组合数学一PPT课件
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数学：1.2.2《组合》(一)课件(人教A版选修)
组合
abc abd acd abc acb abd adb acd adc bdc
排列
bac bca bad bda cad cda cbd cdb cab cba dab dba dac dca dbc dcb
bcd
你发现了 什么bcd ?
不写出所有组合，怎样才能知道组合的种数？
求 A4可分两步考虑： 3
C
4 7
⑵
C
7 10
(3) 已知
C
3 n
A
2 n
,求 n ．
(4)求 C 38-n +C 3n 的值. 3n 21+n
例2.甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循环赛，
(1)列出所有各场比赛的双方；
（2)列出所有冠亚军的可能情况. 解：(1) 甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁 （2）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁
3
3
求 P 4 可分两步考虑：
3
第一步， C 4 （ 4）个；
第二步， A3 （ 6）个；
根据分步计数原理， A4
3
A 从而 C C A
3 4
3
CA
3 4
3 3
.
P 3 如何计算: P 3 3
3 4 4 3
3 4
C
m n
概念讲解
组合数公式
排列与组合是有区别的，但它们又有联系． 一般地，求从 n 个不同元素中取出m 个元素的排 列数，可以分为以下2步： 第1步，先求出从这 n 个不同元素中取出m 个元素 m 的组合数 Cn ．
概念理解
1.从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的所有组 合分别是: ab , ac , bc (3个) 2.已知4个元素a , b , c , d ,写出每次取出两个元素的 所有组合.
组合与组合数公式PPT课件
3 3.
A 从而 3 C A 4
3
C434 3
P3 4
P3 3
3
从 n 个不同元中取出m个元素的排列数
A C A m m m
n
n
m
组合数公式:
Cnm
Anm Amm
n(n 1)(n 2) m!
(n m 1)
Cnm
n! m!(n
m)!
C 例1计算：⑴
4 7
⑵ C170
C A (3) 已知 3 2 ,求 n ．
问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参
加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的
活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不
同的选法？
A32 6
有顺序
问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参 加一项活动，有多少种不同的选法？
甲、乙；甲、丙；乙、丙
无顺序
组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）
排列与元素的顺序有关，而组合则与元素的顺序无关
想一想:ab与ba是相同的排列还是相同的组合?为什么?
两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢?
判断下列问题是组合问题还是排列问题?
(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的 子集有多少个? 组合问题
(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备 多少种车票? 排列问题 有多少种不同的火车票价？ 组合问题
请赛，通过单循环决出冠亚军．
（1）列出所有各场比赛的双方；
（2）列出所有冠亚军的可能情况。
（1） 中国—美国 美国—古巴
中国—古巴 美国—俄罗斯
中国—俄罗斯 古巴—俄罗斯
（2） 冠 军
中
《组合数学第一讲》课件
概率的乘法公式
如果事件A和B是独立的，那么P(A∩B) = P(A) × P(B)。
贝叶斯公式
用于计算在已知其他相关概率的情况下，某一事件发生的概率。
概率的应用实例
赌博游戏
概率可以用于计算赌博游戏中各种结果的可能性 。
保险业
保险公司使用概率来计算各种风险的赔付概率和 保费。
天气预报
气象学家使用概率来预测天气的发生可能性，例 如降雨的概率。
在排列中，各个元素的位置是独立的，互不影响。
排列的传递性
如果a>b且b>c，则a>c。
排列的公式与定理
排列数的定义
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列的个数，记 为P(n,m)，计算公式为P(n,m)=n*(n-1)*(n-2)*...*(n-m+1)。
排列数的性质
P(n,m)=P(n,n-m)，P(n,m)=m!/[(n-m)!*m!]。
03
CATALOGUE
组合数学中的计数问题
计数原理
01 02
计数原理
在数学中，计数原理是一种基本原理，用于计算在特定条件下可能发生 的事件的数量。它通常用于组合数学中的计数问题，以确定不同排列和 组合的数量。
分类计数原理
分类计数原理是计数原理的一种，它涉及到将问题分解为几个独立的部 分，然后分别计算每个部分的可能性，最后将各部分的计数相加。
THANKS
感谢观看
《组合数学第一 讲》ppt课件
目录
• 组合数学简介 • 组合数学的基本概念 • 组合数学中的计数问题 • 组合数学中的排列问题 • 组合数学中的组合问题 • 组合数学中的概率问题
01
CATALOGUE
高中数学 1.2.2 组合1课件 新人教A版必修1
Anm
Cnm Am m
C
m n
Anm Amm
形成结论
公式
C n m
A n m A m m
n (n1 )(n2 ) (nm1 ) m !
( m，n∈N*，m≤n) 叫做组合数公式，
这个公式如何用阶乘形式表示？
Cnm
n! m!(n m)!
典例讲评
例1 一位教练的足球队共有17名初级学 员，他们中以前没有一人参加过比赛，按 照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上 场队员是11人，问： （1）这位教练从这17名学员中可以形成多
m
时n ，计算
2
C比nn计m算 较方C 便nm .
课堂小结
2.利用组合数性质
Cn m1 Cn m，可C 以n m对1组合数进行合成
与分解，对于组合数的求和问题，要结 合数列的思想方法求解.
作业： P25练习：6. P27习题1.2A组：9，10，11，12.
C
2 10
45
A120 90
典例讲评
例3 在100件产品中有98件合格品， 2 件次品，从这100件产品中任意抽取3件. （1）有多少种不同的抽法？ （2）抽出的3件中恰有1件是次品的抽法 有多少种？ （3）抽出的3件至少有1件是次品的抽法 有多少种？
(1)C1300 161700(2)C2 1 C9 28 9506
C 2 2 0
(2 ) C n 32
2 C n 22
C n 1 2 . C
3 n
典例讲评
例5 证明：
C n 1 2 C n 2 3 C n 3 C n 0 C n 1 C n 2
n C n n C n n1Leabharlann C n 21课堂小结
组合数学课件-第一章：排列与组合
积分性质
若G(x)是母函数，则它的不定积分∫G(x)dx （其中C为常数）也是母函数。
线性性质
若G1(x)和G2(x)是两个母函数，则它们的 线性组合k1*G1(x)+k2*G2(x)（k1和k2是 常数）也是母函数。
微分性质
若G(x)是母函数，则它的导数G'(x)也是母 函数。
乘积性质
若G1(x)和G2(x)是两个母函数，则它们的 乘积G1(x)*G2(x)也是母函数。
对称性
C(n,m) = C(n,n-m)，即从n个元素中取出m个元 素的组合数与从n个元素中取出n-m个元素的组 合数相等。
递推关系
C(n,m) = C(n-1,m-1) + C(n-1,m)，即当前组合 数等于前一个元素在组合中和不在组合中的两种 情况之和。
边界条件
C(n,0) = C(n,n) = 1，即从n个元素中取出0个或 n个元素的组合数均为1。
典型例题解析
例1
从10个数中任取4个数，求其中最大数为6的组合数。
解析
此问题等价于从6个数（1至6）中取4个数的组合数，即 C(6,4)。
例2
在所有的三位数中，各位数字之和等于10的三位数有 多少个？
解析
此问题可转化为从9个数字（1至9）中取3个数字的组合 数，即C(9,3)，然后考虑三个数字的全排列，即3!，因此 总共有C(9,3) × 3!个符合条件的三位数。
组合与排列的关系
组合数可以看作是从n个元素中取出m个元素进行排 列的种数除以m的阶乘，即C(n，m)=A(n，m)/m!。 因此，在计算组合数时也可以利用排列数和容斥原 理来进行计算。
THANKS
隔板法
将n个相同的元素分成r组的方法数可以用母函数表示为 C(n+r-1,r)，其中C表示组合数。
组合数学课件--第一章第三节组合意义的解释(共27张PPT)
21
：应用举例
码b与码a之间的汉明距离要大于或等于2r+1.
如果存在a与a的距离小于r,那么a与b的距离大于r。 解：先将1到999的整数都看作3位数,例如2就看作是002，这样从000到999。
试求从1到1000的整数中，0出现的次数。 求方程的非负整数的解的个数. 因此不合法的0的个数为 码b与码a之间的汉明距离要大于或等于2r+1. 9 *Stirling公式 35 C(m,0)+C(m,1)+C(m,2)+…+C(m,m)=2m
6
1.6.3 线性方程的整数解的个数问题:
x1+x2+…+xn=b,n和b都是非负整数;
求方程的非负整数的解的个数. 允许重复的组合模型是r个无标志的球放进n个有 区别的盒子的情况:
方程的非负整数的个数与b个无标志的球放进n个 有区别的盒子的情况一一对应.
C(n+b-1,b)
7
1.7 组合的解释
m[C(n,0)+C(n,1)+…+C(n,r)]≤2n
m
2n
C(n,0)C(n,1)...C(n,r)
***
23
1.9 司特林（Stirling公式）
n!~ 2n(n)n
e
2n (n)n
lim n
e 1 n!
***
24
1.9 例题
例：求小于10000的正整数中含有数字1的数的个数。
解：小于10000的正整数是1到9999，如果我们 把不到4位的数前面补零，
{1，2}，{1，3}， {2，3}，
如果允许重复，多了
{1，1}， {2，2}， {3，3}。
组合模型:
：应用举例
码b与码a之间的汉明距离要大于或等于2r+1.
如果存在a与a的距离小于r,那么a与b的距离大于r。 解：先将1到999的整数都看作3位数,例如2就看作是002，这样从000到999。
试求从1到1000的整数中，0出现的次数。 求方程的非负整数的解的个数. 因此不合法的0的个数为 码b与码a之间的汉明距离要大于或等于2r+1. 9 *Stirling公式 35 C(m,0)+C(m,1)+C(m,2)+…+C(m,m)=2m
6
1.6.3 线性方程的整数解的个数问题:
x1+x2+…+xn=b,n和b都是非负整数;
求方程的非负整数的解的个数. 允许重复的组合模型是r个无标志的球放进n个有 区别的盒子的情况:
方程的非负整数的个数与b个无标志的球放进n个 有区别的盒子的情况一一对应.
C(n+b-1,b)
7
1.7 组合的解释
m[C(n,0)+C(n,1)+…+C(n,r)]≤2n
m
2n
C(n,0)C(n,1)...C(n,r)
***
23
1.9 司特林（Stirling公式）
n!~ 2n(n)n
e
2n (n)n
lim n
e 1 n!
***
24
1.9 例题
例：求小于10000的正整数中含有数字1的数的个数。
解：小于10000的正整数是1到9999，如果我们 把不到4位的数前面补零，
{1，2}，{1，3}， {2，3}，
如果允许重复，多了
{1，1}， {2，2}， {3，3}。
组合模型:
组合数学课件--第一章第二节 允许重复的组合与不相邻的组合
11
一、序数法
怎样建立a(3)a(2)a(1)p(1)p(2)p(3)p(4)
a(3) 确定4的位置,a(2)确定3的位置
a(1)确定2的位置,剩余的位置就是1的位置 例3:021, 3 2 1 4 例3: 201, 2 4 1 3
12
一、序数法
求n个不同的数的全排列，主要有以下两步：
1、求出0到n!-1之间各数对应的序列{an-1, an-2,…, a1} m=an-1(n-1)!+an-2(n-2)!+…a2 * 2!+a1*1! 2、由{an-1, an-2,…, a1}确定排列序列p1p2…pn an-1,确定n的位置， an-2确定n-1的位置， ……………………… a1确定2的位置， 剩下的是1的位置。
9
一、序数法
推论 从0到n!-1的n!个整数与序列{an-1, an-2,…, a1} 一一对应。这里 0a1 1,0 a2 2, …, 0 an-1 n-1 算法: int a[]={0}; int m,n;// 0=<m<=n!-1 int b=m； int index =1; do { a[index]=b%(index+1); b = b/(index+1); index++; } while(b);
14
一、序数法
2、对于0,1,2,…,n!-1共n!个数求序列a[i]
for( i = 0; i < fact; i++ ) { int b=i, index =1; do { a[index]=b%(index+1); b = b/(index+1); index++; } while(b);
一、序数法
怎样建立a(3)a(2)a(1)p(1)p(2)p(3)p(4)
a(3) 确定4的位置,a(2)确定3的位置
a(1)确定2的位置,剩余的位置就是1的位置 例3:021, 3 2 1 4 例3: 201, 2 4 1 3
12
一、序数法
求n个不同的数的全排列，主要有以下两步：
1、求出0到n!-1之间各数对应的序列{an-1, an-2,…, a1} m=an-1(n-1)!+an-2(n-2)!+…a2 * 2!+a1*1! 2、由{an-1, an-2,…, a1}确定排列序列p1p2…pn an-1,确定n的位置， an-2确定n-1的位置， ……………………… a1确定2的位置， 剩下的是1的位置。
9
一、序数法
推论 从0到n!-1的n!个整数与序列{an-1, an-2,…, a1} 一一对应。这里 0a1 1,0 a2 2, …, 0 an-1 n-1 算法: int a[]={0}; int m,n;// 0=<m<=n!-1 int b=m； int index =1; do { a[index]=b%(index+1); b = b/(index+1); index++; } while(b);
14
一、序数法
2、对于0,1,2,…,n!-1共n!个数求序列a[i]
for( i = 0; i < fact; i++ ) { int b=i, index =1; do { a[index]=b%(index+1); b = b/(index+1); index++; } while(b);
排列组合—组合(初等数学课件)
（2） Cnm1 是从 n 1 个元素中取出 m 个元素的组合数，另一方面，设a 是
n 1个相异元素中的某一特定元素，对 a 而言，这些组合可以分为两类：一类
组合 含有 a
，其组合数为 Cnm-1
，另一类不含a
，其组合数为
Cnm
，
故有∴
C
m n 1
＝
C
m n
+
C
m 1 n
。
例题讲解
例 现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4 张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一颜色，且红色卡片至多 1张，则不同取法共有多少种？
解 从 16 张卡片中任取 3 张共有C136 种取法，其中 3 张颜色相同的取法有
4C43 种，3 张中有 2 张是红色的有 C42C112 种取法，故共有 C136 - 4C43 C42C112 472 种 取法。
初等数学研究
相异元素的无重复组合
相异元素的无重复组合
定义 从 n 个不同元素中，不重复地任取 m m n 个元素并成一组，叫做
从 n 个不同元素中做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组．合．数．。
用符号 Cnm 表示。
定理 1
C
m n
Anm m!
n! m!(n m)!
通常 规定Cn0 1
相异元素的无重复组合
定理2 组合数的性质： （1） Cnm Cnnm ；
（2） Cnm Cnm1 Cnm1
相异元素的无重复组合
上述性质可以这样解释：
（1）从 n 个相应元素中取出一个 m 个元素组合的同时，必留下一个n m
个元素的组合，二者一一对应，故有Cnm Cnnm ；
n 1个相异元素中的某一特定元素，对 a 而言，这些组合可以分为两类：一类
组合 含有 a
，其组合数为 Cnm-1
，另一类不含a
，其组合数为
Cnm
，
故有∴
C
m n 1
＝
C
m n
+
C
m 1 n
。
例题讲解
例 现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4 张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一颜色，且红色卡片至多 1张，则不同取法共有多少种？
解 从 16 张卡片中任取 3 张共有C136 种取法，其中 3 张颜色相同的取法有
4C43 种，3 张中有 2 张是红色的有 C42C112 种取法，故共有 C136 - 4C43 C42C112 472 种 取法。
初等数学研究
相异元素的无重复组合
相异元素的无重复组合
定义 从 n 个不同元素中，不重复地任取 m m n 个元素并成一组，叫做
从 n 个不同元素中做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组．合．数．。
用符号 Cnm 表示。
定理 1
C
m n
Anm m!
n! m!(n m)!
通常 规定Cn0 1
相异元素的无重复组合
定理2 组合数的性质： （1） Cnm Cnnm ；
（2） Cnm Cnm1 Cnm1
相异元素的无重复组合
上述性质可以这样解释：
（1）从 n 个相应元素中取出一个 m 个元素组合的同时，必留下一个n m
个元素的组合，二者一一对应，故有Cnm Cnnm ；
组合数学课件--第一章：排列与组合
1.3：排列与组合
1、排列的定义：设A={a1,a2,…,an}是n个不 同的元素的集合，任取A中r个元素按顺序排成一 列，称为从A中取r个的一个排列，r满足0≤r≤n。
(1) (2) (3) (…) (r)
从n个不同的球中取一个球放在第一个盒子中， 从余下的n-1个球中取一个球放在第二个盒子中， ………………………………… 从余下的n-(r-1)个球中取一个放在第r个盒子中。 根据乘法法则： 19 P(n,r)=n(n-1)…(n-r+1)=n!／(n-r)!
p2
2 a2
... pm
2 am
C (2a1 1,1) C (2a2 1,1) ... C (2am 1,1)
34
练习题
1.13、有n个不同的整数，从中取出两组来， 要求第1组的最小数大于另一组的最大数。 设取的第一组数有a个,第二组有b个,
要求第一组数中最小数大于第二组中最大的， 即只要取出一组m个数(设m=a+b),从大到小 取a个作为第一组,剩余的为第二组。 此时方案数为C(n,m)。 从m个数中取第一组数共有m-1中取法。 (m-1)C(n,m)
17
1.2 一一对应 1 2 5 任给一个序列B{b1,b2,b3,…,bn-2} 1、从A找到最小的不属于B的元素,设为a1,与b1连 接，从A中去掉a1，从B中去掉b1. 2、重复以上过程只到B为空，A中剩余两个 3、连接剩余的两个顶点。
*
18
树的顶点集合为12345
3 4
这棵树对应序列（2，3，2）
****
2
(4)哪些最优？
选用教材
组合数学
(第四版) 卢开澄 卢华明 著
清华大学出版社
组合与组合数公式课件
关系
超几何分布的概率值可以通过组合数公式进行计 算，特别是当总体大小远大于样本大小时。
二项式系数与组合数的关系
二项式系数
二项式系数表示在n次独立实验中成功k次的概率，通常表 示为C(n, k) = binomial(n, k) / k!
组合数公式
组合数公式是计算从n个不同元素中选取k个元素的不同方 式的数量。
关系
二项式系数是组合数的一种特例，当n次实验中每次成功 的概率为p时，二项式系数可以表示为C(n, k) = p^k * (1p)^(n-k)。
组合数与卡特兰数的关系
卡特兰数
卡特兰数是组合数学中的一类特殊数，通常用于计数排列、组合等 问题的解中选取k个元素的不同方式的数量 。
组合数的定义
总结词
组合数表示从n个不同元素中取出 m个元素的组合方式数量，记作 C(n, m)或C_n^m。
详细描述
组合数的定义基于组合的定义， 通过数学公式表示为C(n, m) = n! / (m!(n-m)!)，其中"!"表示阶乘 。
组合数的性质
总结词
组合数具有一些重要的性质，包括组合数的递推关系、对称性、非负性等。
组合数的计算公式具有对称性 ，即C(n，m)=C(n，n-m)，同 时还有C(n，0)=C(n，n)=1的 特殊性质。
组合数的性质在计算中的应用
利用组合数的性质可以简化组合数的计算，例如利用对称性可以避免一些不必要的 计算。
利用组合数的性质可以推导出一些重要的组合恒等式，例如二项式定理、帕斯卡三 角等。
当m=n时，排列就是组合；当取出元素不同时，排列和组合是不同的。
组合数的计算公式
组合数的计算公式为C(n， m)=n!/(m!(n-m)!)，其中n是 总的元素个数，m是需要取出 的元素个数，C(n，m)表示从n 个元素中取出m个元素的组合 数。
超几何分布的概率值可以通过组合数公式进行计 算，特别是当总体大小远大于样本大小时。
二项式系数与组合数的关系
二项式系数
二项式系数表示在n次独立实验中成功k次的概率，通常表 示为C(n, k) = binomial(n, k) / k!
组合数公式
组合数公式是计算从n个不同元素中选取k个元素的不同方 式的数量。
关系
二项式系数是组合数的一种特例，当n次实验中每次成功 的概率为p时，二项式系数可以表示为C(n, k) = p^k * (1p)^(n-k)。
组合数与卡特兰数的关系
卡特兰数
卡特兰数是组合数学中的一类特殊数，通常用于计数排列、组合等 问题的解中选取k个元素的不同方式的数量 。
组合数的定义
总结词
组合数表示从n个不同元素中取出 m个元素的组合方式数量，记作 C(n, m)或C_n^m。
详细描述
组合数的定义基于组合的定义， 通过数学公式表示为C(n, m) = n! / (m!(n-m)!)，其中"!"表示阶乘 。
组合数的性质
总结词
组合数具有一些重要的性质，包括组合数的递推关系、对称性、非负性等。
组合数的计算公式具有对称性 ，即C(n，m)=C(n，n-m)，同 时还有C(n，0)=C(n，n)=1的 特殊性质。
组合数的性质在计算中的应用
利用组合数的性质可以简化组合数的计算，例如利用对称性可以避免一些不必要的 计算。
利用组合数的性质可以推导出一些重要的组合恒等式，例如二项式定理、帕斯卡三 角等。
当m=n时，排列就是组合；当取出元素不同时，排列和组合是不同的。
组合数的计算公式
组合数的计算公式为C(n， m)=n!/(m!(n-m)!)，其中n是 总的元素个数，m是需要取出 的元素个数，C(n，m)表示从n 个元素中取出m个元素的组合 数。
组合数学第一张排列和组合PPT讲稿
的数字所组成的5位数的个数。
解 设所求的数的形式为abcde
其中 2 a 6, e {0,2,4,6,8}
(1)若 a {2, 4, 6 } ，这时e有4种选择，有
3 4 P(8,3) 4032
(2)若 a {3,5} ，这时e有5种选择，有
2 5 P(8,3) 3360
共有 4032 3360 7392 个。
1.3 排列
▪ 例1.14 A单位有7位代表，B单位有3位代表，
排在一列合影，要求B单位的人排在一起，问 有多少种不同的排列方案？
▪ 解 B单位的某一排列作为一个元素参加单位A进
行排列，可得 8! 种排列。
B单位的3人共有3! 个排列， 故共有8!3! 排列方案。
2022/3/4
15
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(3)有 5!3! 种。
2022/3/4
19
现在您浏览的位置是第十九页，共九十二页。
1.4 圆周排列
▪ 例1.20 5对夫妻出席一宴会，围一圆桌坐下，问
有几种方案？若要求每对夫妻相邻又有多少种 方案？
解 (1)9! 种方案； (2) 4!25 24 32 768 种方案。
2022/3/4
20
由乘法法则，长度为n的二元码的数目为
2 2 22 2n
2022/3/4
7
现在您浏览的位置是第七页，共九十二页。
1.1 基本计数法则
▪ 例1.6 求布尔函数 f ( x1, x2 ,, xn )的数目。 解 自变量( x1, x2 ,, xn ) 可能取值的个数为2n
设取值为 a1，, a2n 则n个变元的布尔函数有
生物课程。若有4门数学课程和3门生物课程， 则该学生有4+3=7种不同的选课方式。
解 设所求的数的形式为abcde
其中 2 a 6, e {0,2,4,6,8}
(1)若 a {2, 4, 6 } ，这时e有4种选择，有
3 4 P(8,3) 4032
(2)若 a {3,5} ，这时e有5种选择，有
2 5 P(8,3) 3360
共有 4032 3360 7392 个。
1.3 排列
▪ 例1.14 A单位有7位代表，B单位有3位代表，
排在一列合影，要求B单位的人排在一起，问 有多少种不同的排列方案？
▪ 解 B单位的某一排列作为一个元素参加单位A进
行排列，可得 8! 种排列。
B单位的3人共有3! 个排列， 故共有8!3! 排列方案。
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15
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(3)有 5!3! 种。
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1.4 圆周排列
▪ 例1.20 5对夫妻出席一宴会，围一圆桌坐下，问
有几种方案？若要求每对夫妻相邻又有多少种 方案？
解 (1)9! 种方案； (2) 4!25 24 32 768 种方案。
2022/3/4
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由乘法法则，长度为n的二元码的数目为
2 2 22 2n
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1.1 基本计数法则
▪ 例1.6 求布尔函数 f ( x1, x2 ,, xn )的数目。 解 自变量( x1, x2 ,, xn ) 可能取值的个数为2n
设取值为 a1，, a2n 则n个变元的布尔函数有
生物课程。若有4门数学课程和3门生物课程， 则该学生有4+3=7种不同的选课方式。
高中组合问题ppt课件
统计学中的组合问题
概率论中的组合问题
在概率论中，组合问题涉及到随机事件的排列和组合。例如，在概率计算中，事件的排列数和组合数 对于计算概率至关重要。
统计学中的组合问题
在统计学中，组合问题常常出现在样本设计和数据分析中。例如，在分层抽样中，需要计算每一层中 应抽取的样本数，这涉及到组合计数的问题。
物理学中的组合问题
组合数学的应用领域
总结词
组合数学在多个领域都有广泛的应用。
详细描述
组合数学在计算机科学、统计学、运筹学、信息理论等领域都有重要的应用。 例如，在计算机科学中，组合数学可用于设计和分析算法，解决诸如搜索、排 序和数据结构等问题。
学习组合数学的意义
总结词
学习组合数学有助于培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
组合恒等式问题
总结词
组合恒等式问题是组合问题中的一类重要问题，主要研究组 合数之间的相互关系和性质。
详细描述
组合恒等式问题涉及到组合数的基本性质和恒等式，如二项 式定理、组合恒等式等，以及这些性质和恒等式的应用。
组合计数问题
总结词
组合计数问题是组合问题中的一类常 见问题，主要研究从n个不同元素中 取出m个元素的不同的取法。
组合数公式
C(n, m) = n! / [m!(n-m)!]
组合问题与排列问题的区别
排列问题考虑取出元素的顺序，而组合问题不考虑取出元素的顺序 。
组合问题的分类
简单组合问题
有序组合问题
从n个不同元素中取出m个元素，不考虑其 他限制条件。
在取出元素后，需要考虑元素的顺序，如 从4个字母中取出2个字母组成一个单词， 需要考虑单词的拼写顺序。
05
组合问题的求解技巧
组合数学第一张排列与组合课件解读
解 自变量 ( x1 , x2 , , xn ) 可能取值的个数为 设取值为 a1， , a
2n
2
n
则n个变元的布尔函数有
a1 a
f
个。
2n
2 22
2n
2019/1/4
7
1.1 基本计数法则
例 1.8 n 7 3 112 134 ，求能整除n的正整数 的个数。
解 能整除n的正整数可以写为如下形式：
C ( 8, 2)C ( 6, 2)C ( 4, 2)C ( 2, 2) 8! 4 4! 2 4!
2019/1/4 24
1.5 组合
例1.24某广场有6个入口处，每个入口处每次只能 通过一辆汽车，有 9 辆汽车要开进广场，问有多 少种入场方案？ 解 方法1： 1 2 3 4 5 6 7 8 9
5位数 a1a2 a3 a4 a5 共有90000个
被3整除的有30000个 在这30000个数中不包含6的数有
8 93 3 17496 个 所求个数为
30000-17496=12504
2019/1/4
28
1.5 组合
定理 在n!中，质数p的最高幂
n n n p(n!) 2 m p p p
7 11 13 , 0 a1 3, 0 a2 2, 0 a1 4 故能整除n的正整数的个数为
4 3 5 60
a1 a2 a3
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8
1.1 基本计数法则
例 1.9 求从 a,b,c,d,e 这 5个字母中取 6个所组成的字符 串个数。要求 (1)第 1 个和第 6个字符必为子音字符； (2) 每一字符串必有两个母音字符，且两个母音字母 不相邻；(3) 相邻的两个子音字符必不相同。 解 符合要求的字符串有以下几种模式：
2n
2
n
则n个变元的布尔函数有
a1 a
f
个。
2n
2 22
2n
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1.1 基本计数法则
例 1.8 n 7 3 112 134 ，求能整除n的正整数 的个数。
解 能整除n的正整数可以写为如下形式：
C ( 8, 2)C ( 6, 2)C ( 4, 2)C ( 2, 2) 8! 4 4! 2 4!
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1.5 组合
例1.24某广场有6个入口处，每个入口处每次只能 通过一辆汽车，有 9 辆汽车要开进广场，问有多 少种入场方案？ 解 方法1： 1 2 3 4 5 6 7 8 9
5位数 a1a2 a3 a4 a5 共有90000个
被3整除的有30000个 在这30000个数中不包含6的数有
8 93 3 17496 个 所求个数为
30000-17496=12504
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1.5 组合
定理 在n!中，质数p的最高幂
n n n p(n!) 2 m p p p
7 11 13 , 0 a1 3, 0 a2 2, 0 a1 4 故能整除n的正整数的个数为
4 3 5 60
a1 a2 a3
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1.1 基本计数法则
例 1.9 求从 a,b,c,d,e 这 5个字母中取 6个所组成的字符 串个数。要求 (1)第 1 个和第 6个字符必为子音字符； (2) 每一字符串必有两个母音字符，且两个母音字母 不相邻；(3) 相邻的两个子音字符必不相同。 解 符合要求的字符串有以下几种模式：
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* 13
1.3：排列与组合
1、排列的定义：设A={a1,a2,…,an}是n个不 同的元素的集合，任取A中r个元素按顺序排成一 列，称为从A中取r个的一个排列，r满足0≤r≤n。
(1) (2) (3) (…) (r)
从n个不同的球中取一个球放在第一个盒子中，
从余下的n-1个球中取一个球放在第二个盒子中，
组合数学的应用范畴
第一章:排列与组合 第二章:递推关系与母函数 第三章:容斥原理与鸽巢原理 第四章:Burnside引理与Polya定理 第五章:区组设计 第六章:线性规划 第七章:编码简介 第八章:组合算法简介
1
第一章：排列与组合
1.1 基本计数法则 1.2 一一对应: 1.3 排列与组合 1.4 圆周排列 1.5 排列的生成算法 1.6 允许重复的组合与不相邻的组 合 1.7 组合意义的解释 1.8 应用举例
公式：从n中取r的组合数记作C(n,r) 从n中取r的排列数是
二P(者n,之r)间。的关系:
C(n,r)=P(n,r)/r!
=nn个不同的元素放进r个 不同的盒子的放法. 组合可以看作n个不同的元素放进r个 相同的盒子的放法. 公式1：C(n,r)=C(n,n-r)
5
1.1基本计数法则 例1.2：用乘法法则解释8卦及64卦。
解：1、太极生两仪
2、两仪生四象 00，01，10，11； 3、四象生八卦 000，001，010, 011
100，101，110, 111
6
1.1基本计数法则 例1.3：长度为n的0,1符号串的数目? 例1.4 人类DNA链的长度为2.1×1010,链上 每一位由T,C,A,G四种化合物组成,求人类DNA链 的可组成数目。
20种不同的花取3种排列的排列数为： P(20,3)=20!/17!=20*19*18=6840
根据乘法法则，共有图案数为：
6840*20=136800
18
1.3：排列与组合
1.8 随机地选择n个人，求n个人至少有两人生 日相同的概率(不考虑润年)
解: n个人生日不同的方案数是: 365*364*…*(365-n+1)=P(365,n) n个人生日的总方案数是: 365n 至少有两人生日相同的概率: 1-P(365,n)/365n
(1,2),(4,3),(3,2)
这棵树对应序列（2，3，2）
一个棵对应序列B=b1b2b3…bn-2而且是唯一的
12
1.2 一一对应
1
2
3
树的顶点集合为12345 这棵树对应序列（2，3，2）
4
5
任给一个序列B{b1,b2,b3,…,bn-2} 1、从A找到最小的不属于B的元素,设为a1,与b1连 接，从A中去掉a1，从B中去掉b1. 2、重复以上过程只到B为空，A中剩余两个 3、连接剩余的两个顶点。
…………
对应着长度为22的字符串，每一位都可以取0或1; 乘法：2^22 自变量数为n个时：2^2n
* 8
1.2 一一对应
1、从n个数中找出最大值问题 2、n个人参加单淘汰赛，最后产生冠军的 过程。
9
1.2 一一对应
例1.6：求n2个人站成一排和站成n排（方阵） 的方案数，并比较两种方案数的大小？
解：9个人站成一排的方案数是9!，
设a1a2a3a4a5a6a7a8a9是9个人的一排， 可构成一个方阵 给定一个方阵
a1a2a3
b1b2b3
a4a5a6
b4b5b6
a7a8a9
b7b8b9
也唯一确定一排b1b2b3b4b5b6b7b8b9
因此这两种站位方式的方案数一样多，都是9!
10
1.2 一一对应 例1.6：求n2个人站成一排和站成n排（方阵） 的方案数，并比较两种方案数的大小？ 9个人站成方阵的方案数为： C(9,3)3!C(6,3)3!C(3,3)3!
16
1.3：排列与组合
从5个元素中取3个进行排列的算法： int a[5]={1,2,3,4,5},b[3]； for(i=0;i<5;i++)
{b[0]=a[i]; for(j=0;j<5;j++) {if (j==i) j++; else b[1]=a[j]; for(k=0;k<5;k++) {if(k==i||k==j) k++; else b[2]=a[k]; 打印b[]}}}
…………………………………
从余下的n-(r-1)个球中取一个放在第r个盒子中。
根据乘法法则：
P(n,r)=n(n-1)…(n-r+1)=n!／(n-r)!
14
1.3：排列与组合
全排列:P(n,n)=n(n-1)…2×1=n! 2、组合的定义：当从n个不同元素中取出r个 而不考虑它的顺序时,称为从n中取r个的组合, 其数目记为C(n,r)。
17
1.3：排列与组合
例1.7:由5种颜色的星状物,20种不同的花共25 个元素中任取5个排成如下图案：两边是星状物,中 间是3朵花，问共有多少种这样的图案？
★ ★
解1：5×20×19×18×4=136800
解2：5种颜色的星状物取两个排列的排列数为 P(5,2)=5!/3!=5*4=20
2
1.1基本计数法则
1、加法法则: 如果具有性质A的事件有m个，性质B的事件有n 个，则具有性质A或B的事件有m+n个。 A和B是性质无关的两个事件。
3
1.1基本计数法则
2、乘法法则: 若具有性质A的事件有m个，具有性质B的事件 有n个，则具有性质A及B的事件有mn个
4
1.1基本计数法则
例1.1 若从合肥到南京有2条路可走，从南京 到上海有3条路可走，从上海到杭州有2条路可 走，问从合肥经南京、上海到杭州有多少路可 走？
7
1.1基本计数法则
例1.5：求布尔函数f(x1,x2,…,xn)的数目 以n=2为例： f(x1,x2)有四种方式： f(0,0),f(0,1),f(1,0),f(1,1)。 1、f(0,0)=0,f(0,1)=0,f(1,0)=0,f(1,1)=0。 2、f(0,0)=0,f(0,1)=0,f(1,0)=0,f(1,1)=1。
9! 3! 6! 3!3! 9! 6!3! 3!3!
11
1.2 一一对应
定理1.1 n个有标号1,2,…,n的顶点的树 的数目等于nn-2。（n>=2）
设一棵树的顶点集为A
1
2
3
5
1、从中找到编号最小的 叶子结点，去掉该叶子结点a1 4 及其邻接边(a1,b1)。
2、重复以上过程。只到 剩一条边为止。
1.3：排列与组合
1、排列的定义：设A={a1,a2,…,an}是n个不 同的元素的集合，任取A中r个元素按顺序排成一 列，称为从A中取r个的一个排列，r满足0≤r≤n。
(1) (2) (3) (…) (r)
从n个不同的球中取一个球放在第一个盒子中，
从余下的n-1个球中取一个球放在第二个盒子中，
组合数学的应用范畴
第一章:排列与组合 第二章:递推关系与母函数 第三章:容斥原理与鸽巢原理 第四章:Burnside引理与Polya定理 第五章:区组设计 第六章:线性规划 第七章:编码简介 第八章:组合算法简介
1
第一章：排列与组合
1.1 基本计数法则 1.2 一一对应: 1.3 排列与组合 1.4 圆周排列 1.5 排列的生成算法 1.6 允许重复的组合与不相邻的组 合 1.7 组合意义的解释 1.8 应用举例
公式：从n中取r的组合数记作C(n,r) 从n中取r的排列数是
二P(者n,之r)间。的关系:
C(n,r)=P(n,r)/r!
=nn个不同的元素放进r个 不同的盒子的放法. 组合可以看作n个不同的元素放进r个 相同的盒子的放法. 公式1：C(n,r)=C(n,n-r)
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1.1基本计数法则 例1.2：用乘法法则解释8卦及64卦。
解：1、太极生两仪
2、两仪生四象 00，01，10，11； 3、四象生八卦 000，001，010, 011
100，101，110, 111
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1.1基本计数法则 例1.3：长度为n的0,1符号串的数目? 例1.4 人类DNA链的长度为2.1×1010,链上 每一位由T,C,A,G四种化合物组成,求人类DNA链 的可组成数目。
20种不同的花取3种排列的排列数为： P(20,3)=20!/17!=20*19*18=6840
根据乘法法则，共有图案数为：
6840*20=136800
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1.3：排列与组合
1.8 随机地选择n个人，求n个人至少有两人生 日相同的概率(不考虑润年)
解: n个人生日不同的方案数是: 365*364*…*(365-n+1)=P(365,n) n个人生日的总方案数是: 365n 至少有两人生日相同的概率: 1-P(365,n)/365n
(1,2),(4,3),(3,2)
这棵树对应序列（2，3，2）
一个棵对应序列B=b1b2b3…bn-2而且是唯一的
12
1.2 一一对应
1
2
3
树的顶点集合为12345 这棵树对应序列（2，3，2）
4
5
任给一个序列B{b1,b2,b3,…,bn-2} 1、从A找到最小的不属于B的元素,设为a1,与b1连 接，从A中去掉a1，从B中去掉b1. 2、重复以上过程只到B为空，A中剩余两个 3、连接剩余的两个顶点。
…………
对应着长度为22的字符串，每一位都可以取0或1; 乘法：2^22 自变量数为n个时：2^2n
* 8
1.2 一一对应
1、从n个数中找出最大值问题 2、n个人参加单淘汰赛，最后产生冠军的 过程。
9
1.2 一一对应
例1.6：求n2个人站成一排和站成n排（方阵） 的方案数，并比较两种方案数的大小？
解：9个人站成一排的方案数是9!，
设a1a2a3a4a5a6a7a8a9是9个人的一排， 可构成一个方阵 给定一个方阵
a1a2a3
b1b2b3
a4a5a6
b4b5b6
a7a8a9
b7b8b9
也唯一确定一排b1b2b3b4b5b6b7b8b9
因此这两种站位方式的方案数一样多，都是9!
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1.2 一一对应 例1.6：求n2个人站成一排和站成n排（方阵） 的方案数，并比较两种方案数的大小？ 9个人站成方阵的方案数为： C(9,3)3!C(6,3)3!C(3,3)3!
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1.3：排列与组合
从5个元素中取3个进行排列的算法： int a[5]={1,2,3,4,5},b[3]； for(i=0;i<5;i++)
{b[0]=a[i]; for(j=0;j<5;j++) {if (j==i) j++; else b[1]=a[j]; for(k=0;k<5;k++) {if(k==i||k==j) k++; else b[2]=a[k]; 打印b[]}}}
…………………………………
从余下的n-(r-1)个球中取一个放在第r个盒子中。
根据乘法法则：
P(n,r)=n(n-1)…(n-r+1)=n!／(n-r)!
14
1.3：排列与组合
全排列:P(n,n)=n(n-1)…2×1=n! 2、组合的定义：当从n个不同元素中取出r个 而不考虑它的顺序时,称为从n中取r个的组合, 其数目记为C(n,r)。
17
1.3：排列与组合
例1.7:由5种颜色的星状物,20种不同的花共25 个元素中任取5个排成如下图案：两边是星状物,中 间是3朵花，问共有多少种这样的图案？
★ ★
解1：5×20×19×18×4=136800
解2：5种颜色的星状物取两个排列的排列数为 P(5,2)=5!/3!=5*4=20
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1.1基本计数法则
1、加法法则: 如果具有性质A的事件有m个，性质B的事件有n 个，则具有性质A或B的事件有m+n个。 A和B是性质无关的两个事件。
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1.1基本计数法则
2、乘法法则: 若具有性质A的事件有m个，具有性质B的事件 有n个，则具有性质A及B的事件有mn个
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1.1基本计数法则
例1.1 若从合肥到南京有2条路可走，从南京 到上海有3条路可走，从上海到杭州有2条路可 走，问从合肥经南京、上海到杭州有多少路可 走？
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1.1基本计数法则
例1.5：求布尔函数f(x1,x2,…,xn)的数目 以n=2为例： f(x1,x2)有四种方式： f(0,0),f(0,1),f(1,0),f(1,1)。 1、f(0,0)=0,f(0,1)=0,f(1,0)=0,f(1,1)=0。 2、f(0,0)=0,f(0,1)=0,f(1,0)=0,f(1,1)=1。
9! 3! 6! 3!3! 9! 6!3! 3!3!
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1.2 一一对应
定理1.1 n个有标号1,2,…,n的顶点的树 的数目等于nn-2。（n>=2）
设一棵树的顶点集为A
1
2
3
5
1、从中找到编号最小的 叶子结点，去掉该叶子结点a1 4 及其邻接边(a1,b1)。
2、重复以上过程。只到 剩一条边为止。