (0,2)作直线l ，使l 与抛物线y 2＝4x 有且只有一个公共点，这样的直线l 共有___条．解析：如图，过点P 与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点的直线有三条：二条切线、一条与x 轴平行的直线． 答案：3．2．直线l ：y ＝k (x －1)与椭圆x 23＋y 24＝1的交点个数为________． 解析：∵直线l 恒过点(1,0)，而点(1,0)在椭圆的内部． ∴直线与椭圆恒有两个交点． 答案：2．3．若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2有公共点，则b 的取值范围是__________． 答案 [1－22，3] ．解析 曲线方程可化简为(x －2)2＋(y －3)2＝4 (1≤y ≤3)，即表示圆心为(2,3)，半径为2的半圆，依据数形结合，当直线y ＝x ＋b 与此半圆相切时需满足圆心(2,3)到直线y ＝x ＋b 距离等于2，解得b ＝1＋22或b ＝1－22，因为是下半圆，故可得b ＝1＋22(舍)，当直线过(0,3)时，解得b ＝3，故1－22≤b ≤3.6．已知双曲线2217x y m -=，直线l 过其左焦点1F ，交双曲线左支于,A B 两点，且4AB =。
2F 为双曲线的右焦点，2ABF 的周长为20，则m 的值为__________．答案：9．解析：解析：由已知，|AB|+|AF2|+|BF2|=20，又|AB|=4，则|AF2|+|BF2|=16．据双曲线定义，2a=|AF2|﹣|AF1|=|BF2|﹣|BF1|，所以4a=|AF2|+|BF2|﹣（|AF1|+|BF1|）=16﹣4=12，即a=3，所以m=a2=9，延伸与拓展：1．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的焦点分别为F1、F2，过F1作直线交双曲线的左支于A、B两点，且|AB|=m，则△ABF2的周长为__________．答案：4a+2m．解析：如图，由双曲线的定义可得，|AF2|﹣|AF1|=2a，|BF2|﹣|BF1|=2a，两式相加得：|AF2|+|BF2|=4a+|AF1|+|BF1|=4a+m，∴△ABF2的周长为|AF2|+|BF2|+|AB|=4a+2m．故答案为：4a+2m．2．过双曲线左焦点F1的直线交双曲线的左支于M，N两点，F2为其右焦点，则|MF2|+|NF2|﹣|MN|的值为__________．答案：16．解析：根据双曲线定义有|MF2|﹣|MF|=2a，|NF2|﹣|NF|=2a，两式相加得|MF2|+|NF2|﹣|MN|=4a=16．故答案为：16．3．已知双曲线=1的左右焦点分别为F1，F2，过右焦点F2的直线交双曲线的右支于两点A、B，且有|AF1|+|BF1|=2|AB|，若△ABF1的周长为12，则双曲线的离心率为____．答案：2．解析：由双曲线的定义可得|AF1|﹣|AF2|=|BF1|﹣|BF2|=2a，可设|AF2|=m，|BF2|=n，则|AF1|=2a+m，|BF1|=2a+n，|AB|=|AF2|+|BF2|=m+n，由于|AF1|+|BF1|=2|AB|，即有4a+|AB|=2|AB|，则|AB|=4a，由△ABF1的周长为12，则有|AF1|+|BF1|+|AB|=12，3|AB|=12，即12a=12，解得a=1．则c===2，则e==2．7．设球半径以2cm/s的速度膨胀，当半径为5cm时，体积对时间的变化率是__________．答案：200π．解析：∵球体积V=πR3，∴=4πR2当R=5cm时=4×π×25×2=200πcm3/s故答案为：200πcm3/s．延伸与拓展：1．半径为1cm的球的半径以2cm/s的速度向外扩张，当半径为9cm时，球的表面积增加的速度为cm2/s．答案：144π．解析：根据球表面积S=4πR2得：=8πR×，其中=2，当半径R=9cm 时，=8π×9×2=144πcm 2/s 故答案为：144π．8．曲线()()()()123f x x x x x =---在2x =处的切线斜率是__________． 答案：-2．解析：()()()()()()()()()()123231312f x x x x x x x x x x x x x =---+--+--+--， 则()22k f==-，．9．函数()322331y x ax a a x a =+++-+在1x =-时取得极值，则a =__________．答案：1，2．解析：223631y x ax a a =+++-，，()2136310y a a a -=-++-=，，解得1a =，2a =．10．函数()x e f x x=的单调减区间是__________．答案：()(),0,0,1-∞．解析：()()2210xx x e x e x e f x x x--==<，，解得()(),0,0,1-∞． 11．若椭圆221369x y +=的弦被点()4,2平分，则此弦所在直线的斜率为__________． 答案：﹣．解析：设弦的两个端点为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则+=1，①，+=1，②．①﹣②得：=﹣．∵点（1，2）是弦的中点∴x1+x2=8，y1+y2=4，∴k==﹣．故答案是﹣．【点评】本题考查了直线和圆锥曲线的关系，涉及弦中点问题，常采用“点差法”．延伸与拓展：已知椭圆．（1）求过点且被点P平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过点A（2，1）引直线与椭圆交于B、C两点，求截得的弦BC中点的轨迹方程．解析：（1）设过点且被点P平分的弦与椭圆交与A（x1，y1），B（x2，y2）点，则=，=∵A，B在椭圆上，∴①②②﹣①得，+（y2﹣y1）=0，=﹣即，弦AB的斜率为﹣∴方程为y﹣=﹣（x﹣）即（2）设斜率为2的平行弦的中点坐标为（x，y），则根据中点弦的斜率公式，有﹣=2（3）当过点A（2，1）引的直线斜率存在时，设方程为y﹣1=k（x﹣2），代入椭圆方程，消y，得（+k2）x2+2（1﹣2k）kx+4k2﹣4k=0∴x1+x2=，y1+y2=，设弦BC中点坐标为（x，y），则x==，y==，∴=﹣2k 又∵k=，∴，整理得x 2﹣2x+2y 2﹣2y=0当过点A （2，1）引的直线斜率不存在时，方程为x=2，与椭圆无交点 ∴所求弦BC 中点的轨迹方程为x 2﹣2x+2y 2﹣2y=0（﹣≤x≤）．【点评】本题主要考查了点差法求中点弦的斜率．12．已知点()2,0N ，圆()22:236M x y ++=，点A 是圆M 上一个动点，线段AN 的垂直平分线交AM 于点P ,则点P 的轨迹方程是__________．答案：22195x y +=． 解析：由已知，得|PN|=|PA|，所以|PN|+|PM|=|PA|+|PM|=|MA|=6又|MN|=4，4＜6，根据椭圆的定义，点P 的轨迹是M ，N 为焦点，以3为实轴长的椭圆，所以2a=6，2c=4，所以b =P 的轨迹方程为：22195x y +=． 故答案为：22195x y +=．13．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过右焦点F 且斜率为()0k k >的直线与椭圆C 相交于,A B 两点．若2AF FB =，则k =__________．答案：解析：设l 为椭圆的右准线，过A 、B 作AA 1，BB 1垂直于l ，A 1，B 1为垂足， 过B 作BE⊥AA 1于E ，根据椭圆的第二定义，得 |AA 1|=，|BB 1|=，∵=2，∴cos∠BAE====，∴tan∠BAE=．∴k=．延伸与拓展：1．已知过椭圆的右焦点F 斜率是1的直线交椭圆于A 、B 两点，若，则椭圆的离心率是__________．答案：解析：右焦点F （c ，0），直线的方程为 y ﹣0=x ﹣c ． 设 A （m ，m ﹣c ），B （ n ，n ﹣c ）， 由得 （c ﹣m ，c ﹣m ）=2 （n ﹣c ，n ﹣c ），∴c﹣m=2（n ﹣c ），m+2n=3c ①．再根据椭圆的第二定义，=2=，∴2n﹣m= ②，由①②解得m=，n=．据椭圆的第二定义，e=====，∴3e 3﹣3e ﹣e 2+=0，（e 2﹣1）•（3e ﹣）=0．∵0＜e ＜1，∴e=，故椭圆的离心率是，故答案为．14．若对任意[]1,1x ∈-，330x ax a -+≥恒成立，则实数a 的取值范围是__________．答案：14⎧⎫⎨⎬⎩⎭解析：令()33f x x ax a =-+，()'233f x x a =-，当0a ≤时，()'2330f x x a =-≥，()f x 在区间[]1,1-单调增，()()min 1410f x f a =-=-≥，解得14a ≥与0a ≤矛盾，故舍去；当0a >时，()'2330f x x a =-=，解得x =，①当1<时，()f x 在1,⎡-⎣单调增，在⎡⎣单调减，在⎤⎦但调增，()f x 在x =小值，故不等式要成立只需满足，()1410f a -=-≥且20fa =-≥，解得14a =． 二、解答题（本大题共6小题，共90分） 15．（本题满分14分）设有命题:p 方程22142x y m m -=-+表示双曲线，命题:q A B ≠⊂，其中集合(){}22,,,y R A x y xy m x R ==+∈∈，()()(){},0,,B x y x y x y x R y R =+->∈∈．若“p 或q ⌝”为真命题，“p 且q ⌝”为假命题，求实数m 的取值范围．16．（本题满分14分） 设()()1,ln f x kx m g x x x=+=-． （1） 若函数()()f x g x -在区间()0,+∞上减函数，求k 的取值范围； （2） 当2k =时，若函数()f x 的图象是函数()g x 的图象的切线，求m 的值．17．（本题满分14分） 过抛物线214y x =的焦点的直线与抛物线交于,A B 两点，O 是抛物线的顶点． （1） 判断抛物线的准线和以AB 为直径的圆点的位置关系；（2） 求OA OB ⋅的值；18．（本题满分14分）如图，在边长为10（单位：m ）的正方形铁皮的四周切去四个全等的等腰三角形，再把它 的四个角沿着虚线折起，做成一个正四棱锥的模型．设切去的等腰三角形的高为x m ． 问正四棱锥的体积V (x )何时最大？最大值是多少？（第18题）19．（本题满分14分） 设椭圆()222210x y a b a b+=>>的长轴端点是,A B ，椭圆在第一象限部分上有一动点S ，直线AP ，BP 分别与直线x=m(m>0)交于M,N 两点．（1） 若S 点的坐标是64,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，且直线,AM BN 的斜率之积是14，求椭圆的方程． （2） 当S 运动时，求MN 的最小值（用a,b,m 表示）．延伸与拓展：1．已知直线220x y -+=经过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点A 和上顶点D ，椭圆C 的右顶点为B ，点S 和椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线，,AS BS 与直线10:3l x =分别交于,M N 两点。