组合 1
1+1大于二ppt课件
脚
裤
蹬
裙
裤
37
38
• 如中西合璧：孙中山故居
• 方法灵活：
• 如二元组合、多元组合、附加式组合、
综合性组合等。
39
练一练 列举同类物品：文具
哪些可以组合在一起？
三角板、量角器、直尺、签字笔、 修改液、彩色笔、橡皮、……
43
2.主体附 加发
以产品为主体，再添 加其他附属事物以实 现组合创造的方式。
第二，组合过程中，参与组合的对象从意义、原理 、构造、成分、功能等方面可以互补和相互渗透 ，产生1+1>2的价值，整体变化显著；
第三，异类组合是异类求同，因此创造性较强。
58
异类组合
指两种或两种以上的不同类的技术思想或 物品组合在一起，获得功能更强、性能更 好的新产品。
电视电话 可以计数的刮胡刀 可以计数的篮球架 日历式笔架 闹钟式收音机 CT扫描仪（X射线+计算机）
USB接口+ USB接口+……
32
• 推着婴儿车慢 悠悠地闲逛，即将 成为历史啦！这可 不是一般的三轮婴 儿车，它巧妙地将 单车、手推车与婴 儿车结合起来，一 辆车可变换出几种 方式，还可以变成 一个双婴儿座，双 胞胎父母也不用发 愁啦！
•自行婴儿车
•自行车+ 婴儿车
33
花瓶+花瓶+……
两面通用花瓶
带削笔刀的铅笔 双色铅笔 多色笔
多功能组合工具：多达31种工具组合。 老虎钳、锤 子、斧头、 小刀、锯、 十字改锥， 四个尺寸的 六角扳手， 电线剥皮槽 和开瓶盖器。
31
排长队的USB接口
看着一层一层五 彩的USB接口连接， 是不是有种整齐的排 长队的感觉？这款有 趣的USB接口线，使 得电脑中繁琐的电线 有效的得到整理并且 也美化了外观，更重 要的是增加了电脑的 USB端口。
组合图形(一)
三角形面积：
S ah 2
阴影部分的面积：
（19.625－12.5）×2＝14.25（平方厘米）
答：阴影部分的面积是14.25平方厘米。
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2 2
练习三
主讲：拓老师
已知下面图形的两条线段长2厘米，并互相 垂直，求阴影部分的面积。
正方形的面积： 2×2＝4（平方厘米） 四分之一圆面积： 3.14×22÷4＝3.14（平方厘米） 阴影部分的面积： 4－3.14＝0.86（平方厘米） 答：阴影部分的面积是0.86平方厘米。
主讲：拓老师
组合图形（一）
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例题一
主讲：拓老师
如图，长方形的面积是8平方厘米，长方 形的长宽比是2:1，求这个组合图形的面积。
解：设宽为x厘米，长为2x厘米, 2x×x＝8 x＝2
·宽为2厘米，长为4厘米，
长方形面积：
S ab
半圆面积：
S r2 2
3.14×（4÷2）2÷2＋8 ＝14.28（平方厘米）
117.75-60°÷360°×3.14×（15－7）2 ≈84.26（平方厘米） 答：阴影部分的面积是84.26平方厘米。
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主讲：拓老师
总结
先把组合图形分成几个简单的图形，再 把每个简单图形的面积相加或相减，就是所 求的组合图形的面积；或将组合图形添补成 基本图形再进行求解。
半圆面积：
S r2 2
组合图形的面积：
9＋14.13＝23.13（平方厘米）
答：这个组合图形的面积是23.13
平方厘米。
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例题二
主讲：拓老师
求下面图形阴影部分的面积。（单位：厘米）
15以内的组合和拆分1
15以内的组合和拆分1介绍本文将介绍在15以内进行数字的组合和拆分。
我们将探讨如何使用这些数字进行各种组合和拆分操作。
组合两个数字的组合1和2可以组合成3: 1 + 2 = 31和3可以组合成4: 1 + 3 = 4依此类推，以下是在15以内可以得到的所有数字的组合操作：- 1 + 2 = 3- 1 + 3 = 4- 1 + 4 = 5- 1 + 5 = 6 - 1 + 6 = 7 - 1 + 7 = 8 - 1 + 8 = 9 - 1 + 9 = 10 - 1 + 10 = 11 - 1 + 11 = 12 - 1 + 12 = 13 - 1 + 13 = 14 - 1 + 14 = 15 - 2 + 3 = 5 - 2 + 4 = 6 - 2 + 5 = 7 - 2 + 6 = 8 - 2 + 7 = 9 - 2 + 8 = 10 - 2 + 9 = 11 - 2 + 10 = 12 - 2 + 11 = 13 - 2 + 12 = 14- 2 + 13 = 15 - 3 + 4 = 7 - 3 + 5 = 8 - 3 + 6 = 9 - 3 + 7 = 10 - 3 + 8 = 11 - 3 + 9 = 12 - 3 + 10 = 13 - 3 + 11 = 14 - 3 + 12 = 15 - 4 + 5 = 9 - 4 + 6 = 10 - 4 + 7 = 11 - 4 + 8 = 12 - 4 + 9 = 13 - 4 + 10 = 14 - 4 + 11 = 15 - 5 + 6 = 11 - 5 + 7 = 12 - 5 + 8 = 13- 5 + 9 = 14- 5 + 10 = 15- 6 + 7 = 13- 6 + 8 = 14- 6 + 9 = 15- 7 + 8 = 15三个数字的组合在15以内，我们可以组合三个数字得到其他数字。
下面是在15以内可以得到的所有三个数字的组合操作：- 1 + 2 + 3 = 6- 1 + 2 + 4 = 7- 1 + 2 + 5 = 8- 1 + 2 + 6 = 9- 1 + 2 + 7 = 10- 1 + 2 + 8 = 11- 1 + 2 + 9 = 12- 1 + 2 + 10 = 13- 1 + 2 + 11 = 14 - 1 + 2 + 12 = 15 - 1 + 3 + 4 = 8 - 1 + 3 + 5 = 9 - 1 + 3 + 6 = 10 - 1 + 3 + 7 = 11 - 1 + 3 + 8 = 12 - 1 + 3 + 9 = 13 - 1 + 3 + 10 = 14 - 1 + 3 + 11 = 15 - 1 + 4 + 5 = 10 - 1 + 4 + 6 = 11 - 1 + 4 + 7 = 12 - 1 + 4 + 8 = 13 - 1 + 4 + 9 = 14 - 1 + 4 + 10 = 15 - 1 + 5 + 6 = 12 - 1 + 5 + 7 = 13 - 1 + 5 + 8 = 14 - 1 + 5 + 9 = 15- 1 + 6 + 7 = 14 - 1 + 6 + 8 = 15 - 1 + 7 + 8 = 15 - 2 + 3 + 4 = 9 - 2 + 3 + 5 = 10 - 2 + 3 + 6 = 11 - 2 + 3 + 7 = 12 - 2 + 3 + 8 = 13 - 2 + 3 + 9 = 14 - 2 + 3 + 10 = 15 - 2 + 4 + 5 = 11 - 2 + 4 + 6 = 12 - 2 + 4 + 7 = 13 - 2 + 4 + 8 = 14 - 2 + 4 + 9 = 15 - 2 + 5 + 6 = 13 - 2 + 5 + 7 = 14 - 2 + 5 + 8 = 15 - 2 + 6 + 7 = 15 - 3 + 4 + 5 = 12- 3 + 4 + 6 = 13- 3 + 4 + 7 = 14- 3 + 4 + 8 = 15- 3 + 5 + 6 = 14- 3 + 5 + 7 = 15- 3 + 6 + 7 = 16- 4 + 5 + 6 = 15拆分拆分为两个数字在15以内，我们可以拆分数字为两个数字之和。
《组合(一)》(课件)
排列与元素的顺序有关，而组 合与元素的顺序无关，这是它的根 本区别.
[练习] 在4个不同元素a、b、c、 d中取出2个，共有多少种不同的组 合？请你写出所有的组合.
判断下列问题是组合问题还是排列问题? (1) 设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的
含有3个元素的子集有多少个?
(2) 某铁路线上有5个车站，则这条 铁路线上共需准备多少种车票?
根据分步计数原理, 得A43
C
3 4
A33
因此, C43
A43 A33
组合数公式
C
m n
Anm Amm
n(n 1)(n 2) m!
(n m 1)
(n, m N , m n)
C
m n
n! m!(n
m)!
[例1] 计算(1) C74;
(2) C170.
[例1] 计算(1) C74;
(2) C170.
多
少?
由于从4个不同元素中取出3个的排 列 数A43可 以 求 得, 我 们 可 以 考 察 一 下C 43 和A43的关系.从4个不同元素a, b, c, d中取 出3个元素的组合与排列的关系如下:
由于从4个不同元素中取出3个的排
列 数A43可 以 求 得, 我 们 可 以 考 察 一 下C 43
含有3个元素的子集有多少个? 组合问题
(2) 某铁路线上有5个车站，则这条 铁路线上共需准备多少种车票?
排列问题 有多少种不同的火车票价?
判断下列问题是组合问题还是排列问题? (1) 设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的
含有3个元素的子集有多少个? 组合问题
(2) 某铁路线上有5个车站，则这条 铁路线上共需准备多少种车票?
组合综合--1
组合综合问题(1)组合数学是一个既古老又年轻的离散数学分支,竞赛中的组合问题主要包括组合计数问题、组合极值问题、存在性问题、操作变换问题、组合几何问题以及图论中的问题,求解竞赛中的组合问题并不是需要复杂的数学知识,然而在趣味性命题的陈述下包含了高超的解题技巧,无论是从智力训练的角度,还是从竞赛准备的角度考虑,理解和钻研这些问题都是十分有意义的．在解决组合问题时,有时会用到以下几个原理．1、极端原理原理 1 设M 是自然数集的一个非空子集,则M 中必有最小数．原理 2 设M 是实数集的有限非空子集,则M 中必有最小数．2、抽屉原理第一抽屉原理 若将m 个球放入n 个抽屉中,则必有一个抽屉内至少有11+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-n m 个球． 第二抽屉原理 若将m 个球放入n 个抽屉中,则必有一个抽屉内至多有⎥⎦⎤⎢⎣⎡n m 个球． 3、算两次原理所谓算两次原理（又称富比尼原理）就是对同一个量,如果用两种不同的方法去计算,所得的结果应相等．【典型例题】例 1 （2008年山西省预赛试题）设M ＝｛1,2,…,2008｝是前2008个正整数组成的集合,A ＝｛1a ,2a ,…30a ｝是M 的一个30元子集,已知A 中的元素两两互质,证明A 中至少一半元素是质数．分析 考查集合A 中的合数a ,设p 是a 的最小质因数,则p ≤a .又a ≤2008,于是p ≤45,再由A 中元素两两互质,可证明A 的16个元素中必有一个是质数,进而可导出结论． 证明 先证明：A 中16个元素中必有一个是质数．为此,任取16个元素,不妨设为1a ,2a ,...,16a ,若其中没有质数,则它们中至多一个为1,其余15个皆为合数．设1a ,2a ,...,15a 都是合数,则每个数皆可分解成至少两个质因数的乘积,若i p 是i a 的最小质因数,则i p ≤i a （i ＝1,2, (15)．由于A 中的数两两互质,则1p ,2p ,…,15p 互不相同,而将全体质数自小到大排列,第15个质数是47,所以,若1p 是1p ,2p ,…,15p 中的最大数,即有1p ≥47,于是1a ≥21p ≥247＞2008,即1a ∉M,矛盾！ 因此,1a ,2a ,…,15a 中必有质数,不妨设1a 为质数,今从集合A 中去掉1a ,在剩下的29个元素中,再次进行同样的讨论,可知其中的16个元素中也必有一个是质数,设为2a .如此下去,可以连续进行15次,每次都可从A 中取到一个新的质数, 因此A 中至少有15个质数．例 2 已知A 与B 是集合｛1,2,3,…,100｝的两个子集,满足：A 与B 的元素个数相同,且A ∩B 为空集,若n ∈A 时总有2n+2∈B,则集合A ∪B 的元素个数最多为多少？分析 该问题是组合构造,由条件“A 与B 的元素个数相同且若n ∈A 时总有2n +2∈B ”知|A |＝|B |,且2n +2≤100,从而可知A 中的元素不超过49个,为此需要进行分类考虑．解 首先证明|A ∪B |≤66,只需要证明|A |≤33,由分析知需要证明：若A 是｛1,2,3,…,49｝的任何一个34元子集,则必存在n ∈A,使得2n+2∈A.证明如下：将｛1,2,3,…,49｝分成如下33个集合：｛1,4｝,｛3,8｝,｛5,12｝,…,｛23,48｝,共12个；｛2,6｝,｛10,22｝,｛14,30｝,｛18,38｝,共4个；｛25｝,｛27｝,｛29｝,…,｛49｝,共13个；｛26｝,｛34｝,｛42｝,｛46｝,共4个．若A 是｛1,2,3,…,49｝的任何一个34元的子集,则由抽屉原理可知上述33个集合中至少有一个2元集合中的两个数均属于A ,即存在n ∈A ,2n +2∈A .所以|A |≤33.事实上,如取A ＝｛1,3,5,…,23,2,10,14,18,25,27,29,…,49,26,34,42,46｝,B ＝｛2n +2|n ∈A ｝,则A ,B 满足题中要求,且|A ∪B |＝66.所以集合A ∪B 的元素个数最多为66.例3 (2007年浙江省预赛试题)设M ＝｛1,2,…,65｝,A ⊆M 为子集,若|A|＝33,且存在x ,y ∈A ,x ＜y ,x | y ,则称A 为“好集”,求最大的a ∈M ,使含a 的任意33元子集为好集．分析 首先要准确理解“好集”的含义,搞清楚“好集”中元素的构成规律,再来分析a 的可能的取值．解 令P ＝｛21 +i |i ＝1,2,…,44｝—｛2（21 + i ）|i ＝ 1,2,…,11｝,| p |＝33. 显然对任意1≤i ＜j ≤44,不存在n ≥3,使得21+j ＝ n (21 +i )成立,故P 是非好集． 因此a ≤21,下面证明：包含21的任意一个33元子集A 一定为好集．设A ＝｛1a ,2a ,…,32a ,21｝．若1,3,7,42,63中之一为集合A 的元素,显然A 为好集.现考虑1,3,7,42,63都不属于集合A ．构造集合：1A ＝｛2,4,8,16,32,64｝,2A ＝｛5,10,20,40｝,3A ＝｛6,12,24,48｝,4A ＝｛9,18,36｝,5A ＝｛11,22,44｝,6A ＝｛13,26,52｝,7A ＝｛14,28,56｝,8A ＝｛15,30,60｝,9A ＝｛17,34｝,10A ＝｛19,38｝,11A ＝｛23,36｝,12A ＝｛25,50｝,13A ＝｛27,54｝,14A ＝｛29,58｝,15A ＝｛31,62｝,'A ＝｛33,35,37,…,61,65｝,由上可见,1A ,2A ,…,15A 每个集合中两个元素都是倍数关系,考虑最不利的情况,即'A A ,也即'A 中16个元素全部选作A 的元素,A 中剩下16个元素必须从1A ,2A ,…,15A 这15个集合中选取,根据抽屉原理,至少有一个集合有两个元素被选,即集合A 中至少有两个元素存在倍数关系．综上所述,包含21的任意一个33 元子集A 一定为好集,即a 的最大值为21．说明 对于这一类型的集合问题,一般都需要通过适当的方式构造出符合某种要求的集合,抽屉原理是解决集合构造问题的常用工具．例4 （2008年甘肃省预赛试题）一个20行若干列的0、1数阵满足：各列互不相同且任意两列同一行都取1的行数不超过2．求当列数最多时,数阵中1的个数的最小值．分析 由题设,对于数阵中1的个数超过3的列,保留其中任意3个1,而将其余的都变成0,得到的新数阵仍然满足要求,于是可知当列数最多时,数阵中至多包含1的个数不超过3的所有的列.这样可得列数最大值,进而求得此时数阵中1的个数的最小值．解 对于满足条件的列数最大的一个数阵,如果这个数阵中某一列1的个数超过3个,那么就保留其中任意3个1,其余的都改变成0,这样就会得到一个列数相同并有仍然满足要求的一个新数阵,如果这个新数阵中还有1的个数超过3的列,则重复上述过程,最后可以得到一个列数最多,且每列中1的个数最多为3的满足要求的数列,它的列数最多为1+120C +220C +320C .另一方面,构造一个满足要求的数阵如下：它包括没有1的列以及所有互不相同的只有一个1的列,2个1的列和3个1的列,由上所说,可知这个数阵的列数是最多的,同时在满足要求的列数最多的所有数阵中所有数阵中,该数阵中的1是最少的,此数阵的列数为1+120C +220C +320C ,此数列中1的个数是120C +2202C +3203C ＝20+380+3420＝3820说明 本题中求数阵的列数的最大值的方法叫做局部整法,它是解决最值问题的一种行之有效的方法,尤其是离散变量最值问题常常需要用到这种方法．例 5 （2008年浙江省预赛试题）将3k （k 为正整数）个石子分成五堆,如果通过每次从其中3堆中各取走一个石子,而最后取完,则称这样的分法是“和谐的”,试给出和谐分法的充分必要条件,并加以证明．分析 从整体上看,就是从3k 个石子中每次取3个,恰好k 次取完,于是和谐的分法就是要求每堆石子的个数不超过k ,再用数学归纳法证明,最多一堆石子的个数不超过k 的分法是和谐的．解 分析是和谐的充分必要条件是最多一堆石子的个数不超过k ．下面设五堆石子的个数分别为a 、b 、c 、d 、e （其中a ≥b ≥c ≥d ≥e ）．“必要性”的证明：若分法是和谐的,则把a 所对应的石子取完至少要取a 次,这a 次每次都要取走3个石子,如果a ＞k ,则3a ＞3k ,即把a 所对应的一堆取完时,需取走的石子多于五堆石子的总数,矛盾,因此最多一堆石子的个数不能超过k.“充分性”的证明：（数学归纳法）（1）当k ＝ 1时,满足a ≤k 的分法只能是1、1、1、0、0．显然这样的分法是和谐的．（2）假设k ≤n 时,若a ≤k 的分法是和谐的．当k ＝ n +1时,若a ≤n +1,且分法a 、b 、c 、d 、e 是不和谐的,则分法a －1、b －1、c －1、d 、e 也是不和谐的．由（2）及必要性的证明,可知max ｛a －1,b －1,c －1,d ,e ｝＞n ．因为a ≥b ≥c ≥d ≥e ,所以max ｛a －1,b －1,c －1,d ,e ｝＝max ｛a －1,d ｝＞n ．若a －1≥d ,则有a －1＞n ．这与a ≤n +1矛盾．若a －1＜d ,则有n ＜ d ≤ c ≤b ≤ a ≤ n +1,从而有a ＝ b ＝ c ＝ d ＝ n +1,于是有3（n +1）＝ a + b + c + d + e ＝ 4 (n +1) + e ,这是不可能的．因此,当a ≤n+1时,分法a 、b 、c 、d 、e 是和谐的说明 本题充分性的证明采用的是数学归纳法,这是一种归纳构造,它是利用构造思想解决存在性问题的一种重要手段例 6 在坐标平面上是否存在一个含有无穷条直线1l ,2l ,…,n l ,…的直线族,满足：（1）点（1,1）∈n l ,n ＝1,2,3,…；（2）1+n k ＝ n a －n b ,其1+n k 中是1+n l 的斜率,n a 和n b 分别是n l 在x 轴和y 轴上的截距,1k 是1l 的斜率,n ＝ 1,2,3,…；（3）1+n n k k ≥0,n ＝ 1,2,3,…并证明你的结论（88年全国联赛）.分析 假设这样的直线族存在,先利用直线n l 的方程求出n a 与n b ,即可得到｛n k ｝的递推关系,再结合条件（3）求解解 题中给出的是以点（1,1）为公共点的中心直线族,若这样的直线族存在,则n l 的方程为y －1 ＝ ()1-x k n当y ＝0时,－1＝()1-n n a k ,n a ＝ 1－nk 1；当x ＝0时,n b －1＝－n k ,n b ＝ 1－n k 因为n l 存在,所以n a 和n b 都存在,从而n k ≠0,n ＝ 1,2,3,…,利用条件（2） 有 1+n k ＝ n a －n b ＝ n k －nk 1 继续有n k ＝ 1-n k －11-n k ； …… 2k ＝ 1k －11k ； 以上诸式相加得到1+n k ＝ 1k －（11k + 21k + … + n k 1） ① 由n k ≠0及条件(3)得1+n n k k ＞0,故所有的i k （i ＝ 1,2,3,…）同号,不妨设i k ＞0,则1+n k ＝n k － n k 1＜n k ,即数列｛n k ｝是正项递减数列,从而11+n k ＞n k 1,于是11k + 21k + … + n k 1＞1k n ，这样,由①式得1+n k ＜1k －1k n ＝ 121k n k - ② 当n ＞21k 时,由②式推出1+n k ＜0．由假设n k ＞0,得1+n n k k ＜0,与己知矛盾同理可证,当n k ＜0 时,也导致矛盾所以,同时满足条件（1）,（2）,（3）的直线族不存在例7 （2007年吉林省预赛试题）一个空间中的点组成的集合Ｓ满足性质：Ｓ中任意两点之间的距离互不相同,假设Ｓ中的点的坐标（x ,y ,z ）都是整数,并且１≤ x ,y ,z ≤ n ,证明：集合S 的元素个数小于min ｛（n +2）·3n ,6n ｝ 证明 记 | S | ＝ t ,则对任意（,1,1,1z y x ）,（,2,2,2z y x ）∈S ,都有()221x x -+()221y y -+()221z z -≤3()21-n （因为满足1≤x,y,z ≤n 的整点之间的距离不超过（1,1,1）与（n ,n ,n ）之间的距离） 并且依题意,S 中任意两点之间的距离互不相同,故2t C ≤3()21-n , 得2t －t ≤ 6()21-n ,于是t ≤21+21()21241-+n ＜6n (最后一个不等式价于1+24()21-n ＜()2162-n ,展开后移项即可得到)另一方面,对S 中的任意两点（,,,i i i z y x ）、（,,,i i i z y x ）,考虑集合｛a ,b ,c ｝(允许出现重复元素),这里a ＝ | j i x x -|,b ＝|j i y y -|,c ＝ |j i z z -|,依题意,所得的｛a ,b ,c ｝两两不同,且0 ≤ a ,b ,c ≤n －1,a 、b 、c 不全为0,于是,我们有2t C ≤12123-++n n n C C C ①故2t C ＜1232n n n C C C ++,解得t ＜()()21314121++++n n n ． 当n ≥3时,有t ＜()32n n +．这只需证明()()21314121++++n n n ≤()32n n +,等价于()()213141+++n n n ≤()22132⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+n n ,展开后移项即可知此不等式在n ≥3时成立）． 于是,当n ≥3时,总有t ≤()⎭⎬⎫⎩⎨⎧+6,32min n n n ②而当n ＝1时,t ＝1；当n ＝2时,由①知t ≤3,这时②都成立,命题获证．说明：本题从两个不同的角度,分别得到了2t C 的上界,从而完成了证明．这种思想的实质是算两次原理．它是研究跟计算有关的组合问题的一种重要策略．例8 （2009年山西省预赛试题）有七种颜色的珍珠,共计14颗,其中每种颜色的珍珠各两颗；今把这珍珠分装于七个珠盒中,使得每个珠盒中各有一对不同颜色的珍珠．（1）证明：不论各盒中的珍珠怎样搭配,总可以将这七个珠盒分别放置于一个正七边形的七个顶点之上,使得七边形的任两个相邻顶点处所放置的盒中的四颗珍珠互不同色．（2）如将以上条件与待证结论中的“七”一律改为“五”,“14”改为“10”,则情况如何？解：（1）用点v 1,v 2,…,v 7分别表示这七种颜色,如果一个i v 色的珍珠和一个j v 色的珍珠装在同一盒中（i ≠j ）,则在点i v 与j v 间连一条边,这样就得到一个图G （点i v 与j v 之间有可能连出两条边）,由于同一色的珍珠有两颗,每颗珍珠都需与一颗其他颜色的珍珠共盒,则图G 的每点恰好发出两条边；从G 的任一点A 出发,沿一条边走到点B ,再由B 沿另一条边走到C ,…,如此下去,最后必定回到出发点A （这是由于,途中经过的每个点P 都有两条边,若参沿一条边进入点P ,则必沿另一条边可离开点P ,而由点P 不能再加到途中已经过的点,因为这种点所发出的两条边都已走过,因此只能到达新点或回到出发点,而新点终将逐渐耗尽,最后必定回到出发点A ）,这样就得到一个圈．去掉这个圈,若剩下还有点,依上述方法,又将得到新的圈,若称两点的的圈为“两边形”,则图G 的结构只有如下四种情况：1°一个七边形2°一个五边形和一个两边形3°一个四边形和一个三角形4°一个三角形和两个两边形对于每种情况,我们都对相应的边作出适当编号,并将这些边所对应的珠盒放置于七边形的顶点之上,如图5所示．因此所证结论成立．（2）当14颗七以珍珠改为10颗五色珍珠后,结论不成立．例如,对于五色54321,,,,v v v v v ,我们若将10颗珍珠这样装盒：()211,v v e =,()322,v v e =,()133,v v e =,()544,v v e =,()545,v v e =,则无论怎样摆放于正五边形的顶点上,都不能满足条件（因为1e 、2e 、3e 中,任两盒都有同色的珠,无论怎样摆放于正五边形的顶点上,必有两盒相邻）．。
组合数学课件--第一章第二节 允许重复的组合与不相邻的组合
一、序数法
怎样建立a(3)a(2)a(1)p(1)p(2)p(3)p(4)
a(3) 确定4的位置,a(2)确定3的位置
a(1)确定2的位置,剩余的位置就是1的位置 例3:021, 3 2 1 4 例3: 201, 2 4 1 3
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一、序数法
求n个不同的数的全排列，主要有以下两步：
1、求出0到n!-1之间各数对应的序列{an-1, an-2,…, a1} m=an-1(n-1)!+an-2(n-2)!+…a2 * 2!+a1*1! 2、由{an-1, an-2,…, a1}确定排列序列p1p2…pn an-1,确定n的位置， an-2确定n-1的位置， ……………………… a1确定2的位置， 剩下的是1的位置。
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一、序数法
推论 从0到n!-1的n!个整数与序列{an-1, an-2,…, a1} 一一对应。这里 0a1 1,0 a2 2, …, 0 an-1 n-1 算法: int a[]={0}; int m,n;// 0=<m<=n!-1 int b=m； int index =1; do { a[index]=b%(index+1); b = b/(index+1); index++; } while(b);
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一、序数法
2、对于0,1,2,…,n!-1共n!个数求序列a[i]
for( i = 0; i < fact; i++ ) { int b=i, index =1; do { a[index]=b%(index+1); b = b/(index+1); index++; } while(b);
声调组合一
声调组合一（1）第一声+第一声今天干杯星期西瓜咖啡jin tian gan bei xing qi xi gua ka fei苏州加班樱花新鲜春天su zhou jia ban ying hua xin xian chun tian（2）第一声+第二声阿姨中国番茄今年加油a yi zhong guo fan qie jin nian jia you公园中文刷牙帮忙经常gong yuan zhong wen shua ya bang mang jing chang（3）第一声+第三声铅笔香港青岛身体机场qian bi xiang gang qing dao shen ti ji chang高铁八点经理开始窗口gao tie ba dian jing li kai shi chuan kou（4）第一声+第四声天气鸡蛋医院超市知道tian qi ji dan yi yuan chao shi zhi dao工作生日压力空气发票gong zuo sheng ri ya li kong qi fa piao（5）第一声+轻声东西包子先生休息杯子dong xi bao zi xian sheng xiu xi bei zi衣服叉子桌子舒服妈妈yi fu cha zi zhuo zi shu fu ma ma日常用语1.甲：今天星期几？jin tian xing qi ji？乙：今天星期一。
jin tian xing qi yi。
2.甲：今天你去公园吗？jin tian ni qu gong yuan ma？乙：去，今天我去公园。
qu，jin tian wo qu gong yuan。
不去，今天我不去公园。
bu qu，jin tian wo bu qu gong yuan。
3.甲：你有铅笔吗？ni you qian bi ma？乙：有，我有铅笔。
you，wo you qian bi。
没有，我没有铅笔。
mei you，wo mei you qian bi。
2018-2019学年高中数学 第一章 计数原理 1.2.2 第1课时 组合(一)讲义 新人教A版选修2-3
含组合数的化简、证明或解方程、不
(1)对于含组合数的化简、证明或解方程、不等式等问题多利 ①组合数公式，即： Cnm＝m！nn！－m！＝nn－1…m！n－m＋1； ②组合数的性质，即 Cnm＝Cnn－m和 Cnm＋1＝Cmn ＋Cmn －1； ③排列数与组合数的关系，即 Anm＝Cmn Amm． (2)当含有字母的组合数的式子要进行变形论证时，利用阶乘 便．
1．由 Cx1＋0 1＋C1170－x可得不相同的值的个数是
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析]
x＋1≤10 ∵x1＋7－1≥x≤010，∴7≤x≤9，
17－x≥0
又 x∈Z，∴x＝7,8,9．
当 x＝7 时，C810＋C1100＝46
当 x＝8 时，C910＋C910＝20 当 x＝9 时，C1100＋C810＝46．
规律总结』 1.性质“Cnm＝Cnn－m”的意义及作用． 反映的是组合数的对称性，即从n个不
意义 → 同的元素中取m个元素的一个组合与 剩下的n－m个元素的组合相对应
作用 → 当m>n2时，计算Cnm通常转化为计算Cnn－m
2．与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组 组合数的性质，求解时，要注意由 Cnm中的 m∈N＋，n∈N＋，且 的范围，因此求解后要验证所得结果是否适合题意．
序写出，即
• ∴所有组合为ABC，ABD，ABE，ACD，ACE BCD，BCE，BDE，CDE．
解法二：画出树形图，如图所示．
∴所有组合为 ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD CDE．
命题方向2 ⇨组合数公式
典例 2 (2018·江西玉山一中检测)若 20C5n＋5＝4(n＋4)Cnn＋－ 的值．
《数学广角——搭配1》教学设计
《数学广角——搭配1》教学设计教学内容：人教版二年级数学上册P97例1及“做一做”，练习二十四第1、2题。
教材分析：本节课的教学内容主要是渗透排列组合的数学思想，为便于学生理解，把重要的数学思想方法通过学生日常生活最简单的事例呈现出来，使学生对排列的有序性有一个初步的了解，并能依据一定规律来处理排列问题，做到不重不漏，为以后探索其他有关的数学知识奠定良好的基础。
学生分析：在日常生活中，有很多问题都需要用排列的知识来解决，如数字组成数、照相时的位置安排等等。
学生已经有了一定的生活经验，有时也可能运用到排列知识解决问题，但对于小学二年级的学生来说，“排列”的数学思想只需感知，而不需教给他们“排列”的有关概念术语。
因此在教学过程中，我依据学生的年龄特征和心理特点，注意安排生动有趣的活动，让学生通过这些活动来自主尝试学习解决问题，经历简单的排列规律的探索过程，让学生在活动中探究新知，发现规律，逐步培养有顺序地、全面地思考解决问题的意识。
教学目标：1、通过观察、猜测、操作等活动，找出最简单的事物的排列数。
2、使学生经历探索简单事物排列规律的过程，初步培养学生有顺序地、全面地思考问题的意识。
3、在自主尝试学习过程中，感受数学与生活的紧密联系，在数学活动中养成与他人合作的良好习惯。
教学重点：经历探索简单事物排列的过程，渗透“排列”的数学思想。
教学难点：初步理解简单事物的排列规律。
教学准备：数字卡片、课件。
教学过程：一、创设情境，提出问题，构建知识坡度。
师：今天老师带你们去一个有趣的地方。
（课件出示：数学广角）里面有座‘数学城堡’，你们想进去玩一玩吗？（课件出示：城堡图）可是，大门被一把密码锁锁住了。
小朋友们你们有信心解开吗？生：有！（课件出示）守门老人说：密码是1和2组成的两位数。
（请学生齐读）师：你觉得可能是哪个数？生：12或21。
（板书）师：“有可能是1或2吗？”生：不可能。
师：“为什么？”生：题中要求是两位数，1或2是一位数。
组合数学课件第一章第三节 组合意义的解释
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1.8：应用举例
(2)编码中的纠错功能
编码中的纠错功能是这样处理的，如果收到 a=a 1a 2…a n假设a 与a的汉明距离小于或等于r, 则认为a是由a的错误引起的，将它作为a处理。 可能存在a与a和b的汉明距离都小于或等于r, 怎么才能避免这种情况呢？对编码有什么要求呢？
码b与码a之间的汉明距离要大于或等于2r+1.
(n+1,r)
(0,0)
(n,0)
12
1.7 组合的解释
1.35 C(m,0)+C(m,1)+C(m,2)+…+C(m,m)=2m
1 0 2 0 3 1 … … m-2 m-1 m 1 0 0
没有0，C（m,0）
只有一个0，C（m,1） 只有二个0，C（m,2） ……………….
M个全是0，C（m,m）
为
9999-6560=3449。
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1.9 例题 1.15试求从1到1000的整数中，0出现的次数。 解：先将1到999的整数都看作3位数,例如2就看 作是002，这样从000到999。0出现了多少次呢？ 3×102，某一位取0，其它各位任取。 0出现在最前面的次数应该从中去掉 000到999中最左1位的0出现了102次， 000到099中左数第2位的0出现了10次， 000到009左数第3位的0出现了1次, 因此不合法的0的个数为 102+101+1=111，不合法的应该去掉，再加整 数1000中的3个0，这样，从1到1000的整数中0出 现的次数为3×102-111+6=195。
13
1.7 组合的解释 1.35 C(m,0)+C(m,1)+C(m,2)+…+C(m,m)=2m (0,m) (1,m-1)
健美操二级第一个组合
健美操教学设计一、指导思想：在落实并推行体育新课程，贯彻“以学生发展为本”的教育理念,树立“健康第一”的指导思想，发展学生的个性，开发学生潜能，使学生掌握锻炼的方法为目的。
本课采用以学生合作学习为主，思维与练习相结合的体育教育模式。
在健美操自编活动中为学生创设合作学习的空间，给出思维和参与结合相对开放的教学环境，从而使学生的学习兴趣得到培养，学习方法得到掌握，学习能力得到提高。
二、教学对象：高二学生三、教材内容：1、健美操的基本步伐2、学习大众健美操组合四、教材分析：教材采用的是国家体育总局体操中心出版的《全国健美操大众锻炼标准（二）》。
本教材有六套健美操，我们学习的是二级套路。
二级仍为健美操大众锻炼标准的初级套路，练习的目的是进行中等强度的有氧练习和低难度的腰腹及上肢力量练习。
每组合均有4-5个基本步伐组成。
所有的动作变化都是有氧操练习中的常见动作和典型动作，因此二级操很适合高中学生练习。
五、教学重、难点：重点：掌握所学动作难点：动作与节奏的控制和把握解决办法：1)单个动作的控制2）教师快慢口令和音乐相配合3）让学生自己体会怎样才是美，怎样做才是漂亮。
六、教学目标：依据学生的实际情况制定了本次课的学习目标：1、运动参与目标：进一步感知健美操所具有的美感和运动价值，并能经常锻炼；并能经常通过学练基本步伐，理解它的健身作用和串编方法。
2、运动技能目标：通过青春健美操组合动作的练习，发展动作的协调性，提高动作节奏感，激发学生兴趣。
提高自编能力，发展思维和参与相结合的能力，培养良好的身体姿态；3、心理健康目标：体验自编操的成功与乐趣，培养对健美操的兴趣；树立自信心，对生活充满自信。
4、身体健康目标：发展学生速度、灵敏、力量、协调和柔韧等身体素质；达到锻炼的功效；5、社会适应目标：培养学生相互配合的能力，提高对健美操的欣赏能力与表现力，培养学生和谐的人际关系及合作精神。
七、学生分析：高二年级学生在以前基本上没有接触过健美操，学生只是通过一些途径，对健美操有一定的感性认识，而没有真正的去尝试过。
组合的基本应用(一)
7-5-1.组合的基本应用（一）教学目标1.使学生正确理解组合的意义；正确区分排列、组合问题；2.了解组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的组合；3.掌握组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系；4.会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；通过本讲的学习，对组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握组合的联系和区别，并掌握一些组合技巧，如排除法、插板法等．知识要点一、组合问题日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题．一般地，从n 个不同元素中取出m 个(m n ≤)元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．从n 个不同元素中取出m 个元素(m n ≤)的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的组合数．记作m n C ．一般地，求从n 个不同元素中取出的m 个元素的排列数n m P 可分成以下两步：第一步：从n 个不同元素中取出m 个元素组成一组，共有m n C 种方法；第二步：将每一个组合中的m 个元素进行全排列，共有m mP 种排法．根据乘法原理，得到m m m n n mP C P =⋅．因此，组合数12)112321⋅-⋅-⋅⋅-+==⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅ m m n nm m P n n n n m C P m m m （）（（）（）（）．这个公式就是组合数公式．二、组合数的重要性质一般地，组合数有下面的重要性质：m n m n nC C -=(m n ≤)这个公式的直观意义是：m n C 表示从n 个元素中取出m 个元素组成一组的所有分组方法．n m n C -表示从n 个元素中取出(n m -)个元素组成一组的所有分组方法．显然，从n 个元素中选出m 个元素的分组方法恰是从n 个元素中选m 个元素剩下的(n m -)个元素的分组方法．例如，从5人中选3人开会的方法和从5人中选出2人不去开会的方法是一样多的，即3255C C =．规定1n n C =，01n C =．例题精讲模块一、组合之计算问题【例1】计算：⑴26C ，46C ；⑵27C ，57C ．【例2】计算：⑴198200C ；⑵5556C ；⑶981001001002C C -．【巩固】计算：⑴312C ；⑵9981000C ；⑶2288P C -．模块二、组合之体育比赛中的数学【例3】某校举行排球单循环赛，有12个队参加．问：共需要进行多少场比赛？【巩固】芳草地小学举行足球单循环赛，有24个队参加．问：共需要进行多少场比赛？【例4】六个人传球，每两人之间至多传一次，那么最多共进行次传球．【例5】一批象棋棋手进行循环赛，每人都与其他所有的人赛一场，根据积分决出冠军，循环赛共要进行78场，那么共有多少人参加循环赛？【例6】某校举行男生乒乓球比赛，比赛分成3个阶段进行，第一阶段：将参加比赛的48名选手分成8个小组，每组6人，分别进行单循环赛；第二阶段：将8个小组产生的前2名共16人再分成4个小组，每组4人，分别进行单循环赛；第三阶段：由4个小组产生的4个第1名进行2场半决赛和2场决赛，确定1至4名的名次．问：整个赛程一共需要进行多少场比赛？【例7】有8个队参加比赛，采用如下图所示的淘汰制方式．问在比赛前抽签时，可以得到多少种实质不同的比赛安排表？模块三、组合之数字问题【例8】从分别写有1、3、5、7、9的五张卡片中任取两张，做成一道两个一位数的乘法题，问：⑴有多少个不同的乘积？⑵有多少个不同的乘法算式？【巩固】9、8、7、6、5、4、3、2、1、0这10个数字中划去7个数字，一共有多少种方法？【巩固】从分别写有1、2、3、4、5、6、7、8的八张卡片中任取两张，做成一道两个一位数的加法题，有多少种不同的和？【例9】有红、黄、蓝、绿四种颜色的卡片各5张，且每种颜色的卡片上分别标有1，2，3，4，5，从这些卡片中取出5张，要求1、2、3、4、5各一张，但四种颜色都要有，求共有________种取法？【例10】在1~100中任意取出两个不同的数相加，其和是偶数的共有多少种不同的取法？【巩固】从19、20、……、93、94这76个数中，选取两个不同的数，使其和为偶数的选法总数是多少？【例11】一个盒子装有10个编号依次为1，2，3， ，10的球，从中摸出6个球，使它们的编号之和为奇数，则不同的摸法种数是多少？【例12】用2个1，2个2，2个3可以组成多少个互不相同的六位数？用2个0，2个1，2个2可以组成多少个互不相同的六位数？【例13】从1，3，5，7，9中任取三个数字，从2，4，6，8中任取两个数字，组成没有重复数字的五位数，一共可以组成多少个数？【例14】从0、0、1、2、3、4、5这七个数字中，任取3个组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？（这里每个数字只允许用1次，比如100、210就是可以组成的，而211就是不可以组成的）．【例15】用2个1，2个2，2个3可以组成多少个互不相同的六位数？用2个0，2个1，2个2可以组成多少个互不相同的六位数？【巩固】用两个3，一个2，一个1，可以组成多少个不重复的4位数？。
高中数学选修2-3精品课件：1.2.2 组合(一)
1.已知 C2n＝10，则 n 的值等于( B )
A.10
B.5 C.3 D.2
1234
2.给出下列问题：
1234
①从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某两个乡镇的社会调查，
有多少种不同的选法？
②有4张电影票，要在7人中确定4人去观看,有多少种不同的选法？
③某人射击8枪，击中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，则不同的结
解 小组赛中每组6队进行单循环比赛，就是每组6支球队 的任两支球队都要比赛一次， 所以小组赛共要比赛 2C26＝30(场). 半决赛中甲组第一名与乙组第二名或乙组第一名与甲组第
二名主客场各赛一场，共要比赛 2A22＝4(场). 决赛只需比赛1场，即可决出胜负. 所以全部赛程共需比赛30＋4＋1＝35(场).
∴129≤n≤221，∵n∈N*，∴n＝10，
∴C33n8－n＋C32n1＋n＝C2380＋C3301＝C230＋C131＝320× ×129＋31＝466.
(3)证明：Cmn ＝n－n mCmn－1. 证明 n－n mCmn－1＝n－n m·m！nn－ －11－！m！
n！ ＝m！n－m！＝Cnm.
第一章——
1.2.2 组合(一)
[学习目标] 1.理解组合及组合数的概念. 2.能利用计数原理推导组合数公式，并会应用公式解决简 单的组合问题.
1 预习导学 2 课堂讲义 3 当堂检测
挑战自我，点点落实 重点难点，个个击破 当堂训练，体验成功
[知识链接] 1.排列与组合有什么联系和区别？ 答 排列与组合都是从n个不同元素中取出m个不同元素； 不同之处是组合选出的元素没有顺序，而排列选出的元素 是有顺序的.组合是选择的结果，排列是先选再排的结果.
Cmn ＝AAmmmn ＝nn－1n－m2！…n－m＋1计算；
常见元音字母组合的发音规律(1)
常见元音字母组合（1）一、元音字母“Aa ”组合的发音规律。
1. ai / ay ---- train, rain, again / play, say, pay, gay2. al ---- call, fall, mall, talk, walk, false, small---- calf, half, palm3. ar ---- car, dark, far, park, star, start, bar, March, SARS---- war warm quarter---polar,4. au / aw ---- because autumn August daughter---- draw strawberry saw law claw dawn5. air / are ---- chair hair air pair fair repair---- square careful hare prepare dare6. as +辅音字母---- glass class fast past mask master last二、元音字母“Ee”组合的发音规律。
1. ea ---- tea teacher eat please meat clean---- head bread breakfast---- great break steak2. ear ---- ear hear dear year tear---- pear bear wear3. ear+辅音字母----pearl learn early (heart不在此列)4. ee ---- three green see queen jeep bee knee meet feet teeth5. eer ----deer beer cheer engineer6. ei/ey ----eight neighbour / they grey prey7. ew ----new few (ew+l,r,j ----blew crew Jew)8. er --- her verb certainly mercury German nervous--- mother father sister brother teacher worker player driver dancer…三、元音字母“Ii”组合的发音规律。
组合数学第一章课后习题答案
1.1 题（宗传玉）从{1，2，……50}中找两个数{a ，b}，使其满足 （1）|a-b|=5； （2）|a-b|≤5； 解：（1）：由|a-b|=5⇒a-b=5或者a-b=-5，由列举法得出，当a-b=5时，两数的序列为（6，1）（7，2）……（50，45），共有45对。
当a-b=-5时，两数的序列为（1，6），（2，7）……（45，50）也有45对。
所以这样的序列有90对。
（2）：由题意知，|a-b|≤5⇒|a-b|=1或|a-b|=2或|a-b|=3或|a-b|=4或|a-b|=5或|a-b|=0；由上题知当|a-b|=5时 有90对序列。
当|a-b|=1时，两数的序列有（1，2），（3，4），（2，1）（1，2）……（49，50），（50，49）这样的序列有49*2=98对。
当此类推当|a-b|=2，序列有48*2=96对，当|a-b|=3时，序列有47*2=94对，当|a-b|=4时，序列有46*2=92对，当|a-b|=0时有50对所以总的序列数=90+98+96+94+92+50=520 1.2题（王星） 解：（a ）可将5个女生看作一个单位，共八个单位进行全排列得到排列数为： 8！×5！，（b ）用x 表示男生，y 表示空缺，先将男生放置好，共有8个空缺， Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y 在其中任取5个得到女生两两不相邻的排列数： C （8，5）×7！×5！（c ）先取两个男生和3个女生做排列，情况如下：6. 若A ，B 之间存在0个男生， A ，B 之间共有3个人，所有的排列应为 P6=C(5,3)*3!*8!*21．若A ，B 之间存在1个男生， A ，B 之间共有4个人，所有的排列应为 P1= C(5,1)*C(5,3)*4!*7!*22．若A ，B 之间存在2个男生，A ，B 之间共有5个人，所有的排列应为 P2=C(5,2)*C(5,3)*5!*6!*23．2．若A ，B 之间存在3个男生，A ，B 之间共有6个人，所有的排列应为 P3=C(5,3)*C(5,3)*6!*5!*24．若A ，B 之间存在4个男生，A ，B 之间共有7个人，所有的排列应为 P4=C(5,4)*C(5,3)*7!*4!*25．若A ，B 之间存在5个男生，A ，B 之间共有8个人，所有的排列应为 P5=C(5,5)*C(5,3)*8!*3!*2 所以总的排列数为上述6种情况之和。
第一章排列与组合
在气象学方面。他曾亲自组织人力进行过大气压和天气状况 的观察
1691年，莱布尼茨致信巴本，提出了蒸汽机的基本思想。 1677年，莱布尼茨发表《通向一种普通文字》，以后他长时
期致力于普遍文字思想的研究，对逻辑学、语言学做出了一 定贡献。今天，人们公认他是世界语的先驱
……………………
2020/4/23
一种常见的思路是按轮计场，费事。
另一种思路是淘汰的选手与比赛(按场计)集一一对 应。99场比赛。
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组合数学-上海理工大学
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例10 设凸n边形的任意三条对角线不共点，求对 角线在多边形内交点的个数。
可以先计算对角线的个数，然后计算交点，但是 存在在多边形内无交点的情形，比较复杂。
可以考虑对应关系：多边形内交点to多边形四个顶 点。
2020/4/23
组合数学-上海理工大学
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例6 (1) n=73*112*134，求除尽n的数的个数； (2) n=73*142，求除尽n的数的个数；
(1)4×3×5＝60；7 i 1 j 1 1 k 0 3 i 3 ,0 j 2 ;0 k 4 (2) 6×3＝18
例7 在1000和9999之间有多少每位上的数字均不同 的奇数？
2020/4/23
组合数学-上海理工大学
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乘法法则：设具有性质A的事件有m个，具有性质B 的事件有n个，则具有性质A和B的事件有mn个。
集合论语言： 若 |A| = m , |B| = n , AB = {(a,b) | aA,bB} , 则
| AB | = mn 。
例3 从A到B有三条道路，从B到C有两条道路，则 从A经B到C有 32 = 6 条道路。
1646.7.1.—1716.11.14.）德国最重要的自然科学家、数学家、 物理学家、历史学家和哲学家，一个举世罕见的科学天才，和 牛顿同为微积分的创建人。
人教版数学二年级上册第八单元数学广角搭配(一)全单元教学设计
意思?得数有几种可能是什么意思?2.自主探究。
师：同学们猜一猜，有几种可能?师：有不同意见了，那么到底是多少呢?请大家动起手来验证一下。
摆一摆、画一画、利用表格都可以。
你喜欢怎么做就怎么做。
学生活动，摆一摆、画一画或写一写，教师巡视，了解学生解决问题的基本思路与基本方法，选取典型案例。
3.交流方法。
(1)同桌交流，组内交流。
师：得数有几种可能呢?同桌先交流一下，把自己的想法说给同桌听，然后组内的同学互相交流想法。
(2)全班展示交流。
师：现在，谁愿意把自己的想法说给大家听?让大家分享你的精彩吧！学生代表到台前讲解，教师配合板书。
预设1:我写出了6个算式,5+7=12,7+5=12,5+9=14,9+7=16,5+9=14,9+5=14，其中得数有3种可能。
预设2：我用画一画的办法连线。
4.回顾与反思，突出解决问题的方法。
教师：解决这个问题，大家想到了几种好办法?谁再来为大家说一说?教师配合学生的叙述，运用课件带领学生回顾过程。
5.对比分析，初步理解排列与组合的区别。
师：这节课，我们一起研究了两个问题(同时出示)。
观察这两道题，你有什么发现?预设：排数字卡片时用3个数可以摆6个数，而两数求和时却只有3个和。
师：是啊，都是从5、7、9这3个数中选2个数，怎么一个能组成6个两位数，一个得数却只有3种可能呢?为什么呢?预设1：摆数可以交换位置，而求和交换位置没意义。
预设2：摆数与顺序有关，求和与顺序无关。
教师随学生回答用课件配合演示。
［设计意图：借鉴例1的活动经验，通过圈一圈、说一说、摆一摆、写一些、画一画、比一比等活动找到例2的组合数，进而通过比较，体会排列问题与组合问题的差别。
］【环节三：巩固练习，拓展思维。
】智慧屋里逛一逛：1.完成教材第98页“做一做”第1题。
先让学生猜猜看，再四个人为一小组，三个人握手，一个人记简单的组合教学反思与改进。
高中一年级数学上册排列组合课件
以3个元素中2个相邻为例，可以将这两个元素捆绑在一起作为一个元素，再与第三个元 素进行排列，总的排列方式为2的2次方种。
难点三：分组排列问题
总结词
掌握分组排列的原理和方法是解决这类问题的关键。
详细描述
分组排列是指将元素分成若干组进行排列的方式，解决这 类问题需要明确每组元素的内部排列以及不同组之间的排 列。
从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的 所有排列的个数，叫做从n个元素中取出m个元素的排列数。
排列的计算公式
A(n,m) = n! / (n-m)!
组合的定义
组合的定义
从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元 素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个元素中取出m个元素的组合数。
组合的计算公式
C(n,m) = n! / [m!(n-m)!]
排列与组合的差异
排列需要考虑取出元素的顺序 ，而组合则不考虑取出元素的 顺序。
排列过程中，相邻元素之间有 “先后顺序”，而组合过程中 ，相邻元素之间没有“先后顺 序”。
在使用排列数公式和组合数公 式时，排列数公式中需要除以 (n-m)!，而组合数公式中不需 要除以(n-m)!。
解析：本题考查的是 排列组合中的分组分 配问题。先分组，再 排列。分组的方法为 C(6，3)种，再对两组 进行排列，即A(3，3) 种。
答案：C(6，3)×A(3 ，3)=120种。
练习题三：拓展题
01
02
总结词：考查排列组合 与计数原理的综合应用
详细描述
1+1大于二
异类组合
指两种或两种以上的不同类的技术思想或 物品组合在一起，获得功能更强、性能更 好的新产品。
电视电话 可以计数的刮胡刀 可以计数的篮球架 日历式笔架 闹钟式收音机 CT扫描仪（X射线+计算机）
食品棋
夜光标签
卡通形象+收音机
异类组合之元件组合
如收音机、电子笔、音乐贺卡、电子称、全自动洗衣机等等
组合法的反义——分解法
去掉冗余也是创新 原子笔：缩短使用时间避免漏油； 不粘锅铲子：
分解组合
这种方法是先按功能、形态或原理进行分 解，然后组合成新的东西。
如电风扇： 鼓风部分： 动力部分： 支撑部分： 控制部分： 分解后再组合的方案超过2000种！
注意：异类组合不是随便的凑合 组合是有机的整合
异类组合的特点
第一，组合对象（设想和物品）来自不同的方面， 一般无明显的主次关系；
第二，组合过程中，参与组合的对象从意义、原理 、构造、成分、功能等方面可以互补和相互渗透 ，产生1+1>2的价值，整体变化显著；
第三，异类组合是异类求同，因此创造性较强。
多功能早餐机
两用餐具
鼠标竟然可以手写 合成轮椅
多样性
• 形式多样： • 如近亲结合：橡皮+铅笔;裤子+袜子/裙子； • 如远缘杂交：空气+煤炭=尼龙纤维
脚
裤
蹬
裙
裤
• 如中西合璧：孙中山故居
• 方法灵活： • 如二元组合、多元组合、附加式组合、
综合性组合等。
练一练 列举同类物品：文具
电子黑板是由日本电气工业株式会社的几个 “臭皮匠”集思广益而产生的。他们的思路是： “在讲习会或其他会议上，听讲者总要一个字一 个字地对着黑板抄笔记，真麻烦。不如把黑板和 复印机组合在一起就好了……”于是，他们就将 两者组合起来，发明了“电子黑板”。这种黑板 上写的内容，只要按一下右方的电钮，便全部复 印成一页页，发给听讲者作为笔记，方便极了。 难怪很快风靡全日本，成为畅销产品。